Adrian - Evelyn - Mariano - Levitador Magnetico

pro

CONTROL

Raúl

Proyecto:

“Levitador

magnético”

Integrantes de equipo•••

2009

CONTROL

Raúl Ramírez López

Proyecto:

“Levitador

magnético”

Integrantes de equipo• Adrián González Rivera

• Olvera Enríquez Evelyn

• Pérez Mora Mariano

17/06/2009

IInnssttiittuuttoo TTeeccnn

Ramírez López

Integrantes de equipo

17/06/2009

nnoollóóggiiccoo ddee

QQuueerrééttaarroo

Levitador Magnético Control Ingeniería Mecatrónica

2

LEVITADOR MAGNÉTICO. Introducción En la actualidad el control automático juega un papel muy importante en el desarrollo de la ciencia y la ingeniería. Es de extrema importancia en los procesos industriales y de manufactura modernos. Los avances en el control automático brindan medios para lograr el funcionamiento óptimo de sistemas dinámicos, se mejora la productividad, se libera de la monotonía de muchas operaciones manuales rutinarias y repetitivas, y se tienen márgenes de seguridad más amplios sobre la seguridad de las personas, es importante continuar esta línea de investigación para lograr hacerla llegar de manera eficiente a todos los ámbitos posibles. No obstante, como estudiantes, generalmente es difícil acceder a procesos de producción, por lo que es necesario recurrir a otros sistemas en los cuales se puedan poner en práctica los conocimientos que se van adquiriendo dentro de las aulas. Un levitador magnético consiste de una bobina, en la cual, al hacer circular una corriente, genera una fuerza magnética. Dicha fuerza actúa sobre materiales ferromagnéticos, en este caso una pequeña esfera de metal, a la que, mediante un control analógico se tratará de mantener en el aire. Objetivo El objetivo es controlar la posición de la esfera de metal mediante el ajuste de la corriente en la bobina a través del voltaje de entrada Justificación Anteriormente se ha mencionado que se desea mantener una esfera de metal suspendida en el aire, usando solo la

fuerza generada por una bobina, en la figura 1. Se puede apreciar de forma muy general el sistema a controlar.

En este caso y representa el desplazamiento de la esfera, desde su posición de equilibrio estático con referencia positiva hacia abajo. De forma más concreta las fuerzas que actúan sobre la esfera pueden apreciarse en el diagrama de cuerpo libre de la figura 2. Cuando el sistema es encuentra en equilibrio estático, una fuerza mf

actúa sobre la esfera. Además del peso de la misma.

mf m g= ⋅ (1)

Cuando existe un desplazamiento positivo, la fuerza mf jala la esfera

hacia arriba, la reacción a ésta fuerza es la fuerza efectiva en la esfera. De acuerdo con esto la forma apropiada de la Segunda Ley de Newton es:

ext effF F=∑ ∑ (2) 2

2m

d ymg f m

dt− = (3)


3

En la ecuación anterior el término mf

corresponde a la fuerza mecánica producida por un electroimán.

2

02m

NB Af

µ= (4)

Donde: N : numero de espiras de la bobina.

0µ : Permeabilidad del vacío.

Para simplificar los cálculos, 02

Nc

µ=

2mf cB A=

2 2mf c H Aµ=

22 2

2m

if c N

yµ= (5)

Donde: c : Constante. µ : Permeabilidad del núcleo. N : Número de espiras de la bobina. A : Superficie activa del núcleo. B : Densidad de flujo en el núcleo. H : Intensidad de campo magnético. i : Corriente del electroimán. y : Desplazamiento de la esfera. Simplificando la expresión de la mf .

2

2

( )

( )m

i tf K

y t= (6)

K: Constante del electroimán.

Ahora analizando el electroimán, se tiene únicamente un circuito RL en serie, por lo que su ecuación es:

( )( ) ( )

di tv t Ri t L

dt= + (7)

Entonces ya se puede proceder a escribir las ecuaciones que gobiernan el sistema.

