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ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA por Randy Fernández y Ciro Bazán

Detalles del Producto

• Encuadernación Rústica: 448 páginas

• Editora: Publicaciones Universidad de Piura; (Abril, 2006)

• Lenguaje: Español • ISBN: 9972-48-101-8

• Dimensiones del producto: 23,5 x 17 x 2.2 cms

• Peso: 01 kgs

• Lugar de venta: Librería de la Universidad de Piura

• Precio: S/. 30

2

Índice

Capítulo I: OPERACIONES CON MATRICES 1

1. Definición de una matriz 2 Ejercicios 4

2. Tipos especiales de matrices 5 2.1. Matriz nula 5 2.2. Matriz vector 5 2.3. Matriz cuadrada 5 2.4. Matriz diagonal 6 2.5. Matriz escalar 6 2.6. Matriz identidad 6 2.7. Matriz triangular superior 6 2.8. Matriz triangular inferior 7 2.9. Matriz simétrica 7 2.10. Matriz antisimétrica 7 2.11. Matriz rectangular 7 Ejercicios 8

3. Operaciones con matrices 10 3.1. Igualdad de matrices 10 3.2. Suma de matrices 10 3.3. Producto de un número real por una matriz 11 3.4. Multiplicación de matrices 12 3.5. Matriz transpuesta 14 3.6. Potenciación de una matriz 15 3.7. Polinomio de matrices 16 3.8. Suma de elementos 17 3.9. El determinante de una matriz cuadrada 18 3.10. Matriz inversa 20 Solución al problema introductorio del capítulo 23 Ejercicios 26 Problemas resueltos 33 Problemas propuestos 54

4. Otras matrices especiales 63 5.1. Matriz ortogonal 63 5.2. Matriz periódica−k 63 5.3. Matriz idempotente 63 5.4. Matriz nilpotente−p 63 5.5. Matriz involutiva 64 Ejercicios 64

5. Matrices particionadas 66 5.1. Adición y multiplicación de matrices particionadas 66 5.2. Determinantes de matrices particionadas 69 5.3. Inversa de matrices particionadas 72 5.4. Producto de Kronecker 76 Ejercicios 77

6. Análisis de Insumo−Producto 79 Problemas resueltos 84 Problemas propuestos 96

3

Capítulo II: ESPACIOS VECTORIALES 99 1. Geometría de matrices 100

1.1. Definición de un vector 100 1.2. Componentes de un vector 100 1.3. Suma de vectores y multiplicación de un escalar con un

vector 101 1.4. Vectores ortogonales 101 1.5. Vector unitario 102

2. Espacio vectorial 103 3. Combinación lineal 104 4. Dependencia e independencia lineal 106 5. Sistema generador 108 6. Bases vectoriales 109 7. Dimensión de un espacio vectorial 110 8. Subespacios 110 9. Interpretación geométrica del determinante 112

9.1. Interpretación geométrica del determinante de una matriz de orden 2 112

9.2. Interpretación geométrica del determinante de una matriz de orden 3 113

10. Rango 113 Ejercicios 118

11. Regresión mínimo cuadrática 128 Solución al problema introductorio del capítulo 135 Problemas resueltos 138 Problemas propuestos 168

Capítulo III: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 171

1. Disposición matricial de un sistema de ecuaciones lineales 172

2. Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales de acuerdo a su solución 173 2.1. Sistema incompatible 173 2.2. Sistema compatible determinado 173 2.3. Sistema compatible indeterminado 173

3. Geometría de un sistema de ecuaciones lineales 174 3.1. Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 174 3.2. Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas 176

4. Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales de acuerdo al vector b 179 4.1. Sistema de ecuaciones homogéneo 179 4.2. Sistema de ecuaciones no homogéneo 180

5. Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales 180 5.1. Método de la matriz inversa 180 5.2. Método de Cramer 181 5.3. Método de eliminación de Gauss−Jordan 183 Ejercicios 186

6. Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones homogéneo 187 Solución al problema introductorio del capítulo 188 Ejercicios 191

4

Problemas resueltos 208 Problemas propuestos 262

Capítulo IV: AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 267

1. Introducción 268 2. Autovalores y autovectores 268 3. Matrices semejantes 280 4. Diagonalización 281 5. Matrices simétricas y diagonalización ortogonal 287

Solución al problema introductorio del capítulo 295 Ejercicios 297 Problemas resueltos 311 Problemas propuestos 315

Capítulo V: FORMAS CUADRÁTICAS 319

1. Introducción 320 2. Formas cuadráticas 320 3. Clasificación de las formas cuadráticas 323

3.1. Definida positiva 323 3.2. Definida negativa 323 3.3. Semidefinida positiva 324 3.4. Semidefinida negativa 324 3.5. Indefinida o no definida 325

4. Método de estudio del signo de la forma cuadrática 325 4.1. Método de los autovalores 325 4.2. Método de los menores principales dominantes 328

5. Formas cuadráticas reales con restricciones 332 Solución al problema introductorio del capítulo 336 Ejercicios 338

Capítulo VI: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA 349

1. Introducción 350 2. Conceptos básicos 351

2.1. Vector gradiente 351 2.2. Matriz jacobiana 352 2.3. Matriz hessiana 353 2.4. Definiciones de mínimos y máximos 353 Ejercicios 354

3. Optimización libre 357 Problemas resueltos 363 Problemas propuestos 396

4. Optimización restringida 404 Ejercicios 405 Solución al problema introductorio del capítulo 407 Problemas resueltos 409 Problemas propuestos 437

Referencias bibliográficas 447

5

Prólogo

El presente trabajo es resultado de la experiencia docente en Álgebra lineal de los autores, en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Piura, durante los últimos años. En este manual se han recopilado y seleccionado ejercicios y problemas del material bibliográfico consultado para la elaboración de estos apuntes. Asimismo, se han desarrollado ejercicios y problemas prácticos con un enfoque económico−empresarial para el dictado de la primera parte de la asignatura de Matemáticas Empresariales, que se imparte a alumnos de los Programas Académicos de Economía, Administración de Empresas y Contabilidad en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la casa de estudios antes mencionada. El objetivo de estos apuntes es proporcionar conceptos y desarrollar habilidades en el alumno que le permitan dominar las herramientas que proporciona el álgebra lineal. Para ello, se ha buscado dar a este libro un enfoque intuitivo, ilustrativo y analítico, mostrando en algunos casos resultados de manera no formal, pero cuidando no comprometer el contenido y el rigor matemático. Motivados por el hecho que esta rama de la matemática se estudia en numerosas disciplinas, y que gracias a la invención de las computadoras de alta velocidad se han incrementado las aplicaciones matemáticas de álgebra lineal en áreas no técnicas, hemos desarrollado este trabajo con la esperanza que sea de gran utilidad para estudiantes universitarios de primer año de las carreras de Economía, Administración de Empresas, Contabilidad, así como también de Ingeniería. Cada capítulo del libro empieza enunciando de manera clara y precisa definiciones, principios y teoremas pertinentes, junto con ejemplos y otro material descriptivo. A esto, le siguen colecciones graduadas de problemas resueltos y problemas propuestos. Los problemas resueltos, buscan ampliar e ilustrar la teoría con puntos sutiles que permitan al estudiante asimilar las nociones básicas. Los problemas propuestos, revisan el material completo de cada capítulo buscando la aplicación matemática afín a cada carrera. Ambos tipos de problemas son necesarios para un aprendizaje efectivo del alumno. Este libro está constituido por seis capítulos, en el primero de ellos se estudia las diversas operaciones básicas que se pueden efectuar con matrices. El segundo capítulo se ocupa del estudio de espacios vectoriales. En el tercer capítulo se revisan sistemas de ecuaciones lineales. En el cuarto capítulo se analizan los denominados autovalores y autovectores. En el capítulo cinco realizamos un detallado estudio de las formas cuadráticas. En el capítulo final se abordan las técnicas para resolver problemas de optimización libre y restringida.

Los Autores

Capítulo I

Operaciones con matrices

En los últimos tres años, cuatro niños exploradores, Rosita, Carolina, Carla y Sergio, han tenido como misión recolectar fondos para apoyar un asilo. Con este objetivo en mente, cada año compraron chocolates. Los adquirieron de tres tipos: blanco, amargo y semiamargo. Cada caja contiene 20 chocolates. Los venden por piezas y los tres últimos años vendieron todos. A continuación se resume la información para el primer año:

En esta tabla se muestra el número de cajas que cada uno compró.

Cajas de chocolate Blanco Amargo Semiamargo Rosita 6 15 9 Carolina 13 10 7 Carla 10 10 10 Sergio 5 12 13

En esta otra se muestra el precio por caja y el precio al que vendieron cada tipo de chocolate:

Tipo de chocolate Precio por caja ($) Precio de venta por

pieza ($) Blanco 50 4 Amargo 30 3 Semiamargo 40 3

Con base en esta información, determine: a. ¿Quién hizo la menor inversión? b. ¿Quién obtuvo mayor beneficio el primer año? c. El segundo y el tercer año compraron las mismas cantidades de cajas de

chocolates, pero el precio por caja para el segundo año fue 10% mayor que el del primer año, mientras que en el tercer año fue de 65, 45 y 40, para el chocolate blanco, amargo y semiamargo, respectivamente. Además, ellos conservaron los precios de venta del primer año. Responda a las dos preguntas anteriores para el segundo y tercer año.

TEMARIO

1. DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ 2. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES 3. OPERACIONES CON MATRICES 4. OTRAS MATRICES ESPECIALES 5. MATRICES PARTICIONADAS 6. ANÁLISIS DE INSUMO−PRODUCTO

OPERACIONES CON MATRICES

2

1. Definición de una matriz Conjunto de elementos, ya sean números o caracteres, agrupados en m filas y en n columnas.

Veamos una tabla donde nos interesa trabajar con los datos que ella contiene:

Año

Consumo (miles de

millones de dólares)

PBI (miles de millones de dólares)

Deflactor del PBI

Tasa de descuento

1972 737.1 1 185.9 1.0000 4.50 1973 812.0 1 326.4 1.0575 6.44 1974 808.1 1 434.2 1.1508 7.83 1975 976.4 1 549.2 1.2579 6.25 1976 1 084.3 1 718.0 1.3234 5.50 1977 1 204.4 1 918.3 1.4005 5.46 1978 1 346.5 2 163.9 1.5042 7.46 1979 1 507.2 2 417.8 1.6342 10.28 1980 1 667.2 2 633.1 1.7864 11.77

Como podemos observar esta tabla contiene 10 filas y 5 columnas, donde la primera fila describe la correspondencia que existe entre los elementos de cada columna (Carácter informativo).

Todos los datos que nos interesan los podemos representar como una matriz de la siguiente forma:

=

77.117864.11.26332.166728.106342.18.24172.150746.75042.19.21635.134646.54005.13.19184.120450.53234.10.17183.108425.62579.12.15494.97683.71508.12.14341.80844.60575.14.13260.81250.40000.19.11851.737

198019791978197719761975197419731972

A

Simbología de una matriz:

Una matriz se representa con una letra mayúscula, como en el ejemplo, y si se quiere representar la matriz en forma total sin necesidad de escribir todos los elementos se representa de la siguiente forma: mxnA . Donde m indica la

cantidad de filas y n el número de columnas de la matriz. A los subíndices de esta representación se les llama dimensión u orden de la matriz. La matriz anterior se representa de la siguiente manera: 59×A .


3

Si nos interesa algún elemento de la matriz entonces, éste se representa con una letra igual a la letra de la matriz a la que pertenece, pero con minúscula y con subíndices la fila y la columna a la cual pertenece dicho elemento ija que

estará situado en la intersección de la fila i y la columna j.

Ejemplo:

Si de la matriz anterior nos interesa el dato del deflactor del producto bruto interno en el año 1977, entonces lo representamos de la siguiente forma

4005.164 =a .

Información que puede contener una matriz

Resultado de una encuesta realizada a m individuos sobre n preguntas. Una tecnología lineal que emplea m factores en n procesos productivos. Los coeficientes de las incógnitas de un modelo lineal de m ecuaciones y n

incógnitas. Una aplicación lineal de nR en nR . Una base de datos. Etc.

Problema:

Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1, 1.5, 2 y 2.5 cm. con los precios respectivos siguientes:

Clavos A: 0.20 0.30 0.40 0.50 Euros Clavos Q: 0.30 0.45 0.60 0.75 Euros.Clavos H: 0.40 0.60 0.80 1.00 Euros.

Presentar la información en una matriz 4×3 que recoja los precios.

Solución: Precios Tamaño Clavos A Clavos Q Clavos H

1 0.20 0.30 0.40 1.5 0.30 0.45 0.60 2 0.40 0.60 0.80

2.5 0.50 0.75 1.00

=

00.180.060.040.0

75.060.045.030.0

50.040.030.020.0

M

Respuesta: En la matriz M se observa que cada fila representa el tamaño del clavo, mientras que cada columna representa el tipo de clavo, y sus elementos son sus precios correspondientes.


