ADMISIÓN 2014 - 2

Créditos

ACADEMIAS

GERENTE GENERAL ADJUNTO: Ricardo Campodonico Gómez

JEFE DE OPERACIONES:

Mario Mendoza Gloria

SUPERVISORA ED. ACADEMIA: Mercedes Nunura Sánchez

DIRECCIÓN GENERAL DE LÍNEA: Elena Trujillo Moreno

COORDINACIÓN DE MATERIALES: Elizabeth Gerónimo Ayala

PROFESORES RESPONSABLES:Roberto Visurraga | Sergio Bautista | Jorge Manrique

Juan Ramos Leyva | Cristehan Miguel | Jesús BustillosAaron Ramos | Ernesto Quispe

Adriano Ynfanzon Quispe | Dehivy Montiel Horna

PRE PRENSA DIGITAL

DIAGRAMACIÓN UNI:Linda Romero | Erika Cuadros | Robert Rayco

COLABORADORES:Betty Picoy | Karina Ubillus | José Siesquén

Ynes Romero | Linda Canaval | Otilia Porras José Luis Pacherres | Sara Yañez

© Derechos Reservados: Ediciones e Impresiones Paz S.A.C.Prohibido la reproducción total o parcial de este volumen | Edición 2014

www.pamer.edu.pe

Presentación

Estimado(a) amigo(a):

Has elegido postular a la UNI, y por ello desde ya te felicitamos, puesto que, sin duda, eres una persona a la que le gustan los grandes retos. Por tal motivo, la Corporación Educativa PAMER te brinda el solucionario del examen de admisión UNI 2014-II, que es una excelente herramienta que te ayudará a absolver dudas, reforzar conoci-mientos y conocer el modelo de preguntas que propone el examen de admisión UNI.

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Tus amigos,

Corporación Educativa Pamer

ACADEMIAS

Examen de Admisión

UNI 2014 - IIMatemáticasACADEMIAS

4Primera Prueba Matemáticas

MATEMÁTICA PARTE 1

1. Una editorial ha realizado un estudio y concluye que si regala x libros a docentes universitarios, el número de ventas de es-tos libros es de 2000 – 1000e–0,001 x.

Indique la secuencia correcta después de determinar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. La venta de libros aumenta si se rega-lan más libros.

II. Si no se regalan libros, se venden 1000 libros.

III. El máximo número de libros a vender es 2000.

A) VVV B) FVV C) FVF

D) VFV E) FFV

2. Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

I. Si A = AT donde A es triangular supe-rior, entonces A es matriz nula.

II. Si A = –AT donde A es triangular infe-rior, entonces A es matriz diagonal.

III. Si A es una matriz rectangular de or-den m × n, entonces AAT es una ma-triz cuadrada de orden m × n y todos los elementos de su diagonal son nega-tivos.

A) VVV B) VFV C) FVV

D) FFV E) FFF

3. Sea A, B y C matrices:

A = JKL

NOP

1

7

8

3; B =

JKL

NOP

–2

5

4

3; C =

JKL

NOP

1

–2

–6

–4

Si se tiene que: 5x = 3(A – 4(B + C) – X) + A, halle el determinante de X.

A) 11 B) 12 C) 13

D) 14 E) 15

4. Halle los valores de x e y respectivamente tales que:

αx + βy = –1 (β – 1)x + (α + 1) y = 3 además se cumple que: α + 3β + 1 = 3α + β + x = α2 + α – β2 + β ≠ 0

A) 0 y 1 B) 1 y 0C) 1 y –1 D) –1 y 1E) 1 y 1

5. Si cada una de las series que se suman es convergente, halle:

∑K=0

α

∑K=0

α

(–1)KS = +12K

JKL

NOP

12

K

A) S = 0 B) S = 2/3C) S = 1 D) S = 2E) S = 8/3

6. Halle la suma de la serie:

1 + 1

23 + 1

43 + 1

83 + 1

163 + ...

A) 1 B) 1 + 23

C) 23 D) 23

23 – 1

E) 23

23 + 1

7. Considere a > b > 0, determine el cocien-te entre la menor y mayor de las raíces de la ecuación en x:

1x

1a

1b

1x + a + b

+ + +

A) a/b B) b/a C) abD) a + b E) 1

8. Si S es el conjunto solución de la inecua-ción: 2x – 1

1 – 3x < 1, entonces SC = [a; b].

