CAPITULO ILgica proposicional 1 Matemtica para todos Ante nosotros tenemos una teora loca, pero la cuestin reside en lo siguiente; es lo suficientemente loca como para adems resultar justa! NIELS BOHR Autos: Franklin Briceo. CAPITULO ILgica proposicional 2 CAPITULO I: Lgica proposicional Grandespensadoreshandejadosuhuellaenlaciencia;enlalgica proposicional tenemos: Aristteles(384322a.C)filsofogriego,elpadredela lgica. GottlobFrege(18481925)lgicoymatemticoalemn,su trabajo influy en los lgicos y matemticos modernos. DavidHilbert(18621943)matemticoalemn,sustrabajos de geometra plasman la necesidad ineludible de la lgica. KurtGdel(19061978)lgicoymatemticocheco, demostr el teorema de la incompletitud semntica. BertrandRussell(18721970)filsofoymatemtico britnico, sent las bases de la lgica moderna. Esta es mi frase: Eldisfruteporlamatemtica,radicaennotemerlede antemano Franklin Briceo. CAPITULO ILgica proposicional 3 1.1 Lgica. Eslacienciaqueestudiaelconocimiento,nosayudaarazonary expresarnos correctamente. En ste captulo nos referiremos a las nociones de lgica proposicional, sin entrar al anlisis de la lgica aristotlica. 1.2 Proposicin. Es toda expresin que pueda asignarle un valor de verdad. Las proposiciones se simbolizan con letra minscula (p, q, r). 1.2.1 Valor de verdad. Eslacualidaddeverdadero(V)ofalso(F)queposeeuna proposicin. Ejemplos de proposiciones Ejemplo 1. a: Holanda fue finalista en la copa mundial de ftbol en 1970. Falso(F).HolandafuefinalistaenAlemania74y Argentina78.Comohemospodidoasignarvalordeverdad,aesuna proposicin. Ejemplo 2. b: La capital de Ghana es Accra. besunaproposicin,porquepodemosasignarvalorde verdad.ComoAccraeslacapitaldeesepasafricano,laproposicines verdadera (V). Ejemplo 3. c: Barnard es la estrella ms cercana a nuestro sistema solar. Falso (F). La estrella ms cercana es Alfa Centauro, dista 4.3 aos luz; mientras Barnard se encuentra de nuestro sistema a 6 aos luz. Al asignarvalordeverdad,podemosdecirquelaexpresinesuna proposicin. Ejemplo4.d:Lastablasdemoissestabancompuestaspor8 mandamientos. Falso(F).Paraloscristianos,MoisssubialmonteSina (Egipto),dondeDiosleentregdostablasdepiedraquecontenan10 mandamientos. Ejemplo 5. e: El prefijo in se transforma en ir delante de palabras que empiezan con r. Verdadero(V).Elpoderasignarvalordeverdad,conviertea e en una proposicin. Ejemplos de tal regla son: irrompible e irracional. CAPITULO ILgica proposicional 4 Ejemplo 6. f: 3 + 2 = 6 Falso (F). 3 + 2 = 5. Si ha sido posible decir que la expresin es verdadera o falsa, f es una proposicin. Ejemplo 7. g: La astenosfera es una capa atmosfrica. Falso(F).LaastenosferaesunazonadelaTierraque comprende la corteza terrestre y las capas superiores del manto. Ejemplo8.h:EstadosUnidosdeAmricafueelprimerpasenponerun hombre en el espacio exterior. Falso(F).ElrusoYuriGagarin,en1961,abordodelanave espacialVostok,seconvirtienelprimerhombreenrealizarunviaje csmico.Alasignarunvalordeverdadah,podemosdecirquestaes una proposicin. Ejemplo 9. i: La Primera Guerra Mundial se desarrollo entre 1914 y 1918. Verdadero(V).Losaustrohngarosledeclararonlaguerraa Serbia en juliode 1914. Por razones de alianzas o tratados, otras naciones participaronenelconflicto,hastaconvertirseenunaguerramundialque culmin en 1918 con la firma de la paz. Si a la expresin se asigna un valor de verdad, i es una proposicin. Ejemplo 10. j: La cartida es una arteria. Verdadero(V).jesunaproposicinporquepodemos asignar un valor de verdad. La cartida es una arteria del sistema circulatorio humano, se encuentra en laparteanterolateraldelcuello(parteslaterales)yllevalasangreal cerebro. Ejemplos de expresiones que no son proposiciones Ejemplo 1. Hola! Podra usted decir si esta expresin es verdadera o falsa? No se puede asignar valor de verdad; por lo tanto, no es proposicin. Ejemplo 2. x + 2 = 7. No es proposicin. Se nos dificulta asignar valor de verdad, ya que no conocemos los valores de x. Ejemplo 3. Cundo volvers? Talexpresinnoesunaproposicin,imposibleasignarvalor de verdad. CAPITULO ILgica proposicional 5 Ejemplo 4. Ojal las hojas no te toquen el cuerpo cuando caigan No es proposicin. Es extracto de una cancin del mejor trovador hispano, Silvio Rodrguez. Ejemplo 5. Corri, lleg, durmi Obviamente no podemos asignar valor de verdad. Quin fue el que lleg, corri y durmi? Ejercicios:Escribir3expresionesqueseanproposicionesy3quenolo sean. Esfurceseporhacerlatarea.Siustedlolograsolo,sesentirmuy regocijado. 1.2.2 Conectivos lgicos Sonpartculasgramaticalestalescomoy,o, sientonces, si y slo si que enlazan proposiciones. ConectivoSmboloInterpretacin Conjuncin . y, pero Disyuncin v o Condicional Si entonces implica Bicondicional si y slo si equivale Existe otra partcula gramatical, llamada modificador, esta es no SmboloInterpretacin ~ No No es cierto que Es falso que 1.2.3 Proposiciones simples y compuestas 1.2.3.a Proposicin simple Es aquella que en su estructura no posee conectivo lgico. Nota: Si una proposicin posee nicamente el modificador no, sta seguir siendo una proposicin simple. 1.2.3.b Proposicin compuesta Sonaquellasqueposeenalmenosunconectivolgicoensu estructura. CAPITULO ILgica proposicional 6 Ejemplos de proposiciones simples y compuestas Ejemplo 1. p: Vaduz es la capital de Liechtenstein. Al faltarle conectivo lgico, decimos que es una proposicin simple. Ejemplo 2. q . r : Isabel fue la madre de Juan el Bautista y Mara la de Jess. Poseeelconectivolgicodelaconjuncin.q.resunaproposicin compuesta. Ejemplo 3. m: El tmpano es una membrana que separa el odo medio del conducto auditivo externo. Sin poseer conectivo lgico, m es proposicin simple. Ejemplo 4.~n: No es cierto que Venus tenga satlites naturales. Auncuandoposeeelmodificador,perosinconectivolgicoensu estructura; n es proposicin simple. Ejemplo 5. s v t: Se escribe b despus de m o el triptongo es la unin de tres vocales en una misma slaba. La proposicin es compuesta. Posee en su estructura el conectivo lgico de la disyuncin o. Ejemplo 6. p q: Si Keops, Kefrn y Micerino son las pirmides ms importantes de Egipto, entonces el Nilo es el ro ms largo del mundo. Actenemosotroejemplodeproposicincompuesta,porquehay proposiciones simples enlazadas con, al menos, un conectivo lgico. Ejemplo 7. a: Cristbal Coln llego a Amrica en 1942. aesunaproposicinsimple,yaquenoposeeconectivolgicoensu estructura. Ejemplo 8. b: La mitocondria es una parte de la clula encargada deobtener energa catablica. Como la proposicin b no posee conectivo lgico, podemos decir que la proposicin es simple. Ejemplo 9. c d: El ocano ms grande del mundo es el pacfico, si y slo si el 70% del planeta est cubierto por agua. cdesunaproposicincompuesta,poseeelconectivolgico bicondicional si y slo si. CAPITULO ILgica proposicional 7 Ejemplo 10. h k: Si 3 2 = 6, entonces 3 + 3 = 6. Laexpresinposeealmenosunconectivolgico,porlotantoesuna proposicin compuesta.

Observacin: Todas las proposiciones anteriores son verdaderas. 1.3 Proposiciones fundamentales 1.3.1 Proposicin conjuntiva Estodaproposicincompuestaqueensuestructuraposeeel conectivo lgico de la conjuncin. Tabla de verdad para la conjuncin pq p . q VVV VFF FVF FFF Podemos observar que la proposicin conjuntiva slo es verdadera cuando ambasproposicionessonverdaderas;casocontrario,laproposicines falsa. Intentemos comprender la tabla de verdad anterior. i. p . q: Newton estudi constantemente y estudiar incrementa laposibilidad de xito acadmico. Inicialmente separemos las proposiciones componentes p: Newton estudi constantemente. Esta proposicin es verdadera (p: V). Si no fuera as, Newton jams habra podido formular leyes fsicas antes de los 30 aos de edad. IsaacNewton (1,642 1,727) matemtico, fsico y astrnomo ingls. Uno de los hombres de ciencia ms grande de la historia humana. q: estudiar incrementa la posibilidad de xito acadmico. Laproposicinesverdadera(q:V).Entremsestudiamos,mayores conocimientosadquirimos,locualnospermiteincrementarlaposibilidad de alcanzar xito acadmico; aprobar los cursos escolares y destacarnos en stos. Laproposicinconjuntiva,estotalmenteverdadera(p.q:V).Tanto estudio le dio mucho conocimiento a Newton y por ende xito. CAPITULO ILgica proposicional 8 ii. p . r: Newton estudi constantemente y estudiar disminuye laposibilidad de xito acadmico. La primera proposicin es verdadera (p: V), los bigrafos de Isaac Newton sealanquefueunhombrecomprometidoconelestudio,anlisisy reflexin. r: estudiar disminuye la posibilidad de xito acadmico. Existenvariasformasdeaprobaruncursoescolar,yaseaquesuprofesor se equivoque a la hora de calificar, usted haga trampa en los exmenes, etc. Pero el xito, slo lo obtendr, estudiando sistemtica y constantemente. La proposicin r es falsa (r: F). ObservemosquesiNewtonestudiabamucho,noesposiblequesus posibilidadesdexitodisminuyeran.Porlotanto,laproposicin compuesta, en su conjunto, es falsa (p . r: F). iii. s . q: Newton estudi poco y estudiar incrementa la posibilidad de xito acadmico. Separemos las proposiciones s: Newton estudi poco. Por lo sealado en prrafos anteriores, la proposicin es falsa (s: F). q: estudiar incrementa la posibilidad de xito acadmico. La proposicin es verdadera (q: V). Sabemosqueestudiarpocoimposibilitalacomprensindecualquier materiadeestudio.Sinelestudioconstante,Newtonjamshubiese alcanzado tanto xito. En su conjunto, la proposicin es falsa (s . q: F). iv. s . r: Newton estudi poco y estudiar disminuye la posibilidad de xito acadmico. Es evidente que las proposiciones componentes s y r, son falsas. Es por eso que la proposicin compuesta es totalmente falsa (s . r: F). Espero que elanlisisde lascuatro proposicionesconjuntivas, lepermiti comprenderlalgicadetrsdelatabladevaloresy,elporque,la proposicinconjuntivanicamenteesverdadera,cuandoambas proposiciones componentes son verdaderas. CAPITULO ILgica proposicional 9 Ejemplos de proposiciones conjuntivas y sus valores de verdad Ejemplo 1. a . b: Pekn es la capital de China y Temudjin fue el fundador del imperio mongol. Separemos las proposiciones a: Pekn es la capital de China. (V) b: Temudjin fue el fundador del imperio mongol. (V) Comoambasproposicionessonverdaderas,laproposicinconjuntiva tambin es verdadera. Simblicamente, a . b: V. Temudjin(1,1671,227)mejorconocidocomoGengiskan,unodelos grandes conquistadores de la historia. Ejemplo 2. c . d: Se escribe ) delante de a, o, u y (beta) es la sexta letra del alfabeto griego. Inicialmente separemos las proposiciones simples componentes c: se escribe ) delante de a, o, u. (V) d: (beta) es la sexta letra del alfabeto griego. (F) es la segunda letra del alfabeto griego, la sexta letra es (theta). Auncuandolaproposicincesverdadera,laproposicinconjuntivaes falsa. Esto se debe a que la proposicin d, es falsa. Simblicamente, c . d: F. Ejemplo3.e.f:Elaparatodigestivoiniciaenlafaringeylaspartidas son un par de glndulas salivales. Separemos la proposicin compuesta en dos simples e: El aparato digestivo comienza en la faringe. (F) f: Las partidas son un par de glndulas salivales. (V) Laprimeraproposicinesfalsa;porque,labocaeseliniciodelaparato digestivo. La segunda proposicin es verdadera; ya que las partidas junto a las submaxiliares y sublinguales son los tres pares de glndulas salivales. Laproposicinconjuntivaesfalsa,porquealmenosunadesus proposiciones componentes es falsa. Simblicamente, e . f: F. Ejemplo4.