SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICAUNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO

Carrera: Ingeniería en Telemática.4o. Cuatrimestre.

Materia: Física I.Unidad: 3. Electromagnetismo.Actividad: 1. Foro: El uso de los modelos electrostáticos.Facilitador: Julio César Reyna Escaname.Alumno: Raúl Márquez Garza (AL12500577).Fecha: 22 de septiembre de 2013.

Actividad 1. Foro: El uso de los modelos electrostáticos

Trabaja esta primera actividad con tus compañeros(as) de grupo. Para ellorealiza puntualmente los siguientes pasos:

1. Investiga por tu cuenta la ecuación de Poisson-Boltzmann y su aplicación enlos sistemas macromoleculares.

2. Entra al foro: El uso de los modelos electrostáticos, e intercambia opinionescon tus compañeros(as) de grupo acerca de:

• La utilidad de la electrostática para el estudio de sistemas biológicos.• La aplicación actual y sus posibles aplicaciones en la salud, el medio

ambiente y los alimentos.

3. Comparte tus conclusiones con los demás4. Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso(a) con tuscompañeros(as). Tu Facilitador(a) retroalimentará tu participación.

5. Descarga la Rúbrica de foro, para que conozcas los parámetros deevaluación.

Documento descargable Da clic en el icono para descargar el documento.

Para ingresar al foro: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clic enFísica. Se enlistarán las actividades, da clic en Actividad 1. Foro: El uso de losmodelos electrostáticos.

Modelos electrostáticos.de JULIO CESAR REYNA ESCANAME - lunes, 19 de agosto de 2013, 22:35 Estimado estudiante, nuevamente me dará mucho gusto iniciar este foro y conmucho ánimo continuar leyendo tus comentarios y aportaciones sobre lautilidad de los modelos electrostáticos, los cuales hacen referencia a lasituación donde dos cargas de determinados materiales entran en contactoentre sí por fricción, originando una transferencia de electrones de uno de losmateriales al otro, por lo que ambos materiales se cargan eléctricamente.

En cuanto a su utilidad en sistemas biológicos, su relación está determinadapor la presencia de las estructuras biomoleculares que de forma adecuadadesempeñan una función metabólica altamente eficiente en el interior celular ypor tanto requieren de permanecer en medios acuosos, de ahí su importanciay/o relevancia porque químicamente son sistemas que interactúan pordiferencia de carga proporcionada a partir del arreglo, distribución y secuenciade sus átomos. Es por ello que las implicaciones en los alimentos, salud ymedio ambiente, está en estrecha relación y función de cambio, cuando varia laconcentración del medio acuoso en el que se encuentren las estructurasquímicas y/o sustancia de una fruta por ejemplo, su cantidad de agua en formade jugo o zumo, cambia o se diluye cuando la ingerimos, que si bien nos aportaenergía, también aportara e incrementará la concentración de iones Na+, K+ oCa+ (OH-) NH2- cuyo papel directo en el metabolismo celular cambia a su vez,la capacidad de permeabilidad de la membrana, para el flujo libre o activo dedichos iones hacia el interior de celular. Este o otros ejemplos puede serdiscutidos o referidos en el presente foro.

En base a lo anterior reitero mi compromiso y deseo de mejorar día con día alreconocer su esfuerzo para cumplir con mucho entusiasmo las indicacionesseñaladas en esta actividad, en la cual te deseo suerte, paciencia y sabiduríapara tu logro.

Por favor y gracias escribe tus comentarios y/o participaciones, aquí mismo, detal forma que aparezca uno tras otro, para leer, comentar y conocer lo quetodos queremos decir.

Desarrollo de la Actividad

Ley de Gauss.

En física la ley de Gauss establece que el flujo de ciertos campos a través deuna superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes de dichocampo que hay en el interior de dicha superficie. Dichos campos son aquelloscuya intensidad decrece como la distancia a la fuente al cuadrado. Laconstante de proporcionalidad depende del sistema de unidades empleado.

