actividad N-1
10
ASIGNACIÒN DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD I: VARIABLE COMPLEJA 1.) Efectuar las operaciones indicadas: 3 1 47 2 3 2 .) i i a Solución: (2 2 − √3 47 ) 1/3 = (2(−1) − √3 46 ) 1/3 (2 2 − √3 47 ) 1/3 = (−2 − √3 · ( 2 ) 23 ) 1/3 (2 2 − √3 47 ) 1/3 = (−2 − √3 · (−1) 23 ) 1/3 (2 2 − √3 47 ) 1/3 = (−2 − √3 · (−1)) 1/3 (2 2 − √3 47 ) 1/3 = (−2 + √3 ) 1/3 Sea: = (2 2 − √3 47 ) 1/3 = (−2 + √3 ) 1/3 y = −2 + √3 Graficando Se tien: || = |−2 + √3 | = √ (−2) 2 + (√3 ) 2 = √4 + 3 = √7 = √3 −2 ⇒ = −1 (− √3 2 ) = 180° − 40,90° = 139,10° Luego: = √7 (139,10° + 139,10°) −2 √3 Re Im θ
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ASIGNACIÒN DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD I: VARIABLE COMPLEJA
1.) Efectuar las operaciones indicadas:
31
472 32.) iia
Solución:
(2𝑖2 − √3𝑖47)1/3
= (2(−1) − √3𝑖46𝑖)1/3
(2𝑖2 − √3𝑖47)1/3
= (−2 − √3 · (𝑖2)23𝑖)1/3
(2𝑖2 − √3𝑖47)1/3
= (−2 − √3 · (−1)23𝑖)1/3
(2𝑖2 − √3𝑖47)1/3
= (−2 − √3 · (−1)𝑖)1/3
(2𝑖2 − √3𝑖47)1/3
= (−2 + √3𝑖)1/3
Sea:
𝑧 = (2𝑖2 − √3𝑖47)1/3
= (−2 + √3𝑖)1/3
y
𝑤 = −2 + √3𝑖
Graficando
Se tien:
|𝑤| = |−2 + √3𝑖| = √(−2)2 + (√3)2
= √4 + 3 = √7
𝑡𝑎𝑛𝜃 =√3
−2⇒ 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (−
√3
2) = 180° − 40,90° = 139,10°
Luego:
𝑤 = √7(𝑐𝑜𝑠139,10° + 𝑖𝑠𝑒𝑛139,10°)
−2
√3
Re
Im
θ
𝑧 = 𝑤1/3 = [√7 (𝑐𝑜𝑠139,10° + 𝑖𝑠𝑒𝑛139,10°)]1/3
𝑧𝑘 = (√7)1/3
(𝑐𝑜𝑠139,10° + 2𝑛180°
3+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
139,10° + 2𝑛180°
3) ; 𝑘 = 0,1,2
𝑧𝑘 = √√73
(𝑐𝑜𝑠139,10° + 2𝑛180°
3+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
139,10° + 2𝑛180°
3) ; 𝑘 = 0,1,2
𝑧𝑘 = √76
(𝑐𝑜𝑠139,10° + 2𝑛180°
3+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
139,10° + 2𝑛180°
3) ; 𝑘 = 0,1,2
𝑧0 = √76
(𝑐𝑜𝑠139,10° + 2 · 0 · 180°
