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ALDOMATH –ARITMETICA Año 1- Folleto Nº 0

INTRODUCCION

y esa es la que hoy denomino “dulces coloquios”, en la cual trató de mezclar quizás

pensamientos fantásticos tratando de mirar atrás en el tiempo.

Es la idea de esta sección, trataré de que sea amena, de que sea divertida, y creo

que lo voy a lograr, siempre en el recorrer de mi vida, he tratado de hacer las cosas

bien, y bueno creo que lo he logrado.

Mucha fuerza y pasión por el tema es lo que me invita a ser feliz.

Aldo Gil Crisóstomo

_________________________________________________________________El conocimiento es patrimonio de la humanidad Pág. 1 [email protected]


PROBLEMAS RESUELTOS DE ARITMETICA

TEMA: NUMERACION

Problema 1

Si el número (n-3)(n+2)(n-3) (n+2)…… de 17 cifras, escrito en el sistema

nonario es elevado al sistema sexagesimal se observa que la última cifra del

numeral es un valor par. Hallar la suma de cifras de dicho número escrito en

el sistema ternario.

Problema 2

Si se cumple que: nnn(2n-1) = ab(n-3)c(n). Hallar abc(3a)

Problema 3

Un numeral en base 13, por error se le toma en base 11, haciendo disminuir

su valor en 206 unidades. Hallar el número en base 12.

Problema 4

Un numeral de 3 cifras significativas escrito en el sistema ternario, se con-

vierte al sistema de base “n”, escribiéndose con las mismas cifras pero en

orden inverso. Hallar “n”.

Problema 5

En qué sistema de numeración el número 16000 se escribe como 1003000

Hallar el número de dos cifras que en los sistemas de base 7 y 9 se escriben

con las mismas cifras pero en orden inverso. Dar como respuesta la suma de

las cifras en base 10.



Un numeral de 3 cifras que termina en 6, escrito en base 13, por error se le

toma en base 11, haciendo disminuir su valor en 206 unidades. Halla el nu-

meral en base 12

Hallar a x b s i se cumple:20a5(b) = 701(8)

Hallar la suma de las cifras si se cumple que: 1332(n) = 1abcd (4)

Dos números son consecutivos y uno de ellos en base heptanal se represen-

ta como n50 , mientras que el otro se representa en base enesimal como

a (a+2 )(a−1 )(a+3 ). Hallar el valor de “n”.

En cierto sistema de numeración existen 5 cifras significativas. ¿Cómo se es-

cribe el número 35 en dicho sistema?

Se tiene 4 x 2ab = b (a+6 )2 . Hallar a+b.

101010 representa un numeral en el sistema binario. Respecto a que base

de numeración este número se puede representar como 132?

Hallar el resultado de la siguiente suma sabiendo que los términos están en

progresión aritmética. S = 200(n) + …35(n) + 30(n) + 24(n)



Si un número de cierta base se convierte a las 2 bases siguientes se escri-

ben como 1134 y 541 respectivamente. ¿Cómo se escriben en la base origi-

nal?

Hallar x si el número 3 x7 se escribe en la base “n” con tres cifras iguales.

Un número de 3 cifras más el que resulta de invertir el orden de sus cifras da

como resultado 1120(5) si se consideran escritos en la base 5, pero ellos es-

tán escritos en la base decimal. ¿Cuál será la verdadera suma en base 5 de

dichos números?

En dos sistemas de numeración de bases consecutivas; hay en uno de ellos

154 números de 3 cifras más que en el otro. Hallar la suma de las bases.

Calcular (n+a) si se cumple que:22aaa(n) = 10a1a(5) , siendo a≠0

Hallar “a+b”, sabiendo que al convertir el numero abab (5) a la base decuplo,

da como resultado un número que termina en 98.