~g.h:Losanimalesnotienennutricinhetertrofaylos porferos son metazoos complejos. Analicemos las proposiciones simples componentes g: Los animales tienen nutricin hetertrofa. (V) ~g: los animales no tienen alimentacin hetertrofa. (F) CAPITULO ILgica proposicional 10 Observequestaproposicin(~g)esnegativa,perosiguesiendo proposicin simple. Como g es verdadera, ~g es falsa. h: Los porferos son metazoos complejos. (F) Losporferos(conocidoscomoesponjas)sonlosmetazoosmssencillos, por tal razn la proposicin h es falsa. Simblicamente, ~g . h: F. Ejemplo5.I.j:Elaceroesunelementoqumicoylaecuacinqumica del agua es H2O. Analicemos las proposiciones por separado i: El acero es un elemento qumico. (F) j: la ecuacin qumica del agua es H2O. (V) El acero no puede ser considerado elemento qumico, puesto que es hierro fundido disminuido en carbono. Comounadelasproposicionescomponentesesfalsa,laproposicin conjuntiva es falsa. Simblicamente, i . j: F. Ejemplo 6. k . l: La Luna dista de la Tierra 384 000 km y la luz solar llega a nuestro planeta instantneamente. k: La luna dista de la Tierra 384 000 km. (V) Auncuandoestadistanciaesaproximada,podemosaceptarlacomo correcta. l: la luz solar llega a nuestro planeta instantneamente. (F) Laluz delSoltarda msde8minutosenllegaralaTierra.Esto significa quesielSolseapagaraenesteinstante,nosdaramoscuenta8minutos despus. Con una de las proposiciones (k l) que sea falsa, la proposicin conjuntiva es falsa. Simblicamente, k . l: F. Ejemplo 7. m . n: Un byte es la unidad mnima de la computacin y bit es una cadena fija de 8 bits empleada para codificar un carcter. Dividamos la proposicin compuesta, en dos simples m: Un byte es la unidad mnima de la computacin. (F) La proposicin m es falsa. Byte es una voz inglesa que significa: cadena fija de 8 bits empleada para codificar un carcter. n: bit es una cadena fija de 8 bits empleada para codificar un carcter. (F) Estaproposicinesfalsa,bit(vozinglesa)eslaunidadmnimadela computacin. Por lo tanto, m . n: F. Ejemplo 8. El Corn es el libro sagrado de los mahometanos y La Biblia es el libro sagrado de los cristianos. CAPITULO ILgica proposicional 11 Ambasproposicionescomponentessonverdaderasy,portalrazn,la proposicin conjuntiva es verdadera. Mahoma (570 632) fundador del Islam. Ejemplo9.P.q:Elprimerservivienteenviadoalespaciofuelaperra Laika, pero el Voyager fue el primer satlite lanzado al espacio. Separemos las proposiciones p: El primer ser viviente enviado al espacio fue la perra Laika. (V) q: El Voyager fue el primer satlite lanzado al espacio exterior. (F) En 1957, los rusos lanzaron el Sputnik, primer satlite artificial que orbit alrededor de la Tierra. Ese mismo ao, Laika fue enviada en el Sputnik II. Conunaproposicincomponentefalsa,laproposicinconjuntivaser falsa. Simblicamente, p . q: F. Ejemplo 10. r . s: 4 + 3 = 8, pero 6 5 = 2. Analicemos las proposiciones componentes por separado r: 4 + 3 = 8. (F) s: 6 5 = 2. (F) Evidentemente,ambasproposiciones,sonfalsas.Locualsignificaquela proposicin conjuntiva tambin es falsa. Simblicamente, r . s: F. Ejerciciospropuestos.Encuentreelvalordeverdaddelasproposiciones conjuntivas siguientes. 1. La Tierra posee un satlite natural y Europa es un pas. 2. Chile es un pas africano, pero Honduras un pas americano. 3. 3 5 = 15 y 9 3 = 28. Esfurceseporhacerlocorrectamenteycompartalassolucionesconsu mentor. 1.3.2 Proposicin disyuntiva Estodaproposicincompuestaqueensuestructuraposeeel conectivo lgico de la disyuncin. Tabla de verdad para la disyuncin pqp v q VVV VFV FVV CAPITULO ILgica proposicional 12 FFF Laproposicindisyuntiva,sloesfalsa,cuandoambasproposicionesson falsas; caso contrario es verdadera. Interpretemos lo que expresa la tabla anterior i. p v q: Pasteur estudi constantemente o estudiar incrementa laposibilidad de xito acadmico. Separemos la proposicin compuesta en dos proposiciones simples p: Pasteur estudi constantemente. (V) Luispasteur(1,8221,895)qumicoybilogofrancs,connotado cientfico que invent las vacunas. q: Estudiar incrementa la posibilidad de xito acadmico. (V) Pasteurfueuncientficoestudiosoo,indudablemente,estudiar incrementarlasposibilidadesdesobresalirenlasclases.Porlotanto,la proposicin disyuntiva es totalmente verdadera. Simblicamente, p v q: V. ii. p v r: Pasteur estudi constantemente o estudiar disminuye la posibilidad de xito acadmico Dividamoslasproposicincompuestaenlasdosproposicionessimples existentes. p: Pasteur estudi constantemente. (V) r: Estudiar disminuye la posibilidad de xito acadmico. (F) Notequelaproposicincondicionaltienesentidoopcionalentrelas proposiciones componentes (p, r). Aun cuando la segunda proposicin sea falsa, basta que la primera sea verdadera para que la proposicin disyuntiva sea verdadera. Simblicamente, p v r: V. iii. s v q: Pasteur estudi poco estudiar incrementa la posibilidad de xito acadmico. Aun cuando la primera proposicin s sea falsa, la proposicin disyuntiva es verdadera. Las razones las explicamos en el ejemplo anterior. Simblicamente, s v q: V. iv. s v r: Pasteur estudi poco o estudiar disminuye la posibilidad de xito acadmico. CAPITULO ILgica proposicional 13 Observemosqueambasproposicionescomponentessonfalsas;porlo tanto, las dos opciones son falsas.La proposicin disyuntiva es totalmente falsa. Simblicamente, s v r: F. Ojal!Loscuatroejemploslepermitancomprender,elporquela proposicindisyuntivaesfalsaslocuandoambasproposiciones componentes sean falsas. Ejemplos de proposiciones disyuntivas y sus valores de verdad Ejemplo1.avb:SofaeslacapitaldeBulgariaoelcontinenteeuropeo tiene una superficie mayor a los 15 millones de km2. Averigemos el valor de verdad de las proposiciones componentes a: Sofa es la capital de Bulgaria. (V) b:Elcontinenteeuropeotieneunasuperficiemayorlos15millonesde km2. (F) La proposicin b es falsa, la extensin superficial de Europa es un poco mayor a los 10 millones de km2. Por lo tanto, la proposicin disyuntiva es verdadera. Simblicamente a v b: V. Ejemplo2.cvd:ElLevticoesunlibrodeLaBibliaquetratasobrela vida de Adn o Lucas fue un discpulo de Jess. c: El Levtico es un libro de La Biblia que trata sobre la vida de Adn. (F) Laproposicinesfalsa,porque:EllibroquehablasobreAdnesel Gnesis; el Levtico trata acerca de las leyes divinas, al igual que Nmeros y Deuteronomio. d: Lucas fue un discpulo de Jess. (F) Lucasfueelescritordeltercerevangeliosinptico,basndoseenel evangelio de Marcos. Acompa en ciertos viajes a San Pablo. Comoambasproposicionessonfalsas,laproposicindisyuntivatambin es falsa. Simblicamente c v d: F. Ejemplo3.evf:Elestmagoesunsacodeltubodigestivocon aproximadamente 25 cm de longitud o el cardias es su orificio de entrada. Ambasproposicionescomponentessonverdaderas,estoimplicaquela proposicin disyuntiva es verdadera (verdadero verdadero, es verdadero). Simblicamente e v f: V. Ejemplo 4. g v h: Las palabras son esdrjulas cuando la slaba tnica es la penltima o se escribe con b el pretrito imperfecto indicativo del verbo ir. CAPITULO ILgica proposicional 14 g: Las palabras son esdrjulas cuando la slaba tnica es la penltima. (F) Laproposicingesfalsa.Aquellaspalabrascuyaslabatnicaesla penltima, se llaman graves o llanas. Las esdrjulas poseen el acento en la antepenltima slaba (ejemplo: cnyuge, telfono, etc.). h: Se escribe con b el pretrito imperfecto indicativo del verbo ir. (V) Talproposicinesverdadera.Seescribenconb:iba,ibas,bamos,ibais, iban. Envistaquelaprimeraproposicinesfalsaylasegundaesverdadera,la proposicindisyuntivaesverdadera.Recuerdequelasproposiciones disyuntivas, nicamente son falsas, cuando ambas proposiciones son falsas. Simblicamente g v h: V. Falso verdadero, es verdadero. Ejemplo5.ivj:NeilArmstrongfueelprimerhombreenponerunpie sobre la luna o el satlite natural Desdmona fue descubierto por Galileo. i: Neil Armstrong fue el primer hombre en poner un pie sobre la luna. (V) El21dejuliode1969,ArmstrongyAldrin,abordedelmdulolunar estadounidenseEagle,alunizaronenelmardelatranquilidad.Eseda, Armstrong se convirti en el primer hombre en pisar suelo lunar. j: El satlite natural Desdmona fue descubierto por Galileo. (F) En 1986, la sonda espacial estadounidense Vyager, descubri entre otras- Desdmona, luna de Urano. Aunque la proposicin j es falsa, la proposicin disyuntiva es verdadera (verdadero falso, es verdadero). Simblicamente i v j: V. Ejemplo6.kv~l:CupidoeselDiosromanodelamoroesfalsoque Estados Unidos de Amrica invadi a Canad en 1989. Separemos las proposiciones componentes k: Cupido es el Dios romano del amor. (V) Enlamitologaromana,cupidohijodeladiosaVenuseselDiosdel amor. l: Estados Unidos de Amrica invadi a Canad en 1989. (F) ~l: Es falso que Estados Unidos de Amrica invadi a Canad en 1989. (V) Como la proposicinl es falsa, al negarla se convierte en verdadera. En 1989,EstadosUnidosintervinomilitarmentealaRepblicadePanamy destituy de la presidencia al general Noriega. La proposicin disyuntiva es verdadera. Simblicamente k v ~l: V. Ejemplo7.~mv~n:LaGiocondanofuepintadaporDaVincioRuben Daro no fue poeta. CAPITULO ILgica proposicional 15 m: La Gioconda fue pintada por Da Vinci. (V) ~m: La Gioconda no fue pintada por Da Vinci. (F) Leonardo Da Vinci (1,452 1,519) cientfico polifactico italiano, creador de varias pinturas famosas, entre ellas La Gioconda. n: Rubn Daro fue poeta. (V) ~n: Rubn Daro no fue poeta. (F). FelixRubnGarcaSarmiento(1,8671,916)conspicuopoeta nicaragense. Mejor conocido como Rubn Daro. Ambasproposicionescomponentes,ademsdesersimples(ancuando poseenelmodificadorno),sonfalsas.Laproposicindisyuntivaesfalsa. Simblicamente ~m v ~n: F. Ejemplo 8. p v q: La biosfera es la parte de la Tierra donde se imposibilita el desarrollo de la vida o la humanidad necesita de los bosques. p: La biosfera es la parte de la Tierra donde se imposibilita el desarrollo de la vida. (F) Talproposicinesfalsa,porquelabiosferaeslaregindelplaneta (comprendelatroposfera,litosferaehidrosfera)endondesedesarrollala vida. q: La humanidad necesita de los bosques. Evidentementestaproposicinesverdadera.Losrbolesdurantela fotosntesis liberan oxgeno; de ah la necesidad de preservar los bosques del mundo. Auncuandolaprimeraproposicinesfalsa,laproposicindisyuntivaes verdadera. Simblicamente p v q: V. Ejemplo9.rvs:LaBotnicaeslapartedelaBiologaqueestudialos insectos o las clorofitas son algas verdes. r: La Botnica es la parte de la Biologa que estudia los insectos. (F) La Botnica estudia, describe y clasifica los vegetales. La entomologa es la que estudia los insectos. s: Las clorofitas son algas verdes. (V) Independientementequelaproposicinrseafalsa,laproposicin disyuntiva es verdadera. Simblicamente r v s: V. Ejemplo10.tvu:Losmarsupialesposeenunabolsaabdominaloel crecimiento del hombre dura hasta los 20 aos. Comoambasproposicionessonverdaderas,laproposicindisyuntivaes verdadera. CAPITULO ILgica proposicional 16 Ejercicios: Encuentre el valor de verdad de las proposiciones disyuntivas. 1. San Salvador es la capital de El Salvador o el hundimiento del Titnic es un mito. 2. Bogot es la capital de Grecia o Canad es el pas con mayor poblacin. 