Administración Financiera I · Capítulo IV Fundamentos de administración financiera 4.1.-...
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Administración Financiera I García Santillán Arturo
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Administración
Financiera I
García Santillán Arturo
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ADMINISTRACIÓN
FINANCIERA I
Por: Arturo García Santillán 1
Serie
Libros y Manuales: Finanzas, Contaduría y Administración
Unidad Multidisciplinaria: CIEA
Libros de Texto: 05/2010
1 Investigador de tiempo completo. Miembro del Sistema Nacional de Investigadores del CONACYT (Nivel I) UCC. Campus Calasanz [email protected] Sitio Web http://garciasantillan.com/ http://eumed.net/col/ags-cv.htm
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Este e-book
“Administración Financiera I”
Tiene licencia creative commons
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Consideración
Como una rama de la Administración y las Finanzas, la administración financiera aporta una serie de técnicas tendientes al manejo eficiente de los recursos monetarios de las empresas. Es claro que la función del administrador además de manejar el aspecto financiero, es precisamente la de administrar todos los recursos (humano, material, tecnológico y financiero), ya que mediante la gestión eficiente la empresa podrá alcanzar los propósitos que persigue y que se definen en su razón de ser y hacia donde quieren llegar, refiriéndonos específicamente a la misión y visión de la organización.
Con esta consideración, Administración Financiera I es una primera invitación al estudio de la administración y las finanzas, con un enfoque muy básico para que el alumno, que empieza a cursar los primeros semestres de su formación académica, pueda irse adentrando al campo del conocimiento que un administrador en el ejercicio profesional debe tener, esto es, conocimientos sobre el proceso administrativo, conocer el valor del dinero en el tiempo y el análisis de la información financiera, entre otros campos de acción del administrador financiero.
Esta obra se pone a su consideración, sin pretender con ello generar mayor conocimiento que el ya existente. La recopilación de la información que integra cada capítulo no es producto de investigación como tal, desde luego que no es evidencia empírica que busque replicar alguna teoría, todo parte de la revisión de obras de grandes escritores que han sido fuente de inspiración en la formación académica de quién suscribe esta obra, ejemplo de ello son grandes investigadores como: el Dr. Guillermo Pastor, Ing. José Luis Villalobos, Prof. César Aching Guzmán, Dr. Cristóbal del Río González, Dr. Alfredo Pérez Harris, Dr. Abraham Perdomo Moreno y desde luego los clásicos: Brealey, Brigham, Terrey, Weston, Koontz, Van Horne, Díez de Castro y Mascareñas por citar sólo algunos.
Aprovecho para comunicarles que ya se está trabajando en el segundo
libro, al cual se le denominará Administración Financiera II, en donde se profundizará más en la parte teórica de los capítulos 1 y 2; del capítulo 3 sobre matemáticas financieras se prepara una edición especial, la que integrará en cada tema un considerable número de ejercicios resueltos y que han sido acumulados a lo largo de estos años en que me han confiado la impartición de la materia en las licenciaturas y posgrado; el capítulo 4 se extenderá hacia tópicos de capital de trabajo y otros más dentro de las finanzas corporativas de la empresa, para finalmente concluir con un capítulo 5 al que se le ha denominado Presupuestos.
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Como dato adicional, cabe aclarar que el estilo dado a este documento refiriéndome a las imágenes, a los colores en texto y tablas, a los tipos de letra con diversos contrastes, a los cuadros utilizados, las portadas de algunos simuladores de cálculo financiero en el caso específico del capítulo III, y otras características propias de este e-book, tienen la finalidad de hacer más llamativa la lectura del mismo, buscando estar en consonancia con las encuestas que se han realizado dentro de la población estudiantil, las que dan a conocer que los jóvenes prefieren que los libros estén llenos de magia y color.
Finalmente no me resta más que agradecer el interés que esta obra
pueda despertar entre los usuarios de la información: estudiantes, profesores, particulares y en fin, todo aquel lector que se tome un tiempo para consultar este e-book y como siempre les digo, este libro es una propuesta la cual no pretende suplir a ninguna obra de las ya existentes, todo lo contrario, se busca sumar y dar algo por todo lo que hemos recibido.
De los errores u omisiones, el único responsable es su servidor Hasta pronto.
El autor
2010
Conmemoración del Centenario de la Revolución y Bicentenario de la Independencia de MEXICO.
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PRÓLOGO
Es para mí un honor prologar el libro que, sobre Administración Financiera, ha tenido a
bien escribir el Dr. Arturo García Santillán quien siempre me ha distinguido con su
amistad y me ha confiado el prólogo de una de sus obras. Digo que es un honor para
una servidora porque conozco la trayectoria del Dr. García Santillán, la cual está
repleta de logros, buenas intenciones y proyectos, los cuales se han ido cristalizando y
acumulando a lo largo de su amplia experiencia profesional y como investigador.
Son ya varios libros escritos por el Doctor García los que preceden a esta obra, mismos
que han tenido muy buena aceptación. No es la primera vez que el Dr. García ha
echado mano de las TIC’s como una herramienta de vanguardia para la transmisión del
conocimiento, este libro “Administración Financiera I” es muestra de ello y es, como el
mismo lo dice en la introducción de la obra, una primera invitación para el estudio de
tópicos relativos a la Administración y a las Finanzas con un lenguaje claro que no deja
lugar a dudas o a imprecisiones, tal y como debe ser una obra que busca ser
reconocida por la comunidad académica como un valioso material de apoyo para todas
las personas que incursionan en el fascinante mundo de las finanzas y la
administración.
“Administración Financiera I” es un libro en el que, el autor y sus colaboradores nos
regalan una profusión de ejemplos y ejercicios que se van desarrollando paso a paso
sin más pretensión que ser realmente comprendidos por las personas que lo consulten,
los tópicos tratados en cada uno de los capítulos fueron cuidadosamente seleccionados
por el autor.
En los dos primeros capítulos el autor aborda aspectos generales de la administración
y el proceso administrativo de una manera muy didáctica. El tercer capítulo está
dedicado a las matemáticas financieras y temas desde interés simple hasta gradientes,
pasando por interés compuesto, valor del dinero en el tiempo, etc. apoyados con una
profusión de ejercicios con los cuales el autor hace gala de sus conocimientos en la
materia, acompañándolos de baterías de ejercicios para resolver que servirán de
reforzamiento de los conocimientos adquiridos, sin olvidar los anexos donde se
encuentra la solución de todos ellos, elemento que aporta seguridad al alumno de la
resolución correcta de los mismos.
En el último capítulo, no por eso el menos importante, comienza a analizar “el mundo”
de la administración financiera y con lo que nos muestra en él, nos deja ampliamente
interesados en lo que su ya en ciernes próxima obra podrá ofrecernos. Sólo me resta
decir que felicito al autor por aportar sus conocimientos en favor de las nuevas
generaciones… ¡Enhorabuena!
Dra. Ma. Cristina Soto Ibáñez Investigadora UCC
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Agradecimiento
A Dios por estar en mi corazón,
y ser fuente de inspiración
A: Rosalba, Valeria y Viridiana
Mis tres amores y la razón de mi vida
Ma. De Lourdes y Arturo Mis padres, por darme la vida y el ejemplo de trabajo.
A mi casa: UCC
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Reconocimiento
Especial reconocimiento a mis colaboradoras (es) en esta obra:
En la sección de matemáticas financieras, han sido incluidos ejercicios resueltos de un grupo de
excelentes alumnas (os) de las carreras de Administración de Empresas y Administración de
Empresas Turísticas de la Universidad Cristóbal Colón
En la impartición de la materia, permanentemente colaboraron en el diseño de simuladores y
materiales didácticos, así como en la solución de algunos de los ejercicios que en el capítulo III y en
la sección de anexos en el banco de datos se incluyen.
Karina Real Martínez (LAE)
María Teresa Du Solier Grinda (LAET)
Miroslava de la O Sulvarán (LAET)
Manuela Deschamps Espinoza de los Monteros (LAE)
Alejandro Deschamps Espinoza de los Monteros (LAE)
María del Mar Pallán Chávez (LAE)
Rosario Lago Deschamps (LAET)
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UNIVERSIDAD CRISTOBAL COLON
Campus Calasanz
Carr. Veracruz-Medellín s/n Col. Puente Moreno, Boca del Río, Ver.,
Tel. (01 229) 9230170 al 76 Ext. 2060 y 2069
http://dgip.ver.ucc.mx
http://dgip.ver.ucc.mx/CENTROS/CIEA/CIEA.htm.
Diseño de Portada
Julio César Hernández Rivera Centro de Cómputo Académico UCC, Campus Calasanz
Como citar este libro:
García Santillán A., (2010) “Administración Financiera I” Edición electrónica. Texto completo en
www.eumed.net/ ISBN: En trámite
Registro en la Biblioteca Nacional de España No. En trámite
All right reserved ©2010 por Arturo García Santillán
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Índice Pág. Contraportada
Licencia
Introducción
Prólogo
Dedicatoria y agradecimientos
Serie, filiación, cita
Índice
Capítulo I Aspectos generales de la administración
1.- La administración en la empresa
1.1.- Definición nominal
1.2.- Definición etimológica
1.3.- Definiciones existentes por autores
1.4.- Finalidad de la administración
1.4.1.- Su objeto
1.4.2.- Su finalidad
1.5.- Características e importancia de la administración
1.5.1.- Características
1.5.2.- Importancia
Capítulo II El proceso administrativo
2.1.- Introducción
2.2.- Modelo propuesto
2.2.1.- Planeacion (planning)
2.2.1.1.- Concepto
2.2.1.2.- Características
2.2.2. Organización (organization)
2.2.2.1.- Concepto
2.2.2.2.- Características
2.2.3.- Dirección-liderazgo (leadership)
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2.2.3.1.- Concepto
2.2.3.2.- Características
2.2.4.- Control (control)
2.2.4.1.- Concepto
2.2.4.2.- Características
Capítulo III Matemáticas Financieras: Valor del dinero en el
tiempo
3.1.- Interés simple
3.1.1.- Conceptos básicos y ejercicios
3.1.2.- Como calcular el monto (valor futuro)
3.1.3- Valor presente
3.1.4.- Ecuaciones de valores equivalentes con interés simple
Ejercicios para resolver
3.2.- Interés compuesto
3.2.1- Conceptos básicos y ejercicios
3.2.2.- Valor presente y futuro
3.2.3.- Tasas de rendimiento y descuento
3.2.4.- Tasas de interés
3.2.4.1- Tasa real
3.2.4.2.- Ejercicios
3.2.4.3.- Tasas equivalentes
3.3.- Valor presente y descuento
3.4.- Inflación
3.5.- Anualidades
3.5.1.- Ordinarias
3.5.1.1.- Variables que se utilizan en este apartado
3.5.1.2.- Procedimiento
3.5.1.3.- Ejercicios resueltos
3.5.2.- Anticipadas
3.5.2.1.- Variables que se utilizan en este apartado
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3.5.2.2.- Procedimiento
3.5.2.3.- Ejercicios resueltos
3.5.3.- Diferidas
3.5.3.1.- Variables que se utilizan en este apartado
3.5.3.2.- Procedimiento
3.5.3.3.- Ejercicios resueltos
3.5.4.- Generales
3.5.4.1.- Variables que se utilizan en este apartado
3.5.4.2.- Procedimiento
3.5.4.3.- Ejercicios resueltos
3.6.- Amortizaciones
3.6.1.- Conceptos básicos
3.6.2.- Procedimiento
3.6.3.- Ejercicios resueltos
3.7.- Fondos de amortizaciones
3.7.1.- Conceptos básicos
3.7.2.- Procedimiento
3.7.3.- Ejercicios resueltos
3.8.- Gradientes
3.8.1.- Variables que se utilizan en este apartado
3.8.2.- Gradientes aritméticos y su procedimiento
3.8.3.- Gradientes geométricos y su procedimiento
3.8.4.- Gradiente aritmético-geométrico
Capítulo IV Fundamentos de administración financiera
4.1.- Introducción
4.2.- Concepto de administración financiera
4.3.- Análisis de la teoría financiera
4.4.- Características
4.4.1.- Como fase de la administración general
4.4.2.- Recopilación de datos
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4.4.3.- Análisis financiero
4.4.3.1.- Métodos de análisis
4.4.3.2.- Descripción de los métodos
4.4.3.3.- Razones financieras simples
4.4.3.3.1.- Clasificación de las razones simples
4.4.3.4.- Razones estándar
4.4.3.4.1.- Clasificación de las razones estándar
4.4.3.5.- Razones bursátiles
4.4.3.5.1.- Clasificación de los múltiplos bursátiles
4.4.3.6.- Método de tendencias
4.4.3.7.- Método de aumentos y disminuciones
4.4.3.8.- Método de análisis de precios
Bibliografía
Anexos
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CAPITULO I
ASPECTOS GENERALES DE LA ADMINISTRACIÓN ________________________________________
I. LA ADMINISTRACIÓN
1.1. Definición
LA ADMINISTRACIÓN ES UN PROCESO DISTINTIVO QUE CONSISTE EN PLANEAR, ORGANIZAR, DIRIGIR Y CONTROLAR, DESEMPEÑANDO TAREAS PARA EL LOGRO DE OBJETIVOS, MEDIANTE LOS RECURSOS HUMANOS, MATERIALES, INTELECTUALES, TECNOLOGICOS Y MONETARIOS DE LA EMPRESA.
1.2. DEFINICIÓN ETIMOLÓGICA La palabra Administración, se forma del prefijo: Ad= hacia Ministratio= esta a su vez viene de “minister, vocablo compuesto de “minus”, comparativo de inferioridad, y del sufijo “ter”, que sirve como término de comparación.
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La etimología de “minister” es pues diametralmente opuesta a la de “magister”, de “magis”, comparativo de superioridad, y de “ter”
Si “magister” (magistrado), indica una función de preeminencia o
autoridad, el que ordena o dirige a otros en una función. “minister” expresa lo contrario: o sea subordinación u obediencia.- el
que realiza una función bajo el mando de otro; el que presta un servicio al otro.....
De ello se puede resumir entonces, la idea de lo que es ADMINISTRACIÓN
LA ADMINISTRACIÓN SE REFIERE A UNA FUNCIÓN QUE SE
DESARROLLA BAJO EL MANDO DE OTRO, DE UN SERVICIO
QUE ES PRESTADO..................
SERVICIO Y SUBORDINACIÓN SON LOS ELEMENTOS PRINCIPALES QUE SE OBTIENEN.
POR CONSIGUIENTE LA ADMINISTRACIÓN, Es el conjunto sistemático de reglas, para lograr la máxima eficiencia en las formas de estructurar y manejar un organismo social. (Perdomo, 2004)
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1.3. Algunas definiciones de autores:
E.F.L. BRECH. “Es un proceso social que lleva consigo la responsabilidad de planear y regular en forma eficiente las operaciones de una empresa, para lograr un propósito dado.”
J.D. MONEY. Es el arte o técnica de dirigir e inspirar a
los demás, con base en un profundo y claro conocimiento de la naturaleza humana.”
PETERSON & PLOWMAN. “Una técnica por medio de
la cual se determinan, clasifican y realizan los propósitos y objetivos de un grupo humano particular”
KONNTZ & O’DONNELL. La dirección de un
organismo social, y su efectividad en alcanzar sus objetivos, fundada en la habilidad de conducir a sus integrantes”.
G. P. TERRY. “Consiste en lograr un objetivo
predeterminado, mediante el esfuerzo ajeno.” F. TANNENBAUM. “El empleo de la autoridad para
dirigir, organizar y controlar a subordinados responsables y consiguientemente a los grupos que ellos comandan), con el fin de que todos los servicios que se prestan sean debidamente coordinados en el logro de los objetivos de la empresa.”
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HENRY FAYOL. La define “Administrar es prever, organizar, mandar, coordinar y controlar “
LOURDES MUNCH GALINDO. “es un proceso a través
del cual se coordinan los recursos de un grupo social con el fin de lograr la máxima eficiencia, calidad y productividad en el logro de los objetivos.”
CON ESTOS ELEMENTOS, ES FACTIBLE DEFINIR A LA ADMINISTRACIÓN COMO……………….
“EL PROCESO FORMAL DE PLANEAR Y ORGANIZAR, EJERCIENDO PARA ESTOS EFECTOS UN LIDERAZGO DE DIRECCIÓN Y CONTROL, QUE NOS PERMITAN OBTENER LOS RESULTADOS DESEADOS POR CONDUCTO DE OTROS”
O bien…………
La función de lograr que las cosas se realicen por
medio de otros y así obtener resultados, para la toma
de decisiones.
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1.4. LA FINALIDAD DE LA ADMINISTRACIÓN
1.4.1. El Objeto.- Es indiscutible que quién realiza por sí mismo una función no merece ser llamado administrador. Pero desde el momento que delega en otros, (siempre y cuando estas funciones que realizan se lleven a cabo en un organismo social, dirigiendo y coordinando lo que los demás realizan) comienza a recibir el nombre de administrador.
1.4.2. La Finalidad.- La administración busca en forma directa, la
obtención de resultados de máxima eficiencia en la coordinación, y sólo a través de ella se aprovecharan los recursos de la empresa. Como por ejemplo:
a.- Recursos materiales b.- Recursos financieros c.- Recursos humanos (o factor humano) d.- Recursos Técnicos
El buen administrador, no lo es precisamente por que sea un buen
contador, economista, abogado etc., sino más bien por sus cualidades y técnicas que posee específicamente para coordinar a todos esos elementos o recursos que se mencionaron anteriormente, de una manera más eficiente.
Por lo anterior se considera, que la coordinación es la esencia de la Administración, toda vez que abarca:
A}.- La acción de quién está administrando B}.- La actividad misma que resulta de la Administración, o en lo que ésta se traduce; ya sea para dirigir planes, organizar y controlar de una manera coordinada, que permita la obtención de los objetivos trazados. C}.- Pero sobre todo, tratándose de lo que tiene naturaleza práctica, (como ocurre en la administración), el fin debe ser a juicio de los expertos, decisivo. Es por esto, que al hablar de los términos, dirección, manejo, cooperación etc. Parecen insuficientes, ya que solamente se consideran medios o instrumentos para obtener la coordinación.
Recuerda: No se coordina para dirigir, se dirige para coordinar
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1.5. CARACTERÍSTICAS E IMPORTANCIA DE LA ADMINISTRACIÓN
1.5.1. CARACTERÍSTICAS
A}.- SU UNIVERSALIDAD.- ESTO ES, LA
ADMINISTRACIÓN SE DA DONDE QUIERA QUE EXISTA
UN ORGANISMO SOCIAL, YA QUE EN ÉL SIEMPRE
EXISTIRÁ UNA COORDINACIÓN SISTEMÁTICA DE
MEDIOS.
B}.- SU ESPECIFICIDAD.- TODA VEZ QUE LA
ADMINISTRACIÓN, SIEMPRE SE ACOMPAÑA DE
FENÓMENOS DE DISTINTA ÍNDOLE, DENTRO DE LA
EMPRESA SE ESPECIFICAN FUNCIONES ECONÓMICAS,
CONTABLES, JURÍDICAS, PRODUCTIVAS ETC. QUE
DEBEN SER COORDINADAS SISTEMÁTICAMENTE, PARA
LA OBTENCIÓN DE LOS RESULTADOS ESPERADOS.
C}.-SU UNIDAD TEMPORAL.- AUNQUE SE DISTINGUEN;
ETAPAS, FASES Y ELEMENTOS DEL FENÓMENO
ADMINISTRATIVO, ESTE ES ÚNICO Y POR LO MISMO EN
TODO MOMENTO DE LA VIDA DE LA EMPRESA SE
ESTARÁN DANDO, EN MENOR O MAYOR GRADO, YA
SEA TODOS O LA MAYOR PARTE DE LOS ELEMENTOS
ADMINISTRATIVOS.
.D}.- SU UNIDAD JERÁRQUICA.- TODOS LOS QUE
TENGAN CARÁCTER DE JEFES O EJECUTIVOS EN JEFE
DENTRO DE UN ORGANISMO SOCIAL, PARTICIPARÁN
EN DISTINTOS GRADOS O MODALIDADES DE LA MISMA
ADMINISTRACIÓN
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Ahora se describen algunas características que permiten entender mejor el significado de la Administración y su naturaleza única (Terry, 1993)
1}.- LA ADMINISTRACIÓN SIGUE UN PROPÓSITO.- se refiere al
logro de algo específico, como un objetivo
2}.- LA ADMINISTRACIÓN HACE QUE LAS COSAS SUCEDAN.-
Los gerentes centran su atención y sus esfuerzos en producir
acciones exitosas.
3}.- LA ADMINISTRACIÓN SE LOGRA POR, CON Y MEDIANTE
LOS ESFUERZOS DE OTROS.- Para participar en la
administración, se debe abandonar la tendencia de ejecutar
todo uno mismo
4}.- LA EFECTIVIDAD ADMINISTRATIVA REQUIERE EL USO DE
CIERTOS CONOCIMIENTOS, APTITUDES Y PRÁCTICA.- Existe
una gran diferencia entre lograr que los vendedores vendan y
saber como lograr vender. Se requiere la habilidad y el
conocimiento de quién ejercerá la administración para
llevarla a cabo y saber como llevarla a cabo, es decir el
conocimiento innato.
5}.- LA ADMINISTRACIÓN ES UNA ACTIVIDAD, NO ES UNA
PERSONA O GRUPO DE PERSONAS.- La administración no es
gente, es una actividad igual a la de caminar, nadar etc.
6}.- LA ADMINISTRACIÓN ES AYUDADA, NO REEMPLAZADA
POR LA COMPUTACIÓN.- La computadora es una herramienta
muy valiosa en el campo de la administración, permite tener
una visión más amplia al gerente, así mismo le permite
agudizar sus percepciones proporcionando información para
la toma de decisiones clave en la empresa.
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7}.- LA ADMINISTRACIÓN ESTA ASOCIADA USUALMENTE CON
LOS ESFUERZOS DE UN GRUPO.- La empresa cobra vida para
alcanzar determinados objetivos, los que se logran con mayor
facilidad con un grupo de personas y no con una sola persona
8}.- LA ADMINISTRACIÓN ES UN MEDIO NOTABLE PARA
EJERCER UN VERDADERO IMPACTO EN LA VIDA HUMANA.- La
administración influye en su ambiente, si un gerente así lo
desea, puede hacer mucho para mejorar el medio en el que
se desarrolla y el de sus colaboradores.
9}.- LA ADMINISTRACIÓN ES INTANGIBLE.- La llaman la fuerza
invisible, su presencia queda evidenciada en los resultados
obtenidos a través de los esfuerzos de todos.
10}.-LOS QUE PRACTICAN LA ADMINISTRACION NO SON
NECESARIAMENTE LOS PROPIETARIOS.- Administrador y
Propietario no son forzosamente la misma persona. Aunque
en ocasiones si lo son.
1.5.2. SU IMPORTANCIA
La administración, es tan indispensable en la vida de todo
organismo social, por todo lo que aporta, y que hace que se puedan
lograr más fácilmente los objetivos trazados por las personas,
organismos y todo aquel que la ejerza para la consecución de sus metas.
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CONSIDERACIONES,
SOBRE LA IMPORTANCIA DE LA ADMINISTRACIÓN:
1.- La administración se da dondequiera que exista un organismo social, aunque lógicamente sea más necesaria, cuanto mayor y más complejo sea éste. 2.- El éxito de un organismo depende de su buena administración, y sólo a través de ésta, de los elementos materiales, humanos, tecnológicos, financieros, se logrará obteniendo desde luego, los beneficios esperados dentro del ente social. 3.- Para las grandes empresas, la administración técnica o científica es indiscutible y obviamente esencial, ya que por su magnitud y complejidad simplemente no podrían actuar si no fuera a base de una administración sumamente técnica. En ellas es quizás, donde la función administrativa puede aislarse mejor de las demás. 4.- Para las empresas medianas y pequeñas, quizá su única posibilidad de competir con otras, es tal vez en el mejoramiento de su administración, es decir, obtener una mejor coordinación de sus elementos, maquinaria, mercado, calificación de mano de obra, etc., en los que indiscutiblemente, son superadas por sus grandes competidoras. 5.- La elevación de su productividad, (preocupación quizá la de mayor importancia actualmente) en el campo económico social, depende de la adecuada administración de las empresas, ya que si cada célula de esa vida económica y social es eficiente y productiva, la sociedad misma, formada por ellas, tendrá que serlo.
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CAPITULO II
EL PROCESO ADMINISTRATIVO ____________________________________________________
2. DISEÑO DE UN PROCESO ADMINISTRATIVO
2.1. INTRODUCCIÓN
Es muy importante mencionar, que todas las propuestas hechas a través
del tiempo, por todos aquellos grandes precursores de la Administración, resultan interesantes, ya que cada uno de ellos aporta diversas ideas que desde luego son válidas y acertadas para poner en práctica en cualquier organismo.
Ahora bien, con base en ese bagaje teórico, se puede implementar un modelo de……………Proceso Administrativo…………. que sea susceptible de llevar en cualquiera unidad económica, social, cultural, etc., de acuerdo a las siguientes etapas.
2.2.- MODELO PROPUESTO
2.2.1.- PLANEACIÓN: (PLANNING) 2.2.2.- ORGANIZACIÓN: (ORGANIZATION)
2.2.3.-DIRECCIÓN-LIDERAZGO: (LEADERSHIP)
2.2.4. CONTROL: (CONTROL)
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2.2.1. PLANEACIÓN (Planning)
2.2.1.1. CONCEPTO
La planeación es un proceso que comienza por fijar objetivos, define estrategias, políticas y planes detallados para alcanzarlos, establece una organización para la instrumentación de las decisiones e incluye una revisión del desempeño y mecanismos de retroalimentación para el inicio de un nuevo ciclo de planeación:
2.2.1.2. CARACTERÍSTICAS
Naturaleza de la planeación y de los objetivos
La planeación implica seleccionar misiones y objetivos y las acciones para cumplirlos. Requiere de la toma de decisiones, esto es, la elección entre cursos futuros de acción alternativos.
Planeación y control están estrechamente interrelacionadas Existen muchos tipos de planes, como propósitos, misiones, objetivos,
metas, estrategia, políticas, procedimientos, reglas, programas y presupuestos. Una vez al tanto de las oportunidades, un administrador planea racionalmente a través del establecimiento de los objetivos, la realización de supuestos (premisas) sobre las condiciones presentes y futuras, la detección y evaluación de cursos de acción alternativos y la selección de un curso a seguir. Después, debe trazar planes de apoyo y elaborar un presupuesto.
Estas actividades deben efectuarse tomando en cuenta la totalidad de las circunstancias. (Es decir, todos los eventos que se presenten en dicho proceso de planeación) Los planes a corto plazo deben coordinarse, por supuesto, con los planes a largo plazo.
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Los objetivos son los puntos terminales que se persiguen por medio de las actividades. De ser posible deben ser verificables o cuantificables al final del período, para determinar si se les cumplió o no. Forman una jerarquía, la cual se extiende desde los propósitos y misiones corporativos hasta las metas individuales. Los administradores pueden determinar más adecuadamente el número de objetivos que deben fijarse en forma realista al analizar la naturaleza de su puesto, para saber cuánto pueden hacer y cuánto deben delegar. En todos los casos deben conocer la importancia relativa de cada una de sus metas.
La administración por objetivos (APO) ha sido ampliamente usada para la evaluación del desempeño y la motivación de los empleados, aunque en realidad se trata de un sistema de administración.
El proceso de la APO consiste en el establecimiento de
objetivos en el nivel más alto de la organización, la precisión de las funciones específicas de los responsables del cumplimiento de ellos y el establecimiento y modificación de los objetivos de los subordinados. Se puede fijar metas tanto para administradores de línea como para el personal ejecutivo. Las metas pueden ser cualitativas o cuantitativas.
Entre otros beneficios, la APO resulta en una mejor
administración, además que obliga a los administradores a precisar la estructura de sus organizaciones, alienta el compromiso personal con los objetivos propios y permite el desarrollo de controles efectivos.
Algunas de sus desventajas son; la ocasional incapacidad de los administradores de explicar a sus subordinados la filosofía de la APO (la cual enfatiza el autocontrol y la autodirección) y de ofrecerles pautas para el establecimiento de objetivos. Además, por si mismas, las metas son difíciles de establecer, tienden a reducirse al corto plazo y pueden resultar inflexibles a pesar de la ocurrencia de cambios en las circunstancias. Finalmente, en el afán de determinar objetivos que se puedan verificar, los individuos corren el riesgo de exagerar la importancia de las metas cuantificables.
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Estrategias, políticas y premisas de planeación Existen varias definiciones de estrategia. Una de ellas muy completa, es
que la estrategia consiste en la determinación del propósito y los objetivos básicos a largo plazo de una empresa y en la adopción de los recursos de acción y la asignación de recursos necesarios para el cumplimiento de esas metas. Las políticas son enunciados o interpretaciones generales que orientan las ideas de los administradores en la toma de decisiones. Tanto estrategias como políticas sirven de guía a los planes.
Constituyen la estructura de los planes y sientan las bases para el
desarrollo de tácticas y otras actividades administrativas. (Todas estas, creadas por la misma organización)
El modelo de planeación estratégica muestra el funcionamiento de este
proceso. En él se identifican los elementos básicos del proceso y se indica la relación entre ellos. La matriz TOWS * es un moderno instrumento para el análisis de las amenazas y oportunidades de las condiciones externas y de la relación de éstas con las fortalezas y debilidades (internas) de la organización. (Koontz & Weilrich, 1998)
La matriz de portafolio* es un instrumento para la asignación de recursos, por medio del cual se establece un vínculo entre la tasa de crecimiento de la industria y su posición competitiva relativa (medida a través de su participación de mercado)
Importantes estrategias y políticas deben desarrollarse en áreas tales
como crecimiento, finanzas, organización, personal, relaciones públicas, productos o servicios y comercialización. Las estrategias componen una jerarquía, la cual va del nivel empresarial al de negocios y de éste al nivel funcional.
El profesor Porter identificó tres estrategias competitivas genéricas,
relativas al liderazgo en costos generales, la diferenciación y el enfoque.
T = threats (amenazas) O = opportunity (oportunidades)
W = weaknesses (debilidades)
S = strengths (fortalezas)
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Para la efectiva instrumentación de las estrategias, los administradores deben comunicar tanto éstas como las premisas de planeación a todos aquellos necesitados de conocerlas y comprobar que los planes contribuyan a las estrategias y metas a los que responden.
Asimismo, deben revisar las estrategias regularmente, desarrollar
estrategias de contingencia y cerciorarse de que la estructura organizacional de la empresa se ajusta al programa de planeación. Finalmente, deben hacer del aprendizaje acerca de la planeación e instrumentación de estrategias, un proceso permanente.
Las premisas de planeación son las condiciones que se
prevén a futuro. Incluyendo supuestos o pronósticos sobre las condiciones futuras previsibles. Unos de los métodos de pronóstico es la técnica Delphi, desarrollada por RAND Corporation.
Dentro de la Planeación encontramos la Toma de decisiones
La toma de decisiones es la selección de un curso de acción entre varias alternativas; constituyendo por lo tanto la esencia misma de la planeación. Los administradores deben tomar decisiones sobre la base de la racionalidad limitada, o acotada. Esto es, deben tomarlas a la luz de todo lo que pueden saber de una situación, aunque esto no equivalga a todo lo que sería ideal que supieran. El término “satisfaciente” suele emplearse para describir la elección de un curso de acción satisfactorio en determinadas circunstancias.
Dado que casi siempre se dispone de alternativas (muchas, por lo
general) para el curso de acción, los administradores deben restringir su atención a aquellas que consideran los factores limitantes. Estos son los factores que obstruyen el cumplimiento de un objetivo. Después, las alternativas se evalúan en términos de factores cuantitativos y cualitativos.
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Otras técnicas para la evaluación de alternativas son el análisis marginal y un análisis de costo – beneficio. La experiencia, la experimentación, la investigación y el análisis forman parte en la selección de una alternativa.
Entre los métodos modernos para la toma de
decisiones destacan el análisis de riesgo (que consiste en la asignación de probabilidades matemáticas a los resultados de decisiones) y los árboles de decisión (por medio de los cuales se describen gráficamente los puntos de decisión, acontecimientos aleatorios y probabilidades de varios cursos de acción).
Los factores que determinan la importancia de
una decisión son las dimensiones del proyecto, la flexibilidad o inflexibilidad de los planes, la certidumbre o incertidumbre de metas y premisas, el grado en que es posible medir las variables y el impacto sobre las personas.
La creatividad, que es la capacidad de
desarrollar nuevas ideas, es importante para la administración eficaz. La innovación es el uso de estas ideas.
El proceso creativo se compone de cuatro fases
sobrepuestas:
1) Exploración inconsciente. 2) Intuición 3) Discernimiento 4) Formulación lógica.
Dos de las técnicas más comunes para favorecer la creatividad son la
lluvia de ideas y la sinéctica. (Alex F. Osborn y William J. Gordon)
Hay decisiones programadas y no
programadas. Las primeras son aptas para
problemas estructurados o
rutinarios. Son especialmente
los administradores de nivel inferior y
los empleados en general quienes
toman este tipo de decisiones. Por el contrario, las
decisiones no programadas se aplican a
problemas no estructurados ni
rutinarios, por lo general son responsabilidad de
los administradores
de alto nivel.
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Brevemente se describe: la lluvia de ideas es una de las
técnicas más conocidas para facilitar la creatividad, la cual fue elaborada por Alex F. Osborn, a quién se le ha llamado el “padre de la lluvia de ideas”.
El propósito de este método es favorecer la resolución de
problemas mediante el hallazgo de nuevas e insólitas soluciones. Lo que se busca en una sesión de lluvia de ideas es justamente una multiplicación de ideas.
Reglas a seguir:
1.- No criticar ninguna regla. 2.- Mientras más extremosas sean las ideas, mejor. 3.- Alentar la cantidad de ideas producidas. 4.- Estimular el progresivo mejoramiento de las ideas.
**La técnica “Delphi” representa un intento por obtener pronósticos tecnológicos más precisos y significativos. Desarrollada por Olaf Helmer y su grupo de colaboradores en Rand Corporation, esta técnica posee un alto grado de respetabilidad y aceptación científica
1.- Se selecciona un grupo de expertos en un área en particular, por
lo general tanto de dentro como fuera de la organización. 2.- Se solicita a los expertos la realización (en forma anónima para
evitar mutuas influencias) de un pronóstico sobre lo que creen que
ocurrirá, y cuando, en diversas áreas de nuevos descubrimientos y
adelantos.
3.- Se recopilan las respuestas, y los resultados combinados son presentados a los miembros del grupo.
4.- Con base en esta información (pero aún en condiciones de
anonimato), se elaboran nuevas estimaciones del futuro.
5.- Este proceso puede repetirse varias veces.
6.- Una vez que comienza a perfilarse la convergencia de opiniones,
los resultados pueden usarse como un pronóstico aceptable
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SINECTICA: Originalmente conocida como técnica de Gordon (William J. Gordon), se refiere a la selección cuidadosa de los miembros del equipo sinéctico, según sus aptitudes para la resolución de un problema, el cual puede involucrar a toda la organización.
El líder del grupo desempeña un importante papel en la aplicación de
este método, de hecho, solo él conoce la naturaleza específica del problema. Su función consiste en estrechar y dirigir cuidadosamente la discusión sin revelar el problema de que se trata. El principal motivo de ello es impedir que el grupo llegue a una solución prematura.
Este sistema supone una compleja serie de interacciones para el surgimiento de una solución, frecuentemente la invención de un nuevo producto.
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2.2.2. ORGANIZACIÓN (ORGANIZATION)
2.2.2.1. CONCEPTO ES EL ESTABLECIMIENTO DE
RELACIONES EFECTIVAS DE
COMPORTAMIENTO ENTRE PERSONAS,
DE MANERA QUE PUEDAN TRABAJAR
JUNTAS CON EFICIENCIA Y QUE DE ESTA
MANERA PUEDAN OBTENER UNA
SATISFACCIÓN PERSONAL AL HACER SUS
TAREAS SELECCIONADAS BAJO
CONDICIONES AMBIENTALES, CON EL
FIRME PROPÓSITO DE ALCANZAR UNA
META O UN OBJETIVO.
(Munch Galindo)
2.2.2.2 CARACTERÍSTICAS
El término “organización” tiene muchos usos. La organización formal es la estructura intencional de funciones. La organización informal es una red de relaciones personales y sociales no establecida ni requerida por la autoridad formal pero que surge espontáneamente. El término “tramo de administración” se refiere al número de personas que un administrador puede supervisar efectivamente.
Un tramo de administración amplio resulta en un número reducido de
niveles organizacionales, mientras que un tramo estrecho resulta en muchos niveles. No puede hablarse de un número definido de personas a las que un administrador pueda supervisar siempre eficazmente; tal número depende de varios factores subyacentes. Entre ellos se encuentran el grado requerido y poseído de capacitación de los subordinados, la claridad de la delegación de la autoridad, la claridad de los planes, el uso de normas para el cumplimiento de objetivos, el ritmo del cambio, la efectividad de las técnicas de comunicación, el grado necesario de contacto personal y el nivel organizacional implicado.
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Emprendedores internos y emprendedores externos concentran su atención en la innovación y la creatividad. Es responsabilidad de los administradores crear el ambiente necesario para la promoción del espíritu emprendedor.
