CÁLCULO AVANZADO

ESCUELAESCUELA:: INGENIERÍA INGENIERÍA CIVILCIVIL

1

CLASE: Nro. 15

NOMBRE: Carmen Esparza VillalbaCarmen Esparza Villalba

CLASECLASE:: Ajuste de curvas – Método de Jacobi

SEMESTRESEMESTRE:: ABRIL 2012 ABRIL 2012 –– AGOSTO AGOSTO 20122012

Contenidos

• Ajuste de curvas

– Método mínimos cuadrados

• Regresión Lineal• Regresión Lineal

• Regresión Polinomial

• Método de Jacobi

– Matriz ortogonal P

Ajuste de CurvasCuando los datos obtenidos de manera experimental

fluctúan o tienen un error, es necesario encontrar valores

intermedios que puedan predecirse a partir de los valores

obtenidos

– Método mínimos cuadrados– Método mínimos cuadrados

• Regresión Lineal

• Regresión Polinomial

• La mejor estrategia esencontrar una línea que seajuste a los datos.

• Si E = y –a0-a1x, básicamenteestamos diciendo que el error E

Ajuste – Regresión Lineal

estamos diciendo que el error Ees igual al valor real “y” menosel valor aproximado a0+a1x, Porlo tanto necesitamos encontrarel valor a0 y a1. Que lo podemoshacer a través de las siguientesfórmulas:

Valor observado

Dato (y)

Recta de

regresión

estimada

FÓRMULAS Ajuste – Regresión Lineal

•a1 = nΣxiyi-ΣxiΣyi

nΣxi2-(Σxi)

2

�Sy = √(Σ(yi – ỹ)2 / (n-1)

�Sy/x = √Σ(yi–a0– a1xi)2/(n-2)

•a0 = ỹ – a1(Σxi/n)

Además podemos saber si la aproximación es

aceptable y qué tan buena es.

•sy/x < sy (ajuste aceptable)

r2 = ((St – Sr) / St) * 100%

Dónde

St = Σ(yi – ỹ)2

Sr = Σ(yi–a0– a1xi)2

• Conservando la mismaestrategia podemos agregarmás términos para tener unmejor ajuste.

• El sistema de ecuaciones

Ajuste – Regresión Polinomial

• El sistema de ecuacionessiguientes permitirá encontrarlos valores de a0, a1 , a2 , …

• Fórmulas:

a0n + a1Σxi + a2Σxi2 + ... + amΣxi

m = Σyi

a0Σxi + a1Σxi2 + a2Σxi

3 + ... + amΣxim+1 = Σxiyi

a0Σxi2 + a1Σxi

3 + a2Σxi4 + ... + amΣxi

m+2 = Σxi2yi

a0Σxi3+ a1Σxi

4 + a2Σxi5 + ... + amΣxi

2m = Σximyi

El sistema de ecuaciones puede resolverse por cualquiermétodo dependiendo de la cantidad de ecuaciones a utilizar

FÓRMULAS Ajuste – Regresión Polinomial

método dependiendo de la cantidad de ecuaciones a utilizarpara un mejor ajuste. sy/x < sy (ajuste aceptable)

• Sy = √(Σ(yi – ỹ)2 / (n-1)

• Sy/x = √Σ(yi–a0– a1xi – …)2/(n-(m+1))

r2 = (St – Sr / St) * 100%

Dónde St = Σ(yi – ỹ)2 y Sr = Σ(yi–a0– a1xi – …)2

Si es Ajuste Cuadrático m = 2, porque se trunca en x2 en la 1era ecuación.

Ejemplo: a partir de los datos de la tabla que se presenta a continuación,

ajuste un polinomio de segundo grado, utilizando regresión polinomial.

Xi Yi

0 2,1

1 7,7

2 13,6

3 27,2

4 40,9

5 61,1

Para el caso que nos ocupa,

m = 2 (el grado del polinomio que necesitamos)

n = 6 (la cantidad de datos)

Y el conjunto general de ecuaciones queda instanciado de la siguiente manera:

Xi Yi Xi2 Xi3 Xi4 XiYi Xi2 Yi

0 2,1 0 0 0 0 0

1 7,7 1 1 1 7,7 7,7

2 13,6 4 8 16 27,2 54,4

3 27,2 9 27 81 81,6 244,8

4 40,9 16 64 256 163,6 654,4

5 61,1 25 125 625 305,5 1527,5

∑Xi ∑Yi ∑Xi2 ∑Xi3 ∑Xi4 ∑XiYi ∑Xi2Yi

15 152,6 55 225 979 585,6 2488,8

Por lo tanto, las ecuaciones lineales simultáneas son:

O en un “formato” más familiar:

9

O en un “formato” más familiar:

Resolviendo ese sistema con alguna técnica como la eliminación gaussiana,

se obtiene:

ao = 2.47857 a1 = 2.35929 a2 = 1.86071

El polinomio es: 1.86071x2 + 2.35929x + 2.47857

Debemos calcular Sr y St

�Sr nos servirá para calcular el error estándar de aproximación basado en la

regresión polinomial.

