ABACOM Boletín Matemático

¿Qué es Educación 2020?

Se trata de un movimiento ciudadano que nació en Septiembre de 2008 y que busca impulsar políticas públicas que le cambien la cara a la educación en nuestro país, para que en el año 2020 contemos con una educación de calidad y con equidad para todos.

¿Un sueño? ¿Un imposible? No lo creen así al menos quienes han creado este movimiento y lo han impulsado a través de tres años, reclutando una gran cantidad de personas que están convencidos de poder lograr sus me-tas.

Educación 2020 nació a raíz de una columna sobre el estado de la educa-ción en Chile publicada en una revista de circulación nacional, por Mario

Waissbluth, actual Coordinador Na-cional y Presidente del Directorio de Educación 2020. Él es Ingeniero Civil Químico de la U. de Chile, Doctor en Ingeniería de la U. de Wisconsin y profesor del Departamento de Ingenie-ría Industrial de la U. de Chile.

Actualmente son más de 70.000 chile-nos adheridos a esta causa. El trabajo de Educación 2020 se centra en la pre-

sión por el cambio de políticas públi-cas a nivel de autoridades y actores implicados, pero también movilizando y empoderando a la ciudadanía para que exija este cambio.

Educación 2020 está compuesto por un Directorio, un staff de profesiona-les, voluntarios que donan horas de trabajo y una gran cantidad de adhe-rentes. Hoy es jurídicamente una Fun-dación y es financiada con aportes pri-vados y de ciudadanos comunes y co-rrientes que se han comprometido con esta causa. Toda la información respecto a Educa-ción 2020 y la forma de cooperar con esta loable iniciativa puede encontrar-se en www.educacion2020.cl

Fundación Educación 2020 es una ins-titución transversal y pluralista, inde-pendiente de todo partido político, mo-vimiento o ideología, no confesio-nal. Tiene como objeto único la educa-ción en sus diversos aspectos, inclu-yendo, entre otros, la calidad, equidad, carrera docente, fomentar y estable-cer acuerdos, convenios y alianzas entre los diversos actores ligados a la educación, tanto públicos como priva-dos, incluyendo colegios, expertos y medios de comunicación. La Funda-ción mantiene líneas de trabajo y diá-logo con el Ministerio de Educación, Parlamento y autoridades regionales y locales.

Esperamos que se cumplan los objeti-vos que esta Fundación persigue y ten-gamos, antes del término de la segun-da década de este siglo, una educación de calidad y con equidad para todos.

JULIO 2011JULIO 2011JULIO 2011JULIO 2011

AÑO 10 N° 39AÑO 10 N° 39AÑO 10 N° 39AÑO 10 N° 39

Editorial EDUCACIÓN 2020

En esta edición

Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: abacom@uach.cl

pág Reflexiones

• Visión e Importancia de los Es-

tándares en Educación. ........... .2

Poesía Matemática ......................... .3

Anécdotas Matemáticas.. ............... .3

Cuerpos Sólidos ............................. .4

Tales de Mileto • El Primero de los Siete Sabios

Griegos.................................... .6

• Las Pirámides, el Negocio de las

Aceitunas y el Matrimonio. .... .6

• El Teorema de Tales. .............. .7

• El Pensamiento de Tales. ........ .7

La Huella de Carbono .................... .8

¿Qué son los Gases de Efecto Inver-nadero?....................................... .9

Concurso • Desafío a tu Ingenio.. ........... ..10

• Sopa Matemática .................. .10

Ciencia Entrete • Albert Einstein, las Abejas y el

2012………………………. . .11

• Talento Matemático .............. .11

• Humor ................................... .11

Noticias • 13° Juegos Inter-Regionales....12

• XXIII Olimpíada Nacional de

Matemática………………..…..12

• VII Olimpíadas Provinciales de

Matemática………………..…..12

J U L I O 2 0 1 1

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Daniel Sánchez Ibáñez (*)

Visión e Importancia de los Estándares en

la Educación y su Relación con las TIC

ABACOM Boletín Matemático

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media. Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad

Austral de Chile. Director: Juan Leiva V. / Director Alterno: Víctor Alvarado A. / Redacción Periodística:

Carolina Leiva C./ Colaboradora: Andrea Cárcamo B. / Web Master: Edinson Contreras R. Centro de Docencia de CCBB / Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. / Casilla 567 Valdivia.

E.mail: abacom@uach.cl / Fono (63)221828 / Fax (63)293730 www.uach.cl/abacom

REFLEXIONES

Los nuevos desa�os educacionales naci-

dos con la incorporación de las tecnolo-

gías en información y comunicación (TIC)

y la necesidad de responder sobre la vera-

cidad del sistema enseñanza-aprendizaje

llevan a los educadores y docentes a bus-

car referencias y ordenamientos para

aprender y evolucionar con ellos. Tales

referencias y pilares de orden pueden ser

encontradas, desarrolladas, observadas y

finalmente evaluadas por estándares.

Enfocándonos en el ámbito educa)vo e

incorporando las TIC, se conoce el concep-

to de estándar, según la ISTE1, como “el

conjunto de normas o criterios acordados

que establece una meta que debe ser al-

canzada para asegurar la calidad de las

ac�vidades que se realicen a través del

uso de las TIC en el contexto educa�vo”.

Estas ac)vidades y estándares deberán

orientar tanto en los contenidos como en

la formación docente. Así, y según el MI-

NEDUC, los estándares son “patrones o

criterios que permiten emi�r juicios sobre

el desempeño docente de los futuros edu-

cadores y fundamentar las decisiones que

deberán tomarse.”