TEMA: CUATRO OPERACIONES

Si: bc + ab= 97 , calcular "a" si además:a + b + c = 13

Dado: a2 + a3 + a4 + .. . .. + a8 = bca

Hallar: “a + b + c”

Dar "a × b × c" en: 8cbb + abc 8 + caca + b7ac = 24b22



Calcular: b - (a + c), Si:5b9 + c6 a + a7c = 1c 26Usando solamente una vez cada una de las cifras significativas, formar tres

números de tres cifras cada una tal que su suma sea mínima. Dar como res-

puesta esta suma:

Calcular la suma de cifras de: S=mnpq + abcd

Sabiendo que: mn+ab=143 ; cd+ pq=172

Calcular la suma de: abcd+mnpq+ xyzw . Sabiendo que:

bd+nq+ yw=160ac+mp+xz=127ab+mn+ xy=124

La suma de tres términos de una sustracción es 1200. Además el sustraen-

do es la cuarta parte del minuendo. Calcular la suma de las cifras de la dife-

rencia:

Hallar la suma de cifras de "N"; si:

28N = a72(b+2)6

43N = (a+2 )72b6

Si: mnpq − pqmn=1584 y además: mn+ pq=90 .Hallar: m + n + p + q

Calcular abc ; si:

abc − cba = 2 xy

abc+ cba= 1535

Si:

abc−cbad

=dd

Además: a - c = 14



Calcular "d"

Hallar; “a + b”

Si:

CA ( ab) + CA (abab )=3674

Sabiendo que: mnp + CA ( pnm )=abc 7

Hallar: a + b + c

Halle "a + b + c" si se cumple:

CA( xyz6 )+zyx6 = a1bc6

La suma de los términos de una sustracción es 142, además el sustraendo es

el complemento aritmético del minuendo. Halle la diferencia:

Hallar: a2+b2+c2

si: CA(abc ) = ( 79a )(2b )(4c )

En una granja se tienen pavos, gallinas y patos, sin contar las gallinas tene-

mos 5 aves, sin contar los pavos tenemos 7 aves y sin contar los patos tene-

mos 4 aves luego el número de pavos es:

TEMA: DIVISION

1.Indicar la suma de cifras del dividendo de la siguiente división exacta.

(cada asterisco representa una cifra)

* * 7 * 7 * * *

1 * * * * *

* * *



3 * *

* * *

5 * *

2.En una división, el dividendo está comprendido entre 12 000 y 13 000, el

divisor entre 650 y 700 y el residuo entre 120 y 150. Hallar el cociente, sa-

biendo que es el mayor posible.

3.Se dividen dos números y se obtiene 38 de residuo, el mayor número que

se le puede agregar al dividendo para que el cociente aumente en tres uni-

dades es 181. Hallar el divisor.

4.En la división de abcde entre 37, se obtiene cuatro residuos máximos. Ha-

llar: c + d + e.

5.¿Cuántos números de la forma 5ab5 son tales que dividido entre otro ente-

ro positivo, se obtiene por cociente 17 y por residuo, el máximo posible?

6.La suma de los cuatro términos de una división entera es 353. Si se multi-

plica el dividendo y el divisor por 7, la suma de los nuevos términos es 2

375. Calcular la mayor cifra del dividendo.

7.En una división, el divisor es 40 y el residuo es 8. Al agregar al dividendo

cierta cantidad, el cociente queda aumentado en 2. ¿Cuántos valores pue-

de tomar esta cantidad?

8.Hallar la suma del divisor y el cociente de una división, sabiendo que el

dividendo es 529 565 y los residuos sucesivos obtenidos en la determina-

ción del cociente son: 246; 222 y 542.

9.¿Cuál es el menor número que podemos sumar al dividendo de una divi-

sión inexacta, para que el cociente aumente en 4 unidades? (r y r' son resi-

duos por defecto y por exceso respectivamente de la división original)

10. Determinar cuántos números de cuatro cifras existen tal que al aumen-

tarles 50 unidades, siempre que se le divide entre 13 se obtiene un residuo

máximo.

11. Si un número de tres cifras se divide entre el doble de la suma de sus

cifras, se obtiene 8 de cociente y un residuo máximo. Hallar el producto de

sus tres cifras.



12. En cierto número menor que 100 el cociente de la cifra de las decenas

entre la de las unidades es 3 y el residuo es 1. Si la suma de las cifras del

número es 9. ¿Cuál es su diferencia?

13. El dividendo de una cierta división es 1 081. Si el cociente y el residuo

son iguales, y el divisor es el doble del cociente. ¿Cuál es el divisor?

14. ¿Cuántos números de 3 cifras al ser divididos entre 190, dejan como

resto el cubo de su cociente correspondiente?

