กลศาสตรຏของเหล - Udon Thani Rajabhat Universityportal5.udru.ac.th ›...

กลศาสตรของไหล

(Fluid Mechanics)

ผชวยศาสตราจารย ดร.สนทร สทธบาก

ปร.ด. (วศวกรรมเครองกล)

คณะเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

2558

ค ำน ำ

ต ำรำวชำกลศำสตรของไหลเลมน ใชส ำหรบกำรเรยนกำรสอนตำมหลกสตรวทยำศำสตรบณฑต สำขำวชำเทคโนโลยเครองกล คณะเทคโนโลย มหำวทยำลยรำชภฏอดรธำน ในรำยวชำกลศำสตรของไหล (Fluid Mechanics) รหสวชำ 5592103 หรอ MT02206 หรอ MT02205 เนอหำในต ำรำมทงหมด 10 บทเรยน ประกอบดวย 1) พนฐำนของกลศำสตรของไหล 2) คณสมบตของของไหล 3) ควำมหนดของของไหล 4) สถตศำสตรของไหล 5) พนฐำนของกำรไหล 6) สมกำรโมเมนตม 7) สมกำรพลงงำน 8) กำรไหลภำยในทอปด 9) กำรวดอตรำกำรไหลของของไหลในทอ และ 10) สมกำรพนฐำนของกำรไหลแบบอดตวได กลศำสตรของไหล (Fluid Mechanics) เปนวชำทส ำคญมำกวชำหนง เนองจำกเปนวชำบงคบและเปนพนฐำนของหลำยๆ วชำส ำหรบกำรเรยนในสำขำวชำเทคโนโลยเครองกล คณะเทคโนโลย มหำวทยำลยรำชภฏอดรธำน และจำกประสบกำรณกำรสอนวชำกลศำสตรของไหลของผเขยนมำหลำยป พบวำ นกศกษำจ ำนวนมำกนยมอำนต ำรำทเปนภำษำไทย และในต ำรำสวนมำกจะเนนเนอหำเฉพำะดำนและมปรมำณเนอหำมำกเกนไป อำนเขำใจยำก และนกศกษำบำงสวนมพนฐำนทำงดำนกำรค ำนวณไมด ท ำใหไมสำมำรถไดรบควำมรไดมำกนก ดงนนต ำรำเลมน จงมงเนนใหนกศกษำทมพนฐำนควำมรทำงดำนกำรค ำนวณไมมำก สำมำรถอำนเขำใจได และนกศกษำทมพนฐำนควำมรเดมดอยแลว อำนไดควำมรมำกยงขน โดยผเขยนต ำรำเลมนพยำมยำมใชภำษำทไมซบซอน อำนท ำควำมเขำใจดวยตนเองไดงำย และครอบคลมในเนอหำรำยวชำ ผเขยนหวงเปนอยำงยงวำต ำรำเลมนจะเปนประโยชนแกนกศกษำสำขำวชำเทคโนโลยเครองกล คณะเทคโนโลย มหำวทยำลยรำชภฏอดรธำน และผทสนใจทจะอำนทกทำน และพรอมยนดรบค ำตชม ขอเสนอแนะตำงๆ ทเปนประโยชน เพอน ำไปปรบปรงในกำรจดพมพประกอบกำรเรยนกำรสอนในครงตอไป

ผชวยศำสตรำจำรย ดร.สนทร สทธบำก

มนำคม 2558

สารบญ

หนา ค าน า .............................................................................................................................................(ก) สารบญ ......................................................................................................................................... (ค) สารบญรปภาพ ............................................................................................................................. (ฌ) สารบญตาราง ............................................................................................................................... (ณ) บทท 1 พนฐานของกลศาสตรของไหล ......................................................................................... 1 1.1 ความส าคญของกลศาสตรของไหล............................................................................. 1 1.2 ประวตความเปนมาของกลศาสตรของไหล ................................................................ 2 1.2.1 ประวตความเปนมาของกลศาสตรของไหล ..................................................... 2 1.2.2 ยคศตวรรษท 18 และ 19 .............................................................................. 9 1.2.3 ยคศตวรรษท 20 .......................................................................................... 27 1.3 นยามของของไหล ................................................................................................... 32 1.4 ระบบของหนวย ....................................................................................................... 32 1.5 หนวยของปรมาณทางฟสกสทส าคญ ....................................................................... 35 1.5.1 หนวย ........................................................................................................... 35 1.5.2 ขนาด ........................................................................................................... 35 1.5.3 แรง ............................................................................................................... 37 1.5.4 พลงงาน........................................................................................................ 37 1.5.5 ก าลง ............................................................................................................ 38 1.6 บทสรป .................................................................................................................... 38 แบบฝกหดทายบท ......................................................................................................... 40

บทท 2 คณสมบตของของไหล .................................................................................................... 41 2.1 ความหนาแนน ......................................................................................................... 41 2.2 น าหนกจ าเพาะ ........................................................................................................ 42 2.3 ความถวงจ าเพาะ ..................................................................................................... 42 2.4 ปรมาตรจ าเพาะ ...................................................................................................... 43 2.5 ความหนด................................................................................................................ 46 2.6 ความตงผวและความตบ .......................................................................................... 46 2.7 ความอดตวได .......................................................................................................... 50 2.8 คณลกษณะของกาซอดมคต .................................................................................... 52 2.9 ความดนไอ .............................................................................................................. 54

(ง)

สารบญ (ตอ)

หนา 2.10 บทสรป ................................................................................................................. 54 แบบฝกหดทายบท ......................................................................................................... 56

บทท 3 ความหนดของของไหล ................................................................................................... 57 3.1 ความหมายของความหนด ....................................................................................... 57 3.2 ความสมพนธระหวางความหนด แรงเฉอน และความเรว ........................................ 57 3.3 ความสมพนธระหวางความหนดกบอณหภม ............................................................ 58 3.3.1 ของเหลว ...................................................................................................... 59 3.3.2 กาซ .............................................................................................................. 59 3.4 ความหนดสมบรณ ................................................................................................... 60 3.5 ความหนดจลน ........................................................................................................ 61 3.6 การหาความหนดจลนแบบเซยโบลท ....................................................................... 64 3.7 การหาความหนดโดยใชหลอดคาปลลาร .................................................................. 66 3.8 บทสรป ................................................................................................................... 69 แบบฝกหดทายบท ......................................................................................................... 70

บทท 4 สถตยศาสตรของไหล ..................................................................................................... 71 4.1 ความหมายของความดน ......................................................................................... 71 4.2 ความดนของของไหลทจดใดๆ ................................................................................. 72 4.3 ความดนทจดใดจดหนงในของเหลว ......................................................................... 76 4.4 เฮดของความดน ..................................................................................................... 78 4.5 กฎของปาสคาล ....................................................................................................... 78 4.6 ความดนสมบรณและความดนเกจ ........................................................................... 79 4.7 เครองมอวดความดน ............................................................................................... 81 4.7.1 บารอมเตอร ................................................................................................. 81 4.7.2 แมนอมเตอร ................................................................................................ 82 4.7.3 มาตรวดบวดอง ............................................................................................ 88 4.8 แรงทกระท ากบบนแผนราบทจมในของไหลสถต ..................................................... 94 4.8.1 แรงดนบนระนาบแนวระดบ ......................................................................... 94 4.8.2 แรงดนบนระนาบในแนวดง .......................................................................... 94 4.8.3 แรงดนบนระนาบในแนวเอยง ...................................................................... 96

(จ)


หนา 4.9 แรงทกระท าบนแผนโคงทจมอยในของเหลว .......................................................... 102 4.10 แรงลอยตว .......................................................................................................... 103 4.10.1 กรณ วตถจมท งกอน................................................................................. 103 4.10.2 กรณ วตถลอยอยระหวางในของไหล 2 ชนด ............................................ 104 4.10.3 กรณ วตถลอยอยเหนอผว ........................................................................ 105 4.11 เมตาเซนเตอร และความสงเมตาเซนตรก ............................................................ 106 4.12 เสถยรภาพของวตถจมและวตถลอย .................................................................... 107 4.13 การหาความสงเมตาเซนตรก ............................................................................... 108 4.14 บทสรป ................................................................................................................ 111 แบบฝกหดทายบท ....................................................................................................... 113 บทท 5 พนฐานของการไหล ...................................................................................................... 119 5.1 นยาม ..................................................................................................................... 119 5.1.1 เสนกระแส ................................................................................................. 119 5.1.2 ล าทอกระแส .............................................................................................. 119 5.2 ชนดของการไหล .................................................................................................... 120 5.2.1 การไหลในสภาวะคงตว และในสภาวะไมคงตว ........................................... 120 5.2.2 การไหลแบบทศทางเดยว สองทศทาง และสามทศทาง .............................. 120 5.2.3 การไหลแบบราบเรยบ และแบบปนปวน .................................................... 122 5.2.4 การไหลแบบหนด และแบบไมหนด ............................................................ 122 5.2.5 การไหลแบบอดตวไมได และแบบอดตวได ................................................. 123 5.2.6 การไหลแบบหมน และแบบไมหมน ............................................................ 124 5.3 สมการพ นฐานของการไหล .................................................................................... 124 5.3.1 ความเรวในการไหล .................................................................................... 124 5.3.2 อตราการไหล ............................................................................................. 125 5.3.3 สมการการไหลตอเนอง .............................................................................. 126 5.4 บทสรป .................................................................................................................. 133 แบบฝกหดทายบท ....................................................................................................... 135 บทท 6 สมการโมเมนตม ........................................................................................................... 137 6.1 ความหมายของโมเมนตม ....................................................................................... 137 6.2 สมการโมเมนตมเชงเสน ......................................................................................... 137

(ฉ)


หนา 6.3 สมการโมเมนตมเชงมม ......................................................................................... 147 6.4 บทสรป ................................................................................................................. 151 แบบฝกหดทายบท ....................................................................................................... 152 บทท 7 สมการพลงงาน ............................................................................................................. 155 7.1 ความหมายของพลงงาน ........................................................................................ 155 7.1.1 พลงงานจลน .............................................................................................. 155 7.1.2 พลงงานศกย .............................................................................................. 155 7.1.3 พลงงานของการไหล .................................................................................. 156 7.1.4 พลงงานภายใน .......................................................................................... 156 7.2 สมการอนรกษพลงงาน .......................................................................................... 156 7.3 ประสทธภาพเชงกลของเครองสบ .......................................................................... 158 7.3.1 พลงงานหรอแรงขบ (Head) ของเครองสบ ................................................ 158 7.3.2 ประสทธภาพของเครองสบ ........................................................................ 158 7.4 สมการออยเลอร .................................................................................................... 165 7.5 สมการเบอรนล...................................................................................................... 167 7.6 บทสรป ................................................................................................................. 174 แบบฝกหดทายบท ....................................................................................................... 176

บทท 8 การไหลภายในทอปด ................................................................................................... 181 8.1 ความหมายของการไหลภายในทอปด .................................................................... 181 8.2 พฤตกรรมการไหลภายในทอ ................................................................................. 181 8.2.1 การไหลแบบราบเรยบ ................................................................................ 182 8.2.2 การไหลแบบปนปวน .................................................................................. 182 8.2.3 การไหลในชวงการแปรเปลยน.................................................................... 183 8.3 การไหลบรเวณปากทางเขาของทอ ........................................................................ 184 8.3.1 การไหลบรเวณปากทางเขาทอในสภาวะการไหลแบบราบเรยบ ................. 185 8.3.2 การไหลบรเวณปากทางเขาทอในสภาวะการไหลแบบปนปวน .................... 185 8.4 การสญเสยพลงงานหลก ........................................................................................ 187 8.4.1 ตวประกอบความเสยดทานของการไหลแบบราบเรยบ ............................... 189 8.4.2 ตวประกอบความเสยดทานของการไหลแบบปนปวน ................................. 190

(ช)


หนา 8.5 การสญเสยพลงงานรอง ......................................................................................... 196 8.6 บทสรป .................................................................................................................. 203 แบบฝกหดทายบท ....................................................................................................... 205 บทท 9 การวดอตราการไหลของของไหลในทอ ........................................................................ 207 9.1 เครองมอทใชในการวดอตราการไหลของของไหลในทอ ......................................... 207 9.2 การวดอตราการไหลโดยใชมาตรวดการไหลแบบเวนจร ......................................... 207 9.2.1 ความหมายของมาตรวดการไหลแบบเวนจร ............................................... 207 9.2.2 หลกการท างานของมาตรวดการไหลแบบเวนจร ......................................... 207 9.3 การวดอตราการไหลโดยใชมาตรวดการไหลแบบแผนออรฟส ................................ 212 9.3.1 ความหมายของมาตรวดการไหลแบบแผนออรฟส ...................................... 212 9.3.2 ความหนาของออรฟส ................................................................................. 212 9.3.3 ออรฟสแบบเย องศนย ................................................................................. 213 9.3.4 ออรฟสแบบเซคเมนต ................................................................................. 213 9.3.5 ออรฟสแบบจดศนยกลางรวม ..................................................................... 214 9.3.6 ออรฟสแบบจ ากดจดศนยกลางเดยว ........................................................... 214 9.3.7 หลกการท างานของมาตรวดแบบออรฟส .................................................... 214 9.4 การวดอตราการไหลโดยใชมาตรวดการไหลแบบโรตามเตอร ................................. 219 9.4.1 ความหมายของมาตรวดอตราการไหลแบบโรตามเตอร .............................. 219 9.4.2 หลกการท างานของมาตรวดอตราการไหลแบบโรตามเตอร ........................ 220 9.5 การวดอตราการไหลโดยใชพทอตตทวป................................................................. 222 9.5.1 ความหมายของพทอตตทวป ....................................................................... 222 9.5.2 หลกการท างานของพทอตตทวป ................................................................ 223 9.6 บทสรป .................................................................................................................. 225 แบบฝกหดทายบท ....................................................................................................... 226 บทท 10 สมการพนฐานของการไหลแบบอดตวได ................................................................... 229 10.1 นยามของการไหลของของไหลแบบอดตวได ........................................................ 229 10.2 ความสมพนธทางอณหพลศาสตร ........................................................................ 229 10.3 การวดอตราการไหลโดยใชมาตรวดการไหลแบบแผนออรฟส .............................. 234

(ซ)


หนา 10.4 คลนรปกรวยมค .................................................................................................. 237 10.5 สมการพ นฐานส าหรบการไหลแบบไอเซนทรอปก ............................................... 239 10.6 ผลของการเปลยนแปลงขนาดของพ นทส าหรบการไหลแบบไอเซนทรอปก ......... 241 10.7 การไหลแบบไอเซนทรอปกของกาซอดมคต......................................................... 245 10.8 การไหลผานหวฉด ............................................................................................... 249 10.8.1 การไหลผานหวฉดแบบลเขา .................................................................... 249 10.8.2 การไหลผานหวฉดแบบลเขาและบานออก ............................................... 254 10.9 การไหลแบบอดตวไดผานทอทมพ นทหนาตดคงทและมความเสยดทาน .............. 257 10.10 บทสรป ............................................................................................................. 264 แบบฝกหดทายบท ....................................................................................................... 265 บรรณานกรม............................................................................................................................... 267 ภาคผนวก ก ตารางคณสมบตของของไหล ................................................................................ 271 ภาคผนวก ข ตารางขนาดทอ ..................................................................................................... 287 ภาคผนวก ค ตารางคณสมบตของน าอมตว และไอดง ............................................................... 295 ภาคผนวก ง เฉลยค าตอบแบบฝกหดทายบท ............................................................................. 311 ประวตผเขยน ............................................................................................................................. 323

(ฌ)

สารบญรปภาพ

รปท หนา 1.1 อารคมดส (Archimedes) บดาแหงวชากลศาสตร ................................................................... 2 1.2 สกรวดน าของอารคมดส ........................................................................................................... 3 1.3 ลโอนารโด ดาวนช .................................................................................................................... 4 1.4 กาลเลโอ กาลเลอ ..................................................................................................................... 4 1.5 อแวนเกลสตา ทอรรเซลล......................................................................................................... 5 1.6 เบลส ปาสคาล ......................................................................................................................... 6 1.7 เซอร ไอแซก นวตน .................................................................................................................. 6 1.8 เมอรกส กโอแวนน โพเลน........................................................................................................ 7 1.9 อองร เดอ พทอตต ................................................................................................................... 8 1.10 จาคอบ เบอรนล ...................................................................................................................... 9 1.11 เดเนยล เบอรนล ................................................................................................................... 10 1.12 เลออนฮารด ออยเลอร .......................................................................................................... 11 1.13 ฌอง เลอ รงค ดอลมแบรต .................................................................................................... 12 1.14 อองตวน เชซ ......................................................................................................................... 12 1.15 ฌอง ชารลส บอรดา .............................................................................................................. 13 1.16 โยแซฟ หลยส ลากรอง ........................................................................................................... 13 1.17 จโอแวนน แบตทสตา เวนจร .................................................................................................. 14 1.18 จอสเซปเป เวนจโรล ............................................................................................................... 15 1.19 จโรจโอ บโดน ......................................................................................................................... 15 1.20 หลยส มาร อองร นาวเย ........................................................................................................ 16 1.21 ออกสตง หลยส เดอ โกช ........................................................................................................ 16 1.22 คลอด บอแดง ........................................................................................................................ 17 1.23 โกธทลฟ เฮยนรช ลควก ฮาเกน ............................................................................................. 18 1.24 ฌอง หลยส บวซเอออลเลอ .................................................................................................... 18 1.25 อองร ฟลแบรต กาสปารด ดารซ ............................................................................................ 19 1.26 จเลยส เวยสแบซ .................................................................................................................... 20 1.27 จอหน สกอต รสเซลล ............................................................................................................ 20 1.28 วลเลยม ฟรวด ....................................................................................................................... 21 1.29 โรเบรต แมนนง ..................................................................................................................... 22 1.30 จอรจ กาเบยรล สโตก ........................................................................................................... 22 1.31 อองตวน ซารลส แบรส .......................................................................................................... 23

(ญ)

สารบญรปภาพ (ตอ) รปท หนา 1.32 อองร เอมล บาชง ................................................................................................................. 24 1.33 เอรนสต มค........................................................................................................................... 24 1.34 ออสบอรน เรยโนลด.............................................................................................................. 25 1.35 จอหน วลเลยม สทรตต, ลอรด เรยไลฟ ................................................................................ 26 1.36 เซนซ สเตราฮล ..................................................................................................................... 26 1.37 มอรทซ เวเบอร ..................................................................................................................... 27 1.38 ลดวก แพรนตทล .................................................................................................................. 28 1.39 เลวส เฟอรร มด .................................................................................................................... 29 1.40 ธโอดอร วอน คารมาน .......................................................................................................... 30 1.41 พอล รชารด เฮยนรช บลาสอส ............................................................................................. 31 1.42 จออฟเฟร อนแกรม เทเลอร .................................................................................................. 31 1.43 แรงเฉอนทกระท าบนของแขงและของเหลว .......................................................................... 32 2.1 การชงน าหนกน ามนชวภาพเพอค านวณหาความหนาแนน ..................................................... 42 2.2 การดงดดกนระหวางโมเลกลของของเหลวในบรเวณทหางและใกลๆ ผวของเหลว ................. 47 2.3 แรงตงผวในผวฟลมหยดของเหลว .......................................................................................... 48 2.4 ความตบในหลอดแกวหนาตดทรงกลม ................................................................................... 49 2.5 การวเคราะหสมดลกบของเหลวในหลอดรเลก ....................................................................... 49 2.6 ของไหลทถกอดในภาชนะ ...................................................................................................... 51 3.1 ของไหลถกแรงเฉอนมากระท าทผว ........................................................................................ 58 3.2 ความสมพนธระหวางความหนดจลนกบอณหภมของน ามนหลอลนเกรดตางๆ ....................... 60 3.3 ความสมพนธระหวางความเคนเฉอนและอตราการเปลยนแปลงความเรว .............................. 61 3.4 หลกการท างานของเครองมอทดสอบความหนดแบบเซยโบลท .............................................. 64 3.5 เครองมอทดสอบความหนดแบบเซยโบลท ............................................................................. 65 3.6 สวนประกอบของหลอดวดความหนดแบบคาปลลาร CANNON เบอร 25.............................. 66 3.7 การวดความหนดจลนของน ามนชวภาพโดยใชหลอดคาปลลาร .............................................. 67 3.8 เครองมอวดความหนดโดยอาศยการตกของลกตมเหลก ......................................................... 68 3.9 การวดความหนดดวยเครองทดสอบแบบใชแกนหมน ............................................................. 68 4.1 แรงทกระท ากบระนาบแบบสม าเสมอ .................................................................................... 71 4.2 แรงทกระท ากบระนาบทไมสม าเสมอ ..................................................................................... 72 4.3 สมดลของแรงเนองจากความดนในของไหลสถต ..................................................................... 72 4.4 แรงทกระท าตอกอนของของไหลในสภาพนงตามแนวแกน x y และ z ................................... 74 4.5 การกระจายของแรงทเกดความดนในแกน z .......................................................................... 75

(ฎ)

สารบญรปภาพ (ตอ) รปท หนา 4.6 ความดนท ณ จดใดจดหนงในของเหลว .................................................................................. 76 4.7 ภาชนะทตางกนแตทระดบเดยวกนยอมมความดนเทากน ....................................................... 78 4.8 การยกไฮดรอลกส .................................................................................................................. 79 4.9 ความดนสมบรณและความดนเกจ .......................................................................................... 80 4.10 อปกรณบารอมเตอร ............................................................................................................... 81 4.11หลอดพซอมเตอร .................................................................................................................... 83 4.12 แมนอมเตอรแบบหลอดรปตวยทความดนต ากวาความดนบรรยากาศ .................................... 83 4.13 แมนอมเตอรแบบหลอดรปตวยทความดนสงกวาความดนบรรยากาศ .................................... 84 4.14 ประกอบตวอยางท 4.4 .......................................................................................................... 85 4.15 ประกอบตวอยางท 4.5 .......................................................................................................... 86 4.16 แมนอมเตอรแบบวดผลตางของความดน ............................................................................... 87 4.17 แมนอมเตอรแบบหลอดเอยง ................................................................................................. 88 4.18 มาตรวดบวดอง ...................................................................................................................... 89 4.19 ประกอบตวอยางท 4.6 .......................................................................................................... 89 4.20 ประกอบตวอยางท 4.7 .......................................................................................................... 90 4.21 ประกอบตวอยางท 4.8 .......................................................................................................... 91 4.22 ประกอบตวอยางท 4.9 .......................................................................................................... 93 4.23 เมอระนาบในแนวระดบจมอยในของเหลว.............................................................................. 94 4.24 เมอระนาบในแนวดงจมอยในของเหลว .................................................................................. 95 4.25 แผนราบจมในของไหลต าแหนงจดศนยถวงของพ นท และจดศนยกลางความดน .................... 96 4.26 โมเมนตความเฉอยของพ นททวไป .......................................................................................... 99 4.27 ประกอบตวอยางท 4.10 ...................................................................................................... 100 4.28 FBD ของแรงทกระท า ......................................................................................................... 101 4.29 แรงทกระท าบนแผนโคงทจมอยในของเหลว ........................................................................ 102 4.30 เมอวตถจมในของไหลท งกอน .............................................................................................. 103 4.31 เมอวตถจมในของไหล 2 ชนด .............................................................................................. 105 4.32 เมอวตถจมในของไหลบางสวน ............................................................................................ 105 4.33 ความเสถยรของวตถทลอยนงบนของไหล ............................................................................ 106 4.34 แรงทกระท าเมอวตถจมในของไหลท งกอน .......................................................................... 107 4.35 แรงทกระท าเมอวตถจมในของไหลเพยงบางสวน ................................................................. 108

4.36 เมอวตถลอยในของไหลเอยงท ามม .................................................................................. 108 4.37 ประกอบตวอยางท 4.12 ...................................................................................................... 110

(ฏ)

สารบญรปภาพ (ตอ) รปท หนา 4.38 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 12 ............................................................................ 113 4.39 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 13 ............................................................................ 114 4.40 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 14 ............................................................................ 114 4.41 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 15 ............................................................................ 115 4.42 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 16 ............................................................................ 115 4.43 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 17 ............................................................................. 116 4.44 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 18 ............................................................................. 116 4.45 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 19 ............................................................................. 117 4.46 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 20 ............................................................................. 117 4.47 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 23 ............................................................................ 118 4.48 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 25 ............................................................................ 118 5.1 ลกษณะของการไหล............................................................................................................. 119 5.2 การไหลของของไหลในสภาวะคงตว ..................................................................................... 120 5.3 การไหลของของไหลในสภาวะไมคงตว ................................................................................. 120 5.4 การไหลแบบทศทางเดยว ..................................................................................................... 121 5.5 การไหลแบบสองทศทาง ...................................................................................................... 121 5.6 การไหลแบบสามทศทาง ...................................................................................................... 121 5.7 การไหลแบบราบเรยบ .......................................................................................................... 122 5.8 การไหลแบบปนปวน ............................................................................................................ 122 5.9 การไหลแบบหนด ................................................................................................................. 123 5.10 การไหลแบบไมหนด ............................................................................................................. 123 5.11 การไหลแบบหมน................................................................................................................. 124 5.12 การไหลแบบไมหมน ............................................................................................................. 124 5.13 ความเรวในการไหล ............................................................................................................. 125 5.14 การไหลเชงมวล ................................................................................................................... 126 5.15 การไหลแบบตอเนอง ........................................................................................................... 127 5.16 ประกอบตวอยางท 5.2 ....................................................................................................... 129 5.17 ประกอบตวอยางท 5.3 ....................................................................................................... 130 5.18 ประกอบตวอยางท 5.4 ....................................................................................................... 131 5.19 ประกอบตวอยางท 5.5 ....................................................................................................... 132 5.20 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 5 ขอท 7 .............................................................................. 135 5.21 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 5 ขอท 9 .............................................................................. 136 5.22 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 5 ขอท 10 ............................................................................ 136

(ฐ)

สารบญรปภาพ (ตอ) รปท หนา 6.1 การวเคราะหการไหลแบบปรมาตรควบคม ........................................................................... 138 6.2 ประกอบตวอยางท 6.2 ......................................................................................................... 139 6.3 ประกอบตวอยางท 6.3 ......................................................................................................... 141 6.4 ประกอบตวอยางท 6.4 ......................................................................................................... 143 6.5 ประกอบตวอยางท 6.5 ......................................................................................................... 144 6.6 ประกอบตวอยางท 6.6 ......................................................................................................... 146 6.7 ความสมพนธของโมเมนตมเชงมม ........................................................................................ 147 6.8 การวเคราะหความเรวของการฉดหวฉดสปรงเคลอร ............................................................. 148 6.9 ประกอบตวอยางท 6.7 ......................................................................................................... 150 6.10 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 6 ขอท 4............................................................................... 152 6.11 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 6 ขอท 5............................................................................... 152 6.12 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 6 ขอท 6............................................................................... 153 7.1 ประกอบตวอยางท 7.1 ......................................................................................................... 160 7.2 ประกอบตวอยางท 7.2 ......................................................................................................... 161 7.3 ประกอบตวอยางท 7.4 ......................................................................................................... 163 7.4 ประกอบตวอยางท 7.5 ......................................................................................................... 164 7.5 อนภาคของของไหลทเคลอนทไปตามแนวสมผสกบเสนโคงเสนกระแส ................................. 165 7.6 ชวงการใชงานของสมการเบอรนล ........................................................................................ 167 7.7 ผลตางของปรมาตรควบคมส าหรบการวเคราะหพลงงานจากสมการเบอรนล ....................... 168 7.8 ประกอบตวอยางท 7.7 ......................................................................................................... 170 7.9 ประกอบตวอยางท 7.8 ......................................................................................................... 171 7.10 ประกอบตวอยางท 7.9 ........................................................................................................ 172 7.11 การวเคราะหแมนอมเตอร ................................................................................................... 173 7.12 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 7 ขอท 9............................................................................... 176 7.13 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 7 ขอท 10 ............................................................................ 177 7.14 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 7 ขอท 11 ............................................................................ 177 7.15 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 7 ขอท 12 ............................................................................ 178 7.16 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 7 ขอท 13 ............................................................................ 178 7.17 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 7 ขอท 14 ............................................................................ 179 7.18 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 7 ขอท 15 ............................................................................ 179 8.1 ลกษณะทอน าในระบบประปาทใชบรโภคในหมบาน............................................................. 181 8.2 การทดลองพฤตกรรมการไหลของของไหลภายในทอของออสบอรน เรยโนลด ..................... 182

(ฑ)

สารบญรปภาพ (ตอ) รปท หนา 8.3 พฤตกรรมการไหลแบบราบเรยบ .......................................................................................... 182 8.4 พฤตกรรมการไหลแบบปนปวน ............................................................................................ 183 8.5 พฤตกรรมการไหลในชวงการแปรเปลยน.............................................................................. 183 8.6 การไหลบรเวณปากทางเขาของทอ ....................................................................................... 185 8.7 ความสมพนธของตวแปรส าหรบการไหลภายในทอแบบคงตว .............................................. 187 8.8 การไหลแบบราบเรยบในทอกลม .......................................................................................... 189 8.9 แผนภาพมด (Moody diagram) ......................................................................................... 192 8.10 ประกอบตวอยางท 8.6 ....................................................................................................... 197 8.11 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 8 ขอท 9 .............................................................................. 205 8.12 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 8 ขอท 11 ............................................................................ 206 8.13 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 8 ขอท 12 ............................................................................ 206 9.1 มาตรวดการไหลแบบเวนจร ................................................................................................. 208 9.2 ความสมพนธระหวาง และเรยโนลดนมเบอร (Re) ......................................................... 210 9.3 คาความหนาใชงานของออรฟส ............................................................................................ 212 9.4 แผนออรฟสแบบเย องศนย ................................................................................................... 213 9.5 แผนออรฟสแบบเซคเมนต ................................................................................................... 213 9.6 แผนออรฟสแบบจดศนยกลางรวม ....................................................................................... 214 9.7 แผนออรฟสแบบจ ากดจดศนยกลางเดยว ............................................................................. 214 9.8 มาตรวดการไหลแบบออรฟส ............................................................................................... 215 9.9 สมประสทธมาตรวดการไหลแบบออรฟส ............................................................................. 218 9.10 ประกอบตวอยางท 9.2 ....................................................................................................... 218 9.11 มาตรวดอตราการไหลแบบโรตามเตอร ................................................................................ 220 9.12 การอานคาของลกลอยแบบตางๆ ........................................................................................ 220 9.13 ประกอบตวอยางท 9.3 ....................................................................................................... 221 9.14 พทอตตทวป (Pitot tube) .................................................................................................. 223 9.15 หลกการวดความเรวของของไหลโดยใชพทอตตทวป ........................................................... 223 9.16 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 9 ขอท 7 .............................................................................. 226 9.17 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 9 ขอท 8 .............................................................................. 227 10.1 ประกอบตวอยางท 10.1 ..................................................................................................... 233 10.2 การเคลอนทของลกสบในกระบอกสบ ................................................................................. 235 10.3 การเคลอนทของคลนความดน ............................................................................................ 235

(ฒ)

สารบญรปภาพ (ตอ) รปท หนา 10.4 การเคลอนทของคลนเสยงเมอแหลงก าเนดเสยงเคลอนทดวยความเรวตางๆ กน ................. 238 10.5 ปรมาตรควบคมส าหรบพ นฐานการไหลแบบไอเซนทรอปก .................................................. 239 10.6 ปรมาตรควบคมของการไหลแบบไอเซนทรอปก .................................................................. 242 10.7 ผลของพ นททแตกตางกนทมตอการไหลแบบชาและเรวกวาเสยง ผานหวฉดและดฟฟวเซอร ................................................................................................... 244 10.8 การไหลผานหวฉดแบบลเขาทความดนตางๆ กนภายใตกระบวนการไอเซนทรอปก ............. 250 10.9 แผนภาพ T-s ส าหรบการไหลผานหวฉดท Choke .............................................................. 252 10.10 ประกอบตวอยางท 10.3 ................................................................................................... 252 10.11 การไหลของของไหลผานหวฉดแบบลเขาและบานออกทความดนตางๆ กน ภายใตกระบวนการไอเซนทรอปก ..................................................................................... 255 10.12 การไหลผานทอทมพ นทหนาตดคงทแบบปรมาตรควบคม (Control volume) ................. 258 10.13 ประกอบตวอยางท 10.5 ................................................................................................... 262

(ณ)

สารบญตาราง

ตารางท หนา 1.1 หนวยระบบสากลและองกฤษของมตพ นฐาน ......................................................................... 33 1.2 ค าน าหนาตวเลข .................................................................................................................... 34 1.3 หนวยพ นฐานของระบบสากล (SI unit) ................................................................................. 35 1.4 ขนาดและหนวย ..................................................................................................................... 36 2.1 คาความหนาแนนของน า และอากาศ (ทความดน 1 atm) ..................................................... 43 2.2 ความดนไอของของเหลวทอณหภม 20๐C .............................................................................. 54 3.1 คาความหนดของน าและอากาศ ............................................................................................. 62 3.2 ใบสอบเทยบในการหาคาความหนดจลนโดยใชหลอดคาปลลาร ............................................. 67 8.1 คาความขรขระผวของวสดชนดตางๆ ................................................................................... 193 8.2 คาสมประสทธการสญเสยพลงงานรอง (K) ........................................................................... 200 ก.1 คณสมบตของน าทอณหภมตางๆ.......................................................................................... 273 ก.2 คณสมบตของอากาศทความดนบรรยากาศ .......................................................................... 274 ก.3 คณสมบตทางอณหพลศาสตรของกาซทอณหภมและความดนมาตรฐาน .............................. 275 ก.4 คณสมบตของของเหลวทความดน 1 atm และอณหภม 25๐C ............................................ 276 ก.5 การไหลแฟนโน (Fanno flow) ส าหรบกาซอดมคต (k = 1.4) ............................................. 277 ข.1 ขนาดทอเหลกกลา และทอเหลกเหนยว ............................................................................... 289 ค.1 คณสมบตน าอมตว (ตารางอณหภม) .................................................................................... 297 ค.2 คณสมบตน าอมตว (ตารางความดน) .................................................................................... 300 ค.3 คณสมบตน าไอดง ................................................................................................................ 303

กลศาสตรของไหล บทท 1 บทน า 1

บทท 1 พนฐานของกลศาสตรของไหล (Basic of fluid mechanics)

ในบทแรกจะกลาวถงพนฐานของกลศาสตรของไหล ซงจะเกรนถงความส าคญของกลศาสตรของไหล ประวตความเปนมาของกลศาสตรของไหล นยามของของไหล ระบบของหนวย หนวยของปรมาณทางฟสกสทส าคญ และสรปสาระความส าคญทงหมดของการศกษาในบทเรยนน โดยรายละเอยดของแตละหวขอมดงตอไปน 1.1 ความส าคญของกลศาสตรของไหล

กลศาสตรของไหล (Fluid mechanics) เปนวชาทเกยวของกบการศกษาพฤตกรรมและผลทเกดขนเนองจากของไหลทกระท าตอผวของวตถทสมผส หรอกระท าตอของไหลอกชนด โดยทของไหลดงกลาวอาจจะอยในสภาวะทเคลอนทหรอสภาวะทอยนงกได กลศาสตรของไหลจะมความส าคญตอการด ารงชพของคนเราในทกๆ วน เรมตงแตในครงเมอคนเราเปดน าลงอางลางชาม น าทไหลผานระบบทอ ปม และวาลว เขามา ซงเหลานลวนเปนผลมาจากกลศาสตรของไหล ไฟฟาทใชในบานกมาจากเขอนทกนน า โดยน าไหลผานกงหนน าทตออยกบเครองก าเนดกระแสไฟฟา หรอไฟฟาจากแหลงก าเนดพลงงานความรอนเปนการไหลผานของไอน าเขาทอออกสใบกงหนไอน า เมอขบรถยนตกเรมจากลอยางไฮดรอลกสรบการกระแทกเพอลดแรงกระแทกของถนน ปมในเครองยนต และระบบตานทานอากาศของรถยนต การท างานของไฮดรอลกสเบรก กระบวนการตางๆ ทใชในการผลตกระดาษและเยอกระดาษ การมชวตอยไดของคนเรา (การไหลเวยนของเลอด) กเปนผลมาจากกระบวนการทางกลศาสตรของไหล สภาพแวดลอมสวนหนงกเปนผลจากกลศาสตรของไหลดวยเชนกน อาทเชน ระบบการสงน าประปา การระบายน าเสย และการระบายควนไอเสย เปนตน การผลตเครองยนตเจต (Jet) ส าหรบเครองบน บลลน กงหนลมเพอการผลตกระแสไฟฟาและสบน า การผลตเครองบนและยานอวกาศ จรวด และการสรางเรอ เหลานตองใชหลกการของกลศาสตรของไหลมารวมวเคราะหปญหาทงสน กลศาสตรของไหล เปนวทยาศาสตรทเกยวของกบของไหล ทงในสภาวะทอยนง และเคลอนท แบงออกไดเปน 3 สาขา ดงน 1) ของไหลสถต (Fluid static) เปนการศกษาถงพฤตกรรมอนเกยวกบของไหลทอยนง 2) จลศาสตรของไหล (Fluid kinematics) เปนการศกษาถงความเรวและเสนการไหล (Stream line) โดยไมพจารณาแรงและพลงงานทเกดขน 3) พลศาสตรของไหล (Fluid dynamics) เปนการศกษาความสมพนธระหวางความเรวหรอความเรงของของไหล และแรงทกระท าโดยของไหล ในการศกษาวชากลศาสตรของไหลนจะใชหลกการพนฐานเชนเดยวกบกลศาสตรของแขง (Solid mechanics) แตกลศาสตรของไหลจะมความซบซอนมากกวากลศาสตรของแขง เพราะของไหลไมสามารถแยกสวนกอนของของไหลออกจากกนเพอพจารณาเปนสวนๆ ได

2 บทท 1 พนฐานของกลศาสตรของไหล กลศาสตรของไหล

1.2 ประวตความเปนมาของกลศาสตรของไหล กลศาสตรของไหลไดมววฒนาการขนมาโดยอาศยนกวทยาศาสตร คณตศาสตร และฟสกส

มากมายหลายทาน กลศาสตรของไหลถกพฒนามา 3 ยคดวยกน ไดแก ววฒนาการยคโบราณและยคกลาง ยคศตวรรษท 18 และ 19 ยคศตวรรษท 20 ซงแตละยคมผคดคนเพอกอใหเกดขนอยางตอเนองมาตลอด ดงรายละเอยดตอไปน

1.2.1 ววฒนาการยคโบราณและยคกลาง ชวงของยคนมการศกษาเรองราวของไฮดรอลกสมาจนกระทงถงศตวรรษท 17 ผมอทธพล

ตอการพฒนาวชากลศาสตรของไหลน ไดแก อารคมดส (Archimedes) ลโอนารโด ดาวนช (Leonardo da Vinci) กาลเลโอ กาลเลอ (Galileo Galilei) อแวนเกลสตา ทอรรเซลล (Evangelista Torricelli) เบลส ปาสคาล (Blaise Pascal) เซอร ไอแซก นวตน (Sir Isaac Newton) และพนองตระกลเบอรนล (Bernoulli) คอ จาคอบ เบอรนล (Jakob Bernoulli) และ โจอาน เบอรนล (Johann Bernoulli) บคคลทงหลายทกลาวนามมาทงหมดมสวนชวยใหเกดกลศาสตรของไหลขนในยคแรกๆ โดยมความเปนมาดงน กอนครสตศกราช (287 - 212) อารคมดส (Archimedes) บดาแหงวชากลศาสตร ชาวกรกเปนผวางกฎแรงลอยตวและการลอยตวของวตถ (Buoyancy and floatation) ขน โดยพฒนาจากการใชงานของไฮดรอลกส แลวน ามาทดลองพรอมสงเกตพฤตกรรมจรงทเกดขน และน ามารวมกนเขากบหลกวชากลศาสตรท าใหคนพบวธการหาความถวงจ าเพาะของวตถ และสรางสกรวดน าของอารคมดส (Archimedes screw pump) ดงแสดงในรปท 1.2

รปท 1.1 อารคมดส (Archimedes) บดาแหงวชากลศาสตร (ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

กลศาสตรของไหล บทท 1 พนฐานของกลศาสตรของไหล 3

รปท 1.2 สกรวดน าของอารคมดส (ทมา : Koetsier, 2003)

หลงจากจกรวรรดโรมนถกท าลายลงประมาณ ค.ศ. 476 (พ.ศ.1019) ท าใหเรองราวเกยวกบกลศาสตรของไหลหยดชะงกลง จนกระทงประมาณกลางศตวรรษท 15 กลศาสตรของไหลจงไดถกพฒนาขนมาอกครงหนงโดยบคคลตางๆ ดงน ครสตศกราช (40-130) กอนครสตศกราช 4 ศตวรรษ เชกตส จเลยส ฟรอนตนส (Sextus Julius Frontinus) ชาวโรมนมการสรางระบบจายน า (Water distribution) ซงเปนทมาของระบบประปาในปจจบน และ ฟรอนตนส ผนไดท าการศกษาและเขยนรายละเอยดเกยวกบวธการสรางระบบสงน าของชาวโรมนขน ครสตศกราช (1452-1519) ลโอนารโด ดาวนช (Leonardo da Vinci) ชาวอตาล (รปท 1.3) เปนบคคลแรกทมสวนสนบสนนการทดลองเพอใหเกดความเขาใจตอพฤตกรรมการไหล ซงมหลกฐานแสดงผลงานทางความคดของเขาคอ “เมอปฏบตงานเกยวของกบน าตองมการทดลองไปพรอมกน และพยายามคนหาเหตผลทมสวนสมพนธกบมน” ผลจากการสงเกตของเขาครงนน เขาไดสเกตภาพและใหความคดเหนเกยวกบธรรมชาตของไฮดรอลกสไวมากมาย อาทเชน ก าหนดรปราง (Profiles) และการไหลวน (Eddies) ของน าทปลอยใหไหลพงกระจายออกทนททนใดอยางอสระ การเกดคลน (Wave) รปการกระจายความเรว (Velocity distribution) จากการหมนวนของน า (Vortex) ไฮดรอลกสกระโดด (Hydraulic jump) เปนตน และดาวนชเปนคนแรกทเขยนเสนอแนะถงเสนกระแสการไหลของวตถ (Streamlining) เครองสบน าแบบหอยโขง (Centrifugal pump) นอกจากเรองดงกลาวดาวนชยงเปนบคคลแรกทเขาใจสภาวะปรมาณซงถอเปนหลกการไหลอยางตอเนอง (Principle continuity) แตทงหมดยงอยในแงศลปะศาสตรมากกวาวทยาศาสตร


รปท 1.3 ลโอนารโด ดาวนช (ทมา : Donald et al., 2012)

ครสตศกราช (1564-1642) กาลเลโอ กาลเลอ (Galileo Galilei) (รปท 1.4) เปนผศกษาคนควาเกยวกบวชาไฮโดรสแตตกส (Hydrostatics) เพอปรบปรงแกไขนยามเกยวกบสญญากาศตามแนวความคดของอรสโตเตล (Aristotle) ไดแก เรองกาลกน า (Siphon) และเรองเกยวกบวตถทลอยและจมน า

รปท 1.4 กาลเลโอ กาลเลอ (ทมา : Finocchiaro, 2008)


ครสตศกราช (1608-1647) อแวนเกลสตา ทอรรเซลล (Evangelista Torricelli) เปนชาวอตาล (รปท 1.5) ท าการคนพบความสมพนธระหวางความสงบารอเมตรก (Barometric height) กบน าหนกของบรรยากาศและคดประดษฐบารอมเตอร เปนผวเคราะหทางโคงของโปรเจคไตลส (Projectiles) และคนพบหลกการความสมพนธระหวางความเรวไหลผานออรฟสกบความสงของของเหลวเขยนเปนสตรได √

รปท 1.5 อแวนเกลสตา ทอรรเซลล (ทมา : Schaschke, 2005)

ครสตศกราช (1623-1662) เบลส ปาสคาล (Blaise Pascal) (รปท 1.6) เปนผวางหลกเกณฑเกยวกบบารอมเตอรเครองอดไฮดรอลกส (Hydraulic press) และการสงถายความดน ครสตศกราช (1642-1727) เซอร ไอแซก นวตน (Sir Isaac Newton) (รปท 1.7) นกวทยาศาสตรชาวองกฤษทมชอเสยงมากเปนผตงกฎคณตศาสตร ขณะท าการสงเกตปรากฏการณธรรมชาตดวยหลกตรรกวทยา และในป ค.ศ. 1687 นวตนไดตงกฎพนฐานของการเคลอนทขน 3 ขอ ซงกฎเหลานนถกน ามาใชวเคราะหปญหาของกลศาสตรมากมาย นอกจากน นวตนยงไดท าการวจยเกยวกบความตานทานของของไหล (Resistance) และท ารายงานสงทคนพบเรองความหนดของการไหล (Viscous flow) โดยแรงเฉอนจะเปนสดสวนกบความเรวสมพนธในขอบเขตแคบๆ ผลจากการทดลองอนนเขาไดตงกฎความหนด (Law of viscosity) ขน และเปนบคคลแรกทรจกการใชสมประสทธของการหดตว (Contraction) ในการแกปญหา


รปท 1.6 เบลส ปาสคาล (ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

รปท 1.7 เซอร ไอแซก นวตน (ทมา : Donald et al., 2012)

ครสตศกราช (1683-1761) เมอรกส กโอแวนน โพเลน (Merquis Giovanni Poleni) ชาวอตาล (รปท 1.8) เปนผทควรจะไดรบการกลาวยกยองถงเปนกรณพเศษ เพราะมสวนชวยเหลอ


การทดลองเรองไฮดรอลกสในชวงเรมตนศตวรรษท 18 และเปนนกวทยาศาสตรคนหนงทวางหลกการส าคญ 3 ประการ คอ 1) อาศยพนฐานจากการวด เขาไดคาสมประสทธของการหดตว (Contraction) ส าหรบออรฟสขอบคม (Sharp-edged orifice) เทากบ 0.62 ซงคาทแกไขนมคาเกนกวานวตนเสนอไว คอ √ ⁄

2) เขาไดทดลองโดยใชหลอดสนๆ (Short tubes or mouthpieces) ตอกบออรฟส แลวพบวา อตราสงสดของการไหลออก (Discharge) อยระหวางกลางของความยาวทอ 3) ปรบปรงการไหลออกผานเวยรสเหลยม (Rectangular sharp-crested weirs) โดยพจารณาการไหลออกทเกดขนตอๆ กนตามแนวนอนความเรวไหลทสมมตขนแตละอนเปนสดสวนกบรากท 2 หรอทความลกต ากวาผวของไหล สดทายไดคาทใกลเคยงกบทใชหาความสมพนธการไหลออกส าหรบปลายยอดแหลมของเวยร (Sharp- crested weirs) และไดสมการพนฐานของเวยร ซงตอมาเรยกวา สมการโพลน (Poleni)

รปท 1.8 เมอรกส กโอแวนน โพเลน (ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

ครสตศกราช (1695-1771) อองร เดอ พทอตต (Henri de Pitot) วศวกรชาวฝรงเศส (รปท 1.9) เปนผคดประดษฐอปกรณวดความเรวของของไหล ซงตอมาเรยกวา พทอตต ทว (Pitot Tube) เรมแรก พทอตต ทว ประกอบดวยหลอดขนานกนสองอนยดตดกบโครงเรยวอนหนง (Slender frame) มสเกลและกอกปด-เปด 4 ตว ทอนหนงเปนหลอดตรงและอกหลอดมปลายงอลง เพอใชวดความเรวไหลของน าทเฮด (Head) แตกตางกน


รปท 1.9 อองร เดอ พทอตต (ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

ครสตศกราช (1654-1705) จาคอบ เบอรนล (Jakob Bernoulli) (รปท 1.10) ต าแหนงศาสตราจารยของมหาวทยาลยบาเซล (Basel university) ไดท าหนาทฝกฝนนองชายของเขา คอ โจอาน เบอรนล (Johann Bernoulli) (1667-1748) โจอาน ท างานเปนนกคณตศาสตรทฝรงเศสตอมาสอนคณตศาสตรในประเทศเนเธอแลนด และสดทายไดรบต าแหนงศาสตราจารยทางคณตศาสตร และเขาไดวางหลกการพนฐาน 4 ประการ ซงสงผลตอววฒนาการของคณตศาสตรฟสกสในศตวรรษท 17 ดงน 1) ใชการพลอตเสนโคงอธบายปรากฏการณท เกดขน เองโดยธรรมชาต (Phenomena) 2) แสดงเสนโคงในรปสมการ 3) การหาพนทและอตราลาด 4) ใชการทดลองแกปญหาทเกดขนจากการปฏบต

ขนตอนท 1 ไมมผใดทราบวาใครท าไดส าเรจ แตขนตอนท 2 คอ ดสคารเตส (Descartes) (1569-1650) ชาวฝรงเศสท าส าเรจ ขนตอนท 3 เลยบนทซ (Leibnitz) (1846-1916) ชาวเยอรมน และขนตอนท 4 ไดแก เบอรนล (Bernoulli) เอง


รปท 1.10 จาคอบ เบอรนล (ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

จากทกลาวมาจะเหนไดวานกคณตศาสตรเปนผวางหลกการพนฐานเกยวกบไฮโดรโดนามกส (Hydrodynamic) โดยเรมขนทโรงเรยนเบอรนล (Bernoulli School) แหงบาเซล (Basel) คนแรก คอ เดเนยล เบอรนล (Daniel Bernoulli) บตรชายของโจอาน (Johann) คนท 2 เปนเพอนกบเขา คอ เลออนฮารด ออยเลอร (Leonhard Euler) อกคนไดแก ดอลมแบรต (d’Alembert) ชาวฝรงเศส 1.2.2 ยคศตวรรษท 18 และ 19 ในยคศตวรรษนมการทดลองเกยวกบไฮดรอลกส และศกษาไฮโดรไดนามกสกนมาก เปนชวงเวลาทมการพฒนาการทดลองทางดานไฮดรอลกสกนแพรหลายในฝรงเศส อตาล และกลมวศวกรชาวเยอรมน รายนามบคคลทศกษาเกยวกบไฮดรอลกสนบจาก โพเลน (Poleni) พทอตต (Pitot) เชซ (Chezy) บอรดา (Borda) เวนจร (Venturi) เวเบอร (Weber) โฟรนรอน (Fourneyron) บแลนจอร (Belanger) รสเซลล (Russel) รช (Reech) ฮาเกน (Hagen) บวซเอออลเลอ (Poieuille) เวยสแบซ (Weisbach) ดารซ (Darcy) บาชง (Bazin) คตเตอร (Kutter) แมนนง (Manning) และ ฟรวด (Froude) เฉพาะชวงตนศตวรรษท 18 นน ผคนพบวธการแกปญหาวทยาศาสตรของไฮโดรไดนามกส ไดแก เดเนยล เบอรนล (Daniel Bernoulli) กบ ออยเลอร (Euler) และ ดอลมแบรต (d’Alembert) ตอมามผพฒนาเรองไฮโดรไดนามกสอก เชน ลากรอง (Lagrange) ลาเพลช (Laplace) นาเวยร สโตก (Navier stokes) เฮลมอทร (Helmholtz) เคอรชอรฟ (Kirchhoff) บสซเนส (Boussinesq) เรยโนลด (Reynolds) ทอมสน ลอด เคลวน (Thomson Lord Kelvin) สทรตต, ลอรด เรยไลฟ (Strutt Lord Rayleigh) และ จวคาวสก (Joukowsky) บคคลทงหลายดงกลาวไดสรางผลงานดงรายละเอยดตอไปน ครสตศกราช (1700-1782) เดเนยล เบอรนล (Daniel Bernoulli) นกคณตศาสตรชาวสวส (รปท 1.11) ไดตพมพผลงานภายใตชอ ไฮโดรไดนามกา (Hydrodynamica) ซงเปนผลจาก


การศกษาตวประกอบตางๆ ทเกยวของกบไฮโดรสแตตกส และไฮดรอลกส ตอมากลายเปนชอเรยกวา ไฮโดรไดนามกสเทาทกวนน โดยรวบรวมเอาของไหลสถตและของไหลเคลอนทเขาดวยกน เขาเปนคนแรกทใชพโซมเตอรเปด (Piezometer openning) ตอกบผนงทอเพอวดความดน หลกการของพลงงาน (Energy principle) ซงน ามาใชหาความดนและความเรว หลกการเบอรนลใชหาหรอประเมนผลความดนอยในรปของเฮดความดนและเฮดความเรว (Pressure and velocity head) ซงแสดงคาดวยวธการทดลองและวเคราะหคาความดน ความดนจะมคาลบ ( -) ถาความเรวไหลเพมขนอยางเพยงพอ

รปท 1.11 เดเนยล เบอรนล (ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

ครสตศกราช (1707-1783) เลออนฮารด ออยเลอร (Leonhard Euler) นกคณตศาสตรชาวสวส (รปท 1.12) ไดศกษาเกยวกบไฮโดรไดนามกสและเครองกลไฮดรอลกส (Hydraulic machinery) และเปนคนแรกทอธบายถงบทบาทของความดนขณะของไหลเกดการเคลอนท ออยเลอร ยงไดศกษาคนควาถงการเคลอนทของของไหลภายใตแรงกรยาจากภายนอก และพจารณาความถกตองของความดนไอโซทรอปก (Isotropic pressure) ซงเปนฟงกชนกบชองวาง (Space) เทานน ออยเลอรไดวางสมการพนฐานของการเคลอนท ปจจบนเรยกวา สมการออยเลอร (Euler’s equations) ของอตราเรงหรอการเคลอนท โดยการสมมตวาของไหลเปนชนดอดตวไมได การไหลแบบสม าเสมอ (Steady) ไมหมนวน (Irrotational) และใหแนวคดทเกยวกบแรงทอยภายใน (Force potential) รวมเขากบสมการอตราเรงถงจดยอมจ านน (Yield) ทเปนความสมพนธเพยงตวเดยว แลวไปรวมกบความดน ความเรวไหล และระดบความสงของเฮด (Elevation heads) สมการออยเลอร นดคลายกบสมการเบอรนล (Bernoulli’s equations) นอกจากนน ออยเลอรยงมสวนสนบสนนใหเกดทฤษฎไฮโดรไดนามกสของเครองกลแรงเหวยงหนศนยกลาง (Centrifugal machinery) การวเคราะหสมรรถนะของปฏกรยาเทอรไบน (Reaction turbines) และก าหนดสมการโดยอาศย


ความสมพนธพนฐานของแรงบด (Torque) กบการเปลยนโมเมนตของโมเมนตมขณะไหลผานสวนทหมนเคลอนท

รปท 1.12 เลออนฮารด ออยเลอร (ทมา : Frank, 2011)

ครสตศกราช (1717-1783) ฌอง เลอ รงค ดอลมแบรต (Jean le Rond d’Alembert) นกคณตศาสตรชาวฝรงเศส (รปท 1.13) เปนบคคลแรกทวางแนวความคดเกยวกบความเรวไหลยอย (Components) และอตราเรง นอกจากนนยงแสดงความแตกตางของความตอเนองโดยสมมตฐานเอาเงอนไขคลายคลงกนทงดานหนาและดานหลงของวตถผลรวมของความดนยอย ซงกระท าอยบนผวของวตถแตละสวนกอใหเกดความขดกนขน และผลรวมของแรงตามแนวยาวบนวตถมคาเทากบศนย (0) ตอมาดอลมแบรต (d’Alembert) ไดหาค าอธบายถงความขดกนระหวางทฤษฎกบความจรงคอ ความขดกนของความตานทานศนย (Zero-resistance) กบการเคลอนทแบบสม าเสมอไมตามแบบ (Steady non-uniform motion) ซงเรยกวา d’Alembert’s paradox

ครสตศกราช (1718-1798) อองตวน เชซ (Antoine Chezy) วศวกรชาวฝรงเศส (รปท 1.14) ผวางหลกความเขาใจเรองความตานทาน (Resistance) ในการไหลตามแบบบนชองทางเปด (Uniform open channel flow) และไดสรางสตรความตานทานขน ตอมาเรยกวา สตรความตานทานของเชช (Chezy resistance formula)


รปท 1.13 ฌอง เลอ รงค ดอลมแบรต (ทมา : Oliveira, 2017)

รปท 1.14 อองตวน เชซ (ทมา : Chanson, 2004)

ครสตศกราช (1733-1799) ฌอง ชารลส บอรดา (Jean Charles Borda) วศวกรทหารชาวฝรงเศส (รปท 1.15) ซงสนใจการทดลองทางไฮดรอลกสและเครองกลไฮดรอลกส เขาศกษาความตานทานจนสามารถพสจนกระทงไดรบทฤษฎแรงลาก (Drag) บนวตถจมโดยแปรกบก าลงสองของความเรวสมพทธ (Relative velocity) และแสดงใหเหนวาจะมก าลงสงกวา (Higher power) หากเกดคลนทผว บอรดา (Borda) ยงเปนบคคลแรกทใหแนวความคดเบองตนของหลอดสายกระแส (Streamtubes) เขาไมแสดงใหเหนเฉพาะการหดตวของเจต (Jet) เทานนยงบอกถงการสญเสยพลงงานดวย ซงน าไปสค าอธบายทแสดงถงการไหล จากการใชหลกการโมเมนตมเขาพบวา เฉพาะ


กรณการปลอยกลบเขาหลอด (Re-entrant tube) เชน Borda mouthpiece สมประสทธของการหดตวมคา 0.5

รปท 1.15 ฌอง ชารลส บอรดา

(ทมา : Arora, 1973)

ครสตศกราช (1736-1813) โยแซฟ หลยส ลากรอง (Joseph Louis Lagrange) นกคณตศาสตรชาวฝรงเศส (รปท 1.16) ทศกษาดวยตนเอง (Self-trained) เขาศกษาผลงานทางคณตศาสตรของออยเลอรทเสนอตอการประชมนกคณตศาสตรโลก ในหวขอวเคราะหการเคลอนทของของไหล (Fluid motion) เขาไดน าแนวความคดเกยวกบศกยความเรวไหล (Velocity potential) และฟงกชนสายกระแส (Stream function) ซงตอมาเปนหลกการพนฐานทส าคญมากตอการอธบาย รปแบบการไหล (Flow patten) ลากรอง (Lagrange) เปนคนแรกทไดหาทมาของสมการความเรวไหลของการแผกระจายของคลนความสงเพยงเลกนอยในชองทางของความลกจ ากด (Finite depth) √

รปท 1.16 โยแซฟ หลยส ลากรอง (ทมา : Graebel, 2001)


ครสตศกราช (1746-1822) จโอแวนน แบตทสตา เวนจร (Giovanni Battista Venturi) (รปท 1.17) ไดตพมพเผยแพรผลงานของเขาในป ค.ศ. 1797 ทกรงปารส โดยรายงานการคนพบการเปลยนรปรางของกระบอก (Mouthpieces) แบบตางๆ ทตอเขากบออรฟส และไดทดลองใหเหนถงรปการหมนวนทจดเปลยนหนาตดและการเปลยนแปลงการไหลทมผลจากการเปลยนแปลงหนาตดคอคอด (Venture) และสงเกตถงการเปลยนหลอดทรงกระบอกรปกรวยสองสวนเพอขจดการหมนวนและเพมอตราการไหลแตยงเกดความดนลดอย ลกษณะรปรางอปกรณนตอมาใชส าหรบวดอตราการไหลในหลอดเรยกวา เวนจร มเตอร (Venturi meter)

รปท 1.17 จโอแวนน แบตทสตา เวนจร (ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

ครสตศกราช (1768-1816) จอสเซปเป เวนจโรล (Giuseppe Venturoli) นกไฮดรอลกสชาวอตาล (รปท 1.18) ทแสดงใหเหนถงสมการเบองตนของการไหลกลบของน า (Back water equation) ในชองทางเปดสเหลยม (Rectangular) ตลอดการเขยนอนทเกรตกราฟ ของสมการเชงอนพนธ (Differential equation) และเขายงประสบความส าเรจในการแยกสวนตางๆ ของรปรางผว (Surface profile) ครสตศกราช (1781-1839) จโรจโอ บโดน (Giorgio Bidone) นกไฮดรอลกสชาวอตาล (รปท 1.19) ซงคนพบไฮดรอลกสกระโดด (Hydraulic jump) และเปนบคคลแรกทศกษาถงระบบและพยายามวเคราะหผลออกมา


รปท 1.18 จอสเซปเป เวนจโรล

(ทมา : Gray, 2000)

รปท 1.19 จโรจโอ บโดน (ทมา : Arora, 1973)

ครสตศกราช (1785-1836) หลยส มาร อองร นาวเย (Louis Marie Henri Navier) วศวกรชาวฝรงเศส (รปท 1.20) ซงท าการวเคราะหสมการเคลอนทของของไหลทมความหนด (Viscous flow) ดวยคณตศาสตรเพยงอยางเดยวชอของเขาไดถกน ามาเรยกสมการส าหรบการไหลทมความหนดแตเขากไมไดพสจนใหเหนวาความหนดของของไหลขณะเปลยนไปเปนผลจากการไหล แตพจารณาระยะหาง (Spacing) ระหวางโมเลกลแทน


รปท 1.20 หลยส มาร อองร นาวเย

(ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

ครสตศกราช (1789-1857) ออกสตง หลยส เดอ โกช (Augustin Louis de Cauchy) (รปท 1.21) ไดเขยนเรองสนบสนนเกยวกบเรองทวไป (General field) ของทฤษฎไฮโดรไดนามกส และศกษาเกยวกบการเคลอนทของคลน

รปท 1.21 ออกสตง หลยส เดอ โกช (ทมา : Munson, 2013)


ครสตศกราช (1790-1893) คลอด บอแดง (Claude Burdin) วศวกรชาวฝรงเศส (รปท 1.22) เปนผใหค าจ ากดความของค าวา เทอรไบน (Turbine) และพฒนาการไหลพงออกอยางอสระของน า ซงตอมา บนอยท โฟรนรอน (Benoit Fourneyron) (1802-1867) ไดท าการปรบปรงแกไขอปกรณท บอแดง (Burdin) ท าขนมาครงแรก และพฒนาจนกระทงไดเปนไฮดรอลกสเทอรไบน และมเครองเทอรไบนซงคลายคลงกนถกสรางขนโดยเขาตดตงอยตามสวนตางๆ ของโลกมากกวา 100 เครอง

รปท 1.22 คลอด บอแดง

(ทมา : Oteh, 2008)

ครสตศกราช (1797-1884) โกธทลฟ เฮยนรช ลควก ฮาเกน (Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen) วศวกรไฮดรอลกสชาวเยอรมน (รปท 1.23) เปนบคคลแรกทชวยใหมการศกษาความตานทานการไหลในทอ เพอความเทยงตรงของการทดลองเขาใหของไหลผานทอเสนผานศนยกลางขนาดเลก และใหเหตผลวาการไหลจะถกแทนทเปนอนกรมตอกนเปนชนทรงกระบอก ความเรวไหลจะแปรผนเปนเสนตรงจากศนย (0) ทผนงและสงสดตรงกลาง (สมมตฐานนตอมาพสจนวาผด) ฮาเกน (Hagen) ไดแสดงความตานทานการไหลในทอขนาดเลก (การไหลแบบราบเรยบ) จากการใชสมมตฐานขางบน และฮาเกนยงไดทดลองความตานทานในทอของการไหลแบบปนปวนพรอมกบปรบปรงวธการวดจนสามารถตงเปนสมการความตานทาน ครสตศกราช (1799-1869) ฌอง หลยส บวซเอออลเลอ (Jean Louis Poiseuille) นกฟสกสชาวฝรงเศส (รปท 1.24) ไดท าการทดลองเรองสรระศาสตร โดยท าการวจยก าลงปม (Pumping power) ของหวใจการไหลของเลอดในเสนโลหตด าในทอขนาดเลก (Capillary vessels) และความตานทานทเกดจากการไหลผานหลอดนน บวซเอออลเลอไดคาความถกตองออกมาจากการวดตามขนาดเสนผานศนยกลางหลอดขนาดเลกตางๆ กน และไดความสมพนธในทางการทดลองของ


การไหลออกเปนรปเฮดสญเสย (Head loss) เสนผานศนยกลางหลอดและความยาวหลอด กฎความตานทานส าหรบการไหลแบบราบเรยบไดรบการตงชอตอจากฮาเกน (Hagen)

รปท 1.23 โกธทลฟ เฮยนรช ลควก ฮาเกน (ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

รปท 1.24 ฌอง หลยส บวซเอออลเลอ (ทมา : Graebel, 2001)

ครสตศกราช (1803-1858) อองร ฟลแบรต กาสปารด ดารซ (Henri Philibert Gaspard Darcy) วศวกรรมชาวงฝรงเศส (รปท 1.25) ไดท าการศกษาการไหลของน าในทอและการซมลงดน (Permeable soils) โดยทดลองเปลยนทอหลายขนาด ใชวสดทอตางกนและสภาวะตางกน จน


สามารถสรปผลการทดลองทยงใหญมากคอ ความตานทานจรงจะขนอยกบชนดและสภาพขอบเขตวสด จากผลการศกษาการไหลในทอน าอนนท าใหไดรบการตงชอสมการรวมมอ เวยสแบซ (Weisbach) ทไดสรปผลมากอนหนาน ดารซ (Darcy) ท าการศกษาถงการกรอง (Filteration) และสรปเฮดสญเสยจากการไหลผานชนกรอง โดยเปนสดสวนกบอตราการไหลมากกวารากท 2 ทเชอกนโดยทวไป

รปท 1.25 อองร ฟลแบรต กาสปารด ดารซ (ทมา : Durst, 2008)

ครสตศกราช (1806-1871) จเลยส เวยสแบซ (Julius Weisbach) นกไฮดรอลกซชาวเยอรมน (รปท 1.26) เปนผทมชอเสยงมากในการน าไฮดรอลกสมาใชงานดานวศวกรรม เวยสแบซ (Weisbach) ไดรวบรวมเอาผลจากการทดลองทวไปรวมไวดวยกนอยางเปนระบบ และยงท าการทดลองอนๆ อก เวยสแบซเปนคนแรกทรจกการใชสมประสทธทไมมมต (Non-dimensional coefficient) และแสดงสมการความตานทานในทอเปนครงแรกในรป ขณะเดยวกนเวยสแบซยงไดปรบแตงสมการของเวยรกบคาความเรวไหลทถกตองยงขน พรอมขจดการประมาณเพอหาคาการไหลออกเขาเสนอสมการทไดจากการทดลองนและตอมาไดรบการปรบปรงขนโดยบาซง (Bazin) ครสตศกราช (1808-1882) จอหน สกอต รสเซลล (John Scott Russell)วศวกรชาวสกอต (รปท 1.27) เปนบคคลแรกทศกษาปญหาของการไหลไมสม าเสมอ (Unsteady) การไหลไมตามแบบในชองทางเปด (Non-uniform open channel) กบการไหลทไมตอเนอง และรสเซลล (Russell) ยงศกษาถงผลของคลนบนความตานทานของเรอและจดประสงคของการท ารปหวเรอโคงกลบซงจะเชอวาจะชวยลดผลจากคลนใหเหลอนอยทสด นอกจากนมชาวฝรงเศสรนเดยวกบรสเซลล (Russell) ไดแก เฟอรดนานด รช (Ferdinand Reech) (1805-1880) มสวนสนบสนนวธปฏบตการทดสอบหนจ าลอง (Model tests) แลวพฒนาหลกการใชรปเหมอน (Similitude principles) โดย


