LÓGICA MATEMÁTICA

TALLER Nº 1

TEORÍA DE CONJUNTOS

JESSYCA MILENA BERMÚDEZ GONZÁLEZ jmbermudezg@unadvirtual.edu.co

CÓDIGO: 1.121.885.929

NELSON YESID MÁSMELA CAMARGOnmasmelac@unadvirtual.edu.co

CÓDIGO: 79569713

MIGUEL ÁNGEL FRANCO ÁNGEL mi11fra035@unadvirtual.edu.co

CÓDIGO: 1.120.356.484

TUTOR:

OSCAR CARRILLO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

CEAD ACACIAS/META

MARZO 2013

ÍNDICE

Pág.

Introducción……………………………………………………………………… 3

Objetivos…………………………………………………………………………. 4

Actividad 1……………………………………………………............................ 5-6

Actividad 2...……………………………………………………………………… 7-8-9

Actividad 3……………………………………………………………………….. 10

Actividad 4………………………………………………………………………... 11

Actividad 5………………………………………………………………………... 12-13

Ejemplo anexo…………………………………………………………………… 14-15

Conclusiones…………………………………………………………………….. 16

Bibliografías………………………………………………………………………

.17

2

INTRODUCCIÓN

Desde sus orígenes la lógica matemática, es una ciencia formal de las matemáticas básicas,

que con el tiempo ha desarrollado símbolos y reglas que le dan un cuerpo formal y estricto,

desde este punto de vista la lógica matemática es de suma importancia para interpretar,

desarrollar y construir razonamientos lógicos.

El siguiente trabajo hace énfasis en la Teoría de conjuntos del curso LÓGICA

MATEMÁTICA establecido por la Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD –, este

trabajo pretender poner en práctica los conocimientos adquiridos, por lo cual, este curso se

hace motivante para aquellos que están deseosos de aprender cada día más.

3

OBJETIVOS

GENERAL:

Desarrollar ejercicios básicos y complejos de la teoría de conjuntos, con el fin de practicar los

conocimientos adquiridos del mismo y todo el conjunto de fundamentos que hacen parte de

la lógica matemática.

ESPECÍFICOS:

Identificar conceptos claves y de mayor relevancia

Identificar los tipos de conjuntos

Establecer las relaciones entre los conjuntos o elementos

Identificar las operaciones entre los conjuntos.

Determinar las denotaciones que puede tener un conjunto o varios.

Reconocer el diagrama de Venn

4

ACTIVIDADES

1. De acuerdo con una encuesta virtual realizada a cincuenta estudiantes de la UNAD, los amantes de la música de Juanes son 15; mientras que los que únicamente gustan de la música de Shakira son 20, ¿Cuántos son fanáticos de los dos artistas si 10 de los encuestados, entre los 25 que no son fanáticos de Shakira, afirman ser fanáticos de Juanes.

Antes de determinar el diagrama de Venn debemos denotar los tres conjuntos que se mencionan en el enunciado

J = {X/X guste de la música de Juanes}S = {X/X guste de la música de Shakira}U= {X/X guste de la música de Shakira o (V) la música de juanes o ninguno}

Explico detalladamente:

a) La primera premisa es: los amantes de la música de Juanes son 15, hasta el

momento se sabe que hay quince pero no se dice si son exclusivamente de

juanes:

b) La segunda premisa dice: mientras que los que únicamente gustan de la

música de Shakira son 20: como se habla de exclusividad sabemos que no van

a ir unidos a nada. Entonces son 20 estudiantes los restamos de los 50 para un

total de 30 que serán distribuidos próximamente

5

J

15

S

U

c) La tercera premisa dice: Cuántos son fanáticos de los dos artistas si 10 de los

encuestados, entre los 25 que no son fanáticos de Shakira, afirman ser

fanáticos de Juanes.

Son 25 personas que no son fanáticos de Shakira por lo tanto si hablan de 10 personas estas a su vez son exclusivas de juanes y las anexamos al diagrama, de igual manera debemos restar 25-10 = 15 estas serían las personas que no son fanáticos de ninguno.