Los pasos de la función de organización son la formulación de objetivos
principales y de objetivos secundarios, políticas y planes de apoyo para alcanzar los fines (lo que, en sentido estricto corresponde a la planeación); la identificación y clasificación de actividades; la agrupación de estas actividades; la delegación de autoridad, y la coordinación tanto de las relaciones de autoridad como de información.
La agrupación de actividades y personas en departamentos hace posible la expansión organizacional. La departamentalización puede realizarse por números simples, tiempo, función empresarial, territorio y geografía, tipo de clientes y proceso o equipo requerido. Clases relativamente nuevas de departamentalización son la agrupación organizacional por productos, la organización matricial o de rejilla, la organización por proyectos y la unidad estratégica de negocio (UEN). Las estructuras organizacionales para el ámbito global pueden variar enormemente, desde la existencia de un departamento de exportaciones en las oficinas generales de una compañía hasta el agrupamiento por regiones, pasando por muchas otras variantes. Además, las compañías también pueden aplicar dos o más modalidades de agrupación organizacional funcional, en una región.
No existe una modalidad única de organización; la determinación del
patrón más adecuado depende de los diversos factores presentes en una situación dada. Estos factores incluyen el tipo de labores por realizar, la manera que deben desarrollarse las tareas, el tipo de personas involucradas, la tecnología, las personas por atender y otras consideraciones internas y externas. En todo caso la selección de un patrón de departamentalización específico debe efectuarse de tal manera que sea posible cumplir eficaz y eficientemente con los objetivos organizacionales e individuales.
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Para el cumplimiento de esta meta suele requerirse de la combinación de diversas modalidades de departamentalización.
Dentro de la organización encontramos que existen diferentes bases de
poder. El poder puede ser legítimo, producto de la experiencia, referente, de recompensa o coercitivo. El empowerment permite que la gente tome decisiones sin solicitar la autorización de sus superiores.
Existen también varias formas de conceptualizar línea y staff. Por lo
general, lo que caracteriza a línea y staff son las relaciones no las personas o departamentos. La autoridad de línea es la relación en la que un superior ejerce supervisión directa sobre sus subordinados, la relación de staff consiste a su vez en el ofrecimiento de asesoría y consejos.
La autoridad funcional es el derecho a controlar procesos, prácticas y
políticas selectas u otros asuntos de departamentos ajenos al propio. Se trata de una pequeña tajada de la autoridad del administrador de línea y por lo tanto se le debe emplear lo menos posible.
Disponer de personal de staff
brinda ciertos beneficios, aunque también limitaciones, como el riesgo de debilitar la autoridad de línea y la ausencia de responsabilidad de parte de los empleados de staff. Existe también la posibilidad de hacer propuestas imprácticas y defragmentar la unidad de mando.
Otro concepto importante es el de
la descentralización, la tendencia a dispersar la autoridad para la toma de decisiones. La centralización consiste en cambio, en la concentración de la autoridad. Puede adoptar la forma de concentración geográfica, centralización departamental o tendencia a restringir la delegación de toma de decisiones.
El proceso de delegación de autoridad supone determinar los resultados
por alcanzar, asignar tareas, delegar autoridad para el cumplimiento de esta y atribuir a los individuos la responsabilidad sobre los resultados.
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La delegación de autoridad, un arte en sí misma. Está sujeta a la influencia de las actitudes personales. Existen algunas sugerencias prácticas que pueden ayudar a los administradores a evitar la incorrecta práctica de la delegación.
La descentralización se ve influida a su vez por muchos otros factores,
que los administradores deben tomar en cuenta al determinar el grado de delegación de autoridad. Autoridad previamente descentralizada puede recentralizarse. El equilibrio es la clave para una descentralización apropiada.
Organizar implica desarrollar una estructura intencional de funciones
para el desempeño eficaz. Muchos errores de organización pueden evitarse si primeramente se planea la organización ideal para el cumplimiento de metas y después se hacen modificaciones en función del factor humano y otros factores situacionales. En la planeación de la organización se identifican las necesidades de integración del personal y se cuenta con la posibilidad de atacar las deficiencias en este campo.
Se detecta asimismo, la duplicación de esfuerzos, la falta de autoridad
en las líneas de autoridad y comunicación y sobre todo la obsolescencia de algunos procedimientos. Una organización eficaz mantiene flexibilidad y se adapta a cambios en sus condiciones.
Para la mayor eficacia de las labores de personal de staff es importante
enseñar las relaciones de autoridad, hacer que el personal de línea escuche al de staff y mantener a éste debidamente informado. Adicionalmente la eficacia demanda que el personal de staff elabore recomendaciones íntegras y que la utilización de éste se convierta en un modo de vida organizacional.
Los conflictos en las organizaciones pueden reducirse mediante el uso
de organigramas y descripciones de funciones. La organización mejora cuando se imparte enseñanza sobre su naturaleza y se reconocen tanto la organización informal como la red natural de relaciones.
Además las empresas eficaces desarrollan y cultivan una cultura
organizacional apropiada.
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2.2.3. DIRECCIÓN-LIDERAZGO (leadership)
2.2.3.1. CONCEPTO
LA DIRECCIÓN ES EL PROCESO CONSISTENTE EN INFLUIR EN LOS
INDIVIDUOS PARA QUE CONTRIBUYAN AL CUMPLIMIENTO DE LAS
METAS ORGANIZACIONALES Y GRUPALES. LAS PERSONAS ASUMEN
DIFERENTES PAPELES, Y NO EXISTEN PERSONAS PROMEDIO. AL
TRABAJAR EN FAVOR DE LAS METAS, UN ADMINISTRADOR DEBE
TOMAR EN CUENTA LA DIGNIDAD DE LAS PERSONAS EN SU
INTEGRIDAD.
“HAROLD KOONTZ & HEINZ WEIHRICH”
2.2.3.2. CARACTERÍSTICAS La motivación no es un concepto simple; alude en realidad a diversos
impulsos, deseos, necesidades, anhelos y otras fuerzas. Los administradores motivan al procurar condiciones que induzcan a los
miembros de las organizaciones a contribuir en beneficio de éstas. Existen distintas visiones y supuestos sobre la naturaleza humana.
McGregor llamo teoría X y teoría Y a sus conjuntos de supuestos sobre las personas.
La teoría de Maslow sostiene a su vez que las necesidades de orden
menor (necesidades fisiológicas) hasta la necesidad de mayor orden (la necesidad de autorrealización) forman parte esencial de la vida del ser humano.
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Fuente: Tomado de Salazar (2007): Consultado en Wikipedia http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Pir%C3%A1mide_de_Maslow.svg#file
De acuerdo con la teoría de dos factores de Herzberg, existen dos
grupos de factores motivantes: Uno de ellos esta integrado por insatisfactores relativos al contexto de
trabajo (circunstancias, condiciones). La ausencia de estos factores da como resultado insatisfacción.
El otro grupo lo componen los satisfactores o motivadores, relativos al
contenido del trabajo. La teoría motivacional de la expectativa de Vroom postula que los
individuos se sienten motivados a alcanzar una meta si creen que ésta es valiosa y pueden comprobar que sus actividades contribuirán a su consecución.
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El modelo de Porter y Lawler posee numerosas variables. De acuerdo a ello, el desempeño está en su esencia, en función de la capacidad, la percepción de la tarea requerida y el esfuerzo. Éste se ve influido por el valor de las recompensas y la percepción de la probabilidad de que el esfuerzo merezca una recompensa. El cumplimiento del desempeño se relaciona a su vez con las recompensas y la satisfacción.
La teoría de la equidad se refiere al juicio subjetivo de los individuos
sobre lo justo de la recompensa recibida por sus insumos en comparación con las recompensas de los demás. La teoría del reforzamiento, creada por Skinner, establece que a las personas les motiva el elogio de su conducta deseable, y que deben participar en la fijación de sus metas y recibir retroalimentación regular con los elogios y el merecido reconocimiento por su desempeño. La teoría de McClelland se basa en la necesidad de poder, la necesidad de asociación y la necesidad de logro.
Son técnicas motivacionales especiales el uso del dinero, el aliento a la
participación y la elevación de la calidad de la vida laboral (CVL). El enriquecimiento de puestos persigue un mayor interés y significado de las labores. Aunque en ciertos casos se ha tenido éxito en su aplicación, no deben desestimarse ciertas limitaciones de esté método.
La complejidad de la motivación impone un enfoque de contingencia en
el que se tomen en cuenta los factores del entorno, entre ellos el ambiente organizacional.
El liderazgo es el arte o proceso de influir en las personas para que
contribuyan voluntaria y entusiastamente al cumplimiento de metas grupales. Para serlo, el líder requiere de seguidores.
Existen varios enfoques para el estudio del liderazgo, los cuales van
desde el enfoque de rasgos hasta el de contingencias. En uno de esos enfoques se establece una distinción entre tres estilos: autocrático, democrático o participativo y liberal.
En la rejilla administrativa se identifican dos dimensiones: la
preocupación por la producción y la preocupación por las personas.
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Con base en estas dimensiones se determinan cuatro estilos extremos y uno “intermedio”.
2.- Otro enfoque del liderazgo, sustentado en el supuesto de que los
líderes son producto de situaciones dadas, se centra en el estudio de las situaciones. En el enfoque de contingencias de Fiedler se toman en cuenta el poder que su puesto le otorga al líder, la estructura de las tareas y las relaciones entre el líder y los miembros del grupo. La conclusión es que ningún estilo de liderazgo es mejor que otros y que los administradores pueden tener éxito si se encuentran en la situación adecuada. El enfoque del camino-meta del liderazgo señala que los líderes más eficaces son los que contribuyen a que sus subordinados cumplan tanto las metas de la empresa como sus metas personales.
Los líderes transaccionales aclaran funciones y tareas, erigen una
estructura y ayudan a sus seguidores a cumplir objetivos. Los líderes transformacionales articulan una visión, inspiran a los demás y transforman la organización. Los conceptos de liderazgo transformacional y carismático son similares.
3.- Un comité es un grupo de personas a las que, como grupo, se les
encomienda un asunto. Los comités pueden ser de línea o administrativos, formales o informales, permanentes o temporales sirven para conseguir la deliberación y criterios grupales, impedir que una persona acumule excesiva autoridad y presentar las opiniones de diferentes grupos. Se les emplea también para coordinar departamentos, planes y políticas, así como para compartir información. Es probable que en ocasiones un administrador no posea en su totalidad la autoridad necesaria para tomar una decisión. Así, la autoridad se agrupa a través de comités. Además, éstos suelen incrementar la motivación al permitir que los individuos participen en el proceso de toma de decisiones. No obstante, a veces se les utiliza para posponer una decisión o impedir la acción.
1.- El liderazgo también puede ser concebido como continuo. En uno de los extremos de este continuo, el administrador posee un alto grado de libertad, mientras que los subordinados disponen de uno muy limitado. En el otro extremo, la libertad del administrador es muy reducida, y muy amplia la de los subordinados.
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4.- Los comités también ofrecen ciertas desventajas: pueden ser costosos; sus acciones pueden resultar en compromisos del “mínimo común denominador”, sus discusiones pueden generar indecisión y poseen la tendencia a ser autodestructivos cuando una persona domina las reuniones. Otro de sus inconvenientes es la dispersión de la responsabilidad, ya que ninguna persona en lo particular asume la responsabilidad de una decisión. Además, un reducido grupo de miembros de un comité puede insistir en que se acepte su injustificado punto de vista contra la voluntad de la mayoría.
Un ejecutivo plural, como un consejo de administración, es un comité con autoridad para tomar decisiones administrativas. La autoridad de los consejos de administración varía ampliamente. Aunque por lo general participan en la formulación de estrategias y la elaboración de políticas, la instrumentación de éstas suele recaer en los administradores.
Para que un comité opere
eficazmente es preciso determinar su autoridad, elegir él numero de integrantes más adecuado, seleccionar cuidadosamente a sus miembros, destinarlo únicamente al asunto que corresponda, nombrar a un presidente eficaz, llevar y hacer circular minutas y emplearlo sólo cuando sus beneficios excedan a sus costos.
Un comité es un tipo de grupo; otro es, por ejemplo, un equipo. En el
caso de los equipos autodirigidos, los miembros del grupo poseen las habilidades necesarias para la realización de casi la totalidad de ciertas tareas.
El experimento de Asch demostró el impacto de la presión grupal hacia
la conformidad. El grupo de enfoque es un tipo de grupo especial para la obtención de respuestas de los clientes, él público o los empleados.
Antes de proceder al uso de acciones grupales, una organización debe
considerar las ventajas y desventajas de los grupos. Entra en juego también la comunicación como la transferencia de la
información de un emisor a un receptor, el cual debe comprenderla.
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El proceso de la comunicación empieza con el emisor, quien codifica una idea que envía en forma oral, escrita, visual o de otra especie al receptor. El receptor decodifica el mensaje y obtiene una interpretación de lo que el emisor desea comunicar.
Esto puede resultar a su vez en cierto cambio o acción. Sin embargo el
proceso de la comunicación puede verse interrumpido por "ruido”, esto es, por todo aquello que entorpece la comunicación. En una organización los administradores deben disponer de la información necesaria para la correcta realización de sus labores. La información no solo debe fluir en sentido descendente o ascendente por la estructura organizacional, sino también horizontal y diagonalmente.
La comunicación debe efectuarse por escrito, pero la mayor parte de la
información se comunica oralmente. Además los individuos también se comunican a través de gestos y expresiones faciales.
La comunicación se ve entorpecida por barreras y fallas en el mismo
proceso, conocer estas barreras, aplicar una auditoría de comunicación y poner en práctica las sugerencias para la comunicación, facilitan no solo la comprensión, sino también la administración.
Los medios electrónicos pueden mejorar la comunicación, como lo
ilustran las teleconferencias y la aplicación de computadoras, dos de los muchos métodos para el manejo de la creciente cantidad de información en las organizaciones.
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2.2.4. CONTROL (control) 2.2.4.1. CONCEPTO
La función administrativa del control es la medición del desempeño a
fin de garantizar el cumplimiento de los objetivos de la empresa y de los planes ideados para alcanzarlos. Es una función de todo administrador, desde el presidente hasta los supervisores de la compañía.
Koontz Harold.
2.2.4.2. CARACTERÍSTICAS Las técnicas y sistemas de control son básicamente los mismos más allá
del que sea el objeto del control. Dondequiera que se le encuentre y sea cual sea su objeto, el control implica tres pasos:
1) Establecimiento de normas 2) Medición del desempeño con base a esas normas y 3) Corrección de las variaciones de normas y planes, aunque todas
ellas tengan puntos críticos.
El control administrativo suele ser percibido como un sistema de retroalimentación simple, similar al termostato doméstico común. Sin embargo, sin importar qué tan rápido se disponga de información sobre lo que ocurre, existen demoras inevitables en el análisis de desviaciones, desarrollo de planes para la puesta en práctica de acciones correctivas e instrumentación de estos programas.
Para combatir estos rezagos en el control, se ha propuesto que los
administradores empleen un método de control con corrección anticipante (acciones correctivas y preventivas) y no depender exclusivamente de la retroalimentación simple.
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El control con corrección anticipante requiere el modelo de un diseño de un proceso o sistema y la vigilancia de insumos con el propósito de detectar futuras desviaciones en los resultados respecto a las normas y planes, para que de esta manera los administradores dispongan de tiempo para aplicar acciones correctivas.
Para que los controles sean funcionales, deben ajustarse
especialmente a:
1) Planes y puestos
2) Administradores en lo individual
3) Las necesidades de eficiencia y eficacia, para ser eficaces los controles deben diseñarse estos, para señalar excepciones en los puntos críticos, ser objetivos, ser flexibles, adecuarse a la cultura organizacional, ser económicos e inducir acciones correctivas. Una amplia variedad de instrumentos y técnicas se han empleado hasta
ahora para facilitarles el control a los administradores. En general, estas técnicas son en primera instancia instrumentos de planeación, de modo que ilustran el hecho de que los controles deben ser el reflejo de los planes. Algunos de estos instrumentos has sido usados desde hace mucho tiempo por los administradores; otros como la presupuestación variable y la presupuestación en base cero, son derivaciones de la presupuestación tradicional.
La técnica de evaluación y revisión de programas (PERT) representa
una generación más reciente de instrumentos de planeación y control, enfocados a la administración.
El presupuesto es uno de los recursos de planeación más antiguos. La
presupuestación es la formulación de planes en términos numéricos para un período futuro dado.
Existen varios tipos de presupuestos:
1) presupuestos de egresos y gastos, 2) presupuestos de tiempo, espacio, materiales y productos, 3) presupuestas de gastos de capital, 4) presupuestos de efectivo.
Los presupuestos entrañan varios riesgos, aunque el mayor de ellos, (la
inflexibilidad) puede evitarse en gran medida con el uso de presupuestos
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variables. Estos son presupuestos diseñados para sufrir modificaciones en la medida que varíe el volumen de producción, a fin de que los gastos puedan dividirse en las partidas que varían con mayor frecuencia; como el volumen de ventas o alguna otra medida de producción. También mediante la existencia de presupuestos alternativos o complementarios es posible obtener flexibilidad.
La presupuestación se vuelve más precisa que la presupuestación base
cero, en la que los programas se dividen en paquetes. Los costos de cada paquete se calculan a partir de una base de cero para
que el control presupuestal pueda ser efectivo en la práctica, los administradores no pueden perder de vista que los presupuestos son un instrumento que por ningún motivo puede reemplazar a la administración.
Entre los recursos tradicionales del control no presupuestal están los
datos estadísticos y su análisis, los informes y el análisis especial, la auditoria operacional y la observación personal.
Una de las técnicas de planeación y control es el análisis de redes de:
“tiempo eventos”. La técnica de evaluación y revisión de programas es una versión mas desarrollada de las gráficas de Gantt, las cuales fueron diseñadas para mostrar, en forma de gráficas de barras, lo que se debe hacer y cuando llevar a cabo un programa. PERT es también una versión mejorada de la presupuestación con puntos de referencia en la que las cosas por hacer se dividen en piezas identificables y controlables llamadas “puntos de referencia”.
Cuando los puntos de referencia se unen para formar una red y se
identifica el tiempo requerido para concluir cada punto de referencia, de ello resulta una red PERT de “tiempos eventos”. Con base en las secuencias de eventos y el tiempo requerido para ellos es posible determinar la ruta crítica, la secuencia de mayor duración sin tiempo de inactividad.
El sistema de información gerencial (MIS) es un sistema formal para la
recopilación, integración, comparación, análisis y dispersión de información interna y externa de la empresa de forma oportuna, eficaz y eficiente.
Las computadoras se usan ampliamente
en la actualidad. Su impacto en las funciones de los administradores de diversos niveles organizacionales difiere. La tecnología de la información ofrece muchos retos.
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Hay administradores que se resisten a usar computadoras, aunque los avances tecnológicos alientan su empleo.
Las computadoras también han contribuido a la telecomunicación,
medio por el cual una persona puede trabajar en su casa con una minicomputadora que está enlazada a la computadora de la empresa.
Las redes de cómputo de uso creciente, vinculan a estaciones de trabajo
entre sí con computadoras más grandes y equipo periférico. La revolución de Internet brinda nuevas y muy interesantes oportunidades tanto a empresas como a individuos.
La productividad es una de las mayores preocupaciones de los administradores. Implica medición, paso esencial del proceso de control. La medición de la producción de los trabajadores manuales es mucho más sencilla que la de los trabajadores intelectuales, como los administradores. Sin embargo, la productividad administrativa es importante, especialmente para organizaciones que operan con alta competitividad.
La administración de la producción se refiere a las actividades
necesarias para la fabricación de productos; también puede incluir operaciones de compras, almacenamiento, transporte y otras.
La administración de operaciones tiene un significado semejante, pues
hace referencia a las actividades necesarias para producir y entregar lo mismo un servicio que un bien físico.
La planeación y diseño de un producto y su producción suele implicar
siete o más pasos. ** Las compañías pueden disponer entre seis tipos de disposiciones físicas de producción.* Esto es: A.-Planeación, diseño y producción del producto: **
1.- Generación de ideas de productos, previa investigación de las necesidades de los clientes, analizando diversas alternativas.
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2.- Selección del producto, con base en diversas consideraciones (análisis comercial y económico, y estudio de factibilidad general). 3.- Elaboración de un diseño preliminar mediante la evaluación de varias alternativas, tomando en cuenta los requerimientos de confiabilidad, calidad y mantenimiento. 4.- Determinación de una decisión definitiva por medio del desarrollo, prueba y simulación de los procesos para comprobar su efectividad. 5.- Decisión acerca de las instalaciones con que cuenta la empresa, si son adecuadas o no, o si requiere de instalaciones nuevas o remodeladas 6.- Selección del proceso para la fabricación del producto; consideraciones de la tecnología y métodos disponibles. 7.- Después de diseñado el producto, determinación del tipo de disposición física de las instalaciones a utilizar, planeación del sistema de producción y programación de las diversas actividades por realizar.
B.- Tipos de disposición física del producto:
1.- Establecer la disposición física en el orden en que el producto se produce o ensambla.
Ejemplo: una línea de ensambles de camiones puede disponerse de tal forma que una vez integrados al bastidor los ejes delantero y trasero, se procede a la instalación de la dirección, el motor, la dirección etc.
2.- Disponer el sistema de producción de acuerdo con el proceso empleado.
Ejemplo: En un hospital se siguen pasos específicos; admisión, tratamiento, facturación del servicio y alta.
3.- Disposición física (también llamada disposición fija), consiste en el acomodo del producto en un lugar para su ensamble.
Ejemplo: Ensamble de productos excesivamente grandes y voluminosos, grandes prensas y máquinas para la explotación de minas a cielo abierto y barcos.
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4.- La disposición física del producto, se establece de acuerdo con la naturaleza del proyecto.
Ejemplo la construcción de un puente o túnel es normalmente un proyecto ocasional diseñado para responder a requerimientos geográficos específicos.
5.- El proceso de producción se organiza para facilitar la venta de los productos.
Ejemplo: Un supermercado acostumbra ubicar los alimentos básicos, lejos de las cajas registradoras. De este modo, los clientes tienen que atravesar largos pasillos en dirección al departamento de lácteos, por lo que se espera que puedan seleccionar otros artículos.
6.- Diseño del proceso para facilitar el almacenamiento o movimiento de los productos. El almacenamiento es costoso, de manera que un diseño eficaz y eficiente puede mantener un bajo nivel de costos de almacén.
Para operar el sistema, las funciones administrativas de la organización, integración del personal y dirección, deben ejercerse con eficacia. El control supone un sistema de información basado en las computadoras.
Entre los instrumentos aplicados para el incremento de la productividad
de las operaciones están la planeación y control del inventario, el sistema de inventario justo a tiempo, el recurso a proveedores externos, la investigación de operaciones, las redes “tiempo eventos”, la ingeniería de valor, la simplificación del trabajo, los círculos de calidad, la administración de la calidad total, la manufactura esbelta y diversos métodos con apoyo de computadoras.
Muchos controles generales son de carácter financiero. El control de
pérdidas y ganancias es uno de los tipos de control. Otra técnica de control general es el presupuesto de capital (es el cálculo y la comparación del rendimiento de la inversión.) Este método se basa en la idea de que las utilidades no deben considerarse una medida absoluta, ya que solamente son un rendimiento del capital empleado en un segmento de la empresa.
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Los administradores disponen de dos enfoques básicos para llevar a cabo la función del control. El más usual de ellos, el control directo, consiste en el desarrollo de normas del desempeño deseado y la posterior comparación con el desempeño real. El procedimiento normal es rastrear la causa de un resultado insatisfactorio hasta las personas responsables del él y conseguir que corrijan sus prácticas.
El otro enfoque, es el control preventivo, por medio del cual se intenta
impedir desviaciones negativas respecto de las normas, mediante la implementación de acciones estratégicas que lleven a cabo los administradores de todos los niveles, esto es, aplicar eficazmente los pasos de la administración.
El principio de control preventivo establece que cuanta más alta sea la
calidad de los administradores y sus subordinados, serán menos necesarios los controles directos.
Los supuestos en los que se basa el control preventivo son: 1) que los administradores calificados cometan un mínimo de errores, 2) que los fundamentos de la administración pueden ser útiles para el
desempeño, 3) que es posible evaluar la aplicación de los fundamentos de la
administración.
Para dar un robustecimiento a estos controles: Existen dos tipos de auditorias. La auditoria administrativa que regula la calidad de la administración y
de su calidad como sistema. La auditoria interna sirve para evaluar las operaciones de una
organización y sólo indirectamente el sistema administrativo. Es indudable que las funciones de los administradores están sufriendo
un período de cambio y aplicación. El desarrollo de nuevos conocimientos y la exigencia por parte de fuerzas sociales hacia los administradores, que de no cambiar constantemente se corre el riesgo de que se vuelvan completamente obsoletos para el cumplimiento de sus tareas.
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Muchos factores pueden influir para evitar esta posibilidad; por ejemplo, el deseo de los administradores de aprender, la aceleración de programas de desarrollo administrativo, una planeación más eficaz de la innovación, mejores métodos de evaluación y premiación del desempeño administrativo, una información mas adecuada y un mayor énfasis en la investigación, desarrollo e inventiva administrativa.
El enfrentamiento de estos desafíos demanda urgentemente mayor
liderazgo intelectual en la administración. De lo expuesto en capítulos anteriores sobre todo el control
administrativo se desprenden ciertos elementos esenciales, o verdades básicas, llamados principios, estos están diseñados para recalcar aspectos del control considerados como de esencial importancia.
Propósito y naturaleza del control Principios: C1.- Principio de propósito del control. Es garantizar el éxito de los
planes mediante la detección de desviaciones con respecto a ellos y la disposición de una base para emprender acciones destinadas a corregir desviaciones indeseables tanto potenciales como reales.
C2.- Principio de los controles dirigidos a futuro.- A causa de los
rezagos del sistema total de control, cuanto más se base este sistema en un sistema de control en la corrección anticipante, en lugar de la simple retroalimentación de información, mayores oportunidades tendrán los administradores para percibir, antes de que ocurran desviaciones indeseables respecto de los planes y para emprender a tiempo acciones destinadas a prevenir dichas desviaciones
C3.- Principio de responsabilidad de control. La responsabilidad básica
sobre el ejercicio de control, recae en el administrador encargado del desempeño de los planes particulares implicados.
C4.- Principio de eficiencia de los controles. Las técnicas y métodos de
control son eficientes si sirven para detectar y aclarar la naturaleza y causas de las desviaciones respecto de los planes con un mínimo de costos u otras consecuencias inesperadas.
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C5.- Principio de control preventivo.- Cuanto mayor sea la calidad de los administradores en un sistema administrativo, menos necesidad habrá de controles directos.
Estructura de control.
Los siguientes principios tienen como finalidad demostrar que los
sistemas y técnicas de control pueden diseñarse en tal forma, que contribuyan a elevar la calidad del control administrativo.
C6.- Principio de reflejo de planes. Mientras más claros, completos e
integrados sean los planes y mejor sean diseñados (los controles a fin de que sean el reflejo de esos planes), más eficazmente responderán éstos a las necesidades de los administradores.
C7.- Principio de adecuación organizacional. Cuanto más clara,
completa e integrada sea una estructura organizacional y mejor sea el diseño de los controles a fin de que reflejen el punto de la estructura organizacional en el que recae la responsabilidad sobre las acciones, tanto más facilitarán los controles la corrección de desviaciones respecto de los planes.
C8- Principio de individualización de los controles. Entre más
comprensibles sean las técnicas e información de control para los administradores que en lo individual deben utilizar, más se les usará y más resultarán en un control eficaz.
Proceso de control Siendo como lo es en gran medida, (cuestión de técnica), el
control descansa fundamentalmente en el arte de la administración, en la habilidad práctica para resolver situaciones específicas. Sin embargo, la experiencia ha demostrado que ciertos principios al respecto pueden aplicarse en prácticamente cualquier instancia.
C9.- Principio de normas. El control eficaz requiere normas objetivas,
precisas y adecuadas. C10.- Principio de control de puntos críticos. El control eficaz implica
especial atención a los factores críticos para la evaluación del desempeño con base en los planes, los administradores se deben concentrar en los factores que son los que hacen que una acción se da en forma constante y que así podremos saber como está la situación de la empresa.
49
C11.- Principio de excepción. Mientras más concentren los administradores sus esfuerzos de control en excepciones significativas más eficientes serán los resultados de sus controles.
C12.- Principio de flexibilidad de los controles. Para que los controles
sigan siendo eficaces a pesar de fallas o de cambios imprevistos en los planes, se requiere flexibilidad en su diseño.
C13.- Principio de acción. El control sólo se justifica si las desviaciones
respecto de los planes son corregidas mediante una planeación, organización, integración del personal y dirección adecuada.
50
CAPITULO III
TEMAS SOBRE MATEMATICAS FINANCIERAS ________________________________________
3.1.- INTERÉS SIMPLE 3.1.1.- Conceptos básicos y ejercicios:
NOTAS DEL TEMA: Cuando el interés se paga sólo sobre el capital prestado, se le conoce como interés simple y se emplea en préstamos a corto plazo. Componentes: Capital prestado (capital o principal)
Suma del interés y capital prestado (monto) El tiempo acordado (plazo) El importe adicional que se paga (interés, se expresa en %) Interés = Capital x Tasa de interés x Número de períodos
La notación puede variar entre autor y autor: Por ejemplo:
Villalobos (2003) cita I = Cin ó I =(C*i*n),
Pastor, (1999) refiere niPI ** Lo importante es el significado de cada variable, por lo que utilizaremos la siguiente fórmula:
51
I= Pin I = P*i*n
Donde: I= interés ganado P= capital i= tasa de interés n= plazo
De la fórmula anterior, se pueden despejar las variables
que se requieran conocer. Ejemplo de ello, para el capital prestado será necesario despejar de la fórmula de interés simple.
El capital ( P ):
La tasa de interés El período
Como visualizar estas formulas en un Simulador Financiero diseñado en Excel (Para descargar ejemplos: http://www.garciasantillan.com/ Sección DESCARGA DE SIMULADORES:
Para determinar el Interés
ganado: Para determinar el Capital:
Anual Mes Anual Mes
l = $750.00 $750.00 l = $750.00
P = $15,000.00 P = $15,000.00 $15,000.00
i = 5.00% i = 5.00%
n = 1 12 n = 1 12
m= 12 m= 12
m/n= 1 m/n= 1
Para determinar la Tasa de
Interés: Para determinar el período:
))(( ni
IP
))(( nP
Ii
))(( iP
In
52
Anual Mes Anual Mes
l = $750.00 l = $750.00
P = $15,000 P = $15,000
i = 5.00% 5.00% i = 5.00%
n = 1 12 n = 1 12
m= 12 m= 12
m/n= 1 m/n=
Otro ejemplo de un simulador que se puede descargar en: http://www.garciasantillan.com/ Sección
DESCARGA DE SIMULADORES: http://sites.google.com/site/educacionvirtualucc/ ∞ http://www.arturogarciaucc.mx.gs/
Ejemplo a partir de los siguientes datos:
Determine el interés que genera un capital de $125,550.50 en tres meses con una tasa nominal del 7.8%
I= Pin I = P*i*n
I= Pin I= $125,550.50*0.078*(1/4) I= $2,448.23
ó I= Pin I= $125,550.50*0.078*(90/360)
I= $2,448.23
Nota: n = puede ser transformada en segundos, minutos, horas, días, semanas, meses, años
53
Importante: La fórmula puede ser manipulada por nosotros, siguiendo un orden lógico y congruente, esto es, meses de 30.41 días, años de 360 ó 365 días, horas, minutos, segundos, etc.
Ahora P: P = I / in P=$2,448.23475 / (0.078*(1/4) P= $125,550.50
P = I / in P=$2,448.23475 / (0.078*(90/360) P= $125,550.50
Ahora i: i = I / Pn i=$2,448.23475 / (125,550.50*(1/4) i=$2,448.23475 / (31,387.625) i= 0.078 *100 = 7.8%
i=I/Pn P=$2,448.23475/(125,550.50*(90/360) i= 7.8%
Ahora n: n= I / Pi n=$2,448.23475 / ($125,550.50*0.078)
n=$2,448.23475 / (9792.939) n= 0.25 ó ¼ ó 3 meses
Otro ejemplo:
Supongamos que una persona necesita pedir un pequeño préstamo para poder pagar un pedido al proveedor porque no le alcanza con lo que tiene en ese momento, así que pide a una caja popular un préstamo por $50,000.00 a pagar a tres meses con una tasa del 18% anual. Así que aplicamos nuevamente la fórmula, quedando de la siguiente manera:
I = (50,000) (.18) (3/12) I = (50,000) (.18) (.25)
I = $2,250.00
Lo cual quiere decir que una persona que pide un préstamo en las condiciones recreadas en el ejemplo, estará pagando un interés de $2,250.00 al paso de los tres meses y al final la persona pagará $52,250.00 para liquidar su préstamo a la caja popular.
54
El interés simple es utilizado en operaciones para préstamos a corto plazo o inversiones en donde los plazos no son mayores a un año. Este tipo de cálculo se utiliza para saber cuanto será el interés que pagaremos o recibiremos al final de un período determinado y en donde no se incluye la capitalización.
(Realmente es poco utilizado en la práctica, ya que se utiliza mayormente la fórmula de interés compuesto, lo que se traduce en capitalizaciones)
¿Cómo trabajar esta fórmula en un simulador previamente diseñado en Excel para realizar cálculos?
Operaciones en el simulador financiero:
Resultado
55
3.1.2.- Cómo calcular el monto (valor futuro)
Lo que veremos a continuación será
cómo determinar cuánto pagaremos
o recibiremos en total al término de un
período de tiempo determinado. A
este total final lo llamaremos de ahora
en adelante monto y lo
identificaremos con la letra (S) para el
manejo y sustitución en las fórmulas
correspondientes.
Sabemos que con frecuencia se requiere calcular el monto (S) de un
préstamo (inversión), por lo que es conveniente contar con una fórmula.
Sabemos que el monto es la suma del principal más el dividendo o
interés generado, entonces:
S = P + I
Utilizando la fórmula del interés simple, tenemos que
S = P + Pin
Factorizando tenemos la siguiente Fórmula:
Se divide entre los días que conforman el interés ordinario (anual), este último lo podemos
manejar con base en 360 o 365 días. Incluso en meses (12 = 1 año)
NOTA IMPORTANTE: Es común que las operaciones comerciales y financieras estén determinadas por
fechas y no en meses o años. Para el cálculo del interés, en estos casos se requiere
determinar el número de días que lo conforman. Identificado los días (t), se pueden
utilizar dos formas diferentes de expresar el plazo.
360
t y
365
t
S=P (1+in)
Esta expresión, sirve para
calcular el interés ordinario
Esta expresión, sirve para
calcular el interés exacto
56
En la práctica, el interés ordinario es el que más utilidad tiene, tanto en lo comercial como en lo financiero (sistema bancario). De
hecho el interés exacto tiene una mayor utilización en operaciones de comercio internacional, así como pago de deuda entre países (Pastor,
1999).
Ejemplo:
Para adquirir una mercancía, cierto comerciante acuerda con el fabricante pagar de contado el 50%, y el resto a un mes y medio
después. Cuando debe pagar para liquidar el saldo, si el interés que le cobran es del 25% anual y el importe de la mercancía es de $32,500.00
Podemos calcular primero el interés y sumarlo al principal. Sin embargo
es preferible utilizar la fórmula directa del monto, por lo que queda de la siguiente forma:
S=P (1+in) = $16,250.00(1+(0.25*(1.5/12))) = $16,250.00 (1+ (0.25*0.125))
= $16,250.00 (1+0.03125)
= $16,250.00 (1.03125) $16,757.8125
Para efectos prácticos, solo tomaremos el referente del interés ordinario
360
t
Con esta consideración, ahora debemos transformar las fórmulas de Interés y Monto,
quedando de la siguiente forma:
Interés Monto
360
PitI
3601
itPS
Veamos otro ejemplo:
Usted compra a su proveedor $30,000.00 en mercancía para su tienda abarrotera,
pagando $12,000.00 de contado a la entrega del pedido y el resto a pagar en 4 meses
con un interés del 13.5% anual. ¿Cuánto deberá pagar a su proveedor para liquidar su
deuda?
57
Aplicando la fórmula tenemos que:
S = $18,000.00 (1 + ((.135)(4/12)))
S = $18,000.00 (1 + ((.135)(.333333)))
S = $18,000.00 (1 + .045)
S = $18,000.00 (1.045)
S = $18,809.99.00 redondeando $18,810.00
Analizando el escenario anterior tenemos que, por los $18,000.00 que le quedamos a
deber al proveedor, al cabo de 4 meses con una tasa de interés del 13.5%, deberemos
pagar la cantidad de $18, 809.99 para liquidar nuestra deuda.
Operaciones en el simulador financiero:
58
Es importante hacer un paréntesis en este punto para explicar que es común que las
operaciones comerciales y financieras estén determinadas en fechas y no en meses o
años. Por lo que, si vamos a realizar una de estas operaciones tenemos que convertir el
plazo (n) en los días que se determinen. (360 INTERÉS ORDINARIO Y 365 INTERÉS EXACTO)
Para esto debemos dividir los días que identificaremos con la letra (t) aplicando la
siguiente fórmula,
360
t INTERÉS ORDINARIO
Fórmula:
Ejemplo:
La empresa refresquera “Jarochito” le vende $5,000.00 en producto, dándole de plazo 7
días para pagar su pedido, si el interés que le aplica la empresa es del 30%. ¿Cuánto
tendrá que pagar para liquidar su deuda con “Jarochito”?.