4

Ejercicios 1. Dadas las siguientes matrices:

−−−−=

410421321

A

−=

32101

B

−

=

21001032

C

=

321 π

D

( )5341=E

−−−−

=41002121023432101

F

=

baacbaba

G

=

1000110011101111

H

−

=

413

211

10

L

−−

−−−=

2103752313

M

jijiN , 2n /M ij22 ∀+=∈ ×

I. ¿Cuál es la dimensión de las siguientes matrices?

a) 33×⇒A b) B

c) E d) G

e) M f) L

II. ¿Cuál es el elemento?

a) 132 =a

b) 51b

c) 32c

d) 15l

e) 24g f) 23d

III. Construya la Matriz N.

( ) ( )( ) ( )

=

++++

=

=

6453

222122221121

2221

1211nnnn

N

2. Construya una matriz

= ijaA , si A es de 43× y jiaij 32 += .

3. Escribir la matriz 32×

= ijaA , donde ( ) ji

ija +−= 1 .


5

4. Hallar A, B y C, si:

=+≠

=

=

+<+≥

=

=

>=−<

=

=

×

×

×

jijji

ccC

jiji

bbB

jiijiji

aaA

ijij

ijij

ijij

si 7 si 5

:que tal

2 si 12 si 0

:que tal

si si 1 si 0

:que tal

26

34

55

2. Tipos especiales de matrices 2.1. Matriz nula.- Todos sus elementos son cero, aij = 0 , ∀ i, j.

Ejemplo:

=

000000000

B

2.2. Matriz vector.- Conjunto ordenado de elementos dispuestos o en una fila o

en una columna.

a) Vector fila: Matriz de una sola fila.

Ejemplo: [ ]8251 −=A

b) Vector columna: Matriz de una sola columna.

Ejemplo:

−=

7530

B

2.3. Matriz cuadrada.- Matriz que tiene el número de filas igual al número de

columnas.

Ejemplo:

−

=8032

C

−

=283/45

D

Características de una matriz cuadrada:

Si tenemos una matriz cuadrada A, donde:

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

L

MOMM

L

L

21

22221

11211


6

Entonces podemos hablar de la diagonal principal formada por los elementos { }nnaaa ,,, 2211 K .

La suma de los elementos de la diagonal principal recibe el nombre de Traza.

( ) ∑=

=n

iiiaATraza

1

Una matriz cuadrada nnA × también se puede representar como nA .

2.4. Matriz diagonal.- Es una matriz cuadrada, cuyos elementos son todos

iguales a cero excepto los que pertenecen a la diagonal principal.

Ejemplo:

=

800040002

P

También se puede representar de la siguiente manera: Diagonal ( )8,4,2 . 2.5. Matriz escalar.- Es una matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal

principal son todos iguales.

Ejemplo:

=

2002

Q

2.6. Matriz identidad.- Es una matriz diagonal muy útil, cuyos elementos de la

diagonal principal son iguales a la unidad.

Ejemplo:

=

100010001

I

La matriz identidad en la multiplicación de matrices es semejante al 1 de los números reales. Es decir, representa el elemento neutro en la multiplicación.

También se le conoce como Delta de Kronecker:

=≠

=jiji

ij 10

δ

2.7. Matriz triangular superior.- Es una matriz cuadrada, cuyos elementos que

se encuentran debajo de la diagonal principal son iguales a cero.

0=ijA si i > j

Ejemplo:

=

800240032

B


7

2.8. Matriz triangular inferior.- Es una matriz cuadrada, cuyos elementos que se encuentran encima de la diagonal principal son iguales a cero.

0=ijA si i < j

Ejemplo:

=

802053004

C

2.9. Matriz simétrica.- Es una matriz cuadrada, donde los elementos simétricos

(imágenes especulares respecto a la diagonal) son iguales, es decir cada

jiij aa = .

Ejemplo:

=

878723831

E

2.10. Matriz antisimétrica.- Es una matriz cuadrada que cumple con jiij aa −= .

Ejemplo:

−−

−−−

=

0703701201043240

F

2.11. Matriz rectangular.- Es una matriz donde el número de filas no coincide

con el número de columnas.

Ejemplo:

−−=

10408392752

G


8

Ejercicios 1. Escribir una matriz:

a) Cuadrada de orden 3.

−−=

5048732491

S

b) Triangular inferior de orden 4.

c) Simétrica de orden 3. 2. Sean :

=

6007

A ,

−=

3100020001

B ,

=

000000000

C y

−=

600040102

D

a) ¿Cuáles son matrices diagonales? Sólo la matriz A.

b) ¿Cuáles son matrices triangulares? 3. ¿Cuál(es) de las matrices:

=

0111

A

=

0101

B

=

1101

C

=

0011

D

=

0110

E

=

2001

F

=

3003

G

=

1110

H

a) ¿Es triangular superior?

b) ¿Es triangular inferior?

c) ¿Es diagonal? d) ¿Es escalar?

e) ¿Es ninguna de las anteriores?


9

4. Si B es una matriz antisimétrica cuyos elementos de la diagonal principal son

ceros y que cumple:

−

−=

40042B . Hallar los elementos de la matriz B.

Solución:

Matriz antisimétrica cuya diagonal son ceros y de orden 2:

−=

00a

aB

Nos indican que

−

−=

40042B , entonces:

−

−=

−−=

−=

−×

−=

4004

00

00

00

00

2

222

aa

aa

aa

aa

B

Obtenemos: 242 ±=⇒−=− aa .

Respuesta:

Si 2=a ⇒

−=

0220

B , y si 2−=a ⇒

−

=0220

B .

5. Calcule )()( ATrazayADiagonal para

=

825523741

A .

6. ¿Para qué valores de a , es

−−++

−−

143421

312

2

aaa

aa simétrica?

Solución:

112 +=− aa Λ aa 442 =+

12 −=∨= aa Λ 2=a ⇒ 2=a . 7. Calcule x e y para que la matriz B sea antisimétrica:

+−=

0140120

2

xyxx

xB .

Solución:


10

+−=

0140120

2

xyxx

xB

Como es antisimétrica debe cumplir: jiij bb −=

2112 bb −=

22 xx −= → 022 =+ xx

0)2( =+xx

−==

20

xx

3113 bb −=

)1(1 +−= y )1(1 +−= y → 211 −=→−−= yy

3223 bb −=

0034 =→=−→−=− xxxx Entonces, tenemos que: { } { }02,0: ∩−x 20 −=∧= yx

3. Operaciones con matrices

3.1. Igualdad de matrices.- Las matrices A y B son iguales, si y sólo si tienen la misma dimensión y cada elemento de A es igual al correspondiente de B.

A = B si y sólo si ijij ba = para todo i, j.

Ejemplo 1:

Hallar a + b + c si:

−=

832

32 c

ba

Solución:

De acuerdo a la definición c = 2, a = −2 y b = 8.

Respuesta: Por lo tanto a + b + c = 8. Ejemplo 2:

Encuentre a + b si:

+

=

+)3/(5

59755)2/(

baba

Solución:

De acuerdo a la definición se debe cumplir lo siguiente:

92

=+ ba

y 3

7b

a +=


11

Desarrollando este sistema de ecuaciones obtenemos: 524=a y 533=b

Respuesta: En consecuencia, 557=+ ba . 3.2. Suma de matrices.- Las matrices se pueden sumar, si y sólo si tienen la

misma dimensión y el resultado se obtiene sumando los elementos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

=

+++−+

=

−+

5351

142123)1(2

1221

4132

Problema:

Una empresa tiene tres librerías, y cada una de ellas tiene libros de ficción, de viajes y de deportes. Las cantidades de libros se tabulan como sigue:

Librería Ficción Viajes Deportes 1 300 300 100 2 300 100 240 3 50 150 200

Suponga que las entregas a cada librería están representadas por D. Calcule las existencias actualizadas.

=

304060304060204060

D

Solución:

Se crea una matriz con la cantidad de libros que tiene cada librería:

=

20015050240100300100300300

E

La entrega a las librerías viene dada por:

=

304060304060204060

D

Entonces, las nuevas cantidades de libros en cada librería son:

=

+

230190110270140360120340360

304060304060204060

20015050240100300100300300


12

Respuesta: Esto quiere decir que, si hacemos un inventario en las tiendas debemos encontrar lo siguiente:

• En la librería 1: 360 libros de ficción, 340 libros de viajes y 120 libros de deportes.



3.3. Producto de un número real por una matriz.- (Multiplicación por un

Escalar) El producto de un número real k por una matriz nmA × es una matriz

que resulta de multiplicar el escalar por cada uno de elementos de la matriz.

Ejemplo: 2

−

=

− 216

081804

Problema:

Suponga que las distancias, en millas, entre Annapolis, Baltimore y Wahington, D.C., se expresan como sigue:

Annapolis Baltimore Washington Annapolis 0 30 25 Baltimore 30 0 18 Washington 25 18 0

Si deseamos trazar un mapa cuya escala sea tal que 1 pulgada en el papel corresponda a 5 millas de distancia real, ¿Cuál es la matriz de las distancias del mapa?

Solución:

Nuestros datos los podemos expresar en una matriz:

=

018251803025300

A

Como deseamos tener las distancias en pulgadas lo que debemos tener presente que cada milla en el papel representará 5

1 de una pulgada. Por

lo tanto, la matriz que nos representa las distancias entre ciudades en pulgadas es:

=

=

06.356.306

560

018251803025300

51

B

Respuesta: Esto quiere decir que la distancia entre Annapolis y Baltimore será de 6 pulgadas en el papel, entre Annapolis y Washington será de 5 pulgadas y entre Baltimore y Washignton será de 3.6 pulgadas en el papel.


13

3.4. Multiplicación de matrices.- Dos matrices sólo se pueden multiplicar si son

multiplicativamente conformes, y esto se verifica cuando el número de columnas del multiplicando coincide con el número de filas del multiplicador.

pmpnnm CBA ××× =×

Cuando se multiplican 2 matrices, el elemento ijc de la matriz producto, es

el producto del i−ésimo vector fila de la primera matriz con el j−ésimo vector columna de la segunda (Producto interior).

=

==×

∑∑

∑∑

==

==

×××× n

jjpmj

n

jjmj

n

jjpj

n

jjj

pmjipmpnnm

baba

baba

cCBA

111

11

111

L

MOM

L

Ejemplo:

Sea

−

=154231

A y

=

506142

B . Hallar BA× y AB× .

Solución:

=

−++−++

++++=×

××× 4113

325)5)(1()6(5)4(4)0)(1()1(5)2(4

)5(2)6(3)4(1)0(2)1(3)2(1

222332 BA

−−=

−+++−+++−+++

=×

×

××525204332502618

)1(5)2(0)5(5)3(0)4(5)1(0)1(6)2(1)5(6)3(1)4(6)1(1)1(4)2(2)5(4)3(2)4(4)1(2

33

3223 AB

Se puede observar que la propiedad conmutativa no se da en la multiplicación de matrices ( BA× ≠ AB× ), es por eso que definimos la premultiplicación y la postmultiplicación. En el producto BA× , B está premultiplicando por A, mientras que A está postmultiplicado por B, y en el producto AB× , A está premultiplicado por B, mientras que B está postmultiplicado por A.

Propiedades de la multiplicación matricial:

a)

××=×

× ×××××× qppnnmqppnnm CBACBA : Asociativa.


14

b)

×+×=×

+

×+×=

+×

×××××××

×××××××

qppnqppnqppnpn

pnnmpnnmpnpnnm

ACABACB

CABACBA

: Distributiva.

c)

×=×

=

× ×××××× qppnqppnqppn CaBCBaCBa

d) AIAAI =×=× (A es una matriz cuadrada): Identidad multiplicativa.

e) 000 =×=× AA (A y 0 son matrices cuadradas).

Capítulo II

Espacios Vectoriales

Observe los datos de población para Estados Unidos en la década de 1800 a 1900.

AÑO 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900POBLACIÓN (MILLONES) 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.2

Visualice que el crecimiento de la población es exponencial. Esa relación que existe

entre x(años) y P(población) se representa mediante kxAeP = para algunas constantes

A y k. Usando las propiedades de los logaritmos, se obtiene que ( ) ( ) kxALnPLn += .

Observe que ( )PLn tiene una relación lineal.

Así, si se espera una relación exponencial se expresan los datos (x, P) en términos de los

datos ( )( )PLnx, y se encuentra una solución de mínimos cuadrados para reexpresar los

datos. Esto conduce a ( ) bmxPLn += y, por lo tanto, bmxeP += es el ajuste

exponencial.

a. Encuentre la recta de ajuste de mínimos cuadrados para los datos x e ( )PLny = . ¿El

crecimiento de la población ser exponencial?

b. Suponiendo que la población continúa creciendo a la misma tasa, utilice la solución

de mínimos cuadrados para predecir la población en 1950.

TEMARIO 1. GEOMETRÍA DE MATRICES

2. ESPACIO VECTORIAL 3. COMBINACIÓN LINEAL 4. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL 5. SISTEMA GENERADOR 6. BASES VECTORIALES 7. DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL 8. SUBESPACIOS 9. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL DETERMINANTE

10. RANGO 11. REGRESIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA

ESPACIOS VECTORIALES

100

1. Geometría de matrices En esta parte del curso recordaremos conceptos de vectores, suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar. 1.1. Definición de vector.- Designamos como vector, aquel elemento

matemático, indicado por un segmento de recta orientado, y que nos permite representar gráficamente a una magnitud vectorial.

Los vectores se pueden representar en coordenadas o en forma matricial a través de vectores filas o columnas, siendo esta última la que utilizaremos.

