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Manual de Cálculo de Hormigón Armado 2ª Edición en Base al Código ACI 318-05
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Manual de Cálculode Hormigón Armado2ª Edición en Base al Código ACI 318-05
Manual de Cálculode Hormigón Armado2ª Edición en Base al Código ACI 318-05
Manual de Cálculo de Hormigón Armado
Segunda Edición en Base al Código ACI 318-05
Autores:
Alfonso Larraín Vial
Fernando Yáñez Uribe
Christian Verdugo Arnold
Editor:
Carlos Rondon S.M.
Diseño y Producción Gráfica:
Dos C
Dirección de Arte:
Soledad Casenave P.
Diseño Gráfico:
Gabriel Aiquel C.
Fotografía:
Francisco Aguayo
Jorge Brantmayer
Matías del Campo
Impresión:
M y M Servicios Gráficos S.A.
Derechos Reservados (C) por Gerdau AZA S.A.
La Unión 3070, Renca. Santiago de Chile.
Copyright (C) MMVI, por Gerdau AZA S.A.
Inscripción en Propiedad Intelectual N° 156.995
2ª Edición: 2.000 ejemplares, Agosto de 2006
Impreso en Chile - Printed in Chile
No está permitida la reproducción total o parcial de este
documento, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de
ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico,
fotocopia, registro u otros medios, sin la aprobación y por
escrito de Gerdau AZA S.A.
Otros documentos técnicos de Gerdau AZA S.A. disponibles para los usuarios interesados son:
• Manual de Armaduras de Refuerzo para Hormigón
• Manual de Diseño para Angulos Estructurales L-AZA
• Detalles Estructurales con Perfiles Angulo L-AZA
• Compendio de Normas para Productos de Acero
• Catálogo Técnico de Barras y Perfiles Laminados
Para consultas sobre nuestros productos y servicios, visite nuestra página web:
www.gerdauaza.cl
Currícula de los autores
University of Canterbury (New Zeland), es Director del
Instituto de Investigaciones y Ensayes de Materiales
(IDIEM), profesor de la cátedra de Hormigón Estructural
I y II y de Hormigón Pretensado en la Escuela de Ingeniería
de la Universidad de Chile, miembro del Colegio de
Ingenieros de Chile AG, del Instituto de Ingenieros de
Chile, de la Asociación Chilena de Sismología e Ingeniería
Antisísmica (ACHISINA), consultor exper to en
comportamiento sísmico de estructuras de hormigón
armado y especialista en evaluación y reparación de
estructuras.
El doctor Yañez es, además, miembro activo de los
comités del American Concrete Institute, ACI 318, ACI
374 y ACI 445-1, Vicepresidente de la Asociación de
Ingenieros Civiles Estructurales de Chile AG y Presidente
de las comisiones de Diseño Estructural y de Tecnología
e Innovación de la Cámara Chilena de la Construcción.
Christian Verdugo Arnold, ingeniero civil estructural de
la Universidad de Chile, fue alumno memorista de los
profesores Alfonso Larraín Vial y Fernando Yáñez Uribe.
El título de su memoria, realizada el año 2004, es
“Herramientas de Diseño para Hormigón Armado Basado
en el Código ACI 318-02”. Este trabajo sirvió de ayuda
para el desarrollo del presente manual, ya que aborda
temas acerca de las importantes modificaciones que el
ACI 318-05 introduce frente al Código ACI 318-99.
Actualmente, se encuentra dedicado a la docencia y a
trabajos de investigación.
Manual de Cálculo Hormigón Armado
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Alfonso Larraín Vial, ingeniero civil estructural de la
Universidad de Chile, "Premio Marcos Orrego Puelma
1969" otorgado por el Instituto de Ingenieros al mejor
alumno y compañero de su promoción, desde el año 1973
es profesor de la cátedra de Hormigón Estructural I y II
en la Escuela de Ingeniería de la Universidad de Chile, y
a partir del 2005 profesor de la misma asignatura en la
Universidad de Los Andes.
Desde el inicio de su práctica profesional el año 1970,
como socio de la empresa de ingeniería de proyectos
Larraín, Ruiz y Saavedra y Cía. Ltda., y a partir de 1999
en Alfonso Larraín V. y Asociados, ha participado en el
diseño y cálculo de proyectos estructurales para más de
3.000 obras, con una superficie superior a los siete y
medio millones de metros cuadrados de construcción,
donde se destacan algunos de los edificios más
importantes y de mayor altura existentes en Chile.
El ingeniero señor Larraín es, además, miembro del Colegio
de Ingenieros de Chile AG, del Instituto de Ingenieros de
Chile, de la Asociación de Ingenieros Civiles Estructurales
de Chile AG, de la Asociación Chilena de Sismología e
Ingeniería Antisísmica (ACHISINA) y del Comité de
Estructuras de la Cámara Chilena de la Construcción, en
su calidad de especialista en diseño, cálculo y evaluación
de proyectos estructurales.
Fernando Yañez Uribe, ingeniero civil estructural de la
Universidad de Chile y Doctor en Ingeniería Civil (Ph. D.)
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Vista aérea Planta Colina Gerdau AZA S.A.
Gerdau AZA S.A., empresa per teneciente al Grupo
Gerdau, tiene el agrado de presentar a la comunidad
de profesionales, académicos y estudiantes de los
sectores de la ingeniería y de la construcción civil, la
segunda edición de su Manual de Cálculo de Hormigón
Armado, obra desarrollada sobre la base de las
disposiciones del Código ACI 318-05, conforme a los
criterios de diseño vigentes y a lo establecido en la
norma chilena NCh 433.Of96.
El presente Manual, de 300 páginas, que consta de
9 capítulos y 2 apéndices tiene su contenido orientado,
fundamentalmente, hacia todos los profesionales
vinculados con el diseño y el cálculo estructural y con
la docencia de la especialidad hormigón armado.
Entre los temas abordados por los autores de este
texto, se destacan los capítulos destinados al diseño
en flexión, cor te y torsión, los efectos de esbeltez en
Presentación
elementos sometidos a compresión, el control de
deformaciones, el diseño sísmico, algunos ejemplos
y finalmente una serie de diagramas de interacción
y de flexión biaxial, confeccionados mediante técnicas
computacionales, que posibilitan visualizar la forma
de rotura de una sección dada.
Agradecemos, muy sinceramente, el valioso apor te
técnico de los autores y la favorable acogida
encontrada entre los usuarios de la Primera Edición
de este documento, al permitirnos una vez más,
contribuir con el desarrollo de la ingeniería y la
construcción de hormigón armado en Chile.
A todos ellos, un sincero reconocimiento por el
respaldo y la confianza que han depositado en nuestra
empresa, y de manera muy especial, a todas aquellas
personas que directa o indirectamente, día a día,
especifican y utilizan nuestros productos.
Manual de Cálculo Hormigón Armado
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Indice
Capítulo 1
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Presentación
INFORMACION GENERAL
1.1 PROCESO DE FABRICACION Y CONTROL DE CALIDAD DE LAS BARRAS
DE REFUERZO GERDAU AZA PARA HORMIGON
1.1.1 Proceso de Fabricación del Acero Gerdau AZA
1.1.2 Colado del Acero
1.1.3 Laminación en Caliente de las Barras
1.1.4 Control de Calidad y Certificación
1.2 IDENTIFICACION, CALIDADES Y CARACTERISTICAS DEL ACERO DE
REFUERZO GERDAU AZA PARA HORMIGON
1.2.1 Identificación
1.2.2 Calidades del Acero de Refuerzo Gerdau AZA para Hormigón
1.2.3 Relaciones Tensión-Deformación
1.2.4 Comportamiento de las Barras de Refuerzo a Velocidades Elevadas
de Deformación
1.2.5 Características del Acero de Refuerzo Gerdau AZA para Hormigón
1.2.6 Certificado de Calidad
ANTECEDENTES
2.1 FISURACION
2.2 FACTORES DE CARGA
2.3 FACTORES DE REDUCCION DE RESISTENCIA (f)
2.4 FLEXION Y CARGA AXIAL
DISEÑO EN FLEXION
3.1 FLEXION EN VIGAS RECTANGULARES
3.1.1 Condición de Diseño
3.1.2 Equilibrio de Cargas Axiales
3.1.3 Equilibrio de Momentos
3.1.4 Deformaciones Unitarias
3.1.5 Valores de jlim y mlim
3.1.6 Cálculo de f en Flexocompresión
Capítulo 2
Capítulo 3
Capítulo 4
Manual de Cálculo Hormigón Armado
3.1.7 Ecuaciones para Calcular As y A's
3.2 FLEXION SIMPLE EN VIGAS T
3.2.1 Restricciones del Ancho Efectivo del Ala
3.2.2 Condición de Diseño
3.2.3 Equilibrio de Cargas Axiales
3.2.4 Equilibrio de Momentos
3.2.5 Procedimiento para Calcular As y A's
3.3 ARMADURA MINIMA PARA VIGAS SOMETIDAS A FLEXION
DISEÑO EN CORTE
4.1 CONDICION DE DISEÑO
4.2 COMPONENTES DE LA RESISTENCIA NOMINAL
4.3 REDUCCION DE VU CERCA DE LOS APOYOS
4.4 RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR EL HORMIGON
4.5 RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR EL ACERO
4.6 LIMITES PARA EL ESPACIAMIENTO "S"
4.7 ARMADURA MINIMA PARA CORTE
DISEÑO EN TORSION
5.1 CONDICION DE DISEÑO
5.2 TORSION CRITICA
5.3 REQUISITOS DE LAS DIMENSIONES DE LA SECCION
5.4 RESISTENCIA NOMINAL A LA TORSION
5.5 ARMADURA MINIMA PARA TORSION
EFECTOS DE ESBELTEZ EN ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESION
6.1 ANALISIS DE SEGUNDO ORDEN
6.2 ANALISIS APROXIMADO
6.2.1 Marcos sin Desplazamiento Lateral
6.2.2 Marcos con Desplazamiento Lateral
CONTROL DE DEFORMACIONES
7.1 RESTRICCION DE ALTURA O ESPESOR MINIMO
7.2 RESTRICCION DE LA FLECHA
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Capítulo 6
Capítulo 5
Capítulo 7
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7.2.1 Flecha Diferida y Flecha Total
7.2.2 Flechas Máximas Admisibles
7.3 ELEMENTOS ARMADOS EN DOS DIRECCIONES
7.3.1 Losas sin Vigas Interiores
7.3.2 Para Losas con Vigas Interiores
DISEÑO SISMICO
8.1 REQUERIMIENTOS EN LOS MATERIALES
8.2 ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXION
8.2.2 Armadura Transversal
8.3 ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXOCOMPRESION
8.3.1 Armadura Longitudinal
8.3.2 Armadura Transversal
8.4 DISEÑO POR CAPACIDAD
8.4.1 Vigas
8.4.2 Columnas
8.4.3 Unión Viga-Columna
8.5 LONGITUD DE DESARROLLO DE BARRAS EN TRACCION
8.5.1 Ganchos de 90º
8.5.2 Barras Rectas
8.6 ELEMENTOS DE BORDE PARA MUROS
EJEMPLOS
9.1 Diseño de Dintel
9.2 Verificación de Unión Viga-Columna
9.3 Diseño de Muro con Elementos de Borde
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
A.1 Otros Ejemplos
A.2 Conversión de Unidades
Area, Masa y Perímetro - Barras de Refuerzo para Hormigón
Capítulo 8
Capítulo 9
Apéndices
Anexo
Manual de Cálculo Hormigón Armado
11
Productos y procesos de calidad reconocida y certificada
Capítulo 1
Información General
1.1 Proceso de Fabricación y Control de Calidad de las Barras de Refuerzo Gerdau AZA para Hormigón
1.2 Identificación, Calidades y Características del Acero de Refuerzo Gerdau AZA para Hormigón
Capítulo 1: Información General
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1.1 PROCESO DE FABRICACION Y CONTROL DE
CALIDAD DE LAS BARRAS DE REFUERZO
GERDAU AZA PARA HORMIGON
1.1.1 Proceso de Fabricación del Acero Gerdau AZA
En Gerdau AZA, el proceso de fabricación del acero
se inicia con la selección, procesamiento y cor te de
trozos de acero en desuso, la chatarra, que es la
materia prima básica. Otros elementos que también
son empleados en la fabr icac ión, son las
ferroaleaciones, oxígeno, cal y fundentes, entre otros.
En primer lugar, la materia prima se carga en cestas,
en proporciones adecuadas para satisfacer las
especificaciones del proceso de fabricación del acero,
las que son trasladadas a la Acería para alimentar el
horno de arco eléctrico. Toda la carga es fundida en
el horno de 60 toneladas de capacidad, mediante la
aplicación de un arco eléctrico que desarrolla una
potencia de 45.000 KVA.
Una vez terminado el proceso de fusión, en donde
toda la carga pasa del estado sólido al estado líquido,
momento en el cual alcanza una temperatura de
alrededor de 1.630ºC, el acero es trasladado a un
Horno de Cuchara, donde se realiza la etapa de afino
y se procede a tomar muestras de acero para realizar
el análisis de espectrometría, con el propósito de
conocer su composición química. Durante toda la
etapa de fusión, se inyectan al horno impor tantes
cantidades de oxigeno para extraer y remover las
impurezas y cumplir así con los estándares de calidad
preestablecidos.
Luego de conocido el informe sobre la composición
química, se realizan las correcciones necesarias
mediante el proceso de afino, lo que permite obtener
la composición y purezas deseadas. De esta forma,
las diferentes calidades del acero Gerdau AZA se
obtienen, de un cuidadoso control de la composición
y mediante la adición de ferroaleaciones, como el
ferromanganeso y ferrosilicio, aprovechando la mayor
afinidad química de estos elementos, para formar
entre otros, óxidos y sulfuros que pasan en mayor
cantidad a la escoria.
Cuando el acero líquido cumple con las especificaciones
requeridas, tanto de composición química como de
temperatura, éste es trasladado en la cuchara hasta
el proceso de colada continua, donde se realizará el
colado del acero.
1.1.2 Colado del Acero
Obtenido el acero en su estado líquido, éste debe
solidif icarse en la forma conveniente para la
utilización posterior en los trenes de laminación,
lo cual se hace mediante un equipo de colada
continua, en el que se aplica un proceso distinto
del convencional, para transformar el acero líquido
Operación de Carga de Horno Eléctrico, Planta Colina, Gerdau AZA.
16
a alta presión, solidificándose completamente, y ya
conver tido en palanquilla, cor tado automáticamente
mediante cizallas, a la longitud deseada.
Luego de esto, las palanquillas son inspeccionadas
visualmente para detectar eventuales defectos
super ficiales o de forma. Después de aprobadas, las
palanquillas son separadas por coladas, identificadas
y almacenadas para la operación siguiente: la
laminación en caliente.
1.1.3 Laminación en Caliente de las Barras
La laminación en caliente, es un proceso de
transformación termomecánico, en donde se da la
forma final a los productos siderúrgicos. En el caso
de las barras de refuerzo Gerdau AZA para hormigón,
el proceso es el siguiente: en la planta de laminación,
las palanquillas son seleccionadas según la calidad
del acero del producto final y son cargadas a un horno
de recalentamiento horizontal, donde alcanzan una
temperatura uniforme de 1.200 °C, lo que permitirá
en un producto semiterminado, llamado palanquilla,
que son barras macizas de 130 x 130 mm de sección.
El acero líquido que se encuentra en la cuchara de
colada, es transferido a una ar tesa o distribuidor,
desde donde pasa a las vías de colada.
Desde el distribuidor, el acero cae dentro de tres
lingoteras de cobre sin fondo, de doble pared y
refrigeradas por agua, donde se inicia la solidificación
del acero, con la formación de una delgada cáscara
super ficial endurecida, que contiene aún su núcleo de
metal en estado líquido.
Para ayudar a acelerar la formación y engrosamiento
de dicha cáscara, las lingoteras tienen un movimiento
de oscilación ver tical que, además, impide su
adherencia a las paredes del molde y permite su
transpor te hacia el mecanismo extractor.
Después de dejar las lingoteras, tres metros debajo
de éstas, el acero super ficialmente sólido, es tomado
por juegos de rodillos refrigerados con chorros de agua
Líneas de colada continua de acería, Planta Colina, Gerdau AZA.
Capítulo 1: Información General
17
su deformación plástica durante el proceso de
laminación en caliente.
En este proceso, la palanqui l la es tratada
mecánicamente, haciéndola pasar sucesivamente por
los rodillos de los trenes de laminación, las cuales
v a n r e d u c i e n d o s u s e c c i ó n o r i g i n a l y
consecuentemente, aumentando la longitud inicial.
De esta forma, se lleva la sección transversal de
la palanquilla cada vez más próxima a la forma y
diámetro final de la barra redonda, con sus resaltes
característicos y las marcas que identifican el origen
o fabricante, la calidad o grado del acero y el
diámetro nominal de la barra.
En su planta ubicada en la comuna de Colina,
Gerdau AZA posee un laminador continuo de última
generación de 360.000 toneladas anuales de
capacidad , que permite controlar el enfriamiento
de las barras y rollos, con lo cual las propiedades
mecánicas finales de las barras de refuerzo, son
determinadas con gran precisión, dado que son
conducidas hasta el final del tren de laminación, a
una parrilla o lecho de enfriamiento donde terminan
de enfriarse, para luego proceder al cor te a la
medida deseada y posteriormente ser empaquetadas
y almacenadas. Es aquí donde se extraen las
muestras para su aprobación y cer tificación de
acuerdo a las normas vigentes.
1.1.4 Control de Calidad y Cer tificación
Todo el proceso de fabricación de las barras de
refuerzo Gerdau AZA para hormigón, está cer tificado
bajo las normas ISO 9001, ISO 14001 y OHSAS
18001; de esta forma, a lo largo de todas las
etapas de fabr icac ión del producto ex isten
monitoreos, mediciones y ensayos de los procesos.
Desde la selección de la chatarra y otros insumos,
pasando por la fabricación del acero líquido, su
composición química, hasta el control de las
dimensiones finales obtenidas en la laminación en
caliente, conforman un complejo sistema que
permite asegurar la obtención de productos de
calidad, de acuerdo a los estándares actuales.
La cer tificación de calidad de todas las par tidas
en Gerdau AZA, da cumplimiento a la normativa
legal vigente en Chile, cuyo Decreto N°1.229, del
Ministerio de Obras Públicas de Junio de 1940,
establece los procedimientos para cer tificar las
barras de refuerzo para hormigón.
Esta exigencia establece la extracción, identificación
y retiro de muestras por inspectores acreditados
de algún organismo de ensaye de materiales
autorizado por el Estado. En el caso de Gerdau AZA,
el cer tificado es entregado por el Instituto de
Investigaciones y Ensaye de Materiales de la
Universidad de Chile, IDIEM.
Sala de Control de Laminación, Planta Colina, Gerdau AZA.
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Laboratorio de Ensayes Mecánicos de IDIEM, en Gerdau AZA.
Las muestras son preparadas para ser sometidas a
ensaye normalizados de tracción, midiéndose las
propiedades mecánicas más relevantes, como la
tensión de fluencia, la carga máxima y el alargamiento
de ruptura. Otro impor tante ensaye a que son
sometidas las barras de refuerzo Gerdau AZA, es el
de doblado; en este caso, una probeta debe resistir
el doblado sin que a simple vista se observen grietas
o fisuras en la zona sometida a esfuerzos de tracción.
De acuerdo a los resultados obtenidos, se verifica el
cumplimiento con la norma oficial chilena NCh 204.Of77,
"Acero - Barras Laminadas en Caliente para Hormigón
Armado", vigente por el Decreto Nº029, de fecha 10 de
Enero de 1978, del Ministerio de Vivienda y Urbanismo,
publicado en el Diario Oficial del 31 de Enero de 1978,
y se procede a certificar las partidas. La aprobación de
los lotes, permite la certificación y autorización del uso
de las partidas de acero de refuerzo, en obras de hormigón
armado.
Los resultados de los ensayes, se presentan en
cer tificados de calidad, en los que se identifica el
material ensayado y se entrega el veredicto de
cumplimiento con la norma, constituyéndose en una
garantía del producto para el usuario.
Periódicamente y como una medida adicional de
control, se efectúa un análisis estadístico de las
propiedades mecánicas sobre toda la producción de
barras y a cada una de las coladas producidas.
1.2 I D E N T I F I C A C I O N , C A L I D A D E S Y
CARACTERIST ICAS DEL ACERO DE
REFUERZO AZA PARA HORMIGON
1.2.1 Identificación
Gerdau AZA, en sus instalaciones ubicadas en Santiago,
produce y comercializa barras de acero de refuerzo para
hormigón, tanto en barras rectas, en largos normales de
6 a 12 m, como rollos de 1.500 kilogramos de peso,
aproximadamente. Estas barras pueden ser:
Barra redonda lisa: Es aquella cuya sección transversal
es uniforme en todo su largo. En Chile, sólo se fabrica
en la calidad de acero A44-28H y en el diámetro de
6 mm.
Capítulo 1: Información General
19
Bar ra con resaltes: Es la bar ra con ner vios
long i tud ina les (a lo la r go) y con resal tes
perpendiculares o inclinados con respecto a su eje,
los cuales tienen como propósito aumentar la
adherencia del acero con el hormigón, debido a la
mayor super ficie de contacto desarrollada.
