Admin is Trac Ion de Proyectos y Simulacion Con Excel

8/3/2019 Admin is Trac Ion de Proyectos y Simulacion Con Excel

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Aplicación de la Simulación MonteCarlo en la

Administración de Proyectos utilizando Excel y @Crystal Ball1

Carlos E. Azofeifa2

ResumenUna técnica efectiva usada para analizar la ruta crítica es la simulación MonteCarlo. En particular en este trabajo se usará MonteCarlo para estimar la probabilidad de terminar atiempo un proyecto. Esta técnica resulta necesaria dada la alta incertidumbre mostrada enlas estimaciones de los tiempos de duración de las distintas actividades de los proyectos.Para facilitar los cálculos se utilizará el software @Crystal Ball desarrolladoespecialmente para ser implementado en hojas electrónicas.

IntroducciónPara las situaciones en que un administrador debe planear, programar y controlar un grannúmero de actividades en toda la administración se dispone de dos técnicas de la

investigación de operaciones con una relación muy cercana: PERT, técnica de evaluacióny revisión de programas, y el método de la ruta crítica (CPM), estas técnicas ayudarán aladministrador de proyectos a llevar a cabo estas responsabilidades.

Cuando se presenta la necesidad de calcular la probabilidad de terminar a tiempo un proyecto, por su naturaleza este cálculo nos proporciona una medida bastante alejada dela probabilidad real precisamente por los supuestos de la técnica, una manera de obtener mejores resultados es aplicar la técnica de la simulación Montecarlo a la ruta crítica conlo cual se obtienen resultados más aceptables.

Lo anterior es posible debido a la flexibilidad y capacidad estadística de la hoja de

cálculo Excel la cual la torna especial también para el desarrollo de los modelos desimulación. Además, la hoja electrónica se ha convertido hoy día en la más elegante detodas las aplicaciones de software, pues ella proporciona al usuario un gran poder en laconducción de los análisis financieros. Con el fin de observar los beneficios de la técnicade MonteCarlo, aplicaremos la técnica resolviendo el siguiente problema:

Problema Aplicado3

Alfred Lowentein es el gerente de la división de investigación de Better Health, Inc., unacompañía farmacéutica grande. Su proyecto más importante es el desarrollo de un nuevomedicamento para combatir el SIDA. Alfred ha identificado 10 grupos en su división quedeberán realizar diferentes etapas de este proyecto de investigación y desarrollo. Se hará

referencia al trabajo de los diferentes grupos como actividades A,B,...,J; las relaciones de precedencia para el tiempo que los grupos deben hacer su trabajo se muestran en lasiguiente red de proyecto.

1 Este artículo fue financiado por el Proyecto No 820-A2-115, inscrito en la Vicerrectoría de Investigaciónde la U.C.R 2 Profesor Escuela de Matemática U.C.R – U.N.A3 Este problema es tomado de Hillier/Lieberman, “ Investigación de operaciones”. Séptima edición, de lasección de problemas del capítulo 10, página 517, problemas 10.4-2, 10.4-3, y capítulo 22 problema 22.6-1.

1

A E



Las duraciones y costos estimados de las actividades vienen dadas en la siguiente tabla

Actividad Media estimada Varianza

estimada

ABCDEFGHIJ

4 meses6 meses4 meses3 meses8 meses4 meses3 meses7 meses5 meses5 meses

5 meses10 meses8 meses6 meses12 meses6 meses5 meses14 meses8 meses7 meses

a) Encuentre la ruta crítica media de este proyecto. b) Use esta ruta crítica para encontrar la probabilidad aproximada de que el proyecto

termine en 22 meses.c) Ahora considere las otras tres trayectorias de la red. Para cada una, encuentre la

probabilidad aproximada de que se complete en 22 meses.d) ¿Qué debe decir Alfred a su jefe sobre la probabilidad de que el medicamento esté

listo en 22 meses?Podemos observar todas las trayectorias y sus longitudes a través de la red de proyecto,

para responder a):

2

INICIO

B

C

FIN

D

F

G

H

J

I



Trayectoria Longitud

Inicio→A→E→I→Finalización

Inicio→A→C→F→I→Finalización

Inicio→B→D→G→J→Finalización

Inicio→B→H→J→Finalización

4+8+5= 17 meses4+4+4+5= 17 meses6+3+3+5= 17 meses6+7+5=18 meses

Ruta crítica: Inicio→B→H→F→Finalización Duración estimada del proyecto: 18 meses.