La incorporación de estándares nacionales

en educación genera una “visión de lo que

debiera ser la educación”, empezando por

la creencia de que “todos los niños pueden

aprender a niveles altos” asegurando

igualdad de oportunidades. Además, y

según diversas evaluaciones y compara-

ciones internacionales, “el sólo hecho de

elevar las expecta�vas puede mejorar el

desempeño escolar del estudiante”.

En Chile, se esta empezando a dimensio-

nar cuan importante es la introducción de

tecnologías en la formación docente, en

especial al orientar este conocimiento y

habilidad en las ins)tuciones de educación

superior. Para ello el MINEDUC ha desa-

rrollado minuciosamente 16 estándares

de Tecnología de la información en el cu-

rrículum de formación inicial docente.

A par)r de estos estándares se destaca la

importancia de inves)gar acerca de cómo

están influyendo las TIC en nuestra educa-

ción, pues es a través de los resultados

obtenidos en las encuestas que se pueden

obtener las potencialidades o falencias de

la incorporación de éstas en el sistema

educacional chileno. La encuesta

“Educación en la sociedad de la informa-

ción2”, nos hace evidente las grandes dife-

rencias del uso de las TIC entre los secto-

res educa)vos privados (80%) y los sub-

vencionados o municipales (40%). Ade-

más, determinan que aún existen diferen-

cias en el uso de las TIC entre los estudian-

tes y profesores (estos úl)mos en su ma-

yoría no recibieron preparación TIC en su

formación inicial). Es a par)r de esto que

se destaca la relevancia de formar a los

profesionales de la educación con vigencia

y a la vanguardia de las TIC cobrando im-

portancia esencial la aplicación de están-

dares para lograr la calidad tan añorada

en la educación.

Son innumerables los potenciales efectos

educa)vos al adoptar estos estándares,

entre ellos se pueden mencionar: el lograr

que los alumnos se desenvuelvan sa)sfac-

toriamente en la sociedad del conocimien-

to, el poder expandir lo aprendido, el lo-

grar que como sociedad se actúe con res-

ponsabilidad y op)mización al momento

de u)lizar las TIC desarrollando habilida-

des que permitan a los alumnos y profeso-

res el aprendizaje permanente de nuevas

tecnologías, el op)mizar procesos de en-

señanza con docentes capacitados y estu-

diantes recep)vos a las TIC.

En conclusión los estándares son benefi-

ciosos en el ámbito educa)vo proporcio-

nando niveles académicos más altos para

los estudiantes y para los profesores, me-

jorando por ende la calidad de la educa-

ción. Los estándares educacionales no se

deben confundir con reglamentos estric-

tos ya que deben ser con)nuamente eva-

luados y op)mizados. Más aun, los están-

dares cumplen una valiosa función coordi-

nadora, son necesarios para ofrecer igual-

dad de oportunidades, y junto con las

evaluaciones, proporcionan una comuni-

cación ac)va entre los profesores, los es-

tudiantes y las familias.

1 Interna)onal Society for Technology in Educa-

)on 2

Realizada por: Collect, Inves)gaciones de

Mercado y ENLACES; Centro de Educación y

Tecnología del MINEDUC.

(*) Ingeniero Acús)co. Profesor de Matemá)-

cas del Centro Trapananda, Coyhaique. UACh.

3

ABACOM Boletín Matemático

Qué sed

de saber cuánto!

Qué hambre

de saber

cuántas

estrellas tiene el cielo!

Nos pasamos

la infancia

contando piedras, plantas,

dedos, arenas, dientes,

la juventud contando

pétalos, cabelleras.

Contamos

los colores, los años,

las vidas y los besos,

en el campo

los bueyes, en el mar

las olas. Los navíos

se hicieron cifras que se fecundaban.

Los números parían.

Las ciudades

eran miles, millones,

el trigo centenares

de unidades que adentro

tenían otros números pequeños,

más pequeños que un grano.

El tiempo se hizo número.

La luz fue numerada

y por más que corrió con el sonido

fue su velocidad un 37.

Nos rodearon los números.

Cerrábamos la puerta,

de noche, fatigados,

llegaba un 800,

por debajo,

hasta entrar con nosotros en la

cama,

y en el sueño

los 4000 y los 77

picándonos la frente

con sus martillos o sus alicates.

Los 5

agregándose

hasta entrar en el mar o en el deli-

rio,

hasta que el sol saluda con su cero

y nos vamos corriendo

a la oficina,

al taller,

a la fábrica,

a comenzar de nuevo el infinito

número 1 de cada día.

Tuvimos, hombre, tiempo

para que nuestra sed

fuera saciándose,

el ancestral deseo

de enumerar las cosas

y sumarlas,

de reducirlas hasta

hacerlas polvo,

arenales de números.

Fuimos

empapelando el mundo

con números y nombres,

pero

las cosas existían,

se fugaban

del número,

enloquecían en sus cantidades,

se evaporaban

dejando

su olor o su recuerdo

y quedaban los números vacíos.

Por eso,

para ti

quiero las cosas.

Los números

que se vayan a la cárcel,

que se muevan

en columnas cerradas

procreando

hasta darnos la suma

de la totalidad de infinito.

Para ti sólo quiero

que aquellos

números del camino

te defiendan

y que tú los defiendas.

La cifra semanal de tu salario

se desarrolle hasta cubrir tu pecho.

Y del número 2 en que se enlazan

tu cuerpo y el de la mujer amada

salgan los ojos pares de tus hijos

a contar otra vez

las antiguas estrellas.

Y las innumerables

espigas que llenarán

la tierra transformada.

Pablo Neruda

´ Poesía Matemát icaPoes ía Matemát icaPoes ía Matemát icaPoes ía Matemát ica

Oda a los Números

ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS

COLE Y LOS PRIMOS DE MERSENNE

Un Número Primo de Mersenne es un número primo, que es de la forma 2n – 1. Se denominan así en memoria del filósofo del siglo XVII Marin

Mersenne (1588 – 1648), quien elaboró una lista de este tipo de números, donde incluyó al número 267 – 1.

