Âgulos e Polígonos

PR-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

MATEMTICA

Esse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br

2006-2009 IESDE Brasil S.A. proibida a reproduo, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorizao por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

Produo Projeto e Desenvolvimento Pedaggico

Disciplinas Autores

Lngua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Mrcio F. Santiago Calixto Rita de Ftima BezerraLiteratura Fbio Dvila Danton Pedro dos SantosMatemtica Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFsica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQumica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hlio Apostolo Rogrio FernandesHistria Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogrio de Sousa Gonalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pr-vestibular / IESDE Brasil S.A. Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]

660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pr-vestibular. 2. Educao. 3. Estudo e Ensino. I. Ttulo.

CDD 370.71


1EM

_V_M

AT

_026

O curso de geometria plana comea com trs conceitos primitivos (conceitos sem definio): ponto, reta e plano, que nos leva a uma melhor compreen-so no estudo dos ngulos e tm grande utilidade no dia-a-dia.

Ponto, reta e plano

A

S

()

PONTO RETA PLANO

Numa reta h infinitos pontos. Num plano, h infinitas retas e, consequentemente, infinitos pontos.

SemirretaSe tomarmos um ponto O de uma reta r, forma-

remos duas semirretas, com origem no ponto O.

O

r

Segmento de retaSe tomarmos dois pontos distintos A e B de uma

reta r, o pedao da reta que vai de um ponto ao outro chamado de segmento de reta AB.

A B

ngulosSe traarmos duas semirretas de mesma origem,

as regies formadas no plano que as contm sero chamadas de ngulos.

0

Tipos de ngulos

Agudo

todo ngulo , tal que 0 < < 90.

0

Reto

todo ngulo , tal que = 90.

Smbolo

ngulos e polgonos


2 EM

_V_M

AT

_026

Muitas vezes o desenho induz ao erro, pois o ngulo s ser considerado reto se tiver o smbolo ou vier escrito.

Obtuso

todo ngulo , tal que 90< < 180.

0

Raso

todo ngulo , tal que = 180.

0

Reentrantes

todo ngulo , tal que 180 < < 360.

0

Comparao de dois ou mais ngulos

Consecutivos

Possuem o mesmo vrtice e um lado em comum.

A

B

C

AB e AC

O

Adjacentes

Possuem o mesmo vrtice e um lado comum entre eles.

A

B

C

AB e BC

O

Todo ngulo adjacente consecutivo, mas nem todo ngulo consecutivo adjacente.

Complementares

So dois ngulos cuja soma igual a 90. + = 90A

B

C

0

o complemento de ou

o complemento de

Suplementares

So dois ngulos cuja soma igual a 180.

0

+ = 180

o suplemento de ou

o suplemento de


3EM

_V_M

AT

_026

Replementares

So dois ngulos cuja soma igual a 360.

0

+ = 360

B

A

o replemento de ou

o replemento de

Opostos pelo vrtice

So dois ngulos de mesma medida, tais que os lados de um so as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.

=

Bissetriz de um ngulo a semirreta de origem no vrtice que divide o

ngulo em duas partes com a mesma medida.

OR bissetriz de AB

AR

BO

Retas paralelas cortadas por uma transversal

a b

d c

e f

gh

(r//s)

t

r

s

AlternosInternos: c e; d f

Externos: a g; b h

Todos os ngulos alternos so congruentes.

ColateraisInternos: c f; d e

Externos: a h; b g

Todos os ngulos colaterais so suplementares.

CorrespondentesSo os ngulos que se superpem quando

deslocamos a reta s para cima da reta r, logo, so congruentes.

a e; b f; d h; c g

u

s

t

r

+ + = 180. A soma dos ngulos externos de qualquer tringulo vale 180.


4 EM

_V_M

AT

_026

PolgonosAs figuras poligonais geralmente so usadas

para delimitar uma regio em destaque, assim poden-do calcular a rea de seu interior de acordo com seus ngulos internos. Muito utilizado na idade mdia quando as igrejas eram construdas com mosaicos e vitrais em suas decoraes interiores, atualmente vemos duas dessas formas poligonais (pentgono e hexgono) nos gomos da bola de futebol.

O polgono a unio de n segmentos de retas consecutivas (n > 3).

V1V3

V2

V4

V5

Vn

V1V2V2V3V3V4...VnV1

Classificao

Convexo

o polgono no qual quaisquer pontos interiores unidos formam um segmento de reta completamente contido no polgono.

D C

BA

E

Cncavo

o polgono no qual existem pontos interiores que, unidos, formam um segmento de reta que no est completamente contido no polgono.

C D

B

A

EF

Equiltero

todo polgono que tem lados congruentes.

D

C

B

A

C D

BA

Losango Quadrado

Equingulo

todo polgono que tem ngulos congruentes.

D C

BA

D C

BA

QuadradoRetngulo

Regular

todo polgono equiltero e equingulo.

C D

BA

D C

B

A

E

D

C

BA

F

E

Quadrado Pentgono regular

Hexgono regular

Gnero todo nmero de lados (ou vrtices) de um

polgono.