อาศยกฎหมายการเคลอนทของนวตน รช (Reech) เปนบคคลแรกทแสดงหลกเกณฑการใชรปเหมอน ตอมาไดทดลองและอาศยวธการนโดยฟรวด (Froude)

รปท 1.26 จเลยส เวยสแบซ (ทมา : Arora, 1973)

รปท 1.27 จอหน สกอต รสเซลล (ทมา : Velarde, and Christov, 1995)

ครสตศกราช (1810-1879) วลเลยม ฟรวด (William Froude) วศวกรชาวองกฤษ (รปท 1.28) ไดพฒนาและใชเทคนคการลากเรอในถงน า (Towing tanks) ส าหรบทดสอบหนเรอจ าลอง (Model ships) โดยฟรวด (Froude) มความเชอมนวา “การทดลองทก าหนดใหกระท าบนหนจ าลองดวยสเกลขนาดเลก (Scale model) ยอมใหผลทถกตองและมสมรรถนะมากกวาเรอเตมขนาดสเกล”


และฟรวด (Froude) พจารณาผลรวมของความตานทาบนผวเรอ และความตานทานจากองคประกอบอน เชน คลน เปนตน ชอของฟรวด (Froude) ไมไดเรยกแทนส าหรบเรองกฎของความคลายคลง (Law of similarity) และ Non dimensional number เพราะงานนไมเสรจสมบรณดวยการทดลองของเขา

รปท 1.28 วลเลยม ฟรวด (ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

ครสตศกราช (1816-1897) โรเบรต แมนนง (Robert Manning) วศวกรชาวไอรช (รปท 1.29) ในป ค.ศ. 1889 แมนนง (Manning) ไดเสนอผลงานเรองความสมพนธการไหลในชองทางเปดดวยสมการ V = KR2/3S1/2 ซงคานจะดกวาทกๆ คาทไดมาจากขอมลอนกอนหนาน ตอมาชอของเขาถกน าไปตงเปนชอสตร จากสตรเขาไมไดใชคาสมประสทธ (n) ของคลตเตอร (Kutter) เขามาเกยวของแตอยางใด

ครสตศกราช (1819-1903) จอรจ กาเบยรล สโตก (George Gabrial Stokes) นกคณตศาสตรชาวองกฤษ (รปท 1.30) ชอของสโตก (Stokes) ถกน ารวมเรยกสมการการเคลอนทของของไหลทมความหนดรวมกบนาเวยร (Navier) งานทเขาตพมพไดแก ทฤษฎความเสยดทานภายในของของไหล (Internal friction) เมอเคลอนท ตพมพผลงานเมอป ค.ศ. 1845 และไดเรยกสมการนวา นาเวยร สโตก (Navier Stokes) สมประสทธ ทปรากฏในสมการนาเวยร (Navier’s equations) ถกแทนดวยความหนดจลน () และยงแสดงทมาของความเรวสดทาย จากการตกลงของวตถทรงกลม ซงตอมาเรยกวา กฎของสโตก (Stokes’s law)


รปท 1.29 โรเบรต แมนนง (ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

รปท 1.30 จอรจ กาเบยรล สโตก (ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

ครสตศกราช (1822-1883) อองตวน ซารลส แบรส (Antoine Charles Bresse) วศวกรชาวฝรงเศส (รปท 1.31) ประสบความส าเรจตอการหาปรพนธ (การวเคราะห) สมการทคอยๆ เปลยนแปลงของการไหลในชองทางเปดและจดท าตารางขน กระทงปจจบนนเรยกวา Bresse’s back


water function ส าหรบใชงานทวไป และการปรบปรงแกไขคณสมบตโมเมนตมของไฮดรอลกสกระโดด

รปท 1.31 อองตวน ซารลส แบรส (ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

ครสตศกราช (1823-1917) อองร เอมล บาชง (Henri Emile Bazin) วศวกรชาวฝรงเศส (รปท 1.32) ไดมโอกาสท างานรวมกบดารช (Darcy) และไดทดลองความตานทานในชองทางเปดทเปนผลจากคลนและการไหลผานเวยร โดยอาศยการทดลองในคลองทท าขน จากวสดและรปรางตางๆกน บาซง (Bazin) ไดเสนอสตรความตานทานการไหลในชองทางทเขาทดลองเปนผลส าเรจจากการวดการกระจายของความเรวไหล (Velocity distributions) ผานหนาตดตางๆ กน และมการเคลอบผนงดวยวสดตางชนดกนดวยจากการทดลองนเขาไดชใหเหนวาความลกของจดทมความเรวสงสดจะเปลยนแปลงโดยสมพนธกบความกวางของหนาตดและเขาใกลศนย (0) เมอมอตราสวนความกวางกบความลกเกน 5 ตอมาบาซง (Bazin’s) ไดศกษาการไหลบนเวยรตงและเวยรเอยงลาด รวมทงการหาความเทยงตรงของรปแบบน าไหลลนผานเวยร (Nappe profile) การกระจายของความเรวไหลและความดน น าลนผานเวยร ผลลพธอนนน าไปสการศกษาถงสมการการไหลผานเวยร (Weir discharge equation) ซงเสนอมาแลวโดยเวยสแบซ (Waisbach) วศวกรชาวสวสเซอรแลนดสองคน คอ เอมล ออสการ แกงเกยลเลต (Emile Oscar Ganguillet, 1818-1894) และ วลเฮลม รดอลฟ คตเตอร (Wilhelm Rudolf kutter, 1818-1888) มสวนชวยเหลอการหาความตานทานในชองทางเปด (Open-channel resistance) จากการทดลองหลายรอยครง ทงยงไดแสดงสมประสทธของเคช (Chezy, C) ซงเปนฟงกชนกบตวประกอบความหยาบผว n รศมไฮดรอลกส (Hydraulic radius, R) และ ความลาดของชองทางเปด S


รปท 1.32 อองร เอมล บาชง


ครสตศกราช (1838-1916) เอรนสต มค (Ernst Mach) เปนนกฟสกสและจตวทยาชาวออสเตรเลย (รปท 1.33) เปนบคคลแรกทรเรมศกษาเกยวกบเรองซปเปอรโซนคแอรโรไดนามกส (Supersonic aerodynamics) ของอากาศทมความเรวสงจนได เรยกนยามวา ตวเลขมค (Mach number)

รปท 1.33 เอรนสต มค

(ทมา : Donald et al., 2012)


ครสตศกราช (1842-1912) ออสบอรน เรยโนลด (Osborne Reynolds) วศวกรชาวองกฤษ (รปท 1.34) ไดศกษาและมผลงานตางๆ ดงน 1) เปนบคคลแรกทพสจนใหเหนวาการเกดคาวเตชน (Cavitation) เปนไปโดยธรรมชาต (Phenomenon) และท าใหเชอวาเสยงทเกดขนมาจากฟองไอน าทยบลงขณะเรมเดอดพอด 2) เปนบคคลแรกทแสดงความเกยวของกนของความยาวและสเกลเวลา (Time scales) ในการศกษาหนจ าลองทผดสวน (Distorted models) 3) เปนบคคลแรกทน าเอาความหนดเขามาเปนตวพารามเตอร (Parameter) และตอมาไดเรยกตามชอของเขายงเปนผก าหนดเสนแบงระหวางการไหลแบบราบเรยบกบปนปวนขน และพสจน ใหเหนการทดลองของเขาในป ค.ศ. 1888 โดยใชความเรวไหลทท าใหการเคลอบทหมนวน (การไหลแบบปนปวน) และเปลยนขนาดเสนผานศนยกลางทอ รวมทงสมบตของของไหลแตละชนดใหคาถกตองคาพารามเตอรนตอมาเรยกวา ตวเลขเรยโนลด (Reynolds number) คาพารามเตอรมประโยชนอยางมากและถกน าไปใชกบสมการนาเวยร สโตก (Navier Stokes) เพอหาการไหลแบบปนปวน นอกจากนเขายงไดหาสมการเคลอนท ซงปจจบนเรยกวา สมการเรยโนลด (Reynolds equations) ส าหรบการไหลแบบปนปวน

รปท 1.34 ออสบอรน เรยโนลด (ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

ครสตศกราช (1842-1919) จอหน วลเลยม สทรตต, ลอรด เรยไลฟ (John William Strutt, Lord Rayleigh) (รปท 1.35) เปนผคนควาถงไฮโดรไดนามกสของการยบตวของฟอง


(Bubble collapse) การเคลอนทของคลน ความไมแนนอนของเจต (Jet instability) ความคลายคลงกนของการไหลแบบราบเรยบ และไดนามกสของความคลายคลง (Dynamic similarity)

รปท 1.35 จอหน วลเลยม สทรตต, ลอรด เรยไลฟ (ทมา : Hunter and Wang, (2016)

ครสตศกราช (1850-1922) เซนซ สเตราฮล (Vincenz Strouhal) (รปท 1.36) เปนผคนควาเกยวกบปรากฏการณทเกดขนเองโดยธรรมชาตของ Singing wires

รปท 1.36 เซนซ สเตราฮล



ครสตศกราช (1867-1940) เอดการ บกคงแฮม (Edgar Buckingham) เปนผเรมตนใหมการวเคราะหขนาด (Dimensional analysis) ในอเมรกา 1.2.3 ยคศตวรรษท 20 ยคนนบวาเปนยคทเขาสกลศาสตรของไหลอยางแทจรง เมอเรมศตวรรษท 20 การทดลองทางไฮดรอลกสและทฤษฏไฮโดรไดนามกสแพรกระจายออกไปมาก มการพฒนามาจนกระทงชองวางระหวางทฤษฎกบการปฏบตใกลเคยงความเปนจรงตอกนยงขน จนมชอเรยกขานบคคลเหลานนวาเปนนกไฮดรอลกส หรอนกไฮโดรไดนามกส ประกอบกบการพฒนาดานการบนเกดขนอยางรวดเรว วศวกรจงหาทางเชอมตอระหวางสวนทงสองนคอ ทฤษฏกบความจรงน าไปสแนวความคดเรองขอบเขตชนของไหล (Boundary layer) ซงเรมขนมาโดยศาสตราจารย ลดวก แพรนตทล (Ludwig Prandtl) ชาวเยอรมนและทานผนไดท าการศกษาทฤษฎขอบเขตชนการไหลทมอทธพลตอการเคลอนทของของไหล โดยบทความนไดเผยแพรครงแรกในป ค.ศ. 1904 ครสตศกราช (1871-1951) มอรทซ เวเบอร (Moritz Weber) ชาวเบอรลน (รปท 1.37) ไดวางหลกเกณฑทวไปของหลกการรปเหมอนกนแทนรปจรงและเขาเปนผใหชอเฉพาะ เชน ของฟรวด (Froude) และตวเลขเรยโนลด (Reynolds numbers) และความเกยวของของชอครวช (Cauchy’s) กบความคลายคลงกนของความยดหยน (Elastic similarity) และน าไปส Capillarity parameter ซงตพมพเผยแพรป ค.ศ. 1919 ภายหลงตอมาไดชอเรยกวา ตวเลขเวเบอร (Weber number)

รปท 1.37 มอรทซ เวเบอร (ทมา : Frohn and Roth, 2000)

ครสตศกราช (1875-1953) ลดวก แพรนตทล (Ludwig Prandtl) (รปท 1.38) เปนบคคลแรกทใหความเหนและท าใหเกดวชากลศาสตรของไหลมาจนกระทงปจจบนน โดยแสดงใหเหนถงความสมพนธของปญหาระหวางทฤษฎและการทดลองการไหลของของไหล (Fluid flow) เปนคน


แรกททดลองการไหลของอากาศขณะท างานเปนวศวกรลกจางของบรษทผลตเครองจกรขนาดใหญ ตอมาไดต าแหนงหวหนาคณะในสถาบนโปลเทคนค แลวท าการวจยการไหลของอากาศอก จากนนอก 3 ปตอมา เขาไดเขยนรายงานการคนพบกอนจะมการประชมครงท 3 ของสมชชานกคณตศาสตรในป ค.ศ. 1904 รายงานจ านวน 8 หนาของเขาใหแนวคดเรองขอบเขตชนการไหลซงมความตานทานภายในต า (Low internal resistance) (ความหนดต า) และสามารถแบงได 2 เขต (Zone) ระหวางกนคอ 1) ใกลกบขอบเขตคงท (Fixed boundaries) เปนชนการเปลยนแปลง (Transition layer) ซงความเรวของไหลเปลยนจากศนยทขอบเขตนคลายกบคาทเกดในสายกระแสอสระ (Free stream) ทขอบของชนและความหนดจะมผลตอชนนดวย 2) หางจากขอบเขตชนตามแนวนอน (Boundary lies zone) ทเสนการไหลอสระตดขวาง ซงมการเปลยนแปลงใดๆของความเรวจะไมมผลจากความหนดกระท า และการไหลอสระตดขวาง ซงมการเปลยนแปลงใดๆ ของความเรวจะไมมผลจากความหนดกระท า และการไหลในสวนนสามารถวเคราะหโดยอาศยหลกการพนฐานของทฤษฎศกดการไหล (Potential flow theory) ในชนทอยใกลชดกบขอบเขตคงท ซงมผลของความหนดเขาเกยวของกบขอบเขตนเรยกวา ขอบเขตชนของไหล (Boundary layer) ทฤษฏขอบเขตชนของไหล (Boundary layer) ไมไดน ามาใชเฉพาะเรองของอากาศเทานน แตยงถกน าไปใชกบไฮดรอลกสและขอบเขตอนๆ ทเกยวของ จากการใชงานดงกลาวท าใหการพฒนาวทยาศาสตรการเคลอนทของของไหลเปนไปอยางรวดเรว จนกระทงเรยกกนตอมาวา วชากลศาสตรของไหล

รปท 1.38 ลดวก แพรนตทล (ทมา : Frank, 2011)


ผลงานทแพรนตทล (Prandtl) ไดบกเบกวจยเกยวกบการไหลของของไหลความหนดต า (Low-viscosity fluids) ท าใหเขาไดถกเสนอชอใหรบดอกเตอร และต าแหนงศาสตราจารยจากสถาบนวจยของมหาวทยาลย G ttigen ทแหงนเอง แพรนตทล (Prandtl) และนกศกษาของเขาไดศกษารวมกนศกษาทฤษฏขอบเขตชนของไหล (Boundary layer theory) การวเคราะหความเปนไปโดยธรรมชาตของการปนปวนและการลาก (Drag) ตลอดหลกการทแสดงถงพฤตกรรมทลอมรอบ Aerofoil นกศกษาคนแรกของเขาทมชอเสยงรจกกนคอ พอล รชารด เฮยนรช บลาสอส (Paul Richard Heinrich Blasius, 1883-1970) แหงเบอรลนไดตพมพผลงานป ค.ศ. 1908 เรองวธการวเคราะหจากการกระจายความเรวไหลและความตานทานของขอบเขตชนการไหลราบเรยบตามทฤษฏของแพรนตทล (Prandtl’s theory) ซงการพสจนนท าใหหองปฏบตการ ครสตศกราช (1880-1953) เลวส เฟอรร มด (Lewis Ferry Moody) (รปท 1.39) เปนผท าการเปลยนแปลงหลายๆ อยางเกยวกบเครองกลไฮดรอลกสและจดท าขอมลความเสยดทานในทอในรปไดอะแกรม ซงนยมใชกนแพรหลายมาถงปจจบนน

รปท 1.39 เลวส เฟอรร มด (ทมา : Graebel, 2001)

ครสตศกราช (1881-1963) ธโอดอร วอน คารมาน (Theodor Von Karman) (รปท 1.40) เปนบคคลทมชอเสยงมากของสถาบน G ttigen ขณะเขาท างานภายใตการควบคมดแลของแพรนตทล (Prandtl) คารมาน (Karman) เปนคนทมพรสวรรคมากตอการรวมเอาฟสกสเขากบคณตศาสตรของไหล โดยเปนบคคลแรกอกเชนกนทมสวนสนบสนนวชากลศาสตรของไหล โดยก าหนดขอบเขตรปแบบการลาก (Form drag) การปนปวนความตานทานผวและการเปรยบเทยบระหวางเสยงกบคลนแรงดงดดโลก (Gravity waves) เขาไดประสานตอปญหาการเกดไหลวนตามหลงทรงกระบอกกลม พรอมหาวธการวเคราะหกระจายความเรวไหล และความตานทานการไหลปนปวนในทอ ซงมคาเทากบตามผวแผนราบ ผลลพธสมการลอก (Logarithmic) และการกระจายของความเรว ตอมาเรยกตามชอเขา


รปท 1.40 ธโอดอร วอน คารมาน (ทมา : Nakayama and Boucher, 1999)

นอกจากนนยงมบคคลอนๆ ทไดท างานเกยวของเฉพาะเรองนทสถาบนวจย G ttigen เชน วอเตอร ลควก (Walter Ludwig) ครสเตยน ชลเลอร (Christian schiller, 1882-) เปนบคคลทใหความเขาใจถงขอบเขตความตานทานในทอ วอเตอร กสแทฟ โจฮานเนส โทลเมยน (Walter Gustav Johannes Tollmein, 1900-1968) ท าการวเคราะหแบงแยกความมนคงของการไหล (Flow stability) และการแผกระจายความปนปวน (Turbulent diffusion) เฮอรมาน ชชตง (Hermann Schlichting, 1907- 1968) มสวนชวยตอการพฒนาวเคราะหความมนคงและขอบเขตชนของไหล (Boundary layer) คารล เวยสเซลเบอรเกอร (Carl Wieselberger, 1887-1941) มสวนชวยหาความเปนมาของปรากฏการณทเกดเองโดยธรรมชาตของการลาก (Drag) ออตต แฟรชพาส (Otty Flachspart, 898-1957) มสวนชวยหาการลาก (Drag) และหาความดนลมบนอาคาร และ โจอาน นคราส (Johann Nikuradse, 1896–1979) มสวนชวยหาของเขตของความตานทานในทอ ผลการทดลองของเขากคอ การหาความหยาบผวทอ ครสตศกราช (1883-1970) พอล รชารด เฮยนรช บลาสอส (Paul Richard Heinrich Blasius) (รปท 1.41) เปนนกศกษาคนหนงของแพรนตทล (Prandtl) และเปนผพยายามหาทางแกปญหาการวเคราะหดวยสมการขอบเขตชนของไหล (Boundary layer) ขณะเดยวกนกไดพสจน ความเสยดทานในทอ (Pipe resistance) สมพนธกบคาตวเลขเรยโนลด (Reynolds number)


รปท 1.41 พอล รชารด เฮยนรช บลาสอส (ทมา : Durst, 2008)

ครสตศกราช (1886-1975 ) จออฟเฟร อนแกรม เทเลอร (Geoffrey Ingram Taylor)นกฟสกสชาวองกฤษ (รปท 1.42) ขณะท างานเปนลกจางท าหนาทนกอตนยมศาสตรทมหาวทยาลยเคมบรดส เขาศกษาการหมนในบรรยากาศและตพมพผลงานของเขาเกยวกบหลกการวเคราะหการไหลแบบปนปวนดวยวธทางสถต Taylor ไดสรางทฤษฏการแพรกระจาย (Diffusion) โดยการเคลอนทอยางตอเนอง สมพนธกบการโนมเอยงตอการแผกระจาย และคณสมบตการกระจายออกไปของการเคลอนทแบบปนปวน

รปท 1.42 จออฟเฟร อนแกรม เทเลอร (ทมา : Pijush and Ira, 2010)


1.3 นยามของของไหล ของไหล (Fluid) หมายถง สสารทสามารถไหลได โดยมรปรางเปลยนแปลงไปตามภาชนะทบรรจ เมอของไหลอยในสภาวะสมดล ของไหลไมสามารถรองรบแรงเฉอนได ซงจะแตกตางกบของแขง (Solid) เมอถกกระท าดวยแรงเฉอน (Shear force) ของแขงจะเปลยนรปรางและจะหยดเปลยนรปรางเมอเขาสสมดลสดทาย (α) ลกษณะของแรงเฉอนทกระท าบนของแขงและบนของไหลจะแสดงไวดงรปท 1.43 ของไหลทกชนดจะยบตวตามความดนไดเลกนอย ดงนน การจดประเภทของของไหลจงแบงไดตามความสามารถในการยบตว ดงน 1) ของไหลทยบตวตามความดน (อดตวได) (Compressible fluid) หมายถง ของไหลชนดทมความดนเปลยนแปลงปรมาตรของของไหลเปลยนแปลงมากและคาความหนาแนนเปลยนแปลงมาก เชน กาซ จดวาเปนของไหลยบตวตามความดนหรออดตวได 2) ของไหลทไมยบตวตามความดน (อดตวไมได) (Incompressible fluid) หมายถง ของไหลชนดทเมอความดนเปลยนแปลงปรมาตรของของไหลเปลยนแปลงนอยมากและคาความหนาแนนคงทหรอเปลยนแปลงเลกนอย เชน ของเหลว จดวาเปนของไหลทไมยบตวตามความดนหรออดตวไมได

รปท 1.43 แรงเฉอนทกระท าบนของแขงและของเหลว (ทมา : ดดแปลงจาก Robert et al., 2012)

นอกจากนน ของไหลยงสามารถแบงออกไดตามโครงสรางโมเลกล ซงแบงออกไดออก 3 ชนด คอ ของเหลว (Liquids) กาซ (Gases) และไอ (Vapour)

1.4 ระบบของหนวย ระบบของหนวย (Unit system) ทนยมใชในปจจบนกบกลศาสตรของไหล คอ หนวยระหวาง

ประเทศ หรอระบบสากล (International system) หรอเรยกวา หนวยเอสไอ (SI unit) อยางไรกตามระบบองกฤษ (English system) กยงมใชแพรหลายพอสมควรจงน ามาเปรยบเทยบกนดงตารางท 1.1

ของแขง ของเหลว

แรงเฉอน แรงเฉอน


ตารางท 1.1 หนวยระบบสากลและองกฤษของมตพนฐาน มต หนวยระบบเอสไอ หนวยระบบองกฤษ ความยาว (L) เมตร (metre, m) ฟต (foot, ft) มวล (M) กโลกรม (kilogram, kg) สลก (slug) เวลา (T) วนาท (second, s) วนาท (second, s) แรง (F) นวตน (Newton, N) ปอนด (pound, lb) อณหภมสมบรณ เคลวน (Kelvin, K) แรนคน (Rankine, R) อณหภมปกต เซลเซยส (Celcius, ๐C) เซลเซยส (Celcius, ๐C) ทมา : Clayton et al., (2010). การเปลยนหนวยสามารถใชมาตรฐานในการเปรยบเทยบได ดงน 1.61 กโลเมตร (km) = 1 ไมล (mi) 1 กโลเมตร (km) = 1,000 เมตร (m) 1 ไมล (mi) = 1760 หลา (Yd) 1 หลา (Yd) = 3 ฟต (ft) 1 ฟต (ft) = 30.48 เซนตเมตร (cm) 1 นว (in) = 2.54 เซนตเมตร (cm) 1 กโลกรม (kg) = 9.81 นวตน (N) 1 กโลกรม (kg) = 2.2046 ปอนด (lb) 1 สลก (slug) = 1 (lb.s2)/ft 1 ชวโมง (hr) = 60 นาท (min) 1 นาท (min) = 60 วนาท (s) 1 เคลวน (K) = 273 + ๐C 1 แรนคน (R) = 460 + F 1 แรนคน (R) = 1.8 เคลวน (K) 1 ฟาเรนไฮ (F) = 32 + 1.8๐C ในกรณทจ านวนเลขแสดงปรมาณตางๆ มคาสงมากหรอต ามากนยมใชค าน าหนา (Prefix) เตมหนาหนวยซงจะท าใหมความสะดวกในการบอกจ านวนดงรายละเอยดทแสดงในตารางท 1.2


ตารางท 1.2 ค าน าหนาตวเลข

ตวคณ ค าน าหนา สญลกษณ ตวคณ ค าน าหนา สญลกษณ 10-1 เดซ (deci) D 101 เดคา (deca) da 10-2 เซนต (centi) C 102 เฮกตะ (hecto) H 10-3 มลล (milli) M 103 กโล (kilo) K 10-6 ไมโคร (micro) µ 106 เมกะ (mega) M 10-9 นาโน (nano) N 109 จกะ (giga) G 10-12 พโค (pico) P 1012 เทระ (tera) T 10-15 เฟมโต (femto) F 1015 เพตะ (peta) P 10-18 อตโต (atto) A 1018 เอกซะ (exa) E 10-21 เซปโต (zepto) Z 1021 เซตตะ (zetta) Z 10-24 ยอกโต (yocto) Y 1024 ยอตตะ (yotta) Y

ทมา : Gordon et al., (1994).

ตวอยางท 1.1 จงเปลยนหนวยในระบบสากล (SI unit) ใหเปนระบบองกฤษ 1) 250 เมตร ใหเปนหนวย นว 2) 2 ไมล ใหเปนหนวย เมตร

วธท า 1) ความยาว 1 ม. = 100 ซม. ความยาว 250 ม. = 25,000 ซม. ความยาว 2.54 ซม. = 1 นว

ความยาว 25,000 ซม. = 25,000/2.54 = 9,842.52 นว

ความยาว 250 เมตร = 9,842.52 นว ตอบ

2) ความยาว 1 ไมล = 1,760 หลา ความยาว 2 ไมล = 1,760 x 2 = 3,520 หลา ความยาว 1 หลา = 3 ฟต

ความยาว 3,520 หลา = 3,520 x 3 = 10,560 ฟต ความยาว 1 ฟต = 30.48 ซม. ความยาว 10,560 ฟต = 10,560 x 30.48 = 321,868.8 ซม. ความยาว 100 ซม. = 1 ม. ความยาว 321,868.8 ซม. = 321,868.8 /100 = 3,218.69 ม. ความยาว 2 ไมล = 3,218.69 เมตร ตอบ


1.5 หนวยของปรมาณทางฟสกสทส าคญ 1.5.1 หนวย (Unit)

ปรมาณพนฐานทางฟสกสจะถกแสดงดวยหนวยพนฐาน ทเรยกวา หนวยสมบรณ (Absolute of units) สวนปรมาณฟสกสทเกดจากการรวมกนของหนวยพนฐาน จะเรยกวาหนวย ซงบอยครงทจะเรยนหนวยสมบรณสนๆ วา หนวย (Unit) หนวยพนฐานในระบบสากล (International system of unit, SI unit) ทนยมใชกนมาก จะมหนวยพนฐานอย 7 ชนด ดงแสดงในตารางท 1.3 ตารางท 1.3 หนวยพนฐานของระบบสากล (SI unit)

ปรมาณ (Quantity)

หนวยสมบรณ (Absolute of unit)

ชอหนวย สญลกษณ ความยาว (Length, L) เมตร (metre) m มวล (Mass, M) กโลกรม (kilogram) kg เวลา (Time, T) วนาท (second) s กระแสไฟฟา (Electric, E) แอมแปร (Ampere) A

อณหภม (Temperature, K) เคลวน (Kelvin) K

ปรมาณสสาร (Mass quantity, Mol) โมล (Mole) Mol ความเขมแสง (Intensity of light, Cd) แคนเดลลา Candela) Cd

ทมา : Frank, (2011).

1.5.2 ขนาด (Dimension) ปรมาณทางฟสกสทเกดจากการรวมกนของหนวยพนฐาน จะมเลขชก าลงของหนวยพนฐานเปนตวประกอบในสมการ ซงจะเรยกเลขชก าลงนวา ขนาด (Dimension) การหาปรมาณทางฟสกส สามารถค านวณไดตามสมการท (1.1) ดงน (1.1) โดยท Q คอ ปรมาณทางฟสกสคาใดคาหนงท เกดจากการผสมกนระหวางหนวยพนฐาน ประกอบดวย ความยาว มวล และ เวลา

L คอ ความยาว M คอ มวล T คอ เวลา c คอ คาคงทใดๆ

ถาก าหนดใหคา , , เปลยนไปกจะท าใหเกดปรมาณทางฟสกสทมคาแตกตางกนออกไป ดงแสดงในตารางท 1.4


ตารางท 1.4 ขนาดและหนวย

ปรมาณ

(Quantities) ขนาด (Dimension) หนวย

(Unit) ความยาว (Length; L) 1 0 0 m มวล (Mass; M) 0 1 0 kg เวลา (Time; T) 0 0 1 S ความเรว (Velocity; v) 1 0 -1 m/s ความเรง (Acceleration; a) 1 0 -2 m/s2 พนท (Area; A) 2 0 0 m2 ปรมาตร (Volume; V) 3 0 0 m3 แรง (Force; F) 1 1 -2 kg m/s2 = N ความดน (Pressure; P) -1 1 -2 kg/ms2 = Pa

ทมา : Frank, (2011). ตวอยางท 1.2 ความหนาแนน มหนวย kg/m3 จงหาขนาด ของความหนาแนน วธท า

จากสมการ ถา Q คอ ความหนาแนน ทมหนวยเปน kg/m3 ดงนน

จะไดวา ขนาดของ ความหนาแนน คอ -3, 1, 0 ตอบ

ตวอยางท 1.3 จากสมการ ถา , , เทากบ 2, 1, -2 ตามล าดบ จงหาหนวยของปรมาณ Q และ Q คอปรมาณตวใดทางฟสกส วธท า จากสมการ แทนคา จะไดวา

ดงนน คา Q หนวย คอ จล (Joule, J) ซงเปนหนวยของพลงงาน Q จงเปนปรมาณทางฟสกส คอ พลงงาน หรอ งาน ตอบ


1.5.3 แรง (Force) แรง คอ การกระท าของวตถหนงตออกวตถหนง ซงจะเปนผลท าใหวตถทถกกระท านนเคลอนทไปตามทศทางของการกระท า หรอมการเปลยนแปลงรปราง หรอ แรง (F) คอ แรงทกระท าใหมวล (m) 1 kg มความเรง (a) 1 m/s2 มหนวยเปนนวตน (Newton, N) ดงสมการท (1.2)

(1.2) นนคอ แรง 1 N = 1 kg. m/s2 น าหนก 1 kg คอ แรงทท าใหมวล 1 kg มความเรง 9.81 m/s2 (จาก w = mg) นนคอ น าหนก 1 kg = 1kg × 9.81 m/s2 ดงนน 1 kg = 9.81 N ในระบบองกฤษ แรงจะมหนวยเปนปอนด (lbf) หมายความวา แรง (F) 1 lbf = มวล (m) 1 lbf.s2/ft หรอ 1 slug คณกบ ความเรง (a) 32.2 ft/s2 โดยท ความเรง (a) = 9.81 m/s2 = 32.2 ft/s2 ตวอยางท 1.4 วตถชนหนงถกผลกดวยแรง 150 lbf สมมตพนผวสมผสของวตถไมมแรงเสยดทานเกดขน จงหามวลของวตถน ก าหนดใหความเรงทเกดจากแรงโนมถวงของโลก เทากบ 32.2 ft/s2 วธท า จากสมการ

และ หรอ m = 4.66 slug ตอบ

1.5.4 พลงงาน (Energy) พลงงาน คอ ความสามารถทท างานได มหนวยเปนจล (Joule, J) หมายความวา พลงงาน 1 Joule (J) = แรง 1 N × ระยะทาง 1 m (จาก งาน = แรง × ระยะทาง) มคาเทากบ 1 Nm หรอ 1 J พลงงานแบงออกไดเปน 2 รป ดงน 1) พลงงานศกย (Potential energy) คอ พลงงานทมในวตถเนองจากต าแหนงทอยของวตถนน 2) พลงงานจลน (Kinetic energy) คอ พลงงานทมในวตถเนองจากการเคลอนทของวตถนน ส าหรบรายละเอยดทงหมดของพลงงานในกลศาสตรของไหลจะไดกลาวถงในบทท 7 ตอไป


1.5.5 ก าลง (Power) ก าลง คอ จ านวนงานทกระท าไดโดยสม าเสมอในหนงหนวยเวลา และมหนวยเปน วตต

(Watt, W) หมายความวา ก าลง 1 Watt (W) = 1 Joule / 1 second = 1 J/s = 1 Nm/s

นอกจากนยงมหนวยของก าลงทนยมใช คอ ก าลงมา ซงสมพนธกบหนวยวตต ดงน 1 ก าลงมา (Horse power, hp) มคาเทากบ 746 วตต (W) ในวชากลศาสตรของไหล ก าลง (Power) สวนมากจะใชในการแปลงหนวยเพอหาขนาดของปมน า หรอกงหน ในระบบการจายหรอสบน า และแหลงก าเนดกระแสไฟฟาจากโรงไฟฟาพลงงานน า ซงรายละเอยดจะกลาวตอไปในบทท 7 1.6 บทสรป กลศาสตรของไหล (Fluid mechanics) เปนวชาทเกยวของกบการศกษาพฤตกรรมและผลทเกดขนเนองจากของไหลทกระท าตอผวของวตถทสมผส หรอกระท าตอของไหลอกชนด โดยทของไหลดงกลาวอาจจะอยในสภาวะทเคลอนทหรอสภาวะทอยนงกได สามารถแบงออกได 3 สาขา ดงน 1) ของไหลสถต (Fluid static) เปนการศกษาถงพฤตกรรมอนเกยวกบของไหลทอยนง 2) จลศาสตรของไหล (Fluid kinematics) เปนการศกษาถงความเรวและเสนการไหล (stream line) โดยไมพจารณาแรงและพลงงานทเกดขน 3) พลศาสตรของไหล (Fluid dynamics) เปนการศกษาความสมพนธระหวางความเรวหรอความเรงของของไหล และแรงทกระท าโดยของไหล

ของไหล (Fluid) หมายถง สสารทสามารถไหลได โดยมรปรางเปลยนแปลงไปตามภาชนะทบรรจ เมอของไหลอยในสภาวะสมดล ของไหลไมสามารถรองรบแรงเฉอนได ของไหลทกชนดจะยบตวตามความดนไดเลกนอย

การจดประเภทของของไหลแบงตามความสามารถในการยบตว สามารถแบงได 2 ประเภท คอ ของไหลทยบตวตามความดน (Compressible fluid) หมายถง ของไหลชนดทมความดนเปลยนแปลงปรมาตรของของไหลเปลยนแปลงมากและคาความหนาแนนเปลยนแปลงมาก เชน กาซ จดวาเปนของไหลยบตวตามความดน และ ของไหลทไมยบตวตามความดน (Incompressible fluid) หมายถง ของไหลชนดทเมอความดนเปลยนแปลงปรมาตรของของไหลเปลยนแปลงนอยมากและคาความหนาแนนคงทหรอเปลยนแปลงเลกนอย เชน ของเหลว จดวาเปนของไหลทไมยบตวตามความดน ระบบของหนวย (Unit system) ทนยมใชในปจจบน คอ หนวยระหวางประเทศหรอระบบสากล (International system) หรอเรยกวา หนวยเอสไอ (SI unit) และอกระบบทนยมใชกนอย คอระบบองกฤษ (English system) ปรมาณพนฐานทางฟสกสจะถกแสดงดวยหนวยพนฐาน ทเรยกวา หนวยสมบรณ (Absolute of units) สวนปรมาณฟสกสทเกดจากการรวมกนของหนวยพนฐาน จะเรยกวาหนวย ซงบอยครงทจะเรยนหนวยสมบรณสนๆ วา หนวย (Unit)


ปรมาณทางฟสกสทเกดจากการรวมกนของหนวยพนฐาน จะมเลขชก าลงของหนวยพนฐานเปนตวประกอบในสมการ ซงจะเรยกเลขชก าลงนวา ขนาด (Dimension) แรง คอ การกระท าของวตถหนงตออกวตถหนง ซงจะเปนผลท าใหวตถทถกกระท านนเคลอนทไปตามทศทางของการกระท า หรอมการเปลยนแปลงรปราง หรอ แรง คอ แรงทกระท าใหมวล 1 kg มความเรง 1 m/s2 (จาก F = ma) มหนวยเปนนวตน (Newton, N) พลงงาน คอ ความสามารถทท างานได มหนวยเปนจล (Joule, J) ก าลง คอ จ านวนงานทกระท าไดโดยสม าเสมอในหนงหนวยเวลา และมหนวยเปน วตต (Watt, W)


แบบฝกหดทายบท บทท 1

1. จงบอกนยามของกลศาสตรของไหล 2. นกวทยาศาสตรผทมบทบาทตอการสรางทฤษฎทางวทยาศาสตรและถกน ามาประยกตใชมากทสด ไดแก บคคลใด และอยในชวง ค.ศ. ใด

3. คาพารามเตอรทเรยกวา Reynolds number เกดขนในยคใด

4. จงบอกความหมายของค าวา “ของไหล” 5. การจดประเภทของของไหล แบงตามความสามารถในการยบตว แบงไดกประเภท อะไรบาง 6. จงยกตวอยางมตทเหมอนกนของระบบหนวยเอสไอกบระบบหนวยองกฤษ มา 2 มต 7. จงบอกหนวยพนฐานในระบบ SI ทนยมใชกนมา 5 ชนด 8. แรง มหนวย N (kg.m/s2) จงหาขนาด ของแรง 9. ปรมาตรจ าเพาะ มหนวย m3/kg จงหาขนาด ของปรมาตรจ าเพาะ 10. อตราการไหล มหนวย m3/s จงหาขนาด ของอตราการไหล

11. จงเปลยนหนวยวดอณหภมจาก 25๐F ใหเปนหนวย ๐C 12. จงเปลยนหนวย 4 lb ใหมหนวยเปน kg 13. จงเปลยนหนวยความเรวจาก หนวย 60 km/hr ใหมหนวยเปน ft/min 14. จงหาแรงของการผลกกอนหนทมมวล 25 slug โดยสมมตไมมแรงเสยดทานเกดขนทผวสมผส ก าหนดใหความเรงทเกดจากแรงโนมถวงของโลก เทากบ 32.2 ft/s2

15. ก าลงของมอเตอรไฟฟาขนาด 2 hp คดเปนก kW

กลศาสตรของไหล บทท 2 คณสมบตของของไหล 39

บทท 2 คณสมบตของของไหล (Property of fluids)

ในบทนจะกลาวถงคณสมบตของของไหลทส าคญ ซงมความจ าเปนทจะตองทราบและใชเปนขอมลพนฐานของการศกษาในเนอหาวชากลศาสตรของไหลเรองตอไป คณสมบตของของไหลทจะน ามากลาวไวในบทน ประกอบดวย ความหนาแนน น าหนกจ าเพาะ ความถวงจ าเพาะ ปรมาตรจ าเพาะ ความหนด ความตงผวและความตบ ความอดตวได คณลกษณะของกาซอดมคต ความดนไอ และสรปใจความส าคญของเนอหาทงหมด รายละเอยดของเนอหาในแตละหวขอมดงตอไปน 2.1 ความหนาแนน ความหนาแนน (Density) คอ ปรมาณของมวลของของไหล ตอหนงหนวยปรมาตรของของไหล สญลกษณของความหนาแนนเขยนแทนดวย (อานวา rho) ความหนาแนนมหนวยเปน kg/m3

สามารถค านวณไดตามสมการท (2.1) ดงน (2.1)

โดยท คอ ความหนาแนนของของไหล (kg/m3) m คอ มวลของของไหล (kg) V คอ ปรมาตรของของไหล (m3) ส าหรบของไหลมาตรฐานจะใชของเหลว คอ น า (Water) เปนของไหลมาตรฐาน ซงมความหนาแนน เทากบ 1,000 kg/m3 หรอ 1.94 slug/ft3 (ระบบองกฤษ) ท าการวดทอณหภม 4oC ความหนาแนนของน าทอณหภมตางๆ จะแสดงไวในตารางท ก.1 ของภาคผนวก ก ความหนาแนนของของไหลจะเปนตวบงบอกถงน าหนกของของไหลชนดนนๆ ซงของไหลแตละชนดจะมคาความหนาแนนไมเทากน เชน ความหนาแนนของเบนซน (Benzene) จะมคาเทากบ 876 kg/m3 (ตารางท ก.4) ซงจะมคาเบาน า (1,000 kg/m3) ดงนนเมอผสมกนจะพบวา เบนซนจะอยดานบนน าอยดานลาง ส าหรบของไหลทมความหนาแนนมาก เชน น ามนชวภาพ (Bio-oil) ทไดจากกระบวนการไพโรไลซสแบบเรวของชวมวล (Suttibak, 2015) จะความหนาแนนประมาณ 1,200 kg/m3 ซงหนกกวาน า ดงนนเมอน ามาผสมกนจะพบวา น ามนชวภาพจะอยดานลางสวนน าจะอยดานบน รปท 2.1 แสดงวธการหาคาความหนาแนนของน ามนชวภาพ โดยการน าน ามนชวภาพใสในหลอดตวงจากนนน าไปชงน าหนกในเครองชงดจตอล และน าคาทไดมาท าการค านวณในสมการท (2.1)

42 บทท 2 คณสมบตของของไหล กลศาสตรของไหล

รปท 2.1 การชงน าหนกน ามนชวภาพเพอค านวณหาความหนาแนน (ทมา : สนทร สทธบาก, 2558)

2.2 น าหนกจาเพาะ

น าหนกจ าเพาะ (Specific weight) คอ น าหนกของของไหลตอหนงหนวยปรมาตร สญลกษณของน าหนกจ าเพาะเขยนแทนดวย (อานวา gamma) น าหนกจ าเพาะมหนวยเปน N/m3 สามารถค านวณไดตามสมการท (2.2) ดงน

(2.2)

โดยท คอ น าหนกจ าเพาะของของไหล (N/m3) W คอ น าหนกของของไหล (N) V คอ ปรมาตรของของไหล (m3) น าหนกจ าเพาะของน าจะมคา เทากบ 9,810 N/m3 ท าการวดทอณหภม 4oC และทความดนบรรยากาศ (1 atm = 101,325 Pa) 2.3 ความถวงจาเพาะ ความถวงจ าเพาะ (Specific gravity) คอ อตราสวนของความหนาแนนของของไหลนน ตอ ความหนาแนนของของไหลมาตรฐาน หรออตราสวนของน าหนกจ าเพาะของของไหลนน ตอ น าหนกจ าเพาะของของไหลมาตรฐาน ของไหลมาตรฐานจะใชน า โดยท าการวดทอณหภม 4๐C สญลกษณของความถวงจ าเพาะเขยนแทนดวย S ความถวงจ าเพาะจะไมมหนวย สามารถค านวณไดตามสมการท (2.3) ดงน


(2.3)

โดยท S คอ ความถวงจ าเพาะของของไหล

คอ ความหนาแนนของของไหลนน (kg/m3) w คอ ความหนาแนนของน า (kg/m3) คอ น าหนกจ าเพาะของของไหลนน (N/m3)

W คอ น าหนกจ าเพาะของน า (N/m3) เนองจากคาของน าหนกจ าเพาะจะเปลยนแปลงตามอณหภม ดงนน เพอการค านวณทละเอยด

จงตองใชคาความถวงจ าเพาะทระบดวยวาเปนคาทอณหภมเทาไร ส าหรบคาความหนาแนนของน าและอากาศทอณหภมตางๆ จะแสดงไวในตารางท 2.1 ตารางท 2.1 คาความหนาแนนของน า และอากาศ (ทความดน 1 atm)

อณหภม (oC) 0 10 15 20 40 60 80 100

ความหนาแนน (kg/m3)

น า (water)

999.8 999.7 999.1 998.2 992.2 983.2 971.8 958.4

อากาศ (air)

1.293 1.247 1.226 1.205 1.128 1.060 1.000 0.946

ทมา : Gordon et al., (1994). 2.4 ปรมาตรจาเพาะ

ปรมาตรจ าเพาะ (Specific volume) คอ จ านวนปรมาตรของของไหลตอหนงหนวยมวลของของไหล หรอเปนสวนกลบของความหนาแนน () สญลกษณของปรมาตรจ าเพาะเขยนแทนดวย v ปรมาตรจ าเพาะมหนวยเปน m3/kg สามารถค านวณไดตามสมการท (2.4) ดงน

(2.4)

โดยท v คอ ปรมาตรจ าเพาะของของไหล (m3/kg) V คอ ปรมาตรของของไหล (m3) m คอ มวลของของไหล (kg) คอ ความหนาแนนของของไหล (kg/m3)


ตวอยางท 2.1 น ามนชนดหนงมมวล 85 kg มปรมาตร 0.1 m3 จงหาความหนาแนนของของไหลน วธทา

จากสมการ

โจทยก าหนดให m = มวลของของไหล 85 kg V = ปรมาตรของของไหล 0.1 m3

แทนคา = ดงนน = 850 kg/m3 ตอบ

ตวอยางท 2.2 ของไหลชนดหนงมความหนาแนน 880 kg/m3 จงหาความถวงจ าเพาะของของไหลน วธทา


โจทยก าหนดให = ความหนาแนนของของไหล = 880 kg/m3

และ W = ความหนาแนนของน า = 1,000 kg/m3

แทนคา ดงนน S = 0.880 ตอบ

ตวยางท 2.3 น ามนชนดหนงมปรมาตรเทากบ 1.1 m3 และมมวล 900 kg จงหา

1) ความหนาแนน 2) น าหนกจ าเพาะ 3) ความถวงจ าเพาะ 4) ปรมาตรจ าเพาะ

วธทา 1) ความหนาแนน จากสมการ

แทนคา =

ดงนน = 818.18 kg/m3 ตอบ

2) น าหนกจ าเพาะ



แทนคา = 818.18 kg/m3 x 9.81 m/s2 = 8,026.35 kg/m2s2

ดงนน = 8,026.35 N/m3 ตอบ 3) ความถวงจ าเพาะ


แทนคา

ดงนน S = 0.818 ตอบ

หรอหาจากสมการ

แทนคา

ดงนน S = 0.818 ตอบ

4) ปรมาตรจ าเพาะ


แทนคา ดงนน v = 0.0012 m3/kg ตอบ ตวยางท 2.4 น ามนชวภาพทไดจากกระบวนการไพโรไลซสแบบเรวของชานออยมความถวงจ าเพาะ 1.212 ถาน ามนชวภาพนมมวล 0.25 kg จงหา ปรมาตรของน ามนชวภาพน วธทา

จากสมการ และ

ดงนน

แทนคาได ดงนนได V = 2.063 x 10-4 m3 ตอบ


2.5 ความหนด ความหนด (Viscosity) เปนแรงตานทานตอแรงเฉอนระหวางชนของของไหล ซงขนาดจะขนอยกบแรงยดเหนยวระหวางโมเลกลของของไหลนนๆ รายละเอยดของความหนดของของไหลจะกลาวไวในบทท 3 แรงทกระท าจากภายนอกสามารถหาไดจากสมการท (2.5) ดงน

(2.5)

โดยท F คอ แรงทกระท าจากภายนอก (N) คอ สมประสทธความหนด (N/m2.s หรอ Pa.s)

A คอ พนทผว (m2) คอ ความเรวของการเคลอนท (m/s) y คอ ระยะหางระหวางชนงานทสมผสกน (m)

ตวอยางท 2.5 แผนราบสองแผนวางซอนกนหางกน 0.01 m ระหวางแผนราบบรรจของไหล แผนราบแผนบนถกดงดวยแรง 30 N ท าใหเกดความเรวเทากบ 40 m/s มพนทแผนราบสองแผนวางซอนกน 10 m2 จงหาสมประสทธความหนดของของไหลระหวางแผนราบนนวางซอนกน

วธทา จากสมการ

โจทยก าหนดให F = แรงกระท าภายนอก = 30 N A = พนทผว = 10 m2 v = ความเรวของการเคลอนท = 40 m/s y = ระยะหางระหวางแผนราบสองแผน = 0.01 m จะไดวา

ดงนน ตอบ

2.6 ความตงผวและความตบ ความตงผว และความตบหรอคาปลลาร (Surface tension and Capillarity) ภายของเหลว โมเลกลของกอนของเหลวหนงๆจะถกดงดดอยางสม าเสมอเทากนทกทศทางดวยโมเลกลอนทอยโดยรอบดงแสดงดวยต าแหนง A ในของเหลวดงรปท 2.2 ผลคอท าใหแรงลพธมคาเปนศนย (0)


ส าหรบต าแหนง B จะอยใกลๆกบผวของเหลว ซงอยระหวางอากาศกบของเหลวจงมทงแรงยดเหนยวระหวางโมเลกลของของเหลวดวยกนกบแรงยดเกาะระหวางโมเลกลนกบโมเลกลของอากาศ ในกรณนแรงยดเหนยวจะมคามากกวาแรงยดเกาะเนองจากโมเลกลของของเหลวทอยใกลกนมจ านวนมากกวาโมเลกลของอากาศ โมเลกลทต าแหนง B จงมแรงดงลงมากกวาแรงดงขน ของเหลวบรเวณผวของเหลวจะถกดงเขาไปในของเหลว ท าใหผวของของเหลวมลกษณะเหมอนฟลมซงถกแรงดงใหตงอยเสมอลกษณะทเกดแรงดงทผวของเหลวนเรยกวา ความตงผว (Surface tension) ปรากฏการณทเปนผลมาจากความตงผว เชน เขมหรอใบมดโกนซงมความหนาแนนมากกวาน าหลายเทาลอยนงอยบนผวน า แมลงบางชนดสามารถเดนบนผวน าได เปนตน ความตงผว เปนอตราสวนระหวางแรงทกระท าไปตามผวของของเหลวตอความยาว (ตงฉากกบแรง) ของผวทถกแรงนกระท า สญลกษณของความตงผวเขยนแทนดวย (อานวา sigma) หนวยของความตงผวเปน N/m ปกตคาความตงผวจะลดลงเมออณหภมสงขน นอกจากนยงขนอยกบชนดของของไหลทมาสมผส ส าหรบคาความตงผวทอณหภมตางๆ ของน า จะแสดงไวดงภาคผนวก ก (ตารางท ก.1) ความตงผวสามารถหาไดจากสมการท (2.6)

(2.6)

โดยท คอ ความตงผว (N/m) F คอ แรงทเกดจากความตงผว (N)

L คอ ความยาวผวทของเหลวสมผสกบของเหลวดวนกน (m)

รปท 2.2 การดงดดกนระหวางโมเลกลของของเหลวในบรเวณทหางและใกลๆ ผวของเหลว (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

ผวของเหลว

อากาศ

ของเหลว


รปท 2.3 แรงตงผวในผวฟลมหยดของเหลว (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

รปท 2.3 แสดงหยดของเหลวซงจะมลกษณะเปนทรงกลม เกดจากแรงตงผวของของเหลว

กระท าตานแรงดนภายในหยดของเหลวเอง ดงนนจะไดวา แรงท เกดจากความดนภายใน (( ) ) จะเทากบแรงทเกดจากความตงผว ( ) จากสมดลดงกลาวสามารถเขยนแทนไดสมการท (2.7) ดงน แรงทเกดจากความดนภายใน (F = PA) = แรงทเกดจากความตงผง (F = L)

( )

เมอ P คอ ผลตางระหวางความดนภายใน (Pi) กบความดนภายนอก (Po) (N/m2) r คอ รศมของหยดของเหลว (m) ความตบ หรอคาปลลาร (Capillarity) เปนปรากฏการทเกดขนเนองจากผลของความตงผวและความแตกตางระหวางแรงยดเหนยวระหวางโมเลกลของของเหลวกบแรงยดเการะหวางโมเลกลของของเหลวกบผวของแขงท าใหระดบของเหลวในหลอดรเลก (Capillary tube) สงขนหรอต ากวาระดบของเหลวภายนอกหลอด ดงแสดงในรป 2.4 เชน ในกรณจมหลอดรเลกลงในน า ความดนของน าทปลายหลอดจะมากกวาความดนบรรยากาศท าใหน าเขาไปในหลอดได และจะเกดแรงยดเกาะระหวางโมเลกลของน ากบหลอดรเลกซงมคามากกวาแรงยดเหนยวระหวางโมเลกลของน า ท าใหน าขนไปในหลอดรเลกและมระดบสงกวาภายนอกหลอด ส าหรบกรณจมหลอดรเลกลงในปรอท และยดเหนยวระหวางโมเลกลของปรอททมคามากกวาแรงยดเกาะระหวางโมเลกลของปรอทกบผวหลอด ท าใหไมเกดการเกาะยดของปรอททผวหลอด ระดบปรอทในหลอดจงอยต ากวาระดบปรอทภายนอกหลอด

(2.7)

Pi

r

Po

+ +

Pr2


รปท 2.4 ความตบในหลอดแกวหนาตดทรงกลม (ทมา : ดดแปลงจาก Gordon et al., 1994)

พจารณาหลอดรเลกดงรปท 2.5 ซงมรศม (r) เมอจมลงในของเหลวความหนาแนน () ปรากฏวาระดบของของเหลวในหลอดรเลกสงกวาระดบของหลอดภายนอกเปนระยะความสง (h) และมมสมผสระหวางขอบผวของของเหลวกบหลอดเทากบ จากระบบสมดล ดงนน ผลรวมของแรงในแนวดง เทากบศนย (0) สามารถหาความสง (h) ไดจากสมการท (2.8) ดงน แรงทเกดจากความตงผง (F = L) = แรงทเกดจากความดนภายใน (F = PA) ( )

ดงนน

(2.8)

รปท 2.5 การวเคราะหสมดลกบของเหลวในหลอดรเลก (ทมา : ดดแปลงจาก Gordon et al., 1994)

Hg

H2O

h

h

h

D

P

hr2


ตวอยางท 2.6 จงหาเสนผานศนยกลางของหยดน า ท 20oC ถาความดนภายในเทากบ 180 N/m2 วธทา

จากตารางท ก.1 น าทอณหภม 20oC จะมแรงตงผว = 0.0728 N/m และจากสมการ

นนคอ

แทนคา

= 0.00081 m

ดงนน เสนผานศนยกลาง (D) = 0.00081 x 2 = 0.00162 m หรอ 1.62 mm ตอบ

ตวอยางท 2.7 จงหาความสงของน าในหลอดแกวปลายเปดทมขนาดเสนผานศนยกลาง 2 mm โดยมแรงตงผว 0.0728 N/m และก าหนดให ความหนาแนนของน า เทากบ 1,000 kg/m3 วธทา


โจทยก าหนดให = แรงตงผว = 0.0728 N/m

= มมทของเหลวสมผสกบหลอดแกว = 0° D = เสนผาศนยกลางของหลอดแกว = 2 mm = 0.002 m

= น าหนกจ าเพาะของน า = . G = 1,000 × 9.81 = 9,810 N/m3

แทนคา

ดงนน h = 0.0148 m = 14.8 mm ตอบ

2.7 ความอดตวได ของไหลทกชนดสามารถอดตวได เมอกาซไดรบความดนจากแรงกระท าภายนอกจะสามารถกดอดไดมากกวาของเหลว สวนของเหลวปรมาตรจะลดลง ถาความดนเพมขนแตการเปลยนแปลงปรมาตรของเหลวทเกดจากความดนเปลยนแปลงนนนอยมาก ดงนนในทางปฏบตจงถอเปนของไหลชนดอดตวไมไดเมอใหความดนตอของเหลวในขอบเขตจ ากดของเหลวจงหดตว เมอปลอยความดนออกของเหลวจะขยายตวกลบคน ความสมพนธการเปลยนรปตามการเปลยนแปลงความดน (ขยาย


หรอหดตว ) เปนความยดหยน (Elasticity) ของของไหล และจะเรยกวา ความอดตว ได (Compressibility)

รปท 2.6 ของไหลทถกอดในภาชนะ

(ทมา : ดดแปลงจาก Gordon et al., 1994)

เมอความดนของไหลเพมขน ปรมาตรลดลง และความหนาแนนเพมขน ของไหลสวนมากจะมความสมพนธตอกนระหวางความดนกบปรมาตรเปนเสนตรง และสดสวนโดยตรงของคณสมบตทงสองจะมคาคงท เรยกวา ความยดหยนเชงปรมาตร (Bulk modulus of elasticity, K) ซงเปนความตานทานตอการเปลยนแปลงปรมาตร เมอความดนเปลยนแปลง คาความยดหยนเชงปรมาตรหาไดจากอตราสวนของความเคนอดกบความเครยดเชงปรมาตร (Volumetric strain) มหนวยเปน ปาสคาล (Pa) พจารณารปท 2.6 ของไหลทมปรมาตร (V) บรรจในภาชนะ ทความดน (P) เมอท าการกดแทงลงดวยน าหนก (W) ท าใหปรมาตรของไหลลดลง (V) แตความดนเพมขน (P)

ดงนน ความยดหยนเชงปรมาตรของของไหล (K) หาไดจากสมการท (2.9)

(2.9)

สวนความอดตวได (Compressibility) ของของไหลจะก าหนดใหอยในรปของสมประสทธความ

อดตวไดของของไหล (Coefficient of compressibility) แทนดวย β (อานวา เบตา) ซงเปนความเครยดเชงปรมาตรตอหนวยความเคนอด คอเปนสวนกลบของความยดหยนเชงปรมาตรนนเอง หาไดจากสมการท (2.10)

β (2.10)

V

V

P + P

W


ส าหรบน าทอณหภมและความดนบรรยากาศ จะมคา K และ เทากบ 2.06 x109 Pa และ 4.85 x10-10 1/Pa ตามล าดบ สวนอากาศจะมคา K เทากบ 1.4 x105 Pa 2.8 คณลกษณะของกาซอดมคต

กาซอดมคต (Ideal gas) หรอกาซสมบรณ เปนกาซทไมมอยจรง นกวทยาศาสตรก าหนดขนเพออธบายคณสมบตตางๆ ทเกยวกบกาซ โดยใหมพฤตกรรมเปนไปตามกฎของกาซไมวาทอณหภมหรอความดนใด เปนกาซทไมมแรงยดเหนยวระหวางโมเลกล

จากการทดลองของบอยลและชารล (Boyle’s and Charles’ Law) ไดจดเงอนไขของสภาวะตวหนงในสามตว คอ ความดน ปรมาตร และอณหภม มคาคงท ในขณะเดยวกนกไดแสดงความสมพนธระหวางอกสองตวจะพจารณาในลกษณะทกาซเปลยนสภาวะโดยไมมตวใด คอ ความดน ปรมาตร และอณหภม มคาคงทโดยกาซมความดน P1 ปรมาตร V1 และอณหภม T1 แลวปลอยใหกาซเปลยนสภาวะสดทายเปน P2 V2 และ T2 จากกฎของบอยลและกฎของชารล จะบอกความสมพนธของการเปลยนแปลงนไดดงสมการท (2.11)

เมอ 1 และ 2 แทนสภาวะใหมของกาซมวลเดยวกน ส าหรบมวลคงทของกาซใดๆ การเปลยนแปลงสภาวะเปนไปตามสมการ

คาคงท

เมอใชกาซ 1 kg คาคงทนยมเขยนดวยอกษร R ซงมชอเรยกวา คาคงทของกาซ (Gas constant) ส าหรบกาซ 1 kg จะได

ถามกาซ m กโลกรม ใหคณตลอดในสมการ จะได

แต mv คอ ปรมาตรของกาซทงหมดทใช = V เพราะฉะนน กาซ m กโลกรม จะได

(2.11)


ดงนน จะไดวา (2.12) สมการท (2.12) เรยกวา สมการสภาวะของกาซอดมคต โดยท P คอ ความดนของกาซ (Pa)

V คอ ปรมาตร (m3) m คอ มวลของกาซ (kg) R คอ คาคงทของกาซ (Gas constant) (kJ/kg.K) (R ของอากาศมคาเทากบ 287 J/kg.K) T คอ อณหภมของกาซ (K)

สมการขางตนเปนสมการทแสดงสถานะของกาซ แตเมอกาซมการเปลยนสถานะ กระบวนการในการเปลยนสถานะ จะอยในรปของสมการท (2.13) คาคงท (2.13) เมอ n คอ ดชนของกระบวนการ (Process index) ประกอบไปดวย 5 กระบวนการ ไดแก Isobartic, Isothermal, Polytropic, Adiabatic และ Isochoric ในกรณ กระบวนการเปนแบบ Adiabatic คา n = k โดยจะมคาเทากบ อตราสวนระหวางคาความรอนทความดนคงท (cP) ตอคาความรอนทปรมาตรคงท (cV) และเรยกสดสวน หรอคา k นวา Isentropic index ดงแสดงในภาคผนวก ข (ตารางท ข.3) ความรอนจ าเพาะ (Specific heat) เปนคณสมบตของสาร บางครงเรยกวา ความจความรอน (Heat capacity) ซงมคาเทากบ ผลคณของมวลกบความรอนจ าเพาะของสารนนๆ แบงได 2 ชนด ดงน 1) ความรอนจ าเพาะของสารทมปรมาตรคงท (cV) คอ การเปลยนแปลงพลงงานภายในจ าเพาะของสารเทยบกบการเปลยนแปลงอณหภมของสารขณะทมปรมาตรคงท 2) ความรอนจ าเพาะของสารทมความดนคงท (cP) คอ การเปลยนแปลงพลงงานภายในจ าเพาะของสารเทยบกบการเปลยนแปลงอณหภมของสาร ขณะทมความดนคงท

ตวอยางท 2.8 อากาศมปรมาตร 300 m3 ทความดน 200 N/m2 และอณหภม 30๐C จงหามวลของอากาศนน โดยก าหนดให คาคงทของอากาศ เทากบ 287 J/kg.K วธทา จากสมการ โจทยก าหนดให P = ความดนของอากาศ = 200 N/m2

V = ปรมาตรของอากาศ = 300 m3

T = อณหภมของอากาศท าเปนองศาเคลวน (K) จะได K = 273 + 30 = 303 K


R = คาคงทของอากาศ = 287 J/kg.K

ดงนน = 0.689 kg ตอบ

2.9 ความดนไอ ความดนไอ (Vapor pressure) คอ ความดนทเกดขนจากไอในขณะทเกดสมดลวฏภาค (Phase equilibrium) ระหวางไอ และของเหลว ณ อณหภมใดอณหภมหนง ความดนไอของสารบรสทธจะมคาเทากบ ความดนอมตว (Saturation phenomenon) คาความดนไอมความส าคญตอปรากฎการณการแตกของโพรงในของเหลว (Cavitation phenomenon) ซงการแตกของฟองอากาศ (bubbles) นกอใหเกดคลนความดนสงทสามารถท าใหวสดตางๆ สกกรอนไดโดยหากความดน ณ จดใดๆ ในระบบมคาต ากวาความดนไอกจะมโอกาสท จะเกดปรากฏการณการแตกของโพรง (Cavitation) ได ส าหรบคาความดนไอของตวอยางของเหลวทส าคญจะแสดงไวในตารางท 2.2 ตารางท 2.2 ความดนไอของของเหลวทอณหภม 20๐C

ของเหลว Kgf/m2 N/m2 น า (water) น ามนกาด (kerosene) เบนซน (benzene) น ามนเชอเพลง (petrol) ปรอท (mercury) เอทลแอลกฮอล (ethyl alcohol) เมทลแอลกฮอล (methyl alcohol)

239 337

1,020 3,100 0.0163

- -

2.345x10³ 3.310x10³ 10.000x10³ 30.400x10³

0.160 5,900 12,500

ทมา : Gordon et al., (1994). 2.10 บทสรป

ความหนาแนน (Density) คอ ปรมาณของมวลของของไหล ตอหนงหนวยปรมาตรของของไหล สญลกษณของความหนาแนนเขยนแทนดวย (อานวา rho) หนวยของความหนาแนนเปน kg/m3

น าหนกจ าเพาะ (Specific weight) คอ น าหนกของของไหลตอหนงหนวยปรมาตร สญลกษณของน าหนกจ าเพาะเขยนแทนดวย (อานวา gamma) หนวยของน าหนกจ าเพาะเปน N/m3

ความถวงจ าเพาะ (Specific gravity) คอ อตราสวนของความหนาแนนของของไหลนน ตอ ความหนาแนนของของไหลมาตรฐาน หรออตราสวนของน าหนกจ าเพาะของของไหลนน ตอ น าหนก


จ าเพาะของของไหลมาตรฐาน ของไหลมาตรฐานจะใชน า โดยท าการวดทอณหภม 4๐C สญลกษณของความถวงจ าเพาะเขยนแทนดวย S

ปรมาตรจ าเพาะ (Specific volume) คอ จ านวนปรมาตรของของไหลตอหนงหนวยมวลของของไหล หรอเปนสวนกลบของความหนาแนน () สญลกษณของปรมาตรจ าเพาะเขยนแทนดวย v หนวยของปรมาตรจ าเพาะเปน m3/kg

ความหนด (Viscosity) เปนแรงตานทานตอแรงเฉอนระหวางชนของของไหล ซงขนาดจะขนอยกบแรงยดเหนยวระหวาโมเลกลของของไหลนนๆ

ความตงผว (Surface tension) เปนอตราสวนระหวางแรงทกระท าไปตามผวของของเหลวตอความยาว (ตงฉากกบแรง) ของผวทถกแรงนกระท า สญลกษณของความตงผวเขยนแทนดวย (อานวา sigma) หนวยของความตงผวเปน N/m

ความตบ หรอคาปลลาร (Capillarity) เปนปรากฏการทเกดขนเนองจากผลของความตงผวและความแตกตางระหวางแรงยดเหนยวระหวางโมเลกลของของเหลวกบแรงยดเการะหวางโมเลกลของของเหลวกบผวของแขงท าใหระดบของเหลวในหลอดรเลก (Capillary tube) สงขนหรอต ากวาระดบของเหลวภายนอกหลอด

ความอดตวได (Compressibility) ของของไหลจะก าหนดใหอยในรปของสมประสทธความอดตวไดของของไหล (Coefficient of compressibility) แทนดวย β ซงเปนความเครยดเชงปรมาตรตอหนวยความเคนอดคอ เปนสวนกลบของความยดหยนเชงปรมาตร

กาซอดมคต (Ideal gas) หรอกาซสมบรณ เปนกาซทไมมอยจรง นกวทยาศาสตรก าหนดขนเพออธบายสมบตตางๆ ทเกยวกบกาซ โดยใหมพฤตกรรมเปนไปตามกฎของกาซไมวาทอณหภมหรอความดนใด เปนกาซทไมมแรงยดเหนยวระหวางโมเลกล

ความดนไอ (Vapor pressure) คอ ความดนทเกดขนจากไอในขณะทเกดสมดลวฏภาค (Phase equilibrium) ระหวางไอ และของเหลว ณ อณหภมใดอณหภมหนง



1. จงบอกความหมายของคณสมบตของของไหลตอไปน 1.1 ความหนาแนนของของไหล

1.2 น าหนกจ าเพาะของของไหล 1.3 ปรมาตรจ าเพาะของของไหล 1.4 ความถวงจ าเพาะของของไหล 1.5 ความหนดของของไหล 1.6 ความตงผว 1.7 ความตบ 1.8 ความอดตวไดของของไหล 1.9 ความดนไอ 1.10 กาซอดมคต