En Octubre de 1903, el matemático estadouniden-

se Frank Nelson Cole (1861-1926) - en la foto - anun-ció una conferencia durante la reunión anual de la Ame-

rican Mathematical Society (AMS) titulada Sobre la

factorización de grandes números. Llegado el día, Cole se levantó y fue caminando a la pizarra sin decir una

palabra. Luego calculó a mano el valor exacto de 267 y le restó cuidadosamente el 1. A continuación, efectuó la multiplicación entre los números 193.707.721 y 761.838.257.287. Los resultados de ambas operaciones r e s u l t a r o n s e r i g u a l e s ( e l v a l o r e s 147.573.952.589.676.412.927). Tras dicha demostra-ción, que duró una hora, Cole volvió en silencio a su asiento, y según cuenta la leyenda, aquélla fue la primera y única charla durante la reunión de la AMS en la que la audiencia irrumpió en aplausos. No hubo preguntas.

Hoy en día cualquier computador puede encontrar esta factorización en menos de un segundo, pero en aquellos tiempos – tal y como él mismo declaró después – a Cole le costó los domingos de tres años encontrar ambos nú-meros.

Actualmente, sólo se conocen 47 números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos 243.112.609 − 1, un nú-mero de casi trece millones de cifras.

J U L I O 2 0 1 1

4

Víctor Alvarado Alvarado

REPRESENTACIÓN PLANA DE LOS POLIEDROS REGULARES

Como la representación gráfica de los poliedros puede

ser complicada, a cada poliedro convexo le asociamos un

diagrama plano que recibe el nombre de grafo. En la edi-

ción N° 28 de 2008 se trató el tema de Teoría de Gra-

fos: “Uniendo vértices, formando caminos”.

Para hallar el grafo de un poliedro regular, suponemos

que éste es transparente y dibujamos lo que visualiza-

mos. Lo que hacemos es proyectarlo sobre un plano a

partir de un punto que no pertenezca al cuerpo. El grafo

que se obtiene tiene el mismo número de aristas y de

vértices, pero una cara menos (cara desde la cual se

realiza la proyección).

Para el caso del hexaedro (cubo), la figura que se obtie-

ne es:

Los grafos de los cinco poliedros regulares son:

Tetraedro Octaedro Hexaedro

Icosaedro Dodecaedro

FÓRMULA DE EULER Y OTRAS PRUEBAS DE QUE LOS POLIEDROS REGULARES SÓLO SON CINCO Para los polígonos regulares usamos la notación (p,q)

( Símbolo de Schläfli) donde p es el número de lados de

cada cara y q es el número de aristas que llegan a cada

vértice.

Si c es el número de caras, a el número de aristas y v es

el número de vértices del poliedro regular, como cada

cara tiene p aristas, pc es el número total de aristas,

cada una contada dos veces pues cada una comparte dos

caras: pc = 2a . Por otro lado, a cada vértice concurren

q aristas, de modo que qv es el número total de aristas,

cada una contada dos veces: qv = 2a .

Así tenemos que:

pc = 2a = qv (1)

Para cualquier grafo plano conexo, se verifica la Fórmula

de Euler para Grafos: c + v = a + 1.

Esta fórmula se puede aplicar a cada uno de los grafos

planos obtenidos para los poliedros regulares, pero, co-

mo al proyectar sobre el plano habíamos perdido una

cara, la fórmula correcta a usar en el caso de nuestros

poliedros, es:

c + v = a + 2 (2)

que es equivalente a la Fórmula de Euler para Poliedros:

v - a + c = 2, que se vio en la edición anterior.

Usando las relaciones (1) y (2) podemos dar otra demos-

tración de que son cinco los poliedros regulares.

a a

c v a ap q

2 2+ = + 2 + = + 2⇒

En la edición Nº 38 de ABACOM empezamos a mencionar en forma más extensa algunas propiedades de los poliedros regulares. En este número entregamos otras informaciones importantes de dichos cuerpos.

5

ABACOM Boletín Matemático

Pero, como p, q ≥ 3, entonces se muestra que las únicas

posibilidades para que p, q satisfagan la desigualdad

anterior es que (p,q) sea alguno de los pares :

(3,3), (4,3), (3,4), (5,3), (3,5).

Otra forma de mostrar que sólo son cinco los poliedros

regulares, de forma geométrica (basada en los Elemen-

tos de Euclides), es la siguiente:

Cada vértice une al menos tres caras (si fuesen dos ca-

ras no sería vértice sino punto de una arista).

En cada vértice del poliedro, la suma de los ángulos de

las caras debe ser menor que 360° (si no, sería vértice

en un plano, y no se formaría un poliedro en el espacio).

Como consecuencia de los dos puntos anteriores, debe

haber un mínimo de tres ángulos, y cada uno debe medir

menos de 360° / 3 = 120°. Los ángulos del hexágono re-

gular son de 120°, de manera que ningún polígono regu-

lar con más de cinco lados sirve para construir polie-

dros regulares.

Veamos de qué tipo pueden ser las caras del poliedro

regular:

• Triángulos equiláteros:

Como cada ángulo mide 60°, pueden considerarse tres,

cuatro o cinco caras con dicho vértice, dando origen al

tetraedro, al octaedro o al icosaedro (Con seis caras

llegamos a 360°).

• Cuadrados:

Como cada ángulo mide 90°, sólo pueden considerarse

tres caras con dicho vértice, (con cuatro caras obte-

nemos 360°), dando origen al tetraedro.