3. La partcula gramatical la es un verbo o los perros pertenecen al orden de los primates. Si inicialmente no lo comprende, lea nuevamente e intente resolver. 1.3.3 Proposicin condicional Esaquellaformadapordosproposicionesenlazadasconla expresin Sientonces o implica. Tabla de verdad pqP q VVV VFF FVV FFV Laproposicincondicional,sloesfalsa,cuandoelantecedentees verdadero y el consecuente falso; caso contrario es verdadera. Analicemos el sentido lgico de dicha tabla de verdad i. p q: Si Galileo estudi constantemente, entonces estudiar incrementa la posibilidad de xito acadmico. p: Galileo estudi constantemente. (V) GalileoGalilei(1,5641,642)fsico,matemticoyastrnomoitaliano, padre de la Fsica cuantitativa. q: estudiar incrementa la posibilidad de xito acadmico. (V) Laideaseralosiguiente:Galileofueunestudiosodelanaturalezaque trabajincansablemente,loquefuedecisivoparaelxitoensustrabajos cientficos. Tanto as, despus de varios siglos, aun se le recuerda y seguir siendorecordado.Laproposicincondicionalestotalmenteverdadera. Simblicamente p q: V. ii. p r: Si Galileo estudi constantemente, entonces estudiar disminuye la posibilidad de xito acadmico. p: Galileo estudi constantemente. (V) r: estudiar disminuye la posibilidad de xito acadmico. (F) CAPITULO ILgica proposicional 17 Pensemos en los siguiente: Tanto esfuerzo y constancia por comprender la naturaleza debe tener alguna recompensa, imposible que Galileo no hubiese alcanzado cierto nivel de xito. Por eso la proposicin condicional es falsa. p q: F. Nota:Lamayoraasociaelxitoconeldineroquesegana,perolos cientficos no suelen reunir grandes fortunas; por lo que el xito de stos, es su desinteresado trabajo por la humanidad. iii. s q: Si Galileo estudi poco, entonces estudiar aumenta la posibilidad de xito acadmico. s: Galileo estudi poco. (F) q: Estudiar incrementa la posibilidad de xito acadmico. (V) Comprendamos que aun cuando Galileo hubiese estudiado poco, no deja de sermenosverdadero,quesiestudiamostenemosmayorposibilidadde aprobar una materia o cualquier curso. Lo que nos permite asegurar quela proposicin condicional es verdadera. s q: V. iv. s r: Si Galileo estudi poco, entonces estudiar disminuye la posibilidad de xito acadmico. Separemos las proposiciones s: Galileo estudi poco. (F) r: Estudiar disminuye la posibilidad de xito acadmico. (F) SiGalileohubiesepuestopocointersenestudiarycomprenderlasleyes que rigen la naturaleza, no pudiera considerarse uno de los cientficos ms sobresalientesyexitosodelahistoriahumana.Encontraste,eldesinters porlosestudiosnosdisminuirlasposibilidadesdexitoacadmico.Nos lleva a concluir que la proposicin es verdadera. s r: V. Ejemplos de proposicin condicional y sus valores de verdad Ejemplo1.vw:Silaesclerticaeslacapaexternadelgloboocular, entonces la miopa es la falta de visin clara de objetos distantes. Analicemoselvalordeverdaddelaproposicionesantecedentey consecuente. v: La esclertica es la capa externa del globo ocular. (V) La esclertica es la parte blanca nacarada de nuestro ojo. w: La miopa es la falta de visin clara de objetos distantes. (V) Cuando los ojos de una persona crean la imagen de un objeto, no sobre la retina, sino delante de ella, son miopes. CAPITULO ILgica proposicional 18 La proposicin condicional es verdadera. simblicamente, v w: V. Ejemplo 2. t u: Si Helsinki es la capital de Finlandia, entonces Kano es la capital de Nigeria. Separemos las proposiciones y analicemos sus valores de verdad t: Helsinki es la capital de Finlandia. (V) Helsinki es la capital de ese pas de la Europa septentrional. u: Kano es la capital de Nigeria. (F) La capital de Nigeria (pas africano) es Abuja. Por lo tanto, la proposicin u es falsa. En su conjunto la proposicin condicional es falsa (verdadero implica falso, es falso). Simblicamente, t u: F. Ejemplo 3. r s: Si Kepler fue dramaturgo, entonces Bohr fue fsico. JohannesKepler(1,5711,630)astrnomoymatemticoalemn. Determintresleyesrelativasalmovimientodelosplanetas,conocidas como las tres leyes de Kepler. Niels Bohr (1,885 1,962) fsico dans. Premio Nobel de Fsica en 1,922. r: Kepler fue dramaturgo. (F) s: Bohr fue fsico. (V) Comolaproposicinantecedenteesfalsaylaconsecuenteverdadera,la proposicin condicional es verdadera. Simblicamente, r s: V. Ejemplo4.pq:SiRomasefundamediadosdelsigloVIII(a.C), entonces Alejandro Magno fue mdico. Al separar las proposiciones, tenemos p: Roma se fund a mediados del siglo VIII (a. C.). (V) q: Alejandro Magno fue mdico. (F) Enestecasoelantecedenteesverdaderoyelconsecuentefalso.La proposicin condicional es falsa. Simblicamente, p q: F. AlejandroMagno(356325a.C.)reyyconquistadormacedonio. Conquist Egipto, Susa (SO de Irn) y Perspolis (principal ciudad Persa). Ejemplo 5. m n: Si \16 = 8, entonces 32 = 6. Descomponemos en proposiciones simples m: \16 = 8. (F) n: 32 = 6. (F) CAPITULO ILgica proposicional 19 Comolasdosproposicionessonfalsas,laproposicincondicionales totalmenteverdadera.Recuerdeque:falsoimplicafalso,esverdadero. Simblicamente, m n: V. Errores comunes entre los estudiantes, son: a.Creerqueextraerrazcuadradaesequivalenteadividirentredos,lo cualesfalso.Extraerrazcuadradaesbuscarunnmeroque multiplicadoporsmismo(dosveces),elproducto,seaigualala cantidad subradical. As por ejemplo: \16 = 4, por que 4 4 = 16. b.Multiplicarlabaseporelexponente,resultaserotrodeloserrores. Cuandosetieneunapotencia,elexponenteindicalasvecesque debemos multiplicar la base por s misma. Ejemplo: 32 = 3 3 = 9 25 = 2 2 2 2 2 = 32. Ejemplo6.kl:Siseescribeconglaspalabrasqueterminanenloga, entonces se escriben comillas latinas (>) en la reproduccin fiel de las palabras dichas por alguien. Separemos las proposiciones componentes k: se escribe con g las palabras que terminan en loga. (V) l: se escriben comillas latinas en la reproduccin fiel de las palabras dichas por alguien. (V) Yaqueambasproposicionessonverdaderas,laproposicinconjuntivaes verdadera. k l: V. Ejemplo 7. i j: Si el Sol dista de la Tierra 150 millones de km, entonces a igual distancia se encuentran las estrellas. i: el Sol dista de la Tierra 150 millones de km. (V) j: Las estrellas se encuentran de la Tierra a igual distancia que el Sol. (F) La proposicin condicional es falsa, por que la proposicin antecedente es verdadera y la consecuente falsa. i j: F. Ejemplo 8. g h: Si la discontinuidad de Mohorovicic se encuentra entre elmantoylacortezaterrestre,entonceseldimetrodelaTierraesde 12756 km. g:ladiscontinuidaddeMohorovicicseencuentraentreelmantoyla corteza terrestre. (V) h: el dimetro de la Tierra es de 12 756 km. (V) Comoelantecedenteyconsecuentesonverdaderos,laproposicin condicional es verdadera. Simblicamente, g h: V. CAPITULO ILgica proposicional 20 Ejemplo9.df:Silaantpodadelosnicaragensesestenelmarde China, entonces Nicaragua es un pas africano. d: la antpoda de los nicaragenses est en el mar de China. (F) f: Nicaragua es un pas africano. (F) Falso implica falso, es verdadero. La proposicin condicional es verdadera. Simblicamente, d f: V. Ejemplo10.bc:SixodoeselsegundolibroenLaBiblia,entonces Jeric se encuentra en Alemania. b: xodo es el segundo libro en La Biblia. (V) c: Jeric se encuentra en Alemania. (F) Jeric fue conquistada por Josu y, es actual territorio de Jordania. Tenemosalaproposicinantecedenteverdaderaylaconsecuentefalsa. Implica que la proposicin condicional es falsa. b c: F. Ejercicios:Encuentreelvalordeverdadparalasproposiciones condicionales siguiente. 1. Si 3 + 4 = 7, entonces 3 7 = 24. 2. Si Amman es la capital de Siria, entonces Nueva Delhi es un pas. 3.Elaoterrestretiene48semanas,implicaqueunasemanatiene168 horas. Las soluciones encontrar fcilmente, nicamente debe ponerse a trabajar. 1.3.4 Proposicin bicondicional Esaquellaformadapordosproposiciones,enlazadasconel conectivo lgico si y slo si. Tabla de verdad pqp q VVV VFF FVF FFV Laproposicinbicondicionalesverdadera,nicamente,cuandolasdos proposiciones son verdaderas ambas falsas. CAPITULO ILgica proposicional 21 Reflexionemos sobre la tabla de valores de verdad i. p q: Al-Juarismi estudi constantemente, si y slo si estudiar incrementa la posibilidad de xito acadmico. Al-Juarismi (siglo VIII IX) matemtico rabe, internacionaliz el trmino al-jabr (lgebra). p: Al-Juarismi estudi constantemente. (V) q: estudiar incrementa la posibilidad de xito acadmico. (V) Al-Juarismiestudiconstantementeporquesabatalactitudlehara crecerintelectualmenteyacercarsealxito.Porraznexpuesta,la proposicin bicondicional es verdadera. Simblicamente, p q: V. ii. p r: Al-Juarismi estudi constantemente, si y slo si estudiar disminuye la posibilidad de xito acadmico. p: Al-Juarismi estudi constantemente. (V) r: estudiar disminuye la posibilidad de xito acadmico. (F) La proposicin bicondicional tiene carcter doblemente condicionado. Para verificarlaprimeraproposicin(p),esnecesarialasegunda(r);paraque ocurra la segunda proposicin, necesitamos de la primera proposicin. Jams,estudiarmucho,disminuirlaposibilidaddeobtenerxito.La proposicin bicondicional es falsa. Simblicamente, p q: F. iii. s q: Al-Juarismi estudi poco, si y slo si estudiar incrementa la posibilidad de xito acadmico. s: Al-Juarismi estudi poco. (F) q: estudiar incrementa la posibilidad de xito acadmico. (V) Elconocimientonoescomolalotera(unacuestindeazar),debe estudiarseparaobtenerlo.SiAl-Juarismihubieseestudiadopoco,sera imposible,fueseunodelosmatemticosmsreconocidosdelahistoria humana. La proposicin bicondicional es falsa. s q: F. iv.sr:Al-Juarismiestudipoco,siyslosiestudiardisminuyela posibilidad de xito acadmico. s: Al-Juarismi estudi poco. (F) r: estudiar disminuye la posibilidad de xito acadmico. (F) La proposicin bicondicional es verdadera. Con poco estudio, es imposible obtener xito en los cursos escolares. s r: V. Ejemplos adicionales de proposiciones bicondicionales CAPITULO ILgica proposicional 22 Ejemplo 1. a b: Rusia es el pas ms extenso del mundo,si y slo si el cucaso es una cordillera asitico europea. a: Rusia es el pas ms extenso del mundo. (V) La superficie de sta nacin es de 17 075 400 km2. b: el cucaso es una cordillera asitico europea. (V) El cucaso es una cordillera del sudeste de Europa, se extiende entre el mar Negro y el Caspio. Laproposicinbicondicionalesverdadera;yaqueambasproposiciones componentes, son verdaderas. Simblicamente, a b: V. Ejemplo 2. c ~d: Alemania apareci como reino independiente en el ao 843,siyslosiesfalsoquelaRepblicaChecacompartefronteracon Alemania. c: Alemania apareci como reino independiente en el ao 843. (V) EnlaciudadfrancesadeVerdn,seacordlareparticindelimperio carolingio(antiguosdominiosdecarlomagno)entrelostreshijosde Luvodipo Po. d: la Repblica Checa comparte frontera con Alemania. (V) ~d: Es falso que la Repblica Checa comparte frontera con Alemania. (F) Comounadelasproposicionescomponentesesfalsa,laproposicin bicondicional es falsa. Simblicamente, c d: F. Ejemplo 3. e f: Las rocas gneas se forman en las zonas profundas de la cortezaterrestre,siyslosilasmetamrficasseoriginanpor transformaciones de rocas preexistentes. e: Las rocas gneas se forman en las zonas profundas de la corteza terrestre. (F) Las rocas plutnicas son las que se forman en zonas profundas. Las gneas, son el resultado de la solidificacin del magma. f:lasrocasmetamrficasseoriginanportransformacionesderocas preexistentes. (V) Unadelasproposicionescomponentesesfalsa,estoimplicaquela proposicin bicondicional es falsa. e f: F. Ejemplo4.gh:Elesternocleidomastoideoesunestupefaciente,siy slo si el hipotlamo es una fortaleza chilena. g: El esternocleidomastoideo es un estupefaciente. (F) CAPITULO ILgica proposicional 23 Elesternocleidomastoideoesunmsculodelareginanterolateraldel cuello. h: el hipotlamo es una fortaleza chilena. (F) Elhipotlamoesunaporcindeldiencfalo(estructuraentrelosdos hemisferioscerebrales),destinadoalaregulacindelasprincipales funciones de la vida vegetativas (hambre, sed, etc). Podemosobservarquelasproposicionescomponentessonfalsas;porlo tanto, la proposicin bicondicional es verdadera. g h: V. Ejemplo 5. i j: Venus es el segundo planeta desde el Sol,si y slo si la Tierra dista de Jpiter 629 000 000 km, aproximadamente. i: Venus es el segundo planeta desde el Sol. (V) k: la Tierra dista de Jpiter 629 000 000 km, aproximadamente. (V) La proposicin bicondicional es verdadera. Simblicamente, i j: V. Ejemplo6.