2 2

2 2

( )

( )

d y K i tg

dt m y t= − (8)

( ) 1( ) ( )

di t Rv t i t

dt L L= − (9)

En la ecuación (8), se aprecia que la fuerza del electroimán es no lineal, ya que depende del cuadrado de la corriente y del cuadrado de la distancia entre la masa y la superficie activa del electroimán. Como los sistemas que se estudian en clase son lineales e invariantes en el tiempo, debemos encontrar una función lineal que represente lo mismo que la ecuación (8). El método que generalmente se utiliza para este fin, es una expansión por series de Taylor alrededor de un punto 0 0( , )x i , omitiendo los términos

de orden superior, de la siguiente manera:

( , )f h y i=

0 0 0 0( , ) ( ) ( )f f y i f y y f i iy i

∂ ∂= + − + −∂ ∂

2

202

1( ) ........ ......

2!f y y

x

∂+ − + + ∂ El modelo matemático lineal de este sistema viene dado por:

0 1 0 2 0( ) ( )f f K f y y K i i− = − + −Donde:

0 0 0( , )f f y i=


4

0 0

0 0

1

,

2,

y i

y i

fK

y

fK

i

∂=∂

∂=∂

Es importante recordar que este modelo matemático será usado para el análisis y el diseño, puede representar con precisión la dinámica de un sistema real para ciertas condiciones de operación, pero puede no ser preciso para otras. Después de aplicar el método de linealización, podemos escribir las ecuaciones en forma matricial. Ahora ya se conocen las ecuaciones del sistema, definiendo las variables de estado.

1

2

3

( )

( )

( )

x y t

x y t

x i t

===&

De acuerdo con lo anterior las ecuaciones de estado quedan como:

1 2

23

2 21

3 3

1

x x

xkx g

m x

Rx x v

L L

=

= −

= − +

&

&&

&

&

Linealizando cada una de las ecuaciones, la matriz A es:

23030

231010

0 1 0

022

0 0

xKxKm xm x

R

L

−= −

A (9)

Pero debido a que se desea trabajar en el punto de equilibrio 0 10( ) .y t x cte= =

20 10( ) ( ) 0x t x t= =& (10)

0( ) 0y t =&& (11)

El valor de ( )i t , se puede obtener sustituyendo en la ecuación (11) en la ecuación (8).

210

0 30( ) ( )mgx

i t x tK

= = (12)

Al sustituir (12) en la ecuación (9)

10 10

0 1 0

2 0 2

0 0

g gKx x m

R

L

= − −

A (13)

0

0

1

L

=

B (14)

Con lo anterior, se puede escribir la matriz de transición de estados.

( )t= +x Ax Bu& Y la salida corresponde a la posición de la esfera. 1y x=

Por lo tanto, en forma matricial, la salida del sistema viene dada por: [ ]1 0 0 ( )t= +y x 0u (15)

Donde:

[ ]1 0 0=C , 0=D . (16)

Todo el proceso arriba descrito, representa el modelado del sistema, al conocer las matrices A, B, C, D, se


5

puede proceder a realizar las pruebas de controlabilidad y observabilidad. Controlabilidad Un sistema es completamente controlable si cada variable de estado de dicho sistema se puede controlar para llegar a un cierto objetivo en un tiempo finito, a través de algún control no restringido. Más aún, si se considera un sistema lineal e invariante en el tiempo, descrito con las ecuaciones dinámicas:

( ) ( ) ( )t t t= +x Ax Bu& (17) ( ) ( ) ( )t t t= +y Cx Du (18)

“Se dice que el estado ( )tx es

controlable en 0t t= si existe una

entrada continua por intervalos ( )tu que moverá al estado a cualquier estado final ( )ftx en un tiempo finito (

0( ) 0ft t− ≥ . Si cada estado 0( )tx del

sistema es controlable en un intervalo de tiempo finito, se dice que es un sistema de estado completamente controlable o simplemente controlable.” 1TEOREMA 1: Para que el sistema descrito por la ecuación de estado de la ecuación (17) sea de estado completamente controlable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de controlabilidad n nr× tenga rango n :

[ ]2 1n−=S B AB A B A BL (19)

Ya que las matrices A y B están involucradas, algunas veces se dice que

1 El teorema 1, corresponde al teorema 5-1 del libro “Sistemas de control automático” de Benjamín C. Kuo. La demostración puede ser consultada en la página 150 del libro “Control automático y sistemas dinámicos” de R. Canales Ruiz.

