AFÍSICADOLHC:Conceitosfundamentaise …mesonpi.cat.cbpf.br/escola2015/downloads/material/G01...1a...

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Introdução: Modelo PadrãoSimetrias e Números Quânticos

A FÍSICA DO LHC: Conceitos fundamentais eprincipais resultados

1a Aula

Carla GöbelDepto. de Física - PUC-Rio

July 13, 2015

Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula

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Tópicos de Hoje

1 Introdução: Modelo PadrãoOs Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman

2 Simetrias e Números QuânticosIsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas


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Os Constituintes da MatériaAs Interações FundamentaisA equação de Dirac e Diagramas de Feynman

Introdução: Modelo Padrão


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Os Constituintes da Matéria


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Os Constituintes da Matéria

Toda a matéria ordinária é feitade

prótons nêutrons elétrons

99,999999999999% do volume de umátomo é apenas espaço vazio!


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Os Constituintes da MatériaMas este não é o fim (ou começo?) da história ...Anos 30 ) novas partículas começaram aaparecer

RAIOS CÓSMICOSACELERADORES

1932 o pósitron é observado

1933 Fermi postula o neutrino

1935 Yukawa propõe a existênciado méson

1937 descoberta do múon

1947 descoberta do píon

1947, 1949 K 0;K observados

1950 0 !

’50 ... um monte de novaspartículas !

K o

p

e− νeo

n Ξo

+−

e++−

+−

πo

Λo

+− ∆ o

00 10 20 30 40 50 60 Σo

Λµn ρωηK

νµ

fφ

Ωηa2

−

*

’

π

K

ΞΣ−

p

Partículas “elementares” ????Carla Göbel A Física do LHC - 1a Aula

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Classificação das Partículas

Partículas observadas com diferentes propriedades

massa tempo de vida spin carga interações

As partículas foram classificadas em duas categoriasprincipais:

LÉPTONS

os carregados sentem asforças EM e fracae ; ;

neutrinos sentem somentea força fracae ; ;

HÁDRONS

sentem todas as forças

Bárions: spin semi-inteiroex. n ; p;

Mésons: spin inteiroex. ;K

mas ...por que tantoshádrons?


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“Eightfold Way”

Gell-Mann e Ne’eman (61) agrupam os hádrons de massaspróximas em octetos e decupletos de acordo a seus isospin eestranheza

mésons pseudoescalares

+1

−1

−1 +1−1/2 +1/2

K

ππ

KK

K

η η

+

+

−

oπ−

o

o

’

Q=+1

Q=0Q=−1

S

I 3

bárions de spin 1/2

Σ+Σ−

Λo oΣ

Ξ oΞ−

−1/2

−1

−2

0 +1/2 +1−1

pn

Q=+1

Q=0Q=−1

I3

S

bárions de spin 3/2

Ξ −* Ξ * ο

Ω−

I3

−1/2 0 +1/2 +1−1

∆ ∆ ∆ ∆+++ο−

+3/2−3/2

Σ−1 Σ * +* οΣ* −

−2

−3

S


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Quarks

Gell-Mann e Zweig (64) propõe a existência de QUARKS:férmions com spin 1/2 e carga fracionária ...

todos os mésons (qq) ebárions (qqq) são explicadosa partir de combinações detrês quarks diferentes:

u d s

S = 0 u dS = 1 scarga +2

3 13

u

u

d

d

ud

proton neutron

u d s

pion π+ kaon Ko

d s

... mas ainda novas partículas foram descobertas!!


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Quarks & Léptons: os férmions (spin 12) fundamentais

? o quark charme é predito em 71 edescoberto em 74? um novo lépton, tau, observado em 75(3a família de léptons!)? o quark bottom é descoberto em 77(3a família de quarks!)? o último quark top é observado em 95? o último férmion é detectado em 2000

⇐ então estes são os constituintesmais elementares da matéria

... ah ...mas tem anti-matéria também


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Digressão: Predição e Observação da AntiMatériaF Início dos anos 30: “Física Moderna” recém nascia

Teoria da Relatividade

velocidade da luzno vácuo é absoluta tempo é relativo E2 = p2c2 +m2c4

Mecânica Quântica

partícula livre: ~2

2mr2 = i~@

@tmassa ainda não é parte da energia ...

como compatibilizar?