• Pentágonos regulares:

Ahora, como los ángulos son de 108°, sólo es posible

considerar tres caras que lleguen a un vértice, obte-

niéndose el dodecaedro.

NÚMERO DE VÉRTICES, ARISTAS Y CARAS DE LOS POLIEDROS REGULARES

Usando nuevamente las relaciones:

pc = 2a = qv , c + v = a + 2,

se puede expresar v, a, c en términos de p y q :

Así para los poliedros regulares tenemos:

⇒p q a1 1 1 1

+ = +2

⇒p q1 1 1

+ > , pues a > 0 .2

v = 4 p / (2p + 2q - pq)

a = 2pq / (2p + 2q - pq)

c = 4q / (2p + 2q - pq)

p 3 3 4 3 5

q 3 4 3 5 3

c 4 8 6 20 12

v 4 6 8 12 20

a 6 12 12 30 30

Tetra

edro

Hex

aedr

o

Octae

dro

Dod

ecae

dro

Icosae

dro

Tetraedro Octaedro Hexaedro Icosaedro Dodecaedro

Radio Esfera Inscrita

6 a

12

6 a

6

1 7+3 5 a

2 6

1 25+11 5 a

2 10

Radio Esfera Circunscrita

6a

4

2a

2

3a

2

110+2 5 a

4

3 + 15a

4

Área de una Cara

23a

4

23a

4

23a

4

25 5+2 5 a

4 5

Área Total

25+2 515 a

5

Volumen Total

32a

12

32a

3

35 7+3 5 a

6 2

35 47+21 5 a

2 10

ÁREAS Y VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS REGULARES Asociado con cada poliedro regular existen tres esferas concéntricas: la Esfera Inscrita, que es tangente a las caras, la Esfera Media, que es tangente a cada arista, y la Esfera Circunscrita, que pasa por cada vértice.

El Área Total de un poliedro

regular se determina calculan-

do el área de una cara y multi-

plicando por el número de ca-

ras.

El Volumen de un poliedro re-

gular se calcula dividiéndolo en

tantas pirámides como caras

tiene el poliedro, de bases esas

caras y de vértices el centro

de la esfera inscrita al polie-

dro. El volumen del poliedro es

el producto del número de ca-

ras de él por el volumen de

una de esas pirámides.

(a = longitud de cada arista).

3a

26a

2a

1a

2

23 a 22 3 a 25 3 a

Juan Leiva Vivar

6

J U L I O 2 0 1 1

El genio de Tales queda reflejado en algunas anécdotas de su vida en las que destacó por sobre el resto

de sus contemporáneos, lo que le valió que fuese nombrado entre los siete sabios griegos de la antigüe-dad.

Hacia el año 600 a.C., cuando las pirámides habían cumplido ya su segundo milenio, Tales visitó Egip-to. El faraón, que conocía la fama de Tales, le pidió que resolviera un viejo problema: conocer la altura exacta de la Gran Pirámide. Tales se apoyó en su bastón, y esperó. Cuando la sombra del bastón fue igual de larga que el propio bastón, le dijo a un servidor del faraón: "Corre y mide rápidamente la som-bra de la Gran Pirámide. En este momento es tan larga como la pro-pia pirámide".

Como comerciante también fue bri-

llante. Se cuenta de él que un año, previniendo una gran producción de aceitunas, se dedicó a comprar to-dos los lagares (prensas para hacer el aceite). Todo el mundo al verlo hacer esto se burló de él. Pero cuando se dio la abundante cose-cha, que él había previsto, todos tuvieron que comprarle o arrendarle los lagares, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia.

Aunque algunos afirman que fue casado, lo más seguro es que vivió célibe y adoptó un hijo de su her-mana. Se cuenta que en una opor-tunidad, en que su madre le insistió en que se casase, respondió que “todavía era temprano”; y ya pasa-dos algunos años, al urgirle su ma-dre, con mayor insistencia, le dijo que “ya era demasiado tarde”.

Las Pirámides, el Negocio de las Aceitunas y el Matrimonio

Nació en Mileto alrededor del año 640 a.C. Su padre fue Examio y su madre Cleobulina, de la familia de los Telidas, que eran fenicios muy nobles.

En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió Geometría de los sacerdotes de Menfis, y Astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de Astrosofía. Como astrónomo fue muy célebre. Expli-có los eclipses de sol y de luna, predijo el

eclipse total de sol en el año 585 a.C. que fue visible en Asia Menor. También se cree que descubrió la constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna 700 veces menor que el sol.

Basado en los conocimientos de Geome-tría adquiridos en Egipto, elaboró un con-junto de teoremas generales y de razona-mientos deductivos a partir de éstos. Todo ello fue recopilado por Euclides en su obra Los Elementos, pero se debe a Tales el mérito de haber introducido en Grecia el interés por el estudio de la Geometría. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímenes, y contemporáneo de Anaximandro.

Dirigió en Mileto una escuela náutica, y cual un actual ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas, entre las cuales constru-yó un canal para desviar las aguas del río Halis, mediante construcción de diques. Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo, que para él era un espacio racional pese a

su aparente desorden. Sin embargo, no buscó un creador en dicha racionalidad, pues para él todo nacía del agua, la cual era el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas, pues se constituye en vapor, que es aire, nubes y éter; del agua se forman los cuerpos sólidos al con-densarse, y la Tierra flota en ella. Aristóte-les consideró a Tales como el primero en sugerir un único sustrato formativo de la materia y de explicar la naturaleza por medio de fenómenos observables y la bús-queda de causas en el mismo entorno natu-ral.

Tales era un hombre esencialmente prácti-co: comerciante, hábil en ingeniería, astró-nomo, geómetra, estadista. Se le considera como el primero entre los Siete Sabios Griegos de la antigüedad.

