ACTIVIDAD 4

Conrado Campetella

Fernando Roberto Garca Montalban

PARTE A. GRUPAL

Consigna:

Si det A coincide con det adjA qu valores reales admite el determinante si A es n n con

n par?

Resolucin: Para responder sta pregunta debemos encontrar la relacin entre el determinante de y el

determinante de la adjunta de . Partimos de la frmula utilizada para encontrar la inversa de una

matriz mediante su determinante y su adjunta. Entonces:

| |

Donde es la matriz inversa de , | |representa al determinante de (un nmero real) y,

es la matriz adjunta de . Multiplicamos en ambos lados por | | y obtenemos:

| | | |

| |

| |

Aplicamos el determinante en ambos lados y obtenemos:

|| | | | |

Como | | es una constante y es de orden :

| | | | | |

Aplicamos la propiedad del determinante que dice que | | | |

| | | | | |

Luego:

| | | |

Sabemos que | | | | y que es de orden con par. Luego si , es impar.

Entonces:

| | | | | |

Luego

| | | |

Como es impar, entonces

| |

En conclusin, el determinante puede ser cero o ms menos uno.

PARTE B. GRUPAL

Consigna: La actividad consiste en seleccionar un enunciado. Luego:

Modelice matemticamente la situacin. En particular y previamente explicite datos

conocidos y datos desconocidos, explicite las vinculaciones entre datos conocidos y

desconocidos que dan origen a cada EL. Construya el SEL.

Resuelva el SEL por Regla de Cramer usando alguno de los paquetes informticos.

Resuelva el SEL por Mtodo de la matriz inversa, usando alguno de los paquetes

informticos:Los resultados coinciden?

Enunciado: Una empresa contratista de mano de obra para la construccin, realiza obras cobrando por hora

el trabajo realizado, luego, los obreros contratados reciben un porcentaje de lo recaudado. Son

cuatro los rubros en que estn divididos los servicios y los porcentajes que se abonan en concepto

de jornales son los siguientes: electricidad 50%, plomera 80%, construccin 60%, pintura y

terminaciones 30%. Se sabe que: en la primera semana se trabajaron un total de 30, 25, 35 y 40

horas respectivamente por cada grupo, produciendo un ingreso bruto para la empresa de $1930;

en la segunda semana se trabaj un total de 50, 20, 40 y 31 horas respectivamente obteniendo la

empresa una ganancia de $944; en la tercera semana trabajaron slo el primer grupo 40 horas- y

el ltimo grupo 20 horas- y la empresa recaud en forma neta $400; en la cuarta semana

trabajaron 50 horas cada uno de los dos ltimos grupos e ingresaron a la empresa en forma neta

$1100. Cunto cobra la empresa por la hora de cada grupo?

Resolucin:

Modelo:

Empresa que contrata mano de obra.

La empresa cobra por hora.

Reparte un porcentaje de sus ganancias con sus empleados.

El porcentaje que reparte vara segn el rubro.

Los rubros y sus porcentajes son:

Rubros Porcentaje Empleado Porcentaje Empresa

Electricidad 50% 50%

Plomera 80% 20%

Construccin 60% 40%

Pintura y Terminaciones 30% 70%

Representamos lo trabajado y percibido por la empresa en las cuatro semanas en la

siguiente tabla:

Rubro Semana 1 Semana 2 Semana 3 Semana 4

Electricidad 30 50 40

Plomera 25 20

Construccin 35 40 50

Pintura y Terminaciones

40 31 20 50

Ingreso Bruto 1930

Ingreso Neto 944 400 1100

EL Ingeso Bruto es lo que cobr la empresa por todas las horas trabajadas durante la semana.

El Ingreso Neto es lo que le qued a la empresa luego de cobrar por todas las horas trabajadas

durante la semana y repartir el dinero a sus empleados.

Definimos las variables:

Luego segn la tabla antes expuesta, las variables se relacionan mediante las siguientes

ecuaciones:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Podemos escribir el sistema de la forma matricial: .Donde:

Resolucin por Regla de Cramer:

Se conoce como Regla de Cramer el siguiente resultado: dado la ecuacin matricial de un

SEL de ecuaciones en variables con , cada variable se expresa como el cociente de

dos determinantes,

. Donde es la matriz de coeficientes del SEL y es la matriz que se

obtiene de al reemplazar la i-sima columna por el vector de trminos independientes.

Nuestro sistema de ecuaciones lineales es de 4 ecuaciones con 4 incgnitas, luego, si el

determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, estamos en condiciones de aplicar la

Regla de Cramer.

Utilizando Wiris vemos que | | .

Entonces aplicamos la Regla de Cramer. Utilizando Wiris obtenemos:

Donde:

Luego obtenemos las variables del siguiente modo:

Utilizando Wiris obtenemos:

Luego la empresa cobra por horas:

Los resultados obtenidos son nmeros reales positivos que era lo que se esperaba como resultado

ya que una empresa no puede regalar el trabajo de sus empleados. Tambin observamos que los

valores de las variables no distan mucho unos de otros por lo que suponemos el problema est

bien modelizado.

Rubros Precio de la Hora

Electricidad 6

Plomera 10

Construccin 20

Pintura y Terminaciones 20

Resolucin por mtodo de la Inversa:

Plantemos la ecuacin matricial del sistema y luego operamos sobre la misma. Cmo sabemos que

el determinante de la matriz de cofactores es diferente de cero, sabemos que sta admite inversa.

Luego:

Tenemos que

Utilizamos Wiris para resolver el sistema:

Podemos apreciar que el mtodo de la Inversa arroj el mismo resultado que la Regla de Cramer.

Utilizando las calculadoras en lnea fue ms fcil aplicar el mtodo de la Inversa que la Regla de

Cramer.

Comparamos los resultados obtenidos con otras calculadoras en lnea . Ejemplo

http://es.onlinemschool.com/

Resolucin por Regla de Cramer:

Los Resultados obtenidos con esta calculadora online conciden con el de Wiris , pero lo presenta

con mayor claridad.

Probamos ahora la misma calculadora usando en mtodo de la matriz inversa y obtenemos:

Conclusin: los resultados coinciden usando los 2 mtodos (Cramer y matriz inversa) y las dos

calculadoras online: wiris y onlinemschool

PARTE B

Continuacin y cambio de consigna

Consigna: Determine el valor de k para la cual el SEL asociado a la correspondiente matriz de coeficientes A

no pueda resolverse usando la Regla de Cramer ni el mtodo de la inversa. Comparta en el foro la

respuesta.

[

]

Resolucin:

Sabemos que para que no se puedan utilizar ni la Regla de Cramer ni el mtodo de la inversa, el

determinante de la matriz debe ser igual a cero. Entonces, utilizamos Wiris para obtener tal

que el determinante de A sea igual a 0. Luego:

Luego:

| |