Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

ADAPTACIÓN DE UN ELEMENTO CASCARÓN EN UN PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS PARA EL ANÁLISIS DE CIMENTACIONES EN SUELOS BLANDOS

Neftalí Sarmiento Solano 1, Sergio A. Martínez Galván 2, Silvia R. García Benítez 3 y Miguel P.

Romo Organista 4

RESUMEN Se presenta la adaptación de un elemento cascaron bilineal de cuatro nodos, a un programa secuencial de elementos finitos 3-D. La combinación de este tipo de elementos estructurales con elementos sólidos isoparamétricos de 8 nodos que consideran un comportamiento de suelo elasto-plástico perfecto, permiten modelar el fenómeno de interacción suelo-estructura de losas planas o cajones de cimentación, sin recurrir al artificio (cuestionable) de elementos discretos como resortes. Los resultados del programa se verifican primero con dos ejemplos: un cascaron cilíndrico y una zapata cuadrada con carga uniforme. Después se presenta el análisis de una cimentación que se ubica en la zona de Lago de la ciudad de México a base de un cajón rígido sobre muros-pilote perimetrales con cargas excéntricas.

ABSTRACT A four-node bi-lineal shell element is included in a 3-D sequencial finite element computer. This new computer code allows the engineer to model the soil-structure phenomenon for slab and box-type foundations. The finite element procedure has the capability to simulating the foundation-construction process, thus a close reproduction of this process can be accomplished. This computer model can be used with advantage over the models that employ equivalent springs to simulate the effects of de soil, because they include the soil mass with its actual mechanical properties. Also, in addition to bearing capacity, short and long term settlements can be computed directly. The reliability of the numerical method is evaluated by comparing its results with close form solutions for a square slab. Then, as an application example, the procedure is used in the analysis of a foundation integrated by a rigid box on a perimetral concrete sheet-piles, under exentric loads.

1. INTRODUCCIÓN Para el análisis de cimentaciones en problemas geotécnicos es común utilizar herramientas avanzadas como es el método del elemento finito. También, para una mejor modelación de este tipo de problemas es necesario contar con elementos estructurales que permitan modelar el fenómeno de interacción suelo-estructura de forma más apegada a la realidad. Los elementos cascarón, sujetos a diferentes condiciones de carga son muy útiles para un análisis completo de losas y cajones de cimentación, principalmente si estas estructuras se ubican en depósitos de suelos blandos como los que se encuentran en el subsuelo de la ciudad de México.

1 Estudiante doctoral, Instituto de Ingeniería, UNAM Ciudad Universitaria, Apdo. Postal 70-472 Coyoacán

04510, México, D. F., México Fax : (52) 5616 0784, nsas@pumas.iingen.unam.mx . 2 Estudiante doctoral, Instituto de Ingeniería, UNAM Ciudad Universitaria, Apdo. Postal 70-472 Coyoacán

04510, México, D. F., México Fax : (52) 5616 0784, smag@pumas.iingen.unam.mx . 3 Estudiante doctoral, Instituto de Ingeniería, UNAM Ciudad Universitaria, Apdo. Postal 70-472 Coyoacán

04510, México, D. F., México Fax : (52) 5616 0784, sgab@pumas.iingen.unam.mx . 4 Investigador y Coordinador de Geotecnia, Instituto de Ingeniería, UNAM Ciudad Universitaria, Apdo.

Postal 70-472 Coyoacán 04510, México, D. F., México Fax : (52) 5616 0784, mromo@pumas.iingen.unam.mx .

969

117

XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puebla, Pue., México 2002

Las soluciones clásicas de la teoría de cascarones involucran tediosos cálculos y son difíciles de utilizar en el caso de cascarones de forma arbitraria, por lo cual, varios autores (Ahmad, et al. 1970; Pawsey, 1970) han considerado tratar esta clase de elementos como un caso especial de análisis tridimensional. Desde entonces, se ha desarrollando una considerable cantidad de estrategias de análisis donde los métodos numéricos, como el elemento finito, tienen amplia aplicación. Sin embargo, los elementos que se han utilizado en la modelación de cascarones han presentado una amplia diversidad de problemas como: precisión, estabilidad, convergencia en los resultados y sensibilidad en la distorsión geométrica de los elementos. De entre las muchas alternativas, los elementos bilineales de cuatro nodos han mostrado un buen comportamiento, debido a su simplicidad geométrica, por lo que presentan una atractiva opción de análisis (Gallegos y Morán, 2002). En este artículo se presenta un elemento cascarón bilineal de cuatro nodos propuesto por Kanok-Nukulchai (1979), que se ha adaptado a un programa de elementos finitos 3-D para el análisis de cimentaciones desplantadas sobre suelos blandos, como los de la zona de Lago de la ciudad de México. El modelo, además, con relativa facilidad puede ampliarse para considerar otros tipos de suelos.

