Algebra I. abstracto

La teoría de grupos

Dr. László P. Toth, profesor asociado

Universidad de Pécs

2006

Puntos tomados

Este material contiene el álgebra objeto y número 4, derecho feleves lmelet deben utilizar las tareas materiales y procesamiento teóricos Ando el grueso. También contiene unas piezas adicionales que no son obligatorios, que están ahí cos señales FF. Antes de la H señalar todas las tareas. La tareas más difíciles candidato MM.

Los primeros, Conjuntos, relaciones, funciones del capítulo titulado predecesores Al-Gebra aprendiendo los conceptos básicos en el resumen, vamos a utilizar. Vamos a utilizar los siguientes términos adicionales que son relevantes para alaptulajdonsagokat: operaciones lógicas, conjuntos de números, números complejos, los enteros se puede dividir en la saga, los mayores os públicos del instinto más pequeño os mas Img múltiple o os, maradekosztalyok (mod n), matriz de la función de Euler, determinante.

La Evidencia reclamaciones y elemento muestra algún signo ¤ texto.

Llama la atención el conocimiento exacto-definición (nombres han estado tomando los conceptos con negrita)

- Dio ejemplos de algunos de los conceptos (ruta de la señal • Por lo general, éstos están incluidos); dar, buscar otros ejemplos de una mejor comprensión de la orden material - Objeto formulación precisa y de las pruebas - para resolver la tarea de ajuste.

Para leer más

1. Szendrei John, álgebra y szamelmelet Nacional Tankonyvkiado, Budapest, 1996a

2. Szendrei Agnes, "Matemática Discreta, Polígono, Szeged, 2000a

3. Ervin Fried, álgebra general Tankonyvkiado, ¨ Budapest, 1981a

4. Laszlo Fuchs, Álgebra, Tankonyvkiado, Budapest, 1980a

5. Környei Imre Álgebra (Conferencia sobre la base de Turan Pal) Tankonyvkiado, Budapest, 1974ª Feladatgyujtemenyek

1 Arpad Varga, Abstract Algebra feladatgyujtemeny, Tankonyvkiado, Budapest, 1983a

2. Arpad Varga, Primaria Matemáticas II. (Feladatgyujtemeny), Estructuras algebraicas, UP, 2000a

3. BalintneSzendrei Maria Czédli Gabor, Szendrei Agnes, funciones algebraicas abstractas, Tankonyvki preámbulos, Budapest, 1988ª

Notas en línea

1. Kiss E., Puntos tomadas en abstracto algebraba:

http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/bboard/algebrabook 2. Marcus A., Algebra jegyzet:

http://math.ubbcluj.ro/~marcus/for_students/marcus_algebra.pdf 3. Pelikan J., Algebra: http://www.cs.elte.hu/~pelikan/algebra.html

1. Conjuntos, relaciones, funciones

1. A Clúster

Los elementos de un cierto conjunto bien definido de cosas (tema, conceptos), el conjunto de totalidad...¨ El hecho de que los componentes están incluidos en el conjunto, por lo tanto, la señal recomiendan: a ∈ A (los elementos de A); b ∈ / A de vitaminas del complejo B no pertenece.

Se determina únicamente por un conjunto de baterías. Un conjunto puede hacerse de forma que los elementos se enumeran, por ejemplo. A = {1, 2, 3,4}, B = {x, y, z} o por lo que le damos una serie de elementos característicos x T (x) calidad A = {x | O (x)} = {x: T (x)}, por ejemplo. A = {x | x ≤ x ≤ 0 y ∈R 3}. Aquí está el conjunto de los números en el texto que sigue se van a utilizar para los siguientes símbolos:

N = {0,1,2,3, ...} el conjunto de números con natural, N ∗ = {1, 2, 3, ...} = N \ {0} en el bozo cero callejón con juego natural de los números Z = {..., - 3, -2, -1,0,1,2,3, ...} de números enteros, el conjunto de los números racionales, R es el conjunto de números reales, el complejo C

Conjunto de números. Z ∗ = Z \ {0}, Q∗ = Q \ {0}, R ∗ = R \ {0}, C ∗ = C \ {0}, 2Z el conjunto entero par, 2Z + 1 juego de números enteros impares.

El conjunto vacío (sin un solo elemento) Signo: ∅. A y B son conjuntos iguales cambiar el nombre, si los elementos son los mismos, es decir, ∀ x: x ∈ A⇔ x ∈ señal B. A = B

Un subconjunto de los conjuntos B conjunto donde cada elemento de B tiene también elemento, es decir, ∀ x: x ∈ A⇔ x ∈ B, señal A = B.

Tenga en cuenta que A = B si y sólo si completa A⊆ B y B ⊆ A.

Operaciones con conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B del público un elemento de todo: A∩B = {x | x ∈ A y x ∈ B}. Si A ∩ B = ∅, entonces se dice que A y B son conjuntos disjuntos o extranjera.

El A y B se establece la unión unida ESE o la suma de los elementos que están en al menos uno de los conjuntos: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Aquí ∨ la operación "lógico o", ∧ es la operación "lógico y".

A \ B es el conjunto de diferencia es el conjunto de elementos que no pertenecen a B:

A \ B = {x|x ∈ A ∧ x ɇ B}.

Si A ⊆ E, entonces E \ A para el conjunto de la A a la E de juego suplementario o complementario a designar, marcando {E (A). Si E, también se utiliza el nombre del conjunto subyacente de fijo, a continuación, {(A) o los screwtaps.

El A y B diferencia simétrica que establece el AΔB = (A \ B) ∪ (B \ A) se establece.

1. A.1. Teorema. Si el B, C, E ⊆ posible hasta cualquier conjunto, entonces

1) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (asociatividad)

2) A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A (conmutatividad)

3) A ∩ (A ∪ B) = A, A ∪ (A ∩ B) = A (absorción)

4) ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributiva)

5) ∪ {e (A) = E {A ∩ E (A) = ∅6) {(A ∩ B) = {(A) ∪ {(B) {(A ∪ B) = {(A) ∩ {(B) (pero fórmula Morgan)

7) ∩ A = A, A = A ∪,

8) {({(A)) = A, A \ A ∩ B = {(B)

9) AΔB = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

10) = AΔB BΔA, AΔ∅ = A, = ∅ AΔA

11) (AΔB)? C = AΔ (BΔC)

12) ∩ (BΔC) = (A ∩ B) Δ (A ∩ C). ¤

Los conjuntos A y B multiplicado por Descartes cambiar el nombre de la

A × B = {(x, y): x ∈ A ∧ y ∈ B} conjunto. Aquí (x, y) de los elementos de los candidatos del partido dispuestas, donde los elementos esenciales por: (x, y) = (z, t) si y sólo si x = y = z y y=t.

Si A y B componentes de la Corte de m y n (m, n ∈N *), entonces un componente × B de la Cámara de adj.

1. A.2. Ejemplo. • A = {1, 2,3} y B = {a, b} × caso de B = {(1, a), (b 1), (2, a), (2, b), (3 a) (3 a, b)}.

General, A1, A2,..., An conjuntos Descartes multiplica A1 × A2 ×... × An = {(x1, x2,..., xn): x1 ∈ A1 ∧ ∧ A2 x2 ∈... ∧ xn ∈ Una}, donde (x1, x2,..., xn) u n. ordenado elemento n-tupla. Si A1 = A2 =... = An = A, entonces marca: ¨ × ×... × A = An.

Por ejemplo, R2 y R3 pueden ser identificados por el plano, y el conjunto de puntos prod.

Un conjunto de subconjuntos suma ¨ P (A) indican uk: P (A) = {B} B⊆A, este es el conjunto exponente. Si los elementos de la serie N (n ∈N *), la sama 2n subconjunto, es decir, el conjunto de todos los elementos exponente 2n.

1. A.3. Tareas. H 1. ¿Qué conjuntos A y B es cierto que A \ B = B \ A?

2. Cuando el H ∩ C = ∅, entonces verificar que el \ (B \ C) = (A \ B) \ C

F 3. Defina los siguientes elementos del conjunto:

A = {(x, y) × N ∈N | x 2 - (y + 1) 2} = 12.

H 4. Determinar los siguientes elementos del conjunto:

B = {(x, y) × N ∈N | x2 + 2y2 = 5}.

H 5. Probar que si A ∩ B =B y AU C = C UA, entonces A = B.

H 6. Probar que si A, B, C, D conjuntos arbitrarios, puede:

a) (A ∩ B) y (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B x D).

b) (A ∪ B) y (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B x D) Por lo general, la declaración no es verdad.

c) (A ∪ B) y C = (A × C) ∪ (B × C).

d) (A \ B) y C = (A × C) \ (B × C).

1. B relaciones

Sé posible hasta cualquier conjuntos A y B. Relación binaria renombrar brevemente la relación ρ = (A, B, R) del sistema, en el que R ⊆ A × B

El R ρ establece el gráfico, marcado: (a, b) ∈ R ⇔ aρb leer la ρ es la conexión con b-. Si no, (ρ es la relación con b) la designación: (a, b) 6∈ R⇔a6ρb.

Decimos que ρ es una comparación homogénea, si A = B; ρ la relación vacía, si R = ∅; ρ es la relación universales, donde R = A × B

En relación con el conjunto de renombrar diagonal 1A = (A, A, DA), DA = {(a, a): a ∈ A} relación. Aquí a1Ab⇔a = b.

La relación ρ menudo identifica grafico de R, por lo que la x B es la relación universal ∅ la relación vacía, DA es la relación diagonal.

1. B.1. Prov. • 1) Sea A = {a, b, c, d}, B = {1,2} y ρ = (A, B, R), donde R = {(a, 1), (a-2),

(B 2), (c, 1)}. Aquí, por ejemplo aρ1, aρ2 y c6ρ2.

• 2) Un conjunto de triángulos planos del gráfico de comparación de similitud x es un subconjunto de A, que es el triángulo juntos de manera similar consiste en paro.

• 3) La Z es el conjunto de número entero divisible por comparación de Administración de la siguiente comparación homogénea ρ = (Z, Z, R), donde R = {(a, b) ∈ Z × Z: a|b} = {(a, b) ∈ Z × Z: ∃c ∈ Z: b = ac}.

D • 4) Si A = ∅ o B = ∅, entonces sólo una ρ = (A, B, R) sostiene entiende, y es la relación vacía, que es un gráfico de R = ∅. F

Deje ρ = (A, B, R) es una relación y X ⊆ A. ρ (X) = {b ∈ B | ∃ x ∈ X: xρb relación ρ X} es el subconjunto de secciones pertinentes se llaman zzuk.¨ Aquí ρ (X) ⊆ B. Si X = {x} es un conjunto de un elemento, los datos: ¨ ρ ({x}) = ρhxi = {b ∈ B} xρb.

1. B.2. Ejemplo. • El 1.B.1 / primero Por ejemplo, dada una relación ρ ({a, b}) = {1,2}, ρ ({c, d}) = {1}, {1,2} = ρhai, ρhdi = ∅.

Las siguientes propiedades son en algunos casos exclusivamente en sentido. Relaciones homogénea

Deje que ρ = (A, A, R) es una comparación homogénea. Entonces decimos que ρ es una comparación de los conjuntos y

a) ρ reflexiva si para todo x ∈ A caso xρx (∀x ∈ A ⇒ xρx), es decir, cada elemento es la conexión

"TAL CUAL"; ¨

b) ρ transitiva si para todo x, y, z ∈ A, xρy y caso yρz xρz (∀ x, y, z ∈ A: xρy ∧ yρz ⇒ xρz), que era la cantidad de veces, si una relación de artículos, hay otro elemento en este Este último elemento es la conexión "con una tercera, la primera es la conexión con la tercera";

c) ρ simétrica si para todo x, y ∈ A, yρx caso xρy (∀x, y ∈ A: xρy ⇒ yρx), que fue el número de veces, si un artículo es la conexión de otro elemento, el segundo elemento es la relación "es la primer componente ";

d) ρ anti simétrica si para todo x, y ∈ A, xρy y yρx caso x = y (∀ x, y ∈ A: xρy ∧ yρx ⇒ x = y), que fue el número de veces, si un artículo es la conexión de otra batería y si Este último elemento

"El primero es la conexión, los dos elementos son iguales";

e) relación de equivalencia si ρ ρ reflexiva, simétrica y transitiva;

f) ρ relaciones de orden si ρ reflexiva, transitiva y anti simétrica. Entonces (A, ρ) Nombre conjunto ordenado.

1. B.3. Prov. • 1) El conjunto de relación proporción de administrado Z entero reflexiva y transitiva pero no simétrica y no anti simétrica, porque, por ejemplo 3 | - 3 y -3 | 3 pero 6 -3 = 3.

• 2) El conjunto de las N * relaciones de orden proporción de administrado y conjunto ordenado.

• 3) Para el conjunto de a ≡ b (mod n) ⇔n | a - b relación de equivalencia Congruencia.

• 4) (A, A, A * A) relación de equivalencia Universal.

Si ρ es una equivalencia de los conjuntos, la ρhxi = {y ∈ A: xρy} secciones, donde x ∈ A, Renombrar. Clases de equivalencia equivalencia clase comprende una relación fija entre sí elementos de deducir. Una equivalencia es una arbitraria de un elemento representa mucho renombrar.¨ Decimos que el elemento seleccionado en la clase de equivalencia correspondiente. Una equivalencia fija es un factor ρ conjunto se asigna a nominar: ¨ / ρhxi ρ = {x ∈ A}.

1. B.4. Prov. • 1) El conjunto de la primera, la congruencia ≡ b (mod n) relación factor de conjunto ordenado Z / ρ = {b0, b1, b2,..., n [- 1}, donde kb = {x ∈ Z: x ≡ k (mod n)} = {..., k - 2n, k - n, k, k + n, k + 2n,...}.

2) Si n = 6, entonces el (mod 6) Congruencia perteneciente a la equivalencia:

Factor 1 es un conjunto representativo de instancia de clase, pero 7,13 es representante -5.

3) A / 1A = {{x}: x ∈ A} 'es A / (A × A) = {A}.

Sea A un conjunto no vacío y (Bi) i∈I de subconjuntos de un sistema (en este caso I es un conjunto de índices llamada.): A Bi ⊆ para todo i ∈ I. Decimos que la resolución (Bi) i∈I de una clase o clasificación de A, si

a) 6 Bi = ∅, ∀i ∈ I,

b) Bi ∩ Bj = ∅, ∀i, j ∈ I, i 6 = j, es decir, cualquier de dos subconjuntos disjuntos OZO ONB,

c) A = ∪i∈I Bi, es decir, (Bi) i∈I-Unión en el subconjunto final del set.

1. B.5. Ejemplo. • A = {1,2,3,4,4,6} tiene B1 = {1,2}, B 2 = {3,4}, B3={ 5} ,B4 ={6} es un subconjunto de la clase se obtiene resolución.

El siguiente teorema muestra que la clase de equivalencia y la resolución de un préstamo Osen definen un maestro. Si se da una relación de equivalencia, a continuación, recoger la relación de los elementos y la otra en una resolución de clase se obtiene. Si se le da una clase de la resolución, se asigna a la comparación, que es la conexión entre los dos elementos, que pertenece a la misma clase. Esta será una equivalencia. Específicamente,

1. B.6. Teorema. Sea A un conjunto no vacío.

1) Si ρ es una equivalencia An, entonces el A / ρhxi ρ = {x ∈ A} es un conjunto de factor A de resolución tiene clase.

2) Sea (Bi) i∈I una resolución de clase las necesidades y entender la siguiente relación: ρ = (A, A, R), donde R = ∪i∈I (Bi x), es decir xρy⇔∃i ∈ I x, y ∈ Bi (X e Y pertenecen a la misma oferta-Bi). Entonces la equivalencia de ρ n. ¤

1. B.7. Tareas. F 1) Sea A = {1, 2, 3,4}.

a) Cuando ρ = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (2,1), (3,2), (2 3), (1,3), (3,1)}, determina la resolución clase apropiada.

b) Si π = {{1,2}, {3}, {4}}, determina la equivalencia apropiado.

2 N × N, definimos el conjunto de ρ relaciones (a, b) ρ (c, d) ⇔ a = b + c + d.

Demostrar que ρ es una equivalencia.

3. Considerar el complejo conjunto de números ρ1 y ρ2 relaciones donde zρ1w ⇔ |z| = |w| y

zρ2w ⇔ z = w = 0 arg z = arg w. Demostrar que ρ1 y ρ2 equivalencia y una representación gráfica de la C / ρ1 y C / ρ2 en clases.

4. Definir toda equivalencia A = {1, 2,3} set.

5. El nombre del conjunto de ρ comparación homogénea comparación Circular, si ∀x, y, z ∈ A, xρy, yρz ⇒ zρx. Demostrar que ρ es una equivalencia si y sólo si ρ reflexiva y circular.

Orientación. Si ρ reflexiva y circular, que es simétrico, porque si xρy entonces xρy, yρy (porque reflexividad) ⇒yρx y transitiva porque xρy, yρz zρx⇒xρz ⇒ (simetría).

6. Cuando el error en H? ¨ Todo simétrica y reflexiva relación ρ transitiva. Prueba:

"Si xρy entonces yρx debido a la simetría, y por lo tanto yρx xρy así xρx porque la relación transitiva."

Orientación. La afirmación no es cierta. Dar ejemplos en contra. La prueba "no es un error que

"Asumimos que las X-Y cómo has dado para que sea una relación, por lo que y no se ha especificado.

1C función

F = (A, B, F), F ⊆ función de A × B de comparación (o mapeo) Nombre, ¨ si para todo a ∈ A el subconjunto de sección B tiene un elemento. Esto significa que la función f es el conjunto de todos los elementos se fijan B coincidirá con el uno y sólo un elemento.

Si f = (A, B, F) es una función, f En la interpretación de un conjunto de interpretación o cambiar el nombre de rango, marcando el A=domf (f dominio). Conjunto B en el rango de f disposición, marcando B = codomf (f codominio), f (A) sección de la gama de f matriz I o imágenes, marcando f (A) = FMI y F es la gráfica de una función.

Si f = (A, B, F) es una función, se utilizan para las designaciones siguientes:

f: A → B y A → B. Si f ∈ A, entonces donde f i = {b} en un elemento importante marca prescrita b ∈ B b = f (a) o 7 → b = f (a).

NOTAS. a) Si f: A → B y f0: función → B0 A0 son iguales si y sólo si (f = f0), donde A = A0, B0 y B = f (A) = f (a0) para todo a ∈ A vez en cuando.

b) Si f: A → B es una función, y X ⊆ A, B ⊆ Y, y ∈ Y, entonces f (x) = {b ∈ B | ∃ x ∈ X: f (x) = b} = {f (x): x ∈ X} es un subconjunto de X es la imagen de la función f ¨ f-1 (Y) = {a ∈ a | ∃y ∈ Y: f (a) = y} = {a ∈ A: f (a) ∈ Y} es la imagen inversa de f en Y, Y = {y} f-1 ({y}) = f-1 (y) = {a ∈ a: f (a) = y}, el gráfico de la función de M = {(a, f (a)) ∈ a}.

1. c.1. Prov. • 1) En el ejemplo anterior, la primera relación que aparece no es una función, por ejemplo, porque ρhai = {1,2} de dos Conjunto de elementos. El ρ0 = (A, B, R 0), A = {a, b, c, d}, B = {1,2}, {R0 = (a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 2)} de relaciones de función.

2) En cualquier caso, el conjunto 1A = (A, A, DA) relación diagonal es una función de este conjunto es idéntico al nombre de esta función 1A: A → A, 1A (a) = a para todo a ∈ vez en cuando.

Funciones inyectivos, suprayectivos y biyectiva. Sea f: A → B es una función. Decimos que f es inyectiva si el ONB de elementos oz p kul ONB OZO elementos de imagen conocidos, es decir, si x1 ∀, x2 ∈ A = 6 x1 x2⇒f (x1) 6 = f (x2). Esto es equivalente a la siguiente declaración: x1 ∀, x2 ∈ A, f (x1) = f (x2) = ⇒x1 x2;

f sobreyectiva si B tiene todos los elementos de elementos de imagen, es decir, si y ∈ B∃ ∀ x ∈ A: f (x) = y. Esta es la condición por lo escrito como: f (A) = B; f biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva, es decir, si ∀ ∃ y ∈ B! x ∈ A (se detalla en una y sólo una x ∈ A): f (x) = y.

1. C.2. Prov. • f: R → R, f (x) = x2 función no es inyectiva, porque, por ejemplo. 6 -1 = 1 y f (-1) = f (1) = 1 ni sobreyectiva porque, por ejemplo. y = -1 x ∈R ∈R veces no existe, por lo que f (x) = x2 = -1 sea.

• g: [0, ∞) → R, g (x) = x2 no es sobreyectiva y inyectiva función h: [0, ∞) → [0, ∞), h (x) = x2 es inyectiva y sobreyectiva, por lo biyectiva.

• En cualquier caso, el conjunto de la función biyectiva 1A idénticos.

F: A → B y g: B → C en ese orden en la composición de (o composición o multiplicadas) a g ◦ f: A → C tal que (g ◦ f) (a) = g (f (a)) para todo a ∈ a a.

Este es el mapa que primero la f mapeo y g en una fila después de la implementación, con ácido. G (f (x)) es la aparición GT, f es la función interior tiene Renombrar. Diagramas Ejemplos son:

1. C.3. Teorema. a) Si f: A → B, g: B → C y h: C → D posible hasta cualquier función,

(H ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f)

Es decir, función de multiplicación asociativa.

b) Para todos f: A → B es una función

f ◦1A = 1B ◦ f = f.

c) La multiplicación función no es conmutativa.

Prueba. a) DEFINE (h ◦ g) ◦ f: A → D y h ◦ (g ◦ f): A → D, por lo que en ambos casos, la interpretación del conjunto y los valores D se detectan, y todo a ∈ A ((h ◦ g) ◦ f) (a) = (h ◦ g) (f (a)) = h (g (f (a))) y (h ◦ (g ◦ f)) (A) = h ((g ◦ f) (a)) = h (g (f (a))).

c) Por ejemplo, sea f, g: R → R, f (x) = x + 3 y g (x) = x2. Entonces (g ◦ f) (x) = g (f (x)) = g (x + 3) = (x + 3) 2 y (f ◦g) (x) = f (g (x)) = f (x2) = x2 + 3, donde junto a g◦f 6 = f ◦g.

Si f: A → B es una función biyectiva, entonces f es la función inversa f-1: B → A, f-1 (b) = a ⇔f (A) = B funciones. Entonces, la función F-1 y F-1 es biyectiva la inversa de la función original f (f-1) -1 = f. Además, es cierto que

f−1 ◦ f = 1A, f ◦ f−1 = 1B.

1. C.4. Tareas. H 1. Determinar todas las f: R → R es una función en la que a 2f (x) + 3f (1 - x) = 4x - 1, ∀ x ∈R.

Solución. En lugar de x (1 - x) 3f escrito (x) + 2f (1 - x) = -4x + 3, con el original es un sistema de ecuaciones. Tenemos que f (x) = -4x + 11.5.

H 2 Determine toda la f: R → R la función en la que

.

Solución. x = 1: f (1) f (-1) = 1, x = -1 a f (-1) f (1) = 1, una contradicción, no existe tal función.

F 3. Probar que f: R → R, f (x) = 2x4 + 3x3 + 4 no es función inyectiva g: R → R, g (x) = x3 + x + 2 es función inyectiva.

Solución. f (x) = x 3 (2x + 3) + 4 x 3 esto no hace (2x + 3) = 0, x = 0 o x = -3/2, por lo que F (0) = f (-3/2) = 4, f no es inyectiva.