Tales falleció en Mileto alrededor de 560 a.C. Su muerte ocurrió estando en unos espectáculos gimnásticos, afligido del calor, sed y debilidad propia de su edad.

El Primero de los Siete Sabios Griegos Tales destacó en Geometría, Filosofía, Astronomía, Ingeniería Naval, Comercio, etc., Es conocido por todos los estudiant es debido a su famoso teorema (Teorema de Tales).

7

ABACOM Boletín Matemático

El Teorema de TalesEl Teorema de Tales A Tales se le atribuyen muchos teoremas de la geometría elemental, entre ellos los siguientes:

1.- Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. 2.- Un círculo es bisectado por cualquier diámetro. 3.- Los ángulos opuestos entre dos líneas rectas que se cortan son iguales. 4.- Dos triángulos son congruentes si ellos tienen dos ángulos y un lado

igual. 5.- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Pero el Teorema más conocido es el llamado Teorema de Tales , cuyo enun-ciado es el siguiente:

Gráficamente tenemos: L1 // L2 // L3 ⇒ a / b = c / d

Este teorema es muy utilizado en la semejanza de triángulos y también per-mite algunas construcciones geométricas con regla y compás, por ejemplo: División de un segmento en un cierto número de part es:

Suponga que se tiene un segmento , que se quiere dividir en n partes de igual longitud. Para ello se construye, a partir de A, un rayo, que no contenga al segmento. Sobre el rayo se copian, con un com-pás, n segmentos iguales, obteniendo así n puntos sobre el rayo: P1 ,…, Pn. A continuación se une el punto B con Pn , y se trazan paralelas a , lo que determina una división del seg-mento en n partes iguales. Por ejemplo para dividir un segmento en 5 partes, la construcción es:

División de un segmento en una razón dada:

Para dividir un segmento en una razón dada, por ejemplo m : n, basta con dividir el segmento en m + n partes iguales y el punto correspondiente a Pm divide al segmento en dos partes que están en la razón m : n.

EL PENSAMIENTO EL PENSAMIENTO

DE TALESDE TALES “La esperanza es el único bien co-mún a todos los hombres. Los que todo lo han perdido, la poseen aún”.

△ △ △ △ △

“Toma para tí los consejos que das a otro”.

△ △ △ △ △

“Muchas palabras no dan prueba del hombre sabio, porque el sabio no ha de hablar sino cuando la necesidad demanda, y las pala-bras han de ser medidas y corres-pondientes a la necesidad”.

△ △ △ △ △

“La cosa más difícil es conocernos a nosotros mismos; la más fácil es hablar mal de los demás”.

△ △ △ △ △

“La felicidad del cuerpo se funda en la salud; la del entendimiento, en el saber”.

△ △ △ △ △

“El placer supremo es obtener lo que se anhela”.

△ △ △ △ △

“De los seres, el más antiguo es Dios, por ser ingénito; el más her-moso es el mundo, por ser obra de Dios; el más grande es el espacio, porque lo encierra todo; el más veloz es el entendimiento, porque corre por todo; el más fuerte es la necesidad, porque todo lo vence; el más sabio es el tiempo, porque todo lo descubre”.

△ △ △ △ △

“Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales entonces los segmentos que se determinan en las rectas son respecti-vamente proporcionales entre sí.”

L2

L1

L2

L1

L2

L1

a

b

c

d

a

b

c

d

a c

b d L3 L3 L3

AB

B Pn

AB

A

P1

B

P2

P3

P4

P5

J U L I O 2 0 1 1

¿Qué es la Huella de Carbono? La huella de carbono es la totalidad de gases de efecto invernadero (GEI) emitidos por efecto directo o indirecto de un individuo, organización, evento o producto. Bajo esta mirada, la huella de carbono, representa una medida para la contribución de las organizaciones a ser entidades so-cialmente responsables y un elemento más de conciencia-ción entre los ciudadanos de prácticas más sostenibles. Por medio de esto, se pretende cuantificar la cantidad de emisiones de GEI, medidas en emisiones de CO2 equiva-lente, que son liberadas a la atmósfera debido a nuestras actividades cotidianas o a la comercialización de un pro-ducto. Este análisis abarca todas las actividades de su ciclo de vida (desde la adquisición de las materias primas hasta su gestión como residuo) permitiendo a los consumidores decidir qué alimentos comprar en base a la contaminación generada como resultado de los procesos por los que ha pasado. La medición de la huella de carbono de un producto crea verdaderos beneficios para las organizaciones. La huella de carbono identifica las fuentes de emisiones de GEI de un producto. Esto por lo tanto permite definir mejores obje-tivos, políticas de reducción de emisiones más efectivas e iniciativas de ahorros de costo mejor dirigidas, todo ello consecuencia de un mejor conocimiento de los puntos críti-cos para la reducción de emisiones, que pueden o no pue-den ser de responsabilidad directa de la organización. Un ejemplo de esta conciencia ambiental es Carbon Trust,