Paul Dirac (1928): equação de onda relativística para o elétron

soluções com energias+p

p2c2 +m2c4 e p

p2c2 +m2c4

?!?!


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A Predição e Observação da AntiMatéria

Dirac 1931→ estado de energia negativaé anti-elétron com energia positivaa partir de considerações puramente teóricas,prediz a existência da antimatéria

Carl Anderson (1932): câmara debolhas para o estudo de partículas de raioscósmicos: ) existência do pósitron Nobel: Dirac (1933) e Anderson (1936)

Então ....


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As Interações Fundamentais


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O que une a matéria?


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O Modelo Padrão da Física de Partículas| O que hoje chamamos de Modelo Padrão abrange oentendimento teórico das partículas e suas interações

Força Eletrofraca: “combinação” das força EM (EletrodinâmicaQuântica) e fraca: A Teoria EletrofracaForça Forte: Cromodinâmica Quântica

Modelo Padrão explica com enorme êxito todos os experimentosfeitos até agora peça faltante até 2012: o Bóson de Higgs


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Mas como se construiu o Modelo Padrão?

Mecânica Quântica+

Relatividade Especial⇒ Teoria Quântica de

Campos

partículas fundamentais interagem pela troca debósons de gauge : os quanta do campo

* o fóton é o bóson de gauge da Eletrodinâmica Quântica (QED)!

| O alcance da interação está relacionado com a massa de seubóson de gauge (Princípio da Incerteza)

Et ~a distância de vôo de uma partícula é

x = ct = c~=E = c~=Mc2

fóton: massa nula ) alcance infinito bóson W : Mc2 80GeV ) alcance 2 103fm


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Interações Fundamentais (cont.)

A partir de agora ... usaremos unidades naturais: ~ = c = 1 energia [GeV], momentum [GeV/c], massa (GeV/c2) ! GeV tempo [(GeV/~)1], distância [(GeV/~ c)1] ! GeV 1

) A intensidade da interação é dada pela carga g , ou maisconvenientemente pela constante de acoplamento

QED: e = gem =p4"0~c =

p4

Interação Intens. Bóson de Massa Quemrelativa Gauge (GeV =c2) sente

Forte 1 glúons (g) 0 quarksEletroMag. 103 fóton ( ) 0 part. carregadas

Fraca 105 W+,W−,Z 0 80, 91 quarks & léptonsGravitacional 1038 gráviton ? 0 todos


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A equação de Dirac e Diagramas deFeynman


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A equação de Dirac

Férmions livres com spin 12 são representados por um spinor de

4 componentes que obedece a equação de Dirac

(iγµ∂µ −m)ψ =

onde = ( 0; i ) = (; ~) são as matrizes de Dirac com

=

I 00 I

!; ~ =

0 ~~ 0

!

e ~ são as matrizes de Pauli

1 =

0 11 0

; 2 =

0 ii 0

; 3 =

1 00 1


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A equação de Dirac

As matrizes têm as seguintes propriedades

+ = 2g

0y = 0

iy = i( i )2 = I

Escrevendo no espaço de momento, (x ) = ae

i~pxu(p) = ae

i~ (Et~p~r)u(E ; ~p)

a equação de Dirac fica( 6p m)u(p) = 0

As soluções satifazem E = pp2 +m2. A solução de energianegativa é interpretada como uma solução de anti-partículacom energia positiva.De fato, as soluções podem ser escritas como

fermion: (6p m)u = 0 antifermion: ( 6p +m)v = 0


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Diagramas de FeynmanInterações entre as partículas são descritas em termos de Diagramas de Feynman

tempo corre da esquerda para direita (variação: de baixo paracima)

anti-partículas representadas como viajando para trás no tempo

energia, momentum, momento angular, etc, conservados emtodos os vértices

partículas intermediárias sempre virtuais

apenas linhas externas representam partículas reais (estadosassintóticos)