15. En una división inexacta el dividendo está comprendido entre 200 y

300 el divisor es 25, además el residuo por defecto excede al residuo por

exceso en 23. Hallar el mayor valor que puede tomar el cociente por defec-

to

16. En la división de dos números por exceso y por defecto se obtienen

dos residuos cuyo producto es igual al divisor. Si la diferencia de ambos

números es 318. Hallar el mayor

17. Al dividir dos números, Lorena, lo hace por exceso y da como respues-

ta el residuo. Rosa, revisa el resultado y asegura que Lorena se excedió en

18 unidades al calcular el residuo. Si las dos operaciones están bien he-

chas. Calcular el dividendo, si en la segunda operación el cociente es el

triple del divisor y al residuo le faltan 24 unidades para igualarse al divisor

18. En una división se sabe que el residuo, el divisor y el cociente forman

una proporción aritmética continua cuyo medio es el divisor. Si la suma del

dividendo más el cociente es 345 y se sabe que si se aumenta 6 unidades

al dividendo el cociente aumenta en una unidad y el residuo se anula, de-

terminar el cociente

19. Calcular el mínimo cociente entero de dividir:

44 .... 44 ("2n" cifras) entre 77 ... 77 ("n" cifras)

20. Hallar la suma de las cifras del mayor número de 3 cifras tal que si se

divide entre un número de 2 cifras se obtiene como residuos por defecto y

por exceso 2 números cuyo producto es 377

21. En una división el divisor es 192 y el residuo por defecto es al residuo

por exceso como 13 es a 19. Si el dividendo es el menor número de cuatro

cifras. Hallar la suma de las cifras del dividendo.



22. Se dividen los números 1435 y 216. Hallar entre qué limites se encuen-

tran los números que hay que restar a 1435 de manera que el cociente dis-

minuya en dos unidades

23. Hallar un número de 3 cifras tal que dividido entre su C.A. da 75 de co-

ciente y un residuo máximo. Dar como respuesta la suma de las cifras de

dicho número.

24. Al residuo de una división le faltan 12 unidades para convertirse en

máximo, si se suman 5 229 unidades al dividendo el cociente aumenta en

47 y el residuo se convierte en máximo. Hallar el divisor

25. En una división entera inexacta la suma de los cuatro términos es 744.

El número mínimo que se debe quitar al dividendo para que el cociente

disminuya en 1 es 49 y el número máximo que se debe agregar al dividen-

do para que el cociente aumente en 1 es 67. Hallar el dividendo

26. Al dividir xyz; entre xz se obtuvo bb de cociente y 1z de residuo. Hallar

xyz si se sabe que es el mayor posible

27. Al dividir abcdef por 47 se obtuvieron 5 residuos máximos. Hallar :

a+b+c+d+e+f

28. Se divide 2 504 entre 39. Calcular el producto de la máxima cantidad

que se puede agregar al dividendo de manera que el cociente aumente en

5, por el nuevo residuo que se genera.

29. Se tiene una división entera efectuada por defecto y por exceso, donde

el producto de los 2 residuos es 85, siendo ambos diferentes de la unidad,

y el producto de los 2 cocientes 156. Hallar el dividendo y dar la suma de

sus cifras, sabiendo que es el mayor posible.

30. En una división inexacta el resto por defecto es el doble del cociente

por exceso y el resto por exceso es el doble del cociente por defecto. Ha-

llar el dividendo sabiendo, que el divisor es 62.

31. Hallar el menor numeral de tres cifras tal que si se divide entre 43, re-

sulta el residuo por defecto mayor que el residuo por exceso en 9 unida-

des.

32. A un numeral de cuatro cifras se le divide entre 37, obteniéndose

como cociente el numeral formado por sus dos últimas cifras y como resi-

duo el mayor posible. Si las cifras del numeral son diferentes entre sí, dar

la suma de ellas_________________________________________________________________El conocimiento es patrimonio de la humanidad Pág. 9 [email protected]


33. Al dividir (a+1)cd08 entre 9ab se obtuvo como residuo ba y como co-

ciente el C.A. del divisor. Calcular CA(a.b)

34. Si se realiza una división inexacta por defecto, la suma de los 4 térmi-

nos es 847, pero si dicha operación se hubiera realizado por exceso la

suma de los 4 términos hubiera sido 901, sabiendo que los cocientes su-

man 19, hallar el dividendo

35. Si al dividir 3abcde entre m2 se obtuvo por residuo n5 y los residuos

parciales fueron 70; 64 y 89, calcular a+b+c+d+e+m+n

36. Calcular el dividendo de la división cuyo residuo es 36 si se sabe que

283 es la mayor cantidad que se le debe sumar al dividendo para que el

cociente aumente en 4 unidades, además si se realiza por exceso aumente

el cociente es el mayor promedio que se obtiene entre su cociente y resi-

duo por exceso.

