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AGUJEROS NEGROS ¿Cuál es el origen de su Temperatura?
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AGUJEROS NEGROS ¿Cuál es el origen de su Temperatura?
Hoy rendiremos homenaje a STEPHEN HAWKING
OXFORD 8 de enero 1942 CAMBRIDGE 14 de marzo 2018
76 años
Campos de investigación RELATIVIDAD GENERAL GRAVEDAD CUÁNTICA Radiación de Hawking
Entropía de un AGUJERO NEGRO
Radiación de Hawking
Hoy rendiremos homenaje a STEPHEN HAWKING
Objetivo
A partir del tiempo imaginario y del Principio de Equivalencia de Einstein obtener la TEMPERATURA DE UN AGUJERO NEGRO
El plan
Movimiento Circular Uniforme (Newton) Números complejos Repaso Relatividad Especial Principio de Equivalencia Relatividad General Mov. Circular en Tiempo Imaginario = aceleración Agujeros Negros Radio de Schwarzschild Deducción de la Temperatura de Hawking
Movimiento Circular Uniforme (Newton)
Movimiento Circular Uniforme (Newton)
x Rcost
y R sint
Ecuaciones del movimiento
Movimiento Circular Uniforme (Newton)
x Rcost
y R sint
Ecuaciones del movimiento
Velocidad
vx Rsint
vy Rcost
Movimiento Circular Uniforme (Newton)
x Rcost
y R sint
Ecuaciones del movimiento
Velocidad
vx Rsint
vy Rcost
Aceleración
ax R2 cost
ay R2 sint
Movimiento Circular Uniforme (Newton)
x Rcost
y R sint
Ecuaciones del movimiento
Velocidad
vx Rsint
vy Rcost
Aceleración
ax R2 cost
ay R2 sint
Rapidez (módulo)
v vx2 vy
2 R
Movimiento Circular Uniforme (Newton)
x Rcost
y R sint
Ecuaciones del movimiento
Velocidad
vx Rsint
vy Rcost
Aceleración
ax R2 cost
ay R2 sint
Rapidez (módulo)
v vx2 vy
2 R
Aceleración (módulo)
a ax2 ay
2 R2
Supongamos que se moviera a la velocidad de la LUZ
EXPERIMENTO MENTAL
Supongamos que se moviera a la velocidad de la LUZ
v R c
EXPERIMENTO MENTAL
Supongamos que se moviera a la velocidad de la LUZ
v R c
Su aceleración sería:
a ax2 ay
2 R2 c 2 c
EXPERIMENTO MENTAL
Supongamos que se moviera a la velocidad de la LUZ
v R c
Su aceleración sería:
a ax2 ay
2 R2 c 2 c
Su ecuación del movimiento:
x c2
a cos atc y c2
a sin atc
EXPERIMENTO MENTAL
Números Complejos
i2 1
ei cos i sin
- Identidad de Euler -
= número real
Números Complejos
- Número imaginario -
ai
a = número real
Ejemplos:
3i 7i i
Números Complejos
¿Qué se obtiene si sustituimos por un número imaginario?
ei cos isin ?
