ADC Matemáticas · Frases célebres “Cuando las leyes de la matemática se refieren a la...
12
23/03/2017 1 COMPILADO POR: ING. NELSON VELÁSQUEZ Frases célebres “Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino cierta belleza suprema. Una belleza fría y austera, como la de una escultura.” Bertrand Russell “Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.” Galileo Galilei Frases célebres “No hay nada que se pueda expresar con relaciones y símbolos matemáticos que no se pueda expresar también con palabras A la inversa, no obstante, no funciona. Mucho de lo que se puede decir y de lo que se dice con palabras no es transferible a un sistemas de ecuaciones, porque no tiene sentido.” C. Truesdell
Transcript of ADC Matemáticas · Frases célebres “Cuando las leyes de la matemática se refieren a la...
23/03/2017
1
COMPILADO POR: ING. NELSON VELÁSQUEZ
Frases célebres
“Las matemáticas poseen no sólo laverdad, sino cierta belleza suprema.Una belleza fría y austera, como lade una escultura.”
Bertrand Russell
“Las matemáticas son el alfabetocon el cual Dios ha escrito elUniverso.”
Galileo Galilei
Frases célebres
“No hay nada que se puedaexpresar con relaciones y símbolosmatemáticos que no se puedaexpresar también con palabras A lainversa, no obstante, no funciona.Mucho de lo que se puede decir yde lo que se dice con palabras noes transferible a un sistemas deecuaciones, porque no tienesentido.”
C. Truesdell
23/03/2017
2
Frases célebres
“En cualquier decisión, el análisismatemático únicamente mecondujo hasta el punto en donde miintención tenía que tomar lasriendas.”
Robert Jensen
“Nadie que no domine la Geometríatiene permiso de entrar en mi casa.”
Platón
Frases célebres “Cuando las leyes de la matemática se
refieren a la realidad, dejan de serincuestionables; cuando sonincuestionables, no se refieren a larealidad.”
Albert Einstein
“Las matemáticas no mienten, lo quehay son muchos matemáticosmentirosos.”
Henry David Thoreau
¿existe una falacia?
23/03/2017
3
¿En qué sistemaaxiomático es verdaderaesta ecuación?
¿A qué números se lesllama racionales?
¿Por qué este número es racional…
…y este número NO?
¿Qué son lasMatemáticas?
Las matemáticas (del griego‘conocimiento’) es una cienciaformal sobre la que aún no hayun acuerdo si ha venido pordescubrimiento o por invenciónde la mente humana.
Tampoco se conoce por qué lanaturaleza se ajusta a patronesmatemáticos.
23/03/2017
4
¿Qué son lasMatemáticas?
Es una ciencia formal que,partiendo de axiomas y siguiendoel razonamiento lógico, estudia laspropiedades y relaciones entreentidades abstractas comonúmeros, figuras geométricas osímbolos.
Frecuentemente, la matemáticatambién se basa en los postulados.
Ciencias Formales. Las ciencias formales son conjuntos sistemáticos
de conocimientos racionales y coherentes, quese ocupan del estudio de los procesos lógicos ymatemáticos, (por lo que su objeto de estudiono es el mundo, ni la realidad físico-natural, sinoformas vacías de contenido) pero cuyosconocimientos pueden ser aplicados a dicharealidad físico-natural. El método propio de lasciencias formales es el método deductivo.
Tales formas son objetos ideales, que soncreados por el hombre, que existen en su mentey son obtenidos por abstracción.
Lista de CienciasFormales.
MatemáticasEstadísticaLógicaCiencias de la computación
23/03/2017
5
Axiomas
Un axioma es una proposición quese considera «evidente» y seacepta sin requerir demostraciónprevia.
En un sistema hipotético-deductivoes toda proposición no deducida(de otras), sino que constituye unaregla general de pensamientológico.
Los axiomas y la lógica
La lógica del axioma es partir de unapremisa calificada de verdadera por símisma (el axioma), y de ésta inferirotras proposiciones por medio delmétodo deductivo, de lo cual seobtienen conclusiones coherentes conel axioma: las demás proposiciones deuna teoría dada.