3 lados tringulo

4 lados quadrado

5 lados pentgono

6 lados hexgono

7 lados heptgono

8 lados octgono

9 lados enegono

10 lados decgono

11 lados undecgono

12 lados dodecgono

20 lados icosgono

Para os demais dizemos polgonos de n lados.

Nmero de diagonais

Diagonal o segmento de reta que une dois vrtices no

adjacentes.

(n lados)


5EM

_V_M

AT

_026

Diagonais de cada vrticeComo podemos observar, de cada vrtice sai

(n 3) diagonais, pois no pode sair diagonal para os vrtices adjacentes e nem para o prprio vrtice.

Logo, se o polgono tem n lados ele ter n vr-tices, o que nos leva a pensar errado que o nmero de diagonais igual a n (n 3).

Total de diagonaisComo podemos observar, cada diagonal con-

tada duas vezes, ento a relao correta do nmero de diagonais :

n(n 3)2

Pentgono

n(n 3)nd

2

=

5(5 3)nd 5

2

= =

Somente em polgonos regulares de gnero par podemos afirmar que o nmero de diagonais que passam pelo centro igual metade do nmero

de lados n2

.

ngulos internos (ai) e ngulos externos (ae)

Em cada vrtice temos um ngulo interno e um ngulo externo adjacente.

An

A1 ae1ai1 ai2

ae2A3

A4

A2

Soma dos ngulos internos (Sai)

ai ae = 180

V1V3V2

V4V5

Vn

n lados

Como podemos observar, temos n lados nos dando n tringulos, assim conclumos que a soma dos ngulos internos ser:

Sai = 180 (n 2)

Soma dos ngulos externos (Sae)

Consideremos, como exemplo, o polgono da figura a seguir:

Tracemos, pelo ponto p, paralelas aos lados do polgono. Os ngulos formados em torno do ponto p so congruentes, respectivamente, aos ngulos externos do polgono.

Logo, fcil concluir que:

ae1 + ae2 + ae3 +ae4 +ae5 = 360

ae1ae2ae3

ae5ae4

ae3ae2

ae1

ae4

ae5


6 EM

_V_M

AT

_026

A soma dos ngulos externos de um polgono convexo dada por:

Sae = 360

Para todo polgono regular podemos afirmar que:

ngulo interno = soma dos ngulos internos

o nmero de ngulos internos

anni

= 180 2( )

ngulo externo = soma dos ngulos externos

o nmero de ngulos externos

ane

=360

Quadrilteros a figura plana determinada por quatro seg-

mentos de reta consecutivos (polgono de quatro lados).

A

B C

D

xA

B

D

C z

^

^

^

^

w

y

A , B , C e D so ngulos internos.

x, y, z, w so ngulos externos.

A + B + C + D = 360

x + y + z + w = 360

AC e BD so diagonais.

Classificao

Paralelogramo todo quadriltero que possui os lados opostos

paralelos.

A B

CD

AB // CD e AD // BC

Propriedades `

Os lados e os ngulos opostos so congruentes, as diagonais cortam-se mutuamente ao meio e os ngulos consecutivos so suplementares.

O paralelogramo, de acordo com sua forma, cria algumas propriedades, formando, assim, retngulos, losangos e quadrados.

Retngulo todo paralelogramo que possui os quatro

ngulos congruentes.

A B

CDO

Propriedades `

As diagonais so congruentes e cortam-se ao meio.

Losango todo paralelogramo que possui os quatro lados

congruentes.

B

A

C

D O

Propriedades `

As diagonais so perpendiculares entre si bissetrizes dos ngulos internos e se cortam ao meio.

Quadrado todo paralelogramo que possui os quatro lados

e os quatro ngulos congruentes.

A B

C D

O


7EM

_V_M

AT

_026

Propriedades `

As diagonais so congruentes, perpendiculares entre si, bissetrizes dos ngulos internos e se cortam ao meio.

interessante observarmos que, ao destacar-mos uma das partes do retngulo dividido por sua diagonal, teremos um tringulo retngulo e deste tiramos algumas propriedades:

A B

C D

x O x

x x

xO

xx

A

C D

A mediana relativa hipotenusa de um trin-gulo mede a metade da hipotenusa.

Por consequncia, teremos dois tringulos issceles, AOC e COD.

Trapzio todo quadriltero que possui somente um par

de lados paralelos, chamados bases.

A B

CD

AB // CD

O trapzio, de acordo com sua forma, subdivi-dido em trs: escaleno, issceles e retngulo.

Escaleno Os lados no-paralelos no so congruentes.

A B

CD

AD BC

Issceles Os lados no-paralelos so congruentes.

A B

CD

AD // BCAC // BD

Os ngulos pertencentes mesma base so congruentes.

Retngulo Um dos lados no-paralelos perpendicular s

bases (possui dois ngulos retos).

A B

CD

AD // ABAD // CD

O trapzio retngulo tambm escaleno.