Si g (x 1) = g (x2), a continuación, x1 = x31 + X23 + X2, (x1 - x2) (x21 + x22 + x1x2 + 1) = 0, en el que el segundo conjunto de corchetes (x21 + x2 / 2) 2 + 3x22 / 4 + 1 6 = 0, por lo tanto, x1 = x2, g es una inyección.

4-H es inyectiva si alguno sobreyectiva y biyectiva a la siguiente función:

a) f : {1,2,3}→{a,b,c},f(1) = b,f(2) = c,f(3) = a;b) f : Z→Z, f(x) = 2x + 1, c) f : R→R, f(x) = 2x + 1,

d) f: R→R, f(x) = 3x2 + 4, e) f : Z→Z,f(x) = −x2 + 4x.

f) f: R→R, f(x) = x4 − 2x2 + 3.

H 5. Sean A y B conjuntos finitos de igual cardinalidad y dejar que f: A → B es una función.

Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) f inyectiva ii) f surjectiva iii) f biyectiva.

H 6. Definir f ◦ g ◦ f y g son funciones complejas, donde

a) f, g: R→R, f(x) = x2 +1, g(x) = 3x+1, b) f, g: R→R, f(x) = x3 −2, g(x) = 1−2x,

c) f, g: R→R, f(x) = 2x − 1 ´es g(x) = x, ha x ≤ 1, g(x) = x + 2, ha x > 0.

M 7. ¿Cuál de las siguientes funciones tienen un inverso? Si hay un inverso, agregarlo!

a) f: R→R, f(x) = x + 1, b) f: R→R, f(x) = 4x + 2,

c) f: N→N, f(x) = 4x + 2, d) f: R→R, f(x) = x2 + 3.

8. Sea H → B es una función f. Un conjunto de ρa2⇔f a1 (a1) = f (a2) bastante

Interpretado en relación ρ f nominar su núcleo, marcando: ρ = corte. Demostrar que a) la equivalencia de un Si está utilizando corte b) ⇔ f es inyectiva corte = 1 A,

Orientación. a) inmediatamente a la relación corte reflexiva, simétrica y transitiva, porque el "=" comparación es.

b) Si f: A → B es una función arbitraria, entonces ∀a1, a2 ∈ A: a11Aa2⇒a1 a2⇒f = (a1) = f (a2) ⇒a1 a2 corte, y si f es inyectiva a1 corte y a2, entonces f (a1) = f (a2), donde a1 = a2, es decir, a1 a2 ranura de corte. A la inversa, si ∀a1, a2 ∈ A: a1 kerfa2⇒a11Aa2 entonces ∀a1, a2 ∈ A: f (a1) = f (a2) y a2 = ⇒a1 siguiente que f es inyectiva.

H 9. Sea f: A → B y g: B → C sean dos funciones. Demostrar que:

a) Si f y g es inyectiva (sobreyectiva), entonces g ◦ f es inyectiva (sobreyectiva).

b) Si g ◦ f es inyectiva (sobreyectiva), entonces f es inyectiva (g sobreyectiva).

c) Si g ◦ f es inyectiva y sobreyectiva f, entonces g es inyectiva.

d) Si g ◦ f g sobreyectiva y inyectiva, entonces f es sobreyectiva.

1. D La cardinalidad de los conjuntos

Los conjuntos A y B son conjuntos equivalentes en llamarme si existe una función f: A → B es biyectiva. Notación: A ~ B es un conjunto sobre la relación.

1. d.1. Teorema. A ~ una relación de equivalencia.

Prueba. Si A es un conjunto arbitrario, entonces la 1A: A → A, 1A (a) = una función biyectiva, es decir, ~ reflexivo. Si A ~ B y B ~ C, entonces existe f: A → B y g: la función biyectiva B → C. Desde

g ◦ f: A → C es biyectiva, junto a la C ~ lo ~ transitiva. Si f: A → B es biyectiva, entonces f-1: B → A es biyectiva, es decir ~ simétrica.

La clase de equivalencia del conjunto o la cardinalidad de número cardenal me llaman. Notación: A | A | = {B: B ~}.

Con un conjunto comparable de cualquier conjunto que los elementos con números naturales. Nosotros decimos que el conjunto de cardinalidad finita n, donde n ∈N * si A es equivalente a {1, 2,3,..., n} conjunto hará lo siguiente: A ~ {1, 2,3,..., n}, o cuando A = ∅. Símbolos: ¨ | A | = n, n ∈N * | ∅ | = 0 | ∅ | = 0. El conjunto de infinito si no finito.

El conjunto N es infinito, cardinalidad | M | = ℵ0 (aleph cero) en ℵ primera letra del alfabeto hebreo.

Los ℵ0 cardinalidad conjuntos infinito numerable se fijan para ser llamado anillo Zuki un conjunto de infinito numerable si y sólo si existe una función f: N → Una función biyectiva. Esto significa que los elementos de un conjunto infinito de clasificadas en juegos sin repeticiones, que se pueden escribir en el A = {a1, a2,..., an,...} formulario. Por ejemplo, el conjunto de los enteros Z es contable, porque Z = {0,1, -1,2, -2,3, -3,4, -4,...}, en

Función biyectiva.

El conjunto de los números racionales Q es numerable. El conjunto de los números reales R es incontable.

1. D.2. Teorema. Sea A un conjunto finito y f: A → A es una función. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1) f es inyectiva,

2) f sobreyectiva, ¨ 3) f biyectiva.

Prueba. La inmediata DEFINIDO a 3) ⇒ 1) y 3) ⇒ 2).1) ⇒ 3) un conjunto finito, sea A = {a1, a2,..., an}. La función f es inyectiva, por lo

f (A) = {f (a1), f (A2),..., f (n)}, donde f (i) = f 6 (j), donde j = i 6. Por lo tanto, f (A) n-Conjunto de elementos y desde f (A) ⊆ la próxima que f (A) = A, es decir, f sobreyectiva, por lo tanto biyectiva.

2) ⇒ 3) Sea A = {a1, a2,..., an}. La función f es sobreyectiva, por lo que f (A) = A, por lo tanto, | f (A) | = | A | = n. Si los elementos de f (a1), f (a2),..., f (n) no sería como pares diferentemente, entonces f (A) = {f (x): x ∈ A} es un número de elementos sería menor por n: | f (A) | <n, lo que contradice la

| F (A) | = n términos.

1. D.3. Tareas. H 1. Definir el siguiente conjunto de elementos de los números:

C = {(x, y) ∈N∗×N∗ | 2x + 3y = 2000}.

Si H 2 A, B, C, posible hasta cualquier conjunto finito, entonces a) | A ∪ B | = | A | + | B | - | A ∩ B |,

b) |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C|−|A ∩ B|−|A ∩ C|−|B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Las generalizaciones.

F 3. Sean A y B conjuntos finitos, | A | = k, | B | = n. a) ¿Cuántos f: A → B es una función?

b) ¿Cuántos f: A → B es función inyectiva?

c) Si k = n, entonces el número de función biyectiva es?

Solución. a) kn , b) donde k ≤ n, n (n-1) (n-2) ••• (n-k + 1), c) n! = N (n-1) (n-2) 2 • ••• primero H 4. Demostrar que N × N * N * ~ *.

Orientación. Considere la función f: N → N * N * x * f (m, n) = 2m-1 (2n - 1) función. Probar que f es biyectiva.

2. Las operaciones algebraicas

2A operaciones algebraicas

Sea S un conjunto no vacío y φ: S × S → S, (x, y) → 7 φ (x, y) es una función. φ S el conjunto de (algebraicas) Operaciones y me llaman para decir que (S, φ) es un magma. Símbolos: φ (x, y) = x * y (o x ◦ y xΔy, etc), y el Magma (S *), etc. (o (S, ◦), (S, Δ).).

2. A.1. Prov. • (Z, +), (R •), (2Z +) grupos donde y "•" la adición línea habitual "+" y la multiplicación,

• (M, -) y (2Z + 1, +) no grupo aquí "-" No Operación N el conjunto, ya que, por ejemplo. 3-7 = -4 ∈ / N.

Si en el conjunto del álgebra menos uno interpreta la estructura algebraica altavoz. Ej. El Magma, y en un grupo y los grupos acción debe estructura algebraica, el anillo y el cuerpo de las estructuras de doble algebraica.

2. a.2. Tarea. H-algebraica forman estas estructuras

i) N multiplicación OBLIGADO ii) {2n + 1: n} ∈N sumando los contemplación iii) los n Є z de suma 2Z cinco iv) R * es la alta contemplación acción.

v) . cumple con la parte superior del circuito.

2B La asociatividad, conmutatividad, un grupos * el conjunto de la operación es asociativa si para todo x, y, z ∈ caso S (x * y) * z = x * (y * z). Entonces (* S) frente grupo Nombre f.

2. b.1. Prov. • (Z, +), (R •) un grupo.

• Zn es la operación de resta: ∀x, y ∈Z-x y ∈Z, pero "-" no es asociativa, porque por ejemplo. (3-7) -1 = -5 6 = -3 = 3 - (7-1).

S * el conjunto de la operación puede conmutativa si para todo x, y ∈ S, X * x * y = y. Si la operación se puede leer en S * es conmutativo, entonces (S, *) Nombre conmutativa Magma. Si

el S * en operación de lectura es asociativa y conmutativa, entonces (S, *) un grupo llamado f conmutativa.

2. b.2. Prov. • (Z, +), (R •) a grupos conmutativos,

• Las operaciones no conmutativas, por ejemplo. La función de la multiplicación de la matriz y la composición de (sus composiciones), por ejemplo, con precisión. Los 2 × 2 matrices Z de final Modular M∈ (Z) es el conjunto de la multiplicación no es conmutativa, pero establecen en una multiplicación de matrices especial es conmutativo puede ver 2.B.3 / Tarea 1.

2. B.3. Tareas. H 1. Demostrar que

Establecido en la multiplicación de la matriz es un grupo conmutativo.

H 2 Mostrar que

a) el conjunto de M * x * y = xy operación no puede conmutativa y no asociativo,

b) S = [0, ∞) es el conjunto de la operación x ∗ y = x+y /2 no puede asociativa, conmutativa, pero,

c) S = (0, ∞) es el conjunto de x * y = x operación x lny puede conmutativa y asociativa.

2C Asociatividad y la conmutatividad generalizada. Los siguientes dos artículos del alfabeto multiplicativo en uso.

2. C.1. Teorema. (Asociatividad generalizado) Si "•" A, S el conjunto de la operación asociativa puede, ∈N n, n ≥ 1 y a1, a2,..., an ∈ S, entonces el A1A2... un multiplicador no depende de la horquillado completo sólo el orden en el que el factor Vertical

Prueba F. Se demuestra que todos somos iguales en la multiplicación

b = (... ((a1a2) a3) a4...) an

PRODUCTO

n, se prueba por inducción. Si n = 1 y n = 2, es evidente, n = 3 y asociativa siguiendo los coeficientes. Supongamos que n ≥ 4, y que esta propiedad es cierto para todos los tiempos tasa factor k, donde k <n.

Un B1B2 multiplicación arbitraria forma donde a1 b1, a2,..., elemento am en este orden multiplicando b2 por el m + 1, m + 2,..., n multiplicado por los elementos en este orden por medio de un m- de distancia, donde 1 ≤ m ≤ n primero Por ejemplo, cuando n = 4, entonces (A1A2) (A3A4) caso m = 2, (a1 (A2A3)) A4 para una m = 3.

Si m = n - 1, luego por las condiciones de inducción con

b1 = (... ((a1a2) a3)...) an−1, b2 = an, b1b2 = b.

Si 1 ≤ m ≤ n - 2, a continuación, B1 y B2 también utilizaron las condiciones de inducción, a continuación, la asociatividad: b1b2 = ((... ((a1a2) a3)...) am) ((... ((Am+1am+2) am+3)...) an) =

= (((... ((a1a2) a3)...) am) ((... ((Am+1am+2) am+3)...) an−1)) an.

Si 1 ≤ m ≤ n - 2, a continuación, B1 y B2 también utilizaron las condiciones de inducción, a continuación, la asociatividad:

b1b2 = (... ((a1a2) a3)...) an = b,

Es decir, los verdaderos propiedades de k = n. ¤F

2. C.2. Teorema. (Conmutatividad generalizado) Si "•" A, S el conjunto de asociativa y la operación conmutativa puede, ∈N n, n ≥ 1'es a1, a2,..., an ∈ S, entonces el multiplicador no es una A1A2... depende del orden en el que el factor.

Prueba. Esto se puede demostrar por inducción. Aquí se acaba de hacer referencia, a partir del producto de un factor en posible hasta cualquier secuencia de (permutación) se puede llegar adyacentes entre sí después de la aplicación de piezas de repuesto, y el uso de la asociatividad generalizada. Ej.

n = 4- re a1a2a3a4 = a1 (a2a3) a4 = a1 (a3a2) a4 = (a1a3) a2a4 = (a3a1) a2a4 = a3a1a2a4 =... ¤

2. D. elemento neutro

Sea (S, *) es un magma. La batería perro ∈ S dejó elemento neutro, si para cada x ∈ S * x = x perro veces. Elemento Ej. ∈ S en el elemento neutro derecha, si para todo x ∈ S, X = x * ej. Además, este elemento ∈ S (bilateral) o elemento elemento neutro-neutro si para cada x ∈ S * x = x este caso e = x *.

2. D.1. Prov. • (Z +) - e = 0 en el elemento neutro (R •) = 1 en este elemento neutro, • Sea S = {a, b, c, d} y x * y = x, ∀x, y ∈ S, S en todos los elementos de los elementos de la derecha y de izquierda, elemento neutro neutro no existe.

2. D.2. Teorema. Si (S, *) y existe un magma otros ∈ S dejaron neutral elemento ej ∈ S y existe un elemento de derecho-neutral, eb = ej = e elemento neutro.

Prueba. Condicional cada x ∈ S * x = x y de perro todo y ∈ S, y = y * ej. Sea x e y = eb = ej, ej ej =

* voluntad r eb ∗ ej = ej , eb ∗ ej = eb, donde EJ = eb = ej .

De inmediato a

2. D.3. Consecuencias. Si un elemento neutro Grupo detalle a tiempo, está claramente definido (por eso luego habló al elemento neutro).

Notación multiplicativa a veces se llama la celda unitaria elemento neutro, este e-Fi o 1 punto uk realizan de forma aditiva ortografía a veces llamado el elemento neutro elemento cero se denota 0

La unidad se llama un monoides por muchos autores.

2. D.4. Tarea. Consideremos el conjunto de R H x * x + y = xy operaciones y +. Demostrar que esta operación es asociativa, conmutativa y tiene un elemento neutro.

Demostrar que la operación "*", el [-1, ∞) el conjunto, es decir, ∀ x, y ∈ [-1, ∞) ⇒ x * y ∈ [-1, ∞).

2. e. Elementos simétricos. Sea (S, *) es una unidad, por ejemplo modular (elemento neutro) Magma, la unidad por ejemplo, en. La x ∈ S hacia la izquierda elemento simétrico si el elemento x ∈ S

Haga simétrica si simétrica si x0 = x * x * x0 = e. Si X tiene un detalle simétrico, entonces decimos que x es simetrizable.

2. E.1. Prov. • (Z +) - en cada simetría Zalha x y -x p = x0 (R •) en el elemento de unidad e = 1 y para todo x 6 = 0 p simetrizable: x0 = x-1 = 1 / x x = 0 no se simetrizable t p

• Si (S, *) Magma unidad modular, la unidad de elemento simetrizable y simétricos a ti mismo: e0 = e,

Deje que S = {e, a, b} y una operación de "*", que operación puede pizarra, un. operación puede pizarra Cayley-media:

Aquí, si el elemento neutro y la operación es conmutativa, porque la operación puede Tabla simétrica contemplar la diagonal principal, y la e * a = a * b = b * a = e, lo mismo ocurre con la A y B también simétrica.

2. E.2. Teorema. Si (S, *) es un elemento de unidad en el grupo (la operación es asociativa) y x ∈ S artículo ha dejado lado derecho x0j simétrica y detallada son simétricas, simétrico.

Prueba. Según condición

x0b = x0b ∗ e = x0b ∗ (x ∗ xj0) = (xb0 ∗ x) ∗ xj0 = e ∗ x0j = x0j.

2. E.3. Consecuencias. Si una unidad se enciende un artículo haya grupo simétrico, está claramente definido. ¤

Notación multiplicativa en algunos casos el nombre del elemento simétrico elemento inverso x-1 en esta marca Reino Unido, y decimos que x se hace invertible aditiva de vez en cuando a escribir el nombre simétrica elemento opuesto del elemento se denota por -x.

El ejemplo anterior, la operación no puede asociativos, por ejemplo. (B * b) * a = a * a = e y b * (b * a) = b * b = e, por lo que sucede que tiene un elemento en particular también son simétricas.

2. E.4. Teorema. Si (S, *) es una unidad de encendido de grupo y x, y ∈ S es invertible, entonces el elemento x * y es invertible y (x * y) * x0 y0 = 0, y (x0) = x 0. Prueba.

(y0∗ x0) ∗ (x ∗ y) = y0∗ (x0∗ x) ∗ y = y0∗ e ∗ y = y0∗ y = e,

(X ∗ y) ∗ (y0∗ x0) = x ∗ (y ∗ y0) ∗ x0 = x ∗ e ∗ x0 = x ∗ x0 = e. ¤

Guion multiplicativo (xy) = -1 y-1x-1 (x-1) -1 = x. Si la operación conmutativa, (xy) 0= X0Y0, pero no conmutativa caso, el orden sustancial.

2. E.5. Tarea. Deje H Z [i] = {a + bi, b} ∈Z ⊂C. Demostrar que (Z [i], •) es la unidad de grupo conmutativo encendido. ¿Cuáles son los elementos invertibles?

a ebbeeaab

aeebae∗

RESPUESTA: ± 1, ± i, ya que si z = a + bi ∈Z [i], el caso | a | <a2 + b2, | b | <a2 + b2 y entonces z ∈ 1 / Z [i]. Si a = 0, z = 1 -1bi ∈Z [i] de b = ± 1, de manera similar, cuando h b = 0)

2. f. Elevado a la parte de potencia

Sea (S, •) es una unidad encendida grupo y x ∈ S. interpretar poderes uk de x:

X1 = x, x2 = x • x,..., xn+1 = xn • x, n ∈N, n ≥ 1, x0 = e.

Instantáneo a xnxm = x n + m y (x) = m xnm todo n, m ∈N caso.

2. f.1. Teorema. Si (S, •) unidad enciende el elemento del grupo x ∈ S puede ser invertida invertida entonces xn para todo n ∈N distancia y

(Xn)−1 = (x−1) n.

Prueba.

¤

Aditiva notación:

1x = x, 2x = x + x,..., (n + 1) x = nx + x, n ∈N, n ≥ 1, 0x = 0, − (nx) = n (−x).

F 2.G. Congruencia de grupo

Sea (S, •) es un grupo y un ρ relación de equivalencia en S. Decimos que ρ es una relación de congruencia en S, donde ρ es compatible con el grupo en una operación que es∀x, x0, y, y0 ∈ S:xρx0, yρy0 ⇒xyρ x0y0

(De acuerdo con la congruencia ρ multiplicada Ozhan s).

2. G.1 Desviaciones. Ejemplo. • (R •) y un grupo de "=" es una relación de congruencia.

S es una relación de congruencia ρ asociada con la clasificación, es decir, el factor / ρ conjunto compatible S de clasificación me llaman UK.

Si (S, •) es un grupo y X, Y ⊆ S denota el XY XY = {x ∈ X, y ∈ Y}.

2. G.2. Teorema. Conviértase en una relación de equivalencia ρ en el grupo S. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) Congruencia ρ,

b) ∀x, y ∈ S / ρ⇒∃Z ∈ S / ρ XY ⊆ Z.

Prueba. El DEFINIDO. en detalle:

"A) ⇒ b)" Sea X arbitraria, Y ∈ S / ρ y sea x ∈ X, y ∈ Y es posible hasta cualquier representativas, es decir ρhxi X = Y = ρhyi.

Sea Z = clase ρhxyi xy. Entonces ∀x0 ∈ X, y0 ∈ ⇒xρx0 Y, yρy0⇒xyρx0y0⇒x0y0 ∈ ρhxyi = Z, es decir, XY ⊆ Z.

"B) ⇒ a)" Que ∀x, x0, y, y0 ∈ S xρx0, yρy0. Sea X = ρhxi = ρhx0i es Y = ρhyi = ρhy0i.

Condiciones, existe Z = ρhzi∈ S / ρ para que XY ⊆ Z.

Entonces xy ∈ XY ⊆ Z ⊆ XY X0Y0 ∈ Z. Así xyρz, x0y0ρz⇒xyρx0y0.

2. G.3. Tarea. Si H (S, •) es un grupo y ρ es una relación de congruencia en S, entonces∀x, x0, y ∈ G: xρx0⇒xyρx0y, yxρyx0 (una congruencia se puede multiplicar por un elemento arbitrario de la derecha y de la izquierda.).

Solución. Si xρx0, porque yρy (reflexividad) al lado de xyρx0y y yxρyx0. F

Grupoides con el camino a seguir y los grupos no discutir esto en detalle. El concepto de equipo se da en la siguiente sección. El grupo ha tenido suficiente para lo suficientemente general como para estar en las áreas de matemáticas no más tarde se encontró, en cambio está llegando especial para grupos Por lo general, los tipos individuales o grupales Krol ethetok deducir resultados son profundos.

2. H. Tareas

H 1. Si A = {1, -1, i, -i}. Demostrar que la operación de multiplicación se establece. Prepare la mesa de operaciones. √ √

2. Sea E = H, R \ {1/3, -1/3}, y F = {f1, f2, f3}, donde f1, f2, f3: E → E

.

Demostrar que (M, ◦) es una estructura algebraica. Elaborar el mapa de funciones.

H 3 examina las propiedades de las siguientes acciones:

i) n = m * √mn donde m, n ∈N * ii) b * = b, donde a, b ∈ (0, ∞), iii) x * y = PXY - x - y + 2, donde x, y ∈R,

iv) x * y = x2 + y2, donde x, y ∈ [0, ∞)

v) (x, y) + (z, w) = (x + z, y w +), donde (x, y), (z, w) × Z ∈Z.

4. Definir H, b valor ∈R por x * y = xy + by + 2AX, x, operación ∈R y puede ser conmutativa y asociativa.

RESPUESTA. a = b = 0, a = 1/2, b = primero

5. Z es H, x ser el conjunto (a, b) ◦ (c, d) = (ac + bd, ad + bc). Demostrar que (Z × Z, ◦) es una unidad modular en el grupo. ¿Cuáles son los elementos invertibles?

6. Sea H S es un conjunto de n elementos.

i) ¿Cuántos operación puede interpretarse en el conjunto S? (Respuestas: NN2) ii) la forma en que muchos de estos con una operación puede conmutativa? (Respuestas: un (n + 1) / 2) iii) ¿Cuántas operaciones como se ve elemento neutro? (Respuestas: n (n-1) 2 + 1)

7. Si H (S, *) y (S0, ◦) grupoides y f: S → S0 es una función tal que f (a * b) = f (a) ◦ f (b), ∀ a, b ∈ S, ¿Me puede llamar f es una función u operación toma homomorfismo (morfismo).

Demostrar que si (S, *) como un grupo, entonces (f (S), ◦) es un grupo (una imagen homomorfismo de grupo).