Aplicando la fórmula tenemos que,
360
)7)(30(.100.000,5$S
360
1.2100.000,5$S
0058333.100.000,5$ S 0058333.100.000,5$S
16.029,5$S
Como podemos observar en el problema anterior, el plazo (n) está determinado como 7
días en los cuales se deberá liquidar la deuda contraída con el proveedor refresquero, por
lo que el resultado de multiplicar la tasa de interés por el plazo se divide entre la base del
interés ordinario (360) para determinar la conversión del plazo en días. Al final debemos
pagar $5,029.16 para liquidar nuestra deuda.
Operaciones en el simulador financiero:
3601
itPS
59
Ahora analicemos otro caso:
Un empresario del ramo comercial dedicado a la venta de productos lácteos y
salchichonería en los últimos 4 meses ha visto el incremento en las ventas del queso fresco
que él mismo elabora en su establecimiento, por desgracia no puede satisfacer dicha
demanda porque su capacidad productiva es limitada, por lo cual decide cotizar una
maquinaria que incrementará su producción en un 200%, es decir tendría 2 veces más
producto al adquirir dicho equipo. El precio de la maquinaria en el mercado no varía
mucho, así que el decide comprársela a un proveedor que le vende el equipo en
$40,000.00 al contado, y a crédito con una tasa de interés del 21% a pagar en 12 meses.
Bien, lo primero que debemos determinar son las condiciones del escenario, las cuales
quedarían de la siguiente manera:
Escenario 1
De contado
Inversión: $40,000.00
Ventas $10,000 al mes
Incremento de ventas a $20,000
Escenario 2
A crédito
Inversión: $40,000.00
Ventas $10,000 al mes
Incremento de ventas a $20,000
Interés 21%
Plazo 6 meses
De la fórmula del Monto se sabe que S=P (1+in) y el Valor Futuro es
VF=P(1+in)
EL RESULTADO:
S = $40,000.00 (1 + ((.21)(6/12))) S = $40,000.00 (1 + ((.21)(.5)))
S = $40,000.00 (1 + .105) S = $40,000.00 (1.105) S = $44,200.00
Al final de los 12 meses el empresario deberá pagar por el equipo adquirido un total de
$44,200 tal como lo muestra aplicando la fórmula del Valor Futuro que básicamente es la
misma que la del Monto.
A partir de estos resultados el empresario puede tomar una decisión.
Operaciones en el simulador financiero:
60
3.1.3.- Valor presente
a) Cuando queremos liquidar la deuda antes de la fecha acordada:
Pero… ¿Qué sucedería si pasados 4 meses después de adquirida la maquinaria a crédito
el incremento en las ventas nos da la capacidad de pagar el equipo anticipadamente?
Entonces, ¿Cuánto tendríamos que pagar por el equipo?
Para resolver la pregunta anterior debemos aplicar una nueva fórmula para determinar el
Valor Presente de nuestra deuda.
Entonces sustituyendo lo datos del problema anterior tenemos que:
in
SP
1
12/2*19.01
200,44$
P
$44,200$42,705.31
1.035000P
Para entender mejor el caso anterior debemos marcar una línea de tiempo imaginaria
que nos ayude a comprender la manera de plantear la solución
Adquisición del equipo Pago de deuda 2 meses antes Vencimiento ( a 6 meses ) (Pasados 4 meses) (a 6 meses)
Si pagamos nuestro equipo 2 meses antes debemos descontar los intereses que no se
generarán en esos meses, por lo que el pago anticipado queda en $42,705.31 teniendo
un descuento de $1,494.69
Operaciones en el simulador financiero:
in
SP
1
61
b) Cuando no podemos pagar en la fecha acordada
Ahora demos al problema inicial un giro inesperado, planteando que pasaría si las ventas
no resultan como lo esperado y a pesar de tener mayor capacidad de producción las
ventas caen drásticamente advirtiendo no poder pagar el equipo en el plazo acordado.
La flexibilidad de las matemáticas financieras para adaptarse a situaciones cambiantes
en el ámbito comercial nos permite hacer proyecciones y trazar los escenarios posibles
para hacerles frente si se llegaran a presentar. Por lo que, en este caso le mostraremos al
proveedor, ---dadas las circunstancias planteadas---, como renegociar la deuda para que
las partes pierdan lo menos posible, esto es, que ambos obtengan el beneficio mutuo que
el esquema matemático propuesto, pudiera generarles. Así, con este nuevo escenario nos
lleva a plantear un modelo matemático que permita satisfacer este requerimiento entre
las partes, por lo que ahora abordaremos el tema de:
3.1.4. Ecuaciones de valores equivalentes con interés simple:
Para renegociar una deuda tenemos que aplicar una
fórmula que calcule en cuántos pagos vamos a
distribuir la deuda original y cuánto pagaremos bajo
este nuevo esquema de pago. Nuevamente tomamos
el referente de Pastor (1999) para considerar los
siguientes pasos en la renegociación.
1. Determinar una fecha a la cual podamos comparar las operaciones a realizar la
cual llamaremos fecha focal.
2. Calcular el valor de la deuda a esa fecha con la fórmula del Valor Esquema
Original.
3. Calcular con base a esa fecha focal las opciones de pago al proveedor.
4. Por último determinar cuánto es el monto de cada pago renegociado a través de
la fórmula del Valor Nuevo Esquema.
La notación con Interés simple se describe en la siguiente tabla:
Tabla 1: Notación con interés simple
Anterior a la fecha
focal
)1( 11 inS Coincide con la
fecha focal 2S Posterior a la fecha
focal )1( 3
3
in
s
62
Tabla 2: Notación con interés simple y
Fecha de pago
Valor Fecha de pago
Valor Fecha de pago Valor
Anterior a la fecha
focal
)1( 11 inS Coincide con la fecha focal 2S
Posterior a la fecha focal
)1( 3
3
in
s
Con una notación alterna
Anterior a la fecha
focal
)1( 11 inSaff
)360
1(1
1
itS
aff
Coincide con la fecha focal
ffS2
ffS2
Posterior a la fecha focal
)1( 3
3
in
spff
)360
1(3
3
it
spff
Fuente: Elaborado con datos de Pastor (1999)
Sugerencia para resolver los
ejercicios:
Antes de definir las opciones de pago hagamos nuestra línea de tiempo
Con frecuencia es necesario reemplazar una deuda, por una serie de deudas o
simplemente una deuda o grupo de deudas por otra deuda y otro conjunto de deudas.
En fin, pareciera un juego de palabras, pero en resumen, se trata de sustituir deuda
“X” por otra deuda “Y”
Anterior a la fecha
focal
S1 (1+in1)
En la fecha focal
S2
Posterior a la fecha focal
3
3
1 in
S
63
Considere el ejemplo de una empresa que adeuda $280,000.00 para pagar en seis
meses. La tasa de interés es del 18% anual. ¿Cuánto debe pagar la empresa, si el
pago lo hace tres meses antes del vencimiento?
Representemos con “X”, el pago que realizará la empresa, entonces “X” es el
valor presente de la deuda, dos meses antes del vencimiento. De la fórmula de
valor presente tenemos:
280,000.00
31 0.18*
12
x
$267,942.58
Con los mismos datos, pero ahora calcule el importe de la deuda, en caso de que la
empresa lo pague tres meses después de su vencimiento?
3280,000 1 0.18* $292,600.00
12X
Retomemos el ejercicio de la pág. 59
Información a considerar:
La maquinaria es adquirida en marzo
La deuda originalmente se pagaba en septiembre (6 meses después)
Dado que no vamos a poder pagar en septiembre fijamos nuestra fecha focal en junio
(todo en el mismo año)
La propuesta al proveedor sería:
Primer pago 1 mes antes de la fecha focal (mayo)
Segundo pago en la fecha focal (junio)
Tercer pago 4 meses después de la fecha focal
Primer pago en
Mayo
Segundo pago en
junio
Tercer pago en
octubre
Fecha Focal
64
El primer paso es encontrar el valor de la deuda a la fecha focal:
11o
SVE
in
12
3*21.01
00.200,44..
originalEsqV 0525.1
00.200,44
$41,995.24oVE
Operaciones en el simulador financiero:
65
El siguiente paso es determinar el factor para pagar la deuda en partes iguales:
3
1 1 2
3
(1 )1
n
SVE S in S
in
13
2
1(1 0.21* )
4121 0.21*
12
n
SVE S S
1(1.0175) 1
1.07nVE x
(1.0175 1 .934579439)nVE x
(2.952079439)nVE x
El siguiente paso es dividir el factor que encontramos entre el valor de la deuda
original:
)952079439.2(29.995,41$ x
952079439.2
29.995,41$x 66.225,14$
El resultado de la división es lo que
tendremos que pagar al proveedor
como resultado de la renegociación
de la deuda en tres partes
equivalentes de $14,225.66.
66
Operaciones en el simulador financiero:
67
Otro caso Suponga usted que una empresa tiene un adeudo de $50,000.00 que deberá pagar en
dos meses y medio y otro pagaré por $90,000.00 que debe saldar en 4 meses y
medio. Su proveedor (en este caso su acreedor) acepta que la deuda total sea saldada
en cuatro pagos iguales. El primero al momento de la renegociación, otro al siguiente
mes, otro a los dos meses y el último pago en cuatro meses. ¿Cuál debe ser el monto
justo de estos cuatro pagos, considerando que la tasa de interés vigente es del 18%
anual?
Primer paso: encontrar el valor de las operaciones en una misma fecha para poder
compararlas. (Esta sería la fecha focal o fecha de valuación). El valor presente de
los pagos originales es la suma de los valores presentes de cada uno y la fecha focal es
2.5 y 4.5 meses previo al vencimiento de los pagos, ahora se tiene que:
1 21 1o
S SVE
in in
50,000 90,000
2.5 4.51 0.18* 1 0.18*
12 12
oVE
0675.1
000,90
0375.1
000,50 14.309,8477.192,48$ 91.501,132$
Para la renegociación (fecha focal elegida), los pagos quedarían: el primero de
inmediato, el segundo un mes después, otro a los dos meses y el último a los cuatro
meses. Se sugiere que denotemos cada pago por “X” en el nuevo esquema, por lo que
queda de la siguiente forma:
4
4
3
3
2
2
111... 1
in
S
in
S
in
SSEsqNuevoV
12
4*18.01
12
2*18.01
12
1*18.01
...
xxx
xEsqNuevoV
06.103.1015.1...
xxxxEsqNuevoV
06.1
1
03.1
1
015.1
11 x
)9433962264.9708737864.9852216749.1( x )899491688.3(x
Ahora bien…………. Para que el monto de los nuevos pagos sea justo, traemos el valor
presente del esquema original y algebraicamente planteamos una ecuación
equivalente, en los siguientes términos:
)899491688.3(91.501,132$ x
Se despeja la
“X”
Las “X”
transformarlas
en 1
68
Quedando de la siguiente manera:
899491688.3
91.501,132x 28.979,33$
Que pasa si la misma operación, ahora se realiza, considerando la misma valuación de
la deuda, pero ahora se realiza: el primer pago dos meses antes de la fecha focal, el
siguiente pago un mes antes de la fecha focal, el tercero en la fecha focal, y el último 4
meses posteriores a la fecha focal:
Recuerda que………..
Fecha del pago Valor Anterior a la fecha focal S1 (1+in1)
Coincide con la fecha focal S2 Posterior a la fecha focal
3
3
1 in
S
En una línea del tiempo se vería de la siguiente manera:
El ejemplo se representaría de la siguiente forma:
Datos: el primer pago se hace dos meses antes de la fecha focal, el siguiente pago un
mes antes de la fecha focal, el tercero en la fecha focal, y el último 4 meses
posteriores a la fecha focal: (tasa del 18% anual)
Fecha focal
S2 Anterior a la fecha
focal
S1 (1+in1)
Posterior a la fecha
focal
3
3
1 in
S
69
Su línea de tiempo es:
4
1 1 2 2 3
4
(1 ) (1 )1
n
SVE S in S in S
in
4
1 2 3
2 1(1 0.18* ) (1 0.18* )
412 121 0.18*
12
n
SVE S S S
1(1.03) 1.015 1
1.06nVE x
(1.03 1.015 1 .9433962264)nVE x
(3.988396226nVE x
Ahora la ecuación de valores equivalentes es:
)988396226.3(91.501,132$ x
988396226.3
91.501,132x 85.221,33$
Fecha focal
S2
Anterior a la fecha
focal
S1 (1+in1)
Posterior a la fecha
focal
3
3
1 in
S
X1 2 meses
antes X2 1 meses
antes
X3 X4 4 meses
después
70
ACTIVIDADES PARA REFORZAMIENTO DE LOS TEMAS
VISTOS EN ESTE CAPÍTULO:
VUELVASE UN PROFESOR REVISANDO
LOS SIGUIENTES EJEMPLOS Y EN SU
CASO CORRIJALOS:
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De la Base de datos de Pastor (1999), tenemos los siguientes ejercicios (verifique que
estén calculados correctamente)
1.- ¿Cuál es el interés simple en un préstamo a tres meses de $18,000.00 al 26.8% anual? Respuesta: P =18000 i= 26.8% Anual n = 3 Meses ( 90/360= .25) I = ? 2.- ¿Cuál es el monto que deberá pagar una persona que recibe un préstamo de $15,000.00 con una tasa de interés del 22.4% anual a un plazo de dos meses? P =15000 i= 22.4 % Anual n = 2 Meses ( 60/360= .166) I = ? 3.- Determine el saldo promedio durante septiembre de una cuenta de cheques si el 1 de octubre se le abonó un interés de $68.98 y si la tasa de interés que pagó el banco en este mes fue del 9.65% P = ? i= 9.65 % Anual n = 1 Meses ( 30/360= .083) I = 68.98
PinI
I=18000*.268*.25
I=18000*.067 I=$1,206.00
PinI
PinI
I=15000*.224*.166
I=15000*.037 I=$557.76
S=P+I
S= 15000 + 557.76
S= $15,557.76
P = I / in P = 68.98 / (.0965 * .083)
P = 68.98 / .008
P = $8,622.53
71
4.- Determine la tasa de interés anual que pagó el banco durante octubre si a una cuenta de cheques con un saldo promedio en octubre de $8,673.56 se le abonó un interés de $58.47. P = 8673.56 i= ? n = 1 Meses ( 30/360= .083) I = 58.47
5.- Determine el interés que recibe una cuenta de cheques el 1 de agosto si el saldo promedio del mes de julio fue de $6,259.05 y la tasa de interés anual en este período fue del 8.45%. P = 6259.05 i= 8.45% Anual n = 1 Meses ( 30/360= .083) I = ? 6.- Una persona compra una sala el 9 de mayo que tiene un valor de contado de $3,800.00. Paga un enganche de $2,300.00 y conviene pagar $1,600.00 el 23 de julio para liquidar el saldo. ¿Qué tasa de interés simple pagó? P = 3800 – 2300 = 1500 i = ? S = 1600 n = 75 dias ( 75/360= .208) I = 100 7.- El 17 de marzo un plomero pide un préstamo de $4,500.00 a su suegro para la compra de material y herramientas necesaria para una obra. Determina el monto que debe pagar el plomero a su suegro el 4 de julio para liquidar la deuda si ambos acordaron el pago de un interés anual simple del 9%. P = 4500 i = 9% Anual n = 79 días ( 79/360= .219) I = ?
i = I / Pn i = 58.47 / (8673.56 * .083)
i = 58.47 / 719.90
i = .081 = 8.1%
PinI
PinI
I=6259.05*..0845*.083
I=18000*.00701
I=$43.89
S = P+I
I = S-P
I = 1600 – 1500
I = 100
i = 100 / (1500 * .208)
i = 100 / 312
i = .324 = 32.4%
i = I / Pn
I = 4500 * .09 * .219
I = 88.87
S = P + I
S = 4500 + 88.87
S = $4,588.87
PinI
PinI
72
8.- Un agricultor recibe un préstamo para compra de semillas de $12,400.00 el 16 de mayo y acepta pagar un interés anual simple del 31.8%. ¿Cuál es el plazo máximo del préstamo si estima que una vez levantada la cosecha y separado sus utilidades contara con $13,800.00 para saldar la deuda?
P = 12400 i = 31.8% Anual n = ? I = S – P = 13800 – 12400 I = 1400 9.- Al recibir mercancía un comerciante sólo paga el 50% del valor de ella, mientras que el 50% restante lo salda a 45 días pagando un interés del 8.5% anual simple.
a) Determine el monto del pago que debe hacer el comerciante para liquidar un pedido que tiene un valor de $5670.
P = 5670 50% = 2835 i = 8.5% Anual n = 45 días = 45/360= .125 I = ?
b) Para liquidar otro período el comerciante pago un monto total de $3,890.91. determine el valor total del pedido.
P = ? i = 8.5% Anual n = 45 días = 45/360= .125 S = 3890.91
n = I / Pi n = 1400 / 12400 * .318
n = 1400 / 3943.2
n = .355 * 360
n = 127.81 días
S = P(1+ in)
S = P(1 + in)
S = 2835 (1+ (.085*.125))
S = 2835 * 1.0106
S = $2,865.12
Comprobar:
I = Pin
I = 2835 * .085 * .125
I = 30.12
S = P + I
S = 2835 + 30.12
S = $2,865.12
P = S / (1 + in)
P = 3890.91 / ( 1 + [.085*.125])
P = 3890.91 / 1.0106
P = $3,850.098
Comprobar:
I = Pin
I = 3850.098 * .085 * .125
I = 40.9
S = P + I
S = 3850.098 + 40.9
S = $3,891.005
P = S /(1+ in)
73
10.- La tasa de interés mensual que cobra cierta tarjeta de crédito es del 3.344%
A) Determine el interés que se le carga a un tarjetahabiente que tuvo un saldo promedio mensual sujeto a cargos financieros de $ 5678.98
P = 5678.98 i = 3.344% Mensual n = 1 Mes I = ?
B) ¿Cuál fue el saldo promedio mensual sujeto a cargos financieros de un tarjetahabiente al que se le cobró un interés de $185.68?
P = ? i = 3.344% Mensual n = 1 Mes I = 185.68 EJERCICIOS PARA RESOLVER: INTERÉS SIMPLE 1. Determine el interés que genera un capital de $ 105,000.00 en 5 meses con una tasa
nominal del 3%. (compruébelo) 2. Determine el interés que genera un capital de $ 310,000.00 en 7 meses con una tasa
nominal del 8%. (compruébelo) 3. Encontrar el monto final de los siguientes pagos: P = $ 400 000.00 40% al contado y 60% a crédito n = 4.5 meses (135 días) i = 20% (compruébelo)
I = Pin
I = Pin
I = 5678.98 * .0334* 1
I = $189.67
P = I / in P = 185.68 / (.0334 * 1)
P = 185.68 / .0334
P = $5,559.281
74
4. Determinar el monto y luego despeje sus demás literales: P = $ 200 000.00 25% al contado y 75% a crédito n = 5 meses (150 días) i = 20% VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
1. Obtenga el valor presente de un pago final de $60,500.00 que se hará dentro de 45 días con una tasa del 15% 2. Encuentre el valor futuro de un adeudo que el día de hoy importa $75,400.00 por el cual nos cobrarán una tasa del 6% para pagar dentro de un mes.
ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES
1. La deuda original es de $125,000.00 a pagar en 2 pagos: uno en 3 meses por $65,000.00 y otro en 5 meses por $60,000.00 por los cuales nos cobran un interés del 20%, como sabemos que no se podrán liquidar le proponemos al proveedor liquidarle en 5 pagos iguales, uno en la fecha focal acordada, otro un mes después, otro pago dos meses después, el siguiente tres meses después y el último cuatro meses después, el proveedor acepta y nos respeta la tasa de interés cobrada hasta entonces, para establecer el nuevo esquema de pagos. 2. Determine el valor original de una deuda de 450 mil pesos por la cual se realizaría el primer pago dando 44.44% dentro de 3 meses, y el segundo pago del 66.66% 5 meses después, cobrando una tasa del 15%, y el valor de la renegociación con el proveedor si se hacen 4 pagos, el primero en la fecha de la negociación, el segundo 2 meses después, el 3ro 4 meses después y el 4to 6 meses después y se nos cobra una nueva tasa del 18%
La solución de estos ejercicios, en la sección de anexos
75
3.2.- INTERÉS COMPUESTO
3.2.1. Conceptos básicos y ejercicios: Recuerda
que la metodología para el cálculo del interés compuesto es similar al interés
simple. En todo momento se trabajará con la expresión (1+i),
(1+i*n)………….Lo que hace diferente este tema, es desde luego la
capitalización de las tasas y el incremento de “P” en “n” tiempo con “i” tasa.
Supongamos que ahorraste $150,000.00 a una tasa del 10% anual
(0.83% mensual, o sea 0.0833), a un plazo de un mes. En teoría, tomamos la
fórmula del monto del interés simple, quedando de la siguiente manera:
)1( inPS )1*00833.01(000,150
50.249,151$)00833.1(000,150
Supongamos, que nuevamente se quiere invertir la misma cantidad a otro mes
y con la misma tasa. Desde luego, sin retirar el interés, de lo contrario caemos
en el interés simple y de lo que trata este tema es del interés compuesto.
Entonces tenemos que:
)1( inPS )1*0833.01(50.249,151
408.509,152$1*)00833.1(*50.249,151
El inversionista, nuevamente desea invertir otro mes y con la misma tasa, el
importe de su capital. (Se continúa con el mismo procedimiento anterior.)
Se imagina que una persona quiera estar calculando 100, 200 o 300
meses……… Es por ello que el interés compuesto, viene a proporcionar una
forma simple de poder capitalizar cada uno de los meses en que se desea estar
invirtiendo.
Es por ello, que tomando la formula de interés simple, integramos las
capitalizaciones. Esto es, el interés ganado en una inversión se integra al
capital, denominando a esto, la capitalización, y al período en que el interés
puede convertirse en capital se le llama período de capitalización.
76
Como se visualiza con un simulador en Excel
La diferencia en el resultado, es por el redondeo de la tasa (.008 ó .008333)
Otro ejemplo de un simulador que se puede descargar en: http://www.garciasantillan.com/ Sección DESCARGA DE SIMULADORES: http://sites.google.com/site/educacionvirtualucc/ ó http://www.arturogarciaucc.mx.gs/
En la práctica financiera, los períodos de capitalización más comunes son los
mensuales, trimestrales, semestrales y anuales, aunque no por ello, se excluya
a los bimestrales y cuatrimestrales. El Sistema Financiero Mexicano (Al igual
que el internacional), opera con instrumentos de deuda e inversión, cuyos
plazos son de: 7, 14, 28, 91 o 182 días.
Resumiendo: el interés compuesto, lo utilizaremos en
operaciones a largo plazo, y a diferencia del interés simple (el
interés simple no se capitaliza), el interés generado en cada período se incluye al capital.
77
Para comprender mejor, resolvamos un ejercicio simple con ambos métodos
(interés simple e interés compuesto)
Datos: P =$100,000.00 i =15% anual n= dos meses
Con interés simple
)1( inPS
)2*12
15.01(000,100 S
)025.1(000,100S 00.500,102$
Con interés compuesto
niPS )1(
2)0125.01(000,100 S
)02515625.1(000,100S 63.515,102$
NOTE LA
DIFERENCIA
NOTA IMPORTANTE: EL CAPITAL NO PERMANECE FIJO A LO LARGO DEL TIEMPO, ESTE SE INCREMENTA, ASÍ
COMO EL INTERÉS QUE GENERA LA INVERSIÓN, DE IGUAL FORMA AUMENTA EN CADA
CAPITALIZACIÓN.
Así, si denotamos por “i” a la tasa de interés por el período de
capitalizaciones, el monto del capital invertido después de “n” períodos de
capitalización es
niPS )1(
En esta fórmula, la tasa de interés se especifica por el período de
capitalización. En la práctica financiera, lo más común es expresar la tasa de
interés de forma anual e indicando el período de capitalización. Ejemplo de
ello, podemos decir que tenemos una tasa del 18% anual capitalizable
mensualmente. O la misma tasa del 18% capitalizable semestralmente,
trimestralmente, bimestralmente.
Puedes comprobar, calculando el interés de
un mes, y posteriormente, calcular el
segundo, y coincide con el resultado
obtenido en el interés compuesto (101,250 y
102,515.625)
78
CUANDO LA TASA DE INTERÉS SE EXPRESA DE MANERA ANUAL, SE REFIERE
A LA TASA NOMINAL, de ahí la necesidad de dividir la tasa anual por el tipo de
capitalización en el ejercicio.
Ejemplo de ello tenemos: Si la tasa anual es del 12% y las capitalizaciones son:
Diario 12%/360 ó 12%/365 (interés ordinario o interés exacto)
Semanal 12%/52.1428571 semanas = 0.23013699
Quincenal 12%/24.33333 quincenas = 0.4931507
Mensual 12/12= 1% ó .01
Bimestral 12/6 = 2% ó .02
Trimestral 12/4 = 3% ó .03
Cuatrimestral 12/3= 4% ó .04
Semestral 12/2= 6% ó .06
Cuando la tasa de interés se especifica nominalmente, se tiene
n
m
iPS )1(
En donde “i” es la tasa nominal, “m” el tipo de capitalización por año y “n”
el número de capitalizaciones que comprende el plazo de la inversión.
Pero, ¿Qué fórmula debemos utilizar?
niPS )1( ó n
m
iPS )1(
79
EJERCICIOS:
Desarrolle los siguientes casos (con ambos procedimientos)
P: $100,000.00
i: 14% anual capitalizable
mensualmente
n: plazo de la inversión 3
años
m: mensual
.14/12= 0.01166667
P: $100,000.00
i: 14% anual capitalizable
trimestralmente
n: plazo de la inversión 3
años
m: trimestral
.14/4= 0.035
De esta forma tenemos:
Capitalizable mensualmente (se incluye directamente la tasa mensual):
niPS )1(
36)011666.01(000,100 S ).(,$S 51826661000100 66.826,151$
Ahora con la fórmula del monto compuesto, se tiene
n
m
iPS )1(
36)
12
14.01(000,100 S 66.826,151$S
Capitalizable trimestralmente (se incluye directamente la tasa trimestral):
niPS )1( 12)035.01(000,100 S
12)035.1(000,100S
)511068.1(000,100S 80.106,151$S
Ahora con la fórmula del monto compuesto, se tiene
n
m
iPS )1( 12)
4
14.01(000,100 S )511068.1(000,100S
80.106,151$S
Como podrán ver, es lo mismo sólo que dependerá como lo deseas
representar……………. Todos esto cálculos son demasiado simples
80
Visualicemos un ejemplo más: La compañía “XFGT”, adeuda $345,786.80
de un préstamo que recibió a 6 meses, tasado a una “i” nominal del 21.35%,
capitalizable mensualmente. ¿Qué monto debe liquidar al vencimiento?
i = .2135/12= 0.01779166667
niPS )1( 6)70177916666.1(PS )111612297.1(PS
86.380,384$S
Ahora otro ejemplo, que muestre mayor complejidad: Una persona (que se
siente un galán) invierte $20,000.00 a una tasa del 15% capitalizable
bimestralmente, como sabe que el dinero lo ocupará, hasta pasados 1250 días,
fecha en que se casará, lo invierte a 1246 días. El planteamiento, es muy
simple, además que la formula se puede representar de la siguiente forma.
Con interés ordinario 360:
)*360
(
)1(m
tn
m
iPS
Con interés exacto 365:
)*365
(
)1(m
tn
m
iPS
Si n es el plazo de la inversión, y m es la capitalización, es necesario adecuar
la ecuación, a los datos requeridos: (tomaremos el interés ordinario)
( * )360(1 )
tn mi
S Pm
)6*(360
1246
)6
15.01(
nPS
(20.76666667)$20,000.00(1 0.025)nS 20,000.00(1.669932581)S
65.398,33$S
Calcular la tasa
bimestral
Calcula el periodo de la inversión, en
bimestres
81
Pasados los 1250 días que se diera de plazo para casarse, al galán del ejemplo
anterior lo dejaron plantado en la Iglesia, por lo que ya no hubo bodorrio. Con dolor en
pecho y totalmente consternado, decide invertir la cantidad de $33,398.65 en pagarés a 14
días capitalizable en el mismo tiempo. Sus asesores financieros del grupo de la Maestría en
Administración estiman que la tasa de interés nominal de los pagarés se mantendrá en el
15% anual. ¿En cuanto tiempo triplicara su inversión, para ver si corre con mejor suerte, en
eso que denominamos “matrimonio”?
Donde:
i= tasa nominal
ip: tasa de los pagarés a 14 días
P: inversión
n: plazo
Primeramente calculemos la tasa nominal de los pagarés (interés
ordinario).
360*:
tipi
360
14*15:pi
5833333.0i Cada 14 días
Así: P(1+i)n
P (1+0.0058333)n = P (1.0058333)
n
Entonces la inversión se triplica cuando el monto de la inversión, esté
dado por 3P. Para ello, se debe despejar n
P(1+i)n
= 3P
P (1+0.0058333)n = 3P
(1.0058333)n = 3
AHORA APLICAMOS LOGARITMOS
Log(( 1.0058333)
n) = Log(3) Si log(x
b) = blog(x)
Entonces:
nlog ((1.0058333) = log(3)
)00583333.1log(
)3log(n
)1830025260226.0
4771212547.0n 188.8824159
Al pasar P al lado
derecho, se cancela
Pasa
dividiendo
82
El galán requiere de 188.8824159 períodos de 14 días
para que su inversión se triplique. Algo así como
7.345427261 años, ó 2644.35 días, 63464.49 horas,
3’807,869.49 minutos, 228’472,169.5
segundos…………………. Y le podemos seguir, lo
que mejor debemos hacer es sugerirle, que cancele la
idea de casarse y se vaya de monje.
Sólo por curiosidad… ¿Cómo podremos comprobar lo
dicho anteriormente?
S=?
i= tasa nominal
ip: tasa de los pagarés a 14 días
P: inversión
n: plazo
360
14*15:pi
8824159.188)0058333.01(65.398,33 S
)99999999999.2(65.398,33S
S= $100,195.9497 (o sea $33,398.65+$33,398.65+$33,398.65= $100,195.95)
COMO UNA NOTA: LOGARITMOS COMUNES Y NATURALES
En teoría se sabe que los valores posibles para la base de un logaritmo son
ilimitados: para nuestro caso utilizaremos los más usuales, los de base 10 y los
de base e. El de base e es igual a 2.71828.En la calculadora financiera se
evalúan con ambas bases. Para la base 10 con la tecla y los de base e
con la tecla los primeros son logaritmos comunes o decimales, mientras
que los segundos, son conocidos como logaritmo natural o neperiano.
Su expresión es la siguiente:
Log 10(x) = Log (x) y Loge(x) = Ln(x)
Log
Ln
83
EJERCICIOS PARA RESOLVER: INTERÉS COMPUESTO
1. Andrés y Silvana acaban de tener a su primer hijo. Es una niña llamada Luciana.
Andrés ese mismo día abre una cuenta para Luciana con la cantidad de
$3´000,000.00. ¿Qué cantidad habrá acumulado Luciana para la edad de 8 años, si
el banco les ofrece un interés del 6%, capitalizable trimestralmente?
2. Manuelito de 8 años recibió un cheque de su abuelo por $3,000.00 el día que ganó
un concurso de natación. Pasó el tiempo y Manuelito olvido que había depositado
ese dinero. A sus 26 años decide retirar lo acumulado. ¿Cuánto habrá acumulado en
su cuenta Manuelito, si inicialmente le dieron una tasa del 12% con capitalización
mensual y así continuo hasta el final?
3. Los señores Borja se pelearon; y la Sra. para aplacar su furia decidió ir de compras y
adquirió una bolsa Fendi de la temporada recién salida en abril a $5,689.45. El Sr.
Borja, decide no pagar la tarjeta durante 4 meses para darle una lección a su mujer.
Si el banco cobra un interés mensual de 3.344%.
¿Cuál será su saldo al mes de agosto?
4. Susana decide regalarle un coche a su hija que cumple 17 años. Y acuerda pagar un
enganche de $65,000.00 y saldar el resto en otro pago de $58,000 tres meses
después. Si 56 días antes de la fecha de vencimiento del adeudo de los $58,000,
Susana recibe una grande herencia y decide abrir un pagare a 28 días, ¿Qué cantidad
debe depositar para que el monto final cubra exactamente los $58,000 que adeuda si
la tasa de interés anual es del 11.571%?
5. El Sr. Humberto Secchi quiere hacer 2 viajes para celebrar los 15 años de sus hijas
respectivamente; con valor de $25,000.00 cada uno. Para ello abre dos cuentas de
ahorro, una para el viaje a Argentina que será con Alicia que actualmente tiene 11
años y 10 meses y la otra para el Crucero por el Caribe que será con Valeria quien
tiene 9 años y 3 meses. El banco le va a brindar un interés anual del 14.8%
capitalizable mensualmente.
¿Cuánto debe depositar en cada cuenta?
6. a) ¿en cuánto tiempo se duplica una inversión de $1,000 al 13% anual capitalizable
trimestral?
b) ¿en cuánto tiempo se duplica una inversión de $1,000 al 13% anual capitalizable
mensualmente?
84
c) ¿en cuánto tiempo se duplica una inversión de $5,000 al 13% anual capitalizable
mensualmente?
d) ¿en cuánto tiempo se duplica una inversión de $1,000 al 6.5% anual capitalizable
mensualmente?
7. a) ¿En cuánto tiempo una inversión de $1,000 al 13% anual capitalizable
trimestralmente alcanza los $3,500?
b) ¿En cuánto tiempo una inversión de $1,000 al 13% anual capitalizables
mensualmente alcanza los $3,500?
c) ¿En cuánto tiempo una inversión de $1,000 al 6.5% anual capitalizable
mensualmente alcanza los 3,500?
La solución de estos ejercicios, en la sección de anexos
85
3.2.2. VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
El Valor Futuro no es otra cosa, que el valor que tendrá una
inversión en un tiempo posterior (del presente al futuro).
VFinv = VPinv (1+i)n
Donde:
VPinv: Valor actual de la inversión
n: número de años de la inversión
i: tasa de interés anual expresada en tanto por uno
VFinv: Valor futuro de la inversión
Aumenta, a medida que aumenta la tasa y el tiempo.
Suponga una inversión de 150,000, a 3 años con una tasa del 7.8%:
VFinv = 150,000 (1.078)3 = $187,908.98
Con capitalización mensual
VFinv=150,000 (1 + i/12)n VFinv=150,000(1+0.078/12)36
VFinv=150,000(1.0065)36 VFinv=150,000(1.262688)= $189,403.20
El Valor Presente es el valor que tendrá una inversión futura en el presente, o sea hoy. (Del futuro al presente)
Misma notación, pero ahora la fórmula es:
ni
VFVP
inv
inv
)1(
3)078.1(
98.908,187invVP
)252726552.1(
98.908,187invVP $150,000.00invVP
Capitalización mensual
(1 )
inv
inv
n
VFVP
i
m
36
189,403.20
0.078(1 )
12
invVP
189,403.20
(1.262688)invVP $150,000.00invVP
El VPinv será mayor cuando menor sean i y n.
Se capitaliza en períodos anuales
Se capitaliza mensualmente
86
Recordando que los logaritmos son números artificiales, creados para
simplificar las operaciones
Para calcular el número de períodos, tenemos los siguientes datos:
Suponga una inversión de 150,000, a 3 años con una tasa del 7.8%:
Con logaritmos neperianos: Loge(x) = Ln(x)
)1( iLn
LnVPLnVfn
invinv
)078.1(
00.000,15098.908,187
Ln
LnLnn
)90751074724.0(
91839057.1114371298.12
n
)90751074724.0(
22532241.0n 999999901.2n 3n
Con logaritmos base 10: Log 10(x) = Log (x)
)1(10
1010
iL
VPLVfLn
invinv
)078.1(
00.000,15098.908,187
L
LLn
50326187608.0
176091259.5273947535.5
n
50326187608.0
097856276.0n 999999799.2n 3n
Otro ejemplo:
Determine el plazo necesario, para que una inversión de $150,000.00 alcance los
$191,423.50 pesos si la tasa de interés es del 14.5% semestral.
(Con logaritmos base 10) Log 10(x) = Log (x)
)2/5.141(
000,15050.423,191
10
1010
L
LLn
0303973008.0
176091259.5281995253.5
n
0303973008.0
176091259.5281995253.5
n 0303973008.0
105903994.0n
483993355.3n (Tres semestres y fracción)
Comprobación: VFinv = VPinv (1+i)n
Entonces tenemos
VFinv = 150,000(1+0.0725)3.483993355
VFinv = 150,000(1.276156668) VFinv = $191,423.50
Resulta muy similar, ¿no cree Ud…?
87
Mismo ejemplo con un simulador:
Determine el plazo necesario, para que una inversión de $150,000.00 alcance
los $191,423.50 pesos si la tasa de interés es del 14.5% semestral.
(Con logaritmos base 10) Log 10(x) = Log (x)
483993355.3n (Tres semestres y fracción)
Ejercicios para recordar: (resuélvalos)
a).- ¿En cuánto tiempo una inversión de $1,000.00 al 13% anual capitalizable
trimestralmente alcanza los $3,500.00?
b).- ¿En cuánto tiempo una inversión de $10,000.00 al 13% anual capitalizable
mensualmente alcanza los $35,000.00?
c).- ¿En cuánto tiempo una inversión de $1,000.00 al 6.5% anual capitalizable
mensualmente alcanza los $5,000.00?