La identificación exclusiva que utiliza nuestra empresa en
el acero de refuerzo para hormigón, consiste en caracteres
sobre relieve, los cuales incluyen la marca de origen Gerdau
AZA, la calidad o grado del acero y el diámetro
correspondiente.
Gerdau AZA suministra el acero de refuerzo para hormigón
en la forma de barras rectas y en rollos, tal como se indica
en la tabla siguiente.
(1) La barra de 6 mm es lisa y no lleva identificación en relieve
Tabla 1.2.1
Identificación del Acero de Refuerzo Gerdau AZA para Hormigón
Grado del Diámetro Nominal FormasIdentificación
Acero f mm de entregaMarca de Origen y
Grado del AceroDiámetro Nominal
6(1), 8, 10 y 12 RolloA44-28H
6(1) a 36 Recta
8, 10 y 12 RolloA63-42H
8 a 36 Recta
20
Además de lo anterior, Gerdau AZA, identifica el contenido
de todos los atados o paquetes de barras rectas y rollos,
mediante una etiqueta plástica, con todos los datos
concernientes a la fabricación de las partidas del producto.
1.2.2 Calidades del Acero de Refuerzo Gerdau AZA
para Hormigón
Además de la calidad que pueda tener el hormigón,
es también impor tante la calidad o grado del acero
de refuerzo con respecto a las propiedades finales
de los hormigones armados; por lo tanto, debe
emplearse el acero adecuado, según lo indican los
planos respectivos.
Gerdau AZA fabrica en Chile, fundamentalmente,
dos grados o calidades de acero de refuerzo para
hormigón: A44-28H y A63-42H.
Conforme a las denominaciones actuales adoptadas
por el Instituto Nacional de Normalización, la letra A
significa "acero al carbono" y la letra H indica que "su
uso es para hormigón". Los números se refieren,
respectivamente, a la resistencia de rotura a la tracción
y al límite de fluencia mínimo por tracción.
Descripción delproducto
Fecha y horade fabricación
Peso delpaquete
Número decolada
Sello indica que los sistemas de gestiónestán certificados de acuerdo a NormasISO 9001, ISO 14001 y OHSAS 18001
En el reverso de la etiqueta se indican lasmedidas mínimas para doblar barras de refuerzosegún las recomendaciones del Código ACI.
Nota: Para una mayor información respecto a los diámetros mínimos de doblado recomendados para las barras de refuerzo,tolerancias de cor te y fabricación, consulte en nuestra página www.gerdauaza.cl el Capítulo 4 del Manual de Armaduras de Refuerzopara Hormigón.
Gráfico 1.2.3.1
Curvas Tensión-Deformación Barras de Refuerzo Gerdau AZA para Hormigón
Norma Chilena NCh 204 Of. 77: Barras laminadas en caliente para hormigón armado:a) Son requisitos en esta norma, el cumplimiento de un ensaye de doblado efectuado sobre una probeta, además de cumplir los
requisitos de la forma y dimensiones de los resaltes y de masa (kg/m) de las barras.b) K es un coeficiente que depende del diámetro nominal de la barra (f), cuyo valor se indica a continuación:f (mm) :6 8 10 12 16 18 22 25 28 32 36K :3 2 1 0 0 0 1 2 3 4 5
Capítulo 1: Información General
21
1.2.3 Relaciones Tensión-Deformación
El ensaye de tracción se realiza sobre muestras de
barras de refuerzo en su sección completa, de la forma
como salen de la laminación, dando así cumplimiento
a la norma oficial chilena NCh200.
En el gráfico siguiente se muestran los resultados de
ensayes de tracción, en barras de refuerzo Gerdau AZA
para hormigón, para las calidades o grados A44-28H y
A63-42H, con curvas comparativas a modo de referencia,
en barras de 10 y 22 mm de diámetro.
En el caso de las barras de acero A44-28H, éstas presentan
claramente una zona de fluencia, en donde una vez
alcanzado el límite elástico o tensión de fluencia, la probeta
empieza a deformarse plásticamente bajo tensión constante.
En el caso de todos los aceros de alta resistencia, como
es la calidad o grado A63-42H, es normal que el fenómeno
de fluencia a tensión constante se observe menos marcado
que en los aceros de menor resistencia.
Fuente: Laboratorio de Ensayos IDIEM
Tabla 1.2.2
Propiedades Mecánicas del Acero de Refuerzo Gerdau AZA para Hormigón
Grado delResistencia a la Tracción Tensión de Fluencia Alargamiento
Acero(Fu) (Fy) Mínimo
MPa kgf/mm2 MPa kgf/mm2 Probeta l0 = 200 mm
A44-28H 440min 44,9min 280min 28,6min 16%
A63-42H 630min 64,2min 420min 42,8min 7000 - K; ≥ 8%
580max 59,1max Fu
0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,3000
100
200
300
400
500
600
700
800
s,
MPa
´
A 63,10 mm.A 44,10 mm.A 63,22 mm.A 44,22 mm.
22
Otra impor tante característica, en especial en el
compor tamiento sísmico del hormigón armado en la
flexión, es que la norma oficial chilena NCh204.Of77
establece que en los aceros calidad A63-42H debe
cumplirse, además, una razón Fu/Fy ≥ 1,33.
No obstante, cabe mencionar que a la fecha de
publicación del presente manual, la norma chilena
NCh204.Of77 vigente, se encuentra en la etapa de
revisión y estudio, por par te de la división de normas
del Instituto Nacional de Normalización (INN).
Se estima que la nueva versión oficial de la norma
NCh204, será publicada y estará disponible durante
el transcurso del último trimestre del año 2006.
1.2.4 Compor tamiento de las Barras de Refuerzo
a Velocidades Elevadas de Deformación
Usualmente, el compor tamiento de los materiales se
caracteriza mediante ensayos de laboratorio bajo
condiciones controladas. En el caso de las barras de
refuerzo para hormigón, las propiedades mecánicas
que las caracterizan en las distintas normas se
determinan mediante un ensayo de tracción.
Este ensayo consiste en aplicar una carga en el sentido
longitudinal de la barra (monotónica) a una velocidad
muy baja (cuasiestático) hasta que se produzca la
rotura de ésta. Así, se obtiene la tensión de fluencia,
resistencia a la tracción, alargamiento a la ruptura,
módulo de elasticidad, etc. La velocidad de este tipo
de ensayos es del orden de 0,0001[s-1].
Sin embargo, según Lowes1, en el caso que estas
barras sean sometidas a solicitaciones de tipo
sísmico, estarían sometidas a velocidades de
deformación del orden de 0,3 [s-1] muy superiores
a las condiciones de laboratorio. Bajo estas
circunstancias, las propiedades mecánicas de los
materiales presentan cambios respecto de las
condiciones de baja velocidad de ensayo.
Según lo expuesto por Malvar y Crawford2, para
velocidades de 0,3 [s -1] es posible esperar que
barras equivalentes a la calidad A63-42H aumenten
en un 26% en la Tensión de Fluencia (Fy) y en un 8%
en la Resistencia a la Tracción (Fu). Esto se puede
obser var en el gráfico 1.2.4, el cual representa un
caso par ticular.
Capítulo 1: Información General
23
De lo anterior se puede inferir que al aumentar la velocidad
de deformación de las barras de refuerzo hasta niveles
equivalentes a los observados en sismos, podemos
esperar que el cuociente de la Resistencia a la Tracción
(Fu) y de la Tensión de Fluencia (Fy) disminuya respecto
de los ensayos de laboratorio.
Utilizando las curvas propuestas por Malvar & Crawford2,
podemos calcular que para una barra que tiene un
cuociente de Resistencia a la Tracción (Fu) y de Tensión
de Fluencia (Fy) de 1,33 bajo condiciones de baja velocidad
de deformación (requisito mínimo para la barra A63-42H
en la actualidad en Chile), llegaremos a tener un cuociente
de 1,14 bajo velocidades de deformación similares a las
que se encuentran en los sismos.
Por el contrario, una barra que tenga tiene un cuociente
de Resistencia a la Tracción (Fu) y de Tensión de Fluencia
(Fy) de 1,25 bajo condiciones de baja velocidad de
deformación (requisito mínimo para la barra según ASTM
A706), llegaremos a tener un cuociente de sólo 1,08
bajo velocidades de deformación similares a las que se
encuentran en los sismos.
El cálculo anterior, para el ejemplo de un caso particular,
que se encuentra detallado en la tabla 1.2.4 muestra
que valores del cuociente de Resistencia a la Tracción
(Fu) y de Tensión de Fluencia (Fy), que en condiciones
ideales de laboratorio pueden parecer conservadores y
holgados, bajo condiciones reales pueden entregar
márgenes de seguridad relativamente bajos.
Gráfico 1.2.4
Factores de Incremento Dinámico para barras de acero ASTM A615 grados 40 y 60 y 75
0,0001 1000
1,4
1,6
1,8
2
Incr
emen
to d
el F
acto
r D
inám
ico
Indice de Deformación (s-1)
1,2
Nota: El grado 60 ASTM, es equivalente a la calidad A63-42H de la NCh 204.Of77
10,001 0,01 0,1 1 10 100
Acero Tensión de Fluencia Resistencia a la TracciónASTM A615 Fy Fu
Grado 40Grado 60Grado 75
24
De acuerdo a lo expuesto, es posible concluir que las
propiedades mecánicas exigidas para las barras de
refuerzo para hormigón por las normas, son válidas
para condiciones o exigencias estáticas o cuasiestáticas.
Esto representa muy bien el compor tamiento de los
materiales para aplicaciones que no estarán sometidos
a condiciones dinámicas, por ejemplo; las barras
instaladas en una construcción que no enfrentará
condiciones extremas de energía cinética como sismos,
viento o explosiones.
En el caso que una estructura deba eventualmente
exponerse a condiciones extremas como las
mencionadas anteriormente, el comportamiento de los
materiales será distinto a los establecido en laboratorio.
En el caso del cuociente de la Resistencia a la Tracción
(Fu) y de Tensión de Fluencia (Fy), que representa la
capacidad de absorción de energía antes de la falla3,
éste disminuye en un 57,6% para barras tipo A63-42H
y un 68,0% para barras tipo ASTM A706.
Lo anterior, sumado o no a factores de diseño, puede
implicar una capacidad reducida para enfrentar situaciones
severas de liberación de energía que finalmente puede
resultar en el colapso de las estructuras.
Tabla 1.2.4
Propiedades Mecánicas Dinámicas Barras A63-42H y ASTM A706 Mediante el Uso de Factores de Incremento Dinámico
Propiedades Estáticas a 0,0001 [s-1] Propiedades Dinámicas a 0,3 [s-1]
GradoTensión de Resistencia a Tensión de Resistencia a
del aceroFluencia (Fy) la Tracción (Fu) Fu / Fy Fluencia (Fy) la Tracción (Fu) Fu / Fy
MPa MPa MPa MPa
A63-42H 475 634 1,33 599 685 1,14
ASTM A706 475 596 1,25 599 644 1,08
Bibliografía:1 Lowes, L: N.: "Finite Element Modeling of Reinforced Concrete Beam-Column Bridge Connections"; PhD Dissertation Thesis, University of
California, Berkeley; 19992 Malvar, L. J. & Crawford, J. E.: "Dynamic Increase Factors for Steel Reinforcing Bars"; Twenty-Eighth DDESB Seminar, Orlando, FL, August 1998.3 Morales, E. M.: "Significance of the Ratio of Tensile Strength to Yield Stress (TS/YS) of Reinforcing Bars" CAST '98 Conference on Concrete
Art, Science & Technology: Edsa Plaza Hotel, Mandaluyong City, Philippines (June 5-6, 1998)
Capítulo 1: Información General
25
Barra de Refuerzo AZA para Hormigón
1.2.5 Caracteristicas del Acero de Refuerzo
Gerdau AZA para Hormigón
En la tabla 1.2.5.1 se incluyen los diámetros normales
nominales y pesos nominales de las barras de acero
Norma chilena NCh 204.Of77: Barras laminadas en caliente para hormigón armado:1) El diámetro nominal se determina a través de la masa lineal de las barras, de acuerdo a la expresión f = 12,74 M. Donde f = diámetro
de la barra (mm) y M = masa lineal (kg/m), la cual acepta una tolerancia de ± 6% para una barra con resaltes individual.2) Sección nominal Sn (cm2) =0,7854 f2 (f en mm)
1003) Perímetro nominal Pn (cm) =3,1416 f (f en mm)
104) Masa nominal Mn (kg/m) = 0,785 Sn (Sn en cm2)
Tabla 1.2.5.1
Diámetros Nominales Normales y Masas Nominales de las Barras de Refuerzo Gerdau AZA para Hormigón
Características Nominales Dimensiones de los resaltes
Diámetro(1) Sección(2) Perímetro(3) Masa(4)Espaciamiento Altura Ancho
f Sn Pn Mnmedio E media H base A
máximo mínima máxima
mm cm2 cm kg/m mm mm mm
6 0,283 1,89 0,222 - - -
8 0,503 2,51 0,395 5,6 0,32 2,0
10 0,785 3,14 0,617 7,0 0,40 2,5
12 1,13 3,77 0,888 8,4 0,48 3,0
16 2,01 5,03 1,58 11,2 0,64 4,0
18 2,54 5,65 2,00 12,6 0,72 4,5
22 3,80 6,91 2,98 15,4 1,10 5,5
25 4,91 7,85 3,85 17,5 1,25 6,25
28 6,16 8,80 4,83 19,6 1,40 7,0
32 8,04 10,05 6,31 22,4 1,60 8,0
36 10,2 11,31 7,99 25,2 1,80 9,0
de refuerzo para hormigón, usados corrientemente
en la construcción.
H2
H1
H3E Espaciamiento
26
Barras. Rollos.
(1) Diámetro mínimo del rollo(2) Diámetro máximo del rollo(3) Otros largos especiales estarán sujetos a previa consulta a Gerdau AZA(*) Las barras de 7 a 11 m de largo, serán a pedido
Tabla 1.2.5.2
Especificación de la Entrega
Diámetro Rollos Barras rectas
de la barra Diámetro Diámetro Peso Largo Largos
f interior(1) exterior(2) aproximado aproximado fijos(3)
mm cm cm kg m m
6 80 125 1.500 6.757 6 y 12
8 80 125 1.500 3.797 6-7*-8*-9*-10*-11* y 12
10 80 125 1.500 2.431 6-7*-8*-9*-10*-11* y 12
12 80 125 1.500 1.689 6-7*-8*-9*-10*-11* y 12
16 6-7*-8*-9*-10*-11* y 12
18 6-7*-8*-9*-10*-11* y 12
22 6-7*-8*-9*-10*-11* y 12
25 6-7*-8*-9*-10*-11* y 12
28 6-7*-8*-9*-10*-11* y 12
32 6-7*-8*-9*-10*-11* y 12
36 6-7*-8*-9*-10*-11* y 12
En la siguiente tabla, se describe en forma detallada
la especificación normal para la entrega. No obstante
lo anterior, Gerdau AZA puede suministrar otros largos
de barras, incluso mayores a 12 m, los cuales estarán
sujetos a consulta previa.
1.2.6 Certificado de Calidad
A requerimiento del ingeniero estructural responsable
del proyecto, el arquitecto, la empresa constructora
o del inspector técnico, Gerdau AZA, está en
condiciones y dispuesta a entregar, sin costo
adicional, un Cer tificado de Calidad del Acero de
Refuerzo para Hormigón, emitido por el Instituto de
Investigaciones y Ensaye de
Materiales de la Universidad
de Chile (IDIEM) que permite
cer tificar y autorizar el uso
de las par tidas de acero de
r e f ue r z o en ob r as de
hormigón armado.
Se recomienda a quién recibe
las barras en la obra, que
exija a sus proveedores las
par tidas identif icadas de
acero con sus respectivas
etiquetas. De esta forma,
ante cualquier duda posterior,
se faci l i tará chequear la
cer tificación entregada, con
el material respectivo.
Impor tante: En el caso de
barras de origen o procedencia
desconocida, se deberá tomar
la precaución de verificar que
la información del certificado
de calidad sea coincidente con
los datos contenidos en las
etiquetas de los atados o
paquetes de barras recibidos.
A cont inuación, se presenta un facsími l de
cer tificado de calidad, emitido por el IDIEM, el que
describe los controles necesarios a que son
sometidas las barras de acero de refuerzo para
hormigón, y los resultados obtenidos en los ensayes.
Certificado de Calidad IDIEM barras para hormigón.
Capítulo 1: Información General
27
Capítulo 2
Antecedentes
2.1 Fisuración
2.2 Factores de Carga
2.3 Factores de Reducción de Resistencia (f)
2.4 Flexión y Carga Axial
2.1 FISURACION
En el código ACI 318-95 se establecen reglas para la distribución de la armadura por flexión, a fin de controlar
el agrietamiento en vigas y losas en una dirección. Para este efecto se define la siguiente cantidad que limita
la armadura por flexión:
z = fS 3 dcA [10-3 MN/m] [2-1]
Donde:
fS : tensión de servicio ; [MPa]
dC : espesor del recubrimiento de hormigón, medido desde la fibra extrema en tracción al centro de la barra más
cercana, [mm]
A : área total efectiva del hormigón a tracción que tiene el mismo centroide que la armadura, dividida por el número
de barras, [mm2]
fS =MS / (AS jd) ≤ 0,6 fy [MPa] ; jd es el brazo palanca interno. MS corresponde al momento de servicio, es decir
sin mayorar
Ejemplo para calcular A:
Arm y área y * área
[cm] [cm2] [cm3]
3f36 4,3 30,54 131,3
2f28 12,3 12,32 151,5
S - 42,86 282,8
yG =282,8
= 6,6 cm42,86
Nº barras =A total
A barra f mayor
=42,86
=42,86
= 4,21A 1f36 10,18
A =2yG * b
=2 * 6,6 * 30
= 94,1 cm2Nº barras 4,21
Capítulo 2: Antecedentes
31
yG
yG
30cm
8,0 cm
4,3 cm
3f36
2f28
32
Para controlar la fisuración, z debe cumplir con:
1. Para armadura con fy ≥ 280 Mpa, las secciones transversales de momentos máximos positivos y negativos de
vigas deben cumplir con:
z ≤30 MN/m para exposición interior
25 MN/m para exposición exterior
2. Para losas armadas en una dirección, los límites serán:
z ≤27 MN/m para exposición interior
22 MN/m para exposición exterior
Desde el año 1999, el código ACI 318 (sección 10.6.4) no utiliza la ecuación [2-1]. En cambio propone, a modo de
controlar la fisuración, que el espaciamiento s (mm) de la armadura más cercana a la superficie en tracción no debe
ser mayor que el dado por:
s = 96.000
- 2,5 cc ≤ 75.000 [2-2]
fs fs
Donde:
s : espaciamiento de la armadura más cercana a la superficie en tracción, [mm]
cc : recubrimiento libre desde la superficie más cercana en tracción a la superficie de la armadura, [mm]
fs : tensión de servicio, [MPa]
La expresión [2-2] está propuesta para ser usada en losas.
{
{
Capítulo 2: Antecedentes
33
2.2 FACTORES DE CARGA
Los principales factores de carga que consideran las últimas versiones del código ACI 318 son:
Tabla 2-1
Factores de Carga
ACI 318-99 ACI 318-02 y ACI 318-05
C.1 U = 1,4 D + 1,7 L U = 1,2 D + 1,6 L
C.2 U = 1,4 D + 1,4 L ± 1,4 E U = 1,4 D +1,4 L ± 1,4 E
C.3 U = 0,9 D ± 1,4 E U = 0,9 D ± 1,4 E
C.4 U = 0,75 (1,4 D + 1,7 L + 1,7 W) U = 1,2 D + 1,0 L + 1,3 W
C.5 U = 0,9 D + 1,3 W U = 0,9 D + 1,6 W
Donde:
D : cargas permanentes
E : cargas sísmicas
L : sobrecargas
W : cargas por viento
U : solicitaciones mayoradas
2.3 FACTORES DE REDUCCION DE RESISTENCIA (f)
Tabla 2-2
Factores de Reducción de Resistencia (f)
ACI 318-99 ACI 318-02 y ACI 318-05
Flexión Simple y Tracción 0,90 ver fig. (2-2)
Compresión (con zunchos) 0,75 0,70
Compresión (con estribos) 0,70 0,65
Corte y Torsión 0,85 0,75
Corte Sísmico 0,60 0,60
34
Figura 2-1
Flexo-compresión (ACI 318-99)
fPn
0,70
0,75
f
Min {fPb; 0,10f’cAg}
0,90
con zunchos
sin zunchos
Figura 2-2
Flexo-compresión (ACI 318-02) y (ACI 318-05)
fPn
0,70
0,65
f
0,90
con zunchos
con estribos
´t = 0,002c/dt = 0,600
´t = 0,005c/dt = 0,375
Donde:
f’c : resistencia especificada a la compresión del hormigón
Ag : área gruesa de la sección de hormigón
Pb : resistencia nominal a carga axial, en condición de balance
´t : deformación unitaria del acero extremo en tracción
c : distancia desde la fibra extrema en compresión al eje neutro
dt : distancia desde la fibra extrema en compresión hasta el acero más traccionado
Sólo paraacero A63-42H
Capítulo 2: Antecedentes
35
2.4 FLEXION Y CARGA AXIAL
A continuación, se definen:
´t = deformación unitaria neta de tracción en el acero más traccionado.