Los grupos 3 y morfismo

3. A El concepto de grupo

(G, •) unidad GRUPOS encendidos me llaman si cada elemento x ∈ G invierte. (G, •) Grupo de Estructura Así que si usted lee un Gn (multiplicativo) que consiste en la llamada. Multiplicar, que

(G1) (Xy) z = x (yz) para todo x, y, z ∈ G, es decir, la operación es asociativa,

(G2) válido e ∈ G para que xe = ex = x para todo x ∈ G, que detallan la celda unitaria,

(G3) para todo x ∈ G existe x-1 ∈ G de modo que el xx-x-1 = 1x = e, es decir, cada elemento puede ser invertida.

Si eres nuevo

(G4) xy = yx xy ∈ G es todo, que la operación es conmutativa, entonces grupo conmutativo o

Nada grupo abeliano (Niels Henrik Abel, XIX. Siglo matemático noruego).

Si el grupo G elementos x xy = yx, entonces decimos que x e y componentes son intercambiables. Ej. Esta unidad de todo elemento intercambiable con otro elemento. Posteriormente, el grupo conmutativo si dos elementos son intercambiables.

Decimos que (G, •) grupo finito G si el conjunto es finito, de lo contrario grupo infinito hablando. Si G es un conjunto de n elementos: | G | = n, entonces n en el grupo G con orden y me llaman, se dice que G es un grupo de orden n.

Otros siguen en el alfabeto grupo multiplicativo en uso. Recuerde que un grupos conmutativos aditivos habituales escribir también.

3B grupos EJEMPLOS

3. B.1. Prov. • (Z, +), (Q, +), (R, +), (C +) grupos abelianos,

• Los grupos no sólo a grupos de elementos de unidad, o (Q * •) (• Z), (Q, •), (R •), (C •), (R *, •), (C * •) grupos abelianos.

Los ejemplos anteriores son grupos sin fin de grupos finitos siguientes son algunos ejemplos:

3. B.2. Ejemplo. • Si n ∈ N *, entonces (Un = {z ∈ C: z n = 1}, •) es conmutativo. H Demuéstralo! Fue llamada la enésima unidad una de las razones cambiar el nombre de su grupo, por ejemplo ¨,. U2 = {-1, + 1}, U4 = {-1, + 1, -i, i +}.

3. B.3. Ejemplo. • Si n ∈N * el conjunto de Divisiones resto (mod n). Entonces (Zn, +) grupo abeliano, el grupo Divisiones resto (aditivo) (mod n), donde x = xb yb + [+ y.

3. B.4. ejemplo de. • Considere dejar S plano ABCD es un rectángulo que no es cuadrado y prueba de esta congruencia transformaciones, es decir, la distancia f: S → S dos argumentos, que transfiere el rectángulo por su cuenta. Son los siguientes, se refieren a la Figura 1:

(1) De esta función idéntica que e (A) = A, E (B) = B, E (C) = C, E (D) = D

(2) El punto central rectángulo cuando el rodaje uli 180◦ V θ: θ (A) = C, θ (B) = D, θ (C) = A, θ (D) = B,

(3) los ortogonal AB punto medio ere como asignación eje central σ o Espejos acuosas: σ (A) = B, σ (B) =

A, σ (C) = D, σ (D) = C

(4) A fuerza negativa ere punto medio como la asignación eje central Espejos Ozes τ: τ (A) = D, τ (B) =

C τ (C) = B, τ (D) = A

Sé el funcionamiento, las composiciones de transformaciones (después de realizar una fila), multiplicación comprueban, que asociativo. Observe que el θ, σ, τ cos cul ul ONB OZO dos transformaciones multiplica igual a la tercera, por ejemplo. θσ = τ, στ = θ, etc y todo esto con cuadrados iguales: θ2 = σ2 = τ2 = e.

La operación fue tabla:

Esta operación es conmutativa, porque la operación puede tabla simétrica contemplar la diagonal principal. La unidad de este elemento y todos los elementos de la inversa de nosotros mismos. K = {e, θ, σ, τ} grupo abeliano Así, este grupo de cambiar el nombre de Klein (Grupo de Klein).

3.B.5. Ejemplo. • Vamos n ∈N * y consideremos la σ: {1,2, ..., n} → {1,2, ..., n} funciones biyectivas. Me llaman permutaciones de grado n, marcando

La permutación de grado n-Sn complejo conjunto de grupo de funciones (composición) acción. El (Sn ◦) la categoría del grupo simétrico de grado n o grupo de la permutación completa de grado n tiene n! y no es conmutativa, si n ≥ 3.

Los procedimientos de operación de grupo puerto aquí a menudo "•" Quizás marca uk, en lugar de ◦τ σ ¨ Así στ es escribir y σ2 = σ ◦σ, σ2 = σ3

◦σ etc. La Unidad de artículos idénticos en esta permutación, que

inverso

3.b.6. Tareas. Sé el primero en H

a) Demuestre que usted puede especificar lo tanto S3: S3 = {e, σ, σ2, τ, στ, σ2τ}, donde σ3 = e, e = τ2, τσ = σ2τ.

b) Ponga relación sobre la base de la primera es la tabla de Cayley.

Solución.

H 2 Demostrar que n ≥ 3 Grupo de Sn no es conmutativa.

Estructuras de grupo son importantes ejemplos de grupos de la matriz.

3.B.7. Ejemplo. • Sea

Mn (C) = {A = (aij) 1≤i, j≤n: aij ∈ C, ∀i, j ∈ C}

e

θσττθ

eτσσσ τeθθτ σθeeτ σθe·

el conjunto de n × elemento matrices complejas n (R o C en lugar que escogen una arbitraria (R, +, ·)cuerpo conmutativo). Entonces (Mn (C) +) grupo abeliano y (Mn (C), ·) unidad encendidos grupo. el invertida

Multiplica las matrices forman un grupo de contemplación, conocido por grupo lineal general

(grupo lineal general), designado (GLN (C), ·), donde

GLn(C) = {A ∈Mn(C) : ∃A−1 ∈Mn(C)} = {A ∈Mn(C) : detA 6= 0}.

El grupo lineal especial (grupo lineal especial) como sigue: (SLN (C} •), donde

SLn(C) = {A ∈Mn(C) : detA = 1}.

3.B.8. Ejemplo. • El grupo de cuaterniones. Dejar

Entonces (Q, •) no es un grupo conmutativo.

De hecho, la multiplicación de la matriz se puede ver que i2 = j2 = k2 = -1 y k = ij, jk = i, j = a, k = ji, ki = i, j = ik. Q para que pueda escribir Q = {1, i, i2, i3, j, i, j, I2J, i3j}. El Cayley-tabla de la siguiente

3.B.9. Ejemplo. • Sea (G1, •) y (G2, •) son un grupo, no son necesariamente los mismos, operación multiplicativa denotado y E1 y E2 elementos de la unidad. El G1 × G2, definimos el conjunto de los siguientes: (G1, G2) (h1, h2) = (g1h1, g2h2). Entonces (G1 × G2 •) grupo, los grupos de llamada. multiplicación directa. A medida que el elemento de unidad (e1, e2), (g, h) es la inversa de (g, h) -1 = (g-1 h-1). H Demuéstralo! Esta construcción puede llevarse a cabo para general de que si los grupos (Gi) i∈I de un sistema arbitrario.

3.B.10. Tareas. Sea G = H 1 (0, ∞) \ {1} y x * y = xlny. Demostrar que (G, *)

Grupo abeliano.

H 2. Interpretar el conjunto de operaciones de x * x + y = y-1. ¿Es cierto que (Z, *) grupo abeliano? H Grupo 3 con el 2.h / segundo Tarea determinada (F, ◦) Estructura?

3C Grupo de elementos invertibles de su grupo

Un grupo de elementos invertibles de un a pilas unidades (bloques) para formar un grupo para ver los elementos de abajo, este es un importante grupos editados procesales.

3.c.1. Teorema. Sea (S, •) es una unidad de encendido y el grupo U (S) = {x ∈ S: x} invertida. Entonces (U (S) •) grupo.

Prueba. U (S) ⊆ S y T (S) cerraron las operaciones de vista: ∀x, y ∈ U (S) ⇒xy ∈ U (S), porque si x

ey es invertible, entonces xy se invierte (ver Sec 2.E.4). La operación es asociativa U (S) Simulador S porque yo también asociativo. S por este elemento unidad U (s) del elemento de unidad también es importante aquí que e ∈ U (S). Además, para cada x ∈ U (S) Inverta situado en la U (S) se define como donde x-1 ∈ U (S), porque si x es invertible, entonces X-1 se puede invertir (ver Sec 2.E.4). ¤

3.C.2. Prov. • (A, •), A = Q, R, C, a veces en grupos E (A) = A \ {0}.

3.C.3. Tarea. H (Z •) lo que va a ser el caso (U (Z), •) grupo?

3.C.4. Prov. • la primera (Mn (C)), •) en el grupo caso U (Mn (C)) = GLN (C), ver 3.B. sección.

• 2 (Zn, •) es la unidad de grupo conmutativo encendido, donde xb = yb • xyc. Éste es el conjunto de elementos invertibles U (Zn, •) xb∈Zn = {(x, n) = 1} H Show! . Ese grupo de que se trate y la multiplicación de este orden de φ (n) (Funciones de Euler) Si n = p es un número primo, entonces (Zp *, •) es una (p - 1) -edrendu grupo.

Solución. Supongamos que xb se invierte, entonces no YB modo que xbyb = xyc = b1, es decir, xy = 1 + nk, k ∈Z, xy - nk = 1, y por lo tanto (x, n) = primera

A la inversa, si (x, n) = 1, se sabe que existe k ∈Z de manera que KX + `n = 1 y por lo tanto

sí xb invertido y bk inversa.

Otros ejemplos importantes dictan la siguiente

3.C.5. Teorema. Sea M un conjunto arbitrario no vacío y F (M) = {f | f: M →

M} funcion. Entonces

1) (F (M), ◦) elemento de unidad en la composición del grupo en cuestión y de la función U (F (M)) = {f: M → M | f} biyectiva.

2) SM = {f: M → M | f biyectiva} es una función de la composición del grupo, que tiene el nombre de M el conjunto de grupos simétricos, otras marcas: ¨ Sym (M), Perm (M).

Prueba. Nuestra interpretación es que si f, g: M → M, entonces ellos están en g ◦ f: M → M, donde (g ◦ f) (x) = g (f (x)). Esta operación asociativa: si f, g, h: M → M una función arbitraria, a continuación, ¨ (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).

F: función M → M f ◦ 1M = 1M ◦ f = f, ya que (f ◦ 1M) (x) = f (1 M (x)) = f (x), (1M ◦ f) (x) = 1 M (f (x)) = f (x) para todo x ∈ M de distancia.

Se demuestra que U (F (M)) = {{M → M |} {biyectiva.

Si f ∈ U (F (M)), entonces f es invertible, es decir, no es f0: función M → M tal que f ◦ f = 1M f0◦ f0 = f (f0 (x)) = F0 (f (x) ) = x, ∀x ∈ M. pregunta que f biyectiva si es posible hasta cualquier y ∈ M existe una una

y sólo un x ∈ M, de forma que f (x) = y? Deje f0 (y) = a, entonces f (a) = f (f0 (y)) = y, por lo elijo x = a. Si f (A) = f (b), entonces a = f0 (f (a)) = f0 (f (b)) = b, por lo que x = obvio.

A la inversa, si f es biyectiva, por lo tanto, interpretar la función f0: ∀t ∈ M, f0 (t) = u, si f (u) = t. Entonces f (f0 (t)) = f (u) = t, ∀t ∈ M f0 (f (u)) = f0 (t) = u ∈ M ¤ ∀u

El 3.C.5. desde como todo f: R → R es una función biyectiva para formar composiciones opiniones del grupo (M = R). Cuando M = {1,2, ..., n}, y después MS = Sn grupo simétrico de grado n, consulte 3.B.5.

3.C.6. Tarea. Si M-H tiene al menos dos elementos, a continuación, (F (m), ◦) no es un grupo conmutativo.

Solución. Sean a, b ∈ M, a = 6, b y f (x) = a, ∀x ∈ M y g (x) = b, ∀x ∈ M. Entonces f (g (x)) = f (b) = a, g (f (x)) = g (a) = b, ∀x ∈ M, por lo que g ◦ f 6 = f ◦ g.

3.d Párrafo Grupo de reglas de cálculo

3.D.1. Teorema. (grupo de reglas de cálculo) Si (G, •) es un grupo,

1) = c y b = ac⇒b ca⇒b = ba = c, ∀a, b, c ∈ G, que se cumpliría desde la izquierda o desde las simplificaciones adecuadas para las normas,

2) ∀a, b ∈ G, en algunos casos la única solución es x = b x = a-1b y la única solución a la ecuación y = b = y ba-primera

Prueba. 1) Si b = c, entonces ambas partes multiplicado por la izquierda de la inversa A-1 (b) = a-1 (c) b (a-1 c) b = (a-1) EB = ec, donde b = c. Como el otro.

2) Si x = b multiplican luego de izquierda a ambos lados de la inversa A-1 (x) = a-1b (a-1) x = a-1b, ex = a-1b, donde x = a-1b . Como el otro. ¤

Si (G, •) es un grupo y a ∈ G, la

función toma dos de la izquierda o la bofetada de la mano derecha de nombrar trans. Estos 3.D.1 biyectiva. De acuerdo.

Grupo interpretó la multiplicidad elementos entero:

x0 = e, xn+1 = xn • x, n ∈N, x−n = (x−1)n = (xn)−1.

Se puede ver que

Recuerde que por lo general (xy) n = 6 XnYn, pero si xy = yx (es decir, si x e y son intercambiables, que es suficiente, pero no condición necesaria para que el grupo sea conmutativa), entonces (xy) n = XnYn.

Aditivo notación 0x = 0, (n + 1) x = x + nx, n ∈ N (n) = n × (-x) = - (nx), y luego (m + n) x = x + nx m (nx) = (adj) x ∀m, n ∈Z.

Cualquier grupo finito, mesa Cayley de cada fila y cada columna contiene cada elemento y sólo una vez. Este vanıgy (operación puede explorar los cuadros de la sección 3B), debido a las reglas de simplificación.

3.D.2. Tareas. H 1 (G, •) es un grupo en el que (xy) = 2 x2y2, ∀ x, y ∈ G. Demostrar que G es conmutativo.

H 2 (G, •) grupos x2 = e, ∀ x ∈ G (si batería Unidad). Demostrar que G es conmutativo.

3e morfismos Grupo

Sea en dos grupos. F: G → G 0 morfismos cambiar el nombre del grupo de funciones o un homomorfismo de grupo si

f(x ∗ y) = f(x) ◦ f(y), ∀x,y ∈ G,

es decir, si cualquiera de los dos elementos en G composición igual a los de la imagen

Imagine estol aborda composición final de nivel G0 (proceso de toma f), ver 2 diagramas y anotaciones f ∈ Hom (G, G0).

Guión multiplicativo (esto se usa en el siguiente texto):

f(xy) = f(x)f(y), ∀x,y ∈ G,

es decir, cualquiera de los dos elementos en G multiplicado por la imagen iguales multiplicados por el elementos de imagen G0-final.

El nombre del grupo grupo morfismo f isomorfismo si f es biyectiva. Entonces decimos que los dos grupos son isomorfos (algebraicamente equivalente) la notación: G G0.

Si la misma gente, entonces f ∈ Hom (G, G) endomorfismos Nombre homomorfismo, marcando f ∈ End (G) f: G → G es un automorfismo isomorfismo, marcando f ∈ Aut (G).

3.E.1. Teorema. (Propiedad de morfismos) Sea f: G → G0 es un morfismo grupo. Entonces

(I) f (s) = e 0, donde el elemento de unidad de G, E0 y el elemento unidad G0,

(Ii) f (x-1) = f (x) -1, ∀x ∈ G, (iii) 1G: G → G, 1G (x) = morfismo,

(Iv) donde f0: G0 G00 → un morfismo adicional, entonces f0◦ f: G → G00 también morfismo.

(V) si f: G → G0 isomorfismo, entonces f-1: G0 → G es un isomorfismo.

Prueba. (I) f (s) = f (ee) = f (e) (E), que multiplica por (E) -1-nel f (e) = e 0,

(Ii) f (x) f (x-1) = f (xx 1) = f (s) = e 0'es f (x-1), f (x) = f (x-1 x) = f (e ) = e 0, ez'ert f (x-1) = f (x) -1,

(iii) 1 g (xy) = xy = 1G (x) 1G (y), ∀x, y ∈ G

(IV) (f0◦ f) (xy) = f0 (f (xy)) f0 = (f (x) f (y)) = f0 (f (x)) f0 (f (y)) = = (f0 ◦ f) (x) (f0◦ f) (y), ∀x, y ∈ G.

(V) ∀u, v ∈ G: Sea X = f-1 (u), y = f 1 (v), entonces f-1 (UV) = f-1 (f (x) f (y)) 1 = f (f (xy)) = xy = f-1 (u) f-1 (v). ¤

3.e.2. Prov. • 1. Si a> 0, 6 = 1, entonces f (R, +) → (R + * •), f (x) = ax isomorfismo, por lo

(R, +) '(R * + •)' es f-1 (x) = loga x.

• f 2 (C * •) → (R * + •), f (z) = | z | y f (C +) → (R, +), f (z) = Rez morfismos .

3 • f (Z, +) → (Zn +), f (x) = xb morfismo.

• f 4: Gln (C) → C *, f (A) = DETA morfismo.

3.E.3. teorema. Si (G, •) es un grupo, entonces (End (G) ◦) elemento del grupo delante de la unidad f U (End (G)) =

Aut (G), por lo que (Aut (G) ◦) grupo G es el grupo de automorfismo. ¤

3.E.4. Tarea. Demostrar la 3.E.3 H. Teorema.

Los grupos conocidos entre vosotros un isomorfismo de clases de equivalencia adecuadas y los tipos de cambio de nombre del grupo de equivalencia. La teoría de grupos para estudiar las propiedades de los grupos, lo cual es cierto si G es un grupo y todos los justos isomorfo con el grupo G. Por lo general, las pruebas algebraicas son estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpo, etc) lo mismo que tener usted, si usted es isomorfo a uno al otro (a menos que establezca un callejón porciones Ozo se ONB está involucrado, entonces no pueden ser identificados por). "El álgebra isomorfismos prueba contra las propiedades invariantes." Las tareas más importantes de la teoría de grupos:

1) toda la descripción del tipo de grupo existente

2) cualquier procedimiento, para lo cual se dan grupo pueden decidir si son o no son isomorfos.

Para cualquier n ≥ 1, existe un grupo de orden n. Consideremos, por ejemplo, de verdad. el enésimo grado desagregar según una de las causas (Un, •) o grupo (Zn, +) grupo.

3.E.5. Tareas. Sé el primero en H

Demostrar que (G = {f1, f2, f3, f4}, ◦) grupo abeliano que es isomorfo al grupo de Klein (Preparar mesa Cayley).

Sea H Demostrar que

a) (G *) grupo abeliano.

b) isomorfismo de ((0, ∞), •) y (G, *) grupos.

c) Determinar donde n ∈N *.

Solución. c) de difícil averiguar el

resultado.

B) en el isomorfismo inversa f definitiva es un isomorfismo y f-1 (x * y) = f-1 (x), f-1 (y), para general de que f-1 (x 1 * ... * xn) = f 1 (x1), ••• f-1 (xn), donde x1 * ... * xn = f (f-1 (x 1) ••• f-1 (xn)), ∀xi ∈ (-1,1). Si x1 = ... = xn = x, obtenemos que

F 3. Demostrar que

1) (Z 2 × 2 + Z) es isomorfo al grupo de Klein, 2) (Z 2 × 3 + Z) es isomorfo a) grupos (Z6 +.

4. H i) Determinar los Z, +) endomorfismos y automorfismos del mismo (. Demostrar que (Aut (Z +), ◦) '

(U2, •). ii) a (q, +) endomorfismos y automorfismos de la misma. Demostrar que (Aut (Q, +), ◦) '(Q * •).

Solución. i) f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Z, donde x = 0, f (0) = f (0) + f (0), f (0 ) = 0; y = -x desde 0 = f (0) = f (x) + f (-x), f (-x) = f (x), ∀X ∈N (*). Y x = y = 1 f (2) = f (1) + f (1) = 2f (1), f (3) = f (1) + f (2) = 3f (1) .. ., f (n) = nf (1) debido ∀n ∈ N, y (*) f (x) = xt (1), ∈Z ∀x.

Así que, si f: Z → Z endomorfismos, entonces f (x) = x, ∈Z ∀x donde ∈Z = f (1) (a posible hasta cualquier número entero que es sólo f-dependiente) .para versa, inmediata que todos ellos son endomorfismos.

El primero era sólo cos ul f1 (x) = f-1 = -x' y biyectiva: Aut (Z, +) = {f1, f2}. Deje φ (f1) = 1, φ (t-1) = -1, es un isomorfismo.

ii) en f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, ∈Q y de la que i) a partir

de f (x) = xt (1), ∀X ∈Z, ahora f (1) ∈ Q, y

Aquí puede obtener f (-x) = f (x), base ∈Q ∀x que f (x) = xf (1), ∀X ∈Q.

Así que, si f:. Endomorfismos Q → Q, entonces f (x) = rx, ∀X ∈Q, donde r = f (1) ∈Q (R un número racional, que es justo f-dependiente) Estos son todos endomorfo zusok y r = 0, con la excepción de todos los biyectiva, por lo automorfismos.

Quedarse este isomorfismo.

5. Determinar el f H (Zn, +) → (Z, +) morfismos de grupo, donde N ∈N *.

Solución. f (y x [+) = f (xb) + f (YB), ∀x b yb∈Zn F, (b 0) = 0, f (b2) = 2f (b1), ..., f (bk ) = kf (b1), 0 ≤ k ≤ n. Aquí f (b0) = f (nb) = 0 para f (b1) = 0 y Respuestas: f (xb) = 0 es el único morfismo.

3.F. El concepto de un Ejemplo de subgrupos

Sea (G, •) es un grupo y H ⊆ G. Se dice que H es el subgrupo de G (o un subconjunto), si los elementos de H en las operaciones de G mirando a sí mismos forman un grupo, marcando H ≤ G, es decir,

(I) ∀x, y ∈ H xy ∈ H (Zar subconjunto H) (ii) (H •) grupo.

3.f.1. Prov. • 1 (Z +) ≤ (Q +) ≤ (R, +) ≤ (C +), (Q *, •) ≤ (R *, •) ≤ (C * •).

• 2. Si n ∈ Z, entonces nZ = {nk: k ∈ Z} ≤ (Z, +) (grupo y cada parte de esta forma, ver más abajo), en (n) Z = nZ.

• Uno de cada tres (G, •) subgrupo del grupo H = {e} y G = H, me llaman subgrupos triviales. Si H ≤ G y H 6 = {e}, H 6 G, grupo H cambiar el nombre de las piezas genuinas.

• 4. Si (G, •) es un grupo y x ∈ G, entonces x potencias enteras de H = {x k: k ∈ Z} de G es subgrupo conmutativa 3.F.2 ver Sec. Tarea, marcando hxi H, x es el nombre de este subgrupo que genera.

• 5. Si n ∈N *, entonces la única razón grupo Un enésimo unidad vio.

• 6 para formar una serie de números reales grupo abeliano de sumar contemplación '

y en la atmósfera, y la serie convergente este subgrupo.

• 7 (SLN (C) •) ≤ (GLN (C) •).

3.F.2. Tarea. H (G, •) es un grupo y x ∈ G. Entonces H = {x k: k ∈ Z} G es subgrupo conmutativa.

