Método Numérico Act 7: Reconocimiento Unidad 2

1. Las siguientes matrices cuales se pueden invertir:

Seleccione una respuesta.

a. Las matrices B y C

b. Las matrices A y C

c. Las matrices A, B y C

d. La Matrices A y B

2. De acuerdo al texto Ecuaciones Lineales en la ecuación 7x – 3 = 2x + 2. Con cual de los siguientes el valores de x, se cumple la igualdad.

Seleccione una respuesta.

a. x = 3

b. x = -3

c. x = 1

d. x = -1

3. Interpolación Cuadrática

Si se dispone de tres puntos la búsqueda de una función se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una manera conveniente para este caso es:

f(x) = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0) (x – x1) (1)

Nótese que aunque la ecuación (1) parezca diferente de la ecuación general de un polinomio lineal, las dos ecuaciones son equivalentes.

Esto se puede demostrar si se multiplican en forma distributiva los términos de la ecuación (1) y obtenemos:

f(x) = b2 x2 + (b1 – b2 x0 – b2 x1) x + (b0 – b1 x0 + b2 x0 x1) (2)

que si se agrupan los términos se tiene:

f(x) = a2 x2 + a1 x + a0 (3)

en donde:

a2 = b2

a1 = b1 – b2 x0 – b2 x1 (4)

a0 = b0 – b1 x0 + b2 x0 x1

De esta manera, las ecuación (1) es una fórmula alternativa que equivale al polinomio de segundo grado que une a los tres puntos.

Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para b0, se usa la ecuación (1) con X = X0, y se obtiene

b0 = f(x0) (5)

sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (1) y evaluando en X =X 1 se obtiene:

(6)

Y por último, las ecuaciones (5) y (6) se sustituyen en la ecuación (1), y se evalúa ésta en X = X2 y se obtiene:

(7)

Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aún representa la pendiente de la línea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los primeros dos términos de la ecuación (1) son equivalentes a la interpolación de X0 a X1. El

último término, b2(X-X0)(X-X1), introduce la curvatura de segundo orden en la fórmula.

Ejemplo:

Ajústese el polinomio de segundo orden a los siguientes tres puntos

X0 = 1

f (X0) = 0.0000 000

X1 = 4

f (X1) = 1.3862 944

X2 = 6

f (X2) = 1.7917 595

SOLUCIÓN :

Entonces

b0 = 0

Luego:

Y :

Sustituyendo estos valores en la ecuación de interpolación y se obtiene la fórmula cuadrática:

f2 ( X ) = 0 + 0.4620981 (X - 1) - 0.05187312 (X - 1) (X - 4)

si se quiere evaluar en X = 2 , se obtiene

f 2 ( 2 ) = 0.5658443

PREGUNTA:

Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar: .

Seleccione una respuesta.

a. Un método Indirecto para obtener la matriz inversa

b. Un método Indirecto para obtener la matriz diagonal

c. Un método directo para obtener la matriz inversa

d. Un método directo para obtener la matriz diagonal

4. El numero x= -7/5 es la solución de:

Seleccione una respuesta.

a. 2X+5(1-3X) = 1-3(1-4X)

b. 2X + 5(1+3X) = 1-3(1-4X)

c. 2X-5(1-3X) = 1-3(1-4X)

d. 2X-5(1-3X) = 1-3(1+4X)

5. POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS

Dados n+1 datos:

- El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera:

f(x) = b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)(x-x1)+…+bn(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)

donde:

b0=f(x0)

b1=f [x1, x0]

b2=f [x2, x1, x0]

.

.

.

bn = f [xn,…, x0]

Para calcular los coeficientes b0, b1,…, bn, es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente:

Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton, se encuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas.

Ejemplo 1 . Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:

Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.

Solución .

Procedemos como sigue:

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es:

f(x) = 4+2(x+2)-0.25(x+2)(x+1)-0.3(x+2)(x+1)(x-2)

Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:

Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.

Solución. Procedemos como sigue:

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda:

f(x) = 5+3(x+3) – 1.66667(x+3)(x+2) - 020238(x+3)(x+2)(x)

PREGUNTA:

Teniendo en cuenta el ejemplo 1 de la pàgina anterior (pàgina 11), se observa que se encuentra una funciòn o polinòmio, de acuerdo a ello, el coeficiente del X3 de la funciòn encontrada es:

Seleccione una respuesta.

a. 0.25

b. 0,3

c. -0,25

d. -0.3

6. Método de Mínimos cuadrados

Suponga que se tiene el siguiente diagrama

Y le solicitan que ajuste una recta que la mayor parte de los datos. Para ello se desarrolla una ecuación de estimación llamada de Mínimos Cuadrados.

El procedimiento del método de Mínimos Cuadrados es determinar la recta Ŷ= a + bX , donde

Ŷ= es la variable dependiente, o variable a predecir

a= Intersepto con la variable Y

b= Es la pendiente de la recta.

X= Variable independiente, información conocida parapredecir Y

El objetivo del método es determinar los valores de a y b dela ecuación Ŷ= a + bX, para ello se tiene las siguientes ecuaciones:

Ejemplo:

Suponga que un analista de una empresa Z le solicitan encontrar la recta de estimación de ingresos y gastos, de modo que tiene los siguientes datos:

Ingresos Y 20 25 34 30 40 31Gastos X 2 3 5 4 11 5Ingresos Y 20 25 34 30 40 31Gastos X 2 3 5 4 11 5

En millones de pesos.

