A. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE:

Marta Alperin

Profesora Adjunta de Estadística

alperin@fcnym.unlp.edu.ar

Chi cuadrado Metodo G de Fisher Kolmogorov-Smirnov Lilliefords

B.TABLAS DE CONTINGENCIA

http://www.fcnym.unlp.edu.ar/catedras/estadistica

A. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE: 1. Chi cuadrado 2

•Objetivo Inferir si la población muestreada, cuyos datos se clasifican en una escala nominal o

son agrupados en intervalos, sigue una cierta distribución teórica.

•Hipótesis Hipótesis nula: frecuencias observadas son iguales a las frecuencias esperadas.

Hipótesis alternativa: frecuencias observadas son diferentes a las frecuencias

esperadas.

H0: fo=fe

H1: fo≠fe

k

i

cfe

fefo

1

22 )(

fo: frecuencia observada

fe: frecuencia esperada

k: número de categorías

•Prueba de hipótesis

1 estimadosparámetrosnk

),(

2

c

•Estadístico de prueba

•Decisión estadística Cuando se acepta la hipótesis nula, se

puede afirmar que la muestra es extraída de

una población cuya distribución es la del

modelo contrastado con una confianza α.

Tabla Chi cuadrado

La hipótesis nula se acepta

Número de parámetros estimados

Modelo Binomial, se estima “p”

Modelo Poisson, se estima “λ”

Modelo Normal, se estima “μ y σ”

Modelo Uniforme no se estima ningún parámetro

Para evitar errores calcular las frecuencias esperadas con 4 decimales

y con 3 decimales. 2

Restricciones: •Los datos deben ser frecuencias

•Las categorías deben ser mutuamente excluyentes

•El test da resultados falsos si se aplica a datos que son porcentajes o

proporciones de ocurrencias de estas categorías mutuamente excluyentes.

•Las categorías no deben ser muchas.

•La frecuencia esperada en cada categoría debe ser al menos de 5 (cinco). Si esto

no ocurre se deben combinar las frecuencias de dos o mas categorías hasta que la

frecuencia esperada se >5.

Ejemplo DISTRIBUCIÓN UNIFORME: Un geólogo está estudiando los sedimentos

del perfil de playa de un lago que está compuesto por gravas de composición

pómez, granitos y rocas esquistosas. Aunque los tres componentes están

presentes en cantidades similares, el investigador sospecha que la roca

madre no contribuye en la misma proporción en la composición de la grava.

Realiza un muestreo de 600 individuos y encuentra 180 pómez, 186

graníticos y 234 esquistosos. ¿Son estos resultados compatibles con su

hipótesis?

Pumicesos Graníticos Esquistosos fo 180 186 234

fe 200 200 200 (fo-fe)2/fe 2,0 0,98 5,78

H0: fo=fe

H1: fo≠fe

α: 0,05

= 3-1=2

k

i

cfe

fefo

1

22 )(

76,878,598,00,22 c

8,76 >5,99

El valor de 2c supera el 2 crítico de tabla

para alfa de 0,5.

Se puede afirmar, con un nivel de significación

del 5%, que la muestra ha sido tomada de una

población dónde la proporción de componentes

pómez, graníticos y esquistosos no es la

misma.

2(2;0,05)=5,99

Ejemplo DISTRIBUCIÓN POISSON

DISTRIBUCIÓN REGULAR DISTRIBUCIÓN AL AZAR DISTRIBUCIÓN CONTAGIOSA

12

X

s1

2

X

s1

2

X

s

n

mX

805,3X

m=n° meteoritos=761

n=n° cuadriculas=200

s2=2,17

((10+14)-(4,4+16,9))2/(4,4+16,9)=0,1125

k

i

cfe

fefo

1

22 )(

20,1372 c

1

2

nestS

estS

X

s

tn

12

1

100,01200

2

estS

Los meteoritos se distribuyen al azar?

H0: fo=fe

H1: fo≠fe

=0,05

=8-1-1=6

χ2(6; 0,05)=12,59

=0,05; /2=0,025

=n-1=200-1=199

t(199; 0,025)=-1,960

137,20>12,59; se rechaza H0

Los meteoritos no se distribuyen al azar

Los meteoritos están agrupados o se distribuyen unifomemente?

-1,960>-4,297; se rechaza H0

La distribución de los meteoritos no es al azar. El signo de t, y el valor de la relación varianza-media permite afirmar que la distribucion es relativamente uniforme.