´t1 = límite de deformación unitaria controlada por compresión.
´t2 = límite de deformación unitaria controlada por tracción.
Según ACI 318-02 y ACI 318-05 (secciones 10.3.3 y 10.3.4), si:
´t ≤ ´t1 , la sección de hormigón es controlada por compresión
´t ≤ ´t2 , la sección de hormigón es controlada por tracción
´t1 ≤ ´t ≤ ´t2 , la sección de hormigón está en una zona de transición entre ambos casos anteriores.
Las secciones controladas por compresión, se espera que tengan una condición de falla frágil. Mientras que,
cuando las secciones son controladas por tracción, se espera que tengan una condición de falla dúctil.
La sección 10.3.3 permite para aceros A63-42H fijar ´t1 = 0,002; y para todos los tipos de acero (pretensado
y no pretensado) ´t2 = 0,005. En general ´t1 = ´y; que es la deformación para una condición de balance.
Además, la sección 10.3.5, para asegurar un comportamiento dúctil en la falla, establece que para elementos
no pretensados en flexión y flexocompresión (con carga axial menor a 0,10 f'c Ag), ´t ≥ 0,004 (para resistencia
nominal). Lo anterior viene a reemplazar el límite máximo de la cuantía de acero en tracción rmax = 0,75 rb;
donde rb es la cuantía de acero en condición balanceada.
En una sección transversal, se entiende que existe una condición de balance cuando la deformación de la
fibra extrema a compresión alcanza el valor de deformación última (´cu = 0,003), al mismo tiempo que la
armadura a tracción alcanza su primera deformación en fluencia (´y = fy / Es).
Capítulo 3
Diseño en Flexión
3.1 Flexión en Vigas Rectangulares (con y sin carga axial)
3.2 Flexión Simple en Vigas T
3.3 Armadura Mínima para Vigas Sometidas a Flexión
Capítulo 3: Diseño en Flexión
39
3.1 FLEXION EN VIGAS RECTANGULARES (CON Y SIN CARGA AXIAL)
Generalmente las vigas están sometidas a flexión simple. No obstante, las ecuaciones en esta sección apuntan al
caso de flexocompresión que es más general.
Para el caso de flexión simple, basta con reemplazar Pu = 0.
Figura 3-1
Flexión en Vigas Rectangulares
h
b
d
d’
d’
PuMu
CsC
0,85 f’c
b1c
´cu
´’s
´s
h : altura total de la sección
d : altura útil de la sección
d' : recubrimiento de la armadura
b : ancho de la sección
c : profundidad de la línea neutra
´s : deformación unitaria al nivel del centroide de la armadura traccionada
´'s : deformación unitaria al nivel del centroide de la armadura comprimida
cu : deformación unitaria de la fibra extrema en compresión, en estado último
As : área de armadura longitudinal traccionada
A’s : área de armadura longitudinal comprimida
f’c : resistencia especificada a la compresión del hormigón
Mu : momento solicitante mayorado
fMn : momento nominal resistente
Meu : momento equivalente mayorado con respecto al centroide de armadura traccionada
Pu : esfuerzo axial solicitante mayorado (compresión)
fPn : resistencia nominal a la compresión
T = As fy : tracción que resiste el acero
Cc = 0,85 f’c b b1 c : compresión que resiste el hormigón
Cs = A’s f’s : compresión que resiste el acero
T
A’s
As
40
3.1.1 Condición de Diseño
Meu ≤ fMn
Pu ≤ fPn
Donde: Meu = Mu + Pu d - h
; es el momento equivalente con respecto al centroide de la armadura traccionada2
3.1.2 Equilibrio de Cargas Axiales
Pu = f (Cc + Cs - T) / : f
Pu = 0,85 f’c b b1 c + A’s f’s - As fy / : (0,85 f’c b d)
f
Pu = b1 c
+A’s fy
*f’s
+As fy
f0,85 f’c b d d 0,85 f’c b d fy 0,85 f’c b d
Definiendo:
Uc = 0,85 f'c b d ; j = c
; v =
As fy ; v' =
A’s fy ; y =
Pu
d Uc Uc fUc
Suponiendo f’s = fy. (lo cual ocurre en la mayoría de los casos), la ecuación queda:
y = b1 j + v' - v [3-1]
3.1.3 Equilibrio de Momentos (respecto al centroide de la armadura traccionada)
Meu = f CC
d - b1 c
+ Cs (d - d’)2
Meu = f 0,85 f’c b b1 c d - b1 c
+ A’s f’s (d - d’) / : (f Uc d)
2
Manteniendo el supuesto que f’s = fy:
Meu = b1c
1 -b1 c
+A’s fy
* 1 -d’
fUc d d 2d Uc d
( )
( ){ }
{ ( ) }
( ) ( )
Capítulo 3: Diseño en Flexión
41
Definiendo además:
d’ =d’
; m = Meu (reemplazar Meu por Mu en el caso de flexión simple)
d fUc d
La ecuación queda:
m = b1 j 1 - b1 j
+ v' (1 - d’)
[3-2]
2
3.1.4 Deformaciones Unitarias
Del diagrama de deformaciones (ver figura 3-1) y considerando ´cu = 0,003 (en estado último), se puede establecer
que:
10,003=
´s =´'s / *
1c d-c c-d
d
0,003=
´s =´’s
j 1 - j j - d'
De donde obtenemos las siguientes relaciones:
j =0,003
[3-3]0,003 + ´s
´'s =0,003 (j - d')
[3-4]j
´s =0,003 (1 - j)
[3-5]j
Para verificar si la armadura a compresión está fluyendo o no, usamos la ley de Hooke:
f’s = Es ´'s ≤ fy [MPa] [3-6]
Donde:
Es: es la elasticidad del acero; = 200.000 MPa.
( )
42
3.1.5 Valores de jlim y mlim
La sección 10.3.5 del ACI 318-02 y ACI 318-05, para elementos no pretensados en flexión propone controlar la
cuantía de acero a tracción imponiendo la restricción ´s ≥ 0,004; y que el momento sea compensado usando armadura
a compresión, en conjunto con la armadura a tracción.
Para ello se define un valor límite para m (mlim) tal que para valores de m ≤ mlim se desprecie la armadura a
compresión (v' = 0).
En tal caso m = mlim, cuando ´s = 0,004.
Reemplazando este valor de ´s en la ecuación [3-3]:
jlim =0,003
= 0,4286 (para cualquier tipo de acero no pretensado).0,003 + 0,004
Considerando j = jlim e imponiendo que v' = 0, en la ecuación [3-2]:
mlim = b1 jlim 1 - b1 jlim [3-7]
2
El factor de distribución rectangular de esfuerzos de compresión en el hormigón b1, queda dado por:
0,85 ; f’c < 30 MPa
b1 = 0,85 - 0,008 * (f’c - 30) ; 30 ≤ f’c ≤ 55 (MPa)
0,65 ; f’c > 55 MPa
Si b1 = 0,85 mlim = 0,85 * 0,4286 * 1 - 0,85 * 0,4286
= 0,2979 (Para f’c < 30 MPa) 2
En el ACI 318-99; jlim, con fy en MPa, queda dado por:
jlim = 0,75 *600
[3-8]600 + fy
En la ecuación [3-8], jlim está dado por el 75% del valor de j en condiciones de balance.
Si fy = 420 Mpa jlim = 0,75 *600
= 0,4412600 + 420
( )
{( )
( )
( )
Capítulo 3: Diseño en Flexión
43
Si b1 = 0,85 mlim = 0,85 * 0,4412 * 1 -0,85 * 0,4412
= 0,30472
3.1.6 Cálculo de f en Flexocompresión
El valor de f en Flexocompresión, según los Códigos ACI 318-02 y ACI 318-05, depende de la calidad del acero y
puede ser calculado en función que depende de ´s, o equivalentemente en función de j.
Para el acero A44-28H:
f = 69,444 ´s + 0,553 [3-9]
f = 0,208
+ 0,345 [3-10]j
Para el acero A63-42H:
f = 83,333 ´s + 0,483 [3-11]
f = 0,250
+ 0,233 [3-12]j
Independiente que no haya carga axial, las ecuaciones [3-9], [3-10], [3-11] y [3-12] siguen siendo válidas.
Además, f debe cumplir con: 0,65 ≤ f ≤ 0,90 (con estribos)
0,70 ≤ f ≤ 0,90 (con zunchos)
Claramente se aprecia que para diseñar es necesario iterar, ya que:
f = f(j) ; m = m(f) ; j = j(m)
En cambio, según ACI 318-99, para Flexocompresión:
f = 0,9 - 2 Pu ≥ 0,7 [3-13]f’c Ag
Si se trata de Flexión Simple (Pu = 0); f = 0,9
( )
44
3.1.7 Ecuaciones para Calcular As y A's
Si m ≤ mlim v' = 0 [3-14]
j = 1 - 1 - 2m
[3-15]b1
v = 1 - 1 - 2m - y [3-16]
Si m > mlim v' =
m - mlim [3-17]1 - d’
j = jlim [3-18]
v = b1 jlim + v' - y [3-19]
A partir de las variables adimensionales v y v', se pueden conocer As y A's, respectivamente.
Dado que según el ACI 318-05 es necesario iterar para conocer el valor de f:
f = f(j) ; m = m(f) ; j = j(m)
Entonces se propone iniciar con j = jlim; y seguir los siguientes pasos:
1º Dado j, calcular f
2º Conocido f, calcular m
3º Conocido m, calcular j
4º Si el nuevo valor de j difiere bastante del valor anterior, repetir los pasos 1º, 2º y 3º; hasta que f converja
5º Finalmente, usar las ecuaciones correspondientes para calcular As y A's
Capítulo 3: Diseño en Flexión
45
Diagrama de Flujo para Diseño de Flexión en Vigas Rectangulares (Con y Sin Carga Axial)
ACI 318-02 y ACI 318-05
jlim = 0,4286
Suponer
j = jlim
j = jlim
j janterior
Determinar b1
en función de f’c
Determinar mlim
con ecuación [3-7]
Calcular
Meu = Mu + Pu (d-h/2)
Calcular
Uc = 0,85 f’c b d
¿A63-42H o
A44-28H?
Determinar f
con ecuación [3-12]
Determinar f
con ecuación [3-10]
A63-42H
A44-28H
NO
SICalcular
m = Meu / (fUc d)
¿m > mlim?Determinar j
con ecuación [3-15]
v' = 0
Calcular
y = Pu / (f Uc)
Determinar v
con ecuación [3-16]
Calcular
d’ = d / d’
Determinar v'
con ecuación [3-17]
Calcular
y = Pu / (f Uc)
Determinar v
con ecuación [3-19]
Calcular
As = v Uc /fyA’s = v’ Uc /fy
NO
SI
46
Diagrama de Flujo para Diseño de Flexión en Vigas Rectangulares (Con y Sin Carga Axial)
ACI 318-99
Determinar jlim
con ecuación [3-8]
Determinar f
con ecuación [3-13]
Determinar b1
en función de f’c
Determinar mlim
con ecuación [3-7]
Meu = Mu + Pu (d-h/2)
Calcular Uc = 0,85 f’c b d
Calcular
m = Meu / (fUc d)
y = Pu / (fUc)
¿m > mlim?
Determinar v
con ecuación [3-16]
v' = 0
Calcular
d’ = d / d’
Determinar v'
con ecuación [3-17]
Determinar v
con ecuación [3-19]
Calcular
As = v Uc /fyA’s = v’ Uc /fy
SI
NO
Capítulo 3: Diseño en Flexión
47
3.2 FLEXION SIMPLE EN VIGAS T
En esta sección no se analizarán vigas L (aquellas con sólo un ala).
Donde:
h : altura total de la sección
hf : espesor de la losa
d : altura útil de la sección
d' : recubrimiento de la armadura
b : ancho efectivo del ala de la sección
bw : es el ancho del alma de la sección
c : profundidad de la línea neutra
´s : deformación unitaria al nivel del centroide de la armadura traccionada
´'s : deformación unitaria al nivel del centroide de la armadura comprimida
cu : deformación unitaria de la fibra extrema en compresión, en estado último
f’c : resistencia especificada a la compresión del hormigón
As : área de armadura longitudinal traccionada
A’s : área de armadura longitudinal comprimida
Mu : momento solicitante mayorado
fMn : momento nominal resistente
T = As fy : tracción que resiste el acero
Cs = A’s f’s : compresión que resiste el acero
Cc = 0,85 f’c [b1 c bw + hf (b - bw)] : compresión que resiste el hormigón
Figura 3-2
Flexión Simple en Vigas T
bw
hd
d’
hf
Mu
CsC
0,85 f’c
b1c
´cu
´’s
´s T
b
A’s
As
48
3.2.1 Restricciones del Ancho Efectivo del Ala
b ≤ Luz viga
4
b - bW ≤ 8hf2
b - bW ≤
distancia libre entre almas
2 2
3.2.2 Condición de Diseño
Mu ≤ fMn
3.2.3 Equilibrio de Cargas Axiales
0 = 0,85 f’c [b1 c bw hf (b - bw)] + A’s f’s + As fy [3-20]
3.2.4 Equilibrio de Momentos (con respecto al centroide de la armadura traccionada)
Mu = f 0,85 f'c b1 c bw d - b1 c
+ hf (b - bw) d - hf + A’s f’s (d - d’) [3-21]
2 2
3.2.5 Procedimiento para Calcular As y A's
Si el momento es negativo, o es positivo pero con a = b1 c ≤ hf, entonces la viga se comporta como viga rectangular.
En el caso que la viga se comporte como T, entonces se define:
Mlim: Es el momento máximo que resiste la sección T sin usar armadura a compresión.
Para la condición en que la resistencia nominal a la flexión sea igual a Mlim, se cumple que:
j = jlim ; c = jlim d (ver definición de jlim en la sección 3.1.5)
As’ = 0
y, f = f(jlim), para ello, usar la ecuación [3-10] o [3-12], dependiendo de la calidad del acero
){ ([ ] }( )
Capítulo 3: Diseño en Flexión
49
Con lo anterior:
Mlim = 0,85f f’c b1 jlim bw d2 1 - b1
jlim + hf (b - bw) d -
hf [3-22]2 2
Si Mu > Mlim:
c = jlim d f’s = fy (tanto para acero A63-42H como A44-28H)
A’s =Mu - Mlim [3-23]fy (d - d’)
As = A’s + 0,85 f’c
b1 jlim bw d + hf (b - bw) [3-24]fy
Si Mu ≤ Mlim: (No se requiere armadura a compresión)
A’s = 0 [3-25]
Se definen:
a = b1 c [3-26]
Asf =0,85 f’c hf (b - bw)
[3-27]f’y
Mn1 = Asf fy d - hf [3-28]2
Mn2 = (As - Asf) fy d - a
[3-29]2
Donde:
a : altura del bloque rectangular de esfuerzos de compresión del hormigón
Asf : parte de la armadura traccionada que compensa la compresión de las alas
Mn1 : parte de la resistencia nominal a flexión, aportada por Asf
Mn2 : parte de la resistencia nominal a flexión, aportada por la armadura que compensa la compresión del alma (As - Asf)
Por la condición de diseño tenemos que:
Mu = f (Mn1 + Mn2) [3-30]
)([ ]
( )
( )
)(
[ ]
50
Al reemplazar Asf en la ecuación [3-20] y despejar a, se obtiene:
a =(As - Asf) fy [3-31]0,85 f’c bw
Para encontrar As, se propone comenzar iterando con a = hf; y seguir los siguientes pasos:
1º Con la ecuación [3-27], calcular Asf
2º Con la ecuación [3-28], calcular Mn1
3º Dado a, despejar Mn2, de la ecuación [3-30]
4º Conocido Mn2, despejar (As - Asf), de la ecuación [3-29]
5º Conocido (As - Asf), recalcular a, con la ecuación [3-31]
6º Si el nuevo valor de a, no difiere mucho del anterior dejar de iterar y con los valores de Asf y de (As - Asf) obtener
As. En caso contrario, repetir los pasos 3, 4, 5 y 6, iniciando con el nuevo valor de a
3.3 ARMADURA MINIMA PARA VIGAS SOMETIDAS A FLEXION
En cualquier sección sometida a flexión, el área de acero a tracción proporcionada As no debe ser menor a:
As min = f’c bw d ≥
1,4 bw d [3-32]
4fy fy
Si se trata de un elemento en voladizo con sección T y momento negativo (ala traccionada), As debe ser igual o mayor
al menor de los valores dados por [3-33a] y [3-33b]:
f’c bw d ≥ 1,4
bw d [3-33a]2fy fy
As min = min
f’c b d ≥ 1,4
bw d [3-33b]4fy fy
Donde b es el ancho del ala (ver figura 3-2).
En las expresiones anteriores, f’c y fy deben estar expresados en MPa.
Además, las disposiciones anteriores no necesitan ser aplicadas si:
As proporcionada = 1,33 As requerida [3-34]
{
Capítulo 4
Diseño en Cor te
4.1 Condición de Diseño
4.2 Componentes de la Resistencia Nominal
4.3 Reducción de Vu Cerca de los Apoyos
4.4 Resistencia al Corte Proporcionada por el Hormigón
4.5 Resistencia al Corte Proporcionada por el Acero
4.6 Límites para el Espaciamiento "s"
4.7 Armadura Mínima para Corte
Capítulo 4: Diseño en Corte
53
4.1 CONDICION DE DISEÑO
Vu ≤ fVn
Donde:
Vu : es el esfuerzo de corte solicitante mayorado en la sección.
Vn : es la resistencia nominal al corte.
4.2 COMPONENTES DE LA RESISTENCIA NOMINAL
Vn = Vc + Vs [4-1]
Donde:
Vc : es la resistencia al corte proporcionada por el hormigón.
Vs : es la resistencia al corte proporcionada por el acero.
4.3 REDUCCION DE VU CERCA DE LOS APOYOS
Se permite diseñar las secciones con un corte Vu, calculado a una distancia “d” desde la cara del apoyo. Siempre
y cuando se cumplan las siguientes condiciones de apoyo (ver figura 4-1):
(1) Elementos apoyados sobre soportes en la base del elemento
(2) Elementos enmarcados monolíticamente con otro elemento
Figura 4-1
Vu
Vu Vu
d d
d
(1) (2)
54
Las condiciones de apoyo en las cuales no se debe aplicar esta disposición (ver figura 4-2), incluyen:
(3) Elementos enmarcados por un elemento de apoyo en tracción
(4) Elementos que en las secciones, entre el apoyo y una distancia d, presentan una carga concentrada. Lo cual
produce una variación importante en el corte
(5) Elementos en los cuales las cargas no están aplicadas en o cerca de la cara superior del elemento
4.4 RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR EL HORMIGON
(1) Para elementos sometidos únicamente a corte y flexión:
Vc = f’c bw * d [4-2]
6
(2) Para elementos sometidos a compresión axial:
Vc = 1 +Nu f’c bw * d [4-3]
14Ag 6
(3) Para elementos sometidos a tracción axial significativa:
Vc = 1 +0,3Nu f’c bw * d [4-4]
Ag 6
También es permitido despreciar Vc, cuando existe un esfuerzo axial de tracción en la sección.
En las tres ecuaciones anteriores, f’c va expresado en MPa al igual que la razón NuAg
. En el caso de tracción axial,NuAg
es negativa. Además, el valor f’c no debe ser mayor a 8,3 MPa.
( )
( )
Figura 4-2
(5)
Vu
sección crítica
(3)
Vu
(4)
Vu
d
Capítulo 4: Diseño en Corte
55
4.5 RESISTENCIA AL CORTE PROPORCIONADA POR EL ACERO
Consideraremos el caso de armadura perpendicular al eje del elemento. En este caso:
Vs = Av fy * d ≤
2 f’c bw d [4-5]s 3
Donde:
Av : área de la armadura por corte
s : espaciamiento de la armadura por corte, medida en dirección paralela a la armadura longitudinal
Si no se cumple la restricción impuesta en la ecuación [4-5], se deben cambiar las dimensiones de la sección.
Tomando en cuenta las ecuaciones [4-1] y [4-5], tenemos la siguiente relación:
Av =Vuf
- Vc [4-6]s fy * d
4.6 LIMITES PARA EL ESPACIAMIENTO "s"
Considerando la armadura por cor te, perpendicular al eje del elemento y éste de hormigón no pretensado:
s ≤ min {d/2 ; 60 cm}
Si Vs > f’c
bw d; entonces: s ≤ min {d/4 ; 30 cm}.3
56
4.7 ARMADURA MINIMA PARA CORTE
Cuando el esfuerzo de corte mayorado Vu exceda la mitad de la resistencia al corte proporcionado por el hormigón
fVc; se debe disponer de la siguiente armadura mínima:
Av min = 0,0625 f’c bw s
≥ 0,35 bw s
[cm2] [4-7]fy fy
Según el ACI 318-99:
Av min = bw s
[cm2] [4-8]3fy
En ambas ecuaciones, tanto bw como s están en cm.
Capítulo 5
Diseño en Torsión
5.1 Condición de Diseño
5.2 Torsión Crítica
5.3 Requisitos de las Dimensiones de la Sección
5.4 Resistencia Nominal a la Torsión
5.5 Armadura Mínima para Torsión
Capítulo 5: Diseño en Torsión
59
5.1 CONDICION DE DISEÑO
Tu ≤ fTn
Donde:
Tu : es el momento de torsión solicitante mayorado en la sección
Tn : es la resistencia nominal a la torsión
5.2 TORSION CRITICA
Se desprecian los efectos de la torsión si Tu < Tc; donde Tc corresponde a la torsión crítica.