Determine el valor de 3a + 5b, donde SC es el complemento de S.A) –2 B) –1 C) 0D) 2 E) 3

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Matemática

Examen de Admisión



9. Sea la función f que satisface la ecuación f(x)2 + 2f(x) = x + 1. Si f toma valores positivos en su dominio, halle tal dominio.A) ⟨–1; +∞⟩ B) [0; +∞⟩C) ⟨–∞; 0⟩ D) E) ⟨–1; 1⟩

10. Sean los conjuntos: A = {(x; y) ∈ 2/x – 1 ≤ y ≤ x + 1} B = {(x; y) ∈ 2/1 ≤ x ≤ 3} Después de graficar A ∩ B se obtiene los

vértices (a; b), (c; d), (e; f), (g; h). Calcule: a + b + c + d + e + f + g + h.A) 8 B) 2 C) 16D) 20 E) 24

11. Sea f: → una función, tal que cum-ple: f(ax + by) = af(x) + bf(y) para cual-quier a, b, x, y ∈ , donde f(1) = 1. Si yf(2) + 6y + f(9) = n2. Halle un valor de y.A) 3 – n B) n – 3C) n = 2 D) 2 – nE) n – 1

12. Señale el gráfico de R1 ∩ R2, donde: R = {(x; y) ∈ 2/y ≥ (x + 1)Log(x+1)(x)} R = {(x; y) ∈ 2/y ≤ 1 + Log(x + 2)}

A)

O

B)

O

C)

O

D) O–2

E)

O

13. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdade-ra (V) o falsa (F) según el orden dado:

I. Sean A, B, C eventos, entonces:

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) + P(B ∩ C) + P(A ∩ C) – P(A ∩ B ∩ C)

II. Sean:

S = {(x; y)/x, y ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}

B = {(x; y) ∈ S/1 + y < x}

entonces P(B) = 512

III. Si B ⊂ A, entonces P(A\B) = P(A) – P(B).

Donde P(x) representa la probabilidad del evento X.

A) VVV B) VFV

C) FVV D) FFV

E) FFF

14. Sea N = 111111(3). Calcule la suma de dígitos al multiplicar en base 3, N consigo mismo.

A) 100 (3) B) 101(3)

C) 110(3) D) 111(3)

E) 112(3)

15. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdade-ra (V) o falasa (F) según el orden dado.

I. Si y ∈

\ {0}, x ∈

, entonces x/y ∈

.

II. Si a, b son irracionales, entonces a + b y a • b son racionales.

III. Si a ∈

y b es irracional entonces a • b es un número irracional.

A) VVV B) VFV

C) VFF D) FVV

E) FFF

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Examen de Admisión



16. Sea

1 7 a b c d 9 * * * *1 7 a b c d 9– 7 a

* *– 8 b c

* * *– 2 6 d 9

* * 6 *– – – e

donde a, b, c, d y e corresponden a un solo dígito y * puede tomar diferentes valores de un dígito. Determine el valor de:

E = e + d – c + b –a

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

17. Las magnitudes "x" e "y" son tales que (y – 4) y (x2 – 4) son inversamente pro-porcionales, Si el par (–1; –2) satisface esa relación, determina la ecuación de propor-cionalidad.

A) 18x2 – 4

= + 4y

B) 18x2 – 4

= – 4y

C) 18x2 – 4

= + 4y

D) –18x2 + 4

= – 4y

E) 18x2 – 4

= + 4y

18. Si la diferencia entre la media aritmética y la media armónica de dos números natura-

les a y b es 1. Determine el menor valor de

a2 + b2 asumiendo que a > b.

A) 10 B) 13

C) 2 10 D) 2 13

E) 6 5

19. Dos capitales han sido colocados a interés simple durante el mismo tiempo; el prime-ro al 6% y el segundo al 10%. El primero ha producido S/. 825 y el segundo ha pro-ducido S/. 1850, sabiendo que el segundo capital excede al primero en S/. 7125. Cal-cule la suma de dos montos obtenidos (en nuevos soles).A) 48375 B) 51050 C) 52110D) 53030 E) 54100

20. Una encuesta realizada en la ciudad de Lima muestra la table siguiente:

N° de hijos N° de familias0 – 2 1 2003 – 6 4007 – 9 150

10 – 12 3013 – 15 15

Calcule el número de familias que tiene de 4 a 11 hijosA) 380 B) 470 C) 480D) 570 E) 580

MATEMÁTICA PARTE 2

21. En la circunferencia de radio R de la figura determine el ángulo α de modo que l = R.

α

l

A) 15° B) 18° C) 30°D) 36° E) 45°

22. Determine la cónica que representa la

ecuación polar:

84+3Cosq

=r

A) Hipérbola B) ParábolaC) Elipse D) CircunferenciaE) Un punto

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Examen de Admisión



23. Sea "q" un ángulo en el III cuadrante que satisface:

(Cotq)2Tanq = 827

Determine el valor de E = 3cosq + 2Senq.