~lm:Noseescribenconletrainicialmaysculahechos histricos famosos, si y slo si se escribe con v el presente indicativo del verbo ir. l: se escriben con letra inicial mayscula hechos histricos famosos. (V) Ejemplos: Primera Guerra Mundial, Revolucin Francesa, etc. ~l:Noseescribenconletrainicialmaysculahechoshistricosfamosos. (F) m: se escribe con v el presente indicativo del verbo ir. (V) Falso,siyslosiverdadero,esfalso.Laproposicinbicondicionales falsa. ~l m: F. Ejemplo 7. p q: En Biologa, un grupo de gneros similares constituyen unaespecie,siyslosiCarlvonLinnrealizlaprimeraclasificacin sistemtica de los seres vivos. p: En Biologa, un grupo de gneros similares constituyen una especie. (F) Por el contrario, un grupo de especies similares constituyen un gnero. q:CarlvonLinnrealizlaprimeraclasificacinsistemticadelosseres vivos. (V) CarlvonLinn(1,7071,778)naturalistaymdicosueco;propusouna nomenclaturabinaria,utilizadaenlaactualidad,paraclasificarplantasy animales. La proposicin bicondicional es falsa. Simblicamente, p q: F. CAPITULO ILgica proposicional 24 Ejemplo 8. r s: La tenia pertenece a la clase Asquelmintos, si y slo si el cangrejo a los arcnidos. Ambasproposiciones(rys)sonfalsas;porlotantolaproposicin bicondicional es verdadera. Ejemplo9.tu:Isaasenelcristianismofueelprimerodelos profetas mayores, si y slo si Proverbios es un libro bblico de sabidura. Ambasproposicionescomponentessonverdaderas,raznsuficientepara que la proposicin bicondicional sea verdadera. t u: V. Ejemplo 10. x y: El azufre es un metal, si y slo si el boro es anftero. x: El azufre es un metal. (F) y: el boro es anftero. (V) Losanfterossoncapacesdedisociarsecomocidoycomobase. Evidentemente, x y: F. Ejercicios: Asigne valor de verdad a las siguientes proposiciones. i.WashintongeslacapitaldeUSA,siyslosiAlaskaesunestado canadiense. ii.GabrielGarcaMrquezescribilaIleada,siyslosiganelpremio Nobel de Literatura en 1982. iii. La superficie de Sudn es 2 505 813 km2, si y slo si se independiz en 1970. Qu espera para tomar lpiz y papel? el xito lo construir usted! 1.4 Algebra proposicional. Necesitamosaprenderadeterminarelvalordeverdaddeproposiciones compuestas que poseen cierto grado de complejidad. Para ello, utilizaremos la matriz de contingencia (Tabla de valores de verdad). Encuentre los posibles valores de verdad para las proposiciones compuestas Ejemplo 1. (p . q) v ~(p . q) Debemos proceder por partes, escudriemos con atencin la siguiente tabla pqp . q~(p . q)(p . q) v ~(p . q) VVVFV VFFVV FVFVV CAPITULO ILgica proposicional 25 FFFVV Observemos:Latercercolumnacontienelosposiblesvaloresdeverdad paralaproposicinconjuntivap.q(sloesverdadera,cuandoambas proposiciones componentes son verdaderas); despus, en la cuarta columna negamosdichaproposicinconjuntiva,~(p.q).Enlaquintayltima columna, determinamos los posibles valores de verdad para la proposicin disyuntiva (p . q) v ~(p . q), la cual ser falsa nicamente cuando ambas proposiciones componentes sean falsas. Ejemplo 2. p v ~p Construyamos la matriz de contingencia P~pp v ~p VFV FVV Podemos ver, que el valor de verdad para las proposiciones de los ejemplos 1 y 2, es siempre verdadero. 1.4.1 Tautologa Esunaproposicincompuesta,cuyovalordeverdadessiempre verdadera. Ejemplo 3. p . (~p . q) pq~p~p . qp . (~p . q) VVFFF VFFFF FVVVF FFVFF Al igual que losejemplos anteriores, debemos ir construyendo, columna a columna, la matriz de contingencia. Ejemplo 4. {|(p v q) r| . ~r} {(p v q) v r} pqr~rp v q(p v q) r(p v q) v r|(p v q) r| . ~r{|(p v q) r| . ~r} {(p v q) v r} VVVFVVVFF VVFVVFVFF VFVFVVVFF VFFVVFVFF FVVFVVVFF FVFVVFVFF FFVFFVVFF FFFVFVFVF CAPITULO ILgica proposicional 26 Lastresprimerascolumnas:Tienentodaslasposiblescombinacionesde losvaloresdeverdadparalasproposicionessimplescomponentes(p,qy r). Cuarta columna: La proposicin r, est negada. Quinta columna: Hemos encontrado la disyuncin, p q. Sexta columna: Tenemos valores de verdad para la disyuncin (p v q) r. Sptimacolumna:Encontramoslosvaloresdeverdadparalaproposicin condicional; si (p v q), entonces r. Octava columna: La proposicin condicional anterior y negada r, forman la proposicin conjuntiva. Novena columna: Utilizando los valores de verdad de la octava y sptima, para encontrar los valores de verdad de la proposicin bicondicional {|(p v q) r| . ~r} {(p v q) v r}. Las proposiciones compuestas encerradas entre signos de agrupacin (parntesis, corchete y llave) se consideran con un nico valor de verdad falso verdadero . Enlosejemplos3y4,losvaloresdeverdadparalasproposiciones compuestas, son todas falsas. 1.4.2 Contradiccin. Esaquellaproposicincompuesta,quesiempreserfalsa, independientementedelosvaloresdeverdaddesusproposiciones componentes. Ejemplo 5. s . (~t u) stu~t ~t us . (~t u) VVVFVV VVFFVV VFVVVV VFFVFF FVVFVF FVFFVF FFVVVF FFFVFF Si ponemos un poco de atencin, veremos que: CAPITULO ILgica proposicional 27 Unaproposicinsimple,contempladosposiblesvaloresdeverdad, verdadero o falso. Cuandohaydosproposicionessimplescomponentes,construimos cuatro filas de valores de verdad. En la primera columna, dos verdaderas y dos falsas. Contresproposicionessimplescomponentes,tendremos8filasde valores de verdad.Enla primercolumna 4verdaderas eigual cantidad de falsas. Latendenciaesevidente,altener5proposicionescomponentes construiremos 32 filas. En la primer columna 16 verdaderas y 16 falsas; la segundacolumnaestarformadaporvaloresdeverdadintercaladas8 verdaderas, 8 falsas, 8 verdaderas, 8 falsas. Cuntas filas necesitamos para 4 proposiciones componentes? y para 6 proposiciones componentes? Ejemplo 6. (p v q) . (~r s) PqrS~rp v q~r s(p v q) . (~r s) VVVVFVFF VVVFFVVV VVFVVVVV VVFFVVFF VFVVFVFF VFVFFVVV VFFVVVVV VFFFVVFF FVVVFVFF FVVFFVVV FVFVVVVV FVFFVVFF FFVVFFFF FFVFFFVF FFFVVFVF FFFFVFFF Lonot!Tenemos16filasdevaloresdeverdadporqueson4 proposiciones componentes (p, q, r y s) En los ejemplos 5 y 6, vemos que las proposiciones compuestas no siempre son verdaderas, ni siempre falsas. 1.4.3 Contingencia CAPITULO ILgica proposicional 28 Esunaproposicincompuestaquenoestautologani contradiccin. Ejemplo 7. |~q . (p q)| ~p Pq~p~qp q~q . (p q)|~q . (p q)| ~p VVFFVFV VFFVFFV FVVFVFV FFVVVVV A sta tautologa se le conoce como Modus Tollendo Tollens. Ejemplo 8. |~p . (p v q)| q Pq~pp v q~p . (p v q)|~p . (p v q)| q VVFVFV VFFVFV FVVVVV FFVFFV Tautologa conocida como Modus Tollendo Ponens. Ejemplo 9. (f g) v (h i) fghIf gh i(f g) v (h i) VVVVVVV VVVFVFV VVFVVFV VVFFVVV VFVVFVV VFVFFFF VFFVFFF VFFFFVV FVVVVVV FVVFVFV FVFVVFV FVFFVVV FFVVVVV FFVFVFV FFFVVFV FFFFVVV CAPITULO ILgica proposicional 29 Ejemplo 10. {|(p . ~q) (~p . q)| |~(r v p) . s|} . t pqrst~p~qp . ~q~p . qr v p~ (r v p)(p . ~q) (~p . q)~ (r v p) . s|(p . ~q) (~p . q)| |~(r v p) . s|{ |(p . ~q) (~p . q)| |~(r v p) . s| } . t VVVVVFFFFVFVFFF VVVVFFFFFVFVFFF VVVFVFFFFVFVFFF VVVFFFFFFVFVFFF VVFVVFFFFVFVFFF VVFVFFFFFVFVFFF VVFFVFFFFVFVFFF VVFFFFFFFVFVFFF VFVVVFVVFVFFFVV VFVVFFVVFVFFFVF VFVFVFVVFVFFFVV VFVFFFVVFVFFFVF VFFVVFVVFVFFFVV VFFVFFVVFVFFFVF VFFFVFVVFVFFFVV VFFFFFVVFVFFFVF FVVVVVFFVVFVFFF FVVVFVFFVVFVFFF FVVFVVFFVVFVFFF FVVFFVFFVVFVFFF FVFVVVFFVFVVVVV FVFVFVFFVFVVVVF FVFFVVFFVFVVFFF FVFFFVFFVFVVFFF FFVVVVVFFVFVFFF FFVVFVVFFVFVFFF FFVFVVVFFVFVFFF FFVFFVVFFVFVFFF FFFVVVVFFFVVVVV FFFVFVVFFFVVVVF FFFFVVVFFFVVFFF FFFFFVVFFFVVFFF Las proposiciones de los ejemplos 9 y 10, son contingenciaCAPITULO ILgica proposicional 30 Esprobablequebostezaraypasaradelargolastablasanteriores.Le sugiero tome papel y lpiz e intente seguir el procedimiento. Estoy seguro que transcurridos 3 minutos, se estar divirtiendo! Ejercicios:Culesdelasproposicionescomponentessontautooga, contradiccin contingencia? i. (p . q) p ii. p (~p q) iii. p ~p 1.5 Equivalencias lgicas Dosproposicionescompuestas,sonequivalentes,siposeenlas mismas tablas de verdad. Se simboliza Ejemplos de equivalencias lgicas Ejemplo 1. ~(p . q) ~p v ~q pq~p~qp . q~(p . q)~p v ~q VVFFVFF VFFVFVV FVVFFVV FFVVFVV Podemos observar que las proposiciones son equivalentes. Ejemplo 2. ~(p v q) ~p . ~q pq~p~qp v q~ (p v q)~p . ~q VVFFVFF VFFVVFF FVVFVFF FFVVFVV Ambosejemplosdeequivalenciaslgicas,sonconocidascomoLeyesde DMorgan. Ejemplo 3. (p q) {(p q) . (q p)} pqp qq pp q(p q) . (q p) VVVVVV VFFVFF FVVFFF FFVVVV CAPITULO ILgica proposicional 31 Ejemplo 4. (p q) {(p . q) v (~p . ~q)} Pq~p~qp . q~p . ~qp q(p . q) v (~p . ~q) VVFFVFVV VFFVFFFF FVVFFFFF FFVVFVVV Losejemplos3y4,demuestranlasLeyesparaproposiciones bicondicionales. Ejemplo 5. p . (q . r) (p . q) . r pqrq . rp . qp . (q . r)(p . q) . r VVVVVVV VVFFVFF VFVFFFF VFFFFFF FVVVFFF FVFFFFF FFVFFFF FFFFFFF Enlas3primerascolumnas,hemosescritotodaslasposibles combinaciones(delosvaloresdeverdad)entrelasproposicionessimples componentes p, q y r. Cuartacolumna:Dadoslosvaloresdeverdadparalasproposiciones simples,encontramoslaproposicinconjuntivaq.r(verdaderaenla primer y quinta fila). En la quinta columna, hallamos los valores de verdad para la conjuncin p . q (verdadera en la primer y segunda fila). Sextacolumna:Encontramoslosvaloresdeverdadparalaproposicin compuesta p . (q . r). La quinta columna contiene los valores de verdad para (p . q) . r. Observemos que las proposiciones son equivalentes; poseen la misma tabla de verdad. Ejemplo 6. p v (q v r) (p v q) v r pqrq v rp v qp v (q v r)(p v q) v r VVVVVVV VVFVVVV VFVVVVV VFFFVVV FVVVVVV FVFVVVV FFVVFVV CAPITULO ILgica proposicional 32 FFFFFVF En los ejemplo 5 y 6, demostramos la propiedad asociativa. Ejemplo 7. p . (q v r) (p . q) v (p . r) pqrq v rp . qp . rp . (q v r)(p . q) v (p . r) VVVVVVVV VVFVVFVV VFVVFVVV VFFFFFFF FVVVFFFF FVFVFFFF FFVVFFFF FFFFFFFF Ejemplo 8. p v (q . r) (p v q) . (p v r) pqrq . rp v qp v rp v (q . r)(p v q) . (p v q) VVVVVVVV VVFFVVVV VFVFVVVV VFFFVVVV FVVVVVVV FVFFVFFF FFVFFVFF FFFFFFFF La propiedad distributiva, est demostrada en los ejemplos de equivalencia, 7 y 8. Ejemplo 9. ~(p q) p . ~q pq~qp q~(p q)p . ~q VVFVFF VFVFVV FVFVFF FFVVFF Ley de la negacin para la implicacin Ejemplo 10. p q ~p v q pq~pp q~p v q VVFVV VFFFF FVVVV FFVVV Ensteejemplodeequivalencia, estdemostradalaLeyde implicacin disyuncin. CAPITULO ILgica proposicional 33 1.5.1 Resumen de propiedades 1. Conmutativa a.p . q q . ppara la conjuncin b.p v q q v ppara la disyuncin 2. Idempotencia a.p v p p disyuncin b.p . p p conjuncin 3. Asociativa a.p . (q . r) (p . q) . rconjuncin b.p v (q v r) (p v q) v rdisyuncin 4. Distributiva a. p . (q v r) (p . q) v (p . r)conjuncin respecto disyuncin b. p v (q . r) (p v q) . (p v r)disyuncin respecto conjuncin 5. Leyes de DMorgan a.