Teorema Fundamental del Cálculo

Como ya lo mencionan algunos de mis compañeros es un importante resultado que relaciona

ambos Cálcula diferencial y Cálculo Integral.

Sin este teorema definitivamente seria mas complicado resolver los problemas planteados, e incluso

sin darnos cuenta resolvemos problemas en la vida real.

Sea una función integrable y definamos por

para todo x en [a,b]. Entonces: i) F es continua en [a,b]. ii) En todo punto c de [a,b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable

en dicho punto siendo . En particular, si f es continua en [a,b], entonces

F es derivable en [a,b] y para todo x en [a,b].

Demostración.

i) Como f es integrable debe estar acotada. Sea tal que para

todo x en [a,b]. Entonces, si x < y son puntos de [a,b] tenemos que:

Por la misma razón, si suponemos que y < x, tendremos que .

Estas dos desigualdades nos dicen que para todo par de puntos x, y de [a, b]. De esta desigualdad se sigue inmediatamente la continuidad de F en [a, b]. ii) Pongamos

Dado, >0, la continuidad de f en c nos dice que hay un δ>0 tal que para todo t ε

[a,b] tal que se tiene que . Tomemos ahora un punto

cualquiera x ε [a,b] tal que . Entonces es claro que para todo t

comprendido entre x y c se tendrá que y, por tanto, por lo

que . Deducimos que para todo x ε [a,b] tal que

, x c, se verifica que:

Hemos probado así que , esto es, F es derivable en c y

.

Definición

Dada un función , cualquier función que sea continua en

[a,b], derivable en ]a,b[ y verifique que para todo x ]a,b[, se llama

una primitiva de f en el intervalo [a,b].

Es importante advertir que no todas las funciones tienen primitivas. Una condición necesaria que debe cumplir una función para tener primitivas es que dicha función tenga la propiedad del valor intermedio pues, como recordarás, las funciones derivadas tienen esa propiedad. También, como consecuencia del teorema del valor medio, es inmediato que dos primitivas de una función en un mismo intervalo se diferencian en una constante. Por ello, si conocemos una primitiva de una función en un intervalo las conocemos todas. Precisamente, una consecuencia muy importante del Teorema Fundamental del Cálculo es que toda función continua en

un intervalo tiene primitivas en dicho intervalo. Además, el teorema nos dice que

la función área, esto es, la función es la primitiva de la función continua , que se anula en a, . Es importante que aprecies que este es un teorema de existencia; es la definición que hemos dado de área - y por

consiguiente de integral - lo que nos ha permitido construir la función primitiva de f. No lo olvides: la integración es una potente herramienta para construir nuevas funciones.

El Teorema Fundamental del Cálculo proporciona una técnica para calcular la integral de una función continua en un intervalo [a,b]. Para ello lo que hacemos es obtener una primitiva de f en [a,b]. Si h es una tal primitiva, entonces las funciones

, y son dos primitivas de f en [a,b] que coinciden en un

punto, pues ambas se anulan en a. Deducimos que , por lo

que . Podemos generalizar este resultado como sigue.

MIGUEL LOPEZ MONDRAGON

AL11515655