Base mdia e mediana de Euler

Agora vamos estudar como se calcula a base mdia e a mediana de Euler do trapzio, para isso temos:

Base mdia do tringulo

A

B C

NM

MN // BC

MN = BC2

M e N so pontos mdios de AB e AC respec-tivamente.

MN a base mdia do tringulo.


8 EM

_V_M

AT

_026

Base mdia do trapzio

NM

D

A B

C

MN // ABMN // CD

MN = AB + CD2

M e N so pontos mdios de AD e BC respec-tivamente.

MN a base mdia do trapzio.

Mediana de Euler

D

A B

C

P QM N

PQ // ABPQ // CD

PQ = CD AB2

M e N so pontos mdios de AD e BC respec-tivamente.

MN a base mdia do trapzio.

PQ a mediana de Euler.

Trapezoide todo quadriltero que no possui lados pa-

ralelos.

D C

AB

Polgonos inscritosComo j foi estudado anteriormente, um po-

lgono convexo regular se seus lados e ngulos so congruentes.

A grande importncia dos polgonos regulares na geometria plana tirada pela inscrio e circuns-crio das figuras.

Vamos estudar os trs principais polgonos re-gulares: tringulo equiltero, quadrado e hexgono regular, calculando os lados e os aptemas em funo dos raios das circunferncias inscritas e circunscritas (os aptemas so as distncias do centro da circun-ferncia aos pontos mdios dos lados).

Tringulo equiltero

a = R2

=R 3

Demonstrao: `

2a = R a= R2

hTE= 3

2

3a= 32

23R = 32 =

3R3

= R 3


9EM

_V_M

AT

_026

Quadrado

a= 22

R

=R 2

Demonstrao: `

d= 2

2a=

2R= 2

2a=R 2

22R

=

a=2

R 2

=R 2

Hexgono regular

a= 3R2 = R

Demonstrao: `

=

=

TE

3h

2

R 3a

2

Polgonos circunscritos

Tringulo equiltero

a = R=2 3 R

Demonstrao: `

a=R

a = R=2R

=

=

TE

3h

2

33a

2

=

=

33R

26R

3

= 2 3R


10 EM

_V_M

AT

_026

Quadrado

a = R = 2a = 2R

Demonstrao: `

Hexgono regular

=

=

a R

2R 33

Demonstrao: `

a=R

=

=

TE

3h

2

3a

2

=

=

3R

22R

3

=2R 3

3

Um ngulo igual a 1. 54

do seu suplemento. Calcule o

replemento do dobro desse ngulo.

Soluo: `

=

=

=

5x (180 x )

4900 5 x

x4

4x 900 5 x

= =

9x 900

x 100

= =

Log o :

( 360 2 x ) ?

360 2.100 160

Determine o menor ngulo formado pelas bissetrizes de 2. dois ngulos adjacentes e suplementares.

/2 /2

/2

/2

rB

s

CAO

Soluo `

+ =

= +

+ = = =

180

RS2 2

180RS 90

2 2

Na figura, calcule se r//s.3.

160

2

r

30

40

s


11EM

_V_M

AT

_026

20

10

160

160

10

30 30

30

2 = 20+ 102 = 30 = 15

Um raio de luz refletido por trs espelhos planos, 4. dois dos quais so paralelos, como mostra a figura. Lembrando que o raio de luz refletido por um espelho segundo o seu ngulo de incidncia, ou seja, o ngulo de reflexo igual ao ngulo de incidncia, o valor do ngulo , em graus:

45

110

90a)

85b)

80c)

75d)

65e)

Soluo: ` B

110

70

25

25

45 45

45 45

+ 70 + 25 = 180

= 85

Determine o polgono convexo, cujo nmero de diago-5. nais o triplo do nmero de lados.

Soluo: `

=

=

=

nd 3n

n( n 3 )nd

2n( n 3 )

3n2

2

2

6n n 3n

n 9n 0

n 9 enegono

=

==

Em um polgono regular, o ngulo interno o qudruplo 6. do ngulo externo. Calcule a soma dos ngulos internos desse polgono.

Soluo: `

=+ = + = =

=

i e

i e

e e

e

e

a 4a

a a 180

4a a 180

5a 180

a 36

=

=

=

36036

n360

n36

n 10

ai

ai

ai

ai

S 180 ( n 2 )

S 180 (10 2 )

S 180 .8

S 1 440

= = = =

Determine o nmero de diagonais que no passam 7. pelo centro de um polgono regular cujo ngulo externo vale 45.

Soluo: `

e

360a

n360

45n

360n

45n 8

=

=

=

=

= = =

= = =

= = =

pc

npc pc

npc

8( 8 3 ) 8.5nd 20

2 2n 8

nd 42 2

nd nd nd

nd 20 4 16

Na construo civil, muito comum a utilizao de 8. ladrilhos ou azulejos com a forma de polgonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, no so todas as combinaes de polgonos que se prestam a pavimentar uma superfcie plana, sem que haja falhas ou superposies de ladrilhos, como ilustram as figuras.