~(p . q) ~p v ~q b.~(p v q) ~p . ~q 6. Doble negacin p ~ (~p) 7. Negacin de la implicacin ~(p q) p . ~q 8. Contraposicin p q ~q ~p 9. Ley implicacin disyuncin p q ~p v q 10. Leyes de proposiciones bicondicionales a.p q (p q) . (q p) b.p q (p . q) v (~p . ~q) Leinvitoqueseaustedlesdlasrespectivasinterpretacionesatodaslas propiedades. Ejercicios: Demuestre las leyes de: i.Doble negacin CAPITULO ILgica proposicional 34 ii.Contraposicin iii.Conmutativa iv.Idempotencia Querer, es poder! Jams se rinda! 2 Formas proposicionales Es toda expresin, que posee en su estructura una o ms variables, la cual se convierte en proposicin al sustituir valores en las variables. Se denota p(x), q(x), etc. Debemos entender por variable, toda incgnita que no es constante. 2.1 Dominio Sonaquellosvaloresquealsersustituidosenlavariable,laforma proposicional, se convierte en proposicin. 2.2 Conjunto solucin Estconstituidoporaquellosvaloresqueverificanlaforma proposicional. Ejemplos de formas proposicionales Encuentre el dominio y conjunto solucin de las formas proposicionales Ejemplo 1. m(x): x es un pas de la Europa nrdica. Dominio: Cualquier pas del planeta. Intentemoscomprenderporque,eseeseldominiodelaforma proposicional m(x). Si decimos, m(x): Sudfrica es un pas de la Europa nrdica Podemos asignar valor de verdad. Por lo tanto, la forma proposicional se ha convertido en proposicin. Conjunto solucin: {Noruega, Suecia, Dinamarca, Finlandia e Islandia} Sustituircualquieradestoselementosenx,conviertealaforma proposicional, en proposicin verdadera. Ejemplo 2. n(y): y es homfono de la palabra hierba. Dominio: Cualquier palabra. Conjunto solucin: {hierva} Hierva de hervir. Ejemplo 3. l(z): z es cometa, cuyo periodo es de 76 aos. Dominio: Todos los cometas conocidos. Conjunto solucin: {Halley} Edmund Halley (1656 1742) astrnomo britnico, calcul el periodo en 1682 del cometa que ahora lleva su apellido. CAPITULO ILgica proposicional 35 Ejemplo 4. p(x): x + 3 = 5 Dominio: Los nmeros naturales Conjunto solucin: {2} Ejemplo 5. q(x): x es una clase de molusco Dominio: Cualquier clase de ser vivo. Conjunto solucin: {anfineuros, escafpodos, gasterpodos, pelecpodos, cefalpodos} Entrelosmoluscosmsconocidos,tenemos:caracoles(gasterpodos), calamares (cefalpodos). Ejemplo 6. r(y): y es esqueleto del brazo. Dominio: Huesos del cuerpo. Conjunto solucin: {radio, cbito} Ejemplo 7. s(x): x es una gran placa litosfrica Dominio: Cada una de las placas litosfricas en que est dividida la corteza Terrestre. Conjunto solucin: {Pacfica, norteamericana, sudamericana, euroasitica, Africana, indoaustraliana, antrtica} Auncuandoexistenotrasplacas,comparadasconlasmencionadasen conjunto solucin, son pequeas. Lateoradelatectnicadeplacas,postulaquelasplacaslitosfericasse desplazan por encima de la astenosfera (Manto superior). Ejemplo 8. t(x): x es de las primeras naciones firmantes del Tratado delAtlntico Norte (OTAN). Dominio: Cualquier pas. Conjunto solucin: {USA, Inglaterra, Francia, Italia, Canad, Islandia, Noruega, Dinamarca, Holanda, Blgica, Luxemburgo y Portugal} El4deabrilde1949,enWashintong,sefirmeltratadoquepermitaa EstadosUnidosdeAmricainstalarbasesmilitaresenaquellospases firmantes, para la proteccin mutua. Ejemplo 9. u(x): x 9 > 30 Dominio: El conjunto de los nmeros naturales. Conjunto solucin: {40, 41, 42} Observeque409=31;31esmayorque30.El39noespartedel conjunto solucin por: 39 9 = 30. Treinta, no es mayor que s mismo. Ejemplo 10. v(x): x es el escritor de El hundimiento de la casa Usher Dominio: Todos los escritores. CAPITULO ILgica proposicional 36 Conjunto solucin: {Allan Poe} Edgar Allan Poe (1809 1849) famoso escritor estadounidense. Ejercicios: Encontrar el dominio y conjunto solucin i.p(x): x es una capital centroamericana. ii.q(y): y es satlite natural de Marte. iii.r(z): z es sinnimo de estudioso. Confe en usted mismo!, no renuncie a adquirir ms conocimiento. 3 Cuantificadores Sonsmboloqueseanteponenalasvariablesparadelimitarlos elementos que las satisfacen. Tabla de algunos cuantificadores CuantificadorSmboloInterpretacin UniversalPara todo Existencial-Existe Veamos con ejemplos la utilidad de los cuantificadores Ejemplo 1. p(x): x + 2 = 9 Como podemos ver, p(x) es verdadera, nicamente cuando x = 7. No todos los nmeros naturales satisfacen la expresin. La cuantificacin sera: - x: p(x). Se lee: Existe un valor de x, que hace verdadera a p(x). Ejemplo 2. q(x): x + 1 > x Todo nmero natural que sustituya a x, convierte a q(x), verdadera. Se expresa: x: q(x) Se lee: q(x) es verdadera, para todo valor de x. Ejemplo 3. r(x): 2x + 4 < 0 Ningn valor que sustituya a x, convierte en verdadera a r(x) Se expresa: ~|- x: r(x)| Se lee: No existe valor de x que satisfaga a r(x). Ejemplo 4. s(x): x es un pas de Oceana. ExistenpasesquesonpartedelcontinentedeOceanaperono todos los pases. Por lo tanto, - x: s(x) Ejemplo 5. t(x): x es un hombre que necesita alimentarse x: t(x) CAPITULO ILgica proposicional 37 Todos los hombres necesitan alimentarse para vivir. Ejercicios:Representecon-,elalcancedelaincgnita,segnlo estime conveniente. i.l(x): x 3 = 10 ii.m(x): x2 > 0. CAPITULO ILgica proposicional 38 CAPITULO II: Teora de conjuntos

Todo el fundamento que en este captulo analizaremos, ha sido formulado por hombres de ciencias, como: Georg Ferdinand Cantor (1845 1918) matemtico alemn, se le atribuye la creacin de la teora de conjuntos. John Venn (1834 1923) matemtico y lgico britnico, conocido por su mtodo para representar grficamente a los conjuntos y proposiciones. Leonhard Euler (1707 1783) matemtico suizo, utiliz figuras geomtricas para representar conjuntos. Augustus de Morgan (1896 1871) matemtico y lgico britnico, conocido por sus leyes que cumplen las operaciones con conjuntos. George Boole (1815 1864) matemtico y filsofo ingls, reconocido por su trabajo algebraico en la teora de conjuntos. Gracias a individuos como los mencionados podemos hacer uso de la teora de conjuntos, una rama ms del maravilloso mundo de la Matemtica. CAPITULO ILgica proposicional 39 1.1 Conjunto Llamamosconjuntoalacoleccindeseresuobjetosque tienen una o ms caractersticas comunes. Sibienesciertosteconceptoesprimitivooprimario(quelo entendemossinnecesidaddedefinicin),esaeslanocinquese tiene de conjunto. Ejemplos de conjuntos: Ejemplo 1. Conjunto: vocales. Coleccin: a, e, i, o, u Caracterstica comn: Articulacin de un sonido que se produce al hablar cuando, a supasoporlalaringeyla boca,elairenoencuentra algnobstculo:labios, lengua,dientes,paladar. Ejemplo 2. Conjunto: Centroamrica. Coleccin: Guatemala,Belice,Honduras, El Salvador, Nicaragua, Costa Rica y Panam. Caracterstica comn: Lenguadetierraqueunelas masassurynortedel continenteamericano. Ejemplo 3. Conjunto: Ocanos. Coleccin: Pacfico, Atlntico, ndico, rtico. Caracterstica comn: Divisingeogrficade grandes masas de agua. Ejemplo 4. Conjunto: Lunas de Neptuno.Coleccin: CAPITULO ILgica proposicional 40 Nyade, Thalassa, Despina, Galatea, Larisa, Proteo, Tritn, Nereida. Caracterstica comn: Satlites naturales que orbitan alrededor de Neptuno. Ejemplo 5. Conjunto: Apstoles Coleccin: Pedro,Andrs,Jacobo,Juan, Felipe,Bartolom,Mateo, Toms,Simn,Judas Iscariote,Santiago,Judas Tadeo. Caracterstica comn: Cada uno de los 12 discpulos de Jess. Ejemplo 6. Conjunto: Miembros del pacto de Varsovia.Coleccin: Albania, Bulgaria, Hungra, Polonia, RDA (Alemania democrtica), Rumana, URSS (Rusia), Checoslovaquia (Rep. Checa). Caracterstica comn: Pas que firm en 1955 (durante la guerra fra) el Tratado de amistad y cooperacin en la capital de Polonia, Varsovia. Ejemplo 7. Conjunto: Esqueleto de la pierna.Coleccin: Tibia, peron. Caracterstica comn: Huesos que forman el esqueleto de la pierna. Ejemplo 8. Conjunto: Dgitos. Coleccin: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Caracterstica comn: Nmero que puede expresarse con un guarismo. Ejemplo 9. Conjunto: Zonas de la atmsfera. Coleccin: Troposfera, estratosfera, mesosfera, termosfera y exosfera. Caracterstica comn: Zona concntrica que se distribuye verticalmente, desde la Tierra, de acuerdo a la temperatura.CAPITULO ILgica proposicional 41 Ejemplo 10. Conjunto: Arcnidos. Coleccin: caros, opiliones, araas, escorpiones. Caracterstica comn: Invertebrados sin antena, respiracin pulmonar o traqueal, con el trax unido a la cabeza o al abdomen, y cuatro pares de patas. Ejercicios: Dar 5 ejemplos de conjuntos, sealando las caractersticas comunes de la coleccin de seres u objetos. Intntelo! Diga que si puede. Comparta sus ideas con el profesor. 1.1.a. Elemento de un conjunto Son todos y cada uno de los seres u objetos que forman el conjunto. 1.1.b. Nomenclatura Los conjuntos se representan con letras maysculas (A, B, C...) y los elementos con letras minsculas (a, b, c...) o con otros smbolos. Se utiliza llave {} para encerrar los elementos de un conjunto. Ejemplos de nomenclatura: Ejemplo 1. Sean los dgitos los elementos del conjunto D. D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Ejemplo 2.Sean las consonantes del idioma espaol los elementos del conjunto C. C = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, , p, q, r, s, t, v, w, x, y, z} Ejemplo 3. Sean: , , , , y los elementos del conjunto M M = {, , , , , } Ejercicios: Represente 5 conjuntos con sus elementos. Muestre al profesor sus representaciones de conjuntos. 1.1.c. Determinacin de un conjunto. CAPITULO ILgica proposicional 42 Un conjunto est bien definido cuando se puede determinar cuales son los elementos que lo forman. Los conjuntos pueden expresarse de dos formas, por extensino comprensin. a.Extensin: Es cuando se pueden nombrar todos y cada uno de los elementos del conjunto. b.Comprensin: Es cuando se nombra la propiedad o caracterstica que posean slo los elementos del conjunto. Se utiliza la notacin {x/x es...}. Se lee: los elementos x del conjunto, tal que x es... x resulta ser un objeto o ser que verifica una condicin. Ejemplos de determinacin de un conjunto Ejemplo 1. Por extensin: A = {pulgar, ndice, cordal,anular, meique} Por comprensin: A = {Dedos} Ejemplo 2. Por extensin: B = {abuelos, padres, hermanos, primos, tos} Por comprensin: B = {familia} Ejemplo 3. Por extensin: C = {Canad, Estados Unidos, Mxico} Por comprensin: C = {x/x es un pas norteamericano} Ejemplo 4. Por extensin: D = {Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Jpiter, Saturno, Urano, Neptuno} Por comprensin: D = {Planetas}CAPITULO ILgica proposicional 43 Ejemplo 5. Por extensin: E = {Helio, Nen, Argn, Kriptn, Xenn, Radn} Por comprensin: E = {x/x es un gas noble} Ejemplo 6. Por extensin: F = {Aristteles, Scrates, Platn} Por comprensin: F = {x/x es un famoso filsofo griego} Ejemplo 7. Por extensin: G = {lunes, martes, mircoles, jueves, viernes, sbado, domingo} Por comprensin: G = {x/x es un da de la semana} Ejemplo 8. Por extensin: H = {enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre} Por comprensin: H = {x/x es mes del ao} Ejemplo 9. Por extensin: I ={Alemania, Polonia, Eslovaquia, Repblica Checa, Austria, Suiza} Por comprensin: I = {x/x es un pas de Europa central} Ejemplo 10. Por extensin: J = {sillas, mesa, cubiertos, alimentos} Por comprensin: J = {comedor} Debemos notar que si dan la caracterstica comn (comprensin), debemos ser capaces de sealar los elementos del conjunto CAPITULO ILgica proposicional 44 (extensin). As, al sealar el conjunto por comprensin A = {x/x es vocal}; por extensin ser A = {a, e, i, o, u} Ejercicio: 1. Escriba 5 conjuntos por extensin y comprensin. 