A006 potencia eje centro radic
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Potencia de un punto respecto de una circunferencia. PA . PB = PC . PD...k Producto de los segmentos determinados por una recta secante, trazada desde un punto a la circunferencia, situados en el mismo plano. Si se unen A y D así como B y C, tanto en el caso del punto exterior como en el interior a la circunferencia, se forman los triángulos PAD y PCB, que son semejantes, ya que en el caso del exterior, los ángulos en P son iguales y los ángulos en B y D también por ser inscritos y de igual arco; y en el caso del interior los ángulos en P son iguales por ser opuestos por el vértice y los B y D también por ser inscritos y de igual arco. Estableciendo la proporcionalidad entre los lados homólogos se tiene: Segmento representativo de la potencia. Punto exterior. La tangente PC es la posición límite de una secante y el punto C posición límite común de las intersecciones. (PA)(PB)=(PC)(PC)=PC =(PO-OA)(PO+OB)= 2 (d-r)(d+r)=d -r = c 2 2 2 Punto interior. La semicuerda normal al diámetro que pasa por P, es medio proporcional entre las distancias de este a la circunferencia. (-PA)(PB)=(PC)(PC)=Pc =(-PO+OA)(OB-PO)=(-r+d)(r-d)= d -r = c 2 2 2 2 POTENCIA. P A B C D C c A B a b O P C c B b O A P a PA / PC = PB / PD =...k (PA)(PB)=(PC)(PD)=...k Punto exterior. Potencia positiva. Segmentos orientados en el mismo sentido. (PA)(PB) = k = d - r 2 2 A P C D B P A B Punto en la circunferencia. Potencia igual a cero. (PA)(PB) = k = 0 A B P Punto interior. Potencia negativa. Segmentos orientados en sentido contrario. (-PA)(PB) = -k = d - r 2 2 A P B Punto en el centro. Potencia negativa. Segmentos orientados en sentido contrario. (-PA)(PB) = -k = -r 2 A P B Punto exterior: Punto interior: (PA)(PB)=(d-r)(d+r)= d -r (-PA)(PB)= -(r-d)(r+d)= -(r -d )= d - r Para el punto en el centro la potencia es -r , ya que d = 0; para el resto de los puntos, la potencia crece al aumentar d, teniendo como valor 0(cero) los puntos situados en la circunferencia. 2 2 2 2 2 2 2 2 Valor de la potencia. (d -r ) 2 2 r d a b A B O P d r P A b O B a
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Potencia de un punto respecto de una circunferencia.
PA . PB = PC . PD...k
Producto de los segmentos determinados por una recta secante, trazadadesde un punto a la circunferencia, situados en el mismo plano.
Si se unen A y D así como B y C, tanto en el caso del punto exterior como enel interior a la circunferencia, se forman los triángulos PAD y PCB, que sonsemejantes, ya que en el caso del exterior, los ángulos en P son iguales y losángulos en B y D también por ser inscritos y de igual arco; y en el caso delinterior los ángulos en P son iguales por ser opuestos por el vértice y los B yD también por ser inscritos y de igual arco. Estableciendo laproporcionalidad entre los lados homólogos se tiene:
Segmento representativo de la potencia.
Punto exterior.La tangente PC es la posición límite de una secante y el punto C posiciónlímite común de las intersecciones.
(PA)(PB)=(PC)(PC)=PC =(PO-OA)(PO+OB)=2 (d-r)(d+r)=d -r = c2 2 2
Punto interior.La semicuerda normal al diámetro que pasa por P, es medio proporcionalentre las distancias de este a la circunferencia.
(-PA)(PB)=(PC)(PC)=Pc =(-PO+OA)(OB-PO)=(-r+d)(r-d)= d -r = c2 2 2 2
POTENCIA.
P A B
CD
Cc
A Ba bO P
Cc
B b O A P
a
PA / PC = PB / PD =...k
(PA)(PB)=(PC)(PD)=...k
Punto exterior.Potencia positiva.
Segmentos orientadosen el mismo sentido.(PA)(PB) = k = d - r2 2
A
PC D
B
P A B
Punto en lacircunferencia.