A) 9

12 B) 8

13 C) –3

13

D) –12

13 E) –13

12

24. Determine cuál de los siguientes intervalos pertenecen la solución de la ecuación tri-gonómetrica.

A) p4

< x < p3

B) p3

< x < p2

C) p2

< x < 5p6

D) 3p4

< x < 5p6

E) 5p6

< x <p

25. La figura adjunta representa sectores cir-culares en el triángulo rectángulo isósceles ABC. Calcule (en cm) la suma de las longi-tudes de los arcos DEy EF si AC = 1 cm.

A

B C

DE

F

A) p/4 B) p/2

C) p D) 3p/2

E) 2p

26. Calcule M = Sen4q + Sen42q +Sen43q; si q = p/7.

A) 21/13 B) 21/14

C) 21/15 D) 21/16

E) 21/17

27. Calcular el número de vueltas que da una rueda de radio r = 0,5 cm; al rodar (sin resbalar) en un arco circular AB de radio R = 6 cm y ángulo central 60° (ver figura).

l

60°

A B

O

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

28. Calcule el valor de x para que el ángulo q sea máximo.

A B

M

C1

1

A) 2 B) 3 C) 5

D) 7 E) 11

29. Se tiene el triángulo equilátero ABC cuyo lado mide 12 m. Por el vértice C se traza CD perpendicular al plano que contiene dicho triángulo. Si el ángulo entre los pla-nos determinados por ABD y ABC es 60°, entonces la distancia de C al plano ABD, en metros, es:

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

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Examen de Admisión



30. Se tiene la siguiente figura formada por dos

círculos de radios R y r JKLr=

R2

NOP

. Determine la

longitud de arco de circunferencia AC.

R

A Cr

A) 2r.arcsenJKL

154

NOP

B) 2r.arcsenJKL

158

NOP

C) 4r.arcsenJKL

154

NOP

D) 4r.arcsenJKL

158

NOP

E) 6r.arcsenJKL

154

NOP

31. La figura representa un cubo de arista a cm. Calcule el ángulo que forman las rectas

CS y BD.

A

B

Q

PS

R

CD

A) 30° B) 45° C) 60°D) 75° E) 90°

32. Una pirámide de base cuadrada y un cono tienen el vértice común “O”, la base de la pirámide está inscrita en la base del cono. Halle el volumen comprendido entre las caras de la pirámide y la superficie del cono, si el lado de cuadrado mide 2 m y la generatriz del cono 9 m.

A) 4 53

(p – 2)m3

B) 8 53

(p – 2)m3

C) 13 53

(p – 2)m3

D) 6 55

(p – 2)m3

E) 8 55

(p – 2)m3

33. Por el vértice B de un triángulo ABC se traza BD perpendicular al plano ABC, el punto D se une con los vértices A y C. Ade-más se traza BH perpendicular a AC (H ∈

AC). Si BH = 365

, BD = 365

3 , entonces

SiADC

SiABC es:

A) 12

B) 32

C) 2

D) 52

E) 3

34. En un cilindro circular recto, de radio 2 cm y altura 6 cm, se inscribe un paralelepípedo rectangular. El máximo volumen (en cm3) que puede tener tal paralelepípedo es:

A) 44 B) 45 C) 48

D) 49 E) 51

35. En un triángulo equilátero ABC, sobre la

altura AH (H ∈ BC) se toma el punto E y

en la prolongación de AC se toma el punto

D (C ∈ AD), tal que EC = CD y AC = ED. Halle m∠HED.

A) 40° B) 45° C) 48°

D) 50° E) 52°

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36. En un trapezoide dos ángulos interiores opuestos se diferencia en 24°. Calcule el ángulo formado por las bisectrices interio-res de los otros dos ángulos.A) 196° B) 186° C) 175°D) 168° E) 123°

37. En la figura M es punto medio de AC y las circunferencias están inscritas en los trián-gulos. Si AB = k1r, R = k2r, entonces se cumple la relación:

r R

B

A CM

A) K1 + 1K2

< 2 B) K1 + 1K2

< 1

C) K1 + K2

K2

< 12

D) K1 + K2

K1

< 2

E) K2 + 1K1

< 12

38. En la figura mostrada, si AB = 4 2 m. Halle R (en metros).

A B

RO

O’

