Universidad Nacional de Trujillo Septiembre 2014

Deducción del Índice de Refracción de una Lente Planoconvexa, de un Prisma y la Verificación de la Ley de Snell

De la Cruz López, Luis A.Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Laboratorio de Óptica y Láser

Universidad Nacional de Trujillo, Av. Juan Pablo II S/N, Trujillo, La Libertad, Perú

RESUMEN

En esta práctica experimental se muestra la relación existente entre los ángulos de incidencia (Ɵi) y refractado (Ɵr), las cuales son producidos por un haz de luz monocromática al pasar por dos medios con índices de refracción diferentes, en este caso del aire y de una lente planoconvexa. La relación que determina el ángulo de desviación de un rayo al pasar de un medio a otro, es explicada por la Ley de Snell. Como consecuencia de ello es posible determinar

el índice de refracción (nl) de un material desconocido como el de la lente planoconvexa, en

donde se puede refractar un rayo de luz cuya longitud de onda es conocida, además de conocerse el índice de refracción del medio (aire) en donde se encuentra la lente. Con la Ley de

Snell es posible calcular el ángulo crítico de una lente planoconvexa(Ɵ¿¿crit )¿, en este angulo

la luz que incide sobre la superficie de la lente es reflejada en su totalidad.

Palabras Clave: Ley de Snell, Índice de Refracción, Lente

INTRODUCCIÓN

La ley de Snell es una fórmula práctica y simple utilizada para calcular el ángulo de refracción de la luz al atravesar la superficie de separación entre dos medios de distintos índices de refracción. Aunque fue formulada para explicar los fenómenos de refracción de la luz, se puede aplicar a todo tipo de ondas que atraviesan una superficie de separación entre dos medios en los que la velocidad de propagación de la onda varíe.

Hablando de dos medios caracterizados con índices de refracción y na y nb separados por una superficie S. Los rayos de luz que atraviesan los dos medios se refractarán en la superficie variando su dirección de propagación dependiendo del radio entre los índices de refracción. Para un rayo luminoso con un ángulo de incidencia θ1

sobre el primer medio, tendremos que el rayo se propaga en el segundo medio con un ángulo de refracción cuyo valor se

obtiene por medio de la ley de Snell, la cual se demuestra teniendo en cuenta que.

Supongamos que la línea horizontal representa el plano de separación de dos medios diferentes, cuyas velocidades de propagación son respectivamente v y v´.; sea AOB la trayectoria de un rayo que se propaga desde A hasta B, y θ y ϕ los ángulos de incidencia y de refracción. El

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tiempo invertido desde A hasta B resulta ser:

Dividiendo entre si las ecuaciones anteriores, se obtiene:

Teniendo en cuenta que v=c /na y que

v ´=c /nb, se deduce que:

La cual es la forma más conocida de la ley de Snell.

Otras definiciones que se tienen en cuenta es La refracción la cual es el cambio de dirección que experimenta una onda, originado por el cambio de velocidad que advierte la misma, al pasar de un medio material a otro. Sólo se produce si la onda incide oblicuamente sobre la superficie de separación de los dos medios y si éstos tienen distintos índices de refracción.

Esta desviación en la dirección de propagación se explica por medio de la ley de Snell. Esta ley, así como la refracción en

medios no homogéneos, son consecuencia del principio de Fermat, quien indica que la luz se propaga entre dos puntos siguiendo la trayectoria de recorrido óptico de menor tiempo.

El índice de refracción de un material óptico, denotado por n, desempeña un papel central en la óptica geométrica. Es la razón entre la rapidez de la luz c en el vacío y la rapidez de la luz v en el material:

La luz siempre viaja con más lentitud en un material que en el vacío, por lo que el valor de n en cualquier material que no sea el vacío siempre es mayor que la unidad.

MATERIALES Y MÉTODOS

Un transportador de 360˚ o Disco de Hartl

Punteros laser de luz roja y verde. Una lente planoconvexa Un prisma. Montaje de madera para el equipo y/o

Soporte de madera

DETERMINACIÓN DEL ÍNDICE DE REFRACCIÓN UTILIZANDO LA LEY DE SNELL.

PARTE 1: Cuando el láser incide por la zona plana del lente.

1) Se coloca la lente planoconvexa encima del disco de Hartl de tal forma que su parte plana se encuentre posicionada en la normal a la superficie.

2) Se posiciona el puntero laser de tal forma que quede fijo en la madera

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la cual cuenta con cuatro aberturas para otros laser.

3) Se procede a mover cada 5° el disco de Hartl respecto de la normal.

4) Repetir el paso (3) hasta que el ángulo de incidencia forme un ángulo de 80˚ con la normal.

PARTE B: Cuando el láser incide en la parte curva de la lente.

1. De la misma manera que la parte 1, se procede a colocar la lente encima del disco de Hartl con la normal en la zona curva.

2. De la misma forma, seguir los pasos 2 y 3 de la parte A e ir anotando los datos en la tabla de datos N°02.

3. Repetir la parte (4) hasta llegar a un ángulo de 35°con la normal.

PARTE C: Cuando dos laser (rojo y verde) incide en un prisma.

1. Para esta parte se coloca el prisma en el disco de Hartl y se anota tanto el ángulo de incidencia (θi) como el ángulo refractado (θr).