Potencia igual a cero.(PA)(PB) = k = 0
A BP
Punto interior.Potencia negativa.
Segmentos orientadosen sentido contrario.
(-PA)(PB) = -k = d - r2 2
A P B
Punto en el centro.Potencia negativa.
Segmentos orientadosen sentido contrario.(-PA)(PB) = -k = -r2
A P B
Punto exterior:
Punto interior:(PA)(PB)=(d-r)(d+r)= d -r
(-PA)(PB)= -(r-d)(r+d)= -(r -d )= d - r
Para el punto en el centro la potencia es -r , yaque d = 0; para el resto de los puntos, la potenciacrece al aumentar d, teniendo como valor0(cero) los puntos situados en la circunferencia.
2 2
2 2 2 2
2
2
Valor de la potencia. ( d -r )2 2
r d
a bA B
O P
d r
P A b O B
a
EJE RADICAL.
Eje radical como lugar geométrico.El lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de cuadrados de distancias aotros dos fijos es constante(k), es una recta perpendicular a la que une dichos puntos.
En todo triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo es igual a la suma de loscuadrados de los otros dos lados el doble producto de uno de ellos por la proyección delotro sobre él.
obtuso/agudomás/menos
Concéntricas
AB
CR
A B
(P)
InterioresExteriores
CR
A B
(P)
Eje radical según las posiciones relativas entre dos circunferenciasSecantes
P’
A B
P
Tangentes interiores
A BP
Tangentes exteriores
A BP
Eje radical de dos circunferencias.
El eje radical de dos circunferencias es el lugargeométrico(recta) de los puntos del plano, donde estánsituados, que tienen la misma potencia (variable para cada unode ellos) respecto de ellas.Al trazar rectas tangentes exteriores a las circunferencias O y Q,obtenemos los segmentos AB y A’B’ que unen los puntos detangencia. Los puntos medios P y P’ de dichos segmentosguardan la misma potencia respecto de las circunferencias.La recta PP’, que une ambos puntos, es perpendicular a la queune los centros (OQ) de ambas circunferencias y su eje radical.
La diferencia (c - b ) es constante, por igualdad, lo es (2a(MH).Sí B y C son puntos fijos (a) es constante y, por tanto, (MH).M, punto medio de (BC), es fijo luego H también debe serlo.Según esto el punto A, del lugar geométrico buscado tiene fijasu proyección normal en H sobre el segmento (BC), así pues,cualquier punto A estará en dicha perpendicular por H alsegmento (BC).
2 2A
c bm h
B M H C
a/2 a/2
A P B
QO
B’P’
A’
ABM: c = (a/2) + m + 2(a/2)(MH)
ACM: b = (a/2) + m - 2(a/2)(MH)
2 2 2
2 2 2c - b k2 2 = 4(a/2)(MH) = 2a(MH) =
c - b = k2 2
Centro radical de tres circunferencias.
Lugar geométrico del plano, donde están situadas, quetiene la misma potencia respecto de ellas.
El lugar geométrico (centro radical) es el punto deintersección de los ejes radicales entre dichascircunferencias.
El centro radical es un punto impropio cuando loscentros de las circunferencias están alineados y susejes radicales resultan paralelos.
CENTRO RADICAL
ER(AB)B
ER(BC)
ACR
CER(AC)
Haz de circunferencias coaxiales(corradicales). Conjunto de circunferencias de eje radical común.
Haz de tangentes Haz de secantesHaz de exteriores
HAZ DE CIRCUNFERENCIAS.
Propiedad de los haces de circunferenciascoaxiales.
Cada punto del eje radical tiene igual potenciarespecto de todas las circunferencias del haz; portanto, el punto de contacto de las tangentestrazadas desde él coinciden con los de unacircunferencia.
Circunferencias secantes ortogonales.
Circunferencias con los radios que pasan por elpunto de tangencia perpendiculares y siendo elradio de una tangente a la otra.Cada haz de circunferencias coaxiales llevaasociado otro haz de circunferenciasortogonales a las primeras
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