el par [ ],A B es controlable, lo que

implica que S es de rango n. La comprobación de este teorema se puede encontrar en casi cualquier libro de control, por lo tanto se procederá a realizar los cálculos correspondientes para verificar la controlabilidad del levitador magnético. Para determinar si el sistema es controlable solo se necesitan conocer las matrices A y B. Al sustituir las ecuaciones (13) y (14) en (18), se obtiene:

10

210 10

2

2 3

20 0

2 20

1

gK

x L m

gK R Kg

x L m x L m

R R

L L L

−

= − −

S

(20) Para que el sistema sea controlable la matriz de controlabilidad, debe ser de rango n, es decir, para este caso debe tener tres renglones linealmente independientes. Para comprobar la independencia lineal basta que:

det( ) 0≠S (21) Realizando el cálculo del determinante de la matriz de controlabilidad, se obtiene:

3 210

4det( )

gK

L mx= −S (22)

De acuerdo con la ecuación (21) el sistema es linealmente independiente es decir no singular, y por lo tanto el sistema es completamente controlable. Observabilidad.


6

Esencialmente, un sistema es completamente observable si cada variable de estado del sistema afecta alguna de las salidas. Si cualquiera de los estados no se puede observar a partir de las mediciones de las salidas, se dice que el estado es no observable, y el sistema no es completamente observable, o simplemente no observable. Dado un sistema lineal e invariante con el tiempo que se describe mediante las ecuaciones dinámicas de las ecuaciones (17) y (18). “Se dice que el estado 0( )tx es

observable si dada cualquier entrada ( )tu , existe un tiempo finito 0ft t≥ tal

que del conocimiento de ( )tu para

0 ft t t≤ < , las matrices A, B, C y D; y

la salida ( )ty para 0 ft t t≤ < son

suficientes para determinar 0( )tx . Si

cada estado del sistema es observable para un tiempo ft finito, se dice que el

sistema es completamente observable, o simplemente observable.” El siguiente teorema demuestra que la condición de observabilidad depende de las matrices del sistema A y C. El teorema también proporciona un método para probar la observabilidad. 2TEOREMA 2: Para que el sistema descrito por las ecuaciones (17) y (18) sea completamente observable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de observabilidad de n np× tenga un rango n:

2 El teorema 1, corresponde al teorema 5-4 del libro “Sistemas de control automático” de Benjamín C. Kuo. La demostración puede ser consultada en la página 154 del libro “Control automático y sistemas dinámicos” de R. Canales Ruiz.

2

1n−

=

C

CA

V CA

CA

M

(23)

Para el sistema del levitador magnético se cuenta con una sola salida, entonces C es una matriz renglón de 1 n× ; V es una matriz cuadrada de n n× . Entonces el sistema es completamente observable si V, es no singular. Al igual que para la controlabilidad, la demostración no se expone aquí, pero puede ser consultada en algún libro de control. Al sustituir las ecuaciones (14) y (16) en la ecuación (23). Se obtiene:

10 10

1 0 0

0 1 0

2 20

g gk

x x m

= −

V (24)

Ahora, de acuerdo con el teorema 2, para que el sistema sea completamente observable, la matriz de observabilidad debe ser de rango n, es decir, para este caso debe tener tres renglones linealmente independientes. Para verificar la independencia lineal es suficiente que:

det( ) 0≠V (25) Al realizar las operaciones correspondientes para calcular el determinante de la matriz de observabilidad se tiene:

10

2det( )

gK

x m= −V (26)


7

En consecuencia, los renglones de la matriz son linealmente independientes, la matriz es no singular, y por lo tanto el sistema es completamente observable. Función de transferencia. Anteriormente se ha mencionado que el levitador magnético es un sistema lineal e invariable en el tiempo, gracias a esto se sabe que la relación, entrada-salida, cuando el estado es cero es:

0( ) ( ) ( )

tt t dσ σ σ= −∫y h u (27)

De acuerdo con las propiedades de la convolución, la ecuación (27), queda:

( ) ( ) ( )s s s=Y H U (28) Como se conocen las matrices ( )sY y

( )sU , la matriz de transferencia es:

1( ) ( ) ( )s s s−=H Y U (29) Donde la existencia de 1( )s−U está garantizada por la independencia lineal de los vectores iu .