A) 2 B) 2,5 C) 3

D) 3,5 E) 4

39. En la figura mostrada, se tiene que AB + CD = 30 m y BC + AD = 50 m, calcule EF.

A

BE

F D

C

A) 8 B) 10 C) 12

D) 14 E) 16

40. En el gráfico mostrado BD es paralelo AE y T es punto de tangencia. Calcule AB (en cm), si CT = 5 cm y BC = 3 cm.

A E

DBC

T

A) 2,6 B) 3,7 C) 4,8

D) 5,9 E) 6,5

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Examen de Admisión

UNI 2014 - IISolucionarioACADEMIAS


resolución 1

Tema: Función exponencial

Ubicación de incógnita

Determinar el valor de verdad

Análisis de los datos o gráficos

f(x)= 2000 – 1000 1( )x

e1000

Operación del problema

I. Verdadero

si x aumenta, f(x) aumenta

II. Verdadero f(0)= 2000 – 1000 = 1000

III. Verdadero

Si x → ∞, entonces f(x) → 2000

respuesta: a) VVV

resolución 2

Tema: Matrices


Determinar el valor de verdad


I. Falso

Por un contra ejemplo, sea:

1 a b0 3 c0 0 4

A = ( ( Como A = AT: a = 0 ∧ b = 0 ∧ c = 0

Nótese que A no es una matriz nula.

II. Falso

En una matriz diagonal al menos un ele-mento de la diagonal principal debe ser diferente de cero.

Como A = –AT (matriz antisimétrica) ne-cesariamente todos los elementos ubicados en la diagonal principal son ceros.

III. Verdadero Según propiedad de A y AT, la proposición

es verdadera.

respuesta: D) FFV

resolución 3Tema: Matrices

Ubicación de incógnitaDeterminante de la matriz X

Análisis de los datos o gráficos5X = 3 (A – 4 (B + C) – X) + A2X = A – 3B – 3C


( (( ( ((1 87 3

6 –12–15 –9

–3 18 6 12

+ +2X =

( (4 14–2 6

2X =

( (2 7–1 3

= 6 + 7XX =

Conclusiones y respuesta∴ = 13X

respuesta: c) 13

resolución 4Tema: Sistema de ecuaciones

Ubicación de incógnitaDeterminar los valores de x ∧ y.


α x +β y = – 1(β – 1)x + (α +1) y = 3

α + 3β + 1 = 3α + β + x = α2 + α – β2 + β ≠ 0

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Según Cramer:

x =– (α + 3β + 1)

3α + β – 1

α2 + α – β2 + β

α2 + α – β2 + β

=

=

= – 1

= 1

xs

ys

y =

Conclusiones y respuesta

∴ x = – 1 ∧ y = 1

respuesta: D) –1 y 1

resolución 5

Tema: Series


Determinar S


JKL

NOP

12k

12

Σ Σ S =k=0 k=0

∞ ∞(– 1)k +

k


23

2= +1 12 2

1 1

1 + 1 – S = +


S = 83

respuesta: e) 83

resolución 6

Tema: Series


Valor de la suma S


S = 1 + 12

3 + 12

3

2

+ 12

3

3

+ ...


S = = 1

1 – – 13

3

31

2

2

2


∴ S = – 1

3

32

2

respuesta: D) – 1

3

32

2

resolución 7

Tema: Ecuaciones


Calculo de x1 ÷ x2, tal que x1< x2


1x

1b

1

x + a + b1a

++ =


Según implicancia: x = – a ∨ x = – b

Por condición: a > b > 0

– a< – b < 0

Aquí reconocemos que: x1= – a ∧ x2 = – b

=x1

x2

ab

respuesta: a) ab

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resolución 8Tema: Valor absoluto (VA)

Ubicación de incógnitaEl valor de 3a + 5b; Sc = [a;b]


2x – 11 – 3x

< 1 ⇔ 2x – 13x – 1

< 1

Operación del problema|2x – 1| < |3x – 1|; x ≠ 1/3(5x – 2)(x) > 0

0 2/5

Conclusiones y respuestaNótese que:Sc = [0; 2/5]

a = 0 ∧ b = 25

∴ 3a + 5b = 2

respuesta: D) 2

resolución 9Tema: Funciones

Ubicación de incógnitaDom(f)

Análisis de los datos o gráficosf2(x) + 2f(x)= x + 1 ................(1) f(x) > 0; ∀x∈Dom(f) ................(2)