Mismo resultado
88
3.2.3. TASAS DE RENDIMIENTO Y DESCUENTO
- Conceptos básicos y ejercicios: La tasa de interés se refiere: A la valoración del costo que implica la
posesión de dinero producto de un crédito. Rédito que causa una operación, en cierto
plazo, y que se expresa porcentualmente respecto al capital que lo produce. Es el
precio en porcentaje que se paga por el uso de fondos financiados2.
LA TASA DE RENDIMIENTO SE REFIERE A LA TASA QUE EL INVERSIONISTA ESPERA
OBTENER DE SUS INVERSIONES, CLARO ESTÁ, ANTES DE LA CARGA TRIBUTARIA.
Si buscamos los componentes que son
base para la determinación de la tasa
de rendimiento que ofrecen los
instrumentos de inversión, podríamos
decir: que la tasa de rendimiento
debiera exceder a la tasa de mercado
en proyectos de riesgo. DEBIERA CONSIDERARSE ENTRE OTRAS COSAS: la tasa real, la inflación acumulada en el lapso de tiempo de la inversión, el grado de riesgo:
Como función lineal, situaríamos a la tasa de rendimiento como:
)[ rlf ppiiTr
Donde:
Tr= tasa de rendimiento
i= interés real
if= inflación acumulada
pl= prima de liquidez
pr= prima de riesgo
β= beta del activo
Sin embargo en las operaciones activas y pasivas que llevan a cabo las instituciones financieras, éstas, sólo toman la tasa de referencia que el Banco de México autoriza para tal efecto.
2 Disponible en Website http://www.definicion.org/tasa-de-interes [consultado el 300107]
Esta pudiera ser una
fórmula para determinar
una tasa de rendimiento
acorde a la inversión.
89
En resumen, la tasa de rendimiento es el premio que se espera recibir, mientras que la tasa de descuento se refiere a un índice de rendimiento utilizado para descontar flujos futuros de efectivo a su valor actual (presente).
Veamos el caso de los Cetes El Cete puede calcularse de dos maneras: A partir de su tasa de rendimiento:
Teorema (1)
)360
*1(
ti
VP
rt
cete
nom
Donde:
Pcete = Precio del Cete (8 decimales)
Vnom = Valor nominal del Cete
irt = Rendimiento anual (tasa)
t = Plazo en días del Cete
O a partir de su tasa de descuento.
)360
*1(
ti
ii
rt
rtd
Donde: id = Tasa de descuento
irt = Rendimiento anual (tasa)
t = Plazo en días del Cete
Se despeja irt Teorema (2)
)360
*1(
ti
ii
d
drt
Si se sustituye el teorema 2 en 1……………….. Se obtiene el teorema 3
)360
*1(*
tiVP
d
cete nom
90
Ejemplo de ello, lo podemos situar en el cálculo del siguiente paquete:
Un inversionista adquiere Cetes con un rendimiento anual del 14.7%. La
colocación esta fechada el 31 de Marzo del 2006 y la fecha de vencimiento es el
28 de abril del mismo año (28 días por madurar el valor nominal de 10.0000).
Recordemos que los Cetes se adquieren a descuento en los mercados primario y
secundario.
Se solicita calcular el valor de adquisición
a): calcular el principal a través de irt
b): calcular el precio a partir de id
c): calcular el precio a partir del teorema 3
)360
*1(
ti
VP
rt
cete
nom
)360
28*147.01(
10
ceteP 330114333333.1(
10ceteP
$9.886959104 (a)
)360
*1(
ti
ii
rt
rtd
)360
28*147.01(
147.0
di )0114333333.1(
147.0di =
0.1453 » 14.53% (b)
Con la tasa de descuento (14.53%) se calcula el precio del Cete en su adquisición.
Su valor par, hasta su maduración ($10.00), por eso es
que se compra a descuento
)360
*1(*
tiVP
d
cete nom )360
28*1453.01(*10 ceteP
)0113011111.01(*10 ceteP )9886988889.0(*10ceteP =
9.886988889 (c)
91
3.2.4. TASAS DE INTERÉS - Conceptos básicos y ejercicios: Tasa nominal y tasa efectiva: La tasa nominal es la tasa pasiva sin capitalizar. La tasa efectiva es la que resulta de capitalizar la tasa nominal, la cual depende de los períodos de capitalización (diario, semanal, mensual, semestral o anual).
Veamos en la siguiente tabla un ejercicio de forma comparada
Tasa nominal y efectiva con distintos períodos de capitalización Capitalización mensual (n=12) Capitalización semestral (n=2)
Tasa nominal
anual Tasa efectiva anual Tasa nominal
anual Tasa efectiva anual
6.00 6.1678 6.00 6.0900 9.00 9.3807 9.00 9.2025
12.00 12.6825 12.00 12.3600 15.00 16.0755 15.00 15.5624 18.00 19.5618 18.00 18.8100 24.00 26.8242 24.00 25.4400 27.00 30.6050 27.00 28.8225 30.00 34.4889 30.00 32.2500 33.00 38.4784 33.00 35.7225 36.00 42.5761 36.00 39.2400
La Tabla 1 muestra la variación en las tasas nominales y efectivas para distintos períodos de capitalización.
La relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva se muestra en la Fórmula 1.
100*1)1(
n
m
TnTE Fórmula 1
En donde: TE = Tasa efectiva Tn = Tasa nominal n = Número de períodos de capitalización m = capitalización También se puede calcular de la siguiente manera:
Si f es la tasa efectiva, i la tasa de interés por el período de capitalización y por m al número de
períodos (Pastor, 1999). Entonces:
1)1( mif Fórmula 1.A
92
Ejemplo Calcule la tasa efectiva anual si se tiene una tasa nominal mensual del 12%. En este caso sustituyendo en la Fórmula 1 se tiene que:
%68.12100*1)12
12.01( 12
TE
Con la fórmula 1.A
1)1( mif 1)01.01( 12 f 1268250301.0f
Ejemplo Calcule la tasa efectiva anual si se tiene una tasa nominal semestral del 36%.
En este caso sustituyendo en la Fórmula 1 se tiene que:
%24.39100*1)2
36.01( 2
TE
Ahora otro Ejemplo
Calcule la tasa efectiva anual si se tiene una tasa nominal diaria del 0.09%. En este caso sustituyendo en la Fórmula 1 se tiene que:
%.*).
(TE 9040508301001360
00901 360
3.2.4.1. Tasa real
Representa la utilidad neta de una inversión de capital en una entidad financiera. Es decir, la tasa real es el rendimiento por encima de la inflación que se paga o se recibe en operaciones financieras. Está determinada en función de la tasa efectiva y de la tasa inflacionaria, tal y como se muestra en la Fórmula 2.
100*1
TI
TITETR Fórmula 2
En donde: TR = Tasa real, TE = Tasa efectiva, TI = Tasa inflacionaria
93
REALICEN LA SIGUIENTE ACTIVIDAD EN CLASE PARA
FOMENTAR LA PARTICIPACIÓN DEL ALUMNO.
Desarrollar los siguientes Ejercicios:
Calcule las tasas efectivas de las tasas nominales de la siguiente Tabla:
Tasa nominal y efectiva con distintos períodos
de capitalización
Capitalización mensual
Capitalización quincenal
Tasa
nominal anual
Tasa
efectiva anual
Tasa
nominal anual
Tasa
efectiva anual
1.00 1.00 2.00 2.00 3.55 3.55 14.78 14.78 18.68 18.68 24.50 24.50 26.00 26.00
Ahora con:
Capitalización bimestral (n=6) Capitalización trimestral (n=4)
Tasa nominal y efectiva con distintos períodos de capitalización
Capitalización bimestral
Capitalización trimestral
Tasa nominal
anual
Tasa efectiva
anual
Tasa nominal
anual
Tasa efectiva
anual 1.00 1.00 2.00 2.00 3.55 3.55 14.78 14.78 18.68 18.68 24.50 24.50 26.00 26.00
94
SIGUIENTE EJERCICIO: Calcule la Tasa Real de las siguientes tasas
efectivas
Considere una Inflación anual del 3.5% para todos los casos…
(Sólo para fines didácticos)
T 100*1
TI
TITETR
Fórmula 2
En donde: TR = Tasa real, TE = Tasa efectiva, TI = Tasa inflacionaria
Capitalización mensual (n=12)
Tasa nominal
anual Tasa efectiva
anual Tasa Real
6.00 6.1678 Ejemplo resuelto
9.00 9.3807
12.00 12.6825
15.00 16.0755
18.00 19.5618
Desarrollo de un ejemplo:
100*1
TI
TITETR 100*
035.01
035.0061678.0
TR 577584541.2100*
035.01
026678.0
TR
Resultado:
Capitalización mensual (n=12)
Tasa nominal anual Tasa efectiva anual Tasa Real
6.00 6.1678 2.5776
95
3.2.4.2.- EJERCICIOS: Ahora considere una inflación mensual estimada
durante el año del 0.5% (resuelva los ejercicios de la tabla)
Tasa nominal, efectiva y real
Capitalización bimestral Capitalización trimestral
Tasa
nominal
anual
Tasa
efectiva
anual
Tasa real Tasa
nominal
anual
Tasa
efectiva
anual
Tasa real
14.78 ¿? ¿? 14.78
18.68 18.68
24.50 24.50
26.00 26.00
EJERCICIO RESUELTO DE EJEMPLO:
Tasa nominal anual del 14.78% Primeramente se calcula la Tasa efectiva, para ello se requiere conocer la tasa
bimestral.
(14.78/12)*2=2.463333 bimestral ó .1478/6= 2.463333
Formula: 100*1
TI
TITETR
En donde: TE = Tasa efectiva, TN = Tasa nominal, m= capitalización, n= períodos de capitalización
100*1)6
1478.(1( 6
TE 100*1)02463333.1( 6 TE
%720652.15100*1)15720652.1( TE
Ahora se calcula la Tasa real
En donde: TR = Tasa real?,
TE = Tasa efectiva 15.720652,
TI = Tasa Inflacionaria 0.5% mensual * 12=6% anual
100*1
TI
TITETR 100*
06.01
06.15720652.
TR
%170426.9100*09170426.0 TR
96
Como visualizar este cálculo en un simulador financiero:
Finalmente se tiene
Tasa nominal, efectiva y real
Capitalización bimestral
Tasa
nominal
anual
Tasa efectiva
anual
Tasa real
14.78% 15.72% 9.17%
Este simulador, tiene descarga gratuita en:
http://www.arturogarciaucc.mx.gs/ sección descargas y fue desarrollado por alumnas de la Maestría en Administración en la UCC
Practicando Mate-financiera con Kitty
TE=15.72% TR=9.17%
97
3.2.4.3. TASAS EQUIVALENTES
En teoría, las tasas de interés con períodos distintos de capitalización son equivalentes, si en el largo plazo generan el mismo rendimiento. La tasa de interés es equivalente a su tasa efectiva asociada, porque ambas generan similares ganancias. En la práctica financiera y comercial, con frecuencia se hace necesario calcular la tasa equivalente, a partir de períodos de capitalización diferentes (Pastor, 1999).
Veamos un caso:
El problema que se le viene al Banco de la ilusión es…………. Que sus clientes le están cancelando sus cuentas, para irse con el Banco de las transas…. pudiera ser traición, pero no……..
¡Debemos cuidar nuestro dinero!
… ¿no cree Usted?
Como resolver este problema Pastor (1999), sugiere utilizar el procedimiento de las tasas efectivas. Es por ello, que calculamos la tasa efectiva del “Banco de las transas” que es nuestra competencia directa.
Para ello, podemos utilizar las siguientes fórmulas
8650415.15100*1)4
15.01( 4
TE
Ó
1)1( mif 1)0375.01( 4 f 158650415.0f
Banco de la ilusión: ofrece el
14.2% anual capitalizable
mensualmente
Banco de las transas: ofrece
el 15.0% anual capitalizable
trimestralmente
98
Entonces como el primer Banco ofrece una tasa del 14.2% capitalizable mensualmente, ahora debemos encontrar la tasa que capitalizable mensualmente, rinde la tasa efectiva del 15.865% cuya capitalización es trimestral
Con ello se daría respuesta a la pregunta…. ¿Qué tasa anual capitalizable mensualmente, debe pagar el Banco A, que le permita igualar los rendimientos del Banco B?
Ahora nos damos a la tarea de encontrar la tasa requerida, o sea, la tasa nominal que capitalizable mensualmente, sea equivalente a la tasa efectiva del 15.865%, ésta última, correspondiente a la tasa anual del 15% capitalizable trimestralmente que ofrece el Banco B
Los datos son: Como tasa nominal (i), se toma la tasa efectiva (ie) y a partir de la fórmula del monto compuesto:
n
n
iS
1 Ahora tenemos que
12
12115865.1
i
Despejemos i elevando a la potencia en que se desea capitalizar la tasa equivalente.
12/1)15865.1(12
1
iEsto nos da………
30833333333.0)15865.1(
)012346896.1(
Si la unidad esta sumando…….. Pasa restando y queda la siguiente
expresión:
012346896.012
i
148162752.0012346896.0*12 i
99
Ahora hay que sugerirle al Banco de la ilusión que ofrezca una tasa anual capitalizable mensualmente de por lo menos 14.82% (redondeada), que es equivalente a la tasa nominal del 15% capitalizable trimestralmente, y equivalente a su tasa efectiva del 15.865% Otra alternativa que presenta el Dr. Pastor, para identificar tasas equivalentes, a partir de las tasas nominales que ofrecen los bancos que se comparan es: a).- igualar los rendimientos de ambas tasas en el plazo más reciente en el que puedan coincidir. b).- No se requiere calcular tasa efectiva c).- Ubicar las capitalizaciones que ofrecen los bancos…. (Es común que sea a 28 días, mensual, trimestral)
Con lo anterior, entonces ahora debemos determinar las tasas i1= tasa nominal para el primer banco (en este ejemplo es igual a i/12) i2= tasa nominal del segundo banco (en este ejemplo es igual a 15/4 = 3.75%)
Con estos datos debemos satisfacer la siguiente ecuación
3)12
1(0375.1i
3/1)0375.1()12
1( i
Tenemos que es = 1.012346926
Al igual que la primera alternativa: Se le resta la unidad y se multiplica por 12 y nuevamente tenemos una tasa equivalente del 14.816% (1-1.012346926*12) Si con todo esto, los clientes siguen cancelando sus cuentas, entonces deberán preocuparse los funcionarios del Banco y replantear su estrategia para cuidar a sus clientes.
Monto de una inversión “x”
en el segundo Banco
Monto de una inversión “x”
después de 3 meses en el
primer Banco
Después de
elevar a la 1/3 Su equivalencia se calcula, a partir de la
siguiente expresión:
100
3.3. VALOR PRESENTE y DESCUENTO
COMPUESTO
Creerán que es un tema que ya quedo visto, efectivamente en este capítulo en el punto 3.1. Interés Simple, se comento sobre el tema en cuestión, sólo que ahora se estudiará el valor presente compuesto, su descuento e inflación. Recordando: en la primera unidad, se analizaron problemas de valor presente en supuestos casos de corto plazo y que están basados en el interés simple.
in
SP
1 y
3601
it
SP
Ahora bien, cuando la fecha de pago del adeudo es mayor, se utiliza la fórmula de valor presente utilizando interés compuesto. Así, en resumen podemos decir que el valor presente de una inversión que se pagará en el futuro, es el capital necesario que tenemos que invertir a una tasa “x” y a una fecha determinada, para cubrir un capital futuro. Un empresario obtuvo un préstamo de Nacional Financiera a una tasa de interés muy baja. Ocho meses antes de la fecha en que debe pagar dicha cantidad, consigue un contrato que le da utilidades suficientes para pagar esa cantidad los $248,000.00 que le prestaron. Considerando que el préstamo se acordó a tasas muy bajas, el empresario decide invertir el dinero necesario y que le permita pagar la deuda contraída, para ello busca un banco que le ofrece el mayor rendimiento, 14% anual capitalizable mensualmente. La pregunta es... ¿Cuánto debe invertir hoy (ocho meses antes) a la tasa del 14%, de tal manera que pueda pagar los $248,000.00 en la fecha de vencimiento de su deuda? Si P es la inversión inicial, después de ocho meses el capital crece a:
n
m
iPS
1
8
12
14.01
PS
Si se desea que el monto sea $248,000.00, entonces tenemos que satisfacer la
siguiente ecuación: 8
12
14.01
PS
8
12
14.01000,248
P
8011666.01 PS 8011666.1PS 097234.1PS
Se despeja P
89.022,226$097234.1
000,248P
Con esta cantidad invertida, a los ocho meses habrá acumulado los $248,000.00 que le prestó Nacional Financiera
Éstas fueron las fórmulas
101
En resumen…….. Podemos decir que, a la diferencia entre el valor del
monto que se requiere para saldar una deuda y su valor actual neto o presente,
le denominaremos descuento compuesto.
S es el monto de la deuda, i a la tasa de interés por el período de
capitalización, n al número de períodos de capitalización que se anticipan y P
es el valor presente de la deuda:
niPS )1( Despejamos P y tenemos: ni
SP
)1(
n
m
i
SP
)1(
3.4. INFLACIÓN
Esta variable explica el cambio del valor del peso, en el tiempo. Es
decir, en períodos de inflación alta, nos pasa a perjudicar nuestro bolsillo y
caso contrario cuando la inflación es baja no se reciente tanto, aunque también
afecta pero en otros porcentajes. En la práctica, todo negocio requiere ser
analizado con la inclusión de todas las variables macro y micro que pudiesen
afectarnos. Ante esto, La Tasa de Inflación constituye una medida para
evaluar el valor de la moneda en determinado período.
Ejemplo de ello: Una inflación anual del 10% eleva en promedio el precio de
un bien de “x” cantidad a “1.10x” entre un período y otro (de un año al
siguiente).
Así, si el precio actual de un producto es “y” pesos, entonces el año anterior
en promedio sería de y/1.10. Pastor (1999) señala un error que es muy común
en la práctica, ya que se pensaría que el año anterior, el valor de 100 pesos, era
de 90. El verdadero significado es, que lo que hoy vale 100, hace un año
hubiera sido de 100/1.10= 90.90909091 (comprobando 90.90909091 *
1.10% =100.00)
Valor presente
compuesto
Cuando la tasa de interés se expresa
nominalmente y el número de
capitalizaciones por año es m
102
Supongamos que en dos años la inflación continúa siendo del 10%. Hoy
pagamos “x” pesos y en un año 1.10x pesos, en dos años
1.09(1.09x)=(1.09)2x
Su equivalencia sería, que lo que hoy nos cuesta “y” pesos, hubiéramos
pagado y/1.10 pesos y hace dos años debimos haber pagado:
2)09.1(10.1*10.110.1
10.1 yy
y
Así, aplicando el factor de acumulación
y el tiempo, en resumen podemos decir que:
Lo que hoy cuesta “X” pesos, con el tiempo “n” costará x (1+i)n
Lo que hoy cuesta “Y” pesos, habría costado ni
y
)1(
Veamos un ejemplo muy “nice”,
¿En cuánto tiempo se podría reducir el poder adquisitivo de la moneda
a la mitad, si la tasa de inflación anual promedio es del 15%? (sólo es un
ejemplo, no se asusten).
Esto en lenguaje coloquial sería, en que tiempo lo que hoy vale X pesos
costará 2X pesos.
Despeja n de la ecuación x (1+i)n=2x además sustituye i = 0.15 y si
divides por x llegamos a
(1.15)n = 2
Recordemos que en las ecuaciones en las que se tiene que despejar el
exponente, se requiere utilizar logaritmos, de ahí que ahora tenemos:
Log ((1,15)n) = log (2) entonces Log ((1,15)
n) es = a log (1.15)
Entonces
959.450606978403.0
3010299957.0
)15.1(log
)2log(
gn
Algo así como 4.959 años (casi cinco), el poder adquisitivo de la moneda será como de la
mitad, o sea 1 peso, valdrá .50 centavos, desde luego si la inflación promedio fuera del 15%
anual……….. Lo bueno es que sólo es un ejemplo….
103
3.5. ANUALIDADES
Definición: Se refiere a una serie de flujos normalmente de un mismo
monto y períodos iguales. Pueden ser abonos o pagos y lo más
importante, no necesariamente deben ser de periodicidad anual, sino
mensual, quincenal, bimestral etc.
Al tiempo que transcurre entre un pago (o abono) y otro, se refiere al
intervalo de pago o intervalo de abono según sea el caso que se desee
calcular. Y el tiempo del contrato o convenio, se refiere al plazo de la
anualidad, esto es, el rango de tiempo que transcurre entre el primer y
último de los pagos o abonos
De tal forma, podríamos entender a la Anualidad o Renta: como el pago
periódico que se realiza en un lapso de tiempo, considerando una tasa de
interés y una capitalización en cuyo caso se fija al inicio de la firma del
convenio.
Un ejemplo clásico de convenio es cuando adquirimos un automóvil, aquí ya sabemos cuándo principia y cuándo termina el plazo que nos dan para liquidar nuestro auto. ¿No es así?
Tipos: En la literatura se pueden encontrar diversas clasificaciones de anualidades, pero
centremos el tema en la siguiente clasificación:
Ordinarias o Vencidas
Anticipadas
Diferidas
Generales
104
3.5.1. ORDINARIAS Son aquellas anualidades que son utilizadas con mayor frecuencia en la
actividad financiera y comercial. También son conocidas como anualidades ciertas, simples e inmediatas. Las características de éste tipo de anualidades son:
Los pagos o abonos se realizan al final de cada intervalo de pago Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del
plazo de la anualidad Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago El plazo inicia con la firma del convenio
3.5.1.1. Variables que se utilizan en este apartado:
VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos)
VF ó M: Valor Futuro o Monto (de la suma de unos pagos o abonos)
A ó Rp: Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad)
m: Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa
se divide entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa
nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12)
i: Tasa de Interés (la tasa que integra el factor de acumulación o descuento 1+i)
n: Tiempo
ACLARACION: Para no generar confusión en lo referente a la
tasa, la representación i/m, se refiere a la tasa nominal que se
divide entre el número de meses dependiendo la capitalización.
Ejemplo si nos dan una tasa del 12% nominal capitalizable
mensualmente, sabemos que debemos dividir 12/12=1% POR
LO ANTERIOR El lector podrá encontrar indistintamente la
tasa en su forma i ó en su forma i/m.
3.5.1.2. Procedimiento:
Para calcular monto de una serie de pagos, el pago periódico, la tasa y el tiempo, utilizaremos las siguientes fórmulas:
Su monto: i
m
i
RpVF
n 1)1( ó
i
m
i
AM
n 1)1(
Cuando las tasas de interés cambian en el lapso del tiempo, se buscara el VF de la
anualidad de la siguiente forma: Calculando VF1, VF2, VFn, esto es, cuantas veces cambie la
i, la fórmula se modifica en los siguientes términos.
105
Para una primera tasa i
m
i
RpVF
n 1)1( , después
i
m
i
Rpm
iVFVF
n
n
1)1(
)1(12
y así sucesivamente
i
m
i
Rpm
iVFVF
n
n
nn
1)1(
)1(
La Anualidad o Renta Periódica:
i
mi
VFRp
n 1)1(
ó
i
mi
MA
n 1)1(
Su valor presente:
im
i
RpVPN
n
)1(1
Se despeja
im
i
VPNRp
n
)1(1
Para calcular el tiempo “n” en valor futuro
i
m
i
RpVF
n 1)1(
VFi
m
i
Rp
n
1)1(
Pasa dividiendo Rp
Rp
VF
i
m
i n
1)1(
La i pasa multiplicando
i
RpVF
mi n *1)1( y
la unidad pasa sumando 1*)1(
i
RpVF
mi n
ahora aplicamos
logaritmos 1*log))1log((
i
RpVF
mi n
y se despeja
)1(
1*
m
iLog
iRp
VFLog
n
así de simple
106
Para calcular el tiempo “-n” en valor presente neto
De la fórmula mi
miRpVPN
n
/
)/1(1 tenemos que n
mi
Rp
miVPN
)1(1*
Para despejar –n
Rp
miNPV
mi n
*1)1( Así obtenemos
)*
1())1((
Rp
miNPV
Logm
iLog n
Ahora se tiene la expresión
)1(
))*
(1(
miLog
Rp
miNPV
Log
n
Si obtenemos un resultado con decimales: ejemplo 5.78 esto quiere decir que son 5 pagos de una cantidad “x” y 1 pago por la diferencia.
Para ello se trae a valor presente el importe de los pagos:
mi
miRpVPN
n
/
)/1(1 Para conocer el valor del sexto pago tenemos:
n
mi
xpagoslosdeVPNdeudaladeVPN
)1(______
Al despejar “x” El VPN de la deuda pasa restando al VPN de los pagos y la diferencia se multiplica por el factor de acumulación (1+i) con exponente n+1: esto es, n (numero de pagos) más el último pago (1). Para el caso que utilizamos de 5.78 pagos, entonces sería 5+1=6 (n=6)
)(*)1( 6 VPNpagosVPNdeudam
ix
107
Para calcular la tasa de interés “i”
En Valor Futuro o Monto
Del monto i
m
i
RpVF
n 1)1( tenemos que VF
i
m
i
Rp
n
1)1(
Rp pasa
dividiendo al lado derecho RpVF
i
m
i n
1)1(
y para calcular i, se hace al tanteo,
equiparando el factor resultante de VF/Rp
En Valor Presente Neto
Del valor presente
im
i
VPNRp
n
)1(1despejamos
RpVPN
i
mi n
)1(1
y para
calcular i, se hace al tanteo, equiparando el factor resultante de VPN/Rp
En ambos casos se sugiere tener elaborada una tabla proforma, con valores
de tasas que van de 1% a 9% (0.01 a 0.09)
n i
Factor
6 0.01 0.94204524 5.795476475
0.02 0.88797138 5.601430891
0.03 0.83748426 5.417191444
0.04 0.79031453 5.242136857
0.05 0.7462154 5.075692067
0.06 0.70496054 4.917324326
0.07 0.66634222 4.76653966
0.08 0.63016963 4.622879664
0.09 0.59626733 4.48591859
al tanteo 0.0499 0.74664195 5.077315679
La n se manipula
como variable input
La i se manipula como
variable input
Estos son los factores, el
cual se buscara equiparar
al resultado de VPN/Rp
1 (1 ) ni
i
108
3.5.1.3. Ejercicios Resueltos:
Anualidad ordinaria: El Sr. Pérez ha decidido crear un fondo para su hijo, el pequeño Martín, el cual podrá disponer íntegramente el día de su graduación Universitaria. Para ello, comienza depositando $200.00 al final de cada mes, dando inicio cuando su hijo Martin, cumplió un año y hasta el día de su cumpleaños número 23. Durante los primeros 10 años la cuenta le paga un interés de 12% anual capitalizable mensualmente. Los siguientes 10 años pago un interés de 15% anual capitalizable mensualmente y los últimos 2 años pago un interés del 18% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la suma que recibirá Martincito cuando cumpla 23 años?
*Recuerde que Martín ya tenía un año cuando se abrió la cuenta, por lo tanto se cuentan solamente 22 años para llegar a su cumpleaños número 23. Utilizamos la fórmula del monto de un conjunto de abonos (cuotas uniformes):
Durante los primeros 10 años pagó un interés de:
i
m
i
AM
n 1)1(
1212.
1)12
12.1(
200
120
M 72.007,46$0386.200230 M
Durante los siguientes 10 años pagó un interés de:
i
m
i
Rpm
iVFVF
n
n
1)1(
)1(12
1215.
1)12
15.1(
200)12
15.1(72.007,46$ 120
2
n
VF
29.327,259$)2168.275(200)44021.4(72.007,46$2 VF
Durante los últimos 2 años acumuló:
i
m
i
Rpm
iVFVF
n
n
1)1(
)1(13
06.435,376$
)63352.28(00.200$)42950.1(29.327,259$
1218.
1)12
18.1(
200)12
18.1(29.327,259$
3
3
24
3
VF
VF
VF
n
Esta es la suma que recibirá Gabriel el día de su cumpleaños número 23. Esto
menos el total de depósitos es igual al
interés acumulado durante los 22 años, que fue de = $323,635.06
109
AHORA DESARROLLEMOS UN EJERCICIO PARA CONOCER LA TASA DE INTERÉS “i”.
Primero calculamos el monto que logra acumular una persona que realiza un determinado número de depósitos y con ello, comprobamos la operación despejando la “i”
Supongamos que un ama de casa ahorra $100.00 al final de cada mes durante 60 meses, habiendo recibido una tasa de interés del 15% anual con capitalización mensual (15/12=1.25%). ¿Cuánto logro acumular en su cuenta? De la fórmula del monto tenemos
i
m
i
AM
n 1)1(
Luego
1215.
1)12
15.1(
100
60 M
0125.0
1)10718.2(100
M 45.857,8$M
Ahora calculamos la “i” como variable desconocida Con los datos del ejemplo anterior tenemos:
i
m
i
AM
n 1)1(
Se pasa dividiendo la cuota uniforme
im
i
AM
n 1)1( que es lo mismo que A
Mi
m
i n
1)1(
Ahora se tiene 00.100$
45.57,8,8$1)1(
i
m
i n
5745.88
1)1(
i
m
i n
110
Aquí debemos buscar en tablas, una tasa que aproxime el factor 88.5745 que estamos buscando
n i
i
m
i n 1)1(
0.01 81.6696699 Monto $ 8,857.45
60 0.02 114.051539 Anualidad $ 100.00
0.03 163.053437 Factor 88.5745
0.04 237.990685
0.05 353.583718
0.06 533.128181
0.07 813.520383 TASA Factor 0.08 1253.2133 1.25 88.57450776 0.09 1944.79213
Tanteo 0.0125 88.5745078
Ejercicio de valor presente neto
Supongamos que una persona desea adquirir una pantalla de plasma mediante 30 pagos iguales de $30.00 vencidos. Si la tasa de inflación que permanecerá vigente durante todo el lapso de tiempo es del 0.5% mensual, entonces ¿Cuál es el precio de contado de dicha pantalla? De la fórmula del valor presente tenemos que:
im
i
RpVPN
n
)1(1
005.0
)005.01(100.30
30VPN
005.0
)005.1(100.30
30VPN
005.0
)86102973.0(100.30
VPN
005.0
13897027.000.30VPN
)794054.27(00.30VPN 82.833$VPN
Es tan solo un ejemplo: las pantallas de plasma cuestan más $$$…..
De esta forma se comprueba.
Como se puede observar el factor que arroja
el monto y la anualidad es el mismo que el
factor que arroja la tasa del 0.0125 ó 1.25%
111
Ahora comprobamos, despejando la “i” como variable
desconocida
Del Valor Presente de una anualidad
im
i
VPNRp
n
)1(1despejamos “i”,
quedando la siguiente expresión RpVPN
i
mi n
)1(1
3082.833
)1(1
i
mi n
794.27)1(1
i
mi n
Aquí debemos buscar en tablas, una tasa que aproxime el factor 27.794 que estamos buscando
n i
30 0.01 0.74192292 25.80770822
0.02 0.55207089 22.39645555
0.03 0.41198676 19.60044135
0.04 0.30831867 17.2920333
0.05 0.23137745 15.37245103
0.06 0.17411013 13.76483115
0.07 0.13136712 12.40904118
0.08 0.09937733 11.25778334
0.09 0.07537114 10.27365404
al tanteo 0.005 0.86102973 27.79405397
VPN $833.82 27.79403333
R $30.00
TASA 27.79405397
0.005
1 (1 ) ni
i
De esta forma se comprueba.
Como se puede observar el factor que arroja la división entre el monto y la
anualidad, es el mismo que el factor que arroja la tasa del 0.005 ó 0.5%
112
Ahora comprobamos, despejando la “n” como variable
desconocida
Tomamos el ejemplo del ama de casa que ahorró $100.00 al final de cada mes durante “n” meses, habiendo recibido una tasa de interés del 15% anual con capitalización mensual (15/12=1.25%) y cuyo monto ascendió a la cantidad de $8,857.45. ¿Cuál fue el plazo de esta operación?
De la fórmula del monto, se despeja “n”, ahora tenemos la siguiente
expresión: )1(
1*
m
iLog
iRp
VFLog
n
La solución es:
)0125.1(
10125.0*100
45.857,8
Log
Log
n
)0125.1(
10125.0*574.88
Log
Logn
609999963.59
00539503.0
32370189.0
)0125.1(
)10718125.2(
)0125.1(
110718125.1
Log
Log
Log
Logn
Como podrán ver, el resultado de 60 (abonos uniformes), corresponde al tiempo que
estuvo ahorrando el ama de casa para poder obtener el monto de $8,857.45 del
ejercicio resuelto de la pág. 109
Y así, podemos seguir desarrollando ejercicios tratando de despejar las variables que
componen cada teorema, como un ejercicio para reforzamiento del tema. Ahora
continuamos con las anualidades anticipadas.
113
3.5.2. ANTICIPADAS Son aquellas anualidades que son utilizadas con menor frecuencia en la
actividad financiera y comercial. Esto es, toda vez que los pagos se hacen por anticipado, salvo que el deudor (en caso de alguna compra a plazos) desee liquidar por adelantado sus pagos. Ahora bien, en el caso de una cuenta de depósitos (pudiera ser un fideicomiso), estos se hacen a inicio del convenio y así sucesivamente hasta el final del convenio. También son conocidas como anualidades ciertas, simples e inmediatas. Las características de este tipo de anualidades son:
El plazo inicia con la firma del convenio Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago Los pagos o abonos se realizan al inicio de cada intervalo de pago Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del
plazo de la anualidad
3.5.2.1. Variables que se utilizan en este apartado:
VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos)
VF ó M: Valor Futuro o Monto (de la suma de unos pagos o abonos)
A ó Rp: Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad)
m: Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa se divide
entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del 12%
capitalizable mensualmente = (12%/12)
i: Tasa de Interés (la tasa que integra el factor de acumulación o descuento 1+i)
n: Tiempo
3.5.2.2. Procedimiento:
Para calcular monto de una serie de pagos, el pago periódico, la tasa y el tiempo, utilizaremos las siguientes fórmulas:
Su monto: i
m
i
iRpVF
n 1)1()1(
ó
im
i
iAM
n 1)1()1(
Al igual que en las anualidades ordinarias, cuando las tasas de interés cambian
en el lapso del tiempo, se buscará el VF de la anualidad de la siguiente forma:
Calculando VF1, VF2, VFn ó M1, M 2, M n esto es, cuantas veces cambie la “i”,
la fórmula se modifica en los siguientes términos:
114
Para una primera tasa i
m
i
iRpVF
n 1)1()1(
, después
im
i
iRpm
iVFVF
n
n
1)1()1()1(12
y así sucesivamente
i
m
i
iRpm
iVFVF
n
n
nn
1)1(
)1()1(
La Anualidad o Renta Periódica:
i
mi
i
VFRp
n 1)1()1(
ó
i
mi
i
MA
n 1)1()1(
Para calcular el tiempo “n” en el valor futuro o monto de una anualidad
anticipada
De la fórmula del monto i
m
i
miAM
n 1)1(
)/1(
ó Valor futuro
i
m
i
miRpVF
n 1)1(
)/1(
seleccionamos la que utilizaremos.
Para este ejercicio tomamos el valor futuro mi
m
i
miRpVF
n
/
1)1(
)/1(
que es lo
mismo que VFmi
m
i
iRp
n
/
1)1(
)1( Ahora pasa dividiendo Rp quedando la
expresión como:Rp
VF
mi
m
i
mi
n
/
1)1(
)/1( . Posteriormente la i pasa
multiplicando
mi
RpVF
mimi n /*1)1)(/1( y la unidad pasa
sumando 1/*)1)(/1(
mi
RpVF
mimi n
115
Ahora aplicamos logaritmos 1/*log))1)(/1log((
mi
RpVF
mimi n
y
se despeja n, quedando la siguiente expresión )1)(/1(
1/*
mimiLog
miRp
VFLog
n
Así de simple.
Para calcular el tiempo “-n” en valor presente neto de una anualidad
anticipada
De la fórmula mi
mi
miRpVPN
n
/
)/1(1)1(
tenemos que
))1(1)(1(*
n
mi
mi
Rp
miVPN
Para despejar –n
Rp
miNPV
mi
mi n
*1)1)(1(
Así obtenemos )*
1())1)(1((
Rp
miNPV
Logm
im
iLog n
Ahora se
tiene la expresión )1)(1(
))*
(1(
mi
miLog
Rp
miNPV
Log
n
Si obtenemos un resultado con decimales: ejemplo 5.78 esto quiere decir que son 5 pagos de una cantidad “x” y 1 pago por la diferencia.
