Facultad De Ciencias Contables Financieras Y Administrativas

Escuela Profesional De Administracin II- C

ASIGNATURA:

Calculo Superior

DOCENTE:

Mg. Jaime Paredes Snchez

INTEGRANTES:

Magan Torres Howert

Catro Segura Pablo

2013

LIMITES

El lmite de la funcin f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imgenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imgenes cuando los originales tienden a x0.

Vamos a estudiar el lmite de la funcin f(x) = x2 en el punto x0 = 2

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda (valores menores que 2) o la derecha

(valores mayores que 2) las imgenes se acercan a 4.

Se dice que el lmite cuando x tiende a 2 de la funcin f(x) = x2 es 4

Lmites laterales

Diremos que el lmite de una funcin f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es

L, si y slo si para todo > 0 existe > 0 tal que si x (a+, a ) , entonces |f (x) - L| 0 existe > 0 tal que si x (a, a + ), , entonces |f (x) - L| 0 )se verifica que f(x)>k para todos los valores prximos a a.

Lmite menos infinito

Una funcin f(x) tiene por lmite - cuando x a, si fijado un nmero real negativo K

< 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores prximos a a.

Lmites en el infinito

Lmite cuando x tiende a infinito

Lmite cuando x tiende a menos infinito

CONTINUIDAD

f(x)=x2

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeo cambio en la variable x implica slo un pequeo cambio en el valor de f(x), es decir, la grfica consiste de un slo trozo de curva.

f(x)=sgn x

En contraste, una grfica como la de la funcin f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vaco en una abcisa exhibe all una discontinuidad.

La continuidad de la funcin f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x est suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en trminos del concepto de lmite...

Definicin

Continuidad

Una funcin f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).

Ejemplos de discontinuidad

f(x)= 1/x2 Discontinua en x=0 (No existe f(0))

f(x) = x2 si x 2 Discontinua en x=2. Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0

Sin embargo, si miramos la funcin para x prximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la funcin es continua en 2 "por la izquierda".

Definicin

Continuidad por la izquierda

Una funcin f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a).

Definicin

Continuidad por la derecha

Una funcin f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a).La funcin anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Definicin

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]

Una funcin f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si: f es continua en a por la derecha f es continua en b por la izquierda f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)

Clasificacin de discontinuidades

Evitable

Caso A:

No existe f(a) pero existe limx->af(x).

Ejemplo:

f(x)= e-1/x2 + 2

No existe f(0) pues anula un denominador.

limx->0-f(x) = limx->0+f(x) = 2 o sea limx->0f(x)=2

Podemos extender la definicin de la funcin, asignndole en el punto a el valor del lmite, con lo cual la funcin se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable.

Caso B:

Existe f(a) y existe limx->af(x)=b pero bf(a). (Existe f(a) pero es distinto al valor del lmite).

Ejemplo:

f(x) = x2 si x2 8 si x=2

f(2) = 8 limx->2 f(x) = 4

Asignndole a la funcin el valor 4 en x=2, se elimina la discontinuidad.

No evitable

1 especie:

limx->a-f(x) limx->a+f(x). (Los lmites laterales son distintos).

Ejemplo:

f(x) = x/(x - 2)

limx->2-f(x) = -inf limx->2+f(x) = +inf

2 especie:

No existe limx->a-f(x) o no existe limx->a+f(x). (No existe por lo menos uno de los lmites laterales).

Ejemplo:

______ f(x) = \|x2 - 4

En x=-2 y x=2 la funcin presenta discontinuidades no evitables de 2 especie. No existe limx->-2+f(x) y no existe limx->2-f(x).

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son funciones continuas en x=a, la suma, multiplicacin y cociente de f y g (con g(a) 0) son funciones continuas en x=a.

H) f(x) es continua en x=a.

g(x) es continua en x=a.

T) f(x) + g(x) es continua en x=a.

Demostracin

Por definicin de continuidad,

existe f(a) y existe limx->af(x) = f(a) existe g(a) y existe limx->ag(x) = g(a)

=> por teo. lmite de la suma de funciones, el lmite de una suma de funciones es igual a la suma de los lmites de cada funcin, si stos son finitos.

limx->a f(x) + g(x) = f(a) + g(a)

=> por def. de continuidad f(x) + g(x) es continua en x=a.

Anlogamente se prueba la continuidad del producto y el cociente.

TEOREMAS DE CONTINUIDAD

http://matematica.50webs.com/continuidad.html

http://amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Limite%20de%20una%20funcion.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n

http://www.educatina.com/calculo/limites-laterales?gclid=CO_DmJLc7LcCFXJnOgodniIAKg

http://html.rincondelvago.com/limite.html