Ejemplos de axiomas: 1.- Axiomas euclidianos: El todo es igual a
la suma de las partes. El todo es mayor quecada una de las partes.
2.- Entre dos puntos pasa una única línearecta.
3.- Si a cantidades iguales se les añadencantidades iguales, las sumas resultantestambién son iguales.
4.- Existen infinitos puntos, infinitas rectas einfinitos planos.
5.- Dos puntos determinan una recta en lacual están incluidos.
23/03/2017
6
TEOREMAS Y COROLARIOS
TEOREMA: afirmación quedebe ser demostrada usandolos axiomas u otros teoremasya demostrados.
COROLARIO: Es unaconsecuencia inmediata deun teorema.
Ejemplos de teoremas:
1. La suma de los ángulos de untriángulo es igual a dos ángulosrectos.
2. En un triángulo rectángulo, elcuadrado de la hipotenusa es iguala la suma delos cuadrados de loscatetos.
3. Si un número termina en cero oen cinco es divisible por cinco.
Ejemplos de corolarios:
1. En un triángulo rectángulo la suma delos dos ángulos contiguos a la hipotenusaes igual a 90°.
2. En un triángulo rectángulo, el valor deun cateto desconocido se calcularestando al cuadrado de la hipotenusa elcuadrado del cateto conocido ysacando raíz cuadrada a la diferencia.
3. Si la cifra de las unidades de unnúmero es distinta de cero o de cinco,ese número no es divisible por cinco.
23/03/2017
7
Postulado
Es una proposición no evidentepor sí misma, ni demostrada,pero que se acepta ya que noexiste otro principio al quepueda ser referida.
Ejemplos de postulados:
Los postulados de Los Elementos de Euclidesson:
Dos puntos cualesquiera determinan unsegmento de recta.
Un segmento de recta se puede extenderindefinidamente en una línea recta.
Se puede trazar una circunferencia, dadosun centro y un radio cualquiera.
Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
La ineludiblesmatemáticas
A pesar de su relación con lo abstracto, lamatemática se muestra compatible con elmundo.
Ayuda a razonar, a expresar ideas, a trazarconexiones, a dar forma al mundo real y a crearnuevo conocimiento.
En lo cotidiano, las matemáticas intervienendesde hacer un presupuesto, administrar elpropio tiempo, llenar el formulario de declaraciónde renta, hasta medir la confiabilidad de untratamiento médico o los indicadores de unmercado objetivo o hacer predicciones de laselecciones.
23/03/2017
8
Las matemáticas no puedendar razón de sí mismas.
Es un paradigma que las verdadesmatemáticas son “zonas liberadasdel error humano” dentro delconocimiento y que son infalibles.
Otro problema es que funcionancomo verdades dentro de supropio mundo fundamentado enlos axiomas particulares de cadaárea.
Las matemáticas no puedendar razón de sí mismas.
La única justificación para lasafirmaciones de conocimiento enla matemática es la razón.
Y la única prueba de la verdad esla coherencia.
Cómo las matemáticasproducen conocimiento.
Los matemáticos producenconocimiento por medio de laprueba.
Consiste en manipular ideas,tomando como premisas losaxiomas, con una conjetura enmente y evadiendo errores en lospasos.
Si se logra exitosamente, esto llevaa formular un teorema.
23/03/2017
9
El número, ¿entidad oaccidente?
Los números, contrario alparecer común, no sonentidades.
Son en realidad accidentes delos seres.
Son cualidades, entre otrasmuchas, de los entes reales.
El número: definición
En matemáticas un número puederepresentar una cantidad métrica omás generalmente un elemento de unsistema numérico o un número ordinalque representará una posición dentrode un orden de una serie determinada.
Un número, en ciencia, es unaabstracción que representa unacantidad o una magnitud.
Sin embargo, en ciertas áreas, losnúmeros se tratan como entidades.