3+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
139,10° + 2 · 0 · 180°
3)
𝑧0 = √76
(𝑐𝑜𝑠46,37 + 𝑖𝑠𝑒𝑛46,37)
𝑧0 = √76
(0,69001 + 𝑖0,72380)
𝑧0 = 0,9543 + 1,0011𝑖
𝑧0 = 0,9543 − 1,0011𝑖
𝑧1 = √76
(𝑐𝑜𝑠139,10° + 2 · 1 · 180°
3+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
139,10° + 2 · 1 · 180°
3)
𝑧1 = √76
(𝑐𝑜𝑠166,37 + 𝑖𝑠𝑒𝑛166,37)
𝑧1 = √76
(−0,97183 + 0,23567𝑖)
𝑧1 = −1,3441 + 0,3260𝑖
𝑧1 = −1,3441 + 0,3260𝑖
𝑧2 = √76
(𝑐𝑜𝑠139,10° + 2 · 2 · 180°
3+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
139,10° + 2 · 2 · 180°
3)
𝑧2 = √76
(𝑐𝑜𝑠286,37 + 𝑖𝑠𝑒𝑛286,37)
𝑧2 = √76
(0,28182 − 0,95947𝑖)
𝑧2 = 0,3898 − 1,3270𝑖
𝑧2 = 0,3898 + 1,3270𝑖
392163726 43Re5232.) iiiiiib
Solución:
= |(2𝑖26 + 3 · 𝑖7)(2𝑖3 − 5 · 𝑖6) |𝑅𝑒(3𝑖21 + 4𝑖38𝑖)
= |(2(𝑖2)13 + 3 · (𝑖2)3𝑖)(2𝑖2𝑖 − 5 · (𝑖2)3) |𝑅𝑒(3(𝑖2)10𝑖 + 4 · (𝑖2)19𝑖)
= |(2(−1)13 + 3 · 1 · (−1)3𝑖)(2𝑖2𝑖 − 5 · (−1)3) |𝑅𝑒(3(−1)10𝑖 + 4 · (−1)19𝑖)
= |(2(−1) + 3 · 1 · (−1)𝑖)(2(−1)𝑖 − 5 · (−1)) | 𝑅𝑒(3 · 1 · 𝑖 + 4 · (−1)𝑖)
= |(−2 − 3𝑖 )(5 − 2𝑖 )|𝑅𝑒(−4𝑖 + 3𝑖)
= |(−2 + 3𝑖)(5 + 2𝑖)|𝑅𝑒(−𝑖) = |(−2 + 3𝑖)(5 + 2𝑖)| · 0 = 0
Luego:
|(2𝑖26 + 3 · 𝑖7)(2𝑖3 − 5 · 𝑖6) |𝑅𝑒(3𝑖21 + 4𝑖39) = 0
2
4
8
31
3
2
3
1
2
3Im.) ii
ii
ic
= 𝐼𝑚 {(3 − 𝑖31
𝑖8 + 2𝑖)
} + |
1
3𝑖4 +
2
3𝑖|
2
= 𝐼𝑚 {(3 − (𝑖2)30𝑖
(𝑖2)4 + 2𝑖)
} + |
1
3(𝑖2)2 +
2
3𝑖|
2
= 𝐼𝑚 {(3 − (−1)15𝑖
(−1)4 + 2𝑖)
} + |
1
3(−1)2 +
2
3𝑖|
2
= 𝐼𝑚 {(3 + 𝑖
1 + 2𝑖)
} + |
1
3· 1 +
2
3𝑖|
2
= 𝐼𝑚 {(3 + 𝑖
1 + 2𝑖) (
1 − 2𝑖
1 − 2𝑖)
} + |
1
3+
2
3𝑖|
2
= 𝐼𝑚 {(3 − 6𝑖 + 𝑖 − 2𝑖2
12 − (2𝑖)2)
} + (√(
1
3)
2
+ (2
3)
2
)
2
= 𝐼𝑚 {(3 − 5𝑖 + 2
1 + 4)
} + (
1
9+
4
9)
= 𝐼𝑚 {(5 − 5𝑖
5)
} +
5
9= 𝐼𝑚 {(
5
5−
5
5𝑖)
} +
5
9= 𝐼𝑚 {
5
5+
5
5𝑖} +
5
9
= 𝐼𝑚{1 + 𝑖} +5
9= 1 +
5
9=
14
9
2.) Demostrar que:
zzz cos3cos43cos 3 Como:
𝑐𝑜𝑠3𝑧 + 𝑖𝑠𝑒𝑛3𝑧 = (𝑐𝑜𝑠𝑧 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝑧)3
