ACTIVIDAD 4B
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ACTIVIDAD 4B. PRIMERA PARTE : INECUACION CON VALOR ABSOLUTO. Ejercicio 1 : ቚ−5 ݔ+ ଷ ଶ ቚ > ଵ ଶ Caso 1 : ൬− + ൰ >0 ⇒ ฬ− + ฬ = − + − + > − + − >0 − + >0 − > −1 <1 < → = ൬−∞, ൰ Caso 2 : ቀ− + ቁ <0 ⇒ ቚ− + ቚ = − − > − − >0 − >0 >2 > → = ൬ , ∞൰ = ∪ = ൬−∞, ൰∪൬ , ∞൰ = ൜ ∈ / < ∨ > ൠ
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ACTIVIDAD 4B.
PRIMERA PARTE : INECUACION CON VALOR ABSOLUTO.
Ejercicio 1 : −5푥 + >
Caso 1 :
−ퟓ풙+ퟑퟐ > 0 ⇒ −ퟓ풙+
ퟑퟐ = −ퟓ풙 +
ퟑퟐ
−ퟓ풙+ퟑퟐ >
ퟏퟐ
−ퟓ풙+ퟑퟐ −
ퟏퟐ > 0
−ퟓ풙+ ퟏ > 0
−ퟓ풙 > −1
ퟓ풙 < 1
풙 <ퟏퟓ→ 풔풐풍풖풄풊풐풏ퟏ = −∞,
ퟏퟓ
Caso 2 :
−ퟓ풙+ ퟑퟐ
< 0 ⇒ −ퟓ풙+ ퟑퟐ
= ퟓ풙 − ퟑퟐ
ퟓ풙 −ퟑퟐ >
ퟏퟐ
ퟓ풙 −ퟑퟐ −
ퟏퟐ > 0
ퟓ풙 − ퟐ > 0
ퟓ풙 > 2
풙 >ퟐퟓ→ 풔풐풍풖풄풊풐풏ퟐ =
ퟐퟓ ,∞
풔풐풍풖풄풊풐풏 = 풔풐풍풖풄풊풐풏ퟏ ∪ 풔풐풍풖풄풊풐풏ퟐ = −∞,ퟏퟓ ∪
ퟐퟓ ,∞ = 풙 ∈ 푹/풙 <
ퟏퟓ ∨ 풙 >
ퟐퟓ
Planteamos el ejercicio como distancia a un punto :
−5푥 +32 >
12
−ퟓ 풙−ퟑퟏퟎ >
ퟏퟐ
|−ퟓ| 풙 −ퟑퟏퟎ >
ퟏퟐ
ퟓ 풙 −ퟑퟏퟎ
>ퟏퟐ
풙 −ퟑퟏퟎ >
ퟏퟏퟎ
Esto se interpreta como “todos los puntos que se encuentran a una distancia mayor a 1/10 del punto 3/10”.
Es decir:
Punto : 3/10.
Distancia : 1/10.
푿 >ퟑퟏퟎ+
ퟏퟏퟎ → 푿 >
ퟐퟓ
푿 <ퟑퟏퟎ
−ퟏퟏퟎ
→ 푿 <ퟏퟓ
1/5 3/10 2/5
CONCLUSION : Los resultados coinciden.
Verificamos la solución con los siguientes valores:
a) X=1/5 (limite)
−515 +
32 >
12
−55 +
32 >
12
−22 +
32 >
12
12 >
12
12 >
12 → 푓푎푙푠표
b) X=2/5 (limite)
−525 +
32 >
12
−42 +
32 >
12
−12 >
12
12 >
12 → 푓푎푙푠표
c) X=3/5
−ퟓퟑퟓ
+ퟑퟐ
>ퟏퟐ
−ퟏퟓퟓ +
ퟑퟐ >
ퟏퟐ
−ퟔퟐ +
ퟑퟐ >
ퟏퟐ
−32 >
12
32 >
12 → 푣푒푟푑푎푑푒푟표
d) X=0
−ퟓ(ퟎ) +ퟑퟐ >
ퟏퟐ
ퟑퟐ >
ퟏퟐ
ퟑퟐ
>ퟏퟐ→ 풗풆풓풅풂풅풆풓풐
e) X= ퟑퟏퟎ
−ퟓퟑퟏퟎ +
ퟑퟐ >
ퟏퟐ
−ퟏퟓퟏퟎ+
ퟑퟐ >
ퟏퟐ
−ퟑퟐ +
ퟑퟐ >
ퟏퟐ
|ퟎ| >ퟏퟐ
ퟎ >ퟏퟐ → 풇풂풍풔풐
CONCLUSION : La solución es correcta.
SEGUNDA PARTE : LUGARES GEOMETRICOS.
{(풙,풚)흐푹ퟐ ⋰ (풙+ ퟑ)ퟐ + (풚 − ퟑ)ퟐ = ퟐퟓ}
Lugar geométrico : CIRCUNFERENCIA.
Ecuación estándar :
ퟓퟐ = (풙 − (−ퟑ))ퟐ + (풚 − ퟑ)ퟐ
Radio (r) : 5.
Centro (a,b) : (-3,3).
a = -3.
b = 3.
Ecuación general :
풙ퟐ + 푨풙 + 풚ퟐ + 푩풚 + 푪 = ퟎ
푨 = −ퟐ풂 = −ퟐ(−ퟑ) = ퟔ
푩 = −ퟐ풃 = −ퟐ.ퟑ = −ퟔ
푪 = 풃ퟐ + 풂ퟐ − 풓ퟐ = ퟑퟐ + (−ퟑ)ퟐ − ퟓퟐ = ퟗ + ퟗ − ퟐퟓ = −ퟕ
Por lo tanto la ecuación general es :
풙ퟐ + ퟔ풙 + 풚ퟐ − ퟔ풚 − ퟕ = ퟎ
Puntos de corte con el eje x (y=0).
풙ퟐ + ퟔ풙 − ퟕ = ퟎ
a = 1 , b = 6 , c = -7
Aplicamos : 풃± 풃ퟐ ퟒ풂풄ퟐ풂
풙ퟏ,ퟐ =−ퟔ± √ퟑퟔ+ ퟐퟖ
ퟐ
풙ퟏ,ퟐ =−ퟔ± √ퟔퟒ
ퟐ =−ퟔ± ퟖ
ퟐ
풙ퟏ =−ퟔ + ퟖ
ퟐ = ퟏ
풙ퟐ =−ퟔ − ퟖ
ퟐ = −ퟕ
Por lo tanto los puntos de corte con el eje x son : (1,0) y (-7,0).
Puntos de corte con el eje y (x=0).
풚ퟐ − ퟔ풚 − ퟕ = ퟎ
a = 1 , b = -6 , c = -7
Aplicamos : 풃± 풃ퟐ ퟒ풂풄ퟐ풂
풚ퟏ,ퟐ =ퟔ ± √ퟑퟔ + ퟐퟖ
ퟐ =ퟔ ± ퟖퟐ
풚ퟏ =ퟔ + ퟖퟐ = ퟕ
풚ퟐ =ퟔ − ퟖퟐ = −ퟏ
Por lo tanto los puntos de corte con el eje y son : (0,7) y (0,-1).
No es función puesto que para algunos valores de x les corresponden 2 valores de y.