(1) En elementos no pretensados:
Tc = f f’c A2
cp [5-1]12 Pcp
(2) En elementos no pretensados, sometidos a esfuerzo axial:
Tc = f f’c A2
cp 1 +Nu [5-2]
12 Pcp Ag f’c
3
Donde:
Acp : área encerrada por el perímetro exterior de la sección transversal
Pcp : perímetro exterior de la sección transversal
( )
( )
Figura 5-1
Tanto para secciones sólidas
como para secciones huecas:
Acp : b * h
Pcp : 2 * (b + h)
b
h
b
60
5.3 REQUISITOS DE LAS DIMENSIONES DE LA SECCION
Las dimensiones de la sección deben cumplir con:
(1) En secciones sólidas:
Vu +Tu Ph ≤f
Vc +2
f’c [5-3]bw d 1,7 A2
oh bw d 3
(2) En secciones huecas:
Vu +Tu Ph ≤ f
Vc +2
f’c [5-4]bw d 1,7 A2
oh bw d 3
Donde:
Aoh : area encerrada por el eje de la armadura transversal cerrada más externa dispuesta para torsión
Ph : perímetro del eje de la armadura transversal cerrada dispuesta para torsión
( )( ) ( )2 2
( )( ) ( )
Si en una sección hueca, el espesor t de la pared es menor que Aoh/Ph , la condición [5-4] debe ser reemplazada
por:
Vu +Tu ≤ f
Vc +2
f’c [5-5]bw d 1,7 Aoh t bw d 3( )( ) ( )
Figura 5-2
Aoh : área sombreada
Ph : perímetro de área sombreada
Capítulo 5: Diseño en Torsión
61
5.4 RESISTENCIA NOMINAL A LA TORSION
La armadura transversal por torsión debe diseñarse usando:
Tn = 2A0 At fyv cot u
[5-6]s
Donde:
A0 : área encerrada por el flujo de corte
At : área de armadura transversal cerrada dispuesta por torsión
fyv : tensión de fluencia de la armadura transversal cerrada dispuesta por torsión
u : ángulo de las diagonales de compresión en la analogía del enrejado para torsión
s : espaciamiento de la armadura por torsión, medida en dirección paralela a la armadura longitudinal
Para efectos prácticos:
A0 = 0,85 Aoh ; fyv = fy ; cot u = 1
Los requisitos de estribos por torsión y corte se suman de esta manera:
Av + t = Av + 2
At [5-7]s s s
La armadura longitudinal adicional (Al ), necesaria por torsión, no debe ser menor que:
Al = At Ph
fyv cot2u [5-8]s fyl
Donde fyl : tensión de fluencia de la armadura longitudinal dispuesta por torsión.
Para efectos prácticos:
fyv = 1 (fyv = fyl = fy) ; cot2u = 1fyl
La armadura longitudinal para torsión debe estar distribuida a lo largo del perímetro del estribo cerrado; agregándose
a la armadura longitudinal para flexión.
( )
62
Además el espaciamiento máximo para la armadura vertical, es:
smax = min { Ph / 8 ; 300 mm } [5-9]
Los estribos deben extenderse una distancia (bt + d), más allá del punto donde teóricamente no son necesarios,
siendo bt al ancho de la sección que contiene los estribos cerrados de torsión.
5.5 ARMADURA MÍNIMA PARA TORSIÓN
Av + t, min = f’c bw s
≥0,35
bw s
[5-10]16 fyv fyv
Al min = 5 f’c Acp -
At Ph fyv [5-11]
12fyl s fyl
Donde At no debe tomarse menor que 0,175bws fyv
( )
Capítulo 6
Efectos de Esbeltez enElementos Sometidos a Compresión6.1 Analisis de Segundo Orden
6.2 Análisis Aproximado
Capítulo 6: Efectos de Esbeltez en Elementos Sometidos a Compresión
65
Los efectos de esbeltez hacen que el momento Mu sea amplificado, con lo cual al diseñar una columna sometida a
flexocompresión debe hacerse para:
• un esfuerzo axial Pu
• un esfuerzo de momento Mu amplificado por efectos de esbeltez
6.1 ANALISIS DE SEGUNDO ORDEN
Para el diseño de elementos en compresión, este debe estar basado en las fuerzas y momentos mayorados obtenidos
a partir de un análisis de segundo orden. En tal análisis se debe considerar:
• la no-linealidad del material
• el agrietamiento del hormigón
• la curvatura del elemento
• el desplazamiento lateral
• la duración de las cargas
• la retracción y la fluencia lenta
• la interacción con las fundaciones
Las dimensiones de la sección transversal de cada elemento, usadas en éste análisis, no deben diferir en más del
10% de las dimensiones definitivas.
6.2 ANALISIS APROXIMADO
Al hacer un análisis elástico de primer orden, un piso de una estructura de hormigón armado se considera
sin desplazamiento lateral si:
Q = SPu Do
≤ 0,05 [6-1]Vu lc
Donde:
SPu : carga ver tical mayorada en el piso
Vu : cor te en el piso
Do : desplazamiento relativo de primer orden entre la par te superior e inferior del piso
lc : longitud del elemento ver tical medida entre los nudos del marco
66
Se define la esbeltez l de un elemento, como:
l = K lu [6-2]
r
Donde:
k : factor de longitud efectiva para elementos en compresión
lu : longitud del elemento ver tical, sin apoyo lateral, de un elemento en compresión
r : radio de giro de la sección, dependiendo del eje al cual se analiza
Dependiendo del valor de Q, obtenido en la ecuación [6-1] se determinará si el marco está:
• sin desplazamiento lateral (marco arriostrado)
continuar con la sección 6.2.1
• con desplazamiento lateral (marco no arriostrado)
continuar con la sección 6.2.2
Si para un elemento individual l > 100, se debe usar el método de la sección 6.1 para determinar fuerzas y
momentos en el elemento.
Para estimar el factor k en marcos, contamos con los ábacos de alineamiento de Jackson y Moreland (ver
figuras 6-1 y 6-2).
Elcolumnas
c = lc [6-3]El
vigasl
c debe ser calculado para un nudo, considerando las columnas y vigas que concurran a él. Las vigas
consideradas tienen que estar dentro del plano donde se analiza el pandeo.
( )( )
Capítulo 6: Efectos de Esbeltez en Elementos Sometidos a Compresión
67
Si el nudo está unido a un apoyo empotrado c = 0.
Para una columna dada, se calculan para cada extremo de ésta sus respectivos valores de cA y cB. Con los cuales
trazamos una recta en el respectivo ábaco de alineamiento, sobre la columna de los valores de k. Así obtenemos
una estimación de éste factor.
• Para marcos arriostrados usar la figura 6-1.
• Para marcos no arriostrados usar la figura 6-2.
Figura 6-1
Marcos Arriostrados
50.010.0
5.0
3.0
2.0
1.0
0.80.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
50.010.0
5.0
3.0
2.0
1.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.80.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.6
0.5
Figura 6-2
Marcos No Arriostrados
100.0
50.030.0
20.0
10.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0
100.0
50.030.0
20.0
10.0
20.0
5.0
3.0
2.0
9.08.07.0
3.0
2.0
1.0
0
1.5
1.0
9.08.0
cA K cB cA K cB
10.0
4.0
6.0
5.0
4.0
6.2.1 Marcos sin Desplazamiento Lateral
Se desprecian los efectos de esbeltez si:
l ≤ 34 - 12 M1 [6-4]M2
Donde:
M1 : es el menor momento extremo del elemento correspondiente al piso analizado
M2 : es el mayor momento extremo del elemento correspondiente al piso analizado
68
El término 34 - 12 M1M2
de la ecuación [6-4] no debe tomarse mayor que 40.
El signo de la razón M1M2
de la ecuación [6-4] es explicado en la figura 6-3.
Figura 6-3
Si en el elemento
hay una curvatura simple
M1 > 0M2
M1
M2
Si en el elemento
hay una curvatura doble
M1 < 0M2
M1
M2
Para elementos sometidos a compresión, en marcos arriostrados (sin desplazamiento lateral), la condición de diseño
es:
Pu ≤ fPn
Mc ≤ fMn
Donde Mc se obtiene de la ecuación [6-5].
Mc = dns * M2 [6-5]
Donde dns es el factor de amplificación de momento para marcos arriostrados.
dns = Cm ≥ 1,0
Pu [6-6]1 -
0,75 Pc
Donde:
Cm : factor que relaciona el diagrama real de momento con un diagrama equivalente de momento uniforme
Pc : carga crítica de Euler
Para elementos sin carga transversal entre sus apoyos, Cm debe tomarse como:
Cm = 0,6 + 0,4 M1 ≥ 0,4 [6-7]M2
Capítulo 6: Efectos de Esbeltez en Elementos Sometidos a Compresión
69
En el caso que existan cargas transversales entre los apoyos, Cm = 1,0.
Pc = p2 El
[6-8](klu)2
En la ecuación [6-8], EI debe tomarse como:
El = 0,2Ec Ig + Es lse ; ó [6-9]
1 + bd
El = 0,4Ec Ig [6-10]1 + bd
Donde:
Ec : elasticidad del hormigón
Ig : momento de inercia de la sección bruta de hormigón
Es : elasticidad del acero
lse: momento de inercia de la armadura con respecto al eje centroidal de la sección transversal del elemento
bd = máxima carga axial permanente mayorada
máxima carga axial total mayorada
Ec = 0,043w1,5
c f’c [MPa] [6-11a]
4.700 f’c [MPa] [6-11b]
La expresión [6-11a] es permitida usarla para hormigones con densidad wc comprendida entre 1.500 y 2.500 kg/m3.
Para hormigones de densidad normal puede considerarse la expresión [6-11b].
El momento M2, que aparece en la ecuación [6-5], no debe ser menor que:
M2, min = Pu * emin [6-12]
Donde la excentricidad mínima emin está dada por:
emin = 15 + 0,03 h [mm] [6-13]
{
70
6.2.2 Marcos con Desplazamiento Lateral
El análisis descrito en esta sección, está referido sólo a marcos planos sometidos a cargas que causan deformaciones
en su propio plano. Si los desplazamientos torsionales son significativos se debe realizar un análisis tridimensional
de segundo orden.
Se desprecian efectos de esbeltez si:
l < 22 [6-14]
Los momentos extremos M1 y M2 de un elemento individual deben tomarse como:
M1 = M1ns + ds M1s [6-15]
M2 = M2ns + ds M2s [6-16]
Donde:
M1ns : momento mayorado en el extremo de un elemento, donde actúa M1, debido a cargas que no causan
desplazamiento lateral apreciable.(ej: cargas gravitacionales)
M2ns : momento mayorado en el extremo de un elemento, donde actúa M2, debido a cargas que no causan
desplazamiento lateral apreciable.(ej: cargas gravitacionales)
M1s : momento mayorado en el extremo de un elemento, donde actúa M1, debido a cargas que causan un apreciable
desplazamiento lateral (ej: sismo, viento, etc)
M2s : momento mayorado en el extremo de un elemento, donde actúa M2, debido a cargas que causan un apreciable
desplazamiento lateral (ej: sismo, viento, etc)
M1ns y M2ns se obtienen a través de un análisis elástico de primer orden, donde el desplazamiento lateral está
restringido (ver figura 6-4).
Marco cargado Análisis de primer ordenentrega Mns
Análisis de primer ordenentrega Ms
= +
Figura 6-4
Esquema de Desplazamiento Lateral
Capítulo 6: Efectos de Esbeltez en Elementos Sometidos a Compresión
71
6.2.2.1 Cálculo de ds Ms
El producto ds Ms, puede obtenerse de :
(1) Sección 6.2.2.2
(2) Sección 6.2.2.3
(3) Sección 6.2.2.4
6.2.2.2 Momentos extremos de la columna
Calculados a través de un análisis elástico de segundo orden, basados en las siguientes rigideces:
- Módulo de Elasticidad: (Ver expresiones 6-11a y 6-11b).
- Momentos de Inercia:
* vigas 0,35 lg* columnas 0,70 lg* muros no agrietados 0,70 lg* muros agrietados 0,35 lg* placas planas y losas planas 0,25 lg
- Area 1,0 Ag
Los momentos de inercia deben ser divididos por (1+bd), cuando actúen cargas laterales sostenidas. En este caso:
bd = máximo cor te permanente mayorado del piso
máxima cor te mayorado en el piso
Si las cargas laterales son eventuales, como viento o sismo, entonces bd = 0.
6.2.2.3 De la siguiente Ecuación:
ds Ms =Ms ≥ Ms [6-17]
1 - Q
Donde Ms debe obtenerse de un análisis elástico de primer orden, donde sólo actúan cargas que producen un
desplazamiento lateral apreciable (ver figura 6-4).
Si ds > 1,5 ; entonces ds Ms debe obtenerse de las secciones 6.2.2.2 ó 6.2.2.4
72
6.2.2.4 De la siguiente Ecuación
ds Ms =Ms ≥ Ms
1 -S Pu [6-18]
0,75 S Pc
Donde:
S Pu : es la suma de todas las cargas verticales mayoradas en el piso
S Pc : es la suma de las cargas críticas de Euler de cada columna en el piso
El valor de Pc se calcula de la ecuación [6-8], pero no olvidar que en este caso para el cálculo de EI:
bd = máximo cor te permanente mayorado del piso
máximo cor te mayorado en el piso
El cual generalmente será cero, dado que en la mayoría de los casos con cargas laterales, éstas son de corta
duración (solicitaciones eventuales).
6.2.2.5 Condición de Diseño
Si en un elemento en compresión se cumple que:
lu 35
r
>Pu [6-19]
f’c Ag
Entonces el momento máximo de la columna no estará en los extremos de ésta, sino en un punto intermedio. En
tal caso se debe diseñar con:
Pu ≤ fPn
Mc ≤ fMn
Donde Mc se obtiene de la ecuación [6-5], pero en este caso los valores de M1 y M2 usados, serán los obtenidos
con las ecuaciones [6-15] y [6-16], respectivamente. El valor de bd a usar corresponde al señalado en las secciones
6.2.2.2 y 6.2.2.4
Si la condición [6-19] no se cumple, entonces la condición de diseño es:
Pu ≤ fPn
M2 ≤ fMn
Capítulo 6: Efectos de Esbeltez en Elementos Sometidos a Compresión
73
6.2.2.6 Chequeo de Estabilidad frente a Cargas Gravitacionales
La posibilidad de inestabilidad por desplazamiento lateral, debido a cargas gravitacionales, nos lleva a realizar el
siguiente chequeo:
(1) Cuando ds Ms es calculado a partir de la sección 6.2.2.2
Para la combinación U = 1,4 D +1,7 L + Carga Lateral. Se debe cumplir que:
deformación lateral de 2º orden ≤ 2,5 [6-20]
deformación lateral de 1er orden
(2) Cuando ds Ms es calculado a partir de la sección 6.2.2.3
Usando la combinación U = 1,4 D +1,7 L ; para S Pu se debe cumplir que:
Q ≤ 0,60 [6-21]
(3) Cuando ds Ms es calculado a partir de la sección 6.2.2.4
0 < ds ≤ 2,5 [6-22]
Para los casos (1), (2) y (3); tratándose de un chequeo de estabilidad; bd debe tomarse como:
bd = máxima carga axial permanente mayorada
máxima carga axial total mayorada
Capítulo 7
Control de Deformaciones
7.1 Restricción de Altura o Espesor Mínimo
7.2 Restricción de la Flecha
7.3 Elementos Armados en Dos Direcciones
Capítulo 7: Control de Deformaciones
77
Las deformaciones se pueden controlar a través de imponer un valor mínimo al espesor del elemento, o restringiendo
la flecha de éste a un valor admisible.
7.1 RESTRICCIÓN DE ALTURA O ESPESOR MÍNIMO.
Con el fin de asegurar una rigidez mínima para controlar deformaciones, la tabla 7-1 establece las alturas o espesores
mínimos para elementos armados en una dirección, que no soporten o estén ligados a divisiones u otro tipo de
elementos susceptibles de dañarse por grandes deformaciones.
Tabla 7-1
Altura o Espesor Mínimo Elementos Armados en una Dirección
Simplemente Un extremo Ambos extremosVoladizos
Elemento apoyados continuo continuos
Elementos que no soporten o estén ligados a divisiones u otro tipo de elementos
susceptibles de dañarse por grandes deformaciones
Losas macizasl l l l
reforzadas en una20 24 28 10
dirección
Vigas o losasl l l l
nervadas en16 18,5 21 8
una dirección
Donde:l : es la luz del elemento
Los valores dados en la tabla 7-1 se deben usar directamente en elementos de hormigón de peso normal (wc = 2400
kg / m3) y acero de refuerzo A63-42H.
Para otras condiciones los valores de la tabla 7-1, deben multiplicarse por:
• (1,65 - 0,0003 wc); para hormigones livianos con wc, en kg / m3, dentro del rango de 1.500 a 2.000 kg / m3.
Este factor no debe ser menor que 1,09.
• 0,4 + fy
; para valores de fy, en MPa, distintos de 420 Mpa.700
Para elementos no pretensados que no cumplan con los requisitos de altura o espesor mínimo, o que soporten o
estén ligados a divisiones u otros elementos susceptibles de dañarse con grandes deformaciones, las deformaciones
deben ser controladas de acuerdo a la sección 7.2
( )
78
7.2 RESTRICCIÓN DE LA FLECHA
Al calcular deformaciones inmediatas producidas por la aplicación de cargas, se debe considerar los efectos
de la fisuración y de la armadura, en la rigidez del elemento. Para tales efectos contamos con la siguiente
expresión:
d =Ml 2
[7-1]K Ec le
Donde:
d : es la deformación instantánea de la sección fisurada,bajo cargas de servicio.
K : es un factor que depende de los apoyos y de las condiciones de carga del elemento (algunos casos son
ejemplificados en la tabla 7-2).
M : es el momento máximo, producido por las cargas de servicio (éstas cargas no se mayoran).
l : es la luz del elemento.
Ec : es la elasticidad del hormigón. Ver expresiones [6-11a] y [6-11b] en el Capítulo 6.
le : es el momento de inercia efectivo.
En la tabla 7-2, el momento máximo y la flecha, se dan en la sección que están en la mitad de la luz; a
excepción de los voladizos, cuyo momento máximo se da en el empotramiento y la flecha corresponde a la
deformación del extremo libre.
Capítulo 7: Control de Deformaciones
79
Tabla 7-2
Valores de K Según las Condiciones de Carga
Caso Mmáx Factor K
Elem
ento
en
Vola
dizo
Elem
ento
Sim
plem
ente
Apo
yado
Elem
ento
s co
n Am
bos
Extr
emos
Em
potr
ados
P
q
q
Pl2
l2
q
q
Pl2
l2
q
q
M = Pl K = 3
M = ql 2
6
M = ql 2
2
M = Pl
4
M = ql 2
12
M = ql 2
8
M = Pl
8
M = ql 2
32
M = ql 2
24
K = 5
K = 4
K = 12
K = 10
K = 9,6
K = 24
K = 120
7
K = 16
80
El momento efectivo le, está dado por la fórmula de Branson:
le = Mcr lg + 1 -
Mcr lcr ≤ lg [7-2]
M M
Donde:
lg : momento de inercia de la sección bruta
lcr : momento de inercia de la sección fisurada. Ver figuras 7-1 y 7-2
M : momento de servicio, debido a cargas sin mayorar
Mcr : momento de fisuración
Mcr = fr lg [7-3]yt
Donde:
fr : módulo de rotura del hormigón
yt : distancia desde el eje centroidal de la sección bruta a la fibra extrema en tracción, sin tomar en cuenta
la armadura
Para hormigón de densidad normal:
fr = 0,7 f’c [MPa] [7-4]
Para las figuras 7-1 y 7-2, se define:
n = Es [7-5]
Ec
( ) [ ( ) ]3 3
Capítulo 7: Control de Deformaciones
81
Figura 7-1
Momento de Inercia en Secciones Rectangulares Fisuradas
B =b
; r = (n - 1) A’s
nAs nA’sAs
A’s yt =h
; lg = bh3
2 12
b
h
Caso A’s = 0
a =2dB + 1 - 1
B
lcr =ba3
+ nAs (d - a)23
n As
b
da
EJE NEUTRO
Caso A’s 0
2dB 1 + rd’
+ (1 + r)2 - (1 + r)a = d
B
lcr =ba3
+ nAs (d - a)2 + (n - 1)A’s (a - d’)23
n As
da
EJE NEUTRO
d’
(n - 1) A’s
( )
b
82
C =bw ; f =
hf(b - bw)
nAs nAs
A’s
As
yt = h -(b - bw)hf
2 + bwh2
2[(b - bw)hf + bwh]h
Caso A’s = 0
a =C(2d + f hf) + (1 + f)2 - (1 + f)
C
n As
da
EJE NEUTRO
Caso A’s 0
n As
b
da
EJE NEUTRO
d’
(n - 1) A’s
hf
yt
bw
lg =(b - bw)hf
3
+bwh3
+ (b - bw)hf h - hf - yt + bw h yt -
h
12 12 2 2( ) )(2 2
lcr =(b - bw)hf
3
+bwa3
+ (b - bw)hf a - hf + nAs (d - a)2 + (n - 1) A’s (a - d’)2
12 3 2( )2
Figura 7-2
Momento de Inercia en Secciones T Fisuradas
b
b
lcr =(b - bw)hf
3
+bwa3
+ (b - bw)hf a - hf + nAs (d - a)2
12 3 2( )2
a =C(2d + f hf + 2rd’) + (1 + f + r)2 - (1 + f + r)
C
Capítulo 7: Control de Deformaciones
83
Para elementos continuos:
(1) Con ambos apoyos continuos:
Ie = 0,70 Iem + 0,15 ( Ie1 + Ie2 ) [7-6]
(2) Con un apoyo continuo y el otro simplemente apoyado:
Ie = 0,85 Iem + 0,15 Ie1 [7-7]
Donde:
Iem : es el momento de inercia calculado con la ecuación [7-2] para la sección del medio del vano
Ie1 y Ie2 : son los momentos de inercia calculados con la ecuación [7-2] para las secciones en los apoyos continuos,
1 y 2, respectivamente.