12 EM

_V_M

AT

_026

Num trapzio issceles, a base menor igual a um dos 9. lados no-paralelos. Prove que as diagonais so bisse-trizes dos ngulos agudos.

Soluo: `

D

A B

C

Se BDC = , ento ABD = , como AB = AD, ABD = ADB = , assim, a diagonal tambm bissetriz do vrtice D analogamente com AC.

Na figura, ABCD um quadrado e CDE um tringulo 10. equiltero, calcule .

A B

D C

E

Soluo: `

3060

EAB

D C

Como CD lado do tringulo e do quadrado, temos CE= BC = , logo BCE um tringulo issceles, assim + + 30 = 180 2 = 150 = 75.

No trapzio ABCD da figura, E e F so pontos mdios. De 11. AD e BC , respectivamente. Sabendo-se que DC = 4cm e MN= 3cm, calcule a diferena entre os permetros dos trapzios ABFE e EFCD.

A B

E F

D C

M N

Figura1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano.

Figura 2: Heptgonos regulares no pavimentamo plano (h falhas ou superposio).

A tabela traz uma relao de alguns polgonos regulares, com as respectivas medidas de seus ngulos internos.

Nome Tringulo Quadrado Pentgono Hexgono Octgono Enegono

Figura

ngulointerno

60 90 108 120 135 140

Se um arquiteto deseja utilizar uma combinao de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polgonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido dever ter a forma de um:

tringulo.a)

quadrado.b)

pentgono.c)

hexgono.d)

enegono.e)

Soluo: ` B

135

135

+ 135 + 135 = 360

= 90, logo ngulo interno de um quadrado.


13EM

_V_M

AT

_026

Soluo: `

A B

E F

D C

M N

b = 4y

y

x

x

B = ?

3

B b2

= 3 B 4 = 6 B = 10

EF = 10+42 = 7

2PABFE = 10 + x + y + 7 = 17 + x + y

2PCDEF = 4 + x + y + 7 = 11 + x + y

2PABFE - 2PCDEF = 6

EA

C

B

F

DD

A B

CFigura 1 Figura 2 Figura 3

A B

D C

Origami a arte japonesa das dobraduras de papel. Observe 12. as figuras anteriores, onde esto descritos os passos iniciais para fazer um passarinho: comece marcando uma das dia-gonais de uma folha de papel quadrada. Em seguida, faa coincidir os lados AD e CD sobre a diagonal marcada, de modo que o vrtice A e C se encontrem. Considerando-se o quadriltero BEDF da figura 3, pode-se concluir que o ngulo BED mede:

100a)

112 30b)

115c)

125 30d)

135e)

Soluo: ` B

67,54545

22,5

B

F

E

C

D

BED = 45 + 67,5 = 112,5 = 11230

Calcule o permetro do tringulo equiltero inscrito numa 13. circunferncia com 12cm de dimetro.

Soluo: `

A

B C

2R = 12 R = 6cm

= R 3

= 6 3cm

2PABC= 3 = 18 3cm

Ache a razo entre o lado do quadrado inscrito e o 14. lado do quadrado circunscrito a uma mesma circun-ferncia.

Soluo: `

2RR

= R 2

Razo = 22RR=L =

22

Uma moeda tem em seu interior um hexgono regular 15. inscrito. Se o raio mede 1cm, calcule o permetro do hexgono inscrito na moeda.

Soluo: `

Como = R = 1cm, temos 2p = 6 = 6cm


14 EM

_V_M

AT

_026

Um ngulo mede a metade do seu complemento. Ento 1. esse ngulo vale:

30a)

60b)

45c)

80d)

90e)

O ngulo igual a 2. 5

4 do seu suplemento mede:

100a)

144b)

36c)

72d)

80e)

Dois ngulos opostos pelo vrtice medem 3x + 10 e 3. x + 50. Um deles mede:

20a)

70b)

30c)

45d)

80e)

Calcule x e determine o valor dos ngulos adjacentes 4. da figura:

3x 30x + 10

120 e 60a)

105 e 75b)

100 e 80c)

90 e 90d)

110 e 70e)

A semirreta OC exterior ao ngulo AB de bissetriz 5. OX. Se AC = 32 e BC = 108, determine CX:

70a)

64b)

54c)

66d)

82e)

Mostre que as bissetrizes de dois ngulos opostos pelo 6. vrtice so colineares.

A medida da soma de dois ngulos 125 e a metade de 7. um deles igual tera parte da medida do suplemento do outro. Calcule a diferena entre esses ngulos.

Nas figuras a seguir, as retas r e s so paralelas. Encontre 8. a medida de cada caso.

a)

b)

c)

d)

Demonstre que as bissetrizes de dois ngulos adjacentes 9. e suplementares formam ngulo reto.

(UFF) Sabendo que o replemento do dobro de um ngu-10. lo igual ao suplemento do complemento desse mesmo ngulo. Determine a quarta parte desse ngulo.

