Aaanexo a Conjuntos y Tecnicas de Conteo (Nxpowerlite)

7/31/2019 Aaanexo a Conjuntos y Tecnicas de Conteo (Nxpowerlite)

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A n e x o

AA

A.1 DefinicionesEste apndice presenta los conceptos fundamentales de la teora de conjuntos que sern de gran uti

lidad para este libro.

Definicin A.1 Un conjunto es una coleccin de objetos formada de acuerdo con cierta regla, de

tal manera que siempre es posible decidir si un objeto dado, cualquiera, pertenece o no a dicha co

leccin.

Generalmente, a los conjuntos los representaremos con letras maysculas y a los objetos que lo

forman con letras minsculas. SiA es un conjunto y a es un objeto que forma parte de ese conjunto

decimos que a es un elemento deA, o que a pertenece al conjuntoA y se escribe

aA

Por lo contrario, escribimos

a/ A

si el objeto a no es elemento del conjuntoA.Existen dos maneras de describir conjuntos:

1. Por extensin: Poniendo entre llaves sus elementos y separando los mismos por comas. Po

ejemplo,

A {1, c, r, 3,4}

2. Por condicin: En este caso, los elementos que forman parte del conjunto se describen a

travs de una o varias condiciones que deben cumplir. Por ejemplo, si se desea formar el con

junto de los nmeros pares, escribimos

E {x :x es nmero entero positivo par}

o

E {x |x nmero entero positivo par}

Los smbolos : y | sustituyen a la frase tales que.

Es claro que el conjuntoE, descrito arriba, tambin se puede escribir por extensin:

E {2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .}

CONJUNTOSY TCNICASDE CONTEO


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donde los puntos suspensivos representan la frase as sucesivamente. Entonces, por ejem

tiene

rA

1/ A

64E

y 25/ E

SubconjuntosDefinicin A.2 Se dice que un conjuntoB es subconjunto de un conjuntoA si todo elementpertenece tambin al conjuntoA. Se escribe entonces

BA

o

B A

y tambin se acostumbra decir queB est contenido enA.

La figura A-1 es un esquema llamado diagrama de Venn, para representar esta idea. Escrib

B / A para decir queB no es un subconjunto deA (B no est contenido enA); lo cual significpor lo menos, un elemento deB no es elemento deA. La figura A-2 contiene el diagrama corr

diente para este hecho.

Ejemplo A.1 Si

A {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}

B {3, 13, 17}

C {2, 3, 4, 7, 8}

entonces

BA, pero

C/ A

Nota: Observe que, por definicin, todo conjunto es subconjunto de s mismo.

Igualdad de conjuntos

Definicin A.3 Dos conjuntosA yB son iguales,A B, si y slo siA oB yB oA; es deci

elemento deA pertence aB y viceversa.

FIGURA A-1 Diagrama de Venn para representarA B

A

B

U

A

B

FIGURA A-2 Diagrama de Venn para representaA/ B


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Ejemplo A.2 Sean

A {x : (x 1)(x 2) 0},

B {x :x2x 2 0} y

C {2, 1}

es claro queAB C.

Ejemplo A.3 Sean

A {2, 3,1}

B = {1, 2, 3}

Puesto queAB yBA, se tiene queAB.

Ejemplo A.4 Si

A {1, 2, 3, 2, 4}y

B {1, 2, 3, 4}

dado queAB yBA, entoncesAB.

Nota: Observe que cuando se describe un conjunto, la repeticin del mismo elemento es red

te; es decir, cuando listamos los elementos de un conjunto, separndolos por comas, basta qu

elemento aparezca una sola vez en dicha lista. De aqu en adelante, supondremos que en tod

junto sus respectivos elementos aparecen slo una vez.

Conjunto Universo

Cuando se trabaja con un grupo de conjuntos A,B, C, etc., donde todos los elementos de ca

de ellos pertenecen a un mismo conjunto U; es decir,A U,B U, etc., decimos que el co

Ues un conjunto Universo para estos conjuntos. Por ejemplo, si en un contexto dado, todos l

juntos con los que se est trabajando son determinadas clases de nmeros, un conjunto unive

ra ellos puede ser el conjunto Ude todos los nmeros reales. Es frecuente que no se especifi

conjunto universo y dentro del contexto quede implcitamente claro cual puede ser un conjunverso. Por ejemplo, para los conjuntos

A {x :x gana ente 1,000 y 2,000 dlares}

B {x :x tiene memoria entre 30 y 50 gigabytes}

es obvio que pueden tener como conjuntos universo a U1, el conjunto de seres humanos, y a

conjunto de computadoras, respectivamente.