Se aplica al campo electrostático y al gravitatorio. Sus fuentes son la cargaeléctrica y la masa, respectivamente. También puede aplicarse al campomagnetostático.

Flujo del campo eléctrico.

El flujo (denotado como ) es una propiedad de cualquier campo vectorialreferida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para uncampo eléctrico, el flujo ( ) se mide por el número de líneas de fuerza queatraviesan la superficie.

Para definir al flujo eléctrico con precisión considérese la figura, que muestrauna superficie cerrada arbitraria ubicada dentro de un campo eléctrico.

La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales , cada unode los cuales es lo suficientemente pequeño como para que pueda serconsiderado como un plano. Estos elementos de área pueden ser

representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, ladirección es perpendicular a la superficie y hacia afuera.

En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo

eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, puedeconsiderarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.

y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo entre sí y la figuramuestra una vista amplificada de dos cuadrados.

El flujo, entonces, se define como sigue:

O sea:

Flujo para una superficie cilíndrica en presencia de un campo uniforme.

Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme tal como muestra la figura:

El flujo puede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral enla tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) unaintegral en la tapa derecha:

Para la tapa izquierda, el ángulo , para todos los puntos, es de , tiene unvalor constante y los vectores son todos paralelos.

Entonces:

siendo el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:

Finalmente, para la superficie cilíndrica:

Por consiguiente: da cero ya que las mismas líneas de fuerza que entran,después salen del cilindro.

Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior.

Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su

centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico es paralelo al vector

superficie , y el campo es constante en todos los puntos de la superficieesférica.

En consecuencia:

Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb.

Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual esequivalente a la ley de Coulomb de la interacción electrostática.

La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso delconcepto de ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los factores devista conocidos en la transferencia de calor por radiación.

El ángulo sólido que es subtendido por sobre una superficieesférica, se define como:

siendo el radio de la esfera.

como el área total de la esfera es el ángulo sólido para ‘’toda la esfera’’es:

la unidad de este ángulo es el estereorradián (sr)

Si el área no es perpendicular a las líneas que salen del origen quesubtiende a , se busca la proyección normal, que es:

Si se tiene una carga "q" rodeada por una superficie cualquiera, para calcular el

flujo que atraviesa esta superficie es necesario encontrar para cadaelemento de área de la superficie, para luego sumarlos. Como la superficie quepuede estar rodeando a la carga puede ser tan compleja como quiera, es mejorencontrar una relación sencilla para esta operación:

De esta manera es el mismo ángulo sólido subentendido por unasuperficie esférica. como se mostró un poco más arriba paracualquier esfera, de cualquier radio. de esta forma al sumar todos los flujos queatraviesan a la superficie queda:

que es la forma integral de la ley de Gauss. La ley de Coulomb también puedededucirse a través de Ley de Gauss.

Forma diferencial de la ley de Gauss.

Tomando la ley de Gauss en forma integral.

Aplicando al primer termino el teorema de Gauss de la divergencia queda

Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y estaexpresión debe ser cierta para cualquier volumen, solo puede ser que:

Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío).

Esta ley se puede generalizar cuando hay un dieléctrico presente,

introduciendo el campo de desplazamiento eléctrico . de esta manera la Leyde Gauss se puede escribir en su forma más general como

Finalmente es de esta forma en que la ley de gauss es realmente útil pararesolver problemas complejos de maneras relativamente sencillas.

Forma integral de la ley de Gauss.

Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de cargapuede escribirse de la manera siguiente:

donde es el flujo eléctrico, es el campo eléctrico, es un elementodiferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, es la carga totalencerrada dentro del área A, es la densidad de carga en un punto de y es la permitividad eléctrica del vacío.

Interpretación.

La ley de Gauss puede ser utilizada para demostrar que no existe campoeléctrico dentro de una jaula de Faraday. La ley de Gauss es la equivalenteelectrostática a la ley de Ampère, que es una ley de magnetismo. Ambasecuaciones fueron posteriormente integradas en las ecuaciones de Maxwell.