2. Exprese por extensin los conjuntos siguientes: a.M = {x/x es profesor del colegio} b.N = {x/x es amiga} 3. Escriba por comprensin los siguientes conjuntos: a.P = {m, a, d, r, e} b.Q = {tacto, olfato, vista, gusto, odo} Nota: Las soluciones son sencillas, usted puede hacerlo! Comprtalas con su profesor. 1.2. Relacin de pertenencia. Para indicar que un elemento forma parte de un conjunto, se utiliza el smbolo , se lee: pertenece a... es un elemento de.... Al escribir u {vocales}; se lee: u pertenece a las vocales. Importante: El smbolo , slo se utiliza en la relacin de elementos con conjunto, nunca entre elementos entre conjuntos. Para indicar que un elemento no pertenece a un conjunto, se utiliza el smbolo e Ejemplos de relacin de pertenencia Diga si se utiliza correctamente el smbolo de pertenencia. Justifique su respuesta. Ejemplo 1. p {consonantes} Correcto. Por que las consonantes forman un conjunto, y p es un elemento de ese conjunto. Ejemplo 2. {a, e} {vocales} Incorrecto. Por que las llaves {} sealanconjuntos y el smbolo no se utiliza entre los conjuntos. CAPITULO ILgica proposicional 45 Ejemplo 3. a A; A = {a, b, c, d, e, f} Correcto. A indica ser un conjunto por estar simbolizado con mayscula. Escrita en minscula, a representa un elemento. Ejemplo 4. Sean los conjuntos R = {10, 11, 12, 13}y S={10, 11, 12, 13,14, 15, 16} R S.Incorrecto. No se utiliza la relacin de pertenencia, , entre conjuntos. Ejemplo 5. 1 111 Incorrecto. Nunca utilice la relacin de pertenencia entre elementos. 1.3 Subconjuntos. Relacin de inclusin UnconjuntoB,essubconjuntodeotroconjuntoA,cuando todo elementos de B es elemento de A. Se representa B c A Selee:BessubconjuntodeAoBestincluidaenA.El smbolo: c, representa la inclusin de un conjunto en otro. Simblicamente, se expresa: B c A x eB, x eA Observaciones:1.Paraindicarqueciertoconjuntonoessubconjuntodeotro se utiliza el smbolo .. 2.Todo conjunto, es subconjunto de s mismo. 3.Entrminossimples,subconjuntosignificaque:unconjunto est totalmente incluido en otro. Ejemplos de subconjuntos Ejemplo 1. Sean los conjuntos M = {a, b, c}, N = {a, b, c, d} McN:MessubconjuntodeN.Observequeloselementosdel conjunto M (a, b y c) tambin se encuentran en el conjunto N. CAPITULO ILgica proposicional 46 N . M: N no es subconjunto de M. Aun cuando los elementos a, b y c pertenecen a M; el elemento d, no le pertenece a M. Ejemplo2.SeanlosconjuntosV={x/xesvocal},A={alfabeto espaol} VcA:VestincluidoenA.Observequetodaslasvocalesson letras del alfabeto. A.V:AnoestincluidoenV.Porque,notodaslasletrasdel alfabeto espaol son vocales. Ejemplo 3. Sean los conjuntos P = {x e N / x < 10} Q = {x e N / x < 20} Primero leamos los conjuntos P y Q. P: x perteneceal conjunto de los nmeros naturales; tal que, x es menor que 10. Los elementos de ste conjunto son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Q: x pertenece al conjunto de los nmeros naturales; tal que, x es menor que 20. Los elementos son 1, 2, 3,,19. Nota: 1.El 10 y 20 no son elementos de P o Q, ya que el 10 no es menor que 10, ni 20 es menor que 20. 2.Los puntos suspensivos llamados elipsis indicanque entre el 3 y el 19 hay ms elementos. P c Q: P est incluido en Q. Todos los elementos del conjunto P estn contenidos en el conjunto Q. Q . P: los elementos 10, 11,,19 no son elementos del conjunto P. Por tal razn, Q no est incluido en P. Ejemplo 4. Sean los conjuntos R = {x e N / 8 x 12} S = {x e N / 6 < x s 12} Interpretemos el significado de cada conjunto R:xesunnmeronaturalmayoroigualque8y,menoroigual que 12. Los elementos de ste conjunto son: 8, 9, 10, 11 y 12. CAPITULO ILgica proposicional 47 S: x perteneceal conjunto de los nmeros naturales; tal que, x es mayorque6ymenoroigualque12.Esteconjuntoescritopor extensin ser: S = {7, 8, 9, 10, 11, 12}. Comopodemosobservar,elconjuntoRessubconjuntodelS (todosloselementosdeRestnincluidosenS).Simblicamente R c S. S.R.ElconjuntoRnocontienealconjuntoS.Observequeel nmero natural 7 no se encuentra en el conjunto R. Ejemplo 5. Sean los conjunto H = {Nuevo Testamento} I = {La Biblia} El conjunto H es subconjunto del conjunto I. Simblicamente H c I. EstoocurreporqueelNuevoTestamentoseencuentraenLa Biblia. El conjunto I no es subconjunto de H. Simblicamente I . H. La razn es simple, no toda La Biblia est contenida en el Nuevo Testamento. Ejemplo 6. Sean los conjuntos C = {Uruguay, Brasil, Argentina,} y D = {x/x es un campen mundial de ftbol} CcD:elconjuntoDcontienealC.Lospasessealadosenel conjuntoC,hanganadolacopamundialen(registrohastael 2009): Uruguay Uruguay, 1930 Brasil, 1950 Argentina Argentina, 1978 Mxico, 1986 Brasil Chile, 1962 Suecia, 1958 Mxico, 1970 USA, 1994 JapnCorea,2002 CAPITULO ILgica proposicional 48 D.C:ElconjuntoCnocontienealconjuntoD.Notodaslas copasmundialesdeftbolhansidoganadasporestospases americanos. Ejemplo7.SeanlosconjuntosE={Syuz,Columbia,Vstok, Apolo} F = {x/x es nave espacial} E c F: El conjunto E est incluido en el conjunto F. Las sealadas en el conjunto E, son todas naves espaciales construidas en Rusia o Estados Unidos. Envistaqueestsnosonlasnicasnavesespacialesconstruidas por el hombre, F no est incluido en E (simblicamente F . E). Ejemplo 8. Sean los conjuntos K = {x / x es una letra del alfabeto griego} L = {o, |, , , , t, u, } L c K: el conjunto L es subconjunto del conjunto K. K.L:elconjuntoKnoessubconjuntodelconjuntoL.Estoes verdadero, por que el alfabeto griego no son nicamente las letras sealadas en el conjunto L. Ejemplo 9. Sean los conjunto Y = {rin, vejiga, urter, uretra} Z = {vejiga, rin} ZcY:ZestcontenidoenY.TodosloselementosdeZ,los contiene Y. Y.Z:YnoestincluidoenZ.Porquenosloelrinyla vejiga son parte del aparato excretor humano. Ejemplo 10. A = {anfibios, reptiles, aves, mamferos} B={agnatos,placodermos,codrictios,ostectios, anfibios, reptiles, aves, mamferos} AcB:elconjuntoAessubconjuntodelconjuntoB.Todoslos elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B. CAPITULO ILgica proposicional 49 B.A:BnoessubconjuntodeA.Noslolossealadosenel conjunto A son vertebrados. Ejerciciosresueltos:Asignevalordeverdad.UtiliceVpara indicar que es verdadero y F para indicar que es falso. i. {a} c {a, p, u, y}: V (verdadero). El elemento a, del primer conjunto,estcontenidoenelsegundoconjunto.Adems,el smbolo c, se utiliza nicamente entre conjuntos. ii. Sean los conjuntos P = {100, 200, 300} y Q = {400, 500, 600, 700, 800} PcQ:F(falso).LoselementosdelconjuntoPnopertenecenal conjunto Q. iii. {x, y, z} . {r, x, y}: V (verdadero). z no pertenece al segundo conjunto. 1.4 Igualdad de conjuntos Dosconjuntos,AyB,sonigualessicompartenlosmismos elementos. Se expresa A = B. SimblicamenteA=BxeA,xeB.yeB,yeA simplemente A = B A c B y B c A. Nota: 1. El smbolo =, significa no son iguales 2.Loselementosrepetidosenlosconjuntossetomancomouno solo. Ejemplos de igualdad de conjuntos Ejemplo 1. A = {11, 12, 13, 14} y B = {14, 13, 12, 11} A = B. Los conjuntos A y B son iguales por que tienen los mismos elementos.Estoescierto,independientementedelordende escritura de los elementos. CAPITULO ILgica proposicional 50 Ejemplo 2. C = {f, g, h} y D = {f, g, g, h} C=D.Comolosconjuntosposeenlosmismoselementos,stos conjuntos,soniguales.Recuerdequeloselementosrepetidos cuentan como uno solo. Ejemplo 3. E = {u, v, w, x} y F = {u, v, w, x, y} E=F.ElconjuntoEnoesigualalconjuntoF.Comopodemos observarEessubconjuntodeF(EcF);sinembargo,Fnoes subconjunto de E (F . E). Ejemplo 4. G = {x e N / 4 < x < 7} y H = {x e N / x < 9} Alescribirlosconjuntosporextensin,podemosverquesus elementos son: G = {5, 6} y H = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} G=H:GnoesigualaH.AuncuandoelconjuntoGes subconjuntodelconjuntoH(GcH);elconjuntoHnoes subconjunto del conjunto G (H . G). Ejemplo 5. I = {x / x es silla} y J = {x / x es televisor} I = J: El conjunto I es diferente al conjunto J. Ejercicio:Forme3paresdeconjuntosigualesydospares desiguales. Estudie y trabaje con entusiasmo. Ser indiferente a la Matemtica es una psima idea! nimo! 1.5 Conjuntos disjuntos Son los conjuntos que no tienen ningn elemento en comn. Ejemplos de conjuntos disjuntos Los siguientes pares de conjuntos son disjuntos Ejemplo 1. M = {101, 102, 103} y N = {1001, 1002, 1003} Ejemplo 2. P = {Reino animal} y Q = {Reino vegetal} CAPITULO ILgica proposicional 51 Ejemplo 3. R = {x e N / x > 20} y S = {x e N / x < 15} LoselementosdelconjuntoRsonlosnmeros naturales Mayores que 20 y, los del conjunto S, menores que 15. Ejemplo4.K={extremidadesinferiores}yL={extremidades superiores} Ejemplo 5. {amor, cario, bondad} y {odio, envidia} 1.6 Relacin de coordinalidad DosconjuntosAyBsoncoordinables,sisepuede establecerunacorrespondenciabiunvoca(unoauno)entrelos elementosdelconjuntoAyelconjuntoB,sinquesobren elementos. Se simboliza: A B. Ejemplos de coordinalidad Ejemplo 1. El conjunto de uas es coordinable con el conjunto de dedos. Ejemplo 2. A = {x/x es cuaderno de apuntes escolares} y B = {x/x es asignatura} A y B son coordinables, usted utiliza un cuaderno de apuntes para cadaasignatura;adems,cadaasignaturaseregistraenun cuaderno. Ejemplo3.LosconjuntosM={d,i,o,s}yN={letradela palabraDios},soncoordinables.Existelarelacinde elementoa elemento, sin sobrar uno solo. Ejemplo4.Elconjuntodepizarronesescoordinablealconjunto de aulas. CAPITULO ILgica proposicional 52 Ejemplo5.Elconjuntodepiezasblancasdelajedrezes coordinable con el conjunto de piezas negras. Nota: 1. Dos conjuntos pueden ser coordinables, pero no necesariamente iguales. Ejercicios: Escriba dos pares de conjuntos coordinables. Querer es poder! intntelo! 1.7 Tipos de conjuntos 1.7.1. Conjunto vaco Son aquellos conjuntos que no poseen elemento alguno. Se representa con: C {} Ejemplos de conjunto vaco Ejemplo 1. A = {satlites de Mercurio} ElconjuntoAesvaco(A=C).ElplanetaMercurionoposee satlites naturales. Ejemplo 2. B = {x e N / x < 0} B={}.Comopodemosobservar,elconjuntoBnocontiene ningnelemento.Todoslosnmerosnaturalessonmayoresque cero. Ejemplo 3. C = {estudiantes colegiales mayores de 150 aos} C = C. Aun cuando a usted le causo gracia, la verdad es que jams es demasiado tarde para aprender. Ejemplo4.D={x/xesunapalabradelcastellanoenquem anteceda a v} D = { }. El conjunto es vaco, por que no existe palabra del idioma espaol que contenga m antes de v. Ejemplo 5. E = {x/x es vertebrado sin esqueleto} E = { }. Evidentemente el conjunto es vaco; todos los vertebrados poseen esqueleto. CAPITULO ILgica proposicional 53 Nota: 1. El conjunto vaco es subconjunto de cualquier conjunto. 