Conjunto vaco

Es conveniente tambin considerar como conjunto aquel que no tiene elementos, al cual llam

conjunto vaco y se representa por el smbolo. Tambin es conveniente considerar al conju

co como subconjunto de todo conjunto; es decir

A

para todo conjuntoA.

Cardinalidad

Definicin A.4 SiA es un conjunto con un nmero finito de elementos, a dicho nmero se

ma la cardinalidad deA. En este anexo a la cardinalidad deA, la descibiremos como |A | .


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Ejemplo A.5 Si

A {a, e, i, o, u},

B {x :x est inscrito en el padrn electoral del Distrito Federal}

entonces

|A | 5

|B | = 6,000,000

Nota: Claramente | | 0.

A.2 Operaciones con conjuntos

Unin de conjuntos

Definicin A.5 SeanA yB dos conjuntos. Se define y describe la unin de ellos como

AB {x :xA oxB]

Es decir, la unin de dos conjuntos consta de aquellos elementos que pertenecen por lo meno

de ellos. La figura A-3 contiene el diagrama de Venn para la unin de conjuntos.

Ejemplo A.6 Si

A {2, t, u, 9,4, d} y

B {1, s, 2, *,4,pepe}

entonces

AB {2, t, u, 9,4, d, 1, s, *,pepe]

Interseccin de conjuntosDefinicin A.6 SiA yB son dos conjuntos, se define y denota la interseccin de los mismos

AB {x :xA yxB}

El diagrama de Venn para la interseccin de conjuntos est contenido en la figura A-4.

Ejemplo A.7 Sean los conjuntosA yB del ejemplo A.6, entonces

A B {2,4}

FIGURA A-3 Diagrama de Venn para la uninde conjuntos A B

FIGURA A-4 Diagrama de Venn para la intersde dos conjuntos A B

U

A B A B


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Ejemplo A.8 SeanA {1, 3, 5, 7, . . .} ,B {2, 4, 6, . . . }, entonces

AB

Definicin A.7 Cuando dos conjuntos tengan interseccin vaca, se dir que son disjunto

bin es costumbre, en la jerga de probabilidad, decir que son mutuamente excluyentes.

Complemento de un conjunto

Definicin A.8 SeanA un conjunto y Uun conjunto universal deA. Se define y describe e

plemento deA (relativo a U) por

Ac {x U:xA]

el diagrama de Venn correspondiente se encuentra en la figura A-5.

Ejemplo A.9 Sean

U {1, 2, 3, . . .} ,

E {2, 4, 6, . . . },

entonces

Ec {1, 3, 5, . . . }

Nota: Observe que (Ac)cA para todo conjuntoA.

Diferencia de conjuntos

Definicin A.9 SeanA,B un par de conjuntos. La diferencia del conjuntoA con el conjun

define como

AB {x :xA yxB]

El diagrama de Venn para la diferencia de conjuntos est contenido en la figura A-6.

Ejemplo A.10 SiA yB son los conjuntos del ejemplo A.6, entonces

AB {t, u, 9, d} y

BA {1, s, *,pepe}

Leyes de DeMorgan

Existen dos reglas bastante tiles en la teora de conjuntos llamadas leyes de DeMorgan, que

ciamos a continuacin y cuya demostracin se deja como ejercicio, mediante diagramas de V

lector.

FIGURA A-5 Diagrama de Venn para elcomplemento de un conjunto

FIGURA A-6 Diagrama de Venn para la diferenciade conjuntos A B

U

A

A B

U


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Teorema A.1 SeanA yB un par de conjuntos, entonces

1. (A B)cAcBc

2. (AB)cAcBc

Propiedades

A continuacin, resumimos las principales propiedades de las operaciones entre conjuntos, l

les son fciles de comprobar y se dejan como ejercio al lector.

Leyes de idempotencia1. AAA

2. AAA

Leyes de asociatividad

1. (AB) CA (B C)

2. (AB) CA (B C)

Leyed de conmutatividad

1. ABBA

2. A BB A

Leyes de distributividad

1. A (B C) (AB) (A C)

2. A (B C) (AB) (A C)

Leyes de identidad

1. A A

2. A

3. A U U

4. A

U

ALeyes de complemento

1. AAc U

2. AAc

3. (Ac)cA

4. Uc

5. c U

Leyes de DeMorgan

1. (AB)cAcBc

2. (AB)cAcBc

Finalmente, el siguente teorema es bastante til en la prctica. Nuevamente, su demostra

deja de ejercicio al lector.