= (𝑐𝑜𝑠𝑧)3 + 3(𝑐𝑜𝑠𝑧)2(𝑖𝑠𝑒𝑛𝑧) + 3(𝑐𝑜𝑠𝑧)(𝑖𝑠𝑒𝑛𝑧)2 + (𝑖𝑠𝑒𝑛𝑧)3
= 𝑐𝑜𝑠3𝑧 + 3𝑖𝑐𝑜𝑠2𝑧 · 𝑠𝑒𝑛𝑧 + 3𝑖2𝑐𝑜𝑠𝑧 · 𝑠𝑒𝑛2𝑧 + 𝑖3𝑠𝑒𝑛3𝑧
= 𝑐𝑜𝑠3𝑧 + 3𝑖𝑐𝑜𝑠2𝑧 · 𝑠𝑒𝑛𝑧 + 3(−1)𝑐𝑜𝑠𝑧 · 𝑠𝑒𝑛2𝑧 + (−𝑖)𝑠𝑒𝑛3𝑧
= 𝑐𝑜𝑠3𝑧 + 3𝑖𝑐𝑜𝑠2𝑧 · 𝑠𝑒𝑛𝑧 − 3𝑐𝑜𝑠𝑧 · 𝑠𝑒𝑛2𝑧 − 𝑖𝑠𝑒𝑛3𝑧
= (𝑐𝑜𝑠3𝑧 − 3𝑐𝑜𝑠𝑧 · 𝑠𝑒𝑛2𝑧) + 𝑖(3𝑐𝑜𝑠2𝑧 · 𝑠𝑒𝑛𝑧 − 𝑠𝑒𝑛3𝑧)
= [𝑐𝑜𝑠3𝑧 − 3𝑐𝑜𝑠𝑧 · (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑧)] + 𝑖(3𝑐𝑜𝑠2𝑧 · 𝑠𝑒𝑛𝑧 − 𝑠𝑒𝑛3𝑧)
= (𝑐𝑜𝑠3𝑧 − 3𝑐𝑜𝑠𝑧 + 3𝑐𝑜𝑠4𝑧) + 𝑖(3𝑐𝑜𝑠2𝑧 · 𝑠𝑒𝑛𝑧 − 𝑠𝑒𝑛3𝑧)
𝑐𝑜𝑠3𝑧 + 𝑖𝑠𝑒𝑛3𝑧 = (4𝑐𝑜𝑠3𝑧 − 3𝑐𝑜𝑠𝑧) + 𝑖(3𝑐𝑜𝑠2𝑧 · 𝑠𝑒𝑛𝑧 − 𝑠𝑒𝑛3𝑧)
Para que estos dos números complejos sean iguales se requiere que, las partes reales sea iguales,
por lo que:
𝑐𝑜𝑠3𝑧 = 4𝑐𝑜𝑠3𝑧 − 3𝑐𝑜𝑠𝑧
3.) Expresar la función 34
Re2 zZiZf en la forma:
yxiVyxUzfw ,,
Sea z = x+yi:
𝑓(𝑧) = 2𝑖(𝑧)4(𝑅𝑒(𝑧))3
𝑓(𝑧) = 2𝑖(𝑥 + 𝑦𝑖 )4[𝑅𝑒(𝑥 + 𝑦𝑖)]3
𝑓(𝑧) = 2𝑖(𝑥 − 𝑦𝑖)4𝑥3
𝑓(𝑧) = 2𝑖[𝑥4 − 4𝑥3(𝑦𝑖) + 6𝑥2(𝑦𝑖)2 − 4𝑥(𝑦𝑖)3 + (𝑦𝑖)4]𝑥3
𝑓(𝑧) = −2𝑖[𝑥4 − 4𝑥3𝑦𝑖 + 6𝑥2𝑦2𝑖2 − 4𝑥𝑦3𝑖3 + 𝑦4𝑖4]𝑥2
𝑓(𝑧) = −2𝑖[𝑥4 − 4𝑥3𝑦𝑖 + 6𝑥2𝑦2(−1) − 4𝑥𝑦3𝑖2𝑖 + 𝑦4𝑖2𝑖2]𝑥2
𝑓(𝑧) = −2𝑖[𝑥4 − 4𝑥3𝑦𝑖 − 6𝑥2𝑦2 − 4𝑥𝑦3(−1)𝑖 + 𝑦4(−1)(−1)]𝑥2
𝑓(𝑧) = −2𝑖(𝑥4 − 4𝑥3𝑦𝑖 − 6𝑥2𝑦2 + 4𝑥𝑦3𝑖 + 𝑦4)𝑥2
𝑓(𝑧) = −2𝑥6𝑖 + 8𝑥5𝑦 𝑖2 + 12𝑥4𝑦2𝑖 − 8𝑥3𝑦3𝑖2 − 2𝑥2𝑦4𝑖
𝑓(𝑧) = −2𝑥6𝑖 + 8𝑥5𝑦 (−1) + 12𝑥4𝑦2𝑖 − 8𝑥3𝑦3(−1) − 2𝑥2𝑦4𝑖
𝑓(𝑧) = −2𝑥6𝑖 − 8𝑥5𝑦 + 12𝑥4𝑦2𝑖 + 8𝑥3𝑦3 − 2𝑥2𝑦4𝑖
𝑓(𝑧) = (8𝑥3𝑦3 − 8𝑥5𝑦) + (12𝑥4𝑦2 − 2𝑥2𝑦4−2𝑥6)𝑖
Entonces:
𝑈(𝑥, 𝑦) = 8𝑥3𝑦3 − 8𝑥5𝑦 𝑦 𝑉(𝑥, 𝑦) = 12𝑥4𝑦2 − 2𝑥2𝑦4−2𝑥6
4.) Determine si la siguiente función es armónica, si lo es determine la armónica conjugada:
a) f (z) = y/(x2+y2) Ya que:
𝑓(𝑧) = 𝑈(𝑥, 𝑦) + 𝑉(𝑥, 𝑦)𝑖
Se tiene que:
𝑈(𝑥, 𝑦) =𝑦
𝑥2 + 𝑦2 𝑦 𝑉(𝑥, 𝑦) = 0
𝜕𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥=
0(𝑥2 + 𝑦2) − 𝑦 · 2𝑥
(𝑥2 + 𝑦2)2=
−2𝑥𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)2
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2=
𝜕
𝜕𝑥[
−2𝑥𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)2] =