2. ELEMENTO CASCARÓN BILINEAL DEGENERADO El elemento cascarón bilineal de cuatro nodos utilizado fue propuesto por Kanok-Nukulchai (1979). Las hipótesis básicas de su comportamiento son: a) Una sección plana normal a la superficie media del cascarón permanecerá plana después de la

deformación. De lo cual, la formulación incluye deformación por corte transversal y no se asume la hipótesis de Kirchhoff-Love.

b) Los esfuerzos en la dirección normal z, son despreciables. Esta condición induce un estado de esfuerzo plano en planos paralelos a la superficie media del elemento.

2.1. RELACIONES BÁSICAS 2.1.1. Funciones de forma El elemento cascarón que se presenta en la figura 2.1, se degenera a partir de un elemento sólido de 8 nodos al considerar únicamente la superficie media. La funciones de forma para describir la superficie media, en términos de coordenadas naturales están dadas por un elemento isoparamétrico bidimensional y se expresan como:

( )( ) 411141 ,...,issrrN iii =++= (2.1)

donde ri y si son las coordenadas naturales del nodo i.

Figura 2.1 Elemento cascaron de cuatro nodos

970

117

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

El espesor del elemento en la dirección normal a la superficie media para cada nodo, es una variable de entrada. Las coordenadas para cualquier punto en el elemento en términos de coordenadas nodales y espesores se expresan como:

∑=

+

=

4

13

3

3

21

ii

i

i

i

i

i

i

i

nml

thzyx

Nzyx

(2.2)

donde xi, yi, zi, son las coordenadas globales del nodo i de la superficie media.

hi es el espesor en el nodo i. l3i, m3i, n3i son los vectores unitarios normales para el nodo i

Para cualquier punto (r, s) en la superficie media (t=0) se construye un conjunto ortogonal de ejes de coordenadas locales x’, y’, z’. La variación de desplazamientos en el elemento se expresa como:

∑=

+

=

4

1ii

i

i

i

i

i

i

*w*v*u

wvu

Nwvu

(2.3)

donde ui, vi, wi, son los desplazamientos del nodo i en la superficie media a lo largo de las direcciones globales x, y, z, y ui

*, vi*, wi

* son los desplazamientos nodales relativos a lo largo de las direcciones x, y, z, debido a la rotación de la normal al nodo i. 2.1.2. Matriz deformación-desplazamiento La matriz deformación-desplazamiento es de la siguiente forma:

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ] [ ]

{ }{ }∑

=

+

=

4

1 321

31

i i

ui

sisisi

mimi

s

m

dd

BtBBBtB

θεε (2.4)

donde

{ } [ ]{ } [ T

ziyixii

Tiii

ui

d

wvud

θθθθ =

=

] (2.5)

En la ecuación 2.4, se observa que la matriz de deformación desplazamiento [B] está dividida convenientemente en varias matrices. El subíndice m indica que se están considerando efectos por flexión y membrana, mientras que el subíndice s considera efectos por corte transversal. Las matrices B1mi y B1si, se forman a partir solamente de los desplazamientos planos (ui, vi, wi), y las matrices B3mi, B2si, y B3si se construyen considerando únicamente las rotaciones (θxi, θyi, θzi). Las expresiones que definen a estas matrices se encuentran en Krishnamoorthy, 1987. 2.1.3. Matriz esfuerzo-desplazamiento Los esfuerzos elementales y los desplazamientos nodales se relacionan con la expresión [σ] =[C][B]{d}. Para facilitar la adopción de diferentes esquemas de integración numérica debido a las contribuciones por flexión y cortante a la matriz de rigidez, la matriz constitutiva se divide en dos, [Cm] y [Cs]:

971

117

XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puebla, Pue., México 2002

[ ]

[ ] ( )

+

=

−−=

1001

12

2100

0101

1 2

υα

υυ

υ

υ

EC

EC

s

m

(2.6)