que es una organización sin fines de lucro del Reino Unido con la misión de acelerar la transición hacia una economía baja en carbono. Se ofrece el apoyo de especialistas para ayudar a las empresas y las emisiones del sector público a reducir el carbono, ahorrar energía y comercializar tecnolo-gías de baja emisión de carbono. Al estimular la baja emi-sión de carbono contribuyen a los objetivos claves del Reino Unido: el desarrollo de negocios de bajo carbono, el aumento de la seguridad energética y la creación de pues-tos de trabajo asociados. El sistema de etiquetado de la huella de carbono se ha ge-nerado en forma paralela, tanto desde el sector privado como a nivel gubernamental. Es así que dentro de las em-presas que han comenzado a exigir este etiquetado están WalMart (USA), Tesco (UK) y Casino (Francia), entre otras. A nivel de países, Japón y Taiwán han anunciado que pronto exigirán el etiquetado de la huella de carbono en varios productos. Otros países ya tienen muy avanzado sus esquemas de medición y etiquetados, aunque aun no defi-nen políticas de exigencias a nivel nacional. En Chile, aun-que no exista una política nacional al respecto, sí hay ini-ciativas destinadas a la medición de la huella de carbono en algunos productos de exportación, como por ejemplo, La Calculadora de Huella de Carbono para Productos Agrí-colas, que lanzó el Instituto de Investigación Agropecuaria (INIA) en conjunto con la Fundación para la Innovación Agraria (www.inia.cl), y con ella los exportadores podrán empezar a otorgar valor agregado a sus productos . Otra iniciativa es desarrollada a nivel turístico por Secret Pata-gonia, con el fin de calcular los GEI emitidos en las activi-dades turísticas, se miden las variables como el uso de vehículos motorizados, uso de leña y hasta el desplaza-miento que los clientes tienen desde sus hogares hasta el destino turístico, buscando así hacerse cargo de ellas. Certificación de Huella de Carbono en Chile y Latinoamérica

El programa de certificación en la Huella de Carbono Carbo Zero programme, es el único esquema de certificación en Chile y Latinoamérica que se encuentra acreditado interna-cionalmente para certificar en estándares internacionales como la ISO 14064-1, GHG Protocol y PAS 2050 Sin embargo, la Huella de Carbono Personal, permite a cada individuo evaluar sus emisiones de gases de efecto invernadero. Nacida bajo el liderazgo de Jean Marc Janco-vici, ha sido puesta en línea en 2007 por ADEME y el Clima Futures Association, que permite que cualquier persona pueda calcular con precisión las emisiones de gases de efecto invernadero inducidas por sus acciones, y por lo tan-to su participación en el calentamiento global en todos los ámbitos de su vida.

LA HUELLA DE CARBONO Luz Alegría Aguirre La conciencia que cada individuo debe tener en el i mpacto medio ambiental, es de vital importancia. La s socieda-des y comunidades son cambiantes, pero las funcione s básicas de supervivencia, provocadas por las nece sida-des humanas se mantienen estables, es por ello que se requiere educar a la población a realizar cambio s que permitan a las futuras generaciones poder vivir en un planeta mejor, “pequeños cambios generan grandes lo-gros”. Bajo este contexto, es que la Huella de Carb ono tiene gran importancia en estos días.

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CO2CO2

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ABACOM Boletín Matemático

Cuando los rayos solares (visible o ultravioleta) llegan y ca-lientan la superficie de la tierra, nuestro planeta emite radia-ción térmica (infrarrojo o de larga longitud de onda). Los gases presentes en la atmósfera permeables a la radiación solar, pero impermeables a la radiación térmica se denominan gases de efecto invernadero (GEI), en otras palabras son ga-ses que dejan pasar la radiación hacia la tierra y no dejan esca-par la que sale de ella. Con este mecanismo se puede mante-ner la temperatura en nuestro planeta y no perecer de frío. Aunque parezca extraño el GEI más abundante en la atmósfe-ra terrestre es…¡el vapor de agua!...pero su efecto total es me-nor ya que se remueve fácilmente de la atmósfera al formar

gotas y caer en forma de lluvia. De modo que la abundancia de un GEI no es una buena medida del efecto que produce. Debido a esto se creó el índice GWP (Global Warming Poten-tial) que es una medida de cuanto contribuye cierto GEI al calentamiento global. Este índice depende de cuanta radiación infrarroja es absorbida, del tiempo que se mantiene el gas en la atmósfera y de que parte de la radiación infrarroja absorbe. El CO2 tiene un índice GWP igual a 1 y se usa como unidad base. En la tabla, valores de GWP para algunos GEI.

¿Qué son los Gases de Efecto Invernadero? Paola Utreras San Martín (*)

GEI Fuentes (de actividad humana)

GWP

Dióxido de carbono (CO2)

- combustión fósil - producción de cemento - cambios en el uso de la tierra

1

Metano (CH4)

- combustión fósil - plantaciones de arroz - basurales

23

Perfluoroetano (C2F6)

- producción de aluminio 11900

(*) Profesora de Física del Centro de Docencia de Ciencias Básicas de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile.

Cinco pasos sencillos para reducir nuestra Huella d e Carbono en el planeta

• Ofrece una ventaja competitiva y acceso al mercado • Mejora las redes de negocios y el alcance comercial • Reduce los costos operativos • Promueve el liderazgo empresarial proactivo • Evita acusaciones de "lavado verde" o “greenwash” • Ayuda a comprender la posible exposición al riesgo • Garantiza la tranquilidad con respecto a nueva legislación

sobre el cambio climático

• Hace frente a las preocupaciones de consumidores, ac-cionistas e inversionistas

• Ayuda a entender las responsabilidades inherentes a las emisiones de carbono

• Reduce el riesgo de una mala reputación y los costos asociados a ésta

• Permite presentar con confianza sus credenciales de con-formidad ambiental y logros en la mitigación de GEI

Ventajas de la Certificación de la Huella de Carbon o

4480 Kg Emisiones CO2 por Persona Media Global

Ajustar el Termostato

Subir 2° en Invierno Bajar 2° en Verano

Reducir Basura Evitar productos con

muchos envases Usar bolsas de basura y botellas reutilizables

Conducir Menos Conducir 50 Km.

menos cada semana

Lavar Ropa con Agua Templada

Reducir el lavado dos veces a la semana a 40° en vez de agua caliente

Cambiar una Ampolleta

Reemplazar una ampolleta normal por una de bajo consumo

Reducción en 900 Kg

Reducción Total de 2150 Kg

Reducción en 500 Kg Reducción en 450 Kg Reducción en 225 Kg Reducción en 75 Kg

J U L I O 2 0 1 1

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Viola García Paredes

Problema 1: ¿Cuáles son los signos?