Teorema A.2 Cada una de las siguentes condiciones son equivalentes aAB.

1. ABA

2. ABB

3. BcAc

4. ABc


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Producto cartesiano de conjuntos

Definicin A.10 Si a, b son un par de objetos, se representa la pareja ordenada formada po

como (a, b). Se dice que las parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales (a, b) (c, d), s

si a c y b d.

De la definicin precedente, se tiene que (1, 2) (2, 1), de aqu el nombre de pareja ordenad

ta definicin.

Definicin A.11 SeanA yB un par de conjuntos, se denota y describe y define el producto

siano de estos conjuntos como

AB {(a, b) : aA y b B}

Ejemplo A.11 SeanA {1, 2, 3},B {a, b, c, d}, entonces

AB {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (2, a), (2, b), (2, c), (2, d), (3, a), (3, b), (3, c), (3, d

Nota: Observe que, en general,ABBA

Clases de conjuntos

Frecuentemente, los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos (recuerde que los ele

de un conjunto pueden ser de cualquier naturaleza). Un caso familiar es una liga deportiva qu

conjunto y sus elementos (equipos) son a su vez conjuntos (de personas). Por ejemplo, los etos de la clase de conjuntos

{{2, 1}, {a}, {1, 2, a}, {1}}

son

{2, 1}, {a}, {1, 2, a} y {1}

Conjunto potencia

Un caso particularmente importante de clases de conjuntos es el que se forma con todos los s

juntos de un conjunto dado, al cual se le llama conjunto potencia.

Definicin A.12 SeaA un conjunto. Se define el conjunto potencia deA como

P(A) {S: SA}

Ejemplo A.12 SeaA {1, 2, 3}, entonces

P(A) {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

(recuerde que es siempre subconjunto de todo conjunto y que, por definicin, todo conj

subconjunto de s mismo).

Notas:

No debe confundirse al elemento a con el conjunto que tiene como nico elem

objeto a; es decir, {a}.

Tampoco debe confundirse al conjunto {a, b}( {b, c}) con la pareja ordenada

(6 (b, a)).

Cardinalidad del conjunto potencia

Se puede probar que siA es finito con cardinalidad n, esto es, |A | n, entonces | P(A) | 2n

cir, que siA tiene n elementos, entonces P(A) tiene 2n elementos.

Ejemplo A.13 Haciendo referencia al ejemplo A.12, |A | 3, por tanto | P (A) 23 8, c

puede verificar en el mismo ejemplo.


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A.3 Frmulas de cardinalidadTeorema A.3 SiA yB son conjuntos disjuntos (A B ) con cardinalidad finita, enton

|A B | |A | |B |

Teorema A.4 SiA yB son conjuntos con cardinalidad finita, entonces

|AB | |A | |AB |

Demostracin: Se tiene queA (AB) (AB) y (AB) (AB)

por el teorema precedente

|A | | (AB) (AB) |

|AB | |AB |

de donde

|AB | |A | |AB |

Teorema A.5 SiA yB son conjuntos con cardinalidad finita (no necesariamente disjuntos), en

|AB | |A | |B || AB |

Demostracin: Puesto que los conjuntosAB,BA yAB son mutuamente excluye

A B (AB) (AB) (BA)

de los dos teoremas precedentes se tiene que

|A B | | (AB) (AB) (BA)|

|AB | |AB | |BA |

|A | |AB | |AB | |B | |B A | |A | |B | |AB |

Ejemplo A.14 Suponga que en una lista de compradores de los productosA yB, la lista de lo

pradores del productoA contiene 30 nombres y la lista del productoB contiene 35 nombres

tras que ambas listas coinciden en 20 nombres.

1. Cuntos nombres ditintos contienen en total las listas de los productosA oB?

2. Cuntos compradores consumen slo el productoA?

3. Cuntos compradores consumen slo el productoB?

4. Cuntos compradores consumen slo el productoA o slo el productoB?

Solucin: Asuma queA yB, respectivamente, describen las listas de los compradores de ca

ducto. De acuerdo con los datos, |A | 30, |B | 35 y |A B | 20. Entonces, las respu

cada pregunta son:

1. |AB | |A | |B | |AB | 30 35 20 45

2. |A B | |A | |AB | 30 20 10

3. |BA | |B | |AB | 35 20 15

4. | (AB) (BA) | 15 10 25


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A.4 Algunos conjuntos de uso frecuenteEsta seccin tiene como nico objetivo fijar notaciones que se emplean para representar ciert

juntos usados muy frecuentemente.

