Actividad Practica-momento2 Completa

7/26/2019 Actividad Practica-momento2 Completa

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Actividad Practica-momento 2

Ejercicios de aplicacin:

1. Calcular el producto punto y el producto cruz entre los siguientes pares vectoresexpresados en sus componentes rectangulares:

a. 2i y 3j

Solucin:

Producto Punto:

Los vectores con todas las componentes se escriben a continuacin.

kjib

kjia

030

002

++=

++=

El producto punto se obtiene al sumar las multiplicaciones de cadacomponente de los vectores:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkjjiiba 003002 ++=

Segn la propiedad para los vectores undamentales: i , j y k se tiene !ue1=== kkjjii

"or lo tanto el resultado del producto punto entre el vectoray el vector

bes

0=ba

Producto Cruz:

kckjic

kjikji

bac

6600

30

02

30

02

03

00

030

002

=+=

+===


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b. 2i# 3j # $k y %i# 3j k

Solucin:

Producto Punto:

Los vectores son.

kjib

kjia

+=

++=

37

432

"ara &allar el producto punto se suman las multiplicaciones de componentea componente de los vectores.

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

19

491443372

=

+=++=

ba

kkjjiiba

Producto Cruz:

( ) ( ) ( ) kjickjic

kji

kji

bac

153015216282123

37

32

17

42

13

43

137

432

+=+=

+

=

==

c. 'i# 2j ( )k y $ik

Solucin:

Producto Punto:

Los vectores son.

kjib

kjia

+=

+=

04

625

"ara &allar el producto punto se suman las multiplicaciones de componentea componente de los vectores.


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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

26

602060245

=

++=++=

ba

kkjjiiba

Producto Cruz:

( ) ( ) ( ) kjickjic

kji

kji

bac

819282452

04

25

14

65

10

62

104

625

=++=

+

=

==

d. *+eom,tricamente !u, signiicado tiene el producto punto y el productocruz-

Solucin:

Producto Punto:

El producto punto permite explorar y determinar concepto como Longitudes/ngulos 0rtogonalidad en dos y tres dimensiones. 1s por eemplo si elproducto punto de dos vectores no nulos es igual a cero se dice entonces!ue son vectores ortogonales es decir !ue orman un 4ngulo recto entreellos 5perpendiculares6 tambi,n es posible determinar el 4ngulo ormado

entre dos vectores a partir de su producto punto:

cosbaba =

7ambi,n establece !ue 8El valor absoluto del producto escalar de dosvectores no nulos es igual al mdulo de uno de ellos por la proyeccin delotro sobre ,l9 ;


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Figura 1. Interpretacin geomtrica del producto punto

Como se muestra en la igura ; se representan los vectoresa

yb

y la

realizar un proyeccin de

a

sobre la direccin del vector

b

se obtiene el

vector

'0A

1&ora bien por identidades trigonom,tricas se tiene !ue:

cos'0'0

cos aAa

A ==

= adem4s se sabe !ue cosbaba =

con lo cual se puede concluir

= '0Abba

es decirba

bA

=

'0

.

Siendo esta la expresin analtica o matem4tica para el enunciado anterior.

Producto Cruz:

8+eom,tricamente el mdulo del producto vectorial de dos vectorescoincide con el 4rea del paralelogramo !ue tiene por lados a esosvectores.9;


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Figura 2. . Interpretacin geomtrica del producto Cruz

1 partir de la unciones trigonom,tricas se dice !ue el seno del 4ngulo es

sinsin bh

b

h ==

El modulo del producto cruz entre los vectoresa

yb

se puede calcularmediante la siguiente expresin:

sinbaba =

El 4rea del paralelogramo es igual al producto de la basea

por la altura h

babahaA === sin

2. Calcular la magnitud de la uerza de atraccin o repulsin !ue se genera entredos cargas en reposo las cuales est4n separadas una distancia ;m tenga encuenta !ue el valor de una de las cargas es de '>uC la cual duplica el valor dela otra. Las cargas son de signos iguales.

Solucin:

1 partir de la Ley de Coulomb se establece !ue la magnitud de la uerza F conla !ue dos cargas puntuales 5q1y q26 separas un distancia d en el vaco seatraen o repelen es directamente proporcional al producto de la magnitud deambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de dic&a distancia.?atem4ticamente:


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Nd

qqF

2

21

4

1

=

El problema brinda la siguiente inormacin:

md

Cxqq

Cxq

1

1012

105

4

12

5

1

=

==

=

1l remplazar estos valores en la rmula:

( )( )

NF

Nm

CxF

45

1

1052

4

1

2

25

=

=

La uerza de repulsin.

3. 7res cargas alineadas q1 q2 y q3 est4 separadas una distancia d12=15cm y

d23=25cm conCxq 6

1 102

=,

Cxq 62

104 =

y

Cxq 63

105 =

. @eterminarlamagnitud y direccin de la uerza resultante eercida sobre !2 sabiendo !ue lascargas est4n en reposo y en el vaco como lo muestra la igura.

Figura 3. Diagrama problema 3.