1:2

0 X

sH 1:

2

X

sHa

Ejemplo: Desde el verano de 1976 se realizaron trabajos de investigacion

tendientes a estudiar los meteoritos en la Antártida. Se analizaron los meteoritos

caídos en un área de 200 km2. El área fue subdividida con una cuadricula de 1

km2 y se contó el número de meteoritos presentes en cada cuadricula.

!)(

x

exP

x

57,0805,3

17,22

X

s;

297,41,0

1805,3

17,2

1200

t

N° meteoritos

por cuadricula

Frecuencia observada

p (Poisson) Frecuencia esperada

(pxn) Chi cuadrado

0 10 0,0226 4,4

1 14 0,0847 16,9 0,1125

2 9 0,1611 32,2 16,7155 3 23 0,2044 40,9 7,8340

4 65 0,1944 38,9 17,5118 5 74 0,1479 29,6 66,6000 6 5 0,0938 18,8 10,1298 7 0 0,0509 10,2 10,2000

8 0 0,0406 8,1 8,1000

Ejemplo PRUEBA DE NORMALIDAD

Para comercializar la merluza se necesita investigar si el largo del cuerpo se

ajusta a un modelo normal.

Se realiza un lanzamiento de red en la plataforma a la latitud de Mar del Plata y

se recuperan 300 peces.

Intervalo Marca

de clase (x)

Frecuencia Observada

Intervalo Z sup Area

normal p

Frecuencia esperada

P x n

35,5-40,5 38 7 Menos de 40,5 -1,8 0,0359 10,77

40,5-45,5 43 54 40,5-45,5 -0,8 0,1760 52,8

45,5-50,5 48 120 45,5-50,5 0,2 0,3674 110,22

50,5-55,5 53 84 50,5-55,5 1,2 0,3056 91,68

55,5-60,5 58 31 55,5-60,5 2,2 0,1012 30,36

60,5-65,5 63 4 Más de 60,5 infinito 0,0139 4,17

Se desconocen y

Se estiman con y S X

5,49X S=5 N=300

Recordemos

El área del intervalo (40,5 - 45,5) viene dada por: p((z Zsup.) - p((z Zinf.)

siendo (Zsup.) = (45,5 – 49,5) / 5 = -0,8

(Zinf.) = (40,5 – 49,5) / 5 = -1,8

p(z -0,8) – p(z -1,8) = 0,4641 – 0,2881 = 0,1760

El Zsup. de un intervalo será el Zinf. del siguiente intervalo.

El primer intervalo tiene siempre como Zinf. menos infinito (-∞)

El último como Zsup. más infinito (+∞).

Para obtener las frecuencias esperadas, las áreas debajo de la curva normal se

multiplican por el número total de observaciones (N).

S

XxZ i

Intervalo Marca

de clase (x)

Frecuencia Observada

Intervalo Z sup Area

normal p

Frecuencia esperada

P x n

35,5-40,5 38 7 Menos de 40,5 -1,8 0,0359 10,77

40,5-45,5 43 54 40,5-45,5 -0,8 0,1760 52,8

45,5-50,5 48 120 45,5-50,5 0,2 0,3674 110,22

50,5-55,5 53 84 50,5-55,5 1,2 0,3056 91,68

55,5-60,5 58 31 55,5-60,5 2,2 0,1012 30,36

60,5-65,5 63 4 Más de 60,5 infinito 0,0139 4,17

H0: fo=fe

H1: fo≠fe

=0,05

k

i

cfe

fefo

1

22 )(

Si las fe son menores que “5”; se deben sumar las fe de intervalos contiguos hasta

que todos los intervalos tengan fe 5.

8645,230053,34

35...

8,52

54

7,10

7 2222

c

Nfe

fok

i

c 1

22

= 5 -2 -1 = 2

1 estimadosparámetrosnk

2,86 < 5,99

Como el valor de 2c no supera el 2 crítico de

tabla al 5%, no se encuentran evidencias

suficientes para rechazar la H0

Se puede afirmar, con un nivel de

significación del 5%, que el largo de la

merluza sigue una distribución normal.

2(2;0,05)=5,99

2. Método “G” de Fisher

El estadístico G sigue la misma distribución que 2

c

No es tan sensible como la prueba de Chi las frecuencias esperadas bajas

A. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE:

k

i fe

fofoG

1

ln2

Ejemplo del largo de la merluza Grados de libertad 6 -3 =3 2

(3; 0,05) = 7,81

3,06<7,81 Como el valor de G no supera el 2 crítico de tabla al 5%, no se encuentran

evidencias suficientes para rechazar la H0

Se puede afirmar, con un nivel de significación del 5%, que el largo de la

merluza sigue una distribución normal.