Nmeros naturales: {1, 2, 3, 4, . . .}

Nmeros enteros: {. . . , 4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . .}

Nmeros racionales: { |p, q p, 0}

Nmeros irracionales: {x :x/ Q}

Nmeros reales:

Intervalo cerrado: [a, b] {x : ax b}

Intervalo abierto: (a, b) {x : ax b}

Intervalos

semicerrados (semiabiertos): [a, b) {x : ax b}; (a, b] {x : ax b}

Intervalos no acotados: [a, ) {x :x a}; ( , b] {x :x b} [de m

anloga se definen ( , b) y (a, ).]

A.5 Principio fundamental del conteoTeorema A.6 Si una operacin se puede llevar a cabo en m formas distintas y si para cada

stas se puede realizar una segunda operacin en n formas distintas, entonces las dos operaci

pueden ejecutar en mn formas.

La figura A-7 ilustra la demostracin de este principio. Para cada una de las posibilidade

primera operacin existen n formas distintas de hacer la segunda, y puesto que hay m maner

tintas de hacer la primera, entonces exiten mn formas de ejecutar las dos operaciones.

Ejemplo A.15 Se lanzan un par de dados y se registran los nmeros que aparecen en las ca

caen hacia arriba. Cuntos distintos resultados se obtienen?

Solucin: El primer dado puede caer en cualquiera de 6 maneras. Para cada una de esas 6 mansegundo dado tambin puede caer en 6 formas. Por tanto, el nmero total de resultados posible

mn 6 6 36

p

q

FIGURA A-7Diagramapara contarposibilidades

1

1

n

2

1

n

m

n

1


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Ejemplo A.16 Un corredor de bienes races ofrece a los futuros compradores de una reside

eleccin del estilo de la fachada entre moderna, rstica, colonial y tradicional en un piso, do

y desniveles. En cuntas formas diferentes puede ordenar un comprador una de estas casas?

Solucin: Para este caso, m 4 y n 3, por tanto la respuesta es

mn 4 3 12

Nota: Es claro que el principio fundamental del conteo se puede generalizar cuando se tienen

raciones, cada una con ni, i 1, 2, . . . , k, posibilidades, dando como resultado

n1n2 nk

Ejemplo A.17 Cuntos nmeros de tres dgitos se pueden formar a partir de los dgitos 1

6, si cada dgito se puede usar slo una vez?

Solucin: Para este caso, n1 4, n2 3 y n3 2, por tanto la respuesta es

4 3 2 24

A.6 PermutacionesDefinicin A.13 Se dice que una ordenacin de un conjunto de n objetos es una permutacin

mismos. Una ordenacin de rde estos objetos (r n) es una permutacin de los n objetos toma la vez (o una r-permutacin).

Ejemplo A.18 Consideremos el conjunto {a, b, c, d}. Entonces

1. bdca, dbca y acdb, son permutaciones de cuatro letras (tomadas todas a la vez).

2. bad, adb, cbdy bca son permutaciones de las cuatro letras tomadas 3 a la vez.

3. ad, da, bdy cb son permutaciones de 4 letras tomadas 2 a la vez.

El nmero de permutaciones de n objetos tomados ra la vez se denota por nPr o P(n, r).

Ejemplo A.19 Se van a hacer placas de cuatro dgitos con los nmeros 1, 2, 3, 4, 5, 6 sin

repita un mismo dgito en cada placa. Cuntas placas distintas se pueden hacer?

Solucin: El primer dgito se puede elegir de entre 6, el segundo de entre 5, el tercero de en

el ltimo de entre 3. Lo anterior se representa en el siguiente esquema:

Por el principio fundamental del conteo, el nmero de placas distintas es

6 5 4 3 360

Notacin factorialUtilizaremos la notacin n! para representar el factorial de un nmero entero no negativo. La

de definir el factorial es la siguiente:

0! 1

1! 1

2! 1 2

3! 1 2 3...

n! 1 2 3 n (n 1)!n

3456


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As,

4! 1 2 3 4 24

6! 1 2 3 4 5 6 4! 5 6 24 5 6 720

etctera.

Teorema A.7

P(n, r) n(n 1)(n 2) (n (r 1))

n(n 1)(n 2) (n r 1)

Demostracin: De manera anloga al ejemplo A.19, el primer elemento tiene n opciones d

cin, el segundo n 1, . . . , el r-simo n (r 1) opciones. Partiendo del principio funda

del conteo se tiene que

P(n, r) n(n 1) (n (r 1))

n(n 1) (n r 1)

Lo cual prueba la primera parte del teorema. Por otro lado,

n! (n r)!(n r 1)(n r 2) (n 1)n

de donde

n(n 1) (n r 1) n!

n(n r)!