Vectores del Espacio Coordenadas Matriz (Vector columna)

R2 (x1, x2)

2

1xx

R3 (x1, x2, x3)

3

2

1

xxx

R4 (x1, x2, x3, x4)

4

3

2

1

xxxx

M M M

Rn (x1, x2, x3, x4, …xn)

nx

xxx

M3

2

1

1.2. Componentes de un vector.- Recordemos como está compuesto un vector:

• Origen: Es el punto donde se aplica el vector. • Dirección: Es la recta que contiene al vector. En el plano se define por el

ángulo medido en sentido antihorario desde el semieje positivo de las x. • Sentido: Nos indica hacia donde se dirige (orientación). • Módulo, norma, intensidad, magnitud o longitud: viene a ser el valor o

medida de la magnitud vectorial representada.

Sea un vector de Rn:

=x

nx

xxx

M3

2

1


101

Entonces su magnitud será:

∑=

=++++=×=n

iin

txxxxxxxx

1

2223

22

21 L .

1.3. Suma de vectores y multiplicación de un escalar con un vector.-

Recordemos con el ejemplo siguiente lo que es la suma de vectores y la multiplicación de un escalar con un vector.

Ejemplo: Si tenemos los siguientes vectores ( )2,1=a y ( )1,2=b , entonces

hallar ba + , a2 , ( )a21− .

Solución:

( ) ( )3,312,21 =++==+ cba

( ) ( )4,22,122* === aa

( ) ( )( ) ( )1,2,121

21

21** −−=−=−= aa

En la gráfica se observa los resultados de estas operaciones con vectores.

**a

1 2

-1

-1

1

2

3

3

4

a

b

c

*a

1.4. Vectores ortogonales.- Dos vectores a y b son ortogonales, lo que

escribiremos a ⊥ b , si y sólo si 0=×=× abbatt

.

Ejemplo: identificar si los siguientes vectores son ortogonales. a) ( )0,4 y ( )3,0 . b) ( )0,2,3 y ( )6,0,0 .

Solución:

a) Usaremos matrices columnas:

=

04

a y

=

30

b ⇒ [ ] 030

04 =

×=× ba

t entonces a y b

son vectores ortogonales.


102

b) Usaremos matrices columnas:

=

023

a y

=

600

b ⇒ [ ] 0600

023 =

×=× ba

t entonces a y b

son vectores ortogonales.

Representación de vectores ortogonales en el espacio R2 y R3.

1.5. Vector unitario u .- Es aquel vector que tiene un módulo igual a la unidad

y cumple que 1=× uut

.

Normalizar.- Es transformar un vector cualquiera a su vector unitario, esto se puede conseguir de la siguiente manera:

Sea a un vector de Rn:

=

na

aa

aM2

1

y a su norma, entonces lo transformamos en vector unitario

cuando:

=

=

aa

aa

aa

aa

a

n

u M2

11 .

Ejemplo: Normalizar el vector ( )4,4=a .

Solución:

Primero hallamos su norma: 2444 22 =+=a

Ahora efectuamos:

=

=

2121

2442441 a

a


103

1 2 3 4 5 6

123456

7

7

2. Espacio vectorial Es un conjunto de vectores que está definido bajo la suma y la multiplicación escalar.

Ejemplos:

Espacio R2, si sumamos dos vectores del espacio R2, es decir:

++

=

+

dbca

dc

ba

, entonces obtenemos otro vector en R2, si multiplicamos un

escalar k a un vector de R2 , es decir:

=

kbka

ba

k , se obtiene otro vector que pertenece a R2.

En general, el conjunto de vectores de n elementos reales, es un espacio vectorial de n dimensiones, designado por Rn.

Otros ejemplos de espacios vectoriales son el Espacio de matrices nmM × , el

espacio de polinomios )(tP , el espacio de Funciones )(xF .

Propiedades de los espacios vectoriales:

1. Rkk ∈∀=⋅ 00 .

2. Vvv ∈∀=⋅ 00 .

3. ( ) ( ) ( )vkvkvk ⋅−=⋅−=−⋅ .

4. 0o00 ==⇒=⋅ vkvkSi .

Los espacios R2 y R3 son ejemplos de espacios vectoriales que se pueden representar.


104

2R :

**a

a

b

c

*a

3R :

1

2

3

5

xy

z

a

12

31

23

5

4

4

4

3. Combinación lineal

Un vector v es combinación lineal de los vectores { }nvvv ...,,, 21 si es el

resultado de sumar los productos de dichos vectores por escalares nkkk ...,,, 21 :

∑=

⋅=⋅++⋅+⋅=n

iiinn vkvkvkvkv

12211 ...

Ejemplos:

1. En R3, el vector

−

777

es una combinación lineal de los vectores

−

−

135

421

y ya que: ( )

−−+

−=

−

135

1421

2777

.


105

2. En 32×M , la matriz

−−

391823

es una combinación lineal de

−511401

y

−−−

632210

ya que:

−−−

+

−=

−−

632210

2511401

3391823

.

3. Dados los vectores de R3:

−

−

−

235

,131

,011

exprese cada uno de ellos

como una combinación lineal de los otros dos.

4. Calcule el valor de a para que el vector

032

sea una combinación lineal de

los vectores

110

,01a

.

a

b

f

*ad

c

e

1−


106

4. Dependencia e independencia lineal

Los vectores { }nvvv ...,,, 21 son linealmente independientes (l.i) si ninguno de

ellos es combinación lineal de los demás. Son linealmente dependientes (l.d) si al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás.

Un conjunto de vectores { }nvvv ...,,, 21 que genera con unicidad el vector cero

se denomina conjunto linealmente independiente. De no ser así ese conjunto de vectores es linealmente dependiente.

• Independencia lineal significa:

01

=⋅∑=

n

iii vk implica que iki ∀= 0

• Dependencia lineal significa:

01

=⋅∑=

n

iii vk pero no todo 0=ik

Interpretación geométrica:

1a2a

Los vectores 1a y 2a son linealmente dependientes

1a

2a

Los vectores 1a y 2a son linealmente independientes


107

x

y

z

1a2a

3a

Los vectores 1a , 2a , y 3a son linealmente dependientes

x

y

z1a

3a

2a

Los vectores 1a , 2a , y 3a son linealmente independientes

Ejemplos:

1. Determine si los vectores

−

−

710

022

,321

y son linealmente dependientes o

independientes.

Solución:

Supongamos que

=

+

−+

−

000

710

022

321

321 kkk de lo cual obtenemos las

siguientes ecuaciones:

0703

0122

002

321

321

321

=++

=+−−

=++

kkk

kkk

kkk

Luego de resolver obtenemos 01 =k , 02 =k y 03 =k .


108

De lo cual se concluye que por ser la única solución, estos vectores generan con unicidad al vector 0 , por lo tanto son linealmente independientes.

2. Determine si los vectores

−

−

126

11

403

,031

y son linealmente independientes

o dependientes.

Solución:

Supongamos que

=

−+

+

−

000

126

11

403

031

321 kkk , de donde obtenemos el

sistema:

01240

0603

0113

321

321

321

=++

=−+−

=++

kkk

kkk

kkk

Desarrollando el sistema se obtiene lo siguiente:

03

02

32

31=+

=+

kk

kk, de lo que concluímos que existen infinidad de soluciones, por lo

tanto partimos de un valor, si 13 =k , entonces 32 −=k y 21 −=k , de manera

que puede verificarse,

=

−+

−

−−

000

126

111

403

3031

2 , por lo tanto los

vectores son linealmente dependientes.

5. Sistema generador

Es un conjunto de vectores { }svvv ...,,, 21 de un espacio vectorial V, tales que

todo vector de V sea combinación lineal de ellos. Es decir:

∑=

⋅=⋅++⋅+⋅=s

iiiss vkvkvkvkv

12211 ...

Ejemplo:

El siguiente conjunto de vectores

23

,51

,42

es un sistema generador del

espacio R2, porque genera cualquier vector de R2 como una combinación lineal de

ellos, por ejemplo el vector

14

de R2, se escribe como una combinación lineal de


109

ese conjunto. Es decir, ( )

=

+

−+

14

23

151

142

1 y así con cualquier vector de

R2.

6. Bases vectoriales Es un conjunto de vectores que además de ser sistema generador de V son linealmente independientes.

Una base para un espacio vectorial de n dimensiones es cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en ese espacio.

Ejemplos:

a)

−

101

,432

no son base de R3,

porque se necesita tres vectores linealmente independientes del espacio R3.

b)

−

−

34

,11

,21

no son base

de R3 porque no son vectores del espacio R3.

c)

−

−

− 3290

,073

,152

no son

base porque a pesar que los tres vectores son de R3 no generan con unicidad al vector cero.

d)

−

−

−

12

,256

,573

no son

base de R3, porque hay un vector del espacio R2.

e)

−

−

111

,111

,111

si son una

base del espacio R3 porque generan con unicidad el vector cero.

Nota: Se llaman bases canónicas de un espacio Rn a un conjunto de vectores de la forma siguiente:

=

=

=

=

1

000

,,

0

100

,

0

010

,

0

001

321M

L

MMMneeee

Ejemplo: Las bases canónicas de R2 son:

=

=

10

01

21 eye


110

7. Dimensión de un espacio vectorial Sea el espacio vectorial V de dimensión finita y que posee una base

{ }nvvvv ,,,, 321 L , entonces la dimensión del espacio vectorial V es el número n

lo cual denotamos por dim V = n (donde n es el número de vectores que constituyen una de las bases de V).

Observaciones:

• Si V tiene como único elemento el vector nulo, entonces la dimensión de V es

cero, es decir, dim { }0 = 0.

• Si V tiene una base infinita, la dimensión de V se denota por dim V = ∞ .

Ejemplo: Una base de R4 es ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1 entonces su dimensión es dim R4 = 4.

8. Subespacios Un subespacio vectorial S de un espacio vectorial V es un subconjunto de V que tiene estructura de espacio vectorial.

Ejemplos:

43

21

12

34

5

1

2

3

4

5

0=z

1e2e

3e

( )0,0,1

( )2,0,0

( )0,2,0

( )0,2,1

x y

z

xy 2=

En los dibujos tenemos los subespacios: z = 0, x = 0, y = 0, y = 2x.

0

0=y

0=x

x y

Z

x

Z

y


111

Ejemplos:

1) Encuentre las ecuaciones del subespacio vectorial formado por los vectores linealmente independientes ( ) ( )3,0,1y1,0,1 21 −=−= vv .

Solución:

=

−+

− zyx

kk301

101

21

Obteniendo la siguiente ecuación del subespacio y = 0.

2) Encuentre las ecuaciones del subespacio vectorial formado por los vectores linealmente independientes ( ) ( )0,2,1y2,0,0 21 == vv .

Solución:

=

+

zyx

kk021

200

21

De lo que se obtiene lo siguiente:

zk

xk

yk

=

=

=

1

2

2

2

2

Siendo la ecuación del subespacio 2x = y.

3) Encuentre las ecuaciones del subespacio vectorial formado por los vectores

linealmente independientes ( ) ( ) ( )1,0,1,0y2,1,1,1;1,1,0,1 321 =−=−= vvv .

Solución:

=

+

−

+

− wzyx

kkk

1010

2111

1101

321

De lo que obtengo lo siguiente:

wkkk

zkk

ykk

xkk

=++−

=+

=+

=−

321

21

32

21

2

Siendo la ecuación del subespacio 0=−+− wyx .


112

4) Encuentre las ecuaciones del subespacio vectorial formado por los vectores linealmente independientes ( ) ( )0,1,2y1,1,1 21 =−= vv .

Nota: El espacio generado por un conjunto de vectores en Rk tiene como máximo k dimensiones. Si este espacio tiene menos de k dimensiones, es un subespacio, o hiperplano. La idea fundamental es que cada conjunto de vectores genera algún espacio; puede ser el espacio entero en el cual residen los vectores, o puede ser algún subespacio de él.

9. Interpretación geométrica del determinante Si las filas (o columnas) de una matriz cuadrada se interpretan como vectores de Rn y el determinante es no nulo entonces dichos vectores son linealmente independientes.

9.1. Interpretación geométrica del determinante de una matriz de orden 2.-

Sean los vectores de R2:

=

=

32

14

bya , ahora con ellos formamos una

matriz

=

=

3124

baA .

( )2111,aa

( )2221,aa

2221

1211

aaaa

Área ±=

R2212 aa +

22a

11a 2212 aa +

12aP

Q21a

El área del paralelogramo, formado por las columnas de A, puede obtenerse mediante la manipulación de triángulos contenidos en él.

1b 1a

2a

2b

x

y


113

El resultado es ( ) ( ) 102134 =− , siendo este valor el determinante de la matriz A. Si estos vectores fuesen linealmente dependientes, entonces no se obtendría un área, por lo tanto el determinante sería nulo.

9.2. Interpretación geométrica del determinante de una matriz de orden 3.-

Sean 3 vectores de R3 y con ellos formamos una matriz, entonces el volumen (del paralelepípedo) que forman los paralelogramos para los vectores dados, representará el determinante de esa matriz. En el caso que no se forme ningún volumen, es decir que exista al menos una columna que dependa de las otras dos, entonces el determinante será cero ya que no existe volumen.

( )131211 ,, aaa

( )232221 ,, aaa

( )333231 ,, aaa

x

y

z

=±

vectores treslos

con construído

pedoparalelepí

del volumen el

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Este resultado general se cumple también, con dimensiones superiores.

