Ejemplo

Anlisis Estructural

Ejemploa) Escriba las relaciones fuerza- desplazamiento en coordenadas globales y ensamble las ecuaciones de rigidez de la armadura de la figura 10: Considere el mdulo de Young E=2x106 Kg/cm2.

Figura 10.

Solucin:Definiendo las coordenadas, grados de libertad y fuerzas externas: (ver figura 11)

Figura 11.

Relaciones fuerza-desplazamiento

Miembro ab

Miembro bc

Miembro ac

Ecuaciones globales de rigidez en forma matricial

b) Calcule los desplazamientos en a y b , las reacciones y las fuerzas en las barras, de la estructura apoyada y cargada tal como se muestra en la figura 12.

Figura 12.

Solucin:Desplazamientos. Las tres ecuaciones globales de rigidez superiores se pueden escribir:

Reacciones. Las tres ecuaciones globales de rigidez inferiores permiten obtener las reacciones:

Fuerzas en las barra. Se pueden obtener de las ecuaciones de rigidez de los miembros:

Miembro ab

(tensin).

Miembro bc

(compresin).

Miembro ac

(tensin).

En la figura 13 se muestran tanto las reacciones como los desplazamientos en la estructura:

Figura 13.Algunas caractersticas de las ecuaciones de rigidez.

Tanto la matriz de rigidez de un elemento como la matriz de rigidez global son casi siempre simtricas, por lo que prcticamente, slo los trminos de la diagonal principal y los de un lado de sta necesitan ser almacenados en un programa de computadora.

La ecuacin de rigidez (equilibrio) para un grado de libertad dado est influenciada con los grados de libertad asociados con los elementos conectados a ese grado de libertad, esto implica que los trminos no nulos en un rengln dado de una matriz de rigidez consisten slo de la diagonal principal y los correspondientes a los grados de libertad en esa junta y en las otras juntas de los elementos que se conectan a dicha junta; todos los dems trminos en el rengln son cero.

En la fase de solucin del anlisis es ventajoso agrupar todos los trminos no nulos tan cerca como se pueda a la diagonal principal. Esto puede hacerse numerando los grados de libertad en tal forma que la distancia de las columnas de los trminos ms alejados de la diagonal principal en cada rengln sea mnima, esto significa minimizar el ancho de banda.

Indeterminacin.

El nmero de ecuaciones adicionales a las de equilibrio que se necesitan para el anlisis es el grado de indeterminacin esttica de la estructura, es decir, el nmero de fuerzas redundantes que se tienen.

La indeterminacin cinemtica se refiere al nmero de desplazamientos que se requieren para definir la respuesta de la estructura.

El grado de redundancia cinemtica es igual al nmero de grados de libertad que deben ser restringidos conceptualmente para reducir al sistema a uno en el cual todos los desplazamientos de las juntas sean cero o tengan valores predeterminados.

El nmero de tales grados de libertad es el nmero de ecuaciones que se requieren para el anlisis, esto es, el nmero de renglones de la submatriz de la ecuacin:

(4)

Estas ecuaciones se desarrollan empleando las caractersticas elsticas del sistema aplicando los requerimientos para restaurar el equilibrio que fue alterado cuando las restricciones conceptuales se emplearon para reducir al sistema a uno equivalente cinemticamente determinado. Matemticamente, la restauracin del equilibrio se expres en las ecuaciones . Las incgnitas en el anlisis son los grados de libertad.

En la figura 14 se muestra que, excepto en estructuras pequeas, el nmero de fuerzas redundantes es generalmente considerablemente mayor que los grados de redundancia cinemtica.

Figura 14.

BibliografaMc. Guire, William, Gallagher, Richard H., Ziemian, Ronald D. (2000). Matrix Structural Analysis. Wiley.

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