�St nos servirá para calcular el coeficiente de determinación.

Xi Yi Xi2 Xi3 Xi4 XiYi Xi2 Yi ( Yi – Ytrazo )2 ( Yi - ao - a1xi - a2xi2 )2

0 2,1 0 0 0 0 0 544,4444 0,14332

1 7,7 1 1 1 7,7 7,7 314,4711 1,00286

2 13,6 4 8 16 27,2 54,4 140,0278 1,08158

3 27,2 9 27 81 81,6 244,8 3,1211 0,80491

Xtrazo 2,5000

Ytrazo 25,4333ao = 2.47857 a1 = 2.35929 a2 = 1.86071

10

3 27,2 9 27 81 81,6 244,8 3,1211 0,80491

4 40,9 16 64 256 163,6 654,4 239,2178 0,61951

5 61,1 25 125 625 305,5 1527,5 1272,1111 0,09439

∑Xi ∑Yi ∑Xi2 ∑Xi3 ∑Xi4 ∑XiYi ∑Xi2Yi St Sr

15 152,6 55 225 979 585,6 2488,8 2513,3933 3,74657

Sy/x = Sr

n – (m+1)Sy/x =

3.74657

6 – 3= 1.1175

Sy = St

n - 1

2513.3933

5= = 22.4205

r = St - Sr

St

2 2513.3933 - 3.74657

2513.3933= 0.99851=

El resultado indica que el 99.851%

de la incertidumbre original se ha

explicado mediante el modelo.

El método de Jacobi se basa en la transformación de unamatriz A en otra semejante, A1, mediante una matrizortogonal de paso P.El objetivo es convertir en ceros (o valores semejantes acero) todos los valores de la matriz triangular superior, o de

Método de Jacobi

11

cero) todos los valores de la matriz triangular superior, o dela matriz triangular inferior, de una matriz cuadrad A.

∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗

∗∗∗∗

=A

++++

++++

++++

+++

=

0

1A

=

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

A

0

2

Desarrollo de el método de Jacobi1.- Se construye la matriz A1, semejante a A

A1 = P1’A P1

Para ello se determina el elemento Apq (elemento de mayor valor

absoluto) de la fila p y la columna q que se hará cero ( p ≠ q) de la

matriz triangular inferior, de la matriz Ak.

Método de Jacobi

12

matriz triangular inferior, de la matriz Ak.

=+

01

1

1

LL

M

M

p

q

k

a

a

A→

⇒

pqp

q

aa

a

PAk

LL

M

M

1

1

Desarrollo de el método de JacobiLa matriz P que es la matriz de transformación tiene la

siguiente forma:

Método de Jacobi

13

( p, p ) = cos ө

(q, q ) = cos ө

(q , p ) = -sen ө

( p , q ) = sen ө

Desarrollo de el método de JacobiLa base del método consiste en obtener Ө de tal manera que el elemento apq

correspondiente a la matriz Ak+1 sea nula. El valor de ( Ө) se obtiene de la

siguiente ecuación.

Método de Jacobi

appaqq

apqarctag

−=

2

2

1θ

14

2).- Se construye A2 semejante a A1

Se determina el elemento apq de la nueva matriz A1 y la nueva matriz de

transformación P2

A2 = P2’ A1 P2

3).- Se construye A3; A4;..............Ak+1

appaqq −2

Desarrollo de el método de Jacobi

3).- Se construye A3; A4;..............Ak+1

A3 = P3’ A2 P3

A4 = P4’ A3 P4

‘’ ‘’ ‘’

‘’ ‘’ ‘’

Método de Jacobi

15

‘’ ‘’ ‘’

‘’ ‘’ ‘’

Ak+1 = Pk+1’*Ak*Pk+1

Ak+1 = Dk+1 + Ek+1; donde

Dk+1 = es la matriz que contiene a los elementos de la diagonal de Ak+1

Ek+1 = Matriz que contiene a los elementos que no están en la diagonal de

Ak+1

Calculo de valores propios

El proceso se resume en lo siguiente:Se determinan

Método de Jacobi

211221122122

111

'')'(''

'

===

=

PAPPPPAPPPPAPA

APPA

16

Ak+1 = P’ x A x PP = P1 x P2 x P3 x P4 x P5..................Pk+1

Los elementos de las columnas de P son los vectores propios de A

14321123411

3211233211233233

211221122122

...........''''.............'.........'

''

''

''

''')''(''

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+++ =

===

===

kkkkk PPPPPAPPPPPPPA

PPAPPPPPPAPPPPPAPA

PAPPPPAPPPPAPA

Calculo de valores propios

El proceso se resume en lo siguiente:Se determinan

Método de Jacobi

211221122122

111

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=

PAPPPPAPPPPAPA

APPA

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Ak+1 = P’ x A x PP = P1 x P2 x P3 x P4 x P5..................Pk+1

Los elementos de las columnas de P son los vectores propios de A

14321123411

3211233211233233

211221122122

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''

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===

kkkkk PPPPPAPPPPPPPA

PPAPPPPPPAPPPPPAPA

PAPPPPAPPPPAPA

Método de Jacobi

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