10. Rango Se puede asociar a toda matriz un número muy importante que toma el nombre de rango. Una matriz A de orden m×n tiene n vectores columna, cada uno con m componentes. El mayor número de esos vectores columna de A que forman un conjunto linealmente independiente se llama el rango columna de A y se designa por rc (A). El mayor número de vectores filas que forman un conjunto linealmente independiente se llama rango fila de A y se designa por rf (A).

El rango fila rf (A) y el rango columna rc (A) de una matriz tienen la misma dimensión, por lo tanto hablaremos sólo de rango r (A).

Se utilizará el término rango completo para describir una matriz cuyo rango es igual al número de columnas que contiene.

Se puede caracterizar el rango de una matriz en términos de los menores no nulos de la matriz.

Menor.- Se llama menor de orden k de A al determinante de una submatriz de A que resulta de suprimir todas las filas de A salvo k de ellas y suprimir todas las columnas de A salvo k de ellas.

Aprenderemos a hallar los menores para luego calcular el rango.

Ejemplo: Hallar los menores de la matriz:

=

122024201201

A

Solución:

a) 4 menores de orden 3. Se obtienen suprimiendo una columna.


114

0122242120

;0120240121

;2120220101

;4220420201

==−=−=

b) 18 menores de orden 2. Se obtienen suprimiendo una fila y dos columnas de todas las formas posibles. Dos de ellos son:

22001

= (Se obtiene suprimiendo la tercera fila y la tercera y cuarta

columna).

21210

−= (Se obtiene suprimiendo la segunda fila y la primera y tercera

columna).

c) 12 menores de orden 1. Son los 12 elementos de A.

El rango r(A) de la matriz A es igual al orden de un menor no nulo de A de orden máximo.

Ejemplo:

Analizar si los vectores son linealmente independientes:

a) ( )1,1,1,1 ; ( )0,1,1,1 ; ( )0,0,1,1 . b) ( )3,2,1 − ; ( )1,0,5 ; ( )0,1,4 ; ( )1,1,2 − . c) ( )1,0,1 − ; ( )3,0,1 − . d) ( )0,5,1,3 − ; ( )1,9,2,6 −− ; ( )1,6,1,3 − . e) ( )1,1,0,1 − ; ( )2,1,1,0 ; ( )1,0,1,1− ; ( )1,2,1,3 −− .

Solución:

a) Primero debemos formar una matriz de tal manera que cada vector sea una columna de dicha matriz.

=

001011111111

A ; luego hallamos los menores de orden 1, comenzando por la

parte superior izquierda (Sólo para llevar un orden). 011 ≠= , como este menor de orden 1 es diferente de cero, entonces el

Rango es por lo menos uno.

Hallamos los menores de orden 2, comenzando por la parte superior izquierda,

01111

= ; buscamos algún otro menor de orden 2 que sea diferente de cero;

10111

−= como este menor de orden 2 es diferente de cero, entonces el

Rango es por lo menos dos.


115

Hallamos los menores de orden 3, comenzando por la parte superior

izquierda, 00111111

10111

10111

1011111111

=++−=×+×−×= ,

buscamos algún otro menor de orden 3 que sea diferente de cero;

( ) ( ) 1110100111

10101

10001

1001011111

−=−+−=×+×−×= , como

este menor de orden 3 es diferente de cero, entonces el Rango es por lo menos 3.

Ya no podemos hallar menores de orden mayor que tres, por lo tanto r(A) = 3. Por tanto, en este caso estos tres vectores columna del espacio R4 son linealmente independientes.

b) Primero debemos formar una matriz de tal manera que cada vector sea una

columna de dicha matriz.

−−=

101311022451

A , luego hallamos los menores

de orden 1, comenzando por la parte superior izquierda (Sólo por orden); 011 ≠= , como este menor de orden 1 es diferente de cero, entonces el

Rango es por lo menos uno.


( ) 101000251

=−−=−

, como este menor de orden 2 es diferente de cero,

entonces el Rango es por lo menos dos.


6013102451

=− , como este menor de orden 3 es diferente de cero, entonces

el Rango es por lo menos 3.

Ya no podemos hallar menores de orden mayor que tres, por lo tanto esa matriz es de r(A) = 3. Por tanto, en este caso las tres primeras columnas son vectores linealmente independientes del espacio R3.

c) Primero debemos formar una matriz de tal manera que cada vector sea una

columna de dicha matriz.

−−=

310011

A , luego hallamos los menores de orden

1, comenzando por la parte superior izquierda. 011 ≠= , como este menor de orden 1 es diferente de cero, entonces el Rango es por lo menos uno.

Capítulo III

Sistemas de Ecuaciones Lineales

La compañía constructora Madison se encargará de edificar almacenes, pisos y torres a

base de dos tipos de materiales: hierro y madera. Para la construcción de un almacén se

precisa una unidad de hierro y ninguna de madera, para la construcción de un piso se

precisa de una unidad de cada material y para la de una torre se necesitan 4 unidades de

hierro y una de madera. Conociendo que la compañía sólo dispone de 16 unidades de

hierro y 5 de madera.

a. Determine, utilizando sólo Álgebra Matricial, ¿Cuántos almacenes, pisos y torres se

pueden construir empleando todas las unidades posibles?

b. Si el precio de cada almacén es de 6 u.m, el de cada piso es 2 u.m y el de cada torre

4 u.m. ¿Hay algún plan de producción que cueste 28 u.m.? Si lo hay indicarlo y sino

justifique su respuesta. ¿Qué se puede concluir de los resultados?

TEMARIO 1. DISPOSICIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE

ECUACIONES LINEALES 2. CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES DE ACUERDO A SU SOLUCIÓN 3. GEOMETRÍA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES 4. CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES

LINEALES DE ACUERDO AL VECTOR b 5. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE

ECUACIONES LINEALES 6. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE

ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEO

ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA

172

1. Disposición matricial de un sistema de ecuaciones lineales Partiremos de un sistema de n incógnitas y m ecuaciones, cuya forma es:

mnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

=++++

=++++=++++

L

MMMMOMMMMMM

L

L

332211

22323222121

11313212111

Dando la forma matricial:

mnmmm

n

n

aaaa

aaaaaaaa

L

MOMMM

L

K

321

2232221

1131211

×

nx

xx

M2

1

=

mb

bb

M2

1

bxA =×

Donde:

A : Es la matriz de coeficientes que acompañan a las variables.

x : Es el vector columna de variables.

b : Es el vector columna de términos independientes.

Ejemplo 1: Dar forma matricial al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

( )dYcT

TYbaGGICY

+=−+=

++=

Las variables son Y, C, T.

Solución:

Reordenando el sistema, colocando las variables al lado izquierdo y las constantes al lado derecho nos queda:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) cTCYd

GaTbCYbGITCY

=++−−=++−+=+−+

100

011

Dando forma matricial:

−−

−

100

011

dbb ×

TCY

=

−+

cGaGI

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

173

Ejemplo 2: Dar forma matricial al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

0

0

10

GICYTYY

veYdicIubYaC

d

t

d

++=−=

+++=++=

−

Las variables son Y, C, I.

Solución:

Reordenando el sistema y colocando las variables al lado izquierdo y las constantes al lado derecho, tenemos:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0

10

0

11110001

GICYveYdicICY

ubTaICYb

t=−+−+

+++=+++−=++−

−


−−

−

11110001b

×

ICY

=

++++−

−

o

to

o

GveYdic

ubTa

1 .

2. Clasificación de un sistema de ecuaciones de

acuerdo a su solución

Se puede clasificar en:

2.1. Sistema incompatible.- Si el sistema carece de solución (llamado también sistema inconsistente).

2.2. Sistema compatible determinado.- Si tiene solución única cada variable (llamado sistema consistente determinado).

2.3. Sistema compatible indeterminado.- Si tiene infinitas soluciones (llamado sistema consistente indeterminado).

¿Cómo saber cuándo un sistema puede ser clasificado de acuerdo a los criterios anteriores?

La discusión de la solución del sistema la haremos a través del Teorema de Rouché−Fröbenius.

Pasos a seguir para identificar que tipo de solución tiene el sistema por el teorema de Rouché−Fröbenius:

• Tener el sistema en la forma matricial bxA =× .

• Hallar el número de incógnitas en el sistema: n.

• Analizar el rango de A, ( ) rARango = .

• Analizar el rango de A aumentada en la columna B, '/ rbARango =

.


174

• Condiciones:

1. Si 'rr ≠ : el sistema es incompatible.

2. Si nrr == ' el sistema es compatible determinado.

3. Si nrr <= ' el sistema es compatible indeterminado.

Grado de indeterminación: Nos indica cuántas variables necesitamos como dato para poder encontrar una solución. Se calcula mediante la diferencia entre el número de incógnitas y el rango del sistema. Ejemplo:

1.

=−=−

13227

yxyx

Sistema incompatible

Solución: { }≡∅.

2.

=++=++−=−+

112493243

zyxzyxzyx

Sistema compatible determinado

Solución:

===

321

zyx

.

3.

=++=++=−+

674925242

zyxzyx

zyx Sistema compatible indeterminado

Solución: infinitas soluciones para cada variable.

4.

−=−−=+−−=−

442252

yxzyxzy

Sistema incompatible

Solución: { } ≡∅.

3. Geometría de un sistema de ecuaciones lineales 3.1. Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.- Consideremos el siguiente

sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y:

22221

11211

byaxabyaxa

=+=+


175

Donde 11a , 12a , 21a , 22a , 1b y 2b son números dados. Sabemos que la gráfica de cada una de las ecuaciones es una recta (excepto en los casos extremos 000y000 ≠=+=+ byxyx ). A continuación se presenta una interpretación geométrica de cada una de las posibles soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, a través de ejemplos:

a) Sistema incompatible

Consideremos el siguiente sistema:

=−=−

13227

yxyx

Desarrollando este sistema se obtiene lo siguiente 1314 = , lo cual es falso. Por lo tanto, estamos frente a un sistema que no tiene solución.

Geométricamente:

y

x

En la gráfica se observan dos rectas paralelas y distintas, lo que indica que no hay solución por no tener intersección.

b) Sistema compatible determinado


=+=−

57

yxyx

Desarrollando este sitema se obtiene lo siguiente 6=x y 1−=y . Por lo tanto, estamos frente a un sistema con solución única.

Geométricamente:

( )1,6 −

y

x


176

En la gráfica se observan dos rectas con pendiente diferente. Por lo tanto, se cortan en un punto, lo cual indica que existe una solución única.

c) Sistema compatible indeterminado


=−=−14227

yxyx

Desarrollando este sistema se obtiene 00 = . Esto siempre se cumple, es decir estamos ante dos ecuaciones que son equivalentes. Por lo tanto, tenemos un sistema que tiene infinitas soluciones.

Geométricamente:

y

x

Se puede observar que se tienen dos rectas paralelas que coinciden. Es decir, se tienen un número infinito de puntos de intersección; razón por la cual el sistema tiene infinitas soluciones.

3.2. Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.- Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas x, y y z:

3333231

2232221

1131211

bzayaxa

bzayaxa

bzayaxa

=++

=++

=++

Donde: 11a , 12a , 13a 21a , 22a , 23a , 31a , 32a , 33a , 1b , 2b y 3b son números dados. Sabemos que la gráfica de cada una de las ecuaciones dadas es un plano (excepto en los casos extremos 0000 =++ zyx y

0000 ≠=++ bzyx ). Acontinuación se presenta una interpretación geométrica de cada una de las posibles soluciones de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, a través de ejemplos:

a) Sistema incompatible


−=−−=+−−=−

442252

yxzyxzy


177

Desarrollando este sistema se obtiene lo siguiente 50 = , lo cual es falso. Por lo tanto, estamos frente a un sistema que no tiene solución. Geométricamente: Se observa, en Los gráficos de los tres planos, en vistas diferentes, no tienen intersección común a los tres. Esto muestra con claridad la conclusión obtenida de forma algebraica (el sistema no tiene solución).

Otros casos donde no se tiene solución:

• Al menos dos de los planos son paralelos y distintos.

• Dos planos paralelos, intersecados por el tercero.


178

b) Sistema compatible determinado


=++=++−=−+

112493243

zyxzyxzyx

Desarrollando este sitema se obtiene 1=x , 2=y y 3=z . Por lo tanto, estamos frente a un sistema con solución única.

Geométricamente:

En la gráfica se puede observar como los tres planos se intersectan en un solo punto, razón por la cual el sistema tiene solución única.

c) Sistema compatible indeterminado


=++=++=−+

674925242

zyxzyx

zyx

Desarrollando este sitema se obtiene 00 = , lo cual siempre es verdadero. Es decir, el sistema tiene infinitas soluciones.

Geométricamente:


179

En la figura se observa que los tres planos se intersectan en una misma recta, por lo cual, cada punto de esta recta indica una solución. Es decir, un número infinito de soluciones.

Otros casos donde se obtienen infinitas soluciones son:

• Los tres planos coinciden. Entonces cada punto sobre el plano es un una solución. Así se tiene un número infinito de soluciones.

• Dos de los planos coinciden e intersectan a un tercero en una recta. Es decir cada punto sobre la recta es una solución. Por lo tanto, existe un número infinito de soluciones.

4. Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales de acuerdo al vector b

uur

Se clasifica en:

4.1. Sistema de ecuaciones homogéneo.- Es un sistema de ecuaciones que

adopta la forma A× x = 0 .