Números Complejos
TRUCO
eiai cosai isinai
Números Complejos
TRUCO
eiai cosai isinai ea cosai i sinai
Números Complejos
TRUCO
eiai cosai i sinai
eiai cosai isinai ea cosai i sinai
Números Complejos
TRUCO
eiai cosai i sinai
eiai cosai isinai
ea cosai i sinai
ea cosai i sinai
Números Complejos
TRUCO
eiai cosai i sinai
eiai cosai isinai
ea cosai i sinai
ea cosai i sinai
sumamos eaea
2 cosai
Números Complejos
TRUCO
eiai cosai i sinai
eiai cosai isinai
ea cosai i sinai
ea cosai i sinai
sumamos eaea
2 cosai
restamos eaea
2 i sinai
Números Complejos
DEFINICIÓN
Coseno Hiperbólico
cosha eaea
2
Seno Hiperbólico
sinha eaea
2
Números Complejos
DEFINICIÓN
Coseno Hiperbólico
cosha eaea
2
Seno Hiperbólico
sinha eaea
2
Repaso Relatividad Especial
Elemento de línea Invariante
ds2 c2dt2 dx2
Repaso Relatividad Especial
ds2 c2dt2 dx2
Elemento de línea Invariante
c2d2
Repaso Relatividad Especial
ds2 c2dt2 dx2
Elemento de línea Invariante
c2d2
d
Intervalo de TIEMPO PROPIO
Repaso Relatividad Especial
Velocidad en el espaciotiempo
Repaso Relatividad Especial
Velocidad en el espaciotiempo
c2dt2 dx2 c2d2
Repaso Relatividad Especial
Velocidad en el espaciotiempo
c2dt2 dx2 c2d2
c2 dt
d
2 dx
d
2 c2
Repaso Relatividad Especial
Velocidad en el espaciotiempo
c2dt2 dx2 c2d2
c2 dt
d
2 dx
d
2 c2
dctd
2 dx
d
2 c2
Repaso Relatividad Especial
Velocidad en el espaciotiempo
c2dt2 dx2 c2d2
c2 dt
d
2 dx
d
2 c2
dctd
2 dx
d
2 c2
u dctd
, dx
d
Repaso Relatividad Especial
Velocidad en el espaciotiempo
c2dt2 dx2 c2d2
c2 dt
d
2 dx
d
2 c2
dctd
2 dx
d
2 c2
u dctd
, dx
d!!
Principio de Equivalencia
Nos servirá para colocarnos al lado de un Agujero Negro
Principio de Equivalencia
Principio de Equivalencia
Aceleración constante en RE
Campo gravitatorio uniforme
Principio de Equivalencia
¿Cómo se mueve una partícula con aceleración constante en Relatividad Especial?
Aceleración constante en RE
Campo gravitatorio uniforme
Principio de Equivalencia
Objetivo: encontrar en Relatividad Especial
una aceleración constante pero con el módulo de la
velocidad espaciotemporal constante
Principio de Equivalencia
Con Newton:
Movimiento Circular uniforme
Con Einstein:
??
Principio de Equivalencia
TRUCO
TIEMPO IMAGINARIO
Principio de Equivalencia
TRUCO
TIEMPO IMAGINARIO
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
Tiempo imaginario periódico
Sistemas Cuánticos a Temperatura finita
DUALIDAD
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
x c2
a cos ac
ct c2
a sin ac
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
x c2
a cos ac
ct c2
a sin ac
it it
TIEMPO IMAGINARIO
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
x c2
a cos ac
ct c2
a sin ac
it it
x c2
a cosi ac
ict c2
a sini ac
TIEMPO IMAGINARIO
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
x c2
a cos ac
ct c2
a sin ac
it it
x c2
a cosi ac
ict c2
a sini ac
x c2
a cosh ac
ict i c2
a sinh ac
TIEMPO IMAGINARIO
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
x c2
a cos ac
ct c2
a sin ac
it it
x c2
a cosi ac
ict c2
a sini ac
x c2
a cosh ac
ict i c2
a sinh ac
x c2
a cosh ac
ct c2
a sinh ac
TIEMPO IMAGINARIO
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
a cosh ac
ct c2
a sinh ac
dctd
ccosh ac
dx
d csinh a
c
u dctd
, dx
d
dctd
2 dx
d
2 c2
Lo cumple!
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
a cosh ac
ct c2
a sinh ac
dctd
ccosh ac
dx
d csinh a
c
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
x c2
a cosh ac
ct c2
a sinh ac
dctd
ccosh ac
dx
d csinh a
c
d2ct
d2 asinh a
c
d2x
d2 acosh a
c
a a
Lo cumple!