2.1.4. Matriz de rigidez elemental Es conveniente dividir la matriz de rigidez elemental [k] en dos partes, una que considere efectos por flexión y membrana [k]m y otra que tome en cuenta efectos por corte transversal [k]s, lo que permite utilizar un esquema de integración numérico apropiado para cada aportación, es decir, será de la forma:

[ ] [ ] [ ][∑∑= =

+=4

1

4

1i jsijmij kkk ] (2.7)

La matriz de rigidez elemental por efectos de flexión y membrana se define a partir de la siguiente expresión:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] ( )[ ] [ ][ ] dsdrJ

BCB/BCB

k o,s,rmjm

Tmi

mjmT

mimij ∫ ∫

+

−

+

−

=

1

1

1

133

11

32002

(2.8)

Mientras que la matriz de rigidez elemental por efectos de corte transversal se define como:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] ( )[ ] [ ][ ] dsdrJ

BCB/BCBBCBBCBBCB

k o,s,rsjs

Tsisis

Tsisjs

Tsi

sjsT

sisjsT

sisij ∫ ∫

+

−

+

−

+=

1

1

1

1332212

2111

322222

(2.9)

La formulación de la matriz de rigidez del elemento cascaron degenerado bilineal de cuatro nodos se presenta detalladamente en Krishnamoorthy, 1987. 2.2. ADAPTACIÓN AL PROGRAMA TEST95 La subrutina del elemento cascarón se adaptó a un programa de elemento finito conocido como TEST95 (Monterroso, 1995). Este programa tiene la opción de modelar procesos constructivos por etapas o la forma de aplicación de cargas secuenciales, lo que se simula con un algoritmo variacional (Borja et al., 1989) que garantiza la unicidad del problema. También, cuenta con un algoritmo incremental e iterativo para analizar problemas no lineales, y el material puede ser elástico lineal, o elasto-plástico perfecto. Además, el programa maneja el concepto de almacenamiento dinámico en el sentido de que la máxima memoria central está disponible en la etapa de solución del sistema de ecuaciones. 2.2.1. Proceso de convergencia La adaptación del elemento cascarón al programa mencionado consistió no solamente en adicionar la subrutina del elemento, sino también fue necesario adaptarlo al proceso de convergencia del programa general (TEST95), lo cual fue difícil de lograr debido a que se tienen diferentes esquemas de integración numérica para cada aportación del comportamiento del elemento (por flexión y membrana, y por corte transversal). El criterio de convergencia del programa implica determinar las reacciones en una iteración a partir de los esfuerzos de la iteración anterior, de acuerdo a la siguiente expresión:

{ } ∫=V

oT dVBf σ (2.10)

972

117

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

Estas reacciones se comparan con el vector de fuerzas actuantes, y si son iguales el problema converge. La ecuación 2.10 involucra utilizar la matriz de deformación desplazamiento [B], sin embargo, esta matriz está dividida como se mencionado en el inciso 2.1.2, lo que dificulta la determinación de las reacciones en el elemento cascarón. Este problema se resolvió separando también las reacciones para cada aportación, considerando los esfuerzos involucrados y su correspondiente matriz [B], así como los esquemas de integración correspondientes. 2.3. EJEMPLOS DE VALIDACIÓN 2.3.1. Cascarón cilíndrico de Scordelis y Lo En la figura 2.2-a se muestra un cascarón cilíndrico delgado apoyado en sus extremos circulares sobre muros rígidos. Este ejemplo particular fue originalmente resuelto por Scordelis y Lo (1964) y se ha usado para verificar la confiabilidad de varios tipos de elementos cascarón. El cascarón está sujeto a su propio peso de 4.309 kPa (90 lb/ft2), tiene un espesor es de 7.5 cm (3 pulgadas) y un módulo de deformabilidad, E, de 20.68 GPa (4.32x108 lb/ft2). Debido a la doble simetría se modeló solamente una cuarta parte del cascarón.