2. น ามนชนดหนงมปรมาตร 3 m3 มมวล 2,600 kg จงค านวณหาความหนาแนนของน ามนชนดน 3. ของไหลมน าหนก 40 kN มปรมาตร 5.5 m3 จงค านวณหาน าหนกจ าเพาะของของไหลนน 4. ของไหลชนดหนงมมวล 850 kg และปรมาตร 0.96 m3 จงหา ความหนาแนน น าหนกจ าเพาะ ปรมาตรจ าเพาะ และความถวงจ าเพาะของของไหลน 5. เอทลแอลกอฮอล (Ethyl alcohol) มความถวงจ าเพาะ 0.79 จะมน าหนกจ าเพาะและความหนาแนนเทาใด 6. แผนเหลกขนาด 1.2 m x 1.8 m x 2 mm อยระหวางชองวางของแผนอะลมเนยมกวาง 25 mm ซงบรรจดวยของไหลทมสมประสทธความหนด 0.0035 Pa.s ถาตองการดงแผนเหลกใหเคลอนทดวยความเรวคงท 0.075 m/s จะตองใชแรงดงแผนเหลกเทาไร 7. จงหาเสนผานศนยกลางของหยดน า ท 25oC ถาความดนภายในเทากบ 270 N/m2 8. หาความสงของน าในหลอดแกวปลายเปดทมขนาดเสนผานศนยกลาง 1.5 mm โดยอณหภมของน าเทากบ 30๐C 9. จงหาความดนของอากาศ ทอณหภม 25๐C ปรมาตร 200 m3

โดยก าหนดใหคาคงทของอากาศมคาเทากบ 0.287 kJ/kg.K และอากาศมมวล 0.95 kg 10. กาซชนดหนงมปรมาตร 300 m3 ความดน 100 N/m2 ทอณหภม 20๐C มมวล 0.48 kg จงหาคาคงทของกาซ

กลศาสตรของไหล บทท 3 ความหนด 57

บทท 3 ความหนดของของไหล (Viscosity of fluid)

ในบทนจะกลาวถงความหนดของของไหล ประกอบดวย ความหมายของความหนด ความสมพนธระหวางความหนด แรงเฉอน และความเรว ความสมพนธระหวางความหนดกบอณหภม ความหนดสมบรณ ความหนดจลน การหาความหนดจลลแบบเซยโบลท การหาความหนดโดยใชหลอดคาปลลาร และสรปสาระส าคญของบทเรยนน รายละเอยดของแตละหวขอมดงตอไปน 3.1 ความหมายของความหนด ความหนด (Viscosity) เปนคณสมบตชนดหนงของของไหล เปนผลจากแรงดงดดซงกนและกนระหวางโมเลกลของของไหล ดงนน ของไหลจงมความสามารถตานทานตอการเปลยนรปจากการเฉอนและแรงเสยดทานในการไหลของไหลเปนผลจากแรงดงดดกบการสบเปลยนโมเมนตมระหวางโมเลกลในของไหล

ความหนดของของไหล หมายถง คณสมบตในการตานทานตอการเฉอน (Shear) ของของไหลหรอตานทานตอการเปลยนรปเชงมม (Angular deformation) หากของไหลมความหนดมากจะไหลไดชากวาของไหลทมความหนดนอย ตวแปรทมอทธพลตอความหนด คอ อณหภม (Temperature) ของเหลวทมอณหภมสงความหนดลดลง สวนกาซความหนดสงขนหากอณหภมเพมเปนเชนนเพราะวาแรงดงดดระหวางโมเลกลลดลง เนองจากอณหภมซงมอทธพลอยางมากตอของเหลว สวนกาซอณหภมเปนองคประกอบทมอทธพลตอการสบเปลยนโมเลกลระหวางชน (Layers) เปนความแตกตางของความเรวจากการเคลอนทอยางรวดเรวของโมเลกลๆ ทอยในชนของไหลทเรวกวาจะยายไปอยในชนของไหลทชากวานนเคลอนทเรวขน สวนโมเลกลจากชนทชากวาจะยายไปอยในชนทเรวกวาและหนวงใหชนทเรวนนเคลอนทเรวนนเคลอนทชาลง การเคลอนทเชนนท าใหเกดแรงเฉอนขนหรอเกดแรงเสยดทานระหวางชนทตดกนอย ดงนน การเคลอนทของโมเลกลกาซทเพมขนเมออณหภมสงจงเปนเหตใหกาซมความหนดสงขน ส าหรบของไหลจนตภาพจะไมมความหนด ไมมของไหลใดๆ สามารถจดอยในประเภทของไหลจนตภาพไดอยางสมบรณ บางครงของไหลทมความหนดนอยมากจะพจารณาใหเปนของไหลจนตภาพ 3.2 ความสมพนธระหวางความหนด แรงเฉอน และความเรว

จากรปท 3.1 แผนราบสองแผนวางซอนหางกนเทากบ y ระหวางแผนราบบรรจของไหลมความหนด แผนราบแผนบนถกดงดวยแรง F ท าใหเกดความเรวเทากบ v ดงนน ของไหลทตดกบแผนราบแผนบนมความเรว v และจะลดลงจนถงแผนราบแผนลาง ความเรวจะเปนศนย (0)

58 บทท 3 ความหนดของของไหล กลศาสตรของไหล

รปท 3.1 ของไหลถกแรงเฉอนมากระท าทผว (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

จะไดความสมพนธระหวางความหนดและแรงตานการเฉอนดงน

(3.1)

และ (3.2)

ดงนน

เพราะฉะนน (3.3)

โดยท คอ ความเคนเฉอนของของไหล (N/m2)

F คอ แรงดงทกระท ากบแผนราบแผนบน (N) คอ ความหนดสมบรณ (N.s/m2 = Pa.s) A คอ พนทสวนสมผสกบของเหลวของแผนราบแผนบน (m2) v คอ ความเรวของการเคลอนทของแผนบน (m/s) y คอ ระยะหางระหวางผวของแผนงานทงสอง (m) 3.3 ความสมพนธระหวางความหนดกบอณหภม

ความหนดจะเปนฟงกชนกบอณหภมและความดน หรอ = f (P,T) แตการเปลยนแปลงความหนดของของเหลวเพราะความดนนอยมากจงตดออกจากการพจารณาได และยงคงเหลอเฉพาะการเปลยนแปลงกบอณหภมเทานน ความหนดของของเหลวจะลดเมออณหภมสงขน แตกาซจะมความหนดเพมขนขณะอณหภมสงขนทเปนเชนน เนองจากความแตกตางระหวางโครงสรางโมเลกล โดยแตละโมเลกลของของเหลวจะมระยะหางกนนอย จงใหมแรงยดตดมากและมความตานทานตอ


F

กลศาสตรของไหล บทท 3 ความหนดของของไหล 59

การเคลอนทสมพนธ (Relative motion) ระหวางชนของไหลทอยตดกนของของเหลวซงถอเปนความสมพนธระหวางแรงของโมเลกลขณะทอณหภมเพมขน แรงยดตดจะลดลงและความตานทานตอการเคลอนทกลดลงเชนเดยวกน เมอความหนดเปนคาทบอกถงความตานทานตอการถกเฉอนไปของไหล ดงนนจงสรปไดวา ความหนดของเหลวจะลดลงเมออณหภมเพมขน สวนกาซจะมระยะหางโมเลกลมากกวาของเหลวและไมคดแรงดงดดระหวาโมเลกล กรณนความตานทานตอการเคลอนทสมพนธจะเพมขนเนองจากการถายโอนโมเมนตมของโมเลกลของกาซในทางขวางกบชนของไหล (ตงฉากกบชนของไหล) ทมความเรวต ากวา (Low bulk velocity) ผสมกบโมเลกลไปยงชนทมความเรวสงกวา ผลจากการเปลยนแปลงโมเลกลในอาณาเขตรอบๆ เพมขนเชนกน ท าใหความหนดของกาซเพม ความหนดของกาซและของเหลวจะเปลยนแปลงตามอณหภมทเพมขนหรอลดลง แยกเปนกรณ ดงน 3.3.1 ของเหลว (3.4)

โดยท α และ β คอ คาคงทของเหลว คอ ความหนดสมบรณของของเหลวท t๐C (หนวย Poise) คอ ความหนดของของเหลวท 0๐C (หนวย Poise) ส าหรบน า = 1.79 x 10-2 Poise = 0.03368 และ = 0.00022019 ในสมการท (3.4) แสดงใหเหนวา เมออณหภมเพมขนความหนดลดลง เสนโคงทพลอตไดจะเปนไฮเปอรโบลาความหนดมแนวโนนเปนศนย (0) เมออณหภมเขาสอนฟนต () น าจะมพฤตกรรมแตกตางจากของไหลชนดอน คอความหนดจะเพมเปนอกสองเทาหากความดนเพมขนจาก 1 ถง 1,000 บรรยากาศ ตามสมการ Poiseuilli หนวย (poises), t๐C

(3.5) 3.3.2 กาซ

+ - 2 (3.6)

ส าหรบกาซ ตามสมการ Holman หนวย (poises), t๐C 1.7090x10-4 (1+56.02x10-9t-0.1189 x 10-9t2) (3.7)


กรณเปนอากาศทความดนบรรยากาศ =1.7090 x 10-4 หนวย (poises) = 56.02 x 10-9 = 0.1189 x 10-9 เมอน าไปแทนสมการท (3.6) ความหนดจะเพมขนเมออณหภมเพมขน หนวยเปน poises หมายเหต : อทธพลของความดนตอความหนดทสภาวะปกตจะไมมผลแตอยางใด แตความหนดของน ามนบางชนด จะพบวามความหนดเพมขนความดนเพมขน รปท 3.2 เปนกราฟแสดงถงผลของอณหภมทมตอความหนดจลนของน ามนหลอลนเกรดตางๆ จะเหนวาเมออณหภมทสงขนจะท าใหความหนดจลนของน ามนหลอลนทกเกรดลดลงอยางชดเจนในทศทางเดยวกน

รปท 3.2 ความสมพนธระหวางความหนดจลนกบอณหภมของน ามนหลอลนเกรดตางๆ

(ทมา : ดดแปลงจาก Sargar, 2010)

3.4 ความหนดสมบรณ ความหนดสมบรณ (Absolute viscosity) หรอความหนดพลวต (Dynamic viscosity) หรอ สมประสทธความหนด (Coefficient of viscosity) คอ คณสมบตของของไหลทใชตานทานตอความเคนเฉอน และเปนแรงตานทานตอแรงเฉอน ความหนดสมบรณเปนผลมาจากเมอของไหลมการเคลอนท ท าใหมแรงยดเหนยวระหวางโมเลกลและมการแลกเปลยนโมเมนตมระหวางโมเลกลของของไหล จากกฎความหนดของนวตน พบวา ความเคนเฉอนเปนสดสวนโดยตรงกบอตราการเปลยนแปลงความเครยดเฉอน ความเคนเฉอนในของไหลหนงจะมคามากหรอนอยขนอยกบความหนดของของไหลนนดวย สญลกษณของความหนดสมบรณเขยนแทนดวย (อานวา mu) จากความสมพนธเชงเสนระหวางความเคนเฉอน ( ) กบอตราการเปลยนแปลงความเครยดเฉอน (dv/dy) จากรปท 3.3 ความชนของกราฟแตละเสนกคอความหนดของของไหลนวทอเนยน (Newtonian fluids) นนเอง ดงนนจงเขยนในรปสมการท (3.8)

SAE 50

SAE 40

SAE 30

SAE 20

SAE 10W

SAE 5W

-30 0 50 100 150

อณหภม (๐C)

ความ

หนดจ

ลน (c

St)

2

5

10

20

50

100

500 1,000

10,000


(3.8)

โดยท คอ ความหนดของของไหล (N.s/m2) คอ ความเคนเฉอน (N/m2)

คอ อตราการเปลยนแปลงความเครยดเฉอน (s)

รปท 3.3 ความสมพนธระหวางความเคนเฉอนและอตราการเปลยนแปลงความเรว

(ทมา : ดดแปลงจาก Donald et al., 2012)

ระบบหนวยของความหนดสมบรณไดจากการแทนมตลงในสมการท (3.8) มหนวยเปน N.s/m2, Pa.s, Poise (P) และ Centipoise (cP) โดยท 1 Poise (P) = 0.1 N.s/m2 = 0.1 Pa.s 1 Centipoise (cP) = 0.01 Poise = 0.001 Pa.s

3.5 ความหนดจลน ความหนดจลน (Kinematic viscosity) หมายถง ความหนดสมบรณของของไหลตอความ

หนาแนนของของไหลนน สญลกษณของความหนดจลนเขยนแทนดวย (อานวา nu) ความหนดจลน สามารถหาไดจากสมการท (3.9)

(3.9)

โดยท = ความหนดจลนของของไหล (m2/s)

= ความหนดสมบรณของของไหล (Pa.s) = ความหนาแนนของของไหล (kg/m3)


ความเรว, v

dv/dy


ในระบบเมตรก หนวยของความหนดจลน คอ สโตค (Stoke, St) โดยท 1 Stoke (St) = 1 cm2/s = 1 x 10-4 m2/s และ 1 Centistoke (cSt) = 0.01 Stoke = 1 x 10-6 m2/s

คาความหนดของของไหลทง 2 ชนด (น าและอากาศ) จะเปลยนแปลงไปตามอณหภมทเปลยนไปดงแสดงในตารางท 3.1 ตารางท 3.1 คาความหนดของน าและอากาศ

ทมา : Gordon et al., (1994).

ตวอยางท 3.1 แผนเหลกสองแผนวางซอนกนมความหาง 0.7 mm แผนแรกเคลอนทดวยความเรว 0.6 m/s และมคาความหนดสมบรณ เทากบ 2.6 x 10-3 Pa.s จงหา ความเคนเฉอนทเกดขนระหวางแผนเหลกทงสอง วธท า จากสมการ

โจทยก าหนดให = ความหนดสมบรณ = 2.6 x 10-3 Pa.s v = ความเรวของการเคลอนท = 0.6 m/s y = ระยะหางระหวางผวของแผนเหลก = 0.7 mm = 0.7 x 10-3 m

แทนคา

ดงนน = 2.23 N/m2 ตอบ

อณหภม (oC) น า อากาศ

x 105 x 105 x 105 x 105

0 179.2 1.792 1.724 13.33

10 130.7 1.307 1.773 14.21

20 100.2 1.004 1.822 15.12

30 79.7 0.801 1.869 16.04

40 65.3 0.658 1.915 16.98


ตวอยางท 3.2 แผนราบมพนท 3 m2 วางอยบนแผนราบแผนหนง มระยะหางระหวางแผนราบทงสอง 3 mm ระหวางแผนราบบรรจของไหลมคาความหนด 5 Poise แผนราบเคลอนทดวยความเรว 20 m/s จงหาแรงดงทกระท ากบแผนราบทงสอง วธท า


โจทยก าหนดให = ความหนดสมบรณ = 5 Poise เพราะวา 1 Poise = 0.1 Pa.s ถา 5 Poise = 0.1 x 5 = 0.5 Pa.s

v = ความเรวของการเคลอนท = 20 m/s A = พนทสวนสมผสกบของเหลว = 3 m2 y = ระยะหางระหวางแผนราบทงสอง = 3 mm = 3 x 10-3 m

แทนคา

ดงนน F = 10,000 N = 10 kN ตอบ ตวอยางท 3.3 ของไหลชนดหนงมความหนดสมบรณ 0.04 Pa.s และมความถวงจ าเพาะเทากบ 0.871 จงค านวณหาความหนดจลนของของไหลน วธท า

จากสมการ =

และจาก

= 0.871 x 1,000 = 871 kg/m3

แทนคาในสมการได =

ดงนน = 4.59 x 10-5 m2/s ตอบ


3.6 การหาความหนดจลนแบบเซยโบลท (Saybolt viscosity) การหาความหนดจลนแบบเซยโบลท (Saybolt Universal Viscosimeter) เปนเครองมอหา

ความหนดของของไหล โดยวธการใหของไหลทบรรจในภาชนะทรงกระบอกไหลลงสขวดมาตรฐานปรมาตร 60 cm3 และจบเวลาการไหลของของไหล เวลาทไดดงกลาว เรยกวา วนาทสากลของเซยโบลท (Saybolt Universal Second, SUS) ซงสามารถจะน าไปหาคาความหนดจลนได หลกการท างานการเครองมอวดความหนดจะแสดงไวในรปท 3.4 ส าหรบเครองมอทดสอบความหนดแบบเซยโบลท จะแสดงไวในรปท 3.5

รปท 3.4 หลกการท างานของเครองมอทดสอบความหนดแบบเซยโบลท (ทมา : ดดแปลงจาก Robert, 2005)

จากหลกการท างานของเครองมอทดสอบความหนดแบบเซยโบลท ดงรปท 3.4 จะสามารถหาคา

ความหนดจลนไดดงสมการท (3.10)

= 0.22t - (3.10)

โดยท = ความหนดจลน ในหนวย Centistoke (cSt) t = เวลาในการไหลของของไหลทดสอบ (Saybolt Universal Second) (s)

น ามน

เทอรโมมเตอร

ถวยตวงความจ 60 cc

หนวยใหความรอน

ตวกน ถงบรรจน า

น า

ภาชนะบรรจ


รปท 3.5 เครองมอทดสอบความหนดแบบเซยโบลท (ทมา : สนทร สทธบาก, 2554)

ตวอยางท 3.4 จากผลการทดสอบการหาความหนดของน ามนชนดหนงโดยใชเครองมอทดสอบความหนดแบบเซยโบลท (Saybolt viscosimeter) และจบเวลาหาคา Saybolt Universal Second ได 150 วนาท จงหาความหนดจลนของน ามนชนดน วธท า

จากสมการ = 0.22t -

แทนคา = (0.22 x 150) -

ดงนน = 31.8 cSt ตอบ


3.7 การหาความหนดโดยใชหลอดคาปลลาร หลอดคาปลลาร (Capillary tube) เปนหลอดแกวส าหรบใชวดความหนดจลนของของเหลว

โดยใชรวมกบเครองมอทดสอบความหนดจลน สวนประกอบของหลอดคาปลลารจะแสดงไวดงรปท 3.6 ตวอยางของเหลวทจะใชทดสอบความหนดจะใสไวในทางทอใหญ จากนนท าการดดของเหลวขนทางทอเลกโดยใชชดดดสญญากาศ และท าการปลอยของเหลวผานจดเรมจบเวลาวดความหนด โดยใชนาฬกาจบเวลาในการไหลของของเหลวจนถงจดสดทายของการจบเวลา เวลาในการไหลจะน าไปค านวณหาคาความหนดจลน มหนวยเปน mm2/s (cSt) โดยการคณคาเวลาทได (s) กบคาคงทของหลอดคาปลลารวดความหนด ซงหลอดคาปลลารแตละแบบจะมคาคงทไมเทากนขนอยกบบรษทผผลต และในแบบเดยวกนจะมหลายขนาดใหเลอกใชตามชวงความหนดของของเหลวแตละชนด

ตารางท 3.2 แสดงใบสอบเทยบในการหาคาความหนดจลนโดยใชหลอดคาปลลารแตละขนาด เชน คาคงทเทากบ 0.1 จะใชส าหรบหลอดเบอร 200 หลอดคาปลลารจะประกอบเขากบเครองมอทดสอบความหนดจลน ดงแสดงในรปท 3.7

รปท 3.6 สวนประกอบของหลอดวดความหนดแบบคาปลลาร CANNON เบอร 25


ทอเลก

จดเรมจบเวลาวดความหนด

ทอใหญ

จดสดทายของการจบเวลาวดความหนด


รปท 3.7 การวดความหนดจลนของน ามนชวภาพโดยใชหลอดคาปลลาร (ทมา : Suttibak, 2015)

ตารางท 3.2 ใบสอบเทยบในการหาคาความหนดจลนโดยใชหลอดคาปลลาร

ขนาดหลอดคาปลลาร (เบอร)

คาคงทของหลอดคาปลลาร (mm2/s2 , cSt/s)

ชวงของความหนดในการวด

(mm2/s , cSt) 25 0.002 0.5 – 2 50 0.004 0.8 – 4 75 0.008 1.6 – 8 100 0.015 3 – 15 150 0.035 7 – 35 200 0.1 20 – 100 300 0.25 50 – 250 350 0.5 100 – 500 400 1.2 240 – 1,200 450 2.5 500 – 2,500 500 8 1,600 – 8,000 600 20 4,000 – 20,000 650 45 9,000 – 45,000 700 100 20,000 – 100,000

ทมา : Nakayama and Boucher (1999).


นอกจากนยงมวธการวดความหนดอกหลายวธ อาทเชน การวดความหนดโดยอาศยการตกของลกตมเหลก (Falling sphere viscometer) ดงรปท 3.8 และการวดความหนดใชเครองมอทดสอบแบบใชแกนหมน (Rotating viscometer) ดงแสดงในรปท 3.9

รปท 3.8 เครองมอวดความหนดโดยอาศยการตกของลกตมเหลก (ทมา : สนทร สทธบาก, 2554)

รปท 3.9 การวดความหนดดวยเครองทดสอบแบบใชแกนหมน (ทมา : สนทร สทธบาก, 2554)


3.8 บทสรป ความหนด (Viscosity) เปนคณสมบตชนดหนงของของไหล เปนผลจากแรงดงดดซงกนและกน

ระหวางโมเลกลของของไหล ดงนน ของไหลจงมความสามารถตานทานตอการเปลยนรปจากการเฉอนและแรงเสยดทานในการไหลของของไหลเปนผลมาจากแรงดงดดกบการสบเปลยนโมเมนตมระหวางโมเลกลในของไหล

ความหนดของของไหล หมายถง คณสมบตในการตานทานตอการเฉอน (Shear) ของของไหลหรอตานทานตอการเปลยนรปเชงมม (Angular deformation) หากของไหลมความหนดมากจะไหลไดชากวาของไหลทมความหนดนอย ตวแปรทมอทธพลตอความหนด คอ อณหภม

ความหนดจะเปนฟงกชนกบอณหภมและความดน หรอ = f (P,T) แตการเปลยนแปลงความหนดของของเหลวเพราะความดนนอยมากจงตดออกจากการพจารณาได และยงคงเหลอเฉพาะการเปลยนแปลงกบอณหภมเทานนความหนดของของเหลวจะลดเมออณหภมสงขน แตกาซจะมความหนดเพมขนขณะอณหภมสงขน

ความหนดสมบรณ (Absolute viscosity) หรอความหนดพลวต (Dynamic viscosity) หรอ สมประสทธความหนด (Coefficient of viscosity) คอ คณสมบตของของไหลทใชตานทานตอความเคนเฉอน และเปนแรงตานทานตอแรงเฉอน สญลกษณของความหนดสมบรณเขยนแทนดวย (อานวา mu)

ความหนดจลน (Kinematic viscosity) หมายถง ความหนดสมบรณของของไหลตอความหนาแนนของของไหลนน สญลกษณของความหนดสมบรณเขยนแทนดวย (อานวา nu)

การหาความหนดจลนแบบเซยโบลท (Saybolt Universal Viscosimeter) เปนเครองมอหาความหนดของของไหลโดยใหของไหลบรรจในภาชนะทรงกระบอกไหลลงสขวดมาตรฐานและจบเวลา เวลาดงกลาว เรยกวา Saybolt Universal Second ซงสามารถจะน าไปหาคาความหนดจลนได

หลอดคาปลลาร (Capillary tube) เปนเครองมอวดความหนดแบบหลอดคาปลลาร โดยของเหลวทจะใชทดสอบความหนดจะใสไวในทางทอใหญ จากนนท าการดดของเหลวขนทางทอเลกโดยใชชดดดสญญากาศ และท าการปลอยของเหลวผานจดเรมจบเวลาวดความหนด โดยใชนาฬกาจบเวลาในการไหลของอขงเหลวจนถงจดสดทายของการจบเวลา เวลาในการไหลจะน าไปค านวณหาคาความหนดจลน มหนวยเปน mm2/s (cSt) โดยการคณคาเวลาทได (s) กบคาคงทของหลอดคาปลลารวดความหนด ซงแตละขนาดจะมคาไมเทากน ซงดไดจากใบสอบเทยบของหลอดคาปลลารแตละขนาด



1. ความหนดหมายถงอะไร 2. จงอธบายความสมพนธระหวางความหนด แรงตานการเฉอน และความเรว 3. จงอธบายความสมพนธระหวางความหนดของของไหลกบอณหภม 4. ความหนดสมบรณคออะไร 5. ความหนดจลนหมายถงอะไร 6. จงอธบายการหาความหนดจลนแบบเซยโบลท 7. จงอธบายการหาความหนดจลนโดยการใชหลอดคาปลลาร 8. ความหนด 1 Poise มคาเทากบเทาใด 9. แผนเหลกแผนหนงวางซอนอยบนแผนเหลกอกแผนหนงมความหางกน 0.8 mm แผนเหลกแผนบนเคลอนทดวยความเรว 0.8 m/s มคาความเคนเฉอนทเกดขนระหวางแผนเหลกทงสอง 3.5 N/m2 จงหาความหนดสมบรณของแผนเหลกทงสอง 10. น ามนชนดหนงมความหนดสมบรณ 0.06 Pa.s และมความถวงจ าเพาะเทากบ 0.84 จงค านวณหาความหนดจลนของน ามนชนดน 11. แผนราบมพนท 2 m2 วางอยบนแผนราบอกแผนหนงมระยะหางระหวางแผนราบทงสอง 2 mm ระหวางแผนราบบรรจของไหลมคาความหนด 4 Poise แผนราบเคลอนทดวยความเรว 20 m/s จงหาแรงดงทกระท ากบแผนราบทงสอง 12. แผนราบทพนท 3 m2 วางอยบนแผนราบอกแผนหนงมระยะหางระหวางแผนราบทงสอง 2 mm มคาความหนด 3 Poise แผนราบมแรงดงกระท า 10 kN จงหาความเรวทกระท ากบแผนราบทงสอง

กลศาสตรของไหล บทท 4 ของไหลสถต 71

บทท 4

สถตยศาสตรของไหล

(Fluid statics) ในบทนจะกลาวถงการวเคราะหปญหาทางวศวกรรมทเกยวของกบของไหลทหยดนง หรอเคลอนทในลกษณะทไมเกดการเคลอนทสมพทธขนระหวางอนภาคของของไหลทอยชดกน โดยเนอหาในบทนจะกลาวถง ความหมายของความดน ความดนของของไหลทจดใดๆ ความดนทจดใดจดหนงในของเหลว เฮดความดน กฎของปาสคาล ความดนสมบรณและความดนเกจ เครองมอวดความดน แรงทกระท ากบบนแผนราบทจมในสถตยศาสตรของไหล แรงทกระท าบนแผนโคงทจมอยในของเหลว แรงลอยตว เมตาเซนเตอรและความสงเมตาเซนตรก เสถยรภาพของวตถจมและวตถลอย การหาความสงเมตาเซนตรก และสรปใจความส าคญของเนอหาทงหมด สถตยศาสตรของไหล (Fluid statics) หรอของไหลสถต หมายถง ของไหลหนงๆ ทอยนง หรอเคลอนทโดยไมท าใหเกดการเคลอนทของชนของไหล นนคอ ไมเกดความเคนเฉอน (Shear stress)

4.1 ความหมายของความดน ความดน หมายถง แรง (Force) ทกระท าตงฉากบนหนงหนวยพนท (Area) มหนวยเปน bar,

N/m2, lb/in2 (Psi) เรยกการวดแบบนวา ความดนสถต (Statics pressure) นอกจากน ความดนยงสามารถวดไดในรปแบบของน าหนกจ าเพาะและ ความสงของของไหล เรยกการวดนวา เฮดความดน (Pressure head)

รปท 4.1 แรงทกระท ากบระนาบแบบสม าเสมอ (ทมา : ดดแปลงจาก Beer and Johnston, 1996)

จากรปท 4.1 ถาใหแรงทงหมดกระท ากระจายอยางสม าเสมอบนพนท จะสามารถหาความดนได

จากสมการท (4.1) (4.1)

โดยท P คอ ความดน (N/m2) F คอ แรงทกระท า (N) A คอ พนท (m2)

F

72 บทท 4 สถตยศาสตรของไหล กลศาสตรของไหล

รปท 4.2 แรงทกระท ากบระนาบทไมสม าเสมอ (ทมา : ดดแปลงจาก Beer and Johnston, 1996)

แตอยางไรกตาม จากรปท 4.2 หากแรงไมไดกระจายอยางสม าเสมอท าใหความดนทได จงเปนความดนเฉลย โดยความดนทจดใดๆ จะสามารถหาไดจากสมการท (4.2)

(4.2)

ในกรณของไหลแลว จะมขนาดและรปรางเปลยนไปตามภาชนะทบรรจ และพรอมทจะไหลลงจากจดทมความดนสงไปยงจดทมความดนต าเสมอ

4.2 ความดนของของไหลทจดใดๆ

รปท 4.3 สมดลของแรงเนองจากความดนในของไหลสถต (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

รปท 4.3 (ก) และ (ข) แสดงสมดลของแรงเนองจากความดนในของไหลสถต พจารณารปลมชนเลกๆ (อนภาค) ของของไหลทอยลกลงจากผวอสระทต าแหนงใดๆ โดยมขนาดความยาวตามแกน x y

และ z เปน x y และ z ตามล าดบ และใชกฎขอท 2 ของนวตน (Newton’s second law) พจารณาแกน x และ z โดยทแรงเนองจากความดน F = PA จะไดวา

F

ρg∆x∆y∆z2

∆z

z

x

∆x

∆s

∆x

∆z

∆y

(ข) (ก)

x

z

y

x

z

s

กลศาสตรของไหล บทท 4 สถตยศาสตรของไหล 73

พจารณาแรงในแนวแกน x

∑ x x∆z∆y s∆s∆y s ( ∆x∆y∆z) x

พจารณาแรงในแนวแกน z

∑ z z∆x∆y s∆s∆y s g ∆x∆y∆z2

( 2∆x∆y∆z) z

โดยท Px Pz และ Ps คอ ความดนเฉลยทกระท ากบดานทงสามดาน ax และ az คอ ความเรง คอ ความหนาแนนของอนภาค เมอแรงสทธในของไหลสถตมคาเทากบศนย (0) และ ax = az = 0 ดงนน x∆z s∆s s

z∆x s∆s s g ∆x∆ ∆z ( ∆x∆y∆z) z

ทงสามเทอมทางดานซายมอของทงสองสมการสามารถตดออกไปได เพราะวามคานอยมากเมอเทยบกบเทอมอนๆ ดงนนจากรปเรขาคณต จะไดวา ∆z ∆s s

และ ∆x ∆s s

แทนคา z และ x ในสมการดานบนสด จะไดวา

x s และ z s ดงนนสรปไดวา x z s (4.3)


จากสมการท (4.3) พอสรปไดวา ความดนไมไดขนอยกบมมของชนของไหลขนาดเลกรปลม แตความดนในทวางหรอต าแหนงใดๆ ทระดบเดยวกนจะมความดนเทากนในทกทศทาง

รปท 4.4 แรงทกระท าตอกอนของของไหลในสภาพนงตามแนวแกน x y และz (ทมา : ดดแปลงจาก Mercle et al., 2002 ; มฆศษฏ ธนพมพสาร, 2555)

จากรปท 4.4 พจารณากอนของของไหลรปทรงลกบาศกทมขนาดมตเปน dx dy และdz และจะพบวาเกดแรงกระท าทผวในแนวตงฉากกบกอนของของไหล และจากกฎขอท 1 และ 3 ของนวตน (∑ และ แรงกรยาเทากบแรงปฏกรยา) ∑ x ∑ ∑

พจารณาความดนเฉลยทกระท าในแตละแกนเปนดงน

แกน x x x

แกน y y

แกน z z z

พนทผวกอนของไหลมความดนเฉลยกระท าอยในแตละแถบ คอ x y z x z z x z

y

z

x

( 𝜕 𝜕z z ) ( 𝜕 𝜕x x )

( 𝜕 𝜕y y )

( 𝜕 𝜕z z )

( 𝜕 𝜕y y )

( 𝜕 𝜕x x )

x

𝜌g x y z

y

z B

A C

D E

F


แรงทเกดจากความดนเฉลยในแตละแกนเปนดงน x x x x( y z) ( z z)

และ z z z z( x y) ถาเปนของไหลสถตกอนของไหลขนาดเลกจะอยในสภาวะสมดล ดงนน ผลรวมทางพชคณตของแรงในทกทศทางเปนศนย ∑ จากรปท 4.4 ใหพจารณาการสมดลของแรงตางๆ ดงน

แกน x ∑ x y z ( x x ) y z

x x y z

หรอ x x (4.4)

แกน y ∑ x z ( y ) x z

y x y z

หรอ (4.5)

รปท 4.5 การกระจายของแรงทเกดความดนในแกน z

(ทมา : ดดแปลงจาก Mercle et al., 2002 ; มฆศษฏ ธนพมพสาร, 2555)

z

( 𝜕 𝜕z z ) x y

z

+

W

W mg ρg v ρg x y z

x y


จากสมการท (4.4) และ (4.5) แสดงใหเหนวาความดนเฉลยไมไดเพมขน (dP) หรอแปรผนตามแกน x และ y แตอยางใด ดงนนกรณของไหลสถต ความดนของของไหลจะเทากนตลอดแกน x และ y หรอความดนจะไมแปรผนตามแกนใดๆ ทอยในระดบเดยวกน จากหลกการของของไหลสถตความดนจะแปรผนกบความลก หรอเปนฟงกชนกบแกน z เทานน โดยมแรงทผวและแรงของวตถเนองจากแรงโนมถวงกระท าในแนวแกน z เมอกอนของของไหลสถตอยในสภาวะสมดล รปท 3.5 แสดงการกระจายของแรงทเกดความดนในแกน z เมอพจารณา จะไดวา

แกน z ∑ z x z ( z z ) x z g x y z

z x y z g x y z

จะไดวา z g z g

หรอ z g

หรอ g z (4.6)

เครองหมาย (-) แสดงวา ความดนจะลดลงเมอคาของ Z เพมขนในทศทางขนขางบน หรอกลาวไดวา ความดนจะแปรคาตามความลกของของไหลนนเอง ดงนน คาความดนทจดใดจดหนงของของไหลหยดนงจะขนอยกบระดบความสง ซงจะเหนวาทระดบความสงเดยวกนยอมมคาความดนเทากน และเรยกสมการท (4.6) วา สมการพนฐานของของไหลสถต (Basic equation of fluid static)

4.3 ความดนทจดใดจดหนงในของเหลว

รปท 4.6 ความดนท ณ จดใดจดหนงในของเหลว

(ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)


ระดบอางอง

H

Z0

h =g

Z = H + Z0 + h


เนองจากของเหลวจดเปนของไหลอดตวไมได ดงนน คาน าหนกจ าเพาะ () ของของไหลจะคงท นนคอ g พจารณารปท 4.6 ท าการหาปรพนธสองขางตามเงอนไขขอบเขตทก าหนด จากสมการท (4.6) g จะไดวา ∫ ∫ (4.7) เมอ C เปนคาคงท

ทผวของของเหลว ในรปท 4.6 ความดน P เทากบ ความดนบรรยากาศ (P = Patm) และระดบความสง Z เทากบ H + Z0

แทนคา และ

จะได ( ) (4.8) แทนคา C กลบในสมการขางตน ( )

นนคอ ถาจดทอยในของเหลวลกเปนระยะ h (ต ากวาผวของเหลว) จะไดวา

(4.9)

จากสมการท (4.9) จะเหนไดวา ความดนทจดใดๆ ในของเหลวทหยดนงจะขนอยกบระยะลกทคดในแนวตงฉาก แตจะไมขนอยกบรปราง หรอขนาดของภาชนะทบรรจของเหลวเลย


รปท 4.7 ภาชนะทตางกนแตทระดบเดยวกนยอมมความดนเทากน (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

จากรปท 4.7 แสดงเหนไดวา ภาชนะทใสของเหลวแตกตางกน แตความดนท จด A B C D ทระดบความลกเดยวกนจะเทากน 4.4 เฮดของความดน

เฮดความดน (Pressure head) เปนความสงในแนวตงฉากกบผวอสระ เมอเทยบกบจดอางองใดๆ ในของเหลวทหยดนง เชน เฮดความดนของจด 1 จะมคาเทากบ h1 เปนตน ซงเมอเปรยบเทยบ เฮดความดนของจด 2 จดใด จะไดวา g( ) ( ) (4.10)

ส าหรบในกรณทของเหลวเปนคนละชนดกนซงทความดนเทากน จะไดวา

(4.11)

4.5 กฎของปาสคาล

กฎของปาสคาล (Pascal’s law) หรอ กฎสงผานความดน กลาววา“ความดนทกระท าตอสวนหนงสวนใดของของไหลทอยนงในภาชนะปด จะถกสงไปยงสวนของของไหลรวมทงผนงของภาชนะดวย”

กฎของปาสคาลถกน ามาประยกตใชในการยกไฮดรอลกส ดงรปท 4.8 จากรปจะไดวาความดนจดท 1 และจดท 2 มคาเทากน เนองจากมการสงผานความดนของของไหล ดงนน

และเนองจาก

A

h

B C D

1

2

h2

h1



หรอจดรปใหมได (4.12)

โดยท คอ การไดเปรยบเชงกลของการยกไฮดรอลกส (Ideal mechanical advantage of

the hydraulic lift)

รปท 4.8 การยกไฮดรอลกส (ทมา : ดดแปลงจาก Arora, 1973)

4.6 ความดนสมบรณและความดนเกจ

ความดนของของไหลในระบบจะวดเปนผลตางของความดนระหวางระบบสองระบบ หรอจดสองจด หรอจดใดๆ การวดความดนจะอยในรปของการเปรยบเทยบกบความดนอางอง ซงนยมใชสภาวะสญญากาศทมคาความดนเทากบศนย (0) หรอความดนศนยสมบรณ (Absolute zero) หรอสญญากาศสมบรณ (Complete vacuum) เปนความดนอางอง หรอความดนเปรยบเทยบ ความดนของของไหลสามารถแบงออกไดเปน 3 ประเภทหลกๆ ดงน 1) ความดนสมบรณ (Absolute pressure) คอ ความดนทวดเทยบกบสภาวะทไรความดน ใชสญลกษณแทนดวย Pabs 2) ความดนเกจ (Gauge pressure) คอ ความดนทวดเทยบกบบรรยากาศ ณ ต าแหนงนนๆ โดยทความดนเกจจะมคาสงกวาความดนบรรยากาศ ใชสญลกษณแทนดวย Pg 3) ความดนสญญากาศ (Vacuum pressure) คอ ความดนทวดเทยบกบความดนบรรยากาศ ณ ต าแหนงนนๆ ใชสญลกษณแทนดวย Pv การวดความดนของของไหลทไดผลตางความดนต ากวาความดนบรรยากาศปกต เรยกวา ความดนสญญากาศ หรอ ความดนเกจลบ แตความดนใดกตามทต ากวาความดนบรรยากาศแตยงไมถงชนเปนสญญากาศสมบรณ (Absolute zero pressure) จะเรยกวา ความดนสญญากาศยอย (Partial vacuum pressure) ถาเปนสญญากาศสมบรณจะเรยกวา ความดนสญญากาศสมบรณ หรอ ความดนศนยสมบรณ (Absolute zero pressure) และจะถอเอาความดนนเปนความดนอางองระหวางความดนทเหนอหรอต ากวาบรรยากาศ เน องจากความดนบรรยากาศไมคงท ซงแปรผนตามอณหภมและระดบความสงของพนท ในทางปฏบตเกยวกบ

F1

F2

A1

A2


กลศาสตรของไหลอาจอยเหนอหรอต ากวาระดบน าทะเลกได จงไมอาจใชความดนมาตรฐานทระดบน าทะเลมาค านวณผลหรออางองได ดงนนจงตองใชความดนสมบรณมาเปนความดนอางองแทน ซงอาจจะใหคาความดนสงหรอต ากวาความดนมาตรฐาน

รปท 4.9 ความดนสมบรณและความดนเกจ (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

จากรปท 4.9 แสดงการวดความดนสมบรณ (Absolute pressure, Pabs) เทยบกบความดนศนยสมบรณ และการวดความดนเกจ (Gauge pressure, Pg) เทยบกบความดนบรรยากาศ (Atmospheric pressure, Patm) จากความสมพนธของความดนดงกลาวสามารถสรปการวดความดน ไดดงสมการท (4.13) s (4.13) โดยท Pabs คอ ความดนสมบรณ (Absolute pressure)

Pg คอ การวดความดนเกจ (Gauge pressure) Patm คอ ความดนบรรยากาศ (Atmospheric pressure)

ในระบบสากล (SI unit) ความดนมหนวยเปน N/m2 หรอพาสคล (Pascal, Pa) นอกจากนยงมหนวยอนทนยมใช ไดแก บาร (bar) บรรยากาศมาตรฐาน (atm) และ kg/cm2 สวนในระบบองกฤษ ความดนจะมหนวยเปน psi หรอ lb/in2 โดยแตละหนวยมความสมพนธกนดงน 1 bar = 105 Pa = 100 kPa 1 atm = 101.325 kPa = 0.760 m Hg = 10.34 m H2O 1 kg/cm2 = 0.7356 m Hg = 10 m H2O = 0.9807 bar 1 atm = 14.7 psi = 33.91 ft H2O = 29.29 in Hg

ความดน (N/m2

)

ความดนเกจ (Pg) ความดนสมบรณ (P

abs)

ความดนบรรยากาศ (Patm

)

Patm

= 101,325 N/m2

ความดนสญญากาศ (Pvac

)

ความดนสมบรณ (Pabs

)

A

B

ความดนศนยสมบรณ, Pabs

= 0


ตวอยางท 4.1 ความดนของของไหลในทอมคา 10 bar จงหาความดนสมบรณของของไหลนน วธท า

จากสมการ ความดนสมบรณ = ความดนทอานไดจากเกจ + ความดนของบรรยากาศ s

แทนคา s = 10 + 1.013

= 11.013 bar ตอบ

4.7 เครองมอวดความดน

4.7.1 บารอมเตอร (Barometer) เปนเครองมอวดความดนบรรยากาศ ประกอบดวยหลอดแกวสญญากาศ วางคว าลงในอางปรอท หรอ ของเหลวอนๆ ดงรปท 4.10 ความดนบรรยากาศจะวดออกมาเปนความสงของของไหลในหลอดแกว นนคอ คา h สามารถหาไดจากสมการท (4.14) ดงน g (4.14)

โดยในกรณทเปน ปรอท (Hg) จะพบวา เฮดความดนบรรยากาศมาตรฐาน มคาเทากบ h = 760 mm Hg ทระดบผวน าทะเล

รปท 4.10 อปกรณบารอมเตอร

(ทมา : ดดแปลงจาก Clayton et al., 2010) ตวอยางท 4.2 จงหาความดนบรรยากาศ ณ จดซงเครองวดบารอมเตอรอานคาได 740 mmHg สมมตวาอณหภมของปรอทเปน 10 องศาเซลเซยส ซงปรอทมความหนาแนน 13,570 kg/m3

วธท า

จากสมการ g

แทนคา = (13,570) x (9.81) x (740 x 10-3)

h P

atm

ปรอท (Hg)


ดงนน = 98,510.06 Pa = 98.5 kPa ตอบ ตวอยางท 4.3 จงหาความดนในหนวย kN/m2 ทจดลกจากผวน า 15 m วธท า

จากสมการ P = .h

และ = .g

= 1,000 kg/m3 x 9.81m/s2

= 9.81 kN/m3 แทนคา P = 9.81 kN/m3 x 15 m

P = 147.15 kN/m2 ตอบ 4.7.2 แมนอมเตอร (Manometer) เปนเครองมอวดความดนของของเหลวหรอกาซประกอบดวย หลอดแกวรปตวย (U-tube) หรอหลอดแกวเอยง (Inclined-tube) ทบรรจของเหลวชนดหนงทไมรวมตวกบของไหลในภาชนะทจะวดความดน แมนอมเตอรมหลายแบบดวยกน ไดแก หลอดพซอมเตอร (Piezometer tube) ซงเปนแมนอมเตอรอยางงาย แมนอมเตอรแบบหลอดตวย (U–tube manometer) แมนอมเตอรแบบวดผลตางของความดน (Differentia manometer) และแมนอมเตอรแบบหลอดเอยง (Inclined-tube manometer) ดงมรายละเอยดดงตอไปน 1) หลอดพซอมเตอร (Piezometer tube) เปนแมนอมเตอรอยางงายทสด มลกษณะเปนหลอดแกวเปดแนวดงเมอเสยบตอเขากบภาชนะบรรจของเหลวทตองการวดความดน ของเหลวในภาชนะบรรจจะไหลขนไปตามหลอดแกวเนองจากความดนของของเหลวดงกลาวสงกวาความดนบรรยากาศ ทสภาวะสมดลระหวางน าหนกของของเหลวในหลอดแกวกบความดน สามารถอานความสงของของเหลวในหลอดแกวได h เมตร ของเหลวในหลอดแกวและในภาชนะบรรจซงเปนของเหลวชนดเดยวกนจะมน าหนกจ าเพาะคาเดยวกนคอ ดงนน ความดนของของไหลทวดได จากรปท 4.11 จะไดวา (4.15)


รปท 4.11 หลอดพซอมเตอร (ทมา : ดดแปลงจาก Munson et al., 2013)

2) แมนอมเตอรแบบหลอดตวย (U–tube manometer) แมนอมเตอรแบบหลอดรปตวยนจะใชหลอดแกวดดเปนรปตวย โดยทปลายดานหนงน าไปตอเขากบจดทตองการวดความดน และปลายอกขางจะเปดสบรรยากาศ

รปท 4.12 แมนอมเตอรแบบหลอดรปตวยทความดนต ากวาความดนบรรยากาศ (ทมา : ดดแปลงจาก Munson et al., 2013)

รปท 4.12 แสดงแมนอมเตอรแบบหลอดรปตวยทมลกษณะความดนต ากวาความดนบรรยากาศ พจารณาหลกการของไหลชนดเดยวกนวดความดนทระดบเดยวกนยอมมคาเทากน ดงนนจากรปพจารณาของไหล 2 วดความดนทจด B และ C จะไดวา

h

เปดสบรรยากาศ, Patm

ของเหลวทใชวด,

B

เปดสบรรยากาศ PC = P

atm

A

C h2

h1

1

2


และ

และ แทนคาจะไดวา

ดงนน (4.16)

รปท 4.13 แมนอมเตอรแบบหลอดรปตวยทความดนสงกวาความดนบรรยากาศ (ทมา : ดดแปลงจาก Munson et al., 2013)

รปท 4.13 แสดงแมนอมเตอรแบบหลอดรปตวยทมลกษณะความดนสงกวาความดนบรรยากาศ พจารณาหลกการของไหลชนดเดยวกนวดความดนทระดบเดยวกนยอมมคาเทากน ดงนนจากรปพจารณาของไหล 2 วดความดนทจด B และ B/ จะไดวา

และ และ

แทนคา

ดงนน (4.17)

h2

h1

เปดสบรรยากาศ PC = P

atm

1

2

C

B B/

A


ตวอยางท 4.4 พจารณาแมนอมเตอรอยางงายแบบตว U บรรจดวยปรอท มความถวงจ าเพาะ 13.6 ดงรปท 4.14 จงหาความดนในทอ A (PA) ทบรรจน า ก าหนดให Patm = 101.3 kPa

รปท 4.14 ประกอบตวอยางท 4.4 (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

วธท า

ก าหนดให PC = PD ………………………………. (1)

และ PC = (ปรอท x 0.3) + (น า x 0.2) + PA แทนคาได PC = (13.6 x 103 x 9.81 x 0.3) + (1 x 103 x 9.81 x 0.2) + PA = 41,986.8 + PA และ PD = Patm = 101.3 x 103 แทนคาในสมการท (1) จะไดวา 41,986.8 + PA = 101.3 x 103 ดงนน PA = 59,313.2 Pa

= 59.31 kPa ตอบ

เปดสบรรยากาศ

A

B

C D

20 cm

30 cm

ปรอท

น า


ตวอยางท 4.5 พจารณาแมนอมเตอรอยางงายแบบตว U บรรจดวยปรอท มความถวงจ าเพาะ 13.6 และความดนภายในทอท าใหปรอทยกขนทางดานขวาสง 25 cm ดงรปท 4.15 จงหาความดนในทอ A (PA) ทบรรจน า ก าหนดให Patm = 101.3 kPa

รปท 4.15 ประกอบตวอยางท 4.5 (ทมา : ดดแปลงจาก Munson et al., 2013)

วธท า ก าหนดให PC = PD ……………………………….(1) และ PC = (น า x 0.4) + PA แทนคาได PC = (1 x 103 x 9.81 x 0.4) + PA = 3,924 + PA

และ PD = (ปรอท x 0.25) + Patm = (13.6 x 103 x 9.81 x 0.25) + (101.3 x 103) = 134,654

แทนคาในสมการท (1) จะไดวา 3,924 + PA = 134,654 ดงนน PA = 130,730 Pa

= 130.73 kPa ตอบ


15 cm

25 cm

ปรอท

น า

A

B

C D


3) แมนอมเตอรแบบวดผลตางของความดน (Differentia manometer) เปนเครองมอทใชวดผลตางของความดนระหวางภาชนะบรรจสองใบหรอระหวางจดสองจดในระบบเดยวกน

รปท 4.16 แมนอมเตอรแบบวดผลตางของความดน (ทมา : ดดแปลงจาก Munson et al., 2013)

รปท 4.16 แสดงแมนอมเตอรแบบวดผลตางของความดน พจารณาหลกการของไหลชนดเดยวกนวดความดนทระดบเดยวกนยอมมคาเทากน ดงนนจากรปพจารณาของไหล 2 วดความดนทจด C และ D จะไดวา

และ และ

แทนคา

ดงนน (4.18) 4) แมนอมเตอรแบบหลอดเอยง (Inclined-tube manometer) เปนเครองมอทใชส าหรบวดความดนทอยในแนวเอยง ระดบความสงทแตกตางกนของของเหลวในหลอดรปตวยจะมากหรอนอยขนอยกบความถวงจ าเพาะของของเหลวในแมนอมเตอร โดยเฉพาะกรณการใชแมนอมเตอรวดความดนกาซ เนองจากของเหลวในแมนอมเตอรนนมความถวงจ าเพาะมากกวากาซ ระดบความสงทแตกตางกนของของเหลวจงมคานอยจนเกอบวดไมไดหรอวดไดไมชดเจน ดงนนจงจ าเปนตองอาศยแมนอมเตอรแบบหลอดเอยงแทน ดงแสดงในรปท 4.17 หลอดเอยงวดระดบเอยงท ามม กบแนว

h2

B

+ A

+

D C h

1

h3

1

2

3


ระดบ สเกลอานคาวดความแตกตางบนหลอดเอยงมความยาว l2 ดงนนผลตางของความดน PA - PB สามารถหาไดจาก s หรอ s (4.19)

รปท 4.17 แมนอมเตอรแบบหลอดเอยง (ทมา : ดดแปลงจาก Munson et al., 2013)

4.7.3 มาตรวดบวดอง (Bourdon gauge) เปนเครองมอใชวดความดนแบบหนาปดและใชส าหรบวดความดนเกจ ใชวดความดนทต ากวาและสงกวาความดนบรรยากาศได ถาตองการหาความดนสมบรณกตองน าคาทอานไดไปบวกกบความดนบรรยากาศ อปกรณของเครองวดแบบบดองนประกอบดวยหลอดซงมภาคตดขวางเปนรปไขและตดเปนสวนโคงของวงกลม ปลายหลอดเชอมปดสนทอกปลายขางหนงตอกบอปกรณทใชวดความดนเมอความดนภายในหลอดเพมขน หลอดจะดนออก ซงการเปลยนแปลงความดนจะไปปรากฏเปนการเคลอนไหวของปลายทอปดซงตอกบกลไก ท าใหเขมชหมนไปตามสเกลทแบงไว แลวอานคาออกมา ดงแสดงในรปท 4.18

+

+

A

1

B

2

3

h1 l

2

h3

1

2


รปท 4.18 มาตรวดบวดอง (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

ตวอยางท 4.6 จากรปท 4.19 ถาก าหนดให ความดนในทอ A (PA) = 200 kPa ซงบรรจของเหลว A ความถวงจ าเพาะ 0.8 และ ความดนในทอ B (PB) = 100 kPa ซงบรรจของเหลว B ความถวงจ าเพาะ 1.6 ตรงกลางแมนอมเตอรวดผลตางความดนจะกนดวยปรอท (ของเหลว C) ความถวงจ าเพาะ 13.6 จงหา ระยะความสง h

รปท 4.19 ประกอบตวอยางท 4.6 (ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999)

วธท า จากทฤษฏทเมอของเหลวชนดเดยวกนทระดบเดยวกน ยอมมความดนเทากน จากรป จะไดวา PC = PD ……………………………………. (1) หาคา PC และ PD ; PC = A hA + PA

P P

จดเชอมตอเพอวดความดน

ทอวงร

เขมหนาปด

กลไก ควบคมเขม

A

B

C D

1 m

h

2.5 m

ของเหลว B

ของเหลว C (ปรอท)

ของเหลว A


= A (h + 1) + PA = [(0.8 x 103 x 9.81) (h+1)] + (200 x 103)

และ PD = ChC + BhB + PB

= ChC + B(2.5 + 1) + PB = (13.6 x 103 x 9.81 x h) + (1.6 x 103 x 9.81 x 3.5) + (100 x 103)

แทนคาในสมการท (1) จะไดวา [(0.8 x 103 x 9.81) (h+1)] + (200 x 103) = (13.6 x 103 x 9.81 x h) + (1.6 x 103 x 9.81 x 3.5) + (100 x 103)

7.848 h + 7.848 + 200 = 133.4 h + 54.393 + 100 53.455 = 125.552 h ดงนน h = 0.4257 m ตอบ

ตวอยางท 4.7 จากรปท 4.20 จงหาผลตางของความดนในทอ A และในทอ B (PA – PB) ถาของไหลภายในทอ B คอ อากาศ และท ามม = 30o


วธท า จากทฤษฏ เมอของเหลวชนดเดยวกนทระดบเดยวกนยอมมความดนเทากน จากรป จะไดวา

PC = PD ………………………………… (1) หาคา PC และ PD ; PC = PA + A hA

และ PD = PB + C hc

A

B

C D

SC = 13.6

SA = 1

0.5 m 0.3 m

0.2 m


= PB + C (0.5 + 0.2 sin )

ดงนน PA - PB = C (0.5 + 0.2 sin ) – (A x 0.3) แทนคา PA - PB = (13.6 x 103 x 9.81) (0.5 + 0.2 sin 30o ) - (1 x 103 x 9.81) (0.3) = (80.05 x 103) - (2.943 x 103) = 77.106 x 103 N/m2 (Pa) ดงนน PA - PB = 77.11 kPa ตอบ ตวอยางท 4.8 จากรปท 4.21 น า (Water) ไหลผานทอ A และทอ B ใชแมนอมเตอรแบบวดผลตางของความดนวดความดนภายในทอ ก าหนดใหน ามนมความถวงจ าเพาะ (SOil) เทากบ 0.8 ของเหลวในแมนอมเตอรเปนปรอทมความถวงจ าเพาะ (SHg) เทากบ 13.6 จงหาผลตางของความดนในทอทงสองในหนวย kPa

รปท 4.21 ประกอบตวอยางท 4.8 (ทมา : ดดแปลงจาก Bruce et al., 2002)

วธท า

ในกรณนมของไหลอยหลายชนด จงตองท าการแยกพจารณาแตละชนดของของไหล ซงในของไหลชนดเดยวกน คา จะคงท จะไดวา จากสมการ ; P1 - P2 = ( h1 – h2 ) จาก A – C ;

PC – PA = water hC-A = 1 x 103 x 9.81 x 0.25

125

SHg

= 13.6

หนวยของขนาดเปนมลลเมตร (mm)

SWater

= 1

SOil

= 0.8 A

B

100

200

100 75

250

C

D

E

F

z =h = 0


= 2.4525 x 103 [ระยะเปน (+) เพราะต าแหนง C ลกกวาต าแหนง A ตามแกนอางอง]

จาก C – D ;

PD – PC = Hg h D - C = 13.6 x 103 x 9.81 x (- 0.075 ) = - 10.006 x 103 [ ระยะเปน (-)เพราะต าแหนง D สงกวา

ต าแหนง A ตามแกนอางอง] จาก D – E ;

PE – PD = Oil h E - D = 0.8 x 103 x 9.81 x 0.1 = 0.7848 x 103

จาก E – F ;

PF – PE = Hg h F – E = 13.6 x 103 x 9.81 x (- 0.125 ) = - 16.677 x 103

จาก F - B ;

PB – PF = water hB - F = 1 x 103 x 9.81 x (- 0.2 ) = - 1.962 x 103

PB – PA = (2.4525x103) + (-10.006x103) + (0.7848x103) + (-16.677x103) + (-1.962x103) = - 25.4 kPa หรอ PA - PB = 25.4 kPa ตอบ


ตวอยางท 4.9 จากรปท 4.22 จงหา PA เมอก าหนดให ของเหลวภายในถงดานบนเปนน ามน (Oil) ดานลางเปนน า (Water) และภายในแมนอมเตอรเปนปรอท (Hg) ซงดานปลายเปดสบรรยากาศ


วธท า

จากรป จะไดวา PC = PC’ ………………………………… (1)

หา Pc และ Pc’ จะไดวา

PC = PA + Oil hoil + water hwater = PA + (0.8x103x9.81x3) + (1x103x9.81x1.6)

Pc’ = Hg hHg + Patm = (13.6x103x9.81 x0.3) + Patm แทนคาในสมการท (1) จะได

PA + (0.8x103x9.81x3) + (1x103x9.81x1.6) = (13.6x103x9.81 x0.3) + Patm PA - Patm = (13.6x103x9.81 x0.3) - (1x103x9.81x1.6) – (0.8x103x9.81x 3)

PA = (13.6x103x9.81 x0.3) – (0.8x103x9.81x 3) - (1x103x9.81x1.6) + (101.3x103) PA = 102,084.8 N/m2 หรอ PA = 102.08 kN/m2 หรอ PA = 102.08 kPa ตอบ

3 m 4.6 m

0.3 m

SHg

= 13.6

SOil

= 0.8

SWater

= 1

Oil

Water

Air P

A P

atm

C C/


4.8 แรงทกระท ากบบนแผนราบทจมในของไหลสถต

ในของไหลทหยดนงนน พบวา ความดนทจดหนงๆ ในของไหลจะมคาเทากนทกทศทาง และในระดบความลกซงตางกนความดนยอมตางกน

ดงนนถาสมมตใหระนาบจมอยในของไหลสถต จะเกดแรงเปนบรเวณ (เนองจากระนาบมพนท จงท าใหเกดความดนกระท ากบระนาบเปนพนทหรอเรยกวาบรเวณ) โดยจะเกดแรงกระท าแนวดงน

4.8.1 แรงดนบนระนาบแนวระดบ (วางระนาบในแนวระดบ แรงทเกดในแนวดง) จากก าหนดใหระนาบ พนท A วางไวในแนวระดบในของไหลสถต โดยลกจากผวของของ

ไหลเปนระยะ h ทน พจารณาท พนท dA บนพกด x y ใดๆ เมอ C เปนจดเซนทรอยด หรอ จดศนยกลางของพนท A

รปท 4.23 เมอระนาบในแนวระดบจมอยในของเหลว (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

จากรปท 4.23 จะไดวา แรงดนทกระท าบนระนาบ

∫ ∫

g (4.20)

4.8.2 แรงดนบนระนาบในแนวดง (วางระนาบในแนวดง แรงทเกดในแนวระดบ) ก าหนดใหระนาบพนท A จมอยในของไหล ทมจดเซนทรอยด อยลกจากผวของของไหล เปนระยะ h ดงนน ถาพจารณาทพนทเลกๆ dA = xdy ดงรปท 4.24 จะไดวา ∫ ∫

g∫ y

h

x

y

y

x

C

dA


g (4.21) เมอ ∫ y คอ โมเมนตอนดบแรกของพนท = A

คอ ความดนทต าแหนงจดเซนทรอยด

รปท 4.24 เมอระนาบในแนวดงจมอยในของเหลว (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

เนองจากความดนขนกบความลกดงนนต าแหนงของแรงลพธจงเปนคนละจดกบจดเซนทรอยดของระนาบดง ส าหรบต าแหนงของแรงลพธจะอยทจดศนยกลางของความดน (Center of pressure, ) ดงนนจงค านวณหาระยะ นไดจากหลกของโมเมนตรอบแกน o-o’ คอ (โมเมนตของแรงลพธรอบแกนหมน o-o’) = (ผลรวมของโมเมนตของแรงดนยอยรอบแกนหมน o-o’) (ρg ) ∫y g∫y

∫

ดงนน (4.22)

เมอ คอ ต าแหนงทแรงกระท า (m) คอ ระยะความลกของจดเซนทรอยดของระนาบโดยวดจากผวอสระ (m)

y

y

/

C


คอ โมเมนความเฉอยของพนทระนาบดงรอบแกนทผานจดเซนทรอยด (C) และขนาน กบแกน o-o’ (m4)

4.8.3 แรงดนบนระนาบในแนวเอยง

รปท 4.25 แผนราบจมในของไหลต าแหนงจดศนยถวงของพนท และจดศนยกลางความดน (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

พจารณาแผนราบจมในของไหลในลกษณะทแนวระนาบของแผนเอยงท ามม กบระดบผวบน (Free Surface) ของไหลดงรปท 4.25 โดยใหจดก าเนด (Origin, O) ของแกนอยทแนวระดบผวบนของไหล โดยตดกบแนวแผนราบ แกน Y อยในแนวเดยวกนแผนราบ และตงฉากกบแกน X โดยท C คอ จดศนยถวงของพนทแผนราบ (Centroid)

. .

hc h

dF

FR

ระดบผวบน

y

yR

yc

0

x

y

x

xc

xR

c

CP

dA

A

จดศนยถวงของพนทแผนราบ

จดศนยกลางความดน


CP คอ จดศนยกลางความดน (Center of Pressure) ซงกคอจดทแสดงต าแหนงแรงลพธ (FR) เนองจากความดนทกระท ากบแผนราบ จด C หางจากจดก าเนดในแนวแกน Y เปนระยะ YC หรอกคอหางจากระดบผวบนในแนวดงเปนระยะ hC จด CP หางจากจดก าเนดในแนวแกน Y เปนระยะ YR

พจารณาพนท dA บนแผนราบ ซงมความดน P กระท าบน dA และแรงทเกดขนจากความดนน คอ dF ต าแหนงของพนท dA อยหางจากจดก าเนด O ในแนวแกน Y เปนระยะ Y หรอกคอ ระยะ h ในแนวดงจากพนผวบน ดงรปท 4.25 ถาใหความดนเหนอพนผนงนเปน PO จะไดวา

g และเนองจาก y s

ดงนน

ρgy s

และ ( ρgy s )

อนทเกรตเพอหาแรงทงหมดทกระท าตอแผนระนาบน ∫ ( ρgy s )

จะได ρg s ∫ y (4.23) เมอ A คอ พนทของแผนระนาบทงหมด เนองจาก ∫ y คอ โมเมนตทหนงของพนท (Fist moment of area) และมคาเทากบ เมอ คอระยะในแนวแกน Y จากจดก าเนดถงจดศนยกลางถวงของพนทหรอจด Centroid ดงนน

∫ y

เพราะฉะนน

( g s ) (4.24)


จากรปท 4.25 จะเหนวา s

( g ) (4.25)

ถาใหความดนของจดศนยถวงของพนทคอ PC หรอกคอความดนเฉลยทกระท าบนแผนระนาบ (Pave ) จะไดวา

(4.26)

จากสมการดงกลาว แสดงวา แรงลพธทกระท าบนแผนระนาบทจมอยในของไหลมคาเทากบความดน ณ จดศนยถวงของพนทคณดวยพนททงหมดของแผนระนาบ โดยทความดน ณ จดนสามารถหาไดจาก

g (4.27)

ซงกคอ ความดนทค านวณจากความลกจากผวบนตามแนวดง ถงจดเซนทรอยด แมวาจดทค านวณหาแรงลพธคอ จดเซนทรอยด จดทแสดงถงต าแหนงทแทจรงของแรงลพธนกลบไมใชจดเซนทรอยด และสามารถค านวณไดดงน จาก ∫y ∫y ∫y( gy s )

∫ y g s ∫ y (4.28)

เนองจาก ∫ y คอ โมเมนตทสองของพนท (Second moment of area ) หรอโมเมนตความเฉอย (Area moment of inertia ) รอบแกน 0 ∫ y xx x y (4.29)

เมอ IXC คอโมเมนตความเฉอยรอบแกน C หรอจดเซนทรอยด

จาก ( gy s ) ( gy s ) y g s ( x y ) (4.30) ( )( ) (4.31)


กรณไมพจารณา จะไดวา (4.32)

ส าหรบพนททวไปก าหนดโมเมนตความเฉอยของพนทไวในรปท 4.26

รปท 4.26 โมเมนตความเฉอยของพนททวไป (ทมา : William, 1993)

.

.

. .

.

(ก) สเหลยมผนผา

x y

b x b b x

(ข) วงกลม

(ค) ครงวงกลม (ง) สามเหลยม

(จ) หนงในสของวงกลม

x y

R πR x π 44 x

4R3𝜋 R R

x y

π x .1 98R4 .3927R4 x

x y

3

b

x 6b x 37 (b 2 )

4R3𝜋

4R3𝜋 x y R

π 4 x . 5488R4 x . 1647R4


ตวอยางท 4.10 แผนไมรปสเหลยมผนผาขนาด สง x กวาง = 1.2 x 3 m ใชส าหรบการกนการเทคอนกรต ดงรปท 4.27 ดานบนของแผนไมจะยดตดกบทยด ดานลางจะเปนทยดแนนตดกบผนงตอกดวยตะป ก าหนดใหความถวงจ าเพาะของคอนกรตเทากบ 2.4 และระดบคอนกรตจะเทขนสง 1 m จงค านวณหาขนาดและต าแหนงของแรงลพธทกระท า และจงหาวาแรงภายนอกทใชยดดวยตะปเปนเทาใด ถาใหระบบอยในสภาวะทสมดล

รปท 4.27 ประกอบตวอยางท 4.10


วธท า

หาขนาดของแรงลพธ จากสมการ g และ

คอนกรต = 2.4 x 1,000 = 2,400 kg/m3

= = = 0.5 m

A = hb = 1 x 3 = 3 m2 แทนคาในสมการ จะได F = 2,400 x 9.81 x 0.5 x 3 = 35,316 N ตอบ

หาต าแหนงของแรงลพธ จากสมการ

คอนกรต

แผนไมกน

ทยดดวยตะป


และ 3 (แผนไมกนรปสเหลยมผนผา)

= 3 = 0.25 m4

แทนคาในสมการ จะไดวา

.5 . x .

