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A. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE:
Marta Alperin
Profesora Adjunta de Estadística
2014
Chi cuadrado Metodo G de Fisher Kolmogorov-Smirnov para una muestra Lilliefords Kolmogorov-Smirnov para dos muestras
B.TABLAS DE CONTINGENCIA
http://www.fcnym.unlp.edu.ar/catedras/estadistica
A. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE: 1. Chi cuadrado 2
•Objetivo Inferir si la población muestreada, cuyos datos se clasifican en una escala nominal o
son agrupados en intervalos, se ajusta a una cierta distribución teórica.
•Hipótesis Hipótesis nula: frecuencias observadas son iguales a las frecuencias esperadas.
Hipótesis alternativa: frecuencias observadas son diferentes a las frecuencias
esperadas.
H0: fo=fe
H1: fo≠fe
k
i
cfe
fefo
1
22 )(
fo: frecuencia observada
fe: frecuencia esperada
k: número de categorías
•Prueba de hipótesis
1 estimadosparámetrosnk
),(
2
c
•Estadístico de prueba
•Decisión estadística Cuando se acepta la hipótesis nula, se
puede afirmar que la muestra es extraída de
una población cuya distribución es la del
modelo contrastado con una confianza α.
Tabla Chi cuadrado
La hipótesis nula se acepta
Número de parámetros estimados
Modelo Binomial, se estima “p”
Modelo Poisson, se estima “λ”
Modelo Normal, se estima “μ y σ”
Modelo Uniforme no se estima ningún parámetro
Para evitar errores calcular las frecuencias esperadas con 4 decimales
y con 3 decimales. 2
Restricciones: •Los datos deben ser frecuencias
•Las categorías deben ser mutuamente excluyentes
•El test da resultados falsos si se aplica a datos que son porcentajes o
proporciones de ocurrencias de estas categorías mutuamente excluyentes.
•Las categorías no deben ser muchas.
•La frecuencia esperada en cada categoría debe ser al menos de 5 (cinco). Si esto
no ocurre se deben combinar las frecuencias de dos o mas categorías hasta que la
frecuencia esperada se >5.
Ejemplo DISTRIBUCIÓN POISSON
DISTRIBUCIÓN REGULAR DISTRIBUCIÓN AL AZAR DISTRIBUCIÓN CONTAGIOSA
12
X
s1
2
X
s1
2
X
s
n
mX
805,3X
m=n° meteoritos=761
n=n° cuadriculas=200
s2=2,17
((10+14)-(4,4+16,9))2/(4,4+16,9)=0,1125
k
i
cfe
fefo
1
22 )(
20,1372 c
1
2
nestS
estS
X
s
tn
12
1
100,01200
2
estS
¿Los meteoritos se distribuyen al azar?
H0: fo=fe
H1: fo≠fe
=0,05
=8-1-1=6
χ2(6; 0,05)=12,59
=0,05; /2=0,025
=n-1=200-1=199
t(199; 0,025)=-1,960
137,20>12,59; se rechaza H0
Los meteoritos no se distribuyen al azar
¿Los meteoritos están agrupados o se distribuyen unifomemente?
-1,960>-4,297; se rechaza H0
La distribución de los meteoritos no es al azar. El signo de t, y el valor de la relación varianza-media permite afirmar que la distribucion es relativamente uniforme.
1:2
0 X
sH 1:
2
X
sHa
Ejemplo: Desde el verano de 1976 se realizaron trabajos de investigacion
tendientes a estudiar los meteoritos en la Antártida. Se analizaron los meteoritos
caídos en un área de 200 km2. El área fue subdividida con una cuadricula de 1
km2 y se contó el número de meteoritos presentes en cada cuadricula.
!)(
x
exP
x
57,0805,3
17,22
X
s;
297,41,0
1805,3
17,2
1200
t
N° meteoritos
por cuadricula
Frecuencia observada
p (Poisson) Frecuencia esperada
(pxn) Chi cuadrado
0 10 0,0226 4,4
1 14 0,0847 16,9 0,1125
2 9 0,1611 32,2 16,7155 3 23 0,2044 40,9 7,8340
4 65 0,1944 38,9 17,5118 5 74 0,1479 29,6 66,6000 6 5 0,0938 18,8 10,1298 7 0 0,0509 10,2 10,2000
8 0 0,0406 8,1 8,1000
Ejemplo PRUEBA DE NORMALIDAD
Para comercializar la merluza se necesita investigar si el largo del cuerpo se
ajusta a un modelo normal.