Para finalizar se sabe que los fanáticos de juanes eran 15, por lo tanto lo añadimos al conjunto a 5 elementos, los cuales serían la intercesión de ambos conjuntos.

Por lo tanto A∩B = 5 Elementos

:

6

5

20

USJ

2010

15

J S

U

U

A

L

32

P

A

L

3

1 5

2

P

2. Al realizar una encuesta a 40 de estudiantes de la UNAD se encontró que los

psicólogos no amantes de la lógica eran 5, de estos 5 dos eran de Acacias; 6 eran los

amantes de lógica que no eran de Acacias, pero de estos 6 solo uno era psicólogo.

Los amantes de la lógica y también psicólogos eran 8, si el total de los amantes de la

lógica era 15 estudiantes y si el total de estudiantes de Acacias es 14; determine: (por

favor usar el siguiente orden de conjuntos)

Pasó a paso:

P= psicología

L= lógica

A=acacias

Premisa 1: psicólogos no amantes de la lógica eran 5, de estos 5 dos eran de Acacias;

Premisa 2: 6 eran los amantes de lógica que no eran de Acacias, pero de estos 6 solo

uno era psicólogo

7

A

L

3

1 5

72

P

A

L

3

1 5

72

P

A

L

3

1 5

72 3

P

2

Premisa 3: Los amantes de la lógica y también psicólogos eran 8

Premisa 4: si el total de los amantes de la lógica era 15 estudiantes

1+7+5+2=15

Premisa 5 y si el total de estudiantes de Acacias es 14

3+2+7+2=14

8

2

A

L

3

1 5

72 3

P

2

Como se sabe que el total de los estudiantes fueron 40 y dentro de los círculos de

Venn sol hay 23 elementos, añadimos 17 pero al conjunto universal

a. ¿Cuántos estudiantes son de Acacias? 14

b. ¿Cuántos estudiantes de Acacias no gustan de la lógica? 5

c. ¿Cuántos estudiantes que no son psicólogos ni de Acacias gustan de la lógica?

5

d. ¿Cuántos estudiantes que no son psicólogos ni son de Acacias no gustan de la lógica?

17

e. ¿Cuántos estudiantes son psicólogos? 13

f. ¿Cuántos estudiantes gustan de la lógica? 15

g. ¿Cuántos estudiantes de Acacias son psicólogos? 2

h. ¿Cuántos estudiantes de psicología que no son de Acacias no gustan de la lógica?

3

i. ¿Cuántos estudiantes de Acacias que gustan de la lógica no son psicólogos?

5

j. ¿Cuántos estudiantes psicólogos, que gustan de la lógica son de Acacias?

7

9

17

3. Del siguiente diagrama de Venn deduzca lo solicitado

El círculo rojo

El rectángulo verde los estudiantes de primer semestre.

El rectángulo azul los estudiantes hombres.

Si la zona A representa a los hombres de ingeniería de primer semestre.

Y la zona C la mujeres de ingeniería que no son de primer semestre..

Identifique el resto de las zonas. (B, D, E, F, y G)

RTA:

Zona B: hombres que no están en el primer semestre y estudian ingeniería

Zona D: mujeres del primer semestre que estudian ingeniería

Zona E: mujeres del primer semestre que no estudian ingeniería

Zona F: estudiantes hombres que no están en el primer semestre, ni estudian ingeniería.

Zona G: son estudiantes mujeres que no son del primer semestre ni estudian ingeniería

10

4. Del siguiente diagrama de Venn deduzca lo solicitado.

RESPUESTAS:

a. (A n C) = {d}b. (A n C)’ = {a,b,c,e,f,g,h}c. (B u D)’ = {a,b,e,f,h}d. (A n B) = {c,d}e. (C n D) = { }f. (A – C) = {a,b,c}g. (C – B) = {e,f}h. (A u C)’ = {h,g}i. (B – C) n A = {c}j. D’ = {a,b,c,d,e,f,h}