37. Dadas las proposiciones:

I. En toda multiplicación, la suma de los productos parciales es igual al pro-

ducto total

II. Si en una división inexacta, el cociente por defecto es 8, entonces el co-

ciente por exceso es 7

III. En una división inexacta el residuo es mayor que el divisor

señalar la verdad (V) o falsedad (F)

38. Determinar un número N, si es el mayor posible y además al dividirlo

entre 50 se obtiene un resto que es el triple del cociente respectivo.

39. En una división inexacta: el resto es mínimo, el divisor es igual al co-

ciente y el dividendo es 785. Hallar el cociente

40. Al dividir "A" entre "B" se obtiene resto máximo. Si el dividendo se dis-

minuyera en 170, el cociente disminuiría en 3 unidades y el resto se volve-

ría mínimo, hallar "B"

41. El resto por exceso de una división es el triple del resto por defecto,

dar el divisor si el cociente es 15 y la suma del dividendo con el divisor es

520

42. Si en una división el residuo por exceso, el residuo por defecto, el divi-

sor y el cociente por defecto son números pares consecutivos, ¿cuál es el

valor del dividendo?



43. Si cada asterisco representa una cifra distinta de cero, hallar a + b + x

+ y

a b a 1 2

* * x y

8 *

* *

* 1

44. Hallar la suma del dividendo, divisor y cociente en:

45. En cierta división inexacta el resto por defecto, el resto por exceso, el

cociente por exceso y el divisor forman una progresión aritmética de razón

3. Calcular el dividendo

46. En una división le falta 15 unidades al residuo para ser máximo y sería

mínimo al restarle 18 unidades. Hallar el dividendo, si el cociente es el do-

ble del residuo por exceso.

47. Al resto de una cierta división le falta 35 unidades para ser igual al di-

visor. Si se suman 1 445 unidades al dividendo, el cociente aumenta en 17

y el resto se vuelve máximo, determinar el dividendo, si el cociente origi-

nal es 90.

48. Al dividir un número de cinco cifras entre 37 se obtuvieron 4 residuos

máximos. Dar como respuesta la suma de las cinco cifras del número men-

cionado.

49. En una división entera inexacta, el dividendo es mpr, el divisor es pr, el

cociente es 14 y el resto mínimo. Hallar (m.p.r)

50. Dadas las proposiciones :

I. Si al dividendo y divisor de una división entera inexacta se les multiplica

por ?n" entonces el residuo queda multiplicado por "n"

II. a.(b+c) = a.b + a.c

III. Para a y b enteros; a.b = 1 si a y b son recíprocos

son verdaderas :

51. Dadas las proposiciones :

I. Si ab.99 = .......43 entonces ab = 57

II. En toda división entera si el divisor es "m", entonces el resto máximo es

"m-1"



III. Si rd = residuo por defecto, re = residuo por exceso y d = divisor enton-

ces rd + re = d

señale la verdad (V) o falsedad (F)

52. La diferencia de dos números es 132, su cociente es 7 y su residuo es

el más grande posible. Hallar el mayor de ellos

53. En una división inexacta el residuo máximo es 29. Si se sabe que el

divisor tiene las mismas cifras del cociente pero en orden inverso, determi-

ne el dividendo y de como respuesta la suma de las cifras

54. ¿Cuántos números enteros positivos, menores que 1 000 al dividirlos

entre 54 dan un residuo igual al cuadrado del cociente?

55. Determinar la suma de las cifras del mayor numeral entero que dividi-

do entre 53 da un residuo que es el triple del cociente respectivo

56. En una división el residuo por exceso es 1/3 del divisor. El menor nu-

meral que se le debe sumar al dividendo para aumentar en 2 el cociente

es 52. Al triplicar el dividendo el cociente aumenta en 36. Hallar la suma

de las cifras del dividendo

57. En una división el cociente es 248 y el residuo 8 704. ¿Cuántas unida-

des a lo más pueden aumentarse simultáneamente al dividendo y al divi-

sor sin que el cociente varíe?

