Alabeo y torsión restringida en uniones soldadas a tope sometidas a torsión

Dr. Rafael Goytisolo Espinosa1, Dr. Hernán Hernández Herrera2,

Ing. Osdiel Hernández Pérez3, Dr. Jorge Moya Rodríguez4

1. Profesor Titular, Dr. en Ciencias Técnicas. Facultad de Mecánica. Universidad de Cienfuegos.

E-mail: ragoyti@ucf.edu.cu 2. Profesor Asistente, Dr. en Ciencias Técnicas. Facultad de Mecánica. Universidad de

Cienfuegos. 3. Reserva Científica. Facultad de Mecánica. Universidad de Cienfuegos. 4. Profesor Titular, Dr. en Ciencias Técnicas. Facultad de Mecánica. Universidad Central de Las

Villas. Introducción

En el trabajo3 se destaca como en la literatura técnica de Elementos de Máquinas sólo algunos autores como: Faires 1, Hall 4, Reshetov 6 y Shigley 8,9 abordan el tema del cálculo de las uniones soldadas con la mayor profundidad, sin embargo, ninguno de ellos toma en cuenta en los cálculos de las tensiones tangenciales que surgen en los cordones durante la torsión las particularidades de los Perfiles de Paredes Delgadas. Lo mismo sucede en la literatura sobre Estructuras Metálicas como: Mukanov 5, que tratan incluso el cálculo a fatiga de las mismas, pero sólo abordan los casos más simples de carga y tampoco contemplan las particularidades de los cordones como Perfiles de Paredes Delgadas. Sólo en el Tratado General de Soldadura de los autores Schimpke, Horn y Ruge7 se menciona la necesidad de tomar en cuenta estas particularidades, sin abordar las expresiones para el cálculo de las tensiones en los casos de configuración geométrica compleja y sin profundizar en los problemas relacionados con el alabeo y la torsión restringida. En el Trabajo3 se dan nuevas expresiones para el cálculo de las tensiones tangenciales que surgen en los cordones durante la torsión de costuras de filete de configuración geométrica compleja. En el presente trabajo se aborda la aplicación de la Teoría de la Torsión de los Perfiles de Paredes Delgadas al cálculo de las tensiones tangenciales de torsión en las uniones a tope, y se estudia la influencia que implica la restricción del alabeo de la sección en las tensiones que surgen en los cordones de soldadura.

Desarrollo

Las tensiones tangenciales máximas se calcularon por la clásica expresión de la torsión donde Wt adoptará la expresión correspondiente de acuerdo con el tipo de sección de paredes delgadas.

WtMt

Mt =τ (1)

Mt – Momento torsor sobre la costura, que actúa con relación al eje centroidal longitudinal. Wt – Parámetro geométrico que depende del tipo de sección de paredes delgadas. Los perfiles de paredes delgadas, se dividen en abiertos y cerrados. El carácter de la distribución de las tensiones tangenciales a través del espesor de la pared es diferente en ellos y se establece fácilmente utilizando la analogía de la membrana. Esta diferencia se ilustra en la Fig. 1.

Fig. 1. Analogía de la membrana para un perfil de paredes delgadas abierto (a) y cerrado (b).

Membranaa)

Membranab)

Para el caso del perfil abierto se puede admitir que las tensiones se distribuyen linealmente dentro del espesor de la pared. De un lado de la línea media del contorno las tensiones tangenciales tienen un sentido y del otro lado sentido contrario (Fig. 1 a), en la línea media del contorno la tensión es cero. En el caso del perfil cerrado se distribuyen uniformemente a través del espesor (Fig. 1 b). El cálculo de las tensiones en el caso de los perfiles abiertos se fundamenta en el hecho de que la magnitud y distribución de las tensiones en la sección no se modifica mucho si se endereza el perfil. Es decir, las tensiones en un perfil abierto de configuración curvilínea serán aproximadamente las mismas que en uno rectilíneo. En este caso, uno de los lados es el perímetro s y el otro es el espesor

