Teoría de Mecanismos y Máquinas

José Cano - 1 -

ACELERACIÓN TANGENCIAL Y NORMAL

Los mecanismos están formados por barras, unidas mediante articulaciones que llamaremos pares cinemáticos. A las barras las vamos

a denominar mediante números.

A

CO2

O536

5

2

1

1

1

4B

En la figura tenemos un mecanismo formado por las barras 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Dejamos el número 1 para designar la barra fija. Los pares

cinemáticos, son las uniones entre barras. Como ejemplo tenemos la unión de las barras 2 y 3 en el punto A, la de las barras 3 y 4 en el

punto B, la de las barras 5 y 6 en el punto C, la de la barra 2 con la 1 en el punto O2 y la de la barra 5 con la 1 en el punto O5. Hay

otras uniones, que no tienen ninguna letra, son la unión de 3 y 6, así como entre 4 y 1. También son pares cinemáticos, aunque distinto

a los anteriores.

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José Cano - 2 -

El mecanismo es un sistema mecánico que puede moverse, a

diferencia de una estructura que está fija.

En la figura tenemos un mecanismo en varias posiciones:

OAB, OA’B’, OA’’B’’, …….

Cuando el mecanismo está en movimiento, las barras que lo

forman están en movimiento. Cuando las barras se mueven, los

puntos que pertenecen a las barras describirán trayectorias.

Dependiendo del movimiento de las barras los puntos describirán

un tipo determinado de trayectoria.

En la figura tenemos el mismo mecanismo anterior. Ahora se han

dibujado las trayectorias que describen los puntos A, B y P. La

trayectoria del punto A es una circunferencia (AA’A’’), la

trayectoria del punto B es una recta (BB’B’’), la trayectoria del

punto P es una curva cualquiera (PP’P’’), …..

O

AA’

A’’

BB’B’’

O

A’

A’’

APP’

P’’

Trayectorias

B’ BB’’

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José Cano - 3 -

Un punto o partícula puede describir una trayectoria cualquiera, ya sea recta o curva. Si la trayectoria es recta estará contenida en un

plano. Si la trayectoria es curva, puede tratarse de una curva plana o espacial. Consideraremos el caso de una curva plana, es decir,

contenida en un plano. Por tanto, estudiaremos trayectorias planas, ya sean rectas o una curva cualquiera.

Los mecanismos planos son aquellos que sus barras se mueven en planos paralelos y por tanto los puntos contenidos en ellas describen

trayectorias planas. Decimos que las barras tienen un movimiento plano.

Mecanismo plano no quiere decir que el mecanismo esté contenido en un plano, aunque así se

puede idealizar su movimiento para el análisis cinemático.

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José Cano - 4 -

El punto describe la trayectoria con una velocidad

determinada, recuerda que la velocidad es un vector. El

vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria y

puede variar en módulo y dirección.

La aceleración, que es otro vector, nos mide la variación

del vector velocidad. El vector aceleración no tiene por

qué ser tangente a la trayectoria.

En la figura se representa un punto P moviéndose en su trayectoria.

Están representadas varias posiciones del punto, P, P’, P’’. En cada una

de ellas se indica el vector velocidad y el vector aceleración que tiene

el punto. Puede observarse como el vector velocidad siempre es

tangente a la trayectoria descrita por el punto.

Trayectoria

P

P’’

P’

V

V’’

V’

a’

a’’

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José Cano - 5 -

La aceleración tiene dos componentes importantes, la aceleración tangencial y la aceleración normal.

nt aaarrr += 22

nt aaa +=

Trayectoria

P

(centro de curvatura)

(radio de curvatura)

V

aan

at

Po

ρ

La aceleración tangencial lleva la dirección de la tangente (dirección de la velocidad) y la aceleración normal apunta siempre hacia el

centro de curvatura. Ambas componentes son perpendiculares entre si.

Si la trayectoria es una curva cualquiera, el radio de curvatura y el centro de curvatura cambian para cada posición del punto. Si la

trayectoria es una circunferencia, el radio de curvatura es el radio de la circunferencia y el centro de curvatura el centro de la

circunferencia.

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José Cano - 6 -

La aceleración tangencial nos mide el cambio de la velocidad en módulo, es decir, si la velocidad cambia en módulo (ahora 10, luego

15, después 12, ....) existe aceleración tangencial. Si la velocidad se mantiene constante en módulo (por ejemplo, siempre 20) no existe

aceleración tangencial.

La aceleración tangencial se define como la derivada del módulo de la velocidad con respecto al tiempo. Si hacemos una

representación de la gráfica del módulo

de la velocidad en función del tiempo, lo

que hemos comentado anteriormente de

la velocidad con módulo constante

correspondería a la gráfica de una recta

horizontal, pero podría también darse el

caso de ser una función o gráfica

cualquiera y que en un momento

determinado sea cero la derivada con

respecto al tiempo (un máximo o un

mínimo). Pero esto sería en un instante

particular, a diferencia de cuando el

módulo de la velocidad es constante, que

la aceleración tangencial sería siempre

cero.

En la figura se representa el módulo de la velocidad de un punto en función del tiempo.

