Termodinámica unidad 3 actividad 4

Solido de Einstein

Título

Resumen:

Investiguen lo que es un sólido de Einstein:

Un paso útil encaminado al entendimiento del calor específico de los sólidos, fue propuesto por Einstein en 1907, que consideraba al sólido como si estuviera formado por un gran número de osciladores idénticos. El enfoque cuántico del oscilador armónico, da una serie de osciladores con estados cuantizados separados por la misma distancia hf, donde h es la constante de Planck y f es la frecuencia del oscilador. El dibujo de abajo, visualiza un grupo de osciladores uniformemente espaciados en un sólido, despreciando para este estudio cualquier interacción entre ellos.

El sólido de Einstein conceptual, es útil para examinar la idea de la multiplicidad, en la distribución de energía entre los estados de energía disponibles del sistema. Todos los niveles de energía se consideran igualmente probables, con la obligación de tener q unidades de energía y N osciladores.

Como ejemplo, consideremos q = 3 unidades de energía, distribuida en un sólido de Einstein con N = 4 osciladores.

A la izquierda, tenemos una lista detallada de las posibles distribuciones de energía. Un total de 20 distribuciones diferentes para 3 unidades de energía entre 4 osciladores (una multiplicidad de 20). Si tratamos de desarrollar una descripción de un sólido real, con un número de Avogadro de osciladores, esta clase de enfoque es claramente inviable. Afortunadamente las expresiones matemáticas de la multiplicidad, hacen manejable esta tarea.

La multiplicidad para q unidades de energía entre N osciladores está dada por la expresión:

La cual para este ejemplo viene a ser:

La entropía del sólido de Einstein se puede expresar en términos de la multiplicidad.

Entropía = k lnW

Para hacer manejable la expresión de la entropía, consideramos los siguientes pasos:

Ahora, haciendo uso de la aproximación de Stirling para evaluar los factoriales.

Haciendo la suposición física de que el número de unidades de energía es mucho más grande que el número de osciladores, q>>N, la expresión se puede simplificar más. Reagrupando.

Los pasos de arriba hacen uso de las reglas de combinación de logaritmos y la expansión de series de ln (1+N/q) que se puede aproximar por el primer término cuando q>>N: (aproximadamente, ln (1+x)=x si x<<1).

Sustituyendo nos da la expresión de la entropía del sólido de Einstein:

La energía interna U puede ser representada por q multiplicada por la unidad de energía del oscilador hf = e. El último término anterior será insignificante bajo el supuesto de q>> N, por lo que la convierte en expresión de la entropía

Por último, podemos establecer una conexión con algo parecido a un sólido en el mundo real. La energía interna U se puede representar por q multiplicado por la unidad de energía del oscilador hf= e. El último término de arriba, será despreciable bajo el supuesto de que q>>N, de modo que la expresión de la entropía queda como.

Usando la definición de temperatura como función de la entropía, resulta.

Esto es lo que se esperaba de la equipartición de la energía. Cada oscilador tiene dos grados de libertad, y cada uno representaría kT/2 de energía, dando U=NkT.

Describan las características de un sólido de Einstein, la capacidad calorífica, y la energía interna.

De acuerdo con el modelo de Einstein de un sólido cristalino, la energía interna por mol está dada por,

U = 3NAkTE eTE/T − 1

En donde TE es una temperatura característica, llamada temperatura de Einstein y T es la temperatura del solido en grados kelvin. Evaluar la energía interna molar del diamante (TE = 1060K) a 300K y a 600K y con ello el incremento de esta magnitud al calentar el diamante de 300K a 600K.

La capacidad calorífica de un cuerpo es el cociente entre la cantidad de energía calorífica transferida a un cuerpo o sistema en un proceso cualquiera y el cambio de temperatura que experimenta. En una forma menos formal es la energía necesaria para aumentar una unidad de temperatura (SI: 1 K) de una determinada sustancia, (usando el SI). Indica la mayor o menor dificultad que presenta dicho cuerpo para experimentar cambios de temperatura bajo el suministro de calor. Puede interpretarse como una medida de inercia térmica. Es una propiedad extensiva, ya que su magnitud depende, no solo de la sustancia, sino también de la cantidad de materia del cuerpo o sistema; por ello, es característica de un cuerpo o sistema particular. Por ejemplo, la capacidad calorífica del agua de una piscina olímpica será mayor que la de un vaso de agua. En general, la capacidad calorífica depende además de la temperatura y de la presión.

La capacidad calorífica no debe ser confundida con la capacidad calorífica específica o calor específico, el cual es la propiedad intensiva que se refiere a la capacidad de un cuerpo «para almacenar calor», y es el cociente entre la capacidad calorífica y la masa del objeto. El calor específico es una propiedad característica de las sustancias y depende de las mismas variables que la capacidad calorífica.

Capacidad calorífica vibracional, dependencia de la capacidad calorífica respecto de la temperatura, otras contribuciones a la capacidad calorífica, transiciones de fase. Métodos de medida de calor específico y valores de calor específico para distintos materiales.

