Acciones interiores y flexi´on de vigas -...
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DPTO. FISICA APLICADA II - ETSIE Pr´ actica 3 Acciones interiores y flexi´on de vigas Parte I. Acciones interiores Descripci´on del montaje experimental El montaje experimental consta de los siguientes elementos (v´ ease figura 3.1): (a) Una viga biapoyada, partida en dos fragmentos a trav´ es de una secci´on perpendicular a su eje. (b) Dos apoyos simples montados sobre una gu´ ıa horizontal. (c) Dos dinam´ ometros dotados de tornillos de regulaci´ on. (d) Un soporte para pesas y un juego de pesas. (e) Un nivel de burbuja. (f) Una regla. En cada secci´on de un s´ olido r´ ıgido en equilibrio bajo la acci´ on de un sistema de fuerzas exteriores se originan fuerzas interiores que lo mantienen ´ ıntegro e indeformado frente a las fuerzas exteriores aplicadas. Dicho sistema de fuerzas interiores es equivalente a un sistema fuerza-par que se denomina accionesinteriores sobre lasecci´on. El prop´ osito de esta pr´ actica es estudiar estas acciones interiores en una viga. Para ello, la viga se encuentra dividida en dos fragmentos. Al aplicar una carga puntual P en uno de ellos, se produce un desplazamiento de un fragmento respecto del otro. Para que ambos fragmentos vuelvan a alinearse como si fuesen un ´ unico s´ olido r´ ıgido, se deben restituir las acciones interiores que aparecer´ ıan de ser una viga r´ ıgida. Ello se consigue mediante las fuerzas que ejercen los dos dinam´ ometros y la fuerza de reacci´ on vincular en el rodillo que pone en contacto ambos fragmentos. De la fuerza ejercida por el dinam´ ometro vertical, F V (v´ ease figura 3.2), puede obtenerse el esfuerzo cortante Q, componente de fuerza de las acciones interiores paralela a la secci´on. El esfuerzo cortante se opone al corte o cizalladura de la viga. La fuerza ejercida por el dinam´ ometro horizontal, F H , y la reacci´ on vincular en el rodillo, φ R , forman un par, de cuyo 1
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Practica 3
Acciones interiores y flexion de vigas
Parte I. Acciones interiores
Descripcion del montaje experimental
El montaje experimental consta de los siguientes elementos (vease figura 3.1):
(a) Una viga biapoyada, partida en dos fragmentos a traves de una seccion perpendiculara su eje.
(b) Dos apoyos simples montados sobre una guıa horizontal.
(c) Dos dinamometros dotados de tornillos de regulacion.
(d) Un soporte para pesas y un juego de pesas.
(e) Un nivel de burbuja.
(f) Una regla.
En cada seccion de un solido rıgido en equilibrio bajo la accion de un sistema de fuerzasexteriores se originan fuerzas interiores que lo mantienen ıntegro e indeformado frente a lasfuerzas exteriores aplicadas. Dicho sistema de fuerzas interiores es equivalente a un sistemafuerza-par que se denomina acciones interiores sobre la seccion. El proposito de esta practicaes estudiar estas acciones interiores en una viga.
Para ello, la viga se encuentra dividida en dos fragmentos. Al aplicar una carga puntual ~Pen uno de ellos, se produce un desplazamiento de un fragmento respecto del otro. Para queambos fragmentos vuelvan a alinearse como si fuesen un unico solido rıgido, se deben restituirlas acciones interiores que aparecerıan de ser una viga rıgida. Ello se consigue mediante lasfuerzas que ejercen los dos dinamometros y la fuerza de reaccion vincular en el rodillo quepone en contacto ambos fragmentos.
De la fuerza ejercida por el dinamometro vertical, ~FV (vease figura 3.2), puede obtenerse elesfuerzo cortante Q, componente de fuerza de las acciones interiores paralela a la seccion.El esfuerzo cortante se opone al corte o cizalladura de la viga. La fuerza ejercida por eldinamometro horizontal, ~FH , y la reaccion vincular en el rodillo, ~φR, forman un par, de cuyo
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PRACTICA 3. ACCIONES INTERIORES Y FLEXION DE VIGAS 2
dinamómetrostornillo de regulación
apoyo apoyo
guía nivel pesassoporte
de pesas
sección de la viga
tornillo
de regulación
viga biapoyada
regla
Figura 3.1: Montaje experimental de la parte I.
momento puede obtenerse el momento flector Mf , componente del momento de las accionesinteriores paralela a la seccion. El momento flector se opone a la flexion de la viga.