δ. Como: ∞→δs , utilizando la expresión para una sección rectangular, se tiene que α = β = 0,333

y la tensión tangencial máxima se calcula como:

t

tmax W

M=τ (2)

3

2 sWt⋅

=δ (3)

Cuando se trata de un perfil de paredes delgadas abierto compuesto que no puede ser enderezado y transformado en un rectángulo (Fig. 2), la ecuación para el cálculo de las tensiones es la siguiente:

Fig. 2 Perfil de paredes delgadas abierto no desarrollable. Por la analogía de la membrana se establece que la mayor tensión se produce en el tramo de mayor espesor δmax. De donde τmax se produce para δi = δmax, o sea:

nn

t

t

t

sssM

WM

32

321

31

maxmax ...

3δδδ

δτ

+++

⋅⋅== (3)

Siendo: max

32

321

31

max 3...

δδδδ

δ ⋅+++

== nntt

sssIW (4)

En el caso de una barra de paredes delgadas de perfil cerrado las tensiones se distribuyen uniformemente dentro del espesor (Fig. 2 b). En la literatura de Resistencia de Materiales se demuestra que en este caso que el producto τδ no varía a lo largo del perímetro de la sección. La tensión tangencial máxima se calcula por la siguiente expresión, donde la tensión máxima se produce donde el espesor es mínimo.

*2 minmax A

Mt⋅⋅

=δ

τ (5)

min*2 δ⋅⋅= AWt (6)

En este caso A∗ es el área encerrada en la línea media del contorno.

Aplicando las expresiones descritas al cálculo de las tensiones en perfiles en paredes delgadas soldados a tope y sometidos a torsión, se obtuvieron nuevas expresiones para el cálculo de las

1

2

4

3

S1 S4

S3

S2

z

M

y

xl

z

tensiones tangenciales máximas para diferentes uniones soldadas a tope de configuración geométrica compleja sometidas a torsión. En la Tabla 1 se muestran las expresiones obtenidas considerando las uniones como Perfiles de Paredes Delgadas. Las mismas no aparecen descritas en ninguna de las fuentes bibliográficas consultadas.

En la Fig. 6 se muestra una viga de sección I soldada a tope en su sección media. Las dimensiones de la sección y por lo tanto del cordón de soldadura son las que se señalan. En la figura se da también la tensión equivalente según la 4ta Hipótesis de Resistencia de Von Mises, obtenida en la sección de la soldadura, procesando la unión con el Sofware MEF Cosmos Design Start. La sección de la unión se corresponde con la el Perfil 5 mostrada en la Tabla 1. La tensión máxima calculada por la expresión correspondiente será: Teniendo en cuenta que en este caso: s1 = s2 = s3 = 10 mm; l1 = l2 = b = 100 mm y l3 = h = 200 mm

)2(3

2 hbMt

máx +⋅

=δ

τ

16.6338000

1024)1801002(10

1083 5

2

5

máx =⋅

=+⋅

⋅⋅=τ MPa

En la Fig. 6 también se muestra el cuadro de tensiones en la sección ubicada en la mitad de la viga donde la misma está soldada ampliada. Como se puede inferir del cuadro de colores la tensión máxima es uniforme en todo el contorno y la tensión equivalente alcanza una magnitud aproximada de: eqσ = 115.3 MPa según el criterio de Von Mises. La Tensión tangencial máxima según este

propio criterio de Von Mises se puede calcular por la expresión: 3eq

máx

στ = = 66.6 MPa, el cálculo

analítico aplicando la Teoría de los Perfiles de Paredes Delgadas (Tabla 1) arrojó =máxτ 63.16 MPa, lo que es una excelente correspondencia con el Método de Elementos Finitos.

En los Perfiles de Paredes Delgadas se produce durante la torsión el fenómeno del alabeo que se muestra en la Fig. 3. Este alabeo es mucho mayor en los Perfiles Abiertos que en los Cerrados, donde el mismo es prácticamente insignificante.

