Actividad 1El Teorema de Sarkovskii

Considere el siguiente orden en los numeros naturales:

3 ⊲ 5 ⊲ 7 ⊲ · · ·⊲ 2 · 3 ⊲ 2 · 5 ⊲ · · · 22 · 3 ⊲ 22 · 5 ⊲ · · · ⊲ 23 · 3 ⊲ 23 · 5 ⊲ · · · · · · ⊲ 23 ⊲ 22 ⊲ 2 ⊲ 1.

Esto es, primero enliste los numeros impares excepto uno, seguido de 2 por losimpares excepto uno, 22 por los impares excepto uno, 23 por los impares exceptouno, etc. Esto enlista todos los numeros naturales con excepcion de las potenciasde 2 las cuales enlistamos al final en orden decreciente.

Teorema de Sarkovskii. Suponga que f : R → R es continua. Supongaque f tiene un punto periodico de perıodo primo k (esto significa que existex ∈ R tal que fk(x) = x y k es el menor entero positivo que satisface estaecuacion). Si k ⊲ ℓ en el orden de arriba, entonces f tambien tiene un puntoperiodico de perıodo primo ℓ.

1. Primero demostramos la siguiente version debil:Teorema. Sea f : R → R continua. Suponga que f tiene un punto periodi-co de perıodo primo 3 entonces f tiene puntos periodicos de todos los otrosperıodos.

Prueba.

Lema 1. Si I y J son intervalos cerrados con I ⊂ J y f(I) ⊃J , entonces f tiene un punto fijo en I (Usa el teorema del valorintermedio).

Lema 2. Si A0, A1, . . . ,An son intervalos cerrados y f(Ai) ⊃ Ai+1

para i = 0, . . . , n − 1 (decimos que f(Ai) cubre a Ai+1). Entoncesexiste al menos un subintervalo J0 de A0 que es enviado sobre A1 (osea, f(J0) = A1). Existe un subintervalo de A1 que es enviado sobreA2, ası que existe un subintervalo J1 de J0 que tiene la propiedad quef(J1) ⊂ A1 y f2(J1) = A2. Continuando este proceso, encontramosuna sucesion de intervalos encajados que son enviados en los variosAi en orden. Ası que existe x ∈ A0 tal que f i(x) ∈ Ai para cada i.

[Hint: Si A0 = [a0, b0] e A1 = [a1, b1], entonces existen α ∈ f−1(a1)∩[a0, b0] y β ∈ f−1(b1)∩ [a0, b0] que realizan la distancia en R entre losdos conjuntos compactos f−1(a1)∩[a0, b0] y f−1(b1)∩[a0, b0]. Verificaque se puede tomar J0 como el intervalo cerrado determinado por αy β.]

Sean a, b, c ∈ R tales que a < b < c y que forman un 3-ciclo para f ,entonces existen basicamente dos posibilidades:Caso 1. f(a) = b, f(b) = c, f(c) = a,Caso 2. f(a) = c, f(c) = b, f(b) = a.

Haremos la prueba para el caso 1 (Al final de la prueba para estecaso, verifica que la prueba para el caso 2 es similar): Sea I0 = [a, b],I1 = [b, c]. Verifica que f(I0) ⊃ I1 y que f(I1) ⊃ I0 ∪ I1. Demuestraque hay un punto fijo de f en I1.

Demuestra que f2 tiene puntos fijos entre a y b y que alguno tieneperıodo primo dos.

Sea n > 3. Define inductivamente una sucesion encajada de intervalosA0, A1, . . . , An−1 como sigue:

A0 := I1

Demuestra que existe subintervalo

A1 ⊂ A0 tal que f(A1) = A0 = I1.

Demuestra que existe subintervalo

A2 ⊂ A1 tal que f(A2) = A1 y f2(A2) = I1.

Continuando de esta forma, demuestra que existe subintervalo

An−2 ⊂ An−3 tal que f(An−2) = An−3 y fn−2(An−2) = I1.

Demuestra que existe un subintervalo

An−1 ⊂ An−2 tal que fn−1(An−1) = I0 y fn(An−1) ⊃ I1

Concluye que fn tiene un punto fijo, p, en An−1 y que este punto esun punto periodico para f , de perıodo primo n.

Ilustra todo el procedimiento para el caso n = 5.

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Prueba del Teorema de Sarkovskii.

a) Para dos intervalos cerrados, I1 e I2, usamos la notacion I1 → I2 sif(I1) cubre a I2.