Os Vértices do Modelo Padrão:


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Eletrodinâmica Quântica (QED)

O processo básico é simplesmente: γ

f

f

Diagramas árvore

γ

e−

µ−

e−

µ−

e

γ

γ

e−

e+

e

e−

γ

γ

e−

2a ordem: box e loops

e−

µ−

e−

µ−

e−

µ−

e−

µ−

e−

µ−

e−

µ−


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Eletrodinâmica Quântica (QED)

partículas carregadas interagem pela troca de fótonsa intensidade dada pela constante de estrutura fina 1=137a teoria quântica–relativística que descreve as interações EM é aEletrodinâmica Quântica (QED)cálculos explícitos de QED: extrema precisão nos processos EM

Diagramas Árvore

γ

e−

µ−

e−

µ−

e

γ

γ

e−

e+

e

e−

γ

γ

e−

2a ordem: box e loops

e−

µ−

e−

µ−

e−

µ−

e−

µ−

e−

µ−

e−

µ−


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Espalhamento e e aniquilação e+e ! +

A amplitude do processo estádada por:iM =

(ie uC uA) ig

q2

(ie uD uB )

uB(p) u_

D(p’)

uA(k) u_

C(k’)

- igµν/q2

ieγν

ieγµ

taxas, seções de choque nãopolarizadas dependem dej Mj2

deste processo, pode-se facilmentepor “crossing” calcular o processo deaniquilação e+e ! +

pode-se mostrar que a seção dechoque de espalhamento para 2corpos está dada por

dd

=1

(8)2sjpf jjpi j jMj2

onde s é a (energia)2 disponível, pi ,pf os momenta inicial e final,calculados no CM.

encontra-se :

(e+e ! +) =42

3s

ver Apêndice


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Renormalização e (q2) em QEDcálculos envolvendo loops (ordens superiores em QED) levam ainfinitos

)

“screening” da carga nua doelétron devido a parese+e

renormalização: redefine carga e massa, o que cancela os infinitos

na prática, a constante de acoplamento passa a depender daescala de energia envolvida no processo:

(q2) = (q20 ).

1(q2

0 )

3lnq2

q20


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Renormalização e (q2) em QED (cont.)

? em QED, depende fracamente de q2

baixas energias (q2 0): 1= 137 altas energias: 1=(200GeV) 127

Predição e medida do momento magnético anômalo do elétron:

[(g 2)=2]teo = (1:159:652:181; 82 0; 78) 1012

[(g 2)=2]exp = (1:159:652:180; 76 0; 27) 1012

A mais precisa predição verificada experimentalmenteda história da física!


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Cromodinâmica Quântica (QCD)

QCD é a teoria que descreve asinterações fortes

O mediador é o glúon e a carga é a “cor”

Como os glúons carregam cor, eles têmauto-interação !

vértice de QCDbásico

g

q q

Auto-interação Ordens superiores

q1

q2

q1

q2

q1

q2

q1

q2


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Interação fracavértice carregado

W−

νe, d

e, u vértice neutro

Z0

ℓ, q, ν ℓ, q, ν

Alguns exemplos no setor leptônico

electron scattering

Z0

e−

e−

e−

e−

e scattering

Z0

e−

νµ

e−

νµ

muon decay

W−µ−

e−

νe

νµ


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Examplos de processos fracos hadrônicosDecaimentos:

Decaimento beta

n

d

u

u p

u

u

d

W-

e-

ν_

e

Decaimento do píon

π-

d

u_

W- µ-

ν_

µ

Decaimento de umméson B

B-b

u_

D0c

u_

u_

dW- π-

EspalhamentoEspalhamento p

puud

puud

Z0

νµ νµ


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Interações EM e auto-interações dos bósons fracosAuto-interações

W+

Z0

W−

W W

W W

W Z

W Z

Interações EM

W+

γ

W−

W W

Z γ


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IsospinNúmeros Quânticos AditivosSimetrias Discretas

Simetrias e NúmerosQuânticos


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Simetrias e Leis de Conservação