Movimiento acelerado en RE
x c2
a cosh ac
ct c2
a sinh ac
x c2
a 1 atc 2
x c2
a 12
at2
v at
1 atc 2
vt c
Movimiento acelerado en RE
x c2
a cosh ac
ct c2
a sinh ac
x c2
a 1 atc 2
x c2
a 12
at2
v at
1 atc 2
vt c
Movimiento acelerado en RE
x c2
a cosh ac
ct c2
a sinh ac
x c2
a 1 atc 2
x c2
a 12
at2
v at
1 atc 2
vt c
Movimiento acelerado en RE
x c2
a cosh ac
ct c2
a sinh ac
x c2
a 1 atc 2
x c2
a 12
at2
v at
1 atc 2
vt c
Movimiento acelerado en RE
Movimiento acelerado en RE
Métrica Minkowski Métrica Euclidea
Movimiento acelerado en RE Aparece un horizonte de eventos
Movimiento acelerado en RE Aparece un horizonte de eventos
Movimiento acelerado en RE Aparece un horizonte de eventos
Movimiento acelerado en RE Aparece un horizonte de eventos
También ocurre en un AGUJERO NEGRO!
Cálculo de la Temperatura de Hawking
Tiempo euclideo (imaginario) periódico
Sistemas Cuánticos a Temperatura finita
|
Cálculo de la Temperatura de Hawking
Tiempo euclideo (imaginario) periódico
Sistemas Cuánticos a Temperatura finita
Si la teoría euclidea es periódica, implica que la versión cuántica de la teoría debe estar a una cierta temperatura
IDEA CLAVE
Cálculo de la Temperatura de Hawking
Tiempo euclideo (imaginario) periódico
Sistemas Cuánticos a Temperatura finita
Si la teoría euclidea es periódica, implica que la versión cuántica de la teoría debe estar a una cierta temperatura
IDEA CLAVE
periodo kBT
Cálculo de la Temperatura de Hawking
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
ac 2
2ca (periodo)
2ca
kBT
T a2ckB
a GM
r2
Cálculo de la Temperatura de Hawking
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
ac 2
2ca (periodo)
2ca
kBT
T a2ckB
a GM
r2
Cálculo de la Temperatura de Hawking
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
ac 2
2ca (periodo)
2ca
kBT
T a2ckB
a GM
r2
Cálculo de la Temperatura de Hawking
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
ac 2
2ca (periodo)
2ca
kBT
T a2ckB
a GM
r2
Cálculo de la Temperatura de Hawking
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
ac 2
2ca (periodo)
2ca
kBT
T a2ckB
a GM
r2
Cálculo de la Temperatura de Hawking
x c2
a cos ac
y c2
a sin ac
ac 2
2ca (periodo)
2ca
kBT
T a2ckB
a GM
r2
Cálculo de la Temperatura de Hawking
a GM
r2
Qué radio tiene la velocidad de la luz como velocidad de escape?
ve 2GMR
c 2GMR
T a2ckB
Cálculo de la Temperatura de Hawking
a GM
r2
Qué radio tiene la velocidad de la luz como velocidad de escape?
ve 2GMR
c 2GMR
T a2ckB
Cálculo de la Temperatura de Hawking
a GM
r2
Qué radio tiene la velocidad de la luz como velocidad de escape?
ve 2GMR
c 2GMR
R 2GM
c2
T a2ckB
Cálculo de la Temperatura de Hawking
a GM
r2
Qué radio tiene la velocidad de la luz como velocidad de escape?
ve 2GMR
c 2GMR
R 2GM
c2
a c4
4GM
T a2ckB
Cálculo de la Temperatura de Hawking
T c3
8kBGM
Temperatura de un Agujero Negro
Cálculo de la Temperatura de Hawking
T c3
8kBGM
Temperatura de un Agujero Negro
Primer resultado de la historia en GRAVEDAD CUÁNTICA (Hawking 1976)
Cálculo de la Temperatura de Hawking
Cálculo de la Temperatura de Hawking
• Hawking la calculó usando Teoría Cuántica de Campos
• Unruh (1976) demostró que el vacío cuántico depende de la aceleración del observador
¡Gracias por aguantar hasta aquí!