3.F.3. Teorema. Si H ≤ G, entonces H egeleme Unidad G Unidad de elementos y cada elemento inverso definitiva de H en G es precisamente lo contrario.

Prueba. Grupo H, por lo que H es la existencia de un elemento de unidad u tiene que u ∈ H i: H → G (x) = x, ∀x ∈ H grupo de funciones morfismo, así que (u) = elemento de unidad de G (3.E.1. Teorema). Pero i (u) = u, donde u = e.

Además, el candidato x0 ∈ H x H y x-1 borde inversa ∈ G x G es el inverso. Entonces (x0) = x-1

(3.E.1. Teorema), donde x0 = x primero ¤

3.F.4. Tarea. Sección H sea la clase de grupo de los siguientes conjuntos (R, +): N, Z, 2Z, 2Z + 1, Q, y los números racionales negativos, números irracionales?

3.F.5. Teorema. Un grupo de dos partes de su grupo de sección es también parte del grupo:∀ H1, H2 H1 H2 ∩ ⇒ ≤ G ≤ G. En general, los sistemas son posible hasta cualquier subconjunto de la intersección es parte de un grupo:

Prueba. De hecho, ∀x, y ∈∩i∈IHi ⇒ x, y ∈ Hola, ∀i ∈ I ⇒ xy ∈∩i∈IHi y operación ∩i∈IHi- na es asociativa, e ∈ Hola, ∀i ∈ I ⇒ e ∈∩i∈IHi y ∀x ∈∩i∈IHi ⇒ x ∈ Hola, ∀i ∈ I ⇒ x-1 ∈Hola, ∀i ∈ I ⇒ x 1 ∈∩i∈IHi tan grupo ∩i∈IHi. ¤

Un grupo de dos partes de su grupo de unión Por lo general no es parte de un grupo. Por ejemplo, (Z +) -. A (2Z, +) y (3Z, +) subconjunto, pero no 2Z∪3Z porque por ejemplo. 2,3 ∈ 2Z∪3Z, pero 2 + 3 = 5 ∈ / 2Z∪3Z (pero 2Z∩ 3Z = 6Z parte de un grupo).

3.F.6. Tareas. 1. Considerar el grupo abeliano H (G, *), donde G = (0, ∞) \ {1} y x * y = xlny ver 2.B.3 / 2 tarea. Demostrar que H = {ex: ∈Q x, x> 0} subgrupo de G.

H 2 (G, •) es un grupo y H = {g ∈ G: gx = xg, ∀x ∈ G} de G es el conjunto de elementos que son intercambiables con otro elemento. Demostrar que G ≤ H (H es el grupo G en el centro, marcando H = Z (G), G es conmutativo si y sólo si Z (G) = G). 3. Sea H (G, •) y un grupo de H1, H2, H3 ≤ G. Demostrar que a) H1 ∪ H2 G⇔H1 ≤ ≤ ≤ H2 o H1, H2,

b) H2 = H1 ∪ G⇔H1 = G = G o H 2,

c) ⊆ H1 H3 ∪ H2⇔H3 ≤ ≤ H1 H2 H3 o.

3.G. Tema

Sea (G, •) es un grupo y x ∈ G. Considerar las x, x2, x3, ... ∈ G artículos. Si hay un número ∈N * k, que xk = e, el número más pequeño tal del elemento x de G a la resolución con llámame y decir que x es orden finito, marcando OG (x) = p (x) = min {k ∈N *: x k = e}. Si no (si no existe tal número), entonces se dice que x es la notación de orden infinito: p (x) = ∞.

Aditiva guardia como el orden de los más pequeños HF mod x * k ∈N que kx = 0 ª

3.G.1. Prov. • cada grupo, p 1 (x) = e = 1⇔x.

• 2 (C * •) en p (i) = 4, p (-1) = 2 p (3) = ∞.

• 3. El grupo simétrico S3 sea ∈ τ S3, τ (1) = 2, τ (2) = 1, τ (3) = 3, marcado:

esta Política Política 3: p (σ) = 3.

Si x es orden finito p (x) = n, e, x, x2, ..., xn-1 elementos en pares de bosones callejón en cada x k, el poder ∈Z k igual a uno de ellos. De hecho, si xi = xj, donde 0 ≤ i <j ≤ n - 1, x j, i = e, 1 ≤ j - i <n, la contradicción, y xn + 1 = xnx = ex = x, x + 2 = xnx2 = EX2 = x2, ... Por lo general, si k = nq + r, 0 ≤ r <n cuerpo, entonces xk = (x) = xr qxr. Desde aquí, junto a

3.G.2. Teorema. (G, •) es un grupo, x ∈ G, p (x) = n ∈ N *. Si xk = e un k ∈Z de distancia, entonces n | k. ¤

Si p (x) = ∞, entonces xk, k ∈Z actuación ciones y cul ONB ozoek, porque si había i, j ∈Z, i <j, para que xi = xj, entonces xj = e, i, j - i > 0, una contradicción.

F Ez'ert si p (x) = ∞, entonces G es un grupo infinito. A continuación, el grupo G es finito, entonces cada elemento x del orden son finitos. Pero hay grupos infinitos en los que todos los pedidos de los elementos finitos.

3.G.3. Ejemplo. • Sea U = {∈C z: ∃n ∈ N *: zn = 1} es el conjunto de unidad compleja de una razón. Entonces (U •) grupo infinito aquí si Z1 y Z2 n1-th respectivamente. n2-th unidad uno, entonces una unidad z1z2 n1n2- primera ver 3.B.2., y si su enésimo una unidad, entonces p (z) ≤ n es finito.

3.G.4. Tareas. H 1. Demostrar que U = {z ∈C: ∃n ∈ N zn = 1} (infinito) grupo contemplación multiplicación. F

H x 2 Especifique las siguientes opciones en el orden especificado los grupos: a) x = 1, x = 2, x = -3 +) Grupo Z (,

b) x = -1, x = i x = grupo 2i (C * •)

c) x = b1, b2 = x, x = b4, el grupo (Z5 +),

d) x = b1, b2 = x, x = b4, el grupo (Z12 +)

Si (G, •) es un grupo y x ∈ G, luego vio que H = {x} = k k hxi ∈Z G es conmutativo subobjetivo barrido (sección 3.F.). Esto afecta a la siguiente

3.G.5. Teorema. Sea (G, •) es un grupo, x ∈ G, y H = G hxi≤

1) Si p (x) = ∞, entonces H es isomorfo a () grupos Z +.

2) Si p (x) = n, entonces H = {e, x, x2, ..., xn-1} y H es isomorfo al Zn + grupo Divisiones resto ().

Prueba. El uso de lo anterior, si 1) p (x) = ∞, entonces f (Z, +) → (H •), f (k) = x k isomorfismo porque biyectiva y las operaciones relativa f (k + `) = • xk = xk + `x` = f (s) f (`) para todo k, caso ∈Z. Así que (H •) '(Z) +.

Del mismo modo, si 2) p (x) = n, entonces f (Zn +) → (H •), f (bk) = xk isomorfismo porque biyectiva y las operaciones y por lo tanto como (H •) "(Zn +). ¤

3.G.6. Teorema. Si (G, •) es un grupo abeliano finito de orden n, entonces

i) para todo x ∈ elemento G xn = e, ii) para cada x ∈ G divisor de los elementos de G con el orden o (x) | n.

Prueba. i) Sea G = {g1, g2, ..., gn} sea posible hasta cualquier yx ∈ G. Entonces el xg1, XG2, ..., artículos XGN en vario número N, por lo que G es una permutación de productos que se obtiene desde donde G = {xg1, XG2, ..., XGN}. Obtenemos que: • ... • = gn g1g2 (XG1) (XG2) • ... • (XGN) el uso de la propiedad conmutativa:

g1g2 ... • • • ... • xng1g2 gn = gn, y xn = e. ii) el instante I) y sobre la base de 3.G.2. ¤

Usted verá que los 3.G.6 propiedades, no sólo los grupos abelianos, pero posible hasta cualquier grupos finitos pueden ser verdad.

Los números próximos MELET conocido Euler y Último Teorema de Fermat medio 3.G.6 congruencia tras las acusaciones.

3.G.7. Teorema. a) (teorema de Euler) Si n ∈N, n ≥ 2 y la ∈Z (a, n) = 1, entonces

aϕ(n) ≡ 1(mod n).

b) (el último teorema de Fermat) Si p es un número primo, el ∈Z 6 y p | a, entonces

ap−1 ≡ 1 (mod p).

Prueba. a) Aplicar el 3.G.6. Afirmación (U (Zn), •) Abel-grupo que φ (n) de orden, porque U (Zn) = {∈Zn en: 1 ≤ a ≤ n (a, n) = 1}, y Siguiente para

baφ (n) = b1, ∀ba ∈ U (Zn).

b) Caso particular a) para los que n = p es un número primo y φ (p) = p - 1 ¤

3.G.8. Tareas. H 1 (G, •) es un grupo y x, y ∈ G. Entonces p (x-1) = p (x) y p (xy) = p (yx).

Solución. (X-1) n = (x n) -1, ∀n ∈N * y por lo tanto (x-1) n = e e⇔xn, por lo tanto p (x-1) = p (x). Para todo n ∈ N * caso

Como tal, (XY) n e⇔ (YX) n = x-1 = 1-1y

yx)−1⇔(yx)n = e.

FH 2. Si un grupo fuera del elemento de unidad finita detalle del artículo pedido, entonces no es un elemento de primer orden.

Solución. Sea x ∈ G tal que x = 6, p (x) = n es finito. Si n es primo, entonces editar. Si no, entonces dejar que p | n, primo p y y = xn / p. 6 entonces Y = e y p (y) = p, porque yp = e y k <p, entonces YK 6 = e, porque kN / p <nF

3.H. Los grupos cíclicos

Si (G, •) es un grupo y x ∈ G, entonces vio que hxi = {xk: k} grupo ≤ G ∈Z AG cambiar el nombre de grupo cíclico, si existe un elemento x ∈ G a G = hxi. Entonces, cada elemento de G xk forma ∈Z de algún k, x elemento G Generale aquí. Si G es un grupo cíclico, conmutativa.

3.H.1. Prov. • 1 (Z, +) grupo cíclico Z = h1i = h 1i,

• 2 (Zn, +) grupo cíclico para todo n ∈N * Caso: Zn = hb1i,

• La tercera unidad de orden n s

{0,1,2, ..., n - 1}} grupo cíclico grupo porque Un = hε1i.

Con el F εkszamokat qué elementos Generale de la ONU, es decir, h = εki Un, n todo caso, designar a una unidad primitiva. Aquí εk primitiva si y sólo una unidad, si (k, n) = 1, 3.H.4 ver Sec.

Tarea. F

• 4 (Q +) grupo no cíclico Ver 3.H.2. Tarea.

3.H.2. Tarea. Demostrar que H (Q, +) no es un grupo cíclico.

Solución. Supongamos que ∃q ∈Q Q = HQI nq = {n} ∈Z. Entonces ∀x ∈Q⇒∃n ∈Z x = nq.

Sea x = q / 2, entonces q / 2 = nq⇒n = 2,1, una contradicción.

Los grupos cíclicos de los grupos estructuralmente más simples. El 3.G.5. Artículos por prompt:

F3.H.3. Teorema. (Una descripción de grupos cíclicos) 1) Si G es un grupo cíclico infinito, entonces G es isomorfo a (Z,) + grupo (por lo tanto los grupos cíclicos infinitas son isomorfos entre sí).

2) Si G es un grupo cíclico de orden n, entonces G es isomorfo al Zn + grupo Divisiones El resto ().

¤

Marcando el grupo cíclico infinito C (∞), los grupos cíclicos de orden n y C (n), éstos son a menudo los grupos Z y Zn aditivos referidos.

F 3.H.4. Tarea. Sea H, G es un grupo cíclico de orden n cuyos elementos x General. Demostrar que xr elemento General si y sólo si (r, n) = primera

Solución. Si hxri = G, entonces existe k de manera que x = XKR, desde cr ≡ 1 (mod n), es decir, n | (kr - 1). Si d | r y d | n, a continuación, después de que d | 1, por lo que (r, n) = primera

A la inversa, si (r, n) = 1, entonces ∃u v ∈Z de manera que ru = nv + 1, a partir de XRU = x y obtenemos que

f

F 3.i. NOTAS

El 3A definición que figura en la sección H. Weber, "Lehrbuch der Algebra" contabilidad en 1899, el primer papel.

El grupo, en lugar de que la definición usual de lo suficiente para requerir lo siguiente: (G, •) es una un grupo que existe derecho elemento unitario ej ej y cada detalle del artículo de inversa derecho pertinente Ver 3.I.1 / 1.2 Tareas.

En otro grupo, históricamente la primera definición de (E Cayley, 1854): (G, •) no está vacío para Grupos llamarme si G tiene las soluciones son x = b y b = ecuaciones y ver 3.I.3 .

Tarea.

3.I.1. Tareas. H 1 (G, •) es un grupo. Supongamos que

i) que especifica el elemento de unidad de la derecha: ∃e ∈ G: xe = x, ∀x ∈ G, ii) cada detalle del artículo relativo a este derecho desde el inverso:∀x ∈ G∃x0 ∈ G: xx0 = e.

Demostrar que G es un grupo entonces.

Solución. ∀x ∈ G⇒x0 G⇒∃ ∈ (x0) = 0 y: = e x0y, desde x0x = (x0x) e = (x0x) (x0y) = x0 (xx0) = y = x0ey x0y = e, por lo x0x = E, y ex = (xx0) = x (x0x) = xe = x, es decir, x = ex. Junto a este elemento unitario de la inversa de la x y x0, es decir, grupo G.

H 2. Dé un ejemplo de un grupo en el que existe la derecha elemento unitario ej, ej de cada elemento tiene una inversa izquierda del grupo de relevantes y cuáles no lo son.

Solución. Sea S = {a, b, c, d} y = xy x, ∀x, y ∈ S, l'2.D.1 asd, cada elemento de guía S en derecho elemento unitario g, y todas las características de todo x ∈ S zx = z, por lo que x tiene una inversa izquierda z-z es considerado.

3. Sea H (M •) es una (no vacío) al grupo. Demostrar que M si y sólo si el grupo si se encuentran en la M x = b y b = ecuaciones solución y (único). (Esta es también la condición

Puedes seleccionar una traducción de surjective para todo a ∈ M)

Solución. La necesidad es cierto (línea). El ejemplo: Deje a0 ∈ M, la ecuación a0x = A0 ∈ M existe una solución que A0E = A0. Demostrar que ae = a, ∀a ∈ M.

El ya0x = detalle la solución M y = y0 ∈ ecuación, que y0a0 = a. Así e = (y0a0) e = y0 (A0E) = la = y0a0, por lo que esta unidad de la derecha Egel.∀x ∈ M⇒∃x0 ∈ M: xx0 = e (e = xz ecuación tiene una solución), por lo que el x-x0 derecha inversa.

La tarea previa como tal en el grupo M.

H 4. Sea (M •) es una (no vacío) grupo finito arriba. Demostrar que M si y sólo si el grupo si ∀a, x, y ∈ M: x = ay⇒x = y y x = y = ya⇒x. (Esta es la condición puede ser definida

Que traducción inyectiva de cualquier a ∈ M)

Solución. La necesidad de verdaderas (reglas de simplificación). El EGS se queme por ejemplo: Condiciones con

De acuerdo con una inyección, pero desde M finito, y por tanto también sobreyectiva, y utilizar su trabajo anterior.

Todas las formas, respectivamente. Asignable al cuerpo del avión, respectivamente. Tener un grupo de transformaciones, que consiste de las transformaciones de los que las formas, respectivamente. t se aplica en el cuerpo. Tal es 2.B.4. Como se define en el llamado cuarto y en este grupo. Grupos Diederik, ver más abajo.

Los grupos en los que cada elemento de orden finito distorsionan renombrar grupos, como por ejemplo, cada grupo finito es un grupo de la razón seggyok U que grupos de torsión tienen orden finito n. Si la unidad Egel todos los elementos excepto Rendu sin fin, el grupo le torziomentes hablaron, como el grupo de números racionales positivos.

Si el grupo G tiene una gama de puntos xey a la que p (x) = ∞, 2 ≤ p (y) <∞, entonces G se llama un grupo mixto, tal como (Q * •), donde p (-1) = 2 f.

3.j. Tareas

H 1. Sea S un conjunto arbitrario de (G, •) es un grupo y f: S → G es una función biyectiva. Demostrar que x * y = f-1 (f (x) f (y)) Estructuras de un grupo definido por el conjunto S.

H 2 Probar que (Q, +) y grupos (R, +) no son isomorfos.

Solución. En primer mod. Si quieres ser isomorfos, entonces | Q | = | R | ser, pero sabemos que Q es numerable, R no es.

2. Directamente Felton. detallado. f : Q → R isomorfismo, entonces f (0) = 0 y ∃a ∈ Q = 6 a 0:

f (a) = 2, b = ∈Q ∃b 6 0 f (b) = 1. Sea akkor na = mb, f(na) = f(mb), , Una contradicción.

Sea M y N H 3 sets y f: M → N es una función biyectiva. Demostrar que

(SM, ◦) (SN ◦).

Solución. Sea F: SM → SN, F (φ) = f ◦ φ ◦ f-1, ∀φ ∈ MS. Este isomorfismo. De hecho, morfismo F, porque F (φ ◦ ψ) = f ◦ (φ ◦ ψ) ◦ f-1 = (f ◦ φ ◦ f-1) ◦ (f ◦ ψ ◦ f-1) = F (φ) ◦ F (ψ) y F biyectiva porque composición función biyectiva.

FH 4. Sea M una Establecer y (G, •) es un grupo. GM = {f | f: M → G} es

Interpretar lo siguiente: (fg) (x) = (x) g f (x), ∀x ∈ M. Demostrar que G es un grupo y puede ser embebido en GM, que existe un φ: G → GM morfismo inyectivo.

Orientación. ∀a ∈ G se puede φ (a) = árbol donde fa (x) = a, ∀x ∈ H 5 M. Demostrar que (Z × Z, +) no es un grupo cíclico.

Solución. Supongamos que (Z × Z, +) es cíclico, entonces - como sin fin - ya que es isomorfo a (Z, +) grupo, por lo que existe una función f: Z × Z → Z es un isomorfismo. Sea f (1) = (a, b), entonces f (2) = (2a, 2b) Por lo general, f (x) = (xa, xb) para todo x ∈ Z de distancia. Aquí f sobreyectiva, por lo tanto, existe n ∈Z de manera que f (n) = (1,1). A partir de (na, nb) = (1,1), na = nb = 1, es decir, n = a = b = 1, n = a = b = -1. Primer caso, f (1) = (x, x), ∀x ∈Z el segundo caso f (1) = (-x, -x), ∈Z ∀x. Pero entonces, por ejemplo. (1.0) no es Kepel, una contradicción. F

6. Sea H

¿Es cierto que el grupo R de la multiplicación de matrices Bound?

Solución. ¡Sí! Sin embargo, el K-borde de matrices singulares, es decir, no hay inversa.

Podemos concluir que (*), donde, Kn Así que la operación de multiplicación.

La multiplicación de matrices es asociativa y (*) sobre la base de Kn es conmutativa. A (x) (E) = A (x) a partir de e = 0, por lo que (0) elemento neutro. , De modo que (x) la inversa (simétrica) A (x). cinturón que (K •) grupo abeliano.

7. Sea H M (A +) y (B +) son grupo abeliano. Si f, g ∈ Hom (A, B), permiten f + g: A →

B, (f + g) (x) = f (x) + g (x), ∀x ∈ A. Demostrar que

a) (Hom (A, B) +) grupo abeliano,

b) (Hom (Z, A) +) (A +)

c) Hom (Q, Z) = {0}.

Solución. b) La resolución de problemas 3.E.5 / 4 Después, al lado de Hom (Z, A) = {árbol: Z → A | fa (x) = x, a ∈ A}, y φ (Hom (Z , A) +) → (A +), φ (madera) = el isomorfismo.

De otra manera perjudicial para dirigir ul justificado que Γ (Hom (Z, A), +) → (A +), Γ (f) = f (1) isomorfismo.

c) Supongamos que f (Q, +) → (Z, +), un morfismo f 0 = 6. Entonces existe x ∈ Q de manera que f (x) = z * ∈Z. Desde aquí y siguiendo que n | z para todo n ∈N * serie de contradicciones.

De lo contrario perjudicial para f (x) = xt (1), ∀X ∈Q donde f (1) ∈Z, que surgen en la misma forma que 3.E.5 / 4. Si f (1) 6 = 0, tener, aquí, una contradicción.

8. Sea H (A, +) es un grupo abeliano y m, n ≥ 2. Demostrar que a) (Hom (Zn, A) +) (An +), donde An = {a ∈ A: nd = 0}

b) Hom (Zn, Z) = {0}

c) (Hom (Zn, Zm) +) (Z (n, m) +)

d) (Aut (Zn, +), ◦) (T (Zn), •).

Solución. a) las funciones anteriores son similares:

Hom(Zn,A) = {f : Zn → A : f(xb) = xa,a = f(b1) ∈ An}.

Aquí, ∈ = f (b1) An, 0 como f = (b 0) = f (nb) = n. Entonces Γ (Hom (Zn, A) +) → (An +), Γ (f) = f (b1) = el isomorfismo.

b) En este caso, A = Z, (Z) n = {z ∈ Z: nz = 0} = {0} y de acuerdo con a) Hom (Zn, Z) = {f: Zn → Z f (xb) = x a = f (b1) = 0} = {0}.

c) El I = Zm (Zm) = {n ∈ Zm xb: nxb = b0} en a) anterior (Hom (Zn, Zm) +) ((Zm) n +).

Determine (ZM) n elementos. Para ello, ando resolver la ecuación nxb = B0, donde xb ∈ Zm. Aquí nx = mb, b ∈ Z y sea x ∈ {0, 1, ..., m - 1}. Sea d = (n, m) mcd, entonces (n / d m / d) = 1 y (n / d) x = (m / d) sobre la base b (m / d) |. X y

y todos ellos están dispuestos matrimonio. Además isomorfismo.

d) En el caso de Zn = Zn = Fin (Zn, +) = {f: Zn → Zn f (xb) = = Xba x, c} en ∈Zn. Aquí f ∈ End (Zn, +) biyectiva ⇔ f surjective ⇔∃bk ∈Zn f (bk) = b1 = ∈ KAC (como Zn elemento cíclico b1 Generale morfismo y f) ⇔ en U (Zn) (invertida).

Además, después de que Ψ (Aut (Zn, +), ◦) → (U (Zn), •), Ψ (f) = f (b1) está bien definido isomorfismo. F

4 Grupos

4.A. Grupo de subconjuntos de grupo

Sea (G, •) es un grupo G y considere los subconjuntos. Si H, K ⊆ G (H, K ∈P (G)) que definen estas multiplicando de esta manera:

HK HK = {h ∈ H y k ∈ K}.

Si H = {h} es un elemento, todos los datos: ¨

hK = {hk: k ∈ K}.

Si H = ∅ o K = ∅, entonces HK = ∅.

Si G es un grupo, entonces G ∈ ∀g GG = Gg = G (GG porque ⊆ G ∀y evidente ∈ G y y = g (g-1a) ∈ gG, por lo gG ⊆ G, donde G = gG similares la otra).

Aditivamente marcada si H y K (G, +) grupo y un subconjunto de h ∈ G, entonces

H + K + k = {h: h ∈ H y k ∈ K}, {h = h + K + k: k ∈ K}.