= 0.67 m ตอบ หาแรงภายนอกทใชยดดวยตะป (Fstop) ถาใหระบบอยในสภาวะสมดล ใหผลรวมของโมเมนตรอบจดหมนเทากบศนย เขยน FBD ไดดงรปท 4.28

รปท 4.28 FBD ของแรงทกระท า (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

M = 0 1.2 Fstop = 0.87 x 35,316

Fstop = 25,604.1 N ตอบ

F = 35,316 N

0.67 m

0.2 m

Fstop


4.9 แรงทกระท าบนแผนโคงทจมอยในของเหลว

รปท 4.29 แรงทกระท าบนแผนโคงทจมอยในของเหลว


รปท 4.29 แสดงการวเคราะหแรงทกระท าบนแผนโคงทจมอยในของเหลว ของถงบรรจของเหลวชนดหนง บนบรเวณผวโคงชวง BC พจารณาสมดลของแรงดนทกระท าบนปรมาตรของเหลวทถกลอมรอบดวยผนงผวโคง BC พนทฉายบนระนาบดง CA และพนทฉายบนระนาบระดบ BA ดงรป (ข) แรงภายนอกทกระท าตอปรมาตรของเหลว ไดแก น าหนกของของเหลว (W) แรงดนบนระนาบระดบ BA (F1) แรงดนบนระนาบดง CA (FCA) แรงปฏกรยาแนวระดบทผนงผวโคงกระท าตอของเหลว (FH), และแรงปฏกรยาแนวดงทผนงผวโคงกระท าตอของเหลว (FV)

พจารณาสมดลของแรงบนปรมาตรของเหลว BAC ในแตละแกน จะไดวา

[FX = 0] ; (4.33)

[FY = 0] ; W (4.34)

(ก) ของเหลวในแผนโคง (ข) ขนาดและต าแหนงของแรง ทกระท าบนแผนโคง ท

(ค) แรงลพธทกระท าบนแผนโคง

B

B B O O

𝛻

∙ ∙

∙ G

( ) ( )

B

B B O O

∇

∙ ∙

∙ G

( ) ( )

W


ส าหรบขนาดของแรงลพธทกระท าบนแผนโคง สามารถค านวณไดจากสมการท (4.35)

( ) ( ) (4.35)

4.10 แรงลอยตว ในการออกแบบสรางวสดใหลอยในของไหลได เชน เรอ เรอด าน า จะตองค านงถงความม

เสถยรภาพดวยไมเชนนนอาจเกดการพลกคว าได ดงนน จะตองเขาใจถงหลกการพนฐานในเรองเกยวกบแรงลอยตว จดศนยกลางของแรงพยง และความสงเมตาเซนตรก เปนตน

จากหวขอทแลว จะเหนไดวา เมอวตถจมเพยงบางสวน หรอจมทงหมดในของไหล จะเกดแรงมากระท าทวตถ ในแนวตงฉากกบผว เปนแรงทพยายามพยงหรอยกวตถใหลอยขน ในทศทางสวนทางกบแรงดงดดของโลก เราเรยกวา แรงลอยตว (Buoyant Force) และต าแหนงทแรงลอยตวกระท ากบวตถนน เรยกวา จดศนยกลางของแรงลอยตว (Center of Buoyancy)

ผทคนพบแรงลอยตว คอ อารคเมเดส กลาวไววา “เมอวตถใดๆ จมอยในของไหลไมวาจะเปนทงหมด หรอบางสวนกตาม จะมแรงลอยตวมากระท ากบวตถนนและจะมคาเทากบน าหนกของของไหลทถกวตถนนแทนท” เรยกวา หลกการของอารคมดส (Archimedes Principle)

4.10.1 กรณ วตถจมทงกอน

จากรปท 4.30 ถาใหวตถจมในของไหลทมน าหนกจ าเพาะเทากบ แรงลพธของแรงในแนวราบ (Horizontal) จะมคาเทากบ ศนย

รปท 4.30 เมอวตถจมในของไหลทงกอน

(ทมา : ดดแปลงจาก Robert and Alan, 1998)

สวนในแนวดง (Vertical) ถาเราพจารณา แทง MN ทมพนท หนาตด dA ดานบน ต าแหนง M จะมแรงดนของของเหลว มคาเทากบ P1dA ดานลาง ต าแหนง N จะมแรงดนของของเหลว มคาเทากบ P2dA

ซงความดน P มคาเทากบ h

y

ระดบผวของไหล

h1

h2 M

C dA

N F

B

P2dA

P1dA


หรอ P = h และ ถา P2 > P1 ; ความแตกตางของความดน จะท าใหเกดแรงลอยตวขน FB ซงมคา

เทากบ (4.36) ( ) y (4.37) ก าหนดให คอ ปรมาตรของแทง MN ทก าลงพจารณา เทากบ y (4.38) ดงนน แรงลอยตวรวม ทงหมดทกระท ากบวตถ ∫ ∫ (4.39)

จากสมการ อธบายไดวา ถา เปนปรมาตรของวตถทงกอนทจมในของไหลแลว แรงลอยตว FB จะเทากบน าหนกของของไหลทถกวตถทงกอนแทนท () และแรงนจะกระท าผานจดศนยถวง (Centroid) ของวตถทจมในของไหล

4.10.2 กรณ วตถลอยอยระหวางในของไหล 2 ชนด จากรปท 4.31 ถาใหวตถจมในของไหลทมน าหนกจ าเพาะชนบน และลาง มคาเทากบ

1 และ 2 ตามล าดบ จะไดวา (4.40)

( y ) ( y ) ( )

( y y )


( ) ∫ ∫( ) (4.41)

จากสมการ อธบายไดวา ถา 1 และ 2 เปนปรมาตรของวตถทจมในของไหล ดานบนและดานลาง ตามล าดบ แรงลอยตว FB รวม จะเทากบน าหนกรวมของของไหลทถกแทนทดวยวตถ และต าแหนงจดศนยกลางของแรงลอยตว จะอยทต าแหนงจดศนยถวงของปรมาตรของของไหลแตละชนดทถกวตถแทนท และจะเปนอสระซงกนและกน

รปท 4.31 เมอวตถจมในของไหล 2 ชนด


4.10.3 กรณ วตถลอยอยเหนอผว (จะมบางสวนจมในของไหล)

รปท 4.32 เมอวตถจมในของไหลบางสวน


G

FB

B

W

h1

y1 dA

h2 M

NF

B1

P1dA

P2dA

y2

FB2


จากรปท 4.32 ถาใหวตถลอยอยเหนอผว หรอ มเพยงบางสวนจมอยในของไหล จะพบวา การพจารณาใชหลกเดยวกนกบการจมอยระหวางของไหล 2 ชนด เพราะอากาศกเปนของไหล เชนเดยวกน แตเนองจาก น าหนกจ าเพาะของอากาศ เมอเปรยบเทยบกบของเหลวแลว จะแตกตางกนมาก จงไมน ามาพจารณา (ตดทง) ดงนน แรงลอยตวทของเหลวกระท ากบวตถ จะมคาเทากบน าหนกของของเหลวทถกวตถสวนทจมแทนท (เฉพาะสวนทจม) แลวยงเทากบน าหนกของวตถทงกอนดวย เขยนเปนสมการไดดงน W (4.42)

เมอ คอ ปรมาตรของวตถในสวนทจมของเหลว (m3)

4.11 เมตาเซนเตอร และความสงเมตาเซนตรก

รปท 4.33 ความเสถยรของวตถทลอยนงบนของไหล (ทมา : ดดแปลงจาก Robert and Alan, 1998)

จากรปท 4.33 เมอวตถลอยหยดนงบนของไหล จะเกดแรงลอยตว FB มากระท ากบวตถท

ต าแหนงจดศนยกลางแรงลอยตว (จด B) ในแนวเดยวกบจดศนยถวง (จด G) ถาวตถเรมเอยงเปนมม (Angle of heel ) แนนนอนวา จดศนยถวง G ของวตถจะเปน

ต าแหนงเดม แตจดศนยกลางแรงลอยตว (จด B) จะเปลยนไป เพราะรปทรงของวตถทจมในของไหลเปลยนไป นนคอท าใหเดมแรงลอยตว FB ทกระท าผานจด B เปลยนไปกระท าผาน เปนจด B’

ถาลากเสนแนวแรงลอยตวใหม ไปตดกบเสนแนวแกนเดม B-G ทจด M เราเรยกจด M นวา เมตาเซนเตอร (Metacenter) และเรยกระยะระหวาง G–M วา ความสงเมตาเซนตรก (Metacentric height)

ความสมพนธระยะหาง ระหวาง จด G–B–M จะเปนตวบอกไดวา วตถทลอยอยมเสถยรภาพหรอไม ดงจะกลาวในหวขอถดไป

W

FB

G

B B

G

FB

W M

B/


4.12 เสถยรภาพของวตถจมและวตถลอย เสถยรภาพของวตถจมและวตถลอย (Stability of submerged and floating bodies)

หมายถง เมอวตถนนมแรงภายนอกมากระท าแลว ท าใหวตถนนกลบคนสสภาพเดมไดหรอไม ซงมผลท าใหวตถทรงตวไดและทรงตวไมได เชน เรอ เมอโดนคลนมากระท าใหเกดการเอยง ต าแหนง B จะถกเปลยนเปน B’ และแนวแรง FB ใหมทเกดขนจะเปนแรงคควบกบน าหนกเรอ ซงถาแรงคควบทเกดขนพยายามท าใหเรอคนสภาพเดม เรยกวา เรอล านทรงตวไดด แตถามผลท าใหเรอเอยงมากขน เรยกวาเรอทรงตวไมได

การทรงตวไดของวตถทลอยไดสามารถแบงไดเปน 3 ประเภท คอ 1) สถานะทรงตวไดด (Stable equilibrium) 2) สถานะทรงตวไมได (Unstable equilibrium) 3) สถานะทรงตวเปนกลาง (Neutral equilibrium)

รปท 4.34 แรงทกระท าเมอวตถจมในของไหลทงกอน (ทมา : ดดแปลงจาก Robert and Alan, 1998)

รปท 4.34 ในกรณทวตถจมในของไหลทงกอน เชน บอลลน และเรอด าน าทจมอยในของไหลทงหมด จดศนยถวง และจดศนยกลางแรงลอยตว จะถกก าหนดใหอยกบท

จากรปท 4.34 จะเหนไดวา + ถา B อยเหนอ G วตถทรงตวด + ถา B อยต ากวา G วตถทรงตวไมได + ถา B อยต าแหนงเดยวกบ G วตถทรงตวเปนกลาง

รปท 4.35 ในกรณทวตถลอยอยเหนอของไหล เชน เรอ เมอมแรงภายนอกมากระท า จะท าให

จดศนยการแรงลอยตวเปลยนไป ในขณะทจดศนยถวงอยทเดม

FB F

B

FB

FB

W W W W

G G G G

B B

B B


รปท 4.35 แรงทกระท าเมอวตถจมในของไหลเพยงบางสวน (ทมา : ดดแปลงจาก Robert and Alan, 1998)

จากรปท 4.35 อธบายไดวา

+ ถาต าแหนง M อยเหนอจด G [ระยะ BM > BG] วตถอยสถานะทรงตวได + ถาต าแหนง M อยต ากวา จด G [ระยะ BM < BG] วตถอยสถานะทรงตวไมได + ถาต าแหนง M อยต าแหนงเดยวกบ G [ระยะ BM = BG] วตถอยสถานะเปนกลาง 4.13 การหาความสงเมตาเซนตรก

รปท 4.36 เมอวตถลอยในของไหลเอยงท ามม (ทมา : ดดแปลงจาก Robert and Alan, 1998)

รปท 4.36 เมอเรอเอยงเปนระยะเชงมม จดศนยกลางแรงลอยตวจะเปลยนจากต าแหนง B-B’ ท าใหเกดโมเมนตคควบ เทากบ FB x BM x ซงเทากบผลรวมของโมเมนตของน าหนกปรมาตรของของเหลว ดงนนเขยนเปนสมการไดดงน

W

W

W

W

M

M G G

G G

B B B B B

/

B/

FB F

B F

B

FB

W M

x

B

G

FB

B/


B 2 ∫ x x

B 2 ∫ x (4.43)

เนองจาก 2 x2 dA คอ โมเมนตความเฉอย (Moment of inertia, I ) ของพนทหนาตดตามแนวผวของเหลว รอบแกนนอน ดงนน B (4.44)

โดยท

B (4.45)

เมอ : ปรมาตรของของเหลวทถกวตถแทนท BM : รศมเมตาเซนตรก

ส าหรบ ความสงเมตาเซนตรก GM หาไดจากสมการ G BG B (4.46) เมอ BG คอ ระยะจากจดศนยกลางแรงลอยตวกบจดศนยถวง ตวอยางท 4.11 เมอวตถจมอยในน ามนชวภาพ (Bio-oil) ทมถวงจ าเพาะ 1.2 และมปรมาตรของของเหลวทถกแทนท 8 m3 จงค านวณหาน าหนกของวตถ และปรมาตรทแทนทไดในน า วธท า

หาน าหนกจ าเพาะของน ามนชวภาพ จากสมการ

= .g = S.W.g = 1.2 x 1,000 x 9.81 = 11,772 N/m3 หาน าหนกของวตถ จากสมการ

FB = W = .


W = 11,772 x 8 = 94,176 N ตอบ

หาปรมาตรของน าทถกแทนท จากสมการ

W =

= 4 76

= 9.6 m3 ตอบ

ตวอยางท 4.12 จากรปท 4.37 แผนไม (Wood) ขนาด กวาง x ยาว x สง = 1.25 m x 2 m x 4 m

ตามล าดบ มความถวงจ าเพาะ (Swood) เทากบ 0.64 ลอยอยในน าทะเลทมน าหนกจ าเพาะ (sea) เทากบ 10.1 kN/m3 จงหาปรมาตรสวนทจมของแผนไม และจดศนยกลางของแรงลอยตว


วธท า

โจทยถามหาปรมาณของไมทจมในทะเล

จากสมการ FB = W = . หา W จาก

W = mg = . V.g = .V = W. SW.V แทนคาได W = (103 x 9.81 x 0.64) x (1.25 x 2 x 4)

= 62.78 x 103 N ดงนน จากสมการ

4 m 1.5 m

2 m G sea

= 10.1 kN/m3

Swood

= 0.64


=

= 6 .7 3 . 3

= 6.216 m3 ตอบ

โจทยถามหาจดศนยกลางของแรงลอยตว

ถาใหไมจมทะเลลก เปนระยะ h

= 6.216 m3 = 4 x 1.25 x h จะได h = 1.243 m

ดงนน จดศนยกลางของแรงลอยตว จะอยหางจากขอบลาง

= . = 0.622 m ตอบ

4.14 บทสรป

สถตยศาสตรของไหล (Fluid statics) หรอของไหลสถต หมายถง ของไหลหนงๆ ทอยนง หรอเคลอนทโดยไมท าใหเกดการเคลอนทของชนของไหล นนคอ ไมเกดความเคนเฉอน (Shear stress)

ความดน หมายถง แรง (Force) ทกระท าตงฉากบนหนงหนวยพนท (Area) มหนวยเปน bar , N/m2 , lb/in2 (Psi) เรยกการวดแบบนวา ความดนสถต (Statics pressure) นอกจากน ความดนยงสามารถวดไดในรปแบบของน าหนกจ าเพาะและความสงของของไหล เรยกการวดนวา เฮดความดน (Pressure head)

เฮดความดน (Pressure head) เปนความสงในแนวตงฉากกบผวอสระเมอเทยบกบจดอางองใดๆ ในของเหลวทหยดนง

ความดนสมบรณ = ความดนเกจ + ความดนบรรยากาศ บารอมเตอร (Barometer) เปนเครองมอวดความดนบรรยากาศ ประกอบดวยหลอดแกว

สญญากาศ วางคว าลงในอางปรอท หรอของเหลวอนๆ ความดนบรรยากาศจะวดออกมาเปนความสงของของไหลในหลอดแกว นนคอ คา h

แมนอมเตอร (Manometer) เปนเครองมอวดความดนของของเหลวหรอกาซประกอบดวยหลอดแกวรปตวย หรอหลอดแกวเอยง ทบรรจของเหลวชนดหนงทไมรวมตวกบ ของไหลในภาชนะทจะวดความดน แมนอมเตอรมหลายแบบดวยกน ไดแก หลอดพซอมเตอร (Piezometer tube) ซงเปนแมนอมเตอรอยางงาย แมนอมเตอรแบบหลอดตวย (U–tube manometer) และแมนอมเตอรแบบวดผลตางของความดน (Differentia manometer)


หลอดพซอมเตอร (Piezometer tube) เปนแมนอมเตอรอยางงายทสด มลกษณะเปนหลอดแกวเปดแนวดงเมอเสยบตอเขากบภาชนะบรรจของเหลวทตองการวดความดนของเหลวในภาชนะบรรจจะไหลขนไปตามหลอดแกวเนองจากความดนของของเหลวดงกลาวสงกวาความดนบรรยากาศ ทสภาวะสมดลระหวางน าหนกของของเหลวในหลอดแกวกบความดน สามารถอานความสงของของเหลวในหลอดแกวได h เมตร ของเหลวในหลอดแกวและในภาชนะบรรจซงเปนของเหลวชนดเดยวกนจะมน าหนกจ าเพาะคาเดยวกนคอ

แมนอมเตอรแบบหลอดตวย (U–tube manometer) แมนอมเตอรแบบหลอดรปตวยนจะใชหลอดแกวดดเปนรปตวย โดยทปลายดานหนงน าไปตอเขากบจดทตองการวดความดน และปลายอกขางจะเปดสบรรยากาศ

มาตรวดบวดอง (Bourdon gauge) เปนเครองมอใชวดความดนแบบหนาปดและใชส าหรบวดความดนเกจ ใชวดความดนทต ากวาและสงกวาความดนบรรยากาศได ถาตองการหาความดนสมบรณกตองน าคาทอานไดไปบวกกบความดนบรรยากาศ อปกรณของเครองวดแบบบดองนประกอบดวยหลอดซงมภาคตดขวางเปนรปไขและตดเปนสวนโคงของวงกลม ปลายหลอดเชอมปดสนทอกปลายขางหนงตอกบอปกรณทใชวดความดนเมอความดนภายในหลอดเพมขน หลอดจะดนออก ซงการเปลยนแปลงความดนจะไปปรากฏเปนการเคลอนไหวของปลายทอปดซงตอกบกลไก ท าใหเขมชหมนไปตามสเกลทแบงไว แลวอานคาออกมา

เมอวตถจมเพยงบางสวน หรอจมทงหมดในของไหล จะเกดแรงมากระท าทวตถ ในแนวตงฉากกบผว เปนแรงทพยายามพยงหรอยกวตถใหลอยขน ในทศทางสวนทางกบแรงดงดดของโลก เราเรยกวา แรงลอยตว (Buoyant force) และต าแหนงทแรงลอยตวกระท ากบวตถนน เรยกวา จดศนยกลางของแรงลอยตว (Center of buoyancy)

ผทคนพบแรงลอยตว คอ อารคเมเดส กลาวไววา “เมอวตถใดๆ จมอยในของไหลไมวาจะเปนทงหมด หรอบางสวนกตาม จะมแรงลอยตวมากระท ากบวตถนนและจะมคาเทากบน าหนกของของไหลทถกวตถนนแทนท” เรยกวา หลกการของอารคมดส (Archimedes principle)

เสถยรภาพของวตถจมและวตถลอย (Stability of submerged and floating bodies)หมายถง เมอวตถนนมแรงภายนอกมากระท าแลว ท าใหวตถนนกลบคนสสภาพเดมไดหรอไม ซงมผลท าใหวตถทรงตวไดและทรงตวไมได

การทรงตวไดของวตถทลอยไดสามารถแบงไดเปน 3 ประเภท คอ 1) สถานะทรงตวไดด (Stable equilibrium) 2) สถานะทรงตวไมได (Unstable equilibrium) 3) สถานะทรงตวเปนกลาง (Neutral equilibrium)


แบบฝกหดทายบท

บทท 4

1. จงบอกความหมายของความดน 2. ความดน 1 บรรยากาศ หมายถงอะไร 3. เครองมอวดความดนแบบบดอง ใชวดความดนอยางไร 4. แมนอมเตอรแบบหลอดรปตวย ใชวดความดนอยางไร 5. แมนอมเตอรแบบวดผลตางของความดน ใชวดความดนอยางไร 6. กฎของปาสคาล กลาวไววาอยางไร 8. ความดนสมบรณ หมายถงอะไร 9. บารอมเตอรคออะไร 10. Head Pressure คออะไร 11. ความดนของของไหลในทอมคา 20 kN/m2 จงหาความดนสมบรณของของไหลนน 12. แมนอมเตอรแบบตวย ดงรปท 4.38 บรรจปรอทมความถวงจ าเพาะ13.6 ใชวดทอซงวางในแนวระดบมน ามนไหลอย มความถวงจ าเพาะ 0.95 ความแตกตางระหวางปรอทเทากบ 40 cm จงหาความดนแตกตางระหวาง PA และ PB เปน kN/m2

รปท 4.38 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 12 (ทมา : ดดแปลงจาก Frank, 2011)

13. เมทลแอลกอฮอล (Methyl alcohol) มความถวงจ าเพาะ 0.85 และ กาซโซลน (Gasoline) มความถวงจ าเพาะ 0.701 บรรจแยกออกจากกนอยในถงระบบเปด ดงรปท 4.39 จงหาวาความดนทกนถง (P3) เปนเทาใด ถาความดนบรรยากาศ เทากบ 101.3 kPa

น ามน น ามน

ปรอท

h

L

O O/

PB P

A


รปท 4.39 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 13 (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

14. จากรปท 4.40 จงหาความดนในทอน ามน A (PA) ก าหนดให ความดนบรรยากาศ (Patm) = 101.3 kPa ความถวงจ าเพาะของน ามน เทากบ 0.89 และความถวงจ าเพาะของปรอท (Hg) เทากบ 13.6

รปท 4.40 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 14 (ทมา : ดดแปลงจาก Munson, et al., 2013)

15. ของไหลสองชนดไหลภายในทอทอยในแนวตางระดบกน ดงรปท 4.41 จงหาความดนแตกตางระหวางของเหลวในทอ A และทอ B (PA – PB) ก าหนดให Sน า = 1 , Sน ามนเบซน = 0.78 และ Sปรอท = 13.6


B C

D

0.5 m

0.9 m

SHg

= 13.6

SOil

= 0.89


กาซโซลน

เมทลแอลกอฮอล

S = 0.85

0.3 m

0.7 m

A

B

C


รปท 4.41 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 15

(ทมา : ดดแปลงจาก Munson, et al., 2013) 16. จงค านวณหาความดนของอากาศ (Air) ในถง (PA) ดงรปท 4.42 โดยก าหนดให ความหนาแนนของอากาศ เทากบ 1.2 kg/m3 ความถวงจ าเพาะของน ามน (oil) เทากบ 0.89 ความถวงจ าเพาะของน า เทากบ 1 และความดนบรรยากาศ เทากบ 101.3 kPa


17. ประตกนรปสเหลยมผนผา ขนาด กวาง 0.5 m สง 4.5 m ดงรปท 4.43 ใชกนของเหลวทเปนน า (ความถวงจ าเพาะ เทากบ 1) ทมระดบความสง 4 m จงค านวณหาขนาดและต าแหนงของแรงลพธทกระท ากบประตกนน า

+

+ A

B น ามนเบนซน

น า

ปรอท

40 cm

25 cm

20 cm

C

D E

F

G

น ามน

S = 0.89

อากาศ

อากาศ

น า


6 cm 4 cm 15 cm B

A

C

D



18. ประตกนรปสเหลยมผนผา กวาง 0.4 m สง1.5 m ใชกนของไหลสองชนด คอ เอสเทอร (Ether) ทมความถวงจ าเพาะ เทากบ 0.715 และคารบอนไดซลไฟด (CS2) ทมคาความถวงจ าเพาะ เทากบ 1.265 ดงรปท 4.44 อยากทราบวาระยะความสงของเอสเทอร (Z) เปนเทาใด


19. ประตกนน า (Gate) รปวงกลม ใชส าหรบกนน าในแนวเอยงของอางเกบน าขนาดใหญ ดงรปท 4.45 ก าหนดให น ามความถวงจ าเพาะเทากบ 1 จงหาขนาดและต าแหนงของแรงลพธทกระท ากบประตกน

4.5 m

0.5 m

4 m

น า

O

Z 1.5 m

0.9 m

เอสเทอร

คารบอนไดซลไฟด


รปท 4. 45 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 19


20. ทอคอนกรตรปทรงกระบอก ขนาดเสนผานศนยกลาง 3 m และยาว 3 m บรรจน าสงในระดบครงถง ดงรปท 4.46 จงค านวณหาขนาดและต าแหนงของแรงลพธทน ากระท ากบผวโคง BA

รปท 4. 46 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 20


21. แรงลอยตวทกระท ากบวตถ คออะไร 22. จด Metacenter คออะไร 23. แทงทรงกระบอกขนาดเสนผานศนยกลาง 5 cm จมอยในน ามน สวนบนโผลพนผวอสระ 6 cm ดงรปท 4.47 ถาน ามนมความหนาแนน 880 kg/m3 จงค านวณหาความหนาแนนของทรงกระบอก

4 m

60๐

10 m

0

x

y

A

A จดศนยกลางของความดน

C

ตวกน

เพลา

3 m

A

B

A

B

YR

XR

FH

FV


รปท 4.47 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 4 ขอท 23 (ทมา : ดดแปลงจาก Donald et al., 2012)

24. ฟองน ามขนาดกวาง 12 cm ยาว 24 cm สง 6 cm มความถวงจ าเพาะ 0.34 ลอยอยในน าในสภาพสมดล จงค านวณหาปรมาตรสวนทจมของฟองน า 25. แทงไมทมความถวงจ าเพาะ 0.84 มความกวาง 50 mm ยาว 120 mm ลก 40 mm ดงรปท 4.48 จงหาความสงเมตาเซนตรก



50 mm

40 mm

120 mm

G

B O

22 cm

5 cm

6 cm

W

FB

กลศาสตรของไหล บทท 5 พนฐานของการไหล 119

บทท 5

พนฐานของการไหล

(Basic of flow) ส าหรบในบทนจะกลาวถงพนฐานของการไหล (Basic of flow) ซงเปนทฤษฎการไหลของของไหล เพอทจะท าใหทราบถงลกษณะพนฐานของการไหลของของไหลแบบตางๆ เนอหาในบทเรยนน ประกอบดวย นยาม ชนดของการไหล และสมการพนฐานของการไหล โดยมรายละเอยดดงตอไปน 5.1 นยาม

ค านยามทเกยวของกบการไหลของของไหลทจะกลาวถง ไดแก เสนกระแส (Stream line) และ ล าทอกระแส (Stream tube)

5.1.1 เสนกระแส (Stream line) เสนกระแส หมายถง เสนทเชอมตอเวกเตอรความเรวของแตละอนภาคของงของไหล ณ

เวลาใดเวลาหนง หรอ เสนทบงถงทศทางการหลหรอการเคลอนทโดยเฉลยของอนภาคของของไหล ดงแสดงในรปท 5.1 (ก)

5.1.2 ล าทอกระแส (Stream tube) ล าทอกระแส หมายถง ล าทอทเกดจากการลากเสนกระแสกลมหนงผานเสนโคงวงรอบปด

2 วง ดงแสดงในรปท 5.1 (ข)

(ก) เสนกระแส (ข) ล าทอกระแส

รปท 5.1 ลกษณะของการไหล

(ทมา : ดดแปลงจาก Frank, 2011)

ความเรวในการไหล, v

120 บทท 5 พนฐานของการไหล กลศาสตรของไหล

5.2 ชนดของการไหล

5.2.1 การไหลในสภาวะคงตว และในสภาวะไมคงตว (Steady and unsteady flow) 1) การไหลในสภาวะคงตว (Steady flow) คอ การไหลของของไหลทผานจดทตองการวดดวยความเรวคงท ดงรปท 5.2 ความเรวทจด 1 (v1) เทากบ ความเรวทจด 2 (v2)

รปท 5.2 การไหลของของไหลในสภาวะคงตว (ทมา : ดดแปลงจาก Pijush and Ira, 2010)

2) การไหลในสภาวะไมคงตว (Unsteady flow) คอ การไหลของของไหลชนดทความเรวในการไหล ณ จดใดๆ มการเปลยนแปลงหรอขาดชวง ดงแสดงในรปท 5.3 ความเรวทจด 1 (v1) ไมเทากบ ความเรวทจด 2 (v2)

รปท 5.3 การไหลของของไหลในสภาวะไมคงตว (ทมา : ดดแปลงจาก Pijush and Ira, 2010)

5.2.2 การไหลแบบทศทางเดยว สองทศทาง และสามทศทาง (One-dimension, Two-

dimension and Three-dimension flow) 1) การไหลแบบทศทางเดยว (One-dimension flow) คอ การไหลทเสนกระแส

(Streamline) เคลอนทไปทางเดยว ซงการไหลชนดน การเปลยนแปลงของความดนหรอความเรว จะไมเกดขนในทศทางอน นอกจากเกดขนในทศทางเสนกระแส ดงรปท 5.4

v1 v

2

การไหลในสภาวะคงตว

1 2

การไหลในสภาวะไมคงตว

v1 v

2 1 2


รปท 5.4 การไหลแบบทศทางเดยว (ทมา : ดดแปลงจาก Pijush and Ira, 2010)

2) การไหลแบบสองทศทาง (Two-dimension flow) คอ การไหลทเสนกระแส

(Streamline) เคลอนทไปในระนาบเดยวกน แตมการเคลอนทขนลงได ดงรปท 5.5

รปท 5.5 การไหลแบบสองทศทาง (ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999)

3) การไหลแบบสามทศทาง (Three-dimension flow) คอ การไหลทเสนกระแส

(Streamline) มการเปลยนแปลงไปทงสามทศทาง ดงรปท 5.6

รปท 5.6 การไหลแบบสามทศทาง

(ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999)

ทอ การไหลจนตนาการ การไหลจรง


5.2.3 การไหลแบบราบเรยบ และแบบปนปวน (Laminar and turbulent flow) 1) การไหลแบบราบเรยบ (Laminar flow) คอ การไหลของของไหลเคลอนทตามกนไป

เปนแผนหรอชนเรยบๆ โดยทแผนหนงเลอนเรยบเหนอแผนอน ดงรปท 5.7

รปท 5.7 การไหลแบบราบเรยบ

(ทมา : ดดแปลงจาก Oteh, 2008)

2) การไหลแบบปนปวน (Turbulent flow) คอ การไหลของของไหลเคลอนทไปในทศทางไมแนนอน มการเคลอนทขนลง หมนวนจากสวนหนงของของไหลไปยงสวนอน ดงรปท 5.8

รปท 5.8 การไหลแบบปนปวน (ทมา : ดดแปลงจาก Oteh, 2008)

5.2.4 การไหลแบบหนด และแบบไมหนด (Viscous and non-viscous flow)

1) การไหลแบบหนด (Viscous flow) คอ การไหลของของไหลทมความหนด เชน น าผง จะไหลยาก ความหนดท าใหชนของของไหลทตดกนเคลอนผานกนไดยาก ลกษณะการไหลแบบนจะแสดงดงรปท 5.9


รปท 5.9 การไหลแบบหนด (ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999)

2) การไหลแบบไมหนด (Non-viscous flow) คอ การไหลของของไหลทไมมความหนด

เชน น า จะไหลไดงายกวา ลกษณะการไหลแบบนจะแสดงดงรปท 5.10

รปท 5.10 การไหลแบบไมหนด (ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999)

5.2.5 การไหลแบบอดตวไมได และแบบอดตวได (Incompressible and compressible flow) การไหลแบบอดตวไมได (Incompressible flow) คอ การไหลทสามารถสงเกตไดจากความหนาแนนของของไหลวามการเปลยนแปลงหรอไมในระหวางการไหล การวเคราะหอตราการไหลจงมความซบซอนนอย ถาความหนาแนนคงทในการไหล แสดงวาเปนการไหลแบบอดตวไมได (Incompressible flow) แตถาความหนาแนนเปลยนไประหวางการไหล แสดงวาเปนการไหลแบบอดตวได (Compressible flow) สวนใหญแลวการไหลของของเหลวจะเปนการไหลแบบอดตวไมได ขณะทการไหลของกาชจะถกบบอดไดงายกวา ยกตวอยาง เชน อากาศไหลผานคอมเพรสเซอร


5.2.6 การไหลแบบหมน และแบบไมหมน (Rotational and irrotational flow) การไหลแบบหมน (Rotational flow) ของไหลจะหมนพรอมกบการเคลอนท และ

ความเรวของอนภาคในของไหลจะไมเทากน ณ ต าแหนงตางๆ ในแนวดง ดงรปท 5.11 ขณะทการไหลแบบไมหมน (Irrotational flow) ของไหลจะมเฉพาะการเคลอนทเทานน ความเรวในอนภาคในของไหลจะเทากน ณ ต าแหนงตางๆ ในแนวดง ดงแสดงในรปท 5.12

รปท 5.11 การไหลแบบหมน (ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999)

รปท 5.12 การไหลแบบไมหมน (ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999)

5.3 สมการพนฐานของการไหล

5.3.1 ความเรวในการไหล (Velocity) ความเรวในการไหล (v) หมายถง ระยะทางทวตถเคลอนทไปในระยะเวลาหนง มหนวยเปน m/s ในของไหลจะแตกตางจากของแขงเพราะอนภาคในของไหลนนๆ พบวา ความเรวของอนภาคมทศทางการเคลอนทคนละทศทาง และเปลยนแปลงอยางตอเนองขนอยกบเวลาและสถานท เชน กาซ ทแตละโมเลกลจะเคลอนทเปนอสระตอกน

ส าหรบในของเหลว เชน การไหลในทางน าเปด หรอ ไหลในทอ เนองจากบรเวณทองน า หรอทผวทอ จะมแรงเสยดทานของการไหล ท าใหความเรวบรเวณนนมคาเทากบศนย ดงรปท 5.13


ซงโดยทวไป ความเรวของไหลทกลาวถง จงเปนความเรวเฉลย (Mean velocity) ทสมมตขนแสดงเปนเสนประ ซงมคาคงทตลอดหนาตด

รปท 5.13 ความเรวในการไหล

(ทมา : ดดแปลงจาก Robert et al., 2012)

ความเรวเฉลยของของไหลสามารถค านวณไดดงสมการท (5.1)

(5.1)

โดยท v คอ ความเรวเฉลยของการไหล (m/s) Q คอ อตราการไหล (m3/s) A คอ พนทหนาตดของไหล (m2)

5.3.2 อตราการไหล (Flow rate) อตราการไหล หมายถง ปรมาณของไหลทเคลอนท ตอหนงหนวยเวลา ซงสามารถวดได

ทงในเทอมของปรมาตร และเทอมของมวล ดงน 1) ถาเปนของเหลว จะวดในเชงปรมาตร มหนวยเปน m3/s (Volume flow rate) ในการพจารณาการไหล สามารถหาอตราการไหลในเชงปรมาตร ไดจากสมการท (5.2)

(5.2)

โดยท Q คอ อตราการไหล (m3/s)

คอ ปรมาตรของการไหล (m3) T คอ เวลาในการของไหล (s) หรอ อตราการไหลสามารถหาไดจากความเรวเฉลยในการไหล ดงสมการท (5.3) (5.3)

Fluid

v v


v v


โดยท Q คอ อตราการไหล (m3/s) A คอ พนทหนาตดของไหล (m2) v คอ ความเรวเฉลยของการไหล (m/s)

2) ถาเปนกาซจะวดในเชงมวล มหนวยเปน kg/s (Mass flow rate) การหาอตราการไหลของของไหล สามารถหาไดจากอตราการไหลเชงมวล (Mass flow rate) ดงสมการท (5.4)

ρ ρ (5.4)

โดยท คอ อตราการไหลเชงมวล (kg/s)

คอ ความหนาแนนของของไหล (kg/m3) A คอ พนทหนาตดของไหล (m2) v คอ ความเรวเฉลยของการไหล (m/s)

รปท 5.14 การไหลเชงมวล

(ทมา : ดดแปลงจาก Graebel, 2001)

5.3.3 สมการการไหลตอเนอง (Continuity equation) สมการการไหลตอเนอง คอ สมการทแสดงถงกฎการอนรกษมวลของของไหลในระบบทเราศกษาหรอในปรมาตรควบคม (Control volume) นนกคอ ผลตางของมวลของไหลทไหลเขาระบบ กบมวลของไหลทไหลออกระบบ จะมคาเทากบมวลทสะสมในระบบ นนคอ

หากพจารณาอตราการไหล โดยมวลของของไหลเขาและออกจากระบบจะได

ทศทางการไหล v

A δ

x


กรณ Steady flow ; จะได

หรอ ∑ ∑

เนองจาก ρ ดงนนสมการตอเนอง สามารถเขยนไดดงน ∑ ρ ∑ ρ (5.5)

กรณทมกระแสการไหลเดยว (Single stream) ดงรปท 5.15 สมการความตอเนองเมอพจารณาการไหลแบบคงตว (Steady flow) สามารถเขยนไดเปน

ρ ρ (5.6)

ซงกคอ อตราการไหลโดยมวลขาเขา เทากบ อตราการไหลโดยมวลขาออก

รปท 5.15 การไหลแบบตอเนอง (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

ถาการไหลเปนแบบคงตวและเปนการไหลทไมสามารถอดตวได (Steady and incompressible flow) และมการไหลหลายทศทาง สมการทไดคอ

∑ ∑ (5.7)

เนองจากคาความหนาแนน (ρ) มคาคงท

1

2

v1

A1

A2

v2


ตวอยางท 5.1. น าปรมาณ 2,500 ลตร ไหลผานทอทมขนาดเสนผานศนยกลาง 30 cm ในเวลา 1 นาท จงหาความเรวเฉลย และ อตราการไหลเชงมวลของน าทไหลผานทอดงกลาว วธท า


และ ปรมาตร = 2,500 x 10- 3 = 2.5 m3 เวลา T = 1 นาท = 60 วนาท (s)

ดงนน

= 0.042 m3/s

หาความเรวเฉลย จาก

( ) = 0.59 m/s ตอบ

หาอตราการไหลเชงมวล จาก ρ

(1,000) x ( x 0.32) x 0.59

41.7 kg/s ตอบ


ตวอยางท 5.2 น ามนมความถวงจ าเพาะ 0.8 ไหลผานทอขนาดเสนผานศนยกลาง 120 cm (จดท 1) ดวยความเรว 0.9 m/s และผานทอทลดขนาดลงมเสนผานศนยกลาง 60 cm (จดท 2) ดงรปท 5.16 จงหาอตราการไหลของน ามนในทอ และความเรวของน ามนทไหลผานทอจดท 2


(ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993) วธท า หาอตราการไหล

จาก Q = A1 v1 = A2 v2

= ( x 1.22) x 0.9

ดงนน Q = 1.018 m3/s ตอบ

หาความเรวของน ามนทจดท 2 จาก Q = A1 v1 = A2 v2

ดงนน ( x 1.22) x 0.9 = ( x 0.62) x v2

v2 = 3.6 m/s ตอบ

120 cm

1

2

60 cm


ตวอยางท 5.3. จากรปท 5.17 น ามน (Oil) ทมความถวงจ าเพาะ 0.85 ไหลผานทอ A ดวยอตราการไหล 0.1 m3/s และน า (Water) ทมความถวงจ าเพาะ 1 ไหลผานทอ B ดวยอตราการไหล 0.03 m3/s จงหาความเรวเฉลยและความหนาแนนของของไหลทผานทอ C ถาก าหนดให ขนาดเสนผานศนยของทอ C เทากบ 30 cm


(ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993) วธท า หาความเรวเฉลยททางออกทอ C

จากสมการการไหลตอเนอง Q = คาคงท เนองจากน ากบน ามน เปนของไหลอดตวไมได ดงนน QC = QA + QB

AC vC = 0.1 + 0.03 = 0.13

vC = ( ) = 1.84 m/s ตอบ

หาความหนาแนนของของไหลททอ C จากสมการการไหลตอเนอง = คาคงท และ A + B = C

ดงนน ρ ρ ρ หรอ ρ ρ ρ แทนคา (0.85 x 103 x 0.1) + (103 x 0.03) = C vC (

x 0.32)

C

A

B

น ามน, 0.1 m3

/s

น า, 0.03 m3

/s


ρ = 1626.92

C = 1626.92 / 1.84

= 884.2 kg/m3 ตอบ

ตวอยางท 5.4 ถงบรรจน ามทางเขาทดานขางถงสองดาน ดงรปท 5.18 ความสงของน ามคาเทากบ h จงหาคา dh/dt ถาก าหนดให D1 = 2.5 cm, D2 = 7.5 cm, v1 = 1 m/s, v2 = 0.5 m/s และ พนทหนาตดของถงน า, ATank = 2 m2 สมมตอณหภมของน าเทากบ 20oC


(ทมา : ดดแปลงจาก Mercle et al., 2002)

วธท า จากสมการการไหลตอเนอง = คาคงท

และ 1 + 2 = T ดงนน ρ ρ ρ

หรอ ρ ρ ρ

หรอ

D1

v1 D

2

v2

h น ำ


( ) ( )

( ) ( )

0.0046 m/s ตอบ

ตวอยางท 5.5 ถงทมความทนทานสงขนาด 2 m3 ดงรปท 5.19 เรมตนจอากาศทมความหนาแนน 1.12 kg/m3 ถงนเชอมตอกบแหลงทความดนสงดวยความวาลว เมอเปดวาลวอากาศกไหลเขาถงเพมขนท าใหถงนมความหนาแนนเปน 7.40 kg/m3 จงหามวลของอากาศทไหลเขาถงน



วธท า เรมตนอากาศในถงมมวล

m = = 1.12 x 2 = 2.24 kg

หลงเปดวาลวอากาศในถงมมวล

m = = 7.40 x 2 = 14.8 kg

มวลของอากาศทไหลเขา = 14.8 – 2.24 = 12.56 kg ตอบ

อากาศ

วาลว


5.4 บทสรป เสนกระแส (Stream line) หมายถง เสนทเชอมตอเวกเตอรความเรวของแตละอนภาคของงของ

ไหล ณ เวลาใดเวลาหนง หรอเสนทบงถงทศทางการหลหรอการเคลอนทโดยเฉลยของอนภาคของของไหล

ล าทอกระแส (Stream tube) หมายถง ล าทอทเกดจากการลากเสนกระแสกลมหนงผานเสนโคงวงรอบปด 2 วง

การไหลในสภาวะคงตว (Steady flow) คอ การไหลของของไหลทผานจดทตองการวดดวยความเรวคงท ความเรวทจด 1 เทากบ ความเรวทจด 2

การไหลในสภาวะไมคงตว (Unsteady flow) คอ การไหลของของไหลชนดทความเรวในการไหล ณ จดใดๆ มการเปลยนแปลงหรอขาดชวง ความเรวทจด 1 ไมเทากบความเรวทจด 2

การไหลแบบทศทางเดยว (One-dimension flow) คอ การไหลทเสนกระแส (Streamline) เคลอนทไปทางเดยว ซงการไหลชนดน การเปลยนแปลงของความดนหรอความเรวจะไมเกดขนในทศทางอน นอกจากเกดขนในทศทางเสนกระแส

การไหลแบบสองทศทาง (Two-dimension flow) คอ การไหลทเสนกระแส (Streamline) เคลอนทไปในระนาบเดยวกน แตมการเคลอนทขนลงได

การไหลแบบสามทศทาง (Three-dimension flow) คอ การไหลทเสนกระแส (Streamline) มการเปลยนแปลงไปทงสามทศทาง การไหลแบบราบเรยบ (Laminar flow) คอ การไหลของของไหลเคลอนทตามกนไปเปนแผนหรอชนเรยบๆ โดยทแผนหนงเลอนเรยบเหนอแผนอน การไหลแบบปนปวน (Turbulent flow) คอ การไหลของของไหลเคลอนทไปในทศทางไมแนนอน มการเคลอนทขนลง หมนวนจากสวนหนงของของไหลไปยงสวนอน การไหลแบบหนด (Viscous flow) คอ การไหลของของไหลทมความหนด เชน น าผง จะไหลยาก ความหนดท าใหชนของของไหลทตดกนเคลอนผานกนไดยาก การไหลแบบไมหนด (Non-viscous flow) คอ การไหลของของไหลทไมมความหนด เชน น า จะไหลไดงายกวา การไหลแบบอดตวไมได (Incompressible flow) คอ การไหลทสามารถสงเกตไดจากความหนาแนนของของไหลวามการเปลยนแปลงหรอไมในระหวางการไหล การวเคราะหอตราการไหลจงมความซบซอนนอย ถาความหนาแนนคงทในการไหล แสดงวาเปนการไหลแบบอดตวไมได (Incompressible flow) แตถาความหนาแนนเปลยนไประหวางการไหล แสดงวาเปนการไหลแบบอดตวได (Compressible flow) สวนใหญแลวการไหลของของเหลวจะเปนการไหลแบบอดตวไมได ขณะทการไหลของกาชจะถกบบอดไดงายกวา ยกตวอยาง เชน อากาศไหลผานคอมเพรสเซอร การไหลแบบหมน (Rotational flow) ของไหลจะหมนพรอมกบการเคลอนท และความเรวของอนภาคในของไหลจะไมเทากน ณ ต าแหนงตางๆ ในแนวดง ขณะทการไหลแบบไมหมน (Irrotational flow) ของไหลจะมเฉพาะการเคลอนทเทานน ความเรวในอนภาคในของไหลจะเทากน ณ ต าแหนงตางๆ ในแนวดง


ความเรวในการไหล (v) หมายถง ระยะทางทวตถเคลอนทไปในระยะเวลาหนง มหนวยเปน m/s ในของไหลจะแตกตางจากของแขงเพราะอนภาคในของไหลนนๆ พบวา ความเรวของอนภาคมทศทางการเคลอนทคนละทศทาง และเปลยนแปลงอยางตอเนองขนอยกบเวลาและสถานท เชน กาซ ทแตละโมเลกลจะเคลอนทเปนอสระตอกน

อตราการไหล หมายถง ปรมาณของไหลทเคลอนท ตอหนงหนวยเวลา ซงสามารถวดไดทงในเทอมของปรมาตร และ เทอมของมวลโดย ถาเปนของเหลว จะวดในเชงปรมาตร มหนวยเปน m3/s ถาเปน กาซ จะวดในเชงมวล มหนวยเปน kg/s (เรยกวา Mass flow rate) สมการการไหลตอเนอง คอ สมการทแสดงถงกฎการอนรกษมวลของของไหลในระบบทเราศกษาหรอในปรมาตรควบคม (Control volume)



บทท 5 1. เสนกระแส (Stream line) หมายถงอะไร 2. จงบอกความหมายของการไหลในสภาวะคงตว และไมคงตว 3. จงบอกความหมายของการไหลแบบอดตวได และแบบอดตวไมได 4. ความเรวเฉลยของการไหล หมายถงอะไร

5. อตราการไหล หมายถงอะไร

6. สมการการไหลตอเนอง หมายถงอะไร

7. น ามนทมความถวงจ าเพาะ 0.78 ไหลผานทอขนาดเสนผานศนยกลาง 5 m และผานทอลดขนาดเสนผานศนยกลาง 3 m ดงรปท 5.20 ก าหนดใหความเรวททอทางเขา (1) เทากบ 1.2 m/s จงค านวณหาอตราการไหลและความเรวททอลด (2) ของน ามนในทอน

รปท 5.20 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 5 ขอท 7 (ทมา : ดดแปลงจาก Munson et al., 2013)

8. สระวายน ารปทรงกระบอก มขนาดเสนผานศนยกลาง 5 m ลก 1.2 m ถาเตมน าลงในสระโดยทอขนาด 5 cm ดวยความเรวเฉลย 2 m/s จงหาวา ตองใชเวลาในการเตมน าเทาไร น าจงจะเตมสระ 9. น าไหลเขาและออกถงโดยควบคมปรมาตร (CV) ดงรปท 5.21 ก าหนดให พนทหนาตด A1, A2 และ A3 มคา 0.34 m2, 0.45 m2 และ 2.5 m2 ตามล าดบ และน าทไหลเขามความเรว v1 = 3.5 m/s และ v2 = 6.4 m/s จงหา ความเรว v3 ของน าขาออก เมอการไหลเปนแบบสภาวะคงตว

5 m 3 m น ามน v

1 v

2

2 1



10. ทอแยกดงรปท 5.22 มน ามนทมความถวงจ าเพาะ 0.96 ไหลผานดวยอตราการไหล 2.5 m3/s ทางทอ AB อตราการแยก BC มคาเปนสองเทาของอตราการไหลในทอแยก BE และความเรวในทอ BD เทากบ 4.5 m/s จงค านวณหาอตราการไหลในทอแยก BC, BD และ BE พรอมทงความเรวในทอ AB, BC และ BE


CV

v1

v3

v2

1 2

3

vc

vE v

A

vD

2 m 0.4 m

0.4 m

1 m

กลศาสตรของไหล บทท 6 สมการโมเมนตม 137

บทท 6 สมการโมเมนตม

(Momentum equation) ในบทนจะกลาวถงการวเคราะหปญหาทางวศวกรรมโดยใชสมการโมเมนตม (Momentum equation) หากพจารณาวตถใดๆ ทก าลงเคลอนท เมอแรงภายนอกทมากระท าไมสมดลจะเกดความเรงขน ท าใหขนาด หรอทศทางของความเรวมการเปลยนแปลง ซงการเปลยนแปลงความเรวจะเกดขนอยางชาๆ ถาวตถนนมมวลมาก หรอแรงทมากระท ามคานอย ในทางตรงกนขาม การเปลยนแปลงจะเกดขนอยางรวดเรวถาวตถนนมวลนอย หรอแรงทมากระท ามคามาก เปนไปตามกฎอมพลสโมเมนตม (Impulse momentum) ในของไหลกเชนเดยวกน หากการไหลมการเปลยนแปลงทศทางหรอขนาดของความเรว นนเปนผลมาจากแรงภายนอกทมากระท า เชนกรณของการไหลในทอทมการลดขนาดหรอของอชนดตางๆ บรเวณผวของผนงทอจะสงแรงกระท าไปยงกบของไหล ท าใหขนาดและทศทางของความเรวเปลยนแปลงไป ดงนน พฤตกรรมของแรงกระท าภายนอกทมผลตอการเปลยนแปลงความเรวของการไหล โดยอาศยหลกการจาก กฎอมพลสโมเมนตม (Impulse momentum) และทฤษฎการเคลอนยายของเรยโนลด (Reynolds transport theorem) 6.1 ความหมายของโมเมนตม โมเมนตม (Momentum) คอ มวลกบวตถนน คณกบความเรวของวตถทเคลอนทหนวยของโมเมนตม มหนวยเปน (kg.m/s) เขยนแทนดวยสมการท (6.1) ดงน

(6.1) โดยท M คอ โมเมนตม (kg.m/s) m คอ มวล (kg) v คอ ความเรว (m/s) 6.2 สมการโมเมนตมเชงเสน (Linear momentum equation) พจารณาสมการโมเมนตมเชงเสน (Linear momentum equation) จากกฏขอท 2 ของนวตน กลาววา “ผลรวมของแรงภายนอกทมากระท ากบวตถ เทากบ อตราการเปลยนแปลงโมเมนตมของระบบ” พจารณาการเคลอนยายปรมาณโมเมนตมของระบบผานปรมาตรควบคม โดยสมมตใหการไหลมเพยงทศทางเดยว และไมมการไหลทางดานขางดงรปท 6.1 จากกฎขอทสองของนวตน จะไดวา

∑ (6.2)

138 บทท 6 สมการโมเมนตม กลศาสตรของไหล

โดยท M คอ โมเมนตม (kg.m/s) m คอ มวล (kg) v คอ ความเรว (m/s) t คอ เวลา (s)

รปท 6.1 การวเคราะหการไหลแบบปรมาตรควบคม (ทมา : ดดแปลงจาก Bruce et al., 2002)

ดงนน

∑ ∬ (6.3)

ส าหรบการไหลแบบคงตว (Steady flow) จะไดวา ∑ ∬

∑

∑ (6.4)

โดยท F คอ แรงลพธสทธ (N)

คอ ความหนาแนนของของไหล (kg/m3) Q คอ อตราการไหล (m3/s) v คอ ความเรวในการไหล (m/s) จากสมการท 6.4 อธบายไดวา

F เปนแรงลพธภายนอกทกระท าตอปรมาตรควบคมเทากบอตราการเปลยนแปลงโมเมนตม ของของไหล

CV

CS

CS

A1

v1

v2

A2


ตวอยางท 6.1 น าในทอมมวล 80 kg เคลอนทดวยความเรว 6.4 m/s จะมโมเมนตมเทาไร วธท า จากสมการ ดงนน M = 80 x 6.4 = 512 kg.m/s ตอบ ตวอยางท 6.2 จากรปท 6.2 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธทกระท ากบทอ ถาการไหลของน าในทอเปนการไหลในสภาวะคงตว (Steady flow) และอตราการไหลของน า เทากบ 1,000 ลตรตอวนาท

รปท 6.2 ประกอบตวอยางท 6.2 (ทมา : ดดแปลงจาก Mercle et al., 2002)

วธท า โจทยถามหา แรงทมากระท ากบปรมาตรควบคม (Control volume)

เปนการไหลในสภาวะคงตว (Steady flow) จากสมการ ∑

หา v1 และ v2 ; จาก สมการอนรกษมวล

จะได

= 1.98 m/s

0.8 m

v1

v2

Fx

Fy F

=45๐


และ

= 7.96 m/s ท าการแตกแรงและความเรว ตามแนวแกน x และ y (เนองจากแรง และความเรวเปนปรมาณเวกเตอรจงตองพจารณาทงขนาด และทศทาง) และ , Q คงท

จากสมการ ∑

= 1,000 x 1 x (7.96 cos45o – 1.98) = 3.648 kN

∑ ( )

= 1,000 x 1 x (7.96 sin 45o – 0) = 5.628 kN

ขนาดของแรงลพธ ∑ √

√

= 6.7 kN ตอบ

ในทศทาง ∑ ∑

( )

= 57.05 องศา ตอบ


ตวอยางท 6.3 จากตวอยางท 6.2 ถาความดนจดท 1 และ 2 มคาเทากบ 2 bar และ 1 bar ตามล าดบ ดงรปท 6.3 จงหาขนาดและทศทางของแรงลพธทกระท ากบทอ

รปท 6.3 ประกอบตวอยางท 6.3 (ทมา : ดดแปลงจาก Mercle et al., 2002)

วธท า

จากตวอยางท 6.2 ท าใหทราบความเรวแลว แตเนองจากตวอยางน ทต าแหนง 1 และ 2 มความดนมาเกยวของ

ดงนน จงตองน าแรงเนองจากความดนนมาพจารณา ตามแนวแกน x และ y พจารณาตามแนวแกน x ; ∑

(แต F = PA) แทนคา

[(2 x 101.3 x 103) ((0.8)2/4)] - [(1 x 101.3 x 103) ((0.4)2 /4) (cos 45o)] - FX = 1,000 x 1 x (7.96 cos 45o – 1.98)

FX = 89 kN พจารณาตามแนวแกน y ;

∑ ( )

0.8 m

F1

v2

Fx

Fy F

=45๐

P

1

v1

2 bar

F2


( ) (แต F = PA) แทนคา

-[(1 x 101.3 x 103) ( (0.4)2 /4) (sin 45o)] + Fy = 1,000 x 1 x (7.96 sin 45o – 0) Fy = 15 kN

ขนาดของแรงลพธ ∑ √

√

= 90 kN ตอบ

ในทศทาง ∑ ∑

( )

= 9.6 องศา ตอบ


ตวอยางท 6.4 หวฉด (Nozzle) อยกบท ฉดน าออกในอตรา 15 m/s โดยมพนทหนาตด 0.05 m2 น าทฉดออกมาปะทะกบใบพด ทตดกบรถ ดงรปท 6.4 โดยใบพดท ามม 60o กบแนวระดบ จงหามวล M ทใชยดรถใหอยนง

รปท 6.4 ประกอบตวอยางท 6.4 (ทมา : ดดแปลงจาก Frank, 2011)

วธท า

โจทยถามหามวลทยดใหรถอยนง ถาก าหนดปรมาตรควบคมตามเสนประ จะพบวา แรงภายนอกทมากระท ากบระบบจะเกด

จากแรงดงของมวล M ในแนวระดบ ดงนนจากสมการ

∑

= 1,000 x 0.05 x 152 (0.5 – 1)

= - 5,625 N

ดงนน

= 573.4 kg ตอบ

v 1

2 60๐

M


ตวอยางท 6.5 จากรปท 6.5. หวฉดน ามความเรว vj และฉดน าออกในแนวระดบไปปะทะโดนแผนใบพดทตดกบรถ ท าใหเคลอนทไปทางขวาดวยความเรว u จงหาแรงทใหรถเคลอนทไดดวยความเรวคงท ถาใหพนทหนาตดของหวฉดน าเทากบ 3 cm2 และ vj = 20 m/s และ u = 15 m/s สมมตไมค านงถงน าหนกของรถในแนวแกน x และการไหลในสภาวะคงตว


(ทมา : ดดแปลงจาก Frank, 2011)

วธท า กรณท รถหยดนง u = 0 พจารณาตามแนวแกน x ; ∑ ( )

= (-) 1,000 x 0.0003 x 202

= - 120 N

กรณท รถวงดวยความเรวคงท u = 15 m/s ตามกระแสน า นนคอ ความเรวสมพนธระหวางของไหลกบรถจะเทากบ vR = (vj – u) พจารณาตามแนวแกน x ; ∑

vj

A u


สมการน ตองใชความเรวสมพนธ ในการพจารณา ∑

= (-) 1,000 x 0.0003 x (20 – 15)2 = - 7.5 N

กรณท รถวงดวยความเรวคงท u = 15 m/s ทวนกระแสน า นนคอ ความเรวสมพนธระหวางของไหลกบรถจะเทากบ vR = (vj + u) พจารณาตามแนวแกน x ; ∑

สมการน ตองใชความเรวสมพนธ ในการพจารณา ∑

= (-) 1,000 x 0.0003 x (20 + 15)2 = - 367.5 N ตอบ

( - ) แสดงทศทางสวนกบกระแสน า


ตวอยางท 6.6 จากรปท 6.6. ล าน าเขากระทบ Divider สมมตไมมแรงเสยดทานในระบบ จงหา Fx และ Fy

รปท 6.6 ประกอบตวอยางท 6.6 (ทมา : ดดแปลงจาก Durst, 2008)

วธท า เนองจาก มวลคงท Q1 = Q2 + Q3 9 = 3 + Q3 ดงนน Q3 = 6 L/s = 0.006 m3/s จาก ∑

พจารณาแรงในแนวแกน x

= [(1,000 x 0.003 x 10 cos 60o) - (1,000 x 0.006 x 10 cos 60o)] – (1,000 x 0.009 x 10 cos 30o) = 93 N ตอบ พจารณาแรงในแนวแกน y ( ) ( )

= [(- 1,000 x 0.003 x 10 sin 60o) + (1,000 x 0.006 x 10 sin 60o)] – (1,000 x 0.009 x 10 sin 30o) = 19 N ตอบ

v1 = 10 m/s

Q1 = 9 L/s

30๐

1

2

3

Q2 = 3 L/s

Fy

Fx


6.3 สมการโมเมนตมเชงมม (Angular momentum equation) พจารณาสภาวะการหมนของของไหลรอบแกนหมนซงจะพบในเครองจกรกลทมการหมน (Rotating machinery) เชน กงหน (Turbines) และ เครองสบ (Pumps) ในการศกษานจ าเปนตองทราบความสมพนธระหวางแรงบดภายนอกกบโมเมนตของโมเมนตมเชงเสนของของไหลนนรอบแกนหมนหนงๆ เพอวเคราะหหาก าลงหมนเพลาของเครองจกรกลนนๆ ตอไป

รปท 6.7 ความสมพนธของโมเมนตมเชงมม (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

พจารณาปรมาตรควบคม (Control volume) ในแกน xy ดงรายละเอยดในรปท 6.7 ปรมาตรของของไหลทมความเรว (v) อยทต าแหนง r วดจากจดอางอง O ซงอยกบท ขณะนนของไหลทมความเรวเชงเสน v ถกกระท าดวยแรงลพธภายนอก dF จากกฎขอทสองของนวตน จะไดวา โดยท คอ ผลตางของแรงบดภายนอก คอ ผลตางของแรงลพธภายนอก พจารณาแรงภายนอกจากสมการโมเมนตมเชงเสน จะไดวา

ผลตางของแรงบดภายนอก จะไดวา

x

y

𝜃


ท าการอนทเกรต โดยทงหมดพจารณาเปนปรมาตรควบคม จะไดแรงบดภายนอกทงหมดเปนดงน

∭ ∬ (6.5)

จากรปท 6.7 vsin = vt แทนคาในสมการท (6.5) จะได

∭ ∬ (6.6)

ใชผลคณของเวกเตอร (Cross product) ดงน r x v = r vsin จากสมการท (6.6) สามารถเขยนใหมในรปแบบของเวกเตอรไดดงน

∭ ∬ (6.7)

สมการท 6.7 เปนประยกตใชส าหรบกรณ 3 มต พจารณาโมเมนตมเชงมม กรณ สปรงเคลอร (Sprinkler) ดงรปท 6.8 (ก) ปรงเคลอร (ข) ความเรวของการฉดหวฉดสปรงเคลอร

รปท 6.8 การวเคราะหความเรวของการฉดหวฉดสปรงเคลอร (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

= 1 rev/s

= 25๐

Rω U

rel rel β


จากรปท 6.8 ก าหนดให v คอ ความเรวสมบรณของของไหลทออกจากหวฉด vrel คอ ความเรวสมพทธของของไหลเทยบกบปรมาตรควบคม vt คอ ความเรวยอยในแนวเสนสมผสและแนวสศนยกลางของความเรว (v) ตรงทางออก

ut คอ ความเรวทปลายทางออกจากหวฉด โดยท ut = R

vrel sin คอ องคประกอบสมผสของความเรวสมพทธ พจารณารปท 6.8 (ข) จะไดวา rel

หรอ rel R (6.8) พจารณาความเรวสมพทธททางออกของหวฉด ส าหรบหวฉดเดยว จะได

rel rel หรอ

rel (6.9)

โดยท D คอ เสนผานศนยกลางนอกของหวฉด และความเรวยอยในแนวเสนสมผสและแนวสศนยกลางของความเรว (v) ตรงทางออก สามารถหาไดจาก

R (6.10)

ส าหรบในกรณไมมมวลใชสมการแรงบดภายนอกจากสมการท (6.5) พจารณาการไหลแบบคงท (Steady flow) จะได

∬ (6.11)

ส าหรบกรณ 2 หวฉด จะไดวา


R∬ (6.11)

ท าการอนทเกรต จะไดวา

R∬( R )

R( R ) (6.12)

ตวอยางท 6.7 พจารณาสปรงเคลอรชนด 2 หวฉด ดงรปท 6.9 อตราการไหลของน าผานสปรงเคลอร เทากบ 0.0015 m3/s หมนดวยความเรวเชงมม 10.6 rad/s ขนาดเสนผานศนยกลางของทอหวฉดททางออก 12 mm และหวฉดแตละหวมระยะหางจากแกนหมน 60 cm มมระหวางแกนกบหวฉด เทากบ 25๐ จงค านวณหาแรงบดภายนอกทเกดขนจากแรงเสยดทานของแบรงเนองจากการหมนของสปรงเคลอรน


วธท า

จากสมการ R( R )

โจทยก าหนดให Qหวฉด = 0.0015 m3/s D = 0.012 m

= 25๐ R = 0.6 m

= 10.6 rad/s

= 10.6 rad/s

= 25๐


= 1,000 kg/m3 แทนคาในสมการได

( )

ดงนน แรงบดภายนอกทเกดขน เทากบ 1.35 N.m หมนในทศทางทวนเขมนาฬกา ตอบ 6.4 บทสรป

โมเมนตม (Momentum) คอ มวลกบวตถนน คณกบความเรวของวตถทเคลอนทหนวยของโมเมนตม มหนวยเปน (kg.m/s)

กฏขอท 2 ของ นวตน กลาววา “ ผลรวมของแรงภายนอกทมากระท ากบวตถ เทากบ อตราการเปลยนแปลงโมเมนตมของระบบ” พจารณาการเคลอนยายปรมาณโมเมนตมของระบบผานปรมาตรควบคม โดยสมมตใหการไหลมเพยงทศทางเดยว และไมมการไหลทางดานขาง

F เปนแรงลพธภายนอกทกระท าตอปรมาตรควบคมเทากบอตราการเปลยนแปลงโมเมนตม ของของไหล พจารณาสภาวะการหมนของของไหลรอบแกนหมนซงจะพบในเครองจกรกลทมการหมน (Rotating machinery) เชน กงหน (Turbines) และ เครองสบ (Pumps) ในการศกษานจ าเปนตองทราบความสมพนธระหวางแรงบดภายนอกกบโมเมนตของโมเมนตมเชงเสนของของไหลนนรอบแกนหมนหนงๆ เพอวเคราะหหาก าลงหมนเพลาของเครองจกรกลนนๆ ตอไป ดงนนในการหมนทเกดขนของเครองกลเมอมแรงภายนอกมากระท า จะตองใชสมการโมเมนตมเชงมมในการวเคราะห



1. โมเมนตม คออะไร

2. กฎขอทสองของนวตนกลาวไววาอยางไร 3. ของเหลวในทอมมวล 20 kg เคลอนทดวยความเรว 2.5 m/s จะมโมเมนตมเทาไร 4. ฉดน าเขาใบพดรปทรงโคง ท ามมฉดเลยวกลบ 120๐ ดงรปท 6.10 ใบพดเคลอนทดวยความเรว vv 1 m/s และน าทฉดไหลดวยความเรว vj 2.5 m/s พนทหนาตดของหวฉดเทากบ 0.003 m2 สมมตไมคดแรงเสยดทานระหวางใบพดกบน า จงค านวณหาแรงปฏกรยาทน ากระท ากบใบพด Fx และ Fy


5. ทองอ 45๐ ทอททางเขามขนาดเสนผานศนยกลาง 3.5 cm ทอททางออกมขนาดเสนผานศนยกลาง 2.4 cm ดงรปท 6.11 อตราการไหลของน าเทากบ 0.009 m3/s ความดนเกจททางเขาและทางออกเทากบ 170 kPa และ 160 kPa ตามล าดบ จงหาแรง Fx และ Fy ทเกดจากการเคลอนทของน ากระท ากบผนงทอ


120

๐

x

y

p

p


6. จงค านวณหาแรงบดภายนอกทเกดขนจากการหมนของสปรงเคลอรนชนด 2 หวฉด ดงรปท 6.12 ก าหนดให อตราการไหลของน าผานสปรงเคลอร เทากบ 0.003 m3/s หมนดวยความเรวเชงมม 5.6 rad/s ขนาดเสนผานศนยกลางของทอหวฉดททางออก 10 mm และหวฉดแตละหวมระยะหางจากแกนหมนแตกตางกน โดยท R1 = 30 cm และ R2 = 50 cm มมระหวางแกนกบหวฉด เทากบ 45๐

รปท 6.12 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 6 ขอท 6 (ทมา : ดดแปลงจาก Clayton et al., 2010)