06,317,4

4ln4...

8,52

52ln54

77,10

7ln7(2 G

A. PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE: 3. Método de Kolmogorov - Smirnov

N

EOd

maxmax

•Se necesita conocer la media y el desvío estándar poblacional. •El valor critico se busca en la Tabla Kolmogorv-Smirnov.

4. Método de Lilliefords (1967) •No es necesario conocer la media y el desvío estándar poblacional.

•Las estandarizaciones se calculan con los estimadores muestrales.

• El valor crítico se busca en la Tabla Lilliefords

Ejemplo del largo de la merluza

Valor crítico al 5% d de Lillifords

0,024<0,051 Como el valor de “d” no supera

el “d” crítico de tabla al 5%, no

se encuentran evidencias

suficientes para rechazar la H0.

Se puede afirmar, con un

nivel de significación del 5%,

que el largo de la merluza

sigue una distribución

normal.

024,0300

21,7

300

79,173181

d

Intervalo Frecuencia Observada

Frecuencia acumulada observada

Frecuencia esperada

Frecuencia acumulada esperada

d

35,5-40,5 7 7 10,77 10,77 3,77

40,5-45,5 54 61 52,8 63,57 2,57

45,5-50,5 120 181 110,22 173,79 7,21

50,5-55,5 84 265 91,68 265,47 0,47

55,5-60,5 31 296 30,36 289,83 6,17

60,5-65,5 4 300 4,17 300,00 0

Diferencia máxima max O: frecuencia acumulada observada

max E: frecuencia acumulada esperada N: numero total de datos

0514,0300

890,0

B.TABLAS DE CONTINGENCIA •Objetivo Inferir si en la población de la que es extraída la muestra, existe alguna relación entre las frecuencias de ocurrencia simultanea entre dos variables aleatorias. Las variables son atributos categóricos, codificados o en escalas nominales. Cada individuo se clasifica teniendo en cuenta simultáneamente las dos variables. Se registra la frecuencia de ocurrencia en cada individuo que forma parte de la muestra

•Hipótesis Hipótesis nula: las variables son independientes H0: fo=fe

Hipótesis alternativa: las variables no son independientes. H1: fo≠fe

k

i

cfe

fefo

1

22 )(

fo: frecuencia observada en 1 celda

fe: frecuencia esperada en 1 celda

k: número de celdas de la tabla

•Prueba de hipótesis 2

),(

2

c

•Decisión estadística Cuando se acepta la hipótesis nula, se

puede afirmar que la muestra es extraída de

una población en donde las variables son

independientes, con una confianza α.

•Estadístico de prueba

)1)(1( columnasdenumerofilasdenumero

TT

TCTFfe

La hipótesis

nula se acepta

V1 V2

1 ... n 1 x

...

m

Tabla de contingencia

Ejemplo El objetivo del trabajo es investigar si en los humanos el color del pelo es independiente del sexo.

H0: fo=fe

H1: fo≠fe

= 0,05

8,987 > 7,81

El valor de 2c es menor al 2 crítico de tabla.

No se encuentran evidencias suficientes para aceptar la H0 de independencia entre el

color del pelo y el sexo trabajando con un nivel de significación de 5%.

TT

TCTFfe

Sexo Color del pelo

Total Fila Negro Castaño Rubio Pelirrojo

Hombres 32 43 16 9

100 29,0000 36,0000 26,6667 8,3333

Mujeres 55 65 64 16

200 58,0000 72,0000 53,3333 16,6667

Total columna 87 108 80 25 300

Sexo Color del pelo Chi cuadrado

Total Fila Negro Castaño Rubio Pelirrojo

Hombres 0,3103 1,3611 4,2667 0,0533

Mujeres 0,1552 0,6806 2,1444 0,0267

Total columna 8,987

3333,53300

80200)(

MRfe

987,8)(6

1

22

i

cfe

fefo 81,72

)12()14(;05,0

CORRECCIÓN POR CONTINUIDAD

Cuando los grados de libertad utilizados para

hacer el contraste de la prueba de hipótesis es

uno (1) se debe realizar la corrección por

continuidad de Yates.

k

i

cfe

fefo

1

2

2)5,0(

GRACIAS