4 Grupos

4.A. Grupo de subconjuntos de grupo

Sea (G, •) es un grupo G y considere los subconjuntos. Si H, K ⊆ G (H, K ∈P (G)) que definen estas multiplicando de esta manera:

HK HK = {h ∈ H y k ∈ K}.

Si H = {h} es un elemento, todos los datos: ¨

hK = {hk: k ∈ K}.

Si H = ∅ o K = ∅, entonces HK = ∅.

Si G es un grupo, entonces G ∈ ∀g GG = Gg = G (GG porque ⊆ G ∀y evidente ∈ G y y = g (g-1a) ∈ gG, por lo gG ⊆ G, donde G = gG similares la otra).

Aditivamente marcada si H y K (G, +) grupo y un subconjunto de h ∈ G, entonces

H + K + k = {h: h ∈ H y k ∈ K}, {h = h + K + k: k ∈ K}.

Prueba. "1) ⇒ 2)" Si H ≤ G, e ∈ H 6 = ∅ (material) y ∀x DEFINIDO, y ∈ H

xy ∈ H. Sin embargo, x-1 ∈ H, ∀x ∈ H (A).

"2) ⇒ 3)" bajo los términos de la H 6 = ∅ evidente, y ∀x, y ∈ H, y ∈ H-1 y xy-1 ∈ H.

"3) ⇒ 1)" H 6 = ∅, por lo tanto, existir, xy = x (y-1) -1 ∈ H, por lo que H cerró las operaciones contemplando. La operación es asociativa en H, debido a que el elemento de identidad G-existente en H, ya que e ∈ H y H-final es la inversa de x y x-1 ∈ H. ¤

Nota. El punto 2) de las Condiciones con que aparecen de manera escrita: HH ⊆ H-1 y H ⊆ H, y un punto 3): HH-1 ⊆ H. éstos igualdad se puede escribir con más precisión, lo siguiente es cierto

4.B.2. Teorema. (Grupos caracterización de nuevo) Si (G, •) es un grupo y H ⊆ G, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

* 1) H ≤ G, es decir, parte H, 2 *) H 6 = ∅, HH = H y H 1 = H, 3 *) H = ∅ y 6 MM-1 = H.

Prueba. "* 1) ⇒ 2 *) Si H ≤ G, entonces el artículo anterior, según ∅ 6 H, HH ⊆ H-1 y H ⊆ H. más ∀h ∈ H, h = él ∈ HH, así que H ⊆ MM. Sin embargo ⊆ H H 1 porque ∀h ∈ H, h = (h-1) -1 1 ∈ H desde H ≤ G durante 1 h ∈ H.

"* 2) ⇒ 3 *)" inmediata * 2) Basado en MM-1 = HH = H.

"3 *) ⇒ 1 *)" MM-1 = H⇒HH ⊆ H-1 y se aplica al elemento anterior "3) ⇒ 1)" implicación. ¤

4.B.3. Ejemplo. • Si (G, •) es un grupo y Z = H (G) = {g ∈ G: gx = xg, ∀x ∈ G}, Z (G) ≤ G, Z centro del grupo G (G), ver 3.F.6. Tarea. G es conmutativo si y sólo si Z (G) = G

Se demuestra que Z (G) ≤ G. De hecho, utilizando el teorema de caracterización: e ∈ Z (G) 6 = ∅ porque ∀x ∈ G: ex = xe (= e); donde g, h ∈ Z (G), entonces ∀x ∈ G (GH) x = g (L x) = g (x L) = (GX) = h (x g) = h x (GH) ⇒gh ∈ Z (g) y donde g ∈ g, entonces ∀x ∈ g: g 1 x = (x 1 g) -1 = (GX-1) -1 = x g-1, a partir de 1 g ∈ Z (g).

4.B.4. Tarea. Sea H (A, +) es un grupo abeliano A y B, C ≤ A. Demostrar que el B + b + c = {b ∈ B, c ∈ C} es el subconjunto de (el B y C cantidad). El (Z, +) grupo que lo haremos (NZ general MZ) cantidad 2Z y 3Z?

Lo que el F es la posibilidad de que un grupo arbitrario eran parte de un grupo para ser parte de un grupo multiplicando? Esto da la siguiente respuesta

4.B.5. Teorema. Sea (G, •) es un grupo y H ≤ K ≤ G. Entonces G ⇔ HK HK = KH.

Prueba. Deje H, K ≤ G ≤ G si HK, que 4.B.2. Según = HK (HK) -1 =

K-1 H-1 = KH. Y si HK = KH, entonces (HK) (HK) = H (KH) R = H (HK) Q = (HH) (CM) =

Y HK (HK) -1 = K-1 H-1 = HK = KH y llegar a HK ≤ G. ¤

Si G es un grupo abeliano, entonces las condiciones HK = KH con HK llenan automáticamente siempre parte de un grupo se multiplica por los subgrupos pertinentes ver 4.B.4., Cuando la escritura se realiza de forma aditiva. F

4.B.6. Teorema. Sea f: G → G0 es un morfismo grupo.

a) si H ≤ G, entonces f (H) = {f (h): h ∈ H} ≤ G0

b) f (G) ≤ G0, es decir, el grupo homomórfica grupo de auto

b) si H0 ≤ G0, entonces f-1 (H0) = {g ∈ G: f (g) ∈ H0} ≤ G.

Prueba. Utilice el teorema de caracterización de subgrupos: suficiente para demostrar que

a) para el e ∈ H, f (e) = e 0 ∈ f (H) 6 = ∅, y ∀x, y ∈ H, f (x) f (y) -1 = f (x) f (y-1) =

f (xy-1) ∈ f (H).

b) que el caso especial H = G

c) e ∈ f-1 (H0) = ∅ 6, ya que f (e) = e 0 ∈ H0, y ∀x, y ∈ f-1 (H0) es: f (x), f (y) ∈ H0 y

f (x-1) = f (x) f (y) -1 ∈ H0 para esto xy-1 ∈ f-1 (H0). ¤

4.B.7. Tarea. Si (G, •) es un grupo, entonces (Auto (G) ◦) ≤ (SG ◦).

4.C. Morfismo grupo central y las imágenes

Si f: G → G0 es un morfismo grupo, entonces Ker (f) = {x ∈ G es: f (x) = e 0 f} es el núcleo del FMI = f (G) = {f (x) x ∈ G } es el de f o imagen como Figura 3.

4.C.1. Teorema. Si f: G → G0 es un morfismo de grupo, a continuación,

a) de ranura ≤ G

b) FMI ≤ G0, por lo que cada morfismo grupo central y las imágenes (grupo cocientes) subgrupo. Prueba. El 4.B.6. consecuencias. Sea H = G y H 0 = {e 0}, que de ranura = f-1 ({e}).

¤

4.C.2. Tarea. Sea f: G → G0 es un morfismo grupo. f es inyectiva si y sólo si de ranura = {e}.

Solución. E "⇒" ∈ ranura Es porque f (e) = e0. Supongamos que x ∈ de ranura, entonces f (x) = 0 e = f (e), y desde f es inyectiva, junto a x = e.

"⇐" Sea x, y ∈ G, de modo que f (x) = f (y). Entonces f (x) f (y) = e 0 -1 f (xy-1) = 0 e, e 1 = xy, donde x = y, por lo F es inyectiva.

4.D. Los grupos cíclicos Grupos

Ahora, para mostrar que cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico, más precisamente:

4.D.1. Teorema. (Los grupos cíclicos Grupos) un grupo cíclico cada subgrupo cíclico. Además

1) Si G = grupo cíclico {x k k} ∈Z infinito, entonces G tiene un número infinito de subgrupos son y son los siguientes: Hm = hxmi xkm = {k} ∈Z donde m ∈N.

´abra 3.

Kerf

Imf 0

e

f 0

GG

2) Si G = {e, x, x2, ..., xn-1} es un grupo cíclico de orden n, entonces G escisión de grupos de igual número de divisores positivos de n es el número y la parte de los grupos son los siguientes: Hm = {e = hxmi , xm, X2M, ..., x n-m}, donde m ∈N * m | n, con el fin Hm n / m.

Prueba. Sea G = hxi ser un grupo cíclico y H ≤ G. Si H = {e}, entonces H = hei cíclico.

Si H = 6 {e}, entonces existe y ∈ H \ {e} y este elemento para todo x: ∈Z ∃k: y = x k, donde k 6 = 0, ya que x0 = e. Entonces x = k (x-1), k ∈ H H desde subgrupo. K y L k eos uno es positivo, por lo que M = {k ∈N *: xk ∈ H} no está vacío. Sea m = Minmi. Se demuestra que hxmi H, que es cíclico.

De hecho, xm ∈ H ⇒hxmi⊆ H. Por el contrario, ∀h ∈ H ⇒ x = h, y ser ∈Z = mq + r, donde q, r ∈Z, 0 ≤ r <m (división con teorema del residuo). Entonces MQ-xr = x` = x` (xm) q ∈ H. Pero entonces m es mínimo resultante de la r = 0, donde h = (xm) q ∈hxmi.

1) Si G es un grupo cíclico infinito, el hxmi Hm = m ∈N Grupos de Higgs y en contra de. Aquí H0 = hei = {e}, G = H1 = hxi

2) Si G = {e, x, x2, ..., xn-1} es un grupo finito cíclico, entonces xn = e para todo m ∈ Hm, por lo que n = mk forma, es decir, m | n. Hmm elementos XUM Así, donde 0 ≤ u ≤ n / m-1 porque u = n / m x (n / m) = m x n = e. Si m | n, entonces Hm s título callejón parte ONB OZO barrió en hxi = H1 = G = Hn = hxni hei = {e}.

F ¤

Nota. 4.D.1. 2) en Hm para que pueda especificar: Hm = {g ∈ G: GN / m = e}, donde m | n.

4.D.2. Prov. • Grupos de (Z, +) grupo cíclico: NZ = {k ∈Z nk}, donde n ∈N aquí 0z = {0}, 1Z = Z.

• El (Zn, +), n ∈N * subgrupo cíclica del grupo: donde m | n.

4.D.3. Tarea. Definir H (Z6, +) es parte de grupos.

responder. H1 = {b0, b1, b2, b3, b4, b5} Z6 = H2 = {b0, b2, b4}, H3 = {b0, b3}, H6 = {b0}.

4e Generale subgrupo

Si (G, •) y un grupo de H1, H2 Grupos, vieron que H1 H2 ∪ lo general no forma parte de un grupo. Considérese, por lo tanto, la más pequeña (dentro de la resolución de ese momento) subgrupo contiene H1 y H2 fue. En general, se define un subconjunto de registros del grupo más pequeño de lo siguiente: ¨

Sea (G, •) es un grupo y X ⊆ G. Entonces

hXi = ∩{H : H ≤ G,X ⊆ H}

subgrupo de G tiene 3.F.5. de acuerdo con el nombre del subgrupo que genera X, X, al sistema de nombre dentro de géneros. Este X que contiene toda la H-sección subgrupos, por lo que es la parte más pequeña de un grupo que incluye X, et.

Si X = {x}, y después hXi = hxi llamado subgrupo cíclico generado por nosotros o x es parte de un grupo, que ya es más definida. Recuerde que h∅i = {e}.

Si X es un conjunto finito, entonces hXi generación finita subgrupo.

La siguiente declaración tras la definición de:

4.E.1. Teorema. (Propiedad del subgrupo generado) Si (G, •) es un grupo y X ⊆ G,

a) G hXi≤ X ⊆hXi,

b) Si X ⊆ H y H ≤ G, entonces H hXi≤,

c) dejar que H ⊆ G, entonces H = H ≤ G ⇔hHi ¤

Es importante saber cómo conseguir el subgrupo X generada por nosotros, si sabemos que los elementos de X. hXi contiene todo x ∈ X, y estas inversas número finito X ∪ X-1 elemento final se multiplica.

Se estropean clase de G por un lado. Más específicamente:

4.E.2. Teorema. Si (G, •) es un grupo y ∅6 = X ⊆ G, entonces

hXi = {x1x2...xn|n ∈N∗,xi ∈ X ∪ X−1,∀1 ≤ i ≤ n},donde X = {1-x-1 | x ∈ X}, que hXi de todo el producto de todo un número finito factor que tiene el factor X de elementos de borde y sus inversas (de otro modo perjudiciales: los elementos X de final de potencias exponenciales positivos y negativos de todas las multiplicaciones ).

Prueba F. (Avanzado) Let

R = {x1x2 ... xn | n ∈N * xi ∈ X ∪ X-1, ∀1 ≤ i ≤ n}.

Esto incluye X: X ⊆ R, ya que para todo x ∈ X x es un factor de multiplicación (n = 1). Se demuestra que K ≤ G. De hecho, X tiene un elemento mínimo xy xx-1 = e ∈ K 6 = ∅, y: ∀x = x1x2 ... xn, y = Y1Y2 ... ym ∈ R ⇒ xy = x1x2 ... xn-1 (Y1Y2 ... ym) = -1

= X1X2 ... xnym 1ym-1-1-K ∈ y1-1 ...

(Grupos caracterización teorema!) Por lo tanto hXi = K ∩ () ∩ () ∩ K ⊆ hXi ... y, más específicamente hXi≤ K.

Se demuestra que R es la parte más pequeña de un grupo que incluye a X, es decir ∀H ≤ G, H, X ⊆ K ⊆ H. incluso, en algunos casos, cuando ∀y ∈ R ⇒ y xi en forma de x n = x1x2 ... ∈ X ∪ X-1 y obtenemos que y ∈ H, ya que H subgrupo. Así K ⊆hXi.

Como se señaló anteriormente, K = hXi ¤F

Si x1, ..., xn como pares de piezas intercambiables (especialmente si el grupo es conmutativa), entonces

donde X = {1-x-1 | x ∈ X}, que hXi de todo el producto de todo un número finito factor que tiene el factor X de elementos de borde y sus inversas (de otro modo perjudiciales: los elementos X de final de potencias exponenciales positivos y negativos de todas las multiplicaciones ).

Prueba F. (Avanzado) Let

R = {x1x2 ... xn | n ∈N * xi ∈ X ∪ X-1, ∀1 ≤ i ≤ n}.

Esto incluye X: X ⊆ R, ya que para todo x ∈ X x es un factor de multiplicación (n = 1). Se demuestra que K ≤ G. De hecho, X tiene un elemento mínimo xy xx-1 = e ∈ K 6 = ∅, y: ∀x = x1x2 ... xn, y = Y1Y2 ... ym ∈ R ⇒ xy = x1x2 ... xn-1 (Y1Y2 ... ym) = -1

= X1X2 ... xnym 1ym-1-1-K ∈ y1-1 ...

(Grupos caracterización teorema!) Por lo tanto hXi = K ∩ () ∩ () ∩ K ⊆ hXi ... y, más específicamente hXi≤ K.

Se demuestra que R es la parte más pequeña de un grupo que incluye a X, es decir ∀H ≤ G, H, X ⊆ K ⊆ H. incluso, en algunos casos, cuando ∀y ∈ R ⇒ y xi en forma de x n = x1x2 ... ∈ X ∪ X-1 y obtenemos que y ∈ H, ya que H subgrupo. Así K ⊆hXi.

Como se señaló anteriormente, K = hXi ¤F

Si x1, ..., xn como pares de piezas intercambiables (especialmente si el grupo es conmutativa), entonces

Solución. Supongamos que Q = HQ1, ..., QRI = {+ ... + k1q1 krqr: a ∈ Z}, donde,

(Mi, ni) = 1, donde los números racionales. ∈Z Entonces ∃ki:

por lo tanto una contradicción.

4.f. Componentes y sub-objetivos Grupos Lo que se conjugan

Sea (G, •) es un grupo. Si x, y ∈ G, entonces nos dicen que los elementos x y conjugadas, marcando x ~ y si ∃g ∈ G: y = GXG primero Esta es una relación de equivalencia x ∈ G Gn y elementos de la clase de equivalencia, es decir GXG - 1 elementos, donde ∈ G, x está conjugado g nominar Jain, marca: GX = GXG - primero

4.F.1. Tarea. H i) muestran que el "~" equivalencia G n.

ii) denota la equivalencia de clase x xe. Demostrar que xe = {x} ⇔x ∈ Z (G). Solución. i) reflexividad: x ~ x, porque ∃e ∈ G: x = -1 exe, simetría: si x ~ y luego ∃g ∈ G: y = GXG 1⇒x 1yg⇒y = g ~ x,

La transitividad: x ~ y ~ y z⇒∃g h ∈ G y = GXG-1, 1⇒z-z hyh = h (GXG-1) h = 1 (hg) x (hg) -1 ⇒ X ~ z. ii) "⇒" Suponemos que xb = {x}. Preguntas que x ∈ Z (G) ⇔∀y ∈ G xy = yx⇔∀y ∈ G: x =

YXY-1? Sea YXY-z⇒z 1 = ~ = x x⇒z hasta la edición por lotes.”⇐” que ∀x ∈ Z(G). entonces x ∈ xb⇒{x}⊆ xb (evidente). Pregunta: xb ⊆{x} ? ∀y ∈ G : y ∼ x⇒∃g ∈ G : y = gxg−1 = xg g −1 = x,, usando que x ∈ Z (G). y = x⇒xb⊆{x}.

Del mismo modo, si H ≤ G, entonces H subgrupo se conjugó con el gei-1 = GEI {1: h ∈ H} subconjunto, donde g ∈ G, marcando gH = g H g primero AH subgrupo fue subgrupos conjugados, que está al lado de los siguientes elementos.

4.F.2. Teorema. Sea G un grupo.

a) Si g ∈ G, entonces τg: G → G, τg (x) = gx = GXG automorfismo de (llamados automorfismos internos del G-1)

b) Si H ≤ G, g ∈ G, entonces G ≤ 1 GEI

Prueba. a) Cada morfismo τg porque τg (x1x2) = g (x1x2) = 1 g

= (Gx1g-1) (gx2g-1) = τg (x1) τg (x2), x2 ∀x1 ∈ G. Por otra parte, si y = GXG-1, entonces x = g 1YG donde obtiene biyectiva y τg instilación τg inversa primero

b) GEI τg = 1 (H) ≤ G 4.B.6. Fondo (grupo homomórfica, grupo de auto). ¤

Decimos que subgrupo subgrupos H, K conjugado H ~ K marcado si ∃g ∈ G: K = GEI primero

4.F.3. Tarea. H Demostrar que el "~" equivalencia G subgrupo del conjunto.

F 4.g. Isabel Grupo participó suma directa de grupos ¨

Sea (A, +) es un grupo abeliano A y B, C ≤ A, entonces B + b + c = {b ∈ B, c ∈ C} ≤ A, consulte 4.B.4. Decimos que la suma directa de B y C de, donde cada elemento a ∈ A claramente escrito en la forma a = b + c, donde b ∈ B, c ∈ C. Símbolos: A = B ⊕ C (escritura multiplicativo modo, la ⊗ B = C, entonces el nombre del producto directo).

4.G.1. Teorema. Sea (A, +) es un grupo abeliano A y B, luego C ≤ A

1), las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i) = B ⊕ C, ii) A = B + C y B ∩ C = {0}, iii) f B x C → A, f ((b, c)) = b + c isomorfismo

2) si A = B ⊕ C y un grupo finito, entonces | A | = | B | • | C |.

4.G.2. Teorema. Si G es un grupo cíclico, | G | = mn, donde (m, n) = 1, entonces G es G = H ⊗ K tasa de producto directo descomponible, donde H y K subgrupo cíclico y | H | = m | M | = n.

4.G.3. Tareas. H 1. Demostrar la 4.G.1. y 4.G.2. alegaciones.

Solución. 4.G.2. Certificado: Sea G = hxi. Demostrar que G = hxmi × hxni. De hecho, (m, n) = 1 para ∃r y ∈Z: rm + 1 = Sn para todo t = xt XRTM STN = + (XM) r (x) ∈hxmihxni st. Además, si xn = xkm ∈hxmi∩hxni entonces xkm n = e, MN | km - n de n | mi y (m, n) para n = 1 | k, y k = nu = xkm xnmu = e . Teh'at hxni H = K = hxmi.

2 i) Aplicar 4.G.2. Estaba el grupo (Zmn +) y mostrar que Zmn Zm × Zn, donde (m, n) = 1 ii) muestran que la (ZPK, grupo +), donde p es primo, k ∈N * se degrada dos verdad

parte de un grupo multiplicado por el punto (esto también es cierto para todos grupo cíclico para poder primero).

Solución. ii) Supongamos que A = B = ZPK ⊕ C, donde B, C ≤Zpk, | B | = pt, | C | = ps, donde 1 <t, s <k. Aquí pk = | A | = | B | • | C | Ver 4.G.1. Usted puede ordenar todos los elementos de B ≤ pt (lo que es más, tiene un pt divisor) en C, todos los elementos de ≤ ps (ps tiene un divisor). Al lado de cada uno de los artículos que ordenan ≤ Pmax (t, s) = pr, donde r <k. De hecho, fue todo a ∈ A a = b + c, donde b ∈ B, c ∈ C (claramente) y pra pr = (b + c) = PR (PTB) + de PR (PSC) = 0 , por lo tanto, el orden ≤ pr. Esto contradice el hecho de que ZPK cíclico, que es p k elemento suprarrenal.

4.h. Cayley teorema

El siguiente teorema muestra la importancia del grupo simétrico:

4.H.1. Teorema. (Cayley) Todo grupo (G, •) se pueden incrustar en un grupo simétrico, es decir, G es isomorfo al grupo simétrico es un SG subgrupo.

Prueba. Si a ∈ G, deberá tomarse t: G → G t (x) = x (traducción de la izquierda), que es la función biyectiva, es decir, t ∈ SG. Deje φ: G → SG, φ (a) = t.

Demostrar que φ es morfismo inyectivo. De hecho, ∀a, b ∈ G: φ (b) = pestaña, donde ∀x ∈ G: φab (x) = pestaña (x) = (ab) x = a = (bx) ta (tb (x)) = (t ◦ tb) (x) = (φ (a) ◦ φ (b)) (x). Así que φ (ab) = φ (a) ◦ (b) φ

Además, si φ (a) = 1G, a continuación, ∀x ∈ G: t (x) = x = x, de ahí el = e, por lo Kerφ = {e} y después de que φ es inyectiva.

El primero es isomorfo a G, φ (G) con un subgrupo de SG. ¤

F 4.I. Grupos juego nuestros artículos, si lo desea serán las siguientes propiedades:

4.I.1. Teorema. (Grupos de mapeo teorema) Sea f: G → G0 es un morfismo grupo sobreyectiva. Entonces todo G0 K ≤ existe una y sólo una H ≤ G, de modo que de ranura ≤ H y F (H) = K, es decir, H = f-1 (K). Así biyectiva correspondieron a conocida G tiene 7 H → f (h) y subgrupo G0 Kerf- que contiene un subconjunto de la población allí.

Prueba. Supongamos que K ≤ G0 donde existe una H ≤ G, que de ranura ≤ H y F (H) = H = K. Entonces es sólo f-1 (K) puede ser. De hecho, ∀h H⇒f ∈ (h) ∈ f (H) = K⇒h ∈ f-1 (K) ≤ ⇒H f-1 (K). Por el contrario, ∀x ∈ f-1 (R) ⇒f (x) ∈ R = f (H) ⇒∃h ∈ H, f (x) = f (h) ≤ ranura Es ⇒xh-1 ∈ H, x = desde xh-1h ∈ H, f-1 (R) ≤ H.