Si se considera ahora el sistema dado por las ecuaciones (17) y (18).

( ) ( ) ( )t t t= +x Ax Bu& ( ) ( ) ( )t t t= +y Cx Du

Debido a que las matrices A, B, C, D son constantes, el patrón de peso del sistema es:

( ) ( )te u t tδ+AC B D (30)

Pero: }{ 1( )tL e s −= −A I A

Entonces:

}{ ( ) 1( ) ( )tL e u t t sδ −+ = − +AC B D C I A B D

Es decir, la matriz de transferencia para el sistema de las ecuaciones (17) y (18), es:

( ) 1( )s s

−= − +H C I A B D (31)

Al sustituir los valores de las matrices A, B, C y D, en la ecuación (31), se tiene lo siguiente:

[ ]

2

2

21 1

2

21

0

( ) 1 0 0 0

10 0

R Rs s s cL L

R RsC C s s sCL Ls

s CL

+ + − ∆ ∆ ∆

+ + = − ∆ ∆ ∆ −

∆

H

(32) Donde:

3 21 1

R Rs s c s c

L L∆ = + − +

110

2gC

x=

210

2 gKC

x m=

Al realizar las operaciones correspondientes, se obtiene:

��

�

��

��

� (33)

La cual nos representa la función de transferencia del sistema. Patrón de polos y ceros.


8

La función de transferencia de los sistemas lineales, invariables, y de razón n, es la razón de dos polinomios en s, con coeficientes constantes.

11 1 0

11 1 0

...( )( )

( ) ...

m mm mn n

n

a s a s a s aa ss

b s s b s b s b

−−

−−

+ + += =+ + + +

H

(34) Los polinomios ( )a s y ( )b s , se pueden factorizar de la forma:

1 2 3

1 2 3

( ) ( )( )( )...( )

( ) ( )( )( )...( )

m m

n

a s a s z s z s z s z

b s s p s p s p s p

= − − − −

= − − − −

Donde los números iz y ip , son

números complejos. Como es sabido, si los coeficientes de los polinomios son reales, las raíces complejas deben aparecer en pares conjugados. Dichos números complejos, junto con

ma , caracterizan completamente la

función de transferencia del sistema. Los números ip , se denominan polos

del sistema y los iz , ceros del sistema.

Ambos pueden representarse de forma gráfica usando la siguiente convención: × representa los polos, y Ο representa ceros. Entonces, a excepción de la constante

ma , un sistema puede ser representado

en el plano complejo, por un conjunto de polos y ceros. Para el levitador magnético se tiene la ecuación (33), y factorizando:

( )( )2

1 1

1

( )c

LsR

s s c s cL

−= + + −

H (35)

La ecuación anterior, tiene una representación de polos y ceros, como se muestra en la figura 3. ×

Obtención de la respuesta al impulso a partir de polos y ceros. Una manera de encontrar la transformada inversa de Laplace de una función racional era mediante la expansión en fracciones parciales. En el caso de polos simples y cuando m n> :

1 2 3

1 2 3

( )( )( )...( )( )

( )( )( )...( )m

n

s z s z s z s zs

s p s p s p s p

− − − −=− − − −

H

(36) Los parámetros 1 2, ,... nA A A , se

determinan multiplicando ( )sH por

( )is p− y evaluando s, en el punto ip , o

sea:

( ) ( )i

i i s pA s p s

== − H (37)

Como la transformada de Laplace es

lineal y la de ate es 1

s a−, se tiene que

la transformada inversa de Laplace de ( )sH es:

Figura 3. Gráfica de polos y ceros


9

(38) Las funciones exponenciales que aparecen en la expresión anterior están determinadas por los polos del sistema. Más aún la respuesta al impulso de un sistema con una función de transferencia ( )sH es una combinación

lineal de las funciones ip te , donde ip ,

es un polo de ( )sH . La evaluación de los coeficientes iA , o

residuos, se puede realizar en forma gráfica. Si se desea evaluar el residuo en un polo simple ip , esto es iA , se debe

calcular la diferencia entre el polo ip y

todos los ceros, efectuar el producto de dichas diferencias y dividirlo entre el producto de las diferencias entre el polo

ip y los restantes.