Teorema de NoetherPara cada simetria da natureza corresponde uma lei deconservação (e vice-versa)Exemplos:

invariância frente a translações no espaço , conservaçãode momentuminvariância frente a translações no tempo, conservação deenergiainvariância frente a rotações espaciais , conservação demomento angularinvariância frente a transformações de gauge no EM ,conservação da carga


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Grupos e Simetrias

O conjunto de operações de simetria formam um GRUPO e temas seguintes propriedades

1 Clausura: Ri ;Rj 2 G ) Rk = RiRj 2 G2 Identidade: existe I para a qual IRi = RiI = Ri3 Inversão: existe R1

i para a qual R1i Ri = RiR1

i = I4 Associação: Ri (RjRk ) = (RiRj )Rk

Ademais, com relação à comutação:se todos os elementos comutam, RiRj = RjRi ; 8i ; j )grupo abelianocaso contrário, grupo não abeliano

Em Física : geralmente grupos de matrizesU (n) : coleção de matrizes n n unitáriasSU (n) : U (n) com determinante 1


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Um exemplo: grupo de spin 1=2 ) SU (2)

Para spin semi-inteiro, existem dois possíveis estados:

js msi = j 1212 i =

10

; jsmsi = j 12 1

2 i =

01

um estado de spin-1/2 genérico está dado por

=

10

+

01

; jj2 + jj2 = 1

~S : matriz de spin 2 2 ) Sx = ~21, Sy = ~

22, Sz = ~23

Através de uma rotação0

0

= U ()

com U () = ei~~=2


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Isospin


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Isospin: uma simetria de sabor

Heisenberg 1932 ) o nêutron é quase idêntico ao próton(exceto pela carga) mp = 938:26MeV ; mn = 939:57MeV

) dois estados do mesmo nucleon p =

10

n =

01

analogia com spin ) novo número quântico ISOSPIN

interações fortes: invariantes sob rotações no espaço deisospin (simetria interna) ) isospin é conservado~T = 1

2~, [Ti ;Tj ] = iijkTkcom operadores T T1 iT2; T+ = T1 + iT2

T+u = 0; T+d = u ; Tu = d ; Td = 0

| Modelo a Quark: isospin vem de mu mdu = j12 +

12i d = j12 1

2ioutros sabores: j0 0i


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Combinando quark + antiquark

Os dubletos quark e antiquark são:

q =

ud

q =

du

Combinando −1/2 +1/2 −1/2 +1/2II 33

u dd u

estados tripleto e singleto são obtidos:

I3

u d21/ ( u d )+d

I3

u

u d21/ ( u d )

ud −

) estes são os píons, I=1:+ = j1 1i; 0 = j1 0i; = j1 1io singleto obedece: T+j0 0i = Tj0 0i = 0

dimensão mais alta ! ’s: quatro estados ) I = 3=2++ = j32 +

32i; + = j32 +

12i; 0 = j32 1

2i; = j32 32i


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Algumas Consequências de Isospin

interações fortes: não diferencia p/n ou u/d) I e I3 conservadas

interações fracas: u $ d) I e I3 não conservadas

interações EM: u = d mas distingue u/d (carga)ex.: 0 !

) I3 conservada, I não conservadahádrons “estáveis”: próton e aqueles que decaem porinterações fracas e EMressonâncias: hádrons que decaem por interações fortescom / 1020

taxas de decaimento das ressonâncias dependembasicamente de regras de isospin: razão dos coeficientes deClebsh–Gordan


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Um exemplo

ex.: +(1232) ) j32 +12i com dois modos de decaimento

+ ! p 0 + ! n +

with p0 = j12 +12ij1 0i, n+ = j12 1

2ij1 + 1i Coeficientes de Clebsh-Gordan:

j32 + 12i ,

8<:q

23 j12 +

12ij1 0iq

13 j12 1

2ij1 1i

(+ ! p0) / 23 jA3=2j2(E)

(+ ! n+) / 13 jA3=2j2(E)

Então(+ ! p0)

(+ ! n+)= 2


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Números Quânticos Aditivos


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Carga Elétrica

Conservação de carga elétrica , invariância de gauge local –U(1)