R1 R

2

= 5.6 rad/s

= 45๐

กลศาสตรของไหล บทท 7 สมการพลงงาน 155

บทท 7 สมการพลงงาน

(Energy equation) ในบทนจะกลาวถงพลงงานและการใชสมการพลงงานในการวเคราะหปญหาทางวศวกรรม โดยสมการพลงงานของการไหลขนตนเกดจากแนวคดของเลเออรนาด ออยเลอร (Leonnhard Euler) โดยพจารณาตวแปรตางๆ ไปตามแนวเสนทางของการไหล (Streamline) สมการพลงงาน (Energy equation) เปนสมการทพฒนามาจากสมการเบอรนล โดยสามารถใชไดกบการไหลทมการรบหรอสญเสยพลงงานใหกบสงแวดลอม ซงรายละเอยดทเกยวของกบสมการพลงงานทจะศกษามดงตอไปน 7.1 ความหมายของพลงงาน พลงงาน (Energy) คอ ความสามารถทท าใหเกดการเปลยนแปลงความรอน งาน และพลงงาน

พลงงานในการไหลของของไหลสามารถแบงออกไดเปน พลงงานจลน พลงงานศกย พลงงานของการไหล และพลงงานภายใน

7.1.1 พลงงานจลน (Kinetic energy) คอ พลงงานทเกดจากการเคลอนทของของไหลจากจดหนงไปยงอกจดหนง ปรมาณของพลงงานจลนจะขนอยกบความเรว และขนาดของมวลของของไหลนน เขยนแทนดวยสมการ

(7.1)

โดยท คอ พลงงานจลน (N.m หรอ J) m คอ มวลของของไหล (kg)

v คอ ความเรวของของไหล (m/s)

7.1.2 พลงงานศกย (Potential energy) คอ พลงงานทแฝงอยในมวลของของไหลนน และความแตกตางของพลงงานขนอยกบมวลและระดบความสงภายใตแรงงดงดดของโลก เขยนแทนดวยสมการ (7.2)

โดยท คอ พลงงานศกย (N.m หรอ J) m คอ มวลของของไหล (kg) g คอ อตราเรงเนองจากแรงดงดดของโลก (m/s2) Z คอ ความสงวดจากระดบอางองใดๆ (m)

156 บทท 7 สมการพลงงาน กลศาสตรของไหล

7.1.3 พลงงานของการไหล (Flow energy) คอ งานทกระท าตอมวลสารของของไหลเมอของไหลถกบงคบใหผานขอบเขต ซงหาไดจาก ผลคณของความดนและปรมาตร (7.3) โดยท Wflow คอ พลงงานของการไหล (N.m หรอ J) P คอ ความดนของของไหล (N/m2)

V คอ ปรมาตรของของไหล (m3)

7.1.4 พลงงานภายใน (Internal energy) เปนคณสมบตประจ าตวของสสาร ถาอณหภมของสสารยงไมถงศนยสมบรณ สสารนนจะมพลงงานภายในอย พลงงานภายในเกดจากการเคลอนทของปรมาณ เขยนแทนดวยสมการดงน (7.4) โดยท U คอ พลงงานภายใน (kJ) M คอ มวลของสาร (kg) cv คอ ความจความรอนจ าเพาะทปรมาตรคงท (kJ/kg.K) T คอ อณหภม (K) 7.2 สมการอนรกษพลงงาน

สมการอนรกษพลงงาน (Conservation of energy) สามารถหาไดจากกฎการทรงพลงงานซงกลาวไววา“พลงงานเปนสงทไมสามารถถกสรางหรอถกท าลายได แตพลงงานสามารถเปลยนแปลงเปนพลงงานอกรปหนงได”

พจารณาใหระบบเปนปรมาตรควบคม ซงมวลไหลผานเขาออกขอบเขตได พลงงานทถายเทผานขอบเขตของระบบ = พลงงานในระบบทเปลยนไป

และ ( ) ∬

จะได ( ) ∬( ) (7.5)

CV

CS

CV

CS


ดงนน ( ) ( ) ( ) ( ) (7.6) โดยท Qcv คอ ความรอนทถายเทส าหรบปรมาตรควบคม (kJ) Wcv คอ งานส าหรบปรมาตรควบคม (kJ) Esystem คอ การเปลยนแปลงพลงงานในระบบ (kJ) ส าหรบพลงงานของการไหล (Flow energy) มคาเทากบผลคณของความดนของไหลกบปรมาตรของไหล ดงสมการท (7.3) ดงนน

( )

ดงนน แทนคาในสมการท (7.6) จะไดวา ( ) ( ) ( ) (7.7)

ในการไหลแบบคงตว และ อตราการไหลเทยบกบเวลา จะไดสมการทเขยนใหมดงน [( ) ( ) ( ) ( )] (7.8)

หรอ [( ) ( ) ( )] (7.9)


โดยท คอ อตราความรอนทถายเทส าหรบปรมาตรควบคม (kJ/s) คอ ก าลงงานส าหรบปรมาตรควบคม (kJ/s) คอ การเปลยนแปลงพลงงานในระบบ (kg/s) คอ เอนทลป (kJ) 7.3 ประสทธภาพเชงกลของเครองสบ

เครองสบน า (Pump) เปนอปกรณทใชในการขนสงของเหลวจากจดหนงไปยงอกจดหนงโดยผานทอ อาศยหลกการเปลยนแปลงพลงงานจลน (มอเตอร หรอเครองยนตดเซล) ไปเปนพลงงานศกย เครองสบทใชในการทดลองนท างานโดยอาศยหลกการหมนของใบพดทไดรบการถายเทก าลงจากมอเตอรไฟฟา เมอพบใบพดหมนพลงงานจากเครองยนตจะถกถายเทไปสของเหลว ท าใหเกดการไหลในแนวสมผสกบเสนรอบวง (Tangential flow) เมอมการไหลในลกษณะดงกลาวจะเกดการเหวยงหนศนยกลาง (Centrifugal force) และเปนผลใหมการไหลจากศนยกลางของใบพดออกไปสแนวเสนรอบวงทกทศทกทาง (Radial flow) ดงนน ของเหลวทถกใบพดผลกดนออกมากจะมทศทางการไหลทเปนผลรวมของแนวทงสอง

7.3.1 พลงงานหรอแรงขบ (Head) ของเครองสบ หาไดจาก

(7.10)

เมอ และ คอ ความดนน าททางเขาและทางออกของเครองสบน า ตามล าดบ (N/m2) คอ ความหนาแนนของน า (kg/m2) g คอ ความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก (m/s2)

ส าหรบก าลงทน าไดจากเครองสบน า หาไดจากสมการ

(7.11)

และก าลงทใหกบมอเตอร หาไดจากสมการ

(7.12)

เมอ Q คอ อตราการสบน า (m3/s) H คอ ความสงการสงน า (m) I คอ กระแสไฟฟา (Ampere) V คอ ความตางศกยของกระแสไฟฟา (Volt)


7.3.2 ประสทธภาพของเครองสบ

ส าหรบประสทธภาพโดยรวมของเครองสบน านนสามารถหาได 2 วธ คอ

1) ประสทธภาพของระบบ กลาวคอ รวมเครองสบกบมอเตอรใหเปนระบบเดยวกน ดงนนก าลงทใหกบระบบจะเปนก าลงทใหมอเตอรนนเอง ดงในกรณน

(7.13)

2) ประสทธภาพของเครองสบเพยงอยางเดยว วธนเราตองทราบก าลงทแทจรงทใหกบเครองสบ ซงสามารถหาได 2 วธ วธแรกคอตองรคาประสทธภาพของมอเตอร เราสามารถหาก าลงทออกจากมอเตอรได ซงเทากบก าลงของเครองสบนนเอง

(7.14) เมอ คอ ประสทธภาพของมอเตอร ดไดจากคมอการท างานของมอเตอร คอ พลงงานกลทเกดจากการหมนของเพลา สงก าลงใหเครองสบน า

สวนวธทสอง ไมจ าเปนตองรประสทธภาพของมอเตอร แตเราตองตดตงอปกรณวดแรงบดเขากบเครองสบ ซงท าใหสามารถหาประสทธภาพของมอเตอรได ประสทธภาพของระบบเครองสบสามารถหาไดจากสมการเดยวกน คอ

(7.15)

เมอ คอ ประสทธภาพของระบบเครองสบ

คอ พลงงานกลทเกดจากการหมนของเพลา สงก าลงใหเครองสบน า คอ ก าลงของน าทไดจากเครองสบน า


ตวอยางท 7.1. จากรปท 7.1 น าไหลดวยความเรว 12 m/s ผานทอทมขนาดเสนผานศนยกลาง 5 cm ยาว 30 m ถาความดนททางเขา เทากบ 98 kPa (ความดนเกจ) และระดบความสงของทอทางออกสงกวาทางเขา 8 m จงหาความดนททางออก

รปท 7.1 ประกอบตวอยางท 7.1 (ทมา : ดดแปลงจาก Graebel, 2001)

วธท า จากสมการ [( ) ( ) ( ) ( )] สมมตฐาน : ระบบไมพจารณาถงการถายเทความรอน (ระบบไมมความรอนเขา/ออก) ไมมการเปลยนแปลงพลงงานภายใน และ ไมมงาน จากกฏทรงมวล; A1v1 = A2v2 [( ) ( ) ( ) ( )]

[( ) ( )] หรอ

( ) ( )

( ) ( ) ( )

P2 = P1 - g( Z2- Z1) = (98 x 103) - (1,000 x 9.81) (8 – 0) = 19,520 Pa หรอ = 19.52 kPa ตอบ

98 kPa

1

8 m

2


ตวอยางท 7.2 เครองสบ (Pump) สงน าในอตราการไหล 3 m3/s ขนไปยงเครองจกร (Machine) ในจดท 2 ซงสงกวาระดบผวน า 20 m ดงรปท 7.2 ถาไมคดแรงเสยดทานในทอและเครองสบ จงหาก าลงงานขบของเครองสบทตองการ


(ทมา : ดดแปลงจาก Bruce et al., 2002)

วธท า จากสมการ [( ) ( ) ( ) ( )] ตงสมมตฐาน : พจารณาเปนการไหลใน 1 มตภายใตสภาวะคงตว ระบบไมพจารณาถงการถายเทความรอน ไมมการเปลยนแปลงพลงงานภายใน และพนทหนาตดถงทจด 1 มขนาดใหญกวาหนาตดทอทจด 2 มาก ดงนน จงก าหนดใหความเรวททางเขาเปนศนย (v1 0) จากสมการ [( ) ( ) ( ) ( )] จะได [( ) ( ) ( )] หาความเรวททางออก 2 จาก Q = Av

v = ( ) = 10.61 m/s

2

1

เครองสบ น า

เครองจกร

20 m P

2 = 10 kPa (gage)

D2 = 60 cm


และ = Q = 1,000 x 3 = 3,000 kg/s

แทนคา [( ) ( ) ( )] = 3,000 [(10,000/1,000) + ½ (10.612 ) + (9.81 x 20) = 3,000 (10 + 56.28 + 196.2) = 787,440 Watt แต 746 Watt = 1 hp ดงนน = 787,440/746 = 1,055.5 hp ตอบ ตวอยางท 7.3 จากตวอยางท 7.2 จงหาประสทธภาพของระบบเครองสบ ถาก าหนดใหมอเตอรทใชขบเครองสบมก าลง 1,200 hp และประสทธภาพของมอเตอรเทากบ 95% วธท า จากสมการ หาก าลงทสงใหเครองสบ = 0.95 x 1,200 = 1,140 hp ดงนน ประสทธภาพของระบบเครองสบ

𝜂

𝜂

= 0.926 ดงนน ประสทธภาพของระบบเครองสบ เทากบ 92.6% ตอบ


ตวอยางท 7.4 ไอน าทความดน 0.6 MPa อณหภม 200oC ไหลเขาททางเขาหวฉดทหมฉนวนดวยความเรว 50 m/s ความดนและความเรวททางออกเทากบ 0.15 MPa และ 60 m/s ตามล าดบ ดงรปท 7.3 จงหาอณหภมททางออก

รปท 7.3 ประกอบตวอยางท 7.4 (ทมา : ดดแปลงจาก Bruce et al., 2002)

วธท า สมมตฐาน : พจารณาเปนการไหลใน 1 มตภายใตสภาวะคงตว เปนการไหลแบบแอเดยแบตก จงมการสญเสยความรอนนอยมาก (qcv = 0) และไมค านงถงการเปลยนแปลงของพลงงานศกย g(Z2 – Z1) = 0 จากกฎขอท 1 ในระบบเปด

[( ) ( ) ( )] จะได

( ) ( )

หาคา h ททางเขา ; ท h1 สภาวะททางเขา P1 = 0.6 MPa , T1 = 200oC จากตาราง ค.3 ในภาคผนวก ค น าอยในสถานะเปนไอดง (Superheat) จะได

h1 = 2850.1 kJ/kg แทนคาในสมการ

( ) ( )

จะได h2 = 2300 kJ/kg

vi = 50 m/s

Pi = 0.6 MPa

Ti = 200 oC

ve = 60 m/s

Pe = 0.15 MPa

Te = ?

cv.

v1 = 50 m/s P1 = 0.6 MPa

T1 = 200๐C

v2 = 60 m/s P2 = 0.15 MPa

T2 = ?

ปรมาตรควบคม


ดงนน ททางออก ; P2 = 0.15 MPa, h2 = 2300 kJ/kg จะไดวา hf < h < hg แสดงวาเปนของผสม (Mixture) ดงนน T2 = Tsat @ P = 0.15 MPa = 111.37 oC ตอบ ตวอยางท 7.5 กงหนน า ดงรปท 7.4 ใชเปลยนพลงงานของน าเปนพลงงานกลหรองานของเพลา และไปขบเครองก าเนดกระแสไฟฟาเพอผลตกระแสไฟฟาออกมาใชงาน น าทถกเกบกกไวในเขอนจะถกปลอยออกมาใหไหลผานชองทางน าไหลเขาสกงหนน า เพอผานออกไปยงทายเขอน ถาก าหนดใหอตราการไหลของน าททางออกสทายเขอนเทากบ 30 m3/s จงค านวณหาก าลงทเพลาของกงหนน าทท าได


วธท า จากสมการพลงงาน [( ) ( ) ( ) ( )] สมมตฐาน : 1) พจารณาเปนการไหลใน 1 มตภายใตสภาวะคงตว 2) น าเปนของไหลแบบอดตวไมได 3) ไมมการเปลยนแปลงพลงงานภายใน 4) ไมมความรอนถายเทขามปรมาตรควบคม

20 m

น าในเขอน

2 m

น าทายเขอน

1

2

5 m

v1


5) พนทหนาตดแหลงน า 1 มขนาดใหญกวาพนทหนาตด 2 ททางออกมาก ดงนน จงก าหนดใหความเรวททางเขาเปนศนย (v1 0) 6) แหลงน าเปดสบรรยากาศ P1 = P2 = Patm จะได [( ) ( ) ( ) ( )]

ดงนน [ ( ) ( )]

และ = Q = 1,000 x 30 = 30,000 kg/s

v2 = =

( ) = 9.55 m/s

แทนคาในสมการ จะไดวา

[ ( ) ( )] = (30,000) (-101.55) = -3,046,462.5 Nm/s (Watt) หรอ = 3,046,462.5 W = 3.05 MW ตอบ 7.4 สมการออยเลอร

(ก) การเคลอนทของอนภาคของไหลตามแนวแกน (ข) แรงภายนอกทกระท ากบอนภาคของของไหล

รปท 7.5 อนภาคของของไหลทเคลอนทไปตามแนวสมผสกบเสนโคงเสนกระแส (ทมา : ดดแปลงจาก Clayton et al., 2010)

( 𝜕 𝜕s s ) เสนกระแส

อนภาคของของไหล

x

y

s

θ θ

z

γ s


สมการออยเลอร (Euler’s Equations) คอ สมการโมเมนตมส าหรบของไหลทไมมแรงเสยดทาน พจารณาอนภาคของของไหลทเคลอนทไปตามแนวสมผสกบเสนโคงเสนกระแส (Streamline) ดงรปท 7.5 (ก) ของไหลเคลอนทไปตามเสนกระแสดวยความเรง a ท ามม กบแนวระดบ พจารณาแรงภายนอกทกระท ากบอนภาคของไหล ดงรปท 7.5 (ข) ประกอบดวย 1) แรงดน เนองจากความดนทผวของอนภาคทรงกระบอกมทศทางหกลางกนหมด ดงนน แรงดนจงเหลอเพยง แรงทกระท ากบปลายดานหนงมคาเทากบ P(dA) สวนอกดานเทากบ ( s)

2) น าหนกของกอนอนภาค dW = (d) = (dA.ds) จากกฎการเคลอนทขอท 2 ของนวตน ∑

เมอพจารณาทศทางตามแนวเสนทางการไหล จะไดวา

( ) ( s) ( ) (s ) (7.16)

เนองจากความเรง และ (s ) ดงนนจะได

(7.17)

แตเนองจากสภาพการไหลไมเปลยนแปลงตามเวลา (Steady flow) จงท าให และ

สมการท (8.2) จงสามารถเขยนใหมไดวา

(7.18)

มวลของอนภาคของไหลมคาเทากบ ( ) ( s) (7.19) แทนคาสมการท (7.18) และ (7.19) ในสมการท (7.16) จะได


( ) ( s) ( ) ( s)(s ) ( s) ( )

( s) ( s)( ) ( s) ( )

ทสภาพการไหลแบบสภาวะคงตว (Steady flow) ความดนไมแปรเปลยนตามเวลา จงท าให ดงนน

( s) ( s)( ) ( s) ( )

จดรปสมการใหมจะได

z (7.20)

สมการท (7.20) เรยกวา สมการออยเลอร (Euler’s equations) 7.5 สมการเบอรนล สมการเบอรนล (Bernoulli equation) คอ สมการทใชประมาณความสมพนธระหวางความดน ความเรว และความสงของของไหลทไหลแบบสภาวะคงตว ไมสามารถอดตวไดและไมมแรงเสยดทาน (Steady, Incompressible and non-viscous (Inviscid หรอ Frictionless) flow) ดงรปท 7.6 การไหลของของไหลผานของแขง สมการเบอรนลจะใชได (Bernoulli equation valid) ในชวงทหางจากขอบของของแขงและไมไดอยหลงของแขงโดยตรง เนองจากบรเวณดงกลาวเปนบรเวณทของไหลมแรงเสยดทานและอาจเปนการไหลแบบไมคงตว ซงไมเหมาะทจะใชสมการเบอรนล (Bernoulli equation not valid)

รปท 7.6 ชวงการใชงานของสมการเบอรนล (ทมา : ดดแปลงจาก Gray, 2000)

ชวงทจะใชสมการเบอรนลได

ชวงทไมเหมาะทจะใชสมการเบอรนล


สมการเบอรนล เปนสมการสมดลพลงงานของอของไหลทใชในกรณทของไหลไหลจากจดหนงไปยงอกจดหนงโดยไมมการสญเสยพลงงานใหกบสงแวดลอม หรอถามกนอยมากจนสามารถละทงได โดยผลรวมของพลงงานของของไหล ณ จดใดๆ ตลอดการไหลของของไหลจะมคาคงท

รปท 7.7 ผลตางของปรมาตรควบคมส าหรบการวเคราะหพลงงานจากสมการเบอรนล (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

พจารณารปท 7.7 ส าหรบการไหลตามเสนกระแส (Streamline) หนงภายใตการไหลแบบอดตวไมได การไหลในสภาวะคงตว และไมมแรงเสยดทานนน จะอยภายใตสมการเบอรนล และสมการเบอรนลจะน าสมการโมเมนตมมาท าการอนทเกรต จะได

∑ ∬

แยกคาแตละเทอม จะได ∑ ( ) s s

เมอ คอ มมระหวางพนผว (s) กบแรงโนมถวงของโลก ดงนน

∬ ( ) จะไดวา s s

s

δ

δ

( ) δ

𝜌 s δ

𝜃


เอาเทอม หารตลอด และแทน s s ดวย ดงนนจะไดวา

z

ท าการอนทเกรตระหวางจดท 1 ไปจดท 2 จะได

∫ ( ) ( )

จากผลการอนทเกรตจะได

( ) (7.21)

หรอ

s (7.22)

หรอ (7.23)

หรอ

(7.24)

หรอ

(7.25)

คาแตละพจนของสมการเบอรนล จะมชอเรยกเฉพาะตามค านยาม ดงน คอ เฮดของพลงงานศกด หรอความสงจากระดบอางองถงแนวเสนกระแส หรอเรยกวา เฮดระดบ (Potential head หรอ Elevation head, He)

คอ เฮดของพลงงานอนเนองมาจากความดนสถต หรอเรยกวา เฮดความดน (Pressure

head, HP)

คอ เฮดของพลงงานจลน หรอเรยกวา เฮดความเรว (Velocity head, Hv)


ตวอยางท 7.6 น ามนความถวงจ าเพาะ 0.8 ไหลผานทอขนาดเสนผานศนยกลาง 25 cm ดวยอตราการไหล 120 L/s ถาความดนทจด A มคาเทากบ 1.92 N/cm2 (Pg) และมระดบความสง 3.5 m จงหาเฮดรวม (Total head, HT) วธท า จากสมการเบอรนล

หา v จาก Q = Av

v = ( )

= 2.45 m/s แทนคาในสมการ

= 6.307 m ตอบ ตวอยางท 7.7 จงหาความเรวของน ามนทออกจากทอดงรปท 8.3 โดนสมมตวาระดบน ามนในถงเปลยนแปลงชามาก จดท 1 และ 2 เปดสบรรยากาศ และความถวงจ าเพาะของน ามนเทากบ 0.87

รปท 7.8 ประกอบตวอยางท 7.7 (ทมา : ดดแปลงจาก Clayton et al., 2010)

1

2

0.2 m

5 m

3 m


วธท า จากสมการเบอรนล พจารณาระดบน าในถงเปลยนแปลงชามากและไมมแรงเสยดทาน

สมมตฐาน ถงน ามขนาดใหญมาก ดงนน v1 = 0 , P1 = P2 = Patm และ Z2 = 0 ดงนน

= 2 x 9.81 x 8 = 156.96

= 12.53 m/s ตอบ ตวอยางท 7.8 ถงขนาดใหญทฝาบนเปดสบรรยากาศจน าทระดบความสง 4 m จากกอกดานขาง ดงรปท 7.9 เมอเปดกอกน าจะไหลออกจากทอทางออกทกลมและเรยบ จงหาความเรวของน าททางออก

รปท 7.9 ประกอบตวอยางท 7.8 (ทมา : ดดแปลงจาก Donald et al., 2012)

วธท า จากสมการเบอรนล พจารณาการไหลในสภาวะคงตวและไมมแรงเสยดทาน

1

2


v2

4 m


สมมตฐาน ถงน ามขนาดใหญมาก ดงนน v1 = 0 , P1 = P2 = Patm และ Z2 = 0 ดงนน

= 2 x 9.81 x 4 = 78.48

= 8.86 m/s ตอบ ตวอยางท 7.9 จากรปท 7.10 จงหาความเรวและอตราการไหลของน าทจดท 2


(ทมา : ดดแปลงจาก Mercle et al., 2002)

วธท า จากสมการเบอรนล พจารณาการไหลในสภาวะคงตวและไมมแรงเสยดทาน

1

2

3.5 m

0.5 m 0.1 m

Z = 0 D = 5 cm

น า (S = 1)

ปรอท (S = 13.6)


สมมตฐาน ถงน ามขนาดใหญมาก ดงนน v1 = 0 และ Z2 = 0 ดงนน

รปท 7.11 การวเคราะหแมนอมเตอร (ทมา : ดดแปลงจาก Mercle et al., 2002)

พจารณารปท 7.11 หา P2 ทแมนอมเตอร จะไดวา PO = PO’

P2 + water hwater = Patm + Hg hHg

P2 = Patm + Hg hHg - water hwater = Patm + (13.6 x 103 x 9.81 x 0.1) – (103 x 9.81 x (0.5 + 0.025)) = Patm + (13.34 x 103) – (5.15 x 103) = Patm + (8.19 x 103 ) แทนคา ลงในสมการขางตน จะไดวา

( )

( ) ( ( ) )

= 2 x 9.81 x 2.66 = 52.19 v2 = 7.22 m/s ตอบ ดงนน อตราการไหล Q = Av

= (/4 x 0.052) (7.22) = 0.014 m3/s ตอบ

Hg (S = 13.6)

D = 5 cm

0.1 m 0.5 m

O/

O


7.6 บทสรป พลงงาน (Energy) ความสามารถทท าใหเกดการเปลยนแปลงความรอน งาน และพลงงาน

พลงงานในการไหลของของไหลสามารถแบงออกไดเปน พลงงานจลน พลงงานศกย พลงงานของการไหล และพลงงานภายใน

พลงงานจลน (Kinetic Energy) คอ พลงงานทเกดจากการเคลอนทของของไหลจากจดหนงไปยงอกจดหนง ปรมาณของพลงงานจลนจะขนอยกบความเรว และขนาดของมวลของของไหลนน

พลงงานศกย (Potential Energy) คอ พลงงานทแฝงอยในมวลของของไหลนน และความแตกตางของพลงงานขนอยกบมวลและระดบความสงภายใตแรงงดงดดของโลก

พลงงานของการไหล (Flow Energy) คอ งานทกระท าตอมวลสารของของไหลเมอของไหลถกบงคบใหผานขอบเขต ซงหาไดจาก ผลคณของความดนและปรมาตร

พลงงานภายใน (Internal Energy) เปนคณสมบตประจ าตวของสสาร ถาอณหภมของสสารยงไมถงศนยสมบรณ สสารนนจะมพลงงานภายในอย พลงงานภายในเกดจากการเคลอนทของปรมาณ

สมการพลงงาน (Energy Equation) คอ สมการทพฒนามาจากสมการเบอรนล โดยสามารถใชไดกบการไหลทมการรบหรอสญเสยพลงงานใหกบสงแวดลอม

กฎการทรงพลงงานกลาวไววา“พลงงานเปนสงทไมสามารถถกสรางหรอถกท าลายได แตพลงงานสามารถเปลยนแปลงเปนพลงงานอกรปหนงได”

ประสทธภาพของระบบเครองสบ คอ ก าลงทน าจากเครองสบ ตอ พลงงานของเพลาทสงใหกบเครองสบน า สมการออยเลอร (Euler’s Equations) คอ สมการโมเมนตมส าหรบของไหลทไมมแรงเสยดทาน

สมการเบอรนล (Bernoulli Equation) คอ สมการทใชประมาณความสมพนธระหวางความดน ความเรว และความสงของของไหลทไหลแบบสภาวะคงตว ไมสามารถอดตวไดและไมมแรงเสยดทาน (Steady, Incompressible and non-viscous (Inviscid หรอ Frictionless) flow)

สมการเบอรนลสามารถเขยนไดดงน

s

หรอ

หรอ

หรอ

คาแตละพจนของสมการเบอรนล จะมชอเรยกเฉพาะตามค านยาม ดงน


คอ เฮดของพลงงานศกด หรอความสงจากระดบอางองถงแนวเสนกระแส หรอเรยกวา เฮดระดบ (Potential head หรอ Elevation head)

คอ เฮดของพลงงานอนเนองมาจากความดนสถต หรอเรยกวา เฮดความดน (Pressure

head)

คอ เฮดของพลงงานจลน หรอเรยกวา เฮดความเรว (Velocity head)



1. พลงงาน หมายถงอะไร 2. พลงงานจลน หมายถงอะไร 3. พลงงานศกย หมายถงอะไร 4. พลงงานของการไหล หมายถงอะไร 5. พลงงานภายใน หมายถงอะไร 6. จงอธบายกฎการทรงพลงงานมาพอเขาใจ 7. สมการออยเลอร หมายถงอะไร 8. จงบอกนยามของสมการเบอรนล 9. เครองสบสบน ามนจากถงดานลางขนสถงดานบน ดงรปท 7.12 ความเรวในการไหลของน าในทอ 2.5 m/s ขนาดทอในระบบมเสนผานศนยกลาง 10 cm ก าหนดใหความถวงจ าเพาะของน ามนเทากบ 0.87 จงค านวณหาก าลงขบของเครองสบน าภายใตเงอนไขทตองการ


10. น าพในสระน าถกออกแบบไวดงรปท 7.13 โดยตดตงเครองสบน าไวใตสระและใหทอดานอดอยในแนวระดบผวน า ตองการอดน าใหพงขนสง 4 m จากผวระดบน าในสระ ก าหนดให อตราการไหลของน าเทากบ 0.15 m3/s และสมมตไมคดแรงเสยดทานในทอน าและเครองสบ จงค านวณหาก าลงขบของเครองสบน าเพอใหไดน าพพงขนสงตามระดบทตองการ


3.5 m

เครองสบ

7 m

2.5 m/S

1

2



(ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993) 11. ระบบกงหนน าดงรปท 7.14 ททางเขาและทางออกมความดน 300 kPa และ 90 kPa ตามล าดบ อตราการไหลของน าเทากบ 0.85 m3/s เสนผานศนยกลางทอทางเขาและทางออกเทากบ 0.2 m และ 0.3 m ตามล าดบ ระดบความสงระหวางจดท (1) และ (2) เทากบ 3 m ก าหนดใหกงหนน ามประสทธภาพ 80% จงค านวณหาก าลงของกงหนน าน

รปท 7.14 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 7 ขอท 11 (ทมา : ดดแปลงจาก Bruce et al., 2002)

12. ระบบกงหนไอน า ดงรปท 7.15 ไอน าไหลเขากงหนไอน าดวยความเรว 30 m/s และมเอนทลป 3,245 kJ/kg และไหลออกจากกงหนในสภาพของผสมระหวางไอกบของเหลวดวยความเรว 70 m/s และมเอนทลป 2,300 kJ/kg สมมตใหการไหลผานกงหนไอน าเปนกระบวนการแอเดยแบตก และไมคดผลการเปลยนแปลงระดบความสง จงหางานสงออกของกงหนไอน า

ทางเขา (1)

ทางออก (2)

D1 = 0.2 m

D2 = 0.3 m

ทศทางการไหล

ปรมาตรควบคม

เครองสบ

1

2

0.5 m

1.2 m

4 m



13. หวฉดฉดน าจากจด A มขนาดเสนผานศนยกลาง 15 cm และออกสบรรยากาศภายนอกทจด B มขนาดเสนผาศนยกลาง 8.5 cm ดงรปท 7.16 ความดนทมาตรวดอานคาไดทจดท A เทากบ 70 kPa สมมตการสญเสยพลงงานมคานอยมาก จงหาความเรวและอตราการไหลของน าทปลายทอทางออก (จด B)


(ทมา : ดดแปลงจาก Frank, 2011) 14. ดดน ามนออกจากถงดวยทอพลาสตกขนาดเสนผานศนยกลาง 1.5 cm ดงรปท 7.17 จงหาความเรวและอตราการไหลของน ามนททอทางออก (จด 2)

ทางเขา (1)

ทางออก (2)


กงหนไอน า งานสทธ


Z1

Z2

A

B

น า P

A = 70 kPa

A = 15 cm

B = 8.5 cm



(ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993) 15. น ามนดเซลไหลผานของอดงรปท 7.18 ททอทางเขา (จด 1) อานคาความดนทมาตรวดได 215 kPa และมอตราการไหล 0.002 m3/s ก าหนดใหเสนผานศนยกลางภายในของทอทางเขาและทางออกเทากบ 3 cm และ 4.5 cm ตามล าดบ ทอวางอยในแนวราบ และน ามนดเซลมความถวงจ าเพาะเทากบ 0.728 จงหาความดนททอทางออก (P2)


1

2

100 cm

60 cm

Patm

1.5 cm

2

1

น ามนดเซล

Q = 0.002 m3/s

กลศาสตรของไหล บทท 9 การไหลในทอ 181

บทท 8

การไหลภายในทอปด

(Flow in closed conduits) ในบทนจะกลาวถงการไหลของของไหลภายในทอปด ซงการไหลภายในทอปดเปนสวนหนงทส าคญของการศกษากลศาสตรของไหล เนอหาทจะศกษาในบทน ประกอบไปดวย ความหมายของการไหลภายในทอปด พฤตกรรมการไหลภายในทอ การไหลบรเวณปากทางเขาของทอ การสญเสยพลงงานหลก การสญเสยพลงงานรอง และสรปสาระส าคญในบทเรยนน รายละเอยดของเนอหาในหวขอตางๆ มดงตอไปน

8.1 ความหมายของการไหลภายในทอปด

การไหลภายในทอปด (Flow in closed conduits) คอ การไหลของของไหลภายในทอทมผนงปดลอมทกดาน และมของไหลไหลอยเตมพนทหนาตดของทอ ไมมผวอสระอยดานบนของหนาตดการไหล และการไหลอยภายใตความดนตลอดชวงของการพจารณา ตวอยางการไหลในทอปด ไดแก น าทใชในประเทศจะมการกระจายไปยงทกสวนของทอในบาน ทอจายระบบประปาในหมบาน ดงรปท 8.1 ทอระบายน าจะบ าบดน าเสยออกไป ทอน ามนดบทสบน าออกในโรงกลนน ามน กาซธรรมชาตทถกน าไปใชจะผานทางทอ หรอตวอยางอนๆ ของการไหลภายในทอปดสามารถพบไดในชวตประจ าวน

รปท 8.1 ลกษณะทอน าในระบบประปาทใชบรโภคในหมบาน (ทมา : สนทร สทธบาก, 2559)

8.2 พฤตกรรมการไหลภายในทอ

ในป ค.ศ. 1883 ออสบอรน เรยโนลด (Osborne Reynolds) ไดท าการศกษาพฤตกรรมการไหลภายในทอ โดยใชเครองมอทประกอบดวยถงขนาดใหญ เชอมตอกบทอแกวโปรงใสทมวาลวควบคมการไหลอยทปลายทอ และถงบรรจสขนาดเลกเชอมตอกบทอขนาดเลก ท าหนาทปลอยอนภาคสเขา

182 บทท 8 การไหลภายในทอปด กลศาสตรของไหล

ไปภายในทอแกวโปรงใส ดงรปท 8.2 จากผลการทดลอง พบวา ผลของความเรว และความหนดของของไหลภายในทอโดยใชความสมพนธระหวางความเรวและความหนด และสามารถแบงพฤตกรรมการไหลของของไหลภายในทอไดเปน 3 ลกษณะ คอ การไหลแบบราบเรยบ (Laminar flow) การไหลแบบปนปวน (Turbulent flow) และการไหลในชวงการแปรเปลยน (Transition flow) ดงมรายละเอยดตอไปน

รปท 8.2 การทดลองพฤตกรรมการไหลของของไหลภายในทอของออสบอรน เรยโนลด

(ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999) 8.2.1 การไหลแบบราบเรยบ (Laminar flow) การไหลแบบราบเรยบ จะเกดกบการไหลของของไหลทมความหนดสง หรอความเรวในการไหลต า อนภาคของของไหลจะเคลอนทอยางเปนระเบยบขนานกบทศทางของการไหล ดงรปท 8.3 ซงสงเกตไดจากแนวเสนสทเกดจากการทดลอง จะมลกษณะเปนเสนทคอนขางตรง และราบเรยบ

รปท 8.3 พฤตกรรมการไหลแบบราบเรยบ (ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999)

8.2.2 การไหลแบบปนปวน (Turbulent flow) การไหลแบบปนปวน จะเกดกบการไหลของของไหลทมความหนดต า หรอความเรวในการไหลมาก อนภาคของของไหลเคลอนทไมเปนระเบยบ แนวเสนทางการเคลอนทมความเรว

การไหลแบบราบเรยบ

ถงส

วาลว

กระบอกบรรจน า

หวฉดส

วาลวควบคม

ถงรองรบ

กลศาสตรของไหล บทท 8 การไหลภายในทอปด 183

แปรปรวนมาก โดยสงเกตไดจากแนวเสนสทเกดขนจากการทดลองจะกวดแกวงไปมาไมเปนระเบยบและมการเปลยนแปลงอยตลอดเวลา ดงแสดงในรปท 8.4

รปท 8.4 พฤตกรรมการไหลแบบปนปวน (ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999)

8.2.3 การไหลในชวงการแปรเปลยน (Transition flow) การไหลในชวงการแปรเปลยน เปนชวงของการไหลทก าลงจะพฒนาพฤตกรรม จากการไหลแบบราบเรยบไปเปนการไหลแบบปนปวน เปนชวงทไมสามารถคาดเดาพฤตกรรมของการไหลไดอยางแนนอน เพราะในบางต าแหนงหรอบางชวงเวลาใดๆ พฤตกรรมของการไหลอาจเปนไปไดทงแบบราบเรยบและแบบปนปวน โดยสงเกตไดจากแนวเสนสทเกดขนจากการทดลอง ในบางต าแหนงจะมลกษณะกวดแกวงไปมาในขณะทสวนอนๆ มลกษณะราบเรยบ หรอทต าแหนงเดยวกน ในบางเวลาอาจมลกษณะราบเรยบ แตเมอเวลาผานไปอาจมลกษณะกวดแกวงไปมา ไมสามารถคาดเดาได ดงแสดงในรปท 8.5

รปท 8.5 พฤตกรรมการไหลในชวงการแปรเปลยน (ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999)

นอกจากนการศกษาของเรยโนลดยงพบวา พฤตกรรมของการไหลทง 3 ลกษณะยงสอดคลองกบคาของกลมตวแปรไรมตกลมหนง ซงเรยกวา ตวเลขเรยโนลด หรอเรยโนลด นมเบอร (Reynolds Number, Re) นนคอ ถา Re < 2,100 แสดงวาเปนการไหลแบบราบเรยบ 2,100 < Re < 4,000 แสดงวาเปนการไหลในชวงการแปรเปลยน Re > 4,000 แสดงวาเปนการไหลแบบปนปวน

การไหลแบบปนปวน

การไหลในชวงการแปรเปลยน


ส าหรบการไหลของของไหลในระบบทอสวนใหญจะเปนการไหลแบบปนปวน (Turbulent flow) นนคอ Re > 4,000 เรยโนลด นมเบอร ของการไหลในทอกลมสามารถค านวณไดจากสมการท (8.1)

(8.1)

โดยท คอ เรยโนลด นมเบอร คอ ความหนาแนนของของไหล (kg/m3) คอ ความเรวเฉลยของการไหล (m/s) คอ เสนผานศนยกลางทอ (m) คอ ความหนดสมบรณ (N.s/m2) คอ ความหนดจลน (m2/s) ตวอยางท 8.1 น ามนเบนซนมความถวงจ าเพาะ 0.876 มความหนด 0.601 x 10-3 N.s/m2 ไหลผานทอเหลกกลาขนาดเสนผานศนยกลาง 15 mm ดวยความเรว 10 m/s จงหา เรยโนลดนมเบอร วธท า


แทนคาจะได

= 2.19 x 105 ตอบ 8.3 การไหลบรเวณปากทางเขาของทอ

พจารณาพฤตกรรมของการไหล เมอของไหลเดนทางมาถงจดเชอมตอระหวางทอ กบอางน าขนาดใหญ กอนทของไหลจะเดนทางเขาสภายในทอ อนภาคของของไหลบนหนาตดใดๆ จะเคลอนตวดวยความเรวเทาๆ กน เนองจากยงไมถกรบกวนจากผนง แตเมอของไหลเดนทางเขาสภายในทอ อนภาคของไหลจะถกรบกวนจากแรงเสยดทานจากผนงทอ จงท าใหอนภาคทตดกบผนงนนมความเรวเปนศนย และเนองจากของไหลมความหนด จงท าใหอนภาคทอยถดไปจะมความเรวลดลงตามล าดบ ซงชวงเรมตนอนภาคทอยบรเวณกงกลางทอนนยงไมไดรบผลกระทบดงกลาว แตเมอของไหลเดนทางตอไปผลกระทบจากผนงจะขยายตวเขาสกงกลางทอ จนกระทงครอบคลมทวทงหนาตด หลงจากนนความเรวของอนภาคของอขงไหลจะมการปรบตวอยางตอเนอง จนสดทายเขาสสภาวะสมดล โดยระยะทางในชวงของการปรบตวน เรยกวา ชวงทางเขา (Entrance length, Le) ดงแสดงในรปท 8.6


รปท 8.6 การไหลบรเวณปากทางเขาของทอ (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

การไหลบรเวณบรเวณปากทางเขาของทอ (Entrance flow development) แบงออกไดเปน 2 ลกษณะ คอ 8.3.1 การไหลบรเวณปากทางเขาทอในสภาวะการไหลแบบราบเรยบ สามารถแบงพฤตกรรมได 3 ชวง คอ ชวงการไหลบรเวณกงกลางทอยงไมถกรบกวน ชวงการปรบตว และชวงการปรบตวสมบรณ ดงแสดงในรปท 8.6 จากพฤตกรรมทง 3 ชวง ชวงการไหลทไดรบผลกระทบจากปากทางเขาทอจะเรมจากปากทางเขาตอเนองเรอยไปจนกระทงสนสดการปรบตว เรยกวา ความยาวชวงทางเขา (Entrance length, Le) ส าหรบการไหลแบบราบเรยบ สามารถหาไดจากสมการท (8.2) (8.2) โดยท คอ ความหนาแนนของของไหล (m) คอ เรยโนลด นมเบอร คอ เสนผานศนยกลางทอ (m) 8.3.2 การไหลบรเวณปากทางเขาทอในสภาวะการไหลแบบปนปวน ส าหรบพฤตกรรมการไหลในชวงปากทางเขาทอ ในสภาวะการไหลแบบปนปวน จะแตกตางกลปแบบราบเรยบ คอ เมอการไหลเรมถกรบกวนจากผนง ผลกระทบจากแรงเสยดทานจากผนงจะเรมขยายตวไปพรอมๆ กบการปรบตวความเรว และเมอการไหลถกรบกวนทวหนาตด การปรบตวจะยงคงด าเนนตอไปอกระยะหนง แตเนองจากการไหลแบบปนปวนนนมความไมแนนอนเกดขนไดเสมอ ดงนนหลงจากทการปรบตวสนสดลง สภาพการไหลจะยงคงมการเปลยนแปลงตอเนองไปอกชวงระยะหนงจงจะปรบตวเขาสสภาวะคงท ความยาวชวงทางเขา (Entrance length, Le) ของการไหลแบบปนปวน สามารถหาไดจากสมการท (8.3)

ชวงทางเขา

บรเวณทถกรบกวนจากผนง บรเวณทไมถกรบกวนจากผนง

Le

ชวงปรบตวสมบรณ


D


(8.3) โดยท คอ ความหนาแนนของของไหล (m) คอ เรยโนลด นมเบอร คอ เสนผานศนยกลางทอ (m) ตวอยางท 8.2 เมทลแอลกอฮอลมความถวงจ าเพาะ 0.789 ไหลผานปากทางเขาทอทมขนาดเสนผานศนยกลางใน 30 mm ดวยอตราการไหล 0.007 m3/s ก าหนดใหความหนดของเมทลแอลกอฮอลมคาเทากบ 0.56 x 10-3 N.s/m2 จงหาความยาวชวงทางเขา (Le) ของการไหลน วธท า หาพนทของทอจากสมการ

A = D2/4 = (0.03)2/4 = 7.07 x 10-4 m2 หาความเรวเฉลยของการไหลในทอจากสมการ v = Q/A = (0.007)/( 7.07 x 10-4) = 9.9 m/s หาเรยโนลดนมเบอรจากสมการ

= 4.185 x 105 (แสดงวาเปนการไหลแบบปนปวน) ดงนน หาความยาวชวงทางเขา (Le) จากสมการ

= 1.142 m ตอบ


8.4 การสญเสยพลงงานหลก

การสญเสยพลงงานหลก (Friction head loss หรอ Major loss) คอ การสญเสยเฮดทเกดจากผลของแรงเสยดทานอนเนองมาจากผลของความหนดของของไหล และแรงเสยดทานระหวางของไหลกบผนงทอ โดยการสญเสยเฮดนนขนอยกบ ขนาดเสนผานศนยกลางทอ ความยาวทอ ความหยาบของวสดทใชท าทอ ความหนดของของไหล และความเรวในการไหล

รปท 8.7 ความสมพนธของตวแปรส าหรบการไหลภายในทอแบบคงตว

(ทมา : ดดแปลงจาก Robert et al., 2012) พจารณารปท 8.7 สมมตฐานทวา ความเคนเฉอนทเกดขนบรเวณผนงทอขนอยกบขนาดเสนผานศนยกลางทอ (D) ความยาวทอ (L) ความหยาบของวสดทใชท าทอ () ความหนดของของไหล () ความหนาแนนของของไหล () และความเรวในการไหล (v) สามารถเขยนสมการความสมพนธไดดงสมการท (8.4) (8.4)

จากสมการท 8.4 เขยนเปนขนาดมตของหนวยพนฐานไดดงน

∅( ) (8.5)

โดยท คอ ความดนพลศาสตร (Dynamic pressure)

คอ คณลกษณะควานเคนเฉอนทเปนผลจากความหนด

คอ เรยโนลด นมเบอร (Re)

L

P = P1 – P

2

(1) (2)

Q

,


คอ ความขรขระสมพทธ

คอ ความยาวทอสมพทธ

ดงนน จดรปสมการใหมจะไดวา

∅ ( )

ก าหนดให ตวประกอบความเสยดทาน ดงนนส าหรบทอในแนวระนาบจะไดวา

(8.6)

โดยท ∅ ( )

พจารณาการไหลในทอกลมทมเสนผานศนยกลางทอคงทเทากบ D สามารถเขยนสมการพลงงานไดดงน

(8.7)

เมอ hL คอ การสญเสยภายในทอระหวางจดท (1) และ (2) และเสนผานศนยกลางทอคงท (D1

= D2) ท าให v1 = v2 ทอวางในแนวราบ (Z1 = Z2) และ P = P1 – P2 = hL ดงนนจากสมการท (8.6) จะไดวา

(8.8)

ดงนน สมการพลงงานทใชวเคราะหส าหรบการไหลผานกลมทมการสญเสยพลงงานหลก จะอยในรปของสมการ

∑ (8.9)


8.4.1 ตวประกอบความเสยดทานของการไหลแบบราบเรยบ

รปท 8.8 การไหลแบบราบเรยบในทอกลม (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

พจารณาการไหลแบบราบเรยบในทอกลม ดงรปท 8.8 และจากผลการวเคราะหความเรว พบวา ( ) [ ] (8.10)

และความเรวเฉลยหาไดจาก

∬ ∫ ∫ ( )

หรอ

( ) (8.11)

ส าหรบของไหลนวทอเนยน จะไดสมการของความเคนเฉอน คอ

τ ( ) ( )

τ ( ) (8.12)

พจารณาทผนงทอ (r = R) จากสมการ (8.12) จะไดวา

(8.13)

R

z

r

PA (P + dP)A

dAP


จากตวประกอบความเสยดทาน (f) ของดารซ-ไวสบาค (Daecy-Weisbach friction factor) จะไดวา

(8.14)

จากสมการท (8.13) และ (8.14) จะไดวา

(8.15)

และทอกลมมรศม R ดงนน

(8.16)

แทนคาในสมการท (8.11) จะไดวา

( ) (8.17)

ดงนน จดรปสมการในรปของตวประกอบแรงเสยดทาน จะไดวา

หรอ

(8.18)

8.4.2 ตวประกอบความเสยดทานของการไหลแบบปนปวน ส าหรบการไหลแบบราบเรยบแบบเตมทอภายในทอกลมนนพบวาตวประกอบความเสยดทานขนอยกบคา เรยโนลด นมเบอร (Re) และไมขนอยกบความขรขระ (Roughness, ) ของผวทอสวนการไหลแบบปนปวน พบวาตวประกอบความเสยดทานขนอยกบ เรยโนลด นมเบอร (Re) และความขรขระสมพทธ (Relative roughness, /D) ตวแปรอนๆ ทส าคญไดแก ความหนาแนนของของไหล () ความหนด () ความเรวเฉลยในการไหล (v) และเสนผานศนยกลางทอ (D) ดงนนจงเขยนในรปตวประกอบความเสยดทานไดดงน


( ) ( ) (8.19)

นอคราดเซ (Nikuradse) วศวกรชาวเยอรมนไดท าการศกษาผลกระทบของความขรขระของผนงทอ หรอความหยาบของผวของผนงทอ (roughness, ) ทมตอการไหล พบวา ในกรณการไหลมพฤตกรรมแบบราบเรยบ ความขรขระของผนงทอจะไมมผลตอการสญเสยพลงงาน หรอตวประกอบความเสยดทาน แตในกรณการไหลมพฤตกรรมแบบปนปวนผลกระทบของความขรขระสามารถแบงได 3 ลกษณะดงน u*/ < 5 ถอวาเปนกรณทอผนงเรยบ เนองจากความขรขระของผนงทอไมสงผลกระทบตอตวประกอบความเสยดทาน (f = [Re])

5 < u*/ < 7 ความขรขระของผนงทอจะสงผลกระทบตอตวประกอบความเสยดทาน ในระดบปานกลาง (f = [Re, /D])

u*/ > 5 ทอขรขระมาก หรอการไหลแบบปนปวนสมบรณ ความขรขระของผนงทอจะสงผลกระทบอยางมากตอตวประกอบความเสยดทาน สวน Re มผลกระทบตอคาสมประสทธความเสยดทานนอยมาก (f = [/D]) ส าหรบความขรขระของผวทอทท าจากวสดชนดตางๆ จะก าหนดไวในตารางท 8.1 ในป ค.ศ. 1939 โคลบรก (C.F. Colebrook) ไดน าเสนอสมการการหาตวประกอบความเสยดทานในกรณทความขรขระของผนงทอมผลกระทบในระดบปานกลาง ดงสมการตอไปน

√ ( √ ) (8.20)

และเพอใหงายตอการค านวณ ในป ค.ศ. 1983 แฮแลนด (Haaland) ไดท าการปรบปรงสมการของ โคลบรก แตสมการของแฮแลนดมความคลาดเคลอนอยระหวาง 10-15% ซงอยในเกณฑทยอมรบได สมการดงกลาวคอ

√ (( ) ) (8.21)

ในกรณการไหลในทอขรขระมาก (Fully rough flow) คารมาน (Karman) ไดน าเสนอสมการของการหาตวประกอบความเสยดทานไวดงน

√ ( ) (8.22)


และเพอใหงายตอการใชงาน ในป ค.ศ. 1944 เลวส เฟอรร มด (Lewis Ferry Moody) ไดรวบรวมสมการของ ฮาเกน (Hangen) บวซเอออลเลอ (Poiseuille) แพรนตทล (Prandtl) โคลบรค (Colebrook) และ คารมาน (Karman) มาสรางเปนกราฟความสมพนธระหวาง Re /D กบ ตวประกอบความเสยดทาน (f) หรอเรยกวา แผนภาพมด (Moody diagram) ดงรปท 8.9

รปท 8.9 แผนภาพมด (Moody diagram) (ทมา : Donald et al., 2012)


ตารางท 8.1 คาความขรขระผวของวสดชนดตางๆ

วสดทใชท าทอ ความขรขระสมมล, (mm) เหลกกลาตะเขบหมดย า (Riveted steel) 0.9 – 9.0 คอนกรต (Concrete) 0.3 – 3.0 ทอไม (Wood stave) 0.18 – 0.9 เหลกหลอ (Cast iron) 0.25 ผวทอเคลอบสงกะส (Galvanized surface) 0.15 เหลกหลอเคลอบดวยยางมะตอย (Asphalted cast iron) 0.12 เหลกกลาทวไป (Commercial steel) 0.046 เหลกเหนยว (Wrought iron) 0.046 ทอรด (Drawn tubing) 0.0015 ทมา : William (1993). ตวอยางท 8.3 น ามนชนดหนงไหลผานทอเหลกหลอทวางในแนวระนาบ และมขนาดเสนผานศนยกลาง 10.23 cm ยาว 100 m ดวยอตราการไหล 0.01 m3/s ก าหนดให ความถวงจ าเพาะของน ามนนเทากบ 0.96 และมความหนด 650 x 10-3 N.s/m2 จงหาความดนลด (P1 – P2) ในชวงความยาวน วธท า

หาพนทของทอจากสมการ


= 184 (แสดงวาเปนการไหลแบบราบเรยบ) ดงนน หาตวประกอบความเสยดาน (f) จากสมการ


= 0.347 สมการพลงงานของการไหลภายในทอกลม

∑

จากสมการการไหลในสภาวะคงตวและการไหลแบบตอเนอง Q = A1v1 = A2v2 ดงนน A1 = A2 และ v1 = v2 ทออยในแนวระดบ Z1 = Z2 จะไดวา

แทนคาจะไดวา

= 2.42 x 105 N/m2 = 242 kPa ตอบ ตวอยางท 8.4 น ามนดเซลไหลผานทอเหลกกลาทวางในแนวราบ และมขนาดเสนผานศนยกลาง 14.64 cm ยาว 100 m ดวยอตราการไหล 0.003 m3/s ก าหนดใหความถวงจ าเพาะของน ามนดเซลเทากบ 0.728 และมความหนด 0.859 x 10-3 N.s/m2 จงหาความดนลด (P1 – P2) ในชวงความยาวทอเหลกกลาน วธท า

หาพนทของทอจากสมการ



= 22,333 (แสดงวาเปนการไหลแบบปนปวน) ดงนน หาตวประกอบความเสยดาน (f) จากแผนภาพมด (Moody diagram)

จากตารางท 8.1 ทอเหลกกลามคาความขรขระ () เทากบ 0.046 mm

และ /D = 0.046/146.4 = 0.000314 Re = 22,333 จะได f = 0.027 สมการพลงงานของการไหลภายในทอกลม

∑

จากสมการการไหลในสภาวะคงตวและการไหลแบบตอเนอง Q = A1v1 = A2v2 ดงนน A1 = A2 และ v1 = v2 ทออยในแนวระดบ Z1 = Z2 จะไดวา

แทนคาจะไดวา

= 217.5 N/m2 = 0.2175 kPa ตอบ


8.5 การสญเสยพลงงานรอง การสญเสยพลงงานรอง (Minor loss, hm) เปนการสญเสยเฮดในจดทมการเปลยนแปลงขนาด หรอทศทางของความเรวของการไหลโดยฉบพลน ซงจะเกดบรเวณทของไหลไหลผานอปกรณประกอบทอตางๆ เชน วาลว ขอตอ ขอลดขนาด ขอขยายขนาด ของอชนดตางๆ เปนตน ซงการสญเสยรองนจะขนอยกบรปแบบการเปลยนแปลงความเรวของการไหลในอปกรณนนๆ และเฮดความเรว ดงนนการค านวณการสญเสยพลงงานรอง จงสามารถก าหนดใหอยในรปของผลคณระหวาง คาสมประสทธการสญเสยพลงงานรอง (Minor loss coefficient, k) กบ เฮดความเรว (Velocity head) ดงสมการท (8.23)

(8.23)

โดยคา k จะขนอยกบประเภทของอปกรณทไหลผานระบบทอ ดงแสดงไวในตารางท 8.2 ดงนน สมการพลงงานทใชวเคราะหส าหรบการไหลผานระบบทอ จะอยในรปของสมการ

∑ ∑ (8.24)

ซงสมการท (8.24) เรยกวา สมการเบอรนลประยกต (Modified Bernoulli equation) ตวอยางท 8.5 น ามนเบนซนมความถวงจ าเพาะ 0.876 มความหนด 0.601 ×10-3 N.s/m2 ไหลผานขอตอทเปนของอ 45๐ (Threaded 45๐ elbow) ดวยความเรว 3.5 m/s จงหาการสญเสยพลงงานรอง (Minor loss) ของขอตอน วธท า


จากตารางท 8.2 คา K ของของอ 45๐ (Threaded 45๐ elbow) = 0.35

ดงนน

= 0.219 m ตอบ


ตวอยางท 8.6 ระบบทอเดยวในระบบการผลตของโรงงานอตสาหกรรมแหงหนง ใชขนาดของทอ 2 ขนาด ดงรปท 8.10 ส าหรบล าเลยงน ามนสนออกจากถง ดวยอตราการไหล 0.05m3/s โดยชวงแรกใชทอ 12-nominal, schedule 80 ระยะทางยาว 60 m ชวงท 2 ใชทอ 8-nominal, schedule 80 ระยะทางยาว 22 m ก าหนดให ทอทงสองขนาดท าจากเหลกเหนยว ความถวงจ าเพาะของน ามนสนเทากบ 0.87 และความหนดเทากบ 1.375 x 10-3 N.s/m2 จงค านวณหาความดนลด (P1 - P2) ตลอดความยาวทอน


วธท า จากตารางขนาดทอในภาคผนวก ค จะไดวา ทอขนาด 12-nominal, schedule 80 ; D12 = 28.89 cm A12 = 655.50 cm2 ทอขนาด 8-nominal, schedule 80 ; D8 = 19.37 cm A8 = 294.70 cm2

เหลกเหนยว ; = 0.046 mm

จากสมการเบอรนลประยกต (Modified Bernoulli equation)

∑ ∑

จดรปสมการใหม จะไดวา [( ∑ ) ] [( ∑ ) ]

12 8

P

1

P2

2.7 m 3 m

8-nominal

12-nominal

เกตวาลว


หาความเรวเฉลยในการไหล v12 = Q/A12 = 0.05/0.06555 = 0.763 m/s v8 = Q/A8 = 0.05/0.02947 = 1.70 m/s

หาเรยโนลดนมเบอร

= 139,473 (แสดงวาเปนการไหลแบบปนปวน)

= 208,351 (แสดงวาเปนการไหลแบบปนปวน) และ

/D12 = 0.046/288.9 = 0.00016

/D8 = 0.046/193.7 = 0.00024 หาตวประกอบความเสยดทานจากแผนภาพมด (Moody diagram) จะไดวา f12 = 0.018 f8 = 0.0175 หาคาสมประสทธการสญเสยพลงงานรองของทอขนาด 12-nominal, schedule 80

ทงหมด โดยเรมจาก เกตวาลว และ ของอ 4 ตว จะไดวา

K12 = 0.15 + 4(0.31) = 1.39 หาคาสมประสทธการสญเสยพลงงานรองของทอขนาด 8-nominal, schedule 80

ทงหมด (D82/D12

2 = 0.45) และของอ 45๐ 2 ตว จะไดวา

K8 = 0.29 + 2(0.17) = 0.63


แทนคาในสมการ จะไดวา [( ) ]

[( ) ]

ดงนน P1 – P2 = (0.147 - 0.0296 – 0.3 + 0.152 + 0.384) (870) (9.81) = 3,010 N/m2 = 3.01 kPa ตอบ


ตารางท 8.2 คาสมประสทธการสญเสยพลงงานรอง (K)

อปกรณในระบบทอ อปกรณในระบบทอ ของอ 90๐

ขอตอสามทาง

ของอ 45๐

ขอตอยเนยน ปากทางเขาทอ

ขอโคงกลบ

ปากทางเขาทอ

Threaded 90

๐ elbow

K = 1.4 (regular) K = 0.75 (long radius)

Flanged 90๐ elbow


Threaded tee joint K = 0.9 (line flow) K = 1.9 (branch flow)

Flanged tee joint K = 0.14 (line flow) K = 0.69 (branch flow)

Threaded 45๐ elbow

K = 0.35 (regular)

Flanged 45๐ elbow

K = 0.17 (long radius)

Couplings and unions

K = 0.08

Reentrant Inlet or inward

Projecting pipe

K = 1.0

Threaded return bend

K = 1.5 (regular)

Flanged return bend


Well – rounded entrance

or bell – mouth inlet K = 0.05

Square – edged inlet K = 0.5


ตารางท 8.2 คาสมประสทธการสญเสยพลงงานรอง (K) (ตอ)

อปกรณในระบบทอ อปกรณในระบบทอ ขอตอลดขนาดทอ

ขอตอขยายขนาดทอ

ปลายทอทางออก

วาลวลกปน

ปลายทอทางออก

วาลวกนกลบ

Reducing bushing and coupling (sudden contraction)

m

K

Sudden expansion

K

v

Convergent outlet K

Ball valve

Pipe exit K = 1.0

Swing-type check valve

Check valve : K = 2.5 (swing type) K = 70.0 (ball type) K = 12.0 (lift type)


ตารางท 8.2 คาสมประสทธการสญเสยพลงงานรอง (K) (ตอ)

อปกรณในระบบทอ อปกรณในระบบทอ โกลบวาลว

แองเกลวาลว

เกตวาลว

ฟตวาลว กรอง

ทมา: William. (1993).