En la mayoría de los sólidos el modo principal con que se absorbe energía térmica es mediante el aumento en la energía vibracional de los átomos.

Los sólidos están vibrando constantemente a frecuencias muy altas y con amplitudes relativamente pequeñas. Las vibraciones no son independientes unas de otras, sino que están acopladas en virtud del enlace químico, dando lugar a ondas viajeras conocidas como ondas elásticas.

La energía térmica vibracional de un material consiste en una serie de estas ondas elásticas que tienen un intervalo de distribuciones y frecuencias. Solo ciertos valores de la energía están permitidos y un cuanto de energía vibracional se denomina fotón.

La energía total de los fotones a una temperatura en un cristal puede describirse como la suma de las energías extendidas a todos los modos de los fotones.

Simulación del movimiento de los átomos dentro de una molécula.

En la teoría clásica de los calores específicos, la energía media a una temperatura dada se calcula teniendo en cuenta todas las energías posibles y calculando el valor promedio mediante la estadística de Boltzmann. Al hacer el cálculo de la energía media se llega a la conclusión de que, a cada grado de libertad de las partículas del sistema le corresponde una energía media kBT/2 (este es el llamado principio de equipartición de la energía). Así, en los gases monoatómicos, donde cada partícula tiene tres grados de libertad, la energía media por partícula sería 3kBT/2.

• Expliquen la forma de calcular la temperatura característica en un sólido de Einstein.

Llamamos capacidad calorífica de un sólido al calor necesario para elevar en un grado la temperatura de una determinada cantidad de material (se mide en Joule/ºC o J/K):

C= Qδ/Tδ

Es frecuente utilizar la capacidad calorífica molar (J/ºC mol o J/ K mol), en la que la cantidad de materia considerada es un mol, mientras que en la definición de calor específico se suprime la dependencia con la masa total involucrada (J/ ºC kg o J/ K kg).

La capacidad calorífica de cada material depende de la existencia en dicho material de mecanismos de acumulación de energía, a través de la excitación de vibraciones de los átomos o de la excitación de electrones a los niveles superiores de energía. En la mayor parte de los sólidos (con excepción de los metales a muy baja temperatura) la capacidad calorífica está determinada esencialmente por la energía que puede acumular el sólido en forma de vibraciones de los átomos que lo componen, en torno a sus posiciones de equilibrio.

En los experimentos de Dulong y Petit, se encontró que el calor específico de un sólido (a temperatura ambiente) es muy similar para muchos materiales: aproximadamente 6 cal/mol-K. Es decir, la cantidad de energía calórica por molécula, necesaria para aumentar la temperatura del sólido una cantidad dada, parecía ser aproximadamente la misma, independientemente del tipo de elemento químico que lo constituía. De acuerdo a la estadística clásica este hecho tiene la siguiente interpretación:

Un sólido puede considerarse como una red cristalina donde cada átomo lleva a cabo oscilaciones armónico– simples en torno a su posición en la red, en tres dimensiones.

Como en un mol hay N0 átomos (siendo N0 el número de Avogadro) y cada uno tiene tres grados de libertad, un mol del sólido tiene 3N0 grados de libertad. A cada uno de estos grados se le asigna (de acuerdo con la ley clásica de la equipartición de la energía) una energía total promedio kT. De este modo la energía total interna es:

E = 3 N0 k T = 3 R T

Donde R es la constante universal de los gases.

• La capacidad calorífica a volumen constante resulta ser:

Cv = dE/dT = 3R = 6 ( cal /mol * cal)

Sin embargo, experimentos posteriores mostraron que a medida que se disminuye la temperatura, las capacidades caloríficas molares varían. Así, el calor específico de todos los sólidos tiende a cero cuando disminuye la temperatura y cerca del

cero absoluto el calor específico varía como T3. Debye encontró un tratamiento teórico que se ajusta con éxito a los resultados experimentales. Tratamientos anteriores como el de Einstein, consideraban los átomos del sólido como si vibraran independientemente entre sí. Pero los átomos, en realidad, están fuertemente acoplados y por eso un átomo no puede ponerse a vibrar sin perturbar a sus vecinos y eventualmente a todo el sólido. En lugar de considerar Núm. átomos vibrando independientemente en tres dimensiones, Debye consideró un sistema de 3N0 vibraciones acopladas y realizó una superposición de modos

Medición de la temperatura de Debye. Se siguió el siguiente procedimiento:

• De la barra metálica de un sensor de fuerza previamente calibrado, se colgó un recipiente de telgo por conteniendo LN2. El sensor conectado a la PC transluce, mediante un software adecuado, las diferencias de tensión provocadas por la deflexión de la barra en diferencias de voltaje, las que a su vez (previa selección mediante el software) traduce a fuerzas en N (“newton”). El dispositivo quedó así preparado para medir el peso de lo que cuelgue de él.