Operación del problemaDe (1): (f(x) + 1)2 = x + 2 f(x) + 1∈{ x + 2 ; – x + 2 } f(x)∈ { x + 2 – 1; – x + 2 – 1}

Pero de (2): f(x) > 0 ↔ x + 2 – 1 > 0 x > –1 x ∈⟨–1, +∞⟩


Por lo tanto Dom(f) = ⟨–1, +∞⟩

respuesta: a) ⟨–1, +∞⟩

resolución 10

Tema: Relaciones gráficas


a + b + c + d + e + f + g + h


A = {(x; y) ∈ 2/x – 1 ≤ y ≤ x + 1}

B = {(x; y) ∈ 2/1 ≤ x ≤ 3}

A ∩ B = {(a; b), (c; d), (e; f), (g; h)}


Graficando A ∩ B

1

–1 0 1 3

y=x+1

y=x–1

x=3x=1


Los puntos de intersección son: (1; 0), (1; 2), (3; 2), (3; 4) por lo tanto a + b + c + d + e + f + g + h = 16

respuesta: c) 16

resolución 11

Tema: Funciones


Un valor de y

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f: R → R

f(ax+by) = a.f(x)+b.f(y) ∀ a,b,x, y ∈ R .... (1)

f(1) = 1 ..... (2)

yf(2) + 6y + f(9) = n2 .... (3)


De (1): f(x) = mx con m ∈ R

De (2): f(1) = 1 ↔ m = 1, luego f(x) = x

De (3): y2 + 6x + 9 = m2

(y + 3)2 = n2

y + 3 ∈ {n; –n}

y ∈ {n–3; –n–3}


Por lo tanto un valor de “y“ es n – 3.

respuesta: B) n – 3

resolución 12

Tema: Sistema de inecuaciones


R1 ∩ R2


R1 = {(x, y) ∈ R2 /y ≥ (x+1)log(x+1)(x)}

= {(x, y) ∈ R2 /y ≥ x, x > 0}

R2 = {(x, y) ∈ R2 /y ≤ 1+ Log(x+2)}


Graficando:

R1

y = x

0

R2

–2 0

Conclusiones y respuestaR1 ∩ R2:

–2 0 x

y

respuesta: c) 0

resolución 13Tema: Probabilidades

Ubicación de incógnitaDeterminar el valor de verdad de las proposi-ciones:I. Falso: P[(A ∪ B) ∪ C] = P(A ∪ B) + P(C) – [(A ∪

B) ∩ C] = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) + P(C) – P[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)]

= P(A) + P(B) – P(A ∩ B) + P(C) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

∴P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

II. Falso n(S) = 6.6 = 36 B = {(x; y)∈ S/1 + y < x} y = 1 → x = 3, 4, 5, 6 y = 2 → x = 4, 5, 6 y = 3 → x = 5, 6 y = 4 → x = 6 n(B) = 10 ⇒ P(B) =

1036

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Examen de Admisión



III. VerdaderoA

B

B ⊂ A ⇒ n(A\B) = n(A) – n(B) ⇒ P(A\B) = P(A) – P(B)

respuesta: D) FFV

resolución 14Tema: Cuatro operaciones

Ubicación de incógnitaCalcular la suma de cifras de N×N

Análisis de los datos o gráficosSe tiene N = 111111(3)

Operación del problemaN × N = N2 = [111111(3)]

2

111111(3) × 111111(3)

111111(3) + 111111(3)

111111(3)

111111(3)

111111(3)

111111(3)

20201202021(3)

Conclusiones y respuesta∴ La suma de cifras de N2

12 = 110(3)

respuesta: c) 110(3)

resolución 15Tema: Racionales

Ubicación de incógnitaDeterminar el valor de verdad de las proposi-ciones.

Análisis de los datos o gráficosI. Verdadero. x ∈ Q → x = a

b, b ≠ 0

y ∈ Q\{0} → y = cd

; c ≠ 0, d ≠ 0

xy

= adbc

∈ Q

Operación del problemaII. Falso Contra ejemplo: Para a = 2 , b = 3

a+b = 2 + 3 ∈ i

ab = 6 ∈ iIII. Falso Contra ejemplo

a = 0, b = 2 ⇒ ab = 0∈ Q

respuesta: c) VFF

resolución 16Tema: Radicación

Ubicación de incógnitaIdentificación de dígitos desconocidos.