Esta ley puede interpretarse, en electrostática, entendiendo el flujo como unamedida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie encuestión. Para una carga puntual este número es constante si la carga estácontenida por la superficie y es nulo si está fuera (ya que hay el mismo númerode líneas que entran como que salen). Además, al ser la densidad de líneasproporcionales a la magnitud de la carga, resulta que este flujo es proporcionala la carga, si está encerrada, o nulo, si no lo está.

Cuando tenemos una distribución de cargas, por el principio de superposición,sólo tendremos que considerar las cargas interiores, resultando la ley deGauss.

Sin embargo, aunque esta ley se deduce de la ley de Coulomb, es más generalque ella, ya que se trata de una ley universal, válida en situaciones noelectrostáticas en las que la ley de Coulomb no es aplicable.

Aplicaciones.

Distribución lineal de carga.

Sea una recta cargada a lo largo del eje z. Tomemos como superficie cerradaun cilindro de radio r y altura h con su eje coincidente al eje z. Expresando elcampo en coordenadas cilindricas tenemos que debido a la simetría dereflexión respecto a un plano z=cte el campo no tiene componente en el eje z yla integración a las bases del cilindro no contribuye, de modo que aplicando laley de Gauss:

Debido a la simetría del problema el campo tendrá dirección radial y podemossustituir el producto escalar por el producto de módulos (ya que la dirección dela superficie lateral también es radial).

Despejando el campo y añadiendo su condición radial obtenemos:

Distribución esférica de carga.

Considérese una esfera uniformemente cargada de radio R. La carga existenteen el interior de una superficie esférica de radio r es una parte de la carga total,que se calcula multiplicando la densidad de carga por el volumen de la esferade radio r:

Si Q es la carga de la esfera de radio R, entonces, se tiene:

Dividiendo miembro a miembro ambas expresiones y operandoapropiadamente:

Como se demostró en una sección anterior y teniendo en

cuenta que según la ley de Gauss , se obtiene:

Por lo tanto, para puntos interiores de la esfera:

Y para puntos exteriores:

En el caso de que la carga se distribuyera en la superficie de la esfera, es decir,en el caso de que fuera conductora, para puntos exteriores a la misma laintensidad del campo estaría dada por la segunda expresión, pero para puntosinteriores a la esfera, el valor del campo sería nulo ya que la superficiegaussiana que se considerara no encerraría carga alguna.

Ley de Gauss para el campo magnetostático.

Al igual que para el campo eléctrico, existe una ley de Gauss para elmagnetismo, que se expresa en sus formas integral y diferencial como

Esta ley expresa la inexistencia de cargas magnéticas o, como se conocenhabitualmente, monopolos magnéticos. Las distribuciones de fuentesmagnéticas son siempre neutras en el sentido de que posee un polo norte y unpolo sur, por lo que su flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo.

En el hipotético caso de que se descubriera experimentalmente la existencia demonopolos, esta ley debería ser modificada para acomodar lascorrespondientes densidades de carga, resultando una ley en todo análoga a laley de Gauss para el campo eléctrico. La Ley de Gauss para el campomagnético quedaría como

donde densidad de corriente , la cual obliga a modificar laley de Faraday

Caso gravitacional.

Dada la similitud entre la ley de Newton de la gravitación universal y la ley deCoulomb, puede deducirse una ley análoga para el campo gravitatorio, la cualse escribe

siendo G la constante de gravitación universal. El signo menos en esta ley y elhecho de que la masa siempre sea positiva significa que el campo gravitatoriosiempre es atractivo y se dirige hacia las masas que lo crean.

Sin embargo, a diferencia de la ley de Gauss para el campo eléctrico, el casogravitatorio es sólo aproximado y se aplica exclusivamente a masas pequeñasen reposo, para las cuales es válida la ley de Newton. Al modificarse la teoríade Newton mediante la Teoría de la Relatividad general, la ley de Gauss dejade ser cierta, ya que deben incluirse la gravitación causada por la energía y elefecto del campo gravitatorio en el propio espaciotiempo (lo que modifica laexpresión de los operadores diferenciales e integrales).