Aplicando lo anterior a la función de transferencia del levitador magnético, se tiene: Para 1A :

1

1 1

1(180 180 )A

R Rc c

L L

= ° + ° − +

�

1 2

1

1A

Rc

L

= +

(39)

Para 2A :

( )2

1 1

1(0 180 )

2A

Rc c

L

= ° + ° −

�

2

1 1

12

2A

Rc c

L

= −−

(40)

Para 3A :

Figura 4.

Figura 5.

Figura 5.


10

( )3

1 1

1(0 0 )

2A

Rc c

L

= ° + ° +

�

3

1 1

12

2A

Rc c

L

=+

(41)

De acuerdo con la ecuación (38), y tomando en cuenta el valor de la constante ma , la respuesta impulsional

del sistema es:

1 1

22

1 1 1 11

( ) ( )2 2

2 2

Rt c t c tLc e e e

h t u tR RL R c c c cc L LL

− −

= − − + − ++

(42)

Estabilidad Como se ha visto en clase, la estabilidad de un sistema es determinada por la localización de los polos de la función de transferencia. “Un sistema lineal, invariable y de parámetros concentrados es estable si y sólo si todos los polos de la función de transferencia tienen parte real negativa.” De acuerdo con esto, el levitador magnético es un sistema inestable, debido a que la función de transferencia que lo caracteriza, tiene un polo en el semiplano complejo positivo.

No obstante éste punto será tratado, de una forma más detallada, considerando la relación entrada-salida del sistema, basándose en el estudio que realizó Nyquist, en el cual se considera que un sistema es estable cuando la salida no crece indefinidamente debido a entradas pequeñas. Un sistema dinámico es estable en el sentido entrada-salida, si estando en reposo:

i. Cualquier entrada acotada, produce una salida acotada.

( ) ( )u t M t y t N t< ∀ ⇒ < ∀

Para M y N constantes.

ii. Entradas suficientemente pequeñas producen salidas suficientemente pequeñas.

, ( ) ( )u t y t tε δ ε δ∀ ∋ < ⇒ < ∀

Es difícil determinar si un sistema es estable, haciendo uso únicamente de la definición anterior, porque aún para ciertos sistemas inestables, existen entradas acotadas a las cuales les corresponden salidas acotadas. Pero cuando el sistema es lineal e invariable, la estabilidad puede caracterizarse con la respuesta al impulso. Existen dos lemas relacionados con la definición de estabilidad, los cuales sólo mencionaremos en este documento. Lema 1. Para un sistema lineal invariable con el tiempo, la condición i) es equivalente a que su respuesta impulsional sea absolutamente integrable. Lema 2. Si un sistema lineal e invariable satisface la condición i) entonces satisface la condición ii ).

Figura 6. Respuesta impulsional


11

Al demostrar los lemas anteriores se puede concluir que: “un sistema lineal e invariable es estable en el sentido entrada salida si y sólo si su respuesta a impulso es absolutamente integrable” Al aplicar esto al levitador magnético, sólo necesitamos probar la integral absoluta del sistema, y dado que ya conocemos la respuesta impulsional, mostrada en la ecuación (42), se tiene:

( ) ( )t

g t h dτ τ−∞

= ∫

0( ) ( )

tg t h d Hτ τ= <∫ (43)

Donde: H t∈ ∀� .

Al realizar la sustitución correspondiente, se obtiene la figura 7.

En la cual se puede observar que para un tiempo 0t > , decrece, pero luego comienza a crecer de manera que nunca lo dejará de hacer y de acuerdo con la definición de estabilidad, el sistema NO ES ESTABLE. El hecho de que el sistema no sea estable no implica que no pueda ser controlado.