Fig. 3 Alabeo de la sección en un perfil abierto Fig. 4 Perfil I soldado en un extremo y sometido a torsión restringida. Si uno de los extremos de la barra es soldado, entonces se produce una restricción al fenómeno del alabeo que se conoce como torsión restringida. En la Fig. 4 se muestra un Perfil I bajo el efecto de torsión restringida. En la torsión restringida, además de las tensiones tangenciales primarias provocadas por el momento M (Fig. 5 a) surgirán tensiones tangenciales secundarias originadas por la restricción del alabeo (Fig. 5 b) de manera que el momento torsor resultante en cada sección será igual a la suma de los dos momentos, de modo que: 21 MMMt += (10) El momento M1 será igual a: θ⋅⋅= tIGM1 It es la característica geométrica de la sección depende de la geometría de la misma.

M

M

DA

CB

z

x

y

dz

Tabla 1 Expresiones propuestas para el cálculo de las tensiones tangenciales máximas en uniones soldadas a tope de configuración geométrica compleja sometidas a torsión libre

No Tipo de sección Expresiones propuestas para el cálculo de τmt Expresión general Para espesor s = cte

1

lsMt

Mt ⋅⋅

= 2

3τ ls

MtMt ⋅

⋅= 2

3τ

2

)(3

32

31 ssl

sMt máxMt

+⋅⋅⋅

=τ 22

3sl

MtMt ⋅⋅

⋅=τ

3

322

311

3slsl

sMt máxMt +

⋅⋅=τ

)(3

212 lls

MtMt +

⋅=τ

4

333

223

11

3slslsl

sMt máxMt

++

⋅⋅=τ

)(

3

3212 llls

MtMt ++

⋅=τ

5

333

322

311

3slslsl

sMt máxMt

++

⋅⋅=τ

)(

3

3212 llls

MtMt ++

⋅=τ

6

332

322

311

3slslsl

sMt máxMt

++

⋅⋅=τ

)2(

3

212 lls

MtMt ⋅+

⋅=τ

7

343

333

322

311

3slslslsl

sMt máxMt

+++

⋅⋅=τ

)2(3

3212 llls

MtMt ⋅++

⋅=τ

8

mínMt sll

Mt⋅⋅⋅

=21

5.0τ sll

MtMt ⋅⋅

⋅=

21

5.0τ

9

mín

Mt sdMt⋅⋅

⋅= 2

2π

τ sd

MtMt ⋅⋅

⋅= 2

2π

τ

Fig. 5 Tensiones tangenciales provocadas por el efecto de torsión restringida.

El momento de las tensiones tangenciales secundarias τ2 con relación al centro de torsión P será:

2

22

dz

dIEM θω ⋅⋅−= (11)

Fig. 6 Perfil abierto no desarrollable soldado a tope en su sección media y sometido a torsión libre.

Y la expresión (10) queda entonces como:

2

2

dz

dIEIGM ttθθ ω ⋅⋅−⋅⋅= (12)

Designando por: ω

αIEIG t

⋅⋅

=2 (13)

Se obtiene que:

ttIG

M

dz

d⋅

⋅−=⋅− 222

2αθαθ (14)

La ecuación (14) se conoce como ecuación diferencial de la torsión restringida. La solución de esta ecuación diferencial para el caso analizado es:

( ) ( ) ( )[ ]zzsenhlIG

M

tt ⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅

= αααθ coshtanh1 (15)

El desplazamiento angular del extremo libre será:

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅

⋅−⋅

⋅⋅

=⋅= ∫ llIG

lMdz

tt

lα

αθϕ tanh11

0 (16)

M

z

M

l=100 cm

b=10 cm

h=20 cm

=1 cm

1

Px

Px

ds

r

a) b)

Las tensiones normales en la sección del empotramiento se calculan como:

( )lIG

MEdzdE

tt

z⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

−=⋅⋅−==

ααωθωσ tanh0

(17)

Y los momentos M1 y M2 serán quedarán definitivamente como: ( ) ( ) ( )( )zzsenhlMIGM tt ⋅−⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅= αααθ coshtanh11 (18)