Carga é conservada em todas as interações

exemplos? Interação forte

+ p ! K 0 + 0

Q 1 +1 0 0

? Interação fraca

n ! p + e + eQ 0 +1 1 0


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Número Bariônico

Número Bariônico (B) é conservado em todas as interações

#(quarks) - #(antiquarks) = constante

bárions +1 quarks 13

antibárions 1 antiquarks 13

mésons 0exemplos? interação forte + p ! K 0 + 0

B 0 +1 0 +1

? interação fraca 0 ! p +

B +1 +1 0

? um decaimento p 9 e+ + 0

proibido B +1 0 0


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Número Leptônico

Número Leptônico (L) é conservado em todas as interações

léptons e; e ; ; ; ; +1antiléptons e+; e ; +; ; +; 1

exemplos

? + N ! e+ + e + N

? + ! + +

? + ! e+ + e +

? um decaimento proibido: ! e + e

? e este: ! e + é possível ?(viola L e Le mas ... são estes números conservados?)


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Estranheza

Estranheza (S) é conservada nas interações forte e EMnão é conservada nas interações fracas

ex: + p ! K 0 + 0, K 0 ! +, 0 ! p

d

u

u

u−d d

s−

s

u

d

p

π-

Λ0

K0

d

s−

s

u

d

d

u−

u

d−

u−

d

u

u

d

p

π-

π+

π-

W+

W-


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Estranheza (cont.)

hádrons com s ex.:K+(us);K 0(ds);0(u ds) +1hádrons com s ex.:K(s u);K 0(s d);0(uds) 1bárions com ss ex.:+(dss);0(uss) +2bárions com sss ex.:(sss) 3

♣ o mesmo conceito e implicações de estranheza também seestendem aos quarks pesados: “charmness”, “bottoness”,“topness”

apenas uma consequência de que as interações EM e fortes nãotrocam sabor!


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Estranheza e SU(3) de Sabor

Isospin + S ) u d s ) SU (3) de saborms > mu=md ) simetria não tão boa como isospinSU (3) ! 8 geradores: ~T = 1

2~; U = ei~~T

~ : matrizes de Gell–Mann (3 and 8 diagonais)define-se hypercarga: Y = B + S

Y = 1p38; I3 = 1

23

Y e I3 são números quânticos aditivos conservados (eminterações fortes e EM)

++

+

Y

I3

−2/3

1/2

1/3

−1/2

s

ud

U V

T T = 12 (1 i2)

V = 12 (4 i5)

V = 12 (6 i7)


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Construindo multipletos de SU (3)

Y

I3 ss

ds us

sdsu

du uddd uu

s

ud

s

u d

=

Y

I3

I3

Y

noneto pseudoescalar

Ko

Ko

K

π π

+

+_

K_

η

π

η´

o

1p6(u u + d d 2ss)

0 1p6(u u + d d + ss)

noneto de mésons vetoriais

K

K

+_

_

ρ ρρ

Ko

o

*

**K

*+

ω φ

o

! 1p2(u u d d)

ss


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Simetrias Discretas


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Paridade

P : operação discreta que inverte as coordenadas espaciais(x ; y ; z ) P! (x ;y ;z ) ) reflexão em relação à origem

transforma um sistema de coordenadas mão–direita emmão–esquerdasatisfaz P2 = 1P é unitária, PyP = 1 ) Py = P

P é hermitiana ) auto–estados de paridade são observáveisparidade é um número quântico multiplicativosistema invariante sob P , [H ;P ] = 0 , paridade éconservada


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Paridade (cont.)

| Muitos sistemas quânticos são auto–estados de partidade

P j (~r)i = +j (~r)i = +1 parP j (~r)i = j (~r)i = 1 ímpar

| Para vetores: P(~a) = ~a| Para vetores-axiais (pseudo-vetores): P(~c) = P(~a ~b) = +~c

| Para as partículas fundamentais, uma paridade intrínseca éassignada

quarks P = +1antiquarks P = 1


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| Hádrons: objetos compostos ) paridade é o produto daparidade intrínseca pela contribuição do momento angular