180

Ejemplo:

=

×

−

−

000

11558613293

zyx

4.2. Sistema de ecuaciones no homogéneo.- Es un sistema que adopta la forma bxA =× , donde b es un vector no nulo.

Ejemplo:

−=

×

−−

1064

329245131

zyx

5. Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones

lineales 5.1. Método de la matriz inversa.- Se podrá utilizar cuando tengamos un

sistema de n ecuaciones con n incógnitas, y se verifique que el ( ) 0≠ADet (las condiciones anteriores implican que nuestro sistema sea compatible).

Esto es:

xA× = b

xAA ××−1 = bA ×−1

xI × = bA ×−1

x = bA ×−1

Esto significa que para poder hallar el vector columna de variables debemos hallar la inversa de A ( 1−A ) y después debe ser postmultiplicada por el vector columna de términos independientes b .

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de la matriz inversa.

6323

1234242

4321

4321

4321

4321

=−+−−=+−+

=+++=+++

xxxxxxxxxxxxxxxx

Solución:


−=

×

−−−

62

124

1311111313421211

4

3

2

1

xxxx


181

Hallando la inversa de A:

−−−

−−−−

=−

31031181810414851613183163165081

1A

Efectuando 1−A × b :

−

=

−×

−−−

−−−−

=×−

2220

62

124

3103118181041

4851613183163165081

1 bA

De lo que se concluye:

−

=

2220

4

3

2

1

xxxx

5.2. Método de Cramer.- Se podrá utilizar cuando se pueda reducir nuestro

sistema a n ecuaciones con n incógnitas, y se verifique que el ( ) 0≠ADet , (las condiciones anteriores implican que nuestro sistema sea compatible).

Procedimiento:

1º. Hallar el determinante de A: ( )ADet .

2º. Definir la variable a la cual deseamos encontrar su solución.

3º. Crear una matriz, a partir de la matriz A, cambiando la columna de constantes que afecta la variable a determinar, por la columna de los términos independientes.

4º. Hallar el determinante de esa matriz modificada.

5º. Dividir el determinante de la matriz modificada entre el determinante de la matriz A.

nnnnnnn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

=++++

=++++=++++

L

MMMMOMMMMMM

L

L

332211

22323222121

11313212111


nnnnn

n

n

aaaa

aaaaaaaa

L

MOMMM

L

K

321

2232221

1131211

×

nx

xx

M2

1

=

nb

bb

M2

1


182

A× x = b

Para hallar las variables efectuamos el método de Cramer:

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

aab

aabaab

x

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

2

2222

1121

1 = ,

nnnn

n

n

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

aba

abaaba

x

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

1

2221

1111

2 = , …

nnnn

n

n

nnnn

aaa

aaaaaa

baa

baabaa

x

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

21

22221

11211

=

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Cramer.

6323

1234242

4321

4321

4321

4321

=−+−−=+−+

=+++=+++

xxxxxxxxxxxxxxxx

Solución:


−=

×

−−−

62

124

1311111313421211

4

3

2

1

xxxx


183

Resolviendo por Cramer:

0480

131111131342121113161112134121214

1 ==

−−−

−−−−

=x 24896

131111131342121113611123131221241

2 ==

−−−

−−−

=x

24896

131111131342121116111213112421411

3 ==

−−−

−−−

=x 24896

131111131342121163112113

123424211

4 −=−

=

−−−

−−−

=x

5.3. Método de eliminación de Gauss–Jordan.- Es usado para cualquier tipo de

sistema de ecuaciones lineales.

Este método puede indicarnos que tipo de solución da nuestro sistema de ecuaciones lineal.

Para entender este método debemos dar alguna idea de transformaciones elementales.

Operaciones o transformaciones elementales

Trabajaremos con filas (también se puede trabajar con columnas).

Si se tiene una matriz y se le aplica una operación elemental, aquella matriz resultante toma el nombre de matriz elemental.

Tenemos tres operaciones elementales:

Tipo I: Intercambian filas (o columnas): F i j ≡ F i ↔ F j C i j ≡ C i ↔ C j

Tipo II: Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero: )(ti

F ≡ t F i )(tiC ≡ t C i

Tipo III: Sumar a una fila (o columna) un múltiplo de otra fila (o columna): )(tij

F ≡ F i + t F j )(tijC ≡ C i +t C j

Capítulo IV

Autovalores y Autovectores

En una zona geográfica que contiene varias ciudades se venden dos marcas diferentes,

A y B, de leche esterilizada. Las estadísticas de los estudios de mercado realizados en

los últimos meses nos indica la proporción de personas que cambia de marca de leche

cada mes. Este cambio está motivado por diferentes razones como el precio, la

propaganda, etc. Para ello se sabe que la proporción de clientes de la marca A que sigue

comprando mensualmente la misma marca es 108 . Por otra parte la proporción de

clientes que se mantiene con la marca B es 107 . Si se sabe que en un inicio ambas

marcas se dividían el mercado en forma equitativa. A lo largo del tiempo, ¿Cómo serán

las proporciones para cada marca? (Suponer que la suma de los clientes de ambas

marcas se mantienen constantes a lo largo del tiempo).

TEMARIO 1. INTRODUCCIÓN

2. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 3. MATRICES SEMEJANTES 4. DIAGONALIZACIÓN 5. MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN

ORTOGONAL

1. Introducción Los autovalores y autovectores son herramientas invaluables en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales; también juegan un papel importante en muchos aspectos de la Teoría Económica. Ellos son los componentes de soluciones explícitas de modelos dinámicos lineales. Además, los signos de los autovalores determinan la estabilidad para el equilibrio de modelos dinámicos no lineales. Consecuentemente, ellos juegan un rol central en las condiciones de segundo orden, que distinguen un máximo de un mínimo en la optimización de problemas económicos. También nos sirven para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales y para resolver procesos de Markov.

2. Autovalores y autovectores El autovalor llamado también raíz característica, valor propio, valor característico, valor invariante, valor latente, eingenvalor (eingen = propio, es una palabra alemana), etc. Se representará por λ (lambda).

El autovector llamado también vector característico, vector propio, vector invariante, vector latente, eingenvector, etc. Lo representaremos con c .

Veamos un ejemplo que nos permita entender su uso:

Ejemplo:

Suponer un proceso lineal dependiente, en el que el valor de un instante está en función del instante anterior.

t1

12

68yxyyxx

tt

ttt−−=+−=

+

+


tt

t

t

t

t

zAz

y

x

y

x

×=

×

−−

−=

+

+

+

1

1

11268

Si consideramos t = 0 como el instante inicial, entonces tenemos:

[ ][ ]

[ ] 001

1

03

02

323

02

0212

01

zAzAAzzAz

zAzAAzzAz

zAzAAzzAz

zAz

ttttt ×=××=→×=

×=××=→×=

×=××=→×=

×=

−−

M

Si conocemos 0z , se puede calcular el proceso en cualquier instante de acuerdo a

la siguiente ecuación:

0zAz tt ×= (I)

Observando la expresión anterior nos damos cuenta que el cálculo más complicado es hallar tA , conforme t sea más grande más laborioso resultará su cálculo. Para evitar este engorroso trabajo, consideremos una matriz C.

=

1223

C

Que es invertible:

−

−=−

32211 C

Se verifica que:

−

−=

×

−−

−×

−

−=××−

5004

1223

1268

32211 CA C

Observamos que se forma una matriz diagonal:

DCA C =××−1

Podemos hallar A:

1

11

1

−

−−

−

××=

××=××

×=×××

CDCA

CDCCC A

DCCACC

Si deseamos hallar tA :

( ) ( ) ( ) ( )444444444 3444444444 21

L

vecest

tt CDCCDCCDCCDCA 1111 −−−− ×××××××××=××=

Reagrupando obtenemos:

( ) ( ) ( )1

1111

−

−−−−

××=

×××××××××××××=

CDCA

CDCCDDCCDCCDC Att

t L

Si reemplazamos en la ecuación (I) tenemos:

01 zCDCz t

t ×××= −

Ahora nosotros debemos hallar tD :

( )( )

4 04 00 5 0 5

ttt

tD

−− = = − −

Recordar, que si tenemos una matriz diagonal y nos piden dicha matriz elevada a la potencia t entonces podemos encontrarla de forma rápida de la siguiente manera:

( )( )

( )

=

=

tnn

t

tt

nn

t

d

d

d

d

dd

D

L

MOMMM

L

L

L

MOMMM

L

L

000

000

000

000

000000

22

11

12

11

Esta simplificación sugiere estudiar lo siguiente: si dada una matriz cuadrada A, se puede encontrar una matriz invertible C, tal que CAC ××−1 sea una matriz diagonal.

Veremos algunas características de esta matriz C:

El producto de A por cada uno de los vectores columna de C tiene como resultado:

−=

−

−=

×

−−

−23

48

1223

1268

−=

−

−=

×

−−

−12

55

1012

1268

Observamos que –4 y –5 son los elementos de esa matriz diagonal D y nos damos cuenta como están relacionados con las columnas de la matriz C. Si denotamos como λ1 y λ2 los elementos de la diagonal D y por 1c y 2c las dos columnas de la matriz C, entonces se cumple que:

111 cλcA =×

222 cλc A =×

O equivalentemente:

DccccA ×

=

× 2121

Es decir: DCC A ×=×

Los vectores 1c y 2c se llaman vectores propios de A, mientras que los escalares

λ1 y λ2 se llaman autovalores.

En este capítulo nos dedicaremos al estudio de los valores y vectores propios de matrices cuadradas reales, por lo tanto a la diagonalización de estas matrices.

Por lo mostrado anteriormente, un conjunto útil de resultados para analizar una matriz A, surge de las soluciones al conjunto de ecuaciones:

cλcA =×

Donde c es un vector no nulo, las soluciones de la anterior ecuación matricial son

los vectores característicos c y las raíces características λ.

=

×

nnnnnnn

n

n

n

c

ccc

c

ccc

aaaa

aaaaaaaaaaaa

MM

L

MOMMM

L

L

L

3

2

1

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

λ

nnnnnn

n

n

λcacacaca

λcacacacaλcacacaca

=++++

=++++=++++

L

MM

L

L

332211

22323222121

11313212111

Observamos que tenemos n ecuaciones y 1+n incógnitas ( )λ,,,, 21 nccc L .

Para eliminar la indeterminación, en algunos casos se normaliza c de modo que:

1

122

322

21 =++++

=×

n

t

c c c c

cc

L

La solución está constituidapor λ y las ( )1−n incógnitas de c .

Ecuación característica:

( ) 0

0

ticacaracterís matriz

=×−

=×−×

×=×

=×

cIA

cλIcA

cλIcA

cλc A

43421 λ

Aquí tenemos un sistema homogéneo donde deseamos un vector c no nulo. Por lo tanto, la solución de este sistema va ser compatible indeterminada y debe cumplir:

( ) 0=−=− λIAIADet λ

La expresión anterior toma el nombre de ecuación característica, la cual forma un polinomio en λ de grado n que depende del orden de la matriz cuadrada A. Este polinomio (polinomio característico) puede dar como respuesta valores complejos conjugados, valores reales distintos, valores repetidos e incluso 0. A estos valores se les conoce como autovalores.

Multiplicidad algebraica.- Es el número de veces que aparece el autovalor como raíz del polinomio característico.

Una definición que se deriva de lo visto anteriormente es el autovalor de A, que es un número λ tal que cuando lo sustraemos de cada elemento de la diagonal principal convierte a la matriz A en una matriz singular.

Propiedades de los autovalores con respecto a algunas matrices:

• Si la matriz cuadrada es simétrica, siempre los autovalores λ van a ser valores reales (distintos, valores repetidos e incluso 0).

• Si tenemos una matriz diagonal A, entonces sus autovalores son los elementos de la diagonal.

8

58005

2

1−=

=

−

=

λ

λ

A

• Si tenemos una matriz triangular (ya sea superior o inferior), entonces sus autovalores son los elementos de la diagonal.

2.algebraicadadmultiplicicon1

5180012005

32

1−==

=

−−=

λ λ

λ

A

• Si A es una matriz cuadrada entonces se cumple:

a) A y tA tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas.

b) Si λ es un autovalor de A y k ≥ 1, entonces kλ es un valor propio de kA .

• Sea A una matriz cuadrada de orden n con autovalores: nλλλλ ,,,, 321 L

entonces se cumple:

a) Traza (A) = nλλλ λ ++++ L321 .

b) ( )ADet = A = nλλλλ ⋅⋅⋅⋅ L321 .

• Si tenemos tres matrices A, B y C no singulares entonces:

( ) ( )ARangoCBARango =××

• El rango de una matriz simétrica es el número de raíces características distintas de cero que contiene.

• El rango de una matriz A es igual al número de raíces características distintas de cero en ( )AAt × .

• Las raíces características no nulas de tAA× son las mismas que AAt × .

• Si A−1 existe, las raíces características de A−1 son las recíprocas de A, y los vectores característicos son los mismos.

Ejemplo: Hallar los autovalores de las siguientes matrices:

1.

=

4215

A

Solución:

−

−=

−

=−

λλ

λλIA44

151001

4215

( )( ) ( )( )

( )( )36

036λ0189

01245

21

2

===−−==+−=

=−−−=−

λ y λ λ λλλ P

λλλIA

2.