Globe valve

fully open

K = 10 Angle valve

K = 2

Gate valve

Fraction closed =

Fraction closed =

Foot valve

K = 0.8

Basket strainer K = 1.3


8.6 บทสรป

การไหลภายในทอปด (Flow in closed conduits) คอ การไหลของของไหลภายในทอทมผนงปดลอมทกดาน และมของไหลไหลอยเตมพนทหนาตดของทอ ไมมผวอสระอยดานบนของหนาตดการไหล และการไหลอยภายใตความดนตลอดชวงของการพจารณา

การไหลของของไหลภายในทอสามารถแบงออกไดเปน 3 ลกษณะ คอ การไหลแบบราบเรยบ (Laminar flow) การไหลแบบปนปวน (Turbulent flow) และการไหลในชวงการแปรเปลยน (Transition flow)

การไหลแบบราบเรยบ จะเกดกบการไหลของของไหลทมความหนดสง หรอความเรวในการไหลต า อนภาคของของไหลจะเคลอนทอยางเปนระเบยบขนานกบทศทางของการไหล ซงสงเกตได จากแนวเสนสทเกดจากการทดลองจะมลกษณะเปนเสนทคอนขางตรงและราบเรยบ

การไหลแบบปนปวน จะเกดกบการไหลของของไหลทมความหนดต า หรอความเรวในการไหลมาก อนภาคของของไหลเคลอนทไมเปนระเบยบ แนวเสนทางการเคลอนทมความเรวแปรปรวนมาก โดยสงเกตไดจากแนวเสนสทเกดขนจากการทดลองจะกวดแกวงไปมาไมเปนระเบยบและมการเปลยนแปลงอยตลอดเวลา

การไหลในชวงการแปรเปลยน เปนชวงของการไหลทก าลงจะพฒนาพฤตกรรม จากการไหลแบบราบเรยบไปเปนการไหลแบบปนปวน เปนชวงทไมสามารถคาดเดาพฤตกรรมของการไหลไดอยางแนนอน เพราะในบางต าแหนงหรอบางชวงเวลาใดๆ พฤตกรรมของการไหลอาจเปนไปไดทงแบบราบเรยบและแบบปนปวน โดยสงเกตไดจากแนวเสนสทเกดขนจากการทดลอง ในบางต าแหนงจะมลกษณะกวดแกวงไปมาในขณะทสวนอนๆ มลกษณะราบเรยบ หรอทต าแหนงเดยวกนในบางเวลาอาจมลกษณะราบเรยบ แตเมอเวลาผานไปอาจมลกษณะกวดแกวงไปมาไมสามารถคาดเดาได พฤตกรรมของการไหลทง 3 ลกษณะจะสอดคลองกบคาของกลมตวแปรไรมตกลมหนง ซงเรยกวา เรยโนลด นมเบอร (Reynolds number, Re) นนคอ ถา Re < 2,100 แสดงวาเปนการไหลแบบราบเรยบ 2,100 < Re < 4,000 แสดงวาเปนการไหลในชวงการแปรเปลยน Re > 4,000 แสดงวาเปนการไหลแบบปนปวน การไหลบรเวณบรเวณปากทางเขาของทอ (Entrance flow development) แบงออกไดเปน 2 ลกษณะ คอ การไหลบรเวณปากทางเขาทอในสภาวะการไหลแบบราบเรยบ และการไหลบรเวณปากทางเขาทอในสภาวะการไหลแบบปนปวน ชวงการไหลทไดรบผลกระทบจากปากทางเขาทอจะเรมจากปากทางเขาตอเนองเรอยไปจนกระทงสนสดการปรบตว เรยกวา ความยาวชวงทางเขา (Entrance length, Le) การสญเสยพลงงานหลก (Friction head loss หรอ Major loss) คอ การสญเสยเฮดทเกดจากผลของแรงเสยดทานอนเนองมาจากผลของความหนดของของไหล และแรงเสยดทานระหวางของไหลกบผนงทอ โดยการสญเสยเฮดนนขนอยกบ ขนาดเสนผานศนยกลางทอ ความยาวทอ ความขรขระหรอความหยาบของวสดทใชท าทอ ความหนดของของไหล และความเรวในการไหล การสญเสยพลงงานรอง (Minor loss, hm) เปนการสญเสยเฮดในจดทมการเปลยนแปลงขนาด หรอทศทางของความเรวของการไหลโดยฉบพลน ซงจะเกดบรเวณทของไหลไหลผานอปกรณ


ประกอบทอตางๆ เชน วาลว ขอตอ ขอลดขนาด ขอขยายขนาด ของอชนดตางๆ เปนตน ซงการสญเสยรองนจะขนอยกบรปแบบการเปลยนแปลงความเรวของการไหลในอปกรณนนๆ และเฮดความเรว ดงนนการค านวณการสญเสยพลงงานรอง จงสามารถก าหนดใหอยในรปของผลคณระหวาง คาสมประสทธการสญเสยพลงงานรอง (Minor loss coefficient, k) กบ เฮดความเรว (Velocity head)



บทท 8

1. การไหลภายในทอปดหมายถงอะไร 2. จงอธบายพฤตกรรมการไหลภายในทอ 3. เรยโนลดนมเบอรเปนคาทบอกถงอะไร 4. การสญเสยพลงงานหลกหมายถงอะไร 5. การสญเสยพลงงานรองหมายถงอะไร 6. น ามนชนดหนงมความถวงจ าเพาะ 0.87 มความหนด 0.6 × 10-3 N.s/m2 ไหลผานทอเหลก ขนาดเสนผานศนยกลาง 10 mm ดวยความเรว 5.5 m/s จงหา เรยโนลดนมเบอร 7. น ามนดเซลมความถวงจ าเพาะ 0.728 และมความหนด 0.859 x 10-3 N.s/m2 ไหลผานทอทมขนาดเสนผานศนยกลาง 13.2 cm ดวยอตราการไหล 0.032 m3/s อยากทราบวาการไหลดงกลาวเปนการไหลแบบราบเรยบ หรอแบบปนปวน 8. น าไหลผานทอทางเขาทมรปทรงปากระฆง (Well-rounded) ขนาดเสนผาศนยกลาง 5.5 cm ดวยอตราการไหลของของไหล 0.0035 m3/s ก าหนดให น ามความถวงจ าเพาะเทากบ 1 และมความหนด 0.89 x 10-3 N.s/m2 จงหาระยะ Entrance length (Le) ของการไหลน 9. น าไหลผานทอ 2-nominal, schedule 40 ยาว 10 m วางในแนวเอยงท ามม 30๐ กบแนวระดบ ดงรปท 8.11 ดวยอตราการไหล 0.002 m3/s ก าหนดให ตวประกอบความเสยดทาน (f) เทากบ 0.03 จงค านวณหาความดนลด (P1 - P2) ตลอดความยาวทอน

รปท 8.11 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 8 ขอท 9 (ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999)

10. เมทลแอลกอฮอลมความถวงจ าเพาะ 0.789 และมความหนด 0.56 x 10-3 N.s/m2 ไหลผานทอ6-nominal, schedule 80 ซงท าจากเหลกกลาสนม ยาว 120 m ดวยอตราการไหล 0.0049 m3/s จงหาความดนลด (P1 – P2) ในชวงความยาวทอเหลกกลาน

30๐

1

2

5 m

10 m

2-nominal


11. เอทลแอลกอฮอลมความถวงจ าเพาะ 0.787 และมความหนด 1.095 x 10-3 N.s/m2 ไหลผานทอ 8-nominal, schedule 80 ทประกอบดวยขอตอออกสถงบรรจ ดงรปท 8.12 ดวยอตราการไหล 0.35 m3/s และทอมความยาว 80 m ก าหนดให ทอท าจากเหลกกลา จงหาความดนลด (P1 – P2) ในชวงความยาวทอเหลกกลาน


(ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993) 12. น าถกสบจากถงขนสเครองสบ โดยตดตงระบบทอไวดงรปท 8.13 และใชทอ 4-nominal, schedule 40 ซงท าจากเหลกหลอ น าไหลผานระบบทอดวยอตราการไหล 0.04 m3/s ตลอดทงระบบทอมความยาว 20 m อปกรณประกอบตดตงในระบบทอเปนแบบหนาแปลน จงค านวณหาความดนลด (P1 – P2) ในระบบทอตงแตหนาตด 1 ถง 2


2 m 2 m

2

1

จากเครองสบ

6 cm

8 cm

2

1

Patm

กลศาสตรของไหล บทท 10 การวดอตราการไหลในทอ 207

บทท 9 การวดอตราการไหลของของไหลในทอ

(Flow measurement of fluid in pipe) ในบทเรยนนจะกลาวถงการวดอตราการไหลของของไหลในทอ ซงมเนอหาทส าคญทจะตองศกษา ประกอบดวย นยามของการวดอตราการไหล การวดอตราการไหลโดยใชมาตรวดการไหลแบบเวนจร การวดอตราการไหลโดยใชมาตรวดการไหลแบบแผนออรฟส การวดอตราการไหลโดยใชมาตรวดการไหลแบบโรตามเตอร การวดอตราการไหลโดยใชพทอตตทวป และสรปเนอหาทส าคญ รายละเอยดของแตละหวขอมดงตอไปน 9.1 เครองมอทใชในการวดอตราการไหลของของไหลในทอ

การวดอตราการไหล (Flow measurement) ของของไหลในทอโดยใชเครองมอวด มการวดอตราการไหลไดหลายวธดวยกน ในทนจะขอกลาวถงเฉพาะเครองมอ หรอมาตรวดอตราการไหลในทอทนยมใชและรจกกนทวไปเทานน ซงมรปแบบของมาตรวดและการวเคราะหหาอตราการไหลในทอ ไดแก มาตรวดการไหลแบบเวนจร (Venturi meter) มาตรวดการไหลแบบออรฟส (Orifice meter) มาตรวดการไหลแบบโรตามเตอร (Rotameter) การวดอตราการไหลโดยใชพทอตตทวป (Pitot tube) ซงรายละเอยดจะกลาวในหวขอตอไป 9.2 การวดอตราการไหลโดยใชมาตรวดการไหลแบบเวนจร 9.2.1 ความหมายของมาตรวดการไหลแบบเวนจร มาตรวดอตราการไหลแบบเวนจร (Venturi meter) เปนเครองมอทใชวดอตราการไหลของของไหลในทอ หลกการของมาตรวดการไหลชนดนถกคนพบโดยนกฟสกสชาวอตาเลยน ในป พ.ศ. 2340 ซงมชอวา จโอแวนน แบตทสตา เวนจร (Giovanni Battista Venturi) แตภายหลง เคลเมนส เฮอรเซล (Clemens Herschel) ไดน าหลกการมาประยกตใชงานจรงในป พ.ศ. 2530 9.2.2 หลกการท างานของมาตรวดการไหลแบบเวนจร มาตรวดแบบเวนจร (Venturi Meter) มลกษณะเปนทอรปกรวยตด 2 ทอนมาตอกนดงรปท 9.1 ลกษณะเชนนจะชวยลดการสญเสยพลงงานไดมากกวามาตรวดแบบออรฟส อตราการไหลกสามารถหาไดจากการอานคาผลตางของระดบของไหลในแมนอมเตอร (h) เวนจรแบบพเศษ (Eccentric) เสนผาศนยกลางของทอไมเปนเสนตรง เพอประโยชนในงานทของไหลมสารแขวนลอยทอาจเกดการสะสมตวภายในชองวด เชนเดยวกบออรฟสแบบเยองศนย แตเจนจรแบบนจะตองไดรบการสอบเทยบคา (Calibration) เฉพาะตวเทานน

208 บทท 9 การวดอตราการไหลของของไหลในทอ กลศาสตรของไหล

รปท 9.1 มาตรวดการไหลแบบเวนจร (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

พจารณาการไหลผานมาตรอตราการไหลแบบเวนจรจากจดท (1) ไปยงจดท (2) ส าหรบของไหลแบบอดตวไมได จากสมการพลงงานระหวางจด (1) และจด (2) คอ

(9.1)

จากสมการความตอเนองจะได

(9.2)

แทนคา จากสมการ (9.2) ในสมการ (9.1) จะได

ระดบอางอง 1

2

y

h

z

D1

D2

S1

S0

M N

กลศาสตรของไหล บทท 9 การวดอตราการไหลของของไหลในทอ 209

(9.3)

เนองจากความดนทจด M = ความดนทจด N ดงนนจะไดวา

(9.4)

น าสมการท (9.3) เทากบสมการท (9.4) จะได

√ √ (9.5)

เนองจากความเรวจรง มคานอยกวาความเรวตามทฤษฎ (9.6)

เมอ คอ สมประสทธความเรว ทหนาตด (2) มอตราการไหล (9.7) แทนคา จากสมการ (9.5) ในสมการท (9.7) จะได

√ √ (9.8)

สมการท (9.8) ส าหรบในกรณทใชผลตางความสงของแมนอมเตอร จากสมการท (9.4) น ามาแทนคาในสมการท (9.8) จะได


√ √ (9.9)

ในกรณทตดตงเครองวดความดน จะไดวา

√ √ (9.10)

ส าหรบสมประสทธความเรว สามารถหาไดจากกราฟดงรปท 9.2

รปท 9.2 ความสมพนธระหวาง และเรยโนลดนมเบอร (Re)

(ทมา : William, 1993)

Re

1.00

0.98

0.96

0.94

Cv

2 3 4 5 6 8 10

4 10

5 10

6 2 3 4 5 6 8


ตวอยางท 9.1 ใชมาตรอตราการไหลแบบเวนจรทมขนาดของเสนผาศนยกลาง D1 = 45 cm และ D2 = 22.5 cm วางอยในแนวเอยง ระดบความสงระหวางจด (1) และ (2) เทากบ 10 cm ความเรวทคอคอด (จดท 2) เทากบ 0.58 m/s ความดนแตกตางระหวางจดวดอานได 40 kPa จงค านวณหาอตราการไหลของน าในทอสง (ในทน = 1,000 kg/m3 และน าม = 1.30 x 10-6 m2/s) วธท า


√ √

โจทยก าหนดให P = 40 kPa = 40 x 103 Pa

= g = 1,000 x 9.81 = 9,810 N/m3

Z = 0.1 m

จากกราฟความสมพนธในรปท 9.2 ได Cv = 0.98 แทนคาในสมการจะได

√ √

= 0.362 m3/s ตอบ


9.3 การวดอตราการไหลโดยใชมาตรวดการไหลแบบแผนออรฟส 9.3.1 ความหมายของมาตรวดการไหลแบบแผนออรฟส มาตรวดการไหลแบบแผนออรฟส (Orifice plate meter) หรอ มาตรวดแบบรระบาย (Orifice meter) เปนเครองมอวดอตราการไหลส าหรบของไหลทไหลภายในทออกแบบหนง การใชออรฟสวดอตราการไหล เปนทรจกกนมาตงแตสมยจเรยส ซซาร (Julius Caesar) ในตนครสตศตวรรษท 20 ออรฟส ประกอบดวยแผนราบบางทวางกนของไหล ตรงกลางเจาะร ขอบของแผนราบจะคม การตดตงจะหนสวนทคมสวนทางกบกระแส 9.3.2 ความหนาของออรฟส ความหนาของออรฟสจะมคาแปรเปลยนไปตามขนาดของทอหรอเสนผาศนยกลางของชองออรฟส ความหนาของขอบในออรฟส (Orifice edge) ระยะ T ตามรปท 9.3 จะตองมคาไมเกนคาเหลาน

รปท 9.3 คาความหนาใชงานของออรฟส

(ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999) จากรปท 9.3 จะไดวา T 0.02 D เมอ D คอ ระยะเสนผานศนยกลางดานในของทอ

หรอ T d/8 เมอ d คอ เสนผานศนยกลางของชองออรฟส

ดานหนา (Inlet face)

45๐ 2

๐

ขอบคม (Sharp edge)

การไหล (Flow)

ความหนาแผนออรฟส

ความหนาของขอบในออรฟส (Orifice edge)

W

T

d


โดยทระยะ d จะมผลโดยตรงตอคาสมประสทธอตราการไหล (Coefficient of discharge) แตคาความหนาของแผนออรฟสจะมคาความหนามากกวา T ได เพอไดความแขงแรงของแผนออรฟสมมากขน ขนาดชองออรฟสจะบอกเปนอตราสวนกบขนาดเสนผาศนยกลางภายในของทอ (d/D) เรยกวา อตราสวนเบตา (β Ratio) คาของ ส าหรบวดอตราการไหลของของเหลวจะอยระหวาง 0.15 ถง 0.75 สวนคา ทใชส าหรบวดอตราการไหลของกาซจะอยระหวาง 0.2 ถง 0.7 9.3.3 ออรฟสแบบเยองศนย (Eccentric orifice) ชองออรฟสเปนรปกลม แตจดศนยกลางของรจะคอนมาอยทางดานลางของแผน ดงรปท 9.4 เนองจากแกปญหาของของไหลบางอยาง เชน ของไหลทมสารแขวงลอย น ามนทมน าผสมอย แตอยางไรกดผลการวดของออรฟสแบบน อาจท าใหคาผดพลาดมากกวาแบบแรกถง 5 เทา

รปท 9.4 แผนออรฟสแบบเยองศนย (ทมา : ดดแปลงจาก Fox and McDonald, 1992)

9.3.4 ออรฟสแบบเซคเมนต (Segmental orifice) ออรฟสแบบนใชงานกบของไหลทมปญหาเชนเดยวกบแบบเยองศนย โดยชองออรฟสจะเจาะเปนเสยวของวงกลม (Segment) ดงรปท 9.5

รปท 9.5 แผนออรฟสแบบเซคเมนต (ทมา : ดดแปลงจาก Fox and McDonald, 1992)


9.3.5 ออรฟสแบบจดศนยกลางรวม (Concentric orifice) ออรฟสแบบนใชงานกบของไหลทงทเปนของเหลว กาซ และไอทไมมความหนด โดยชองออรฟสจะเจาะเปนรตรงกลางสองวงมจดศนยกลางรวม (Concentric) ดงรปท 9.6

รปท 9.6 แผนออรฟสแบบจดศนยกลางรวม (ทมา : ดดแปลงจาก Fox and McDonald, 1992)

9.3.6 ออรฟสแบบจ ากดจดศนยกลางเดยว (Restriction orifice) ออรฟสแบบนใชงานกบของไหลทงทเปนของเหลวและกาซ โดยชองออรฟสจะเจาะเปนรตรงกลางจดศนยกลางจ ากดวงเดยว (Restriction) ดงรปท 9.7

รปท 9.7 แผนออรฟสแบบจ ากดจดศนยกลางเดยว (ทมา : ดดแปลงจาก Fox and McDonald, 1992)

9.3.7 หลกการท างานของมาตรวดแบบออรฟส มาตรวดแบบออรฟส หรอรระบาย (Orifice Meter) ประกอบดวยแผนโลหะมรกลม ซงมขอบคมอยตรงกลางวางกนทศทางการไหลของของไหลในทอ ดงรปท 9.8 โดยแนวทผานจดศนยกลางทอจะผานจดศนยกลางรระบายน าพอด ซงอตราการไหลสามารถพจารณาไดจากการอานผลตางของระดบของไหล


รปท 9.8 มาตรวดการไหลแบบออรฟส (ทมา : ดดแปลงจาก Fox and McDonald, 1992)

จากสมการพลงงานระหวางจดท (1) และจดท (2) คอ

(9.11)

เนองจาก Z1 = Z2 เพราะทอวางในแนวระดบ ดงนน

(9.12)

สมการการไหลตอเนองระหวางหนาตด (1) และหนาตด (2) คอ (9.13) แต A2 < A0 หรอ A2 = ccA0 (9.14) เมอ cc คอ สมประสทธการคอดตว แทนคา A2 จากสมการท (9.14) ลงในสมการท (9.13) จะได

แผนออรฟส

แมนอมเตอร h

S0

2

S1

1

M N

D1

D0

1 2 D

2

y ของไหลในแมนอมเตอร

การไหล


(9.15)

แทนคา จากสมการ (9.15) ในสมการ (9.12) จะได

(9.16)

แต ความดนทจด M = ความดนทจด N ดงนนจะไดวา

(9.17)

น าสมการท (9.16) เทากบสมการท (9.17) จะได

√ √ (9.18)

สมการท (9.18) คอความเรวทไดตามทฤษฎ แตในความเปนจรงแลวจะมการสญพลงงานในขณะทมการไหลผานมาตรวดแบบออรฟส ดงนน ความเรวจรง มคานอยกวา ความเรวตามทฤษฎ คอ (9.19)

เมอ คอ สมประสทธความเรว

ทหนาตด (2) มอตราการไหล (9.20) แทนคา จากสมการ (9.18) ในสมการท (9.20) จะได

√ √ (9.21)


√ √ (9.22)

โดยท cd คอ สมประสทธอตราการไหลมคาเทากบ cccv จากสมการท (9.22) จะเหนไดวาสมประสทธอตราการไหล cd และสมประสทธการคอดตว cc เปนคาทหาไดยาก ดงนนถายบเทอมใหมเปนดงสมการท (9.23) จะหาอตราการไหลไดสะดวกขน กลาวคอ (ในกรณทใชผลตางความสงของแมนอมเตอร)

√ [ ] (9.23)

โดยท √ คอ สมประสทธมาตรวดแบบออรฟส

เมอแทนคา [ ] จากสมการท (9.17) ในสมการท (9.23) จะได

√ [ ] (9.24)

ส าหรบในกรณทตดตงเครองวดความดน จะไดวา

√ (9.25)

โดยท


ส าหรบสมประสทธมาตรวดอตราการไหลแบบออรฟสหาไดจากรปท 9.9

รปท 9.9 สมประสทธมาตรวดการไหลแบบออรฟส (ทมา : ดดแปลงจาก Fox and McDonald, 1992)

ตวอยางท 9.2 ตดตงออรฟสขนาดเสนผาศนยกลางรเจาะ D0 = 8 cm เขากบทอสงน าแนวระดบทมเสนผานศนยกลาง D1 = 25 cm ความเรวของน าททอสงน าเทากบ 0.089 m/s และตดตงแมนอมเตอรปรอทวดความดนลดครอมออรฟสดงกลาว ดงรปท 9.10 และอานคาความดนแตกตาง P = 35 Kpa ขณะนนก าหนดใหน าอยทอณหภม 25oC จงค านวณหาอตราการไหลจรงของน าในทอสง

รปท 9.10 ประกอบตวอยางท 9.2 (ทมา : ดดแปลงจาก Clayton et al., 2010)

C ρ

เสนผานศนยกลางภายใน D

1 30

๐

D0

0.02D1

0.1D1

0.03D1

0.82

0.80

0.78

0.76

0.74

c 0.72

0.70

0.70

0.68

0.66

0.64

0.62

0.60

4x103 10

4 5x10

4 10

5 5x10

5 10

6

0.05 0.10 0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

ρμ

D0

D1

D2

S0

2

S1

1

N M h

y

2 1


วธท า หาอตราการไหลจรงของน าในทอสง จากสมการ

√

จากตารางท ก.1 ส าหรบน าทอณหภม 25oC ม = 997.0 kg/m3

และ = 0.890 x 10-3 N.s/m2

หาสมประสทธมาตรวดการไหลแบบออรฟส c จากกราฟความสมพนธในรปท 9.9 ได c = 0.66 แทนคาในสมการ จะไดวา

√

= 0.098 m3/s ตอบ

9.4 การวดอตราการไหลโดยใชมาตรวดการไหลแบบโรตามเตอร 9.4.1 ความหมายของมาตรวดอตราการไหลแบบโรตามเตอร มาตรวดอตราการไหลแบบโรตามเตอร (Rotameter) หรอแบบลกลอย เปนเครองมอวดอตราการไหลของของไหล ลกษณะของโรตามเตอรเปนทอแกวใสดานในเปนกรวยเรยว (Tapered pipe) และมลกลอย (Float) ทออกแบบพเศษบรรจอยภายในกรอบ ดงรปรปท 9.11 ของไหลทตองการวดจะไหลผานเขามาทางดานลางของตววด ลกลอยจะถกเฮดความเรว (Velocity head) ยกใหลอยตวขน ต าแหนงของลกลอยจะลอยนง อยกบทเมอเกดความสมดลระหวางเฮดความเรวของของไหลกบน าหนกของลกลอย ต าแหนงของลกลอยจะบอกคาอตราการไหลได โดยระดบของลกลอยแบบตางๆ ทอานคาจะแสดงไวในรปท 9.12


รปท 9.11 มาตรวดอตราการไหลแบบโรตามเตอร (ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999)

9.4.2 หลกการท างานของมาตรวดอตราการไหลแบบโรตามเตอร สวนประกอบของโรตามเตอรทส าคญ ประกอบดวย 1) ลกลอย (Float) ลกษณะของลกลอยจะถกแบงออกตามคณสมบตของของไหล และปรมาตรของการไหล เชน แบบลกบอลเหมาะส าหรบการไหลคาต าๆ 2) ทอแกว สวนใหญทอแกวทนยมใชท าจาก “โบโรซลเกต” ส าหรบงานทใชความดน อณหภมต า และไมเปนสารอนตราย เชน น า อากาศ โดยปกตทอแกวไมนยมใชกบความดนคาสงเกนไป 3) แบบทอโลหะ ทอชนดนออกแบบพเศษส าหรบใชงานในจดทใชทอแกวไมได วธอานคาจงตางออกไปเนองจากไมสามารถมองดลกลอยโดยตรงได โดยออกแบบใหมกานตอจากลกลอยผานกระบวนการแสดงคาโดยใชแรงดงดดของแผนแมเหลก

รปท 9.12 การอานคาของลกลอยแบบตางๆ (ทมา : ดดแปลงจาก Walter, 1990)

อตราการไหลสามารถอานไดจากคาลกลอยทอยนงกบท ทงนกเนองจากแรงในแนวตงทเกดจากความดนแตกตาง แรงโนมถวงทสมดลกบเครองมอนสามารถปรบสมดลไดด ซงขนอยกบพนท

อานคาทระดบน

ทอแกว

การไหล

ลกลอย

การไหล

ระดบอานคา


ทของเหลวไหลผานและแปรคาอยางตอเนองกบระยะทลกลอยลอยตวขนได ดงนนจงมลกษณะคลายๆ กบมาตรชองเปดขอบคมทปรบพนทได ซงสามารถเขยนสมการไดดงน

√ √ (9.26)

โดยท Q คอ อตราการไหล (m3/s) Cd คอ สมประสทธการไหล At คอ พนทหนาตดของหลอดแกว (m2) Af คอ พนทหนาตดของลกลอย g คอ อตราเรงเนองจากแรงดงดดของโลก (m/s2) f คอ ปรมาตรของลกลอย (m3)

f คอ น าหนกจ าเพาะของลกลอย (N/m3) ff คอ น าหนกจ าเพาะขอของเหลวทไหลผาน (N/m3)

ตวอยางท 9.3 มาตรอตราการไหลแบบลกลอยใชวดอตราการไหลของน าทมความหนาแนน ff = 1,000 kg/m3 ต าแหนงสมดลของลกลอยทระดบความสง 5 cm เหนอหนาตด A-A/ ซงมรศม a = 1.2 cm ดงรปท 9.13 หลอดแกวมมมเทเปอร 5o กบแนวดง ส าหรบลกลอยท าจากวสดทมความหนาแนน f = 1,200 kg/m3 พนทหนาตด Af = 7.1 x 10-4 m2 และปรมาตรเทากบ 1.5 x 10-5 m3 ถาก าหนดให Cd = 0.92 จงค านวณหาอตราการไหลของน าผานมาตรอตราการไหลแบบลกลอยน


ทางน าไหลเขา

ทางน าไหลออก

5๐

หลอดแกว

Af

At

5 cm

A/ A

5๐

a

a

5 tan5๐

rtube

a


วธท า จากสมการ

√ √ โจทยก าหนดให cd = 0.92

f = 1,200 kg/m3 ดงนน f = 1,200 x 9.81 = 11,772 N/m3

ff = 1,000 kg/m3 ดงนน ff = 1,000 x 9.81 = 9,810 N/m3 Af = 7.1 x 10-4 m2

f = 1.5 x 10-5 m3

หา At จาก รศมของหลอดแกวทต าแหนงสมดลของลกลอยหาไดจาก

rt = a + 5 tan 5o = 1.2 + 0.4374 = 1.6374 cm

พนทหนาตดของหลอดแกวค านวณจาก

At = r2

= (1.637 x 10-2)2 = 8.4 x 10-4 m2

แทนคาในสมการจะไดวา ( ) ( ) √ √

ตอบ

9.5 การวดอตราการไหลโดยใชพทอตตทวป 9.5.1 ความหมายของพทอตตทวป พทอตตทวป (Pitot tube) เปนเครองมอทใชวดความเรวของของไหลทใชไดทงกบของเหลวและกาซ โดยทตรงปลายทใชวดจะถกสอดเขาอยในสวนกลางของทอใหตงฉากกบทศทางการไหลและปลายอกขางหนงเปดอยดานขาง ดงรปท 9.14 เพอใชวดความดนสถต (Static pressure) จดวดความดนทงสองดานจะตงฉากกน


รปท 9.14 พทอตตทวป (Pitot tube) (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

พทอตตทวปเปนเครองมอวดแบบทประหยด และตดตงงาย แตจะมความผดพลาดเกดขนไดงายเมอความเรวเปลยนแปลงหรอของไหลทสกปรกเหนยวขน เพราะจะท าใหเกดการอดตนไดงาย คาความผดพลาดของการวดจะอยประมาณ 0.5% ถง 5% ขอด คอ ความดนสญเสยทเกดจากพทอตตทวปมคาต า 9.5.2 หลกการท างานของพทอตตทวป การวดความเรว (Velocity measurement) ของของไหล สามารถวดไดโดยตรง คอการจบเวลาทอนภาคของของไหลเคลอนทไปไดในระยะทางทก าหนด ซงอาจใชวธการปลอยสไปตามกระแสของของไหลจะไดความเรว v คอ

เมอ ds คอ ระยะทางทอนภาคของของไหลเคลอนทภายในเวลา dt

รปท 9.15 หลกการวดความเรวของของไหลโดยใชพทอตตทวป


จดตอวดความดนทเกดจาก

Velocity Head จดวดความดนแบบ Static

Stuffing Box

Packing Nut

Corporation Cock

จดวดความดนแบบ Static

จดวดความดนทเกดจาก Velocity Flow of Pipe

1

2

v1

H.G.L

H H

h

E.G.L


ส าหรบการวดความเรวของของไหลอกวธหนง คอ การใชหลอดพทอตต (Pitot tube) ซงมลกษณะเปนหลอดแกวขนาดเลกงอเปนมมฉาก โดยใชปลายดานหนงเปดหนเขาหากระแสการไหล ดงรปท 9.15 ลกษณะเชนนจะท าใหของไหลสามารถไหลเขาไปในหลอดแกวไดจนกระทงความดนของของไหลในหลอดแกวมคามากพอทจะตานทานกระแสการไหล ซงจะท าใหของไหลในหลอดแกวมความเรวเปนศนย

สมการพลงงานระหวางจด (1) และจด (2) คอ

√ (9.27) แตเนองจากสภาพความเปนจรงแลว ในการไหลจะมการสญเสยพลงงานจากการทมหลอด พทอตตมาขวางกระแสการไหล ดงนนความเรวจรง (v) จงมคานอยกวาความเรวทค านวณได (v1) จากสมการ (9.28) C √ (9.29) โดยท C คอ สมประสทธความเรว (Coefficient of velocity) ซงจะมคาอยในชวง 0.98-0.995

หรอ C √ [ ] (9.30)

ตวอยางท 9.4 พทอตตทวปตอเขากบแมนอมเตอร และอานคาผลตางความดน (P) ได 0.35 kPa และวางขนานกบแนวทอสงน า ก าหนดใหคาสมประสทธความเรว มคา 0.98 จงค านวณหาความเรวของการไหลของน าทจดนน วธท า

จากสมการ C √ [ ]

แทนคา √ [ ] ตอบ


9.6 บทสรป

การวดอตราการไหล (Flow measurement) ของของไหลในทอโดยใชเครองมอวด มการวดอตราการไหลไดหลายวธดวยกน ในทนจะขอกลาวถงเฉพาะเครองมอหรอมาตรอตราการไหลในทอทนยมใชและรจกกนทวไปเทานน ซงมรปแบบของมาตรวดและการวเคราะหหาอตราการไหลในทอไดแก มาตรวดการไหลแบบเวนจร (Venturi meter) มาตรวดการไหลแบบออรฟส (Orifice meter) มาตรวดการไหลแบบโรตามเตอร (Rotameter) การวดอตราการไหลโดยใชพทอตตทวป (Pitot tube) มาตรวดอตราการไหลแบบเวนจร (Venturi meter) เปนเครองมอทใชวดอตราการไหลของของไหลในทอ หลกการของมาตรวดการไหลชนดนถกคนพบโดยนกฟสกสชาวอตาเลยน ในป พ.ศ. 2340 ซงมชอวา G.B. Venturi แตภายหลง C. Herschel ไดน าหลกการมาประยกตใชงานจรงในป พ.ศ. 2530 มาตรวดอตราการไหลแบบเวนจร ประกอบดวย ทอทมคอคอด ซงจะท าใหของไหลมความเรวเพมขน แตความดนลดลงทางดานปลายของทอจะมลกษณะคอยๆ ขยายออกความเรวของของไหลกจะคอย ๆ ลดลง เนองจากความสมพนธระหวางความดนและอตราการไหลคอนขางแนนอน ดงนน มาตรเวนจร จงเปนเครองมอวดอตราการไหลทส าคญชนดหนง มาตรวดการไหลแบบแผนออรฟส (Orifice plate meter) หรอ มาตรวดแบบรระบาย (Orifice meter) เปนเครองมอวดอตราการไหลส าหรบของไหลทไหลภายในทออกแบบหนง การใชออรฟสวดอตราการไหล เปนทรจกกนมาตงแตสมยจเรยต ซซาร ในตนครสตศตวรรษท 20 มาตรวดแบบออรฟส หรอรระบาย (Orifice meter) ประกอบดวยแผนโลหะมรกลม ซงมขอบคมอยตรงกลางวางกนทศทางการไหลของของไหลในทอ โดยแนวทผานจดศนยกลางทอจะผานจดศนยกลางรระบายน าพอด ซงอตราการไหลสามารถพจารณาไดจากการอานผลตางของระดบของไหล มาตรวดอตราการไหลแบบโรตามเตอร (Rotameter) หรอแบบลกลอย เปนเครองมอวดอตราการไหลของของไหล ลกษณะของโรตามเตอรเปนทอแกวใสดานในเปนกรวยเรยว (Tapered pipe) และมลกลอย (Float) ทออกแบบพเศษบรรจอยภายในกรอบ ของไหลทตองการวดจะไหลผานเขามาทางดานลางของตววด ลกลอยจะถกเฮดความเรว (Velocity head) ยกใหลอยตวขน ต าแหนงของลกลอยจะลอยนง อยกบทเมอเกดความสมดลระหวางเฮดความเรวของของไหลกบน าหนกของลกลอย ต าแหนงของลกลอยจะบอกคาอตราการไหลได พทอตตทวป (Pitot tube) เปนเครองมอทใชวดความเรวของของไหลทใชไดทงกบของเหลวและกาซ โดยทตรงปลายทใชวดจะถกสอดเขาอยในสวนกลางของทอใหตงฉากกบทศทางการไหลและปลายอกขางหนงเปดอยดานขาง เพอใชวดความดนสถต (Static pressure) จดวดความดนทงสองดานจะตงฉากกน



1. จงบอกนยามของการวดอตราการไหลของของไหล 2. จงอธบายหลกการท างานของมาตรวดอตราการไหลแบบเวนจร 3. จงอธบายหลกการท างานของมาตรวดอตราการไหลแบบออรฟส 4. จงอธบายหลกการท างานของมาตรวดอตราการไหลแบบโรตามอเตอร 5. จงอธบายหลกการท างานของพทอตตทวป 6. จงบอกสวนประกอบทส าคญของมาตรวดการไหลแบบโรตามเตอร 7. น าไหลผานมาตรวดอตราการไหลแบบเวนจร ดงรปท 9.16 ความเรวทคอคอด เทากบ 1.2 m/s และอานคาความดนแตกตาง P ได 106.5 kPa ก าหนดให ความหนาแนนของน าเทากบ 1,000 kg/m3 และน ามความหนดเทากบ 0.89 x 10-3 N.s/m2 จงค านวณหาอตราการไหลของน าผานทอ


8. น ามนไหลผานออรฟส ขนาดเสนผานศนยกลางรเจาะ D0 = 9 cm เขาทอสงทวางอยในแนวระดบมขนาดเสนผานศนยกลาง D1 = 20 cm โดยตดตงแมนอมเตอรปรอทวดความดนลดครอมออรฟส ดงรปท 9.17 อานคาความดนแตกตาง P = 28 Kpa และความเรวของน าททอสงน าเทากบ 0.15 m/s ก าหนดใหน ามนมความหนาแนน 728 kg/m3 และน ามนมความหนดเทากบ 0.86 x 10-3 N.s/m2 จงค านวณหาอตราการไหลของน ามนในทอสงน

P

D1 = 2 m

D2 = 0.9 m

ทศทางน าไหล


รปท 9.17 ประกอบแบบฝกหดทายบทท 9 ขอท 8 (ทมา : ดดแปลงจาก Fox and McDonald, 1992)

9. จงหาอตราการไหลของน าผานมาตรวดอตราการไหลแบบโรตามเตอร ซงลกลอยทใชวดมปรมาตรเทากบ 2.1 x 10-5 m3 และมพนทหนาตด Af = 8.45 x 10-4 m2 ส าหรบลกลอยท าจากวสดทมความหนาแนน f = 1,220 kg/m3 ก าหนดให พนทหนาตดของหลอดแกว At = 9.68 x 10-4 m2 และสมประสทธการไหลมคาเทากบ 0.94 10. จงหาความเรวของการไหลของน ามนผานทอทจดวดความเรวโดยใชพทอตตทวปตอเขากบแมนอมเตอร และอานคาผลตางความดน (P) ได 0.85 kPa และวางขนานกบแนวทอสงน ามน ก าหนดใหคาสมประสทธความเรว มคา 0.99 และความถวงจ าเพาะของน ามนเทากบ 0.92

น ามน (S = 0.728) D1

D0

แผนออรฟส

hm

m

1

2

กลศาสตรของไหล บทท 11 สมการพนฐานของการไหลแบบอดตวได 229

บทท 10 สมการพนฐานของการไหลแบบอดตวได

(Basic equation of compressible flows) ในบทเรยนทผานมาจะกลาวถงการไหลของของไหลแบบอดไมได (Incompressible fluid) ซงเปนการไหลของของไหลโดยสวนใหญ ส าหรบบทนจะกลาวถงการไหลของของไหลแบบอดได (Compressible fluid) เนอหาทจะศกษา ประกอบไปดวย นยามของการไหลแบบอดตวได ความสมพนธทางอณหพลศาสตร การเคลอนทของคลนเสยง คลนรปกรวยมค สมการพนฐานส าหรบการไหลแบบไอเซนทรอปก ผลของการเปลยนแปลงขนาดพนทส าหรบการไหลแบบไอเซนทรอปก การไหลแบบไอเซนทรอปกของกาซอดมคต การไหลผานหวฉด การไหลแบบอดตวไดผานทอทมพนทหนาตดคงทและมความเสยดทาน และสรปเนอหาทส าคญ ดงมรายละเอยดตอไปน 10.1 นยามของการไหลของของไหลแบบอดตวได การไหลของของไหลแบบอดตวได (Flow of compressible fluid) หมายถง การไหลของของไหลทมการเปลยนแปรคาความหนาแนนอยางเดนชด และหากการไหลนนเคลอนทดวยความเรวสงมากจะกอใหเกดการเปลยนแปลงคณสมบต อนๆ ของของไหลในลกษณะพเศษทแตกตางจากพฤตกรรมของของไหลแบบอดไมได ตวแปรทเพมขนมาจากกรณของของไหลแบบอดไมได คอ ความหนาแนน และอณหภม งานทางวศวกรรมทส าคญหลายงานทเกยวของกบของไหลแบบอดได อาทเชน การไหลของกาซในกงหนกาซ การไหลของอากาศทพจารณาจากผสงเกตการณบนเครองทบนดวยความเรวสง และการไหลของอากาศรอบจรวดน าวถเมอพจารณาจากผสงเกตการณบนจรวด เปนตน การวเคราะหเพอหาผลเฉลยของการไหลแบบอดไดทเกยวของกบงานวศวกรรมดงกลาวอยางละเอยดจะตองใชทฤษฎทคอนขางซบซอน แตในบทนจะกลาวถงการศกษาการไหลแบบอดไดเฉพาะกรณทเรยบงาย เพอเปนการท าความเขาใจเบองตนเกยวกบพฤตกรรมของการไหลดงกลาว ดงนน ถงแมวากาชตางๆ โดยธรรมชาตแลวจะถอวาเปนของไหลแบบอดได แตในบทนจะกลาวถงเฉพาะการไหลของของไหลแบบอดไดทมพฤตกรรมเปนกาซอดมคต และจะพจารณาเฉพาะการไหลทเปนมตเดยวและมสภาวะคงตวเทานน 10.2 ความสมพนธทางอณหพลศาสตร ในทางอณหพลศาสตร (Thermodynamic) กาซทวไปทมความดน และอณหภมปานกลางมกจะมพฤตกรรมเหมอนกาซในอดมคต (Ideal gas) ซงกาซอดมคตนจะสามารถเขยนความสมพนธไดเปนดงน (10.1)

230 บทท 10 สมการพนฐานของการไหลแบบอดตวได กลศาสตรของไหล

โดยท คอ ความดน

คอ ความหนาแนนของกาซ คอ คาคงทของกาซแตละชนด คอ อณหภม คาพลงงานในกาซอดมคตจะเปนฟงกชนของอณหภมเพยงอยางเดยว ดงนน ความแตกตางของคาพลงงานภายใน (Internal energy) จะสามารถเขยนไดเปน ดงน (10.2)

โดยท คอ ความแตกตางของคาพลงงานภายใน (Internal energy) คอ คาความรอนจ าเพาะคาปรมาตรมคาคงท คอ ความแตกตางของอณหภม ในท านองเดยวกน ส าหรบกาซอดมคตคาเอนทลป (Enthalpy) กจะฟงกชนของอณหภมมเพยงอยางเดยวเชนกน ดงนน ความแตกตางของคาเอนทลปจะสามารถเขยนไดเปน (10.3) โดยท คอ ความแตกตางของคาเอนทลป (Enthalpy) จะเปนคาความรอนจ าเพาะความดนคงท

และความสมพนธของคาเอนทลปและคาพลงงานภายในจะสามารถเขยนไดเปนดงน

ρ

และ จากสมการท (10.2) และ (10.3) เมอน ามาแทนคาจะได

และ (10.4)


คาอตราสวนของความรอนจ าเพาะจะถกนยามเปน

(10.5)

จากสมการท (10.4) และ (10.5) จะสามารถเขยนคา และ ใหอยในรปของ

(10.6)

(10.7)

เมอท าการพจารณากฎขอทหนงและกฎขอทสองของอณหพลศาสตรไปดวยกน กจะสามารถเขยนเปนความสมพนธไดดงน ( ρ) (10.8)

และเมอเอาคาอณหภม หารตลอด และแทนคาดวยสมการท (10.1) และ (10.2) จะได

( ρ)

โดยท คอ ความแตกตางของคาเอนโทรป (Entropy)

และเมอก าหนดใหคา มคาคงท และท าการอนทเกรตจะได

ρ ρ (10.9)

สมการท (10.8) จะสามารถเขยนในอกรปแบบหนงโดยเปลยนคาพลงงานภายในเปนคาเอนทลปจะได

ρ (10.10)

และเมอเอาคาอณหภม หารตลอดและแทนคาดวยสมการท (10.1) และ (10.3) จะได


และเมอก าหนดใหคา มคาคงท และท าการอนทเกรตจะได (10.11)

ส าหรบกระบวนการไอเซนทรอปก (Isentropic process) จากความสมพนธของสมการท (10.8) และ (10.10) สามารถเขยนไดเปนดงน ( ρ) (10.12)

ρ (10.13)

ดงนน เมอยายขางและจดรปใหม หาคา จากสมการท (10.12) และ (10.13) จะเขยนไดเปนดงน

( ρ) ρ

และ

( ρ)

( ρ)

เมอท าการอนทเกรตจะได

ρ

ดงนน ส าหรบกระบวนการไอเซนทรอปก จะได

ρ คาคงท (10.14 )


ตวอยางท 10.1 จากรปท 10.1 กาซออกซเจนถกปลอยใหไหลอยในทอยาวทมพนทหนาตดคงทดวยอตราการไหลของมวลเทากบ 0.20 kg/s ทต าแหนงท 1 และต าแหนงท 2 บนทอทพจารณาอยจะมคณสมบตของของไหลสม าเสมอตลอดหนาตด เงอนไขในการพจารณาเปนดงน ต าแหนงท 1 อณหภม เทากบ 300 K ความดน เทากบ 650 kPa และต าแหนงท 2 อณหภม เทากบ 290 K ความดน เทากบ 120 kPa จงหาคาการเปลยนแปลงของพลงงานภายใน เอนทลป และเอนโทรป ระหวางต าแหนงท 1 และต าแหนงท 2


(ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993; สมศกด ไชยะกนนท, 2552)

วธท า

ก าหนดให T1 = 300 K, P1 = 650 kPa, T2 = 290 K, P2 = 120 kPa และ = 0.20 kg/s

จงหา และ จากตาราง ก.3 คณสมบตของกาซออกซเจน (ภาคผนวก ก) จะได R = 0.25983 kJ/kg.K ,

cp = 0.919 kJ/kg.K และ cv = 0.659 kJ/kg.K

จากสมการ = 0.659 x (290 – 300) = -6.59 kJ/kg และ = (0.20)(-6.59) = -1.318 kJ

ดงนน คาพลงงานภายในลดลงเทากบ 1.318 kJ/s ตอบ จากสมการ

T1, P

1 T

2, P

2

1 2

ออกซเจน


= 0.919 x (290 -300) = -9.19 kJ/kg = (0.20)(-9.19) = -1.838 kJ/s

ดงนน คาเอนทลปลดลงเทากบ 1.838 kJ/s ตอบ


= 0.919 ln(290/300) – 0.25983 ln(120/650) = 0.408 kJ/kg.K = (0.20)(0.408) = 0.082 kJ/s.K

ดงนน คาเอนโทรปของกาซออกซเจนทไหลระหวางต าแหนงท 1 ถง 2 จะมคาเพมขนเทากบ 0.082 kJ/s.K ตอบ

10.3 การเคลอนทของคลนเสยง พจารณาการเคลอนทของคลนเสยง (Moving of sonic wave) ในกระบอกสบตลอดความยาว ซงบรรจของไหลและลกสบ ดงรปท 10.2 ในของไหลแบบอดไดทอยนงซงมคาความดนเทากบ P และคาความหนาแนนเทากบ นน เมอมสงรบกวนมากระท าตอของไหล จะท าใหเกดคลนความดนทเคลอนทดวยความเรวเทากบความเรวเสยง c ขน และดานหลงคลนจะมการเปลยนแปลงของคาความดนของของไหลเปน P + dP มการเปลยนแปลงของคาความหนาแนนของของไหลเปน + d และยงมความเรวเกดขนในของไหลเทากบ dv ปรากฎการณดงกลาวถกแสดงไวในรปท 10.3 (ก) การไหลดงกลาวจะเปนการไหลแบบไมคงตว เมอพจารณาจากผสงเกตการณทยนนงอยบนพน แตอยางไรกตาม การไหลดงกลาวอาจสามารถพจารณาใหเปนการไหลแบบคงตวไดหากพจารณาจากผสงเกตการณทยนอยบนปรมาตรควบคมทยดตดกบตวคลนความดนซงเคลอนทดวยความเรวเสยง c

และคาความเรวในของไหลเมอพจารณาจากผสงเกตการณทเคลอนทไปพรอมกบคลนความดน จะเหนของไหลดานหนาของคลนความดนไหลเขาหาตวปรมาตรควบคมดวยความเรวเทากบ c เหนคาความเรวของของไหลทางดานหลงคลนความดนจะมคาเทากบ c – dv ดงทแสดงไวในรปท 10.3 (ข)


รปท 10.2 การเคลอนทของลกสบในกระบอกสบ (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

รปท 10.3 การเคลอนทของคลนความดน (ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993)

เมอน าสมการของการอนรกษมวลและสมการโมเมนตมมาใชกบปรมาตรควบคมซงเคลอนทดวยความเรวคงทเทากบ c ซงถกแสดงไวในรปท 10.3 (ข) และท าการวเคราะห จากสมการของการอนรกษมวลซงเขยนไดเปน

∫ ∫ xyz

ภายใตขอสมมตฐาน 1) เปนการไหลแบบคงตว 2) เปนการไหลสม าเสมอในแตละสวน

สมการ จะเหลอ ∫ xyz

{ | |} {| |}

c ความเรวของไหล = 0 (v = 0) dv

(ก) เมอพจารณาจากพนทหยดนง

(ข) เมอพจารณาบนแกนพกดทเคลอนท

c - dv +

P + dP

P

c

ลกสบ

A B C D E F

c dv


ρ (10.15)

สมการโมเมนตม ซงเขยนไดเปน

∫ xyz ∫ xyz xyz

ขอสมมตฐานเพมเตม 3) 4) ละทงแรงเสยดทาน

จะได | | {| |}

ρ (10.16)

เมอน าสมการท (10.15) มาใหเทากบสมการท (10.16) จะได

ρ

เนองจากคลนความดนเคลอนทดวยความเรวเสยงทมคาสง จงไมมเวลาทจะกอใหเกดการถายเทความรอนขนในกระบวนการดงกลาว อกทงการไหลดงกลาวยงอยภายใตสมมตฐานทไมมแรงเสยดทานเกดขน ดงนน กระบวนการดงกลาวจงสามารถกลาวไดวาเปนกระบวนการไอเซนทรอปก และจะสามารถเขยนความสมพนธของความเรวเสยงใหมไดเปนดงน

= ρ (10.17)

และหากของไหลเปนกาซอดมคตซงความสมพนธของคาความดน และคาความหนาแนนภายใตกระบวนการไอเซนทรอปกจะอยในรปของ ρ คาคงท

เมอใสลอการทมลงในสมการท (10.14) และท าการอนทเกรต จะได

ρρ

s=constant


ρ ρ

ดงนน คาความเรวเสยงของกาซอดมคตจะเขยนใหมไดเปนดงน

√ (10.18) สมการท (10.18) ซงเขยนขนมาใหใชกบกาซอดมคตนนจากการทดลองพบวาใชไดผลแมนย าในกรณของไหลเปนอากาศดวย หากตวกลางทพจารณาเปนของเหลวหรอของแขงคา Bulk modulus จะถกก าหนดใหมคาเปนดงน

ρ ρ (10.19)

คาความเรวเสยงในขณะของเหลวหรอของแขงจะมคาเปนดงน

√ (10.20) 10.4 คลนรปกรวยมค

ในการไหลแบบอดได เมอแหลงก าเนดเสยงมการเคลอนท การเดนทางของคลนเสยงจะมลกษณะแตกตางกนขนกบความเรวของแหลงก าเนดเสยง ในหวขอนจะกลาวถงลกษณะการเคลอนทของแหลงก าเนดเสยงทมความเรวตางกน รปท 10.4 จะแสดงถงการเคลอนทของคลนเสยงเมอแหลงก าเนดเสยงมความเรวตางๆ กน เมอพจารณาจากกรณแรกในรปท 10.4 (ก) คอ กรณของแหลงก าเนดเสยงอยกบท v = 0 คลนเสยงจะกระจายออกและเดนทางเปนระยะหางจากแหลงก าเนดเสยงเทากน โดยคาระยะการเคลอนทจะแหลงก าเนดเสยงจะกลายเปนคารศมของทรงกลมทมคาเทากบผลคณของความเรวของคลนเสยง c กบเวลา t ทผานไป ในกรณทสองทแสดงไวในรปท 10.4

(ข) คอ เมอแหลงก าเนดเสยงมการเคลอนทดวยความเรว v ซงมคาต ากวาคาความเรวเสยง 0 < v < c ซงมกจะเรยกการไหลทเคลอนทชากวาความเรวเสยงวา การไหลแบบชากวาเสยง (Subsonic flow) จะเหนไดวาคลนเสยงยงกระจายออกเปนทรงกลมแตจดศนยกลางของทรงกลมหรอแหลงก าเนดเสยงจะเปลยนต าแหนง และในกรณทสามเปนกรณทแหลงก าเนดเสยงเคลอนทดวยความเรวเทากบความเรวเสยง v = c จะเกดระนาบทางดานหนาของแหลงก าเนดเสยงทเคลอนทไปพรอมกบแหลงก าเนดเสยง ซงบรเวณดานหนาดงกลาวจะถกเรยกวา บรเวณเงยบ (Zone of silence) ผสงเกตการณหากอยในบรเวณดงกลาวกจะไมไดยนสยงจากแหลงก าเนดเสยงเลย ดงแสดงไวในรปท 10.4 (ค) และในกรณสดทายเปนกรณทแหลงก าเนดเสยงเคลอนทดวยความเรวมากกวาความเรวเสยง v > c ซงมกจะเรยกการไหลทเคลอนทเรวกวาความเรวเสยงวา การไหลแบบเหนอเสยง (Supersonic flow) ในกรณนคลนเสยงจะกระจายออกในลกษณะทสนทลากสมผสกบขอบ

s


ดานหนาของคลนเสยงจะมลกษณะเปนรปกรวย ดงแสดงไวในรปท 10.4 (ง) ซงมมของกรวยจะมคาเทากบ a หากผสงเกตการณใดอยนอกกรวยน กจะไมไดยนเสยงทเกดจากแหลงก าเนดเสยงเลย และพารามเตอรอกตวทมส าคญตอการก าหนดคณลกษณะของการไหลแบบอดได คอ ตวเลขมค (Mach number) ซงสามารถเขยนเปนคาอตราสวนของความเรวเฉพาะทของของไหลตอความเรวเสยงเฉพาะท (M = v/c) และตวเลขมคจะเกยวของกบการเคลอนทของคลนเสยงจากแหลงก าเนดเสยงทเคลอนทดวยความเรวเหนอเสยงทมลกษณะเปนรปกรวย และจากรปทรงทางเลขาคณตของรปกรวยทแสดงไวในรปท 10.4 (ง) นนท าใหรปกรวยดงกลาวถกเรยกวา รปกรวยมค (Mach cone) และจะสามารถเขยนคามม a ไดเปนดงน

หรอ (10.21)

โดยทมม a จะถกเรยกวา มมมค และบรเวณทอยภายในรปกรวยจะเรยกวา บรเวณทรบร (Zone of action) สวนบรเวณนอกรปกรวยจะเรยกวา บรเวณเงยบ (Zone of silence)

รปท 10.4 การเคลอนทของคลนเสยงเมอแหลงก าเนดเสยงเคลอนทดวยความเรวตางๆ กน (ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999)

ct c(2t)

c(3t) c(2t)

c(2t) c(2t)

ct

ct

ct

c(3t)

c(3t)

c(3t)

บรเวณ

เงยบ

(ก) v = 0 (ข) v < c

(ค) v = c (ง) v > c


ตวอยางของการเคลอนทของแหลงก าเนดเสยงทเรวกวาเสยง คอ การทเครองบนทบนเรวกวาเสยงเคลอนทผานมา ผสงเกตการณจะสามารถเหนตวเครองบนกอน แลวจากนนจงไดยนเสยงเครองบน กเพราะในตอนแรกผสงเกตการณยนอยในบรเวณเงยบ จนเครองบนเคลอนทผานไป รปกรวยมคเคลอนทผานมาผสงเกตการณ เมอผสงเกตการณอยในรปกรวยกจะไดยนเสยงเครองบน

10.5 สมการพนฐานส าหรบการไหลแบบไอเซนทรอปก ในหวขอนจะกลาวถงเฉพาะการไหลทมสภาพคงตวหนงมตแบบอดไดเทานน และรายละเอยดจะกลาวถง สมการพนฐานทใชในการวเคราะหปญหาการไหลในกรณทการไหลดงกลาวอยในสภาวะเปนการไหลแบบไอเซนทรอปก (Isentropic flow) โดยพจารณาจากปรมาตรควบคมทแสดงไวในรปท 10.5

รปท 10.5 ปรมาตรควบคมส าหรบพนฐานการไหลแบบไอเซนทรอปก (ทมา : Robert and Alan, 1998; สมศกด ไชยะกนนท, 2552)

สมการพนฐานทจะน ามากลาวถง ไดแก สมการของการอนรกษมวล สมการโมเมนตม สมการกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร และกฎขอทสองของอณหพลศาสตร และเมอใชสมการดงกลาวกบปรมาตรควบคมทแสดงไวในรปท 10.5 จะได จากสมการอนรกษมวลซงเขยนไดเปน

∫ ∫

ขอสมมตฐาน 1) การไหลแบบคงตว

2) การไหลมตเดยว

เทอมแรกในสมการอนรกษมวลขางตนจะเปนศนย ดงนน จะเหลอ

∫

y

x

1 2

1

P1

T1

v1

A1

2

P2

T2

v2

A2

CV

Rx


{ | |} {| |}

และจะได

คาคงท (10.22) จากสมการโมเมนตมซงเขยนไดเปน

∫ ∫

ขอสมมตฐานเพมเตม 3)

สมการโมเมนตมขางตน จะเหลอ ∫

และจากปรมาตรควบคมทแสดงไวในรปท 10.5 ใหคา Rx เปนคาแรงจากการกระจายของความดนบนผนงทอ สมการโมเมนตมจะเขยนใหมไดเปน

(10.23) จากสมการกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร shaft– shear other ∫ ∫ ρ

ขอสมมตฐาน 4) (กระบวนการไอเซนทรอปก)

5) shear other

6) ละทงผลของความแตกตางของ z สมการขอทหนงจะเขยนไดใหมเปน


( )

และจากความสมพนธ จะได

เมอน ามาใชกบการไหลแบบอดได และเมอลดคาความเรวลง คาเอนทลปจะกลายเปนคาเอนทลปทเงอนไขสแตกเนชน (Stagnation) ซงจะสามารถเขยนไดเปน

(10.24)

จากสมการกฎขอทสองของอณหพลศาสตร

∫ ∫ ∫ ส าหรบกระบวนการไอเซนทรอปก และดวยขอสมมตฐานของการไหลแบบคงตวจะไดเทอมทางซายมอและเทอมแรกทางขวามอเครองหมายเทากบมคาเทากบศนย ดงนน สมการกฎขอทสองของอณหพลศาสตร จะเขยนไดเปน

คาคงท (10.25) ส าหรบสมการท 10.24 นน นอกจากจะสามารถใชในเงอนไขของการไหลแบบไอเซนทรอปกแลว ยงสามารถใชไดกบกระบวนการไหลทเปนแบบไมถายเทความรอนทอาจมแรงเสยดทานไดดวย 10.6 ผลของการเปลยนแปลงขนาดของพนทส าหรบการไหลแบบไอเซนทรอปก คณสมบตของของไหลแบบอดไดจะเปลยนแปรไดนนจะมผลมาจากเงอนไข 3 ประการ คอ การเปลยนแปลงพนท แรงเสยดทาน และการถายเทความรอน แตจากนยามของกระบวนการไอเซนทรอปก (Isentropic process) (หรออกนยหนงคอ กระบวนการแบบยอนกลบไดทไมมการถายเทความรอน ซงกคอ กระบวนการทไมมแรงเสยดทานและไมมการถายเทความรอน) ดงนน การทการไหลทอยภายใตกระบวนการไอเซนทรอปกจะมการเปลยนแปรคาคณสมบตในการไหลไดนน


จ าเปนตองมการเปลยนขนาดพนทส าหรบการไหลแบบไอเซนทรอปก (Isentropic flow) โดยเรมตนพจารณาจากปรมาตรควบคมทแสดงไวในรปท 10.6

รปท 10.6 ปรมาตรควบคมของการไหลแบบไอเซนทรอปก

(ทมา : Robert and Alan, 1998; สมศกด ไชยะกนนท, 2552)

จากการน าเอาสมการโมเมนตมมาใชกบปรมาตรควบคมของการไหลแบบไอทรอปกทแสดงไวในรปท 10.6 จะได

∫ ∫

และจากเงอนไข การไหลแบบคงตว ละทงแรงจากน าหนก FBx และจากการใชสมการของการอนรกษมวลซงจะได

จะได

( )

และเมอจดรปใหมและละทงเทอมทมระดบทสอง จะได

(10.26)

และเมอหารดวยคา จะได

y

x

1 2

P T v A

+ d

P + dP T + dT

v + dv

A + dA CV


ρ (10.27)

และจากสมการของอนรกษมวลภายใตเงอนไขการไหลคงตว จะสามารถเขยนคาอตราการไหลของมวลไดเปนดงน คาคงท เมอท าการใสลอการทมและท าการอนทเกรตจะได

ρρ (10.28)

ρρ

เมอแทนคา จากสมการท (10.27) และจดรปใหม จะได

ρ ρ (10.29)

เมอน าคาจากสมการท (10.17) และสมการท (10.27) มาแทนคาลงในสมการท (10.29) สมการท (10.29) จะสามารถเขยนใหมอยในรปดงน

(10.30)

เมอพจารณาสมการท (10.30) จะเหนวา หากการไหลเปนการไหลแบบชากวาเสยง M < 1 การเปลยนแปลงพนทจะท าใหความเรวเปลยนแปลงเครองหมายตรงกนขาม กลาวคอ หากเพมขนาดของพนทขน ความเรวของของไหลจะลดลง หรอหากลดขนาดของพนทลง ความเร วของของไหลจะเพมขน และถาหากการไหลเปนการไหลแบบเหนอเสยง M > 1 การเปลยนแปลงขนาดของพนทจะท าใหความเรวของของไหลเปลยนแปลงในลกษณะทมเครองหมายเหมอนกน กลาวคอ หากเพมขนาดของพนทขนความเรวของของไหลจะเพมขน หรอหากลดขนดของพนทลง ความเรวของของไหลจะลดลง ตวอยางของการเปลยนแปลงพนทดงกลาวคอ การไหลผานหวฉด และดฟฟวเซอร (Diffuser) ส าหรบการไหลแบบชากวาเสยง (Subsonic) และการไหลแบบเหนอเสยง (Supersonic) ตามทแสดงไวในรปท 10.7


รปท 10.7 ผลของพนททแตกตางกนทมตอการไหลแบบชาและเรวกวาเสยงผานหวฉดและดฟฟวเซอร

(ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993) ในกรณทคาตวเลขมค (Mach number) มคาเทากบ 1 จะสามารถจดรปของสมการท (10.30) เพอแสดงใหเหนวาคา dA/dv = 0 ได ซงจะหมายความถง คาความเรวของการไหลจะมคาตวเลขมคเทากบ 1 เมอการไหลเคลอนทผานสวนของพนทซงมคานอยทสด ทมกจะเรยกวา คอคอด (Throat) ในการทจะเรงการไหลของของไหลจากสภาพหยดนงไปจนมความเรวมากกวาความเรวเสย M > 1 จะตองใชหวฉดแบบลเขาและบานออก (Converging and diverging nozzle) โดยในตอนตนจะใชสวนของหวฉดทเปนลกษณะลเขา (Converging nozzle) ท าการเรงการไหลใหมความเรวเพมขน และหากจดใหเงอนไขการไหลมสภาพทเหมาะสม การไหลจะถกเรงความเรวจนมคาเทากบความเรวเสยง M = 1 เกดขนทคอคอดซงเปนสวนทมพนทนอยทสดของหวฉด และการไหลจะถกเรงใหมความเรวสงขนตอไป (M > 1) โดยใชหวฉดแบบเรวกวาเสยงชนดบานออก (Supersonic diverging nozzle) ส าหรบการชะลอการไหลจากทมความเรวเรวกวาเสยงใหลดลงจนหยดนง (ความเรวเปนศนย) จะตองดฟฟวเซอร (Diffuser) แบบเรวกวาเสยงชนดลเขาและตอดวยดฟฟวเซอร (Diffuser) แบบชากวาเสยงชนดบานออก ซงตามทฤษฎทเปนอดมคต การไหลจะสามารถถกชะลอความเรวลงจนเกดคาความเรวเทากบความเรวเสยงขนทคอคอด แตในความเปนจรงจะไมสามารถชะลอความเรวของของไหลลงโดยไมเกดคลนกระแทก (Shock wave) และมคาความเรวเสยงขนทคอคอดได เนองจากการไหลแถวคอคอดจะมความแตกตางความดนแบบยอนกลบเกดขน ท าใหเกดการไมเสถยรของการไหลและท าใหเกดคลนกระแทก (Shock wave) ขน

การไหลแบบชากวาเสยง (Subsonic) M < 1

การไหลแบบเรวกวาเสยง

(Supersonic) M > 1

หวฉด ดฟฟวเซอร dA < 0

dv > 0

dP < 0

dA > 0

dv < 0

dP > 0

dA > 0

dv > 0

dP < 0

dA < 0

dv < 0

dP > 0


10.7 การไหลแบบไอเซนทรอปกของกาซอดมคต ในหวขอนจะท าการพจารณาของไหลแบบอดไดทมพฤตกรรมเปนกาซอดมคต (Ideal gas) เคลอนทอยภายใตกระบวนการไอเซนทรอปก จากสมการท (10.24) ทเขยนเปนดงน

เมอเขยนใหอยในรปของอณหภม จะเขยนไดเปน

และเมอน าคา หารตลอด และแทนคา ทไดจากสมการท (10.6) จะได

(10.31)

และจากสมการท (10.18) ทแสดงคา √ ในกรณของกาซอดมคต เมอน ามาแทนคา จะได

(10.32)

จากการทของไหลเปนกาซอดมคต กจะสามารถใชความสมพนธของคาความดนกบความหนาแนนตามสมการท (10.14) ซงเขยนเปน

ρ คาคงท ดงนน จงสามารถเขยนความสมพนธระหวางของไหล 2 ต าแหนงไดดงสมการท (10.33) ρ ρ k (10.33)

และจากสมการท (10.1) ซงเขยนไดเปน

น าสมการท (10.1) แทนคาในสมการท (10.33) จะได


ρ ρ k-1 (10.34)

และ

( )(k-1)/k (10.35)

และเมอน าสมการท (10.34) และ (10.35) ไปแทนคาดวยสมการท (10.32) จะได

k/(k-1) (10.36)

ρ ρ k/(k-1) (10.37)

สมการท (10.32) จะใชไดกบการไหลแบบไมมการถายเทความรอนทจะมแรงเสยดทานหรอไมมแรงเสยดทานกได แตสมการท (10.36) และ (10.37) จะตองใชกบการไหลทเปนแบบไมมการถายเทความรอนและไมมแรงเสยดทานเทานน (การไหลแบบไอเซนทรอปก) และเมอคาความเรวของการไหลมคาเทากบความเรวเสยง (M = 1) จะเรยกอตราเรวทคาดงกลาววา อตราเรววกฤต (Critical speed) คาคณสมบตตางๆ ของของไหลทอตราเรวดงกลาวจะถกเรยกวา คณสมบตทคาวกฤต และนยมใชเครองหมายดอกจน (*) ก ากบกบคาคณสมบตนน และเมอน ามาใชกบสมการท (10.32) (10.36) และ (10.37) จะเขยนใหมโดยแทนคา M เปน 1 ไดเปน

(10.38)

k/(k-1)

(10.39)

ρ ρ 1/(k-1) (10.40)

และจากสมการท (10.38) จะไดวา

0


ดงนน คาความเรววกฤต (Critical velocity) จะสามารถหาไดจากการแทนคาอณหภมวกฤตในสมการท (10.18) เปน

√ (10.41)

จากสมการท (10.22)

คาคงท

และเมอจดรปใหมจะได

ρ ρ ρ ρ ρ ρ √

ρ ρ ρ ρ √

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ] (10.42)

ตวอยางท 10.2 อากาศไหลผานทอในสภาวะคงตว (Steady state) โดยทต าแหนงพจารณาต าแหนงแรกมคาความดนเทากบ 165 kPa มคาอณหภมเทากบ 300 K และมคาตวเลขมคเทากบ 0.4 และทต าแหนงทสองทพจารณามคาความดนเทากบ 130 kPa คาอณหภมเทากบ 292 K และมความเรวของอากาศเทากบ 210 m/s จงหา คาอณหภมสแตกเนชนไอเซนทรอปก และความดนสแตกเนชนไอเซนทรอปกทต าแหนงท 1 คาอณหภมสแตกเนชนไอเซนทรอปก ความดนสแตกเนชนไอเซนทรอปก และตวเลขมคของอากาศทต าแหนงท 2 และ และคาความแตกตางของเอนโทปของอากาศระหวางต าแหนงท 1 และ 2

วธท า

ก าหนดให P1 = 165 kPa , T1 = 300 K , M1 = 0.4 , P2 = 130 kPa , T2 = 292 K , v2 = 210 m/s

จากตาราง ก.3 ได k = 1.4 , R = 0.287 kJ/kg.K = 287 J/kg.K , cp = 1.0052 kJ/kg.K


จงหา

จาก √

√

และ

การหาคาอางองทเปนคาคณสมบตสแตกเนชนไอเซนทรอปกเฉพาะทกระท าโดยใชสมการท (10.36) และ (10.32)

[ ]

[ ]

ตอบ


[ ]

[ ]

ตอบ


√

√

และ ตอบ



[ ]

[ ]

ตอบ


[ ]

[ ]

ตอบ


( )

ตอบ

10.8 การไหลผานหวฉด

การไหลของของไหลแบบอดตวไดภายใตกระบวนการไอเซนทรอปกผานหวฉดสองแบบ คอ หวฉดแบบลเขา (Converging nozzle) และหวฉดแบบลเขาและบานออก (Converging diverging nozzle) 10.8.1 การไหลผานหวฉดแบบลเขา ในทนจะกลาวถงพฤตกรรมของของไหลเคลอนทผานหวฉดแบบลเขา (Converging nozzle) ภายใตความดนตางๆ กน รปท 10.8 จะแสดงถงรปหวฉดพรอมกบคาความดนทแปรเปลยนตามต าแหนงในหวฉด และคาอตราการไหลของมวลทแปรตามความดน


รปท 10.8 การไหลผานหวฉดแบบลเขาทความดนตางๆ กนภายใตกระบวนการไอเซนทรอปก

(ทมา : ดดแปลงจาก Graebel, 2001; สมศกด ไชยะกนนท, 2552)

พจารณารปท 10.8 จะเหนวาตวหวฉดจะตออยกบหองทางดานตนทางของการไหลซงมขนาดใหญพอเพยงทจะท าใหของไหลในทางตนทางมสภาวะหยดนง (ความเรวมคาเปนศนย) คาคณสมบตของของไหลทตนทางจะถอวาเปนคณสมบตสแตกเนชน และสวนปลายทอออกของหวฉดจะเปนสวนทมพนทเลกทสดทเรยกวา คอคอด โดยจะก าหนดให e (Exit) เปนสญลกษณส าหรบต าแหนงทปลายทอออกของหวฉด ทอออกของหวฉดจะตอเขากบหองทางดานหลง และหองดงกลาวจะตอเขากบหองดานหลง และหองดงกลาวจะตอเขากบเครองสบ และควบคมความดนและการไหลดวยวาลวควบคม เมอปดวาลวควบคมกจะไมมการไหลออกจากตวหวฉด ความดนภายในหวฉดจะมคาคงทเทากบความดนตนทาง คอ และก าหนดใหสภาวะดงกลาวเปนเงอนไขท 1 ดงทแสดงไวในรปท 10.8 และเมอเรมเปดวาลวออกเลกนอยจะเรมมการไหลเกดขน คาความดนทหองดานหลงของหวฉดถกลดคาใหต ากวา เลกนอย โดยทคาความดนทหองดานหลง จะมคาเทากบความดนททอออก และคาความดนในหวฉดจะลดนอยลงจากคา ไปสคา อยางตอเนอง เสนทแสดงการเปลยนแปรของความดนกบต าแหนงในหวฉด และคาอตราการไหลของมวลถกแสดงไว ในรปท 10.8 ในสภาพเงอนไขท 2 และเมอลดความดนทหองดานหลงของหวฉดตอไปโดยเปดวาลวเพมขนเปนเงอนไขการไหลท 3 สภาพการแปรเปลยนความดนจะเหมอนกบเงอนไขการไหลท 2 เพยงแตคาความดน ในการไหลท 3 นจะมคานอยกวา ในการไหลท 2 และคา จะเทากบ และอตราการไหลของมวลมคาเพมขน

ตอกบเครองสบ


(คอคอด)

Pb

Pe

P0

T0

v0

(1) (2) (3) (4) (5)

x (1)

(2)

(3) (4) (5)

1.0

1.0 1.0

0 P/P

0

P/P0

P*/P0

P*/P0


และเมอลดคาความดนทหองดานหลงของหวฉดตอไปจนอยในเงอนไขการไหลท 4 ทคาความดนมคาเทากบคาความดนวกฤต และททางออกของหวฉดจะมคาความเรวของการไหลเทากบความเรวเสยง และอตราการไหลของมวลมคาเพมขนจนถงคาสงสด