7.2.1 Flecha Diferida y Flecha Total
La flecha diferida es una flecha desarrollada a largo plazo, que considera los efectos de retracción y de fluencia
lenta, debidos a la acción de cargas permanentes.
La flecha total es la suma de la flecha diferida (ddif) y la flecha instantánea debida a sobrecargas (dL).
Para estimar la flecha diferida ddif, usamos la ecuación [7-8], mientras que la flecha total, estará dada por la ecuación
[7-9].
ddif = ldD [7-8]
dtotal = ddif + dL [7-9]
Donde:
dD : es la flecha instantánea debida a cargas permanentes (D)
dL : es la flecha instantánea debida a sobrecargas (L)
l : es un factor para deformación adicional a largo plazo
84
l =j
[7-10]1 + 50r’
Donde:
j : es un factor dependiente del tiempo, dado por la tabla 7-3
r’ : es la cuantía de acero a compresión; correspondiente a la sección en la mitad de la luz para tramos simples y
continuos; y correspondiente a la sección en el punto de apoyo para voladizos
Los valores de la tabla 7-3 son satisfactorios para vigas normales y losas armadas en una dirección. Sin embargo,
para el caso de losas armadas en dos direcciones, Branson sugiere un valor de j = 3,0 para un tiempo igual o mayor
a cinco años.
Tabla 7-3
Valores de j que dependen del Tiempo
Tiempo j
5 años o más 2,0
12 meses 1,4
6 meses 1,2
3 meses 1,0
Capítulo 7: Control de Deformaciones
85
7.2.2 Flechas Máximas Admisibles
(1) Este límite no toma en cuenta el estancamiento de aguas, el cual debe verificarse mediante un adecuado cálculo
de deformaciones.
(2) Este límite se puede exceder, si se toman medidas adecuadas para prevenir daños en elementos apoyados o
unidos.
(3) Las deformaciones a largo plazo, se pueden reducir en la cantidad de deformación calculada que ocurra antes
de unir los elementos no estructurales.
(4) Este límite se puede exceder si se proporciona una contraflecha, no mayor que la tolerancia establecida para
los elementos no estructurales, de modo que la flecha total menos la contraflecha no exceda dicho límite.
Tabla 7-4
Flechas Máximas Admisibles
Tipo de elementoTipo de flechas
Flecha límitea considerar
Azoteas planas que no sostienen ni están unidas a elementos nodL
l
estructurales, que puedan dañarse por grandes flechas. 180(1)
Pisos que no sostienen ni están unidos a elementos nodL
l
estructurales, que puedan dañarse por grandes flechas. 360
Azoteas o pisos que sostienen o están unidos a elementosdtotal
l
no estructurales, que puedan dañarse por grandes flechas. (3)
480(2)
Azoteas o pisos que sostienen o están unidos a elementosdtotal
l
no estructurales, que no puedan dañarse por grandes flechas. (3)
240(4)
86
7.3 ELEMENTOS ARMADOS EN DOS DIRECCIONES.
En esta sección se indicarán los espesores mínimos para losas u otros elementos armados en dos direcciones.
En el caso que la losa tenga una razón entre el lado largo y el lado cor to mayor que 2, debe tratarse como
un elemento armado en una dirección (ver secciones 7.1 ó 7.2).
7.3.1 Losas sin Vigas Interiores
Válido para losas que se extiendan entre los apoyos y que tienen una razón entre lados no mayor que 2, el
espesor de tales losas no debe ser inferior a lo establecido en la tabla 7-5.
(1) Para valores intermedios de tensión de fluencia, el espesor mínimo debe obtenerse por interpolación lineal
(2) Abaco es un capitel cuyas dimensiones están definidas en las secciones 13.3.7.1 y 13.3.7.2 del ACI 318-05
(3) Losas con vigas de borde, deben tener en cada viga de borde un valor de a ≥ 0,8. (ver ecuación 7-11)
Donde:
ln : es la luz libre del lado mayor de la losa, medida entre los bordes de los apoyos
Además de lo anterior, el espesor para losas sin vigas interiores no debe ser menor que:
• 120 mm; para losas sin ábacos
• 100 mm; para losas con ábacos
Tabla 7-5
Espesor Mínimo de Losas
Sin ábacos(2) Con ábacos (2)
fy Losas exteriores losas interiores Losas exteriores losas interiores
MPa(1) sin vigas con vigas sin vigas con vigas
de borde de borde(3) de borde de borde(3)
280ln ln ln ln ln ln33 36 36 36 40 40
420ln ln ln ln ln ln30 33 33 33 36 36
520ln ln ln ln ln ln28 31 31 31 34 34
Capítulo 7: Control de Deformaciones
87
Según la ecuación [7-11], se define al coeficiente a como la razón entre la rigidez a flexión de una viga y la rigidez
a flexión de una franja de losa limitada lateralmente por los ejes de las losas adyacentes (si las hay), en cada lado
de la viga.
a = Ecb lb [7-11]Ecs ls
Donde:
Ecb : Elasticidad del hormigón de la viga (ver ecuaciones [6-11a] y [6-11b] del Capítulo 6)
Ecs : Elasticidad del hormigón de la losa (ver ecuaciones [6-11a] y [6-11b] del Capítulo 6)
lb : Momento de inercia, respecto al eje centroidal de la sección total de una viga (ver figura 7-3)
ls : Momento de inercia, respecto al eje centroidal de la sección bruta de la losa (ver figura 7-3)
También se define el coeficiente am, como el promedio de a para todas las vigas en los bordes de una losa.
Figura 7-3
Momentos de Inercia Is y Ib
Cálculo de Is
Cálculo de lb
b = bw + 2(h - hf) ≤ bw + 8hf
bw
b
h
ls =Lhf
3
12
hbw
hf
L L
Para calcular lb, se debe usar la expresión de lg para secciones T que aparece en la figura 7-2, tomando
en cuenta que el ancho b del ala, es como se indica a continuación:
hf
bw
b
h
hf
b = bw + h - hf ≤ bw + 4hf
7.3.2 Para Losas con Vigas Interiores
En aquellas losas con vigas inferiores que se extienden entre los apoyos en todos los lados, su espesor
mínimo debe ser:
(1) Para am ≤ 0,2; se aplican los valores de espesor mínimo dados por la tabla 7-5.
(2) Para 0,2 ≤ am ≤ 2,0; el espesor no debe ser menor que el dado por la ecuación siguiente:
ln 0,8 +fy
h =1.500
≥ 12,5 cm[7-12]
36 + 5b (am - 0,2)
Donde b =lado largo
lado cor to
(3) Para am > 2,0; el espesor no debe ser menor que:
ln 0,8 +fy
h =1.500
≥ 9,0 cm[7-13]
36 + 9b
(4) En bordes discontinuos, debe disponerse una viga de borde que tenga un valor de a ≥ 0,8 ; o bien aumentar
en un 10% el espesor mínimo requerido por las ecuaciones [7-12] y [7-13] para la losa que tenga un borde
discontinuo.
)(
)(
88
Capítulo 8
Diseño Sísmico
8.1 Requerimientos para los Materiales
8.2 Elementos Sometidos a Flexión
8.3 Elementos Sometidos a Flexocompresión
8.4 Diseño por Capacidad
8.5 Longitud de Desarrollo de Barras en Tracción
8.�6 Elementos de Borde para Muros
Capítulo 8: Diseño Sísmico
91
Este capítulo está basado en las disposiciones del capítulo 21 del código ACI 318-05.
8.1 REQUERIMIENTOS PARA LOS MATERIALES
La resistencia a la compresión f'c del hormigón, no debe ser menor que 20 MPa.
Al usar hormigón de agregado liviano, f'c no debe ser mayor que 35 MPa, excepto en el caso que, por medio de
ensayos, se demuestre que el hormigón de agregado liviano proporcione resistencia y tenacidad iguales o mayores
a las del hormigón de agregado normal.
La armadura que resiste esfuerzos axiales y de flexión provocados por cargas sísmicas, en elementos de marcos y
estructuras de muros, debe cumplir con las disposiciones de ASTM A 706M. Con lo anterior, se permite el uso de
aceros A44-28H y A63-42H, siempre y cuando:
(1) fy real ≤ fy + 120 MPa
Además, los reensayos no deben exceder fy + 140 MPa; donde:
fy real : es la resistencia real a la fluencia, basada en ensayos de fábrica.
fy : es la resistencia a la fluencia especificada.
(2) fu real ≥ 1,25fy real
Donde:
fu real : es la tensión última real de tracción.
92
8.2 ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIÓN
Los elementos sometidos a flexión deben cumplir con las siguientes condiciones:
(1) Pu ≤ Ag f’c
10
(2) llibre ≥ 4
d
(3) b
≥ 0,3
h
(4) b ≥ 250 mm
(5) b ≤ al ancho de elemento de apoyo + 34h (a cada lado)
8.2.1 Armadura Longitudinal
La cuantía de acero longitudinal debe ser mayor o igual a:
rmin = f’c ≥
1,4[8-1]
4fy fy
La cuantía máxima es, rmax = 0,025
La armadura longitudinal, debe estar compuesta a lo menos por 2 barras, tanto en la armadura superior como inferior,
a lo largo de todo el elemento.
La resistencia a momento positivo en la cara del nudo (Mn+), no debe ser menor que la mitad de la resistencia a
momento negativo en esa misma cara. Además, la capacidad a flexión tanto positiva como negativa a lo largo de
todo el elemento, no debe ser menor que la cuarta parte de la resistencia máxima al momento existente en la cara
de cualquiera de los nudos.
Los traslapos deben cumplir con las siguientes condiciones:
(1) No deben usarse traslapos en los nudos, ni dentro de una zona limitada por dos veces la altura útil desde la
cara de la columna, ni tampoco usarse en otras zonas posibles de plastificarse
(2) El espaciamiento máximo de los cercos que confina las barras traslapadas, no debe ser mayor que d/4 ó
100 mm
Capítulo 8: Diseño Sísmico
93
8.2.2 Armadura Transversal
La armadura transversal debe estar dispuesta tal como lo señala la figura 8-1. En la figura 8-2, se dan dos ejemplos
de cercos traslapados.
Figura 8-1
Disposición de la Armadura Transversal
Figura 8-2
Ejemplos de Cercos Traslapados
50mm
COLUMNA
d/4
8db (barra longitudinal)
24db (barra del cerco)
300 mm
s ≤
En esta zona s ≤ d/2
Pueden usarseestribos abiertos
Sólo cercos
2h
Las trabas consecutivas que enlazan lamisma barra longitudinal deben tener susganchos de 90º en lados opuestos.
Ganchos a 135ºExtensión de 6db (≥ 75 mm)
Gancho a 90ºExtensión de 6db (≥ 75 mm)
Detalle A Detalle B Detalle C
A A C C
B
h
94
8.3 ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXOCOMPRESIÓN
Los elementos de marco, que están sometidos a flexocompresión, deben cumplir con las siguientes condiciones:
(1) Pu ≥ Ag f’c10
(2) la dimensión mínima de la sección transversal no debe ser menor que 300 mm.
(3)dimensión mínima
≥ 0,4dimensión perpendicular
(4) Para asegurar el comportamiento de viga débil-columna fuerte, se exige que:
SMc ≥ 6
SMg [8-2]5
Donde:
SMc : suma de las resistencias nominales a la flexión de las columnas que convergen en el nudo.
SMg : suma de las resistencias nominales a la flexión de las vigas que convergen en el nudo.
8.3.1 Armadura Longitudinal
La cuantía total de acero longitudinal, rg, debe cumplir con:
0,01 ≤ rg ≤ 0,06
Los traslapos sólo pueden colocarse a media altura de la columna y deben dimensionarse como traslapes de tracción.
8.3.2 Armadura Transversal
Se define como zonas críticas a aquellas que están arriba y debajo de los nudos, desde la cara del nudo hasta una
longitud l0 dada por:
l0 = max altura h; 1
luz libre; 450mm [8-3]6
Se debe colocar a lo menos armadura transversal mínima de confinamiento, a menos que se necesite una mayor
cantidad, en zonas críticas y en cualquier otra zona donde sea esperable una rótula plástica.
{ }
Capítulo 8: Diseño Sísmico
95
Figura 8-3
Armadura Transversal en Zonas Críticas
l0s
l0
El espaciamiento s, debe cumplir con:14 dimensión menor
s ≤ min 6 db (barra longitudinal)
sx
sx = 100 + 350 - hx [mm] [8-4]
3
Donde:
hx : espaciamiento máximo horizontal de cercos o
ramas de amarras en todas las caras de la columna
Además, sx debe cumplir con: 100 mm ≤ sx ≤ 150 mm.
Fuera de la zona crítica el espaciamiento, s no debe
exceder 6 db ni 150 mm.
{
La armadura transversal mínima, está dada por:
0,3 s * hc f’c Ag - 1
Ash ≥ maxfyh Ach [8-5]
0,09 s * hc f’cfyh
Donde:
Ash : es el área total de armadura transversal (incluyendo trabas) dentro del espaciamiento "s" y perpendicular a la
dimensión hc
hc : dimensión transversal del núcleo de la columna, medida centro a centro de la armadura de confinamiento
Ach : área de la sección transversal de un elemento estructural, medida entre los bordes exteriores de la armadura
transversal
fyh : tensión de fluencia de la armadura transversal
{ ( )
96
Figura 8-4
Armadura Mínima de Confinamiento
Las trabas consecutivas queenlazan la misma barralongitudinal deben tener susganchos de 90º en ladosopuestos de la columna.
Ganchos a 135ºExtensión 6db (≥ 75 mm) Ganchos a 90º
Extensión de 6db
X
X
X X X
En el caso de no cumplirse la condición de la expresión [8-2], las columnas deben tener armadura mínima de
confinamiento en las zonas críticas; pero no deben ser considerados como elementos que aporten resistencia lateral
a la estructura.
X no debe exceder de 350 mm
X = distancia entre centros de barras de cercos o trabas
Capítulo 8: Diseño Sísmico
97
8.4 DISEÑO POR CAPACIDAD.
La armadura transversal se debe diseñar para un esfuerzo de corte Ve señalado en las secciones 8.4.1 y 8.4.2 y
despreciando la resistencia al corte proporcionada por el hormigón (Vc = 0), cuando en un elemento de marco se
produzcan simultáneamente las siguientes condiciones:
(1) Ve ≥ 1
resistencia máxima requerida por corte.2
(2) Pu < Ag f’c; donde Pu incluye el efecto sísmico.
20
NOTA: Ve no debe ser nunca menor que el requerido por el análisis estructural.
8.4.1 Vigas
Ve = Mpr1 + Mpr2 ±
wu ln [8-6]ln 2
Donde:
Mpr1 y Mpr2 : son los momentos máximos probables para cada extremo del elemento, respectivamente
ln : es la luz libre del elemento horizontal (viga)
wu : es la carga mayorada uniformemente distribuida, debido a cargas gravitacionales de diseño
Mpr = 1,25 As fy * d - a
[8-7]2
(1) Para efectos prácticos, d - a2 < 0,9d
(2) Mpr1 y Mpr2 deben ser calculados, ambos, tanto en el sentido de las manecillas del reloj como a la inversa
8.4.2 Columnas
Ve = Mpr1 + Mpr2 [8-8]
lu
Donde:
Mpr1 y Mpr2 : son las capacidades a flexión del elemento en cada extremo, respectivamente
lu : es la luz libre del elemento vertical (columna)
( )
( )
98
Figura 8-5
Momentos Máximos Probables en Vigas y Capacidades a Flexión en Columnas
lu
ln
VIGAS
Mpr1 Mpr2
Wu
Ve
COLUMNAS
Ve
Mpr2
Mpr1
Pu
Pu
Capítulo 8: Diseño Sísmico
99
8.4.3 Unión Viga-Columna
La fuerza de corte Vu, que actúa sobre el nudo, debe calcularse en un plano horizontal a la mitad de la altura de la
unión viga-columna, sumando las fuerzas horizontales que actúan en el nudo.
Figura 8-6
Elevación Unión Viga-Columna
Figura 8-7
Elevación Nudo
lc2
V3
V4
M1M2
lc2
V4
V3
T2
T1
aa
C2
C1
Para efectos prácticos:
T1 = A’s * 1,25 fy [8-9]
T2 = As * 1,25 fy [8-10]
M1 = T1 * 0,9 d [8-11]
M2 = T2 * 0,9 d [8-12]
Considerando que la columna alcanza sus puntos de inflexión en la mitad de su altura, obtenemos de la figura 8-6:
V3 = V4 = M1 + M2 [8-13]
lc
Considerando que: C1 = T1 y C2 = T2
100
El corte Vu en la sección a-a, de la figura 8-7, está dado por:
Vu = T1 + T2 - M1 + M2 [8-14]
lc
La condición de diseño es: Vu ≤ fVn; donde f= 0,85 y Vn queda dado por la expresión [8-15].
Vn = g f’c * bj h [8-15]
Donde:
g : es un factor que depende del confinamiento del nudo, proporcionado por las vigas que concurren a él
bj : es el ancho efectivo del nudo (ver figura 8-8)
h : es la dimensión de la columna paralela a la dirección de la carga que produce corte en el nudo
En la figura 8-8, se observan 3 condiciones que determinan el ancho efectivo del nudo.
(1) bj = bb + bc ≤ bb + h
2
(2) bj = bb + bc ≤ bb +
h
2 2
(3) bb = bc
El factor g de la expresión [8-15] es:
g = 1,7 ; para nudos confinados en las 4 caras.
g = 1,25 ; para nudos confinados en 3 caras o en 2 caras opuestas.
g = 1,0 ; para otros casos.
Se considera que una viga confina al nudo, si al menos 34 de la cara del nudo es cubierta por dicha viga.
Figura 8-8
Ancho Efectivo del Nudo
COLUMNA COLUMNA
bc
bb(3)
hCOLUMNA
bb
h
bb
Direcciónde la carga
Direcciónde la carga
Dirección de la carga
bc(2)
bc(1)
Capítulo 8: Diseño Sísmico
101
8.5 LONGITUD DE DESARROLLO DE BARRAS EN TRACCION.
8.5.1 Ganchos de 90º
La longitud de desarrollo ldh, para una barra con gancho estándar de 90º, para hormigón de peso normal está dado
por:
ldh =fy db ≤
8db [8-16]5,4 f’c 190 mm
La ecuación [8-16] es válida para barras entre f10 y f36.
Para hormigón con agregado liviano, ldh queda dado por:
ldh =1,25 fy db ≤
10db [8-17]5,4 f’c 190 mm
El gancho de 90º debe situarse dentro del núcleo confinado de una columna o elemento de borde.
8.5.2 Barras rectas
Al igual que para ganchos de 90º, las disposiciones para barras rectas son válidas sólo para barras entre f10 y
f36.
La longitud de desarrollo ld, para barras rectas, no debe ser menor que:
- 2,5 ldh; si el espesor de hormigón (colocado de una sola colada) debajo de la barra no excede de 300 mm.
- 3,5 ldh; si el espesor de hormigón (colocado de una sola colada) debajo de la barra excede de 300 mm.
Las barras rectas que terminan en un nudo deben pasar a través del núcleo confinado de una columna o elemento
de borde. Si la longitud ld se extiende más allá del volumen confinado de hormigón, entonces ld debe ser reemplazada
por ldm.
ldm = 1,6 (ld - ldc) + ldc [8-18]
Donde:
ldm : longitud de desarrollo requerida cuando la barra recta no está completamente embebida en hormigón confinado
ldc : longitud de la barra recta, embebida en hormigón confinado
{
{
102
8.6 ELEMENTOS DE BORDE PARA MUROS
Según la sección 21.7.6.2 del ACI 318-05, se indica que se deben usar elementos de borde en los muros, cuando
la siguiente condición no se cumpla:
c ≥lw
600 * du [8-19]
hw
Donde:
lw : longitud total del muro
hw : altura del muro
du : desplazamiento de diseño
c : es la profundidad de la línea neutra en la sección del muro
Donde además la cantidad duhw
no debe tomarse menor que 0,007. En general, para efectos prácticos podemos
considerar duhw
= 0,007.