Una posible solución es:

(0! + 0! + 0!)! = 6

(1 + 1 + 1)! = 6

2 + 2 + 2 = 6

3 x 3 – 3 = 6

5 + 5 : 5 = 6

6 + 6 – 6 = 6

7 – 7 : 7 = 6

(log 10 + log10 + log10)! = 6

Problema 2:

El Regalo de Bodas

Si observamos que: 55 + 89 = 144; 89 + 144 = 233; 144 + 233 = 377; 233 + 377 = 610; Entonces la sucesión es: 55, 89, 144, 233, 377, 610; y por tanto la transferencia entre 89 y 233 debe ser de 144 Euros y la mayor que 377 debe ser de 610 Euros. Esta sucesión es parte de la Suce-sión de Fibonacci (ver ABACOM 2) que es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … Los dos pri-meros términos son 1, 1 y cada uno de los términos siguientes se obtiene sumando los dos anterio-res.

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 38

EDICIÓN Nº 39EDICIÓN Nº 39EDICIÓN Nº 39

Te proponemos que descubras diez (10) pala-bras relaciona-das con Tipos de Funciones . Pueden encon-trarse en forma vertical, horizon-tal o en diagonal, de arriba hacia abajo (o vicever-sa), de izquierda a derecha (o vi-ceversa).

E O S B C A R E T A

A T E I O X I L C C

C A N Y N I O I H I

I S O E T Ñ M N E T

D E I C I O A E R A

O N D T N C R A P R

I K A I U U E L I D

R I L V A Y B R O A

E O V A T A I R C U

P L A N O I C A R C

Envía tus soluciones

(indicando Nombre, Colegio y Curso) a

A B A C O M Boletín Matemático Casilla 567 Valdivia · Fax (63) 293730

email: abacom@uach.cl

Recepción de soluciones hasta: 23 de Septiembre de 2011

4 + 4 + 4 = 6

8 8 8 = 6− +

9 9 9 =6−x

PROBLEMAS EDICIÓN Nº 39

Problema 1: El Valor de la Expresión

Si abc =1 ¿cuál es el valor exacto de la expresión siguiente?

Problema 2: Los 3 Sombreros

En una mesa hay tres sombreros negros y dos blancos. A tres personas, en fila india, se les coloca un sombre-ro a cada uno al azar sin que ellos vean el color. Se le pregunta al 3°, que ve el color del 2° y del 1°, si puede decir el color de su sombrero y responde que no. Se le pregunta al 2°, que ve el color del 1° y tampoco puede responder a la pregunta. Por último se le pregunta al 1° de la fila, que no ve ningún sombrero y responde acertadamente el color de su sombrero. ¿Cómo dedujo el color?

1 1 1

1 1 1a ab b bc c ac+ +

+ + + + + +

B O R D E A R T E T

L M I P S U J A S E

E P O I G L O S T O

O V A R E F S E R R

T E B A D U R D P E

E R O M I N E R O M

A T S I R A I Y C O

P I M D X S T L H B

O C C E M A S V I U

R E H A C I O N O C

SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 3SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 3SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 38

Las palabras re-

lacionadas con

Cuerpos Sóli-

dos son:

Arista, Cilindro,

Cono, Cubo, Es-

fera, Hexaedro,

Pirámide, Pris-

ma, Tetraedro,

Vértice.

rsoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcurso

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ABACOM Boletín Matemático

H H H

UUU

MMM

OOO

RRR

El profesor de Matemáticas hace pasar a la pizarra a un alumno y le dice: - Veamos si tienes talento matemático; explícanos, paso a paso, qué harías para freír un par de huevos, suponiendo que tienes el aceite, los huevos y los fósforos encima de la mesa de la cocina, y el sartén en el armario.

El alumno, asombrado ante esta pregunta, responde: - Con los fósforos encendería la cocina, sacaría el sartén del armario, echaría aceite en el sartén, pon-dría el sartén en el fuego, esperaría a que se calen-tara, rompería luego los huevos, los echaría en el sartén, ..."

A cada paso explicado, el profesor decía: - Bien, vas bien, sigue, sigue. Cuando terminó, le dijo al alumno: - Ahora, explica de nuevo, cómo lo harías si tuviese el sartén ya encima de la cocina.

El alumno, más asombrado aún, respondió, más o menos, como antes: - Tomaría los fósforos, encendería la cocina, echaría aceite en el sartén, pondría el sartén al fuego,...

Acabada la explicación, el profesor le dijo: - ¡No tienes ta-lento matemáti-co! … un mate-mático hubiera contestado:… "metería el sar-tén en el arma-rio y aplicaría el método del ca-so anterior"…

MAMÁ, ME SAQUÉ UN 3,1 EN ESTADÍS-TICA, ... PERO SÓLO APROBÓ EL 6,4 DE LOS ALUMNOS ...

... LO QUE ME DE-JARÍA DENTRO DEL RANGO SIGMA, SI APLICAN LA REGLA DE GAUSS...

¿. . .?

TALENTO MATEMÁTICO Albert Einstein, las Abejas y el 2012 Albert Einstein dijo una vez: “Cuando la última abeja

desaparezca de la super-

ficie de la tierra, al hom-

bre le restarán cuatro

años de vida.