Objetivos
Determinar el valor del esfuerzo cortante Q y del momento flector Mf en una seccionde una viga biapoyada para distintos valores de la carga puntual P aplicada.
Comprobar que, para una seccion situada a la izquierda de la carga aplicada P , elesfuerzo cortante y el momento flector son iguales a:
Q = P
(
L− l
L
)
, (3.1)
Mf = P
(
L− l
L
)
x , (3.2)
donde L es la luz de la viga (distancia entre los dos apoyos), l es la distancia del apoyoizquierdo al punto de aplicacion de la carga y x es la distancia del apoyo izquierdo ala seccion.
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Figura 3.2: Diagrama de fuerzas que actuan sobre la viga. Las fuerzas ~φI y ~φD son las fuerzasde reaccion vincular en los apoyos izquierdo y derecho, respectivamente. En la figura no estanrepresentados los pesos de los fragmentos de la viga.
Desarrollo de la experiencia
1. Coloque el soporte para pesas a una distancia l = 40 cm del apoyo izquierdo de laviga.
2. Mida la luz L de la viga y la distancia x del apoyo izquierdo a la seccion que separalos dos fragmentos de la viga. Anote los valores de L, l y x en los recuadros corres-pondientes de la tabla de medidas de la parte I que encontrara al final del boletın.
3. Situe el nivel de burbuja sobre el fragmento izquierdo de la viga. Con ayuda del tornillodispuesto en uno de los extremos del dinamometro horizontal, nivele el fragmentoizquierdo de la viga hasta colocarlo completamente horizontal.
4. A continuacion, situe el nivel de burbuja de modo que se apoye en ambos fragmentosde la viga. Con ayuda del tornillo situado en uno de los extremos del dinamometrovertical alinee el fragmento de la derecha con el de la izquierda, de forma que ambosqueden horizontales.
5. Anote las lecturas de los dinamometros vertical y horizontal como FV 0 y FH0, respec-tivamente, en la tabla de medidas. Estas corresponden a los modulos de las fuerzasejercidas en los extremos de los dinamometros, expresadas en kilopondios, y estanrelacionadas con las acciones interiores existentes en la seccion debidas al peso de lapropia viga.
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6. Coloque una pesa de 5 N sobre el soporte. Anote la carga aplicada en la columna P
de la tabla de medidas.
7. Observara que los fragmentos de la viga se desnivelan. Vuelva a situar el nivel de burbujasobre el fragmento izquierdo y, con ayuda del tornillo dispuesto en el dinamometrohorizontal, nivele de nuevo el fragmento izquierdo hasta colocarlo completamente ho-rizontal.
8. Situe ahora el nivel de burbuja de modo que se apoye en ambos fragmentos de la viga.Con ayuda del tornillo situado en el dinamometro vertical alinee el fragmento de laderecha con el de la izquierda.
9. Anote las lecturas de los dinamometros vertical y horizontal en las columnas respectivasFV y FH de la tabla de medidas.
10. Sustraiga a ambas lecturas los valores de referencia respectivos FV 0 y FH0, y anote elresultado en las correspondientes columnas FV − FV 0 y FH − FH0.
11. La diferencia FV − FV 0 es el valor del esfuerzo cortante Q en la seccion debido solo ala carga P . Convierta dicho valor a newtons y llevelo a la columna Q de la tabla demedidas (1 kp ≈ 10N).
12. La diferencia FH−FH0 es el modulo de la fuerza ejercida por el dinamometro horizontalsobre uno de los fragmentos de la viga, debida solo a la carga P . Esta fuerza, junto a lade reaccion vincular existente en el rodillo, constituyen un par de brazo d = 15 cm. Elmomento de dicho par es el valor del momento flector Mf . Calculelo como el productodel modulo de la fuerza del dinamometro por el brazo del par: Mf = (FH − FH0) d.Expreselo en Nm y anote el resultado en la columna Mf de la tabla de medidas.
13. Repita los pasos del 6 al 12 aplicando sucesivamente pesas de 10, 15 y 20N.
14. Retire todas las pesas del soporte cuando haya finalizado las medidas.
15. Represente en papel milimetrado el esfuerzo cortante Q frente a la carga P , utilizandolos puntos experimentales (P,Q) anotados en la tabla de medidas. Dibuje los ejes eindique las magnitudes representadas y sus unidades.
