ACTIVIDAD 3

Integrantes:

Gazi, Pablo Damin

Westerberg, Erica Lorena

PARTE A

La actividad consiste en seleccionar un modelo, entre los titulados modelos 1 a 4 inclusive (abajo mencionados) y resolverlo recreando el contexto. Donde por recrear entendemos complejizar as:

agregando dos nodos o vrtices involucrados (que pueden ser personas, objetos, ciudades, etc.),

agregando tres conexiones entre ellos (influencias, flujo, etc.),

realizando todas las operaciones matriciales mostradas en los ejemplos afines al modelo. No es necesario explicar o fundamentar, como en la gua, que esa operacin da respuesta a la pregunta. Basta con plantear la pregunta y contestarla usando la operacin matricial.

Tambin, analice y responda si las matrices intervinientes deben ser necesariamente cuadradas? Simtricas? Invertibles? Fundamente.

Para operar use los ya conocidos paquetes Wolfram Alpha, Wiris y OnLineMSchool. Capture imgenes con la tecla Imr Pant, con el paquete PhotoScape o similar.

Interprete la informacin dada por cada una de las matrices (generadas ya se con informacin de partida o por operatoria matricial): en forma general la matriz en su totalidad, y en forma ms especfica una entrada genrica i,j y una entrada particular 2,3 por ejemplo.

Todo ello lo orienta a dejar indicios de que comprende la modelizacin matemtica de la situacin contextual planteada.

Modelo 4. Ejemplos 22, 23 y 24, responden al mismo modelo donde las matrices se multiplican para obtener nuevas matrices que brindan la informacin requerida. Aparece el Modelo o Proceso de Markov.

Tomaremos como referencia el ejemplo 22. Debemos plantear una situacin similar a la desarrollada agregando diferentes nodos. En nuestro caso desarrollaremos la situacin de la siguiente manera=

La poblacin de la provincia de Crdoba se encuentra dividida entre poblacin empleada y desempleada.

La poblacin empleada asciende a 2.954.513 habitantes, mientras que la poblacin desempleada asciende los 350.311 habitantes.

Este dato segn el censo 2010 y las tasas de desempleo de la Indec (no son datos exactos)

La probabilidad de que una persona permanezca con su empleo es de un 91%, mientras que el 9% restante es la probabilidad de que una persona empleada se quede sin trabajo.

La probabilidad de que una persona desempleada consiga empleo es de 65%, mientras que el 35% restante es la probabilidad de que una persona desempleada permanezca desempleada.

A nosotros nos interesa determinar la poblacin empleada y la poblacin desempleada en un periodo de tiempo determinado.

Reflexionando sobre los datos reflejados podemos determinar que el producto entre el total de la poblacin (empleada o no) y la probabilidad nos da como resultado el nmero total de personas que trabajan y las que no.

Ejemplo: el 91% de 2.954.513 es 2 .688.606 Con esto podemos decir que probablemente 2.688.606 habitantes permanezcan con su empleo en un periodo determinado.

El 9% de 2954.513 es 265.906. Con esto podemos decir que probablemente 265.906 habitantes de las personas empleadas se quede sin trabajo.

Los que trabajan + los que consiguen trabajo= poblacin empleada

Los que no trabajan + los que se quedan sin trabajo = poblacin desempleada.

La poblacin empleada para el prximo periodo es la suma de los que trabajan + los que consiguen trabajo.

(91% de 2.954.513) + (65% de 350.311)

La poblacin desempleada para el prximo periodo ser entonces la suma de los desempleados y los que se quedan sin trabajo.

(9% de 2.954.513) +(35% de 350.311)

Esta informacin se organizar como un sistema de ecuaciones ya que deben resolverse paralelamente.

Empleados

Desempleados

Empleados

91%

65%

Desempleados

9%

35%

Esto equivale al producto matricial:

Los datos obtenidos tanto en online MSChool son iguales dado que si bien estn expresados de diferente forma (fraccin nmero con decimales) equivalen al mismo resultado final.

Concluimos entonces a partir de los resultados obtenidos que en el periodo habr 2.916.308 habitantes empleados y 388.515 habitantes desempleados.

Observemos que 2.916.308+ 388.515 =3.304.823 = 2.954.513 + 350.311. Se observa que hay una diferencia nicamente por causa del redondeo.

La igualdad se mantienen debido a que lo nico que ocurre es que las personas pasan de ser empleadas a desempleadas o viceversa.

Los pasos seguidos para llegar a esta conclusin son los siguientes:

Primero ordenamos los datos en los arreglos rectangulares adecuados. Por ejemplo

Matriz P(2x2): porcentajes Pij. Muestra lo que recibe i proveniente de j . Tambien nos da informacion probabilistica de que una persona tenga o no tenga trabajo. La suma de cada columna de P equivale al 100%.