(a)

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20 Calculado

Scordelis-Lo

-40.0

-20.0

0.0

20.0

40.0

60.0

80.00 10 20 30

grados

40

(b)

Figura 2.2 Cascarón cilíndrico de Scordelis y Lo La solución exacta se presenta en la figura 2.2-b junto con los resultados proporcionados por la subrutina adaptada al programa TEST95. Como puede observarse, los resultados teóricos y con el modelo de elementos finitos prácticamente se confunden. En este ejercicio se usó una malla de 64 elementos. 2.3.2. Zapata cuadrada con carga uniforme Para verificar el funcionamiento del elemento cascarón en combinación con los elementos sólidos tridimensionales, en la figura 2.3-a se presenta una zapata cuadrada de ancho, B = 2.0 m, que se desplanta superficialmente (Df=0) en un suelo homogéneo que tiene un módulo de elasticidad de Es = 10.0 MPa , una relación de Poisson, υs, de 0.4 y un peso volumétrico, γs, de 10.0 kN/m3. La zapata rígida se modela con elementos cascarón con una carga uniforme, qo, de 14.4 kPa. El asentamiento elástico al centro del área cargada se determina con la siguiente expresión teórica:

( ) rss

oe E

BqS αυ 21−= (2.11)

donde αr tiene un valor de 0.88 para cimentaciones cuadradas rígidas.

973

117

XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puebla, Pue., México 2002

(a) (b)

( )

Figura 2.3 Zapata cuadrada con carga uniforme Con la ecuación 2.11 se obtiene un asentamiento elástico de 2.0 mm, mientras que el asentamiento sobtenido con el programa es de 1.4 mm (ver figura 2.3-b). Los resultados del programa son menoreteóricos, sin embargo hay que tomar en cuenta las hipótesis de la ecuación 2.11 que considera un extensión infinita (H=∞) y en el modelo de elementos finitos el medio tiene dimensiones finitas. Aelemento cascarón (zapata) no es infinitamente rígido como se supone en la solución analítica.

3. EJEMPLO DE APLICACIÓN 3.1. CAJÓN DE CIMENTACIÓN SOBRE MUROS- PILOTE PERIMETRALES En la figura 3.1-a se presenta el caso de una cimentación a base de un cajón de 10.0 x 10.0 m dplanta y 2.0 m de profundidad bajo la acción de cargas excéntricas (ver figura 3.1-b). También, formla cimentación los muros-pilote (tablestacas) colocados debajo del cajón en todo su perímetro, de12.7 mm (0.5 pulgadas) de espesor (igualmente se pueden usar elementos de concreto, aunque despesor), desplantados a una profundidad máxima de 12.0 m (10.0 m de longitud). Dentro del perícajón se colocan muros a cada 2.0 ó 5.0 m de separación en ambas direcciones, formando celdas estrLos muros externos e internos del cajón se consideran de concreto reforzado con un espesor de 0.20 m

Cajón cerradode 10 x 10 m

Muros-piloteperimetrales

Muros internos

suelosuelo

(a)

(b)

Figura 3.1 Modelo del cajón de cimentación con muros-pilote y condiciones de carga

117

m

uperficial s que los medio de demás el

e área en a parte de acero de e mayor

metro del ucturales.

.

974

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

La estructura se considera ubicada en la zona de Lago de la ciudad de México. El depósito de suelo tiene un perfil de resistencia y de compresibilidad típico de esta zona, como el que se muestra en la figura 3.2. De esta información se obtuvieron las propiedades mecánicas del suelo que se usaron en el análisis. El sistema suelo-estructura se modela con una malla de elementos finitos, que se extiende dos veces el ancho de la cimentación en todo su perímetro y se profundiza hasta 60.0 m. El suelo se modela con elementos sólidos con comportamiento elasto-plástico perfecto, y el cajón y los muros-pilote con elementos cascarón con comportamiento elástico.

0

10

20

30

40

50

60

70

0 100 200 300 400 500Resistencia al esfuerzo cortante Su, kPa

Prof

, m

Resistencia de punta delSondeo de Cono Eléctrico (SCE-1)

0 10 20 30 40 5Módulo elástico Es, MPa

0

SCE - 1Triaxial UU1/mv

SCE - 1: Es = 100 Su

0 100 200 300 400 500 600∆u, kPa

U = 0%Etapa 5, U = 25%Etapa 6, U = 35%Etapa 7, U = 50%U = 95%

Figura 3.2 Perfiles estratigráficos de resistencia, compresibilidad y abatimiento piezométrico considerado