Mésons estáveis têm paridade negativa: ;K ; ;B ;D ; :::Bárions estáveis têm paridade positiva: p;n ;;; :::

| Assim, para mésons P = (1)L+1

ex. píon

L = 0 P = P(u d) = 1) JP () = 0

pseudoescalar

dL

u


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Conjugação de Carga

C: transforma partícula em sua antipartícula, deixando todas asoutras variáveis dinâmicas intactas

C jpi = jpiC j0i = j0iC j+i = ji

claramente C 2 = 1, C yC = 1 ) hermitianaSe um estado é descrito por jA; ~p; ~i onde A is é oconjunto de números quânticos aditivos (isospin, carga,estranheza, etc)

C deixa ~p; ~ invariantesC troca o sinal dos números quânticos aditivos

C jA; ~p; ~i = jA; ~p; ~i


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Conjugação de Carga (cont.)

| Sistema invariante sob C ) [H ;C ] = 0, C é um bom númeroquântico| B ;Q ;L;S ; ::: também conservados (comutam com H ) masem geral BC 6= CB

ex. CB jpi = C jpi = jpiBC jpi = B jpi = jpi

para um estado ser autoestado de C é necessário terB = Q = L = S = ::: = 0 ) partícula = antipartícula| Autoestados de C : fóton C = 1 mésons no centro de seus nonetos C = (1)L+S

0; ; 0; 0; ; !;J= ; :::

ex. 0 ! ) C (0) = +10 9


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Apêndice I:Seção de Choque, Tempo de Vida, Decaimentos


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Width and Lifetime

? Decay Rate Γ : desintegration probability per unit time

dN = −ΓNdt ⇒ N (t) = N (0)e−Γt

? Mean Lifetime : average lifetime of a particle in its rest frame

τ = 1/Γ

If the decaying particle has n different decay modes:ex.: + ! +, + ! e+e , + ! +

Each mode has a partial width i ) tot =Pn

i=1 i and = 1=tot

? Branching ratio:

BR =Γi

Γtot


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Scattering

Cross-Section“Size of the target” ) effective cross-sectional areaA measure of the chance of success of the interaction

Each possible final state of a collision is characterized by ascattering cross-section i

σtot =Xσi

ex: e + p ! e + pe + p ! e + p + e + p ! e + p + 0

e + p ! e +


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Scattering (cont.)

| If the incoming particle passes through an infinitesimal aread it will scatter into a corresponding angle d. The larger d,the larger d| Differential Cross-Section D()

d = D()d

| Luminosity L: number of particles per unit time per unitarea

dN = Ld = L D() d

thusD() =

dd

=1LdNd


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Fermi’s Golden Rule

We want to be able to calculate actualdecay rates and cross-sections

Need to know:

♣ The physical amplitudeM ) dynamical info♣ The phase space of the process ) kinematical info

ex.:D0 ! + + ) big phase space since mD 2m

n ! p ee ) tiny phase space since mn mp

Fermi’s Golden Rule

transition rate =2~jMj2 phase space


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Fermi’s Golden Rule (cont.)

♣ For decays: 1 → 2 + 3 + ... + n

d =jMj2

2m1

d3p2

(2)32E2:::

d3pn

(2)32En

(2)44(p1 p2 p3 ::: pn)

♣ For scattering: 1 + 2 → 3 + 4 + ... + n

d =jMj2(2)44(p1 + p2 p3 ::: pn)

4p(p1 p2)2 (m1m2)2

d3p3

(2)32E3:::

d3pn

(2)32En


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ex.: 1 + 2 ! 3 + 4

Let’s calculate d=dCM: ~p2 = ~p1 ) p1 p2 = E1E2 + j~p1j2p

(p1 p2)2 (m1m2)2 = (E1 + E2)j~p1jThus

d =1

(8)2jMj2

(E1 + E2)j~p1j

d3p3

E3

d3p4

E44(p1 + p2 p3 p4)

steps: write E3;E4 in terms of ~p3; ~p4 integrate in ~p4 using 3

use d3p3 = p2dpd (p j~p3j) substitute E 0 =

pm2

3+~p23p

m24+~p

23 , dE 0 = E 0p3p

m23+~p

23

pm2

4+~p23dp

We obtaindσdΩ

=1

(8π)2s|pf ||pi ||M|2

where s = (E1+E2)2 is the available energy2 in the CM frame.