−=

101110002

A

Solución:

101

110002

100010001

101110002

−−

−−=

−

−=−

λλ

λλIA λ

( )( )2. algebraica admutiplicidcon 1y 2

012

321

2

==−=

=−+−=−

λλλλλλIA

3.

−

=4215

A

Solución:

−−

−=

−

−

=−λ

λλλ

4215

1001

4215

IA

( )( ) ( )

279

y 2

79

0229)(

01245

21

2

ii

P

IA

−=

+=

=+−=

=+−−=−

λλ

λλλ

λλλ

Nota: En este caso, los autovalores no son reales. Algunos libros imponen que los autovalores sean reales, pero con ello limitan la utilidad de los autovalores y autovectores.

Por simplicidad, nosotros trabajaremos con autovalores reales.

4.

=

2002

A

Solución:

−

−=

−

=−

λλ

λλ20

021001

2002

IA

2. algebraica dadmultiplicicon 2 044)(

0)(2

21

2

2

===+−=

=−=−

λλλλλ

λλ

P

IA

5.

=

4221

A

Solución:

−

−=

−

=−

λλ

λλ42

211001

4221

IA

( )( )

0y 5 05)(

0441

21

2

===−=

=−−−=−

λλλλλ

λλλ

P

IA

Autovectores (o vectores característicos):

Conociendo λ, los vectores característicos se hallan resolviendo:

( ) 0=×−

=×

cλIA

cλcA

Ejemplo: Hallar los autovectores para los ejercicios anteriores:

1. 364215

21 ==

= λ y λA .

Solución: :6λPara 1 =

( ) 0 1 =×− cIλA

=

×

−

00

1001

64215

2

1c

c

=

×

−

−

=

×

−

−

=

00

2211

00

642165

2

1

1

2

1

c

c

c

c

Rango43421

Como el rango es 1 significa que existe una ecuación linealmente independiente.

.soluciones infinitas tiene022 2121 cccc =→=−

{ }011

:es autovector El 112

1 −∈

=

Rccc

c

Puede ser:

etc.,,5151

22

11

1 K

=

.

.,,c

Pero si normalizamos 1c , es decir 111 =× cct

la respuesta es:

[ ]

1

1

22

21

2

121

=+

=

×

c c

c

c cc

: tantolopor que sabemos Si 21 cc =

−−

=

±==

2121o

2121

21

1

21

c

cc

:3Para 2 =λ

=

×

=

×

−

−

=

00

1212

00

342135

2

1

1

2

1

c

c

c

c

Rango321

Como el rango es 1 significa que existe una ecuación linealmente independiente.

1221 2 02 c ccc −=→=+ :ser Puede

etc.,,42

21

21

2 K

−

−

−

= ,,

c

:es respuesta la entonces,1decir es , osnormalizam si Pero 222 =× ccct

( ) 12

12

12

1

22

21

=−+

=+

cc

cc

14 21

21 =+ cc

−

−=

=±=

52

51o

52/

51/

5

2,

5

1

2

21

/

/c

cc m

2. 12donde,101110002

321 ==−=

−= λ y λ λ A .

Solución:

λ :2 Para 1 −=

( ) 0 1 =×− cIλA

=

×

++

+−

000

210112100022

3

2

1

c

c

c

=

×

=

000

301130000

3

2

1

2c

c

c

Rango43421

Como el rango es 2 significa que existen dos ecuaciones linealmente independientes, en este caso la segunda y tercera ecuación.

adoindetermincompatiblesistemauntenemos331

31

32

−=

−=

cc

cc .

{ }0 donde131

33

3

33

3

3

3

3

2

1

1 −∈

−−

=

−−

=

= Rccc

cc

ccc

c

:ser puede autovector El

etc.,319

,1313

1 K,c

−−

−

−=

,1decir es, vector el osnormalizam si Pero 111 =× cc ct

tenemos que:

123

22

21 =++ ccc

( ) ( )

−

−−

=

±=

=+−+−

913911919

o913911919

913

133

1

3

23

23

23

c

c

ccc

:1Para 32 == λλ

( ) 0 1 =×− cIλA

=

×

−

=

×

−−

−−

=

000

001100003

000

1101

11100012

3

2

1

2

3

2

1

c

c

c

c

c

c

Rango43421

Como el rango es 2 significa que existen dos ecuaciones linealmente independientes, en este caso la primera y la segunda ecuación.

001

003

33

11=→=

=→=−

cc

cc

{ }0 donde010

0

0

222

3

2

1

2 −∈

=

=

= Rcccccc

c

El autovector puede ser:

etc.,,010

,020

,010

2 K

−

=c

,1decires,vectorelosnormalizamsiPero 222 =× ccct

tenemos que:

( ) ( ) ( ) 100

1

222

2

23

22

21

=++

=++

c

ccc

12 ±=c

−

=

010

o010

2c

• El conjunto de autovectores asociado a un autovalor λ junto con el vector nulo, forman un subespacio vectorial de Rn de dimensión n menos el rango de la matriz característica ( IA λ− ). Al espacio propio de un autovalor lo denotaremos como Eλ.

dim(Eλ) = n − Rango( IA λ− )

Al espacio propio de un autovalor también se le conoce como la envolvente de los autovectores linealmente independientes para ese autovalor

( { }kccccEnv ,,,, 321 K ). Asimismo, el espacio propio de un autovalor está

constituido por los autovectores generadores linealmente independientes de

dicho autovalor ( { }kc,,c,c,cGen K321 ).

• Espacio propio es un subespacio de A correspondiente al valor propio λ.

• Vectores propios correspondientes a valores propios distintos son linealmente independientes.

, :si 321 nλλλλ ≠≠≠≠ L entonces:

{ } ,,,,, 4321 nccccc L son linealmente independientes

Ejemplo: Calcular los valores, vectores y espacios propios de la matriz siguiente:

=

2 2 11 3 11 2 2

A

Solución:

2. algebraica dadmultiplicicon 1,50)1)(5()(

0)(

21

2

===−−−=

=−=

λλλλλ

λλ

P

IAP

Para: :51 =λ

=

×

−−

−

=

000

321121123

3

2

1

2c

c

c

Rango44 344 21

Como el rango es 2 significa que existen dos ecuaciones linealmente independientes, en este caso podemos tomar la segunda y tercera ecuación.

231321

2312332123032

202

ccccc c

ccccccc c

−=→=−+

=→−=→=+−

( )21

2121 223

c c

ccc c

=

−−=

321 cc c ==→

{ }0111

11

1

1

1

1 −∈

=

= R cc

c

c

c

c

etc.,,212121

222

111

1 K

=

///

,,c

: donormalizan estamos 1 considera se Si 111 ccct

=×

31

1

1

23

22

21

=

=++

c

cc c

=

3/1

3/1

3/1

1c

: propio espacio El

===

111

)}1,1,1{(5 GenEnvEλ

( ) ( )( ) :

115

IA RangoIARangonEdim

λλλ

−=−−===

321121123

−−

−Rango

3rango tantolopor ,0321121123

2 menos lopor rango 4262123

≠=−

−−

=−=−

−

( ) 2.I =−∴ λARango

:1 Para 2 =λ

=

×

=

000

121121121

3

2

1

1c

c

c

Rango43421

Como el rango es 1 significa que existe una ecuación linealmente independiente, en este caso puede ser cualquiera de ellas.

213

3212

02

ccc

ccc

−−=

=++

Rcccccc

cc

c ∈

−+

−=

−−= 2121

21

2

1

2 y donde ;210

101

2

:propio espacio El )}2,1,0(),1,0,1{(1 −−== EnvEλ

( )3

21

==−−==

nIARangon)Edim( λλ

( ) :IARango λ−

1 es rango el ;121121121

=− IA λ

2)Edim( λ =−== 131 .

:matriz la de propios espaciosy vectores valores,loscalcular :Ejemplo

−−−

−−−=

732198955

A

• Multiplicidad geométrica. Sea λ un valor propio de la matriz A, entonces la multiplicidad geométrica de λ es la dimensión del espacio propio correspondiente a λ. Es decir, la multiplicidad geométrica de λ = dim(Eλ).

• Sea λ un valor propio de A entonces: La multiplicidad geométrica de λ ≤ la multiplicidad algebraica de λ.

• Sea A una matriz nn × , entonces A tiene n vectores propios linealmente independientes si y sólo si la multiplicidad geométrica de cada autovalor es igual a su multiplicidad algebraica. En particular, A tiene n autovectores linealmente independientes, si todos los valores propios son distintos (ya que la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).

3. Matrices semejantes

Se dice que las matrices cuadradas del mismo orden son semejantes, si existe una matriz invertible C tal que:

CACB

CBCA

××=

××=−

−

1

1

Sean A y B matrices semejantes, entonces A y B tienen el mismo polinomio característico P( λ ) y tienen los mismos autovalores con sus mismas multiplicidades algebraicas.

Propiedades:

• Sean A y B dos matrices semejantes de tamaño nn × , entonces:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )BTrazaA Traza

BRangoARangoBDetADet

===

Nota: Que cumplan estas tres condiciones no necesariamente implica que A y B sean semejantes.

• Si dos matrices son semejantes también lo son las potencias de ambas de igual exponente.

A semejante a B kA semejante a kB

Ejemplo: Comprobar que CACB ××= −1 , es decir A y B son semejantes:

−=

−=

−=

110101020

100120111

200111201

y C, BA

Solución:

Primero debemos comprobar que C es invertible para eso hallamos C :

2−=C

Como C es distinto de cero, podemos decir que es invertible. Por lo tanto, cumple:

−=

−×

−=×

220011240

100120111

110101020

BC

−=

−×

−=×

220011240

110101020

200111201

CA

Si BCCA ×=× entonces A y B son semejantes.

4. Diagonalización Las matrices diagonales tienen la ventaja de que es sencillo trabajar con ellas.

Tenemos las siguientes matrices diagonales:

=

=

kkkk e

ee

, E

d

dd

D

0000

00000000

0000

00000000

22

11

22

11

L

MMOMMM

L

L

L

MMOMMM

L

L

,

de

dede

ED

kkkk

=×

0000

00000000

2222

1111

L

MMOMMM

L

L

=

kkk

k

k

k

d

d

d

D

0000

0000

0000

22

11

L

MMOMMM

L

L

=−

kkd

dd

D

/10000

000/100000/1

22

11

1

L

MMOMMM

L

L

Veamos ahora qué matrices son diagonalizables:

• Una matriz cuadrada A se dice que es diagonalizable cuando existe una matriz diagonal semejante a ella, es decir, si existe una matriz invertible C de tamaño

nn × tal que DCAC =××−1 , entonces se dice que la matriz C diagonaliza a la matriz A.

• Si existe una matriz ortogonal C, tal que el resultado de CAC ××−1 es una matriz diagonal, entonces A es diagonalizable ortogonalmente y se dice que C diagonaliza ortogonalmente a A.

• Una matriz A de orden nn × es diagonalizable si y sólo si se tienen n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A esta dada por:

=

k

D

λ

λλ

L

MOMMM

L

L

000

000000

2

1

donde 1λ , 2λ , ... nλ son los autovalores de A, y C es una matriz cuyas columnas

son los autovectores linealmente independientes de A.

CACD ××= −1

• Cuando A es diagonalizable, entonces el conjunto de los n vectores propios es una base de R n .

• Una matriz A de orden n es diagonalizable si y sólo si, la suma de las dimensiones de los espacios propios es n.

• Una matriz A de tamaño nn × es diagonalizable si y sólo si, se verifican las dos condiciones siguientes:

Capítulo V

Formas Cuadráticas

La empresa Reyes−Neyra S.A fabrica tres productos en cantidades 1x , 2x y 3x ; donde

la función de beneficios es:

313223

22

21321 6210),,( xxxxxxxxxx −−++=π .

a. ¿Existen niveles de producción que puedan generar pérdida?

b. ¿Cómo serán los beneficios si las cantidades que se producen del primer y del

segundo producto son el doble y el triple respectivamente, de la cantidad que

produce el tercero?

TEMARIO 1. INTRODUCCIÓN 2. FORMAS CUADRÁTICAS 3. CLASIFICACIÓN DE LAS FORMAS CUADRÁTICAS 4. MÉTODO DE ESTUDIO DEL SIGNO DE LA FORMA

CUADRÁTICA 5. FORMAS CUADRÁTICAS REALES CON RESTRICCIONES


320

1. Introducción Este tipo de análisis tiene gran interés en varios ámbitos (Análisis matemático, Estadística, etc.). Es el punto de partida para el estudio de problemas de optimización.

Las formas cuadráticas desarrollan una excelente introducción al vocabulario y técnicas de problemas de optimización. Además, las condiciones de segundo orden (necesarias y/o suficientes) que distinguen un máximo de un mínimo en optimización de problemas económicos, son expresadas en términos de formas cuadráticas. Finalmente, un gran número de problemas de optimización tiene una función objetivo cuadrática, por ejemplo: en finanzas se resuelven problemas de minimización del riesgo de no recuperar una determinada inversión, donde el riesgo es medido por la varianza de retornos de las inversiones.

Por otro lado, al buscar los máximos y mínimos relativos de una función de n variables surgen formas cuadráticas cuyo signo es preciso conocer.

2. Formas cuadráticas Las formas cuadráticas son las funciones más simples después de las lineales.

Las formas cuadráticas tienen matrices representativas, así el estudio de propiedades de una forma cuadrática se reduce al estudio de propiedades de una matriz simétrica.