Teorema A.8 El nmero de permutaciones de n objetos (tomados todos a la vez) es

P(n, n) n!

Ejemplo A.20 De cuntas formas distintas se pueden sentar las personas a, b y c en una

tres sillas?

Solucin: En este caso, se tiene una permutacin de tres objetos (tomados todos a la vez). Por ta

3! 1 2 3 6

formas distintas. La figura A-8 puede ayudar para hacer explcitos todos los casos.

n!

(n r)!

FIGURA A-8Diagrama derbol parapermutacionesde tres objetos

a

b

c

b

c

a

c

a

b

c

b

c

a

b

a


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Ejemplo A.21 Cuntas claves de dos letras se pueden formar (sin repetir ninguna en el c

con las letras a, b, c, d?

Solucin: En este caso, son las permutaciones de cuatro objetos tomados slo dos a la vez:

P(4, 2)

3 4

12

Los cdigos son: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc.

Ejemplo A.22 Se desea formar placas para automvil con tres dgitos del 0 al 9. Pero se p

que existan repeticiones de cada dgito. Cuntas placas distintas es posible formar?

Solucin: En este caso, el primer dgito se puede elegir de entre 10, el segundo de entre 10 y

cero de entre 10 (pues es vlido repetir dgitos), entonces, por el principio fundamental del co

nmero de placas distintas es

10 10 10 103 1,000

A.7 CombinacionesEn las permutaciones, el orden es sustancial para diferenciar un caso de otro. As, en una pe

cin, la palabra abc es distinta de acb. Suponga que desea formar un comit de tres personas d

un grupo de 6 y que las letras a, b, c, d, e,frepresentan a las personas. Entonces, el comit fo

por a, b y c es el mismo que el formado por a, c y b; es decir, en este proceso, el orden no im

a diferencia de lo que sucede en las permutaciones. Cuando esto sucede se dice que se form

combinacin. En realidad, en este caso, estamos interesados en el nmero de subconjuntos c

elementos que se pueden formar con los elementos del conjunto {a, b, c, d, e,f}, pues, como

mos, en un conjunto no importa el orden en el que aparecen sus elementos sino los element

contiene para diferenciarlo de otros conjuntos.

Definicin A.14 Una combinacin de n objetos tomando ka la vez, es cualquier subconjunto

dinalidad kde estos n objetos.

Supongamos que tenemos n objetos, a1, a2, . . . , an y queremos conocer el nmero de com

ciones de kobjetos que podemos formar con ellos. Representemos este nmero con nCk. Una

conbinaciones es {a1, a2, . . . , ak}. Note que la permutacin a1a2. . . akproduce k! permutacion

tintas de los n objetos tomados ka la vez. Por tanto, se tiene que

k!nCk P(n, k)

2! 3 4

2!

4!

2!

4!

(4 2)!

abc acb

bac bca

cb cba

La siguente tabla contiene las formas distintas en las que se pueden sentar las tres persona


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es decir,

k!nCk(n

n!

k)!

por tanto

nCk

Con lo que hemos probado el siguiente teorema.

Teorema A.9 El nmero de combinaciones de n objetos tomados ka la vez est dado por

nCk

Existe una notacin clsica en lugar de nCk para representar el nmero de combinaciones

tacin, que emplea el coeficiente binomial. Se describe como

en lugar de

nCk

pues es ms sencillo recordar la frmula

mediante esta notacin que empleando nCk. Adems, este coeficiente est relacionado con o

portante tema de las matemticas el llamado teorema del binomio.

Ejemplo A.23 Encontrar el nmero de distintos comits de tres elementos que es posible f

a partir de un grupo de 6 personas.

Solucin: Para este caso, n 6 y k 3, entonces la respuesta est dada por

4 5

20

4 5 6

3!

3! 4 5 6

3! 3!

6!

3! 3!

6!

3!(6 3)!6

n!

k!(n k)!

n

k

n

k

n!

k!(n k)!

n!

k!(n k)!


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A.8 Teorema del binomioTeorema A.10 Si a y b son nmeros reales; entonces,

(a b)n n

k0

ankbkEjemplo A.24

(a b)4

4

k0

a4kbk

a4 a3b a2b2 ab3 b4 a

4 4a

3b 6a

2b2 4ab

3 b

4

4

4

4

3

4

2

4

14

4

k

n

k

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