Ahora usamos esta ruta para calcular la probabilidad de terminar el proyecto en menos de22 meses. Como se supone que la duración del proyecto tiene una distribución normal,entonces su media es la suma de las medias de las diferentes rutas que conforman la ruta

crítica, en este caso µ =6+7+5=18 y su varianza es dada por σ 2=10+14+7= 31. Por lotanto el número de desviaciones en que la fecha de entrega excede a la media es dado por

718.031/)1822(/)( =−=−= σ µ d z

Por tanto la probabilidad de que el tiempo de duración del proyecto sea menor a 22 meses

será igual a P(t<22)=P(z<0.718) =0.5+0.2612 =0.7612 ∼ 0.77. En cuanto al apartado c)su resolución es similar al b), en efecto para las otras rutas se tiene:

Inicio→A→E→I→Finalización, z =(d-µ )/σ =(22-17)/√25=1 ⇒P(t<22)=0.8413

Inicio→A→C→F→I→Finalización, z =(d-µ )/σ =(22-17)/√27=0.962 ⇒P(t<22)=0.8315

Inicio→B→D→G→J→Finalización, z =(d-µ )/σ =(22-17)/√28=0.945 ⇒P(t<22)=0.827

Para el inciso d) lo que Alfred le puede decir a su jefe es que la probabilidad de que elmedicamento esté listo en 22 meses es de un 77%. Supongamos ahora que para cada una de las

10 actividades se dan tres estimaciones que llevaron a la media y la varianza estimadas de laduración de la actividad.

Actividad Estimación

optimista

Estimación

más probable

Estimación

pesimista

ABCDEF

GHIJ

1.5 meses2 meses1 meses

0.5 meses3 meses1 meses

0.5 meses2.5 meses1 meses2 meses

2 meses3.5 meses1.5 meses1 meses5 meses2 meses

1 meses3.5 meses3 meses3 meses

15 meses21 meses18 meses15 meses24 meses16 meses

14 meses25 meses18 meses18 meses

Se puede notar que la gran incertidumbre en la duración de estas actividades de investigaciónhace que la estimación pesimista sea varias veces más grande que la optimista o la más probable.

3



Como resultado de la aplicación de la siguiente plantilla de Excel a las distintas rutas resulta quehay aproximadamente un 73% de posibilidades de que el medicamento esté listo en 22 meses,veamos:

Plantillas para PERT con tresestimaciones

Tiemposestimados

Sobre laruta

Actividad o M p µ σ 2

Críticamedia

A 1.5 2 15 4.0833 5.0625 * Ruta crítica

B 2 3.5 21 6.1667 10.0278 * Media

C 1 1.5 18 4.1667 8.02778 * µ = 31.75

D 0.5 1 15 3.25 5.84028 σ 2 = 48.7291667E 3 5 24 7.8333 12.25 *

F 1 2 16 4.1667 6.25 * P(t<=d) = 0.081248G 0.5 1 14 3.0833 5.0625 donde

H 2.5 3.5 25 6.9167 14.0625 d = 22I 1 3 18 5.1667 8.02778

J 2 3 18 5.3333 7.11111 *

A B C D E F1

Plantillas para PERT con tres Estimaciones2 Tiempos3 estimados 4 Activida

d o m p µ σ 2

5A 1.5 2 15 =SI(C5="","",(C5+4*D5+E5)/6)

=SI(C5="","",((E5-C5)/6)^2)

6B 2 3.5 21 =SI(C6="","",(C6+4*D6+E6)/6)

=SI(C6="","",((E6-C6)/6)^2)