1.7.2 Conjunto unitario Son aquellos conjuntos que poseen un nico elemento Ejemplos de conjunto unitario Ejemplo 1. F = {satlites naturales de La Tierra} ElconjuntoFestcompuestoporunnicoelemento,F={La Luna} Ejemplo 2. G ={x/x es un estado con extensin menor a 1 km2} G ={Vaticano} ElVaticanoeselestadoconmenorextensinterritorialdel mundo. Posee 0.44 km2 de superficie, fue constituido en 1929. Ejemplo3.H={copasmundialesdeftbolganadaspor Inglaterra} H = {1 copa mundial} Inglaterra obtuvo la copa en 1966, la cede fue sta nacin. Ejemplo 4. I = {individuo considerado - por muchos - el mecas e hijo de Dios} I = {Jess} La mayora de las religiones consideran a Jess de Nazaret el hijo de Dios. Ejemplo 5. J = {x/x es etnia que construy Machu Pichu} J = {Inca} Losincas,fugitivosdelaconquistaespaola,construyeronla ciudadenlacimadelamontaaHuaynaPichu,cordilleradelos Andes peruanos. 1.7.3 Conjunto binario Sonaquellosconjuntosqueposeennicamentedos elementos. Ejemplos de conjuntos binarios CAPITULO ILgica proposicional 54 Ejemplo 1. Z = {x/x es luna de Marte} Z = {Deimos, Fobos} Ejemplo 2. Y = {vocales cerradas} Y = {i,u} Llamadascerradas,porquealpronunciarlas,lalenguaestms prxima al paladar que para las vocales abiertas. Ejemplo 3. Z = {x/x es perodo de la era Arqueozoica} Z = {Arcaico, Algonquino} Sonlosperodosdelaprimeraeradelplaneta,hacealrededorde 2500 millones de aos. Ejemplo4.Otroejemplodeconjuntobinario,eslacantidadde copasmundialesdeftbolenlasqueMxicohasidocedeantes del 2017. En Mxico se desarrollaron los campeonatos de 1970 y 1986. Ejemplo 5. Elconjunto de hombrescrucificados junto a Jess, es binario. 1.7.4 Conjuntos finitos Sonaquellosconjuntosquesepuedeidentificarsultimo elemento. Nota: 1.Ladefinicinnosindicaquecasitodoslosconjuntosealados hasta el momento son finitos; excepto el conjunto R = {xe N / x > 20} por qu? 1.7.5 Conjunto infinito Son aquellos conjunto de los que no podemos nombrar un ltimo elemento. CAPITULO ILgica proposicional 55 Ejemplos de conjuntos infinitos Ejemplo1.Elconjuntodelosnmerosnaturalesesinfinito.No importaelnmeroqueseimagine,siempreexistirunomayora ese. Ejemplo 2. M = {x e N / x es impar} Ejemplo 3. N = {x e N / x es par} Ejemplo 4. P = {x e N / x > 100} Ejemplo 5. Hasta lo conocido por la ciencia moderna; el conjunto de estrellas del universo, es un conjunto infinito. 1.7.6 Conjunto Universal Eselconjunto,quecontieneatodoslosconjuntosquese generan de cierta situacin. Se simboliza U Nota: 1.Elconjuntouniversaltambinesconocidocomo:referencial, lleno o total. Ejemplos de conjunto universal Cualquieradelosconjuntossiguientespuedeconsiderarsecomo lleno, dependiendo de la situacin. Ejemplo 1. A = {nmeros naturales} Ejemplo 2. B = {reino animal} Ejemplo 3. C = {reino vegetal} Ejemplo 4. D = {sistema solar} CAPITULO ILgica proposicional 56 Ejemplo 5. E = {China} 1.8 Cardinalidad de conjunto SellamacardinalidaddeunconjuntoA,alnmerode elementos del conjunto. Se simboliza n(A) Ejemplos de cardinalidad de conjunto Ejemplo 1. B = {alfabeto espaol} La cardinalidad de ste conjunto es n(B) = 27. El alfabeto espaol est compuesto por 27 caracteres. Ejemplo 2. D = {x/x es planeta del sistema solar} La cardinalidad de este conjunto es n(D) = 8. En la actualidad los astrnomosconsideranpordefinicinquePlutnnoes planeta. Ejemplo 3. E = {copas mundiales de ftbol realizadas hasta 2009} n(E)=18.Delascuales,9hansidoobtenidasporpases americanos y las otras nueve por europeos. Ejemplo 4. F = {Amrica continental} n(F)=22.Slosealamoslosestadosemplazadosenlamasa continental, excluimos las islas antillanas. Ejemplo 5. G = {propiedades de la suma} n(G)=5.Clausura,elementoneutro,elementoopuesto, conmutativa y asociativa. 1.9 Diagramas de Venn-Euler Sonrepresentacionesgeomtricasdelosconjuntos.Las representacionespuedenser:tringulos,circunferencias, rectngulos, figuras amorfas, etc. Ejemplos de diagramas a) b) c) CAPITULO ILgica proposicional 57 d) e) Ejercicios.Escribaunconjuntovaco,1unitario,1binario,1 finitoyunconjuntouniverso.Adems,siesposible,sealela cardinalidad de stos. 2. Operaciones con conjuntos 2.1 Unin de conjuntos Se llama unin de los conjuntos A y B, al conjunto formado por todos los elementos del conjunto A y del conjunto B. Se expresa AB Simblicamente AB = {x / x e A v x e B} Grficamente, con diagramas de Venn-Euler A B AB Ejemplos sobre unin de conjuntos Encuentre la unin entre los conjuntos: Ejemplo 1. X = {30, 31, 32} y Y = {50, 51, 52, 53} XY = {30, 31, 32, 50, 51, 52, 53} Observequeunirdosomsconjuntoses,simplemente,escribir todosloselementosdelosconjuntosinvolucrados,enunsolo conjunto. Nota: 1.Delaunindeconjuntosresultaotroconjunto,poresose utiliza { }. CAPITULO ILgica proposicional 58 Ejemplo 2. M = {Vaduz, Luxemburgo, Budapest, Bucarest} N = {Managua, Belmopan, Ottawa} MN={Belmopan,Bucarest,Budapest,Luxemburgo, Managua, Ottawa, Vaduz} ElconjuntoMestformadoporalgunascapitaleseuropeas. Liechtenstein(Vaduz),Luxemburgo(Luxemburgo),Hungra (Budapest), Rumania (Bucarest). ElconjuntoN,formadoporalgunascapitalesamericanas. Nicaragua (Managua), Belice (Belmopan), Canad (Ottawa). Observe que el resultado de unir los conjuntos M y N, fue escribir todas las capitales. Ejemplo 3. P = {x/x es sinnimo de exotrico} Q = {x/x es antnimo de exotrico} PQ={comn,vulgar,pblico,divulgado,corrientey elemental; secreto, indescifrable, velado, insondable e inasequible} Ejemplo 4. F = {Ada, ALGOL, APL, Basic, Cobol}y E = {Fortran, Lisp, Logo, Pascal, Prolog, Snobol} FE = {x/x es lenguaje de programacin} LoselementosdeFyE,sonlenguajesdeprogramacinde computadora y, son los ms conocidos a nivel internacional (hasta 2007). Ejemplo5.A={hmero,cbito,radio}yB={carpo, metacarpo} AB = {Esqueleto del brazo} Loshuesos,elementosdelconjuntoAyB,juntosformanel esqueleto del brazo Ejemplo 6. C= {Flagelo, membrana y pared celular} y D = {ADN, ribosoma} CAPITULO ILgica proposicional 59 CD = {Clula procarionte} Loselementosdeambosconjuntossonlaspartesdeunaclula procarionte Ejemplo 7.G = {10,20,30,40,}yH ={l, m, n} GH ={10, 20, 30, 40, l, m, n}

Ejemplo 8 . K = {a, b, c}; L = {d, e, f, g, h}yM = {f, g, h, i, j}KLM = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} Ejemplo 9 . P = {Metis, Adrastea, Amaltea, Tebas}; Q = {Io, Europa, Ganmedes, Calisto, Leda}; R = {Himalia, Lisitea, Elara}; S = {Ananke, Carme, Pasifae} y T = {Sinope} PQRST = {x/x es satlite natural de Jpiter}. Observequelacaractersticacomndeloselementosesser satlites de Jpiter. Ejemplo10.V={sangreporagua,ranas,mosquitos,tbanos, peste} y W = {lceras, granizo, langosta, tinieblas, muerte de primognito} VW = {plagas de Egipto} Observacin: Noimportacuantosconjuntosdebaunir,aldescribirlaunin, puede hacerlo por extensin o comprensin. Ejemplo 11. A = {x e N / 4 s x < 9} y Z = {x e N/ 16 < x < 20} Leamoslosconjuntos,elprimerodice:xquepertenecealos naturales;talque,xesmenorque9ymayoroigualque4.Es decir, A = {4, 5, 6, 7, 8} Elsegundoconjunto,selee:xquepertenecealconjuntodelos nmerosnaturales;talque,xesmayorque16ymenorque20. Escrito por extensin Z = {17, 18, 19} AZ = {4, 5, 6, 7, 8, 17, 18, 19} CAPITULO ILgica proposicional 60 o tambin AZ = {x e N/ 4 s x < 9 v 16 < x < 20} Ejemplo 12. B = {x e N/ x < 60}yP = {x e N/ x < 100} Leamoslosconjuntos,elprimerodice:xqueperteneceal conjunto de los nmeros naturales; tal que, x es menor que 60 (B = {1, 2, 3,, 59}). El segundo: x que pertenece a los naturales; tal que, x es menor que 100 (P = {1, 2, 3,, 99}). Por lo tanto, BP = {x e N/ x < 100} O bien BP = {1, 2, 3, 4,, 99} El conjunto B est incluido en el conjunto P, B c P. Por lo tanto B P = P Ejemplo 13. N = {1, 2, 3,, 2000} y Q = {2001, 2002, 2003...} NQ = {nmeros naturales} Ejemplo 14. L = {d, e, f} y M = {r, s, t} LM = {d, e, f, r, s, t} Ejemplo 15. S = {x e N/ 17 s x s 21}yT = {x e N/ 15 < x < 23} ST = {x e N/ 15 < x < 23} ST = T 2.1.1 Propiedades de la unin de conjuntos 2.1.1.a. ClausuraDelaunindedosomsconjuntosresultaunnuevo conjunto. Consecuencia:Enlaunin,unavezescritotodosloselementos, deben encerrarse entre llaves { } como se mostr en los ejemplos anteriores. 2.1.1.b. Conmutativa CAPITULO ILgica proposicional 61 DadosdosconjuntoscualquieraAyB,siemprese cumple queAB = BA. Consecuencia: El orden en que unamos los conjuntos, no altera el conjunto resultante. Tomemos el ejemplo 14 ( 2.1). L = {d, e, f} y M = {r, s, t} LM = {d, e, f, r, s, t} ML = {r, s, t, d, e, f} ObservequeLMyMLposeenlosmismoselementos,sin importar el orden en que estn escritos. Por lo tanto, L M = M L. 2.1.1.c. Asociativa DadostresconjuntoscualquieraA,ByC,siemprese cumple que(AB)C = A(BC). Consecuencia:podemosagruparlaunindeconjuntoscomo deseemos y el conjunto resultante no se alterar. Consideremos el ejemplo 8 ( 2.1). K = {a, b, c}; L = {d, e, f, g, h} y M = {f, g, h, i, j}. Demostremos que (KL)M = K(L M). Primero (KL) = {a, b, c, d, e, f, g, h}, ahora (KL)M = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} *Recuerde, elementos repetidos se toman como uno slo. Tenemos (LM) = {d, e, f, g, h, i, j}, donde K(LM) = {a, b, c, d, e, f ,g, h, i, j} Como podemos observar (KL)M y K(LM) tienen los mismos elementos, por lo tanto (KL)M = K(LM). 2.1.1.d. Conjunto neutro LaunindelconjuntovacoconotroconjuntoA,es igual a dicho conjunto A. A = A o tambin A{ } = A es el conjunto neutro de la unin. CAPITULO ILgica proposicional 62 Tengamos en cuenta el conjunto G = {10, 20, 30, 40}, G = G bien {10, 20, 30, 40} = {10, 20, 30, 40} 2.1.1.e. Absorbente Launindelconjuntouniversalconcualquierotro conjunto A, es igual al conjunto universal. A c U, AU = UA = U Sean el conjunto universal U = {nmeros naturales} y el conjunto M = {1, 2, 3, 4,, 1000}. MU = U El conjunto universal U, es absorbente en la unin de conjuntos. 