• La calibración del sensor se realizó de la siguiente manera:

- Seis objetos cuyas masas (mb) se determinaron mediante una balanza de 0,1g de precisión, se colgaron sucesivamente del sensor registrándose el correspondiente peso.

- A partir de la segunda ley de Newton, se determinó la masa asociada al sensor (ms) mediante la ecuación ms = P / g siendo P el peso indicado por el mismo y g la aceleración de la gravedad.

Se representó gráficamente mb en función de ms (Figura 1) para encontrar una relación que permitiera pasar de la segunda a la primera, tomada ésta como una masa de referencia del objeto. Los puntos fueron aproximados mediante una línea recta, cuya ecuación representa la relación buscada. La pendiente tiene una incertidumbre asociada de ±0,04.

Se verificó que el sensor fuese sensible a la pérdida de masa que sufría el LN2 al vaporizarse en contacto con el medio ambiente.

• Se determinó la masa de una muestra sólida de hierro y manteniéndola suspendida de un hilo se la sumergió completamente en el LN2. Este proceso se realizó lo más rápidamente posible pero tratando de evitar el salpicado de líquido que conllevaría una pérdida extra de masa no debida a la vaporización. Se cuidó de que en todo momento la muestra estuviese completamente cubierta por el LN2 sin que tocase las paredes o el fondo del recipiente.

Continuamente se registró la variación de masa del LN2 respecto al tiempo, tanto antes como después de haber introducido la muestra. Este procedimiento se repitió con muestras de otros sólidos como cobre y plomo.

• De acuerdo con el modelo matemático que representa el sólido de Einstein, expliquen la entropía total de dos sólidos de Einstein.

La magnitud fundamental de la Termodinámica es la entropía, la cual se introduce a partir de la ecuación de Clausius para un proceso infinitesimal.

Condensado de Bose-Einstein: todos los átomos se encuentran en un mismo lugar. Para hacernos una idea de lo que sería un objeto cotidiano estando en estado de Bose-Einstein, proponemos imaginar que varias personas estuvieran sentadas en la misma silla, no una sentada sobre otra, sino literalmente todas sentadas en la misma silla, ocupando el mismo espacio en el mismo momento.

Los sólidos se forman cuando las fuerzas de atracción entre moléculas individuales son mayores que la energía que causa que se separen. Las moléculas individuales se encierran en su posición y se quedan en su lugar sin poder moverse. Aunque los átomos y moléculas de los sólidos se mantienen en movimiento, el movimiento se limita a una energía vibracional y las moléculas individuales se mantienen fijas en su lugar y vibran unas al lado de otras. A medida que la temperatura de un sólido aumenta, la |cantidad de vibración aumenta, pero el sólido mantiene su forma y volumen ya que las moléculas están encerradas en su lugar y no interactúan entre sí.

Calor Especifico de Solidos.

Resumen:

En la práctica de Calor específico el objetivo fue calcular experimentalmente el

calor especifico de un cuerpo desconocido mediante el método de las mezclas, el

cual consiste en el equilibrio y conservación de la energía puesto que si se

mezclan dos cuerpos de distinta temperatura, se tendrá que el calor que cede un

cuerpo es igual al calor que gana el otro cuerpo, Para esto utilizamos materiales

como: calorímetro, termómetro, botella térmica, muestra sólida, receptor metálico,

agua, agitador. Lo primero que hicimos fue medir la temperatura de ambiente y

después encendimos el equipo, luego procedimos a llenar de agua el recipiente a

calentar después colocamos la muestra sólida en forma de gránulos finamente

divididos en otro recipiente, al calentarse e l otro recipiente una manguera

transportaba el vapor hacia el otro recipiente, en donde estaba la muestra, para

transferir el calor y para cuando ambos queden en equilibrio térmico nosotros

mediamos esa temperatura y también la temperatura de desfogue del otro extremo

de la manguera y por último teníamos que retirar cuidadosamente la muestra y

colocarla en un calorímetro que contenía agua fresca para medir su temperatura.

Con los datos de las masas del recipiente, de la muestra y de varias temperaturas

procedimos con los cálculos para determinar el Calor Específico de dicha muestra.

Introducción:

El calor es la transferencia deenergíaentre diferentes cuerpos o diferentes zonas

deun mismo cuerpo que se encuentran a distintastemperaturas.Este flujo

siempreocurre desde el cuerpo de mayor temperatura hacia el cuerpo de menor

temperatura,ocurriendo la transferencia de calor hasta que ambos cuerpos se

encuentren enequilibrio térmico(ejemplo: una bebida fría dejada en una habitación

se entibia).La energía puede ser transferida por diferentes mecanismos, entre los

que cabereseñar laradiación,laconduccióny laconvección,aunque en la mayoría de

losprocesos reales todos se encuentran presentes en mayor o menor grado

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/therm/einsol.html

http://termodinamica.us.es/materiales/trans/Leccion2.pdf