15a)

22,5b)

45c)


15EM

_V_M

AT

_026

60d)

67,5e)

(Unirio) A diferena entre o suplemento e o comple-11. mento de um ngulo qualquer :

um ngulo raso.a)

um ngulo agudo.b)

um ngulo reto.c)

um ngulo obtuso.d)

no pode ser determinada.e)

Calcular os valores dos ngulos internos e externos do 12. polgono regular convexo que possui 27 diagonais.

No polgono regular ABCD... da figura, as diagonais AC 13. e BD formam, entre si, um ngulo que mede 20.

Determine o nmero de lados do polgono.

O nmero de diagonais do polgono convexo cuja soma 14. dos ngulos internos 1 440 :

20a)

27b)

35c)

44d)

48e)

Qual o gnero do polgono convexo em que a diagonal 15. AC faz com o lado BC um ngulo de 20?

Qual o polgono convexo em que o nmero de diagonais 16. o triplo do nmero de lados?

As mediatrizes de dois lados consecutivos de um po-17. lgono regular formam um ngulo igual a 20. Determine o nmero de diagonais desse polgono.

De cada vrtice de um polgono regular s podemos 18. traar trs diagonais, sendo que a maior mede T. O permetro desse polgono vale:

Ta)

2Tb)

3Tc)

6Td)

8Te)

Trs polgonos convexos tm lados expressos por n-19. meros consecutivos. Sendo 2 700 a soma de todos os ngulos internos dos trs polgonos, determine o nmero de diagonais de cada um deles.

Determine o nmero de lados de um polgono regular 20. ABCDE, sabendo que as bissetrizes de AP e CP, dos ngulos A e C, formam um ngulo que vale 2/9 do seu ngulo interno.

(UFJF) Em um pentgono convexo, os ngulos internos 21. formam uma progresso aritmtica de razo r. O valor de r tal que o maior ngulo desse pentgono mea 128 :

10a)

15b)

20c)

27d)

36e)

Na figura, ABCDE um pentgono regular.22.

Determine a soma:

Assinale a alternativa que contm a propriedade diferencia-23. da do quadrado em relao aos demais quadrilteros.

Todos os ngulos so retos.a)

Os lados so todos iguais.b)

As diagonais so iguais e perpendiculares entre si.c)

As diagonais se cortam ao meio.d)

Os lados opostos so paralelos e iguais.e)

Q, T, P, L, R e D denotam, respectivamente, o conjunto 24. dos quadrilteros, dos trapzios, dos paralelogramos, dos losangos, dos retngulos e dos quadrados. De acordo com a relao de incluso entre esses conjuntos, a alternativa verdadeira :

D a) R L P

D b) L P Q

Q c) P L D

T d) P Q R D

Q e) T P R C


16 EM

_V_M

AT

_026

Prove que a figura formada pelas bissetrizes internas de 25. um paralelogramo propriamente dito um retngulo.

Na figura, os tringulos A26. BM e BCP so equilteros e ABCD um quadrado.

Calcule o ngulo .

24a)

22b)

15c)

45d)

30e)

(Fuvest) No retngulo a seguir, o valor em graus de 27. + :

50a)

90b)

120c)

130d)

220e)

A afirmativa um quadrado foi subdividido em n quadra-28. dos congruentes acarreta que:

n pode ser 12.a)

n no pode ser par.b)

n no pode ser mpar.c)

n pode ser 36.d)

n pode ser 29.e)

(UFMG) Sobre figuras planas, correto afirmar que:29.

um quadriltero convexo um retngulo se os la-a) dos opostos tm comprimentos iguais.

um quadriltero que tem suas diagonais perpendicu-b) lares um quadrado.

um trapzio que tem dois ngulos consecutivos c) congruentes issceles.

um tringulo equiltero tambm issceles.d)

um tringulo retngulo aquele cujos ngulos so e) retos.

(PUC-SP) Sendo:30.

A = {x | x quadriltero}

B = {x | x quadrado}

C = {x | x retngulo}

D = {x | x losango}

E = {x | x trapzio}

F = {x | x paralelogramo}

ento vale a relao:

A a) D E

A b) F D B

F c) D A

A d) F B C

B e) D A E

Na figura, ABCD um quadrado e AMB um tringulo 31. equiltero.

Determine a medida do ngulo AMD.

75a)

68b)

60c)

48d)

50e)


17EM

_V_M

AT

_026

(Cesgranrio) As bases 32. MQ e NP de um trapzio medem 42cm e 112cm, respectivamente.

Se o ngulo MQP o dobro do ngulo PNM, ento o lado PQ mede:

154cma)

133cmb)

91cmc)

77cmd)

70cme)

Na figura 33. AD = DC = CB e BD = BA

A medida do ngulo do trapzio ABCD mede:

30a)

36b)

72c)

48d)

80e)

Ligando-se os pontos mdios dos lados de um quadri-34. ltero convexo de diagonais 6 e 8, obtm-se um outro quadriltero convexo de permetro:

7a)

10b)

12c)

14d)

16e)

(UFRJ) Os ngulos internos de um quadriltero convexo 35. esto em progresso aritmtica de razo igual a 20. Determine o valor do maior ngulo desse quadriltero.