Solucin:

El problema brinda la siguiente inormacin:

md

md

Cxq

Cxq

Cxq

25.0

15.0

105

104

102

23

12

6

3

62

6

1

=

=

==

=


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7eniendo en cuenta el signo de las cargas de puede &acer un diagrama de uerzasexistentes entre estas el cual se muestra en la igura $.

Figura 4. Diagrama Fuerzas para el problema 3.

"uesto !ue las cargas q1yq2son de signo contrario entre ellas existir4n uerzasde atraccin 5A;2 y A326. "ara las cargas q2 yq3tambi,n existir4n uerzas deatraccin 5A32 y A236 mientras !ue para las cargas q1 yq3 por ser de signos

iguales existir4n uerzas de repulsin. En la igura se observa !ue la uerzaresultante sobre la carga q2ser4 la suma vectorial de la uerza A;2 y la uerzaA32 es decir la uerza !ue eerce la carga q1sobre la carga q2mas la uerza !ueeerce la carga q3sobre la carga q2.

3212 FFFNeta +=

Se procede a calcular las uerzas implicadas.

( )

( )( )( )

NF

Nm

CxCxN

d

qqF

2.3

15.0

102104

4

1

4

1

12

2

66

2

12

21

12

=

==

La uerza A32 es:

( )

( )( )( )

NF

Nm

CxCxN

d

qqF

88.2

25.0

105104

4

1

4

1

23

2

66

2

23

32

32

=

==

7eniendo en cuenta la magnitud y el sentido de las uerzas involucradas la

magnitud de uerza resultante sobre la carga q2ser4:

1232 FFFNeta =

Beemplazando:

NFNNF NetaNeta 32.02.388.2 =+=


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4. na esera maciza posee una carga el,ctrica de '>mC. Calcular la densidad decarga volum,trica de la igura sabiendo !ue la carga est4 uniormementedistribuida. 7ener en cuenta !ue el radio de la esera es rD>cm.

Figura 5. Esera ! dierencial de "olumen. #ra$ca para el problema 4.

Solucin:

"ara una densidad de carga volum,trica uniorme y tomando un elemento devolumen dv la carga el,ctrica es:

dvdq0

=

7omando como reerencia coordenadas es,ricas un dierencial de volumen dvest4 dado por:

ddrdrdv sin2=

Beemplazando:

ddrdrdq sin20

=

La carga total de la esera es la suma de la carga de todos los elemento devolumen dv esto es:

= V ddrdrQ sin2

0

Bealizando la integral de volumen:

3

4 3

0 R

Q

=


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@espeando0

5la densidad volum,trica de carga6 se obtienes:

304

3

R

Q

=

Los datos brindados por del problema estableces !ue la carga totalQ

es

Cx 3105

y el radio de la esera B es de > metros reemplazando.

( )( ) 3

3

03

3

0 10637.1

9.04

1053

m

Cx

m

Cx

==

Conocida la densidad volum,trica de carga de la esera y el radio de la mismasolo !ueda reemplazar estos valores en la siguiente expresin

3

4 3

0 R

Q

=

= obtener la carga reemplazando:

( )

CxQ

m

Cx

Q

3

3

3

3

10625.0

3

45.0410637.1

=

=

La carga de la nueva esera con radio igual a $' cm ser4 de >.)2'C.

5. @eterminar el campo el,ctrico E producido por una carga positiva q=30uCdistribuida de manera uniorme en una supericie es,rica de radio r=20cm.

Solucin:

@atos:

mr

CxQ

2.0

103 5

0

=

=

@e la ley de +auss en su orma integral:

= sdEQ 0

"uesto !ue es una esera se toma el siguiente dierencial de 4rea en coordenadases,ricas:


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ruddrsd sin2=

Como se trata de una supericie es,rica uniormemente cargada el sistema esinvariante ante una rotacin alrededor de su centro lo cual implica !ue el potencialel,ctrico tenga una dependencia meramente de la distancia al centro de la eseraes decir del radio como consecuencia el campo el,ctrico es un campo central esdecir:

rEuE=

Lo anterior bas4ndose en las componentes de las coordenadas es,ricas r y.1&ora la ley de +auss se escribe como:

=

=

0

2

0

2

0

2

0

sin

sin

ddrEQ

uddrEuQ rr

Fay !ue considerar dos posibilidades segn la igura ) la prima es !ue lasupericie de integracin sea exterior a la supericie cargada 5rGR6 es decir !ue se

encierra la distribucin de carga y0

Q

es la carga total de dic&a distribucin 5

QQ =0

6. La segunda es !ue la supericie de integracin sea interior a la esera

5rHR6 y no se encierra carga alguna 50=Q

6.

( )

( )

=

=

Rr

Rr

ddr

Q

E

uddrEuQ rr

0

sin

sin

0

2

0

2

0

0

2

0

Besolviendo la integral y despeando E:

2

0

0

4 r

QE

=


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"ara visualizar en una gr4ica el comportamiento del campo el,ctrico cuando Bvara de > a '> cm se usa la &erramienta de sotIare ?atLab 5ver igura %6.

Figura %. Carga distribuida uniormemente en una super$cie esrica.

Figura &. Comportamiento del campo elctrico cuando se "aria el radio de ' a 5' cm


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