Se realiza un lanzamiento de red en la plataforma a la latitud de Mar del Plata y
se recuperan 300 peces.
Intervalo Marca
de clase (x)
Frecuencia Observada
Intervalo Z sup Area
normal p
Frecuencia esperada
P x n
35,5-40,5 38 7 Menos de 40,5 -1,8 0,0359 10,77
40,5-45,5 43 54 40,5-45,5 -0,8 0,1760 52,8
45,5-50,5 48 120 45,5-50,5 0,2 0,3674 110,22
50,5-55,5 53 84 50,5-55,5 1,2 0,3056 91,68
55,5-60,5 58 31 55,5-60,5 2,2 0,1012 30,36
60,5-65,5 63 4 Más de 60,5 infinito 0,0139 4,17
Se desconocen y Se estiman con y S X
5,49X S=5 N=300
Recordemos
El área del intervalo (40,5 - 45,5) viene dada por: p((z Zsup.) - p((z Zinf.)
siendo (Zsup.) = (45,5 – 49,5) / 5 = -0,8
(Zinf.) = (40,5 – 49,5) / 5 = -1,8
p(z -0,8) – p(z -1,8) = 0,4641 – 0,2881 = 0,1760
El Zsup. de un intervalo será el Zinf. del siguiente intervalo.
El primer intervalo tiene siempre como Zinf. menos infinito (-∞)
El último como Zsup. más infinito (+∞).
Para obtener las frecuencias esperadas, las áreas debajo de la curva normal se multiplican por el número total de observaciones (N).
S
XxZ i
Intervalo Marca
de clase (x)
Frecuencia Observada
Intervalo Z sup Area
normal p
Frecuencia esperada
P x n
35,5-40,5 38 7 Menos de 40,5 -1,8 0,0359 10,77
40,5-45,5 43 54 40,5-45,5 -0,8 0,1760 52,8
45,5-50,5 48 120 45,5-50,5 0,2 0,3674 110,22
50,5-55,5 53 84 50,5-55,5 1,2 0,3056 91,68
55,5-60,5 58 31 55,5-60,5 2,2 0,1012 30,36
60,5-65,5 63 4 Más de 60,5 infinito 0,0139 4,17
H0: el largo de la
merluza está
normalmente
distribuido.
H1: el largo de la
merluza no se
distribuye normalmente
H0: fo=fe
H1: fo≠fe
=0,05
k
i
cfe
fefo
1
22 )(
Si las fe son menores que “5”; se deben sumar las fe de intervalos contiguos hasta
que todos los intervalos tengan fe 5.
8645,230053,34
35...
8,52
54
7,10
7 2222
c
Nfe
fok
i
c 1
22
= 5 -2 -1 = 2
1 estimadosparámetrosnk
2,86 < 5,99
Como el valor de 2c no supera el 2 crítico de
tabla al 5%, no se encuentran evidencias
suficientes para rechazar la H0
Se puede afirmar, con un nivel de
significación del 5%, que el largo de la
merluza sigue una distribución normal.
2(2;0,05)=5,99
2. Método “G” de Fisher
El estadístico G sigue la misma distribución que 2
c No es tan sensible como la prueba de Chi las frecuencias esperadas bajas
A. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE:
k
i fe
fofoG
1
ln2
Ejemplo del largo de la merluza Grados de libertad 6 -3 =3 2
(3; 0,05) = 7,81 3,06<7,81 Como el valor de G no supera el 2 crítico de tabla al 5%, no se encuentran
evidencias suficientes para rechazar la H0
Se puede afirmar, con un nivel de significación del 5%, que el largo de la
merluza sigue una distribución normal.
06,317,4
4ln4...
8,52
52ln54
77,10
7ln7(2 G
A. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE: 3. Método de Kolmogorov – Smirnov para una muestra con datos agrupados
N
EOd
maxmax
•Se necesita conocer la media y el desvío estándar poblacional. •El valor critico se busca en la Tabla Kolmogorv-Smirnov.