16. Haga una representacion grafica similar para el momento flector en una nueva hoja depapel milimetrado.
17. Represente la ecuacion teorica (3.1) entre Q y P en la misma grafica en que repre-sento los puntos experimentales. Tratandose de una relacion lineal, bastan dos puntospara trazar la recta, uno de los cuales puede ser el correspondiente a P = 0.
18. Represente del mismo modo la ecuacion teorica (3.2) entre Mf y P en la mismagrafica en que represento los puntos experimentales. Nuevamente, al tratarse de unarelacion lineal, bastan dos puntos para trazar la recta, uno de los cuales puede ser elcorrespondiente a P = 0.
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palpador
apoyo
simple
apoyo
simple
calibrador pesas
colgador
para las
pesas
estructura metálica
vigas a escala regla
Figura 3.3: Montaje experimental de la parte II.
Parte II. Flexion de vigas
Descripcion del montaje experimental
El montaje experimental consta de los siguientes elementos (vease figura 3.3):
(a) Dos vigas a escala: una de aluminio, de seccion rectangular; y otra de plastico (ABS1),de seccion en forma de I.
(b) Dos apoyos simples.
(c) Un palpador para medir la deformacion de la viga (flecha) dotado de un iman para sufijacion.
(d) Una estructura metalica amarilla y azul para sujetar los apoyos y el palpador.
(e) Un juego de pesas de 10 g y un sistema para colgar las pesas de la viga.
(f) Un calibre o pie de rey.
(g) Una regla.
La directriz de la viga es la lınea que pasa por el centroide de cada seccion transversal de lamisma. Cuando la viga esta descargada, la directriz es una lınea horizontal. Al aplicar una
1ABS es el acronimo internacional de acrilonitrilo butadieno estireno, que es un plastico resistente al
impacto, muy utilizado en automocion y con otros usos industriales.
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directr
directr
(elástica)
flecha máxima, fmax
Figura 3.4: Elastica (lınea discontinua) y flecha maxima fmax de una viga biapoyada. L esla luz de la viga.
carga puntual en el punto medio de la luz de la viga, la directriz adopta la forma de unacurva que se denomina elastica (vease figura 3.4). La distancia entre la directriz sin carga yla elastica se denomina flecha, y su valor maximo se encuentra en el punto de aplicacion dela carga puntual.
Objetivos
Comprobar que la flecha maxima para una viga recta, horizontal, biapoyada, con unacarga puntual normal a la directriz de la viga y aplicada en el punto medio de su luz,varıa linealmente con la carga aplicada segun la ecuacion
fmax =L3
48E IGP , (3.3)
donde P es el modulo de la carga aplicada, L es la luz de la viga, E es el modulo de
Young caracterıstico del material con el que esta fabricada la viga e IG es el momento
de inercia de la seccion de la viga respecto a un eje que pasa por el centroide G de laseccion y es perpendicular a la direccion de la carga y a la directriz.
Obtener el modulo de Young E del aluminio a partir de la medida de la flecha maximade una viga de este material, deformada por la aplicacion de una carga.
Obtener el momento de inercia IG de la seccion de una viga en forma de I a partir dela medida de su flecha maxima.
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a
e G G
G
Figura 3.5: De izquierda a derecha: Seccion transversal de la viga de aluminio, de la viga deplastico ABS dispuesta en forma de I, y de la misma viga dispuesta en forma de H.
Obtener el momento de inercia IG de la seccion de una viga en forma de H a partir dela medida de su flecha maxima.
Parte IIa. Comprobacion de la dependencia de la flecha maxima con la carga
aplicada
1. Mida la anchura a y altura e (vease figura 3.5) de la seccion transversal de la viga dealuminio con ayuda del calibrador o pie de rey. Si desconoce como se emplea, consultea su profesor. Anote las medidas realizadas en los recuadros correspondientes de latabla de medidas de la parte IIa que encontrara al final del boletın.
2. Determine el valor del momento de inercia IG de la seccion transversal de la viga.Para una seccion rectangular de anchura a y altura e, dicho momento de inercia valeIG = 1
12ae3. Anote el valor obtenido en la tabla de medidas.