Para ello se trae a valor presente el importe de los pagos:
mi
mi
miRpVPN
n
/
)/1(1)1(
Para conocer el valor del sexto pago tenemos:
n
mi
xpagoslosdeVPNdeudaladeVPN
)1(______
Al despejar “x” el VPN de la deuda pasa restando al VPN de los pagos y la diferencia se multiplica por el factor de acumulación (1+i) con exponente n+1: esto es, n (numero de pagos) más el último pago (1). Para el caso que utilizamos de 5.78 pagos, entonces sería 5+1=6 (n=6)
)(*)1( 6 VPNpagosVPNdeudam
ix
116
Para calcular la tasa de interés “i”
En Valor Futuro o Monto
Del monto mi
m
i
miRpVF
n
/
1)1(
)1(
tenemos que VFmi
m
i
miRp
n
/
1)1(
)1(
Rp pasa dividiendo al lado derecho Rp
VFmi
m
i
mi
n
/
1)1(
)1( y para calcular
i, se hace al tanteo, equiparando el factor resultante de VF/Rp
En Valor Presente Neto
Del valor presente
mi
mi
mi
VPNRp
n
/
)1(1)1(
despejamos el conjunto
RpVPN
mim
i
mi
n
/
)1(1)1( y para calcular i, se hace al tanteo, equiparando el
factor resultante de dividir: VPN/Rp
En ambos casos se sugiere tener elaborada una tabla proforma, con valores
de tasas que van de 1% a 9% (0.01 a 0.09)
Ver ejemplo a continuación
n i factor 1 factor 2
6 0.01 1.01 0.94204524 5.79547647 5.853431
0.02 1.02 0.88797138 5.60143089 5.713459
0.03 1.03 0.83748426 5.41719144 5.579707
0.04 1.04 0.79031453 5.24213686 5.451822
0.05 1.05 0.7462154 5.07569207 5.329476
0.06 1.06 0.70496054 4.91732433 5.212363
0.07 1.07 0.66634222 4.76653966 5.100197
0.08 1.08 0.63016963 4.62287966 4.992710
0.09 1.09 0.59626733 4.48591859 4.889651
al tanteo
0.01735 1.01735 0.90194 5.651871 5.749931
1 (1 )(1 )
nii
i
La n se manipula
como variable input
La i se manipula como
variable input
117
3.5.2.3. Ejercicios
Resolvamos el siguiente ejercicio:
Cada 56 días el contador de la empresa Apolo, S.A. de C.V., deposita $15,500.00 en pagarés como una medida de previsión para liquidar algún compromiso futuro de la empresa. La tasa nominal ordinaria es del 9% ¿Qué cantidad tendrá acumulada en el pagaré número 17, de seguir depositando normalmente cada 56 días dicha cantidad? La solución: Si la tasa es del 9 nominal ordinaria y los depósitos se hacen cada 56 días,
entonces calculamos la tasa de la siguiente forma: 360
56*09.0i 014.0i
014.0
1)014.1()014.01(00.500,15
17 M
014.0
1)26661677.1()014.1(00.500,15
M
014.0
)26661677(.)014.1(00.500,15M )0440552.19)(014.1(00.500,15M
42.315,299$M
Ahora supongamos que el contador de la empresa Apolo, sigue realizando los mismos depósitos con la misma frecuencia e importe, pero ahora le mejoran la tasa nominal ordinaria quedando en 12%, siempre y cuando reinvierta la cantidad acumulada hasta el momento. ¿Qué cantidad acumularía hasta el pagaré número 30? (consecutivo). Primeramente debemos considerar que los primeros 17 pagarés se depositaron a una tasa diferente, así que a partir del pagaré 18 y hasta el 30, faltarían 13 períodos de 56 días.
La fórmula a utilizar es la siguiente: i
m
i
iAm
iMM
n
n
1)1(
)1()1(12
La solución: Si la tasa es del 12 nominal ordinaria y los depósitos se hacen cada 56
días, entonces calculamos la tasa de la siguiente forma: 360
56*12.0i
01866667.0i
118
01866667.0
1)01866667.1()01866667.1(00.500,15)01866667.1(42.315,299
1313
2
M
01866667.0
1)01866667.1()01866667.1(00.500,15)01866667.1(42.315,299
1313
2
M
01866667.0
1)27179542.1()01866667.1(00.500,15)27179542.1(42.315,2992
M
)5604662.14)(01866667.1(00.500,15)27179542.1(42.315,2992 M
Esta es la cantidad que acumularía hasta el pagaré número 30
0456861006900229986673802 .,$.,.,M
La Anualidad o Renta Periódica:
i
mi
i
VFRp
n 1)1()1(
ó
i
mi
i
MA
n 1)1()1(
Para conocer el valor de la anualidad o renta periódica a partir de un monto, podremos utilizar la fórmula del Monto o Valor Futuro, despejando la A ó Rp, según sea la notación que utilicemos: Para probar este teorema, utilizaremos los datos del ejercicio anterior relativos al primer momento del monto. M=$299,315.42 i= 9% nominal ordinaria A= ¿ ? Cada 56 días n=17 La solución es:
36056*09.
1)360
56*09.1()
360
56*09.01(
42.315,299
17A
014.0
1)014.1()014.1(
42.315,29917
A
014.0
1)26661677.1()014.1(
42.315,299A 0050015
31067219
42315299
0440552190141
42315299.,$
.
.,
).)(.(
.,A
119
Su valor presente:
De la fórmula del Valor Presente Neto de una serie de cuotas uniformes
mi
m
i
miRpVPN
n
/
)1(1
)/1(
Se despeja
mi
mi
mi
VPNRp
n
/
)1(1)/1(
Para probar este teorema, utilizaremos los siguientes datos: Se tiene la opción de adquirir un auto en 12 meses con pagos iguales, sólo que deben ser anticipados. El precio de contado de dicho vehículo es de $187,000.00 que incluye seguro, comisión de apertura de crédito y todo lo que conlleva esta operación. Para ello queda estipulada una tasa de interés del 2.8% mensual.
Ahora se desea conocer el importe de los pagos mensuales iguales Rp= ¿ ? VPN= $187,000.00, i= 2.8% mensual ordinaria (i/m solo si la tasa es anual) n=12
La comprobación es:
mi
mi
mi
VPNRp
n
/
)1(1)/1(
028.0
)028.1(1)028.1(
00.000,18712
Rp
028.0
71793086.01)028.1(
00.000,187
Rp
028.0
28206914.0)028.1(
00.000,187Rp
)0738977.10)(028.1(
00.000,187Rp 22.057,18$
3559668.10
00.000,187Rp
El resultado son 12 pagos de $18,057.22 que dan un total de $216,686.64 el cual ya
incluye los intereses generados.
Ahora bien, si fuera el caso que la agencia de autos ofreciera el mismo auto en 12 pagos mensuales de $18,057.22, la pregunta ahora sería: ¿Cuál es el precio máximo de contado que el cliente podría pagar, considerando una inflación mensual estimada del 0.6%
Ahora se desea conocer el valor presente neto de los 12 pagos mensuales iguales
VPN= ¿ ? , i= 0.6% mensual ordinaria, n=12, Rp=$18,057.22 La comprobación es:
120
i
m
i
iRpVPN
n
)1(1
)1( 006.
)006.1(1)006.1(22.057,18
12VPN
006.
)93073111.0(1)006.1(22.057,18
VPN 006.
06926889.0)006.1(22.057,18VPN
)5448147.11)(006.1(22.057,18VPN )6140836.11(22.057,18VPN
06.718,209$VPN
Como podrán notar, las cantidades resultantes difieren una de otra, esto
obedece a lo siguiente:
1.- En el ejercicio en donde se calcula el importe de los pagos (Rp), se
incluye el interés del 2.8% mensual lo que hace que el importe del automóvil se
eleve a $216,686.64
2.- En el cálculo del vapor presente neto de los pagos, partimos del supuesto
de que la Agencia de Autos, ofreciera dicho vehículo a 12 pagos de $18,057.22,
entonces tendríamos que traer a valor presente el importe de cada uno de estos
pagos, y determinar un VPN del total de los mismos y con ello, conocer el precio
máximo de contado que en ese esquema, debiera pagar el cliente
3.- Debemos considerar que para fines académicos, y para poder probar
matemáticamente las fórmulas, es que se utilizaron los mismos datos, pero como
recordarán, en los datos iniciales quedó establecido que el auto tiene un precio de
lista de $187,000.00 y es con este precio, que finalmente usted podría adquirir el
auto, o mejor aún, no compre nada y mejor ahorre su dinero.
Resolvamos un ejercicio de Anualidad anticipada: (a partir de VPN)
Considere el caso de una persona que adquiere para su hogar un equipo hidroneumático el cual incluye la instalación. El importe de contado de la operación es de $114,500.00, pero éste es adquirido en 12 pagos iguales de $21,500.00 a partir de haber firmado el contrato. Ahora la pregunta es: ¿Cuál fue la tasa de interés mensual que se pagó por dicho equipo? Rp= 21,500.00 VPN= $114,500.00 i= ¿ ? n=12
121
La solución es:
De la fórmula del valor presente, sabemos que: mi
m
i
miRpVPN
n
/
)1(1
)/1(
VPNmi
m
i
miRp
n
/
)1(1
)/1( Rp
VPN
mi
m
i
mi
n
/
)1(1
)/1( entonces
500,21
500,114
/
)1(1
)/1(
mi
m
i
mi
n
325581395.5/
)1(1
)/1(
mi
m
i
mi
n
Al tanteo con una tabla en Excel (de la fórmula del valor presente neto de una
anualidad anticipada)
n i factor 1 factor 2
6 0.01 1.01 0.94204524 5.79547647 5.853431239
0.02 1.02 0.88797138 5.60143089 5.713459509
0.03 1.03 0.83748426 5.41719144 5.579707187
0.04 1.04 0.79031453 5.24213686 5.451822331
0.05 1.05 0.7462154 5.07569207 5.329476671
0.06 1.06 0.70496054 4.91732433 5.212363786
0.07 1.07 0.66634222 4.76653966 5.100197436
0.08 1.08 0.63016963 4.62287966 4.992710037
0.09 1.09 0.59626733 4.48591859 4.889651263
al tanteo 0.05329 1.050001 0.746211 5.075676 5.329464703
NPV $ 114,500.00 5.325581395
R $ 21,500.00
TASA 5.329464703
0.0532
Como se puede observar, el factor resultante VPN/Rp es similar al factor que arroja la fila
denominada “al tanteo”, con una tasa del 0.0532 ó 5.32%
1 (1 )(1 )
nii
i
122
Ahora resolvamos un ejercicio de Anualidad anticipada: (a partir de VF)
Considere el caso de una persona que ahorró $150,000.00, habiendo realizado 50 depósitos mensuales anticipados de $2,500.00
Ahora la pregunta es: ¿Cuál fue la tasa de interés mensual promedio que obtuvo?
A= 2,500.00 VPN= $150,000.00 i= ¿ ? n=50
La solución es: A
VFmi
m
i
mi
n
/
1)1(
)1( 00.2500
00.000,150
/
1)1(
)1(
mi
m
i
mi
n
00500200000150
11
1.,
.,
m/i
)m
i(
)m
i(
n
60/
1)1(
)1(
mi
m
i
mi
n
Al tanteo con una tabla en Excel (de la fórmula del valor futuro o monto
de una anualidad anticipada)
n i factor 1 factor 2
50 0.01 1.01 1.64463182 64.4631822 65.10781401
0.02 1.02 2.69158803 84.5794015 86.27098948
0.03 1.03 4.38390602 112.796867 116.1807733
0.04 1.04 7.10668335 152.667084 158.773767
0.05 1.05 11.4673998 209.347996 219.8153955
0.06 1.06 18.4201543 290.335905 307.7560589
0.07 1.07 29.4570251 406.528929 434.9859545
0.08 1.08 46.9016125 573.770156 619.6717689
0.09 1.09 74.3575201 815.083556 888.4410765
al tanteo
0.0069787700 1.006979 1.415845 59.587154 60.00299871
VF $ 150,000.00 60.000000000
A $ 2,500.00
TASA 60.00299871
0.006978770
La tasa promedio que obtuvo fue de 0.0069787700 ó 0.697877%
mi
m
i
mi
n
/
1)1(
)1(
123
Ahora comprobemos esta operación: De la fórmula del monto:
mi
1)m
i(1
)m
iRp(1VF
n
se tiene que
00697877.
1)00697877.1()00697877.1(500,2
50 M
00697877.
1)41584504.1()00697877.1(500,2
M
)5871537.59)(00697877.1(500,2M
)0029987.60(500,2M 50.007,150$M
La diferencia de $7.50 se debe al manejo de los dígitos
124
3.5.3. DIFERIDAS Son poco utilizadas este tipo de anualidades, aunque cabe resaltar que en la
actividad comercial, con frecuencia son utilizadas para vaciar los inventarios, esto es, cuando las empresas quieren rematar su mercancía de temporada, o simplemente por que cambiarán de modelos, surgen las ofertas de “compre ahora y pague después”.
Ciertamente resulta atractivo este plan para los clientes ya que de momento no
desembolsan cantidad alguna y por otra parte, empiezan a pagar meses después de haber adquirida la mercancía.
Las características de este tipo de anualidades son:
Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad
Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago El plazo da comienzo en una fecha posterior al de inicio del convenio
3.5.3.1. Variables que se utilizan en este apartado:
VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos)
VF ó M: Valor Futuro o Monto (de la suma de unos pagos o abonos)
A ó Rp: Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad)
m: Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa
se divide entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa
nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12)
i: Tasa de Interés (la i que integra el factor de acumulación o descuento (1+i) n: Tiempo en valor futuro
-n= Tiempo en valor presente
k = diferimiento (tiempo en que se difiere el pago) utilizado en valor presente
NUEVAMENTE SE HACE LA ACLARACION: Para no
generar confusión en lo referente a la tasa, la representación
i/m, se refiere a la tasa nominal que se divide entre el número
de meses dependiendo la capitalización. Ejemplo si nos dan
una tasa del 12% nominal capitalizable mensualmente,
sabemos que debemos dividir 12/12=1% POR LO
ANTERIOR El lector podrá encontrar indistintamente la tasa
en su forma i ó en su forma i/m.
125
3.5.3.2 Procedimiento:
Para calcular el monto de una serie de pagos o abonos, el pago periódico, la tasa y el tiempo, utilizaremos las siguientes fórmulas:
En anualidad diferida, se toma de la fórmula de la anualidad ordinaria:
Determinamos su monto: mi
m
i
RpVF
n
/
1)1(
ó mi
m
i
AM
n
/
1)1(
La Anualidad o Renta Periódica:
mi
mi
VFRp
n
/
1)1(
ó
mi
mi
MA
n
/
1)1(
Su valor presente:
1)1(
)1(1
k
n
mi
mi
mi
RpVPN Se despeja
1)1(
)1(1
k
n
mi
mi
mi
VPNRp
3.5.3.3. Ejercicios
Ejemplo para cálculo del monto:
Hoy que es 27 de Febrero del 2009, un empleado de gobierno se propone ahorrar a partir del siguiente año, el bono que le otorgan por honestidad y buen servicio (es solo un ejemplo) que le entregan en la segunda quincena de cada mes, mismo que asciende a $580.00 La cuenta de ahorro le ofrece el 15% nominal capitalizable mensualmente. La pregunta ahora es: ¿Cuánto logrará acumular este singular personaje al 1º de enero del 2011?
Veamos este caso de manera muy particular para poder entender la naturaleza de la anualidad diferida. En el ejemplo se señala que el 27 de febrero del 2009, el empleado toma la decisión de ahorrar a partir del siguiente año. Lo anterior refiere que empezará a depositar a partir del año 2010.
126
Ahora bien, el bono que recibe, es en la segunda quincena de cada mes, lo cual permite suponer que a final del mes de enero del 2010 se realizará el primer depósito y así sucesivamente.
Finalmente la pregunta que se busca responder sobre cuanto tendrá acumulado al 1º de enero del 2011, nos permite suponer que realizará 12 depósitos (n=12). Visualicemos la siguiente línea de tiempo: La solución es:
De la fórmula del monto tenemos que: mi
m
i
AM
n
/
1)1(
12/15
1)12
15.1(
00.580
12
M 0125.0
1)0125.1(00.580
12 M
0125.0
1)16075452.1(00.580
M
0125.0
16075452.00.580M )8603614.12(00.580M 00.459,7$M
Con los mismos datos, ahora comprobamos el valor de la anualidad:
mi
mi
MA
n
/
1)1(
12/15.
1)12
15.1(
00.459,7$
12A
0125.0
10125.1(
00.459,7$12
A
0125.0
116075452.1
00.459,7$A
0125.0
16075452.
00.459,7$A
8603614.12
00.459,7$A 00580999579 .$.$A
1º. Enero 2011
¿Cuánto ahorro?
12avo. Abono
Propósito 27-02-09
1er abono
310110 310310
300610 300410 2802100
310510 300910 310710 301110
310810 311010 311210
127
Para calcular el tiempo “n” en el monto compuesto
mi
m
i
AM
n
/
1)1(
Mmi
m
i
A
n
/
1)1( Pasa dividiendo A
A
M
mi
m
i n
/
1)1(
La i/m pasa multiplicando miA
Mm
i n /*1)1( y la unidad pasa sumando
1/*1)1( miA
Mm
i n Ahora aplicamos logaritmos
1/*log))1log(( miA
Mm
i n y se despeja
)1(
1/*
m
iLog
miA
MLogn
Con los mismos datos, ahora comprobamos el tiempo:
)12
15.1(
112/15.*580
459,7
Log
Log
n )0125.1(
10125.0*)8603448.12(
Log
Logn
)0125.1(
116075431.0
Log
Logn
0125.1
16075431.1
Log
Logn 129999856.11
00539503.0
0647403.0n
Ejercicio de valor presente de una anualidad diferida
Ejercicio: Con los siguientes datos calcule el VPN de una anualidad diferida: Se adeudan $100,000.00 los cuales deben ser liquidados en 12 pagos mensuales iguales, el primero d ellos 6 meses después de la firma del convenio. Se pacta una tasa del 1.5 mensual
De la fórmula del valor presente:
1)1(
)1(1
k
n
mi
mi
mi
RpVPN Se despeja
1)1(
)1(1
k
n
mi
mi
mi
VPNRp
128
16
12
)015.1(015.0
)015.1(1
00.000,100
Rp
)077284.1(015.0
)83638742.0(1
00.000,100
Rp
01615926.0
16361258.0
00.000,100Rp
54.876,9$1250043.10
00.000,100Rp
Con los datos del ejercicio anterior, comprobar el tiempo (–n )
Para calcular el tiempo “-n” en valor presente neto tenemos que:
De la fórmula
1)1(
)1(1
k
n
mi
mi
mi
VPNRp transformamos la expresión en:
n
k
mi
Rp
mi
miVPN
)1(1)1)((* 1
y así obtenemos: Rp
mi
miVPN
mi
k
n
1)1)((*1)1(
Aplicamos logaritmos para calcular: ))1)((*
1())1((
1
Rp
mi
miVPN
Logm
iLog
k
n
)1(
)1)((*1(
1
miLog
Rp
mi
miVPN
Log
n
k
)015.1(
54.9876
)015.1)(015.0(*00.1000001(
16
Log
Log
n
)015.1(
)54.9876
93.16151(
Log
Log
n
)015.1(
)16361256.01(
Log
Logn
)015.1(
)83638744.0(
Log
Logn
12999799110064660420
07759250
.
.
.n De esta forma queda comprobado el
resultado
129
Para calcular la tasa de interés “i” en monto compuesto de anualidad
diferida
En Valor Futuro o Monto
Del monto mi
m
i
AM
n
/
1)1(
tenemos que Mmi
m
i
A
n
/
1)1( A pasa dividiendo al
lado derecho A
Mmi
m
i n
/
1)1(
y para calcular i/m, se hace al tanteo, equiparando el
factor resultante de M/A
Con los mismos datos, ahora comprobamos la tasa promedio mensual obtenida:
Al tanteo con una tabla en Excel (de la fórmula del monto de una anualidad diferida)
00.58000.459,7$
/
1)1(
mi
m
i n
8603448.12/
1)1(
mi
m
i n
n i
mi
m
i n
/
1)1(
0.01 12.682503
12 0.02 13.4120897
0.03 14.1920296
0.04 15.0258055
0.05 15.9171265
0.06 16.8699412
0.07 17.8884513
0.08 18.9771265
0.09 20.1407198
Tanteo 0.0125 12.8603614
Monto $ 7,459.00
Anualidad $ 580.00
Factor 12.8603448
TASA Factor 12.86036142
0.0125
La tasa promedio que obtuvo fue de 0.0125 ó 1.25% mensual
130
Ahora desarrollamos el tema del valor presente de la anualidad
diferida:
De la fórmula: 1)1(
)1(1
k
n
mi
mi
mi
RpVPN Se despeja
1)1(
)1(1
k
n
mi
mi
mi
VPNRp
Ejemplo para calcular el valor presente: La agencia Automotriz “El Carrito Veloz” tiene en oferta un convertible que arranca el suspiro de más de una bella dama. El precio de contado de este modesto auto que tiene una serpiente al frente es de $850,000.00 o un atractivo plan de financiamiento del 40% de enganche y el resto en 15 modestas mensualidades iguales con una tasa promedio mensual del 1.5%. Además ofrece que el primer pago se haga al vencimiento del tercer mes, una vez que se haya dado el enganche y desde luego, haber recibido este veloz cobra. La pregunta es:
¿Qué cantidad debe pagar mensualmente por esta preciosidad de cobra?
Entonces del precio de contado de $850,000.00 el 40% de enganche son: $340,000.00, la diferencia
que se adeuda es de $510,000.00
La solución es:
De la fórmula: 13
15
)015.1(015.0
)015.1(1000,510
Rp Se despeja
13
15
)015.1(015.0
)015.1(1
00.000,510$
Rp
2)015.1(015.0
)7998515.0(1
00.000,510$
Rp
)030225.1(015.0
7998515.01
00.000,510$
Rp
01545338.0
2001485.0
00.000,510$Rp
9517662.12
00.000,510$Rp
87.376,39$Rp Este es el importe de las modestas mensualidades
131
Para calcular la tasa de interés “i” en valor presente de una anualidad
diferida (Con los datos anteriores)
De la fórmula RpVPN
mi
mi
mi
k
n
1)1(
)1(1
87.376,3900.000,510
)1(
)1(1
1
k
n
mi
mi
mi
9517658.12)1(
)1(1
1
k
n
mi
mi
mi
Al tanteo con una tabla en Excel (de la fórmula del valor presente de
una anualidad diferida)
Comprobación:
n i factor 1 factor 2
1)1(
)1(1
k
n
mi
mi
mi
15 0.0100 0.1386505 0.01020 13.59186
0.0200 0.2569852 0.02081 12.35031
0.0300 0.3581380 0.03183 11.25265
0.0400 0.4447355 0.04326 10.27957
k 0.0500 0.5189829 0.05513 9.41466
3 0.0600 0.5827349 0.06742 8.64387
0.0700 0.6375539 0.08014 7.95520
0.0800 0.6847583 0.09331 7.33837
0.0900 0.7254619 0.10693 6.78452
al tanteo
0.0150 0.2001485 0.01545 12.95177
NPV $ 510,000.00 12.95176585
R $ 39,376.87
TASA 12.952
0.0150
La tasa promedio que obtuvo fue de 0.015 ó 1.5% mensual
132
3.5.4. GENERALES
Entramos a una modalidad de anualidades que por sus características particulares, son utilizadas con menor frecuencia en la actividad financiera y comercial. Esto es, los pagos o abonos no coinciden con la capitalización, de ahí que tengamos que calcular tasas equivalentes.
Las características de este tipo de anualidades son:
El plazo inicia con la firma del convenio o apertura de cuenta de ahorros o inversión (en su caso)
Las capitalizaciones no coinciden con el intervalo de pago Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del
plazo de la anualidad
Con estas consideraciones, ¿qué hacer entonces cuando la tasa que se nos otorga, no coincide con la capitalización?
En el desarrollo de este tema, se dará respuesta a esta interrogante:
3.5.4.1. Variables que se utilizan en este apartado:
VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos)
VF ó M: Valor Futuro o Monto (de la suma de unos pagos o abonos)
A ó Rp: Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o anualidad)
m: Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual, bimestral etc., la tasa se
divide entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del
12% capitalizable mensualmente = (12%/12)
n: Tiempo
i : Tasa de Interés equivalente (la tasa que integra el factor de acumulación o
descuento )1(
i :
RECUERDE: En la representación i/m, se refiere a la tasa
nominal que se divide entre el número de meses dependiendo
la capitalización. POR LO ANTERIOR El lector podrá
encontrar indistintamente la tasa en su forma i ó en su forma
i/m.
133
3.5.4.2. Procedimiento:
Para calcular el monto o valor futuro de una serie de pagos o abonos, el pago periódico, la tasa y el tiempo, utilizaremos las siguientes fórmulas:
Su monto:
mi
m
i
RpVF
n
1)1(
ó
mi
m
i
AM
n
1)1(
Siguiendo el mismo esquema que las anualidades ordinarias, recordaremos que es muy
probable que las tasas de interés cambien en el lapso del período, ante ello debemos realizar
cálculos parciales utilizando tasas equivalentes para: VF1, VF2, VFn, conforme cambien las
tasas, de acuerdo a la siguiente notación:
Para una primera tasa
mi
m
i
RpVF
n
1)1(
1, para una siguiente tasa
i
m
i
Rpm
iVFVF
n
n
1)1(
)1(12 y así sucesivamente
i
m
i
Rpm
iVFVF
n
n
nn
1)1(
)1(
La Anualidad o Renta Periódica:
i
mi
VFRp
n 1)1(
ó
i
mi
MA
n 1)1(
Su valor presente:
mi
m
i
RpVPN
n)1(1 Se despeja
mi
mi
VPNRp
n
)1(1
134
Para calcular el tiempo “n” ó “-n”
i
m
i
RpVF
n 1)1(
VF
i
m
i
Rp
n
1)1(
Pasa dividiendo Rp
Rp
VF
i
m
i n
1)1(
La i pasa multiplicando
iRp
VFm
i n *1)1(
y la unidad pasa sumando 1*)1(
iRp
VFm
i n ahora aplicamos
logaritmos 1*log))1log((
iRp
VFm
i n y se despeja
)1(
1*
m
iLog
iRp
VFLog
n
así de simple
Para calcular la tasa de interés “i equivalente”
En Valor Futuro o Monto
Del monto
i
m
i
RpVF
n 1)1( tenemos que VF
i
m
i
Rp
n
1)1( Rp pasa dividiendo
al lado derecho Rp
VF
i
m
i n
1)1(
y para calcular i, se hace al tanteo, equiparando el
factor resultante de VF/Rp
En Valor Presente Neto
Del valor presente
i
mi
VPNRp
n)1(1
despejamos Rp
VPN
i
mi n
)1(1
y para calcular i equivalente, se hace al tanteo, equiparando el factor resultante de VPN/Rp
135
En ambos casos se sugiere tener elaborada una tabla proforma, con valores
de tasas que van de 1.5% a 9.5% (0.015 a 0.095)
n i
Factor
6 0.015 0.91454219 5.69718716
0.025 0.86229687 5.50812536
0.035 0.81350064 5.32855302
0.045 0.76789574 5.15787248
0.055 0.72524583 4.99553030
0.065 0.68533412 4.84101355
0.075 0.64796152 4.69384642
0.085 0.61294509 4.55358717
0.095 0.58011659 4.41982537
al tanteo 0.0499 0.74664195 5.07731567
3.5.4.3. Ejercicios
Resolvamos un ejercicio de Anualidad general: Consideramos el caso de una persona que vende calzado por catálogo y considerando sus ventas es acreedora a un incentivo bimestral de $250.00. A partir de estén premio decide aperturar una cuenta de ahorro la cual le ofrece una tasa de interés del 1.5% capitalizable mensualmente, con la salvedad que debe incrementar el saldo de la misma, con una cantidad similar al de apertura y con la frecuencia en que recibirá su incentivo. Además no podrá retirar de su saldo vigente, cantidad alguna al menos durante el primer año. Si dicha persona sigue al pie de la letra las instrucciones, ahora la pregunta es: ¿Cuánto acumulará la vendedora de calzado al cabo de 3 años siguiendo este esquema de ahorro? Utilizamos la fórmula del monto de un conjunto de abonos (cuotas uniformes):
mi
m
i
AM
n
1)1(
Posterior a ello, considerar los siguientes aspectos:
La n se manipula
como variable input
La Î se manipula
como variable input
Estos son los factores, el
cual se buscara equiparar
al resultado de VPN/Rp
mi
m
i n)1(1
136
a.- En primer término debemos identificar la tasa equivalente a la tasa capitalizable que ofrece la cuenta de ahorros. Si tenemos una tasa mensual de 1.5% mensual con capitalización igual, entonces debemos calcular una tasa bimestral que sea equivalente. b.- Determinar el número de depósitos que se realizarán en tres años. c.- Trazar una línea de tiempo para visualizar la frecuencia de los depósitos
Solución:
a.- Para determinar la tasa equivalente, tomamos la expresión 100*1)1( n
miTE
Como la tasa que se nos da, esta referenciada mensualmente, entonces ahora tenemos que la
tasa del 1.5% mensual, es equivalente a: 100*1)015.1( 2 TE bimestralTE _0225.3
De donde sale la tasa del 3.0225% bimestral:
Del factor de acumulación 2______)015.1()015.1()1( 2*22 esmúltiploeli n
Para nuestro ejemplo tendríamos que:
n])015.1[(250..............])015.1[(250])015.1[(250)015.1(250 232222
Entonces: 030225.1)015.1( 2 TE , es la tasa bimestral equivalente a la tasa
del 1.5% mensual
b.- Si son seis bimestres por año, entonces en tres años son 18 bimestres (6*3), lo que es
igual a 18 abonos o depósitos iguales en la cuenta de inversión o ahorro.
Cada depósito se multiplica por su factor de acumulación y se eleva a la potencia según el
tiempo acumulado, siendo al final del último depósito, el que no acumulará interés alguno,
ya que no devenga ningún interés. Si vemos la siguiente expresión, el primer depósito no
acumula interés, hasta que se realiza el siguiente depósito que acumula un bimestre de
intereses devengados y el segundo depósito ahora no genera interés alguno y así
sucesivamente. n242 )015.1(250...............)015.1(250)015.1(250250
c.- La línea de tiempo:
137
La solución entonces es:
mi
m
i
AM
n
1)1(
030225.0
1)030225.1(00.250
18 M
030225.0
1)70913954.1(00.250
M
030225.0
70913954.00.250M )4620195.23(00.250M 50.865,5$M
Este es el monto que acumulará la vendedora de calzado, al cabo de 3 años siguiendo el esquema de ahorro aquí descrito.
Si fuera el mismo caso, pero ahora el esquema cambia, los depósitos se realizan al inicio de cada período. Entonces debemos asumir que tiene un comportamiento de anualidad anticipada: La línea de tiempo se representa de la siguiente forma:
¿Cuánto ahorro?
1er Abono o depósito (Se deposita al final del bimestre 1)
1er abono
2º. Bimestre 4º.
7º. 5º. 3er. Bimestre
0
6º. 10º. 8º. Hasta el 18avo. Bimestre
9º. 11º.
¿Cuánto ahorro?
1er Abono o depósito (Se deposita al inicio de cada
bimestre. 1)
1er abono
2º. Bimestre 4º.
7º. 5º. 3er. Bimestre
0
6º. 10º. 8º. Hasta el 18avo. Bimestre
9º. 11º.
138
La solución es: De la fórmula del monto de una anualidad anticipada general sabemos que:
mi
m
i
m
iAM
n
1)1(
)1( 030225.0
1)030225.1()030225.1(00.250
18 M
030225.0
1)70913954.1()030225.1(00.250
M
030225.0
70913954.)030225.1(00.250M
)171159.24(00.250M 79.042,6$M Este es el monto que acumulará la vendedora de calzado, al cabo de 3 años siguiendo el esquema de ahorro con depósitos anticipados.
Cuando se tiene que tomar una decisión ante diferentes escenarios
Ejercicio: Supongamos que para cubrir el importe del seguro de su
flamante Mercedes, una
ejecutiva de importante empresa
refresquera, se encuentra ante la
disyuntiva siguiente:
a.- Pagar por adelantado el
seguro de su auto, esto es, de
contado debe cubrir la cantidad
de $17,430.00
b.- Tomar la opción de
liquidarlo en pagos vencidos
semestrales o trimestrales,
asumiendo un gravamen
financiero del 2.5% mensual
para el primer esquema y del
1.15% mensual para el otro esquema.
La pregunta es: ¿Cuándo debe pagar esta bella ejecutiva, en cada uno de los
escenarios planteados?
139
La solución es: De la fórmula del monto de una anualidad anticipada general sabemos que:
mi
)m
i(
)m
i(AM
n
11
1 Para conocer el valor de cada pago, ahora se
sustituye A (abono-anualidad) por Rp (pago periódico), y se modifica el
factor de
mi
)m
i( n
11 por
mi
)m
i( n
1
1, resultando:
mi
)m
i(
)m
i(RpM
n
111 esta es la expresión de inicio.
Para el desarrollo del ejercicio, primero tenemos que convertir las tasas de
referencia, en sus tasas equivalentes de acuerdo al período de capitalización:
Tasa de referencia Procedimiento Resultado: tasa equivalente
2.5% mensual para el plan
semestral
100*1)025.1( 6 TE
15.969%
1.15% mensual para el plan
trimestral
100*1)0115.1( 3 TE
3.4898%
Escenario b.- Pagos semestrales
15969.0
)15969.1(1)15969.1(00.430,17$
2 Rp
15969.0
)74356027.0(1)15969.1(00.430,17$
Rp
15969.0
25643973.0)15969.1(00.430,17$ Rp )6058253.1)(15969.1(00.430,17$ Rp
)86225.1(00.430,17$ Rp 862259541
0043017
.
.,Rp 59.359,9$Rp
Escenario b.- Pagos trimestrales
034898.0
)034898.1(1)034898.1(00.430,17$
4 Rp
034898.0
)087178584(.1)034898.1(00.430,17$
Rp
034898.0
12821416.0)034898.1(00.430,17$ Rp )67396878.3)(034898.1(00.430,17$ Rp
)8021829.3(00.430,17$ Rp80218293
0043017
.
.,Rp 21.584,4$Rp
140
Resumen:
Contado $17,430.00
Escenario b: 2 pagos semestrales
anticipados de $9,359.59
$18,719.18
Escenario b: 4 pagos trimestrales
anticipados de $4,584.21
$18,336.84
Si la ejecutiva invierte los $17,430.00 los primeros tres meses y luego a los 6
meses considerando una tasa intermedia del 1.5% mensual
niPS )1( 3)015.1(430,17S 17.226,18$)045678.1(17430 S
niPS )1( 6)015.1(430,17S 72.058,19$)093443.1(17430 S
Que le convendría a la ejecutiva: ¿Pagar de contado?, ¿invertirlo los primeros
3 o 6 meses?
Ejemplo:
El importe de lo que pagaría de contado en caso de que lo tuviera disponible,
invertido a 6 meses le podría generar un monto de:
$19,058.72
Escenario b: 2 pagos semestrales anticipados de $9,359.59
-$9,359.59
Le restan $9,699.13 Esa misma cantidad la invierte otros 6
meses y cubre el segundo pago y además le queda alguna utilidad.
6)015.1(13.699,9$S
$10,605.45
Diferencia superavitaria descontando el pago que falta cubrir
$906.32
Así pueden seguir los cálculos y tomar la mejor decisión, aunque debiera mejor vender ese carro………… no lo cree usted?
Ahora finalizaremos este tema, con la comprobación de la tasa. Para ello
utilizaremos los mismos datos
141
De la opción b: con el esquema de pagos semestrales el importe de cada pago es de $9,359.59 y un valor neto de $17,430.00 que representa el importe del seguro, la pregunta es ahora: ¿Qué tasa mensual le fue cargada en su adeudo?
De la fórmula del Monto
mi
m
i
m
iRpM
n
)1(1
)1( se transforma en VPN y
cambiamos la notación a:
mi
m
i
m
iRpVPN
n
)1(1
)1( entonces ahora tenemos
que VPN
mi
m
i
m
iRp
n
)1(1
)1( pasa dividiendo el pago periódico (Rp) al lado
derechoRp
VPN
mi
m
i
m
in
)1(1
)1(
59.359,900.430,17$
)1(1
)1(
mi
m
i
m
in
86226106.1
)1(1
)1(
mi
m
i
m
in
Ahora recurrimos a una tabla en Excel que previamente habremos diseñado,
para ensayar con diferentes valores:
n
6 0.01 0.98029605 1.970395059
0.02 0.96116878 1.941560938
0.03 0.94259591 1.913469696
0.04 0.92455621 1.886094675
0.05 0.90702948 1.859410431
0.06 0.88999644 1.833392666
0.07 0.87343873 1.808018168
0.08 0.85733882 1.783264746
0.09 0.84167999 1.759111186
al tanteo 0.0488800 0.90896758 1.862365485
La comprobación es ahora:
048999.1)1( 2
m
i Elevando ambos lados a 1/2 2/1)048999.1()1(
m
i
obtenemos: 1.025, que es lo mismo a 2.5%
NPV $17,430.00 1.862
R $ 9,359.59
TASA 1.862
0.0489
mi
m
i n)1(1
i
142
3.6. AMORTIZACIONES
3.6.1. CONCEPTOS BÁSICOS
En el ámbito de las finanzas y el comercio el concepto amortización está asociado a deuda, es decir, se refiere al pago gradual que se realiza para liquidar un adeudo proveniente generalmente de algún préstamo o crédito. En la actividad financiera es común que las empresas y las personas busquen financiamiento o crédito, sea para capitalizarse o para la adquisición de bienes (activos). El financiamiento o crédito adquirido debe reembolsarse en un plazo que previamente haya quedado establecido, sea en cuotas uniformes periódicas vencidas o anticipadas, o con cuotas que se incrementan de manera proporcional, en cantidad o de manera porcentual, aunque este tema lo analizaremos en el apartado de Gradientes (geométricos y aritméticos). 3.6.2. Procedimiento:
Para calcular el importe de las cuotas periódicas, debemos utilizar la fórmula del valor presente de un pago vencido (Rp)
mi
miRpNPV
n
/
)/1(1 Para conocer el valor de Rp el valor de la deuda
pasa dividiendo al factor resultante de mi
mi n
/
)/1(1 por lo que la expresión
ahora es:
mi
mi
NPVRp
n
/
)/1(1
Recordemos que la expresión i/m la utilizamos para el caso en que se tenga que calcular la tasa que habrá de capitalizarse, esto es, cuando se tiene una tasa nominal (anual) del 12% y su capitalización es mensual, entonces se debe tomar (12/12).