2.1.1.f. Idempotente LaunindeunconjuntocualquieraA,consigomismo, ser el mismo conjunto A. AA = A Consideremos el conjunto L = {d, e, f}. Observamos que {d, e, f}{d, e, f} = {d, e, f} o tambin LL = L. 2.2 Interseccin de conjuntos Dados los conjuntos A y B, se llama interseccin de A y B al conjuntoformadoporloselementosdelconjuntoAquetambin pertenecen al conjunto B. Se expresa A B Simblicamente A B = {x/x e A . x e B} Esdecir,lainterseccinlaconformanloselementoscomuneso compartidos por los conjuntos, escritos en un solo conjunto. Grficamente, con diagramas de Venn-Euler. A B CAPITULO ILgica proposicional 63 A B Lapartesombreadaindicalainterseccin.Notequeesareaes compartida por los conjuntos A y B. Ejemplos de interseccin Encuentre la interseccin entre los conjuntos: Ejemplo 1. M = {a, b, c, d} y N = {a, b, g, h, i} M N = {a, b} Observe que los nicos elementos compartidos por los conjuntos, son a y b. Ejemplo 2. O = {sistema solar} y P = {satlites naturales de Urano} O P = {Cordelia, Ofelia, Bianca, Crsida, Desdmona, Julieta, Porcia, Rosalinda, Belinda, Puck, Miranda, Ariel, Umbriel, Titania,Oberon} Los satlites mencionados, adems de pertenecer a Urano, son a su vez satlites naturales de nuestro sistema solar. Ejemplo 3. Q = {x/x es un pas} y R = {x/x es uno de los principales pases productores de petrleo} Q R = {Arabia Saudita, Estados Unidos, Rusia, Irn, China, Venezuela, Mxico} Cada una de estas naciones produce (registro, 2005) ms de 140 millones de toneladas. Ejemplo 4. T = {Afganistn, Chad, China, Nger, Sudn, Turqua} y S = {Asia} S T = {Afganistn, China, Turqua} Las dems, son naciones africanas. CAPITULO ILgica proposicional 64 Ejemplo 5. B = {poetas} y A = {Ruben Daro, Diego Maradona, Pel, Pablo Neruda, Johan Cruyff} A B = {Ruben Dario, Pablo Neruda} Los otros individuos fueron sobresalientes futbolistas. Ejemplo 6. V = {x/x es sinnimo de fiesta} y W = {convite, conspicuo, festividad, entibado, chanza} V W = {convite, festividad, chanza} Ejemplo 7. X = {huesos};Y = {cabeza} X Y = {frontal, esfenoides, lacrimal, etnoides, nasal, malar, maxiliar superior e inferior, temporal, occipital, parietal} La caracterstica comn entre los conjuntos X e Y, son la osamenta de la cabeza. Ejemplo 8. K = {x e N/ 2 < x < 7} y L = {x e N/ x < 5} Leamos El conjunto K, dice: x que pertenece al conjunto de los nmeros naturales; tal que, x es mayor que 2 y menor que 7. Escrito por extensinK = {3, 4, 5, 6} El conjunto L, se lee: x que pertenece a los naturales; tal que, x es menor que 5. L = {1, 2, 3, 4} K L = {x e N/ 2 < x < 5} o tambin K L = {3, 4} Ejemplo 9. F = {x eN/ x es impar} y G = {x e N/ x es par} El conjunto F dice: x que pertenece al conjunto de los nmeros naturales; tal que, x es impar (no divisible entre 2). F = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}. El conjunto G, se lee: x que pertenece a los naturales; tal que, x es par (divisible entre 2). G = {2, 4, 6, 8, 10, 12} F G = C o, que es lo mismo F G = { } Observe que un nmero impar no puede ser par, ni viceversa. Por lo tanto, es imposible que F y G tengan elementos comunes. Ejemplo 10. C = {x e N/ 2000 s x s 8000};D = {x e N/ 3500 s x < 5001} CAPITULO ILgica proposicional 65 El conjunto C, se lee: x que pertenece al conjunto de los nmeros naturales; tal que, x es mayor o igual a 2000, pero menor o igual a 8000. Escrito por extensin C = {2000, 2001, 2002,, 8000}. El conjunto D, se lee: x que pertenece a los naturales; tal que, x es mayoroiguala3500,peromenora5001.D={3500,3501, 3502,, 4999, 5000}. C D = {x e N/ 3500 s x < 5001} o C D = D. Nota: 1.TodosloselementosdelconjuntoD,estncontenidosene conjunto C. Ejemplo 11. E = {x e N/ x < 10,000} y H = {x e N/ x > 50,000} E H = { } o E H = C Observequeningnnmeronaturalmayora50,000puedeser menora10,000.Porlotanto,losconjuntosEyHcarecende elementos comunes, siendo su interseccin, vaca. Ejemplo 12. A = {x e N/ x < 90} y M = {x e N/ x > 80} Comopodemosobservar,elconjuntoAestformadoporlos nmerosnaturalesmenoresque90(A={1,2,3,4,,89})yel conjuntoMporaquellosnaturalesmayoresoigualesa80(M= {80, 81, 82}). Por comprensin: A M = {x e N/ 80 s x < 90} Por extensin: A M = {80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89} Ejemplo 13. S = {a, b, q, r, s, t, u}; T = {f, g, h, q, r, s, t, v}; B={p, q, r, s, t} y N = {m, q, r, s, u} S T B N = {q, r, s} nicamente q, r y s sonlos elementos compartidos por los cuatro conjuntos. Ejemplo 14. C = {11, 12, 13, 14, 17, 19}; P = {14, 15, 16, 20, 21} yR = {8, 9, 10, 14, 22} R C P = {14} CAPITULO ILgica proposicional 66 Ejemplo 15. D = {1, 2, 3} y Q = {a, b, c} D Q = C o, siendo lo mismo D Q = { } 2.2.1 Propiedades de la interseccin de conjuntos 2.2.1.a. Cierre o Clausura Delainterseccindedosomsconjuntosresultaun nuevo conjunto. 2.2.1.b. Conmutativa DadosdosconjuntoscualquieraAyB,siemprese cumple que A B = B A. Consecuencia:Elordenenqueseinterceptenlosconjuntos,no altera el conjunto resultante. Tomemos el ejemplo 1 ( 2.2) M = {a, b, c, d} y N = {a, b, g, h, i} M N = {a, b} y N M = {a, b} Por lo tanto, M N = N M 2.2.1.c. Asociativa DadostresconjuntoscualquieraA,ByC,siemprese cumple que A (B C) = (A B) C. Consecuencia:Podemosagruparlainterseccindeconjuntos como deseemos y el conjunto resultante no se altera. Consideremos los conjuntos: N = {m, q, r, s, u}; S = {a, b, q, r, s, u, t} y T = {f, g, h, q, r, s, t, v}. Demostremos que N (S T) = (N S) T. Encontremos primero el conjunto S T = {q, r, s, t}, observe que los elementos son compartidos por S y T. Ahora, N S = {q, r, s, u} escribimos los elementos compartidos por N y S Vemos que N (S T) = {q, r, s}, hemos escrito los elementos compartidos por los conjuntos N y (S T). CAPITULO ILgica proposicional 67 (N S) T = {q, r, s}, en este conjunto resultante, estn escritos los elementos compartidos por los conjuntos (N S) y T. Queda as demostrada la propiedad. 2.2.1.d. Conjunto neutro Lainterseccindelconjuntouniversalconcualquier conjunto A, es igual al mismo conjunto A. U A = A U = A El conjunto universal es el conjunto neutro de la interseccin. 2.2.1.e. Absorbente Lainterseccindelconjuntovacoconcualquier conjunto, es igual al conjunto vaco. A C = C A = C El conjunto vaco es absorbente en la interseccin. 2.2.1.f. Idempotente LainterseccindeunconjuntocualquieraAconsigo mismo, siempre es el mismo conjunto A. A A = A. 2.3 Propiedades conjuntas de la unin y la interseccin 2.3.1 Distributiva de la interseccin respecto de la unin DadostresconjuntoscualquieraA,ByC,siemprese cumple que A (BC) = (A B)(A C). Consideremos los conjuntos D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; E = {2, 5, 6, 7, 8} yF = {3, 4, 7, 8, 9}. Demostremos que D (EF) = (D E)(D F). Encontremos: D E = {2, 5, 6} D F = {3, 4}, implica que (D E)(D F) = {2, 3, 4, 5, 6} o tambin {2, 5, 6}{3, 4} = {2, 3, 4, 5, 6} EF = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, observamos que D (EF) = {2, 3, 4, 5, 6} o lo que es igual CAPITULO ILgica proposicional 68 {1, 2, 3, 4, 5, 6} {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {2, 3, 4, 5, 6} As, queda demostrada de forma sencilla la propiedad. 2.3.2 Distributiva de la unin respecto de la interseccin DadostresconjuntoscualquieraA,ByC,siemprese cumple que A(B C) = (AB) (AC) Consideremos los conjuntos de la demostracin anterior: D={1,2,3,4,5,6};E={2,5,6,7,8}yF={3,4,7,8,9}. Demostremos que D(E F) = (DE) (DF). Encontremos: E F = {7, 8}, implica que D(E F) = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}DE = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} DF = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, observamos que (DE) (DF) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Queda demostrada la propiedad. 2.3.3 Simplificativa DadodosconjuntoscualquieraAyB,siempresecumple que: 1.(AB) A = A 2.(A B)A = A Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y B = {d, e, f, g} AB = {a, b, c, d, e, f, g}, por lo que (AB) A = {a, b, c, d, e}. Recuerde, por la definicin de interseccin debo tomar los elementos comunes de (AB)y A. A B = {d, e} por lo que (A B)A = {a, b, c, d, e} Recuerde, como es la unin, debe reunir todos los elementos de (A B) y A. Los elementos repetidos d, e se consideran como uno solo. 3. Conjunto complemento CAPITULO ILgica proposicional 69 Sea A un conjunto cualquiera y U el conjunto universo, el complemento de A ser: A = {x / x e U . x e A} Interpretacin:ElcomplementodelconjuntoA,eselconjunto formado por los elementos que no pertenecen al conjunto A; pero si, al conjunto universo. Ejemplos de conjunto complemento Ejemplo 1. Sean los conjuntos A = {3, 4, 5} y U = {dgitos} El complemento de A ser: A = {0, 1, 2, 6, 7, 8, 9}. Como puede observar,enelcomplementoseescribenloselementosdel universo;perosinescribirloselementosdelconjuntodelcualse desea encontrar el complemento. Ejemplo2.SiU={nmerosnaturales}yB={xeN/x< 100,000} B = {x e N/ x > 100,000} EscritosporextensinlosconjuntosB={1,2,3,,99998, 99999}yelcomplementodesteB={100000,100001, 100002} Ejemplo3.SeanlosconjuntosU={animalesinvertebrados}yC = {artrpodos}. Encuentre C. El complemento de C, ser: C = {invertebrados no artrpodos} Losnoartrpodos,sonaquellosquecarecendeunexoesqueleto (esqueleto externo) articulado; algunos de ellos son los moluscos, asquelmintos, anlidos, etc. Ejemplo4.SeanlosconjuntosU={continentes}yD={Asia, Amrica, Oceana}. El complemento del conjunto D, es: D = {Europa, Africa} Note que Europa y Africa son elementos del conjunto universo U, pero no del conjunto D; es por eso que forman parte del conjunto complemento de D. CAPITULO ILgica proposicional 70 Ejemplo 5. Dado el conjunto universo U ={Sistema respiratorio} yelconjuntoE={Fosasnasales,laringe,trquea,cartlagos, pulmn, costillas, corazn, diafragma} E={faringe,esfago,msculointercostales,bronquios, bronquiolos}. Ejemplo6.SiendoUelconjuntouniversoU={clasesde palabras}yelconjuntoF={nombres,adjetivos,verbos, adverbios}. El complemento del conjunto F, ser: F = {pronombres, determinantes, preposiciones, conjunciones} ComolosconjuntosFyFcontemplanlasclasesdepalabras, unidosformanelconjuntouniversalU.Nombres(mesa,etc.); adjetivo(largo,etc.);verbos(estudiar,etc.);adverbios(ahora, etc.);pronombres(l,etc.);determinante(el,mi,etc.); preposiciones (de, etc.); conjunciones (y, pero). Ejemplo 7. Sean los conjuntos U = {x / x es un tipo de erupcin} y G = {hawaiana, estromboliana, vulcaniana}. Encuentre el complemento de G. G = {peleana, vesubiana, krakatoana} Caractersticas de las erupciones: Hawaiana: lava muy fluida, no hay gases explosivos. Estromboliana: lava fluida, emanacin de muchos gases. Vulcaniana: magma poco fluido, desprende mucho gas. Vulcaniana: explosiones violentas y avalancha de piroclastos. Peleana: lava viscosa y explosin de crter. Krakatoana: Explosin y actividad ssmica fuerte Ejemplo 8. Sea U = {x/x es campen mundial de ftbol} H = {Brasil, Argentina, Uruguay}H = {Italia, Alemania, Inglaterra, Francia}Hasta el ao 2009, slo pases europeos y americanos han ganado la copa mundial de ftbol. Italia, 1934ItaliaFrancia, 1938FranciaFrancia, 1998CAPITULO IIIConjunto de los Nmeros Enteros Elaborado por Franklin Briceo74 Espaa, 1982Alemania, 2006 Suiza, 1954 Alemania Alemania, 1974Inglaterra Inglaterra, 1966 Italia, 1990 Ejemplo 9. U = {x/x es arcnido}; I = {caros, opiliones} I= {araas, escorpiones} Si unimos los conjuntos I e I formaremos el conjunto U. Ejemplo10.U={vocablosrelacionadosconlapalabra conocimiento} J={entendimiento,percepcin,conciencia, erudiccin} J={ignorancia,insapiencia,inexperiencia, desinformacin} LosvocablosdelconjuntoJsonalgunosdelossinnimosdela palabra conocimiento y, el complemento, los antnimos. 3.1. Propiedades complementarias Dado un conjunto A cualquiera, siempre se cumple que: i. AA = Uii. A A = C Estas propiedades se evidencian en los 10 ejemplos anteriores. 4. Diferencia de conjuntos. SeandosconjuntoscualquieraAyB,ladiferenciaAB estar formada por los elementos de A que no pertenecen a B. Simblicamente A B = {x / x e A . x e B} CAPITULO IIIConjunto de los Nmeros Enteros Elaborado por Franklin Briceo75 Interpretacin: Cuando encontramos la diferencia A B, debemos escribirloselementosdelconjuntoA,peronoescribiremoslos elementos del conjunto B; ni aquellos que compartan A y B. Grficamente, en diagramas de Venn-Euler A B A B Ejemplos de diferencia de conjuntos Ejemplo 1. Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6} A B = {1, 2} Observequeel3y4nosonelementosdeAB;auncuando stoselementospertenecenalconjuntoA,tambinpertenecenal conjunto B. B A = {5, 6} De igual forma, observe que slo se escrib