4. Método de Lilliefords (1967) •No es necesario conocer la media y el desvío estándar poblacional.
•Las estandarizaciones se calculan con los estimadores muestrales.
• El valor crítico se busca en la Tabla Lilliefords
Ejemplo del largo de la merluza
Valor crítico al 5% d de Lillifords
0,024<0,051 Como el valor de “d” no supera
el “d” crítico de tabla al 5%, no
se encuentran evidencias
suficientes para rechazar la H0.
Se puede afirmar, con un
nivel de significación del 5%,
que el largo de la merluza
sigue una distribución
normal.
024,0300
21,7
300
79,173181
d
Intervalo Frecuencia Observada
Frecuencia acumulada observada
Frecuencia esperada
Frecuencia acumulada esperada
d
35,5-40,5 7 7 10,77 10,77 3,77
40,5-45,5 54 61 52,8 63,57 2,57
45,5-50,5 120 181 110,22 173,79 7,21
50,5-55,5 84 265 91,68 265,47 0,47
55,5-60,5 31 296 30,36 289,83 6,17
60,5-65,5 4 300 4,17 300,00 0
Diferencia máxima max O: frecuencia acumulada observada max E: frecuencia acumulada esperada N: numero total de datos
0514,0300
890,0
A. PRUEBA DE Kolmogorov – Smirnov para dos muestras
Diferencia máxima faA: máxima frecuencia relativa acumulada en A. faB: máxima frecuencia acumulada relativa en B. nA: N° datos muestra A. nB: N° datos muestra B.
faBfaAd max
= 0,05 = 0,01
1 cola 1,22 N´ 1,51 N´
2 colas 1,36 N´ 1,63 N´ BA
BA
nn
nnN
'
• Se usa para comparar dos distribuciones muestrales. • Las variables pueden estar expresadas en cualquier escala: nominal, ordinal, de razón, continua o discreta. • No se asume ningún tipo de distribución de la población de donde se extraen las muestras.
Valores críticos D
La hipótesis nula se rechaza cuando d ≥ D.
Las hipótesis de la prueba son: H0: Las muestras provienen de poblaciones que tienen idéntica distribución . H1: Las muestras provienen de poblaciones que tienen distribuciones diferentes. H0: faA = faB H1: faB ≠ faA
Estadístico de prueba
X=N°
lados f(B) f(F) fr(B) fr(F) fa (B) fa (F) |d|
3 1 1 0.0303 0.0278 0.0303 0.0278 0.0025
4 3 7 0.0909 0.1944 0.1212 0.2222 0.1010
5 8 10 0.2424 0.2778 0.3636 0.5000 0.1364
6 15 8 0.4545 0.2222 0.8182 0.7222 0.0960
7 4 6 0.1212 0.1667 0.9394 0.8889 0.0505
8 1 4 0.0303 0.1111 0.9697 1.0000 0.0303
9 0 0 0.0000 0.0000 0.9697 1.0000 0.0303
10 1 0 0.0303 0.0000 1.0000 1.0000 0.0000
H0: Las dos muestras son tomadas de poblaciones con igual número de lados de los polígonos.
H1: Las dos muestras son tomadas de poblaciones con diferente número de lados de los polígonos.
H0: faB = faF H1: faB ≠ faF
Nivel de significación, = 0,05 D(0,05) = 0,241
Suelo arcilloso
Basalto
1364,0max faFfaBd
Debido a que d < D(0,05) (0,1364 < 0,241), no existen evidencias para rechazar la hipótesis nula. Los procesos que originan las grietas de desecación y la disyunción columnar son similares.
Ejemplo: Los procesos de desecación de suelos arcillosos son similares a los que forman la disyunción columnar de los basaltos y el número de lados de los barquillos de fango (F) y de las columnas de basalto (B) serán iguales pues la contracción por desecación o por enfriamiento es equidistante desde un punto y tiende a formar estructuras hexagonales.
nB = 33; nF = 36
B.TABLAS DE CONTINGENCIA •Objetivo Inferir si en la población de la que es extraída la muestra, existe alguna relación entre las frecuencias de ocurrencia simultanea entre dos variables aleatorias. Las variables son atributos categóricos, codificados o en escalas nominales. Cada individuo se clasifica teniendo en cuenta simultáneamente las dos variables. Se registra la frecuencia de ocurrencia en cada individuo que forma parte de la muestra.