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Apêndice IIQED e os Processos e! e e e+e ! +


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Quantum Electrodynamics – QED

| A free electron with 4–momentum p is described by a4-component wave function (spinor) given by:

= u(~p)eipx

satisfying the Dirac equation (6p m) = 0| Classical EM: upon interaction with an EM potentialA = (A0; ~A) replace p ! p + eA

| quantum prescription then givesi@ ! i@ + eA

and the Dirac equation becomes

( 6p m) = 0V ; 0V = e A


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QED (cont.)

| e2

4 1137 is small ) treat potential as a perturbation

1st order:

Tfi = iZd4x yf (x )V (x ) i (x ) = ie

Zd4x f A i

with y o . In terms of the EM current densityj fi = e f i = e uf uiei(pfpi )x

we haveTfi = i R jAd4x

Giving interpretation: A ! field generated by a sourceex: a muon, in e scattering

From Maxwell’s equation: 2Aµ = jµBD

with j BD = e uD uBei(pDpB )x

2eiqx = q2eiqx , thusAµ = − 1

q2 jµ with q pD pB

uB uD

γ


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Calculating e scattering

Let’s calculate a e scattering explicitly. From before,

Tfi = iZ

jmuon

1

q2

j elecd

4x =

= i(e uC uA) 1

q2

(e uD uB )

Zei(pCpA)x ei(pDpB )xd4x =

= i (e uC uA) 1

q2

(e uD uB )| z

M

(2)44(pA + pB pC pD)

iM = (ie uC uA)

igq2

(ie uD uB )

↓photon

propagator

uB(p) u_

D(p’)

uA(k) u_

C(k’)

- igµν/q2

ieγν

ieγµ


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e scattering (cont.)

In general we are interested in non–polarized cross-sections:average over initial spin states, sum over final spin states

jMj2 = 1(2sA+1)(2sB+1)

Xspin states

jMj2

= e4

q4 Lelec L

muon

where

Lelec =

Xspin elec

u(k 0) u(k)

u(k 0) u(k)

Lmuon =

Xspin muon

u(p0) u(p)

u(p0) u(p)


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e scattering (cont..)

steps: use [u(k 0) u(k)] = [u(k) u(k 0)] use completeness relations

Ps 0 u

s 0 (k 0)us 0

(k0) = (6k +m) to

obtainL

elec =12Tr [( 6k

0 +m) (6k +m) ]

use trace theorems for matrices to obtainL

elec = 2k 0k + k 0k (k 0 k m2)g

analogously for Lmuon

Finally calculate LelecL

muon

jMj2 = 8e4

q4 [(k 0 p0)(k p) + (k 0 p)(k p0)

m2(p0 p)M 2(k 0 k) + 2m2M 2 ]


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e scattering (cont...)

Introduce Mandelstam variables:s (k + p)2; t (k k 0)2; u (k p0)2

ultrarelativistic limit: neglect m ;Ms 2k 0 p0; t 2p p0; u 2k 0 p

Thus

jMj2 = 8e4

q4

(k 0 p0)(k p) + (k 0 p)(k p0)

= 2e4 s2 + u2

t2


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Crossing: e+e ! +

| From e scattering it is easy to obtain e+e ! + fromcrossing

−k′

k

−p

p′

Me+e!+(k ; k 0; p; p0)=

Me!e(k ;p;k 0; p0)

just change k 0 $ p (t $ s) in the previous result:

jMj2 = 2e4 t2 + u2

s2 = 2e4h

12(1+ cos2 )

iwhere the last equality is obtained by getting s ; t ;u in the CMframe, with the scattering angle


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e+e ! + (cont.)

Recalling the expression for differential cross–section

ddCM

= 1642s

pfpijMj2 = 1

642s 2e4h(1+ cos2 )

iwe finally get for the total cross-section

(e+e ! +) =42

3s


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