ACTIVIDAD 5D.Seleccionecon su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construyauna transformacin matricial (transformacin lineal TL-) asociada. Luegoexplicite: (sea muy cuidadoso con la simbologa matemtica):a) El vector genrico TX.b) El ncleo de esta TL.c) Los autovalores de la TL.d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.Adems:e) Grafiquecada vector de cada base y tambin grafique cada espacio generado.f) Analicesi A es diagonalizable. En caso de serloconstruyaP y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: Cmo y con qu informacin se construyen dichas matrices?h) Planteela transformacin inversa.

Matriz seleccionada:

La matriz como TX:

3 2X 3x + 2yA11 = 1 4Y = 1x + 4yNcleo de la transformacin:

3x + 2y = 01x + 4y = 0

Por tanto el ncleo es:

0

0

Auto valores de la transformacin:

AX = kX

3 2X X 1 4 Y = k Y3X + 2Y = kX

X + 4Y = kY X (3 k) + 2y = 0

X + Y (4 k) = 0detA=A11

A12

A21

A22

=

=A11A22-A12A21

=(3 - k)(4 - k)-21

= 12 + (-3k) + (-4k) + k2 -2= k2 -7k +10

Resolviendo nos queda:

Por lo tanto el valor de k puede ser 5:

O 2:

Base de autovectores:

Si k es igual a 5:

(A 5I)X

3210

14 - 5 01 x

3250

14 - 05 x

-22

1-1

Por lo tanto:

X1 = X2

X2 = X2

El autovector asociado ser:

1

Y =1

Si k es igual a 2:

(A 2I)X

3210

14 - 2 01 x

3220

14 - 02 x

12

12

Por lo tanto:

X1 = -2X2

X2 = X2

El autovector asociado ser:

-2

Y =1

Transformacin inversa:Solucin:A=3

2

1

4

B=0

0

X=x

1

x

2

AX=B

significa que

X=A-1B

Calculemos el determinante de la matriz

detA= 10

Para calculacin de matriz invertible calculemos matriz de cofactores para los elementos de la matrizC1,1= (-1)1+14

=4

C1,2= (-1)1+21

=-1

C2,1= (-1)2+12

=-2

C2,2= (-1)2+23

=3

C=4

-1

-2

3

CT=4

-2

-1

3

Calculemos la matriz invertibleA-1=

CT=

detA

0.4

-0.2

-0.1

0.3

Obtengamos la resolucinX=A-1B=0.4

-0.2

-0.1

0.3

0

0

=0

0

Resultado:x1=0,x2=0.

Por lo tanto, la matriz es invertible.

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