Dado que la condición que aparece en la ecuación [8-19] es difícil de verificar, la sección 21.7.6.3 del ACI 318-05
propone usar elementos de borde cuando la tensión de compresión de la fibra extrema correspondiente a las fuerzas
mayoradas incluyendo sismo, sobrepase a 0,2 f'c. Además, indica que estos elementos de borde pueden descontinuarse
cuando la tensión de la fibra extrema en compresión sea menor a 0,15 f'c. Para dicha verificación, en el cálculo de
la tensión se deben considerar las propiedades de la sección bruta: Ig y Ag.
( )
Capítulo 9
Ejemplos
9.1 Diseño de Dintel (Viga con diseño sísmico)
9.2 Verificación de Unión Viga-Columna
9.3 Diseño de Muro con Elementos de Borde
9.1 DISEÑO DINTEL (VIGA CON DISEÑO SISMICO)
Hormigón H-40 f'c = 35 MPa; b1 = 0,81
Acero A63-42H
Dintel 70/52
Luz libre 3,14 m
Luz cálculo 3,40 m
Desarrollo:
a) Cálculo de Armadura Longitudinal
Se considerará d = 45 cm; y = 0 (caso flexión simple)
jlim = 0,4286
mlim = b1jlim 1 - b1jlim
= 0,81 * 0,4286 * (1 - 0,5 * 0,81 * 0,4286) = 0,28692
Uc = 0,85 f'c * b * d = 0,85 * 3500 * 0,7 * 0,45 = 937,1 T
1,4 (D + L + E) Mu (-) = 91,27 T-m
Meu = 91,27 T-m
-1º iteración: Supongamos que f = 0,9
m =Meu =
91,27= 0,2405 < 0,2869 (mlim)
fUc d 0,9 * 937,1 * 0,45
j =1 - 1 - 2m
=1 - 1 - 2 * 0,2405
= 0,3452 < 0,375b1 0,81
f = 0,9 (chequeado el valor de f, ver figura 2-1 del capítulo 2)
Capítulo 9: Ejemplos
105
( )
Momento Corte
(T-m) (T)
Cargas permanente (D) 7,74 9,99
Sobrecargas (L) 3,83 4,85
Sismo (E) 53,62 30,47
106
v = 1 - 1 - 2m = 1 - 1 - 2 * 0,2405 = 0,2796
As = v * Uc / fy = 0,2796 * 937,1
= 62,38 cm2 (armadura negativa requerida)4,2
-0,9 D + 1,4 E Mu (+) = 68,10 T
Meu = 68,10 T-m
-1º iteración: Supongamos que f = 0,9
m =68,10
= 0,1794 < 0,2869 (mlim)0,9 * 937,1 * 0,45
j = 1 - 1 - 2 * 0,1794
= 0,2460 < 0,375 f = 0,9 OK (idem al caso anterior)0,81
v = 1 - 1 - 2 * 0,1794 = 0,1993
As = v * Uc / fy = 0,1993 * 937,1
= 44,47 cm2 (armadura positiva requerida)4,2
6f32 + 2f32 [2ºC]
(64,34 cm2)
6f32
(48,25 cm2)
b) Cálculo de Armadura Transversal
Usando f = 0,6 y Vc = 0
Vu = 1,4 * (9,99 + 4,85 + 30,47) = 63,43 T
Vs = Vu / f = 63,43
= 105,72 T0,6
Av =105,72
= 55,94 cm2/m ETf12@12s 4,2 x 0,45
Diseño por Capacidad
ve = Mpr1 + Mpr2
+ wulu
ln 2
wu lu = 1,4 * ( 9,99 + 4,85) = 20,78 T; ya que corresponde al corte debido a cargas gravitacionales mayoradas
2
Mpr = 1,25 * As * fy * 0,9d
As (-) = 64,34 cm2 Mpr1 = 1,25 * 64,34 * 4,2 * 0,9 * 0,45 = 136,8 T-m
As (+) = 48,25 cm2 Mpr2 = 1,25 * 48,25 * 4,2 * 0,9 * 0,45 = 102,59 T-m
Ve = 136,8 + 102,59
+ 20,78 = 91,18 T3,4
Usando f = 0,75 y Vc = 0
Vs = Ve / f = 91,18
= 121,57 T0,75
Av = 121,57
= 64,32 cm2/m ETf12@10s 4,2 * 0,45
Finalmente obtenemos mayor armadura transversal, por el Diseño por Capacidad.
Capítulo 9: Ejemplos
107
108
9.2 VERIFICACION UNION VIGA-COLUMNA
Hormigón H-40 f'c = 35 MPa
Acero A63-42H
Viga 50/52 A's = 4f36 = 40,72 cm2
As = 4f25 + 2f25 [2ºC] = 29,45 cm2
Considerando d = 47 cm
Mpr = 1,25 * As * fy * 0,9d = 1,25 * 40,72 * 4,2 * 0,9 * 0,47 = 90,43 T - m
Columna 80/100 (6f32 + 6f25 = 77,71 cm2 rg = 0,0097 (<1%)
b = 80 cm ; h = 100 cm f'c * Ag = 3500 * 0,8 = 2.800 T
Para la columna tenemos los siguientes esfuerzos:
100
50
80
50
Momento Carga Axial
(T-m) (T)
Cargas permanente (D) 23,96 570
Sobrecargas (L) 9,10 169
Sismo (E) 22,90 35,4
1,4 (D + L + E) Pu, max = 1,4 * (570 + 169 + 35,4) = 1.084,2 T
Pu = 1.084,2
= 0,3872f'c Ag 2.800
0,9 D - 1,4 E Pu, min = 0,9 * 570 - 1,4 * 35,4 = 463,4 T
Pu = 463,4
= 0,1655f'c Ag 2.800
Para efectos de ábacos, consideraremos:
fy = 420 MPa; f'c = 35 MPa; g = 0,8 (altura útil relativa) y columnas con armadura perimetral
Usaremos el Diagrama de Interacción Pu - Mu B-020, con rg = 1%
conPu = 0,3872
Mu ≈ 0,075f'c Ag f'c Agh
conPu = 0,1655
Mu ≈ 0,1f'c Ag f'c Agh
Luego para la columna: Mpr = 0,1 * 2.800 * 1 = 280 T - m
Verificación de comportamiento de viga débil-columna fuerte
SMc ≥ 6
SMg5
SMc =2 * 280
= 3,1 > 1,2 (OK)SMg 2 * 90,43
T. Paulay recomienda el factor 2,5 en lugar de 65, lo cual también se cumple en este caso.
Capítulo 9: Ejemplos
109
Verificación de Corte en el Nudo.
La condición de diseño es: Vu ≤ fVn; con f = 0,85
Donde Vu = T1 + T2 - M1 + M2
lc
Consideraremos lc = 3 m
T1 = A’s * 1,25fy = 40,72 * 1,25 * 4,2 = 213,78 T
M1 = T1 * 0,9d = 231,78 * 0,9 * 0,47 = 90,4 T - m
T2 = As * 1,25fy = 29,45
M2 = T2 * 0,9d = 29,45 * 0,9 * 0,47 = 12,46 T - m
Vu = 213,78 + 29,45 - 90,4 + 12,46
= 208,94 T3
Y por otro lado, Vn = g f’c * bj h
g =1,7; para nudos confinados en las 4 caras, estamos en el caso (1) de la figura 8-8 del Capítulo 8.
bj = bb + bc ≤ bb + h = 50 + 100 = 150 cm
2
bj = bb + bc =
50 + 80 = 65 cm < 150 cm (OK)
2 2
Vn = 1,7 * 35 * 100 * 0,65 * 1 = 653,7 T
Vu = 208,94 T < 0,85 * 653,7 = 555,6 T (OK)
110
Capítulo 9: Ejemplos
111
9.3 DISEÑO DE MURO CON ELEMENTOS DE BORDE
Hormigón H-40 f'c = 35 MPa
Acero A63-42H
Los esfuerzos para el muro son:
500
25
Carga Axial Corte Momento
(T) (T) (T - m)
Cargas permanentes (D) 325
Sobrecargas (L) 175
Sismo (E) 70 150 1.800
Verificar si necesita o no elementos de borde.
Según la sección 21.7.6.3 del ACI 318-05, se debe usar elementos de borde confinados en muros cuando la tensión
extrema en compresión en el muro sobrepase a 0,2 f'c, y para el cálculo de tensión se deben tomar en cuenta las
fuerzas mayoradas y las propiedades de la sección bruta: Ag e Ig.
0,2 f'c = 0,2 * 3.500 = 700 T/m2
1,4 D + 1,4 L + 1,4 E Pu max = 1,4 * (325 + 175 + 70) = 798 T
Mu max = 1,4 * 1.800 = 2.520 T - m
0,9 D - 1,4 E Pu min = (0,9 * 325) - (1,4 * 70) = 194,5 T
Ag = 0,25 * 5 = 1,25 m2
Ig = 1
* 0,25 * 53 = 2,60 m412
s = 798
+ 2.520
= 1.608 T/m2 > 700 T/m2 se deben usar elementos de borde.1,25 2,60
Para los centroides de armadura de elementos de borde, se considerará una altura útil relativa de g = 0,9
Diseño a Flexión.
Armadura de repartición rw = 0,0025 DMV f8@16
f'c * Ag = 3.500 * 5 * 0,25 = 4.375 T
Usaremos el Diagrama H-75
Mu=
2.520= 0,1152
f'c * Ag * h 4.375 * 5
conPu =
798= 0,1824 r = 3,2%
f'c * Ag 4.375
conPu =
194,5= 0,0445 r = 6,7% (83,75 cm2)
f'c * Ag 4.375
Diseño a Corte.
f = 0,6
d = 475 cm
Vu = 1,4 * 150 = 210 T Vu / f = 350 T
Vc = 108,4 T
Vs = 241,6 T Av / s = 12,11 cm2/m
112
gL = 0,9 * 500 = 450
50 50400
10f32DMVf8@16
DMHf10@13
Ef8@13 Ef10@13
Para otros ejemplos, consultar el Anexo 1, página 277.
Ef10@13
22
45
Ef8@13
22
30
Apéndice 1
Diagramas de Interacción Pu-Mu
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
115
INDICE DIAGRAMAS DE INTERACCION Pu - Mu
A. Columnas Armadura Bordes Extremos fy = 420 MPa
001 f'c = 20 MPa g = 0,8
002 f'c = 25 MPa g = 0,8
003 f'c = 30 MPa g = 0,8
004 f'c = 35 MPa g = 0,8
005 f'c = 40 MPa g = 0,8
006 f'c = 45 MPa g = 0,8
007 f'c = 50 MPa g = 0,8
008 f'c = 55 MPa g = 0,8
009 f'c = 20 MPa g = 0,9
010 f'c = 25 MPa g = 0,9
011 f'c = 30 MPa g = 0,9
012 f'c = 35 MPa g = 0,9
013 f'c = 40 MPa g = 0,9
014 f'c = 45 MPa g = 0,9
015 f'c = 50 MPa g = 0,9
016 f'c = 55 MPa g = 0,9
B.Columnas Armadura Perimetral fy = 420 MPa
017 f'c = 20 MPa g = 0,8
018 f'c = 25 MPa g = 0,8
019 f'c = 30 MPa g = 0,8
020 f'c = 35 MPa g = 0,8
021 f'c = 40 MPa g = 0,8
022 f'c = 45 MPa g = 0,8
023 f'c = 50 MPa g = 0,8
024 f'c = 55 MPa g = 0,8
025 f'c = 20 MPa g = 0,9
026 f'c = 25 MPa g = 0,9
027 f'c = 30 MPa g = 0,9
028 f'c = 35 MPa g = 0,9
029 f'c = 40 MPa g = 0,9
030 f'c = 45 MPa g = 0,9
031 f'c = 50 MPa g = 0,9
032 f'c = 55 MPa g = 0,9
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
Mu
Mu
116
C.Columnas Armadura Lateral fy = 420 MPa
033 f'c = 20 MPa g = 0,8
034 f'c = 25 MPa g = 0,8
035 f'c = 30 MPa g = 0,8
036 f'c = 35 MPa g = 0,8
037 f'c = 20 MPa g = 0,9
038 f'c = 25 MPa g = 0,9
039 f'c = 30 MPa g = 0,9
040 f'c = 35 MPa g = 0,9
D.Columnas Armadura Bordes Extremos fy = 280 MPa
041 f'c = 20 MPa g = 0,8
042 f'c = 25 MPa g = 0,8
043 f'c = 30 MPa g = 0,8
044 f'c = 35 MPa g = 0,8
045 f'c = 20 MPa g = 0,9
046 f'c = 25 MPa g = 0,9
047 f'c = 30 MPa g = 0,9
048 f'c = 35 MPa g = 0,9
E. Columnas Armadura Perimetral fy = 280 MPa
049 f'c = 20 MPa g = 0,8
050 f'c = 25 MPa g = 0,8
051 f'c = 30 MPa g = 0,8
052 f'c = 35 MPa g = 0,8
053 f'c = 20 MPa g = 0,9
054 f'c = 25 MPa g = 0,9
055 f'c = 30 MPa g = 0,9
056 f'c = 35 MPa g = 0,9
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
Mu
Mu
Mu
F. Columnas Armadura Lateral fy = 280 MPa
057 f'c = 20 MPa g = 0,8
058 f'c = 25 MPa g = 0,8
059 f'c = 30 MPa g = 0,8
060 f'c = 35 MPa g = 0,8
061 f'c = 20 MPa g = 0,9
062 f'c = 25 MPa g = 0,9
063 f'c = 30 MPa g = 0,9
064 f'c = 35 MPa g = 0,9
G.Muros Armadura Uniformemente Distribuida fy = 420 MPa
065 f'c = 20 MPa g = 1,0
066 f'c = 25 MPa g = 1,0
067 f'c = 30 MPa g = 1,0
068 f'c = 35 MPa g = 1,0
069 f'c = 40 MPa g = 1,0
070 f'c = 45 MPa g = 1,0
071 f'c = 50 MPa g = 1,0
072 f'c = 55 MPa g = 1,0
H.Muros con Elementos de Borde rw= 0,0025 fy = 420 MPa
073 f'c = 20 MPa g = 0,9
074 f'c = 25 MPa g = 0,9
075 f'c = 30 MPa g = 0,9
076 f'c = 35 MPa g = 0,9
077 f'c = 40 MPa g = 0,9
078 f'c = 45 MPa g = 0,9
079 f'c = 50 MPa g = 0,9
080 f'c = 55 MPa g = 0,9
081 f'c = 20 MPa g = 0,8
082 f'c = 25 MPa g = 0,8
083 f'c = 30 MPa g = 0,8
084 f'c = 35 MPa g = 0,8
085 f'c = 40 MPa g = 0,8
086 f'c = 45 MPa g = 0,8
087 f'c = 50 MPa g = 0,8
088 f'c = 55 MPa g = 0,8
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
117
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
Mu
Mu
Mu
118
I. Muros con Elementos de Borde rw= 0,0050 fy = 420 MPa
089 f'c = 20 MPa g = 0,9
090 f'c = 25 MPa g = 0,9
091 f'c = 30 MPa g = 0,9
092 f'c = 35 MPa g = 0,9
093 f'c = 40 MPa g = 0,9
094 f'c = 45 MPa g = 0,9
095 f'c = 50 MPa g = 0,9
096 f'c = 55 MPa g = 0,9
097 f'c = 20 MPa g = 0,8
098 f'c = 25 MPa g = 0,8
099 f'c = 30 MPa g = 0,8
100 f'c = 35 MPa g = 0,8
101 f'c = 40 MPa g = 0,8
102 f'c = 45 MPa g = 0,8
103 f'c = 50 MPa g = 0,8
104 f'c = 55 MPa g = 0,8
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
Mu
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
119
A-0
01 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Col
umna
s Ar
mad
ura
en B
orde
s Ex
trem
os
f’ c=
20 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8
1,4
1,2 1
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
30,
40,
50,
60,
7
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
120
A-0
02 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Col
umna
s Ar
mad
ura
en B
orde
s Ex
trem
os
f’ c=
25 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8
1,2 1
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
30,
40,
50,
60,
7
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
121
A-0
03 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Col
umna
s Ar
mad
ura
en B
orde
s Ex
trem
os
f’ c=
30 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8
1,2 1
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
30,
40,
50,
6
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
122
A-0
04 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Col
umna
s Ar
mad
ura
en B
orde
s Ex
trem
os
f’ c=
35 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8
1
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
30,
40,
5
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
123
A-0
05 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Col
umna
s Ar
mad
ura
en B
orde
s Ex
trem
os
f’ c=
40 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8
1
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
30,
4
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
124
A-0
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00,
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133
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Pu / (f’c * Ag)
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Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
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Pu / (f’c * Ag)
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=42
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Pu / (f’c * Ag)
00,
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55 M
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=42
0 M
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Pu / (f’c * Ag)
00,
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=42
0 M
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=0,
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Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
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Paf y
=42
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=0,
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Pu / (f’c * Ag)
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Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
145
B-0
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=42
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Pu / (f’c * Ag)
00,
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=0,
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
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A g *
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0 M
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Pu / (f’c * Ag)
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Pu / (f’c * Ag)
00,
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Paf y
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0 M
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0,8
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
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20,
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Mu
/ (f’
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A g *
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Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
153
C-0
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iagr
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n Pu
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Col
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s Ar
mad
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Late
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30 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
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0,6
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
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n Pu
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Col
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s Ar
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Late
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35 M
Paf y
=42
0 M
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=0,
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
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Mu
/ (f’
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1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
155
C-0
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n Pu
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Col
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s Ar
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Paf y
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0 M
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0,6
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
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4
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/ (f’
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Pu / (f’c * Ag)
00,
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/ (f’
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A g *
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0,3
1,2 1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
157
C-0
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n Pu
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Col
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Late
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30 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9
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0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
1
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C-0
40 D
iagr
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de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Col
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s Ar
mad
ura
Late
ral
f’ c=
35 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9
1,2
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
159
D-0
41 D
iagr
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de In
tera
cció
n Pu
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Col
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s Ar
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en B
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s Ex
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f’ c=
20 M
Paf y
=28
0 M
Pag
=0,
8
1,2 1
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
6
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,3
0,4
0,5
160
D-0
42 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Col
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s Ar
mad
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en B
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s Ex
trem
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f’ c=
25 M
Paf y
=28
0 M
Pag
=0,
8
1
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
0
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,1
0,2
0,5
0,3
0,4
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
161
D-0
43 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Col
umna
s Ar
mad
ura
en B
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f’ c=
30 M
Paf y
=28
0 M
Pag
=0,
8
1
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
5
Mu
/ (f’
c *
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0,3
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00,
10,
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/ (f’
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0,3
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
163
D-0
45 D
iagr
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de In
tera
cció
n Pu
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Col
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s Ar
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en B
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9
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10,
20,
30,
6
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/ (f’
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1
0,5
0,4
164
D-0
46 D
iagr
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de In
tera
cció
n Pu
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Col
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s Ar
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en B
orde
s Ex
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Paf y
=28
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9
1
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
5
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/ (f’
c *
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h)
0,3
0,4
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
165
D-0
47 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
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Col
umna
s Ar
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en B
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30 M
Paf y
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9
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
5
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/ (f’
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D-0
48 D
iagr
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de In
tera
cció
n Pu
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Col
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en B
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f’ c=
35 M
Paf y
=28
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9
1
0,8
0,6
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
5
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/ (f’
c *
A g *
h)
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Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
167
E-04
9 D
iagr
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de In
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cció
n Pu
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Col
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s Ar
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Perim
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l
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20 M
Paf y
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Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
4
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/ (f’
c *
A g *
h)
0,3
168
E-05
0 D
iagr
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de In
tera
cció
n Pu
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Col
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s Ar
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Perim
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l
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25 M
Paf y
=28
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8
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
0
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,1
0,2
0,4
0,3
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
169
E-05
1 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
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Col
umna
s Ar
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ura
Perim
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l
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30 M
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8
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Pu / (f’c * Ag)
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10,
20,
4
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/ (f’
c *
A g *
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0,3
170
E-05
2 D
iagr
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cció
n Pu
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Col
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s Ar
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ura
Perim
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l
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35 M
Paf y
=28
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8
1
0,8
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
4
Mu
/ (f’
c *
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h)
0,3
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
171
E-05
3 D
iagr
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de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Col
umna
s Ar
mad
ura
Perim
etra
l
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20 M
Paf y
=28
0 M
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=0,
9
1,2
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
30,
5
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
1
0,4
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E-05
4 D
iagr
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de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Col
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s Ar
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Perim
etra
l
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25 M
Paf y
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Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
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Mu
/ (f’
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0,3
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
173
E-05
5 D
iagr
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de In
tera
cció
n Pu
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Col
umna
s Ar
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Perim
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l
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30 M
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9
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
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4
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A g *
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0,3
174
E-05
6 D
iagr
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de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Col
umna
s Ar
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ura
Perim
etra
l
f’ c=
35 M
Paf y
=28
0 M
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0,8
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
4
Mu
/ (f’
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0,3
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
175
F-05
7 D
iagr
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de In
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cció
n Pu
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Col
umna
s Ar
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Late
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20 M
Paf y
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Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
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Mu
/ (f’
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A g *
h)
176
F-05
8 D
iagr
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de In
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cció
n Pu
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Col
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s Ar
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ura
Late
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f’ c=
25 M
Paf y
=28
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8
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0,8
0,6
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
0
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,1
0,2
0,3
1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
177
F-05
9 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Col
umna
s Ar
mad
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Late
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f’ c=
30 M
Paf y
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8
1
0,8
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
178
F-06
0 D
iagr
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de In
tera
cció
n Pu
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s Ar
mad
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Late
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f’ c=
35 M
Paf y
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8
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0,8