Operación del problemaReconstruyendo por el método de extraer raíz cuadrada:

1 7 a b c d 91

8

- 7 a 6 9

8 b c7 8 9

2 6 d 92 6 6 1

1 3 3 1

2 3 × 3 = 69

2 6 3 × 3 = 789

2 6 6 1 × 1 = 2661

Identificando: a = 7; b = 1; c = 5; d = 6; e = 8∴ El valor de:E = e + d – c + b – aE = 8 + 6 – 5 + 1 – 7 = 3

respuesta: B) 3

ACADEMIAS

Matemática

Examen de Admisión



resolución 17Tema: Magnitudes proporcionales

Ubicación de incógnitaDeterminar la ecuación de proporcionalidad

Análisis de los datos o gráficosSean las magnitudes x e y(y – 4) I.P. (x2 – 4)El par (–1; –2) satisface la relación.

Operación del problemaDe las magnitudes:(y – 4)(x2 – 4) = k ....... (1)pero (–1, –2) satisface la relaciónx = –1 y = –2

En (1):(–2 –4)[(–1)2 – 4] = k→ k = 18

Conclusiones y respuestaLa ecuación: (y – 4)(x2 – 4) = 18

y = 18x2– 4

+ 4

respuesta: a) 18x2– 4

+ 4

resolución 18Tema: Promedios


MA = a + b2

MH = 2

+1a

1b

2aba + b

=

a > b (naturales) ⇒ a + b > 2


MA – MH = a + b2

– 2aba + b

= 1

⇒ (a + b)2 – 4ab = 2(a + b)

(a – b)2 = 2(a + b) ⇒ a + b = 8; 18; ...

a + b = 8 (mínimo) ⇒ (a – b)2 = 2(8) ⇒ a – b = 4

⇒ a = 6 ∧ b = 2

a2 + b2 = 62 + 22 + 40 = 2 10

respuesta: c) 2 10

resolución 19

Tema: Regla de Interés


Calcular la suma de los montos obtenidos.


• SeanC1 y C2 los dos capitales depositados a interés simple.

• Lastasasdeinterés6%y10%.

• ElinterésproducidoesS/.825yS/.1850.

• C2 excede a C1 7125.


El interés de cada capital

C1 x 6% x T = 825 ..... (1).

C2 x 10% x T = 1850 .... (2).

dividiendo:

C1

C2

55k74k

=

Además:C2 – C1 = 7125

19k = 7125 → k = 375

Luego:

M1 = (55k) + 825 = 21450

M2 = (74k) + 1850 = 29600

∴ La suma de los montos obtenidos:

M1 + M2 = 51050

respuesta: B) 51050

ACADEMIAS

Examen de Admisión



resolución 20Tema: Estadística

Ubicación de incógnitaCalcular el número de familias que tienen de 4 hasta 11 hojas.

Análisis de los datos o gráficosSe tiene la variable discreta (N° de hijos), usan-do el diagrama de bastones.


100 100100 100

50 50 5010 10 10

400

15030

3 5 6 7 8 9 10 11 12N° familias = 470

N° de hijos:

N° familias:

4

Conclusiones y respuestaN° familias que tiene de 4 hasta 11 hijos es 470

respuesta: B) 470

resolución 21Tema: Ángulo Trigonométrico

Operación del problemaRecordando:

q 2qO

R

R

En el problema

2α

α

OR

Al=R B

R


2α

R

RA B

R

O

⇒ 2α = 60°

α = 30°

respuesta: c) 30°

resolución 22

Tema: Coordenadas polares


r = 8

4 + 3Cosq


4r+3rCosq = 8, r = x2 + y2 ∧ x = rCosq

4 x2 + y2 + 3x = 8


(4 x2 + y2 )2 = (8 – 3x)2

16x2 +16y2 = 64 + 9x2 – 48x

7x2 + 48x + 16y2 = 64

Completando cuadrados.

7 +16y2= x + JKL

NOP

2247

10247

7

+ = 1

x + y2

JKL

JKL

JKL

JKL

JKL

NOP

2

2 2

247

327

87


La ecuación representa una elipse.

respuesta: c) elipse

ACADEMIAS

Matemática

Examen de Admisión



resolución 23Tema: Razones Trigonométricas de un ángulo

de cualquier magnitud


(Cotq)2Tanq = 827

(Tanq)–2Tanq = JKL

NOP

23

3

(Tanq)2Tanq = JKL

NOP

32

2JKL

NOP

32

Comparando:

Tanq = 32

∧ q ∈ III C

q

y

–2

–3

x

13

Nos piden:

E = 3Cosq + 2Senq

E = 3JKL– 2

13

NOP

+ 2JKL– 3

13

NOP

E = – 12

13

respuesta: D) – 12

13

resolución 24Tema: Circunferencia trigonométrica


Cos2x – Cosx – 1 = 0

Cosx = 1 ± (–1)2 –4(–1)2

Cosx = 1 ± 52

Cosx = 1 – 52

∨ Cosx = 1 + 52

(No)

Cosx = –0,615

–0,86 Cosx123

–0,615

0

5p6

p2

C.T.

respuesta: c) p2

< x < 5p6

resolución 25

Tema: Ángulo trigonométrico


Nos piden:

“l1 + l2”

A

D

C

E1

45°

45° a

b

l2

l1

Aplicando:

qrad

R

R

l ⇒ l = q.R

ACADEMIAS

Examen de Admisión



⇒ l1 = p4

a (+) l2 =

p4

b

l1 + l2 = p4

(a + b); del gráfico: a + b = 1

l1 + l2 = p4

(1) = p4

cm

respuesta: a) p4

cm

resolución 26Tema: Transformaciones Trigonométricas

Ubicación de incógnitaM = Sen4q + Sen42q + Sen43qReemplazamos: q = p/7


M = Sen4 p7

+ Sen4 2p7

+ Sen4 3p7

Aplicamos: 8Sen4x = 3 – 4Cos2x + Cos4x


8M = 8Sen4 p7

+ 8Sen4 2p7

+ 8Sen4 3p7

8Sen4 p7

= 3 – 4Cos 2p7

+ Cos 4p7

8Sen4 2p7

= 3 – 4Cos 4p7

+ Cos 8p7

;

pero: Cos 8p7

= Cos 6p7

8Sen4 3p7

= 3 – 4 Cos 6p7

+ Cos12p7

;

pero: Cos12p7

= Cos 2p7

Conclusiones y respuestaSumando, resulta:

8M = 9 – 3 (Cos 2p7

+ Cos 4p7

+ Cos 6p7

)

Propiedad = –1/2

Resumen8M = 9 – 3(–1/2) = 9 + 3/2 = 21/2 M = 21/16

respuesta: D) 21/16

resolución 27

Tema: Aplicaciones del ángulo Trigonométrico


A B

O

60°

d

R–r R–r

r r


nv = d2pr

⇒ hv =

p3

(R – r)

2p.r = R – r

6r

pero: R = 6 ∧ r = 12

Reemplazando, resulta:

hv =

12

6 –

12

6 . = 11

6 = 1,83 ≈ 2

respuesta: B) 2

resolución 28Tema: Identidades Trigonométricas del Arco

Compuesto


βq

αA

C

B

M1

1x

ACADEMIAS

Matemática

Examen de Admisión




Nos ayudamos de α y β en la figura.


Nótese que:

Tanq = Tan(α – β)

Tanq =

Tanα – Tanβ1 + Tanα.Tanβ


Tanq =

2x

– 1x

1 + 2x

. 1x

Tanq =1

x + 2x

→

Resumen

q es máximo cuando Tanq es máximo y esto

ocurre cuando x + 2x( ) es mínimo.

x + 2x( ) es mínimo cuando: x =

2x

(propiedad)

x = 2

respuesta: a) x = 2

resolución 29

Tema: Geometría espacio I


X: distancia de C a ∆ABC


∆ABC

CT = 6 3


CHT

(notable 30°, 60°)

C

A

B

T

D

H

x

6

6

12

12

30°60°6 3

x = 3 3 ( 3 )

Conclusiones y respuestax = 9

respuesta: D) 9

resolución 30Tema: Aplicaciones del ángulo trigonométrico


qq

P

A C

r

O2r

Operación del problemam AC = (2q) (r) ... (I)


2rq

2r

r

Cosq = =

4r2 + 4r2 – r2

2 (2r)(2r)78

q

8

7

15

ACADEMIAS

Examen de Admisión



Senq = 15

8

q = arc sen JKL

NOP

15

8

Reemplazando en (I)

mAC = 2r. arc sen JKL

NOP

15

8

respuesta: B) 2r.arc sen 8

15JKL

NOP

resolución 31

Tema: Poliedros


Medida del ángulo formado por BD y SC.


Trazamos BP//CS asi tambien PD.

x

A

R

SP

Q

B C

Da

a 2

a 2

a 2


Resultando que:

BP = PD = BD = a 2 , ademas m∠PBD = x

es la medida del ángulo que forman CS y BD.