En este análisis se evalúa el efecto que tienen los muros internos en los desplazamientos que ocurren en la losa superficial y los asentamientos diferenciales, ante las solicitaciones de la superestructura (ver figura 3.1-b). También, se valúa la ventaja de colocar los muros-pilote perimetrales para disminuir los asentamientos por consolidación del suelo. El programa TEST95 modificado permite analizar el problema simulando el proceso constructivo y aplicación de cargas. En este artículo se consideró la siguiente secuencia: Etapa 1: Condiciones iniciales de esfuerzo (peso propio del suelo) Etapa 2: Colocación de la sub-estructura (cajón cerrado y muros perimetrales) Etapa 3: Peso de la superestructura (cargas excéntricas) Etapa 4: Consolidación del suelo por peso de la estructura Etapas 5, 6 y 7: Consolidación regional por abatimiento piezométrico (después de esta etapa se pueden aplicar

fuerzas de inercia causadas por el evento sísmico de diseño). Se consideran también los siguientes casos de comparación: Caso A: Cajón cerrado de 10.0 x 10.0 x 2.0 m Caso B: Cajón cerrado con muros internos a cada 5.0 m y muros-pilote de 5.0 m de longitud Caso C: Cajón cerrado con muros internos a cada 2.0 m y muros-pilote de 10.0 m de longitud En la figura 3.2 se muestran los abatimientos piezométricos considerados para las etapas de análisis 5, 6 y 7. Los asentamientos diferenciales en la cimentación obtenidos para los casos de análisis (A, B y C) en las etapas 3, 4 y 7 se presentan en la tabla 3.1 y los isométricos correspondientes para la sub-estructura C en la figura 3.3. Se puede observar que en la etapa 3 (aplicación de cargas excéntricas) los muros internos del cajón reparten mejor la carga y los asentamientos diferenciales en la losa superficial disminuyen, y prácticamente son iguales a los de la losa inferior cuando se tienen muros internos a cada 2.0 m (caso C, tabla 3.1).

975

117

XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puebla, Pue., México 2002

Tabla 3.1 Asentamientos diferenciales en la cimentación, m

ETAPA 3 ETAPA 4 ETAPA 7 A B C A B C A B C Losa superficial 1.19 0.37 0.05 1.40 0.49 0.12 1.89 0.49 0.12 Losa inferior 0.22 0.06 0.04 0.51 0.21 0.11 1.35 0.21 0.11

Se observa que los asentamientos diferenciales en la cimentación A siguen aumentando en la demás etapas de análisis (4 y 7, tabla 3.1), esto indica que la zona de plastificación desde la etapa 3 es muy amplia lo que probablemente conduce a errores numéricos en las etapas subsecuentes, y que físicamente se puede interpretar como una falla estructural de la cimentación.

Cargas excéntricas (E-3) Consolidación por carga (E-4) Consolidación regional (E-7)

Losa superior

Celdas y losa inferior

Muros-pilote perimetrales

Figura 3.3 Desplazamientos verticales en la cimentación C Los asentamientos diferenciales en la cimentación B y C durante el proceso de consolidación por carga y del suelo (etapas 4 a 7) prácticamente son los mismos, lo que permite comparar el asentamiento superficial máximo para ambos casos y determinar el efecto que tiene el aumentar la longitud de las tablestacas (ver tabla 3.2). El asentamiento diferencial entre el suelo vecino y la cimentación después de la consolidación del suelo disminuye al aumentar la longitud de los muros-pilote.

Tabla 3.2 Asentamientos en la última etapa de análisis, m

CASO B CASO C Asentamiento máximo en la superficie 1.62 1.21 Asentamiento diferencial entre el suelo vecino y la cimentación

0.58 0.17

976

117

Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural, A.C.

Además de comparar los asentamientos de las cimentaciones consideradas es importante revisar el comportamiento estructural de ellas. Resulta interesante determinar los elementos mecánicos en la cimentación, como por ejemplo los momentos en la losa superficial y qué tanto disminuyen al colocar muros en el interior del cajón. Este efecto se observa precisamente en la figura 3.4 donde los momentos, My, disminuyen al aumentar el número de celdas dentro del cajón.

Sub-estructura B

Sub-estructura C

My x10 kN-m / m

My x10 kN-m / m

Figura 3.4 Momentos flexionantes, My , en la losa superior al final del proceso de análisis También, en la tablestaca es importante determinar la magnitud de esfuerzos a los que está sometida durante el proceso de análisis. En la figura 3.5, se presentan las fuerzas normales, Nz, por unidad de longitud, que actúan axialmente en los muros-pilote. Prácticamente reciben la misma carga las cimentaciones B y C, sin embargo, la zona donde se presentan las fuerzas máximas son diferentes.

