FACIL ITADOR: JOSÃ EULALIO� ARREGUÍN PÉREZ

ALUMNO: AARON CAMPUZANO DE LA TORRE

MATRICULA: AL12504399

1.- Lee el texto Lo que la tortuga le dijo a Aquiles, de Lewis Carroll, y responde tú mismo esas preguntas.

• ¿Por qué tenemos certeza de que nuestro método deductivo es confiable?

Porque, el método deductivo es un procedimiento que consiste en desarrollar una teoría considerando las premisas iniciales para obtener las consecuencias con la formulación posteriori de teorías formales, para ello se requiere seguir un proceso que permite cumplir con el objetivo. “Sus partidarios señalan que toda explicación verdaderamente científica tendrá la misma estructura lógica, estará basada en una ley universal, junto a ésta, aparecen una serie de condicionantes iniciales o premisas, de las cuales se deducen las afirmaciones sobre el fenómeno que se quiere explicar”.Este método tiene la ventaja de ser similar a la forma del razonamiento humano

• ¿Estamos justificados lógicamente para confiar en dicho método? La lógica nos dice que nada es totalmente confiable, para ello se utiliza el argumento deductivo, el cual se contrapone al método inductivo, para lo cual se requiere seguir un procedimiento de razonamiento. En el método deductivo, se pasa de lo general a lo particular, de forma que partiendo de enunciados de carácter universal se infieren enunciados particulares, pudiendo ser axiomático-deductivo, cuando las premisas de partida están constituidas por axiomas, (proposiciones no demostrables) aun así podemos llegar a una conclusión, en este caso que el método es confiable o no.

2. Encuentra la forma del Modus Pones en la demostración dada.

• Demuestra de forma directa la siguiente proposición Para cualesquiera dos conjuntos dados A y B, sucede que

Si x∈(AU B)c→x∈(AC∩BC)

Análogamente

Si x∈(A∩B)c→x∈(ACU BC)

( A∩B )c=( ACBC ) y (A∩B )c⊑ ( ACBC ) y ( A∩B )c⊒ (ACBC )

paracualquier x : x∉ Ao x∉B

x∈ A c o x∈Bc

x∈ ( ACU BC )

∴ ( A∩B )c=( ACU BC )

Haz un diagrama de Venn donde demuestres los resultados.Demostrar las leyes de Morgan y las propiedades conmutativas.A∪ B = B ∪ AA∩ B = B ∩ A

Primera ley. El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos. (A∪B)' = A'∩B'

A∪ B viene dada por la región en blanco y (A ∪ B)' está representado por el área sombreada verticalmente. Por su parte en el diagrama de la derecha, A' es la región sombreada horizontalmente, B' es el área sombreada verticalmente, por lo que A'∩B' está representado por la superficie cuadriculada. Las regiones resultantes son iguales.

Segunda ley. El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos: (A ∩ B)' = A'∪B'

A ∩ B está dada por la región sombreada horizontalmente y (A∩ B)' está representado por el área sombreada verticalmente. Por su parte, en el diagrama

de la derecha, A'B es la región sombreada horizontalmente, B' es el área sombreada verticalmente, por lo que A'∪B' está representado por la superficie que no es blanca. Las regiones resultantes son iguales.

3.-Indica cuáles son los casos de la demostración f ' ( x )=0

ExistendosCasos paralosCuales f ' ( x )=0

Cuando esuna funcionConstante f ' ( c )=0ocuando esuna funcion

continuaenun intervalo se obtienenmueros sus numerosCriticos

1) f(p) = f(a), si esto ocurre, entonces f es una función constante, y la derivada de una constante es cero, por lo tanto f’(c) = 0. Para toda c en (a,b).

2) f(p) > f(a), sabiendo que f es continua en el intervalo, cada uno de los puntos del intervalo abierto bajo f existen, entonces existe un punto d en (a,b), tal que: f(d) ≥ f(c) para todo c de (a, b) entonces f(d) es un máximo relativo de la función y por lo tanto derivable y por el teorema de los valores extremos, es cero. Por lo tanto, f’(c) = 0

3) f(p) < f(a), sabiendo que f es continua en el intervalo, cada uno de los puntos del intervalo abierto bajo f existen, entonces existe un punto d en (a,b), tal que: f(d) ≥ f(c) para todo c de (a, b) entonces f(d) es un mínimo relativo de la función y por lo tanto derivable y por el teorema de los valores extremos, es cero. Por lo tanto, f’(c) = 0

Demuestra, utilizando el método por casos, que AU B=BU A , para cualesquiera conjuntos A y B.