Ahora vamos H = f-1 (K). Sabemos que este subgrupo de G tiene al ∀x ∈ Kerf⇒f (x) = e0 ∈ K⇒x ∈ f-1 (K) = H, de manera de ranura ≤ H.

f (H) = f surjectiva (f-1 (R)) = Rf por cierto si x ∈ H, entonces f (x) ∈ K⇒f (H) ⊆ R, y viceversa, y ∈ K⇒∃ x ∈ G es: f (x) = y (aquí debería surjectiva) de x ∈ f-1 (K) e y = f (x) ∈ f (f-1 (K)) = f (H) ⇒K ⊆ f (H). ¤

4.I.2. Tarea. a) Sea f: G → G0 es un morfismo grupo H ≤ G y N = de ranura. Entonces f-1 (f (H)) = HN = NH.

b) Si f: G → G0 es un surjective morfismo grupo ≤ G0 y H0, entonces f (f-1 (H0)) = H0.

Solución. a) ∀x ∈ f-1 (f (H)) ⇒f (x) ∈ f (H) ⇒∃h ∈ H, f (x) = f (h) ⇒f (XH-1) = e⇒xh -1 ∈ N⇒xh = n-1 ∈ N⇒x = nh ∈ NH.

Por el contrario, ∀x ∈ NH⇒f nh = (x) = f (n) f (h) = f (h) ∈ f (H) ⇒ X ∈ f-1 (f (H)), por lo que f-1 ( f (H)) = NH.

También, f (H) ≤ G0⇒f-1 (f (R)) ≤ G, ver Teorema, así que aquí está la 4.B.5 NH ≤ G. De acuerdo con el Teorema

HN = NH.

b) Aplicar 4.I.1. Teorema. F

4.j. Tareas

Sé el primero en el grupo H, G, H ⊆ G es no vacío y finito. Demostrar que H si y sólo si G ha barrido sub-goal, si ∀x, y ∈ H⇒xy ∈ H (es decir, H Zar subconjunto).

s si ∀x, y ∈ H⇒xy ∈ H (es decir, H Zar subconjunto).

Solución. La necesidad es evidente. Grado Suficiente: H como finita, de modo que cada elemento x ∈ H, H, para estar en el orden de finito, dejar que H (x) = n, entonces xn = e y x-1 = xn-1 ∈ H. H es un grupo infinito 2 hay infinitamente muchos subgrupos.

Solución. Sea G un grupo infinito. Si ∃x ∈ G, p (x) = ∞, entonces hxi (Z +) y un número infinito de partes de este grupo. Si no, ∀x ∈ G: p (x) <∞, entonces hxi {x} ∈ G subgrupo de los conjuntos infinitos.

F 3. Si f: G → G0 un isomorfismo, entonces f (Z (G)) = Z (G0).

Solución. "⊆" ∈ ∀y (Z (G)) ⇒∃x ∈ Z (G) y = f (x). Pregunta: y ∈ Z (G0), que ∀z ∈ G0: yz = zy? ∃g ∈ G: z = f (g) y yz = f (x) f (g) = f (x g) = f (gx) = f (g) f (x) = z y. Del mismo modo viceversa.

FH 4. Sea G un grupo y H ≤ G, H = 6 G. Probar que hG \ Hola = G

Solución. Deje K ≤ G y G \ H ⊆ K. Entonces ∪H R = G, donde K, H ≤ G junto a R = G o H, G, consulte 3.F.6 / tercera Tarea, aquí H = G excluye, por lo que R = G kesz.QF

H 5. Sea G un grupo abeliano finito G y elementos P multiplicado por p = x x∈G. Probar

a: e 2 = P = Q x∈G x = x 1, x,

i) P ii) Aplicación: si p es primo, entonces (p - 1)! ≡ 1 (mod p) (teorema de Wilson)

iii) Si | G | Paros, a continuación, ∃x ∈ G, x = 6 e: p (x) = 2,

F iv) Sea G cíclico. Si | G | es impar, entonces P = e, G es par, P = 6 e. F

solución e⇔o. (x) = 2 pi) = Todo Q ∈ QG = xx, x = 6 -1 sexies (xx-punto 1) allıtsunkx Q-1 = x = x = q x 2 pares baz xx, casi inversa -P12 =. = q x 2 x 2 = x = t EIT esto. x = 1⇔x2

x∈G x6 = x

ii) Sea p> 2 y considerar el grupo. aquí

o p | (x + 1) = b1 ⇔xb o xb = p [- 1, i) - aplicado et b1 b2 • ••• p [- 1 = p [- 1, a partir de (p - 1)! ≡ p - 1 ≡ 1 (mod p).

ii) iii) F iv) AzLegyeni) expresada en equivalente de emparejamiento G = ,= hxi = {e,x,xmost2|,...,xG \{ne−}1|} impar,, o(x) = | Así G | = n∃.xAkkor∈ G,xP= 6=eQ: o(∈xG) x= 2.x 1+2+...+n−1 =

x n (n-1) / 2. Si | G | = n = 2k + 1 es impar, x k = (2k + 1) = (x2k + 1) s = s = e si | G | = n = 2k Paros, P = x k (2k-1) = x2k2x-k = (x2k) kx-k = k x 6 = e. (De lo contrario perjudicial para:

etc, ver más adelante en la fórmula). FTodo FH 6 m, n ∈N * casoi) mZ⊆ nZ⇔n | m, ii) mZ∩ nZ = [m, n] Ziii) h {m, n} i = m + Z = nZ (m, n) Z, donde Z m + nZ suma de subconjuntos [m, n] y (m, n) mn múltiple Img o al menos antepasado común, y el mayor divisor os pública.Solución. i) "⇒" mZ⊆ nZ⇒m ∈ nZ⇒∃j ∈Z m = nj⇒n | m, "⇐" n | m⇒∃j ∈Z m = m Z ∈ nj⇒∀ mk: mk = NPC ∈ Nueva Zelanda. ii) mZ∩nZ = kz, que eran parte de una sección grupo y cada Sub subgrupo Objetivo tales desarrollos. Pregunta: k = [m, n]? kZ⊆ porque yo estoy Z) m | s y lo mismo para kZ⊆ nZ i nivel) bajo el n | k, es decir k mas osMúltiple de IMG u OSE M y N de.

Conviértase en un Img mas os arbitraria o múltiple os m | n |. Entonces i) Z⊆ MZ, Z⊆ NZ, deZ⊆ mZ∩ NZ = kz, donde de nuevo i) de k | y por lo tanto cos s más pequeño múltiple pulgadas Img o pulgadas. Teorema iii) Sobre la base de h {m, n} i {mk = n + k, l} = m Z + nZ ∈Z es parte de un grupo, por lo dZ ganga. Mostramos aquí que d = (m, n). mZ⊆ dZ debido a i) a partir d | my parecida d | n, cos d instinto Así os.Vamos δ ser una arbitraria O Compartir os mas: δ | m, δ | n. Entonces i) m Z ⊆ Delta Z, NZ ⊆ Delta Z, desde mZ + nZ = Delta Z dZ⊆ donde u'jra i) vectores de δ | d, es decir, el mayor público os da el instinto. F5. Divisiones Mellekos, el teorema de Lagrange5.A Mellekos izquierdos y derecho DivisionesSea (G, •) es un grupo, H ≤ G un subgrupo de G y x ∈x L x H = {h ∈ H} y {Hx = hx: h ∈ H}subconjuntos x es el mellekos de la izquierda o la derecha-mano Divisiones de H de acuerdo para cambiar el nombre. Inmediata que si el grupo es conmutativo, entonces xH = Hx para todo x ∈ G de.5.A.1 tarea. Si H x ∈ H, entonces xH = Hx = H.5.A.2 Teorema. Sea (G, •) es un grupo y H ≤ G.i) Si x, y ∈ G y y ∈ XH, entonces xH = yH.ii) Si xH, yH quedan mellekos Divisiones, entonces xH = yH o xH ∩ yH = ∅. (Lo mismo vale para los mellekos Divisiones derecha también).de la prueba. i) y = xh xH⇒yH ∈ = (x) = x H (mm) = XH.ii) Se demuestra que si xH ∩yH 6 = ∅, entonces xH = yH. De hecho, si z ∈ XH ∩yH, entonces i) deZH ZH = = xH y yH, por lo xH = yH. ¤5.A.3. Consecuencias. El callejón sin ONB OZO la izquierda (o derecha) mellekos Divisiones G dan una clasificación.La izquierda (derecha) mellekos Divisiones elementos de los representantes de las respectivas Divisiones mellekos Cambiar nombre.5.A.4. Prov. • Si (G, •) Grupo H = {e}, entonces xH = Hx = {x} se obtienen para todo x ∈ Gre y clasificaciones, que son un subconjunto de G divide un elemento. Si H = G, entonces x G = Gx = G para todo x ∈ G y una sola clase, la propia G• A (Z, +) se realiza de forma aditiva grupo H subgrupo NZ vistas Jara (ahora se hace de forma aditiva a la marca!) NZ = {x + x + nk k} ∈Z lo xB marcada con nuestra y que es sólo una (mod n) residuo sztaly. El concepto de pechos compartidos por lo que el maradekoszt aly aly (n mod) En general, el conceptoanosıtasa.5.B Izquierda y derecha relación de congruenciaLos (o derecha) clasificaciones de clase seno izquierdo determinados por ellos cumplen con la siguiente equivalencia:Si (G, •) es un grupo y H ≤ G, entonces debería ser ρH = ρH, b y ρH0 ρH = j así interpretada:∀x,y ∈ G : xρHy⇔x−1y ∈ H,xρH

0y⇔xy−1 ∈ H,

Me llaman en las relaciones de la izquierda o la derecha-congruencia H de acuerdo.5.B.1. Prov. • Si (G, •) grupo H = {e}, entonces xρHy⇔x-1a ∈ H⇔x e⇔x-1y = y = 1, y de manera similar xρ0Hy⇔xy ∈ H⇔xy-1 = e⇔x = y, por lo tanto de la igualdad (en diagonal) sostiene: ρ = ρ0 = 1G. Si H = G, entonces xρGy xρG0y y mantenga en cualquier x, y ∈ (relación universales) de G.• A (Z, +) se realiza de forma aditiva grupo H subgrupo nZ jara OBLIGADO xρ0Hy⇔x - y ∈ nZ⇔n | (x - y) es la relación de congruencia teoría de números (mod) notación: x ≡ a (mod n). La comparación da la misma ρH: xρHy⇔- x + y n ∈ ⇔n | (-x + y) ⇔n | (x - y).

5.B.2. Teorema. Si (G, •) es un grupo y H ≤ G, entonces la mano izquierda o derecha de los mellekos Divisiones H, ya que pueden determinar las clasificaciones relación de equivalencia ρH y ρ0H, respectivamente.Prueba. Los mellekos izquierda Divisiones //webapp.icpsr tengo que admitir que ∀y, z ∈ G (∃x ∈ G y, z ∈ xH⇔y-1z ∈ H). De hecho, si y, z ∈ XH, entonces 5.A.2. Según ha xH = yH = zh, zh desde yH = z = ze ∈ Zh = yH, existe h ∈ H tal que z = yh, desde y-1z = h ∈ H. A la inversa, si y-1z ∈ H, entonces existe h ∈ H tal que z = yh, z ∈ yH, desde yH = zh, así y, z ∈ yH (perdón x = y). ¤5.B.3. Tarea. Tengamos obtención directa de pruebas de que la relación de equivalencia. Solución. ρH reflexiva porque ∀x ∈ G: xρHx⇔x-1x = e ∈ H es verdadera,ρH simétrica: Supongamos que xρHy, es decir, x-1y ∈ H, entonces Y = 1 x (x-1y) -1 ∈ H, por lo yρHx completa,ρH transitivo, supongamos que xρHy y yρHz, es decir, x-1y ∈ H, y-1z ∈ H, entonces (x-1a) (1z y) = x-1z ∈ H, por lo xρHz.Llegamos a ρH relación de equivalencia, relación de equivalencia es igualmente ρ0H.5.C. La cardinalidad de mellekos DivisionesLa mano izquierda y la mano derecha mellekos divisiones bajo el elemento x H onboznek Generalmente sin salida, por lo que 6 xH = Hx, pero biyectiva correspondió conocidos establecer cos hay uk. Además, el G / G y ρH / factor ρH0 cos hay una biyección de conjuntos para establecer con más precisión5.C.1. Teorema. Si (G, •) es un grupo y H ≤ G, entoncesa) ∀x ∈ G: | xH | = | Hx | = | H |, es decir, x es los lados izquierdo y derecho de MEL por HLekos Divisiones y la igualdad de cardinalidad es igual a la cardinalidad de H,b.-Prueba. a) Cada x ∈ G con f: H → xH, f (h) = g x L y H → Hx, g (h) = instilación hx función biyectiva Estos se definen en la traducción sección 3.D aa.F b) Ser ∀m ∈ G / ρH, entonces M = xH, x ∈ G y M-1 = (XH) -1 = H-1 = 1 x ∈ Hx-1 Como H 1 = H, ya que H ≤ G. Del mismo modo, si, entonces N-1 = x 1 H ∈G / ρH. Por lo tanto, se interpreta de la siguiente función:φ: G / G → ρH / ρ0H, φ (x) = Hx-1, ψ: G / G → ρ0H / ρH, ψ (Hx) = x 1 H,Además ψ (φ (xH)) = ψ (Hx-1) = (x-1) -1 = xH = 1G / ρH (XH) y el φ como (ψ (Hx)) = Hx = 1G / ρ0H (XH) por lo que la función es la inversa de una fila, ambos son Sigy biyectiva.F ¤A | G / ρH | = | G / ρ0H | No [G: H] uk y marcado con el subgrupo H en el índice G para cambiar el nombre. El índice podría dañar el cul ONB OZO la izquierda (o derecha) número sztalyok litoral. 5.C.2. Ejemplo. • cuando n * ∈N, tiene NZ (Z +) - el índice total [Z Zn] = n,• Si G es un grupo, luego [G: G] = 1, [G {e}] = | G |.Sé finito, pero los grupos infinitos en el índice de un índice de grupo finito de subgrupos finitos, por ejemplo. [Z: NZ] = n.5d Teorema de Lagrange, con las propiedades atómicas de5.D.1. Teorema. (Teorema de Lagrange) Si (G, •) es un grupo finito y H ≤ G, entonces|G| = [G : H]|H|.

Por lo tanto, | G | se puede dividir en | H | y con [G: H] con, a saber, el Grupo se divide en subgrupos b'armely su orden y el índice de subconjunto.Prueba. El 5.C.1. Teorema cada xH ∈ G / ρH mellekos izquierda Divisiones misma cardinalidad y cardinalidad | H |, y desde G / ρH una clasificación (partición) G tiene, por lo que | G | = | H | k, donde k es el número de grados de la escuela: k = | G / ρH | = [G: H]. ¤El teorema de Lagrange es un teorema fundamental de la teoría de grupos, que sigue, por ejemplo, un grupo no puede odrendu 6 grupos de orden 4 partes. Otra consecuencia Ver 3.G.6.

Teorema.5.D.2. Consecuencias. Sea G un grupo finito de orden n. Entonces, para todo x ∈ G es un divisor de los elementos de G con orden y xn = e.Prueba. a) Sea p (x) = k. Sabemos que hxi = H = {e, x, x2, ..., x k-1}, donde | H | = k. De acuerdo con el teorema de Lagrange | G | = | H || G: H | = k [G: H], y aquí es un divisor de | G | = n s.b) De acuerdo con el punto) | G | = n = k, donde xn = (x k) = e, editor. ¤5.D.3. Ejemplo. • Si p es primo, entonces un p x = 6 cada grupo Rendu este tema al orden p.5.D.4. Teorema. Cada grupo de orden p, donde p es primo, y cualquier grupo cíclico de orden p son isomorfos.Prueba. Sea x ∈ G, x 6 = e, entonces 5.D.3. sobre la base de p (x) = p, por lo hxi = G, por lo que G es cíclico. ¤5.D.5. Tarea. Determinar los grupos que no tienen una parte real de los grupos.Solución. ¿Seguro éstos G = {e} y todo grupo de un elemento | G | = p grupo principal Rendu ver artículos Lagrage.El que un grupo de este tipo G y x ∈ G tal que x = 6, entonces hxi≤ G, que tiene más de un elemento, así que ten hxi = G. Cíclico y por lo tanto G | G | = p (x) no puede ser infinito o complejo, porque si p (x) = st, s, t> 1, hxsi = {xs, X2S, ..., XTS = xo (x ) = e} grupo como piezas originales, si p (x) = ∞, entonces hx2i x2k = {k} ∈Z grupo repuestos originales (de otra forma dañina: los grupos cíclicos qué categorías para cada línea).Así que la respuesta es un elemento de primer orden del grupo de grupos (cíclicos).5.D.6. Teorema. (Los cuatro grupos de orden-descripción) Si G es un grupo, | G | = 4, entonces o bien G es cíclico, que es isomorfo a Z4, o G es isomorfo al grupo Klein (G conmutativa en ambos casos).Prueba. Sea G = {e, x, y, z}. Si hay un cuarto elemento, por ejemplo. p (x) = 4, G no es cíclico, G = hxi. Ej. el grupo (Z4 +).Si no, p (x) = p (y) = p (z) = 2, debido a que los elementos de la orden de grupo con el distribuidor. Entonces xy = e = x⇒y no es posible y⇒x = xy = e no puede ser e⇒x xy = x = y = 1 no es posible, por lo tanto, y z xy = G = {e, x, y, xy } yx = y-1x-1 = (xy) -1 = z 1 = z = xy, el grupo es conmutativa (Haga su mapa de función). Aquí, x, y, z cos UL cualquiera de los dos iguales multiplicado con la tercera y x2 = y2 = e esGrupo de Klein, ver Sec 3B Sección 3.E.5 y / primero Tarea. ¤Del mismo modo, se puede especificar el seis-du Odred grupos Descripción: Si | G | = 6, entonces G es cíclico o G (Z6 +) o G (S3, ◦) grupo de la permutación cúbico no es conmutativa. Sin embargo, este largo derivación Así, la estructura serás ver más adelante.F significa ν (n) es el grupo de número de orden de tipo n. Entonces ν (p) = 1, ν (4) = ν (6) = 2, etc., el siguiente teorema Cayley que ν (n) ≤ 2n, que |!. Sn | = n! y | P (Sn) |! = 2n, pero es muy estimaciones inexactas. FF 5.D.7. Teorema. (G, •) es un grupo y x ∈ G, p (x) = n * ∈N. Entonces

a) para todos los casos k ∈Z b) k | n, entonces P (x k) = n / k.

Prueba. a) Sea (k, n) = d, k = DK1, n = dn1 donde (k1, n1) = 1. Sea p (x k) = m. Pregunta: m = n1? De hecho, (x k) = xdk1n1 n1 = (xn) k1 = e, por lo tanto, m|n1 es e = (xk)m = xkm donde n|km, dn1|dk1m, n1|k1m, donde n1|m, porque (k1,n1) = 1.b) el símbolo) sobre la base de. ¤5.D.8. Tarea. (G, •) es un grupo, x ∈ G, p (x) = n * k ∈N ∈Z. Demostrar quea) hxki hxdi =, donde d = (n, k),b) hxki hxi⇔ = (n, k) = el primeroSolución. a) 5.D.7. b) Si d = 1, entonces hxki = hxi. Por el contrario, si x ∈hxki entonces ∃u ∈Z x = xku, xku = e-1, a partir den | ku - 1, ∃v ∈Z: Ku - 1 = nv Ku - nv = 1, por lo que (n, k) = 1 F

F 5.E. NOTASSi (G, •) es un grupo y x ∈ G, entonces f: (Z +) → (G, •), f (k) = x k homomorfismo dependiendo, ya que f (k +) = xk + = xkx = f (k) f () = hxi y el FMI.El 4.C.1. De acuerdo con el Teorema de ranura ≤Z. Pero sabemos que (Z, +) para cada subgrupo nZ forma, por lo queDe ranura = NZ, una n ∈N distancia. Cuando n = 0, entonces de ranura = {0}, f es inyectiva, es decir, Z, k = 6 y x rendu sin fin. Si n ≥ 1, entonces f no es inyectiva y que es el n x es el orden.Confirmado por la siguiente propiedad: Si G es un grupo finito, H ≤ G, puede especificar los elementos de un sistema de G, que es representativo de la parte izquierda y derecha del sistema es bajo-H. F 5.F. Tareas Notaciones x k = (XD) ∈hxdi k1, desde hxki⊆hxdi. Por el contrario, ∃u, v ∈ Z d = ku + nv = xd + xku nv = (x k) u ∈hxki tan hxdi⊆hxki.H 1 (G, •) es un grupo y ∅ = 6 H ⊆ G es un subconjunto cerrado. Si todos H orden finito elemento final, entonces H subgrupo (especialmente si H es finito, entonces H ≤ G, consulte 4.J / primera tarea).Solución. ∀x ∈ H p (x) = n * ⇒xn ∈N = e⇒x-1 = xn-1 ∈ H desde H está cerrado. Si H es finito, entonces H x cada elemento de orden finito, de lo contrario x, x2, x3, ... ∈ H sin fin onbozo elemento de choque, una contradicción.H 2 Sea f: G → G0 es un morfismo grupo y x ∈ G. Demostrar quea) p (f (x)) | p (x)b) donde f es una inyección, entonces p (f (x)) = o (x),c) si f es un isomorfismo, entonces cada n ∈N a * | {x ∈ G: p (x) = n} | = | {y ∈ G0 o (y) = n} |,d) Aplicación Solución. a) Sea p (x) = n, entonces (f (x)) n = f (xn) = f (e) = e 0, por lo que p (f (x)) | n = p (x).b) Pregunta: p (x) | p (f (x))? Sea p (f (x)) = m, entonces e0 = (f (x)) m = f (xm), E0 = f (E), y quef inyectiva junto a xm = e, por lo tanto p (x) = n | m = o (f (x)),c) b) Sobre la base de F {x ∈ G: p (x) = n} → {y ∈ G0: p (y) = n}, F (x) = f (x) está bien definido isomorfismo y (f estrechamiento ).d) Ex (R, +) - En ningún elemento de segundo orden (2x = 0⇔x = 0 pero p (0). = 1), (R *, •) en x = -1 miembro de segunda clase (x2 = 1⇔x = ± 1, p (-1) = 2, p (1) = 1).

En ningún cuarto elemento (cuarto-elementos (x4 = 1⇔x = ± 1, ± i).FH 3 (G, •) es un grupo y x, y ∈ G de manera que xy = yx, p (x) = m, p (y) = n. Demostrar que:a) p (xy) | [m, n],b) Si hxi∩hyi = {e}, entonces p (xy) = [m, n]c) si (m, n) = 1, entonces p (xy) = Mn hxyi h = {x, y} i,d) existe g ∈ G u'gy que p (g) = [m, n].Solución. a) (xy) [m, n] = x [m, n], y [m, n] = (x D) [m, n] / m (yn) [m, n] / n correos, así que ella (xy) | [m, n].b) Sea p (x) =, entonces (xy) = y = e⇒x ∈hxi∩hyi = {e} ⇒ X = y = e, por lo tanto, m | n | y [m, n] |.c) si (m, n) = 1, [m, n] = mn. Además, hxi∩hyi = {e}, en realidad: dejar que hxi∩hyi H, entonces H ≤hxi, por lo tanto, | ||| hxi H | = m (Teorema de Lagrange), como | H || n y (m, n ) = 1 para | H | = 1, H = {e}.Instantáneo a hxyi ≤ h {x, y} i, y (m, n) = 1 para ∃u, v ∈ Z + nv mu = 1, y = YMU de YMU + nv = = (xy) mu ∈hxyi similarmente x ∈hxyi tan h {x, y} i≤hxyi.d) Utilizar ejemplo. p (x) = m • 33 • 22 = 5, p (y) = n = 2 • 32 • 54, a continuación, [m, n] = 22 • 33 • 54 = m0n0 donde m0 = 22 • 33 (en m el exponente más grande), n0 = 54 (el exponente n grande). • Sea M00 = 2, 32, 00 = 5 (en el viceversa exponente), entonces p (xn00) = p (x 5) = 22 • 33 = m0, p (ym00) = p (y 2 • 32) = 54 = n0.Puesto que (m0, n0) = 1 junto a p (xn00ym00) = [m, n]. De manera similar a lo general.4. Si G es un grupo H y K ≤ H ≤ G, a continuación, confirman que [G: K] = [G: H] [H, K].