−2𝑦(𝑥2 + 𝑦2)2 − (−2𝑥𝑦)2(𝑥2 + 𝑦2)2𝑥
[(𝑥2 + 𝑦2)2]2
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2=
−2𝑦(𝑥2 + 𝑦2)[(𝑥2 + 𝑦2) − 4𝑥2]
(𝑥2 + 𝑦2)4
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2= −
2𝑦(𝑦2 − 3𝑥2)
(𝑥2 + 𝑦2)3
𝜕𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦=
1(𝑥2 + 𝑦2) − 𝑦 · 2𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)2=
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)2
𝜕𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦=
𝑥2 − 𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)2
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2=
𝜕
𝜕𝑦[
𝑥2 − 𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)2] =
(−2𝑦)(𝑥2 + 𝑦2)2 − (𝑥2 − 𝑦2)2(𝑥2 + 𝑦2)2𝑦
[(𝑥2 + 𝑦2)2]2
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2=
2(𝑥2 + 𝑦2)[(−𝑦)(𝑥2 + 𝑦2) − 2𝑦(𝑥2 − 𝑦2)]
(𝑥2 + 𝑦2)4
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2=
2(−𝑥2𝑦 − 𝑦3 − 2𝑥2𝑦 + 2𝑦3)
(𝑥2 + 𝑦2)3
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2=
2(−3𝑥2𝑦 + 𝑦3)
(𝑥2 + 𝑦2)3
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2=
2𝑦(𝑦2 − 3𝑥2)
(𝑥2 + 𝑦2)3
Como:
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2= −
2𝑦(𝑦2 − 3𝑥2)
(𝑥2 + 𝑦2)3+
2𝑦(𝑦2 − 3𝑥2)
(𝑥2 + 𝑦2)3= 0
Se tiene que U(x, y) es una función armónica.
𝜕𝑉(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥= 0
𝜕2𝑉(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2=
𝜕
𝜕𝑥[0] = 0
𝜕𝑉(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦= 0
𝜕2𝑉(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2=
𝜕
𝜕𝑦[0] = 0
Puesto que:
𝜕2𝑉(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑉(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2= 0
Se tiene que V(x, y) es una función armónica.
Por lo anterior f es una armónica compleja.