No más abejas, no más

polinización, no más

plantas, no más anima-

les, no más hombre.” Aún no hemos llegado a ese punto, pero algunos

indicadores son preocupantes, ya que muestran caídas dramáticas en la población de las abejas en USA, en Europa y también en Sudamérica, en particular en Chile. Pero, ¿por qué está ocurriendo esto? Hay varias teorías al respecto. Hay evidencia de que el sistema inmunológico de las abejas ha sido afectado de manera negativa por las prácticas de la agricultura moder-na. Esto va desde el uso de insecticidas hasta el criadero controlado de abejas para tener un ejército de polinizadores listos para servir a los cultivos. Algunos investigadores opinan que los cultivos genéticamen-te modificados son un factor que contribuye a que la población de abejas haya disminuido. Los accesorios de alta tecnología, especialmente los celulares, también han afectado a las abejas. Una investigación realizada en la Universi-dad de Landau, Alemania, determinó que las abejas evitaban regresar a su colmena cuando se colocaban antenas de celulares cerca. La otra causa puede ser la actividad solar. Según la matemática Bárba-ra Shipman, el comportamiento de las abejas está influenciado por la polarización de la luz del sol y las variaciones del campo magnético terrestre. Según muchos científicos la actividad solar en el próximo año, es de-cir … el 2012, puede ser una de las más intensas de la historia, de modo que la fatídica profecía al respecto podría cumplirse a través de estos esforzados y trabajadores insectos.

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Carolina Leiva Cádiz

J U L I O 2 0 1 1

Los Juegos Matemáticos Inter-Regionales son una competencia de resolución de problemas de matemá-tica organizado por el Colegio San Mateo de Osorno.

En estos Juegos se pretende incenti-var y propiciar el cultivo de la Mate-mática en los alumnos de 7º Básico a 4º Medio.

Se pretende fomentar en los alum-nos, con habilidades en Matemática, la investigación y la profundización de contenidos que son necesarios para un buen desempeño en la Mate-mática Superior. Además se preten-de fomentar el trabajo en equipo, elemento importante para el buen éxito en la investigación y profundiza-

ción de elementos matemáticos, en su análisis y verificación de propieda-des.

Hasta el año pasado, este concurso se realizó con la participación de 70 colegios desde Temuco hasta Coyhaique, contando con la presen-cia de 1300 alumnos, aproximada-mente.

En el desarrollo de los XIII Juegos Matemáticos Inter-Regionales 2011 colaborarán los colegios: Alemán de Temuco, Colegio Windsor School de Valdivia, Liceo Pedro Aguirre Cerda de Puerto Varas, Colegio San An-drés de Ancud, Colegio Alianza Aus-tral de Coyhaique y el Colegio Rober-to White Gesell de Palena que se acaba de integrar éste año.

El certamen se realizará en la si-guiente modalidad:

PRIMERA ETAPA: Viernes 02 de Septiembre, Prueba por Equipos en la Sede correspon-diente.

SEGUNDA ETAPA: Viernes 07 de Octubre, Prueba Indi-vidual en la Sede correspondiente.

ETAPA FINAL: Viernes 04 de Noviembre, Prueba y Exposición por Equipos en el Colegio San Mateo de Osorno.

(Colaboración del Profesor Orlando Torres).

VII OLIMPÍADAS

PROVINCIALES DE

MATEMÁTICA 2011

Este año tendrá lugar la sépti-ma versión de esta competen-cia que organiza el Liceo Isido-ra Zegers de Huneeus de la ca-pital de la Región de los La-gos.

(Información enviada por el profesor: Fernando Osorio Toledo)

Esta competencia convoca a alumnos(as) de 5º básico a 4º medio, los que serán divi-didos en cuatro series: 1º Serie: 5º y 6º básicos; 2º Serie: 7º y 8º básicos; 3º Serie: 1º y 2º medios; 4º Serie: 3º y 4º medios. Cada establecimiento que tenga Enseñanza Básica y Media puede presentar dos equi-pos por serie, de tres alumnos(as) por equi-po. Los Establecimientos que tengan sólo Enseñanza Básica o sólo Enseñanza Media podrán presentar hasta 3 equipos por serie, de tres alumnos(as) por equipo. La competencia consiste en que los(las) alumnos(as) de cada serie deberán rendir pruebas escritas por equipos o individual, cuyos contenidos aparecen en el programa del Ministerio de Educación. Se realizarán 4 etapas, divididas de la si-guiente manera: 1a Etapa (sábado 18 de Junio): Pruebas por equipos, 2a Etapa (Sábado 27 de Agosto): Pruebas individuales, 3a Etapa (Sábado 22 de Octubre): Pruebas por equipos, 4a Etapa (Sábado 19 Noviembre): Prueba y exposi-ción por equipos. La pruebas miden comprensión de enun-ciados, capacidad de relacionar, habilida-des básicas de cálculo aritmético, capaci-dad de observar, intuición geométrica y algebraicas y capacidad de encontrar ana-logías. Todas las prue-bas son elabora-das y corregidas por el Departa-mento de Mate-mática del Liceo Isidora Zegers de Huneeus de Puerto Montt.

oticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticias

13° Juegos Matemáticos Inter-Regionales Una vez más el Colegio San Mateo de Osorno organiza

esta competencia que ya es tradicional en la X Región.

El sábado 13 de Agosto se dará inicio a la Olimpíada Nacional de Matemática con la Prueba Nacional, en las diferentes sedes en todo el país.

Posteriormente se medirán los mejores en la Final Nacional que se realizará en San-tiago los días 8, 9 y 10 de Septiembre.

Te invitamos a visitar la página www.olimpiadadematematica.cl, para que te informes sobre las etapas; además encontrarás pruebas de años anteriores.

XXIII OLIMPÍADA NACIONAL DE MATEMÁTICAXXIII OLIMPÍADA NACIONAL DE MATEMÁTICAXXIII OLIMPÍADA NACIONAL DE MATEMÁTICA

LICEO ISIDORA ZEGERS

DE HUNEEUS

PUERTO MONTT