•Hipótesis Hipótesis nula: las variables son independientes. H0: fo=fe
Hipótesis alternativa: las variables no son independientes. H1: fo≠fe
k
i
cfe
fefo
1
22 )(
fo: frecuencia observada en 1 celda
fe: frecuencia esperada en 1 celda
k: número de celdas de la tabla
TF: total de fila
TC: total de columna
TT=N= N° de datos
•Prueba de hipótesis 2
),(
2
c
•Decisión estadística Cuando se acepta la hipótesis nula, se
puede afirmar que la muestra es extraída de
una población en donde las variables son
independientes, con una confianza α.
•Estadístico de prueba
)1)(1( columnasdenumerofilasdenumero
TT
TCTFfe
La hipótesis nula
se rechaza
V1 V2
1 ... n 1 x
...
m
Tabla de contingencia
Ejemplo: El objetivo del trabajo es investigar si en los humanos el color del pelo es independiente del sexo.
H0: fo=fe
H1: fo≠fe
8,987 > 7,81
El valor de 2c es menor al 2 crítico de tabla.
No se encuentran evidencias suficientes para aceptar la H0 de independencia entre el
color del pelo y el sexo trabajando con un nivel de significación de 5%.
TT
TCTFfe
Sexo
Color del pelo Total Fila
Negro Castaño Rubio Pelirrojo
Hombres 32 43 16 9
100 29,0000 36,0000 26,6667 8,3333
Mujeres 55 65 64 16
200 58,0000 72,0000 53,3333 16,6667
Total columna 87 108 80 25 300
Sexo
Color del pelo Chi cuadrado Total Fila
Negro Castaño Rubio Pelirrojo Hombres 0,3103 1,3611 4,2667 0,0533
Mujeres 0,1552 0,6806 2,1444 0,0267
Total columna 8,987
3333,53300
80200)(
MRfe
987,8)(6
1
22
i
cfe
fefo
81,72
)12()14(;05,0
H0: El color del pelo es independiente del sexo. H1: El color del pelo no es independiente del sexo.
= 0,05
CORRECCIÓN POR CONTINUIDAD Cuando los grados de libertad =1 y n<200, el estadístico de contraste 2 de la prueba de hipótesis se debe corregir. La corrección por continuidad de Yates
k
i
cfe
fefo
1
2
2)5,0(
000,46000,34000,010
)1016(
90
)9084()( 22
1
22
k
i
cfe
fefo
3611,30250,33361,010
)5,01016(
90
)5,09084()5,0( 22
1
2
2
k
i
cfe
fefo
H0: Los datos provienen de una población con relación 9:1 de G. truncatulinoides
dextrógiras-levógiras.
HA: Los datos provienen de una población donde la relación G. truncatulinoides
dextrógiras-levógiras no es 9:1.
N = 100
fe valvas dextrógiras = (0,9) 100 = 90
fe valvas levógiras = (0,1) 100 = 10
Grados de libertad = k – 1 = 2 – 1 = 1
Nivel de significación = 0,05
= 3,84
Utilizando la corrección por continuidad de Yates se obtiene
Si no se utiliza la corrección de Yates se rechaza la hipótesis nula dado que 4,00 > 3,84.
Si se utiliza la corrección de Yates que no existen evidencias para rechazar la hipótesis
nula puesto que 3,36 < 3,84.
Se puede concluir que los ejemplares provienen de una población donde la relación de G.
truncatulinoides dextrógiras-levógiras es 9:1 lo que indicaría que se trata de aguas cálidas.
Dextrógiras Levógiras
fo 84 16
fe 90 10
Ejemplo. El sentido de enroscamiento de los caparazones del foraminífero
Globorotalia truncatulinoides, se usa para estimar la paleotemperatura del agua de mar. Las valvas dextrógiras ocurren en una relación 9:1 sobre las levógiras en aguas cálidas. El objetivo del estudio es determinar la paleotemperatura del agua en un nivel de un testigo recogido a la latitud de Buenos Aires en la plataforma.
GRACIAS