Como las formas cuadráticas están relacionadas con las matrices simétricas, daremos un breve repaso de conceptos vistos anteriormente.

Una matriz simétrica A cumple: tA A= .

Una matriz simétrica A es diagonalizable de la forma:

CACD t ××= o tCDCA ××=

Donde se cumplen los siguientes conceptos:

A es semejante a D.

D es una matriz diagonal con los autovalores de A.

C es una matriz invertible y en este caso ortogonal, donde sus columnas son los autovalores ortonormales correspondiente a los autovalores de A.

Observemos algunos ejemplos de formas cuadráticas:

( ) 2bxxQ =

( ) 22222112

211121 xaxxaxax,xQ ++=

( ) 23333223

222231132112

2111321 ,, xaxxaxaxxaxxaxaxxxQ +++++=

Concluimos: − ¿Qué tipo de expresiones tenemos?

Un polinomio homogéneo de grado 2.

FORMAS CUADRÁTICAS

321

− ¿Qué tipo de entrada tiene esta expresión? Un vector.

− ¿Qué resultado nos da este tipo de expresiones? Un valor real.

− ¿Cómo generalizamos esta expresión para un vector de entrada de dimensión n?

( ) ∑∑= ≥

=n

i

n

ijjiijn xxaxxxQ

121 ,,, L

∑∑= ≥

=

n

i

n

ijjiij xxaxQ

1

Por tanto, podemos definir una forma cuadrática ( )xQ , como toda aplicación

(función) de nR en R tal que a cada vector x ∈ nR le hace corresponder el valor numérico dado por el polinomio cuadrático (cada uno de sus términos es de segundo grado).

Las formas cuadráticas también tienen una representación matricial.

[ ]nxxxx L321 ×

×

nnnnnn

n

n

n

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

M

L

MMMMM

L

L

L

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

donde: jiij aa = .

Compactando tenemos: xAxQt

××= donde A es una matriz simétrica.

Ejemplos:

1. Exprese en forma matricial las siguientes formas cuadráticas:

a) ( ) 22222112

211121 xaxxaxax,xQ ++= .

b) ( ) 3223311321122333

2222

2111321 xxaxxaxxaxaxaxax,x,xQ +++++= .

c) ( ) 323122

21321 232 xxxxxxx,x,xQ −+−= .


322

d) 2122

21 42 xxxxxQ +−=

.

e) 2332

2221

21 232 xxxxxxxxQ −−−+−=

.

f) 2332

223121 22 xxxxxxxxxQ −−+++−=

.

Solución:

a) [ ]21 xx ×

2212

1211

21

21

aa

aa×

2

1xx

b) [ ]321 xxx ×

332313

2322

12

131211

22

22

22

aaa

aaa

aaa

×

3

2

1

xxx

c) [ ]321 xxx ×

−−−

01231202301

×

3

2

1

xxx

2. Exprese en forma polinómica las siguientes formas cuadráticas:

a) [ ]321 xxxxQ =

×

−−−−

−

110131011

×

3

2

1

xxx

b) [ ]321 xxxxQ =

×

−−−−

−

12112111110

×

3

2

1

xxx

c) [ ]321 xxxxQ =

×

−−1111

112125

×

3

2

1

xxx

d) [ ]321 xxxxQ =

×

301001111

×

3

2

1

xxx

Solución:

a) 2332

2221

21 232 xxxxxxxxQ −−−+−=

FORMAS CUADRÁTICAS

323

b) 2332

223121 22 xxxxxxxxxQ −−++−=

c) 2332

223121

21 112245 xxxxxxxxxxQ +−+++=

d) 233121

21 322 xxxxxxxQ +++=

3. Clasificación de las formas cuadráticas

Existen 5 Formas Cuadráticas:

3.1. Definida positiva (DP).- Si todo vector no nulo le asigna un valor positivo a

la forma cuadrática. 0>

xQ ó 0>×× xAx

t, ∀ 0≠x en nR .

Ejemplo: .22

21 xxxQ +=

3x

1x

2x

3.2. Definida negativa (DN).- Si todo vector no nulo le asigna un valor negativo

a la forma cuadrática. 0<

xQ ó 0<×× xAx

t, ∀ 0≠x en nR .

Ejemplo: .22

21 xxxQ −−=

3x

1x

2x


324

3.3. Semidefinida positiva (SDP).- Si asigna valor positivo para unos vectores y

nulos para los demás. Llamada también definida no negativa. 0≥

xQ ó

0≥×× xAxt

, ∀ 0≠x en nR .

Ejemplo: 2221

21 2 xxxxxQ ++=

. Se observa que para todos los vectores

que se encuentran sobre el eje 1x 0=

xQ y para cualquier otro vector que

no pertenece al eje 1x se verifica que 0>

xQ .

2x

3x

1x

3.4. Semidefinida negativa (SDN).- Si asigna valor negativo para unos vectores

y nulos para los demás. Llamada definida no positiva. 0≤

xQ ó

0≤×× xAxt

, ∀ 0≠x en nR .

Ejemplo: 2221

21 2 xxxxxQ −−−=

. Se observa que para todos los vectores

que se encuentran sobre el eje 1x 0=

xQ y para cualquier otro vector que

no pertenece al eje 1x se verifica que 0<

xQ .

1x

3x

2x

FORMAS CUADRÁTICAS

325

3.5. Indefinida o no definida.- Si hay unos vectores a los que se les asigna valor

positivo, y a otros negativo. 0>

xQ para unos x y 0<

xQ para otros

x .

0>×× xAxt

para algunos x en nR y 0<×× xAxt

para algunos x

en nR .

Ejemplo: 22

21 xxxQ −=

. Se observa que para todos los vectores de la

forma ( )0,1xx = ⇒ ( )00 121 ≠>=

xxxQ (Curva AB), mientras que

para vectores de la forma ( )2,0 xx = ⇒ ( )00 222 ≠<−=

xxxQ (Curva

CD).

1x

2x

3x

Dado que es la matriz simétrica A la que determina la forma cuadrática. Averiguar a cuál de los 5 tipos pertenece, es lo que se conoce como estudio del signo de la matriz simétrica A o de la forma cuadrática de la matriz A.

4. Método de estudio del signo de la forma cuadrática

Existen dos métodos para el estudio del signo de la forma cuadrática: 4.1. Método de los autovalores.-

Si: xAxxQt

××=

Como A es una matriz simétrica entonces tCDCA ××= , por lo tanto:

xCDCxxQ tt××××=

Si reemplazamos xCy t ×= tenemos que:


328

[ ]321 xxxxQ =

×

−−

−

110121011

×

3

2

1

xxx

Solución:

−−

−=

110121011

A

( ) ( ) 0110121011

=−−

−−−−

=−=λ

λλ

λλ IADetP

( ) ( )( ) 031 =++−= λλλλP 0=λ 1−=λ 3−=λ

Por lo tanto, la forma cuadrática es semidefinida negativa.

Nota: Este método es conveniente siempre y cuando sea fácil hallar los autovalores. Cuando es difícil, se calcula por métodos iterativos que no se van a desarrollar en el presente libro.

4.2. Método de los menores principales dominantes.-

Primero debemos saber algunas definiciones para entender este método.

Menores principales de una matriz: Sea A una matriz de n×n. Una submatriz k×k de A formada eliminando (n − k) columnas y las mismas (n − k) filas de A es llamada submatriz principal de A de orden k. Al determinante de la submatriz principal de k×k se le denomina menor principal de A de orden k.

Ejemplo: Hallar los menores principales de la siguiente matriz:

=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

Solución:

Menor principal de orden 3 =

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Menores principales de orden 2 = 2221

1211aaaa

, 3331

1311aaaa

, 3332

2322aaaa

Menores principales de orden 1 = 11a , 22a , 33a

Nota: Una matriz de orden nn× tiene 12 −n submatrices principales.

Capítulo VI

Optimización Clásica

Una fábrica produce un único bien a partir de tres factores, según una función de

producción dada, siendo fijos tanto el precio de venta del producto, como los precios de

compra de los factores de producción (inputs). El beneficio obtenido por dicha empresa

es:

( ) 1021

,, 23 ++−= zyxzyxπ millones de dólares.

Donde x, y y z representan el número de toneladas de las tres materias primas utilizadas

en el proceso de producción. La empresa tiene un contrato con un proveedor que le

obliga a consumir exactamente 2 toneladas al mes de la primera materia prima y, que

las cantidades consumidas de las otras dos sean iguales.

Se pide:

Teniendo en cuenta las condiciones del contrato que ha firmado con el proveedor,

calcular las cantidades de materias primas que debe comprar la empresa para

maximizar los beneficios.

TEMARIO 1. INTRODUCCIÓN

2. CONCEPTOS BÁSICOS 3. OPTIMIZACIÓN LIBRE 4. OPTIMIZACIÓN RESTRINGIDA


350

1. Introducción Optimización es cualquier proceso genérico mediante el cual se obtiene la mejor solución a un problema dado.

El problema de optimización más antiguo conocido, data del siglo V a.C., consiste en encontrar entre todas las curvas planas cerradas del mismo perímetro aquella, que abarca mayor superficie. La optimización clásica aparece ante el nacimiento del cálculo diferencial en el siglo XVII.

En la actualidad la optimización matemática se encuadra en el área que se denomina Investigación Operativa.

La optimización juega un papel importante en la teoría económica, ya que los problemas más interesantes de optimización económica son aquellos en los que hay más de una variable de decisión.

Ejemplo:

• Una empresa que trabaje con varios productos, donde las decisiones para obtener un beneficio máximo, consiste en la elección de niveles óptimos de producción de diversos bienes y en la combinación óptima de varios insumos diferentes.

La optimización matemática la podemos clasificar de la siguiente manera:

Cálculo de variaciones

Programación dinámica

Programación lineal

Programación Vectorial o multiobjetivo

Programación escalar

Teoría de juegos estáticos

Programación matemática

Optimización dinámica

Optimización estática

Programación no lineal

Optimización clásica

Optimización libre

Optimización restringida

Teoría del control o control óptimo

CLASIFICACIÓN DE LA OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA

OPTIMIZACIÓN CLÁSICA

351

Hablaremos en forma sucinta de que trata cada una de ellas:

Optimización estática: analiza modelos en un instante de tiempo dado.

Optimización dinámica: estudia sistemas que evolucionan en el tiempo (sistemas dinámicos). Esta técnica trabaja con variables de decisión que dependen del tiempo.

Optimización escalar: se distingue porque presenta un único objetivo.

Optimización vectorial o multiobjetivo: aquella que presenta más de un objetivo. Por ejemplo maximizar el beneficio y minimizar el número de horas trabajadas.

Teoría de juegos: estudia situaciones de conflicto y cooperación (juegos), en las que interactúan individuos racionales que buscan obtener el mejor resultado posible (maximizar su utilidad), teniendo en cuenta que el resultado del juego depende de sus acciones y de las acciones del resto de jugadores.

Programación lineal: consiste en optimizar una función objetivo lineal con una serie de restricciones de desigualdad, también lineales.

Programación no lineal: cuando la función objetivo y/o las restricciones de desigualdad son no lineales.

Optimización clásica: aparece cuando la función objetivo es suficientemente diferenciable y continua.

Optimización libre: sólo presenta la función objetivo sin restricciones.

Optimización restringida: presenta la función objetivo y una serie de restricciones de igualdad.

En este libro, sólo se estudiará laoptimización libre y la optimización con restricciones de igualdad, ya que los otros temas de la optimización exceden los objetivos del presente material.

Para nuestro estudio, supondremos que nuestra función objetivo presenta derivadas parciales continuas de cualquier orden; con la finalidad de asegurarnos la continuidad y la diferenciabilidad de la función objetivo y de sus derivadas parciales.

En la formulación de un problema de optimización, primero debe definirse el conjunto de variables independientes (variables de decisión) que intervendrán en la función objetivo (función a optimizar) y luego las restricciones que se presentarán en el problema.

2. Conceptos básicos 2.1. Vector gradiente.- Si una función real RRf n →: admite derivadas

parciales en un punto ( )naaaaa ,...,,, 321= , lleva asociado un vector

( )af∇ que se denomina gradiente de f en a :


352

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∇nxaf

xaf

xaf

xafaf ,,,,

321L

( )

( )

( )

( )

∂∂

∂∂

∂∂

=∇

nxaf

xaf

xaf

af

M2

1

2.2. Matriz jacobiana (Jacobiano).- Si una función vectorial mn RRf →:

admite derivadas parciales en un punto a , lleva asociada una matriz

( )afJ de orden mxn que se denomina Jacobiano de f en a .

Una función vectorial es mm Rxfxfxfxf ∈

=

,,, 21 L ,

donde ( ) nn Rxxxx ∈= ,,, 21 L . En particular:

mm Rafafafaf ∈

=

,,, 21 L

nmm

n

mm

n

n

af

af

af

x

af

x

af

x

af

x

af

x

af

x

af

afJx

af

×

∇

∇

∇

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

=

∂

∂

M

LL

MM

LL

KL

2

1

1

2

1

2

1

1

1

Teorema: Si el determinante del Jacobiano es distinto de 0, las componentes de la función vectorial son funcionalmente independientes, eso quiere decir que ninguna de las funciones puede ser obtenida mediante combinación de las otras.