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Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
179
F-06
1 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Col
umna
s Ar
mad
ura
Late
ral
f’ c=
20 M
Paf y
=28
0 M
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=0,
9
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0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
1
180
F-06
2 D
iagr
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de In
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cció
n Pu
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s Ar
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Late
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f’ c=
25 M
Paf y
=28
0 M
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9
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0,8
0,6
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
181
F-06
3 D
iagr
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de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Col
umna
s Ar
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Late
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f’ c=
30 M
Paf y
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9
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0,8
0,6
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
182
F-06
4 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
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Col
umna
s Ar
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ura
Late
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f’ c=
35 M
Paf y
=28
0 M
Pag
=0,
9
1
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
183
G-0
65 D
iagr
ama
de In
tera
cció
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Mur
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Pu / (f’c * Ag)
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Mu
/ (f’
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G-0
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iagr
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tera
cció
n Pu
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Mur
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da
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25 M
Paf y
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0,8
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Pu / (f’c * Ag)
0
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,1
0,2
0,5
1
1,2
1,4
0,4
0,3
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
185
G-0
67 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
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Uni
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da
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Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
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Mu
/ (f’
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1
1,2
0,3
186
G-0
68 D
iagr
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cció
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35 M
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Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
4
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
1
0,3
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
187
G-0
69 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
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Uni
form
emen
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40 M
Paf y
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0,8
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0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
4
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
1
0,3
188
G-0
70 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
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Mur
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45 M
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Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
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1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
189
G-0
71 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os A
rmad
ura
Uni
form
emen
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ibui
da
f’ c=
50 M
Paf y
=42
0 M
Pa
1,2
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
1
190
G-0
72 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
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ura
Uni
form
emen
te D
istr
ibui
da
f’ c=
55 M
Paf y
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0 M
Pa
1,2
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
191
H-0
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iagr
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de In
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n Pu
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Mur
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9
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0,7
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,5
0,3
0,1
192
H-0
74 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
25 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
0
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,1
0,2
0,3
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
193
H-0
75 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
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1%
f’ c=
30 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,8
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
194
H-0
76 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
35 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
2
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,8
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
195
H-0
77 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
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1%
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40 M
Paf y
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0 M
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9
Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,8
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
196
H-0
78 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
45 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
197
H-0
79 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
50 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9
Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
198
H-0
80 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
55 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
199
H-0
81 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
20 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8
0,9
0,8
0,7
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,5
0,3
0,1
200
H-0
82 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
25 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
0
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,1
0,2
0,3
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
201
H-0
83 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
30 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,8
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
202
H-0
84 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
35 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
2
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,8
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
203
H-0
85 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
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r=
1%
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40 M
Paf y
=42
0 M
Pag
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8
Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
204
H-0
86 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
45 M
Paf y
=42
0 M
Pag
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8Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
205
H-0
87 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
50 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8
Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
206
H-0
88 D
iagr
ama
de In
tera
cció
n Pu
-Mu
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
55 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
207
I-089
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
20 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9
0,9
0,8
0,7
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,5
0,3
0,1
208
I-090
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
25 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
0
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,1
0,2
0,3
0,7
0,5
0,3
0,1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
209
I-091
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
30 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
2
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
1
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
0,9
0,8
210
I-092
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
35 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
2
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
1
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
0,9
0,8
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
211
I-093
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
40 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9
Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,8
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
212
I-094
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
45 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
213
I-095
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
50 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9
Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
214
I-096
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
55 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
9Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
215
I-097
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
20 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8
0,9
0,8
0,7
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
20,
3
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,5
0,3
0,1
216
I-098
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
25 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8
0,8
0,6
0,4
0,2 0
Pu / (f’c * Ag)
0
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,1
0,2
0,3
0,7
0,5
0,3
0,1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
217
I-099
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
30 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8
Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
2
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
1
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
0,8
0,9
218
I-100
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
35 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8Pu / (f’c * Ag)
00,
10,
2
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
0,8
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
219
I-101
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
40 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8
Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
220
I-102
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
45 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
Apéndice 1: Diagramas de Interacción Pu-Mu
221
I-103
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
50 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8
Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
222
I-104
Dia
gram
a de
Inte
racc
ión
Pu-M
u
Mur
os c
on E
lem
ento
s de
Bor
de; D
r=
1%
f’ c=
55 M
Paf y
=42
0 M
Pag
=0,
8Pu / (f’c * Ag)
Mu
/ (f’
c *
A g *
h)
00,
10,
2
0,7
0,6
0,4
0,2 0
0,5
0,3
0,1
Apéndice 2
Diagramas de Flexión Biaxial
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
225
DIAGRAMAS DE FLEXION BIAXIAL
J. Rosetas para Columnas con 8 barras fy = 420 MPa
105 f'c = 20 MPa g = 0,8
106 f'c = 25 MPa g = 0,8
107 f'c = 30 MPa g = 0,8
108 f'c = 35 MPa g = 0,8
109 f'c = 40 MPa g = 0,8
110 f'c = 45 MPa g = 0,8
111 f'c = 50 MPa g = 0,8
112 f'c = 55 MPa g = 0,8
113 f'c = 20 MPa g = 0,9
114 f'c = 25 MPa g = 0,9
115 f'c = 30 MPa g = 0,9
116 f'c = 35 MPa g = 0,9
117 f'c = 40 MPa g = 0,9
118 f'c = 45 MPa g = 0,9
119 f'c = 50 MPa g = 0,9
120 f'c = 55 MPa g = 0,9
K.Rosetas para Columnas con Armadura Perimetral fy = 420 MPa
121 f'c = 20 MPa g = 0,8
122 f'c = 25 MPa g = 0,8
123 f'c = 30 MPa g = 0,8
124 f'c = 35 MPa g = 0,8
125 f'c = 40 MPa g = 0,8
126 f'c = 45 MPa g = 0,8
127 f'c = 50 MPa g = 0,8
128 f'c = 55 MPa g = 0,8
129 f'c = 20 MPa g = 0,9
130 f'c = 25 MPa g = 0,9
131 f'c = 30 MPa g = 0,9
132 f'c = 35 MPa g = 0,9
133 f'c = 40 MPa g = 0,9
134 f'c = 45 MPa g = 0,9
135 f'c = 50 MPa g = 0,9
136 f'c = 55 MPa g = 0,9
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
Mb
Mh
Mb
Mh
226
L. Rosetas para Columnas con 8 barras fy = 280 MPa
137 f'c = 20 MPa g = 0,8
138 f'c = 25 MPa g = 0,8
139 f'c = 30 MPa g = 0,8
140 f'c = 35 MPa g = 0,8
141 f'c = 20 MPa g = 0,9
142 f'c = 25 MPa g = 0,9
143 f'c = 30 MPa g = 0,9
144 f'c = 35 MPa g = 0,9
M. Rosetas para Columnas con Armadura Perimetral fy = 280 MPa
145 f'c = 20 MPa g = 0,8
146 f'c = 25 MPa g = 0,8
147 f'c = 30 MPa g = 0,8
148 f'c = 35 MPa g = 0,8
149 f'c = 20 MPa g = 0,9
150 f'c = 25 MPa g = 0,9
151 f'c = 30 MPa g = 0,9
152 f'c = 35 MPa g = 0,9
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
Mb
Mh
Mb
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
227
J-105 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 20 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
228
J-106 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 25 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
229
J-107 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 30 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
230
J-108 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 35 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
231
J-109 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 40 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
232
J-110 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 45 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
233
J-111 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 50 MPafy = 420 MPag = 0,8
b
Mb
ghh
gb
b
Mh
234
J-112 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 55 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
my
my
mx
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2
mx
12
12
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
1010
12 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
235
J-113 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 20 MPafy = 420 MPag = 0,9
Mb
ghh
gb
b
Mh
236
J-114 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 25 MPafy = 420 MPag = 0,9
Mb
ghh
gb
b
Mh
my
my
mx
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
237
J-115 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 30 MPafy = 420 MPag = 0,9
Mb
ghh
gb
b
Mh
my
my
mx
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
238
J-116 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 35 MPafy = 420 MPag = 0,9
Mb
ghh
gb
b
Mh
my
my
mx
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
239
J-117 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 40 MPafy = 420 MPag = 0,9
Mb
ghh
gb
b
Mh
my
my
mx
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
240
J-118 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 45 MPafy = 420 MPag = 0,9
Mb
ghh
gb
b
Mh
my
my
mx
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
241
J-119 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 50 MPafy = 420 MPag = 0,9
Mb
ghh
gb
b
Mh
my
my
mx
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
242
J-120 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 55 MPafy = 420 MPag = 0,9
Mb
ghh
gb
b
Mh
my
my
mx
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
12 mx 2 4 6 8 128 6 4 2 1010
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
243
K-121 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 20 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
244
K-122 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 25 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
245
K-123 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 30 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
246
K-124 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 35 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
247
K-125 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 40 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
248
K-126 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 45 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
249
K-127 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 50 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
250
K-128 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 55 MPafy = 420 MPag = 0,8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
251
K-129 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 20 MPafy = 420 MPag = 0,9
Mb
ghh
gb
b
Mh
252
K-130 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 25 MPafy = 420 MPag = 0,9
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
253
K-131 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 30 MPafy = 420 MPag = 0,9
Mb
ghh
gb
b
Mh
254
K-132 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 2
f’c = 35 MPafy = 420 MPag = 0,9
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
255
K-133 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
f’c = 40 MPafy = 420 MPag = 0,9
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 212 12
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 212 12
12
12
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
Mb
ghh
gb
b
Mh
256
K-134 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
f’c = 45 MPafy = 420 MPag = 0,9
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 212 12
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 212 12
12
12
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
257
K-135 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
f’c = 50 MPafy = 420 MPag = 0,9
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 212 12
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 212 12
12
12
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
Mb
ghh
gb
b
Mh
258
K-136 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
my
my
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
f’c = 55 MPafy = 420 MPag = 0,9
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 212 12
10 mx 2 4 6 8 108 6 4 212 12
12
12
10
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
10
12
12
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
259
L-137 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
f’c = 20 MPafy = 280 MPag = 0,8
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
260
L-138 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
f’c = 25 MPafy = 280 MPag = 0,8
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
261
L-139 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
f’c = 30 MPafy = 280 MPag = 0,8
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
262
L-140 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
f’c = 35 MPafy = 280 MPag = 0,8
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
263
L-141 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
f’c = 20 MPafy = 280 MPag = 0,9
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
264
L-142 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
f’c = 25 MPafy = 280 MPag = 0,9
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
265
L-143 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
f’c = 30 MPafy = 280 MPag = 0,9
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
266
L-144 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas Armadas con 8 Barras; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
f’c = 35 MPafy = 280 MPag = 0,9
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
267
M-145 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 20 MPafy = 280 MPAg = 0,8
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
268
M-146 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 25 MPafy = 280 MPAg = 0,8
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
269
M-147 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 30 MPafy = 280 MPAg = 0,8
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
270
M-148 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 35 MPafy = 280 MPAg = 0,8
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
271
M-149 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 20 MPafy = 280 MPAg = 0,9
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
272
M-150 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 25 MPafy = 280 MPAg = 0,9
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Apéndice 2: Diagramas de Flexión Biaxial
273
M-151 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 30 MPafy = 280 MPAg = 0,9
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
274
M-152 Diagrama de Flexión Biaxial
Columnas con Armadura Perimetral; Drg = 1%
Ag = b * h
rg = As/Ag
mh = Mh / (Ag * h) [MPa]
mb = Mb / (Ag * b) [MPa]
y = Pu / Ag [MPa]
mx = Max {mh, mb}
my = Min {mh, mb}
f’c = 35 MPafy = 280 MPAg = 0,9
my
my
my
my
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
mx 2 4 6 88 6 4 2
mx 2 4 6 88 6 4 2
8
6
4
2
mx
2
4
6
8
Mb
ghh
gb
b
Mh
Anexo 1
Otros Ejemplos
Ejemplo 1 Diseñar a flexión la sección de la figura. Considerar hormigón H-30 (90%); acero A63-42H; 35% de
cargas vivas y 65% de cargas muertas
Los momentos de servicio son:
a) Ms = 15 T - m
b) Ms = 35 T - m
c) Ms = 50 T - m
De la tabla 2-1 obtenemos los factores de carga:
ACI 318-99 U = 1,4 D + 1,7 L = 1,4 * 0,65 + 1,7 * 0,35 = 1,505
ACI 318-05 U = 1,2 D + 1,6 L = 1,2 * 0,65 + 1,6 * 0,35 = 1,340
Hormigón: H-30 f'c = 25 MPa = 2.500 T/m2 ; b1 = 0,85
Acero: A63-42H fy = 420 MPa = 4,2 T/cm2
Uc = 0,85 f'c b d = 0,85 * 2.500 * 0,3 * 0,55 = 350,63 T
Con los datos que tenemos los valores de jlim y mlim son, respectivamente:
ACI 318-99 jlim = 0,4412 ; mlim = 0,3047
ACI 318-05 jlim = 0,4286 ; mlim = 0,2979
a) Ms = 15 T-m
Según ACI 318-99
Mu = 1,505 * 15 = 22,58 T - m
f = 0,9
m = 22,58
= 0,1301 < mlim = 0,30470,9 * 350,63 * 0,55
A's = 0 (según el cálculo no requiere armadura a compresión para compensar el momento).
v = 1 - 1 - 2 * 0,1301 = 0,1399
v =As fy As =
0,1399 * 350,63 = 11,68 cm2
Uc 4,2
Anexos
277
55
30
60
278
As min = f'c bw d ≥
1,4 bw d
4 fy fy
1,4 bw d =
1,4 * 30 * 55 = 5,5 cm2
fy 420
f'c bw d = 30 * 55 * 25
= 4,91 cm2 < 5,5 cm2 As min = 5,5 cm24fy 4 * 420
As proporcionado = 1,33 * As requerida = 1,33 * 11,68 = 15,53 cm2
As debe ser mayor o igual que el mínimo entre 5,50 cm2 y 15,53 cm2.
As = 11,68 cm2 > 5,5 cm2 OK
(2f28 = 12,32 cm2)
Según ACI 318-05
Mu = 1,340 * 15 = 20,1 T - m
• 1ª iteración
Sea j = jlim = 0,4286
f =
0,25+ 0,233 = 0,816
0,4286
m = 20,1
= 0,1277 < mlim = 0,29790,816 * 350,63 * 0,55
j =1 - 1 - 2m =
1 - 1 - 2 * 0,1277 = 0,1613
b1 0,85
• 2ª iteración
Sea j = 0,1613
f =
0,25+ 0,233 = 1,783 > 0,9 f = 0,9
0,1613
m = 20,1
= 0,1158 < mlim = 0,29790,9 * 350,63 * 0,55
j = 1 - 1 - 2 * 0,1158
= 0,14520,85
• 3ª iteración
Sea j = 0,1452
f =
0,25+ 0,233 = 1,955 > 0,9 f = 0,9 OK
0,1452
Como se volvió al valor de f = 0,9, finalmente m = 0,1158 < mlim = 0,2979
A’s = 0
v = 1 - 1 - 2 * 0,1158 = 0,1234
As = 0,1234 * 350,63
= 10,30 cm2 > 5,5 cm2 OK (chequeo de armadura mínima)4,2
(2f28 = 12,32 cm2)
b) Ms = 35 T - m
Según ACI 318-99
Mu = 1,505 * 35 = 52,68 T - m
f = 0,9
m =52,68
= 0,3035 < mlim = 0,30470,9 * 350,63 * 0,55
A’s = 0
v = 1 - 1 - 2 * 0,3035 = 0,3731
As = 0,3731 * 350,63
= 31,15 cm24,2
(3f36 = 30,54 cm2)
Anexos
279
Según ACI 318-05
Mu = 1,340 * 35 = 46,9 T - m
• 1ª iteración
Sea j = jlim = 0,4286
f = 0,816
m = 46,9
= 0,2980 > mlim = 0,29790,816 * 350,63 * 0,55
j = jlim
d’ = 5/55 = 0,0909
v’ = m - mlim=
0,2980 - 0,2979 = 0,0001
1 - d’ 1 - 0,0909
b1 jlim = 0,85 * 0,4286 = 0,3643
v = b1 jlim + v’ = 0,3643 + 0,0001 = 0,3644
A’s = 0,0001 * 350,63
= 0,01 cm2 ¯ 04,2
As = 0,3644 * 350,63
= 30,42 cm24,2
(3f32 = 30,54 cm2)
c) Ms = 50 T - m
Según ACI 318-99
Mu = 1,505 * 50 = 75,25 T - m
f = 0,9
m = 75,25
= 0,4336 > mlim = 0,30470,9 * 350,63 * 0,55
v = m - mlim=
0,4336 - 0,3047 = 0,1418
1 - d’ 1 - 0,0909
280
Anexos
281
b1 jlim = 0,85 * 0,4412 = 0,3750
v = b1 jlim + v’ = 0,3750 + 0,1418 = 0,5168
A’s = 0,1418 * 350,63
= 11,84 cm2 (3f22 = 11,40 cm2)4,2
As = 0,5168 * 350,63
= 43,14 cm2 (se necesitará una 2ª Capa)4,2
(3f32 [1ºC] + 3f28 [2ºC] = 42,6 cm2
Recalcularemos la altura útil, para corregir la armadura
Según ACI 318 (secciones 7.6.1 y 7.6.2); el espaciamiento libre s entre barras longitudinales debe cumplir con:
- s ≥ max {db , 25 mm}; para barras paralelas de una misma capa.
- s ≥ 25 mm ; para barras de capas superiores que deben colocarse sobre las de capas inferiores.
Y bajo condiciones normales, el recubrimiento mínimo para la armadura transversal de vigas es de 20 mm.
3f28
3f32
h2
h1
h1 = rec + f10 (estribo) + 12 f32
= 2 + 1 +1,6 = 4,6 cm
h2 = 12 f32 + 2,5 + 12 f28
= 1,6 + 2,5 + 1,4 = 5,5 cm
282
Recalculemos la altura útil para corregir la armadura.
Arm. d' área d' x área
3f32 4,6 24,13 111,00
3f28 10,1 18,47 186,55
S - 42,6 297,55
d' = 297,55
= 7,0 cm dreal = 60 - 7 = 53 cm42,6
La corrección a realizar es la siguiente:
Arequerida = Acolocada * dsupuesto
dreal
Arequerida =
42,6 * 55 = 44,21 cm2
53
(3f32 [1º C] + 3f28 [2º C] = 42,6 cm2)
Chequeemos si se respeta la distancia libre entre barras de una misma capa:
s = 30 - (2 rec + 2Ef10 + 3f32)
= 30 - (2 * 2 + 2 * 1 + 3 * 3,2)
= 7,2 cm2 2
max {db, 25 mm} = 3,6 cm
s > 3,6 cm OK
Según ACI 318-05
Mu = 1,34 * 50 = 67 T - m
• 1ª iteración
Sea j = jlim = 0,4286
f = 0,816
m =67
= 0,4258 > mlim = 0,29790,816 * 350,63 * 0,55
j = jlim
d’ = 5/55 = 0,0909
v’ = m - mlim =
0,4258 - 0,2979 = 0,1407
1 - d’ 1 - 0,0909
b1 jlim = 0,85 * 0,4286 = 0,3643
v = b1 jlim + v’ = 0,3643 + 0,1407 = 0,505
A’s = 0,1407 * 350,63
= 11,75 cm24,2
As = 0,505 * 350,63
= 42,16 cm24,2
(3f32 [1ºC] + 3f28 [2ºC] = 42,6 cm2)
Ejemplo 2 Diseñar la siguiente viga T. Considerar:
Acero: A63-42H
Hormigón: H25
40 % cargas vivas
60 % cargas muertas
M(+)s = 60 T - m
Datos:
Acero: A63-42H fy = 420 MPa = 4,2 T/cm2
Hormigón: H25 f'c = 20 MPa = 2.000 T/m2 ; b1 = 0,85
40% cargas vivas
60% cargas muertas
Combinaciones estáticas :
ACI 318-99 U = 1,4 * 0,6 + 1,7 * 0,4 = 1,52
ACI 318-05 U = 1,2 * 0,6 + 1,6 * 0,4 = 1,36
M(+)s = 60 T - m
Como el momento es positivo, supondremos que se comporta como viga T y después verificaremos.