11

5. Del siguiente diagrama deduzca

a) ¿Cuántos elementos tiene al conjunto A?Rta: A tiene 7 elementos

b) ¿Cuántos elementos tiene al conjunto B?Rta: B tiene 7 elementos

c) ¿Cuántos elementos tiene al conjunto C?Rta: C tiene 7 elementos

d) ¿Cuántos elementos están en A y en B?Rta: A y B tienen 3 elementos

e) ¿Cuántos elementos están en A y en B pero no en C?Rta: en a y b pero no en c hay 2 elementos

f) ¿Cuántos elementos están en A o en C?Rta: 12 elementos

g) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto B U C?Rta: B U C hay 11 elementos

12

h) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A ∩ C?Rta: A ∩ C hay 2 elementos

i) ¿Cuántos elementos el conjunto B - C?Rta: B – C hay 2 elementos

j) Cuántos elementos están en B pero no en C?Rta: B pero no en C hay 4 elementos

k) Cuántos elementos tiene al conjunto A?Rta: A tiene 7 elementos

l) Cuántos elementos están en tres conjuntos?Rta: hay 1 elemento en tres conjuntos

m) Cuántos elementos están solo en dos conjuntos?Rta: hay 5 elementos en solo dos conjuntos

n) Cuántos elementos están en por lo menos un conjunto?Rta: hay 8 elementos en por lo menos un conjunto

o) Cuántos elementos no están en ningún conjunto entre A, B y C?Rta: 3 elementos no están en ningún conjunto

p) Cuántos elementos están en por lo menos dos conjuntos?Rta: 5 elementos están en por lo menos 2 conjuntos

q) Cuántos elementos les faltan al conjunto A U B para ser universal?Rta: 6 elementos le falta A U b para ser universal

r) Cuántos elementos están en B pero no en A U C?Rta: 2 elementos están en B pero no en A U C

s) Cuántos elementos hay en B – (A∪ C)?Rta: 2 elementos hay en B – (A U C)

t) Cuántos elementos tiene el conjunto (B − C) ∩ A?Rta: 4 elementos hay en (B – C) ∩ A

13

6. Anexo Ejemplo diferencia simétrica:

Se llama diferencia simetría a los conjuntos que especifican cuales elementos NO

TIENEN en COMÚN formando un nuevo conjunto, lo denotamos por la letra Δ

Ejemplo

d) Caso 1: que los elementos no tengan nada en común:

U = {a1, b2, c3, d4, e5, f6, g7, h8}

Y = {a1}

Z = {b2, c3, d4, e5, f6, g7, h8}

YΔZ = {a1, b2, c3, d4, e5, f6, g7, h8}

ZΔY = {a1, b2, c3, d4, e5, f6, g7, h8}

Ejemplo:

e) Caso 2: que los conjuntos tengan solo unos elementos en común

Los conjuntos

V= {a, e, i, o, u, l, m, y,}

L= {a, b, c, d, e, f, g, h, i }

14

V L

a1b2 c3 d4 e5 f6 g7 h8

T= {o, u, l, m, y, b, c, d, f, g, h,}

f) Caso 3: que el conjunto este contenido en otro.

U = {casa, perro, gato}

A = {casa}

B = {perro, Gato}

15

a e i o u,

l, m, y

a, b, c, d, e, f, g, h, i

o, u, l,

m, y

B, c, d, f, g, h,

Perro gato

CasaU

A Δ B = {CASA}

B Δ A = {CASA}

CONCLUSIONES

Del anterior trabajo podemos concluir que:

1. El diagrama de Venn es una de las estructuras más sencillas que nos permiten

comprender la relación entre conjuntos.

2. Para determinar un conjunto existen 2 formas, la primera es por extensión y la

segunda por comprensión.

3. Existen conjuntos vacíos, infinitos, unitarios y universales.

4. Las relaciones entre los conjuntos y los elementos están determinadas por los

símbolos Є (pertenece) y Є no pertenece

5. Las operaciones entre conjuntos son: unión intersección, complemento, diferencia,

diferencia simétrica y complemento.

16

BIBLIOGRAFÍA

Acebedo Gonzalez, G. (2012). Logica Matematica (Primera edicion ed., Vol. 1).

Medellin: Universidad Nacional Abierta y Distancia UNAD.

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