Actividad 5. Formulario de las propiedades del producto punto y cruz

1. Participa con tus compañeros(as) de grupo en la wiki Formulario de propiedades del producto punto y cruz y elaboren un formulario en el que incluyan cada uno de los siguientes puntos.

La fórmula del producto de un vector por el vector 0 para el producto punto y cruz. La ley conmutativa del producto escalar. La ley distributiva del producto escalar y producto cruz. Muestra la fórmula de la propiedad anticonmutativa del producto vectorial. Presenta la fórmula del triple producto escalar de tres vectores.

Producto escalar:El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Ejemplo: Expresión analítica del producto escalar

Ejemplo: Expresión analítica del módulo de un vector

Ejemplo: Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Ejemplo: Condición analítica de la ortogonalidad de dos vectores

Ejemplo: Interpretación geométrica del producto escalarEl producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Ejemplo: Hallar la proyección del vector = (2, 1) sobre el vector = (−3, 4).

Propiedades del producto escalar:1Conmutativa2 Asociativa3 Distributiva4 El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

Producto vectorial:

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).Definición:Sean dos vectores y en el espacio

Vectorial. El producto vectorial entre y da como resultado un nuevo vector, Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo y dirección:* El módulo de está dado por

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.* La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

Donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorchos.Relación entre los vectores

Producto vectorial de dos vectores

Sean y dos vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensional según la base anterior.Se define el producto, y se escribe, como el vector:

En el que, es el determinante de orden 2.O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico

De orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.La siguiente expresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:

Producto cruz

El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:

El producto cruz se puede expresar mediante un determinante:

EjemplosCalcular el producto cruz de los vectores = (1, 2, 3) y = (−1, 1, 2).

Dados los vectores y, hallar el producto cruz de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a y.

El producto vectorial de es ortogonal a los vectores y.

Propiedades del producto cruz1. Anticonmutativax = − x 2. Homogéneaλ ( x ) = (λ) x = x (λ)

3. Distributivax ( + ) = x + x •4. El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual al vector nulo.x = 5. El producto vectorial x es perpendicular a y a