143
3.6.3. Ejercicio: Supongamos los siguientes datos: Se adeudan $250,000.00, los cuales serán liquidados en 10 pagos iguales vencidos, considerando una tasa nominal del 12%.
De la fórmula mi
miRpNPV
n
/
)/1(1 tenemos que
mi
mi
NPVRp
n
/
)/1(1
Donde: NPV = Valor presente de la deuda Rp= el pago periódico i = la tasa de interés m = la capitalización -n= el tiempo o número de pagos
Entonces:
12/12.
)12/12.1(1
000,25010
Rp
01.
)01.1(1
000,25010
Rp
01.
)90528695.0(1
000,250
Rp
47130453.9
000,250Rp 52.395,26$Rp
Se diseña una tabla de amortización:
TABLA DE AMORTIZACIÓN
TOTALES $263,955.19 $250,000.00 $13,955.19 $1,145,519.14
n: PAGO MENSUAL Pago a capital
Pago de intereses
Capital restante
Pago para liquidar
1 $26,395.52 $23,895.52 $2,500.00 $226,104.48 $252,500.00
2 $26,395.52 $24,134.47 $2,261.04 $201,970.01 $228,365.53
3 $26,395.52 $24,375.82 $2,019.70 $177,594.19 $203,989.71
4 $26,395.52 $24,619.58 $1,775.94 $152,974.61 $179,370.13
5 $26,395.52 $24,865.77 $1,529.75 $128,108.84 $154,504.36
6 $26,395.52 $25,114.43 $1,281.09 $102,994.41 $129,389.93
7 $26,395.52 $25,365.58 $1,029.94 $77,628.83 $104,024.35
8 $26,395.52 $25,619.23 $776.29 $52,009.60 $78,405.12
9 $26,395.52 $25,875.42 $520.10 $26,134.18 $52,529.70
10 $26,395.52 $26,134.18 $261.34 $0.00 $26,395.52
144
También puede ser representado de la siguiente forma:
no. pago interés amortización saldo (deuda)
IVA de
intereses
$ 250,000.00 15%
1 $26,395.52 $2,500.00 $23,895.52 $226,104.48 $375.00
2 $26,395.52 $2,261.04 $24,134.47 $201,970.01 $339.16
3 $26,395.52 $2,019.70 $24,375.82 $177,594.19 $302.96
4 $26,395.52 $1,775.94 $24,619.58 $152,974.61 $266.39
5 $26,395.52 $1,529.75 $24,865.77 $128,108.84 $229.46
6 $26,395.52 $1,281.09 $25,114.43 $102,994.41 $192.16
7 $26,395.52 $1,029.94 $25,365.58 $77,628.83 $154.49
8 $26,395.52 $776.29 $25,619.23 $52,009.60 $116.44
9 $26,395.52 $520.10 $25,875.42 $26,134.18 $78.01
10 $26,395.52 $261.34 $26,134.18 $0.00 $39.20
Ahora supongamos que el arreglo entre deudor y acreedor cambia de términos. El acreedor decide que deben ser pagos iguales de $45,000.00 por lo que ahora la pregunta es: ¿Cuántos pagos se deben hacer?, y ¿cuál es el importe del último pago, cuya diferencia sería el saldo final previo a liquidar el adeudo?
De la fórmula mi
miRpNPV
n
/
)/1(1 tenemos que n
mi
Rp
miNPV
)1(1*
Sus valores son: n).(.,
.*.,
121211
0000045
121200000250
Para despejar “–n” traemos el factor
de acumulación:
Rp
miNPV
mi n
*1)1( esto es
00.000,45
1212.*00.000,250
1)12
12.1( n
Así obtenemos )*
1())1((
Rp
miNPV
Logm
iLog n que es lo mismo que:
)00.000,45
1212.*00.000,250
1())12
12.1((
LogLog n Despejar –n:
)1(
))*
(1(
miLog
Rp
miNPV
Log
n
10 pagos de $26,395.52
Monto total $263,955.19
Capital total $250,000.00
Interés total $13,955.19
IVA TOTAL $2,093.28
145
)12
12.1(
)00.000,45
)12
12.*00.000,250(1(
Log
Log
n)01.1(
)05555556.01(
Log
Logn
)01.1(
)05555556.01(
Log
Logn
01.1
9444444.0
Log
Logn
00432137.0
0248236.0 n 74437792.5 n
El valor presente de los pagos sería entonces:
41.404,218$12/12.
)12/12.1(100.000,45$
5
NPV Para conocer el valor del sexto pago tenemos
6)01.1(41.404,218$00.000,250$
x
Despejar “x” de 6)01.1(41.404,218$00.000,250$
x
Ahora tenemos: )41.404,218$00.000,250($*)01.1( 6 x
)59.595,31($*)06152015.1(x 36.539,33$x
El resultado es: 5 pagos de $45,000.00 y 1 de $33,539.36
Veamos otro ejercicio:
Veamos el caso de una empresa que adquiere una camioneta de reparto por un valor de $180,000.00 y acuerda con el distribuidor pagar en seis abonos mensuales iguales, el primero de ellos con vencimiento un mes después de la firma del convenio de compraventa. Cuál es el importe de cada uno de los pagos si la tasa de interés que cobra el distribuidor es del 2% mensual. (24% nominal)
Primer paso: Sabemos que el monto de los pagos se determina empleando la fórmula del valor presente de una anualidad ordinaria, entonces tenemos que:
146
De la fórmula mi
miRpNPV
n
/
)/1(1 tenemos que
mi
mi
NPVRp
n
/
)/1(1
1224
12241100000180
6
/.
)/.(Rp.,
02
0211
000001806
.
).(
.,Rp
601430895
00000180
.
.,Rp
$32,134.65Rp
Comprobación por tabla de amortización
Tabla de Amortización Simulada
Cantidad del Préstamo $180,000.00 Período 6 meses
Tasa de Interés 24% Pago Mensual $32,134.65
Mes Pago Interés Amortización Saldo
1 $32,134.65 $3,600.00 $28,534.65 $151,465.35
2 $32,134.65 $3,029.31 $29,105.34 $122,360.01
3 $32,134.65 $2,447.20 $29,687.45 $92,672.56
4 $32,134.65 $1,853.45 $30,281.20 $62,391.36
5 $32,134.65 $1,247.83 $30,886.82 $31,504.54
6 $32,134.65 $630.09 $31,504.54 $0.00
Total de Intereses $12,807.88
Ahora deseamos conocer el importe del saldo insoluto al finalizar el mes m La fórmula aplicable es:
mim
i
Rpm
iVPNIS
n
n
do
1)1(
)1(
Con los datos del ejercicio anterior, resolver lo siguiente:
147
Cuál es el saldo insoluto al finalizar el mes 4, de una deuda por $180,000.00
la cual venía siendo liquidada con pagos parciales de $32,134.65
1224.
1)12
24.1(
65.134,32$)12
24.1(00.000,180$ 4
n
doIS
02.
1)02.1(65.134,32$)02.1(00.000,180$
44 ISdo
02.
1)08243216.1(65.134,32$)08243216.1(00.000,180$
ISdo
)121608.4(65.134,32$)08243216.1(00.000,180$ ISdo
43.446,132$79.837,194$ ISdo
36.391,62$ISdo
Como se puede observar, el saldo de $62,391.36 que muestra la tabla de amortización al final del mes 4, coincide con el resultado de la fórmula. Para practicar: Puede acceder al siguiente link para trabajar en línea simulando con algunos ejercicios
http://www.solucion.com/loancalculator1.asp
148
3.7. FONDOS DE AMORTIZACIONES
3.7.1. CONCEPTOS BÁSICOS
Habiendo estudiado las amortizaciones en el punto anterior, ahora presentamos el modelo matemático para constituir un “Fondo de Amortización”. Señalábamos que las amortizaciones son utilizadas en el ámbito de las finanzas y el comercio para calcular el pago gradual de una deuda, ya que sabemos que en la actividad financiera es común que las empresas y las personas busquen financiamiento o crédito, sea para capitalizarse o para la adquisición de bienes (activos). Ahora el punto podría ser a la inversa, es decir, cuando tenemos una obligación en el corto o largo plazo, podemos empezar ahorrando gradualmente hasta reunir el importe deseado, claro está, con sus respectivos rendimientos. Es aquí cuando la figura del “Fondo de Amortización” se hace necesaria. 3.7.2. Procedimiento:
Para calcular el monto que se desea obtener en el tiempo”n” a una tasa “i” es necesario conocer el importe de los depósitos o abonos periódicos, por lo que debemos utilizar la fórmula del monto de la anualidad ordinaria si los depósitos los hacemos al final de mes:
Su monto: mi
m
i
RpVF
n
/
1)1(
ó mi
m
i
AM
n
/
1)1(
En su caso si los depósitos se hacen a principio de mes, se utiliza la fórmula del monto de la anualidad anticipada:
Su monto: mi
m
i
miRpVF
n
/
1)1(
)1(
ó mi
m
i
miAM
n
/
1)1(
)1(
Recordemos que la expresión i/m la utilizamos para el caso en que se tenga que calcular la tasa que habrá de capitalizarse, esto es, cuando se tiene una tasa nominal (anual) del 12% y su capitalización es mensual, entonces se debe tomar (12/12).
149
3.7.3. Ejercicio: Supongamos los siguientes datos: La empresa AGSSA tendrá que realizar un pago por $527,500.00 el día 31 de diciembre del 2011 por concepto de liquidación de pasivos contraídos previamente, y será en una sola exhibición. Tal monto ya incluye el cargo financiero que acordaron por el financiamiento de las mercancías. Para ello la empresa toma la decisión de establecer un fondo de ahorro mensual a finales del mes de Marzo del 2010, a efecto de poder acumular la cantidad señalada. De las opciones de tasa de rendimiento que le han ofrecido, destaca la del 9% nominal capitalizable mensualmente, por lo que ahora la pregunta pertinente es: ¿Qué cantidad debe depositar a fin de mes para acumular el monto deseado?
De la fórmula de la anualidad ordinaria tenemos que: mi
m
i
AM
n
/
1)1(
Donde: M = Monto deseado i = la tasa de interés nominal m = la capitalización n= el tiempo o número de depósitos
A= el abono o deposito mensual
mi
mi
MA
n
/
1)/1(
Se despeja A: para conocer el
importe de cada depósito
Resolvemos con la fórmula
12/09.
1)12/09.1(
00.500,527$22
A
0075.
1)0075.1(
00.500,527$22
A
0075.
1)17866722.1(
00.500,527$
A
0075.
)17866722(.
00.500,527$A
8222961.23
00.500,527$A 12.143,22$A Este es el importe de cada depósito
150
Solución utilizando un simulador en Excel
FONDO DE AMORTIZACIÓN
M $527,500.00 A $22,143.12 Tasa
i/m 9.00% Anual n 22
mi
m
i
AM
n
/
1)1(
despeje A
mi
mi
MA
n
/
1)/1(
FONDO DE AMORTIZACIÓN TOTALES $487,148.68 $40,351.32 $527,500.00
Período Abono periódico
Interés generado
Saldo
1 $22,143.12 $0.00 $22,143.12
2 $22,143.12 $166.07 $44,452.32
3 $22,143.12 $333.39 $66,928.83
4 $22,143.12 $501.97 $89,573.92
5 $22,143.12 $671.80 $112,388.84
6 $22,143.12 $842.92 $135,374.88
7 $22,143.12 $1,015.31 $158,533.32
8 $22,143.12 $1,189.00 $181,865.44
9 $22,143.12 $1,363.99 $205,372.55
10 $22,143.12 $1,540.29 $229,055.97
11 $22,143.12 $1,717.92 $252,917.01
12 $22,143.12 $1,896.88 $276,957.01
13 $22,143.12 $2,077.18 $301,177.30
14 $22,143.12 $2,258.83 $325,579.26
15 $22,143.12 $2,441.84 $350,164.22
16 $22,143.12 $2,626.23 $374,933.58
17 $22,143.12 $2,812.00 $399,888.70
18 $22,143.12 $2,999.17 $425,030.99
19 $22,143.12 $3,187.73 $450,361.84
20 $22,143.12 $3,377.71 $475,882.67
21 $22,143.12 $3,569.12 $501,594.92
22 $22,143.12 $3,761.96 $527,500.00
151
Ahora resolvamos el ejercicio considerando los mismos datos, sólo que los depósitos se hacen al principio de cada mes:
De la fórmula de la anualidad anticipada: mi
m
i
miAM
n
/
1)1(
)1(
despejamos A y obtenemos:
mi
mimi
MA
n
/
1)/1()/1(
Se resuelve: 12/09.
1)12/09.1()12/09.1(
00.500,527$22
A
0075.
1)0075.1()0075.1(
00.500,527$22
A
0075.
1)0075.1()0075.1(
00.500,527$22
A
0075.
1)17866722.1()0075.1(
00.500,527$
A
0075.
)17866722(.)0075.1(
00.500,527$A
)8222961.23)(0075.1(
00.500,527$A
)8222961.23)(0075.1(
00.500,527$A
)0009633.24(
00.500,527$A
28.978,21$A Este es el importe de cada depósito
Solución utilizando un simulador en Excel
FONDO DE AMORTIZACIÓN
M $527,500.00 A $21,978.29 Tasa
i/m 9.00% Anual n 22
mi
m
i
miAM
n
/
1)1(
)/1(
despeje A
mi
mimi
MA
n
/
1)/1()/1(
-
152
FONDO DE AMORTIZACIÓN
TOTALES $483,522.38 $ 43,977.75 $ 527,500.13 Período Abono periódico Interés Saldo
1 $21,978.29 164.84 $22,143.13
2 $21,978.29 $330.91 $44,452.33
3 $21,978.29 $498.23 $66,928.85
4 $21,978.29 $666.80 $89,573.94
5 $21,978.29 $836.64 $112,388.87
6 $21,978.29 $1,007.75 $135,374.92
7 $21,978.29 $1,180.15 $158,533.36
8 $21,978.29 $1,353.84 $181,865.48
9 $21,978.29 $1,528.83 $205,372.60
10 $21,978.29 $1,705.13 $229,056.02
11 $21,978.29 $1,882.76 $252,917.07
12 $21,978.29 $2,061.72 $276,957.08
13 $21,978.29 $2,242.02 $301,177.38
14 $21,978.29 $2,423.67 $325,579.34
15 $21,978.29 $2,606.68 $350,164.31
16 $21,978.29 $2,791.07 $374,933.67
17 $21,978.29 $2,976.84 $399,888.80
18 $21,978.29 $3,164.00 $425,031.09
19 $21,978.29 $3,352.57 $450,361.95
20 $21,978.29 $3,542.55 $475,882.79
21 $21,978.29 $3,733.96 $501,595.04
22 $21,978.29 $3,926.80 $527,500.13
Ejercicios para resolver:
Redacte al menos 5 casos para cada uno de estos
temas, considerando diferentes tasas y capitalizaciones,
tiempos e importes deseados.
Resuélvalos………..
153
3.8. GRADIENTES Siguiendo el tema de Anualidades, se abre este otro tema denominado Gradientes, de cuya definición podemos partir:
Definición: Se refiere a una serie abonos o pagos que aumentan o disminuyen (en $ ó %), sea para liquidar una deuda o en su defecto para acumular un determinado fondo de ahorro que puede ser a corto, mediano o largo plazo, incluso a perpetuidad.
Para clarificar mejor aún el concepto, visualicemos un ejemplo con los flujos de efectivo que genera un proyecto de inversión: por su misma naturaleza éstos tienden a aumentar en cantidad o en porcentaje constante cada período.
Del gradiente que aumenta un porcentaje, tenemos el caso de los flujos de efectivo que crecen o disminuyen en determinado porcentaje por el efecto de la inflación constante por período.
En ingeniería financiera o ingeniería económica se le conoce con el nombre de “Gradiente”.
De tal forma que también podemos identificarla como la renta variable, y cuyo intervalo de pagos distintos se hace en intervalo de pagos iguales.
154
LA CLASIFICACIÓN DE ESTE TIPO DE RENTAS PERIÓDICAS VARIABLES ES:
Anualidad ó Rentas periódica con gradiente aritmético: La cuota periódica varía en progresión aritmética (A+ ga ó Rp + Ga).
Anualidad ó Rentas periódica con gradiente geométrico: La cuota periódica varía en progresión geométrica (A* ga ó Rp * Gg).
Las características de este tipo de anualidades con gradientes aritméticos y geométricos son:
Los pagos o abonos distintos se realizan al final de cada intervalo de pago (aunque puede ser anticipado o prepagable).
Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio y término del plazo de la anualidad o renta periódica
Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago El plazo inicia con la firma del convenio
3.8.1. Variables que se utilizan en este apartado:
Mga ó VFga: Valor Futuro o Monto de una serie de cuotas con
gradiente: aritmético o geométrico (de la suma de unos pagos o abonos) A ó Rp: Anualidad o Renta periódica (cuota uniforme o
anualidad) VAga: Valor actual del conjunto de rentas periódicas
i: Tasa de Interés nominal (la tasa que integra el factor de
acumulación o descuento 1+i) m: Capitalización (por su tipo de capitalización, mensual,
bimestral etc., la tasa se divide entre el tipo de capitalización: ejemplo de ello si tenemos una tasa nominal del 12% capitalizable mensualmente = (12%/12) n: Tiempo Ga= Es el gradiente aritmético Gg= Es el gradiente geométrico Rp1= Anualidad o Renta periódica número 1
ACLARACIÓN: Para no generar confusión en lo referente a la tasa, la representación i/m, se
refiere a la tasa nominal que se divide entre el número de meses dependiendo la capitalización.
Ejemplo si nos dan una tasa del 12% nominal capitalizable mensualmente, sabemos que debemos
dividir 12/12=1% POR LO ANTERIOR El lector podrá encontrar indistintamente la tasa en su
forma i ó en su forma i/m.
155
3.8.2. GRADIENTES ARITMÉTICOS De manera particular el gradiente aritmético (Ga) o uniforme es una serie de cuotas periódicas ó flujos de caja que aumenta o disminuye de manera uniforme. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en la misma cantidad entre cada período. A esto se le llama gradiente aritmético.
La notación para la serie uniforme de cuotas:
El gradiente (Ga) es una cantidad que aumenta o disminuye (puede ser positivo o negativo).
Rp: es la cuota periódica 1.
La representación i/m, se refiere a la tasa nominal que se divide entre el número de meses dependiendo la capitalización.
n: tiempo (número de cuotas periódicas)
Las fórmulas generalmente utilizadas para las anualidades con gradiente aritmético vencidos o pospagables son:
Para conocer el Valor Actual se tiene la siguiente fórmula:
na
n
a
1 )m
i(1
mi
g*n
mi
1)m
i(1
mi
gRp VA
Para conocer el valor futuro tenemos que:
mi
g*n
mi
1)m
i(1)
mi
g(RpM a
n
a1ga
156
Ejemplo: Cuando se desea conocer el monto de una serie de abonos o rentas vencidas que crecen ga = $500.00 entonces podemos señalar que las cuotas periódicas de una renta variable vencida con gradiente aritmético crecen $500.00 con respecto a la cuota anterior. Como se visualiza en una línea de tiempo si fueran 10 cuotas
Supongamos el ejercicio anterior con los siguientes datos:
Se desea conocer el importe total de las 10 cuotas vencidas, las que crecen en forma aritmética a razón de Ga=500.00 con una tasa nominal del 20% capitalizable mensualmente.
Rp1 = $1000.00 Ga = $500.00 n = 10 i/m = .20/12 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año)
De la forma tradicional del valor futuro de un monto compuesto se sabe que: n
miPM )1(1 y si tenemos más cuotas, la expresión ahora es:
n)m
i(12
Pn)m
i(1PM1
y así sucesivamente formando una progresión.
Para el ejemplo anterior tenemos:
00.5500.........)12/20.1(00.1500)12/20.1(00.1000 89M
00.5500.........)01666667.1(00.1500)01666667.1(00.1000 89M
08.314,34$M
Monto del conjunto
Anualidad
vencida
1000 1500 2000 2500 3000 3500……..sucesivamente hasta 5500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
157
En Excel podría ser relativamente fácil solucionarlo
Rp i/m n
$ 1,000.00 0.01666667 9 $ 1,160.40
$ 1,500.00 0.01666667 8 $ 1,712.06
$ 2,000.00 0.01666667 7 $ 2,245.33
$ 2,500.00 0.01666667 6 $ 2,760.65
$ 3,000.00 0.01666667 5 $ 3,258.47
$ 3,500.00 0.01666667 4 $ 3,739.23
$ 4,000.00 0.01666667 3 $ 4,203.35
$ 4,500.00 0.01666667 2 $ 4,651.25
$ 5,000.00 0.01666667 1 $ 5,083.33
$ 5,500.00 0.01666667 0 $ 5,500.00
$ 34,314.08
Con la fórmula del Monto de un conjunto de rentas
variables vencidas con gradiente aritmético se resuelve con
la siguiente fórmula:
mi
g*n
mi
1)m
i(1)
mi
g(RpM a
n
a1ga
Así tenemos:
1220.
00.50010
1220.
1220.
1220.
00.50000.000,1$
10
*1)(1)(M
ga
01666667.0
00.50010
01666667.0
01666667.0
01666667.0
00.50000.000,1$
10*1)(1
)(M
ga
99.29999901666667.0
179738793.99.2999900.000,1$
1)(1)(Mga
99.999,299$7843254.1099.30999$ )(Mga
07.313,34$gaM La diferencia es por el manejo de los dígitos
El resultado coincide con el cálculo en Excel
158
AHORA PARA CALCULAR EL VALOR ACTUAL DEL CONJUNTO DE RENTAS PERIÓDICAS CON GRADIENTE ARITMÉTICO:
DE LA FÓRMULA DE VALOR PRESENTE n
mi
MVP
)1( Por lo que
para calcular el valor actual del conjunto de rentas periódicas con gradiente
aritmético sería: 31.085,29$ )
12.20(1
$34,313.07
)(1
M VA
10n
ga
ga
mi
$29,086.17 )1(
5500
)1(
5000
)1(
4500
)1(
4000
)1(
3500
)1(
3000
)1(
2500
i)(1
2000
i)(1
1500
i1
1000 VA
ca___analítide___forma
1098765432
iiiiiii
En Excel:
Rp i/m n
$1,000.00 0.01666667 1 $983.61
$1,500.00 0.01666667 2 $1,451.22
$2,000.00 0.01666667 3 $1,903.24
$2,500.00 0.01666667 4 $2,340.05
$3,000.00 0.01666667 5 $2,762.03
$3,500.00 0.01666667 6 $3,169.54
$4,000.00 0.01666667 7 $3,562.95
$4,500.00 0.01666667 8 $3,942.61
$5,000.00 0.01666667 9 $4,308.86
$5,500.00 0.01666667 10 $4,662.05
$29,086.17
Utilizando la fórmula del Valor Actual presente del conjunto de rentas periódicas
vencidas con gradiente aritmético A, tenemos que:
na
n
a1ga )
mi(1
mi
g*n
mi
1)m
i(1
mi
gRp VA
159
Resolvemos:
10
10
1220.
1220.
00.50010
1220.
1220.
1220.
00.50000.1000V
)(1
*
1)(1 Aga
1010
01666667.01666667.0
00.50010
01666667.0
01666667.
01666667.0
00.50000.1000V
)(1
*
1)(1 A ga
)( 1)(1
A 84764526.094.999,299$01666667.0
17973879.94.999,30$V
ga
)( A 84764526.094.999,299$7843252.1094.999,30$V ga
)( A 84764526.049.313,34$V ga 67.085,29$V gaA
Resuelva los siguientes ejercicios: 1.- Calcular el monto de una serie de cuotas periódicas mensuales vencidas, en donde la primera renta es de $750.00 y las subsecuentes se incrementan 150.00 cada una de ellas. Considere la tasa del 22% nominal anual capitalizable mensualmente. 2.- Para liquidar una deuda con un proveedor, se acordó liquidar en cuotas trimestrales vencidas durante 3 años, siendo la primera cuota de 15,000.00 y se incrementará 2,500.00 las subsecuentes cuotas vencidas. Para ello se acordó un interés nominal del 25% capitalizable trimestralmente. Por lo que la pregunta es: ¿Cuál es el valor del adeudo?
Ejercicios para resolver:
Redacte al menos 5 casos de rentas periódicas vencidas con gradiente
aritmético, considerando diferentes tasas y capitalizaciones.
Resuélvalos………..
160
3.8.3. GRADIENTES GEOMÉTRICOS
La otra modalidad de gradiente, es precisamente el gradiente geométrico (Gg) o serie de cuotas (rentas) periódicas ó flujos de caja que aumenta o disminuye en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago, en vez de aumentos constantes de dinero. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en el mismo porcentaje entre cada período. A esto se le llama gradiente geométrico.
La notación que utilizaremos:
El gradiente (Gg) es el porcentaje que aumenta o disminuye cada cuota (puede ser positivo o negativo).
Rp1: es la cuota periódica 1.
La representación i/m, se refiere a la tasa nominal capitalizable y la frecuencia de los pagos.
n: tiempo-plazo en años (número de cuotas periódicas)
Para conocer el valor actual y valor futuro, las fórmulas a utilizar son distintas dependiendo si la razón de la progresión (Gg) coincide con el factor (1+i/m)
mi1
nR A )
mi(1nRMg Gg)
mi (1 S i
Gg)-m
i(1)m
i(1
Gg)m
i(1R A ,
Gg-m
i
Gg)(1)m
i(1 R Mg :Gg )
mi(1 S i
1-1n
1g
n
nn
1
nn
1g
)(
Ejemplo: Supongamos que se desea conocer el monto acumulado de un fondo de inversión constituido por 10 depósitos mensuales que crecen a una tasa del Gg: 5.5% siendo el importe del primer depósito $1,000.00.
161
¿Cómo se visualiza en una línea de tiempo si fueran 10 cuotas depositadas a inicio de
mes?
Cuotas anticipadas (prepagables) con Gg:
Otros autores (Villalobos, 2001) sugieren TG: como el gradiente geométrico
Monto del conjunto de
los depósitos del fondo
de ahorro
Depósitos
a inicio de
mes
1000(1+i/m)1 + 1055(1+i/m)
2 + 1113.03(1+i/m)
3 + 1174.24(1+i/m)
4 + …… 1619.09(1+i/m)
n
1 2 3 4 5 6 7 …………… 10
162
De la fórmula: , Gg-
mi
nGg)(1
n)
mi(1
)m
i(11
Rp g
Mg :Gg )m
i(1 Si
Donde: Rp1 = $1000.00 Gg = 5.5% n = número de cuotas 10 i/m = .20/12 =0.01666667 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año)
.-
).().(1 ).(1
1.,
gMg
055012
20
10055011012
20
1220000001
.-.
).().(1 ).(1
1.,
gMg
055001666667
1005501100166666701666667000001
.-.
.).(1 ).(1
1.,
gMg
0550016666670
7081444611797387901666667000001
.
. ).(1
1.,
gMg
038333330
52840567001666667000001
. ).(11
., g
Mg 78449691301666667000001
).(1
., g
Mg 014238614000001
24.014,14$g
Mg
En Excel podría ser relativamente fácil solucionarlo
Anticipados
Rp i/m n
$1,000.00 0.01666667 10 $1,179.74
$1,055.00 0.01666667 9 $1,224.22
$1,113.03 0.01666667 8 $1,270.38
$1,174.24 0.01666667 7 $1,318.28
$1,238.82 0.01666667 6 $1,367.99
$1,306.96 0.01666667 5 $1,419.56
$1,378.84 0.01666667 4 $1,473.09
$1,454.68 0.01666667 3 $1,528.63
$1,534.69 0.01666667 2 $1,586.27
$1,619.09 0.01666667 1 $1,646.08
$12,875.35 $14,014.24
163
Si fueran cuotas pospagables (vencidas) con
Gg:
De la fórmula: , Gg-
mi
nGg)(1
n)
mi(1
)m
i(11
Rp g
Mg :Gg )m
i(1 Si
Se modifica
, Gg-
mi
nGg)(1
n)
mi(1
1Rp
gMg :Gg )
mi(1 Si
Mismos datos:
Rp1 = $1,000.00 Gg = 5.5% n = número de cuotas 10 i/m = .20/12 =0.01666667 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año)
Monto del conjunto de
cuotas pospagables
Cuotas
pospagables
1000(1+i/m) + 1055(1+i/m)1 + 1113.03(1+i/m)
2 + 1174.24(1+i/m)
3 + …… 1619.09(1+i/m)
n
0 … 1 2 3 4 5 6 7 …………… 10
164
.-
).().(1*
1.,
gMg
055012
20
10055011012
20
000001
.-.
).().(1 *
1.,
gMg
055001666667
10055011001666667000001
.-.
.).(1 *
1.,
gMg
0550016666670
70814446117973879000001
.
.*.,
gMg
038333330
528405670000001
.., g
Mg 784496913000001
50.784,13$g
Mg
En Excel:
Vencidos
Rp i/m n
$1,000.00 0.01666667 9 $1,160.40
$1,055.00 0.01666667 8 $1,204.15
$1,113.03 0.01666667 7 $1,249.55
$1,174.24 0.01666667 6 $1,296.67
$1,238.82 0.01666667 5 $1,345.56
$1,306.96 0.01666667 4 $1,396.29
$1,378.84 0.01666667 3 $1,448.94
$1,454.68 0.01666667 2 $1,503.57
$1,534.69 0.01666667 1 $1,560.26
$1,619.09 0.01666667 0 $1,619.09
$12,875.35 $13,784.50
165
Ejercicio de Valor Actual de Rp:
Para obtener un monto de $14,014.24, ¿cuál debe ser el importe de la primera de 10
cuotas periódicas (n=10) que aumentan en forma creciente en un 5.5 % y con una tasa
de interés del 20% nominal capitalizable mensualmente?: Resuélvalo en su formato
de cuotas prepagables y pospagables
, Gg-
mi
nGg)(1
n)
mi(1
)m
i(11
Rp g
Mg :Gg )m
i(1 Si
Prepagables (anticipadas)
-
)(1 )(1
1
055.012
20
10)055.01(1012
20.
1220.24.014,14$ Rp
-
)(1 )(1
1
055.001666667.
10)055.01(1001666667.01666667.24.014,14$ Rp
-
)(1 )(1
1
055.001666667.0
70814446.117973879.01666667.24.014,14$ Rp
)(11
03833333.0
52840567.001666667.24.014,14$ Rp
)(11
7844969.1301666667.24.014,14$ Rp
.
.,$ gRp
014238614
24014141
00.000,1$1Rp
Mismo caso, pero ahora si fueran cuotas pospagables (vencidas)
Para obtener un monto de $13,784.50, ¿cuál debe ser el importe de la primera de 10
cuotas periódicas (n=10) que aumentan en forma creciente en un 5.5 % y con una tasa
de interés del 20% nominal capitalizable mensualmente?:
-
)(1
1
055.012
20
10)055.01(1012
20.
*50.784,13$ Rp -
)(1
1
055.001666667.0
70814446.117973879.*50.784,13$ Rp
7844969.1350.784,13$ Rp 7844969.13
50.784,13$1Rp 00.000,1$
1Rp
166
Si deseamos conocer ahora el plazo, tenemos que despejarlo de la fórmula del monto de una serie de cuotas con gradiente geométrico prepagables:
0)Gm
i(*)
mi(1Rp
Mg)
mi(1)G(1
te_la_siguienatisfacer_iene_que_sAhora_se_t
_izquierdamando_a_late_pasa_suEl_gradien
)G(1)m
i(1)Gm
i(*)
mi(1Rp
Mg
:Se_obtiene
izquierdaando_a_la__multiplicrecho_pasaonjunto_deador_del_cEl_denomin
Gm
i
)G(1)m
i(1
)m
i(1Rp
Mg
entonces
, Gg-
mi
nGg)(1n)m
i(1 )
mi(1
1Rp
gMg :Gg )
mi(1 Si
g
1
gxx
g
x
g
x
g
1
g
g
x
g
x
1
g
ecuación
Desarrollemos un ejercicio con los mismos datos que hemos venido utilizando
en este tema:
Mgg = $14,014.24 Rp1 = $1,000.00 Gg = 5.5% n = número de cuotas “x” i/m = .20/12 =0.01666667 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año)
De la fórmula:
0)Gm
i(*)
mi(1Rp
Mg)
mi(1)G(1 g
1
gxx
g
167
Se tiene que satisfacer la siguiente ecuación:
0)(*)(1
)(1)(1xx
055.0
1220.
1220.00.000,1
24.014,14
1220.055.
A prueba y error utilizamos para “x”= 9, 11 respectivamente y obtenemos:
0697085.0528403993.0)160398809.1()619094273.1(
03833333.0(*7844532.1301666667.055. 99
0))(1)(1
0742873.0528403993.0)19940111.1()802092404.1(
03833333.0(*7844532.1301666667.055. 1111
0))(1)(1
Los resultados sugieren que entre 9 y 11 puede estar el plazo, por lo que
diseñamos en Excel una herramienta para simular con varias opciones de “x”:
DATOS:
Mgg: 14014.24
Rp1: 1000
i/m: .20/12
x:
Gg: 5.50%
Prueba y error
x: 9.997
Desarrollo de la fórmula en Excel
(Mgg/(Rp1*1+i/m) ((i/m)-Gg)) (Mgg/(Rp1*1+i/m)* ((i/m)-Gg))
13.7844532 -0.03833333 -0.528403993
(1+i/m) n
1.01666667 9.997 1.179680294
1.055 9.997 1.707870114 0.00021417
El valor de n=9.997, que redondeado al número entero es 10
0)Gm
i(*)
mi(1Rp
Mg)
mi(1)G(1 g
1
gxx
g
168
000001672.0528403993.0)179738793.1()708144458.1(
03833333.0(*7844532.1301666667.055. 1010
0))(1)(1
El resultado es concordante con el ejercicio en donde se calculó el monto
Donde:
Rp1 = $1,000.00 Gg = 5.5% n = número de cuotas 10 i/m = .20/12 =0.01666667 (tasa de interés nominal capitalizable en m períodos por año)
-
)(1 )(1
1
gMg
055.012
20
10)055.01(1012
20.
1220.00.1000
-
)(1 )(1
1
gMg
055.001666667.
10)055.01(1001666667.01666667.00.1000
-
)(1 )(1
1
gMg
055.001666667.0
70814446.117973879.01666667.00.1000
)(11
g
Mg
03833333.0
52840567.001666667.00.1000
)(11
g
Mg 7844969.1301666667.00.1000
(1
g
Mg )0142386.1400.1000
24.014,14$g
Mg Este resultado es su comprobación
169
3.8.4. GRADIENTE ARITMÉTICO-GEOMÉTRICO
¿Cómo poder mezclar el gradiente aritmético y geométrico en el desarrollo de un caso?:
Supongamos que para construir la Escuela de Medicina, la Universidad Cristóbal Colón se ha propuesto constituir un fondo con 10 depósitos mensuales con aumentos crecientes de $350,000.00 cada una de las cuotas. La tasa de interés que le ofrecen es del 25% con capitalización mensual y el importe del primer depósito ascendió a $3’500,000.00. La pregunta es: ¿Cuánto acumulará al final de la última cuota? El monto acumulado de esta serie aritmética y geométrica esta dado por la siguiente expresión:
)MGMA( )m
i(1 ga
Mg gant
Donde:
mi
)m
i(
AMA
n
ant
11
1
y
2
11
mi
))i*n()m
i(GMG
n
gg
Se fusionan las expresiones MAant y MGg obteniendo la siguiente fórmula:
mi
1)i*n()m
i(1(G)
mi
1)m
i(1A()
mi(1 gΜ
n
g
n
ag
21
Su nomenclatura:
Mgag = El monto acumulado del gradiente aritmético-geométrico
MAant = El monto acumulado de la anualidad anticipada
MGg = El monto acumulado de la anualidad anticipada
A1: la primera cuota
n: el número de cuotas
i: es la tasa nominal (normalmente es anual)
i/m: La tasa capitalizable
Gg: El gradiente geométrico
170
La solución entonces es ahora:
Los Datos son:
Mgag = El monto acumulado del gradiente aritmético-geométrico
MAant = El monto acumulado de la anualidad anticipada
Rp1: la primera cuota
n: el número de cuotas
i/m: La tasa capitalizable
Gg: El gradiente geométrico
.
1).*/().(1(.)
.
1).(1.)
12.25(1 GΜ ag
2
1010
1225
25121012
25
35
1225
1225
53
).(
1).*.().((.)
.
1).(.*. GΜ ag
2
1010
0208333330
2583333333020833333135
0208333330
0208333331530208333331
.
1).().((.)
.
1).(.*. GΜ ag
0004340280
2083333330228990215135
02083333330
22899021515302083333331
.