2. Se procede a graficar la base del prisma en un papel blanco y se haces trazos geométricos para

determinar el índice de refracción de dicho prisma.

3. Se hace incidir un haz de luz roja y una de luz verde por el mismo punto, luego se miden los ángulos refractados y se procede con el cálculo del índice de refracción.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Para la verificación de la ley de Snell en esta práctica experimental tenemos en cuenta los datos obtenidos.

PARTE A: Cuando el láser incide por la zona plana del lente, los datos son:

N θi ° θr ° sen (θi) sen(θr) sen(θ¿¿ i)sen (θ¿¿ r )¿

¿

1 0 1 0 0.017 02 5 4 0.087 0.069 1.5433 10 8 0.174 0.122 1.5264 15 11 0.259 0.191 1.4895 20 14 0.342 0.242 1.4136 25 17 0.432 0.292 1.4797 30 20 0.5 0.342 1.5628 35 23 0.574 0.391 1.5689 40 25 0.643 0.422 1.52310 45 29 0.707 0.485 1.45711 50 31 0.766 0.515 1.49812 55 32 0.819 0.529 1.54813 60 35 0.866 0.574 1.50814 65 36 0.906 0.587 1.54315 70 38 0.939 0.615 1.52216 75 40 0.966 0.643 1.5017 80 41 0.985 0.656 1.501

Tabla N˚01: Resultados expresados en relación al ángulo de incidencia (θi) y el ángulo refractado (θr) para la zona plana de la lente.

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Los valores obtenidos muestran que cuando un rayo de luz incide sobre la lente (Zona plana) con un determinado ángulo (θi) este se refracta siendo el ángulo (θr) cada vez menor que el que incide. Esta relación es compatible con la teoría, la cual sugiere que un rayo que entra a un material con mayor índice de refracción se desvía hacia la normal. [1]

El índice de refracción para esta parte es por tanto:

nl

na

=sin ϑ i

sin ϑ r

Sabiendo que na=1 ysinϑ i

sin ϑ r

= el promedio

de los datos de la tabla N°01, entonces.

nl=1.511

Cuya relación existente entre los ángulos de difracción es por tanto dada por la siguiente gráfica:

Gráfica 1: Razón de los senos de los ángulos (θr) y (θi), donde los dos ángulos están medidos a partir de la normal de la Zona plana de la lente planoconvexa.

PARTE B: Cuando el láser incide sobre la zona curva de la lente, los datos obtenidos son:

N θi θr sen(θi) sen(θr)

sen(θ¿¿ i)sen (θ¿¿ r )¿

¿

1 0 0 0 0 0

2 5 6 0.087 0.105 0.628

3 10 14 0.174 0.242 0.695

4 15 23 0.259 0.391 0.662

5 20 31 0.342 0.515 0.664

6 25 39 0.432 0.629 0.686

7 30 48 0.5 0.743 0.672

8 35 59 0.574 0.857 0.669

Tabla N˚2: Resultados expresados en relación al ángulo de incidencia (θi) y el ángulo refractado (θr).

Los datos obtenidos muestran lo contrario a los datos obtenidos anteriormente, estos muestran que a mayor ángulo de incidencia (θi), mayor es el ángulo de refracción (θr) respecto a la normal de ambos.

El índice de refracción es por tanto, teniendo en cuenta el razonamiento de la PARTE A.

nl=0.668

La relación entre los senos de los ángulos se da en la siguiente gráfica:

Gráfica 2: Razón de los senos de los ángulos (θr) y (θi), donde los dos ángulos están medidos a partir de la normal de la lente.

PARTE C: Encontrando el índice de refracción de un prisma equilátero.

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Haciendo los trazos respectivos del prisma en un papel blanco teniendo en cuenta la imagen 2 de la PARTE C, se obtuvieron.

θ1=35°, θ2=15°, θ3=36°, θ4=30°, θ5=70° y θ1=75°.

Con estos datos y teniendo en cuenta también que el índice de refracción del aire na=1, se calculó el índice de refracción del

prisma, para cuando los rayos inciden.

Para el láser rojo:

np

na

=sin ϑ4

sin ϑ5

=1 .532

np=1.532

Para el verde:

np

na

=sin ϑ3

sin ϑ6

=1.5802

np=1.5802

CONCLUSIONES

En esta práctica experimental se ha descrito y aplicado la Ley de Snell, la cual nos permite relacionar los índices de refracción con los senos de los ángulos tanto de incidencia como el refractado.

Se pudo observar que para una misma lente planoconvexa, si el rayo incide sobre la zona plana de este, el ángulo refractado menor que el de incidencia.

El índice de refracción para este caso es:

nl=1.511

Mientras que en la parte curva de la lente, cuando el rayo incide sobre esta, el ángulo refractado es mayor que el de incidencia.

El índice de refracción es:

nl=0.668

Otro caso se da en el prisma, ya que para este cálculo se utilizó trazos geométricos, y se obtuvo un valor de:

Para el láser rojo:

np=1.532

Para el láser verde:

np=1.5802

REFERENCIAS

[1] Hugh D. Young; Roger A. Freedman. Física Universitaria. Decimosegunda Edición. PEARSON EDUACION, México, 2010.

[2] http://aransa.upc.es/ffettsi/Apuntes/Optica.pdf

[3] http://pendientedemigracion.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac22.pdf.

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