Calcule o lado e o aptema do tringulo equiltero 36. inscrito num crculo de raio R.

Calcule o lado e o aptema do quadrado inscrito num 37. crculo de raio R.

Calcule o lado e o aptema do hexgono regular inscrito 38. num crculo de raio R.

Calcule o lado do tringulo equiltero circunscrito a um 39. crculo de raio R.

Calcule o lado do hexgono regular circunscrito a um 40. crculo de raio R.

Calcule a distncia entre dois lados opostos de um 41. hexgono regular de 2cm de lado.

Calcule a razo entre os permetros de dois hexgonos 42. regulares, o primeiro inscrito e o segundo circunscrito a um mesmo crculo.

ABCDE um polgono regular convexo de 2cm de 43. lado. As diagonais AC BD e formam um ngulo de 18. Calcule o permetro do polgono.

(UFF) A razo entre o lado do quadrado inscrito e o 44. lado do quadrado circunscrito em uma circunferncia de raio R :

13

a)

12

b)

33

c)

22

d)

2e)

(PUC) A45. 1 A2 ... An um polgono regular convexo, de n lados, inscrito em um crculo. Se o vrtice A15 diame-tralmente oposto ao vrtice A46, o valor de n :

62a)

60b)

58c)

56d)

54e)

(Unirio) s 13 horas e 15 minutos, os ponteiros de um 1. relgio formam um ngulo de:

730 a)

1730b)

2230c)

37d)

5230e)


18 EM

_V_M

AT

_026

Nesta figura, as retas r e s so paralelas e t e u so 2. transversais.

O valor em graus de (2x + 3y) :

64a)

500b)

520c)

660d)

580e)

O triplo do complemento de um ngulo igual tera 3. parte do seu suplemento aumentada da metade do replemento do qudruplo desse ngulo. Determine o valor do complemento desse ngulo.

4. e so, respectivamente, as bissetrizes dos ngu-los adjacentes MN e NP. a bissetriz do ngulo QR. Calcule as medidas, em graus, dos ngulos MN e NP, sabendo que MP = 100 e MT = 55.

Sendo r//s na figura abaixo, o valor de 5. :

6a)

10b)

15c)

20d)

30e)

(ITA) Entre 4 e 5 horas, o ponteiro das horas de um 6. relgio fica duas vezes em ngulo reto com o ponteiro dos minutos. Os momentos dessas ocorrncias sero:

4h 5a) min e 4h 38 min.

4h5b) min e 4h 38 min.

4hc) min e 4h 38 min.

4h 5 d) min e 4h 38 min.

(UFRRJ) As semirretas consecutivas 7. e so tais que so colineares e BC = 72.

Calcule a medida do ngulo PQ, sabendo-se que e so as bissetrizes dos ngulos AB e DC.

36a)

54b)

90c)

92d)

126e)

Pelo ponto C de uma reta AB traam-se, num mesmo 8. semiplano dos determinados por AB, as semirretas

. O ngulo o dobro do ngulo e o ngulo o dobro do ngulo . Calcule o ngulo formado pelas bissetrizes dos ngulos e .

Na figura abaixo, calcule 9. .

(OBM) Quantos ngulos retos so formados pelos 10. ponteiros (horas e minutos) de um relgio em um dia completo que se inicia s 0:00 h?

48a)

40b)

44c)

96d)

(CMC) Na figura a seguir:11.

AC = 108I.

ZB = 4II.


19EM

_V_M

AT

_026

Sabendo-se que OX, OY e OZ so as bissetrizes de AB, BC e XY, respectivamente, determine a medida de AB.

Duas bissetrizes internas de dois ngulos consecutivos 12. de um polgono regular formam um ngulo dado por:

a)

b)

c)

d)

e)

(Cesgranrio) Na figura ABCDE um polgono 13. regular.

Determine a medida do ngulo CD.

(Consart) Se cada ngulo interno de um polgono no 14.

excede , ento o polgono tem, no mximo:

4 lados.a)

5 lados. b)

6 lados.c)

8 lados.d)

12 lados.e)

Os lados de um polgono regular de n lados, n > 4, so 15. prolongados para formar uma estrela. O nmero de graus em cada vrtice da estrela :

a)

b)

c)

d)

e)

O nmero de diagonais de um polgono 16. regular de 2n lados que no passam pelo centro da circunferncia circunscrita nesse polgono, dado por:

2n (n 2)a)

2n (n 1)b)

2n (n 3)c)

d)

2ne)

(UFF) A figura representa um tringulo equiltero FHN 17. de lado e um hexgono regular.

Sabendo que I ponto mdio do lado e pertence ao segmento , assinale a alternativa que representa o permetro do quadriltero FGLM.