Entonces el debe realizar las siguientes operaciones para determinar la recta de estimación que más se ajuste:

n=6

∑X= 2+3+5+4+11+5= 30

∑Y= 20+25+34+30+40+31= 180

∑XY= (2+20)+ (3*25)+ (5*34)+ (4*30)+ (11*40)+ (5*31)= 1000

∑X2= 22 +32 +52 +42 +112 +52 = 200

(∑X)2 = (30)2 = 900

Reemplazamos en la fórmulas a y b y se obtiene los siguientes resultados:

b= [(6)(1000) - (30)(180)]/ [(6)(200)- 900]= 600/300 = 2

Esta estimación quiere decir que por cada millon gastado la empresa recibe 2 milles de ingresos y

a= [180 - (2)(30)]/6 = 120/6 = 20

que significa que los ingresos mínimos son de 20 millones. La ecuacion es entonces:

Ŷ= 20 + 2X

A partir de esta ecuación estimada se puede predecir los ingresos si los gastos son 7 millones, es decir si X=7 luego:

Ŷ= 20 + 2(7) = 34 millones

PREGUNTA:

La solución de siguiente sistema utilizando la eliminación de Gauss es:

1) x1= 4

2) x2= 4

3) x1= 3

4) x2= 3

Son correctas:

Seleccione una respuesta.

a. 3 y 4

b. 1 y 2

c. 3 y 2

d. 1 y 4

7. INTERPOLACIÓN

En este capítulo estudiaremos el importantísimo tema de la interpolación de datos. Veremos dos tipos de interpolación: la interpolación polinomial y la interpolación segmentaria (splines).Comencemos dando la definición general.

Definición. Dados n+1 puntos que corresponden a los datos:

x x0 x1 … xny y0 y1 … yn

y los cuales se representan gráficamente como puntos en el plano cartesiano,

Si existe una función f(x) definida en el intervalo [x0, xn] (donde suponemos que x0<x1<…<xn , tal que f(xi) =yi para i = 0,1,2,…n , entonces a f(x) se le llama una función de interpolación de los datos, cuando es usada para aproximar valores dentro del intervalo [x0, xn] , y se le llama función de extrapolación de los datos, cuando está definida y es usada para aproximar valores fuera del intervalo.

Evidentemente pueden existir varios tipos de funciones que interpolen los mismos datos; por ejemplo, funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones polinomiales, combinaciones de éstas, etc.

El tipo de interpolación que uno elige, depende generalmente de la naturaleza de los datos que se están manejando, así como de los valores intermedios que se están esperando.

Un tipo muy importante es la interpolación por funciones polinomiales. Puesto que evidentemente pueden existir una infinidad de funciones polinomiales de interpolación para una misma tabla de datos, se hace una petición extra para que el polinomio de interpolación, sea único.

Definición. Un polinomio de interpolación es una función polinomial que además de interpolar los datos, es el de menor grado posible.

Caso n=0

Tenemos los datos:

x x0y y0

En este caso, tenemos que f(x)=y0 (polinomio constante) es el polinomio de menor grado tal que f(x0)=y0 , por lo tanto, es el polinomio de interpolación.

Caso n=1

Tenemos los datos:

x x0 x1y y0 y1

En este caso, el polinomio de interpolación es la función lineal que une a los dos puntos dados. Por lo tanto, tenemos que

es el polinomio de interpolación.

La siguiente gráfica representa este caso:

Observación .

Vemos que en el polinomio de interpolación del caso n=1 se encuentra como primer término, y0 , que es el polinomio de interpolación del caso n=0 .

Continuemos:

Caso n=2

Tenemos los datos:

x x0 x1 x2y y0 y1 y2

Para este caso, el polinomio de interpolación va a ser un polinomio de grado 2. Tomando en cuenta la observación anterior, intuimos que el polinomio de interpolación será como sigue:

<>

término cuadrático

Por lo tanto, planteamos el polinomio de interpolación como sigue

f (x) = b0+b1(x - x0)+b2(x - x0)(x – x1)

Si asignamos x=x0 , se anulan los valores de b1 y b2 , quedándonos el resultado:

f(x0) = b0

Como se debe cumplir que f(x0) = b0 , entonces:

y0 = b0

Si asignamos x=x1 , el valor de b2 queda anulado, resultando lo siguiente:

f (x1) = b0+b1(x1 - x0)

Como se debe cumplir que f(x1)= y1 y ya sabemos qué y0 = b0 , entonces

y1=b0+b1(x1 - x0) , de lo cual obtenemos el valor para b1 :

PREGUNTA:

Si se tiene datos:

x x0 x1y y0 y1

En este caso, el polinomio de interpolación es:

Seleccione una respuesta.

a. f(x)=y (polinomio constante)

b. Un polinomio cuadràtico

c. Una funciòn lineal o polinomio lineal

d. Un polinomio de grado 2

8. Un valor de una variable que haga que la ecuación sea una proposición verdadera se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación.

Así por ejemplo x=5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2

De manera similar y = -2 es la solución de la ecuación y2 + 3y=6 + 4y

En álgebra elemental se enseña a resolver este tipo de ecuaciones en especial las ecuaciones lineales y cuadráticas.

La solución de la siguiente ecuación 3(x - 3)2 = 3(3x - 9) es:

Seleccione una respuesta.

a. x = 6

b. x = -5

c. x = 5

d. x = - 6

9. "Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad “=”. Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones"

De las siguientes cuales No se consideran ecuaciones.

Seleccione una respuesta.

a. x –100 = x

b. 3K/(1- T) = S

c. sen(2x-3)

d. – 5y = 6 – 4y

10.Que valor de x, hacen que se cumpla la igualdad.

2x – 3 – 9 = x

Seleccione una respuesta.

a. x = -12

b. x =12

c. x = 6

d. x = - 6