..).(.*. GΜ ag
0004340280
02065688203599150386105302083333331
..*. GΜ ag 6577098816470263513802083333331
.*. GΜ ag 12797339550208333331
8147227656276478156 .,'$. GΜ ag
171
En Excel:
Anticipados
A i/m n
$3,500,000.00 0.020833333 10 $4,301,465.77
$3,850,000.00 0.020833333 9 $4,635,048.83
$4,200,000.00 0.020833333 8 $4,953,224.72
$4,550,000.00 0.020833333 7 $5,256,483.38
$4,900,000.00 0.020833333 6 $5,545,301.14
$5,250,000.00 0.020833333 5 $5,820,141.14
$5,600,000.00 0.020833333 4 $6,081,453.60
$5,950,000.00 0.020833333 3 $6,329,676.20
$6,300,000.00 0.020833333 2 $6,565,234.38
$6,650,000.00 0.020833333 1 $6,788,541.67
$50,750,000.00 $56,276,570.81
Resultado factor 1 factor 2
i/m 0.020833333
n 10 38.47035679 16.65771258
A: 3.5
Unidad 1 Resultados
i 0.25 MA 38.47035679
d 0.35 MG 16.65771258
i/m 0.020833333 Mgag: 55.12806937
Valor de G 0.35 56.27657081
Para el factor 2: n/12 0.833333333 $ 56,276,570.81
(i/m)2 0.000434028
172
Ejercicios para resolver
Calcular el monto de una serie de cuotas periódicas mensuales vencidas, en donde la primera renta es de $5,750.00 y las subsecuentes se incrementan 450.00 cada una de ellas. Considere la tasa del 29.4% nominal anual capitalizable mensualmente.
De un conjunto de 30 cuotas vencidas que generan un interés del 17.5% capitalizable bimestralmente, ¿cuál es el monto que acumulan si crecen a razón de Ga=100.00?
La Nucleoeléctrica japonesa, Japan Corporation, desea ampliar las instalaciones de su planta en Cancún y para ello se ha propuesto constituir un fondo con 40 depósitos mensuales con aumentos crecientes de $850,000.00 dls., cada una de las cuotas. La tasa de interés que le ofrecen es del 19.65% con capitalización mensual y el importe del primer depósito ascendió a $5’500,000.00 de dls. La pregunta es: ¿Cuánto acumulará al final de la última cuota?
Para obtener un monto de $123,784.50, ¿cuál debe ser el importe de la primera de 30 cuotas periódicas (n=10) que crecen en forma creciente en un 15.5 % y con una tasa de interés del 12% nominal capitalizable mensualmente?: Resuélvalo en su formato de cuotas pospagables.
Para obtener un monto de $124,514.24, ¿cuál debe ser el importe de la primera de 30 cuotas periódicas (n=30) que crecen en forma creciente en un 15.5.% y con una tasa de interés del 12% nominal capitalizable mensualmente?: Resuélvalo en su formato de cuotas prepagables y pospagables
Se desea conocer el importe total de las 20 cuotas vencidas que crecen en forma aritmética a razón de Ga=1,500.00 con una tasa nominal del 18% capitalizable mensualmente.
Supongamos que se desea conocer el monto acumulado de un fondo de inversión constituido por 100 depósitos mensuales que crecen a una tasa del Gg: 8.5% siendo el importe del primer depósito $11,570.00.
Un deudor acordó con su proveedor liquidar su deuda en cuotas bimestrales vencidas durante dos años. La primera de dichas cuotas es por $12,500.00 y las subsecuentes se incrementarán $350.00 Para ello se acordó un interés nominal del 25% capitalizable mensualmente. Ahora la pregunta es: ¿Cuál es el valor del adeudo?
173
CAPITULO IV
FUNDAMENTOS DE ADMINISTRACIÓN FINANCIERA ________________________________________
4. FUNDAMENTOS DE ADMINISTRACIÓN FINANCIERA
4. I. INTRODUCCIÓN
El administrador financiero desempeña un papel dinámico en el desarrollo de una empresa moderna, aunque ésto no ha sido siempre así. A mitad de siglo XX, dichos profesionales básicamente reunían los fondos y administraban la posición en efectivo de la empresa, y eso era casi todo.
En la década de los
cincuenta, el incremento en la aceptación de los conceptos del valor presente provocó que los administradores financieros ampliaran sus responsabilidades y se interesarán en la selección de los proyectos de capital.
174
En la actualidad los factores externos tienen un impacto cada vez mayor en el administrador financiero. La elevada competencia corporativa, los cambios tecnológicos, la volatilidad en las tasas de interés y en la inflación, la incertidumbre económica mundial y las inquietudes éticas sobre ciertos negocios financieros deben tratarse sobre una base prácticamente diaria.
Más aún, éstos requieren gran flexibilidad, con el fin de hacer
frente al cambio constante. Sencillamente,” la antigua forma de hacer las cosas” no es lo bastante buena en un mundo donde las formas antiguas pronto quedan obsoletas o en desuso. De esta manera el administrador financiero debe ser capaz de adaptarse al entorno siempre cambiante, si es que su empresa tiene intenciones de sobrevivir.
Cuando se ejerce la actividad de estratega financiero o administrador
financiero dentro de una entidad, (sea esta privada o simplemente del sector público) el profesionista del ramo deberá observar lo siguiente:
Su capacidad de adaptación al cambio, Planear con eficiencia la cantidad apropiada de fondos a utilizar
en la empresa Supervisar la asignación de estos fondos y de obtener los mismos,
para poder obtener éxito en la empresa o en su defecto en la economía general.
A medida que los fondos obtenidos sean mal asignados, se retrasará el
crecimiento de la economía, y en una era de necesidades económicas insatisfechas y de escasez esto podría resultar en un detrimento mayor del que se pudiera tener en la actualidad. La distribución eficiente de los recursos en una economía es fundamental para el crecimiento óptimo de la misma, también es vital para asegurar que la población obtenga el más alto grado posible de satisfacción de sus deseos, mediante la efectiva obtención y asignación de los fondos, de ahí que:
EL ADMINISTRADOR FINANCIERO CONTRIBUYE A GENERAR RIQUEZA EN LA EMPRESA, A LA VITALIDAD Y
AL CRECIMIENTO DE LA ECONOMIA EN GENERAL
175
4.2. CONCEPTO DE ADMINISTRACIÓN FINANCIERA
“Fase de la Administración General, mediante la cual se recopilan datos significativos, analizan, planean, controlan y evalúan, para tomar decisiones acertadas y alcanzar el objetivo natural de maximizar el capital contable de la Empresa”. (Perdomo, 1993)
“La Administración Financiera está interesada en la adquisición, financiamiento y administración de los activos, con una meta global en mente. Así, la función de decisión de la administración financiera puede dividirse en tres grandes áreas; la decisión de inversión, financiamiento y administración de activos”. (Van Horne & Wachowicz: 1998)
DECISIÓN DE INVERSIÓN
DECISIÓN DE FINANCIAMIENTO
DECISIÓN DE ADMINISTRACIÓN
DE ACTIVOS
Es la más importante de las decisiones. Comienza con determinar la cantidad de activos que necesita la empresa para mantener una estructura de activos idónea.
La segunda en importancia. El administrador financiero se dedica a diseñar la composición del pasivo que resulte más adecuada a la empresa. Justificar por que tiene deudas tan altas, si son las adecuadas o en su defecto si se está apalancando excesivamente. Una vez que se ha decidido la mezcla de financiamiento, el administrador financiero debe determinar la mejor alternativa para adquirir esos fondos que necesita la empresa. Entender los procedimientos para obtener préstamos a corto o largo plazo, o la negociación de una venta de bonos o acciones en los mercados primarios bursátiles.
La tercera decisión más importante en la empresa. Una vez que se han adquirido los activos y se ha suministrado el financiamiento apropiado, se deben administrar con eficiencia los activos, ya que el administrador financiero tiene diversos grados de responsabilidad sobre los activos existentes. Tiene mayor responsabilidad en activos circulantes que en los fijos.
176
4.3. ANÁLISIS DE LA TEORÍA FINANCIERA Ahora identificaremos la actuación del estratega financiero, dentro de la
función financiera en el campo profesional, al interior de las empresas. En este punto además se señala el propósito, la naturaleza de la teoría financiera en el ámbito empresarial, se señalan perspectivas y campos de acción, se precisan objetivos y metas, se identifica la importancia de la función financiera: en la contabilidad, en los costos, en los recursos humanos y desde luego en el área de inversiones y financiamiento como campo estratégico que permita el equilibrio económico de la entidad.
De igual forma en este capítulo, se estudian las técnicas y herramientas
para la toma de decisiones que permita alcanzar nuestros objetivos y metas. Con todo lo expuesto en estos apartados, se intenta describir el trabajo que desarrolla el profesional de las finanzas.
4.4. CARACTERÍSTICAS
La administración financiera se puede conceptualizar de acuerdo a sus características y elementos, a saber, Perdomo plantea un esquema que parte desde la obtención de información significativa (relevante) para el estudio financiero, hasta la fase del control:
Obtención de datos
Análisis y evaluación financiera
Control financiero
Planeación financiera
177
4.4.1. COMO RAMA DE LA ADMINISTRACIÓN GENERAL
Efectivamente podemos decir que la Administración Financiera, es una fase o aplicación de la Administración General. Dentro de sus funciones está primeramente:
Coordinar financieramente todos los activos de la Empresa, por medio de:
Captar, obtener y aplicar los fondos o recursos
necesarios para optimizar su manejo, obteniendo para tales efectos el financiamiento adecuado para el déficit de fondos que tenga la empresa o en su defecto invirtiendo los fondos que se tengan como excedentes.
Optimizar la coordinación financiera de las cuentas por recuperar
Optimizar la coordinación financiera de los inventarios Optimizar la coordinación financiera de todos aquellos
bienes de la empresa destinados a proporcionar servicios a la planta productiva tales como; maquinaria, planta, equipo y demás activos fijos.
Además: Coordina financieramente todos los pasivos de la Empresa, para poder alcanzar el objetivo de maximizar el capital contable, patrimonio o valor de la empresa. Se debe elegir de acuerdo a las circunstancias o necesidades la mejor alternativa de financiamiento ya sea en el corto, mediano o largo plazo.
Por último: Coordina financieramente los resultados de las unidades económicas (empresas) es, además, una manera de poder incrementar las utilidades o rendimientos en la empresa, sería por la optimización de los costos de producción, por los gastos de operación o cualquier erogación que en su momento se requiriera cubrir. Aparte tendríamos que incrementar las ventas, aplicando una fuerza adicional a la comercialización de nuestros productos.
178
Para dar cumplimiento a lo anterior, se debe observar lo siguiente: El uso correcto de fondos internos y externos Las utilidades retenidas de varios períodos (si las hubiese) El valor del dinero en el tiempo con o sin inflación (indexar y deflactar) Proyectos de inversión de riesgo alto o de bajo riesgo (previa valuación
de proyectos de inversión) Tasas de crecimiento (en la industria)
Algunas sugerencias que pueden favorecer el incremento del capital o patrimonio en la maximización del valor de la empresa.
En primer lugar, se debe aumentar los activos o cualquier tipo
de valor en bienes de la empresa. En seguida se recomienda, disminuir las deudas y
compromisos lo más que se pueda. No apalancarse de más Después se recomienda, aumentar las utilidades y aportaciones
o capitalizar las utilidades retenidas de ejercicios anteriores no decretando dividendos, hasta que podamos consolidar la estructura financiera de la empresa. Esto último favorece la cultura de reinversión de utilidades.
Por último y si se desea, se pueden combinar las anteriores
sugerencias.
4.4.2. RECOPILACIÓN DE DATOS
Definiendo el término, podemos decir:
Se refiere al procedimiento que lleva a cabo el administrador financiero, en la búsqueda, recopilación y codificación de los datos (insumo de información). En investigación financiera se le denomina “Obtención de la información” la que una vez procesada, constituye una fuente sólida para la toma de decisiones. La validez de la información, es la validez de la decisión que de ella emane.
179
Es la primera técnica de la administración financiera, con la cual empieza a trabajar el administrador financiero. Es decir, sirve de acopio en una base de datos que ayuda en la aplicación de las demás técnicas de la administración financiera, tales como análisis, planeación, control y toma de decisiones. La información debe llegar a tiempo para poder analizar, planear y controlar para la correcta toma de decisiones, ya que de lo contrario, si los datos significativos no se obtienen en el momento oportuno carecen de valor. La información que se recabe, debe ser confiable, para poder fundamentar en lo posible la toma de decisiones acertadas.
LAS CARACTERÍSTICAS DE LA INFORMACIÓN (DATA BASE)
La recopilación de datos significativos que sirven de base
para el análisis, planeación, control y toma de decisiones
acertadas, se pueden resumir en:
OPORTUNIDAD Deben recopilarse en tiempo CONFIABILIDAD Que sean dignos de confianza SELECTIVIDAD Los datos requeridos, deben ser
aquellos que se necesitan RELEVANCIA Se destacará lo que es importante y se
desechará lo que no es INTEGRIDAD Deben ser completos, en cuanto a
antecedentes, datos y elementos de juicio
COMPRENSIBILIDAD Deben ser sencillos, con terminología no-técnica, para poder analizar, planear y controlar y tomar decisiones acertadas
ACCESIBILIDAD Deben ser alcanzables
Fuente: Elaborado con datos de Perdomo (1993)
180
4.4.3.1. Métodos de Análisis:
Los métodos de análisis financiero se consideran como los procedimientos utilizados para simplificar, separar o reducir los datos descriptivos y numéricos que integran los estados financieros, con el objeto de medir las relaciones en un solo período y los cambios presentados en varios ejercicios contables. (http://www.wikilearning.com)
Análisis Vertical:
1.- Porcientos integrales
2.- Razones Simples, Estándar y Bursátiles
Análisis horizontal
Aumentos y Disminuciones
Análisis Histórico
Análisis de tendencias Absolutas [$] Relativas
{%} y Mixtas {$ y %}
Análisis de Precios
Valores de Renta Fija
Valores de Renta Variable
Carteras de Inversión
181
ANALIZAR I TÉCNICA
La recomendación anterior, se fundamento en la teoría de diversos autores en la materia, aunado a la práctica común que ejercemos en el campo de las finanzas, mismo hecho que se analizará en secciones posteriores.
UN ESTADO FINANCIERO
VERTICAL
DOS ESTADOS FINANCIEROS DE LA
MISMA EMPRESA
HORIZONTAL
VARIOS ESTADOS FINANCIEROS DE
LA MISMA EMPRESA
HISTÓRICO
182
4.4.3.2. Descripción de los métodos: Algunas características inherentes a cada “Método de Análisis”, que ayudan a la correcta toma de decisiones, se describen a continuación. Porcientos integrales: Permite identificar la proporción que guarda cada elemento con respecto al total. El total es el 100% y cada parte constituye un porcentaje relativo con respecto a ese total. Este método nos permite entonces, poder identificar la proporción que guarda cada una de las cuentas con respecto al total del rubro como sería en este caso un estado de posición financiera, de resultados de operación e incluso la conformación de una cartera de inversiones en los mercados de capitales. Su notación es la siguiente:
100*
cifrabase
alcifraparciIntegralesPorcientos
O bien
parcialcifrabasecifra
teconsfactor
*
_
100tan_
Situemos el ejemplo de un Estado Financiero Datos:
Caja 100.00, Bancos 50.00, Inventarios 26.00, Equipo de oficina 200.00, Equipo de transporte 100.00, Depreciaciones -30.00, Gastos de instalación 150.00, amortizaciones -15.00:
Determinar la estructura de los Activos, el Monto total que éstos representan, el porcentaje relativo de cada rubro (circulante, fijo, diferido), así como de las cuentas específicas con respecto al total de su rubro.
183
Solución:
Activos $ $ %
Circulante
Caja $ 100.00 17.21%
Bancos $ 50.00 8.61%
Inventarios $ 26.00 4.48%
Suma $ 176.00 30.30%
Fijos
Equipo de Oficina $ 200.00 34.42%
Equipo de Transporte $ 100.00 17.21%
Depreciaciones -$ 30.00 -5.16%
Sumas $ 270.00 46.47%
Diferidos
Gastos de Instalación $ 150.00 25.82%
Amortizaciones -$ 15.00 -2.58%
Sumas $ 135.00 23.24%
Suma Activo $ 581.00 100%
Su representación gráfica:
Estructura del Activo
Circulante,
30.29%
Fijo, 46.47%
Diferido,
23.24%
0.00%
5.00%
10.00%
15.00%
20.00%
25.00%
30.00%
35.00%
40.00%
45.00%
50.00%
1
Rubros
po
rcie
nto
s
Circulante
Fijo
Diferido
La suma de los
parciales es igual
al total por cada
rubro.
La suma de cada
rubro, es igual al
100%
184
Otro ejemplo: Supongamos que tenemos en un portafolio de inversión la cantidad de $14,718.56 la cual esta integrada por varias acciones: Determinar mediante el método de porcientos integrales, la conformación de la cartera y su gráfica.
Inversión en acciones Miles de $ % ALFA, S.A.B. DE C.V. ALFA.A 1,253.56 8.516866 AMERICA MOVIL, S.A.B. DE C.V. AMX.L 562.00 3.818308 GRUPO TELEVISA, S.A. TELEVISA.CPO 9,847.00 66.901925 TV AZTECA, S.A. DE C.V. TVAZTECA.CPO 548.00 3.723190 URBI DESARROLLOS URBANOS, S.A.DE C.V. URBI 1,254.00 8.519855 WAL - MART DE MEXICO, S.A. DE C.V. WALMEX.V 1,254.00 8.519855
Total $14,718.56 100.00%
Para cada caso tenemos: 100*
cifrabase
alcifraparciIntegralesPorcientos
Ejemplo: Alfa S.A. de C.V.
51686578.8100*56.718,14
56.253,1
IntegralesPorcientos
ALFA.A
8%AMX.L
4%
TELEVISA.CPO
66%
TVAZTECA.CPO
4%
URBI
9%
WALMEX.V
9%
ALFA.A AMX.L TELEVISA.CPO TVAZTECA.CPO URBI WALMEX.V
185
4.4.3.3. Razones financieras simples.
Se define como la dependencia que existe al comparar geométricamente las cifras de dos o más conceptos que integran el contenido de los estados financieros de la empresa.
Siendo la razón, un sinónimo de magnitud, entonces se refiere a la magnitud de la relación existente entre dos cifras que se comparan.
De tal forma tenemos que aritméticamente una cantidad es incrementada (+) o disminuida (-) mediante sumas y restas respectivamente. De igual forma una cantidad puede ser representada por un factor con respecto al total y su frecuencia (/), (*) mediante multiplicaciones y divisiones respectivamente.
El Activo Fijo de $450,500.00 es disminuido por las depreciaciones en cantidad de $50,000.00.
Su representación es:
450,500.00 – 50,000.00 = 350,500.00 (es la razón aritmética)
Que es lo mismo a 350,500.00 + 50,000.00 = 450,500.00
450,500.00 / 50,000.00 = 9.01 (es su razón geométrica)
Que es lo mismo a 9.01 * 50,000.00 = 450,500.00
En ambos casos se identifican dos variables: el que antecede y el que le sucede (antecedente y consecuente)
186
Razones Estáticas son, cuando el antecedente y consecuente o numerador y denominador, emanan o proceden de estados financieros estáticos, como la Posición Financiera. Razones Dinámicas son, cuando el antecedente y consecuente o numerador y denominador, emanan de un estado financiero dinámico, como el Estado de Resultados. Razones Estático – Dinámicas son, cuando el antecedente corresponde a conceptos y cifras de un estado financiero estático y el consecuente, emana de conceptos y cifras de un estado financiero dinámico.
187
Razones Dinámico – Estáticas son, cuando el antecedente corresponde a conceptos y cifras de un estado financiero dinámico, y el consecuente corresponde a un estado financiero estático. Razones Financieras, son aquellas que se leen en dinero, o mejor dicho en pesos $ Razones de Rotación, son aquellas que se leen en alternancias (número de rotaciones o vueltas al círculo comercial o industrial). Razones Cronológicas, son aquellas que se leen en días o unidades de tiempo, o sea, se pueden expresar en días, horas, minutos, etc. Razones de Rentabilidad, son aquellas que miden la utilidad de la empresa. Razones de Liquidez, son aquellas que estudian la capacidad de pago en efectivo o en documentos cobrables de la empresa. Razones de Actividad, son aquellas que miden la eficiencia de las cuentas por cobrar y por pagar, así como la eficiencia del consumo de materiales de producción, ventas, activos, etc. Razones de Solvencia y Endeudamiento, son aquellas que miden la porción de activos financiados por deudas de terceros, miden de igual manera la habilidad para cubrir intereses de la deuda y los compromisos inmediatos. Razones de Producción, son aquellas que miden la eficiencia del proceso productivo, la eficiencia de la contribución marginal, así como los costos y capacidad de las instalaciones etc. Razones de Mercadotecnia, son aquellas que miden la eficiencia del departamento de comercialización o mercados, del departamento de publicidad o todo lo inherente a la mercadotecnia.
188
El uso de estas razones (indicadores financieros), favorece la correcta toma de decisiones, tanto en la evaluación de las inversiones, en la detección de fallas y las desviaciones observadas, todo ello para formar un juicio con respecto a la situación financiera de la empresa.
Los estados financieros constituyen la radiografía en términos económicos de la empresa. Esto proporciona información tan amplia como el analista financiero lo requiera, aplicando para estos efectos un número ilimitado de razones simples, algunas tal vez sin utilidad o significado práctico, otras a lo mejor sin ninguna utilización o aplicación aparentemente justificada, pero lo que si es importante es que el administrador financiero o analista financiero debe tener sentido común o criterio para determinar el número de razones simples que tengan significado práctico, para de esta manera poder establecer lo que en el párrafo anterior se plantea.
http://eumed.net/
http://eumed.net/cursecon/ppp/index.htm
189
190
Activos líquidos (circulantes) Pasivo Circulante
Efectivo en Caja y Bancos 1,374 Clientes 2,046 Inventarios 1,500 Inversión en Valores Realizables 500 Suma circulante 5,420
Proveedores 1,350 Acreedores diversos 1,800 Documentos x pagar 500
Suma circulante 3,650
Solución: ¿Cual es la razón del capital en trabajo? ¿Cuál es el capital neto de trabajo?
...
..
pcp
caRCT
650,3
420,5RCT
4849315.1RCT
..... PCPCACNT
3650$420,5$ CNT 1770$CNT
En ambos casos resulta práctico el resultado, ya que por un lado tenemos una razón que nos dice que de cada peso que la empresa debe, cuenta con al menos 1.48 en sus activos circulantes. Y el capital neto de trabajo es la diferencia aritmética entre el primero (activo circulante) y el segundo (pasivos a corto plazo)
R.C.T. = ACTIVO CIRCULANTE
PASIVO CORTO PLAZO
________
191
Es común que se utilice esta razón para determinar la capacidad de pago de la empresa en el corto plazo. En el contexto financiero, se ha hecho muy común aceptar como óptima, a la razón de 2 a 1 o sea que por cada peso que la empresa debe, esta tiene dos pesos para cubrir sus obligaciones en el corto plazo. Estas obligaciones van de las deudas con proveedores o acreedores, incluso hasta los impuestos a cargo de la empresa.
Dato importante que debemos considerar es, que en el estudio
financiero más avanzado, nos obliga a determinar con mayor rigidez nuestra liquidez en el corto plazo, siendo esta la comparación de nuestro activo circulante 100% disponible en efectivo (con esto excluimos inventario, cuentas por cobrar) contra el total de obligaciones a corto plazo) denominada como la prueba ácida.
Nota: Es importante mencionar que por si sola, ninguna razón es suficiente para efectos del análisis financiero, al contrario, se hace necesario someter los estados financieros a una serie de estudios, aplicando las razones que nos permitan visualizar un panorama general de la empresa, para la correcta toma de decisiones.
192
Fuente: Tomado de Perdomo (1993)
193
E. LIQUIDEZ Caja y bancos/pasivo circulante Activo circulante/pasivo circulante Activo circulante-inventarios/pasivo circulante. Activo circulante/inventarios x 360 /costo total. Capital de trabajo/pasivo circulante
Medir el índice de liquidez disponible Medir la habilidad para cubrir compromisos inmediatos. Medir el índice de solvencia inmediata. Medir la habilidad para cubrir costos inmediatos. Medir las inversiones de acreedores y propietarios.
Disponible Capital de trabajo Severa o del ácido Posición defensiva Margen de seguridad
F. ACTIVIDAD Prom. Clientes x 360/vtas. Contado Prom. Proveedores x 360/compras a crédito. Prom. Inv. de mat. X 360/consumo de materiales Prom. Inv. de prod. en proc. X 360/costo de producción Prom. de inv. de prod. terminados x 360/costo de ventas Ventas netas/activos totales promedio Ventas netas/activos fijos promedio
Medir la eficiencia en el manejo del crédito de clientes. Medir la eficiencia en el uso del crédito de proveedores. Medir la eficiencia en el consumo de materiales. Medir la eficiencia de la producción. Medir la eficiencia en las ventas a crédito y al contado. Medir la eficiencia general en el uso de activos. Medir la eficiencia en el uso de activos fijos.
Rotación de cartera o clientes Rotación de proveedores Rotación de inventarios de materiales Rotación de inv. de prod. en proc. Rotación de inv. de prod. terminados Rotación de Activos Totales Rotación de Activos fijos
G. SOLVENCIA Y ENDEUDAMIENTO Pasivo total/Activo total Utilidad antes de provisiones/costos financieros. Utilidad antes de provisiones/costos financieros
Medir la porción de activos financieros por deuda. Medir la habilidad para cubrir intereses. Medir la habilidad para cubrir compromisos inmediatos.
Endeudamiento Cobertura financiera Cobertura efectiva
H. PRODUCCIÓN Costo Variables de producción/precio de venta de la produc. Costos fijos de producción/precio de venta de la producción. Activos fijos de producción/precio de venta de la producción.
Medir la eficiencia del proceso productivo. Medir inventarios en relación a ventas. Medir costos y la capacidad de las instalaciones.
Eficiencia del proceso productivo Eficiencia de la contribución marginal Capacidad de las instalaciones
I. MERCADOTECNIA Contribución de MKT/activos de MKT Costo de MKT/ventas netas Ventas netas/activos identificables con la función. Publicidad de ejercicio anterior/ventas de este ejercicio.
Ventas-costo directo-costo de MKT
Rendimiento de la función de Mkt. Costo de la función de MKT. Rotación de la función de MKT. Efectividad de la publicidad
Equipo de distribución + inventarios de prod. term. + Clientes. Costos de almacenamiento, distribución, promoción, descuentos, admón. de ventas, cuentas incobrables. Activos tales como ctas. por cobrar, vehículos de venta y distribución, artículos terminados, etc. Efectividad de la publicidad en relación a ventas.
Fuente: Tomado de Perdomo (1993)
194
4.4.3.4. RAZONES ESTANDAR
Este método sirve para determinar la relación de dependencia resultante de la comparación geométrica de los promedios de las cifras de dos o más cuentas de los estados financieros.
De lo anterior se desprende, que la razón estándar es similar al
promedio de una serie de cifras o razones simples de la misma empresa a una misma fecha o período las cuales emanan de los estados financieros de dicha empresa. O en su defecto puede ser el promedio de una serie de razones simples de los estados financieros a una misma fecha o período, pero de distintas empresas que se dedican a la misma actividad.
Veamos un ejemplo: Durante los últimos cinco años el sector de servicios ha mostrado un
crecimiento en las ventas del: 7.6% en el 2003, 8.4% en el 2004, 10.58% en el 2005 y en los ejercicios 2006 y 2007 su comportamiento fue del 10 y 12% respectivamente. (Comparativo de ventas) De igual forma la razón de liquidez con la que operaba este sector, según estudios de fuentes bancarias que atendieron las solicitudes de financiamiento de este sector específico fue de: 3.689, 2.9876, 5.342, 3.987 y 5.678 durante los años del 2003 al 2007 respectivamente.
Su representación con: gráfica de tendencias y con el promedio aritmético simple
Comportamiento de los términos analizados
3.6890%
2.9876%
5.3420%
3.9870%
5.6780%
7.60%
8.40%
10.58%
10.00%
12.00%
0.0000% 2.0000% 4.0000% 6.0000% 8.0000% 10.0000% 12.0000% 14.0000%
2003
2004
2005
2006
2007
año
porcentajesRazón de liquidez Incremento en las ventas
Lineal (Incremento en las ventas)
Fuente: elaboración propia
195
Comportamiento de los términos analizados
3.6890%
2.9876%
5.3420%
3.9870%
5.6780%
7.60%
8.40%
10.58%
10.00%
12.00%
y = 0.0127x
R2
= -0.9423
0.0000% 2.0000% 4.0000% 6.0000% 8.0000% 10.0000% 12.0000% 14.0000%
2003
2004
2005
2006
2007
año
porcentajesRazón de liquidez Incremento en las ventas
Lineal (Incremento en las ventas) Lineal (Razón de liquidez)
Promedio aritmético simple:
años %> Vtas. razón de liquidez
2003 8% 3.689%
2004 8% 2.988%
2005 11% 5.342%
2006 10% 3.987%
2007 12% 5.678%
Σ 49% 22%
5 5
9.8% 4.4%
n
tSAP
)...
5
%22... SAP
%..S.A.P 44
n
vtastSAP
.)(%...
5
%49... SAP
%..S.A.P 89
Fuente: elaboración propia
Donde: P.A.S.: promedio aritmético simple Σt: sumatoria de los términos analizados n: número de términos
196
Cuando se lleva a cabo un análisis de esta naturaleza, se recomienda llevar a cabo el número de razones que el administrador financiero considere necesarias, para poder fundamentar su estudio. Esto es, no existe un número determinado de pruebas que se tengan que analizar para poder emitir un juicio sobre la situación económica financiera de la empresa.
El desarrollo de este método, estará en función de lo que el analista desee evaluar.
Supongamos un ejemplo en el que la empresa evaluada, desea
incursionar en la comercialización de un determinado producto (adicional al que viene operando normalmente) y desea conocer el comportamiento del mercado con respecto a su competencia.
Un paso importante es identificar, quien es su competencia. Otro dato
sería el crecimiento de ese sector, en función del indicador IGAE3, probablemente se desee conocer el porcentaje de utilidad que dicho producto viene generando, el porcentaje de utilidad marginal, etc.
Así con estos indicadores se pueden analizar varios períodos con
respecto al mismo concepto. Los comparativos entre los conceptos estudiados, pueden representarse mediante gráficas de tendencias
n
tSAP
)...
Con este ejemplo podemos concluir entonces que el número de razones estándar podría ser ilimitado, pero depende del criterio del analista o administrador financiero, el determinar cuáles son de su utilidad y cuáles no tienen sentido práctico.
3 Índice General de la Actividad Económica
197
4.4.3.4.1. Clasificación de las razones estándar:
Estas razones financieras (estándar), las podemos clasificar bajo la siguiente estructura: Desde el punto de vista del origen de las cifras Su descripción: Las razones estándar internas, son aquellas que se obtienen con los datos
acumulados de varios estados financieros, a distintas fechas y períodos de una misma empresa.
Las razones estándar externas, son las que se obtienen con los datos
acumulados de varios estados financieros a la misma fecha o período pero que se refieren a distintas empresas, claro está, del mismo giro o actividad.
Las razones estándar estáticas, corresponden a aquellas mediante las cuales
las cifras corresponden a estados financieros estáticos. (Ejemplo. Estado de Posición Financiera)
Las razones estándar dinámicas, corresponden a aquellas mediante las cuales las cifras corresponden a estados financieros dinámicos. (Ejemplo: Estado de Resultados de Operación)
Las razones estándar estático-dinámicas, corresponden a las cifras en donde el antecedente se obtiene de estados financieros estáticos, y el consecuente se obtiene del promedio de cifras de estados financieros dinámicos.
Las razones estándar dinámico-estáticas, corresponden a las cifras en donde el antecedente se obtiene de estados financieros dinámicos, y el consecuente se obtiene del promedio de cifras de estados financieros estáticos.
Por su origen: Internas y Externas
Por su naturaleza: estáticas, dinámicas, estático-dinámicas y dinámico-estáticas
198
(INTERNAS) Reunir estados financieros recientes de la misma empresa. Obtener cifras o razones simples que servirán de base para las razones medias. Confeccionar una cédula de trabajo (hoja de Excel) que integre las cifras o las
razones anteriores por el tiempo que considere conveniente el analista financiero. Calcular razones medias por conducto de :
Promedio aritmético simple Mediana Moda Promedio geométrico Promedio armónico
(EXTERNAS)
Reunir cifras o razones simples de estados financieros de empresas que están dedicadas a la misma actividad, esto es que sus productos sean muy similares.
Que las empresas se localicen geográficamente en la misma región. Que las políticas de venta y crédito sean muy similares. Que los métodos de registro, contabilidad y valuación, sean relativamente
similares o uniformes. Que las cifras que corresponden a estados financieros dinámicos muestren
aquellos meses en los cuales las empresas en estudio, se encuentren en una racha relativamente buena o mala
Que las empresas que suministran la información financiera, sean financieramente solventes.
Confeccionar una cédula o papel de trabajo que contenga las cifras o razones simples de los datos anteriores.
Eliminar aquellas cifras o razones simples, que no estén muy acordes o que se encuentren muy dispersas en función a las demás.
Calcular las razones medias utilizando de preferencia: Promedio aritmético simple Mediana Moda Promedio geométrico Promedio armónico
199
4.4.3.5. RAZONES BURSÁTILES
Se refiere al cálculo de la dependencia o relación existente entre dos o más conceptos de los estados financieros. La comparación geométrica nos lleva a determinar un múltiplo entre los valores analizados. Normalmente sirve para evaluar estados financieros de empresas que cotizan en bolsa. A este tipo de razones se les conoce en el ámbito bursátil como
múltiplos, las cuales se detallan a continuación como otra herramienta más del administrador financiero, que utilizará en el estudio previo a la solicitud de algún tipo de financiamiento que la empresa demande.
Fuente: Tomada de http://www.que.es/ultimas-noticias/economia/201005062030-bolsa-mexico-abre-alza-leve.html [10-05-2010]
4.4.3.5.1. Clasificación de los Múltiplos bursátiles Su notación:
anual
unitarioUt
PM cot_
cot
Donde: Mcot= múltiplo de cotización de la acción Pcot= precio de cotización unitario (acción)
Utanual= utilidad del ejercicio (12 meses)
200
EJEMPLO:
La cotización de la acción de la empresa “Minsa” es de $21.00 dls., y la utilidad que generó la acción en los últimos 12 meses fue de $3.38 dls.
.)38.3()00.21(cot_cot dls
Ut
PM
anual
dlsunitario
De ello obtenemos un factor de 6.2130, lo que representa que el valor de
la acción de Minsa cuando se compra, ésta paga el equivalente a 6.21 veces la utilidad actual de la empresa.
MÚLTIPLO DE COTIZACIÓN ESTIMADO De forma análoga, cuando se desea calcular el Múltiplo estimado de
cotización, la expresión toma la siguiente forma:
est
unitarioest Ut
PM cot_
CON LOS DATOS DEL MISMO EJEMPLO La cotización de la acción de la empresa “Minsa” es de $21.00 y la
utilidad estimada en los últimos 12 meses es de $4.18., por consiguiente su Mest
)18.4()00.21(cot_ dlsUt
PM
est
dlsunitarioest
= 21 / 4.18 = 5.0239, esto quiere decir, que cuando se compra una
acción de esta empresa se esta pagando 5 veces la utilidad actual de la empresa.
De ello obtenemos un factor de 5.0239, lo que representa que el valor de la acción de Minsa cuando se compra, esta paga el equivalente a 5 veces la utilidad actual de la empresa. (Estimado)
201
MÚLTIPLO VALOR EN LIBROS EJEMPLO: La cotización de la acción de la empresa “x” es de $21.00 y el valor en
libros de la acción es de 10 dls., por consiguiente, la expresión toma la siguiente forma:
l
acciónunitariovl V
PM _
.00.10_00.21_
dlsV
PM
l
dlsunitariovl
Por consiguiente su Mvl = 21 / 10. = 2.1 esto quiere decir, que cuando se compra una acción de esta empresa se esta pagando 2.1 veces el valor en libros actual de la empresa
MÚLTIPLO DE SOLIDEZ Con el capital contable de la empresa que es la emisora de las acciones,
ahora se puede determinar su múltiplo de solidez. Esto es, determinar la palanca financiera que genera la emisión de las acciones con respecto a su patrimonio.
CCaccionesxPvo
Ms__
EJEMPLO: La empresa emisora tiene una deuda por 5 millones de pesos (recursos
ajenos), asimismo cuenta con un capital contable de 12.5 millones de pesos:
millonesmillonesPvo
Ms 5.125_
Por consiguiente su Ms = 5 / 12.5 = O.4, esto quiere decir que la
empresa debe $0.40 de pasivos (recursos ajenos) por cada 1.00 de capital propio (recursos propios)
202
MULTIPLO DE PRODUCTIVIDAD DE LOS ACTIVOS TOTALES
Con respecto a la productividad de los activos, ahora podemos calcular su múltiplo, a partir del resultado de su operación, esto es, la utilidad antes de los impuestos y el pago de utilidades a los trabajadores con respecto a los activos totales.