7C 1 1.5 18 =SI(C7="","",(C7+4*D7+E7)/6)

=SI(C7="","",((E7-C7)/6)^2)

8D 0.5 1 15 =SI(C8="","",(C8+4*D8+E8)/6)

=SI(C8="","",((E8-C8)/6)^2)

9E 3 5 24 =SI(C9="","",(C9+4*D9+E9)/6)

=SI(C9="","",((E9-C9)/6)^2)

10F 1 2 16

=SI(C10="","",(C10+4*D10+E10)/6)

=SI(C10="","",((E10-C10)/6)^2)

11G 0.5 1 14

=SI(C11="","",(C11+4*D11+E11)/6)

=SI(C11="","",((E11-C11)/6)^2)

12H 2.5 3.5 25

=SI(C12="","",(C12+4*D12+E12)/6)

=SI(C12="","",((E12-C12)/6)^2)

13 I 1 3 18 =SI(C13="","",(C13+4*D13+E13)/6) =SI(C13="","",((E13-C13)/6)^2)

14 J 2 3 18

=SI(C14="","",(C14+4*D14+E14)/6)

=SI(C14="","",((E14-C14)/6)^2)

Ruta crítica

Media

µ = =SUMAR.SI(H5:H14,"*",F5:F14)

σ 2 = =SUMAR.SI(H5:H14,"*",G5:G14)

4



De manera similar se procede para la ruta Inicio→A→C→F→I→Finalización

Ruta crítica

Media

µ =17.583333

3

σ 2 =27.368055

6

P(t<=d) =0.8007360

5

donde

d = 22

También para la ruta Inicio→B→D→G→J→Finalización se tiene

Ruta crítica

Media

µ =17.833333

3

σ 2 =28.041666

7

P(t<=d) =0.7843125

2

donde

d = 22

Por tanto a partir de las rutas anteriores se tiene que la probabilidad de que la medicinaesté lista en menos de 22 meses es de 73% de acuerdo a la ruta

Inicio→

B→

H→

F→

Finalización.

Como mencionamos en [3] la anterior probabilidad es una aproximación burda de la probabilidad real y además PERT no proporciona información sobre el error al calcular la probabilidad de terminar en un tiempo dado un proyecto. También algunasinvestigaciones han proporcionado aproximaciones analíticas más exactas de esta probabilidad, sin embargo resultan demasiado complicadas [10] y lo que queremos essimplicidad.

Sabemos que una alternativa mejor y usada más comúnmente en la práctica es la técnicade simulación, en particular la simulación MonteCarlo se puede implementar fácilmente

en las hojas de cálculo, incorporando además el software: @Crystal Ball© y @Risk ®desarrollados para ser utilizados en hojas electrónicas de manera sencilla y fácil deentender. Supongamos ahora que la duración de cada actividad tiene distribucióntriangular 4como se observa en la siguiente figura

4 Al manejar la duración de una actividad, por lo general las simulaciones usan una distribución triangular como la distribución de esta duración.

6



o m pDistribución triangular

Nuestro objetivo es obtener una estimación bastante real de la probabilidad de cumplir con la fecha de entrega del medicamento, con 1000 simulaciones del proyecto en unahoja de cálculo usando @Crystal Ball. En efecto, vamos a presentar la hoja de cálculonecesaria para generar las iteraciones:

A B C D E F G H1

Predecesor Tiemposestimados Tiempo Tiempo Tiempo

2 Actividad inmediato O M p comienzo Actividad final3 A - 1.5 2 15 0 6.166667 6.1666674 B - 2 3.5 21 0 8.833333 8.8333335 C A 1 1.5 18 6.166667 6.833333 136 D B 0.5 1 15 8.833333 5.5 14.333337 E A 3 5 24 6.166667 10.66667 16.833338 F C 1 2 16 6.833333 6.333333 13.166679 G D 0.5 1 14 5.5 5.166667 10.6666710 H B 2.5 3.5 25 8.833333 10.33333 19.1666711 I E,F 1 3 18 10.66667 7.333333 1812 J G,H 2 3 18 10.33333 7.666667 1813