และเมอท าการลดคาความดนทหองดานหลงของหวฉดจากเงอนไขการไหลท 4 ตอไป เปนสภาพเงอนไขการไหลท 5 จะเกดคาความดนแตกตางทเปลยนไปในหองดานหลงของหวฉดและเมอเกดการแตกตางของความดนดงกลาวขน กจะท าใหเกดคลนความดนทเคลอนทดวยความเรวเทากบความเรวเสยง เคลอนทขนไปยงตนทางของหวฉด เพอจะใหมการสงมวลการไหลมาเพมขนเพอปรบใหคาความดนในหวฉดจากต าแหนงตนทางของการไหลจนถงหองดานหลงของหวฉดแปรไปอยางตอเนอง แตเมอคลนความดนเคลอนทขนไปถงต าแหนงทางออกของหวฉดซงของไหลแบบอดไดเคลอนทลงมาดวยความเรวเทากบความเรวเสยง (M = 1) พอด คลนความดนจะไมสามารถเคลอนผานของไหลขนไปได เพราะความเรว ของของไหลทเคลอนลงมากบความเรวของคลนความดนทเคลอนทสวนทางขนไปนนมคาเทากน ดงนน ทางดานตนทางของหวฉดจงไมไดรบทราบขอมลของความตองการการไหลจากทางทายของหวฉดเลย การไหลจากตนทางจนถงทางออกหวฉดจงยงมสภาพเหมอนเดม อตราการไหลของมวลทสภาพเงอนไขการไหลท 5 จงมคาเทากบอตราการไหลของมวลของสภาพการไหลเงอนไขท 4 ท าใหอตราการไหลของมวลมคาคงทดงทแสดงไวในรปท 10.8 แตในแงของความดนเสนแสดงการเปลยนแปรความดนของการไหลในสภาพเงอนไขท 5 จงเหมอนกบเงอนไขท 4 จนถงจดทางออก (Exit) ของหวฉด จากนนกจะเกดการเชอมตอของคาความดนของหองดานหลงของหวฉดกบทจดทางออก ในลกษณะของคลนกระแทก (Shock wave) ขน (ซงการเกดคลนกระแทกจะท าใหการไหลในชวงดงกลาวไมใชการไหลแบบไอเซนทรอปก) ดงทแสดงไวในรปท 10.7 และจะเหนวาส าหรบการไหลแบบไอเซนทรอปกผานหวฉดแบบลเขา คาความเรวสงสดของการไหลทเกดขนททอออกของหวฉดจะมคาเทากบความเรวเสยง (M = 1) เทานน จะมคาตวเลขมคเกนกวานนไมได เมอการไหลมความเรวททางออกเทากบความเรวเสยง (M = 1) คาอตราการไหลของมวลจะเรมมคาคงท ซงเงอนไขการทไมสามารถเพมคาอตราการไหลของมวลตอไป ถงแมวาจะท าการลดคาความดนใหต าลงตอไปอก นน จะเรยกวาปรากฏการณโชค (Choke) ถงแมการไหลแบบไอเซนทรอปกเปนการไหลในเงอนไขอดมคต แตบอยครงมนกเปนเงอนไขทถอวาเปนการประมาณการทดส าหรบการไหลผานหวฉดจรง เนองจากตวหวฉดท าหนาทเรงการไหล ท าใหคาความแตกตางความดนในหวฉดเปนแบบทชนชอบ (Favorable pressure gradient) ซงจะสงผลใหความหนาของชนขอบเขตทผนงมคานอย แรงเสยดทานจะมคานอยตามไปดวย

รปท 10.9 จะแสดงถงการไหลผานหวฉดบนแผนภาพ T-s ซงจะเหนวาเอนทรอปมคาคงทจากจดสแตกเนชนจนถงทจดททางออกของหวฉด ซงทจดดงกลาวจะมคาเทากบคาวกฤต (เสนแนวดงท s = คาคงท) และแสดงถงกรณทเมอลดคาความดนในหองดานหลงของหวฉดต ากวาคาวกฤต คาเอนทรอปจะมคาเพมขน


รปท 10.9 แผนภาพ T-s ส าหรบการไหลผานหวฉดท Choke (ทมา : ดดแปลงจาก Nakayama and Boucher, 1999)

ตวอยางท 10.3 อากาศถกท าใหไหลแบบไอเซนทรอปกอยางคงตวจากถงเกบผานหวฉดแบบลเขาออกสบรรยากาศ ดงรปท 10.10 อากาศในถงซงมอากาศอยนงมคาความดนเทากบ 180 kPa และมคาอณหภมเทากบ 20๐C ก าหนดใหอตราการไหลของมวลมคาเทากบ 1.1 kg/s จงหาคาพนทขาออกของหวฉด


วธท า

ก าหนดให P0 = 180 kPa , T0 = 273 + 20 = 293 K , = 1.1 kg/s , Pb = 101.3 kPa จากตาราง ก.3 อากาศมคา k = 1.4 , R = 0.287 kJ/kg.K = 287 J/kg.K

T

s

T*

P*

Pb < P

*

T0 T

0

P0

S = คาคงท

P0

T0

หวฉด

ถงเกบ Pb = P

atm


จงหา พนทขาออกของหวฉด (Ae)

จากรปท 10.10 ความดนดานทายมคาเทากบความดนบรรยากาศ

กอนอนตองตรวจสอบวาความดนทขาออกของหวฉด จะมคาเทากบ หรอไม การตรวจสอบนนกระท าโดยพจารณาวาการไหลของอากาศทต าแหนงขาออกเกดปรากฎการณ Choke ขนหรอไมทเงอนไขคาวกฤต

[ ]

[ ]

[ ]

และ

จะเหนไดวา ดงนน จะไมเกดปรากฎการณ Choke ขน

จากเงอนไขทของไหลยงมสภาวะไมถงจดวกฤต ท าใหคาความดนทขาออกมคาเทากบความดนดานทาย ซงมคาเทากบความดนบรรยากาศ

ดงนน [ ]

แทนคา ในสมการจะได


[ ]

[ ]


√ √



และจากสมการ

ดงนนจะไดวา

ρ พนทขาออกของหวฉดมคาเทากบ ตอบ

10.8.2 การไหลผานหวฉดแบบลเขาและบานออก

ส าหรบการไหลแบบไอเซนทรอปกผานหวฉดแบบลเขาและบานออก (Converging diverging nozzle) จะถกแสดงโดยตอหวฉดเขากบถงดานหนา ซงมของไหลอดไดบรรจอยในสภาพหยดนง หรอสภาวะสแตกเนชน และทางดานขาออกของหวฉดจะตอเขากบหองดานหลงซงจะตอเขากบเครองสบ และท าการควบคมความดนและการไหลดวยวาลวควบคม ดงแสดงไวในรท 10.11

เมอปดวาลวควบคมจะไมมการไหลออกจากตวหวฉด ของไหลกจะกระจายเตมหวฉดความดนภายในจะมคาคงทเทากบความดนตนทาง คอ และก าหนดใหสภาวะดงกลาวเปนเงอนไข


การไหลท 1 และเมอเรมเปดวาลวออกเลกนอยจะเรมมการไหลเกดขน คาความดนจะเรมเปลยนแปลงโดยมคาลดลงจากความดนตนทาง จนถงจดทคอคอดจะเปนจดทความดนต าสดและมคาเทากบ และเนองจากการไหลยงมสภาพการไหลแบบชากวาเสยงอย เมอของไหลไหลเขาสวนหวฉดทบานออก คาความเรวจะลดลง ท าใหความดนตองมคาเพมขนจนกระทงความดนทขาออก

มคาเทากบความดนทหองดานหลงหวฉด คาอตราการไหลจะถกแสดงไวในรปท 11.11 เปนสภาพเงอนไขการไหลท 2 และเมอลดคาความดนทหองดานหลงหวฉดตอไป โดยเปดวาลวเพมขนเปนเงอนไขการไหลท 3 สภาพการเปลยนแปรความดนจะเหมอนกบเงอนไขท 2 เพยงแตการไหลจะถกเรงขนจนมคาความเรวเทากบความเรวเสยง (M = 1) ทคอคอด และคาความดนจะเพมขนในชวงของหวฉดในสวนทบานออกจนคาความดนทสวนขาออก มคาเทากบความดนทหองดานหลง

การไหลจะเปนการไหลแบบชากวาเสยงตลอดหวฉดยกเวนทคอคอด ซงการไหลจะมคา M = 1 ความดนทคอคอดมคาเทากบความดนวกฤต และจะเกดปรากฎการณ Choke ขน การไหลยงเปนแบบไอเซนทรอปกอย และเมอลดคาความดนทางดานหลงลงไปอก คลนความดนจะเคลอนสวนทศของการไหลขนไปทางดานตนทางดวยความเรวเทากบความเรวเสยง (c) แตเนองจากทคอคอดของไหลมคาตวเลขมคเทากบ 1 แลว คลนความดนจงไมสามารถเดนทางขนไปยงดานตนทางได อตราการไหลของมวลจงมคาคงท เปนไปตามปรากฏการณ Choke และจะเกดคลนกระแทกเกดขน (การไหลไมเปนแบบไอเซนทรอปก) การไหลดงกลาวจะเปนการไหลในเงอนไขการไหลท 4

รปท 10.11 การไหลของของไหลผานหวฉดแบบลเขาและบานออกทความดนตางๆ กน

ภายใตกระบวนการไอเซนทรอปก

(ทมา : ดดแปลงจาก Graebel, 2001; สมศกด ไชยะกนนท, 2552) หวฉดแบบลเขาและบานออกนนจะถกออกแบบเพอเรงการไหลใหเปนการไหลแบบเรวกวาเสยงทสวนขาออกของหวฉด หากลดความดนลงจะมสภาพเงอนไขท 5 ของไหลจะถกเรงใหมความเรวเพมขนแบบไอเซนทรอปกจนมความเรวเปนแบบเรวกวาเสยงททอออกของหวฉดเรามกเรยก

ตอกบเครองสบ

P0

T0

V0 0

Pe

Pb


Pt

P/P0

1.0 1.0

1.0

P*/P0

P*/P0 P/P

0

0 x

(2) (1)

(3) (4)

(5) (6)

(2)

(1)

(3) (4) (5) (6)


เงอนไขการไหลท 5 นวา เงอนไขออกแบบ หากลดความดนทหองดานหลงของหวฉดใหต ากวาคาความดนทเงอนไขการไหลท 5 การไหลจะเกดคลนกระแทกขนทจดออกของหวฉด เปนสภาพการไหลในเงอนไขการไหลท 6

ดงนน จะเหนไดวาเมอการไหลทคอคอดมคาตวเลขมค เทากบ 1 นน การไหลจะเปนการไหลแบบไอเซนทรอปกไดเพยง 2 เงอนไขการไหล คอ การไหลแบบชากวาเสยง (การไหลในเงอนไขท 3 ) และการไหลเปนแบบเหนอเสยง ภายใตเงอนไขออกแบบ ดงทแสดงไวในรปท 10.10

ตวอยางท 10.4 หวฉดแบบลเขาและบานออกถกตดเขากบถงขนาดใหญทบรรจอากาศทมคาความดนเทากบ 124 kPa และมคาอณหภมเทากบ 27๐C ตวหวฉดจะถกปลอยออกสบรรยากาศซงมคาความดนเทากบ 101.3 kPa พนทของสวนขาออกของหวฉดมคาเทากบ 0.0018 m2 จงหาคาอตราการไหลของมวลโดยทถอวาการไหลเปนแบบไอเซนทรอปก

วธท า

ก าหนดให P0 = 124 kPa , T0 = 273+27 = 300 K , Pe = Patm = 101.3 kPa , Ae = 0.0018 m2

จากตาราง ก.3 อากาศมคา k = 1.4 , R = 0.287 kJ/kg.K = 287 J/kg.K จงหา

จากสมการของการไหลเปนแบบไอเซนทรอปก

[ ]

ดงนนจะไดวา [( ) ]

[ {( ) }]1/2

[ {( ) }]1/2

และจากสมการ


[ ]


√

√


ตอบ

จะเหนไดเนองจากการไหลในหวฉดแบบลเขาและบานออกเปนการไหลแบบไอเซนทรอปก การไหลจงจะถกเรงใหมความเรวมากขนเมอเคลอนทเขาสหวฉดในสวนทลเขา โดยจะมความเรวสงสดเกดขนทสวนทเปนคอคอด และการไหลตอจากนนเนองจากเปนการไหลทยงไมเกดปรากฏการณ Choke ของไหลจะถกชะลอใหชาลงเมอเคลอนทตอไปในสวนของหวฉดทบานออก ซงในปญหาขอนคาตวเลขมคทคอคอดจะมคามากกวาตวเลขมคทปากทางออก แตคายงไมถง 1 10.9 การไหลแบบอดตวไดผานทอทมพนทหนาตดคงทและมความเสยดทาน

ในสวนน จะพจารณาการไหลแบบอดตวไดและมแรงเสยดทานของทอทหมฉนวนและมพนทหนาตดคงท พจารณาการไหลผานทอทมพนทหนาตดคงทแบบปรมาตรควบคม (Control volume) ดงรปท 10.12 ไดสมการตอเนองดงน

(10.43) หาอนพนธไดดงน


สลบคา V จะได

ρρ (10.44)

รปท 10.12 การไหลผานทอทมพนทหนาตดคงทแบบปรมาตรควบคม (Control volume)

(ทมา : ดดแปลงจาก William, 1993) ท าการแทนคาลอกการทม (Logarithm) สมการท (10.43) ได (10.45) จากรปท 10.12 ใชสมการโมเมนตม ดงน

∑ ∬

แรงภายนอกทกระท าตอปรมาตรควบคมเนองจากความดนและผวเสยดทาน สามารถเขยนสมการโมเมนตมใหมไดดงน (10.46) โดยท คอ พนทหนาตด คอ พนทผวซงเกดจากแรงเสยดทานของความเคนเฉอน

V

P

V + dV

P + dP

dx

PA (P + dP)A

w dA

s


จากสมการเสนผานศนยกลางไฮดรอลกส (Hydraulic diameter)

(10.47)

โดยท P คอ ความยาวเสนรอบรป (Perimeter) ส าหรบทอรปทรงกระบอก (Circular duct) จะไดวา

(10.48)

และพนทผว คอ

แทนคาในสมการท (10.46) จะได

( ) (10.49)

จากการไหลของของไหลแบบอดตวไมได จะไดตวประกอบความเสยดทาน (Friction factor) f ขนอยกบตวเลขเรยโนลด (Reynolds number) ความขรขระสมพทธ (Relative roughness) นนคอ

( ρ )

และน ามาแทนคาในสมการท (10.49) จะไดวา

(ρ ) (10.50)

แทนคา ดวยคา จากสมการ จะไดวา

เมอก าหนดให และ ⁄ จะไดวา


(10.51)

อนพนธลอกการทมของกาซอดมคต จะได

(10.52)

จากนยามของตวเลขมค (Mach number)

√

(10.53)

แทนสมการท (10.44), (10.52) และ (10.53) ลงในสมการท (10.51) จะไดวา

ส าหรบการไหลแบบแอเดยแบตก (Adiabatic flow) อณหภมสแตกเนชน (Stagnation temperature) มคาคงท

( ) ท าการอนพนธสมการ จะไดวา

(10.54)

แทนคาในสมการไดดงน

( )

ดงนน จะไดวา


[ ( ) ] (10.55)

ท าการอนทเกรต สมการท (10.55) และก าหนดใหคา f เปนคาตวประกอบแรงเสยดทานเฉลยระหวางต าแหนงบนทดงน

พจารณาการไหลททางออกทอ (ปรมาตรควบคม) โดยท M คอ ตวเลขมค และ M = 1, x = Lmax ท าการอนทเกรตสมการท (10.55) จะไดวา

[ ] (10.56)

ค านวณหาคา จากฟงกชนของ M ไดจากตารางท ค.1 (ภาคผนวก ค) ส าหรบ k = 1.4

จากสมการท (10.51) แทนคา ลงในเทอม จะได

[ ]

ท าการอนทเกรตระหวาง P และ P* จะไดความสมพนธของ P/P* เทยบกบ M จะได

[ ( )]

(10.57)

ท าการค านวณหาโดยใชขอมลจากตารางท ก.5 (ภาคผนวก ก) ส าหรบ k = 1.4 และสามารถหาคา T/T* เทยบกบ M จากสมการคลนกระแทก (Shock waves) ดงน

( ) ( )

ดงนน จะไดวา


( )

(10.58)

รวมสมการท (10.53) และ (10.54) และท าการอนทเกรต จะไดผลลพธดงน

[ ( ) ]

(10.59)

สดทายจะเปนอตราสวนของความดนสแตกเนชน (Stagnation pressure ratio) สามารถ

หาไดจากสมการท (10.60) ดงน

[ ( )] (10.60)

ส าหรบการไหลแฟนโน (Fanno flow) ส าหรบกาซอดมคต (k = 1.4) ความสมพนธสแตกเนชน (Stagnation) จะแสดงคาในตารางท ก.5 (ภาคผนวก ก) ตวอยางท 10.5 อากาศไหลเขาทอทมพนทหนาตดคงท ดงรปท 10.13 ดวยความเรว 2.1 m/s ความดน 110 kPa และอณหภม 300 K ทอมความยาว 10 m เปนทอเหลกกลามาตรฐาน (STD) ชนด 2-nominal schedule 40 จงหาคาตวเลขมค ความดน และอณหภมททางออกทอ


วธท า จากตาราง ก.2 อากาศทอณหภม 300 K จะได = 18.46 x 10-6 Ns/m2 จากตาราง ข.1 จะได D = 5.252 cm และ A = 21.66 cm2 ส าหรบอากาศ

V1

V2

1 2

M = 1

actual 2

1


ความเรวคลนเสยงททางเขา

√ √ ดงนน

จากตาราง ก.5 ท M1 = 0.19 จะได

, ,

หาคาเรยโนลดนมเบอร จากสมการ

ρ

ก าหนดทอเปนเหลกกลา และสมมตใหผวทอเรยบมาก จากแผนภาพมด (Moody diagram) ในบทท 8 ท Re1 = 7.64 x 103 จะได คา f = 0.045

จากรปท 10.13 และระยะความยาวทอจากจดท 1 จนถงระยะ M = 1 จะไดวา L1max = Lactual + L2max เพม f/D ลงในทกเทอมจะไดวา

จากความสมพนธดงรปท 10.13 จะไดวา

จากตาราง ก.5 ท จะได

1

ac

1 2 actual

2 1 actual


, , ,

ดงนน ( )

( ) ตอบ

10.10 บทสรป

การไหลของของไหลแบบอดตวได หมายถง การไหลของของไหลทมการเปลยนแปรคาความหนาแนนอยางเดนชด และหากการไหลน นเคลอนทดวยความเรวสงมาก จะกอใหเกดการเปลยนแปลงคณสมบตอนๆ ของของไหลในลกษณะพเศษทแตกตางจากพฤตกรรมของของไหลแบบอดไมได ตวแปรทเพมขนมาจากกรณของของไหลแบบอดไมได คอ ความหนาแนน และอณหภม ตวเลขมค (Mach number) เปนพารามเตอรตวหนงทมส าคญตอการก าหนดคณลกษณะของการไหลแบบอดได ซงสามารถเขยนเปนคาอตราสวนของความเรวเฉพาะทของของไหลตอความเรวเสยงเฉพาะท (M = v/c) และตวเลขมคจะเกยวของกบการเคลอนทของคลนเสยงจากแหลงก าเนดเสยงทเคลอนทดวยความเรวเหนอเสยงทมลกษณะเปนรปกรวย และรปกรวยดงกลาวถกเรยกวา รปกรวยมค (Mach cone) ในการวเคราะหของไหลแบบอดไดทวไป คณสมบตท เปนทสนใจจะเปนคาความดน P คาอณหภม T คาความหนาแนน และคาความเรว v ซงในการวเคราะหปญหาของของไหลแบบอดไดนน นยมใชคาคณสมบตทสนใจในสภาวะทคาความเรวเปนศนยเปนสภาวะอางอง สภาวะดงกลาวหากกระบวนการการลดความเรวเปนกระบวนการไอเซนทรอปก คาคณสมบตดงกลาวจะเรยกวา คณสมบตสแตกเนชนไอเซนทรอปกเฉพาะท ซงโดยนยามจะระบไววาคอ คณสมบตของของไหลทจ ดในสนามการไหลทเกดจากการน าของไหลทจดดงกลาวในสภาวะเฉพาะทซงมความเรวของการไหลอย ไปลดความเรวลงจนเปนศนยภายใตกระบวนการไอเซนทรอปก (กระบวนการทไมมแรงเสยดทานและไมมการถายเทความรอน) คาความดนทสภาวะอางองจะเรยกวา คาความดนสแตกเนชน P0 และคาอณหภมทสภาวะอางองกจะเรยกวา คาอณหภมสแตกเนชน T0 ซงสภาวะสแตกเนชนดงกลาวอาจเปนสภาวะของของไหลแบบอดไดทถกบรรจอยในถงขนาดใหญ โดยทของไหลทงหมดอยในสภาวะหยดนงไมมการเคลอนท การไหลของของไหลแบบอดตวไดภายใตกระบวนการไอเซนทรอปกผานหวฉดสองแบบ คอ หวฉดแบบลเขา (Converging nozzle) และหวฉดแบบลเขาและบานออก (Converging diverging nozzle)



1. จงบอกความหมายของการไหลของของไหลแบบอดตวได 2. ตวเลขมคหมายถงอะไร

3. อากาศไหลอยางคงตวอยในทอระหวางต าแหนง โดยทต าแหนงท 1 จะมคาอณหภม T1 = 70๐C และความดน P1 = 280 kPa และทต าแหนงท 2 จะมคาอณหภม T2 = 50๐C และความดน P2 = 160 kPa จงหาคาความแตกตางของเทอมตอไปนระหวางต าแหนงท 1 และ 2

3.1) พลงงานภายในตอหนวยมวล 3.2) เอลทลปตอหนวยมวล 3.3) คาเอนโทรปตอหนวยมวล

4. อากาศไหลอยในทอทหมฉนวนจนสามารถถอไดวาการไหลไมมการถายเทความรอน ทต าแหนงท 1 อากาศจะมคาดงตอไปน คอ M1 = 0.2, T1 = 280 K, P1 = 95 kPa และทต าแหนงท 2 M2 =

0.6, T2 = 265 K, P2 = 31 kPa 4.1) จงหาคาสแตกเนชนไอเซนทรอปกเฉพาะท (P0, T0) ของอากาศทต าแหนงท 1 และท

ต าแหนง 2 4.2) จงหาคาความแตกตางของเอนโทรปตอหนวยมวลของอากาศระหวางต าแหนงท 1 และ

ต าแหนงท 2 (s) 5. หวฉดแบบลเขาและบานออกถกตดเขากบถงขนาดใหญทบรรจอากาศทมคาความดนเทากบ 120 kPa และมคาอณหภมเทากบ 29๐C ตวหวฉดจะถกปลอยออกสบรรยากาศซงมคาความดนเทากบ 101.3 kPa จงหาคาอตราการไหลของมวลผานหวฉดทมพนทของขาออกเทากบ 0.02 m2

6. อากาศไหลเขาทอเหลกหลอทมพนทหนาตดคงท ชนด 12-nominal schedule 80 ดวยความเรว 4 m/s ความดน 200 kPa และอณหภม 30๐C ทอมความยาว 20 m จงหาคาความดนททางออกทอ

บรรณานกรม

มฆศษฏ ธนพมพสาร. (2554). กลศาสตรของไหลสถต. กรงเทพมหานคร: ศนยหนงสอจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

มนตร พรณเกษตร. (2547). กลศาสตรของไหล. กรงเทพมหานคร: วทยพฒน. วศษฏ จาตรมาน. (2542). กลศาสตรของไหล. กรงเทพมหานคร: ซเอดยเคชน. วระศกด มะโนนอม. (2547). กลศาสตรของไหล. กรงเทพมหานคร: เอมพนธ. สมศกด ไชยะภนนท. (2552). กลศาสตรของไหล. กรงเทพมหานคร: ศนยหนงสอจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย. สนทร สทธบาก. (2558). การปรบปรงคณภาพน ามนชวภาพทไดจากไพโรไลซสแบบเรวของวสด

เหลอท งทางการเกษตรในเครองปฏกรณฟลอไดซเบดแบบไหลเวยนโดยวธการดงออกซเจนออกโดยใชตวเรงปฏกรยา. อดรธาน: มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน.

Arora, K. R. (1973). Fluid Mechanics, Hydraulics and Hydraulics mechanics. (8th ed). Delhi: Lomus offset Press.

Batchelor, G. K. (1996). The Life and Legacy of G.I. Taylor. New York: Cambridge University Press.

Beer, F. P. , & Johnston, E. R. (1996). Vector Mechanics for Engineers Statics (6th ed). New York: McGraw-Hill.

Bruce, R. M. , Donald, F. Y. , & Theodore, H. O. (2002). Fundamentals of Fluid Mechanics (4th ed). New Jersey: John Wiley & Sons.

Chanson, H. (2004). The Hydraulics of Open Channel Flow : An Introduction (2th ed). Elsevier Butterworth-Heinemann.

Clayton, T. C. , Donald, F. E. , Barbara, C. W. , & John, A. R. (2010). Engineering Fluid Mechanics (9th ed). New Jersey: John Wiley &nics Sons.

Donald, F. Y. , Bruce, R. M. , Theodore, H. O. , & Wade, W. H. (2012). Introduction to Fluid Mechanics (5th ed). New Jersey: John Wiley & Sons.

Durst, F. (2008). Fluid Mechanics. New York: Springer. Finocchiaro, M. A. (2008). The Essential Galileo. Indianapolis, Indiana: Hackett

Publishing Company. Fox, R. W. , & McDonald, A. T. (1992). Introduction to Fluid Mechanics (3rd ed). New

York: John Wiley & Sons. Frank, M. W. (2011). Fluid Mechanics (7th ed). New York: McGraw-Hill. Frohn, A. , & Roth, N. (2000). Dynamics of Droplets. New York: Springer. Gordon, V. W. , Richard, E. S. , & Claus B. (1994). Fundamentals of Classical

Thermodynamics. New York: John Wiley & Sons. Graebel, W. P. (2001). Engineering Fluid Mechanics. New York: Taylor & Francis.

268 บรรณานกรม กลศาสตรของไหล

Gray, D. D. (2000). A First Course in Fluid Mechanics for Civil Engineers. Corolado: Water Resources Publications.

Hunter, K. , & Wang, Y. (2016). Fluid and Themodynamics. Switzerland: Springer. Jame, W. M. (1993). Fundamental Fluid Mechanics for the Practicing Engineer.

New York: Marcel Dekker. Jones, j. B. , & Hawkins, G. A. (1986). Engineering Thermodynamics (2nd ed). New

York: John Wiley & Sons. Landau D. & Lifshitz M. (1987). Fluid Mechanics. Oxford : Pergamon Press. Liepmann, H. W. , & Roshko, A. (2011). Element of Gas Dynamics. New York: Dover. Mercle, C. P. , David, C. W. , Midhat, H. , & Tom, P. S. (2002). Mechanics of Fluids (3rd

ed). New York: Prentice-Hall. Moran, M. J. , & Shapiro, H. W. (1979). Fundamentals of Engineering

Thermodynamics (2nd en). New York: McGraw-Hill.

Munson, B. R. , Okiishi, T. H. , Huebsch, W. W. , & Rothmayer, A. P. (2013). Fundamentals of Fluid Mechanics (7th Ed). New Jersey: John Wiley & Sons.

Nakayama, Y. , & Boucher, F. (1999). Introduction to Fluid Mechanic. London: Butterworth-Heinemann.

Oliveira, A. R. E. (2017). D’Alembert: Between Newtonian Science and the Cartesian Inheritance. Advances in Historical Studies, (6) : 128-144.

Oteh, U. (2008). Mechanics of Fluids. Indiana: Author House. Pijush, K. K. , & Ira, M. C. (2010). Fluid Mechanics (4th ed). San Diago: Academic Press. Rajput, R. K. (2008). Fluid Mechanics (1st ed). London: S. Chand Limited. Robert, L. M. (2005). Applied Fluid Mechanics (6th ed). San Diago: Prentice Hall. Robert, W. F. , Alan, T. M. , Philip, J. P. , & John, C. L. (2012). Fluid Mechanics (8th ed).

New Jersey: John Wiley & Sons. Robert, W. F. , & Alan, T. M. (1998). Introduction to Fluid Mechanics (4th ed). New

Jersey: John Wiley & Sons. Roy, D. N. (1994). Engineering Fluid Mechanics (5th ed). Boston: Houg.hton Mifflin

Company. Sargar, S. (2010). Fuels and Combustion (3rd ed). Mumbai: CRC Press. Schaschke, C. (2005). Fluid Mechanics. UK: IChemE. Suttibak, S (2015). Improvement of bio-oil yield during fast pyrolysis of water

hyacinth by ethanol addition method. The 6th International Science, Social Science, Engineering and Energy Conference (I-SEEC 2014). Proceedings: Book 1 - Science and Technology (2015) / 297-302.

กลศาสตรของไหล บรรณานกรม 269

Tokaty, G. A. (1971). A History and Philosophy of Fluid Mechanics. New York: Dover Publications.

Velarde, M. G. , & Christov, C. I. (1995). Fluid Physics. New Jersey: World Scientific Publishing.

Vijay, G. , & Santosh, K. P. (1997). Fluid Mechanics and Its Application (5th ed). New Delhi: Age Internationnall.

Walter, R. D. (1990). Fluid Mechanics Fundamentals (2nd ed). German: McGraw-Hill. White, F. W. (1994). Fluid Mechanics (3rd ed). New York: McGraw-Hill. William, S. J. (1993). Introduction to Fluid Mechanics (3rd ed). Boston: PWS.

270 บรรณานกรม กลศาสตรของไหล

ภาคผนวก ก ตารางคณสมบตของของไหล

272 ภาคผนวก ก ตารางคณสมบตของของไหล กลศาสตรของไหล

กลศาสตรของไหล ภาคผนวก ก ตารางคณสมบตของของไหล 273

ตารางท ก.1 คณสมบตของน าทอณหภมตางๆ อณหภม (T ; oC)

น าหนกจาเพาะ

( ; kN/m3)

ความหนาแนน

( ; kg/m3)

ความหนดสมบรณ

( ; N.s/m2)

ความหนดจลน

( ; m2 s)

แรงตงผว

( ; N/m)

Bulk Modulus (K ; N/m2)

0 9.805 999.8 1.781 x 10-3 1.785 x 10-6 0.0756 2.02 x 109 5 9.807 1000.0 1.578 x 10-3 1.519 x 10-6 0.0749 2.06 x 109 10 9.804 999.7 1.307 x 10-3 1.306 x 10-6 0.0742 2.10 x 109 15 9.798 999.1 1.139 x 10-3 1.139 x 10-6 0.0735 2.14 x 109 20 9.789 998.2 1.002 x 10-3 1.003 x 10-6 0.0728 2.18 x 109 25 9.777 997.0 0.890 x 10-3 0.893 x 10-6 0.0720 2.22 x 109 30 9.764 995.7 0.798 x 10-3 0.800 x 10-6 0.0712 2.25 x 109 40 9.730 992.2 0.653 x 10-3 0.658 x 10-6 0.0696 2.28 x 109 50 9.689 988.0 0.547 x 10-3 0.553 x 10-6 0.0679 2.29 x 109 60 9.642 983.2 0.466 x 10-3 0.474 x 10-6 0.0662 2.28 x 109 70 9.589 977.8 0.404 x 10-3 0.413 x 10-6 0.0644 2.25 x 109 80 9.530 971.8 0.354 x 10-3 0.364 x 10-6 0.0626 2.20 x 109 90 9.466 965.3 0.315 x 10-3 0.326 x 10-6 0.0608 2.14 x 109 100 9.399 958.4 0.282 x 10-3 0.294 x 10-6 0.0589 2.07 x 109

ทมา : Robert et al. (1998).


ตารางท ก.2 คณสมบตของอากาศทความดนบรรยากาศ

อณหภม (T ; oC)

ความหนาแนน

( ; kg/m3)


( ; N.s/m2)

ความหนดจลน

( ; m2 s) -50 1.582 1.46 x 10-5 0.92 x 10-5 -30 1.452 1.56 x 10-5 1.08 x 10-5 -20 1.394 1.61 x 10-5 1.16 x 10-5 -10 1.342 1.67 x 10-5 1.24 x 10-5 0 1.292 1.72 x 10-5 1.33 x 10-5 5 1.270 1.74 x 10-5 1.37 x 10-5 10 1.247 1.76 x 10-5 1.42 x 10-5 15 1.225 1.79 x 10-5 1.46 x 10-5 20 1.204 1.81 x 10-5 1.51 x 10-5 30 1.164 1.86 x 10-5 1.60 x 10-5 40 1.127 1.91 x 10-5 1.69 x 10-5 50 1.092 1.95 x 10-5 1.79 x 10-5 60 1.060 2.00 x 10-5 1.89 x 10-5 70 1.030 2.05 x 10-5 1.99 x 10-5 80 1.000 2.09 x 10-5 2.09 x 10-5 90 0.973 2.13 x 10-5 2.19 x 10-5 100 0.946 2.17 x 10-5 2.30 x 10-5 200 0.746 2.57 x 10-5 3.45 x 10-5 300 0.616 2.93 x 10-5 4.75 x 10-5

ทมา : Jones and Hawkins. (1986).


ตารางท ก.3 คณสมบตทางอณหพลศาสตรของกาซทอณหภมและความดนมาตรฐาน

กาซ

สญลกษณทางเคม

มวลเชงโมเลกล (MW)

R (kJ/kg.K)

CP (kJ/kg.K)

Cv (kj/kg.K)

K (CP/ Cv)

อะเซทลน (Acetylene)

C2H2 26.02 0.31955 1.5116 1.1933 1.270

อากาศ (Air)

28.97 0.28700 1.0052 0.7180 1.400

แอมโมเนย (Ammonia)

NH3 17.02 0.48802 2.1773 1.6916 1.290

อารกอน (Argon)

A 39.94 0.20813 0.5207 0.3124 1.667

บวเทน (Butane)

C4H10 58.12 0.14304 1.7164 1.5734 1.090

คารบอนไดออกไซด (Carbon dioxide)

CO2 44.01 0.18892 0.8464 0.6573 1.290

คารบอนมอนนอกไซด (Carbon monoxide)

CO 28.01 0.29683 1.0411 0.7441 1.400

อเทน (Ethane)

C2H6 30.07 0.27650 1.7662 1.4897 1.180

อทลน (Ethylene)

C2H4 28.05 0.29637 1.5482 1.2518 1.210

ฮเลยม (Helium)

He 4.00 2.07703 5.1926 3.1156 1.667

ไฮโดรเจน (Hydrogen)

H2 2.01 4.12418 14.3193 10.1919 1.405

มเทน (Methane)

CH4 16.04 0.51835 2.2537 1.7354 1.320

ไนโตรเจน (Nitrogen)

N2 28.01 0.29680 1.0404 0.7437 1.400

ออกเทน (Octane)

C8H18 114.14 0.07279 1.7113 1.6385 1.044

ออกซเจน (Oxygen)

O2 32.00 0.25983 0.9190 0.6590 1.390

โพรเพน (Propane)

C3H8 44.09 0.18855 1.6794 1.4909 1.124

ไอน า (Water vapor)

H2O 18.01 0.46152 1.8649 1.4031 1.330

อณหภมมาตรฐาน T = 15๐C, ความดนมาตรฐาน P = 101.3 kPa ทมา : Gordon et al. (1994).


ตารางท ก.4 คณสมบตของของเหลวทความดน 1 atm และอณหภม 25๐C ชอของเหลว ความ

ถวงจาเพาะ (S)


( ; N.s/m2)

ความเรวเสยง

(c ; m/s)

แรงตงผว

( ; N/m)

แอซโตน (Acetone) 0.787 0.316 x 10-3 1174 23.10 x 10-3 เอทลแอลกอฮอล (Alcohol, ethyl) 0.787 1.095 x 10-3 1144 22.33 x 10-3 เมทลแอลกอฮอล (Alcohol, methyl) 0.789 0.560 x 10-3 1103 22.20 x 10-3 โพรพลแอลกอฮอล (Alcohol, propyl) 0.802 1.920 x 10-3 1205 23.50 x 10-3 เบนซน (Benzene) 0.876 0.601 x 10-3 1298 28.18 x 10-3 คารบอนไดซลไฟด (Carbon disulfide) 1.265 0.360 x 10-3 1149 32.33 x 10-3 คารบอนเตตระคลอไรด (Carbon tetrachloride)

1.590 0.910 x 10-3 924 26.30 x 10-3

น ามนละหง (Castor oil) 0.960 650 x 10-3 1474 - คลอโรฟอรม (Chloroform) 1.470 0.530 x 10-3 995 27.14 x 10-3 เดเคน (Decane) 0.728 0.859 x 10-3 - 23.43 x 10-3 ดอเดเคน (Dodecane) - 1.374 x 10-3 - - อเทอร (Ether) 0.715 0.223 x 10-3 985 16.42 x 10-3 เอทลนไกลคอล (Ethylene glycol) 1.100 16.20 x 10-3 1644 48.20 x 10-3 ฟลออลน น ายา R-11 (Fluorine refrigerant R-11)

1.480 0.420 x 10-3 - 18.30 x 10-3

ฟลออลน น ายา R-12 (Fluorine refrigerant R-12)

1.315 - - -

ฟลออลน น ายา R-22 (Fluorine refrigerant R-22)

1.197 - - 8.35 x 10-3

กลเซอลน (Glycerine) 1.263 950 x 10-3 1909 63.00 x 10-3 เฮปเทน (Heptane) 0.681 0.376 x 10-3 1138 19.90 x 10-3 เฮกเซน (Hexane) 0.657 0.297 x 10-3 1203 18.00 x 10-3 น ามนกาด (Kerosene) 0.823 1.640 x 10-3 1320 - น ามนลนซด (Linseed oil) 0.930 33.10 x 10-3 - - ปรอท (Mercury) 13.600 1.530 x 10-3 1450 484 x 10-3 ออกเทน (Octane) 0.701 0.510 x 10-3 1171 21.14 x 10-3 โพรเพน (Propane) 0.495 0.110 x 10-3 - 6.60 x 10-3 โพรพลน (Propylene) 0.516 0.090 x 10-3 - 7.00 x 10-3 โพรพลนไกลคอล (Propylene glycol) 0.968 42 x 10-3 - 36.30 x 10-3 น าทะเล (Seawater) 1.03 - 1535 - น ามนสน (Turpentine) 0.870 1.375 x 10-3 1240 - น า (Water) 1.000 0.890 x 10-3 1498 71.97 x 10-3



ตารางท ก.5 การไหลแฟนโน (Fanno flow) สาหรบกาซอดมคต (k = 1.4)

0.00 1.2000 0 0.01 1.2000 109.544 57.8738 0.01095 7134.40 0.02 1.1999 54.7701 28.9421 0.02191 1778.450 0.03 1.1998 36.5116 19.3005 0.03286 787.081 0.04 1.1996 27.3817 14.4815 0.04381 440.352 0.05 1.1994 21.9034 11.5914 0.05476 280.020 0.06 1.1991 18.2508 9.66591 0.06570 193.031 0.07 1.1988 15.6416 8.29153 0.07664 140.655 0.08 1.1985 13.6843 7.26161 0.08758 106.718 0.09 1.1981 12.1618 6.46134 0.09851 83.4961 0.10 1.1976 10.9435 5.82183 0.10944 66.9216 0.11 1.1971 9.94656 5.29923 0.12035 54.6879 0.12 1.1966 9.11559 4.86432 0.13127 45.4080 0.13 1.1960 8.41230 4.49686 0.14217 38.2070 0.14 1.1953 7.80932 4.1824 0.15306 32.5113 0.15 1.1946 7.28659 3.91034 0.16395 27.9320 0.16 1.1939 6.82907 3.67274 0.17482 24.1978 0.17 1.1931 6.42525 3.46351 0.18569 21.1152 0.18 1.1923 6.06618 3.27793 0.19654 18.5427 0.19 1.1914 5.74480 3.11226 0.20739 16.3752 0.20 1.1905 5.45545 2.96352 0.21822 14.5333 0.21 1.1895 5.19355 2.82929 0.22904 12.9560 0.22 1.1885 4.95537 2.7076 0.23984 11.5961 0.23 1.1874 4.73781 2.59681 0.25063 10.4161 0.24 1.1863 4.53829 2.49556 0.26141 9.38648 0.25 1.1852 4.35465 2.40271 0.27217 8.48341 0.26 1.1840 4.18505 2.31729 0.28291 7.68757 0.27 1.1828 4.02795 2.23847 0.29364 6.98317 0.28 1.1815 3.88199 2.16555 0.30435 6.35721 0.29 1.1802 3.74602 2.09793 0.31504 5.79891 0.30 1.1788 3.61906 2.03507 0.32572 5.29925 0.31 1.1774 3.50022 1.97651 0.33637 4.85066 0.32 1.1759 3.38874 1.92185 0.34701 4.44674 0.33 1.1744 3.28396 1.87074 0.35762 4.08205 0.34 1.1729 3.18529 1.82288 0.36822 3.75195


ตารางท ก.5 การไหลแฟนโน (Fanno flow) สาหรบกาซอดมคต (k = 1.4) (ตอ)

0.35 1.1713 3.09219 1.77797 0.37879 3.45245 0.36 1.1697 3.00422 1.73578 0.38935 3.18012 0.37 1.1680 2.92094 1.69609 0.39988 2.93198 0.38 1.1663 2.84200 1.6587 0.41039 2.70545 0.39 1.1646 2.76706 1.62343 0.42087 2.49828 0.40 1.1628 2.69582 1.59014 0.43133 2.30849 0.41 1.1610 2.62801 1.55867 0.44177 2.13436 0.42 1.1591 2.56338 1.5289 0.45218 1.97437 0.43 1.1572 2.50171 1.50072 0.46257 1.82715 0.44 1.1553 2.44280 1.47401 0.47293 1.69152 0.45 1.1533 2.38648 1.44867 0.48326 1.56643 0.46 1.1513 2.33256 1.42463 0.49357 1.45091 0.47 1.1492 2.28089 1.4018 0.50385 1.34413 0.48 1.1471 2.23135 1.3801 0.51410 1.24534 0.49 1.1450 2.18378 1.35947 0.52433 1.15385 0.50 1.1429 2.13809 1.33984 0.53452 1.06906 0.51 1.1407 2.09415 1.32117 0.54469 0.99041 0.52 1.1384 2.05187 1.30339 0.55483 0.91742 0.53 1.1362 2.01116 1.28645 0.56493 0.84962 0.54 1.1339 1.97192 1.27032 0.57501 0.78663 0.55 1.1315 1.93407 1.25495 0.58506 0.72805 0.56 1.1292 1.89755 1.24029 0.59507 0.67357 0.57 1.1268 1.86228 1.22633 0.60506 0.62287 0.58 1.1244 1.82820 1.21301 0.61501 0.57568 0.59 1.1219 1.79525 1.20031 0.62493 0.53174 0.60 1.1194 1.76336 1.1882 0.63481 0.49082 0.61 1.1169 1.7325 1.17665 0.64466 0.45271 0.62 1.1144 1.70261 1.16565 0.65448 0.41720 0.63 1.1118 1.67364 1.15515 0.66427 0.38412 0.64 1.1091 1.64556 1.14515 0.67402 0.35330 0.65 1.10650 1.61831 1.13562 0.68374 0.32459 0.66 1.10383 1.59187 1.12654 0.69342 0.29785 0.67 1.10114 1.56620 1.11789 0.70307 0.27296 0.69 1.09842 1.54126 1.10965 0.71268 0.24978 0.69 1.09567 1.51702 1.10182 0.72225 0.22820



0.70 1.09290 1.49345 1.09437 0.73179 0.20814 0.71 1.09010 1.47053 1.08729 0.74130 0.18948 0.72 1.08727 1.44823 1.08057 0.75076 0.17215 0.73 1.08442 1.42652 1.07419 0.76019 0.15605 0.74 1.08155 1.40537 1.06814 0.76958 0.14112 0.75 1.07865 1.38478 1.06242 0.77894 0.12728 0.76 1.07573 1.36470 1.057 0.78825 0.11447 0.77 1.07279 1.34514 1.05188 0.79753 0.10262 0.78 1.06982 1.32605 1.04705 0.80677 0.09167 0.79 1.06684 1.30744 1.04251 0.81597 0.08158 0.80 1.06383 1.28928 1.03823 0.82514 0.07229 0.81 1.06080 1.27155 1.03422 0.83426 0.06376 0.82 1.05775 1.25423 1.03046 0.84335 0.05593 0.83 1.05468 1.23732 1.02696 0.85239 0.04878 0.84 1.05160 1.22080 1.0237 0.86140 0.04226 0.85 1.04849 1.20466 1.02067 0.87037 0.03633 0.86 1.04537 1.18888 1.01787 0.87929 0.03097 0.87 1.04223 1.17344 1.0153 0.88818 0.02613 0.88 1.03907 1.15835 1.01294 0.89703 0.02179 0.89 1.03589 1.14358 1.0108 0.90583 0.01793 0.90 1.03270 1.12913 1.00886 0.91460 0.01451 0.91 1.02950 1.11499 1.00713 0.92332 0.01151 0.92 1.02627 1.10114 1.0056 0.93201 0.00891 0.93 1.02304 1.08758 1.00426 0.94065 0.00669 0.94 1.01978 1.07430 1.00311 0.94925 0.00482 0.95 1.01652 1.06129 1.00215 0.95781 0.00328 0.96 1.01324 1.04854 1.00136 0.96633 0.00206 0.97 1.00995 1.03604 1.00076 0.97481 0.00113 0.98 1.00664 1.02379 1.00034 0.98325 0.00049 0.99 1.00333 1.01178 1.00008 0.99165 0.00012 1.00 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.00000 1.01 0.99666 0.988445 1.00008 1.00831 0.00012 1.02 0.99331 0.977108 1.00033 1.01658 0.00046 1.03 0.98995 0.965984 1.00074 1.02481 0.00101 1.04 0.98658 0.955066 1.00131 1.03300 0.00177



1.05 0.98320 0.944349 1.00203 1.04114 0.00271 1.06 0.97982 0.933827 1.00291 1.04925 0.00384 1.07 0.97642 0.923495 1.00394 1.05731 0.00513 1.08 0.97302 0.913347 1.00512 1.06533 0.00658 1.09 0.96960 0.903380 1.00645 1.07331 0.00819 1.10 0.96618 0.893588 1.00793 1.08124 0.00994 1.11 0.96276 0.883966 1.00955 1.08913 0.01182 1.12 0.95933 0.87451 1.01131 1.09699 0.01382 1.13 0.95589 0.865216 1.01322 1.10479 0.01595 1.14 0.95244 0.856080 1.01527 1.11256 0.01819 1.15 0.94899 0.847097 1.01745 1.12029 0.02053 1.16 0.94554 0.838265 1.01978 1.12797 0.02298 1.17 0.94208 0.829579 1.02224 1.13561 0.02552 1.18 0.93862 0.821035 1.02484 1.14321 0.02814 1.19 0.93515 0.812630 1.02757 1.15077 0.03085 1.20 0.93168 0.804362 1.03044 1.15828 0.03364 1.21 0.92820 0.796226 1.03344 1.16575 0.03650 1.22 0.92473 0.788219 1.03657 1.17319 0.03943 1.23 0.92125 0.780339 1.03983 1.18057 0.04242 1.24 0.91777 0.772582 1.04323 1.18792 0.04547 1.25 0.91429 0.764946 1.04675 1.19523 0.04858 1.26 0.91080 0.757428 1.05041 1.20249 0.05174 1.27 0.90732 0.750025 1.05419 1.20972 0.05495 1.28 0.90383 0.742735 1.0581 1.21690 0.05820 1.29 0.90035 0.735555 1.06214 1.22404 0.06150 1.30 0.89686 0.728483 1.0663 1.23114 0.06483 1.31 0.89338 0.721516 1.0706 1.23819 0.06820 1.32 0.88989 0.714652 1.07502 1.24521 0.07161 1.33 0.88641 0.707889 1.07957 1.25218 0.07504 1.34 0.88292 0.701224 1.08424 1.25912 0.07850 1.35 0.87944 0.694656 1.08904 1.26601 0.08199 1.36 0.87596 0.688183 1.09396 1.27286 0.08550 1.37 0.87249 0.681803 1.09902 1.27968 0.08904 1.38 0.86901 0.675513 1.10419 1.28645 0.09259 1.39 0.86554 0.669312 1.1095 1.29318 0.09615



1.40 0.86207 0.663198 1.11493 1.29987 0.09974 1.41 0.85860 0.657169 1.12048 1.30652 0.10334 1.42 0.85514 0.651224 1.12616 1.31313 0.10694 1.43 0.85168 0.64536 1.13197 1.31970 0.11056 1.44 0.84822 0.639577 1.1379 1.32623 0.11419 1.45 0.84477 0.633873 1.14396 1.33272 0.11782 1.46 0.84133 0.628245 1.15015 1.33917 0.12146 1.47 0.83788 0.622694 1.15646 1.34558 0.12511 1.48 0.83445 0.617216 1.1629 1.35195 0.12875 1.49 0.83101 0.611812 1.16947 1.35828 0.13240 1.50 0.82759 0.606478 1.17617 1.36458 0.13605 1.51 0.82416 0.601215 1.18299 1.37083 0.13970 1.52 0.82075 0.596021 1.18994 1.37705 0.14335 1.53 0.81734 0.590894 1.19702 1.38322 0.14699 1.54 0.81394 0.585833 1.20423 1.38936 0.15063 1.55 0.81054 0.580838 1.21157 1.39546 0.15427 1.56 0.80715 0.575906 1.21904 1.40152 0.15790 1.57 0.80376 0.571037 1.22664 1.40755 0.16153 1.58 0.80038 0.566229 1.23438 1.41353 0.16514 1.59 0.79701 0.561482 1.24224 1.41948 0.16875 1.60 0.79365 0.556794 1.25024 1.42539 0.17236 1.61 0.79030 0.552165 1.25836 1.43127 0.17595 1.62 0.78695 0.547593 1.26663 1.43710 0.17954 1.63 0.78361 0.543077 1.27502 1.44290 0.18311 1.64 0.78028 0.538617 1.28355 1.44866 0.18667 1.65 0.77695 0.534211 1.29222 1.45439 0.19023 1.66 0.77364 0.529858 1.30102 1.46008 0.19377 1.67 0.77033 0.525559 1.30996 1.46573 0.19730 1.68 0.76703 0.521310 1.31904 1.47135 0.20081 1.69 0.76374 0.517113 1.32825 1.47693 0.20431 1.70 0.76046 0.512966 1.33761 1.48247 0.20780 1.71 0.75718 0.508867 1.3471 1.48798 0.21128 1.72 0.75392 0.504817 1.35674 1.49345 0.21474 1.73 0.75067 0.500815 1.36651 1.49889 0.21819 1.74 0.74742 0.496859 1.37643 1.50429 0.22162



1.75 0.74419 0.49295 1.38649 1.50966 0.22504 1.76 0.74096 0.489086 1.3967 1.51499 0.22844 1.77 0.73774 0.485266 1.40705 1.52029 0.23182 1.78 0.73454 0.48149 1.41755 1.52555 0.23520 1.79 0.73134 0.477757 1.42819 1.53078 0.23855 1.80 0.72816 0.474067 1.43898 1.53598 0.24189 1.81 0.72498 0.470418 1.44992 1.54114 0.24521 1.82 0.72181 0.466811 1.46101 1.54626 0.24851 1.83 0.71866 0.463244 1.47225 1.55136 0.25180 1.84 0.71551 0.459717 1.48365 1.55642 0.25507 1.85 0.71238 0.45623 1.49519 1.56145 0.25832 1.86 0.70925 0.452781 1.50689 1.56644 0.26156 1.87 0.70614 0.44937 1.51875 1.57140 0.26478 1.88 0.70304 0.445996 1.53076 1.57633 0.26798 1.89 0.69995 0.44266 1.54293 1.58123 0.27116 1.90 0.69686 0.43936 1.55526 1.58609 0.27433 1.91 0.69379 0.436096 1.56774 1.59092 0.27748 1.92 0.69074 0.432867 1.58039 1.59572 0.28061 1.93 0.68769 0.429673 1.5932 1.60049 0.28372 1.94 0.68465 0.426513 1.60617 1.60523 0.28681 1.95 0.68163 0.423387 1.61931 1.60993 0.28989 1.96 0.67861 0.420295 1.63261 1.61460 0.29295 1.97 0.67561 0.417235 1.64608 1.61925 0.29599 1.98 0.67262 0.414208 1.65972 1.62386 0.29901 1.99 0.66964 0.411212 1.67352 1.62844 0.30201 2.00 0.66667 0.408248 1.6875 1.63299 0.30500 2.01 0.66371 0.405315 1.70165 1.63751 0.30796 2.02 0.66076 0.402413 1.71597 1.64201 0.31091 2.03 0.65783 0.39954 1.73047 1.64647 0.31384 2.04 0.65491 0.396698 1.74514 1.65090 0.31676 2.05 0.65200 0.393884 1.75999 1.65530 0.31965 2.06 0.64910 0.3911 1.77502 1.65967 0.32253 2.07 0.64621 0.388344 1.79022 1.66402 0.32539 2.08 0.64334 0.385616 1.80561 1.66833 0.32823 2.09 0.64047 0.382916 1.82119 1.67262 0.33105



2.10 0.63762 0.380243 1.83694 1.67687 0.33385 2.11 0.63478 0.377597 1.85289 1.68110 0.33664 2.12 0.63195 0.374978 1.86902 1.68530 0.33941 2.13 0.62914 0.372385 1.88533 1.68947 0.34216 2.14 0.62633 0.369818 1.90184 1.69362 0.34489 2.15 0.62354 0.367277 1.91854 1.69774 0.34760 2.16 0.62076 0.36476 1.93544 1.70183 0.35030 2.17 0.61799 0.362269 1.95252 1.70589 0.35298 2.18 0.61523 0.359802 1.96981 1.70992 0.35564 2.19 0.61249 0.357359 1.98729 1.71393 0.35828 2.20 0.60976 0.35494 2.00497 1.71791 0.36091 2.21 0.60704 0.352545 2.02286 1.72187 0.36352 2.22 0.60433 0.350173 2.04094 1.72579 0.36611 2.23 0.60163 0.347824 2.05923 1.72970 0.36869 2.24 0.59895 0.345498 2.07773 1.73357 0.37124 2.25 0.59627 0.343194 2.09644 1.73742 0.37378 2.26 0.59361 0.340913 2.11535 1.74125 0.37631 2.27 0.59096 0.338653 2.13447 1.74504 0.37881 2.28 0.58833 0.336415 2.15381 1.74882 0.38130 2.29 0.58570 0.334198 2.17336 1.75257 0.38377 2.30 0.58309 0.332002 2.19313 1.75629 0.38623 2.31 0.58049 0.329826 2.21312 1.75999 0.38867 2.32 0.57790 0.327672 2.23332 1.76366 0.39109 2.33 0.57532 0.325537 2.25375 1.76731 0.39350 2.34 0.57276 0.323423 2.2744 1.77093 0.39589 2.35 0.57021 0.321328 2.29528 1.77453 0.39826 2.36 0.56767 0.319253 2.31638 1.77811 0.40062 2.37 0.56514 0.317197 2.33771 1.78166 0.40296 2.38 0.56262 0.31516 2.35928 1.78519 0.40529 2.39 0.56011 0.313141 2.38107 1.78869 0.40760 2.40 0.55762 0.311142 2.4031 1.79218 0.40989 2.41 0.55514 0.30916 2.42537 1.79563 0.41217 2.42 0.55267 0.307197 2.44787 1.79907 0.41443 2.43 0.55021 0.305252 2.47061 1.80248 0.41668 2.44 0.54777 0.303324 2.4936 1.80587 0.41891



2.45 0.54533 0.301414 2.51683 1.80924 0.42112 2.46 0.54291 0.299521 2.54031 1.81258 0.42332 2.47 0.54050 0.297646 2.56403 1.81591 0.42551 2.48 0.53810 0.295787 2.58801 1.81921 0.42768 2.49 0.53571 0.293944 2.61224 1.82249 0.42984 2.50 0.53333 0.292119 2.63672 1.82574 0.43198 2.51 0.53097 0.290309 2.66146 1.82898 0.43410 2.52 0.52862 0.288516 2.68645 1.83219 0.43621 2.53 0.52627 0.286738 2.71171 1.83538 0.43831 2.54 0.52394 0.284976 2.73723 1.83855 0.44039 2.55 0.52163 0.28323 2.76301 1.84170 0.44246 2.56 0.51932 0.281499 2.78906 1.84483 0.44451 2.57 0.51702 0.279783 2.81538 1.84794 0.44655 2.58 0.51474 0.278083 2.84197 1.85103 0.44858 2.59 0.51247 0.276397 2.86884 1.85410 0.45059 2.60 0.51020 0.274725 2.89598 1.85714 0.45259 2.61 0.50795 0.273068 2.92339 1.86017 0.45457 2.62 0.50572 0.271426 2.95109 1.86318 0.45654 2.63 0.50349 0.269798 2.97907 1.86616 0.45850 2.64 0.50127 0.268183 3.00733 1.86913 0.46044 2.65 0.49906 0.266583 3.03588 1.87208 0.46237 2.66 0.49687 0.264996 3.06472 1.87501 0.46429 2.67 0.49469 0.263423 3.09385 1.87792 0.46619 2.68 0.49251 0.261863 3.12327 1.88081 0.46808 2.69 0.49035 0.260317 3.15299 1.88368 0.46996 2.70 0.48820 0.258783 3.18301 1.88653 0.47182 2.71 0.48606 0.257263 3.21333 1.88936 0.47367 2.72 0.48393 0.255755 3.24395 1.89218 0.47551 2.73 0.48182 0.25426 3.27488 1.89497 0.47733 2.74 0.47971 0.252777 3.30611 1.89775 0.47915 2.75 0.47761 0.251307 3.33766 1.90051 0.48095 2.76 0.47553 0.249849 3.36952 1.90325 0.48274 2.77 0.47345 0.248404 3.40169 1.90598 0.48451 2.78 0.47139 0.24697 3.43418 1.90868 0.48627 2.79 0.46933 0.245548 3.46699 1.91137 0.48803



2.80 0.46729 0.244138 3.50012 1.91404 0.48977 2.81 0.46526 0.242739 3.53358 1.91669 0.49149 2.82 0.46324 0.241352 3.56737 1.91933 0.49321 2.83 0.46122 0.239977 3.60148 1.92195 0.49491 2.84 0.45922 0.238612 3.63593 1.92455 0.49660 2.85 0.45723 0.237259 3.67072 1.92714 0.49828 2.86 0.45525 0.235917 3.70584 1.92970 0.49995 2.87 0.45328 0.234585 3.74131 1.93225 0.50161 2.88 0.45132 0.233265 3.77711 1.93479 0.50326 2.89 0.44937 0.231955 3.81327 1.93731 0.50489 2.90 0.44743 0.230655 3.84977 1.93981 0.50652 2.91 0.44550 0.229366 3.88662 1.94230 0.50813 2.92 0.44358 0.228088 3.92383 1.94477 0.50973 2.93 0.44167 0.226819 3.96139 1.94722 0.51132 2.94 0.43977 0.225561 3.99932 1.94966 0.51290 2.95 0.43788 0.224313 4.0376 1.95208 0.51447 2.96 0.43600 0.223074 4.07625 1.95449 0.51603 2.97 0.43413 0.221846 4.11527 1.95688 0.51758 2.98 0.43226 0.220627 4.15466 1.95925 0.51912 2.99 0.43041 0.219418 4.19443 1.96162 0.52064 3.00 0.42857 0.218218 4.23457 1.96396 0.52216 3.50 0.34783 0.168505 6.78962 2.06419 0.58643 4.00 0.28571 0.133631 10.7187 2.13809 0.63307 4.50 0.23762 0.108326 16.5622 2.19360 0.66764 5.00 0.20000 0.0894427 25.0000 2.23607 0.69380 6.00 0.14634 0.0637577 53.1798 2.29528 0.72988 7.00 0.11111 0.047619 104.143 2.33333 0.75280 8.00 0.08696 0.0368605 190.109 2.35907 0.76819 9.00 0.06977 0.0293484 327.189 2.37722 0.77899 10.0 0.05714 0.0239046 535.937 2.39046 0.78683

0 0 2.4495 0.82153


ภาคผนวก ข ตารางขนาดทอ

288 ภาคผนวก ข ตารางขนาดทอ กลศาสตรของไหล

กลศาสตรของไหล ภาคผนวก ข ตารางขนาดทอ 289

ตารางท ข.1 ขนาดทอเหลกกลา และทอเหลกเหนยว

ขนาดทอ เสนผานศนยกลางนอก

(cm)

เบอรทอ เสนผานศนยกลางใน

(cm)

พนทการไหล

(cm2)

1.029 40 (STD)

80 (XS)

0.683

0.547

0.3664

0.2350

1.372 40 (STD)

80 (XS)

0.924

0.768

0.6706

0.4632

1.714 40 (STD)

80 (XS)

1.252

1.074

1.233

0.9059

2.134

40 (STD)

80 (XS)

160

(XXS)

1.580

1.386

1.178

0.640

1.961

1.508

1.090

0.322

2.667

40 (STD)

80 (XS)

160

(XXS)

2.093

1.883

1.555

1.103

3.441

2.785

1.898

0.956

1

3.340

40 (STD)

80 (XS)

160

(XXS)

2.664

2.430

2.070

1.522

5.574

5.083

3.365

1.815

4.216

40 (STD)

80 (XS)

160

(XXS)

3.504

3.246

2.946

2.276

9.643

8.275

6.816

4.069

4.826

40 (STD)

80 (XS)

160

(XXS)

4.090

3.810

3.398

2.794

13.13

11.40

9.068

6.131

หมายเหต STD หมายถง มาตรฐาน

XS หมายถง แขงแรงพเศษ

XXS หมายถง แขงแรงพเศษสองเทา


ตารางท ข.1 ขนาดทอเหลกกลา และทอเหลกเหนยว (ตอ)


(cm)


(cm)


(cm2)

2

6.034

40 (STD)

80 (XS)

160

(XXS)

5.252

4.926

4.286

3.820

21.66

19.06

14.43

11.46

7.303

40 (STD)

80 (XS)

160

(XXS)

6.271

5.901

5.397

4.499

30.89

27.35

22.88

15.90

3

8.890

40 (STD)

80 (XS)

160

(XXS)

7.792

7.366

6.664

5.842

47.69

42.61

34.88

26.80

10.16 40 (STD)

80 (XS)

9.012

8.544

63.79

57.33

4

11.43

40 (STD)

80 (XS)

120

160

(XXS)

10.23

9.718

9.204

8.732

8.006

82.19

74.17

66.54

59.88

50.34

5

14.13

40 (STD)

80 (XS)

120

160

(XXS)

12.82

12.22

11.59

10.95

10.32

129.10

117.30

105.50

94.17

83.65







(cm)


(cm)


(cm2)

6

16.83

40 (STD)

80 (XS)

120

160

(XXS)

15.41

14.64

13.98

13.18

12.44

186.50

168.30

153.50

136.40

121.50

8

21.91

20

30

40 (STD)

60

80 (XS)

100

120

140

(XXS)

160

20.64

20.50

20.27

19.85

19.37

18.89

18.26

17.79

17.46

17.31

334.60

330.10

322.70

309.50

294.70

280.30

261.90

248.60

239.40

235.30

10

27.31

20

30

40 (STD)

60 (XS)

80

100

120

140 (XXS)

160

26.04

25.75

25.46

24.77

24.29

23.66

23.02

22.23

21.59

532.60

520.80

509.10

481.90

463.40

439.70

416.20

388.10

366.10







(cm)


(cm)


(cm2)

12

32.39

20

30

(STD)

40

(XS)

60

80

100

120 (XXS)

140

160

31.12

30.71

30.48

30.33

29.85

29.53

28.89

28.10

27.31

26.67

25.72

760.60

740.71

729.70

722.50

699.80

684.90

655.50

620.20

585.80

558.60

519.60

14 35.56 30 (STD)

160

33.65

28.42

889.30

634.40

16 40.64 30 (STD)

160

38.73

32.54

1178.00

831.60

18 45.72 (STD)

160

43.81

36.67

1507.00

1056.00

20 50.80 20 (STD)

160

48.89

40.80

1877.00

1307.00

22 55.88 20 (STD)

160

53.97

45.08

2288.00

1596.00

24 60.96 20 (STD)

160

59.05

49.05

2739.00

1890.00

26 66.04 (STD) 64.13 3230.00

28 71.12 (STD) 69.21 3762.00







(cm)


(cm)


(cm2)

30 76.20 (STD) 74.29 4335.00

32 81.28 (STD) 79.34 4944.00

34 86.36 (STD) 84.45 5601.00

36 91.44 (STD) 89.53 6295.00

38 96.52 - 94.61 7030.00

40 101.6 - 99.69 7805.00



XXS หมายถง แขงแรงพเศษสองเทา ทมา: William. (1993).