Activos
PTUISRUMpA op ),(
EJEMPLO: La empresa emisora tiene una utilidad operativa antes de impuestos por
25 millones de pesos, asimismo su estructura de activos asciende a la cantidad de 100 millones de pesos (considerar una tasa del 28% de ISR y 10% PTU):
100_
)5.27(25
Activos
UMpA op
Por consiguiente su MpA = 25 –(7+2.5) /100 = 0.25, esto quiere decir que
la empresa obtiene 0.155 de utilidad antes de I.S.R. y P.T.U., por cada peso de productividad de sus activos. (Por lo tanto puede hacer frente a sus compromisos
203
Múltiplo o razón de: Notación
Costo financiero sobre deuda
Pasivos
IdMcf
pagados/
Costo financiero sobre ventas
totalesVtas
IvMcf
pagados
_/
Rentabilidad en ventas
totalesVtas
UM net
rv_
Rentabilidad sobre el patrimonio
CCU
M netrCC
Utilidad por acción
accionarioPaqueteU
M netr accionx __
Costo financiero sobre utilidad operacional
loperacionaUt
IoputMcf
pagados
_./
Rentabilidad de los activos de
operación (fijos)
fijosActivos
PTUISRUMpA op
f_
),(
Rentabilidad de los activos del capital en trabajo
(circulantes)
scirculanteActivos
PTUISRUMpA op
c_
),(
Rentabilidad de los activos de operación (diferidos)
diferidosActivos
PTUISRUMpA op
d_
),(
204
EJEMPLO Costo financiero sobre deuda La empresa emisora tiene un pasivo total de 5 millones de pesos, y
suponiendo que pagó intereses en el ejercicio por 1.2 millones de pesos, su costo financiero sobre deuda es de 1.25= 0.24, esto quiere decir que la empresa paga $0.24 por cada peso de deuda.
EJEMPLO Costo financiero sobre ventas La empresa emisora tiene VENTAS NETAS totales por 250 millones
de pesos, y suponiendo que pagó intereses en el ejercicio por 2.8 millones de pesos, su costo financiero sobre ventas es 12.8250= 0.0512, esto quiere decir que la empresa paga $0.0512 por cada peso de VENTAS NETAS.
EJEMPLO Rentabilidad en ventas La empresa emisora tiene una utilidad de 25 millones de pesos,
asimismo realizó ventas en el ejercicio por 250 millones de pesos, por consiguiente su rentabilidad en ventas = 25250=0.10, esto quiere decir que la empresa obtiene $0.10 de utilidad por cada peso de ventas que realice.
EJEMPLO: Rentabilidad del Capital –Contable (patrimonio) Supongamos que la empresa emisora tiene una utilidad neta de 25
millones de pesos, y suponiendo que cuenta con un capital contable en el ejercicio por 12.5 millones de pesos, su rentabilidad con respecto al patrimonio es = 2512.5= 2 esto quiere decir que la empresa obtiene $2.0 de utilidad neta por cada peso invertido.
EJEMPLO: Rentabilidad por acción
La empresa emisora tiene una utilidad neta de 25 millones de pesos, y el capital social suscrito es de 12.5 millones de pesos, mismos que se amparan con acciones nominativas de 100 cada una, siendo en total 125,000 acciones, por consiguiente su rentabilidad por acción es = 25125,000 = 200, esto quiere decir que la empresa emisora obtiene $200.00 de utilidad por cada acción.
205
EJEMPLO: Múltiplo de Coste financiero sobre Utilidad operacional. La empresa emisora tiene una utilidad antes de ISR Y PTU de 25
millones de pesos, y suponiendo que pagó intereses en el ejercicio por 2.8 millones de pesos, su MÚLTIPLO DE INTERESES SOBRE UTILIDAD = 2.825= 0.112, esto quiere decir que la empresa paga $0.112 por cada peso de utilidad antes de ISR Y PTU
SI DESEAMOS CONOCER LOS MÚLTIPLOS ESPECÍFICOS DE CADA TIPO DE ACTIVOS
Con respecto a la productividad de los activos, ahora podemos calcular su múltiplo, a partir del resultado de su operación, esto es, la utilidad antes de los impuestos y el pago de utilidades a los trabajadores con respecto a los activos: fijos, circulantes y diferidos
fijosActivos
PTUISRUMpA op
f_
),(
scirculanteActivos
PTUISRUMpA op
c_
),(
diferidosActivos
PTUISRUMpA op
d_
),(
206
MÚLTIPLO CONOCIDO DE
COTIZACIÓN
MÚLTIPLO CONOCIDO DE
COTIZACIÓN
MÚLTIPLO DE VALOR EN
LIBROS
MÚLTIPLO DE SOLIDEZ
MÚLTIPLO DE
PRODUCTIVIDAD DE
ACTIVOS
MÚLTIPLO DE
RENTABILIDAD EN VENTAS
MÚLTIPLO DEL COSTO
PORCENTUAL PROMEDIO
DE DEUDA
MÚLTIPLO DE INTERESES
SOBRE VENTAS
MÚLTIPLO DE INTERESES
SOBRE UTILIDAD
MÚLTIPLO DE UTILIDAD
POR ACCIÓN
PRECIO DE COTIZACIÓN DE LA ACCIÓN
UTILIDAD CONOCIDA ÚLTIMOS 12 MESES
PRECIO DE COTIZACIÓN DE LA ACCIÓN
UTILIDAD ESTIMADA
PRECIO EN LIBROS
VALOR EN LIBROS DE LA ACCIÓN
PASIVO DE EMPRESA EMISORA
CAPITAL CONTABLE
UTILIDAD ANTES DE ISR Y PTU
ACTIVO TOTAL
UTILIDAD NETA VENTAS NETAS
INTERESES FINANCIEROS PASIVO TOTAL
INTERESES FINANCIEROS VENTAS NETAS
INTERESES FINANCIEROS UTILIDAD ANTES
DE I.S.R. Y P.T.U.
UTILIDAD NETA No. DE ACCIONES
MIDE LAS VECES QUE SE HA
PAGADO LA UTILIDAD
ACTUAL DE LA EMISORA.
MIDE LAS VECES QUE SE HA
PAGADO LA UTILIDAD
ESTIMADA DE LA EMISORA.
MIDE LAS VECES QUE SE HA
PAGADO EL VALOR EN
LIBROS DE LA ACCIÓN.
MIDE LA PORCIÓN DE
RECURSOS AJENOS, POR
CADA $1.00 DE RECURSOS
PROPIOS.
MIDE LA PORCIÓN DE
UTILIDAD ANTES DE ISR Y
PTU., POR CADA $1.00 DE
PRODUCTIVIDAD DE
ACTIVOS.
MIDE LA PORCIÓN DE
UTILIDAD NETA, POR CADA
$1.00 DE VENTAS NETAS.
MIDE EL COSTO
PORCENTUAL PROMEDIO DE
DEUDA
MIDE LA PORCIÓN DE
INTERESES FINANCIEROS,
POR CADA $1.00 DE VENTAS
NETAS.
MIDE LA PORCIÓN DE
INTERESES FINANCIEROS,
POR CADA $1.00 DE
UTILIDAD ANTES DE I.S.R. Y
P.T.U.
MIDE LA PORCIÓN DE
UTILIDAD NETA POR CADA
ACCIÓN.
Fuente: Tomado de Perdomo (1993)
207
4.4.3.6. MÉTODO DE TENDENCIAS
Mediante este método, se puede determinar la propensión relativa y absoluta de las cifras plasmadas en los estados financieros de la empresa. Desde luego que los conceptos deberán ser homogéneos.
Algunas de las características a observar en este método:
Renglones similares Importe base y comparado Tendencias: (%) relativo, absoluta ($), mezcladas (%,$)
Es recomendable tomar en cuenta las siguientes consideraciones mínimas que deberán observarse en su aplicación.
Este procedimiento facilita la retención y apreciación mental de la tendencia de las cifras, hecho que facilita el hacer la estimación de posibles cambios futuros en la empresa
Las normas para valuar deben ser las mismas para los estados financieros que se presentan, que sean congruentes con el estudio y lo que se persigue.
La información descrita en los estados financieros dinámicos que se presentan, debe corresponder al mismo ejercicio o período.
Para su aplicación se sugiere, comparar estados financieros de ejercicios anteriores, ya que permitirá observar cronológicamente la tendencia de las cifras al presente en que se analiza.
Las cifras comparadas deben pertenecer a estados financieros de la misma empresa.
Puede aplicarse paralelamente con otro procedimiento, dependiendo del criterio del analista financiero y en función del objetivo que se persiga.
Al ser este un estudio que explora el pasado y su tendencia al paso del tiempo, se logra identificar probables anomalías sobre el estado que guardan las cifras de la empresa, por lo que constituye una base para el estratega financiero para futuros estudios así como para plantear una serie de recomendaciones.
Notación: Para obtener el importe relativo y la tendencia relativa
100*_
_
basecifra
comparadoimporte
100*
_
].)_[(
basecifra
basecifracomparadoimporte
208
EJEMPLO: Período Ingresos por
ventas tendencia Incremento o
decremento relativo
$ %
2003 $500,000.00 Cifra base 100% Cifra base de comparación
2004 $575,000.00 $75,000.00 + 115% 15%
2005 $595,000.00 $95,000.00 + 119% 19%
2006 $605,000.00 $105,000.00 + 121% 21%
2007 $700,000.00 $200,000.00 + 140% 40% 2008 $450,000.00 -$50,000.00 - 90% -10% 2009 $278,500.00 -$221,500.00 - 55.7% -44.3%
Tendencia de las ventas
-$300,000.00
-$200,000.00
-$100,000.00
$0.00
$100,000.00
$200,000.00
$300,000.00
$400,000.00
$500,000.00
$600,000.00
$700,000.00
$800,000.00
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
año
Valo
res
abso
luto
s
Ventas tendencia absoluta
100% 11
5%
119%
121% 14
0%
90%
55.7
0%
0%
15%
19%
21% 40
%
-10%
-44.
30%
-100%
-50%
0%
50%
100%
150%
Tendencia relativa Incremento o Decremento relativo
Tendencia relativa 100% 115% 119% 121% 140% 90% 55.70%
Incremento o
Decremento relativo
0% 15% 19% 21% 40% -10% -44.30%
2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
209
Procedimiento para su cálculo a partir de la notación:
Ejercicio 2004 Para obtener el importe relativo=
100*_
_
basecifra
comparadoimporte
100*000,500
000,575
%115115
La tendencia relativa=
100*_
].)_[(
basecifra
basecifracomparadoimporte
100*000,500
]000,500000,575[(
%1515
Ejercicio 2009 (negativo) Para obtener el importe relativo=
100*_
_
basecifra
comparadoimporte
100*000,500
500,278
%7.557.55
La tendencia relativa=
100*_
].)_[(
basecifra
basecifracomparadoimporte
100*000,500
]000,500500,278[(
%.. 344344
210
4.4.3.7. MÉTODO DE AUMENTOS Y DISMINUCIONES:
Resulta ser un método muy simple, ya que sólo se comparan dos estados financieros, en los rubros específicos y similares y en fechas distintas. Con ello se obtiene el aumento o disminución entre las cifras comparadas, normalmente cifra base y la cifra a comparar.
Renglones similares Importe base y comparado Tendencias: (%) relativo, absoluta ($), mezcladas (%,$)
Al igual que el anterior método, se debe observar lo siguiente:
Renglones similares Importe base y comparado Variante (positiva o negativa, incluso sin variación)
Es recomendable tomar en cuenta las siguientes consideraciones mínimas que deberán observarse en su aplicación.
Apoyarse en el estado de origen y aplicación de recursos. Las normas para valuar deben ser las mismas para los estados financieros
que se presentan, que sean congruentes con el estudio y lo que se persigue. Presentar en forma comparativa los estados financieros y que además
pertenezcan a la misma entidad. Los estados financieros dinámicos que se comparan, deben corresponder al
mismo período o ejercicio, esto es, si comparamos un estado de resultados de operación del ejercicio 2007, se debe comparar otro estado de resultados de operación que corresponda a otro período de un año.
Puede aplicarse paralelamente con otro procedimiento, dependiendo del criterio del analista financiero y en función del objetivo que se persiga.
Por lo sencillo de este procedimiento, le permite a las personas retener en su mente las cifras obtenidas, o sea a las variaciones que resultan de las cifras comparadas y las cifras bases.
211
Conceptos 2007 2006 Variación
$, % signo Actos o
actividades gravados
$114,280.00 $103,095.00 $11,185.00
+
Precios unitarios
$8.00 $8.70 -$0.70
-
Unidades vendidas
14,285 11,850 2,435
+
Porcentaje con respecto
a la base
120.5485232% Base 100%
20.5485232%
+
Fuente: Elaboración propia (valores nominales, monetarios, porcentuales)
Como llevar a cabo este análisis:
Tenemos entonces que:
A partir de las unidades que se vendieron en el ejercicio fiscal 2007, representan el 120.5485232% en comparación con el 2006. Así los actos o actividades gravados del ejercicio 2007 con el precio del ejercicio 2006, representan dicho porcentaje.
Variación en unidades vendidas
$103,095.00 x 120.5485232% =
$124,279.50
Ventas ejercicio 2006 $103,095.00 ( + ) $21,184.50
Variación en los precios de venta Variantes de los precios del 2007
con respecto al 2006 $124,279.50
Actos o actividades gravados 2007 a precios actuales
$114,280.00
Variaciones en precios afectan disminución en ventas netas por
-$9,999.50
Aumento Neto 11,185.00
212
Notación:
Variantes en unidades vendidas
gpgp AAAAAAvdasUnV *%._
Variantes en los precios de las unidades vendidas
gagp AAAAAAVpr *%
Donde:
VUn_vdas = Variantes en unidades vendidas
AAgp = Actos o actividades gravados del año pasado
%AA= Porcentaje actual
Vpr= Variantes en los precios de las unidades vendidas
AAga= Actos o actividades gravados del año actuales Comprobación
gpgp AAAAAAvdasUnV *%._
095,103205485232.1*095,103._ vdasUnV
50.184,21._ vdasUnV
VUn_vdas = Variantes en unidades vendidas
+
$21,184.50
Vpr= Variantes en los precios de las unidades vendidas
- -$9,999.50
Variante neta = 11,185.00
213
4.4.3.8. MÉTODO DE ANÁLISIS DE PRECIOS. CONCEPTO: Consiste en determinar el precio de compra o venta ( $ ), de títulos valor de renta fija y variable de cualquier cartera de inversión, provenientes de personas físicas y morales, el cual sirve de referencia en los precios de cotización en la bolsa, para una acertada toma de decisiones. EJEMPLOS: PRECIO DE UN INSTRUMENTO DE INVERSION DE RENTA FIJA A.- ¿Cuál será el precio de un cete, cuyo valor nominal es de $10.00 y tiene una tasa de descuento del 56.5% y 28 días por vencer? DATOS: VN = $10.00 (valor nominal) TD = 56.5 % (tasa de descuento) DV = 28 días (días por vencer) PR = X ( PRECIO )
FÓRMULA:
360
28*TD*VNVNPR
360
28*.*.$.$PR 565000100010
07777778065050010 .*.$.$PR
560569439444440010 .$..$PR PRECIO DEL CETE A DESCUENTO
Con el mismo ejemplo anterior, determinar su precio antes de su vencimiento, partiendo de los siguientes supuestos: B.- Pasan 7 días y deseamos venderlo antes de su vencimiento (faltando 21 días para su vencimiento), a una tasa de descuento del 54%:
214
DATOS: VN = $10.00 (valor nominal) TD = 54.0 % (tasa de descuento) DV = 21 días (días por vencer) PR = X ( PRECIO )
FORMULA:
360
2*TD*VNVNPR 1
360
2*.*.$.$PR 154000100010
0583333304050010 .*.$.$PR
685931500010 .$..$PR PRECIO DEL CETE ANTES DE SU VENCIMIENTO
Esta historia continuará……. Nos vemos pronto en Administración Financiera II
215
BIBLIOGRAFIA
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Administración”. Editorial McGraw-Hill, México, 8ª. Edición.
WESTON, Fred & BRIGHAM, E.: (1995) “Finanzas en Administración”.
Décima Ed. México: McGraw Hill.
217
ANEXOS
218
ANEXO A
RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 3.1.- INTERÉS SIMPLE CAPÍTULO DE INTERÉS SIMPLE:
Valor presente y Valor futuro Ecuaciones Equivalentes
1.- Determine el interés que genera un capital de $ 105,000.00 en 5 meses con una tasa nominal del 3%.
PinI DATOS:
P = $ 105, 000.00 i = 3% n = 5 meses I = 1312.50
03.*12
5*105000I 03.*4166667.*105000I 0125.*105000I 50.1312I
Despejemos ahora ¿cuál fue el capital que invertimos?:
in
IP
03.*
12
5
50.1312P
03.*4166667.
5.1312P
0125.
5.1312P 00.000,105$P
Encontremos ahora el plazo al cual invertimos el capital:
Pi
In
219
12
03.*105000
5.1312n
5.262
5.1312n 5n
Despeje ahora la tasa de interés utilizada
12
5*105000
5.1312i
416667.*105000
5.1312i
5.43753
5.1312i %303. i
2.- Determine el interés que genera un capital de $ 310,000.00 en 7 meses con una tasa nominal del 8%. DATOS:
P = $ 310, 000.00 i = 8% n = 7 meses (210 días) I = 3750.00
PinI
360
210*08.*310000I 5833.*08.*310000I 0475.*310000I
00.477,14$I
Determine ahora el capital que invirtió
in
IP
360
210*08.
00.14477P
5833.*08.
00.14477P
0467.
00.14477P 00.000,310$P
Despeje de la fórmula el período utilizado
Pi
In
nP
Ii
*
220
360
08.*310000
00.14477n
88888882.68
00.14477n díasn _210
Encuentre ahora la tasa nominal a la que invirtió
360
210*310000
00.14477i
5833333333.*310000
00.14477i
33.180833
00.14477i
%808. i
3.- Utilice ahora la formula factorizada para encontrar el monto final de los siguientes pagos: P = $ 400 000.00 40% al contado y 60% a crédito n = 4.5 meses (135 días) i = 20%
inPS 1
360
135*20.1240000S 375.0*20.1240000 S 075.1240000 S
075.1*240000S 00.000,258$S Despeje de la fórmula principal el capital inicial invertido.
in
SP
1
360
135*20.1
000,258
P )375.*20(.1
000,258
P
075.1
000,258
P
075.1
000,258P
00.000,240$P
nP
Ii
*
221
Despeje de la fórmula principal el interés utilizado.
360
135*2400000
240000000,258 i
375.*240000
18000i
90000
18000i 20000.i %20i
iP
PSn
*
360
20.*240000
240000258000 n
3333.133
18000n 135n
4.- Con la fórmula factorizada encuentre el monto final y luego despeje sus demás literales: P = $ 200 000.00 25% al contado y 75% a crédito n = 5 meses (150 días) i = 20%
inPS 1
360
150*20.1150000S 416666.*20.1150000 S 083333.1150000 S
083333.1*150000S 99.499,162S
in
SP
1
360
150*20.1
99.499,162
P 416666.*20.1
99.162499
P
083333.1
99.162499P 00.000,150$P
360
150*150000
15000099.162499 i
416666.*150000
99.12499i
90.62499
99.12499i %20i
iP
PSn
*
20.*150000
15000099.162499 n
30000
99.12499n
360
150416666. n
nP
PSi
*
nP
PSi
*
222
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
1. Obtenga el valor presente de un pago final de $60,500.00 que se hará dentro de 45 días con una tasa del 15% S = $ 60 500.00 n = 45 días i = 15%
in
SP
1
360
45*15.1
60500
P 125.*15.1
60500
P
01875.1
60500
P
01875.1
60500P 5.59386P
2. Encuentre el valor futuro de un adeudo que el día de hoy importa $75,400.00 por el cual nos cobrarán una tasa del 6% al pagar dentro de un mes. P = $ 75 400.00 n = 30 días i = 6%
)1( inPS
)360
30*06.1(75400 S )00499.1(75400 S )00499.1(75400S 99.75776S
ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES
1. Deuda original de 125000 que se cumpliría en 2 pagos uno en 3 meses y otro en 5 meses por los cuales nos cobran un interés del 20%, ofrecemos al proveedor hacerle 5 pagos uno en la fecha focal acordada, uno 1 mes después, otro 2 meses después, otro 3 meses después y el último 4 meses después, el proveedor acepta y nos respeta la tasa de interés cobrada hasta entonces
in
S
in
SVEO
11
21
P = $ 65 000.00 a los 3 meses $ 60 000.00 a los 5 meses i = 20%
223
360
150*20.1
60000
360
90*20.1
65000
VEO 4166666.*20.1
60000
25.*20.1
65000
VEO
0833333.1
60000
05.1
65000
VEO
0833333.1
60000
05.1
65000VEO
6170.5538476.61904 VEO 39.289,117$VEO
El valor del nuevo esquema
in
S
in
S
in
S
in
SSVNE
1111
54321
360
120*20.1
360
90*20.1
360
60*20.1
360
30*20.1
54321
SSSS
SVNE
360
120*20.1
360
90*20.1
360
60*20.1
360
30*20.1
XXXX
XVNE
360
120*20.1
1
360
90*20.1
1
360
60*20.1
1
360
30*20.1
11
VNE
33333.*20.1
1
25.*20.1
1
166666.*20.1
1
083333.*20.1
11
VNE
0666666.1
1
05.1
1
033333.1
1
016666.1
11
VNE
066666.1
1
05.1
1
033333.1
1
016666.1
11 VNE
19375058594.952380952.967742247.983607202.1 VNE
18412362604.4VNE 18412362604.4
39.289,117VNE 15.227,24$VNE
224
2. Determine el valor original de una deuda de 450 mil pesos por la cual se realizaría el primer pago dando 44.44% dentro de 3 meses, y el segundo pago del 66.66% 5 meses después si se nos está cobrando una tasa del 15%, y el valor de la renegociación con el proveedor si se hacen 4 pagos, el primero en la fecha de la negociación, el segundo 2 meses después, el 3ro 4 meses después y el 4to 6 meses después y se nos cobra una nueva tasa del 18% P = $ 200 000.00 en 3 meses $ 250 000.00 en 5 meses i = 15%
in
S
in
SVEO
11
21
360
150*15.1
250000
360
90*15.1
200000
VEO 4166666.*15.1
250000
25.*15.1
200000
VEO
0625.1
250000
0375.1
200000
VEO
0625.1
250000
0375.1
200000VEO
1176.2352940843.192771 VEO 2019.065,428$VEO
El valor del nuevo esquema
in
S
in
S
in
SSVNE
111
4321
360
180*18.1
360
120*18.1
360
60*18.1
4321
SSS
SVNE
360
180*18.1
360
120*18.1
360
60*18.1
XXX
XVNE
5.*18.1
1
333333.*18.1
1
166666.*18.1
11
VNE
09.1
1
05999994.1
1
02999988.1
11
VNE
09.1
1
05999994.1
1
02999988.1
11 VNE
930232558.952380952..975609851.1 VNE
88317013719.3VNE 88317013719.3
2019.428065VNE
75.716,111$VNE
225
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 3.2.- INTERÉS COMPUESTO
6. Andrés y Silvana acaban de tener a su primer hijo. Es una niña llamada Luciana. Andrés ese mismo día abre una cuenta para Luciana con la cantidad de $3´000,000.00. ¿Qué cantidad habrá acumulado Luciana para la edad de 8 años, si el banco les ofrece un interés del 6%, capitalizable trimestralmente?
7. P=3,000,000 n=8 AÑOS i=6% TRIMESTRAL
3232
32
1
0.063,000,000 1 3,000,000 1 0.015
4
3,000,000 1.015 3,000,000 1.61032432
$4,830,972.96
ni
S Pm
S
S
S
8. Manuelito de 8 años recibió un cheque de su abuelo por $3,000.00 el día que ganó
un concurso de natación. Pasó el tiempo y Manuelito olvidó que había depositado ese dinero. A sus 26 años decide retirar lo acumulado. ¿Cuánto hay en la cuenta de Manuelito gracias a su buena brazada, si inicialmente le dieron una tasa del 12% con capitalización mensual? P=3,000 i=12% MENSUAL n=18 AÑOS
216216 216
1
0.123,000 1 3,000 1 0.01 3,000 1.01
12
3,000 8.578606299
$25,735.8189
ni
S Pm
S
S
S
9. Los señores Borja se pelearon; y la Sra. para aplacar su furia decidió ir de compras y
adquirió una bolsa Fendi de la temporada recién salida en abril a $5,689.45. El Sr. Borja, decide no pagar la tarjeta durante 4 meses para darle una lección a su mujer. Si el banco cobra un interés mensual de 3.344%. ¿Cuál será su saldo al mes de agosto? P=5,689.45 n=4 MESES i=3.344%=0.03344
226
4 4
1
5,689.45 1 0.03344 5,689.45 1.03344
5,689.45 1.140620227
$6,489.501
nS P i
S
S
S
10. Susana decide regalarle un coche a su hija que cumple 17 años. Y acuerda pagar un enganche de $65,000.00 y saldar el resto en otro pago de $58,000 tres meses después. Si 56 días antes de la fecha de vencimiento del adeudo de los $58,000, Susana recibe una grande herencia y decide abrir un pagaré a 28 días, ¿Qué cantidad debe depositar para que el monto final cubra exactamente los $58,000 que adeuda si la tasa de interés anual es del 11.571%? S=$58,000 n=28 DIAS i=11.571%=0.11571
2
2
2
1
0.11571 2858,000 1
360
58,000 1 0.008999666
58,000 58,000$56,969.96
1.0180803271.008999667
ni
S Pm
P
P
P
11. El Sr. Humberto Secchi quiere hacer 2 viajes para celebrar los 15 años de sus hijas respectivamente; con valor de $25,000.00 cada uno. Para ello abre dos cuentas de ahorro, una para el viaje a Argentina que será con Alicia que actualmente tiene 11 años y 10 meses y la otra para el Crucero por el Caribe que será con Valeria quien tiene 9 años y 3 meses. El banco le va a brindar un interés anual del 14.8% capitalizable mensualmente. ¿Cuánto debe depositar en cada cuenta? i=14.8% mensual S=$25,000 para 15 años le faltan 3 años 2 meses
38 38
38
1
25,000 25,000
1 0.0123333330.1481
12
25,000 25,000$15,690.81
1.5932884511.012333333
n
SP
i
P
P
227
Argentina, viaje con Alicia S=25,000 i=14.8%=0.148 para 15 años le faltan 5 años 9 meses
69 69
69
1
25,000 25,000
1 0.0123333330.1481
12
25,000 25,000$10,730.40
2.3298291071.012333333
n
SP
i
P
P
Crucero, viaje con Valeria
8. a) ¿en cuánto tiempo se duplica una inversión de $1,000 al 13% anual capitalizable trimestral? P=1,000 i=13% TRIMESTRAL 13(3)/12=3.25%=0.0325
1 2
1 2
log 1 log 2
log 1 log 2
log 2
log 1
1,000 1 0.0325 1,000 1.0325
1,000 1.0325 2 1,000 1.0325 2 1,000
1,000 1.0325 2,000
2,0001.0325 1.0325 2
1,000
log 1.0325 log 2
log 1.0325 log 2
log 2
log 1.0
n
n
n
n n
n n
n
n n
n
P i P
i
i
n i
ni
P
n
n
0.30102999521.672
325 0.01389006
b) ¿en cuánto tiempo se duplica una inversión de $1,000 al 13% anual capitalizable mensualmente? P=1,000 i=13% mensual 13/12=1.083%=0.01083
228
1
1,000 1 0.01083 1,000 1.01083
1,000 1.01083 2 1,000 1.01083 2 1,000
1,000 1.01083 2,000
2,0001.01083 1.01083 2
1,000
log 1.01083 log 2
log 1.01083 log 2
log 2 0.30102999564.348
log 1.01083 0.00467812268
n
n n
n n
n
n n
n
P i
P
n
n
4
c) ¿en cuánto tiempo se duplica una inversión de $5,000 al 13% anual capitalizable mensualmente? P=5,000 i=13% mensual 13/12=1.083%=0.01083
1
5,000 1 0.01083 5,000 1.01083
5,000 1.01083 2 5,000 1.01083 2 5,000
5,000 1.01083 10,000
10,0001.01083 1.01083 2
5,000
log 1.01083 log 2
log 1.01083 log 2
log 2 0.30102999564.3
log 1.01083 0.00467812268
n
n n
n n
n
n n
n
P i
P
n
n
484
d) ¿en cuánto tiempo se duplica una inversión de $1,000 al 6.5% anual capitalizable mensualmente? P=1,000 i=6.5% mensual 6.5/12=0.5416%=0.005416
229
1
1,000 1 0.005416 1,000 1.005416
1,000 1.005416 2 1,000 1.005416 2 1,000
1,000 1.005416 2,000
2,0001.005416 1.005416 2
1,000
log 1.005416 log 2
log 1.005416 log 2
log 2 0.301029995
log 1.005416 0.00234579
n
n n
n n
n
n n
n
P i
P
n
n
128.3222
9. a) ¿En cuánto tiempo una inversión de $1,000 al 13% anual capitalizable trimestralmente alcanza los $3,500? P=1,000 i=13% trimestral 13(3)/12=3.25%=0.0325 S=$3,500
1
1,000 1 0.0325 3,500
1,000 1.0325 3,500
3,5001.0325 1.0325 3.5
1,000
log 1.0325 log 3.5
log 1.0325 log 3.5
log 3.5 0.54406804439.1695
log 1.0325 0.01389006
n
n
n
n n
n
S P i
n
n
b) ¿En cuánto tiempo una inversión de $1,000 al 13% anual capitalizables mensualmente alcanza los $3,500? P=1,000 i=13% mensual 13/12=1.083%=0.01083 S=3,500
230
1
1,000 1 0.1083 3,500
1,000 1.01083 3,500
3,5001.01083 1.01083 3.5
1,000
log 1.01083 log 3.5
log 1.01083 log 3.5
log 3.5 0.544068044116.300
log 1.01083 0.00467812268
n
n
n
n n
n
S P i
n
n
c) ¿En cuánto tiempo una inversión de $1,000 al 6.5% anual capitalizable mensualmente alcanza los 3,500? P=1,000 i=6.5% mensual 6.5/12=0.5416%=0.005416 S=3,500
1
1,000 1 0.005416 3,500
1,000 1.005416 3,500
3,5001.005416 1.005416 3.5
1,000
log 1.005416 log 3.5
log 1.005416 log 3.5
log 3.5 0.544068044231.9336
log 1.005416 0.002345792
n
n
n
n n
n
S P i
n
n
231
Anexos B:
Nomenclatura alterna propuesta por Guzmán, Lara y Rodríguez (2008) en la materia de Matemáticas Financieras. División de posgrados de la UCC
Tabla de simbología y conceptos de interés simple.
Tabla de simbología y conceptos Tasa de rendimiento y descuento.
Simbología Concepto Descripción Fórmula
Ta
sa d
e re
nd
imie
nto
s y
des
cu
ento
s
FV Valor futuro Suma del monto inicial y su interés
nr
FVPV
g
1
nr
rr
g
g
d
1
nr
rr
d
d
g
1
niFVPV d 1
PV Valor presente Valor de un monto o cantidad futura en
el presente.
gr Tasa de interés Tasa de rendimiento expresada en
decimales.
dr Tasa de interés Tasa de descuento expresada en
decimales.
n Período
Unidad de tiempo trascurrido entre las
fechas inicial y final en una operación
financiera
m Número de
capitalizaciones
Número de capitalizaciones que se
realizarán en una operación financiera
Simbología Concepto Descripción Formula
Inte
rés
sim
ple
SI Interés simple Cambio del valor del dinero en el tiempo en
función a una tasa de interés r.
PVrnSI
)1( rnPVFV
PV Valor
presente
Valor de un monto o cantidad futura en el
presente.
FV Valor futuro Suma del monto inicial y su interés
R Tasa de
interés Tasa de interés nominal expresada en decimales.
N Período Unidad de tiempo transcurrido entre las fechas
inicial y final en una operación financiera
Va
lor
pre
sen
te c
on
inte
rés
sim
ple
FV Valor futuro Suma del monto inicial y su interés
rn
FVPV
1
PV Valor
presente
Valor de un monto o cantidad futura en el
presente.
R Tasa de
interés Tasa de interés nominal expresada en decimales.
N Período Unidad de tiempo que trascurrido entre las
fechas inicial y final en una operación financiera
232
Tabla de simbología y conceptos de Ecuaciones Equivalentes con interés simple
Simbología Concepto Descripción Fórmula
Ecu
aci
on
es d
e v
alo
res
equ
iva
len
tes
SOP Esquema de pago
original
Representa el monto total del
esquema de los pagos
originales de una operación
financiera
rn
xxrnxSOP
11 3
21
rn
xxrnxSCP
11 3
21
SCP Esquema de pago
actual
Representa el monto total del
esquema de los pagos
actuales de una operación
financiera
nxxx .., 21 Montos Representa los pagos de un
esquema
FD Fecha focal
Fecha donde se puede realizar
una negociación para
determinar un nuevo esquema
de pago.
11 rn Factor
acumulativo
Es el factor que se emplea
cuando un pago está antes de
una fecha focal
11
1
rn
Factor de
descuento
Es el factor que se emplea
cuando un pago está después
de una fecha focal
Tabla de simbología y conceptos de interés Compuesto.
Simbología Concepto Descripción Fórmula
Inte
rés
com
pu
esto
CI Interés
compuesto
Cambio del valor del dinero en el tiempo en
función a una tasa de interés r y sus
capitalizaciones.
n
m
rPVFV
1
CIPVFV
PV Valor presente Valor de un monto o cantidad futura en el
presente.
r Tasa de interés Tasa de interés nominal expresada en
decimales.
n Período Unidad de tiempo trascurrido entre las fechas
inicial y final en una operación financiera
m Número de
capitalizaciones
Número de capitalizaciones que se realizarán
en una operación financiera
Va
lor
pre
sen
te c
on
in
teré
s
com
pu
esto
FV Valor futuro Suma del monto inicial y su interés
n
m
r
FVPV
1
PV Valor presente Valor de un monto o cantidad futura en el
presente.
r Tasa de interés Tasa de interés nominal expresada en
decimales.
n Período
Unidad de tiempo que trascurrido entre las
fechas inicial y final en una operación
financiera
m Número de
capitalizaciones
Número de capitalizaciones que se realizarán
en una operación financiera
233
Tabla de simbología y conceptos de Tasa de interés Real, efectiva y nominal
Simbología Concepto Descripción Fórmula T
asa
de
Inte
rés
EIR Tasa efectiva
de interés
La tasa efectiva es la que resulta
de capitalizar la tasa nominal, la
cual depende de los períodos de
capitalización
100*11
n
n
NIREIR
100*1
IIR
IIREIRRIR
NIR Tasa de interés
nominal
La tasa nominal es una tasa de
interés pasiva sin capitalizar
RIR Tasa de interés
real
La tasa real es el rendimiento por
encima de la inflación que se
pagó o se recibe en operaciones
financieras.
IIR Tasa de interés
inflacionaria
Aumento porcentual en un año
que experimenta el nivel general
de precios medido generalmente
por el Índice de Precios al
Consumidor (IPC), el deflactor
del Producto Interno Bruto u otro
índice de precios.
n Período
Unidad de tiempo trascurrido
entre las fechas inicial y final en
una operación financiera
Tabla de simbología y conceptos de Ecuaciones Equivalentes con interés compuesto
Simbología Concepto Descripción formula
Ecu
aci
on
es d
e v
alo
res
equ
iva
len
tes
SOP Esquema de pago
original
Representa el monto total del
esquema de pagos originales
de una operación financiera
m
n
r
xrxSOP
11 2
1
m
n
r
xrxSCP
11 2
1
SCP Esquema de pago
actual
Representa el monto total del
esquema de pagos actuales de
una operación financiera
nxxx .., 21 Montos Representa los pagos de un
esquema
FD Fecha focal
Fecha donde se puede realiza
una negociación para
determinar un nuevo esquema
de pago.
nr1 Factor
acumulativo
Es el factor que se emplea
cuando un pago esta antes de
una fecha focal
mr1
1
Factor de
descuento
Es el factor que se emplea
cuando un pago está después
de una fecha focal
234
Tabla de simbología y conceptos de Anualidades
Simbología Concepto Descripción Formula A
nu
ali
da
d o
rdin
ari
a y
su
va
lor
pre
sen
te
oaFV Valor futuro de una
anualidad ordinaria
Es la sumatoria de los
pagos periódicos de igual
valor.
r
rAFV
n
oa
11
r
rAPV
n
oa
11
oaPV Valor presente de
una anualidad
ordinaria
Representa el presente de
una anualidad en n
períodos a la tasa r.
A Anualidad o renta
Pagos periódicos de igual
valor requeridos al final de
cada período
r Tasa de interés Tasa de interés nominal
expresada en decimales.
n período
Unidad de tiempo
trascurrido entre las fechas
inicial y final en una
operación financiera
An
ua
lid
ad
an
tici
pa
da
y
su v
alo
r
pre
sen
tes
daFV Valor futuro de una
anualidad anticipada
Es la sumatoria de los
pagos periódicos de igual
valor.
r
rrAFV
n
da
111
r
rrAPV
n
da
11
1
daPV Valor futuro de una
anualidad anticipada
Representa el presente de
una anualidad en n
períodos a la tasa r.
A Anualidad o renta
Pagos periódico de igual
valor requeridos al inicio
de cada período.
r Tasa de interés Tasa de interés nominal
expresada en decimales.
n período
Unidad de tiempo
trascurrido entre las fechas
inicial y final en una
operación financiera
235
Fin de esta obra