3. Coloque la viga de aluminio sobre los apoyos y cuelgue del palpador el soporte parapesas.
4. Compruebe con la regla que el palpador este en el punto medio de la luz de la viga.Asegurese tambien de que su aguja mas pequena marque un valor comprendido entre2 y 8. Si no es ası, el vastago del palpador se encuentra cercano al final de su recorrido.Desplace el palpador en vertical hasta conseguir una lectura adecuada.
5. Mida el valor de la luz de la viga L y anotelo en el recuadro correspondiente de latabla de medidas.
6. Gire suavemente la esfera del palpador hasta que la aguja principal indique cero.
7. Coloque dos de las pesas suministradas en el soporte para pesas que cuelga del pal-pador. Anote el peso aplicado, expresado en newtons, en la columna P de la tabla demedidas. Para calcular el peso (P = mg) emplee como valor de la aceleracion de lagravedad g = 9,8m/s2.
8. Lea el valor de la flecha maxima de la viga en el palpador y anotelo en la columna fmax
de la tabla de medidas. Note que cada division del palpador vale 0,01mm=10−5m.
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9. Repita los pasos 7 y 8 colgando del soporte 4, 6, 8, 10 y 12 pesas.
10. Retire todas las pesas del soporte cuando haya finalizado las medidas.
11. Represente en papel milimetrado la flecha maxima fmax frente a la carga aplicada P .Dibuje los ejes e indique las magnitudes representadas y sus unidades. Compruebe que,tal y como predice la ecuacion (3.3), los puntos de esa grafica estan aproximadamentealineados segun una recta de pendiente positiva.
12. Determine el modulo de Young E del aluminio a partir de la medida de la flechamaxima para el mayor de los pesos aplicados, empleando la ecuacion (3.3). Anote elresultado en la hoja de medidas. Coteje dicho valor con el que se da en los manualestecnicos: Ealuminio = 69GPa (gigapascales; 1 GPa = 109 Pa).
Parte IIb. Obtencion del momento de inercia de la seccion de una viga en forma
de I
1. Sustituya la viga de alumnio por la de plastico. Coloquela de modo que su secciontenga forma de I.
2. Cuelgue del palpador el soporte para pesas. Asegurese de que el palpador este en elpunto medio de la luz de la viga y de que su aguja mas pequena marque un valorcomprendido entre 2 y 8. Corrija la posicion del palpador, si fuera necesario.
3. Gire suavemente la esfera del palpador hasta que la aguja principal indique cero.
4. Cuelgue de una en una 12 pesas del soporte. Anote los valores de la luz L de la vigay la carga aplicada P en la hoja de medidas.
5. Mida la flecha maxima fmax y lleve su valor en la tabla de medidas. Tenga en cuentaque la aguja del palpador podrıa dar mas de una vuelta completa a su esfera. Retiretodas las pesas del soporte cuando haya finalizado la medida.
6. Usando el valor del modulo de Young para el ABS, EABS = 2,8GPa, aplique la ecuacion(3.3) para obtener el momento de inercia IG de la seccion. Trasladelo a la tabla demedidas.
Parte IIc. Obtencion del momento de inercia de la seccion de una viga en forma
de H
1. Gire la viga de plastico 90◦ de modo que su seccion quede orientada como una H.
2. Repita los pasos del 2 al 6 de la parte IIb.
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Grupo de practicas:
Fecha de realizacion:
Practica 3:
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Medidas y resultados
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TSIEParte I. Acciones interiores
Luz de la viga: L = m
Distancia del apoyo izquierdo al punto de aplicacion de la carga: l = m
Distancia del apoyo izquierdo a la seccion: x = m
Valores de referencia: FV 0 = kp , FH0 = kp
P (N) FV (kp) FH (kp) FV − FV 0 (kp) FH − FH0 (kp) Q (N) Mf (Nm)
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Parte IIa. Dependencia de la flecha maxima con la carga aplicada
Dimensiones de la seccion de la viga: a = m , e = m
Momento de inercia: IG = m4
Luz de la viga: L = m
P (N) fmax (×10−5m)
Modulo de Young del aluminio : Ealuminio = Pa
Parte IIb. Obtencion del momento de inercia de la seccion de una
viga en forma de I
Luz de la viga: L = m
Carga aplicada: P = N
Flecha maxima: fmax = m
Momento de inercia: IG = m4
Parte IIc. Obtencion del momento de inercia de la seccion de una
viga en forma de H
Luz de la viga: L = m
Carga aplicada: P = N
Flecha maxima: fmax = m
Momento de inercia: IG = m4
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Hoja
para
calculos