El número: definición
En el platonismo matemático o realismo,los números tienen entidad, son objetos.
Entre los pitagóricos, también seconsideraba los números como entidadesy, además, generatrices del mundo.
Es, quizás, la posición más ampliamentedifundida entre los matemáticos.
Sin embargo, al trasladarlos al mundofísico, vuelven a tomar su condición deatributos.
23/03/2017
10
El número, ¿entidad oaccidente?
Los matemáticos, sin embargo, almanejar los números como entidades yestudiar sus atributos construyen uncamino racional para la imaginación.
Este camino permite llevar ciertaspropiedades de las cosas a sertrabajadas en la imaginación yaplicarles soluciones creativas a losproblemas para luego devolverlas a larealidad.
Asombrosamente, este métodofunciona en la mayoría de los casos.
Sistemas Matemáticos ysistemas axiomáticos Los diferentes campos
matemáticos se basan cadauno en un grupo diferente deaxiomas.
Pero dependen del mismométodo deductivo paradesarrollar nuevosconocimientos.
Sistemas Matemáticos ysistemas axiomáticos Los matemáticos han buscado
un sistema único para todoslos campos, que se rija poraxiomas universales.
Pero Gödel, demostró que esuna búsqueda imposible.
23/03/2017
11
Preguntas de la separata.
1. ¿Por qué muchos matemáticos consideran que lasmatemáticas “están ahí“ y hay que descubrirlas?
2. ¿qué significa decir que las matemáticas son unsistema axiomático?
3. ¿Qué argumentos hay a favor de que las matemáticasson un invento humano?
4. ¿Si las matemáticas son un proceso de Deducciónlógica, donde la prueba está contenida en la premisauniversal, cómo puede haber conocimientosmatemáticos nuevos?
5. ¿Qué son las ciencias formales?
Preguntas de la separata.
6. ¿Se definen mejor las matemáticas por su método o por suobjeto de estudio?
7. El sistema educativo diferencia las matemáticas puras delas aplicadas. ¿cuál podrá ser la razón de esa diferencia?
8. ¿Qué relación puede encontrar entre las matemáticas, lasciencias y el mundo natural?
9. ¿Qué entienden los matemáticos por “pruebamatemática”? ¿en que se diferencian estas pruebas de losargumentos de razón de las otras áreas.
10. ¿Tienen algún valor las pruebas empíricas y elrazonamiento inductivo para establecer una afirmaciónmatemática?
Preguntas de la separata.
11. Considere que ud. aprendió el número 3 con ejemploscomo tres naranjas o tres tazas, ¿esto confirma queexisten los números?¿qué ocurre con números como 0,-1, i, ó 1x1018?
12. Según lo anterior, ¿podríamos afirmar que lasmatemáticas hacen afirmaciones verdaderas sobreobjetos que no existen?
13. ¿Es posible calificar a las matemáticas de lenguajeuniversal?
14. ¿Son los matemáticos un producto de la interacciónsocial humana? ¿o un producto del darwinismo social?
23/03/2017
12
Preguntas de la separata.
15. ¿Cuándo podemos afirmar que alguien comprende lasmatemáticas? ¿basta con que pueda resolver unproblema determinado?
16. Cuando los matemáticos establecen los axiomas de uncampo matemático ¿hacen un acto de fe?
17. ¿Existe alguna correlación entre la habilidadmatemática y la inteligencia?
18. ¿Podemos elegir creer o no creer en ciertos aspectosde la matemáticas?
19. ¿Se ha visto la naturaleza y la enseñanza de lasmatemáticas afectadas por los adelantos informáticos?
20. ¿qué está incorrectoen esta prueba? Dado: A = B
Multiplicar por A ambos lados: A2 = AB
Restar B2 en ambos lados: A2 – B2 = AB – B2
Factorizar: (A + B) (A – B) = B (A – B)
Dividiendo por (A – B): (A + B) = B
Si A = B, A + B = B + B = 2B, entonces: 2B = B
Dividiendo por B: 2 = 1