Encontrando la armónica conjugada, a partir de U(x, y):
De anterior:
𝜕𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥=
−2𝑥𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)2
Dado que:
𝜕𝑉(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦=
𝜕𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
𝜕𝑉(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦=
−2𝑥𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)2
Se tiene que:
𝑉(𝑥, 𝑦) = ∫−2𝑥𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)2𝑑𝑦
𝑉(𝑥, 𝑦) = −𝑥 ∫2𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)2𝑑𝑦; 𝑢 = 𝑥2 + 𝑦2 ⇒ 𝑑 𝑢 = 2𝑦𝑑𝑦
𝑉(𝑥, 𝑦) = −𝑥 ∫𝑑𝑢
𝑢2= −𝑥 ∫ 𝑢−2𝑑𝑢 = −𝑥
𝑢−1
−1+ 𝜙(𝑥)
𝑉(𝑥, 𝑦) = 𝑥1
𝑢+ 𝜙(𝑥) = 𝑥
1
𝑥2 + 𝑦2+ 𝜙(𝑥)
𝑉(𝑥, 𝑦) =𝑥
𝑥2 + 𝑦2+ 𝜙(𝑥)
𝜕𝑉(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥=
𝑦2 − 𝑥2
(𝑥2 + 𝑦2)2+ 𝜙′(𝑥)
Puesto que:
𝜕𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦= −
𝜕𝑉(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥
Se tiene que:
𝑥2 − 𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)2= − [
𝑦2 − 𝑥2
(𝑥2 + 𝑦2)2+ 𝜙′(𝑥)]
𝑥2 − 𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)2= −
𝑦2 − 𝑥2
(𝑥2 + 𝑦2)2− 𝜙′(𝑥)
𝜙′(𝑥) = −𝑦2 − 𝑥2
(𝑥2 + 𝑦2)2−
𝑥2 − 𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)2
𝜙′(𝑥) =−𝑦2 + 𝑥2 − 𝑥2 + 𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)2
𝜙′(𝑥) = 0 ⇒ 𝑔(𝑥) = 𝐶
Sustituyendo en ϕ en V(x,y):
𝑉(𝑥, 𝑦) =𝑥
𝑥2 + 𝑦2+ 𝐶 es armónica conjugada de 𝑈(𝑥, 𝑦) =
𝑦
𝑥2 + 𝑦2
b) f(z) = x/ (x2-y2)
Ya que:
𝑓(𝑧) = 𝑈(𝑥, 𝑦) + 𝑉(𝑥, 𝑦)𝑖
Se tiene que:
𝑈(𝑥, 𝑦) =𝑥
𝑥2 − 𝑦2 𝑦 𝑉(𝑥, 𝑦) = 0
𝜕𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥=
1(𝑥2 − 𝑦2) − 𝑥 · (2𝑥)
(𝑥2 − 𝑦2)2=
𝑥2 − 𝑦2 − 2𝑥2
(𝑥2 − 𝑦2)2
𝜕𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥=
−𝑥2 − 𝑦2
(𝑥2 − 𝑦2)2
𝜕𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥= −
𝑥2 + 𝑦2
(𝑥2 − 𝑦2)2
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2=
𝜕
𝜕𝑥[−
𝑥2 + 𝑦2
(𝑥2 − 𝑦2)2] = −
(2𝑥)(𝑥2 − 𝑦2)2 − (𝑥2 + 𝑦2)2(𝑥2 − 𝑦2)(2𝑥)
[(𝑥2 − 𝑦2)2]2
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2= −
2𝑥(𝑥2 − 𝑦2)[(𝑥2 − 𝑦2) − 2(𝑥2 + 𝑦2)]
(𝑥2 − 𝑦2)4
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2= −
2𝑥(𝑥2 − 𝑦2 − 2𝑥2 − 2𝑦2)
(𝑥2 − 𝑦2)3
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2= −
2𝑥(−𝑥2 − 3𝑦2)
(𝑥2 − 𝑦2)3
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2=
2𝑥(𝑥2 + 3𝑦2)
(𝑥2 − 𝑦2)3
𝜕𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦=
0(𝑥2 − 𝑦2) − 𝑥 · (−2𝑦)
(𝑥2 − 𝑦2)2=
2𝑥𝑦
(𝑥2 − 𝑦2)2
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2=
𝜕
𝜕𝑦[
2𝑥𝑦
(𝑥2 − 𝑦2)2] =
2𝑥(𝑥2 − 𝑦2)2 − 2𝑥𝑦 ∙ 2(𝑥2 − 𝑦2)(−2𝑦)
[(𝑥2 − 𝑦2)2]2
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2=
2𝑥(𝑥2 − 𝑦2)[(𝑥2 − 𝑦2) + 4𝑦2]
(𝑥2 − 𝑦2)4
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2=
2𝑥(𝑥2 + 3𝑦2)
(𝑥2 − 𝑦2)3
Como:
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2=
2𝑥(𝑥2 + 3𝑦2)
(𝑥2 − 𝑦2)3+
2𝑥(𝑥2 + 3𝑦2)
(𝑥2 − 𝑦2)3= 0
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2=
4𝑥(𝑥2 + 3𝑦2)
(𝑥2 − 𝑦2)3
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑈(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑦2≠ 0
De lo anterior U(x, y) no es una función armónica. Por lo que no se puede
encontrar la armónica conjugada.