14

Completación del

proyecto = 1815

Meta

proyecto = 2216

Alcanza lameta (1=sí,

0 = no)? 1

Para efectos de los cálculos presentamos también las fórmulas en la hoja, veamos:

F G H

1 Tiempo Tiempo Tiempo2 comienzo actividad Final3 0 * =F3+G34 0 * =F4+G45 =G3 * =F5+G56 =G4 * =F6+G67 =G3 * =F7+G78 =G5 * =F8+G8

7



9 =G6 * =F9+G910 =G4 * =F10+G1011 =MAX(G7,G8) * =F11+G1112 =MAX(G9,G10

) * =F12+G1213

14 Completación proyecto = =MAX(H11, H12)15 Meta del proyecto= 2216

Alcanza meta (1=sí, 0 =

no)?

=SI(H14<=H15,1,0)

*= aquí debe colocarse la distribución correspondiente a la variable

Procedimiento para aplicar la simulación con @Crystal Ball:

• De la barra de herramientas de @Crystal Ball se elige Define Assumption con elfin de asignar la distribución adecuada para cada una de las variables a iterar, eneste caso se escoge de la galería de distribuciones la distribución triangular. Esta

distribución se usa cuando no se conoce la forma de la distribución pero se pueden estimar los escenarios como es el caso que nos incumbe. Las celdas nodeben estar vacías o con fórmulas (G3:G12).

• Definir el nombre de la función a pronosticar y la unidad de medida ($, M$, US$,etc) usando la opción Define Forecast de la barra de herramientas.

• Escoger las tareas a desarrollar (análisis de correlación, sensibilidad, número deiteraciones, nivel de confianza, etc) con la simulación utilizando la opción Run

References.

• Utilizar el botón Start Simulation para iterar las variables indicadas.

• Tomar el cuadro de diálogo resultante para analizar la información gráfica ynumérica, eligiendo en la opción View aquellos antecedentes de interés como las

estadísticas, percentiles, histogramas, etc.

A continuación presentamos algunas medidas generadas por @Crystal Ball para unasimulación de 1000 iteraciones:

Forecast: Completación proyecto =

Statistic ValueTrials 1,000Mean 22.06Median 21.78Mode ---

Standard Deviation 5.31Variance 28.17Skewness 0.33Kurtosis 2.99Coeff. of Variability 0.24Range Minimum 8.66Range Maximum 39.42Range Width 30.76

8



Mean Std. Error 0.17


Percentile Value0% 8.66

10% 15.3920% 17.5230% 19.2140% 20.3450% 21.7860% 23.1370% 24.4380% 26.2290% 29.30100% 39.42

Crystal Ball Student Edition

Not for Commercial Use

Frequency Chart

.000

.006

.012

.018

.024

0

6

12

18

24

8.87 15.46 22.06 28.65 35.25

1,000 Trials 15 OutliersForecast: Completación proyecto =

9



Crystal Ball Student Edition


Frequency Chart

Certainty is 48.40% from 22.00 to +Infinity

.000

.006

.012

.018

.024

0

6

12

18

24

8.87 15.46 22.06 28.65 35.25

1,000 Trials 15 Outliers


Se puede observar en el gráfico anterior como éste nos proporciona la probabilidad deque el proyecto se termine en menos de 22 meses, en este caso dicha probabilidad es igual a 100%- 48.4%=51.6% para el caso de 1000iteraciones. Note además como la región elegida cambia a color rojo.Cualquier otra probabilidad que queramos calcular sencillamentedigitamos las medidas requeridas y @Crystal Ball nos da las respuestasinmediatamente.

Anteriormente cuando colocamos la plantilla de simulación con las fórmulas en la página7, notamos que en el tiempo de la actividad aparecen solamente números, esto se debe a

que @Crystal Ball no pone la fórmula a utilizar, sino que una vez que se da el cuadro dediálogo, en este caso, Forecast : Completación proyecto, buscamos en la barra deherramientas de este cuadro la opción RUN para escoger aquí la opción Create Report .