Ejemplo: Sea la función 22: RRf → , dada por:

( ) ( ) ( ) ( )

===4847648476 21

2122112121,,,,,

yy

xxfxxfyyxxGf

( ) 212111 35, xxxxfy +==


353

( ) 2221

212122 93025, xxxxxxfy ++==

Demostrar si las componentes de la función vectorial son funcionalmente independientes.

Solución:

( )( ) ( )

( ) ( )

++

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=2121

2

2

1

2

2

1

1

1

1830305035

xxxx

x

xf

x

xf

xxf

xxf

xfJ

( ) ( ) ( ) 03050318305 2121 =+−+= xxxxxfJ

Esto quiere decir, que ambas componentes son funcionalmente dependientes, esto se ve si se reescribe la segunda componente como sigue:

( )1211 35 xxy +=

( ) ( )121

2212 35 yFyxxy ==+=

Es importante resaltar que muchas veces esto no se ve por simple inspección.

2.3. Matriz hessiana.- Si una función real RRf n →: admite derivadas

parciales segundas en un punto a , entonces lleva asociada una matriz de

orden nn× denominada Hessiana de f en a y se halla de la siguiente manera:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∂

∂∂∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂∂∂

∂

∂

=

2

2

2

2

1

2

2

2

22

2

12

21

2

21

2

21

2

nnn

n

n

xaf

xxaf

xxaf

xxaf

xaf

xxaf

xxaf

xxaf

xaf

afH

L

MOMM

L

L

2.4. Definiciones de máximos y mínimos.- Para una función Real RRf n →:

se cumple que:

a) Un punto nRx ∈0 es un máximo global de la función f si

( ) ( )xfxf ≥0 nRx ∈∀ .


354

b) Un punto nRx ∈0 es un máximo global estricto (o único) de la función f

si ( ) ( )xfxf >0 nRx ∈∀ 0xx ≠∧ .

c) Un punto nRx ∈0 es un máximo relativo (o local) de la función f si hay

una región cerca de 0x tal que

≥

xfxf 0 x∀ que pertenezca a

dicha región.

d) Un punto nRx ∈0 es un máximo relativo estricto (o local único) de la

función f si hay una región cerca de 0x tal que ( ) ( )xfxf >0 x∀

que pertenezca a dicha región y 0xx ≠ .

Lo mismo ocurre con los puntos mínimos sólo que ahora se invierte el sentido de los signos de desigualdad.

Ejercicios Compruebe los siguientes resultados:

1. )12,12()0,1( −+=∇ baf , siendo 12),( 22 +−+−+= yxybxyaxyxf .

2. )1,7,2()1,1,1( −−=∇f , siendo 3212

213

1321 32),,( xxxxxxxxxf −−= .

3.

=

2212

)1,1(fJ , siendo ),(),( 22

212

2121 xxxxxxf += .

4.

−=

010100

)1,0(fJ , siendo

−+= 21

21

22

2121 ,),2(),( xx

xx

xxxxxf .

5.

=

121281266862

)1,1,1(Hf , siendo 43

32

21321 ),,( xxxxxxf = .

6.

=

013127378

)1,1,1(Hf , siendo 32132

12

23

1321 ),,( xxxxxxxxxxf ++= .

Solución:

1. )12,12()0,1( −+=∇ baf , siendo 12),( 22 +−+−+= yxybxyaxyxf .


355

122

122

−−=∂∂

++=∂∂

ybxyf

byaxxf

)1)0(2)1(2,1)0(2)1(2()0,1( −−++=∇ bbaf )12,12()0,1( −+=∇ baf l.q.q.d

2. )1,7,2()1,1,1( −−=∇f , siendo 321221

31321 32),,( xxxxxxxxxf −−= .

31122

3222

21

1

6

36

xxxxxf

xxxxxf

−−=∂∂

−−=∂∂

213

xxxf

−=∂∂

))1(1),1(1)1)(1(6),1(1)1(3)1(6()1,1,1( 22 −−−−−=∇f )1,7,2()1,1,1( −−=∇f l.q.q.d

3.

=

2212

)1,1(fJ , siendo ),(),( 22

212

2121 xxxxxxf += .

211

1 2 xxx

f=

∂

∂ 2

12

1 xx

f=

∂

∂

11

2 2xx

f=

∂

∂ 22

2 2xx

f=

∂

∂

=

=

2212

)1(2)1(2)1()1)(1(2)1,1(2

fJ l.q.q.d

4.

−=

010100

)1,0(fJ , siendo

−+= 21

21

22

2121 ,),2(),( xx

xx

xxxxxf .

)2(2 211

1 xxx

f+=

∂

∂ ( )221

2

1

2xx

x

x

f

−

−=

∂

∂ 21

3 xx

f=

∂

∂

21

2

1 xx

f=

∂

∂ ( )221

1

2

2xx

x

x

f

−=

∂

∂ 1

2

3 xx

f=

∂

∂

−=

−−

−+

=010100

01)10(

0

)10(

10)12)(0(2

)1,0(22

2

fJ l.q.q.d


356

5.

=

121281266862

)1,1,1(Hf , siendo 43

32

21321 ),,( xxxxxxf = .

43

321

12 xxx

xf=

∂∂ 4

322

21

23 xxx

xf=

∂∂ 3

332

21

34 xxx

xf=

∂∂

( )33

32

21

43

22

21

43

321321 4,3,2),,( xxxxxxxxxxxxf =∇

43

322

1

22 xx

x

f=

∂

∂ 4

3221

12

26 xxx

xxf

=∂∂

∂ 33

321

13

28 xxx

xxf

=∂∂

∂

43

221

21

26 xxx

xxf

=∂∂

∂ 4

32212

2

26 xxx

x

f=

∂

∂ 3

322

21

23

212 xxx

xxf

=∂∂

∂

33

321

31

28 xxx

xxf

=∂∂

∂ 33

22

21

32

212 xxx

xxf

=∂∂

∂ 23

32

212

3

212 xxx

x

f=

∂

∂

( )

=

=121281266862

1)1()1(12)1()1()1(12)1()1)(1(8)1()1()1(12)1()1)(1(6)1()1)(1(6)1()1)(1(8)1)(1()1(6)1()1(2

)1,1,1(23232233

3224242

334243

Hf l.q.q.d

6.

=

013127378

)1,1,1(Hf , siendo ( ) 321321

22

31321 ,, xxxxxxxxxxf ++= .

323122

21

123 xxxxxx

xf

++=∂∂ 312

31

22 xxxx

xf

+=∂∂ 21

21

3xxx

xf

+=∂∂

),2,23(),,( 2121312

313231

22

21321 xxxxxxxxxxxxxxxxf ++++=∇

32212

1

226 xxx

x

f+=

∂

∂ 32

21

12

26 xxx

xxf

+=∂∂

∂ 2113

22 xx

xxf

+=∂∂

∂

3221

21

26 xxx

xxf

+=∂∂

∂ 3

122

22x

x

f=

∂

∂ 123

2x

xxf

=∂∂

∂

2131

22 xx

xxf

+=∂∂

∂ 132

2x

xxf

=∂∂

∂ 023

2=

∂

∂

x

f

=

+

+++=

013127378

011)1(21)1(2)1()1(6

1)1(21)1()1(6)1(2)1)(1(6)1,1,1( 32

22

Hf l.q.q.d


357

3. Optimización libre

Los casos más frecuentes de aplicación económica de este tipo de problemas se dan en la teoría de la empresa. Por ejemplo, en problemas de maximización de beneficios de una empresa monopólica o en condiciones de competencia perfecta productora de n bienes y con una función de costo conocida. Cabe anotar, sin embargo, que en estos problemas existe la restricción implícita, que las variables que se usan deben ser no negativas.

Partiremos de la versión diferencial de las condiciones de óptimo para una función RRf →2: diferenciable en un subconjunto abierto .2RD ⊆

Condición necesaria de Primer orden de extremo local

Versión diferencial: 0=yd

Si se tiene una función RRf →2: diferenciable en :2RD ⊆

( )

== xfxxfy 21,

La condición necesaria de primer orden para un extremo local (máximo o mínimo)

Da ∈ implica que la .0=

=

afdayd

Teniendo en cuenta que la diferencial total

xyd es:

22

11

xdxy

xdxy

xfdxyd∂∂

+∂∂

=

=


[ ] [ ]

48476876

∇

∇

∂

∂

∂

∂

×=

∂∂∂∂

×=

=

xf

y

x

xf

x

xf

dxxd

xyxy

dxxdxfdxyd

2

121

2

121

Si llamamos un vector diferencial dx :

000

2

1 =

≠

= dx

dxdx

Entonces la expresión anterior queda simplificada de la siguiente forma:

∇⋅=∇⋅=

=

xfdxydxxfdxyd

tt

Como el vector 0≠dx , para verificar la condición necesaria de primer orden de

extremo local se deberá cumplir que .0=

∇ af


358

Todos los puntos que cumplen 0=

∇ af reciben el nombre de puntos

estacionarios. Los puntos estacionarios pueden ser máximos locales, mínimos locales o puntos de silla (puntos de inflexión para RRf →: ).

Ejemplo: RRf →:

a

( )af

x

A

y = ( )xf

( ) ( )( )

( )( )afaAaf

xfxf

,:inflexióndePunto0

'

==∇

=∇

Podemos generalizar, que para una función RRf n →: diferenciable en un

subconjunto abierto nRD ⊆ , si deseamos hallar sus puntos estacionarios Da ∈ , debe cumplirse que:

00

01

=

=

∂

∂

∂

∂

=

∇ MM

nx

af

x

af

af

Condición suficiente de segundo orden de extremo local

Versión diferencial:

• Si 02 >

afd entonces el punto estacionario a es un mínimo.

• Si 02 <

afd entonces el punto estacionario a es un máximo.

Si se tiene una función RRf →2: diferenciable en :2RD ⊆

( )

== xfxxfy 21,

Analizando

xfd 2 tenemos:

∂∂

+∂∂

=

=

22

11

2 xdxf

xdxf

dxdfdxfd


359

222

2

2

2112

2

1221

2212

1

2

222

112

122

111

xdx

fxdxd

xxf

xdxdxxf

xdx

f

xdxdxf

xdxf

xxdxd

xf

xdxf

x

∂

∂+

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂

∂=

∂∂

+∂∂

∂∂

+

∂∂

+∂∂

∂∂

=

En esta expresión se observa una forma cuadrática. Por lo tanto, podemos representarla de la siguiente forma:

[ ] dxfHdxxdxd

x

xf

xx

xf

xx

xf

x

xf

dxdxxfdt

××=

×

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

×=

2

1

22

2

12

221

2

21

2

212

• Si 02 >

afd , esto significa que si 0>

afH (esto es, la matriz Hessiana

analizada en a debe ser definida positiva), diremos que a es un mínimo relativo estricto.

• Si 02 <

afd eso significa que si 0<

afH (esto es, la matriz Hessiana

analizada en a debe ser definida negativa), si cumple, diremos que a es un máximo relativo estricto.

• Si

afd 2 es indefinida en a , entonces diremos que a es un punto de silla.

A través de los métodos de autovalores y/o menores principales dominantes

podremos saber cuando

afd 2 es definida (positiva o negativa) o indefinida.

Podemos generalizar que para una función RRf n →: diferenciable en nRD ⊆ , si deseamos saber que tipo de puntos (máximo, mínimo o punto de silla) son sus puntos estacionarios Da ∈ , deberemos analizar cómo se define ( ).afH

Donde ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∂

∂∂∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂∂∂

∂

∂

=

2

2

2

2

1

2

2

2

22

2

12

21

2

21

2

21

2

nnn

n

n

xaf

xxaf

xxaf

xxaf

xaf

xxaf

xxaf

xxaf

xaf

afH

L

MOMM

L

L

es la matriz hessiana

evaluada en el vector a (donde a es un punto estacionario). Por tanto:

• Si la matriz Hessiana analizada en ese punto es definida negativa, entonces estamos hablando de un punto máximo relativo.


360

• Si la matriz Hessiana analizada en ese punto es definida positiva, entonces estamos hablando de un punto mínimo relativo.

• Si la matriz Hessiana analizada en ese punto es indefinida, entonces estamos hablando de un punto de silla.

Ejemplo:

Determinar los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones:

1. ( ) 412332, 233 −−−++= xyxyxyxf

2. ( )4

, 22 ++=

yx

xyxf

3. ( ) 13210385,, 222 −+−−+−−= zyzxyxzyxf

Solución:

1. ( ) 412332, 233 −−−++= xyxyxyxf

Hallamos los puntos estacionarios, a través de la condición de primer orden:

0=

∇ af

=

−

−+=

∇

00

33

126620

020

y

xxaf

Desarrollando obtenemos los siguientes puntos estacionarios:

( )( )( )( )( )

−−

−−

==

1,11,11,2

1,2

, 00 yxa

Estudiaremos que clase de puntos estacionarios son a través de la condición de segundo orden:

+=

0

060

0612y

xafH

Para el punto estacionario ( )1,2 −− :

( )

−

−=−−

60018

1,2fH . Por lo tanto, la matriz Hessiana analizada en ese

punto estacionario es definida negativa. Entonces, el punto ( )1,2 −− es un máximo relativo.

Para el punto estacionario ( )1,2− :

( )

−=−

60018

1,2fH . Por lo tanto, la matriz Hessiana analizada en ese

punto estacionario es indefinida. Entonces, el punto ( )1,2− es un punto de silla.

447

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