Ecuación de Poisson-Boltzmann.

La ecuación de Poisson-Boltzmann es una ecuación diferencial que describeinteracciones electrostáticas entre moléculas en soluciones iónicas. Es la basematemática para el modelo de la Doble Capa Eléctrica Interfacial de Gouy-Chapman, propuesta inicialmente por Gouy en 1910 y completada porChapman en 1913. La ecuación es importante en los campos de la dinámicamolecular y la biofísica, porque puede usarse en el modelado de disolucionescontinuas, como aproximación de los efectos de los disolventes en estructurasde proteínas, ADN, ARN, y otrasmoléculas en disoluciones de distinta fuerzaiónica. Algunas veces la ecuación Poisson–Boltzmann resulta difícil de resolverpara sistemas complejos, problema que se está solucionando con el desarrollodel análisis numérico por computadora.

La ecuación puede escribirse como:

Donde:

es el operador divergencia,

representa la posicion-dependencia dieléctrica,

representa el gradiente del potencial electrostático,

representa la densidad de carga del soluto,

representa la concentración del ion i a una distancia de infinito desde elsoluto,

es la carga del ion, q es la carga del protón,

es la constante de Boltzmann, T es la temperatura, y : es un factor parala acesibilidad de la posicion-dependencia de la posición r hasta los iones en ladisolución.

Si el potencial no es grande, la ecuación se puede linealizar para así poder serresuelta más fácilmente, llevando a la ecuación Debye–Hückel.

Aplicación de la ecuación de Poisson en macromoléculas.

En el estudio de las macromoléculas es posible hacer uso de ecuacionesutilizadas habitualmente en la dinámica de fluidos o en el electromagnetismo;una de estas es la ecuación de Poisson, que es posible obtener a partir de laley de Gauss en forma diferencial:

con:

Reemplazando, se obtiene:

la cual es la ecuación de Poisson, si se toma en una región del campo donde ladensidad de carga es cero:

cuya ecuación es la ecuación de Laplace.

Una de las características del operador laplaciano es ser invariante, por que esel resultado de dos operaciones sucesivas invariantes. Por ejemplo, ellaplaciano de un potencial electrostático es cero en regiones donde hay cargaespacial cero. Así, el problema general se remonta a encontrar el potencialelectrostático V correspondiente a una distribución de carga dada y encontraruna solución de la ecuación de Laplace o de Poisson que satisfaga lascondiciones de contorno.

Condiciones de contorno.

•Potencial: en la frontera entre 2 medios diferentes el potencial debe sercontinuo. Una discontinuidad implicaría una intensidad infinitamente grande decampo eléctrico, lo cual es imposible en la física. El potencial debe ser cero enel infinito si la distribución de carga está extendida de manera finita, y debe serconstante a través de algún conductor en todo el tiempo que las cargas esténen reposo.•

•Momento dipolar inducido: moléculas polarizadas o con un diminutodesplazamiento de las cargas positivas (+) y negativas (-)•Equilibrio de polarización: debe existir alineación neta.

Los modelos electrostáticos asumidos para estudiar las macromoléculas estánbasados en la ecuación de Poisson. Las dificultades que esto implican tienenque ver con el hecho de que, teniendo los modelos macromoleculares, serequieren los métodos para aplicar la ecuación de Poisson. Si las cargas serepresentan explícitamente como formas puntuales, y sus interaccione seefectúan en el espacio libre, se puede aplicar como solución la ley de Coulomb:

donde la sumatoria se efectúa sobre todas las i, el término r1 es la posición y elqi la magnitud de la i+n cargas puntuales.

En otros casos puede suceder que si la distribución de carga que genera elpotencial está presente en un medio complejo, es posible usar promediosespaciales para cuantificar la respuesta del medio a los campos generados porla distribución de carga.

Si el dieléctrico varía en el espacio, entonces la ecuación de Poisson toma laforma:

Puesto que tal distribución de carga puede estar en un medio complejo sepuede promediar la respuesta del medio ante ese campo eléctrico por medio delos momentos dipolares.