En este reporte dado por @Crystal Ball, se despliega toda la información requerida oseleccionada en Create Report , en particular la información de las celdas nombradasanteriormente aparece con lujo de detalle. Obviamente por motivo de espacio no ponemos todo el reporte sino únicamente la parte correspondientes a las celdas citadas, eneste caso escogimos la celda G4.

Assumption: G4Cell:

G4

Triangular distribution withparameters:

Minimum 2.00

Likeliest 3.50

Maximum 21.00

10

Cry stal Ball Student Edition


2.00 6.75 11.50 16.25 21.00

G4



Selected range is from 2.00 to 21.00

ConclusionesA pesar de tener más de 40 años PERT/CPM es una de las técnicas de la Investigación de

operaciones que más se aplica y se seguirá aplicando por mucho tiempo, y susdeficiencias se pueden suplir fácilmente con otras técnicas como mencionamos en [3]además de la técnica MonteCarlo usada en este trabajo. Podemos observar también como@Crystal Ball nos genera información muy valiosa de manera rápida y fácil de entender como en nuestra aplicación de MonteCarlo a la ruta crítica del proyecto, con lo cualobtenemos más certeza sobre el estimado de la probabilidad de terminar a tiempo el proyecto con un grado de confianza, en nuestro caso un 95%, por eso entre más grandesea el tamaño de la simulación, ganamos más precisión. Por tanto se recomienda unnúmero grande de iteraciones para obtener resultados útiles.

De hecho el objetivo principal de este trabajo es hacer ver que en presencia de riesgo e

incertidumbre la simulación MonteCarlo se convierte en nuestro aliado, y que tenemosmuchas herramientas para implementarla de manera muy simple como Excel, @Risk y@Crystal Ball.

En la resolución del problema se utilizó la versión estudiantil de @Crystal Ball. Para losinteresados sobre las bondades de este tipo de software orientado a las hojas electrónicas,se puede consultar en internet la dirección www.decisioneering.com, y sobre algunasaplicaciones particulares el libro de Evans y Olson[7] es muy especial.

Bibliografía

1. Anderson, Sweeney, Williams. Métodos cuantitativos para los negocios. Séptimaedición. México. Editorial Thomson.1999.

2. Azarang,M-Gracía, E. Simulación y análisis de modelos estocásticos. McGraw-Hill.México. 1996.

3. Azofeifa, Carlos . Aplicación de PERT/CPM a la Administración de proyectos

usando Excel . San José. 2003. Por aparecer.4. Badiru/Pulat. Comprehensive Project Management; Integrating optimation models,

management principles, and computers. Prentice Hall. Englewood Cliffs. New York.1995.

5. Bierman, Bonini, Hausman. Análisis cuantitativo para la toma de decisiones.Editorial McGraw-Hill. México. 2000.

6. Eppen, F/ Gould, G/ Schmidt, C.P/ Moore, J/ Weatherford, L. Investigación deoperaciones en la ciencia administrativa. Prentice Hall. México. 2000.

7. Evans J-Olson D. Introduction to Simulation and Risk Analysis. Prentice Hall.NewJersey. 2002.

8. Hillier /Lieberman . Investigación de operaciones. McGraw-Hill, Inc. México. 2001.9. Hillier /Hillier/Lieberman . Métodos cuantitativos para administración. Un enfoque y

casos de estudio, con hoja de cálculo. McGraw-Hill, Inc. México. 2000.

11

http://www.decisioneering.com/






10. Kamburowski, J. Bounding the distribution of project duration in PERT Networks .Operations Reasearch Letters, 12: 17-22, julio. 1992.

11. Mathur, K/ Solow, D. Investigación de operaciones. El arte de la toma de

decisiones. Prentice Hall. México. 1996.12. Nassir Sapag Chain. Evaluación de proyectos de inversión en la empresa. Prentice

Hall. México. 2001.13. López Paulo. Probabilidad & Estadística, conceptos, modelos, aplicaciones con

Excel . Prentice Hall. México.2000.

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