7a)

6b)

5c)

4d)

3e)

Se a razo entre o nmero de diagonais e o nmero 18. de lados de um polgono um nmero inteiro positivo, ento o nmero de lados do polgono :

par.a)

mpar.b)

mltiplo de 3.c)

no existe.d)

nenhuma das anteriores.e)

A soma dos (n 1) ngulos internos de um polgono 19. regular de n lados 945. Determine o nmero de lados do polgono.

(FEI) O menor ngulo de um polgono convexo mede 20. 139, e os outros ngulos formam com o primeiro uma progresso aritmtica de razo 2. Determine o nmero de lados do polgono.


20 EM

_V_M

AT

_026

(Mackenzie) A medida em graus de um ngulo interno 21. de um polgono regular um nmero inteiro. O nmero de polgonos no semelhantes que possuem essa propriedade :

24a)

22b)

20c)

18d)

15e)

Um polgono P22. 1 tem 3 lados a mais e 30 diagonais a mais que um polgono P2. Quantas diagonais possui P1?

(CN) O nmero de polgonos regulares, tais que quais-23. quer duas de suas diagonais, que passam pelo seu centro, formam entre si ngulo expresso em graus por nmero inteiro, :

17a)

18b)

21c)

23d)

24e)

O hexgono da figura abaixo equingulo e no equi-25. ltero. Determine o valor de X e Y.

ABCD um quadrado cujas diagonais cortam-se no 26. ponto I. Constri-se, exteriormente, um tringulo equi-ltero ABM.

Calcule o ngulo AJ, sabendo-se que J o ponto mdio do lado AM.

Observe a figura abaixo:27.

O trapzio ABCD issceles e o lado oblquo BC tem para o dobro da medida da base menor AB. O ponto M mdio de BC e DM = DC

Se o ngulo ADM mede 30, calcule o valor da medida do ngulo BCD.

Na figura a seguir, A no pertence ao plano determi-28. nado pelos pontos B, C, e D. Os pontos E, F, G e H so os pontos mdios dos segmentos AB, BC, CD E DA respectivamente.

Prove que EFGH um paralelogramo.

(CEFET) Para ladrilhar o cho de uma varanda foram 24. usadas lajotas na forma de pentgonos regulares e losangos, como mostra a figura.

Os ngulos agudos de cada losango medem:

36a)

42b)

48c)

56d)

72e)


21EM

_V_M

AT

_026

Dado o tringulo acutngulo ABC da figura AH, tal 29. que AB = 8, BC = 12 e BH = 3, calcule o permetro do quadriltero convexo MNPH, onde M, N e P so pontos mdios dos lados AB, AC e BC.

(Unificado) No quadriltero ABCD da figura a seguir 30. so traadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ngulo .

A soma dos ngulos internos A e D desse quadriltero corresponde a:

3 a)

2 b)

c)

2d)

e) 4

Na figura, ABCD um paralelogramo.31.

B

Considere:

AP1. bissetriz de , BP bissetriz de B e CQ bissetriz de C .

M e N pontos mdios, respectivamente, de 2. AB e BC

PM3. = 5cm e QN = 3cm.

O permetro do paralelogramo ABCD igual a:

48cma)

46cmb)

40cmc)

36cmd)

32cme)

Um ponto A qualquer considerado sobre o lado OX 32. do ngulo XY da figura.

Traamos, ento:

AB1. OY

AQ2. // OY

OPQ3. tal que PQ = 2OA

Se PB = 26, XY mede:

61a)

66b)

72c)

78d)

80e)

No paralelogramo ABCD, as distncias de A, B e C a 33. uma reta exterior que contm D so, respectivamente, a, b e c.

Prove que b = a + c.


22 EM

_V_M

AT

_026

Na figura, M o ponto mdio do lado 34. BC, AN bissetriz do ngulo BC e BN perpendicular a AN.

Se AB = 14 e AC = 20, calcule o comprimento do segmento MN.

(Fuvest) Em um trapzio issceles, a altura igual 35. base mdia. Determinar o ngulo que a diagonal forma com a base.

No quadriltero ABCD, temos AD = 36. BC = 2 e o prolon-gamento desses lados forma um ngulo de 60.

Indicando por A, B, C e D, respectivamente, as me-a) didas dos ngulos internos do quadriltero de vr-tice A, B, C e D, calcule A + B e C + D.

Sejam J o ponto mdio de b) DC, M o ponto mdio de AC e N o ponto mdio de BD. Calcule JM e JN.

Calcule a medida do ngulo Mc) J N.

Na figura abaixo, ABCD um quadriltero onde 37. AD = BC e DB + ABC = 120.

Calcule o permetro do tringulo PQR. Sabendo que P, Q e R so respectivamente os pontos mdios dos segmentos AC, BD E DC e que AD = 6m

Na figura abaixo, ABCD um trapzio e M e N os pontos 38. mdios dos lados no-paralelos.

Mostre que:

Os pontos P, M, N e Q so colineares.a)

O permetro do trapzio ABCD vale o dobro do b) segmento PQ.