Cimentación B

Cimentación C

Nz x10 kN / m Nz

x10 kN / m

Figura 3.5 Fuerzas normales, Nz , en los muros-pilote (tablestaca) al final del proceso de análisis

4. CONCLUSIONES En este artículo se presentan de forma resumida los resultados hasta ahora alcanzados en la investigación que se está llevando a cabo en la Coordinación de Geotecnia, con el propósito de desarrollar herramientas numéricas para analizar de manera integral el problema de cimentaciones en la ciudad de México. Este procedimiento se puede aplicar también en otro tipo de suelos. Así mismo, se están evaluando cimentaciones alternativas a las tradicionalmente usadas en suelos compresibles y de baja resistencia. Por ejemplo, el sistema de cajones con celdas minimiza los asentamientos diferenciales en la cimentación. Otra ventaja del sistema de cimentación integrado por un cajón soportado por tablestacas perimetrales es que en condiciones sísmicas, el sistema actúa como un aislador de base con la ventaja que no introduce discontinuidades en el sistema cimentación-estructura (Romo et al., 2000).

977

117

XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Puebla, Pue., México 2002

978

Debe señalarse que el código de elementos finitos presentado, permite hacer análisis de interacción suelo-estructura en los que se consideran directamente las propiedades mecánicas del suelo y características estructurales de la cimentación. Con este procedimiento no se tiene que recurrir a artificios que se basan, en el mejor de los casos, en relaciones semiempíricas para determinar elementos discretos equivalentes como resortes, que sustituyan al suelo de apoyo. Este procedimiento equivalente se utiliza con gran frecuencia en la práctica profesional por su sencillez. Sin embargo, es importante enfatizar que el uso de resortes para modelar el problema de interacción no es apropiado ya que no representa la física del problema.

AGRADECIMIENTOS Agradecemos al Instituto de Ingeniería (Geotecnia) de la UNAM, por su apoyo durante la realización de este trabajo y al CONACYT por el patrocinio otorgado bajo el proyecto 33032-U.

REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA Ahmad S., Irons B. M., y Zienkiewicz O. C. (1970), “Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements”, Int1. J1. Num. Meth. Engg., vol. 2, pp. 419-451. Borja R. I., Lee S. R., Seed R. B. (1989), “Numerical simulation of excavation in elasto-plastic soils”, Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech, vol. 13, No. 3, pp. 231-249. Gallegos S., y Morán M. (2002), “Un elemento cascarón cuadrilateral estable”, Memorias del I Congreso Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería y Ciencias Aplicadas, CIMNE, Barcelona Krishnamoorthy C. S., (1987), “Finite element analysis, theory and programming”, Indian Institute of Tchnology, Madras, New Delhi, Mc Graw-Hill, pp. 366-399. Li X., y Romo M. P. (1990), “TEST, un programa de elementos finitos para el análisis tridimensional de interacción suelo estructura”, Informe Interno, Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, México. Li X., y Romo M. P. (1992), “TEST-92, un programa de computadora para simular procesos constructivos en suelos elasto-plásticos”, Informe Interno, Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, México. Martínez S. (2001) “Redes neuronales artificiales aplicadas al modelado de excavaciones apuntaladas en suelos blandos”, tesis de maestría, División de Estudios de Posgrado de la Faculta de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, México. Monterroso B. M. (1995), “Análisis tridimensional de excavaciones profundas”, tesis de licenciatura, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, México. Pawsey S. F. (1970), “The analysis of moderately thick and thin shell”, Ph. D. thesis, Department of civil Engineering, University of California, Berkeley. Romo M. P., Mendoza M. J., García S. R. (2000) “Geotechnical factors in seismic design of foundations state-of-the-art report (2832)”, 12 World Conference on Earthquake Engineering, Auckland, New Zealand, vol. 2 in book of abstracts. Scordelis A. C. y Lo K. S. (1964), “Computer analysis of cylindrical shells”, ACI Journal, vol. 61, pp. 539-561. Worsak Kanok-Nukulchai (1979), “A simple and efficient finite element for general shell analysis”, Int1. J. Num. Method Engg., vol. 14, pp. 179-200.

117