Como el 9BPD es equilátero.

x = 60°

respuesta: c) x = 60°

resolución 32

Tema: Cono


Vx: Volumen pedido

Vx: Vcono – Vpirámide


Si: CD = 2

⇒ R = 1

h=4 5


Vx: p12.h3 3

( )2h2–

Vx:3

5 (p–2)4

AR

B

D

C12

h 9

O

respuesta: a) 3

5 (π–2)4

resolución 33

Tema: Geometría del Espacio


Nos piden:S(3ADC)S(3ABC)

ACADEMIAS

Matemática

Examen de Admisión



Análisis de los datos o gráficosAplicando el teorema de las 3 perpendiculares:

DH ⊥ AC

Operación del problemaEn el DBH: DH = 72/5.

Como: S(3ADC) = AC . DH

2 y

S(3ABC) = AC . BH

2

Luego: S(3ADC)S(3ABC)

= DHBH

B

D

C

H

A

536 3

365

72 5


De donde S(3ADC)S(3ABC)

=

725

365

= 2

respuesta: c) S(3ADC)S(3ABC)

= 2

resolución 34Tema: Cilíndro

Ubicación de incógnitaVx: Volumen máximo del paralelepipedo.

Análisis de los datos o gráficosPara que el volumen sea maximo:a = b(cuadrado)


En la base a = b = 2 2

a

ab

6

b2


Vx = ab6

Vx = ( 2 2 )( 2 2 )6

Resumen

Vx = 48

respuesta: c) 48

resolución 35

Tema: Congruencia de triángulos


mHED = x

Sea: AB = BC = AC = 2a


A30°30°

C

a

aa

a

H

M

E

D

B

2a

2a

2a2α

αα

αx

Puesto que AH es altura

→ BH = HC = a

Según el gráfico:

x = 30 + α ..... (1)

ACADEMIAS

Examen de Admisión




En el 9ECD:

mCED = mCDE = α

→ mECA = 2α

Trazamos CM ⊥ ED

→ EM = MD = a

EHC ≅ CMD

Luego: mECH = mCDM = α


En C: 3α = 60

→ α = 20

Sustituyendo en (1):

x = 30 + 20 = 50

respuesta: D) x = 50

resolución 36

Tema: Cuadrilátero


X: Medida del ángulo formado por bisectrices


lBCDP y OABP

a – b = 24°.

qqB

Ca

DααA b

Px


x + a + α + q = 360°

x = a + q + b

Conclusiones y respuesta2x = 360 – (a – b)

x = 180 – JKL

a – b2

NOP

x = 168°

respuesta: D) 168°

resolución 37Tema: Circunferencia

Ubicación de incógnitaDeterminar una relación entre K y K2


Puesto que BM es mediana BM = AM = MC = aPor propiedad de las tangentes: TH=r y HS=R

r R

B

A CM

a

T r H RS

K1 r

a

Operación del problemaAplicando el postulado de la distancia entre A y B: AB < 2a... (1)Del gráfico:TS < a→r + R < a ... (2)

Conclusiones y respuestasDividiendo (2) ÷ (1):r+k2r 1k1r 2

<

∴1+k2

k1

< 12

respuesta: e) 1+k2k1

< 12

ACADEMIAS

Matemática

Examen de Admisión



resolución 38

Tema: Relaciones métricas 1


R


A, T y Z colineales

qq

R

O

T

C ZR

A

B

2q

4 2

R 2


Teorema de la tangente (4 2 )2 = AZ(AT)

∆ACZ (antiparalelas)

(R 2 )2 = AZ(AT)

(R 2 )2 = (4 2 )2

R = 4

respuesta: e) 4

resolución 39

Tema: Circunferencia


EF = x


Reconocemos en el gráfico dos cuadriláteros circunscritos.

A

B

C

D

E

F

x

Operación del problemaAplicamos el teorema de Pithot

ABEF: AB + X = BE + AF FECD: CD + X = EC + FD

Sumando y agrupando tenemos:AB+CD+2X=(BE+EC)+(AF+FD)→AB+CD + 2X=BC+AD

Conclusiones y respuestaComo: AB+CD = 30 y BC+AD = 50 → 30 + 2X = 50 ∴X = 10

respuesta: B) X = 10

resolución 40Tema: Proporcionalidad

Ubicación de incógnitaAB = x


BD//AE

CD//BE

A

Bx

C3

5a

b

T

D

E


ab

53

=

ab

8x

=


⇒ ab

8x

53

= =

x = 4,8

respuesta: c) 4,8

ADMISIÓN 2014 - 2 -...

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