Solución. Sea G = ∪i∈IxiH donde XIII xjH ∩ = ∅, ∀i, j ∈ I, i 6 = j. Nosotros decimos que {xi: i ∈ I} ⊆ sistema representativo G como H. izquierdaDeje que además {yj: j ∈ J} ⊆ H es un sistema representativo de izquierdas como K. Lo suficiente como para demostrar que xiyj {(i, j) ∈ I × J} ⊆ G es un sistema representativo de izquierdas como K.De hecho, ∪ (i, j) ∈I × JxiyjK ∪i∈Ixi = (x ∪j JYJ) R = G = ∪i∈IxiHTambién, (i, j) = 6 (i0, j0). Si i = i0 6, xiyjK xi0yj0K ⊆ ∩ ∩ XIII xi0H = ∅. Si i = j 6 = 'Es j0 i0, entonces xiyjK ∩ xi0yj0K = xi (yjk ∩ yj0K) = ∅. F6. Grupos normales6.A. parte normal de un Grupos y Caracterización(G, •) grupo es un subgrupo normal de grupo Sección H (parte normal de un grupo o subgrupo invariante normalizado o estoma) Nombre, si para cada x ∈ G desde xH = Hx, que si la izquierda debajo de cada elemento x ∈ G H mellekos Divisiones y derecha son iguales, marcando H EG.Caso conmutativa cualquier H ≤ G y para cada x ∈ G desde xH = Hx, por lo que cada subgrupo subgrupo normal conmutativa, pero a veces puede suceder en un subgrupo H. conmutativa6.A.1. Teorema. (Caracterización subgrupo normal) Sea (G, •) es un grupo y H ≤ G.Equivalente a la siguiente declaración:1) Si una parte normal de un grupo,2) ∀x ∈ G, ∀h ∈ H XHX-1 ∈ H, es decir ∀x ∈ G: XHX-1 ⊆ HDerecho y congruencia izquierda bajo 3) son iguales comparación).Prueba. "1) ⇒ 2)" ∀X ∈ G, ∀x ∈ H x L x H = Hx⇒∃h0 ∈ ∈ H x L = h0x⇒xhx-1 = h0 ∈ H."2) ⇒ 3)" ∀x, y ∈ G: xρHy⇔x H⇔x-1a ∈ (x-1y) x ∈ H-1 (sobre la base de la condición en la que si x (x-1a) x-1 ∈ H, a continuación, multiplicado por x de izquierda y de derecha a 1 (x-1) -1 = x al lado de la X-1a ∈ H) ⇔yx-1 ∈ H⇔yρ0Hx⇔xρH0y así ρH = ρ0H."3) ⇒ 1)" = ρH ρ0H⇒∀x ∈ G: = ρHhxi ρH0hxi tan xH = Hx. ¤6.A.2. Tarea. Sea H ≤ G. Probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:1) Si una parte normal de un grupo,2 '), ∀ x ∈ G: XHX-1 = H, 3'), ∀ x ∈ G: x = H 1HXAsí H si y sólo si una parte normal de un grupo donde todo el conjugado de H, con H igual Ver4.f. sección.Si H es un subgrupo normal de G ha, los siguientes términos que se utilizan: G / G = ρH / ρ0H = G / H y, a menudo en el camino a N-H en su lugar.6.B Ejemplo subgrupos normales6.B.1. Prov. • Cada grupo G {e} y subgrupo normal de G. veces

• Deje que H = {e, τ} ≤ S3 es parte de un grupo en el que si

Así que no es un subgrupo normal H en S3-. • Un grupo de cada subgrupo normal de índice 2 subgrupo si H ≤ G y [G: H] = 2, HE G. De hecho, G / ρb = {H, G \ H} = G / ρj porque esta clasificación Usted tiene que ser una de las clases y la vivienda. Otros ejemplos importantes para el siguiente lote.6.B.2. Teorema. 1) Si f: G → G0 es un morfismo grupo, entonces su núcleo G tiene un subgrupo normal: de ranura E G.Si (G, •) es un grupo, Z (G) = {g ∈ G: gx = xg, ∀x ∈ G} G centro tiene una parte normal de los grupos Z (G), E G.Prueba. 1) En efecto, ∀x ∈ G ∈ ∀h Kerf⇒f (XHX-1) = f (x) f (h) f (x-1) = f (x) e0f (x) -1 = 0 e, donde XHX-1 ∈ de ranura.2) Sabemos que Z (G) ≤ G y Z (G) es una parte normal de un grupo, porque ∀x ∈ G: xZ (G) = {x g: g ∈ Z (G)} = {gx: g ∈ Z (G)} = Z (G) x. ¤

Grupo AG de nombrar un grupo de simple, si {e} y G es el único subgrupo normal de G, es decir, G no tiene divisor normales real.6.B.3. Prov. • (Zp, +), donde p es primo, simple grupo de generales en todos los (G, •) prımrendu grupo es simple, porque de acuerdo con el teorema de Lagrange entonces G no tiene ningún grupo repuestos originales, por lo que no divisor normales real.• (Z, +) no es un grupo fácil porque nZEZ, n> 1 Real subgrupo normal.F 6.B.4. Tarea. Grupo de la permutación H S3 es parte de los grupos de prueba. ¿Cuáles son parte normal de los grupos? (Ver Sec 3.b.6 / Tarea 1)Solución. S3 Grupos: Si H ≤ S3, entonces el teorema de Lagrange de acuerdo a | H | = 1,2,3, o 6 | H | = 1⇔H = H1 = {e}. | H | = 2⇔H e = {x}, donde x = 2 e y es suministrado a H2: = {e, τ}, H3 = {e, στ} H4: = {e,} σ2τ la mapa de funciones a continuación. Y | H | = 3⇔H = {e, x, x2}, donde x3 = e, y Siguiente para H = H5: = {e, σ, σ2} = A3. | H | = 6⇔H = H6: = S3.H1, H5, H6 E S3 (aquí [S3: H5] = 2), pero H2, H3, H4 no es una parte normal de los grupos ver 6.B.1. F6.C. Subgrupos normales seccionales6.C.1. Teorema. Dos sección subgrupo normal subgrupo normal. En general, si (G, •) y (iii) sistema i∈I es posible hasta cualquier subgrupo normal de un grupo, puede

Prueba. Sabemos que ∩i∈INi ≤ G, G h∪i∈INii≤ Grupos. Además,∀x ∈ G: ∀n ∈∩i∈INi ⇒ n ∈ Ni, ∀i ∈ I ⇒ xnx-1 ∈ Ni, ∀i ∈ I⇒⇒xnx ∈∩i∈INi-1.F 4.E.2. De acuerdo con el Teorema ∈h∪i∈INii⇒n ∀n = n1n2 ... formaciones nr, donde cada j ∈ {1,2, ..., r} puede o ∈∪i∈INi nj, j y n-1 ∈∪ i∈INi. Junto a ∀j ∈ {1,2, ..., r} ∃ij intercambio ∈ I: = nj NIJ por cualquiera NIJ ∈ Nij, o, pero incluso en este caso, NIJ ∈ Nij, como parte de un grupo de Nij . Tenemos que n = ni1ni2 ••• aprovechando toda Nij normales subgrupo, ∀x ∈ edad k G NIR y

6.d Grupo de comparación CongruenciaSea (G, •) es un grupo y una relación de equivalencia ρ Gn. Decimos que Congruencia ρ, si∀x, x0, y, y0 ∈ G: xρx0, yρy0 ⇒xx0ρ Yy0(De acuerdo a los vehículos del concesionario congruencia ρ zoroz I) ver 2.G. sección.G tiene una relación ρ congruencia asociado con la clasificación, es decir, el conjunto G / factor ρ clasificación renombrar compatible.6.D.1. un Ejemplo. • Considere la (Z, +) de grupo y el Tribunal de Congruencia teórica (mod n). Se trata de este tipo de propiedades:∀x, y, x0, y0 ∈Z x ≡ x0 (mod n), ≡ y0 y (mod n) x0 ≡ ⇒ X + y + y0 (mod n).Z tiene las Divisiones (mod n) Resto demolición de un conjunto compatible de clasificación.F 6.D.2. Tarea. Si G es un grupo y ρ es una relación de congruencia, se confirma que1) ∀x, x0 ∈ G: xρx0⇒x-1ρ (x0) -1, es decir, si usted es un miembro de la clase, que son las inversas de la misma clase,2) ∀x ∈ G / ρ⇒∃Y ∈ G / ρ: X-1 ⊆ Y.Solución. 1) Si xρx0 entonces x-1 en multiplicado (ver Sec Ejercicio 2.G.3): e = xx-1 1ρx0x ahora (x0) multiplicado por -1 en (x0) -1ρ (x0) -. 1x0x = x-1 primero2) ∀x ∈ G / ρ de Sea X = hxi y dejar Y = HX-1i la Clase X-1.∀ (x0) -1 ∈ X ∈ 1⇒x0 X⇒xρx0 partir de la cual uno) sobre la base de x-1ρ (x0) -1⇒ (x0) -1 ∈ Y, es decir, X-1 ⊆ Y.¤F

6.D.3. Teorema. (Subgrupo normal de las relaciones de congruencia y relaciones) Sea G un grupo.a) Si el NEG, usted ρN congruencia relación (es decir mellekos Divisiones del subgrupo normaldar al grupo una clasificación compatible)b) Si ρ es una relación de congruencia, entonces G / ρ = {x N x ∈ G}, donde N = G ρheiE (compatible con todas las clases de esa mellekos clasificación divisiones bajo una parte normal del grupo).Prueba. a) ¿Alguna vez ha visto que la equivalencia ρN. Adicionalmente:

Así F b) N = ∅ ρhei6 porque eρe. Además, ∀x, y ∈ N⇒eρ x, y eρ. Pero debido eρ yyy-1ρ y-1 (que es los coeficientes reflexivos) ey-yy-1ρ 1⇒y-1ρ esto, así que N ≤ G.Se demuestra que ∀x ∈ Nx = = G⇒xN ρhxi. De hecho, xN ⊆ ρhxi porque ∀xn ∈ xN⇒nρe, xρx ⇒nxρx. Por el contrario, xN ρhxi⊆ porque ∀y ∈ ρhxi⇒yρx, 1ρx x-1 (reflexividad) ⇒ X-1yρe⇒x-1y ∈ N teh'at y = x (x-1y) ∈ xN. Del mismo modo Nx = ρhxi. Así xN = Nx, es decir E F GDe este modo, se demuestra que para cada x ∈ ρhxi del G = xN, por lo que los mellekos clase Divisiones menores de N. F ¤F 6.E. Subgrupos normales mapeo teorema6.E.1. Teorema. (Subgrupo normal del teorema de la aplicación) Sea f: G → G0 es un morfismo grupo. Entonces1) Cada uno de estos K G0 f-1 (R) E G2) si f es sobreyectiva y H E G, entonces f (H) E G03) si f es sobreyectiva, entonces H 7 → f (H) correspondió al conocido biyectiva G tiene un subgrupo normal de G0 y el corte-menos cos subgrupo normal allí.Prueba. 1) El 4.B.6. De acuerdo con el teorema 1-f (R) ≤ G y ∀x ∈ G ∀h ∈ f-1 (R) ⇒f (h) ∈ R f (XHX-1) = f (x) f (h) f ( x) -1 ∈ K, KE porque G0. Por lo tanto f-1 (R) E G.2) f (H) ≤ G0 (ver Sec u en lotes) y ∀y ∈ G0, ∀k ∈ f (H) ⇒∃x ∈ G: y = f (x), porque f sobreyectiva y ∃h ∈ H k = f (h), de yky-1 = f (x) f (h) f (x) = f -1 (XHX-1) ∈ f (H) porque XHX-1 ∈ H. Por lo tanto f ( H) Este G0.3) Siguiente 1) y 2), así como a partir del subgrupo del teorema de la correlación (4.I.1. A). ¤6.E.2. Consecuencias. Si f: G → grupo G0 morfismo, luego de ranura = f-1 ({e0}) EG, porque{} Esta E0 G0. Así ranura Es parte normal de un grupo, hemos visto un control directo. FF 6.f. NOTASPresentación de la 6.D.3. Subconjunto Teorema de la prueba de la primera parte de cada uno de otros (complejos) puede ayudarle. En algunos casos, estos beneficios lata acortan transparente grupo hace que las propiedades teóricas de la formulación y prueba.

a) Si el NEG, entonces xn = Nx mellekos Divisiones (elementos del factor G / ρ del conjunto) como pares de disjuntos, de modo que una clasificación dada. Deje Xn, Yn son mellekos Divisiones, entonces (xn) (in) = x (W) x N (y N) N = (xy) (DD) = (xy) es una N por Divisiones N Ismet mellekos (es) Así, el 2.G.2 compatible clasificación. Item.b) Por el contrario, si usted tiene una clasificación compatible, debe contener una clase N: N ρhei.Se demuestra que N ⊆ NN'es N-1 ⊆ N. De hecho, ∀xy ∈ NN⇒xρe, e⇒xy yρe⇒xyρee ∈ N =(NN De lo contrario perjudicial presentar una clase, consulte la sección 2.G., y e ∈ NN, por lo que la clase sólo puede N NN N ⊆) y ∀x ∈ N-1 ∈ 1⇒x N⇒xρe, 1ρx x-1 (reflexividad) ⇒xx-1ρex-

1⇒eρx-1 ⇒ X ∈ F-1 (de otra forma dañina para N-1 la presentación de una clase, véase la Sección 6.D.2 tarea y e ∈ F-1 debido. este es el únicoN es N-1 ⊆ N). Así N ≤ G ¤FF 6.g. TareasH 1 (G, •) es un grupo.a) Un subgrupo N ≤ G si y sólo si un subgrupo normal si todo caso complejo KCN = NK.b) Si H ≤ G y N EG, a continuación, HN = NH ≤ G y H, y N es precisamente el subgrupo generado por ellos: HH ∪ Ni = HN = NH.Solución. a) Si N y complejo R EG, que ∪x∈KxN CN = = = NK ∪x∈KNx. Por el contrario, si todo complejo K CN = NK, entonces que K = {x}, x ∈ G se obtiene y que xN = Nx, ∀x ∈ G, donde G NEb) HN = NH como una) y de HN ≤ G A continuación, ver Teorema 4.B.5. Adicionalmente:hH ∪ Ni = HN ver 4.E.3. Teorema.H 2 Sea G un grupo, NEG y un subgrupo normal cíclico H ≤ G N. Entonces HESolución. Sea N = hxi y hxmi H, m ≥ 1. Pregunta: ∀g ∈ G ∈ ∀xkm H⇒gxkmg ∈ H-1? Desde un cinturón a GXG-1 = xn ∈ N-1 = desde gxkmg GXG 1gxg-1 ••• GXG-1 = (GXG-1) = x ∈ H.Prueba 3 grupo H es parte del cuaternión grupos Q ver 3.B.8. Demostrar que cada subgrupo de Q es una parte normal de un grupo. Definir el centro y grupos de factores Q.Solución. Grupos Q: Si H ≤ Q, de acuerdo con el teorema de Lagrange | H | = 1,2,4, o 8 | H | = 1⇔H = H1 = {1}. | H | = 2⇔H = H2: = {± 1} = H 1i, el gráfico es el único de dos elementos subconjunto. | H | = 4⇔H = H3 = {± 1, ± i} = HII, o H = H4 = {± 1, ± j} = hji, o H = H5: = {± 1, ± k} HKI = subgrupo cíclico. (1) en un solo elemento de sub-prime es i2, por lo Klein de cuatro elementos no es parte de un grupo. | H | = 8⇔H = H6: Q =Q no conmutativa, sino de Q todo parte de un grupo de subgrupos normales. De hecho, en el subgrupo de orden 4 tales como el índice 2 Ver 6.B Sección H2 de la XH2 H2X = = {x, -x}, ∀x ∈ Q (H2 otra forma dañina es la única parte de segundo orden de un grupo, por lo que el grupo va a ser la norma, ver debajo de la línea).Centro de Q Z (Q) = {1, -1}.Hola, 1 ≤ i ≤ agrupaciones factor de seis subgrupos:Q/H1 = {{1},{−1},{i},{−i},{j},{−j},{k},{−k}},Q/H2 = {{±1},{±i},{±j},{±k}},Q/H3 = {{±1,±i},{±j,±k}},Q/H4 = {{±1,±j},{±i,±k}},

Q/H5 = {{±1,±k},{±i,±j}}, Q/H6= {{±1,±i ±j ±k}}.

Aquí, de acuerdo con las Divisiones mellekos N, iN} = {± i, ± j = {} John kN ± = {k} y el Q / Ngrupo de los factores (ver sección 7) es isomorfo al grupo de Klein opcionalmente. F

7. Grupos Factor y el teorema homomorfismo7.A. Factor GrupoSea (G, •) es un subgrupo normal de un grupo y NEG. Hemos visto que el tiempo y ρ0N ρN = G / N nel uk marcada con dim G / G = ρN / ρ0N conjunto de factores, donde G / N x N = {x ∈ G}, los componentes de la x N = {xn: n ∈ N} Nx = mellekos Divisiones.Xn mellekos operación Divisiones multiplicación, el conjunto G / F. De hecho, de acuerdo con las Divisiones un N arbitraria mellekos están multiplicando (x N) (y N) = x (W) x N (S N) N = (xy) = NN (xy) N también se reunió una Divisiones mellekos según F, donde solíamos que NN = N Ver 4.B.2. Teorema.7.A.1. Teorema. Si G es un grupo y NEG, la G / N, el conjunto de (xn) (yN) = (xy) N define Estructuras de operación a un grupo, conocido como los genes G-factor de acuerdo con el grupo N, marcado (G / F, •) .Si G es un grupo finito,

Prueba. La operación es asociativa, I = N x N inversa de la celda unitaria y (xn) -1 = x-1N, porque (x N) (x-1 N) = (xx-1) N = N = EN y similares (x-1N) (x) = N. Si G es finito, entonces | G / N | = [G: N] = | G | / | H |, el elemento de Lagrange. ¤ Si G es conmutativo, entonces cada grupo factor es conmutativa.7.A.2. Ejemplo. • Determinar los grupos (Z, +) Factor de grupo.Sabemos que (Z, +) subgrupo del grupo (NZ +), donde n ∈N, todos ellos son una parte normal de los grupos debido a la conmutatividad. Símbolos: ¨ Zn = Z / nZ, el factor correspondientegrupos. Cuando 0Z = {0} es Z0 = Z/{0} = {x + {0} : x ∈Z} = {{x} : x ∈Z} Z. Ha n = 1, entonces 1Z = Z es Z1 = Z/Z = {x + Z : x ∈Z} = {Z}.Ha n ≥ 2, entonces Zn = {x+nZ : x ∈Z} = {xb : x ∈Z} = {b0,b1,...,n[− 1}, ahol x+nZ = xbSi n ≥ 2, entonces Zn + nZ = {x: x} = {xb ∈Z: ∈Z x} = {b0, b1, ..., n [- 1}, donde oles señal x = xb + NZ.F Si NEG, entonces PN: G → G / N, PN (x) = x N canónica renombrar mapeo de proyección. Esto, según el surjective homomorfismo arriba y su núcleo es precisamente N = N. En efecto Kerpen, Kerpen = {x ∈ G: x N = N = N} Así que todo una parte normal de un núcleo homomorfismo grupo.También es cierto que si NEG, el G / F Factor único conjunto de estructuras en grupos para que el PN: G → G / N el homomorfismo proyección canónica. Claridad: si pN homomorfismo, entonces pN(xy) = pN(x)pN(y)⇔(xy)N = (xN)(yN),∀x,y ∈ G. F

7.B. Homomorfismo teorema7.B.1. Teorema. (homomorfismo teorema) Si f: G → G0 es un morfismo grupo, entonces laf : G/Kerf → Imf, f(xKerf) = f(x)

isomorfismo grupo de funciones, por lo que G / ranura Es FMI.

Prueba. Si xKerf de ranura = x0, entonces xρKerfx0 donde mi entendimiento de que x (x0) -1 ∈ de ranura, f (x (x0) -1) = e 0, f (x) f (x0) -1 = e 0, f (x) = f (x0), por lo que f interpretado correctamente (el representante no depende de p).grupo f morfismo porque ∀xKerf, y ∈ G de ranura / Kerf⇒f ((xKerf) (de ranura y)) = f ((xy) de ranura) =f (xy) = f (x) f (y) = f (xKerf) f (y de ranura).f sobreyectiva porque ∀z Imf⇒∃x ∈ ∈ G: z = f (x) y por lo tanto f (xKerf) = f (x) = z. Y F es una inyección, porque f (xKerf) = f (y de ranura) ⇒f (x) = f (y) ⇒f (xy-1) = 1-e0⇒xy Kerf⇒xKerf ∈ y = de ranura. ¤Si f: G → G0 sea un morfismo grupo i: FMI → G0, i (y) = y un. inyección canónicayp = pKerf: G → G / ranura Es, p (x) = xKerf proyección canónica de la ranura a. Entonces i homomorfismo teorema de acuerdo ◦ f = f ◦ p, es decir, en la figura 4, en el diagrama es conmutativo.7.C. TareasH 1. Sean a, b ∈R, a = 0 a 6 árboles, b: R → R, madera, b (x) = ax + b.i) Demostrar que G = {árbol, b: a ∈ R *, b ∈ R} es una función de las composiciones del grupo en cuestión y H{Árbol, 0: ∈R *} y F = {f1, b: b} ∈R este subgrupo.ii) Demostrar que G tiene un subgrupo de H, F tiene un subgrupo normal de G y (G / F, ◦) (R *, •). iii) H un subgrupo normal de G a tener?Solución. i) il) utilizado como los grupos de artículos caracterización. Grupo G como parte del título barrió todo F: R → R es una función biyectiva su grupo. De hecho, ∀fa, b, fc, d ∈ G: madera, b ◦ fc = fac d, d + b ∈ G, madera, f1 inversa b / a, -b / a ∈ G. Del mismo modo, H, N ≤ G de HEG porque ∀fa, b ∈ G, f1, d ∈ N, madera, b ◦ f1, f1 ◦ d / a, b / a = árbol da f1 ◦ + b / a / - b / a f1,1 = + d ∈ N.yp = pKerf: G → G / ranura Es, p (x) = xKerf proyección canónica de la ranura a. Entonces i homomorfismo teorema de acuerdo ◦ f = f ◦ p, es decir, en la figura 4, en el diagrama es conmutativo.7.C. TareasH 1. Sean a, b ∈R, a = 0 a 6 árboles, b: R → R, madera, b (x) = ax + b.i) Demostrar que G = {árbol, b: a ∈ R *, b ∈ R} es una función de las composiciones del grupo en cuestión y H{Árbol, 0: ∈R *} y F = {f1, b: b} ∈R este subgrupo.ii) Demostrar que G tiene un subgrupo de H, F tiene un subgrupo normal de G y (G / F, ◦) (R *, •). iii) H un subgrupo normal de G a tener?Solución. i) il) utilizado como los grupos de artículos caracterización. Grupo G como parte del título barrió todo F: R → R es una función biyectiva su grupo. De hecho, ∀fa, b, fc, d ∈ G: madera, b ◦ fc = fac d, d + b ∈ G, madera, f1 inversa b / a, -b / a ∈ G. Del mismo modo, H, N ≤ G de HEG porque ∀fa, b ∈ G, f1, d ∈ N, madera, b ◦ f1, f1 ◦ d / a, b / a = árbol da f1 ◦ + b / a / - b / a f1,1 = + d ∈ N.Solución. Aplicamos el teorema homomorfismo en el siguiente homomorfismo:

a) f : C → R, f(z) = Im z, b) f : C ∗ → R ∗ , f(z) = |z|, c) f : C ∗ → C ∗ , f(z) = z |z| , d) f : R → C ∗ , f(x) = cos(2πx) + isin(2πx), e) f : Q → C ∗ , f(m/n) = cos(2πm/n) + isin(2πm/n)

8. grupos de permutaciones

8.A. Inversion, ven fuera, grupo alterna

El grupo simétrico de grado n o grupo de la permutación completa Sn nominación, se definió en tres .B.5 .. Aquí | Sn | = n!. Si σ ∈ Sn, el elemento (i, j) σ par inversión hace si i <j y σ (i)> σ (j). El número de inversión σ permutación de veces Inv (σ) candidato. sgn (σ) = (-1) Inv (σ) de la permutación σ firmaron, Paros permutación σ si sgn (σ) y σ = 1 parat-

Ian permutación si sgn (σ) = -1.