En la gráfica de la figura (a) observamos que la velocidad tiene un módulo constante de valor

VP, este valor se mantiene en el intervalo desde t1 a t2. En todo ese intervalo la aceleración

tangencial del punto es cero, no hay variación del módulo de la velocidad.

En la gráfica de la figura (b) observamos que el módulo de la velocidad es variable. Pero hay

unas determinadas posiciones en donde la derivada de la función es cero (máximos y mínimos

relativos), t1, t2 y t3. Sólo en dichos instantes la aceleración tangencial del punto es cero.

Corresponde a unas posiciones puntuales en el movimiento del punto P.

|V| |V|

VP

O Ot tt1 t2 t2t1 t3

(a) (b)

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José Cano - 7 -

La aceleración normal nos mide el cambio de la velocidad en dirección, es decir, si el vector velocidad cambia su dirección (por

ejemplo el carrito de una montaña rusa) existe aceleración normal. Si la trayectoria es una recta, el vector velocidad no cambia su

dirección, puede cambiar el sentido y módulo, pero no la dirección,

por tanto no existe aceleración normal.

La aceleración normal está definida mediante la fórmula V2/ρ,

siendo ρ el radio de curvatura de la trayectoria en el instante de estudio. El radio de curvatura puede ser infinito siempre, es el caso

de trayectoria recta, pero también puede ocurrir que el radio de

curvatura sea infinito en un instante particular, es lo que se llama

punto de inflexión de una curva, pasar de cóncava a convexa o al

contrario. En ambos casos la aceleración normal es cero, pero en el primero es cero en toda la trayectoria y en el segundo es cero en un

instante particular.

En la figura se representa la trayectoria del punto P. Cuando el punto P

se encuentre en la posición P’ su aceleración normal será cero en dicho

instante, es un punto de inflexión. Y cuando el punto P recorra el tramo

AB su aceleración normal será cero en todo el tramo, por tratarse de

una recta.

Trayectoria

P

P’ A

BV

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José Cano - 8 -

Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el

módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez.

- Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración

tangencial. La trayectoria del punto es una recta, el radio de curvatura es infinito y no hay aceleración normal.

- Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento

circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal. La trayectoria es una circunferencia, el vector velocidad es tangente a la

trayectoria, cambia la dirección del vector velocidad, por tanto existe aceleración normal.

- Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y

aceleración normal. La aceleración es la gravedad, por tanto varía la componente vertical de la velocidad, existe aceleración

tangencial. La trayectoria es una parábola, cambia la dirección del vector velocidad, existe aceleración normal.

A Trayectoria de AO

A

Circular uniformeMovimiento rectilíneo

RO

αA

Tiro oblicuo

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José Cano - 9 -

Si el vector aceleración lleva la misma dirección que el vector velocidad

La aceleración coincide con la aceleración tangencial y el punto no tiene

aceleración normal

Si el vector aceleración es perpendicular al vector velocidad

La aceleración coincide con la aceleración normal y el punto no tiene

aceleración tangencial

P

V

a

at

P

V

aan

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José Cano - 10 -

Ejemplo

Un balón de baloncesto rebota en el suelo y sale con una

velocidad de 2.5 m/s en la dirección indicada. En la

trayectoria que se inicia tras el rebote, hallar el radio de

curvatura en el punto A.

En este caso nuestro punto o partícula es el punto A del balón.

En el instante de estudio conocemos la velocidad del punto A, en módulo y dirección, 2,5 m/s formando 15º con la vertical.

También conocemos la aceleración, es la gravedad, 9,81 m/s2 vertical y hacia abajo.

Si hacemos un gráfico de los dos vectores:

2/539,215·81,9 smsenan ==

ρ

2V

an =

ρ

25,2539,2 = m46,2=ρ

El centro de curvatura estaría a una distancia de 2,46 m desde el punto A en la dirección

y sentido de la aceleración normal.

2,5 m/s

15º

A

V = 2,5 m/s

a = 9,81 m/s2

at

an

15º

15º

A

tangente

normal

trayectoria

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José Cano - 11 -

Otra forma de resolverlo es utilizando la teoría de vectores

Se le recomienda al estudiante que repase la materia de centro de curvatura explicado en Cinemática de la Partícula.

jijisenVrrrrr

415,2647,015cos5,2155,2 +=+=

jarr

81.9−=

Empezamos calculando el vector unitario en la dirección de la velocidad

jiji

V

Vuv

rrrr

r

rr

966,0259,05,2

415,2647,0 +=+==

Proyectamos el vector aceleración sobre la tangente a la trayectoria, para calcular el módulo de la aceleración tangencial

476,9966,0·81,90)966,0259,0()81,9( −=−=+•−=•= jijuaa vt

rrrrrr m/s

2

Se expresa la aceleración tangencial como vector

jijiuaa vtt

rrrrrrr154,9454,2)966,0259,0(476,9 −−=+−==

La aceleración normal viene dada por

jijijaaa tn

rrrrrrrr656,0454,2)154,9454,2()81,9( −=−−−−=−= 54,2=na

r m/s

2

Y por tanto

ρ

2

P

n

Va

r

r = ρ

25,254,2 = 46,2=ρ m En la dirección y sentido de la na

r