12
30
10
65
100
Anexos
283
ACI 318-99
Mu = 60 * 1,52 = 91,2 T - m
f = 0,9
jlim = 0,4412
Mlim = 0,85ff'c b1 jlim bwd2
1 - b1 jlim + hf
(b - bw) d -
hf
2 2
Mlim = 0,85 * 0,9 * 2.000 * 0,85 * 0,4412 * 0,3 * (0,55)2 1 - 0,85 * 0,4412
+ 0,12 * (1,0 - 0,3) 0,55 - 0,12
2 2
Mlim = 105,28 T - m
Mu < Mlim
A's = 0
Asf = 0,85 f'c hf (b - bw)
= 0,85 * 2.000 * 0,12 * (1,0 - 0,3)
= 34,0 cm2fy 4,2
Mn1 = Asf fy d - hf = 34,0 * 4,2 0,55 -
0,12 = 69,97 T - m
2 2
• 1ª iteración:
a = hf = 12 cm
Mn2 = Mu - Mn1 =
91,2 - 69,97 = 31,36 T - m
f 0,9
Mn2 = (As - Asf) fy d -
a (As - Asf) =
31,36= 15,23 cm2
24,2 0,55 -
0,12
2
a = (As - Asf) fy =
15,23 * 420 = 12,5 cm > hf OK, se comporta como T
0,85 f’c bw 0,85 * 20 * 30
• 2ª iteración:
a = 12,5 cm
(As - Asf) =31,36
= 15,32 cm2
4,2 0,55 - 0,125
2
284
( ) ( ) ][
[ ( )
( ) ( )
( )( )
( )
])(
Anexos
285
a =15,32 * 420
= 12,6 cm0,85 * 20 * 30
• 3ª iteración:
a = 12,6 cm
(As - Asf) =31,36
= 15,33 cm2
4,2 0,55 - 0,126
2
a =15,32 * 420
= 12,6 cm OK0,85 * 20 *30
Finalmente As - Asf = 15,33 cm2
Asf = 34,00 cm2
As = 15,33 + 34,00 = 49,33 cm2
(3f32 [1º C] + 3f32 [2º C] = 48,25 cm2)
ACI 318-05
Mu = 60 * 1,36 = 81,6 T - m
jlim = 0,4286 f (j = jlim) = 0,25
+ 0,233 = 0,8160,4286
Mlim = 0,85 * 0,816 * 2.000 * 0,85 * 0,4286 * 0,3 * (0,55)2 1 - 0,85 * 0,4286
+ 0,12 * (1,0 - 0,3) 0,55 - 0,12
2 2
Mlim = 94,61 T - m
Mu < Mlim
A's = 0
Asf = 0,85 f'c hf (b - bw)
= 0,85 * 2.000 * 0,12 * (1,0 - 0,3)
= 34,0 cm2fy 4,2
Mn1 = Asf fy d - hf = 34,0 * 4,2 0,55 -
0,12 = 69,97 T - m
2 2
( )
[ ( ) ])(
( ) ( )
• 1ª iteración:
a = hf = 12 cm c = 12/0,85 = 14,1 cm j = 14,1/55 = 0,256
f = 0,25/0,256 + 0,233 = 1,21 > 0,9 f = 0,9
Mn2 = Mu - Mn1 =
81,6 - 69,97 = 20,70 T - m
f 0,9
Mn2 = (As - Asf) fy d -
a (As - Asf) =
20,70= 10,06 cm2
24,2 0,55 -
0,12
2
a = (As - Asf) fy =
10,06 * 420 = 8,3 cm < hf0,85 f’c bw 0,85 * 20 * 30
• 2ª iteración:
a = 8,3 cm c = 8,3/0,85 = 9,8 cm j = 9,8/55 = 0,178
f = 0,25/0,178 + 0,233 = 1,64 > 0,9 f = 0,9 Mn2 = 20,72 T - m
a = 8,3 cm
(As - Asf) =20,70
= 9,69 cm2
4,2 0,55 - 0,083
2
a =9,69 * 420
= 8,0 cm (se comporta como rectangular)0,85 * 20 *30
Analizando como viga rectangular
Uc = 0,85 f'c b d = 0,85 * 2.000 * 1 * 0,55 = 935 T
• 1ª iteración
f = 0,9
m = 81,6
= 0,1763 < mlim = 0,29790,9 * 935 * 0,55
j = 1 - 1 - 2m
= 1 - 1 - 2 * 0,1763
= 0,2299b1 0,85
286
( )( )
( )
Anexos
287
• 2ª iteración
j = 0,2299
f = 0,25/0,2299 +0,233 = 1,21 > 0,9 f = 0,9
m = 81,6
= 0,1763 < mlim = 0,29790,9 * 935 * 0,55
j = 1 - 1 - 2 * 0,1763
= 0,22990,85
• 3ª iteración
f = 0,25/0,2299 + 0,233 = 1,32 > 0,9 f = 0,9 OK
m = 0,1763 < mlim = 0,2979
j = 0,2299 c = j * d = 0,2299 * 55 = 12,6 cm
a = b1 c = 0,85 * 12,6 = 10,7 cm OK, se comporta como viga rectangular.
A' = 0
v = 1 - 1 - 2m = 1 - 1 - 2 * 0,1763 = 0,1954
As = Uc v
= 935 * 0,1954
= 43,50 cm2 (3f32 [1ºC] + 3f28 [2ºC] = 42,6 cm2)fy 4,2
Ejemplo 3 Diseñar a corte la viga de la figura. Considerar hormigón H-30 (90%); acero A63-42H; 30% de cargas
vivas y 70% de cargas muertas
R : reacción en apoyo
R = 8 * 6,5
= 26 T2
V(x) = 26 - 8x
Vc = 1
f’c bw * d = 1
* 25 * 100 * 0,3 * 0,55 = 13,75 T
6 6
(para el cálculo anterior se hizo el siguiente cambio de unidades: 1 MPa = 100 T/m2)
8 T/m
6,5 m
55
30
60
Sección transversal8 T/m
x
26 T
288
2 f’c bw * d = 4 Vc = 4 * 13,75 = 55,0 T
3
1 f’c bw * d = 2 Vc = 2 * 13,75 = 27,5 T
3
De la condición de diseño, obtenemos: Vn = Vu / f
Combinaciones de cargas estáticas
ACI 318-99: U = 1,4 D + 1,7 L = 1,4 * 0,7 + 1,7 * 0,3 = 1,49
Vu = 1,49 (26 - 8x) = 38,74 - 11,92x
f = 0,85 Vn = 45,58 - 14,02x
ACI 318-05: U = 1,2 D + 1,6 L = 1,2 * 0,7 + 1,6 * 0,3 = 1,32
Vu = 1,32 (26 - 8x) = 34,32 - 10,56x
f = 0,75 Vn = 45,76 - 14,08x
Si usamos estribos f10, con dos ramas: Av = 2 * p * 12
= 1,57 cm24
De la ecuación (4-5), se obtiene que:
s = Av * fy * d
Vn - Vc
Según ACI 318-99
Para x = d (a una distancia "d" del apoyo)
Vn (x = d) = 45,58 - 14,02 * 0,55 = 37,87 T
Vs = Vn - Vc Vs (x = d) = 37,87 - 13,75 = 24,12 T < 4 Vc = 55 T OK
s = 1,57 * 4,2 * 50
= 362,67
= 15,0 cm s = 15 cm24,12 24,12
Como Vs = 24,12 < 2 Vc = 27,5 T s ≤ min {d/2 , 60 cm} = 27,5 cm
Y de la ecuación (4-7): Av min = 0,0625 f’c
bw ≥ 0,35
bw
s fy fy
0,35 bw
= 0,35 * 30
= 0,025 cmfy 420
0,0625 f’c bw
= 0,0625 * 25 * 30
= 0,022 cm < 0,025 cmfy 420
Av ≥ 0,025 cm s ≤ 1,57
= 62,8 cms 0,025
Finalmente: smax = min {27,5; 62,8} smax = 27 cm
Vu = fVc 38,74 - 11,92x =
0,85 * 13,75 x = 2,76 m
2 2
Como s = Av * fy * d
Vn - Vc
s =362,67
31,83 - 14,02x
Si s = smax = 27 cm362,67
= 27 x = 1,31 m31,83 - 14,02x
Entonces se usará espaciamiento máximo para: 1,31 < x < 2,76
Y consideremos un espaciamiento s = 20 cm.
362,67=20 x = 0,98 m
31,83 - 14,02x
Para 0,98 < x < 1,31: s = 20 cm.
El 1er estribo va a s/2 (=7 cm.) del apoyo.
0 7 97 137 272
6Ef10@15 2Ef10@20 5Ef10@27No se necesita
armadura transversal
Anexos
289
x
Según ACI 318-05
Para x = d (a una distancia "d" del apoyo)
Vn (x = d) = 45,76 - 14,08 * 0,55 = 38,02 T
Vs = Vn - Vc Vs (x = d) = 38,02 - 13,75 = 24,27 T < 4 Vc = 55 T OK
s = 362,67
= 14,9 cm s = 15 cm24,27
Como Vs = 24,27 < 2 Vc = 27,5 T s ≤ min {d/2 , 60 cm} = 27,5 cm
Y de la ecuación (3-42): Av min =
3bw
s fy
bw =
30 = 0,024 cm
3fy 3 * 420
Av ≥ 0,024 cm s ≤ 1,57
= 65,4 cms 0,024
Finalmente smax = min {27,5; 62,8} smax = 27 cm
Vu = fVc 34,32 - 10,56x =
0,85 * 13,75 x = 2,70 m
2 2
Como s = Av * fy * d
=362,67
Vn - Vc 32,01 - 14,08x
Si s = smax = 27 cm362,67
= 27 cm x = 1,31 m32,01 - 14,08x
Entonces se usará espaciamiento máximo para: 1,32 < x < 2,70
Y consideremos un espaciamiento s = 20 cm.
362,67= 20 x = 0,99 m
31,83 - 14,08x
290
Anexos
291
0 50 100 150 200 250 300
6Ef10@15
2Ef10@20
5Ef10@27
Para 0,99 < x < 1,32: s = 20 cm.
Claramente se observa que no hubo una variación importante en el diseño.
Ejemplo 4 Chequear deformación en la siguiente viga
Considerar: 65% Cargas Permanentes
35% Sobrecarga
Acero A63-42H
Hormigón H-30 (considerar (b1 = 0,85)
La viga soporta elementos no estructurales susceptibles de dañarse con grandes deformaciones.
4 T/m5 T
3 m
40
50
292
M = Pl + ql 2
= 5 * 3 + 4 * 32 / 2 = 15 + 18 = 33 T - m2
Consideraremos d = 75 cm
ACI 318-05
Según la sección 5.8.2 de la norma NCh 433 Of.96, los esfuerzos en voladizos deben ser aumentados en un 30%.
U = 1,4 D + 1,7 L = 1,4 * 0,65 + 1,7 * 0,35 = 1,505
Mu = 33 * 1,505 * 1,3 = 64,56 T - m
Uc = 0,85 f'c b d = 0,85 * 2.500 * 0,4 * 0,45 = 382,5 T
• 1ª iteración
j = jlim = 0,4286 f = 0,25/0,4286 + 0,233 = 0,816
m =64,56
= 0,4596 > mlim = 0,2979 j = jlim = 0,4286 (OK)0,816 * 382,5 * 0,45
d' = 5/45 = 0,1111
v’ = m - mlim
= 0,4596 - 0,2979
= 0,18191 - d' 1 - 0,1111
v = b1 jlim + v’
= 0 ,85 * 0,4286 + 0,1819 = 0,5462
As = vUc =
0,5462 * 382,5 = 49,74 cm2 (3f32 + 3f32 [2ºC] = 48,25 cm2)
fy 4,2
A’s =v’Uc =
0,1819 * 382,5 = 16,57 cm2 (3f32 = 24,13 cm2)
fy 4,2
Chequeo de Deformación
De la ecuación (6-11b) obtenemos que :
Ec = 4.700 f’c = 4.700 * 5 = 23.500 MPa
Es = 200.000 MPa
n = 200.000 / 23.500 = 8,51
De la figura 7-1, se obtiene:
B =b
=40
= 0,0974 cm-1nAs 8,51 * 48,25
a = 2dB + 1 - 1
= 2 * 45 * 0,0974 + 1 - 1
= 21,8 cmB 0,0974
lcr =ba3
+ nAs (d-a)2 = 40 * 21,83
+ 8,51 * 48,25 (45 - 21,8)2 = 359.142 cm43 3
lg =bh3
= 40 * 503
= 416.667 cm412 12
yt =h
= 50
= 25 cm2 2
fr= 0,7 f’c = 10 * 0,7 * 25 = 35 kg/cm2
Mcr = fr lg =
35 * 416 * 667 = 583.333 kg-cm = 5,83 T - m
yt 25
Anexos
293
Ie = Mcr 3
lg +
1 - Mcr 3 lcr ≤ lgM M
Ie = 5,83 3
* 416.667 + 1 - 5,83 3
* 359.142 = 359.459 cm4 > lg33 33
Ie = 1.706.667 cm4
para calcular la flecha, separaremos los dos estados de carga:
d = 108 *15 * 32
+18 * 32
= 1,01 cm3 * 23.500 * 359.459 4 * 23.500 * 359.459
para el caso considerado dadm =l
=300
= 0,63 cm480 480
en el punto de apoyo: r’= 24,13
= 0,013440 * 45
j = 2,0 (para más de 5 años) l =
2= 1,974
1 + 0,0134
flecha instantánea debida a sobrecargas: dL = 0,35 * 1,01 = 0,354 cm
flecha diferida: ddif = 1,974 * 0,65 * 1,01 = 1,296 cm
flecha total: dtotal = 0,354 + 1,296 = 1,65 cm > 0,63 cm
(no cumple con la flecha admisible pese a que tiene la altura mínima que indica la ACI, por lo que se recomienda
siempre verificar la deformación).
( ) [ )( ]
( ) [ )( ]
( )
294
Anexo 2
Tabla de Conversiones yArea, Masa y Perímetro Barras de Refuerzo
Anexos
297
Factores de Conversión de Unidades
Cantidad Multiplicar por Para obtener
Longitud
Espesor
Area
Volumen
Masa
Masa/unidad de longitud
centímetro
decímetro
kilómetro
metro
micra
milímetro
milla náutica
pié
pulgada
milésima de pulgada
yarda
centímetro cuadrado
hectárea
metro cuadrado
milímetro cuadrado
pié cuadrado
pulgada cuadrada
yarda cuadrada
centímetro cúbico
galón Británico
litro
metro cúbico
milímetro cúbico
pié cúbico
pulgada cúbica
miligramo
gramo
kilogramo
tonelada métrica
tonelada corta
onza (avoidupois)
libra (avoidupois)
kilogramo/metro
kilogramo/metro
libra/pié
libra/pulgada
cm
dm
km
m
_
mm
mill n
ft
in
mils
yd
cm2
há
m2
mm2
ft2
in2
yd2
cm3
gl (b)
lt
m3
mm3
ft3
in3
mg
g
kg
t
tc
oz-av
lb-av
kg/m
kg/m
lb/ft
lb/in
0,3937
0,3281
0,6215
1,0936
0,001
10-3
1,852
12,0
2,540
2,54 x 10-2
36,0
0,1550
104
10,76
10-2
9,29 x 10-2
6,452
9,0
6,102 x 10-2
4,546
0,2642
35,31
10-3
0,02832
16,39
10-3
35,27 x 10-3
2,205
103
2 x 103
28,35
0,4536
0,6720
5,6 x 10-2
1,488
17,86
pulgada
pié
milla terrestre
yarda
milímetro
metro
kilómetro
pulgada
centímetro
milímetro
pulgada
pulgada cuadrada
metro cuadrado
pié cuadrado
centímetro cuadrado
metro cuadrado
centímetro cuadrado
pié cuadrado
pulgada cúbica
litro
galón US
pié cúbico
centímetros cúbicos
metro cúbico
centímetros cúbicos
gramo
onza (avoidupois)
libra (avoidupois)
kilogramos
libra (avoidupois)
gramo
kilogramo
libra/pié
libra/pulgada
kilogramo/metro
kilogramo/metro
in
ft
mill t
yd
mm
m
km
in
cm
mm
in
in2
m2
ft2
cm2
m2
cm2
ft2
in3
lt
gl (a)
ft3
cm3
m3
cm3
g
oz-av
lb-av
kg
lb-av
g
kg
lb/ft
lb/in
kg/m
kg/m
298
Factores de Conversión de Unidades (Continuación)
Cantidad Multiplicar por Para obtener
Masa/unidad de volumen
Densidad
Fuerza
Fuerza/unidad de Area
Presión
Tensión
Momento Flector
Torque
Angulo
Temperatura
gramo/centímetro cúbico
kilogramo/metro cúbico
libra/pulgada cúbica
libra/pié cúbico
kilogramo-fuerza
kilogramo-fuerza
newton
libra-fuerza
kilogramo-fuerza/
centímetro cuadrado
kilogramo-fuerza/
centímetro cuadrado
mega pascal
libra-fuerza/pulgada cuadrada
kilogramo-fuerza x metro
kilogramo-fuerza x metro
newton x metro
libra-fuerza x pié
grado
radián
grado Fahrenheit
grado Celsius
g/cm3
kg/m3
lb/in3
lb/ft3
kgf
kgf
N
lbf
kgf/cm2
kgf/cm2
Mpa
psi
kgf x m
kgf x m
N x m
lbf x ft
º
rad
ºF
ºC
36,13 x 10-3
62,43 x 10-3
27,68
16,02
9,807
2,205
0,1020
0,4536
98,07 x 10-3
14,22
10,20
7,03 x 10-2
9,807
7,233
0,1020
0,1383
17,45 x 10-3
57,30
(ºF-32)/1,8
1,8xºC-32
libra/pulgada cúbica
libra/pié cúbico
gramo/centímetro cúbico
kilogramo/metro cúbico
newton
libra-fuerza
kilogramo-fuerza
kilogramo-fuerza
mega pascal
libra-fuerza/pulgada cuadrada
kilogramo-fuerza/
centímetro cuadrado
kilogramo-fuerza/
centímetro cuadrado
Newton x metro
libra-fuerza x pié
kilogramo-fuerza x metro
kilogramo-fuerza x metro
radián
grado
grado Celsius
grado Fahrenheit
lb/in3
lb/ft3
g/cm3
kg/m3
N
lbf
kgf
kgf
MPa
psi
kgf/cm2
kgf/cm2
N x m
lbf x ft
kgf x m
kgf x m
Rad
º
ºC
ºF
Anexo
299
Area, Masa y Perímetro Nominal - Barras de Refuerzo AZA para Hormigón
f Número de barras
mm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Area cm2 0,28 0,565 0,848 1,131 1,414 1,696 1,979 2,262 2,545 2,827
6 Masa kg/m 0,222 0,444 0,666 0,888 1,110 1,332 1,554 1,776 1,998 2,220
Perímetro cm 1,88 3,770 5,655 7,540 9,425 11,31 13,19 15,08 16,96 18,85
Area cm2 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 5,03
8 Masa kg/m 0,395 0,790 1,185 1,580 1,975 2,370 2,765 3,160 3,555 3,950
Perímetro cm 2,51 5,027 7,540 10,05 12,57 15,08 17,59 20,11 22,62 25,13
Area cm2 0,79 1,57 2,356 3,142 3,927 4,712 5,498 6,283 7,069 7,854
10 Masa kg/m 0,617 1,234 1,851 2,468 3,085 3,702 4,319 4,936 5,553 6,170
Perímetro cm 3,14 6,283 9,425 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 31,42
Area cm2 1,13 2,262 3,393 4,524 5,655 6,786 7,917 9,048 10,18 11,31
12 Masa kg/m 0,888 1,776 2,664 3,552 4,440 5,328 6,216 7,104 7,992 8,880
Perímetro cm 3,77 7,540 11,31 15,08 18,85 22,62 26,39 30,16 33,93 37,70
Area cm2 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 20,11
16 Masa kg/m 1,58 3,160 4,740 6,320 7,900 9,480 11,06 12,64 14,22 15,80
Perímetro cm 5,03 10,05 15,08 20,11 25,13 30,16 35,19 40,21 45,24 50,27
Area cm2 2,54 5,089 7,634 10,18 12,72 15,27 17,81 20,36 22,90 25,45
18 Masa kg/m 2,00 4,000 6,000 8,000 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00
Perímetro cm 5,65 11,31 16,96 22,62 28,27 33,93 39,58 45,24 50,89 56,55
Area cm2 3,80 7,603 11,40 15,21 19,01 22,81 26,61 30,41 34,21 38,01
22 Masa kg/m 2,98 5,960 8,940 11,92 14,90 17,88 20,86 23,84 26,82 29,80
Perímetro cm 6,91 13,82 20,73 27,65 34,56 41,47 48,38 55,29 62,20 69,12
Area cm2 4,91 9,817 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 49,09
25 Masa kg/m 3,85 7,700 11,55 15,40 19,25 23,10 26,95 30,80 34,65 38,50
Perímetro cm 7,85 15,71 23,56 31,42 39,27 47,12 54,98 62,83 70,69 78,54
Area cm2 6,16 12,32 18,47 24,63 30,79 36,95 43,10 49,26 55,42 61,58
28 Masa kg/m 4,83 9,660 14,49 19,32 24,15 28,98 33,81 38,64 43,47 48,30
Perímetro cm 8,80 17,59 26,39 35,19 43,98 52,78 61,58 70,37 79,17 87,96
Area cm2 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 80,42
32 Masa kg/m 6,31 12,62 18,93 25,24 31,55 37,86 44,17 50,48 56,79 63,10
Perímetro cm 10,05 20,11 30,16 40,21 50,27 60,32 70,37 80,42 90,48 100,5
Area cm2 10,18 20,36 30,54 40,72 50,89 61,07 71,25 81,43 91,61 101,8
36 Masa kg/m 7,99 15,98 23,97 31,96 39,95 47,94 55,93 63,92 71,91 79,90
Perímetro cm 11,31 22,62 33,93 45,24 56,55 67,86 79,17 90,48 101,8 113,1
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