( ) ( ) ( )( )zzsenhlMM t ⋅−⋅⋅⋅⋅−= ααα coshtanh2 (19) Se analizará la misma barra de perfil I evaluada en el caso de la torsión libre. Para el empotramiento: M2 = Mt

[ ]22

2

22 /1075,0

3400 cmkNMM

WM

tt

min⋅⋅=== −τ . Para el extremo libre [ ]kNcmMM t⋅= 3335,02

[ ]22

2

22 /1025,0

3400

3335,0 cmkNMMWM

tt

min

⋅⋅=⋅

== −τ

La tensión tangencial resultante: 21 τττ +=r (20)

Para el empotramiento, z = 0: ttr MM ⋅⋅=⋅⋅+= −− 22 1075,01075,00τ

Para el extremo libre z = l: ( ) [ ]2222 /1025,51025,0105 cmkNMM ttr ⋅⋅=⋅⋅+⋅= −−−τ

Las tensiones normales en la sección del empotramiento serán: ( )l

IGME

tt ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅

= ααωσ tanhmax (21)

[ ]222

4

4

/101.169414,01075,142010

3401077,0

102cmkNM

Mt

tmax ⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅= −−σ

Si se utiliza: Mt = 5108 ⋅ N-m (80 kN-cm) igual al tomado en el caso de la torsión libre. 88.1280101.16101.16 22 =⋅⋅=⋅⋅= −−

tMσ KN/cm2 = 128.8 MPa 6.0801075.01075.0 22 =⋅⋅=⋅⋅= −−

tMτ KN/cm2 = 6 MPa Sustituyendo en la expresión de τmax de Von Mises se tiene que:

23 22

máxτστ ⋅+

= MPa6.642

638.128 22

=⋅+

=

Los diagramas de las fuerzas internas y tensiones en la torsión restringida se dan en la Fig. 7.

En la Fig. 8 se observa el cuadros de tensiones en una sección muy próxima al empotramiento de la barra analizada con un extremo empotrado y se muestran también los cuadros de tensiones en otras secciones alejadas del empotramiento. Como se puede apreciar en estas figuras el cuadro de tensiones en el empotramiento es diferente al del resto de la barra. En el empotramiento hay efectos locales, dados por un lado, por la restricción que representa el empotramiento al alabeo (Torsión Restringida) y por otro lado la concentración de tensiones que representa el cambio de dirección del flujo de fuerzas en esta unión soldada a tope en T. En el propio empotramiento, de acuerdo con el cuadro de colores, se aprecian zonas con un color naranja donde las tensiones pueden alcanzar

valores de =eqσ 167.5 MPa. O sea: ==3eq

máx

στ 96.7 MPa; 1.45 veces mayores que en la torsión

libre donde la concentración de tensiones es casi nula, en el resto coincide con la torsión libre. En el análisis realizado en la Fig. 7 se aprecia como en la barra de perfil I empotrada en un extremo, el efecto de la torsión restringida provoca que la tensión tangencial resultante en la sección va disminuyendo del extremo libre al extremo empotrado, sin embargo, la tensión normal que aparece en la sección por el efecto de la restricción al alabeo aumenta en la medida que nos acercamos al empotramiento, modificándose totalmente el estado tensional, pero se puede apreciar como a pesar

de este cambio la tensión tangencial máxima máxτ del estado tensional en cada sección prácticamente no varía. Esto se corresponde en gran medida en lo que se aprecia en los cuadros de tensiones de Elementos Finitos donde con excepción del empotramiento en las restantes secciones

máxτ = const. = 66.6 MPa. El efecto de elevación de tensiones en el empotramiento se debe fundamentalmente a la concentración de tensiones.