(I, j), i <j el número de pares Por lo tanto es Aquí Inv (σ) = 0⇔σ = e es la identidad permutación. Además a saber

Si n ≥ 2 y j <k, entonces el τjk ∈ Sn,

permutaciones de transposición designan, en

Aquí j (k - j) las formas de inversión, j + 1, j + 2, ..., k - 1, cada uno de ellos no hay inversiones y otras formas de inversión, por lo Inv (τjk) = (k - j) + (k - j - 1) = 2 (k - j) - 1, por lo τjk permutación impar.

8.A.1. Teorema. a) En cualquier caso σ ∈ Sn

b) sgn: Sn → {-1, + 1}, sgn (σ) = (-1) Inv (σ) surjective grupo morfismo,

c) Un subgrupo de Sn tiene, lo que es más: An = Ker sgnESn, en nombre del grupo alternante de grado ny | Un | = n / 2 !.

Prueba. a) σ biyectiva, por lo ∀i, j ∈ {1,2, ..., n}, i <j⇒∃k, ∈ {1,2, ..., n}: σ (k) = i, σ () = j y k> ⇔ (i, j) σ inversión hace. Al lado de la

factor de multiplicación -1 se puede simplificar, y el número es el número de inversión.

b) donde σ, τ ∈ Sn, entonces

en el τ (1), τ (2), ..., τ (n) da 1,2, ..., n es el número debido a τ bolsitas biyectivas.sgn sobreyectiva porque sgn (e) = 1 y sgn (τjk) = -1, donde τjk una posición trans.c) Un e ∈, y si σ, τ ∈ An, desde entonces sgn morfismo: sgn (στ) = sgn (σ) sgn (τ) = 1 • 1 = 1, por lo στ ∈ An; Si σ ∈ An, a continuación, sgn (σ-1) = (sgn (σ)) - 1 = 1-1 = 1, donde σ-1 ∈ An. Al lado de una ≤ Sn.Conviértete en τ ∈ Sn fijo transposición. Desde morfismo sgn, junto a φ: Sn → Un \ Un, φ (σ) = στ responde joler a una función biyectiva. Desde aquí tenemos que. Un E Sn Sin embargo, a causa de lo anterior [Sn An] = 2.De lo contrario nocivo: el teorema homomorfismo Sn / Un U2 = {-1, + 1}, por lo tanto | Sn / An | = [Sn An] = 2en | Sn | = [Sn An] | Un |, donde n! = 2 | Un | es | Un |! = N / 2. ¤8.A. 2.Valasz.Feladat.¡n2 ¢. H se determina por el número de posición de trans-Sn-final.8.B. Permutaciones disjuntos órbitas, cicloLas permutaciones disjuntos permutaciones σ y τ me llaman cuando todo i ∈ {1,2, ..., n} es el caso σ (i) = i i o la τ igualdad (i) = cos se reúnen al menos una de las existentes. 8.B.1. Ejemplo. • El

Permutaciones disjuntos.8.b.2. Teorema. Si permutaciones disjuntos σ y τ, entonces στ = τσ.Prueba. Sé ∀i ∈ {1,2, ..., n}. Si σ (i) = τ (i) = i, entonces σ (τ (i)) = σ (i) = i = τ (σ (i)).Si σ (i) = i j = 6, entonces σ (j), j = 6'es τ (i) = i, τ (j) = j. Junto a σ (τ (i)) = σ (i) = j y τ (σ (i)) = τ (j) = j. Del mismo modo, si τ (i) = 6 i. ¤Deje σ ∈ Sn fijo y considerar la siguiente relación: i j ~ σ ⇔∃p ∈Z: σp (i) = j. 8.B.3. Ejemplo. • El

por ejemplo de permutación. 3 y 4 ~ 1 ~ σ σ 6 porque σ (1) = 3, σ2 (4) = 6, pero uno 6 ~ σ cuarto8.B.4. Teorema. ~ Todo σ ∈ Sn noche σ es una relación de equivalencia.Prueba. i i σ ~ porque σ0 (i) = e (i) = i. Si i j ~ σ entonces ∃p ∈Z: σp (i) = j⇒σ p (j) = i i⇒j ~ σ. Si σ ~ i j, j k σ ~ entonces ∃p ∈Z: σp (i) = j, ∃q ∈Z: V (j) = k⇒σp + q (i) = k k⇒i ~ σ. ¤Considere la comparación de los ~ σ {1,2, ..., n} / ~ σ = {O1, O2, ..., o} elementos de los factores, y sus número finito de elementos, ya que Sn es finito. Aquí O1, O2, ... ¿O era que las órbitas de permutación σ o trayectorias cambiar el nombre.8.B.5. Ejemplo. • En el ejemplo anterior O1 = {1,3}, {2} = O2, O3 = {4,5,6} (a la mismaOrbital pertenecen, que están en relación con el número de conexiones que tienen allí, "vía"'' Se utiliza en el σ- t).Si i ∈ {1,2, ..., n} es opcional, entonces contiene la órbita, marcando Oji, que por lo tanto puede Oji σp = {(i)} = {p ∈Z ..., σ-1 ( i), i, σ (i), σ2 (i), ...}, pero un número finito de elementos de todos, como un subconjunto de {1,2, ..., n}, por lo tanto σp (i) los elementos no puede ser para exterior ozoek ONB. Existe una k ,, k>, que σk (i) = σ (i), a partir de σk-`(i) = σ0 (i) = i, así que hay un positivo p exponentes, que σp (i) = i (de otra forma dañina : Sn = grupo σn (ver 5.D.2) de σn (i) = e (i) = i y después de que p es una cantidad positiva para los que σp (i) = i) !. Yo seré el más mínimo tales exponentes positivos:i = min {k ∈ N *: σk (i) = i}. Así Oji = {i, σ (i), σ2 (i), ..., σi-1 (i)} y sobre el número elementos Oji | Oji | = i, esta longitud órbita para cambiar el nombre.

El ciclo σ permutación me llaman, si no más que un orbital es una sola longitud. Esto significa que σ ∈ Sn es un ciclo si hay un i1, i2, ..., i ∈ {1,2, ..., n} Número de cul ONB OZO donde 1 ≤ n ≤ `que σ (i1) = i2, σ (i2) = i3, ..., σ (i-1) = i, σ (i) = I1, y σ (i) = i, donde i ∈ /{I1, I2, ..., i}. Decimos que σ es un ciclo de tiempo - longitud, marcando σ = (i1 i2 ... i) y el Oσ = {i1, i2, ..., I `σ} es el su órbita o me llaman. 8.B.6. Prov. • El

Permutación de un ciclo de longitud 4,

Permutación ver 8.B.3 no ciclo, pero los ciclos resolubles multiplica por .:σ = (13) (2) (456).• Toda la transposición de un ciclo de longitud 2: tij = (i, j).La longitud de ciclo de γ si y sólo si γ = 1 e es la permutación identidad. Si γ es un ciclo, a continuación, para todo i ∈ Oγ caso γ = (iγ (i) γ2 (i) ... γ`-1 (i)) y γ (i) = i.8.B.7. Teorema. ¿Puedo romper un ciclo de longitud - 1 transposición multiplica por tanto, con aura (-1) `-1.Prueba. Instantánea que σ = (i1 i2 ... I`) = (I `i1) (i1 I`-1) ... (i2 i1). Desde sgn (tij) = sgn (i, j) = -1, junto a sgn (σ) = (-1) `-1. ¤El γ = (i1 i2 ... I`) y δ = (J2 J1 ... jm) 'es ciclos sólo puede ser disjuntos si disjuntos orbital, es decir, {i1, i2, ..., I `} ∩ {j1, j2, ..., jm} = ∅.8.B.8. tarea.¡H ¢ Determinar los ciclos de longitud Sn-borde. .8c Resolución Teorema8.C.1. Teorema. Cada permutación de grado n puede escribirse como una ciclos disjuntos y multiplicando esta receta es clara excepción de la secuencia de ciclos.permutación Orbital

O1 = {1, 3, 6}, {2} = O2, O3 = {4, 5, 9}, O4 = {7, 8} y σ = (1 3 6) (2) (4 5 9 ) (7 8) =(7 8) (1 3 6) (4 5 9), en el que la longitud de un ciclo se omite.Esta permutación del tipo (1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0).Por lo general, se dice que la permutación σ ∈ Sn tipo (k1, k2, ..., kn), donde σ es k1 descomponibleNo. 1 k2 longitud son 2 longitudes, ..., k, número de ciclos disjuntos de longitud n multiplicapluma k1 + 2k2 + ... + n = NKN8.C.3. Consecuencias. El conjunto de transposiciones generar Sn, es decir, todas las permutaciones de grado n se pueden escribir multiplicador transposición, pero la resolución no es sencillo.Prueba. Sobre la base del teorema anterior es suficiente para mostrar que cada (uno no mucho) ciclo no trivial puede preparar multiplicando la posición trans, pero esta es la venta de próxima 8.B.7. Esta resolución no es claro, por ejemplo, (123) = (13) (12) = (12) (13) (23) (12). ¤Si σ es una permutación es par (impar), entonces σ tiene cualquier asignación factor de transposición multiplicando prescribir el número es par (impar).8d TareasH 1. Si n ≥ 3, entonces Sn no es conmutativa, lo que es más, el centro Z Sn (Sn) = {e}. Si n ≥ 4, entonces Z (An) = {e}.

Solución. Supongamos que ∃σ ∈ Z (Sn): σ = 6 e⇒∃i j = σ (i) = 6 i. Como n ≥ 3, junto a ∃k 6 = i, k 6 = j, y considerar la posición trans τ = (jk). Entonces (στ) (i) = σ (τ (i)) = σ (i) = j y (τσ) (i) = τ (σ (i)) = τ (j) = k, una contradicción.F Si ∃σ ∈ Z (An): σ = 6 e⇒∃i j = σ (i) i = 6. Como n ≥ 4, junto a ∃k para que i, j, k, `como pares herramientas cul ing ONB, y ser τ = (jk) ∈ An. Entonces (στ) (i) = σ (τ (i)) = σ (i) = j y(Τσ) (i) = τ (σ (i)) = τ (j) = k, una contradicción. FH 2. Demostrar que la siguiente An- et grupos electrógenos: a) la longitud de tres ciclos,D b) {(123), (124), ... (12n)}. FSolución. a) Si a, b, c cul ONB ozoek, entonces (b) (b, c) = (abc), (a, b), (c, d) = (CAD) (abc), Por lo tanto, cualquiera de los dos transposiciones multiplican se puede escribir en tres ciclos multiplicados, y el uso que cada incluso permutación es un número par de factores de transposición.9. La estructura Teorema9.A El grupo de DiederikSea n ∈N, n ≥ 3 y Pn sea un polígono regular del plano S. Tenga en cuenta las transformaciones de congruencia Pn, es decir, la separación f: S → S función son que muchos Bavi Pn No. Oget en su físico.

Pn i fusiono aosag transformación de la composición para formar una única operación de grupo no conmutativo de 2n orden, que es de grado n de título por equipos zunk.Je Diederik (Dn, ◦) o (Dn, •).De hecho, Sea O el centro de Pn A1, A2, ..., An el pico Ver Figura 5. Cada una de estas transformaciones f determina la Dónde poner dos picos, por ejemplo. A1 y A2, por lo f- de f (A1) y F (A2).Agregar ρ = ρ2π / O na Uli en 2π / n triángulo que la rotación (es decir, ρ (A1) = A2, ρ (A2) = A3) y dejar que σ OA1 la línea recta que refleja ozest (σ (A1) = A1, σ (A2) = An).Entonces ρk = ρ2kπ / 2kπ n / n triángulo que la rotación, donde 1 ≤ k ≤ n-1 (+ ρk aquí (A1) = 1 Ak, ρk (A2) =K + 2, donde la convención: An + 1 = A1) 'es ρn = ρ0 = e es la transformación de la identidad. Además, σ2 = ee, ρ, ..., ρn-1, σ, ρσ, ..., ρn-Kul 1σ transformaciones ONB Ozo. De hecho, si 0 ≤ k ≤ n - 1,(Ρkσ) (A1) = ρk (σ (A1)) = ρk (A1) = Ak + 1 y (ρkσ) (A2) = ρk (σ (A2)) = ρk (An) = Ak.Ahora bien, si f es un arbitraria transformaciones congruencia y f (A1) = Aj + 1, donde 0 ≤ j ≤ n - 1, entonces f (A2) de cambio de dos opciones: f (A2) = j o f (A2) = Aj 2, donde las convenciones: A0 = An, An + 1 = A1. Así f o la rotación o transformaciones la ρj ρjσ. Así f = f = ρj o ρjσ. De este modo se confirmó que de grado n Diederen grupo Dn | Dn | = 2n yDn = {e, ρ, ρ2, ..., ρn-1, σ, ρσ, ρ2σ, ..., ρn-1σ}donde ρ y σ es como se define anteriormente transformaciones.

´abra 5.

π/n 2

....

O

n A

3 A

2 A

1 A

Nota: 1. Hay una asignación eje central ρkσ Ozes Espejos. Si k = 2m - 1 es impar, es la sección perpendicular bisectriz Amami + 1, donde k = 2 m es par, entonces el t + 1 línea de OAM.2. Demostrar que σρ = ρn = ρ-1σ-1σ. De hecho, (σρ) (A1) = σ (ρ (A1)) = σ (A2) = An (ρn-1σ) (A1) = ρn-1 (σ (A1)) = ρn-1 (A1) = una pulgada (σρ) (A2) = σ (ρ (A2)) = σ (A3) = An-1 (ρn-1σ) (A2) = ρn-1 (σ (A2)) = ρn-1 (An ) = An-primera La segunda igualdad se ρn = true debido a esto.3. ρn = e, e = σ2 y σρ = ρn 1σ entrelazan ugg-shek esta operación puede Dn define la placa.4. Sin embargo, la inversa ρkσ Myself (ρkσ) -1 = ρkσ, es decir, (ρkσ) 2 = e, 0 ≤ k <n. Es ovetkezik del hecho de que una asignación de eje central ρkσ Ozes Espejos, véase más arriba, y el cálculo se puede demostrar:(Ρkσ) 2 = ρkσρkσ = ρk (σρ) ρk = ρk-1σ (ρ-1σ) ρk = ρk-1σ-1σρk ρσρσ-1σ = ... = = ρ (σρ) σ = ρ (ρ-1σ) σ = σ2 = e.5. El grupo diedro abstracto Dn se define de la siguiente manera:Dn = {e, x, x2, ..., xn-1, y, xy, X2Y, ..., xn} 1a,donde x n = y 2 = e, yx = x n-1a. de lo contrario perjudicial para:Dn = hx, y | x n = y 2 = e, yx = x n-1yi.Aquí x e y Generale componentes y las aplican a la comparación anteriormente definido6. Si el polígono Pn 1,2, ..., n están marcados Reino Unido, entonces, de una transformación f Sn permutación final. Dn Así que identificar un subgrupo de Sn (isomorfo a).7. Si n = 3, entonces como D3 y S3 ≤ | D3 | = 6, junto a la D3 = S3, S3 D3 con precisión.Puede definir los grupos D1 y D2. D2 es un grupo rectangular de transformaciones, que no son cuadradas, es sólo el grupo de Klein D2 = hx, y | x2 = y2 = e, = yx XYI, | D2 | = cuartoPor otra parte, el isósceles D1 (no regular) transformaciones de grupos triángulo. Esta transformación a todos: es idéntico (0◦-asignación por rotación) y la base de mitades Omer ere tomadas arbitraria y simetría, donde s2 = e. Aquí D1 = {e, s}, | D1 | = 2.9.A.2. Tarea. H a) Preparar la operación puede placa D4.F b) Determinar la división D4 de grupos y divisores normales.Solución. a)

D4 = {e,ρ,ρ2,ρ3,σ,ρσ,ρ2σ,ρ3σ},

donde e = ρ4, σ2 = e, = σρ ρ3σ.F b) D4 división de los grupos puede ordenar 1,2,4,8. Estos H1 = {e}, el subgrupo de segundo orden H = {e, x} forma, donde x2 = e. O usted puede encontrar útil: H2 = {e, σ}, H3 = {e,} ρσ, H4 = {e,} ρ2σ H5 = {e,} ρ3σ, H6 = {e, ρ2}.El cuarto subgrupo H = {e, x, x2, x3}, x4 = e forma o cíclico Klein: H = {1, x, y, xy}, donde x2 = y2 = e, xy = yx. Un subgrupo cíclico es: H7 = {e, ρ, ρ2, ρ3} y dos medio-Klein: H8 = {e, ρ2, σ, ρ2σ y H9 = {e}, ρ2, ρσ, ρ3σ}.Hay un subgrupo de la H10 = D4.La división del grupo de 6 a 10 supra H1 normales subgrupo, H10 trivial, H7, H8, H9 índice 2, H6 y dos secciones grupo lresz estándar: H7 H6 = ∩H8. Los otros cuatro, por lo H2, H3, H4, H5 no es una parte normal de un grupo, por ejemplo. ρσρ ρσρ3 = ρ-1 = (σρ) ρ2 = ρ (ρ3σ) = ρ2 ρ4σρ2 σρ2 = = = ρ3σρ ρ2σ ∈ / H2.Nota: {e, E σ {e}, ρ2, σ, E} ρ2σ D4 (índice 2, respectivamente), pero {e, σ} 6ED4. F9.B. Los 2p grupos RenduLa teoría de grupos es una tarea importante para todas las descripciones del tipo de grupo existentes. Ya hemos visto que existe sólo un tipo de grupo de Rendu prime. Por lo tanto, como un grupo, y que tiene 2,3,5,7,11,13,17,19, ..., estos son cíclica (y conmutativa). Mírame a los

grupo son ahora Rendu 2p, donde p es un número primo. Es nuestra necesidad cualquiera de los siguientes resultados:9.B.1. Teorema. Sea (G, •) es un grupo finito, de modo que ∀x ∈ G: x2 = e. Entonces G es conmutativa y existe k ∈N tal que | G | = 2k.Prueba. ∀x, y ∈ G: e = (xy) 2 = xyxy, e = ee = x2y2 xxyy⇒xy = yx.El second'allıtast | G | = n por inducción demuestra. Si | G | = 1 o | G | = 2, entonces la afirmación es cierta. Supongamos que la afirmación es cierta para todo n son grupos inferiores y tienen | G | = n. Sea x ∈ G, x = e, n = 6 x hxi genera parte de un grupo, N e = {x}, ya que x2 = e. Y G es conmutativo, por lo NEG y G / N = | G | / 2 = n / 2 <∀yN ∈ N y G / N (y N) 2 = Y2n = ES = N, que es el G / N unidades del Grupo de los factores.Por lo tanto, G / N se aplica a las condiciones de inducción: | G | = 2k, donde | G | = | G / N || M | = 2k + primero ¤Los siguientes artículos destacan la importancia de aa grupo diedro también.9.B.2. Teorema. Si el grupo G política | G | = 2p, donde p es un número primo ≥ 2, entonces G (Z2p +) oG (Dp, ◦).Prueba D. Cada elemento x ∈ G es un divisor de la orden con el grupo con (mucha), es decir, ∀x ∈ G:p (x) = 1.2, P o 2p. Si ∃x ∈ G: p (x) = 2p, entonces G cíclico G = hxi (Z2p +).De lo contrario, ∀x ∈ G, x 6 = e: p (x) = 2 o p (x) = p. Si p = 2, entonces ∀x ∈ G, x 6 = e: p (x) = 2 se obtiene en el análisis de la tabla y el funcionamiento del grupo × Z2 Klein D2 Z2.Si p ≥ 3, entonces | G | = 2 y 6 de los artículos anteriores sobre siguiente que existe x ∈ G: p (x) = py dejar que N = hxi = {e, x, x2, ..., xp-1}. Desde | N | = p, así que | G / N | = 2, es decir, N es un subgrupo de índice 2, por lo NEG, véase la sección 6, y ∀y ∈ G \ N, G / N = {N, y N} y N = W (y N) N = 2 (porque (y N) = N 2 = yN⇒yN no es posible) y (y N) p = y N (p impar). Sin embargo yx ∈ yN⇒yN = (yx) n. Así yp = 6 e (YX) p = p 6, y puesto que todos los elementos de dos o p, a continuación, que ················· p (y) = p (yx) = 2.También, yx ∈ y N = Ny⇒∃k ∈ {1,2, ..., p - 1}: y = xky, aquí es 6 = 0, para k = 0 = yx = y⇒x Esto contradice 'como. Aquí e = (yx) 2 = = yxyx xky2x = xk + 1, teh'at p (x) = k + p = 1⇒k = p - 1, yx = 1y xp.Por lo tanto, G = N, W = ∪ {e, x, x2, ..., xp-1, y, xy, ..., xp 1a}, donde p (x) = p, p (y) = 2? yx = 1y xp, por lo que G Dp, Diederik grupo. ¤FAsí que dos de un grupo, y tener 4,6,10,14,22, ..., uno de los cuales es cíclico, el otro es el grupo Diederik.9c Los grupos rendu p2También pueden justificarse9.C.1. Teorema. Si el grupo G política | G | = p2, donde p es un número primo ≥ 2, entonces G es conmutativo yG (Zp2 +) o G (Zp × Zp, +). ¤Así que dos de un grupo, y tener 4,9,25, ..., estos son conmutativa, un ciclo, los otros dos multiplicación directa grupo cíclico.El grupo de Rendu más pequeño que no está en la lista anterior, el 8-adrendu. Se puede demostrar que G es el caso conmutativo tener 3 opciones: G (Z8 +) cíclico, o G (Z2 × Z4 +) o G (Z2 × Z2 × Z2 +). Si G no es conmutativo, entonces hay dos casos: la GQ grupo Diederik D4 G o el grupo de cuaterniones.

Además, el número 5 grupos de 12 elementos, 15 elementos en cada medio de un grupo, el grupo cíclico, el número 16-elemento para el lenguaje de verbo Eloise 14. Estas definiciones de una serie de tamaños y más cálculo.04 abril 2006