Figura 7. ( )h t∫


12

CCoonnttrroollaaddoorr

PPIIDD


13

CONTROLADOR PID A menudo se emplean especificaciones de diseño para describir qué debe hacer el sistema y cómo hacerlo. Estas especificaciones son únicas para cada aplicación individual y con frecuencia incluyen especificaciones como estabilidad relativa, precisión en estado estable (error), respuesta transitoria y características de respuesta en frecuencia. En algunas aplicaciones puede haber especificaciones adicionales sobre sensibilidad a variaciones de parámetros. El diseño de sistemas de control lineales se puede realizar ya sea en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. Por ejemplo, la precisión en estado estable a menudo se especifica con respecto a una entrada escalón unitario, una entrada rampa o una entrada parábola, y el diseño para cumplir ciertos requisitos es más conveniente realizarlo en el dominio del tiempo. Otras especificaciones como el sobrepaso máximo, tiempo de levantamiento y tiempo de asentamiento, están definidas para una entrada escalón unitario, y por tanto se emplean para diseño en el dominio del tiempo. Se ha aprendido que la estabilidad relativa también se mide en términos del margen de ganancia, margen de fase, y Mr. CONFIGURACIONES DEL CONTROLADOR El objetivo de diseño es que las variables controladas, representadas por el vector de salida Y(t), se comporten en cierta forma deseada. El problema esencialmente involucra el determinar la señal del control u(t) dentro de un

intervalo prescrito para que todos los objetivos de diseño sean satisfechos. La mayoría de los métodos de diseño de sistemas de control convencionales se basan en el diseño de una configuración fija, en el que en un principio de diseñador decide la configuración básica del sistema diseñado con el proceso controlado. Entonces, el problema involucra el diseño del los elementos del controlador. Debido a que la mayoría de los esfuerzos de control involucran la modificación o compensación de las características de desempeño del sistema, el diseño general que emplea una configuración fija también es llamada compensación. Para el diseño de nuestro sistema la configuración a utilizar para el controlador es:

• Compensación en serie (CASCADA): El controlador se coloca en serie con el proceso controlado.

Controlador PID Uno de los controladores más ampliamente empleados en estos esquemas de compensación mencionados anteriormente es el controlador PID, el cual aplica una señal al proceso que es una combinación proporcional, integral y derivada de la señal de actuación. Debido a que estos componentes de la señal se pueden realizar y visualizar con facilidad en el dominio del tiempo, los controladores

CONTROLADOR GC(S)

PROCESO CONTROLADO G (S)

e (t)

r (t)

y (t)


14

PID se diseñan comúnmente empleando métodos en el dominio del tiempo. Después que se ha escogido una configuración del controlador, el diseñador debe escoger un tipo de controlador que con la selección adecuada de los valores de sus elementos satisfacerá todas las especificaciones de diseño. Una vez elegido el controlador, la siguiente tarea es determinar los valores de los parámetros del controlador. Estos parámetros son típicamente coeficientes de una o más funciones de transferencia nque componen al controlador. Con base en esta información, se determinan los parámetros del controlador para que se cumplan todas las especificaciones de diseño Para el diseño del controlador PID: 1.- considere que el controlador PID consista de una parte PID conectada en cascada con una parte PD. La función de transferencia del controlador PID se escribe como:

( )s

KkdsKSG I

PC ++=

La nueva función de transferencia

( )( ) ( ) ( ) |)(

3221

22

rLssskkkdsCrLssc

ksksKCsh

PI

IPd

+−++++++

=

Generalizando los siguientes valores:

• m = 0.1; • g=9.82; • R =6; • L = 0.04; • K = 0.01; • X10 = 0.02;

La función de transferencia es:

-2477 -----------------------------------------

s^3 + 150 s^2 - 982 s – 147300 Los polos se localizan en: 31.3369 -31.3369 -150.0000 Nota: Como podemos observar debido a que hay dos cambios de signos el sistema es inestable. Cálculo de Estabilidad Para poder estabilizar el sistema se procede a la obtención de una nueva función de transferencia agregando una K al sistema con retroalimentación.