ภาคผนวก ค

ตารางคณสมบตของน าอมตว และไอดง

296 ภาคผนวก ค ตารางคณสมบตน าอมตว และไอดง กลศาสตรของไหล

กลศาสตรของไหล ภาคผนวก ค ตารางคณสมบตน าอมตว และไอดง 297

ตารางท ค.1 คณสมบตน าอมตว (ตารางอณหภม)

อณหภม (T) °C

ความดน อมตว (Psat) kPa

ปรมาตรจาเพาะ m3/kg

พลงงานภายในจาเพาะ kJ/kg

เอนทาลปจาเพาะ kJ/kg

เอนโทรปจาเพาะ kJ/(kgK)

ของเหลว อมตว (vf)

ไอ อมตว (vg)

ของเหลว อมตว (uf)

ไอ อมตว (ug)

ของเหลว อมตว (hf)

ไอ อมตว (hg)

ของเหลว อมตว (sf)

ไอ อมตว (sg)

0.01 0.6117 0.001000 206.000 0.000 2374.9 0.001 2500.9 0.0000 9.1556

5 0.8725 0.001000 147.030 21.019 2381.8 21.020 2510.1 0.0763 9.0249

10 1.2281 0.001000 106.320 42.020 2388.7 42.022 2519.2 0.1511 8.8999

15 1.7057 0.001001 77.885 62.980 2395.5 62.982 2528.3 0.2245 8.7803

20 2.3392 0.001002 57.762 83.913 2402.3 83.915 2537.4 0.2965 8.6661

25 3.1698 0.001003 43.340 104.83 2409.1 104.83 2546.5 0.3672 8.5567

30 4.2469 0.001004 32.879 125.73 2415.9 125.74 2555.6 0.4368 8.4520

35 5.6291 0.001006 25.205 146.63 2422.7 146.64 2564.6 0.5051 8.3517

40 7.3851 0.001008 19.515 167.53 2429.4 167.53 2573.5 0.5724 8.2556

45 9.5953 0.001010 15.251 188.43 2436.1 188.44 2582.4 0.6386 8.1633

50 12.352 0.001012 12.0260 209.33 2442.7 209.34 2591.3 0.7038 8.0748

55 15.763 0.001015 9.5639 230.24 2449.3 230.26 2600.1 0.7680 7.9898

60 19.947 0.001017 7.6670 251.16 2455.9 251.18 2608.8 0.8313 7.9082

65 25.043 0.001020 6.1935 272.09 2462.4 272.12 2617.5 0.8937 7.8296

70 31.202 0.001023 5.0396 293.04 2468.9 293.07 2626.1 0.9551 7.7540

75 38.597 0.001026 4.1291 313.99 2475.3 314.03 2634.6 1.0158 7.6812

80 47.416 0.001029 3.4053 334.97 2481.6 335.02 2643.0 1.0756 7.6111

85 57.868 0.001032 2.8261 355.96 2487.8 356.02 2651.4 1.1346 7.5435

90 70.183 0.001036 2.3593 376.97 2494.0 377.04 2659.6 1.1929 7.4782

95 84.609 0.001040 1.9808 398.00 2500.1 398.09 2667.6 1.2504 7.4151

100 101.42 0.001043 1.672000 419.06 2506.0 419.17 2675.6 1.3072 7.3542

105 120.90 0.001047 1.418600 440.15 2511.9 440.28 2683.4 1.3634 7.2952

110 143.38 0.001052 1.209400 461.27 2517.7 461.42 2691.1 1.4188 7.2382

115 169.18 0.001056 1.036000 482.42 2523.3 482.59 2698.6 1.4737 7.1829

120 198.67 0.001060 0.891330 503.60 2528.9 503.81 2706.0 1.5279 7.1292


ตารางท ค.1 คณสมบตน าอมตว (ตารางอณหภม) (ตอ)















125 232.23 0.001065 0.770120 524.83 2534.3 525.07 2713.1 1.5816 7.0771

130 270.28 0.001070 0.668080 546.10 2539.5 546.38 2720.1 1.6346 7.0265

135 313.22 0.001075 0.581790 567.41 2544.7 567.75 2726.9 1.6872 6.9773

140 361.53 0.001080 0.508500 588.77 2549.6 589.16 2733.5 1.7392 6.9294

145 415.68 0.001085 0.446000 610.19 2554.4 610.64 2739.8 1.7908 6.8827

150 476.16 0.001091 0.392480 631.66 2559.1 632.18 2745.9 1.8418 6.8371

155 543.49 0.001096 0.346480 653.19 2563.5 653.79 2751.8 1.8924 6.7927

160 618.23 0.001102 0.306800 674.79 2567.8 675.47 2757.5 1.9426 6.7492

165 700.93 0.001108 0.272440 696.46 2571.9 697.24 2762.8 1.9923 6.7067

170 792.18 0.001114 0.242600 718.20 2575.7 719.08 2767.9 2.0417 6.6650

175 892.6 0.001121 0.216590 740.02 2579.4 741.02 2772.7 2.0906 6.6242

180 1002.8 0.001127 0.193840 761.92 2582.8 763.05 2777.2 2.1392 6.5841

185 1123.5 0.001134 0.173900 783.91 2586.0 785.19 2781.4 2.1875 6.5447

190 1255.2 0.001141 0.156360 806.00 2589.0 807.43 2785.3 2.2355 6.5059

195 1398.8 0.001149 0.140890 828.18 2591.7 829.78 2788.8 2.2831 6.4678

200 1554.9 0.001157 0.127210 850.46 2594.2 852.26 2792.0 2.3305 6.4302

205 1724.3 0.001164 0.115080 872.86 2596.4 874.87 2794.8 2.3776 6.3930

210 1907.7 0.001173 0.104290 895.38 2598.3 897.61 2797.3 2.4245 6.3563

215 2105.9 0.001181 0.094680 918.02 2599.9 920.50 2799.3 2.4712 6.3200

220 2319.6 0.001190 0.086094 940.79 2601.3 943.55 2801.0 2.5176 6.2840

225 2549.7 0.001199 0.078405 963.70 2602.3 966.76 2802.2 2.5639 6.2483

230 2797.1 0.001209 0.071505 986.76 2602.9 990.14 2802.9 2.6100 6.2128

235 3062.6 0.001219 0.065300 1010.00 2603.2 1013.70 2803.2 2.6560 6.1775

240 3347.0 0.001229 0.059707 1033.40 2603.1 1037.50 2803.0 2.7018 6.1424

245 3651.2 0.001240 0.054656 1056.90 2602.7 1061.50 2802.2 2.7476 6.1072

250 3976.2 0.001252 0.050085 1080.70 2601.8 1085.70 2801.0 2.7933 6.0721


ตารางท ค.1 คณสมบตน าอมตว (ตารางอณหภม) (ตอ)















255 4322.9 0.001263 0.045941 1104.70 2600.5 1110.10 2799.1 2.8390 6.0369

260 4692.3 0.001276 0.042175 1128.80 2598.7 1134.80 2796.6 2.8847 6.0017

265 5085.3 0.001289 0.038748 1153.30 2596.5 1159.80 2793.5 2.9304 5.9662

270 5503.0 0.001303 0.035622 1177.90 2593.7 1185.10 2789.7 2.9762 5.9305

275 5946.4 0.001317 0.032767 1202.90 2590.3 1210.70 2785.2 3.0221 5.8944

280 6416.6 0.001333 0.030153 1228.20 2586.4 1236.70 2779.9 3.0681 5.8579

285 6914.6 0.001349 0.027756 1253.70 2581.8 1263.10 2773.7 3.1144 5.8210

290 7441.8 0.001366 0.025554 1279.70 2576.5 1289.80 2766.7 3.1608 5.7834

295 7999.0 0.001384 0.023528 1306.00 2570.5 1317.10 2758.7 3.2076 5.7450

300 8587.9 0.001404 0.021659 1332.70 2563.6 1344.80 2749.6 3.2548 5.7059

305 9209.4 0.001425 0.019932 1360.00 2555.8 1373.10 2739.4 3.3024 5.6657

310 9865.0 0.001447 0.018333 1387.70 2547.1 1402.00 2727.9 3.3506 5.6243

315 10556.0 0.001472 0.016849 1416.10 2537.2 1431.60 2715.0 3.3994 5.5816

320 11284.0 0.001499 0.015470 1445.10 2526.0 1462.00 2700.6 3.4491 5.5372

325 12051.0 0.001528 0.014183 1475.00 2513.4 1493.40 2684.3 3.4998 5.4908

330 12,858 0.001560 0.012979 1505.70 2499.2 1525.80 2666.0 3.5516 5.4422

335 13,707 0.001597 0.011848 1537.50 2483.0 1559.40 2645.4 3.6050 5.3907

340 14,601 0.001638 0.010783 1570.70 2464.5 1594.60 2622.0 3.6602 5.3358

345 15,541 0.001685 0.009772 1605.50 2443.2 1631.70 2595.1 3.7179 5.2765

350 16,529 0.001741 0.008806 1642.40 2418.3 1671.20 2563.9 3.7788 5.2114

355 17,570 0.001808 0.007872 1682.20 2388.6 1714.00 2526.9 3.8442 5.1384

360 18,666 0.001895 0.006950 1726.20 2351.9 1761.50 2481.6 3.9165 5.0537

365 19,822 0.002015 0.006009 1777.20 2303.6 1817.20 2422.7 4.0004 4.9493

370 21,044 0.002217 0.004953 1844.50 2230.1 1891.20 2334.3 4.1119 4.8009

373.95 22,064 0.003106 0.003106 2015.70 2015.7 2084.30 2084.3 4.4070 4.4070

ทมา : Gordon et al. (1994).


ตารางท ค.2 คณสมบตน าอมตว (ตารางความดน)

ความดน (P) kPa

อณหภม อมตว (T) °C













1.0 6.97 0.001000 129.190 29.302 2384.5 29.303 2513.7 0.1059 8.9749

1.5 13.02 0.001001 87.964 54.686 2392.8 54.688 2524.7 0.1956 8.8270

2.0 17.50 0.001001 66.990 73.431 2398.9 73.433 2532.9 0.2606 8.7227

2.5 21.08 0.001002 54.242 88.422 2403.8 88.424 2539.4 0.3118 8.6421

3.0 24.08 0.001003 45.654 100.980 2407.9 100.980 2544.8 0.3543 8.5765

4.0 28.96 0.001004 34.791 121.390 2414.5 121.390 2553.7 0.4224 8.4734

5.0 32.87 0.001005 28.185 137.750 2419.8 137.750 2560.7 0.4762 8.3938

7.5 40.29 0.001008 19.233 168.740 2429.8 168.750 2574.0 0.5763 8.2501

10 45.81 0.001010 14.670 191.790 2437.2 191.810 2583.9 0.6492 8.1488

15 53.97 0.001014 10.020 225.93 2448.0 225.94 2598.3 0.7549 8.0071

20 60.06 0.001017 7.6481 251.40 2456.0 251.42 2608.9 0.8320 7.9073

25 64.96 0.001020 6.2034 271.93 2462.4 271.96 2617.5 0.8932 7.8302

30 69.09 0.001022 5.2287 289.24 2467.7 289.27 2624.6 0.9441 7.7675

40 75.86 0.001026 3.9933 317.58 2476.3 317.62 2636.1 1.0261 7.6691

50 81.32 0.001030 3.2403 340.49 2483.2 340.54 2645.2 1.0912 7.5931

75 91.76 0.001037 2.2172 384.36 2496.1 384.44 2662.4 1.2132 7.4558

100 99.61 0.001043 1.6941 417.40 2505.6 417.51 2675.0 1.3028 7.3589

101.325 99.97 0.001043 1.6734 418.95 2506.0 419.06 2675.6 1.3069 7.3545

125 105.97 0.001048 1.3750 444.23 2513.0 444.36 2684.9 1.3741 7.2841

150 111.35 0.001053 1.1594 466.97 2519.2 467.13 2693.1 1.4337 7.2231

175 116.04 0.001057 1.0037 486.82 2524.5 487.01 2700.2 1.4850 7.1716

200 120.21 0.001061 0.885780 504.50 2529.1 504.71 2706.3 1.5302 7.1270

225 123.97 0.001064 0.793290 520.47 2533.2 520.71 2711.7 1.5706 7.0877

250 127.41 0.001067 0.718730 535.08 2536.8 535.35 2716.5 1.6072 7.0525

275 130.58 0.001070 0.657320 548.57 2540.1 548.86 2720.9 1.6408 7.0207

300 133.52 0.001073 0.605820 561.11 2543.2 561.43 2724.9 1.6717 6.9917

325 136.27 0.001076 0.561990 572.84 2545.9 573.19 2728.6 1.7005 6.9650

350 138.86 0.001079 0.524220 583.89 2548.5 584.26 2732.0 1.7274 6.9402


ตารางท ค.2 คณสมบตน าอมตว (ตารางความดน) (ตอ)















375 141.30 0.001081 0.491330 594.32 2550.9 594.73 2735.1 1.7526 6.9171

400 143.61 0.001084 0.462420 604.22 2553.1 604.66 2738.1 1.7765 6.8955

450 147.90 0.001088 0.413920 622.65 2557.1 623.14 2743.4 1.8205 6.8561

500 151.83 0.001093 0.374830 639.54 2560.7 640.09 2748.1 1.8604 6.8207

550 155.46 0.001097 0.342610 655.16 2563.9 655.77 2752.4 1.8970 6.7886

600 158.83 0.001101 0.315600 669.72 2566.8 670.38 2756.2 1.9308 6.7593

650 161.98 0.001104 0.292600 683.37 2569.4 684.08 2759.6 1.9623 6.7322

700 164.95 0.001108 0.272780 696.23 2571.8 697.00 2762.8 1.9918 6.7071

750 167.75 0.001111 0.255520 708.40 2574.0 709.24 2765.7 2.0195 6.6837

800 170.41 0.001115 0.240350 719.97 2576.0 720.87 2768.3 2.0457 6.6616

850 172.94 0.001118 0.226900 731.00 2577.9 731.95 2770.8 2.0705 6.6409

900 175.35 0.001121 0.214890 741.55 2579.6 742.56 2773.0 2.0941 6.6213

950 177.66 0.001124 0.204110 751.67 2581.3 752.74 2775.2 2.1166 6.6027

1000 179.88 0.001127 0.194360 761.39 2582.8 762.51 2777.1 2.1381 6.5850

1100 184.06 0.001133 0.177450 779.78 2585.5 781.03 2780.7 2.1785 6.5520

1200 187.96 0.001138 0.163260 796.96 2587.8 798.33 2783.8 2.2159 6.5217

1300 191.60 0.001144 0.151190 813.10 2589.9 814.59 2786.5 2.2508 6.4936

1400 195.04 0.001149 0.140780 828.35 2591.8 829.96 2788.9 2.2835 6.4675

1500 198.29 0.001154 0.131710 842.82 2593.4 844.55 2791.0 2.3143 6.4430

1750 205.72 0.001166 0.113440 876.12 2596.7 878.16 2795.2 2.3844 6.3877

2000 212.38 0.001177 0.099587 906.12 2599.1 908.47 2798.3 2.4467 6.3390

2250 218.41 0.001187 0.088717 933.54 2600.9 936.21 2800.5 2.5029 6.2954

2500 223.95 0.001197 0.079952 958.87 2602.1 961.87 2801.9 2.5542 6.2558

3000 233.85 0.001217 0.066667 1004.60 2603.2 1008.30 2803.2 2.6454 6.1856

3500 242.56 0.001235 0.057061 1045.4 2603.0 1049.7 2802.7 2.7253 6.1244

4000 250.35 0.001252 0.049779 1082.4 2601.7 1087.4 2800.8 2.7966 6.0696

5000 263.94 0.001286 0.039448 1148.1 2597.0 1154.5 2794.2 2.9207 5.9737

6000 275.59 0.001319 0.032449 1205.8 2589.9 1213.8 2784.6 3.0275 5.8902


ตารางท ค.2 คณสมบตน าอมตว (ตารางความดน) (ตอ)















7000 285.83 0.001352 0.027378 1258.0 2581.0 1267.5 2772.6 3.1220 5.8148

8000 295.01 0.001384 0.023525 1306.0 2570.5 1317.1 2758.7 3.2077 5.7450

9000 303.35 0.001418 0.020489 1350.9 2558.5 1363.7 2742.9 3.2866 5.6791

10,000 311.00 0.001452 0.018028 1393.3 2545.2 1407.8 2725.5 3.3603 5.6159

11,000 318.08 0.001488 0.015988 1433.9 2530.4 1450.2 2706.3 3.4299 5.5544

12,000 324.68 0.001526 0.014264 1473.0 2514.3 1491.3 2685.4 3.4964 5.4939

13,000 330.85 0.001566 0.012781 1511.0 2496.6 1531.4 2662.7 3.5606 5.4336

14,000 336.67 0.001610 0.011487 1548.4 2477.1 1571.0 2637.9 3.6232 5.3728

15,000 342.16 0.001657 0.010341 1585.5 2455.7 1610.3 2610.8 3.6848 5.3108

16,000 347.36 0.001710 0.009312 1622.6 2432.0 1649.9 2581.0 3.7461 5.2466

17,000 352.29 0.001770 0.008374 1660.2 2405.4 1690.3 2547.7 3.8082 5.1791

18,000 356.99 0.001840 0.007504 1699.1 2375.0 1732.2 2510.0 3.8720 5.1064

19,000 361.47 0.001926 0.006677 1740.3 2339.2 1776.8 2466.0 3.9396 5.0256

20,000 365.75 0.002038 0.005862 1785.8 2294.8 1826.6 2412.1 4.0146 4.9310

21,000 369.83 0.002207 0.004994 1841.6 2233.5 1888.0 2338.4 4.1071 4.8076

22,000 373.71 0.002703 0.003644 1951.7 2092.4 2011.1 2172.6 4.2942 4.5439

22,064 373.95 0.003106 0.003106 2015.7 2015.7 2084.3 2084.3 4.4070 4.4070



ตารางท ค.3 คณสมบตน าไอดง T °C

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

P=0.01MPa (45.81°C) P=0.05MPa (81.32°C) P=0.10MPa (99.61°C)

Sat. 14.670 2437.2 2583.9 8.1488 3.2403 2483.2 2645.2 7.5931 1.6941 2505.6 2675.0 7.3589

50 14.867 2443.3 2592.0 8.1741 100 17.196 2515.5 2687.5 8.4489 3.4187 2511.5 2682.4 7.6953 1.6959 2506.2 2675.8 7.3611

150 19.513 2587.9 2783.0 8.6893 3.8897 2585.7 2780.2 7.9413 1.9367 2582.9 2776.6 7.6148

200 21.826 2661.4 2879.6 8.9049 4.3562 2660.0 2877.8 8.1592 2.1724 2658.2 2875.5 7.8356

250 24.136 2736.1 2977.5 9.1015 4.8206 2735.1 2976.2 8.3568 2.4062 2733.9 2974.5 8.0346

300 26.446 2812.3 3076.7 9.2827 5.2841 2811.6 3075.8 8.5387 2.6389 2810.7 3074.5 8.2172

400 31.063 2969.3 3280.0 9.6094 6.2094 2968.9 3279.3 8.8659 3.1027 2968.3 3278.6 8.5452

500 35.680 3132.9 3489.7 9.8998 7.1338 3132.6 3489.3 9.1566 3.5655 3132.2 3488.7 8.8362

600 40.296 3303.3 3706.3 10.1631 8.0577 3303.1 3706.0 9.4201 4.0279 3302.8 3705.6 9.0999

700 44.911 3480.8 3929.9 10.4056 8.9813 3480.6 3929.7 9.6626 4.4900 3480.4 3929.4 9.3424

800 49.527 3665.4 4160.6 10.6312 9.9047 3665.2 4160.4 9.8883 4.9519 3665.0 4160.2 9.5682

900 54.143 3856.9 4398.3 10.8429 10.8280 3856.8 4398.2 10.1000 5.4137 3856.7 4398.0 9.7800

1000 58.758 4055.3 4642.8 11.0429 11.7513 4055.2 4642.7 10.3000 5.8755 4055.0 4642.6 9.9800

1100 63.373 4260.0 4893.8 11.2326 12.6745 4259.9 4893.7 10.4897 6.3372 4259.8 4893.6 10.1698

1200 67.989 4470.9 5150.8 11.4132 13.5977 4470.8 5150.7 10.6704 6.7988 4470.7 5150.6 10.3504

1300 72.604 4687.4 5413.4 11.5857 14.5209 4687.3 5413.3 10.8429 7.2605 4687.2 5413.3 10.5229


Sat. 0.885780 2529.1 2706.3 7.1270 0.605820 2543.2 2724.9 6.9917 0.462420 2553.1 2738.1 6.8955

150 0.959860 2577.1 2769.1 7.2810 0.634020 2571.0 2761.2 7.0792 0.470880 2564.4 2752.8 6.9306

200 1.080490 2654.6 2870.7 7.5081 0.716430 2651.0 2865.9 7.3132 0.534340 2647.2 2860.9 7.1723

250 1.198900 2731.4 2971.2 7.7100 0.796450 2728.9 2967.9 7.5180 0.595200 2726.4 2964.5 7.3804

300 1.316230 2808.8 3072.1 7.8941 0.875350 2807.0 3069.6 7.7037 0.654890 2805.1 3067.1 7.5677

400 1.549340 2967.2 3277.0 8.2236 1.031550 2966.0 3275.5 8.0347 0.772650 2964.9 3273.9 7.9003

500 1.781420 3131.4 3487.7 8.5153 1.186720 3130.6 3486.6 8.3271 0.889360 3129.8 3485.5 8.1933

600 2.013020 3302.2 3704.8 8.7793 1.341390 3301.6 3704.0 8.5915 1.005580 3301.0 3703.3 8.4580

700 2.244340 3479.9 3928.8 9.0221 1.495800 3479.5 3928.2 8.8345 1.121520 3479.0 3927.6 8.7012

800 2.475500 3664.7 4159.8 9.2479 1.650040 3664.3 4159.3 9.0605 1.237300 3663.9 4158.9 8.9274

900 2.706560 3856.3 4397.7 9.4598 1.804170 3856.0 4397.3 9.2725 1.352980 3855.7 4396.9 9.1394

1000 2.937550 4054.8 4642.3 9.6599 1.958240 4054.5 4642.0 9.4726 1.468590 4054.3 4641.7 9.3396

1100 3.168480 4259.6 4893.3 9.8497 2.112260 4259.4 4893.1 9.6624 1.584140 4259.2 4892.9 9.5295

1200 3.399380 4470.5 5150.4 10.0304 2.266240 4470.3 5150.2 9.8431 1.699660 4470.2 5150.0 9.7102

1300 3.630260 4687.1 5413.1 10.2029 2.420190 4686.9 5413.0 10.0157 1.815160 4686.7 5412.8 9.8828


ตารางท ค.3 คณสมบตน าไอดง (ตอ)

T °C

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K


Sat. 0.374830 2560.7 2748.1 6.8207 0.315600 2566.8 2756.2 6.7593 0.240350 2576.0 2768.3 6.6616

200 0.425030 2643.3 2855.8 7.0610 0.352120 2639.4 2850.1 6.9683 0.260880 2631.1 2839.8 6.8177

250 0.474430 2723.8 2961.0 7.2725 0.393900 2721.2 2957.6 7.1833 0.293210 2715.9 2950.4 7.0402

300 0.522610 2803.3 3064.6 7.4614 0.434420 2801.4 3062.0 7.3740 0.324160 2797.5 3056.9 7.2345

350 0.570150 2883.0 3168.1 7.6346 0.474280 2881.6 3166.1 7.5481 0.354420 2878.6 3162.2 7.4107

400 0.617310 2963.7 3272.4 7.7956 0.513740 2962.5 3270.8 7.7097 0.384290 2960.2 3267.7 7.5735

500 0.710950 3129.0 3484.5 8.0893 0.592000 3128.2 3483.4 8.0041 0.443320 3126.6 3481.3 7.8692

600 0.804090 3300.4 3702.5 8.3544 0.669760 3299.8 3701.7 8.2695 0.501860 3298.7 3700.1 8.1354

700 0.896960 3478.6 3927.0 8.5978 0.747250 3478.1 3926.4 8.5132 0.560110 3477.2 3925.3 8.3794

800 0.989660 3663.6 4158.4 8.8240 0.824570 3663.2 4157.9 8.7395 0.618200 3662.5 4157.0 8.6061

900 1.082270 3855.4 4396.6 9.0362 0.901790 3855.1 4396.2 8.9518 0.676190 3854.5 4395.5 8.8185

1000 1.174800 4054.0 4641.4 9.2364 0.978930 4053.8 4641.1 9.1521 0.734110 4053.3 4640.5 9.0189

1100 1.267280 4259.0 4892.6 9.4263 1.056030 4258.8 4892.4 9.3420 0.791970 4258.3 4891.9 9.2090

1200 1.359720 4470.0 5149.8 9.6071 1.133090 4469.8 5149.6 9.5229 0.849800 4469.4 5149.3 9.3898

1300 1.452140 4686.6 5412.6 9.7797 1.210120 4686.4 5412.5 9.6955 0.907610 4686.1 5412.2 9.5625


Sat. 0.194370 2582.8 2777.1 6.5850 0.163260 2587.8 2783.8 6.5217 0.140780 2591.8 2788.9 6.4675

200 0.206020 2622.3 2828.3 6.6956 0.169340 2612.9 2816.1 6.5909 0.143030 2602.7 2803.0 6.4975

250 0.232750 2710.4 2943.1 6.9265 0.192410 2704.7 2935.6 6.8313 0.163560 2698.9 2927.9 6.7488

300 0.257990 2793.7 3051.6 7.1246 0.213860 2789.7 3046.3 7.0335 0.182330 2785.7 3040.9 6.9553

350 0.282500 2875.7 3158.2 7.3029 0.234550 2872.7 3154.2 7.2139 0.200290 2869.7 3150.1 7.1379

400 0.306610 2957.9 3264.5 7.4670 0.254820 2955.5 3261.3 7.3793 0.217820 2953.1 3258.1 7.3046

500 0.354110 3125.0 3479.1 7.7642 0.294640 3123.4 3477.0 7.6779 0.252160 3121.8 3474.8 7.6047

600 0.401110 3297.5 3698.6 8.0311 0.333950 3296.3 3697.0 7.9456 0.285970 3295.1 3695.5 7.8730

700 0.447830 3476.3 3924.1 8.2755 0.372970 3475.3 3922.9 8.1904 0.319510 3474.4 3921.7 8.1183

800 0.494380 3661.7 4156.1 8.5024 0.411840 3661.0 4155.2 8.4176 0.352880 3660.3 4154.3 8.3458

900 0.540830 3853.9 4394.8 8.7150 0.450590 3853.3 4394.0 8.6303 0.386140 3852.7 4393.3 8.5587

1000 0.587210 4052.7 4640.0 8.9155 0.489280 4052.2 4639.4 8.8310 0.419330 4051.7 4638.8 8.7595

1100 0.633540 4257.9 4891.4 9.1057 0.527920 4257.5 4891.o 9.0212 0.452470 4257.0 4890.5 8.9497

1200 0.679830 4469.0 5148.9 9.2866 0.566520 4468.7 5148.5 9.2022 0.485580 4468.3 5148.1 9.1308

1300 0.726100 4685.8 5411.9 9.4593 0.605090 4685.5 5411.6 9.3750 0.518660 4685.1 5411.3 9.3036



T °C

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K


Sat. 0.123740 2594.8 2792.8 6.4200 0.110370 2597.3 2795.9 6.3775 0.099590 2599.1 2798.3 6.3390

225 0.132930 2645.1 2857.8 6.5537 0.116780 2637.0 2847.2 6.4825 0.103810 2628.5 2836.1 6.4160

250 0.141900 2692.9 2919.9 6.6753 0.125020 2686.7 2911.7 6.6088 0.111500 2680.3 2903.3 6.5475

300 0.158660 2781.6 3035.4 6.8864 0.140250 2777.4 3029.9 6.8246 0.125510 2773.2 3024.2 6.7684

350 0.174590 2866.6 3146.0 7.0713 0.154600 2863.6 3141.9 7.0120 0.138600 2860.5 3137.7 6.9583

400 0.190070 2950.8 3254.9 7.2394 0.168490 2948.3 3251.6 7.1814 0.151220 2945.9 3248.4 7.1292

500 0.220290 3120.1 3472.6 7.5410 0.195510 3118.5 3470.4 7.4845 0.175680 3116.9 3468.3 7.4337

600 0.249990 3293.9 3693.9 7.8101 0.222000 3292.7 3692.3 7.7543 0.199620 3291.5 3690.7 7.7043

700 0.279410 3473.5 3920.5 8.0558 0.248220 3472.6 3919.4 8.0005 0.223260 3471.7 3918.2 7.9509

800 0.308650 3659.5 4153.4 8.2834 0.274260 3658.8 4152.4 8.2284 0.246740 3658.0 4151.5 8.1791

900 0.337800 3852.1 4392.6 8.4965 0.300200 3851.5 4391.9 8.4417 0.270120 3850.9 4391.1 8.3925

1000 0.366870 4051.2 4638.2 8.6974 0.326060 4050.7 4637.6 8.6427 0.293420 4050.2 4637.1 8.5936

1100 0.395890 4256.6 4890.0 8.8878 0.351880 4256.2 4889.6 8.8331 0.316670 4255.7 4889.1 8.7842

1200 0.424880 4467.9 5147.7 9.0689 0.377660 4467.6 5147.3 9.0143 0.339890 4467.2 5147.0 8.9654

1300 0.453830 4684.8 5410.9 9.2418 0.403410 4684.5 5410.6 9.1872 0.363080 4684.2 5410.3 9.1384


Sat. 0.079950 2602.1 2801.9 6.2558 0.066670 2603.2 2803.2 6.1856 0.057060 2603.0 2802.7 6.1244

225 0.080260 2604.8 2805.5 6.2629 250 0.087050 2663.3 2880.9 6.4107 0.070630 2644.7 2856.5 6.2893 0.058760 2624.0 2829.7 6.1764

300 0.098940 2762.2 3009.6 6.6459 0.081180 2750.8 2994.3 6.5412 0.068450 2738.8 2978.4 6.4484

350 0.109790 2852.5 3127.0 6.8424 0.090560 2844.4 3116.1 6.7450 0.076800 2836.0 3104.9 6.6601

400 0.120120 2939.8 3240.1 7.0170 0.099380 2933.6 3231.7 6.9235 0.084560 2927.2 3223.2 6.8428

450 0.130150 3026.2 3351.6 7.1768 0.107890 3021.2 3344.9 7.0856 0.091980 3016.1 3338.1 7.0074

500 0.139990 3112.8 3462.8 7.3254 0.116200 3108.6 3457.2 7.2359 0.099190 3104.5 3451.7 7.1593

600 0.159310 3288.5 3686.8 7.5979 0.132450 3285.5 3682.8 7.5103 0.113250 3282.5 3678.9 7.4357

700 0.178350 3469.3 3915.2 7.8455 0.148410 3467.0 3912.2 7.7590 0.127020 3464.7 3909.3 7.6855

800 0.197220 3656.2 4149.2 8.0744 0.164200 3654.3 4146.9 7.9885 0.140610 3652.5 4144.6 7.9156

900 0.215970 3849.4 4389.3 8.2882 0.179880 3847.9 4387.5 8.2028 0.154100 3846.4 4385.7 8.1304

1000 0.234660 4049.0 4635.6 8.4897 0.195490 4047.7 4634.2 8.4045 0.167510 4046.4 4632.7 8.3324

1100 0.253300 4254.7 4887.9 8.6804 0.211050 4253.6 4886.7 8.5955 0.180870 4252.5 4885.6 8.5236

1200 0.271900 4466.3 5146.0 8.8618 0.226580 4465.3 5145.1 8.7771 0.194200 4464.4 5144.1 8.7053

1300 0.290480 4683.4 5409.5 9.0349 0.242070 4682.6 5408.8 8.9502 0.207500 4681.8 5408.0 8.8786



T °C

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K


Sat. 0.049780 2601.7 2800.8 6.0696 0.044060 2599.7 2798.0 6.0198 0.039450 2597.0 2794.2 5.9737

275 0.054610 2668.9 2887.3 6.2312 0.047330 2651.4 2864.4 6.1429 0.041440 2632.3 2839.5 6.0571

300 0.058870 2726.2 2961.7 6.3639 0.051380 2713.0 2944.2 6.2854 0.045350 2699.0 2925.7 6.2111

350 0.066470 2827.4 3093.3 6.5843 0.058420 2818.6 3081.5 6.5153 0.051970 2809.5 3069.3 6.4516

400 0.073430 2920.8 3214.5 6.7714 0.064770 2914.2 3205.7 6.7071 0.057840 2907.5 3196.7 6.6483

450 0.080040 3011.0 3331.2 6.9386 0.070760 3005.8 3324.2 6.8770 0.063320 3000.6 3317.2 6.8210

500 0.086440 3100.3 3446.0 7.0922 0.076520 3096.0 3440.4 7.0323 0.068580 3091.8 3434.7 6.9781

600 0.098860 3279.4 3674.9 7.3706 0.087660 3276.4 3670.9 7.3127 0.078700 3273.3 3666.9 7.2605

700 0.110980 3462.4 3906.3 7.6214 0.098500 3460.0 3903.3 7.5647 0.088520 3457.7 3900.3 7.5136

800 0.122920 3650.6 4142.3 7.8523 0.109160 3648.8 4140.0 7.7962 0.098160 3646.9 4137.7 7.7458

900 0.134760 3844.8 4383.9 8.0675 0.119720 3843.3 4382.1 8.0118 0.107690 3841.8 4380.2 7.9619

1000 0.146530 4045.1 4631.2 8.2698 0.130200 4043.9 4629.8 8.2144 0.117150 4042.6 4628.3 8.1648

1100 0.158240 4251.4 4884.4 8.4612 0.140640 4250.4 4883.2 8.4060 0.126550 4249.3 4882.1 8.3566

1200 0.169920 4463.5 5143.2 8.6430 0.151030 4462.6 5142.2 8.5880 0.135920 4461.6 5141.3 8.5388

1300 0.181570 4680.9 5407.2 8.8164 0.161400 4680.1 5406.5 8.7616 0.145270 4679.3 5405.7 8.7124


Sat. 0.032450 2589.9 2784.6 5.8902 0.027378 2581.0 2772.6 5.8148 0.023525 2570.5 2758.7 5.7450

300 0.036190 2668.4 2885.6 6.0703 0.029492 2633.5 2839.9 5.9337 0.024279 2592.3 2786.5 5.7937

350 0.042250 2790.4 3043.9 6.3357 0.035262 2770.1 3016.9 6.2305 0.029975 2748.3 2988.1 6.1321

400 0.047420 2893.7 3178.3 6.5432 0.039958 2879.5 3159.2 6.4502 0.034344 2864.6 3139.4 6.3658

450 0.052170 2989.9 3302.9 6.7219 0.044187 2979.0 3288.3 6.6353 0.038194 2967.8 3273.3 6.5579

500 0.056670 3083.1 3423.1 6.8826 0.048157 3074.3 3411.4 6.8000 0.041767 3065.4 3399.5 6.7266

550 0.061020 3175.2 3541.3 7.0308 0.051966 3167.9 3531.6 6.9507 0.045172 3160.5 3521.8 6.8800

600 0.065270 3267.2 3658.8 7.1693 0.055665 3261.0 3650.6 7.0910 0.048463 3254.7 3642.4 7.0221

700 0.073550 3453.0 3894.3 7.4247 0.062850 3448.3 3888.3 7.3487 0.054829 3443.6 3882.2 7.2822

800 0.081650 3643.2 4133.1 7.6582 0.069856 3639.5 4128.5 7.5836 0.061011 3635.7 4123.8 7.5185

900 0.089640 3838.8 4376.6 7.8751 0.076750 3835.7 4373.0 7.8014 0.067082 3832.7 4369.3 7.7372

1000 0.097560 4040.1 4625.4 8.0786 0.083571 4037.5 4622.5 8.0055 0.073079 4035.0 4619.6 7.9419

1100 0.105430 4247.1 4879.7 8.2709 0.090341 4245.0 4877.4 8.1982 0.079025 4242.8 4875.0 8.1350

1200 0.113260 4459.8 5139.4 8.4534 0.097075 4457.9 5137.4 8.3810 0.084934 4456.1 5135.5 8.3181

1300 0.121070 4677.7 5404.1 8.6273 0.103781 4676.1 5402.6 8.5551 0.090817 4674.5 5401.0 8.4925



T °C

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K


Sat. 0.020489 2558.5 2742.9 5.6791 0.018028 2545.2 2725.5 5.6159 0.013496 2505.6 2674.3 5.4638

325 0.023284 2647.6 2857.1 5.8738 0.019877 2611.6 2810.3 5.7596 350 0.025816 2725.0 2957.3 6.0380 0.022440 2699.6 2924.0 5.9460 0.016138 2624.9 2826.6 5.7130

400 0.029960 2849.2 3118.8 6.2876 0.026436 2833.1 3097.5 6.2141 0.020030 2789.6 3040.0 6.0433

450 0.033524 2956.3 3258.0 6.4872 0.029782 2944.5 3242.4 6.4219 0.023019 2913.7 3201.5 6.2749

500 0.036793 3056.3 3387.4 6.6603 0.032811 3047.0 3375.1 6.5995 0.025630 3023.2 3343.6 6.4651

550 0.039885 3153.0 3512.0 6.8164 0.035655 3145.4 3502.0 6.7585 0.028033 3126.1 3476.5 6.6317

600 0.042861 3248.4 3634.1 6.9605 0.038378 3242.0 3625.8 6.9045 0.030306 3225.8 3604.6 6.7828

650 0.045755 3343.4 3755.2 7.0954 0.041018 3338.0 3748.1 7.0408 0.032491 3324.1 3730.2 6.9227

700 0.048589 3438.8 3876.1 7.2229 0.043597 3434.0 3870.0 7.1693 0.034612 3422.0 3854.6 7.0540

800 0.054132 3632.0 4119.2 7.4606 0.048629 3628.2 4114.5 7.4085 0.038724 3618.8 4102.8 7.2967

900 0.059562 3829.6 4365.7 7.6802 0.053547 3826.5 4362.0 7.6290 0.042720 3818.9 4352.9 7.5195

1000 0.064919 4032.4 4616.7 7.8855 0.058391 4029.9 4613.8 7.8349 0.046641 4023.5 4606.5 7.7269

1100 0.070224 4240.7 4872.7 8.0791 0.063183 4238.5 4870.3 8.0289 0.050510 4233.1 4864.5 7.9220

1200 0.075492 4454.2 5133.6 8.2625 0.067938 4452.4 5131.7 8.2126 0.054342 4447.7 5127.0 8.1065

1300 0.080733 4672.9 5399.5 8.4371 0.072667 4671.3 5398.0 8.3874 0.058147 4667.3 5394.1 8.2819

P=15.0MPa (342.160C) P=17.5MPa (354.670C) P=20.0MPa (365.750C)

Sat. 0.010341 2455.7 2610.8 5.3108 0.007932 2390.7 2529.5 5.1435 0.005862 2294.8 2412.1 4.9310

350 0.011481 2520.9 2693.1 5.4438 400 0.015671 2740.6 2975.7 5.8819 0.012463 2684.3 2902.4 5.7211 0.009950 2617.9 2816.9 5.5526

450 0.018477 2880.8 3157.9 6.1434 0.015204 2845.4 3111.4 6.0212 0.012721 2807.3 3061.7 5.9043

500 0.020828 2998.4 3310.8 6.3480 0.017385 2972.4 3276.7 6.2424 0.014793 2945.3 3241.2 6.1446

550 0.022945 3106.2 3450.4 6.5230 0.019305 3085.8 3423.6 6.4266 0.016571 3064.7 3396.2 6.3390

600 0.024921 3209.3 3583.1 6.6796 0.021073 3192.5 3561.3 6.5890 0.018185 3175.3 3539.0 6.5075

650 0.026804 3310.1 3712.1 6.8233 0.022742 0.022742

3295.8 3693.8 6.7366 0.019695 3281.4 3281

3675.3 6.6593

700 0.028621 3409.8 3839.1 6.9573 0.024342 3397.5 3823.5 6.8735 0.021134 3385.1 3807.8 6.7991

800 0.032121 3609.3 4091.1 7.2037 0.027405 3599.7 4079.3 7.1237 0.023870 3590.1 4067.5 7.0531

900 0.035503 3811.2 4343.7 7.4288 0.030348 3803.5 4334.6 7.3511 0.026484 3795.7 4325.4 7.2829

1000 0.038808 4017.1 4599.2 7.6378 0.033215 4010.7 4592.0 7.5616 0.029020 4004.3 4584.7 7.4950

1100 0.042062 4227.7 4858.6 7.8339 0.036029 4222.3 4852.8 7.7588 0.031504 4216.9 4847.0 7.6933

1200 0.045279 4443.1 5122.3 8.0192 0.038806 4438.5 5117.6 7.9449 0.033952 4433.8 5112.9 7.8802

1300 0.048469 4663.3 5390.3 8.1952 0.041556 4659.2 5386.5 8.1215 0.036371 4655.2 5382.7 8.0574



T °C

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

P=25.0MPa P=30.0MPa P=35.0MPa

375 0.001978 1799.9 1849.4 4.0345 0.001792 1738.1 1791.9 3.9313 0.001701 1702.8 1762.4 3.8724

400 0.006005 2428.5 2578.7 5.1400 0.002798 2068.9 2152.8 4.4758 0.002105 1914.9 1988.6 4.2144

425 0.007886 2607.8 2805.0 5.4708 0.005299 2452.9 2611.8 5.1473 0.003434 2253.3 2373.5 4.7751

450 0.009176 2721.2 2950.6 5.6759 0.006737 2618.9 2821.0 5.4422 0.004957 2497.5 2671.0 5.1946

500 0.011143 2887.3 3165.9 5.9643 0.008691 2824.0 3084.8 5.7956 0.006933 2755.3 2997.9 5.6331

550 0.012736 3020.8 3339.2 6.1816 0.010175 2974.5 3279.7 6.0403 0.008348 2925.8 3218.0 5.9093

600 0.014140 3140.0 3493.5 6.3637 0.011445 3103.4 3446.8 6.2373 0.009523 3065.6 3399.0 6.1229

650 0.015430 3251.9 3637.7 6.5243 0.012590 3221.7 3599.4 6.4074 0.010565 3190.9 3560.7 6.3030

700 0.016643 3359.9 3776.0 6.6702 0.013654 3334.3 3743.9 6.5599 0.011523 3308.3 3711.6 6.4623

800 0.018922 3570.7 4043.8 6.9322 0.015628 3551.2 4020.0 6.8301 0.013278 3531.6 3996.3 6.7409

900 0.021075 3780.2 4307.1 7.1668 0.017473 3764.6 4288.8 7.0695 0.014904 3749.0 4270.6 6.9853

1000 0.023150 3991.5 4570.2 7.3821 0.019240 3978.6 4555.8 7.2880 0.016450 3965.8 4541.5 7.2069

1100 0.025172 4206.1 4835.4 7.5825 0.020954 4195.2 4823.9 7.4906 0.017942 4184.4 4812.4 7.4118

1200 0.027157 4424.6 5103.5 7.7710 0.022630 4415.3 5094.2 7.6807 0.019398 4406.1 5085.0 7.6034

1300 0.029115 4647.2 5375.1 7.9494 0.024279 4639.2 5367.6 7.8602 0.020827 4631.2 5360.2 7.7841

P=40.0MPa P=50.0MPa

P=50.0MPa P=60.0MPa

375 0.001641 1677.0 1742.6 3.8290 0.001560 1638.6 1716.6 3.7642 0.001503 1609.7 1699.9 3.7149

400 0.001911 1855.0 1931.4 4.1145 0.001731 1787.8 1874.4 4.0029 0.001633 1745.2 1843.2 3.9317

425 0.002538 2097.5 2199.0 4.5044 0.002009 1960.3 2060.7 4.2746 0.001816 1892.9 2001.8 4.1630

450 0.003692 2364.2 2511.8 4.9449 0.002487 2160.3 2284.7 4.5896 0.002086 2055.1 2180.2 4.4140

500 0.005623 2681.6 2906.5 5.4744 0.003890 2528.1 2722.6 5.1762 0.002952 2393.2 2570.3 4.9356

550 0.006985 2875.1 3154.4 5.7857 0.005118 2769.5 3025.4 5.5563 0.003955 2664.6 2901.9 5.3517

600 0.008089 3026.8 3350.4 6.0170 0.006108 2947.1 3252.6 5.8245 0.004833 2866.8 3156.8 5.6527

650 0.009053 3159.5 3521.6 6.2078 0.006957 3095.6 3443.5 6.0373 0.005591 3031.3 3366.8 5.8867

700 0.009930 3282.0 3679.2 6.3740 0.007717 3228.7 3614.6 6.2179 0.006265 3175.4 3551.3 6.0814

800 0.011521 3511.8 3972.6 6.6613 0.009073 3472.2 3925.8 6.5225 0.007456 3432.6 3880.0 6.4033

900 0.012980 3733.3 4252.5 6.9107 0.010296 3702.0 4216.8 6.7819 0.008519 3670.9 4182.1 6.6725

1000 0.014360 3952.9 4527.3 7.1355 0.011441 3927.4 4499.4 7.0131 0.009504 3902.0 4472.2 6.9099

1100 0.015686 4173.7 4801.1 7.3425 0.012534 4152.2 4778.9 7.2244 0.010439 4130.9 4757.3 7.1255

1200 0.016976 4396.9 5075.9 7.5357 0.013590 4378.6 5058.1 7.4207 0.011339 4360.5 5040.8 7.3248

1300 0.018239 4623.3 5352.8 7.7175 0.014620 4607.5 5338.5 7.6048 0.012213 4591.8 5324.5 7.5111



T °C

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

v m3/kg

u kJ/kg

h kJ/kg

s kJ/kg.K

P=5.0MPa (263.94°C) P=10MPa (311.00°C) P=15MPa (342.16°C)

Sat. 0.001286 1148.10 1154.50 2.9207 0.001452 1393.30

1407.90 3.3603 0.001657 1585.50 1610.30 3.6848

0 0.000998 0.04 5.03 0.0001 0.000995 0.12 10.07 0.0003 0.000993 0.18 15.07 0.0004

20 0.001000 83.61 88.61 0.2954 0.000997 83.31 93.28 0.2943 0.000995 83.01 97.93 0.2932

40 0.001006 166.92 171.95 0.5705 0.001004 166.33 176.37 0.5685 0.001001 165.75 180.77 0.5666

60 0.001015 250.29 255.36 0.8287 0.001013 249.43 259.55 0.8260 0.001011 248.58 263.74 0.8234

80 0.001027 333.82 338.96 1.0723 0.001024 332.69 342.94 1.0691 0.001022 331.59 346.92 1.0659

100 0.001041 417.65 422.85 1.3034 0.001039 416.23 426.62 1.2996 0.001036 414.85 430.39 1.2958

120 0.001058 501.91 507.19 1.5236 0.001055 500.18 510.73 1.5191 0.001052 498.50 514.28 1.5148

140 0.001077 586.80 592.18 1.7344 0.001074 584.72 595.45 1.7293 0.001071 582.69 598.75 1.7243

160 0.001099 672.55 678.04 1.9374 0.001095 670.06 681.01 1.9316 0.001092 667.63 684.01 1.9259

180 0.001124 759.47 765.09 2.1338 0.001120 756.48 767.68 2.1271 0.001116 753.58 770.32 2.1206

200 0.001153 847.92 853.68 2.3251 0.001148 844.32 855.80 2.3174 0.001144 840.84 858.00 2.3100

220 0.001187 938.39 944.32 2.5127 0.001181 934.01 945.82 2.5037 0.001175 929.81 947.43 2.4951

240 0.001227 1031.60 1037.70 2.6983 0.001219 1026.20

1038.30 2.6876 0.001212 1021.00 1039.20 2.6774

260 0.001276 1128.50 1134.90 2.8841 0.001265 1121.60

1134.30 2.8710 0.001256 1115.10 1134.00 2.8586

280

0.001323 1221.80

1235.00 3.0565 0.001310 1213.40 1233.00 3.0410

300 0.001398 1329.40

1343.30 3.2488 0.001378 1317.60 1338.30 3.2279

320

0.001473 1431.90 1454.00 3.4263

340 0.001631 1567.90 1592.40 3.6555


ภาคผนวก ง เฉลยค าตอบแบบฝกหดทายบท

312 ภาคผนวก ง เฉลยค าตอบแบบฝกหดทายบท กลศาสตรของไหล

กลศาสตรของไหล ภาคผนวก ง เฉลยค าตอบแบบฝกหดทายบท 313

บทท 1

1) กลศาสตรของไหล (Fluid Mechanics) เปนวชาทเกยวของกบการศกษาพฤตกรรมและผลทเกดขนเนองจากของไหลทกระท าตอผวของวตถทสมผส หรอกระท าตอของไหลอกชนด โดยทของไหลดงกลาวอาจจะอยในสภาวะทเคลอนทหรอสภาวะทอยนงกได 2) เซอร ไอแซก นวตน (Sir Isaac Newton) ค.ศ. 1642 – 1727

3) ยคศตวรรษท18 และ 19

4) ของไหล (Fluid) หมายถง สสารทสามารถไหลได โดยมรปรางเปลยนแปลงไปตามภาชนะทบรรจ เมอของไหลอยในสภาวะสมดล ของไหลไมสามารถรองรบแรงเฉอนได ของไหลทกชนดจะยบตวตามความดนไดเลกนอย 5) การจดประเภทของของไหล แบงตามความสามารถในการยบตว แบงได 2 ประเภท ไดแก ของไหลทยบตวตามความดน (Compressible Fluid) และของไหลท ไมยบตวตามความดน (Incompressible Fluid)

6) เวลา และอณหภมปกต 7) ความยาว มวล เวลา อณหภม และปรมาณสสาร

8) 1, 1, -2 9) 3, -1, 0 10) 3, 0, -1 11) -3.9๐C 12) 1.81 kg 13) 3,280.84 ft/min 14) 805 lbf 15) 2 hp = 1.492 kW

บทท 2 1.1) ความหนาแนนของของไหล คอ ปรมาณของมวลของของไหล ตอหนงหนวยปรมาตรของของไหล 1.2) น าหนกจ าเพาะของของไหล คอ น าหนกของของไหลตอหนงหนวยปรมาตร


1.3) ปรมาตรจ าเพาะของของไหล คอ จ านวนปรมาตรของของไหลตอหนงหนวยมวลของของไหล 1.4) ความถวงจ าเพาะของของไหล อตราสวนของความหนาแนนของของไหลนน ตอความหนาแนนของของไหลมาตรฐาน หรออตราสวนของน าหนกจ าเพาะของของไหลนน ตอน าหนกจ าเพาะของของไหลมาตรฐาน 1.5) ความหนดของของไหล เปนแรงตานทานตอแรงเฉอนระหวางชนของของไหล ซงขนาดจะขนอยกบแรงยดเหนยวระหวาโมเลกลของของไหลนนๆ 1.6) ความตงผว เปนอตราสวนระหวางแรงทกระท าไปตามผวของของเหลวตอความยาว (ตงฉากกบแรง) ของผวทถกแรงนกระท า 1.7) ความตบ เปนปรากฏการทเกดขนเนองจากผลของความตงผวและความแตกตางระหวางแรงยดเหนยวระหวางโมเลกลของของเหลวกบแรงยดเการะหวางโมเลกลของของเหลวกบผวของแขงท าใหระดบของเหลวในหลอดรเลก (Capillary tube) สงขนหรอต ากวาระดบของเหลวภายนอกหลอด 1.8) ความอดตวไดของของไหลจะก าหนดใหอยในรปของสมประสทธความอดตวไดของของไหล (Coefficient of compressibility) แทนดวย β ซงเปนความเครยดเชงปรมาตรตอหนวยความเคนอดคอ เปนสวนกลบของความยดหยนเชงปรมาตร 1.9) ความดนไอ คอ ความดนทเกดขนจากไอในขณะทเกดสมดลวฏภาค (Phase equilibrium) ระหวางไอ และของเหลว ณ อณหภมใดอณหภมหนง 1.10) กาซอดมคต หรอกาซสมบรณ เปนกาซทไมมอยจรง นกวทยาศาสตรก าหนดขนเพออธบายสมบตตางๆ ทเกยวกบกาซ โดยใหมพฤตกรรมเปนไปตามกฎของกาซไมวาทอณหภมหรอความดนใด เปนกาซทไมมแรงยดเหนยวระหวางโมเลกล 2) 866.67 kg/m3 3) 7,272.7 N/m3 4) 885.4 kg/m3 , 8,685.8 N/m3 , 0.00113 m3/kg , 0.8854 5) 7,749.9 N/m3 , 790 kg/m3 6) 0.023 N 7) 0.00107 m 8) 0.0194 m


9) 406.2 N/m2 10) 213.3 J/kg.K

บทท 3

1) ความหนดของของไหล หมายถง คณสมบตในการตานทานตอการเฉอน (shear) ของของไหลหรอตานทานตอการเปลยนรปเชงมม (angular deformation) หากของไหลมความหนดมากจะไหลไดชากวาของไหลทมความหนดนอย

2) แผนราบสองแผนวางซอนหางกนเทากบ y ระหวางแผนราบบรรจของไหลมความหนด แผนราบแผนบนถกดงดวยแรง F ท าใหเกดความเรวเทากบ v ดงนน ของไหลทตดกบแผนราบแผนบนมความเรว v และจะลดลงจนถงแผนราบแผนลาง ความเรวจะเปนศนย (0)

3) ความหนดจะเปนฟงกชนกบอณหภมและความดน หรอ = f (P,T) แตการเปลยนแปลงความหนดของของเหลวเพราะความดนนอยมากจงตดออกจากการพจารณาได และยงคงเหลอเฉพาะการเปลยนแปลงกบอณหภมเทานนความหนดของของเหลวจะลดเมออณหภมสงขน 4) ความหนดสมบรณ (Absolute viscosity) หรอความหนดพลวต (Dynamic viscosity) หรอ สมประสทธความหนด (Coefficient of viscosity) คอ คณสมบตของของไหลทใชตานทานตอความเคนเฉอน และเปนแรงตานทานตอแรงเฉอน 5) ความหนดจลน (Kinematic viscosity) หมายถง ความหนดสมบรณของของไหลตอความหนาแนนของของไหลนน 6) การหาความหนดจลนแบบเซยโบลท เปนเครองมอหาความหนดของของไหลโดยใหของไหลบรรจในภาชนะทรงกระบอกไหลลงสขวดมาตรฐานและจบเวลา เวลาดงกลาว เรยกวา Saybolt Universal Second ซงสามารถจะน าไปหาคาความหนดจลนได 7) หลอดคาปลลาร (Capillary tube) เปนอปกรณทใชวดความหนดโดยใชรวมกบเครองทดสอบความหนดจลน โดยของเหลวทจะใชทดสอบความหนดจะใสไวในทางทอใหญ จากนนท าการดดของเหลวขนทางทอเลกโดยใชชดดดสญญากาศ และท าการปลอยของเหลวผานจดเรมจบเวลาวดความหนด โดยใชนาฬกาจบเวลาในการไหลของอขงเหลวจนถงจดสดทายของการจบเวลา เวลาในการไหลจะน าไปค านวณหาคาความหนดจลน มหนวยเปน mm2/s (cSt) 8) 1 Poise (P) = 0.1 N.s/m2 = 0.1 Pa.s 9) 0.0035 N.s/m2


10) 7.143 x 10-5 m2/s 11) 8 kN 12) 22.22 m/s

บทท 4 1) ความดน หมายถง แรงทกระท าตงฉากบนหนงหนวยพนท 2) ความดน 1 บรรยากาศ คอ ความดนของอากาศทท าใหปรอทเคลอนสงขนไปได 76 เซนตเมตร หรอ 760 มลลเมตร 3) เครองมอวดความดนแบบบดอง เปนเครองมอใชวดความดนแบบหนาปดและใชส าหรบวดความดนเกจ ใชวดความดนทต ากวาและสงกวาความดนบรรยากาศได

4) แมนอมเตอรแบบหลอดรปตวยนจะใชหลอดแกวดดเปนรปตวย โดยทปลายดานหนงน าไปตอเขากบจดทตองการวดความดน และปลายอกขางจะเปดสบรรยากาศ 5). แมนอมเตอรแบบวดผลตางของความดน (Differentia manometer) เปนเครองมอทใชวดผลตางของความดนระหวางภาชนะบรรจสองใบหรอระหวางจดสองจดในระบบเดยวกน 6) กฎของปาสคาล (Pascal’s law) หรอ กฎสงผานความดน กลาววา“ความดนทกระท าตอสวนหนงสวนใดของของไหลทอยนงในภาชนะปด จะถกสงไปยงสวนของของไหลรวมทงผนงของภาชนะดวย” 8) ความดนสมบรณ หมายถง ความดนทวดเทยบกบสภาวะทไรความดน 9) บารอมเตอร เปนเครองมอวดความดนบรรยากาศ ประกอบดวยหลอดแกวสญญากาศ วางคว าลงในอางปรอท หรอ ของเหลวอนๆ ความดนบรรยากาศจะวดออกมาเปนความสงของของไหลในหลอดแกว 10) Head Pressure เปนความสงในแนวตงฉากกบผวอสระ เมอเทยบกบ จดอางองใดๆ ในของเหลวทหยดนง 11) 121.3 kN/m2 12) 49.64 kN/m2 13) 109.2 kPa 14) 160.15 kPa 15) 53.32 kPa


14) 102.42 kPa 17) 2317.5 N, 1.67 m 18) 1.27 m 19) 1230 x 103 N, 0.087 m 20) 84,726.3 N, 1.017 m, 0.637 m 21) เมอวตถจมเพยงบางสวน หรอจมทงหมดในของไหล จะเกดแรงมากระท าทวตถ ในแนวตงฉากกบผว เปนแรงทพยายามพยงหรอยกวตถใหลอยขน ในทศทางสวนทางกบแรงดงดดของโลก เรยกวา แรงลอยตว

22) จด Metacenter คอ จด M เปนจดตดของเสนตอแนวแรงก าลงลอยกบแนวเสนกงกลางทางขวางของเรอ 23) 785.7 kg/m3 24) 5.875 x 10-4 m3 25) 0.0588 m

บทท 5

1) เสนกระแส หมายถง เสนทเชอมตอเวกเตอรความเรวของแตละอนภาคของงของไหล ณ เวลาใดเวลาหนง หรอ เสนทบงถงทศทางการหลหรอการเคลอนทโดยเฉลยของอนภาคของของไหล 2) การไหลในสภาวะคงตว คอ การไหลของของไหลทผานจดทตองการวดดวยความเรวคงท การไหลในสภาวะไมคงตว คอ การไหลของของไหลชนดทความเรวในการไหล ณ จดใดๆ มการเปลยนแปลงหรอขาดชวง 3) การไหลแบบอดตวไมได คอ การไหลทสามารถสงเกตไดจากความหนาแนนของของไหลวามการเปลยนแปลงหรอไมในระหวางการไหล การวเคราะหอตราการไหลจงมความซบซอนนอย ถาความหนาแนนคงทในการไหล แสดงวาเปนการไหลแบบอดตวไมได แตถาความหนาแนนเปลยนไประหวางการไหล แสดงวาเปนการไหลแบบอดตวได สวนใหญแลวการไหลของของเหลวจะเปนการไหลแบบอดตวไมได ขณะทการไหลของกาชจะถกบบอดไดงายกวา

4) ความเรวเฉลยของการไหล หมายถง ระยะทางทวตถเคลอนทไปในระยะเวลาหนง 5) อตราการไหล หมายถงปรมาณของไหลทเคลอนท ตอหนงหนวยเวลา ซงสามารถวดไดทงในเทอมของปรมาตร และ เทอมของมวล


6) สมการการไหลตอเนอง หมายถงสมการทแสดงถงกฎการอนรกษมวลของของไหลในระบบทเราศกษาหรอในปรมาตรควบคม

7) 23.56 m3/s , 3.33 m/s 8) 1.67 hr 9) 1.628 m/s 10) 1.29 m3/s , 0.566 m3/s , 0.645 m3/s , 0.796 m/s, 10.27 m/s , 0.82 m/s

บทท 6

1) โมเมนตม คอ มวลกบวตถนน คณกบความเรวของวตถทเคลอนท

2) กฏขอท 2 ของ นวตน กลาววา “ผลรวมของแรงภายนอกทมากระท ากบวตถ เทากบ อตราการเปลยนแปลงโมเมนตมของระบบ” 3) 50 kg.m/s 4) 10.13 N, 5.85 N 5) 69.38 N, 178.2 N 6) 594.47 N/m ทศทางตามเขมนาฬกา

บทท 7

1) พลงงาน หมายถงความสามารถทท าใหเกดการเปลยนแปลงความรอน งาน และพลงงาน 2) พลงงานจลน หมายถงพลงงานทเกดจากการเคลอนทของของไหลจากจดหนงไปยงอกจดหนง ปรมาณของพลงงานจลนจะขนอยกบความเรว และขนาดของมวลของของไหลนน

3) พลงงานศกย หมายถงพลงงานทแฝงอยในมวลของของไหลนน และความแตกตางของพลงงานขนอยกบมวลและระดบความสงภายใตแรงงดงดดของโลก 4) พลงงานของการไหล หมายถงงานทกระท าตอมวลสารของของไหลเมอของไหลถกบงคบใหผานขอบเขต 5) พลงงานภายใน เปนคณสมบตประจ าตวของสสาร ถาอณหภมของสสารยงไมถงศนยสมบรณ สสารนนจะมพลงงานภายในอย พลงงานภายในเกดจากการเคลอนทของปรมาณ


6) กฎการทรงพลงงานกลาวไววา“พลงงานเปนสงทไมสามารถถกสรางหรอถกท าลายได แตพลงงานสามารถเปลยนแปลงเปนพลงงานอกรปหนงได” 7) สมการออยเลอร หมายถงสมการโมเมนตมส าหรบของไหลทไมมแรงเสยดทาน พจารณาอนภาคของของไหลทเคลอนทไปตามแนวสมผสกบเสนโคงเสนกระแส 8) สมการเบอรนล (Bernoulli Equation) คอ สมการทใชประมาณความสมพนธระหวางความดน ความเรว และความสงของของไหลทไหลแบบสภาวะคงตว ไมสามารถอดตวไดและไมมแรงเสยดทาน 9) -37.46 W 10) -5,886 W 11) 342.56 kW 12) 943 kJ/kg 13) 12.51 m/s, 0.071 m3/s 14) 5.6 m/s, 9.9 x 10-4 m3/s 15) 217.34 kPa

บทท 8

1) การไหลภายในทอปด หมายถงการไหลของของไหลภายในทอทมผนงปดลอมทกดาน และมของไหลไหลอยเตมพนทหนาตดของทอ ไมมผวอสระอยดานบนของหนาตดการไหล และการไหลอยภายใตความดนตลอดชวงของการพจารณา 2) พฤตกรรมการไหลของของไหลภายในทอไดเปน 3 ลกษณะ คอ การไหลแบบราบเรยบ (Laminar flow) การไหลแบบปนปวน (Turbulent flow) และการไหลในชวงการแปรเปลยน (Transition flow)

3) เรยโนลดนมเบอรเปนคาทบอกถงลกษณะของการไหลในทอ ถา Re < 2,100 แสดงวาเปนการไหลแบบราบเรยบ 2,100 < Re < 4,000 แสดงวาเปนการไหลแบบราบเรยบ และ Re > 4,000 แสดงวาเปนการไหลแบบราบเรยบ 4) การสญเสยพลงงานหลก หมายถงการสญเสยเฮดทเกดจากผลของแรงเสยดทานอนเนองมาจากผลของความหนดของของไหล และแรงเสยดทานระหวางของไหลกบผนงทอ


5) การสญเสยพลงงานรอง หมายถงการสญเสยเฮดในจดทมการเปลยนแปลงขนาด หรอทศทางของความเรวของการไหลโดยฉบพลน ซงจะเกดบรเวณทของไหลไหลผานอปกรณประกอบทอตางๆ เชน วาลว ขอตอ ขอลดขนาด ขอขยายขนาด ของอชนดตางๆ เปนตน 6) 79,750 7) การไหลแบบปนปวน (Re = 261,551) 8) 1.62 m 9) 51.48 kPa 10) 571.1 Pa 11) 613.39 kPa 12) 101.92 kPa

บทท 9

1) การวดอตราการไหลของของไหล เปนการหาปรมาณของของไหลทไหลผานทอในหนงหนวยเวลา การวดอตราการไหลของของไหลในทอโดยใชเครองมอวด มการวดอตราการไหลไดหลายวธดวยกน ซงมรปแบบของมาตรวดและการวเคราะหหาอตราการไหลในทอไดแก มาตรวดการไหลแบบเวนจร (Venturi Meter) มาตรวดการไหลแบบออรฟส (Orifice Meter) มาตรวดการไหลแบบโรตามเตอร (Rotameter) การวดอตราการไหลโดยใชพทอตตทวป (Pitot Tube) 2) มาตรวดอตราการไหลแบบเวนจร ประกอบดวย ทอทมคอคอด ซงจะท าใหของไหลมความเรวเพมขน แตความดนลดลงทางดานปลายของทอจะมลกษณะคอยๆ ขยายออกความเรวของของไหลกจะคอย ๆ ลดลง เนองจากความสมพนธระหวางความดนและอตราการไหลคอนขางแนนอน

3) มาตรวดแบบออรฟส หรอรระบาย ประกอบดวยแผนโลหะมรกลม ซงมขอบคมอยตรงกลางวางกนทศทางการไหลของของไหลในทอ โดยแนวทผานจดศนยกลางทอจะผานจดศนยกลางรระบายน าพอด ซงอตราการไหลสามารถพจารณาไดจากการอานผลตางของระดบของไหล 4) มาตรวดอตราการไหลแบบโรตามเตอร หรอแบบลกลอย เปนเครองมอวดอตราการไหลของของไหล ลกษณะของโรตามเตอรเปนทอแกวใสดานในเปนกรวยเรยว และมลกลอย ทออกแบบพเศษบรรจอยภายในกรอบ ของไหลทตองการวดจะไหลผานเขามาทางดานลางของตววด ลกลอยจะถกเฮดความเรวยกใหลอยตวขน ต าแหนงของลกลอยจะลอยนง อยกบทเมอเกดความสมดลระหวางเฮดความเรวของของไหลกบน าหนกของลกลอย ต าแหนงของลกลอยจะบอกคาอตราการไหลได 5. พทอตตทวป เปนเครองมอทใชวดความเรวของของไหลทใชไดทงกบของเหลวและกาซ โดยทตรงปลายทใชวดจะถกสอดเขาอยในสวนกลางของทอใหตงฉากกบทศทางการไหลและปลายอกขางหนงเปดอยดานขาง เพอใชวดความดนแบบ Static จดวดความดนทงสองดานจะตงฉากกน


6) ลกลอย ทอแกว และแบบทอโลหะ

7) 9.3 m3/s 8) 0.0346 m3/s 9) 3.85 x 10-5 m3/s 10) 1.346 m/s

บทท 10

1) การไหลของของไหลแบบอดตวได หมายถง การไหลของของไหลทมการเปลยนแปรคาความหนาแนนอยางเดนชด และหากการไหลน นเคลอนทดวยความเรวสงมาก จะกอใหเกดการเปลยนแปลงคณสมบตอนๆ ของของไหลในลกษณะพเศษทแตกตางจากพฤตกรรมของของไหลแบบอดไมได ตวแปรทเพมขนมาจากกรณของของไหลแบบอดไมได คอ ความหนาแนน และอณหภม

2) ตวเลขมค หมายถงพารามเตอรทก าหนดคณลกษณะของการไหลแบบอดได สามารถเขยนเปนคาอตราสวนของความเรวเฉพาะทของของไหลตอความเรวเสยงเฉพาะท

3.1) -14.36 kJ/kg 3.2) -20.104 kJ/kg 3.3) 1.002 kJ/kg.K 4.1) P01 = 97.69 kPa , T01 = 282.24 K , P02 = 39.54 kPa , T02 = 284.08 K

4.2) s = 0.266 kJ/kg.K 5) 22.78 kg/s 6) 1.83 kPa

ประวตผเขยน

นายสนทร สทธบาก

Mr. SUNTORN SUTTIBAK

ต าแหนงทางวชาการ ผชวยศาสตราจารย สาขาวชาวศวกรรมเครองกล

สถานทท างาน

สาขาวชาเทคโนโลยเครองกล และสาขาวชาวศวกรรมพลงงาน คณะเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

ประวตการศกษา ปรญญาเอก ปรชญาดษฏบณฑต (ปร.ด.) สาขาวชาวศวกรรมเครองกล

มหาวทยาลยมหาสารคาม, 2555

ปรญญาโท ครศาสตรอตสาหกรรมมหาบณฑต (คอม.) สาขาวชาวศวกรรมเครองกล

สถาบนเทคโนโลยพระจอมเกลาพระนครเหนอ, 2550

ปรญญาตร วศวกรรมศาสตรบณฑต (วศ.บ.) สาขาวชาวศวกรรมเครองกล

มหาวทยาลยศรปทม, 2541

ประวตการท างาน

2541 ชางเทคนค บรษท อซซคงสยนต จ ากด กรงเทพมหานคร

2542 – 2549 หวหนาแผนกชางยนต และผชวยผอ านวยการฝายวชาการ วทยาลยเทคโนโลยปนมณฑล กรงเทพมหานคร

2549 – 2550 วศวกร และหนสวน บรษท อรรถพงษวศวกรรม จ ากด กรงเทพมหานคร 2550 – 2554 อาจารยประจ าสาขาวชาเทคโนโลยเครองกล คณะเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน 2555 – 2560 หวหนาสาขาวชาเทคโนโลยเครองกล คณะเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน 2556 ไดรบแตงตงใหด ารงต าแหนงผชวยศาสตราจารย ในสาขาวชาวศวกรรมเครองกล

2558 – 2560 หวหนาสาขาวชาวศวกรรมพลงงาน คณะเทคโนโลย มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

กลศาสตรຏของเหล - Udon Thani Rajabhat Universityportal5.udru.ac.th ›...

Documents

Transcript of กลศาสตรຏของเหล - Udon Thani Rajabhat Universityportal5.udru.ac.th ›...