Si x∈ A o x∈B

x∈ (A U B )⟺ x∈ (BU A )

Por leyCunmutativa de conjuntosnosdice ( AU B )=(BU A )

• Demuestra, utilizando el método por casos, que A U B = B U A, para cualesquiera conjuntos A y B.

Hipótesis: A U B = B U A

Demostración 1: Todos los elementos de B son elementos de Ap∈B ⇒ p∈A

Un conjunto B está incluido (o contenido) en otro conjunto A si y sólo si para todo elemento de B se cumple que es elemento de A.B⊆A ⇔ x∈B ⇒ x∈A

Demostración 2: Sabiendo que todo conjunto está contenido en la unión de sí con cualquier otro conjunto, se tiene que A c (A u B). La intersección de dos conjuntos siempre está contenida en uno cualquiera de ellos; por lo tanto (A n B) c B. Pero A u B = A n B, por lo tanto: Ac (A n B) y por la transitividad de la relación "c", se tiene A c B y B c A entonces se concluye que A=B Si A es unión de B entonces B es unión de A.

4. Indica dónde se encuentra la contradicción en la demostración √2 es un número irracional.

Supongamos que raíz de dos es un número racional, entonces, existen dos

enteros p y q tales que  √2= pq

 y q es distinto de cero.

√2= pq

Elevando al cuadrado obtenemos que 2= p2

q2

Multiplicando ambos lados de la igualdad por q2  tenemos que

2q2=p2

Esta expresión nos dice que p2 es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número. Y por tanto p es par.

Pero p2 es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de q2, el otro 2 tiene que estar en el q2

Eso quiere decir que q2 también tiene que ser par, y por tanto q también es par.

Pero si p es par y q también, la fracción pq

 no es irreducible, como habíamos

supuesto.

Ya hemos llegado al absurdo. Teníamos una fracción irreducible  pq

cuyo

numerador y denominador son pares.• Explica la diferencia entre este método y el método contra positivó.

En el método contrapositivo es aquel que parte de la condicional “Si P entonces Q” y consiste en suponer el “No Q” ósea la negación del consecuente de la implicación y demostración con esta suposición extra que “No P”

P→Q≡¬Q→¬P

En cambio el método de la Reducción al absurdo nos permite probar una afirmación P a partir de la suposición de una proposición de la negación de P, es Decir ¬P

• Demuestra, utilizando el método contra positivó, que si el cuadrado de un número es par, entonces dicho número también es par.

Sea p un numero entonces 2p es un numero par y (2p)2 es un número impar, q en un numero par y para ser impar se tiene que (q+1) es impar (q+1)2 es impar si entonces

(2p)2 = (q+1)2→ 4p2 = q2 + 2q + 1→4p2 = q(q + 2) + 1

si p y q son pares deben de ser iguales, no se cumple la igualdad y por consecuencia la negación de que el cuadrado de un numero par es impar es falsa y entonces el cuadrado de un numero par es par se toma como verdadera

• Demuestra, utilizando el método contra positivo, que si el cuadrado de un número es par, entonces dicho número también es par.

Si n es impar, se puede expresar de la forma: n=2k+1• Al calcular n2 se tiene: n2= (2k+1))2

n2= (2k) 2+ 2(2k)2 +(1)2 n2= 4(k2+ k)+1∴n2es impar• Demuestra, utilizando el método de reducción al absurdo, que:

Supongamos que A-B≠ 0, por definición la diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto.

Si A-B≠ 0 = (xI x ЄA y x Є B) Entonces ( AU B )= (B U A)= Ø → A – B = Ø lo cual contradice la suposición de que A-B = Ø Considerando que P: A –B = Ø Q: A ⊆ B A ⊆ B → A – B = Ø Y por definición: Q→ ⇁P • ¿Qué obtienes si conjuntas ambas proposiciones?

A-B = Ø → A ⊆ B A⊆ B → A – B = Ø A es diferencia de B se tiene un conjunto vacío entonces cada elemento de A es también elemento de B; pero si cada elemento de A es también elemento de B entonces A-B es un conjunto vacío.• Haz un diagrama de Venn donde se muestren estos resultados.

{Ø}

U