Ao montar um quebra-cabea, Joozinho montou o 39. retngulo abaixo de dimenses a e b, decomposto em quatro quadrados.

a

b

Qual o valor da razo a/b?5

3a)

2

3b)

2c)

3

2d)

1

2e)


23EM

_V_M

AT

_026

Na figura a seguir, calcule o ngulo 40. , sabendo que ABCDE um pentgono onde B = D = 90, AB = BC, CD = DE e que M o ponto mdio do lado AE.

Em uma circunferncia de centro O e raio 2, tm-se 41. duas cordas paralelas, AB e CD, que so os lados do quadrado e do hexgono regular convexo inscritos, respectivamente.

A distncia EF entre essas cordas , aproximadamente, igual a:

5a)

b)

6c)

2d)

2

e)

Na figura a seguir, AB e AC so, respectivamente, lados 42. do tringulo equiltero e do quadrado inscritos na cir-cunferncia de raio r. Com centro em A, traam-se os arcos de circunferncias BB e CC, que interceptam a reta t em B e C.

A medida que est mais prxima do comprimento do segmento BC :

o permetro do quadrado de lado AC.a)

o comprimento da semicircunferncia de raio r.b)

o dobro do dimetro da circunferncia de raio r.c)

o semipermetro do tringulo equiltero de lado d) AB.

Calcule o permetro do tringulo equiltero circunscrito 43. ao crculo que circunscreve um quadrado de 8 6 cm de permetro.

Calcule a distncia entre dois lados opostos de um hex-44. gono regular inscrito num crculo inscrito num tringulo equiltero de 6m de lado.

Calcule a razo entre os permetros do tringulo 45. equiltero inscrito num crculo e do hexgono regular circunscrito ao mesmo crculo.

Calcule o lado do octgono regular convexo inscrito num 46. crculo de raio igual a 2cm.

Calcule o lado do dodecgono regular convexo inscrito 47. num crculo de raio 3cm.

Calcule o comprimento da diagonal do pentgono re-48. gular convexo, de lado = 2cm.

A razo entre os comprimentos das circunferncias 49. circunscrita e inscrita a um quadrado :

12

a)

2b)

3c)

2 2d)

2e)

(Unirio) Um carimbo com o smbolo de uma empre-50. sa foi encomendado a uma fbrica. Ele formado por um tringulo equiltero que est inscrito numa circunferncia e que circunscreve um hexgono regular. Sabendo-se que o lado do tringulo deve medir 3cm, ento a soma das medidas, em cm, do lado do hexgono com a do dimetro da circunfe-rncia deve ser:

7a)

2 3 1+b)

2 3c)


24 EM

_V_M

AT

_026

Ache o lado do decgono regular inscrito em um crculo 51. de raio R.

3 1+d)

7722

e)


25EM

_V_M

AT

_026

A1.

A2.

B3.

A4.

A5.

Demonstrao6.

957.

8.

120a)

18b)

40c)

55d)

Demonstrao9.

B10.

C11.

140 e 4012.

1813.

C14.

Enegono.15.

Enegono.16.

135 diagonais.17.

C18.

9, 14 e 2019.

20 lados20.

A21.

21622.

C23.

B24.

225. + 2 = 180

+ = 90

C26.

D27.

D28.


26 EM

_V_M

AT

_026

D29.

B30.

A31.

E32.

C33.

D34.

12035.

RR

32

e 36.

RR

22

2 e 37.

RR

e 3

238.

2 3R39.

2 33

R40.

2 3 cm41.

32

42.

40cm43.

D44.

A45.

E1.

B2.

453.

60 e 404.

B5.

B6.

E7.

308.

1359.

C10.

6211.

B12.

3613.

D14.

B15.

A16.

D17.

B18.

D19.

12 lados.20.

B21.

35 diagonais.22.

A23.

A24.

x = 125.

y = 4

26. = 30

27. = 70

H e FG um paralelogramo.28.

17cm.29.

B30.

E31.

D32.

Demonstrao33.

Como 34. AN bissetriz, temos dois tringulos congruentes ABN e ANQ, logo AQ = 14 e QC = 6.

No tringulo BCQ, N e M so pontos mdios, assim MN = 3.

45, com as bases.35.

36.

120 e 240a)

1b)

60c)

9cm37.

38.

2a) + 2 = 180

+ = 90

2 + 2 = 180

+ = 90

PQb) = PM + MN + NQ

MN = B + b2

PQ = x + B + b2

+ y

PQ = 2x B + b + 2y2

2PABCD = 2x + B + b + 2y

2PABCD = 2.PQEsse material parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,

mais informaes www.aulasparticularesiesde.com.br

27EM

_V_M

AT

_026

A39.

9040.

B41.

B42.

36cm43.

3m44.

34

45.

2 2 2 cm46.

3 2 3 cm47.

1 5+( ) cm48. B49.

B50.

R2

5 1( )51.


28 EM

_V_M

AT

_026


00_paginas_iniciaiscap_026

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