Lema 3. Si existe una sucesion de intervalos

I1 → I2 → . . . → In → I1,

entonces existe un punto fijo para fn en I1.

b) CASO 1. Primero, suponga que f tiene un punto periodico x deperıodo impar n, con n > 1. Ademas, suponga que f no tiene puntosperiodicos de perıodo impar menor que n (y mayor que uno). Sean

x1 < x2 < . . . < xn

los puntos de la orbita de x. Sea i el numero mas grande tal quef(xi) > xi. Demuestra que i < n y que I1 = [xi, xi+1] satisfaceI1 → I1.

c) Si O2 denota a la union de los intervalos de la forma [xj , xj+1] talesque I1 → [xj , xj+1], entonces O2 ⊃ I1, pero O2 6= I1 (despues vere-mos que O2 es la union de precisamente dos tales intervalos).

d) Sea O3 la union de los intervalos de la forma [xj , xj+1] que son cubier-tos por la imagen de algun intervalo en O2. Inductivamente, sea Oℓ+1

la union de los intervalos que son cubiertos por la imagen de algunintervalo en Oℓ. Observa que si Iℓ+1 es cualquier intervalo en Oℓ+1,entonces existe una coleccion de intervalos I2, . . . , Iℓ con Ij ⊂ Oj quesatisface

I1 → I2 → . . . → Iℓ → Iℓ+1.

e) Prueba que para cada k ≥ 2, se tiene que Ok ⊂ Ok+1. Concluyeque existe un ℓ para el cual Oℓ+1 = Oℓ y Oℓ contiene a todos losintervalos de la forma [xj , xj+1].

f ) Usa que n es impar para demostrar que existe un intervalo [xj , xj+1]diferente de I1 cuya imagen cubre a I1. Concluye que existe unacadena de intervalos

I1 → I2 → . . . → Ik → I1

donde cada Iℓ es de la forma [xj , xj+1] para algun j y donde I2 6= I1(no se supone que Iℓ ⊂ Oℓ).

[sug. : Si I1 = [xi, xi+1], considera los dos conjuntos A = {x1, . . . , xi},B = {xi+1, . . . , xn}, como n es impar, uno de estos dos conjuntostiene mas elementos. Suponer sin perdida de generalidad que A tienemas elementos. Demuestra que, al aplicar f , algunos puntos de A sequedan en A y otros van a B.]

g) Sea k el menor entero positivo tal que

I1 → I2 → . . . → Ik → I1

es la cadena mas corta de I1 → I1 (excepto por supuesto I1 → I1).Demuestra que k = n− 1 y en consecuencia, no se puede tener Iℓ →Ij para cualquier j > ℓ + 1. [Esta ultima afirmacion demuestra elcomentario al final de c).]

h) Demuestra que la orbita de x debe estar ordenada de dos formasposibles como en la figura:

i) Ası que se tiene un diagrama como el de la siguiente figura:

j ) Verifica que los perıodos mayores que n se obtienen por ciclos de laforma

I1 → . . . → In−1 → I1 → . . . → I1.

Mientras que los perıodos pares mas pequenos que n se obtienen porciclos de la forma:

In−1 → In−2 → In−1,

In−1 → In−4 → In−3 → In−2 → In−1,

etc.

k) CASO 2. Suponga que n es par y que no se tiene un perıodo impar(mayor que uno) y menor que n.

Si algunos de los xi’s cambian de lado (de I1) y otros no, entoncesse tiene que n = 2 o

In−1 → In−2 → In−1,

por tanto se tiene un punto de perıodo dos.

Si todos los xi’s cambian de lado (del I1), entonces se tiene unpunto de perıodo dos para f en [x1, xi].

No puede suceder que todos los xi’s permanezcan de su mismolado (del I1).

Por tanto, f tiene un punto de perıodo 2.

l) Subcaso 1. Suponga n = 2m, sea k = 2ℓ con ℓ < m y defina g = fk/2.Demuestra que g tiene un punto de perıodo 2m−ℓ+1 y por tanto, unpunto de perıodo dos. Concluye que este punto (el de perıodo dospara g) tiene perıodo ℓ para f .

[Los siguientes ejercicios te pueden ayudar:

1) Sea x un punto de perıodo primo m para f y suponga que n

satisface fn(x) = x, entonces m∣

∣n

2) Si x es un punto de perıodo primo m para f , entonces es unpunto de perıodo primo m

(m,n) para fn.

3) Si x es un punto de perıodo primo k para fn, entonces es unpunto de perıodo primo kn

s , donde s∣

∣n y (s, k) = 1. ]

m) Subcaso 2. Si n = p · 2m, con p impar, entonces

Demuestra que f tiene un punto de perıodo q · 2m con q par.

Demuestra que f tiene un punto de perıodo q · 2m, con q impar,q > p.

Demuestra que f tiene un punto de perıodo 2ℓ con ℓ ≤ m.

Concluye para el subcaso 2.

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2. Ejemplo de funcion de perıodo 5 pero que no tiene perıodo 3:

f : [1, 5] → [1, 5]

f(1) = 3

f(3) = 4

f(4) = 2

f(2) = 5

f(5) = 1.

Suponga que f es lineal entre los enteros, o sea, tiene grafica como semuestra:

b

1

b

5

b

2

b

3

b

4

Verifica quef3[1, 2] = [2, 5]

f3[2, 3] = [3, 5]

f3[4, 5] = [1, 4]

Por tanto, f3 no tiene punto fijo en ninguno de estos tres intervalos. Ver-ifica que el punto fijo de f3 en [3, 4] es unico y por tanto es el punto fijode f en [3, 4].

3. La grafica a continuacion produce perıodo 7 pero no perıodo 5:

b7

b1

b2

b3

b4

b5

b6

b

b

b

b

b

b