58. Al dividir un numeral de tres cifras entre uno de dos cifras, se obtuvo

un cociente de una cifra y residuo máximo. Si el cociente es el C.A. del di-

visor, y éste es el complemento aritmético del dividendo, hallar la suma de

todos los términos de la división

59. Al dividir el numeral N entre 13 se obtiene 11 de residuo, si se divide N

entre 11 el residuo obtenido es máximo y el cociente es igual al cociente

por exceso que se obtendría al dividir N entre 13. Hallar N

60. Si al dividendo y al divisor de una división entera inexacta se les multi-

plica por 6, el nuevo residuo aumenta en 60; pero si se les dividiera entre

4, el residuo por exceso disminuye en 24. Si la suma de los cocientes por

defecto y por exceso es 31. ¿Cuál es el valor del dividendo?

61. Si al dividendo y divisor de una división se le multiplica por 4 y se vuel-

ve a realizar la división, se observa que el residuo por defecto aumenta,

tantas unidades como el nuevo cociente por defecto menos 1, y el residuo

por exceso aumenta tantas unidades como el nuevo cociente por exceso _________________________________________________________________El conocimiento es patrimonio de la humanidad Pág. 12 [email protected]


mas 4 unidades, luego el dividendo original en función del cociente por de-

fecto original "q" será :

62. Un automóvil debe hacer un trayecto de 500 km el auto rinde 20 kiló-

metros por galón y viaja a 40 km/h, el tanque de gasolina está picado y

pierde un galón por cada 2 horas. El tanque tiene una capacidad de 25 ga-

lones. En el camino se detuvo por falta de gasolina, en ese momento,

¿cuántos galones de gasolina se debe echar para llegar a su destino con la

mitad del tanque lleno? Sin considerar la coma decimal dar la suma de las

cifras

63. Dos ciclistas, partieron al mismo tiempo del punto A hacia el punto B.

Al alcanzar el punto B regresan inmediatamente hacia atrás. El primero

deja al segundo encontrándole a "n" km del punto B; luego de regresar a A

y volver hacia B, encuentra al segundo ciclista que regresa de B después

de recorrer una "m" ésima parte de la distancia AB. Hallar AB.

Cuando caminaba a lo largo de la vía férrea observé que cada 12 minutos

me alcanzaba un tranvía y cada 4 minutos me cruzaba con uno. ¿Cada cuán-

tos minutos salen los tranvías de las estaciones terminales

Problema 3

Sabiendo que:

G( xx )=x−x√x2 x+x x+1 .

Calcular G(2)

Problema 4

Al dividir el polinomio de cuarto grado:

P(x)=3Ax4+4Bx3+2x+2, entre 3x2+2x-A

Problema 6



En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), la medida del ángulo ∠BAC es

30º; exteriormente y relativo a AC se ubica el punto D equidistante de A y C

4 metros. La

medida de ∠CAD = 45º. ¿A qué distancia del punto medio de CD esta el vér-

tice B?

Problema 7

En un triángulo rectángulo, recto en B se cumple: 4sec C = 13 – 3senA. Ha-

llar Cot C2 .

impacta en el fondo del lago luego de 4 segundos de haber sido soltado.

¿Qué profundidad tenía el lago?

Problema 10

La trayectoria descrita por un bloque es una circunferencia de radio R, la

cual sed escribe en un plano horizontal rugoso. La velocidad del bloque ini-

cialmente es Vo y luego de dar

Problema 11

Este es un problema que aparece en una prueba de entrenamiento en el 2005, en India. La

verdad que produce una polémica desde el enunciado (falso), pero la discusión lleva a unas

ricas conclusiones que me han fascinado.

Ojala la traducción este comprensible, y he tratado de colocar todos los comentarios suscita-

dos, demostraciones, referencias, investigaciones y en fin el problema es riquísimo.

a las cuerdas AD y BC del circuncírculo del cuadrilátero ABCD, vemos que AD=BC si

y sólo si ó ABD = BDC ó ABD = - BDC.

cíclico ABCD. Desde que el centro de este circuncírculo es O, tenemos EL OF

es la tangente A to w) tenemos que P pertenece a l. En forma similar, aplicando

Pascal para el hexágono degenerado ABBCDD tenemos que Q pertenece a l. De

aquí PQ=l, y lo tenemos demostrado.


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