MtkN cm

1

kN /cm^2

z

z

z

5·10^-2 M kN/cm^2

z

M kN cm

M +

0,45·10^-3 M radrad

z

z

l=100 cm

kN /cm^2

z

z

z

2

kN /cm^2 0,25·10^-2 M kN/cm^2

r 1 2

kN /cm^2

M1

kN cm0,6665M kN cm

M2

kN cm0,3335M kN cm

0,75·10^-2 M kN/cm^2

0,75·10^-2 M kN/cm^2

5,25·10^-2 M kN/cm^2

16,1·10^-2 M kN/cm^2

z

Fig. 7 Diagramas de momentos torsores, tensiones y desplazamientos angulares para la torsión

restringida

Conclusiones 1. Mediante la aplicación de la Teoría de los Perfiles de Paredes Delgadas se obtuvieron nuevas

expresiones para el cálculo de las tensiones tangenciales máximas en uniones soldadas a tope de perfiles de paredes delgadas de configuración geométrica compleja abiertos y cerrados.

2. La aplicación del MEF para una sección I permitió apreciar claramente que esta se comporta como un perfil de paredes delgadas, las tensiones se distribuyen uniformemente a lo largo de todo el contorno del perfil donde la tensión es máxima y a lo largo de la línea media de todo el contorno la tensión es cero.

3. El cálculo de las tensiones por la expresión propuesta para un perfil I de determinadas dimensiones arrojó un valor de máxτ = 63.16 MPa y mediante el Método de Elementos Finitos para ese mismo perfil arrojó máxτ = 66.6 MPa, lo que es una correspondencia casi perfecta con una diferencia del orden de un 5%.

4. Se graficaron las tensiones que surgen en este tipo de sección aplicando la Teoría de la Torsión Restringida y se demuestra que la tensión tangencial resultante producto de los efectos primarios y secundarios de la Torsión Restringida van disminuyendo desde el extremo libre hacia el empotramiento, sin embargo, la tensión normal que surge en la sección al restringirse el alabeo va aumentando al pasar del extremo libre al extremo empotrado, a pesar de los cambios en el tipo de tensión y su magnitud, se pudo comprobar que la tensión tangencial máxima del estado tensional que surge en las distintas secciones máxτ permanece prácticamente constante.

Fig. 8 Cuadro de tensiones en diferentes secciones a lo largo de la longitud de la barra en la torsión

5. El comportamiento anterior se confirma al aplicar el MEF a dicha barra empotrada, donde se aprecia que con excepción de la zona muy próxima al empotramiento el cuadro de tensiones prácticamente no varía y máxτ = 66.6 MPa coincide con la torsión libre. En el empotramiento se observan efectos muy locales que según el criterio de los autores se deben básicamente al efecto de concentración de tensiones, producto del cambio del flujo de fuerzas en esa sección.

Referencias Bibliográficas 1. Faires V.M. Diseño de Elementos de Máquinas. México: Editorial UTEHA, 1985.-- 802 p. 2. Feodosiev V I. Resistencia de Materiales. Moscú: Editorial MIR, 1985.-- 583 p. 3. Hall, A. et al Diseño de Máquinas. Madrid: Editorial. Dossat, 1971.-344 p. 4. Hernández Herrera, Hernan. Desarrollo y perfeccionamiento de las expresiones para el cálculo

de las tensiones máximas en las uniones soldadas con costuras de filete. Dr. Ing. Rafael Goytisolo Espinosa, tutor .—Tesis de Doctorado, UCF, 2006.—90h.

5. Mukanov, K. Design of Metal Structures. Moscú: Editorial MIR, 1968. -- 517 p. 6. Reshetov, D. Elementos de Máquinas. La Habana: Editorial Pueblo y Educación, 1985.- 830 p. 7. Schimpke, P. Tratado General de Soldadura. Proyecto y cálculo de construcciones soldadas. La

Habana: Editorial Pueblo y Educación, 1980.-- 394 p. 8. Shigley, J; Mitchell L. Diseño en Ingeniería Mecánica. México: Ed. Mc Graw Hill, 1985.-915 p. 9. Shigley, J. E.; Mischkie C. Diseño en Ingeniería Mecánica. México: Editorial Mc Graw Hill

Interamericana, 2001.-- 943 p.

(MPa)