H(S)

e Ref y K

K ∫

Kdt

d

u

H(S) e (t) Ref (t) y (t) u (t)

K


15

La nueva función de transferencia viene dada por:

)(1

)()(

sKH

sKHsG

+=

27477147300982150

2477)(

23 Ksss

KsG

−−−+−=

Para poder estabilizar el sistema realizara el método de Routh: Para poder estabilizar el sistema se utiliza criterio de Routh. No obstante una sola constante no es suficiente para estabilizar el sistema. Se procedió a implementar un controlador PD Controlador PD � � ��

��

��

�1�� !"#��

� !"#��

Sustituyendo (1) y (2) en (3) la nueva función de transferencia viene dada por:

�1�� $2477�� $ 2477��

�� 150�� $ 982� $ 147300 $ 2477�� $ 2477��

Aplicando el Criterio de Routh:

1 -982 -2477��

150

147300

-2477��

��!- �� !/

�� 0

$147300 $ 2477�� 0

Cubriendo las constantes para que todos los coeficientes de la primera columna sean positivos los valores son:

�� 0 $59.46

�� 0 $0.303

Al implementar los valores de las constantes el sistema sigue siendo inestable por lo cual se procede nuevamente a implementar un controlador, pero ahora se trata de un controlador PI. Controlador PI La función de transferencia del levitador magnético es con el controlador PI es:

34�� $2477�� $ 2477�5

�� 150�� $ 982�� $ �147300 � 2477�� $ 2477�5

Con esta ecuación se procede a aplicar el criterio de Routh, para determinar los valores de K que hacen estable el sistema.

1 $982 $2477�6

150 $7147300 � 2477�89 02477�8

150$2477�6

(1)

(2)

(3)


16

Al obtener los valores para las constantes se tiene:

�5 0 0�� 0 $59.46

No obstante el sistema sigue siendo inestable, por lo que se procede a conectar ambos controladores en cascada, y usando los mismos valores encontrados para las K.

A continuación se procede a realizar la simulación con ayuda de Matlab, obteniendo así los siguientes resultados. Respuesta al impulso y al escalón de la función del sistema por medio de un control PID

El código de programación en Matlab, se adjunta en el archivo PID.m, también se muestra a continuación. %Introducir Valores del Sistema% m = 0.1; g=9.82; R =6;

L = 0.04; K = 0.01; X10 = 0.02; X3 = X10 * sqrt(m *g/K); Kp =-61; Kd =0.5; Ki =-1; %Para facilitar la captura y el calculo% a1 = 2*g / X10; a2 = -(2/X10)*sqrt(g*K/m); %Introduciendo Matrices del Sistema% A = [0 1 0; a1 0 a2; 0 0 -R/L]; B = [0; 0; 1/L]; C = [1 0 0]; D = 0; Plant=ss(A,B,C,D) PD= tf([Kd -Kp],[0 1]); PI=tf([Kp Ki],[1 0]); %Graficando Respesta al Impulsp subplot(2,1,2) [y,t]=impulse(feedback (PI*PD*Plant,1)); plot(t,y); grid; xlabel( 'Tiempo (ms)' ); ylabel( 'Respuesta al Impulso' ); title( 'Respuesta Impulsional "Levitador Magnetico"' ); %Graficando Respesta al Escalon subplot(2,1,1) [y,t]=step(feedback (PI*PD*Plant,1)); plot(t,y); grid; xlabel( 'Tiempo (ms)' ); ylabel( 'Respuesta al Escalon' ); title( 'Respuesta al Escalon "Levitador Magnetico"' );

Ref (t) y

u H(

S)

e

P P


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Bibliografía:

• Canales, Roberto, Renato Barrera. Análisis de sistemas dinámicos y control automático. México: Limusa, 1977.

• Ogata, Katsuhiko. Ingeniería de control moderna. Tercera edición. México:

Pearson, 1998.

• Kelly, S. Graham. Fundamental Of mechanical vibrations. Segunda edición. Singapur: Mc Graw-Hill, 2000.

• Kuo, Benjamin C. Sistemas de control moderno. Séptima edición. México:

Prentice Hall, 1996.

• Serway, Raymond A. Electricidad y magnetismo. Tercera edición. México: Mc Graw-Hill.

• Boylestad, Robert L. Introducción al análisis de circuitos. Décima edición.

México: Pearson, 2004.

• Larson, Roland E., Bruce H. Edwards. Introducción al algebra lineal. México: Limusa, 2005.

• Rairán, José, Charles Aguirre, Jhon Jairo Catañeda. “Diseño de un electroimán

mediante el método de elementos finitos”. Con-ciencias, Facultad Tecnológica de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Colombia, 2005.

Adrian - Evelyn - Mariano - Levitador Magnetico

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