Vector X(2x1): resume la informacion de habitantes empleados y desempleados

El producto matricial de PX nos indica los totales de tanto de trabajadores como de desempleados en el periodo solicitado.

Al ser la matriz P una matriz de (2x2) y el vector X (2 x 1), el resultado obtenido nos dar una matriz C de 2 x1.

En el caso de la matriz P (matriz de porcentajes) representa los porcentajes de los habitantes empleados (j) que seguirn empleados (i).

Si se observa P(11) que equivale a 0.91 (91%). Esto significa que el 91% de los habitantes empleados seguir empleado.

Si se observa P(12) que equivale a 0.65 (65%). Esto significa que el 65% de los habitantes desempleados conseguir empleo.

Si se observa P(21) que equivale a 0.09 (9%). Esto significa que el 9% de los habitantes empleados se quedar sin empleo.

Si se observa P(22) que equivale a 0.35 (35%). Esto significa que el 35% de los habitantes Desempleados seguir desempleado.

Esta matriz relaciona los dos conceptos que estamos analizando. La matriz necesariamente debe ser cuadrada. Como no hay relacin entra la cantidad de habitantes empleados con los desempleados la matriz no tiene que ser simtrica. Tampoco debe ser invertible.

En el caso del vector X ( habitantes empleados y desempleados)

Representa la cantidad original de habitantes empleados y habitantes desempleados . Esta en una matriz columna o matriz vector columna y la misma no tiene que ser necesariamente cuadrada. No es simtrica ni invertible debido a que es condicin fundamental que la misma sea cuadrada.

En el caso de la matriz resultante C

Es el resultado del producto matricial P.X y da la informacin total de la cantidad total de habitantes probables empleados y desempleados

En el caso de C(11) indica la cantidad total probable de habitantes empleados

En el caso de C(12) indica la cantidad total probable de habitantes desempleados.

La matriz no es cuadrada, por ende no es simtrica ni invertible.

Si se debe averiguar la cantidad de personas que dentro de 3 periodos pasaran de una situacin laboral a otra se debe trabajar con la potencia tercera de la matriz P. P^n .

Para calcular entonces haramos primero

(P^3)

Y luego de haber obtenido el resultado haramos (P^3) x X =

Como resultado obtendramos entonces el nmero de habitantes probables empleados y desempleados en tres periodos.

Se puede verificar nuevamente que la cantidad de habitantes final es equivalente a la cantidad de habitantes totales del comienzo. Lo nico que vara es la cantidad probable de habitantes empleados y la cantidad total probable de habitantes desempleados.

=

PARTE B

La actividad consiste en recrear el Ejemplo 28 del material de estudio. Para recrearlo:

1) Reemplace la matriz T de la Gua de estudio por otra de la lista siguiente, y observe la accin que, sobre la letra N realiza el pre multiplicar la matriz D por T.

Nombres identificatorios:

T= nueva matriz de transformacin

D= matriz de coordenadas.

TD=H=nueva matriz del transformado por T.

Qu matriz calculara y cmo la usara con la matriz del transformado H, para obtener la matriz de coordenadas original? Esto es, cmo procedera, operando con matrices, para obtener las coordenadas de la letra original?

Dibuje. Realice los clculos con los ya conocidos paquetes Wolfram Alpha, Wiris, OnLineMSchool. Capture pantallas.

2) Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llmela S, y repita el proceso pero ahora tomando como matriz de coordenadas a H.

Nuevos nombres identificatorios:

S= nueva matriz de transformacin

H= nueva matriz de coordenadas.

SH=J=nueva matriz del transformado por S.

La idea es aplicar un movimiento atrs de otro y estudiar cmo cambia de posicin la letra N (esto es, hacer una composicin). As se trabajan las imgenes en una pantalla.

Como primera instancia graficamos la matriz del ejemplo 28.

Tomamos como nuestra nueva matriz de transformacin la matriz

Usamos como matriz D la matriz original quedando entonces el producto T.D=H

Utilizamos como referencia entonces los nuevos datos obtenidos, quedando el grafico de la siguiente manera:

Esta nueva figura nos muestra que es una reflexin respecto a la recta (movimiento 3).

Graficamos ambas en un mismo grfico.

Multiplicando por la inversa de la matriz T elegida por H nos vuelve a dar la matriz D original.

Seleccionaremos una nueva matriz de transformacion que llamaremos S y esta ser nuestra nueva matriz de transformacin.

Nuestra nueva matriz de coordenadas ser H quedando la nueva matriz del transformado por S la matriz J

Tomando como puntos de coordenadas a la matriz J nuestro grafico quedaia de la siguiente manera:

La composicion final de movimientos quedara de la siguiente manera: