ALGEBRA 1°

Capítulo Pág.

I. Iniciadores del Álgebra ..................................................................................................... 87

II. Operaciones con términos semejantes I (Adición y Sustracción) ........................................... 91

III. Operaciones con términos semejantes II (Coeficientes racionales “Q| ” ) ................................. 97

IV. Potenciación I ................................................................................................................ 103

V. Potenciación II ............................................................................................................... 109

VI. Potenciación III .............................................................................................................. 117

VII. Operaciones combinadas ................................................................................................ 123

VIII. Repaso bimestral ........................................................................................................... 129

Álgebra

ÍNDICE

ÁLGEBRA

Rama de las matemáticas en la que se usan letraspara representar relaciones aritméticas. Al igual queen la Aritmética, las operaciones fundamentales delÁlgebra son adición, sustracción, multiplicación,división y cálculo de raíces. La Aritmética, sinembargo, no es capaz de generalizar las relacionesmatemáticas, como el teorema de Pitágoras, que diceque en un triángulo rectángulo el área del cuadradode lado igual a la hipotenusa es igual a la suma delas áreas de los cuadrados de lado igual a loscatetos. La Aritmética sólo da casos particulares deesta relación (por ejemplo, 3; 4 y 5 ya que: 32 + 42

= 52). El Álgebra, por el contrario, puede dar unageneralización que cumple las condiciones delteorema: a2 + b2 = c2. Un número multiplicado porsí mismo se denomina cuadrado, y se representacon el superíndice 2. Por ejemplo, la notación de3 x 3 es 32; de la misma manera, a x a es igual quea2.

El álgebra clásica, que se ocupa de resolverecuaciones, utiliza símbolos en vez de númerosespecíficos y operaciones aritméticas paradeterminar cómo usar dichos símbolos. El álgebramoderna ha evolucionado desde el álgebra clásicaal poner más atención en las estructurasmatemáticas. Los matemáticos consideran alálgebra moderna como un conjunto de objetos conreglas que los conectan o relacionan. Así, en suforma más general, una buena definición deálgebra es la que dice que el álgebra es el idiomade las matemáticas.

Historia

La historia del álgebra comenzó en el antiguoEgipto y Babilonia, donde fueron capaces deresolver ecuaciones lineales (ax = b) ycuadráticas (ax2 + bx = c), así como ecuacionesindeterminadas como x2 + y2 = z2, con variasincógnitas. Los antiguos babilonios resolvíancualquier ecuación cuadrática empleando

esencialmente los mismos métodos que hoy seenseñan. También fueron capaces de resolveralgunas ecuaciones indeterminadas.

Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofantecontinuaron con la tradición de Egipto y Babilonia,aunque el libro Las aritméticas de Diofante es debastante más nivel y presenta muchas solucionessorprendentes para ecuaciones indeterminadasdifíciles. Esta antigua sabiduría sobre resoluciónde ecuaciones encontró, a su vez, acogida en elmundo islámico, en donde se le llamó "Ciencia dereducción y equilibrio". (La palabra árabe al-jabru que significa "reducción", es el origen de lapalabra álgebra). En el siglo IX, el matemático al-Jwarizmi; escribió uno de los primeros librosárabes de Álgebra, una presentación sistemáticade la Teoría fundamental de ecuaciones, conejemplos y demostraciones incluidas. A finales delsiglo IX, el matemático egipcio Abu Kamil enuncióy demostró las leyes fundamentales e identidadesdel Álgebra, y resolvió problemas tan complicadoscomo encontrar las variables “x”, “y”, “z” quecumplen: x + y + z = 10; x2 + y2 = z2; y x.z = y2.

En las civilizaciones antiguas se escribían lasexpresiones algebraicas utilizando abreviaturassólo ocasionalmente; sin embargo, en la edadmedia, los matemáticos árabes fueron capaces dedescribir cualquier potencia de la incógnita “x”,y desarrollaron el álgebra fundamental de lospolinomios, aunque sin usar los símbolosmodernos. Este álgebra incluía multiplicar, dividiry extraer raíces cuadradas de polinomios, así comoel conocimiento del Teorema del binomio. Elmatemático, poeta y astrónomo persa OmarKhayyam mostró cómo expresar las raíces deecuaciones cúbicas utilizando los segmentosobtenidos por intersección de secciones cónicas,aunque no fue capaz de encontrar una fórmulapara las raíces. La traducción al latín del Álgebrade al-Jwarizmi fue publicado en el siglo XII. Aprinicpios del siglo

XIII, el matemático italiano Leonardo Fibonacciconsiguió encontrar una aproximación cercana ala solución de la ecuación cúbica: x3 + 2x2 + cx =d. Fibonacci había viajado a países árabes, porlo que con seguridad utilizó el método arábigo deaproximaciones sucesivas.

A principios del siglo XVI los matemáticositalianos Scipione del Ferro, Tartaglia y GerolamoCardano resolvieron la ecuación cúbica generalen función de las constantes que aparecen en laecuación. Ludovico Ferrari, alumno de Cardano,pronto encontró la solución exacta para laecuación de cuarto grado y, como consecuencia,ciertos matemáticos de los siglos posterioresintentaron encontrar la fórmula de las raíces delas ecuaciones de quinto grado y superior. Sinembargo, a principios del siglo XIX el matemáticonoruego Niels Abel y el francés Évariste Galoisdemostraron la inexistencia de dicha fórmula.

Un avance importante en el Álgebra fue laintroducción, en el siglo XVI, de símbolos para lasincógnitas y para las operaciones y potenciasalgebraicas. Debido a este avance, el Libro III dela Geometría (1637), escrito por el matemático yfilósofo francés René Descartes se parece bastantea un texto moderno de Álgebra. Sin embargo, lacontribución más importante de Descartes a lasMatemáticas fue el descubrimiento de la Geometríaque contiene también los fundamentos de un cursode teoría de ecuaciones, incluyendo lo que elpropio Descartes el siglo XVIII se continuótrabajando en la teoría de ecuaciones y en 1799el matemático alemán Carl Friedrich Gauss publicóla demostración de que toda ecuación polinómicatiene al menos una raíz en el plano complejo (véaseNúmero: Números complejos)

En los tiempos de Gauss, el Álgebra habíaentrado en su etapa moderna. El foco de atenciónse trasladó de las ecuaciones polinómicas al

estudio de la estructura de sistemas matemáticosabstractos, cuyos axiomas estaban basados en elcomportamiento de objetos matemáticos, como losnúmeros complejos, que los matemáticos habíanencontrado al estudiar las ecuacionespolinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas sonlos grupos y las cuaternas, que comparten algunasde las propiedades de los sistemas numéricos,aunque también difieren de ellos de manerasustancial. Los grupos comenzaron como sistemasde permutaciones y combinaciones (véasecombinatoria) de las raíces de polinomios, peroevolucionaron para llegar a ser uno de los másimportantes conceptos unificadores de lasmatemáticas en el siglo XIX. Los matemáticosfranceses Galois y Augustin Cauchy, el británicoArthur Cayley y los noruegos Niels Abel y SophusLie hicieron importantes contribuciones a su estilo.Las cuaternas fueron descubiertas por elmatemático y astrónomo irlandés William RowanHamilton, quien desarrolló la Aritmética de losnúmeros complejos para las cuaternas; mientrasque los números complejos son de la forma a + bi,las cuaternas son de la forma a + bi + cj + dk.

Después del descubrimiento de Hamilton elmatemático alemán Hermann Grassmann empezóa investigar los vectores. A pesar de su carácterabstracto, el físico estadounidense J. W. Gibbsencontró en el Álgebra vectorial un sistema de granutilidad para los físicos, del mismo modo queHamilton había hecho con las cuaternas. La ampliainfluencia de este enfoque abstracto llevó a GeorgeBoole a escribir Investigación sobre las leyes delpensamiento (1854), un tratamiento algebraico dela lógica básica. Desde entonces, el Álgebramoderna -también llamada álgebra abstracta- haseguido evolucionando; se han obtenidoresultados importantes y se le han encontradoaplicaciones en todas las ramas de las matemáticasy en muchas otras ciencias.

CIENCIAS - PAMER1

AÑO

Iniciadores del Álgebra

Capítulo I

"El álgebra es generosa:a menudo da másde lo que se le pide".

Jean le Rond D’alembertFilósofo, físico y matemático francés del

siglo XVIII

Introducción

A lo largo de la historia, la matemática ha mantenidouna evolución en todas sus áreas permitiendo al hombrehacer frente a problemas que en cuyo inicio fueronoriginados por situaciones cotidianas y que posteriormentesurgieron a raíz de la propia evolución de esta ciencia.

El Álgebra, siendo una de las principales áreas de laMatemática, tuvo un inicio que se remonta aproxi-madamente al año 3000 a.C. Fue la cultura babilónica laque dejó indicios en sus "tablas cuneiformes" sobre lasnociones básicas para la resolución de ecuaciones de primery segundo grado.

Posteriormente, Diofanto (325 - 410 d.C.) en su obra"Aritméticas", difunde la teoría sobre las ecuaciones deprimer y segundo grado influenciado por los trabajos delos babilonios.

Luego, durante la Edad de Oro del mundo musulmán, ala cual corresponde la Edad Media del Mundo Occidental,aproximadamente 700 - 1200 d.C., el árabe fue la lenguainternacional de las matemáticas. Los matemáticos árabesconservaron el patrimonio matemático de los griegos,divulgaron los conocimientos matemáticos de la India,asimilaron ambas culturas e hicieron avanzar tanto elÁlgebra como la Trigonometría.

Es durante esta época que surge la figura deMohammed ibn Musa Al - Khwarizmi (780 - 850 d.C.)llamado por algunos "Padre del Álgebra". Escribió varioslibros sobre Geografía, Astronomía y Matemáticas.

En uno de sus libros "Al - jabr - wa’l muqäbala", aparecela palabra "Al Jabr" de la cual deriva la palabra "ÁLGEBRA"."Al Jabr" significa «restauración», refiriéndose al equilibriode una ecuación mediante la transposición de términos."Muqäbala" significa "simplificación", refiriéndose a lareducción de términos semejantes en cada miembro deuna ecuación.

Otros matemáticos que dieron gran impulso al desarrollodel Álgebra, fueron: Niccolo Fontana, llamado TARTAGLIA("El Tartamudo"), matemático italiano que centró su trabajoen la ecuación cúbica.

Girolamo Cardano, en su obra "Ars Magna" publica unresultado similar a TARTAGLIA. Ludovico Ferrari, trabajóinvestigando las ecuaciones de cuarto grado. Francois Viettéemplea las letras en el Álgebra, utilizando las primeras (a,b, c, ...) para representar cantidades conocidas, y las últimas(z, y, w, x, ...) como incognitas.

Como habrás visto, todos los matemáticos mencionadosson extranjeros, sin embargo, también existieronmatemáticos peruanos que trabajaron para el desarrollodel Álgebra; podemos mencionar a Cristóbal de Losada yPuga, Godofredo García, José Tola Pasquel, y principalmenteFederico Villarreal.

CUESTIONARIO

De la lectura anterior, reponder a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué cultura es considerada como la iniciadora delÁlgebra?

Rpta.:

____________________________________________

2. ¿En qué temas basó su investigación DIOFANTO?

Rpta.:

_____________________________________________

3. ¿Cuándo nació aproximadamente Al - Khwarizmi?

Rpta.:

_____________________________________________

4. Del año 700 al 1200 d.C., la lengua internacional de laMatemática fue:

Rpta.:

_____________________________________________

5. ¿Quién es considerado «Padre del Álgebra?

Rpta.:

_____________________________________________

6. ¿Sobre qué materias escribió Al - Khwarizmi?

Rpta.:

_____________________________________________

7. ¿De dónde se deriva la palabra ÁLGEBRA?

Rpta.:

_____________________________________________

8. ¿Qué significa la palabra "Al - jabr"?

Rpta.:

_____________________________________________

9. ¿Qué otros matemáticos impulsaron el desarrollo delÁlgebra?

Rpta.:

_____________________________________________

10.Menciona a matemáticos peruanos investigadores delÁlgebra

Rpta.:

_____________________________________________

11.¿Por qué crees que es importante la Matemática parael ser humano?

Rpta.:

_____________________________________________

12.Resume brevemente la lectura anterior:

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

____________________________________________

Las tres pipas

Una vez un miembro de la tribu piel roja sepresentó furioso ante su jefe para informarle queestaba decidido a tomar venganza de un enemigoque lo había ofendido gravemente.

Quería ir inmediatamente y matarlo sin piedad.El jefe lo escuchó atentamente y luego le propusoque fuera a hacer lo que había pensado, peroantes de hacerlo llenara su pipa de tabaco y lafumara con calma al pie del árbol sagrado delpueblo.

El hombre cargó su pipa y fue a sentarse bajola copa del gran árbol.

Tardó una semana en terminar la pipa. Luegosacudió sus cenizas y decidió volver a hablar con

el jefe piel roja para decirle que lo había pensadomejor, que era excesivo matar a su enemigo peroque sí le daría una paliza memorable para quenunca se olvidara de la ofensa.

Nuevamente el anciano lo escuchó y aplaudiósu decisión, pero le ordenó que ya que habíacambiado de parecer, llenara otra vez la pipa y fueraa fumarla al mismo lugar. También esta vez elhombre cumplió su encargo y estuvo media horameditando.

Después regresó a donde estaba el cacique pielroja y le dijo que consideraba excesivo castigarfísicamente a su enemigo, pero que iría a echarleen cara su mala acción y le haría pasar vergüenzadelante de todos.

Como siempre, fue escuchado con bondad peroel anciano volvió a ordenarle que repitiera su

meditación como lo había hecho las vecesanteriores. El hombre medio molesto

pero ya mucho más sereno sedirigió al árbol centenario y allísentado, fue convirtiendo enhumo, su tabaco y su pro-blema.

Cuando terminó, volvió aljefe piel roja y le dijo: “Pensándolo

mejor, veo que la cosa no es para tanto.Iré donde me espera mi agresor para darle

un abrazo. Así recuperaré a un amigo queseguramente se arrepentirá de lo que ha

hecho”. El jefe le regaló dos cargas de tabacopara que fueran a fumar juntos al pie

del árbol, diciéndole: “Eso esprecisamente lo que teníaque pedirte, pero no podíadecírtelo yo; era necesariodarte tiempo para que lodescubrieras tú mismo”.

Anónimo

¿Lo sabías?

La palabra "álgebra" tiene dos significados, además delque ya conoces, hay otro. Álgebra es también "el arte de

reducir las dislocaciones" y Algebrar significa "vendaro curar una dislocación o fractura ósea".

Sin embargo, no vayas a pensar quenuestro curso tiene que ver con huesos,dislocaciones, fracturas, etc. Nuestrocurso es muy diferente. Disfrútalo!!

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AÑO

"El olvido de las matemáticas perjudica a todo elconocimiento, ya que el que las ignora no puede conocer

las otras ciencias ni las cosas de este mundo".

Roger BaconFilósofo inglés del siglo XIII

Operaciones con términos semejantes I(Adición y Sustracción)

Capítulo II

...Y aquí, una historia ...

Historia de los signos

No se empezaron a usarhasta el siglo XV. La primera vezque aparecieron impresos fueen un libro de AritméticaComercial escrito en 1489 porJohann Widman, un maestrocalculista alemán.

Antes se utilizaban las letras "p" y "m" del latín "plus"(+) y "minus" (-) respectivamente.

Los signos para lasoperaciones de multi-plicación y división son másmodernas, fueron intro-ducidos en el siglo XVII(concretamente en 1657)por William Oughted. Sóloun par de años después,Johann Rahn en su libro"Álgebra alemana", utiliza por primera vez el signo " "para indicar la división.

Marco teórico

Las operaciones con términos algebraicos, involucrande manera categórica las nociones que se deben tener alsumar, restar multiplicar y dividir números racionales. Estoes debido a que para sumar o restar expresionesalgebraicas, trabajaremos básicamente con coeficientes.

Comenzamos con las siguientes definiciones:

Término algebraicoEs una expresión matemática que consta de tres partes:

- Coeficiente- Variable- Exponente

Ejemplos:

1. Término algebraico:

x3 y5- 72

2. No es término algebraico:

sen(3x5)

¿por qué?

Términos semejantesSon aquellos téminos que poseen la(s) misma(s)variable(s) con su(s) respectivo(s) exponente(s).

Ejemplos:

1. Términos semejantes

2x2; 2x57 ; 5x2

2. No son términos semejantes

5y4 ; 8x32 ; 7a3

¿Por qué?

¿Cómo se reducen términos semejantes?

Una manera práctica, es agrupar todos los términospositivos, luego, los términos negativos, y al final restarambos resultados, colocando el signo del "mayor".

Ejemplo:

Simplificar:-7x + 11x - 10x - 3x + 21x - 2x

Solución:

Observacómo se hanagrupado loscoeficientespositivosconservandosu propio signo

-7x + 11x - 10x - 3x + 21x - 2x

-22x +32x

= +10x

Observacómo se hanagrupado loscoeficientes

negativoscon su propio

signo

Bloque I

1. Efectuar:5x + 6x + 7x

a) 12x b) 15x c) 18xd) 21x e) 23x

2. Reducir:5x - 6x + 7x - 8x + 9x

a) 5x b) 6x c) 7xd) 8x e) 9x

3. Efectuar:4xy - 5xy + 6xy + 7xy - 8xy

a) 4xy b) 5xy c) 7xyd) 6xy e) 8xy

4. Reducir:5m + 6m + 7m - 18m

a) m b) 0 c) -md) 2m e) -2m

5. Calcular:3 + 3 + 3 + ... + 3

si hay 33 sumandos.

a) 33 b) 55 c) 66d) 3 e) 99

6. Calcular:

sumandos36

4...444

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

7. Reducir:3ab - 4bc - 5ab + 6bc

a) -2ab + bc b) -2ab + 2bc c) -2ab - 2bcd) -ab + 2bc e) 2ab - 2bc

8. Reducir:3xy + 4xy - 5xz - 6xz - 7xy

a) -xz b) xz c) -11xzd) 11xz e) 7xy - xz

9. Reducir:3a + 4a + 5a - 3(4a + 5)

a) -15 b) -15a c) 24ad) 24a + 15 e) -24a - 15

10.Reducir:-6x + 5 - 3(-2x + 4)

a) -1 b) -3 c) -5d) -7 e) -9

Bloque II

1. Reducir:3x + 4(3x - 4) + 5x + 4 (-5x + 4)

a) 7x - 8 b) 7x c) 7x + 8d) 0 e) -8

2. Reducir:2x(3 - y) + 3y (2 + x) - 6(x + y)

a) -xy b) xy c) 2x + 3yd) 3x + 2y e) -3x - 2y

3. Reducir:2(x + 4) - 3(x + 3) + 4(x - 2)

a) 3x b) 3x + 9 c) 9d) 3x - 9 e) -9

Problemas para la clase

4. Reducir:2(12x - 4) - 3(8x - 3)

a) -1 b) 1 c) 2d) 24x e) 12x

5. Reducir:

x11)6x(6)3x(3)2x(2

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

6. Reducir:

x13)4x(9)16x(4

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

7. Reducir:

1x17)9x(9)8x(8

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

8. Calcular:

)7x(7)1x()8x(8

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Reducir:

)x2(3)9x(3)4x(21x

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 6

10.Reducir:5(2x + 3) - 4(7x - 4) + 3(6x - 5)

a) 12 b) 16 c) 14d) 18 e) 10

Bloque III

1. Efectuar:2(a - b) + 4(a+b) - 6(a - b) - 8(a + b)

a) -4a b) -8b c) 8bd) 4a e) -8a

2. Reducir:-2(3x - 4) - 3(4x - 5) + 4(5x - 6)

a) 2x - 1 b) 2x + 1 c) -2x - 1d) -2x + 1 e) 2x

3. Simplificar la expresión:

)2x(4x9)2x(3)3x(2

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

4. Reducir:

q3p9)qp(4)qp(3)qp(2

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

5. En una tienda adquirí un pantalón que costó (5x - 2y)soles y unos zapatos que costaron (x + 7y) soles.¿Cuánto invertí en mi vestimenta?

a) 6x + 5y b) 8x + 8y c) x + yd) 0 e) 5x - 9y

6. ¡Hola! soy Fido... acabo de comer (3x + y) kilos de carne,(2x - 3y) kilos de camote y (5x + 7y) kilos de “Ricocan”.¿Cuántos kilos he comido en total?

a) 10x - 6m b) 5y c) 10x - 5yd) 10x + 5y e) 0

7. En el planeta “x” los habitantes poseen: (3n + 5 m)brazos y (2n - 7m) piernas. Un día, se vió pasear a tresamigas de ese planeta. ¿Cuántas extremidades pudieronobservarse en total?

a) 15n - 6m b) - 6 n c) 5n - 2md) 15m - 6n e) 0

8. En un salón de clase hay (3a + 5b) carpetas, en otraaula hay (2a + 5b) carpetas. Si llegaron a dar un examen(5a + 7b) alumnos, ¿cuántas carpetas quedaron vacías?

a) b b) 2b c) 3bd) 4 e) 5

9. Tengo (3x - 2y) soles ahorrados. Trabajé una semana yobtuve (5x + 7y) soles, pero el fin de semana gasté 5ysoles. ¿Con cuántos soles me quedé?

a) 8x b) 3x - 2y c) 5x + yd) 3y e) 0

10.En una granja se tiene (2a + 7b - 3c) vacas, (5a - 3b +2c) caballos y (7b - 3a + c) conejos. Llegó el lobo feroz yse comió: (a + 3b) vacas, (2b + c) caballos y (3b + a - c)conejos. ¿Cuántos animales quedaron?

a) a + 3b b) 2a - 3b c) 2a + 3bd) 7a - 3b e) a + b + c

¿Lo sabías?

Se dice que una cuenta bancaria está en números rojos cuando tiene unsaldo negativo (se ha sacado más dinero de lo que había y le debemos una cantidadal banco).

La expresión «números rojos» viene de que antiguamente en los libros decontabilidad se registraban las cifras positivas (ganancias) en negro y las negativas(pérdidas) en color rojo para que no hubieran errores.

1. Reducir la siguiente expresión:

J = a + 2b - 3a - 4a + 5b + 6a - 7b

a) 0 b) 3a c) -3a+2bd) a-3b e) 2a+5b

2. Calcular:x + 2x + 3x + ... + 8x + 9x

a) 90x b) 43x c) 100xd) 45x e) 44x

3. Reducir:3(8x + 3) - 4(6x - 4) - 25

a) 0 b) 2x c) -2xd) -1 e) 1

4. Simplificar:2a + 5b + 3(a - b) - 5a

a) 2a b) a + b c) 2bd) a - b e) 0

5. Reducir:

x8)2x(3)1x(3)3x(2

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

AutoevaluaciónAutoevaluación

La honestidad

Cuando un ser humano es honesto se comporta de manera transparente con sus semejantes, esdecir, no oculta nada, y esto le da tranquilidad. Quien es honesto no toma nada ajeno, ni espiritual nimaterial: es una persona honrada. Cuando se está entre personas honestas, cualquier proyecto huma-no se puede realizar y la confianza colectiva se transforma en una fuerza de gran valor. Ser honestoexige coraje para decir siempre la verdad y obrar en forma recta y clara.

Para ser honestos...

• Conozcámonos a nosostros mismos.

• Expresemos sin temor lo que sentimos o pensamos

• No perdamos nunca de vista la verdad.

• Cumplamos nuestras promesas

• Luchemos por lo que queremos jugando limpio.

La deshonestidad

Cuando alguien miente, roba, engaña o hace trampa, su espíritu entra en conflicto, la paz interiordesaparece, y esto es algo que los demás perciben, porque no es fácil de ocultar. Las personas desho-nestas se pueden reconocer fácilmente, porque engañan a los otros para conseguir de manera abusivaun beneficio. Es muy probable que alguien logre engañar la primera vez; pero, al ser descubierto, seráevitado por sus semejantes o tratado con precaución y desconfianza.

Obstáculos para la honestidad

• La impunidad, que demuestra que se pueden violar las leyes y traicionar los compromisos sin queocurra nada.

• El exito de los vivos y los mentirosos, quienes hacen parecer ingenuas a las personas honradas yresponsables, pues con frecuencia trabajan más y consiguen menos que aquellas que viven de latrampa.

• La falta de estímulos y reconomiento a quienes cumplen con su deber y defienden sus principios yconvicciones, a pesar de las dificultades que esto les puede acarrear.

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AÑO

Operaciones con términos semejantes II(coeficientes racionales “ IQ”)

Capítulo III

El tema de hoy es muy similar al del capítulo anterior,con la única diferencia que ahora los coeficientes sonnúmeros racionales (Q0 ). Por esta razón, recordaremos lasoperaciones con fracciones, pues esto nos permitirá hacerlos cálculos de una manera más rápida.

Veamos los siguientes ejemplos:

· 3029

3062015

51

32

21

· 6061

60452036

43

31

53

· 325

1605280

52...

52

52

veces80

· veces70 veces21

51...

51

51

75...

75

75

= 11415570

7105

5170

7521

Ahora completa resolviendo los siguientes ejercicios:

· 51

21

72

·

veces27 veces35

32...

32

32

54...

54

54

· 73

21

54

· 52

32

51

41

31

21

Bloque I

1. Efectuar:

sumandos23

)x...xx( - )x3x2x(

a) 13x b) 15x c) 17xd) 19x e) 21x

"Un matemático que no es también un pocopoeta, no será jamás un matemático

completo".

Karl WeierstrassMatemático alemán del siglo XIX

MínimoComúnMúltiplo

Observa comose ha multiplicado


2. Reducir:

sumandos40sumandos60

)x3...x3x3()x2...x2x2(

a) 0 b) x c) 3xd) 240x e) 120x

3. Efectuar:x + x + x + ... + x

123 sumandos

a) 123x b) 132x c) 213xd) 312x e) 321x

4. Reducir:

-x + 2x - 3x + 4x - 5x + 6x - 7x + 8x

a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 0

5. Simplificar:

-x + 2x - 3x + 4x - ... -99x + 100x

a) x b) 0 c) 50xd) 55x e) 25x

6. Reducir:


x43...x

43x

43x

3...x

34x

34

a) 30x b) 25x c) 20xd) 15x e) 10x

7. Simplificar:


mn35...mn

35mn

35mn

23...mn

23mn

23

a) 20mn b) 90mn c) 0d) 54mn e) mn

8. Reducir:

x21x

31x

52

a) x151

b) x1517

c) x3017

d) x32

e) x51

9. Simplificar:

x53x

27x

32

a) x52

b) x372

c) x6730

d) x3067

e) x3067

10.Efectuar:

x65x

31x

21

a) x b) 1 c) 0d) 6x e) 7x

Bloque II

1. Efectuar:

(3a + 4b + 5c) - (3c + 4b + 5a) + 2a

a) 2a b) 2c c) ad) c e) 2a - 2c

2. Reducir:4x - [3x + 2y - (x + 2y)]

a) x b) 2x c) - xd) - 2x e) 2x - 4y

3. Reducir:

2(x + 2) + 3(2x + 3) + 4(3x + 4) - 5(4x)

a) 23 b) 25 c) 27d) 29 e) 31

4. Reducir:

3(a2 + 3a) + 4(a2 + 4a) + 25a2 - 25a

a) 4a2 b) 8a2 c) 16a2

d) 32a2 e) 64a2

5. Efectuar:

3a2 - (2a2 - b2) - (a2 + 3b2) + 2b2

a) a2 b) 2a2 c) b2

d) 2b2 e) 0

6. Efectuar:

5m - [4m - (3m + n) + 2n] - 3n

a) 2m - 2n b) 3m - 3nc) 4m - 4n d) 5m - 5ne) m - n

7. Reducir:

3x - {-2x + (x - 2y)} - (-[-x] + 2y)

a) 2x b) 4x c) 6xd) 2y e) 3x

8. Efectuar:

x23

6xx

32

a) -x b) 4x c) -3xd) -2x e) 2x

9. Reducir:

x49x

47x

45x

43

a) -2x b) x c) 0d) 2x e) -x

10.Reducir:

x138x

137x

136x

135

a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x

Bloque III

1. Simplificar:

veces25 veces10

x751...x

751x

751x

307...x

307x

307

a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x

2. Efectuar:

veces60 veces35

x154...x

154x

154x

72...x

72x

72

a) - 6x b) - x c) 2xd) - 2x e) 40x

3. Calcular:

70 veces40 veces

7mn2

...7mn2

5mn3

...5mn3

5mn3

K

a) mn b) 2mn c) 3mnd) 4mn e) 5mn

4. Si: A = - (- x - 3) + 5B = - [2 - (- x - 1)] + 1

hallar: A - (- B)

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

5. Hallar el valor de:

50 veces70 veces

5ba3

...5ba3

5ba3

7ba5

...7ba5

7ba5 323232323232

a) 20a2b3 b) 40a2b3 c) 60a2b3

d) 80a2b3 e) 10a2b3

6. Si: J = - [ - (- 5 - x) ] - 1S = - [ - x - (3 - x) ] + 2

hallar: J + S

a) - x b) 1 - x c) - 1 - xd) - 2x e) 0

7. Efectuar:2x - [ 3x - (5 - {2 - x}) ] + 10

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

8. Efectuar:a - (b - a) + (- b + a) - (- b - a) - (- b)

a) a b) 2a c) 3ad) 4a e) 5a

9. Hallar el valor reducido de:E = (x + y) - (x - 2y) - (y - 3x)

a) x b) 3x + 2y c) yd) 3x - 2y e) 2y + 3x

10.Hallar el valor de:(a + b + c) - (a - b + c) - (a + b - c) + (a - b - c)

a) a + b + c b) 0 c) a + 2bd) 4a e) 2a

LA SATISFACCIÓN

Sólo existen dos instrumentos para crear y realizar a un ser humano: el estudio y el trabajo. Toma encuenta además las siguientes consideraciones: la propia índole de nuestra naturaleza nos inclina haciaaquello que nos produce satisfacción; estudiar constituye la actividad propia del estudiante; sólo através del estudio nos vamos a aproximar a nuestros objetivos y metas; entonces, es de una sabiduríaelemental tratar de relacionar estos dos factores:

Estudio = satisfacciónIgnorancia = insatisfacción

Pon en práctica el siguiente consejo: como a todos nos gusta "ganar" toma el estudio como si fueseun reto o un desafío.¿Aprenderé?, ¿comprenderé?, ¿recordaré?, ¿aprobaré?

Cuando se obtengan respuestas afirmativas a estas interrogantes, se estará "ganando", y ese "ganar"producirá una satisfacción interior que nos llevará a desear el estudio y a disfrutar con él.

1. Efectuar:

x1121x

1112

a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x

2. Reducir:

3a2

4a3

a) 4a

b) 3a

c) 12a

d) 4a e) 3

a

3. Efectuar:3x - [2x + (x - 5)]

a) x+5 b) -x-5 c) x - 5d) x e) 5

4. Reducir:a - (b -a) + (-b + a) - (-b - a) - (-b)

a) 5a b) 4b c) 3ad) 4a e) 3b

5. Reducir:

x23x

31x

51

a) x3029

b) x1645

c) x3029

d) x295 e) x

307


.. Aquí un reto!!!

Los animales son tan lindos ! ! Tengo varios encasa, todos son gatos, menos dos, todos son

perros menos dos y todos son loros menos dos,¿adivinas cuántos animales tengo?

CIENCIAS - PAMER1

AÑO

Potenciación I

Capítulo IV

Ecuaciones de hace 4000 años

Los babilónicos vivieron hace unos4000 años, en lo que ahora es Irak.Eran un pueblo muy culto yorganizado, imagínense que hastapodían resolver ecuaciones. En launiversidad de Columbia (NuevaYork) se conservan tablil las coninscripciones babilónicas. En una deellas aparece este problema:

Los movimientos sísmicos, cuya aparición es por ahora imposible de predecir, son de diversa magnitud e intensidad.

La escala de Richter nos da ideade la magnitud del terremoto. Estaescala tiene una graduación del 1 al 9e indica la energía liberada que se mideen ERGIOS.

El ERGIO, equivale a la energíaque necesita una fuerza para moverun centímetro una masa de un gramo.

Los terremotos son, casi siempre,de efectos devastadores cuando su

intensidad es superior a los 6 grados.

Ecuaciones de hace 4000 años

Los babilónicos vivieron hace unos4000 años, en lo que ahora es Irak.Eran un pueblo muy culto yorganizado, imagínense que hastapodían resolver ecuaciones. En launiversidad de Columbia (NuevaYork) se conservan tablil las coninscripciones babilónicas. En una deellas aparece este problema:

Terremoto de Alaska en 1964. Uno de los mas fuertes ocurridos en ese país.

EQUIVALENCIA ENTRE LA ENERGÍA LIBERADAY LA MAGNITUD DEL TERREMOTO

Energía liberada en ergios Magnitud

8,3 El terremoto más intenso (Japón, 1923)8,1 Terremoto de San Francisco (EE.UU., 1906)7,8 Terremoto de Ancash (Perú, 1970)7,5 Terremoto de Lima (Perú, 1974)

3,0 Movimiento de terremoto al explotar 200 kg de dinamita

2,0 Un movimiento sísmico leve

1,0 Un camión de 2 toneladas a una velocidad de 120 km/h

Ahora:

1. Expresa en notación abreviada (potencias de 10) losiguiente:

La energía equivalente a la magnitud 2:

.............................................................................


............................................................................


............................................................................

2. Escribe mediante potencias de 10 la energía de:

El terremoto de Lima - 1974:

............................................................................

El terremoto de Ancash - 1970:

............................................................................

El terremoto más intenso :

............................................................................

Marco teórico

Potencia es el resultado obtenido al multiplicar unnúmero, llamado BASE, cierta cantidad de veces; estacantidad es el EXPONENTE.

Ejemplos:

· 32222222base

5

veces5

· 8133333base

4

veces4

Exponente natural:n

veces"n"

aa.....a.a ; n lN, a lR

Propiedades

1. am . an = am+n ; m,n lN

2. n

m

aa

= am-n ; m, n lN; a =/ 0

3. a0 = 1 ; a 0

4. 0n = 0 ; n 0

Exponente

Potencia

Exponente

Potencia

Bloque I

1. Efectuar en cada caso:

a) x5 . x7 . x9 . x11 =b) m10 . m12. m14. m16 =c) a . a3 . a5 . a7 =d) x . x2 . x3 . x4 ... x9 =

2. Reducir cada expresión:

a) 68

1012

b.ab.a

= b) 2010

2515

n.mn.m

=

c) m2

m4

22

= d) 2001

2002

mm

=

3. Efectuar:

121

221

xx

a) x50 b) x100 c) x150

d) x200 e) x250

4. Calcular:

factores30

3...333

a) 320 b) 330 c) 90d) 310 e) 30

AutoevaluaciónProblemas para la clase

5. Calcular:21 . 22 . 23 . 24

a) 1 024 b) 512 c) 256d) 128 e) 64

6. Reducir:x . x2 . x3 . x4 . ... .x19 . x20

a) x20 b) x200 c) x400

d) x210 e) x180

7. Reducir:x-1 . x-2 . x-3 . x-4 .x-5

a) x-15 b) x-11 c) x-12

d) x-14 e) x-16

8. Reducir:x1 . x-2 . x3 . x-4 . x5

a) x4 b) x2 c) x3

d) x1 e) x5

9. Efectuar:x3 y4 x5 y6 x7 y8

a) x12y15 b) x15y12 c) x15y18

d) x18y15 e) x12y18

10.Efectuar:(x2y)(x3y2)(x4y3)(x5y4)

a) x12y10 b) x14y12 c) x14y10

d) x12y14 e) x14y14

Bloque II

1. Efectuar:

357

468

3.3.33.3.3

a) 3 b) 9 c) 81d) 243 e) 27

2. Reducir:

x. x. x. x.x x. x. x. x.x

2345

23456

a) x0 b) x c) x2

d) x3 e) x4

3. Reducir:

2

43

2

34

abba

baba

a) ab b) 2ab c) a2b2

d) a + b e) 2a2b2

4. Efectuar:(5x3)(4x2)(3x)

a) 6x6 b) 16x6 c) 36x6

d) 66x6 e) 60x6

5. Efectuar:(3a + 5a + 7a) (3a - 5a + 7a)

a) 3 b) 3a c) 5d) 5a e) 1

6. Calcular:{2-1 . 2-3} {2-4 . 2-5}

a) 8 b) 16 c) 32d) 64 e) 128

7. Efectuar y reducir:

2x . x2 . x3 + 3x3 . x2 . x + 6x6

a) 12x18 b) 11x18 c) 12x6

d) 11x6 e) 6x11

8. Calcular:(25 . 34 . 43) (24 . 33 . 42)

a) 6 b) 12 c) 24d) 36 e) 72

9. Multiplicar:(-5x4) por (-4x5)

a) -9x9 b) -20x5 c) 20x9

d) 9x9 e) -9x20

10.Multiplicar:(-3x2) por [-(-2x3)]

a) -6x5 b) -6x2 c) 5x5

d) -5x5 e) -5x6

Bloque III

1. Efectuar:

(a2b3c4)(a-5b-6c-7)(a8b9c10)

a) a2b3c4 b) a3b4c5 c) a4b5c6

d) a5b6c7 e) a6b7c8

2. Reducir

)125...125125()5...555( veces625factores55

a) 539 b) 62558 c) 2548

d) 548 e) 52

1. Reducir:(a2b5)(a8b7)(a-9b-11)

a) ab b) a2b2 c) a3b3

d) a4b4 e) a5b5

2. Simplificar:

3

8

12

17

2

7

aa

aa

aa

a) a3 b) a5 c) a15

d) 3a5 e) 3a3

3. Hallar el exponente final al efectuar:

x . x2 . x3 . x4 . ... x9 . x10

a) 20 b) 55 c) x55

d) x20 e) 25

4. Reducir:

842

753

x. x.x x. x. x.x

a) x b) x2 c) x3

d) x4 e) x8

5. Reducir:

(3a8 + 5a8 + 7a8) (8a3 + 2a3 - 5a3)

a) 3a8 b) 3a3 c) 3a5

d) 3a e) 3

3. R e d u c i r : x

5y- 1 . x4y- 2 . x3y- 3 . x2y- 4

a) x30y2 b) x20y- 10 c) x14y- 10

d) x15y3 e) x6y2

4. Efectuar:

151010

51030

cba

cba

a) abc b) a5b6 c) a2b4

d) a15b15c15 e) (abc)20

5. Calcular: x2 . x- 4 . x6 . x- 8 . x10 . x- 12

a) x- 2 b) x- 4 c) x- 6

d) x- 8 e) x- 10

6. Efectuar: x- 2 . x- 4 . x- 6 . x- 8 . x- 10 . x- 12

a) x- 38 b) x- 40 c) x- 42

d) x- 22 e) x- 24

7. Hallar el resultado final: (a3b2c2)(a4b3c2)(a- 6b- 4c- 4)

a) ab- 1 b) ab c) 3abd) a2b2 e) abc

8. Indicar el exponente final de:x2 . x- 3 . x4 . x- 5 . x6 . x- 7 . x8 . x- 9

a) - 1 b) - 2 c) - 3d) - 4 e) - 5

9. Efectuar:

251817

172027

2.3.5

5.3.2

a) 26 b) 36 c) 46d) 56 e) 66

10.Hallar: 5x2 . x3 . x4 + 7x2 . x3 . x4 - 6 . x2 . x3 . x4

a) 6x6 b) 6x4 c) 6x8

d) x9 e) 6x9


Álgebra, el arte de la cosa

Como casi todas las palabras actuales queempiezan con "al", el término álgebra tieneorigen árabe. Se lo debemos al matemáticoAl-Khwarizmi.

Escribió una obra que ha servido a losmatemáticos occidentales durante años.Su título: "Al - jabr - wa'l muqäbala". De

la primera palabra 'Al - jabr' proviene'álgebra'.

Este mismo matemático designaba a laincógnita de sus ecuaciones con el nombre de

'SAHY' (que significa 'la cosa').

Los algebristas italianos usaban la palabra 'COSA' y los alemanes llamaban a la incógnita'COSS'. Con esos orígenes, durante una época el “álgebra”, fue conocida en Europacomo "El arte de la cosa".

LA SERENIDAD

La serenidad es la emoción sosegada que teproduce el saber que has asimilado lo queestudiaste. La serenidad es una emoción, pero cosacuriosa, provisionalmente puedes entenderla comouna emoción caracterizada por la ausencia deemociones. Sobre todo, de emociones negativas.Existe una serie de síntomas que indican que unestudiante procede con serenidad. Por ejemplo:

1. Sus movimientos son armoniosos y seguros, nodemuestra impaciencia ni intranquilidad.

2. Sus músculos se encuentran relajados y noevidencian ninguna tensión innecesaria. Noaprietan la mandíbula.

3. Su voz es clara y firme. No se atropella parahablar ni tampoco lo hace demasiadopausadamente.

4. El ritmo de su respiración, los latidos de sucorazón y la sudoración, son las normales. Noaparenta estar agitado.

5. Duerme normalmente, no despierta antes de lahora habitual y cuando se levanta no reflejasignos de cansancio.

Pero ten cuidado de llamar serenidad a lo queno es: la preocupación y la indiferencia sondefectos y a veces hay jóvenes que en vez deocuparse en corregir lo negativo que hay en ellos,encuentran más cómodo rebautizar el vicio con elnombre de una virtud.

Variables y constantes

El valor de la velocidad de la luzsiempre es el mismo: aproxi-

madamente 300 000 km porsegundo, o sea, que esuna constante. En cam-bio, el valor de la veloci-dad de un automóvilcambia con el tiempo,

aumenta o disminuyesegún la aceleración quelleve, es decir es unavariable.

En consecuencia, se define como constantes a lascantidades cuyos valores no se modifican. Por otraparte, se denominan variables aquellas cantidades cuyovalor puede cambiar en el tiempo y en el espacio. Pararepresentar las constantes se utilizan las primeras letrasdel abecedario: a, b, c, d; mientras que para lasvariables se emplean la últimas: x, y, z.

Normalmente, los distintos valores que toma unavariable dependen de los de otra variable, denominadavariable independiente. Por ejemplo, el tiempo quedemora un automóvil en recorrer una distancia esfunción de su velocidad. La velocidad es la variableindependiente, mientras que el tiempo es la variabledependiente o función.

Este tipo de funciones se llama funciones empíricas,ya que sus valores se calculan por la simple observación.

La relación de dependencia entre las variables puedeestar determinada por operaciones matemáticas; enese caso la función se llama analítica.

La manera de simbolizar una función es: y = f(x)(se lee "y igual a f de x"), es decir “y” es función deotra variable “x”:

y = 5x - 4f(x) = 5x - 4

Los valores de la variable dependiente “y”, dependende los que toma “x”, si:

x = 2y = 5 . 2 - 4 = 10 - 4 = 6

La importancia de las notaciones

La utlización y escogencia de símbolos para denotarconceptos o procesos matemáticos ha resultado demucha importancia. Antes del siglo XVI el único hombreque introdujo conscientemente el simbolismo para elÁlgebra fue Diofanto (alrededor del 250 d.C.). Otroscambios de notación fueron esencialmenteabreviaciones de palabras. Alrededor del siglo XV, porejemplo, se usaba "m" para menos y "p" para más. “+”y “-” se supone fueron introducidos por los alemanesen ese mismo siglo. El “=” fue introducido por el inglésRobert Recorde (1510 - 1550). Viète usó “~” para laigualdad, y Descartes usó “u” para ésta misma.Descartes usó para la raíz cuadrada.

Para que se tenga una idea de la importancia de lanotación, mencionemos que el matemático italianoJerónimo Cardano en su libro Ars Magna (1545)escribía "x2 = 4x + 32" como "quadratu aeqtur 4 rebusp: 32"

Fue el francés Viète quien realizó cambios decisivosen el uso de símbolos en el Álgebra. Fue el primero enusar sistemáticamente letras para las variables opotencias de la variable, y también las usaba comocoeficientes.

Otro ejemplo para que se perciba que todas lasdimensiones de las mateméticas son históricas,elaboradas por personas de carne y hueso en algúnmomento: la notación “x2” para x . x (tan natural) seestandarizó hasta que la introdujo Gauss en el sigloXIX.

Tren experimental quelogra velocidades increibles

CIENCIAS - PAMER1

AÑO

Potenciación II

Capítulo V

"Las leyes de la naturaleza estánescritas en matemáticas".

Johannes KeplerMatemático alemán del siglo XVII

... y aquí una historia ...

El fin del mundo

Cuenta una leyenda que en un templo de religión hindú, ubicado en la ciudad de Benares (India), se apareció eldios BRAHMA ante el sacerdote mayor y le encomendó una tarea, que aunque parecía insignificante, "podría indicarla fecha del fin del mundo".

Esta tarea, estaba basada en tres barras (como en el gráfico) y tres discos. Los discos insertados en la barra dela izquierda deberían ser trasladados a la barra derecha. Algo fácil ... ¿no creen?

Sin embargo, aquí está el detalle indicado por el dios Brahma:

"La tarea será cumplida siguiendo estas tres reglas:

· Los discos pueden ser trasladados uno a uno.

· Se prohíbe colocar un disco grande sobre otro pequeño.

· Los discos pueden ser colocados provisionalmente en la barra intermediapero respetendo las reglas anteriores".

Y aunque el sacerdote tuvo que pensar durante varias horas obtuvo elresultado de la siguiente manera:

Inicio de la tarea 1 movimientoer 2 movimientodo

3 movimientoer 4 movimientoto 5 movimientoto

6 movimientoto 7 movimientomo

Este es el resultado,observa cuantosmovimientos serealizaron.

Pasó un año desde su aparición y el dios Brahma reapareció ante el sacerdote y le dijo:

"Llegó el momento, la tarea de hoy podrá determinar la fecha del fin del mundo".

El sacerdote asustado por tal anuncio, pero manteniendo la fe en su dios, aceptó el reto y de pronto aparecieronfrente al altar tres barras y 64 discos dispuestos de manera similar al anterior caso.

"Cuando estos 64 discos sean trasladados totalmente al lado derecho, el fin del mundo ... habrá llegado" dijoBrahma, y el sacerdote dio inicio a su trabajo de inmediato.

Pasaron siglos y siglos, pero hasta ahora la tarea no ha sido culminada.

¿Sabes qué es lo curioso de esta tarea? ... pues que para poder trasladar los 64 discos serían necesarios unos¡¡¡500 mil millones de años ... !!!

¿Y por qué tanto tiempo?... quizás sea una pregunta tuya. Pues presta atención al siguiente cuadro:

¡¡ Lo notaste!! ... se necesitan 18 446 ... movimientos, y sacando cuentas, si consideramos realizar un movimientoen 1 segundo, entonces en una hora se pueden hacer 3 600 traslados; en un día cerca a 100 mil; en diez días, unmillón, etc. Por este motivo "el fin del mundo" está muy lejano aún.

Nota: Esa inmensa cantidad de movimientos, puede ser escrita de otro manera:

18 446 744 073 709 551 615 = 264 -1

¿Te atreves a comprobarlo?

disco

Número de discos en lasbarras

1234...

64

Número de movimientospara el traslado

13715...

18 446 744 073 709 551 615

movimiento

Marco teórico

En el capítulo anterior se dio la definición de "POTENCIA"y de manera intuitiva la definición de exponente "NATURAL".

Ahora definiremos al resultado obtenido mediante unexponente "RACIONAL".

Exponente racional

Se define:

n mnm

aa ; m, n lN, a lR

Ejemplos:

· 422216 224

4

· 555625 44

4 44

· 333381 21

84

8 48

Propiedades

1) nnn b.ab.a

2) n

nn

ba

ba

Ejemplos:

· 4559258125810252

· 32

3

232

278

3 3

3 33

3

33

Bloque I


a) 1916 = b) 3 64125 =

c)3649 = d)

1681 =

e) 3 2115 b.a = f) 5m10

m5

ba =

2. Calcular:

3278

91

a) 32

b) 1 c) 3

d) 2 e) 31

3. Calcular:

431681

8125

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

4. Efectuar:

3 274925

a) 1 b) 2 c) 5d) 7 e) 4

5. Calcular:

1080

120

22

a) 4 b) 16 c) 28d) 240 e) 216

6. Efectuar:

43281

49

258 543

a) 21

b) 1 c) 3

d) 23

e) 25


51998

2003

77

a) 5 7 b) 75 c) 1

d) 7 e) 7


8. Reducir:

4321 2345

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

9. Calcular:

221 532

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

10.Calcular:

222 267

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Bloque II

1. Calcular:

34 421

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

2. Efectuar:

34 413

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

3. Calcular:

2000

2001

2001

2002

22

22

a) 2 b) 2 000 c) 4d) 2 001 e) 2 002

4. Calcular:

22025 15432

a) 4 b) 6 c) 8d) 9 e) 10

5. Reducir:

332 243

a) 4 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

6. Reducir: 234 631

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

7. Calcular:

16

16

13

15

15

17

66

55

77

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

8. Calcular el valor de:

42

44

31

33

44

33

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

9. Sabiendo que:

1512

274

3316J

hallar: 1J

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10.Si:

424

428

795

797

22

33A

B 3245 3232

hallar "A + B"

a) 5 b) 17 c) 13d) 30 e) 12

Bloque III

1. Si: 3 64 =2x

hallar "x + 7"

a) 2 b) 9 c) 3d) 10 e) 5

2. Si: 23b

a14

55;93

hallar: ba

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Calcular: 20100

140

5

5

a) 25 b) 5 c) 125d) 1 e) 55

4. Hallar el valor de: 578120

79120

9

9

a) 31 b) 32 c) 33

d) 34 e) 35

5. Calcular el valor de “J + S”, sabiendo que:

J = 509

513

710

712

2

2

3

3 ; S = 125

129

2

2

a) 16 b) 21 c) 25d) 30 e) 1

6. Hallar el valor de: 2223 2572

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

7. Hallar el valor de:3 23333 54321

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Si: 5 32 = 2x - 4 ; hallar: 4x .

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

9. Efectuar: 3278

169

a)1713

b)1712

c)1217

d)74

e)57

10.Hallar “x”, siendo: 32x = 83

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

1. Indicar V (verdadero) o F (falso) según sea el caso:

I. 2222 4343

II. ba

ba

m2

m2

III.m nn

m

aa

a) V F F b) F V V c) F F Vd) V V V e) F F F

2. Calcular:

520781

20791

77

a) 10 b) 7 c) 75

d) 49 e) 343


22 1213

a) 5 b) 25 c) 3d) 13 e) 1

4. Calcular el valor de: 5n , si se sabe que: 216n

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Hallar:

233257 3421

a) 2 b) 4 c) 8d) 5 e) 9


... Y aquí algunas cosas sobre el número:

· es igual a 3,1416. Bueno más o menos, por que en realidad tiene cientosde decimales.

Aquí lo tienes con los cien primeros:

= 3, 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 ... y sigue ...

· David y Grégory Chudnovsky, matemáticos de la Universidad de Columbia,han logrado obtener una aproximación con ¡¡ 1 011 196 691 cifras decimales!!.Para ello, usaron dos super computadoras a las que tuvieron horas y horashaciendo los cálculos.

La tolerancia

La tolerancia es la expresión más clara del respeto por los demás, y, como tal, es un valor fundamentalpara convivencia pacífica entre las personas. Tiene que ver con el reconocimiento de los otros comoseres humanos, con derecho a ser aceptados en su individualidad y su diferencia. El que es tolerantesabe que, si alguien es de una raza diferente de la suya o proviene de otro país, otra cultura, otra clasesocial o piensa distinto de él, no por ello es su rival o su enemigo.

Cuando se presentan conflictos, las personas tolerantes no acuden a la violencia para solucionarlos,porque saben que la violencia sólo engendra más violencia. Prefieren dialogar con sus opositores ybuscar puntos de acuerdo. Sin embargo, debemos ser tolerantes pero no pasivos. Hay situacionesfrente a las cuales nuestro deber, lejos de quedarnos callados, es protestar con energía.

Para ser tolerantes...

• Pongámonos en el lugar de los otros para tratar de entender sus problemas y su manera de actuar.• Escuchemos si interrumpir y demos a los demás la oportunidad de expresarse.• Veamos en la diversidad de razas y culturas una señal de la riqueza y amplitud del mundo, en lugar

de motivos de desconfianza.

La intolerancia

Las personas intolerantes, caracterizadas por querer imponer su voluntad a toda costa, ignoranpor completo a los demás y reaccionan con agresividad y violencia frente a quienes se les oponen. Estemodo de ser es el causante de la mayoría de las guerras que han sembrado la muerte y la destrucciónen países y continentes enteros. Las guerras religiosas que enfrentaron a católicos y protestantes afinales de la Edad Media en Europa, el exterminio de los judíos por parte de los nazis durante laSegunda Guerra Mundial y más recientemente el de los croatas por parte de los serbios en la antiguaYugoslavia son algunos de los muchos ejemplos de los crímenes a que puede llevar la intoleranciareligiosa, étnica o política.

La intolerancia se manifiesta en la discriminación a la que unos seres humanos son sometidos porotros que los consideran distintos, inferiores o como una amenaza contra lo establecido.

Obstáculos para la tolerancia

• Las verdades absolutas, que no permiten ver que el conocimiento humano siempre se renueva, quelas costumbres cambian y las modas son pasajeras.

• La incapacidad de comprender que existen miles de formas de vivir, de expresarse, de actuar y deser.

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AÑO

Potenciación III

Capítulo VI

"El avance y perfeccionamiento de lasmatemáticas están estrechamente

relacionados con la prosperidad de la nación".

Napoleón BonaparteEmperador francés

Bloque I

1. Calcular:

430 242

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 7

2. Calcular:

332 239

a) 10 b) 8 c) 6d) 4 e) 2

3. Calcular:

223 542

a) 9 b) 7 c) 5d) 3 e) 10

4. Determinar el exponente final de "x":

2010

108642

x.x x. x. x. x.x

; x =/ 0

a) 1 b) -1 c) 0d) 5 e) 2

5. Cuál será el exponente de "x" al reducir:

] x. x. x.x[] x..... x. x. x.x[ 4444

factores83

; x =/ 0

a) 60 b) 16 c) 32d) 22 e) 42

6. Reducir:

x8

x9

x

x3

aa

aa

; a =/ 0

a) a2x b) ax c) a-x

d) a-2x e) 1

7. Simplificar:

113

115

22

25

275

277

66

33

22

a) 16 b) 8 c) -8d) -6 e) -5

8. Calcular:

68

87

34

55

33

33

a) 2 b) 27 c) 9d) 81 e) 1


9. Si se cumple que:

3n3612

40115x

x.x x.. xx ; x =/ 0

entonces "n - 10" será igual a:

a) 5 b) 8 c) -8d) -5 e) 12

10.Si el exponente de "x", al reducir:

"2n"es x.x

x.. xx10563

947815; x =/ 0

entonces el valor de "n" es:

a) 2 b) 5 c) 10d) 6 e) 12

Bloque II

1. La edad de Claudia es el cuadrado de 7 disminuido enel cubo de tres; señalar su edad.

a) 21 años b) 22 c) 23d) 24 e) 25

2. La edad de Carlos es el cuadrado de siete disminuidoen la cuarta potencia de 2. Indicar la edad de Carlosdentro de dos años.

a) 32 años b) 33 c) 34d) 35 e) 36

3. ¿Cuál es la edad de una tortuga sabiendo que es igualal cuadrado de cinco, aumentando en la quinta potenciade 2?

a) 52 años b) 55 c) 57d) 62 e) 67

4. La edad de Pepucho es igual a la sexta potencia de 2,disminuida en el cuadrado de seis. ¿Qué edad tendrádentro de dos años?

a) 15 años b) 20 c) 25d) 30 e) 35

5. Calcular el valor de:

361

41

a) 21

b) 61

c) 32

d) 65

e) 31

6. Calcular:

9.4964.16

a) 23 b) 53 c) 41d) 37 e) 62

7. Calcular:

3 6425

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Calcular:

1694

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Calcular:

3 1258149

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

10.Calcular:

33 12516849

a) 2 b) 4 c) 5d) 6 e) 8

Bloque III

1. Hallar "a + b", si se sabe que:

x . x2 . x3 . x4 . x5 = xa

x2 . x4 . x6 ... xb = x42

a) 27 b) 42 c) 15d) 47 e) 32

2. Sabiendo que:

x . x2 . x3 ... xm = x28

entonces el valor de "m" es:

a) 1 b) 7 c) 6d) 4 e) 5

3. Efectuar: 363 1256427

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

4. Si: x2 . x4 . x6 . x8 = xn + 7 ; hallar:4 3n

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

5. Si: 2x + 5 = 64 ; hallar “x”.

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

6. Si: 4m = 16 ; 23n + 2 = 32 ; hallar “m + n”.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Hallar “2a”, sabiendo que: 2 . 4 . 8 = 2a - 2.

a) 8 b) 16 c) 32d) 64 e) 7

8. María Elizabeth tiene tantos años como el cuadrado de7, aumentado en el cubo de 2, disminuido en el cuadradode 5. ¿Cuántos años tiene?

a) 50 b) 27 c) 25d) 32 e) 47

9. Daysi es una alumna cuya nota en Álgebra es equivalenteal cuadrado de 6 disminuido en el cuadrado de 4.¿Cuánto de nota tiene?

a) 15 b) 10 c) 18d) 14 e) 20

10.Mi gato tiene muchas pulgas. Las conté y obtuve unnúmero equivalente al cuadrado de 5 aumentado en elcubo de 4 disminuido en el cuadrado de 3. ¿Cuántaspulgas tiene mi gato?

a) 40 b) 80 c) 48d) 64 e) 50

1. Calcular:

4 83 64 543

a) 36 b) 40 c) 45d) 50 e) 64

2. Graciela tiene tantos caramelos como suman la raízcuadrada de 16, más la raíz cúbica de 64. Señalarcuántos caramelos tiene Graciela.

a) 6 b) 8 d) 10d) 12 e) 16

3. Calcular:3 881

a) 9 b) 10 c) 11d) 12 e) 13

4. Reducir:

314

315

713

715

55

22

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Sabiendo que:

x . x2 . x3 ... xn = x21

hallar "n"

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6


Arquímedes: ¡¡Eureka!! ... ¡¡Eureka!!

Eso es lo que dicen que gritó un díael sabio Arquímedes mientras daba saltosdesnudo en la bañera. No era para menos.Acababa de tener una idea genial, que leayudaría (a él y a todos nosotros después) amedir el volumen de los cuerpos porirregulares que fueran sus formas.

Medir volúmenes de cuerposregulares (un cubo, por ejemplo) era algoque ya se sabía hacer en la época deArquímedes, tres siglos antes de Cristo.Pero con volúmenes de formas irregulares(una corona, una joya, el cuerpo humano)nadie lo había conseguido.

Hasta que Arquímedes se dio cuentade que cuando entraba en una bañera llenade agua hasta el mismo tope, se derramabauna cantidad de agua. Y tuvo la idea: si

Mategalería de sabios

Arquímedes realizógrandes contribuciones

a la matemáticateórica. Además, es

famoso por aplicar laciencia a la vida diaria.

podía medir el volumen del agua derramadahabría hallado el volumen de su propiocuerpo.

Arquímedes nació en Siracusa, unacolonia griega en Italia, aproximadamentea inicios del siglo III a.C. y murió el año212.a.C. al ser tomada su ciudad por tropasromanas.

UN POCO DE ÁLGEBRA

¿Sabías que el Álgebra que se estudia en secundaria esmuy antigua?

Aquí encontrarás algunos pasajes de su historia.

Desde el siglo XVII a.C. los matemáticos de Mesopotamiay de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primer ysegundo grado. Además resolvían también, algunossistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dosincógnitas.

En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un álgebramuy elemental que usaron para resolver problemascotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres,de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían unmétodo para resolver ecuaciones de primer grado que sellamaba el "método de la falsa posición". No tenían notaciónsimbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decirmontón o pila) para designar la incógnita.

Alrededor del siglo I d.C. los matemáticos chinos escribieronel libro Jiu zhang suan shu (que significa El arte del cálculo),en el que plantearon diversos métodos para resolverecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemasde dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suanzí) tenían la posibilidad de representar números positivos ynegativos.

En el siglo II, el matemático griego Nicómaco de Gerasapublicó su Introducción a la Aritmética y en ella expusovarias reglas para el buen uso de los números.

En el siglo III el matemático griego Diofanto de Alejandríapublicó su Aritmética en la cual, por primera vez en lahistoria de las matemáticas griegas, se trataron de unaforma rigurosa no sólo las ecuaciones de primer grado,sino también las de segundo. Introdujo un simbolismoalgebraico muy elemental al designar la incógnita con unsigno que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos,que significa número. Los problemas de álgebra que propusoprepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería "lateoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de sunotación simbólica y de lo poco elegantes que eran losmétodos que usaba, se le puede considerar como uno delos precursores del álgebra moderna.

En el siglo VII los hindúes habían desarrollado ya las reglasalgebraicas fundamentales para manejar números positivosy negativos.

Siglo IX. Época en la que trabajó el matemático yastrónomo musulmán Al-Jwarizmi, cuyas obras fueronfundamentales para el conocimiento y el desarrollo delálgebra. Al-Jwarizmi investigó y escribió acerca de losnúmeros, de los métodos de cálculo y de los procedimientosalgebraicos para resolver ecuaciones y sistemas deecuaciones. Su nombre latinizado dio origen a la palabraalgoritmo que, usaba primero para referirse a los métodosde cálculos numéricos en oposición a los métodos de cálculocon ábaco, adquirió finalmente su sentido actual de

procedimiento sistemático de cálculo. En cuánto a la palabraálgebra, deriva del título de su obra más importante, quepresenta las reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr walmuqabala.

En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil,quien continuó los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avancesen el álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por elmatemático italiano Fibonacci.

Durante este mismo siglo, el matemático musulmánAbul Wafa al Bujzani, hizo comentarios sobre los trabajosde Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeosconocieron la Arithmetica de Diofanto.

1202. Después de viajar al norte de África y a Oriente,donde aprendió el manejo del sistema de numeraciónindoarábigo, Leonardo de Pisa, mejor conocido comoFibonacci, publicó el Lider Abaci (Tratado del Ábaco) obraque en los siguientes tres siglos fue la fuente principalpara todos aquellos estudiosos de la aritmética y elálgebra.

En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquetintrodujo en Europa occidental el uso de los númerosnegativos, introdujo además una notación exponencial muyparecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizanindistintamente exponentes positivos o negativos.

En 1489 el matemático alemán Johann Widmann d'Egerinventó los símbolos "+" y "-" para sustituir las letras "p" y"m" que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más)y minus (menos) que se utilizaban para expresar la suma yla resta.

En 1525, el matemático alemán Christoph Rudolffintrodujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoyen día: Este símbolo era una forma estilizada de la letra "r"de radical o raíz.

Entre 1545 y 1560, lo matemáticos italianos GirolamoCardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de que el usode los números imaginarios era indispensable para poderresolver todas las ecuaciones de segundo, tercer y cuartogrado.

En 1557 el matemático inglés Robert Recorde inventóel símbolo de la igualdad, =.

En 1591 el matemático francés Francois Viète desarrollóuna notación algebraica muy cómoda, representa lasincógnitas con vocales y las constantes con consonantes.

En 1637 el matemático francés René Descartes fusionóla Geometría y el Álgebra inventando la "Geometríaanalítica". Inventó la notación algebraica moderna, en lacual las constantes están representadas por las primerasletras del alfabeto, a, b, c, ... y las variables o incógnitaspor las últimas, x, y, z. Introdujo también la notaciónexponencial que usamos hoy en día.

CIENCIAS - PAMER1

AÑO

Operaciones combinadas

Capítulo VII

"El número es la esenciade la naturaleza".

PitágorasFilósofo y matemático griego

En este tema, tendremos en consideración la"JERARQUÍA DE OPERACIONES", es decir, el orden deresolución para cada operación planteada.

Así por ejemplo, si queremos resolver lo siguiente:

E = -3 + 7 x 2 - 32 + 2 x 5 - 21 7

Tenemos que hacerlo siguiendo un orden:

Primero Se afectúan las potencias y/o raíces.

Segundo Se efectúan las multiplicaciones y divisiones.

Tercero Se efectúan las adiciones y sustracciones.

El resultado final será: E = 9

Ah!! ... y además hay que considerar los signos decolección:

(;) Paréntesis [;] Corchetes {;} Llaves

Así, el orden sugerido para efectuar operacionescombinadas es:

1ro: Signos de colección: (;), [;], {;}

2do: Potencias y raíces: (...)n; n ...

3ro: Multiplicación y división: ; 4to: Adición y sustracción: ;

Ahora sí, empecemos a resolver ejercicios !!

Bloque I

1. Calcular:a) 2 . 3 + 4 . 5b) 3 . 5 - 2 . 7c) 7 . 3 - 9 . 5


a) 30 5 + 246b) 12 . 3 - 20 5c) 7 . 5 + 21 3

3. Reducir en cada caso:

a) 18x - 16x + 14x - 12xb) x . x3 . x4 + x2 . x3 . x3 + x . x7

c) x7 x3 + x6 x2

d) x3 . x2 + x4. x + x6 x

4. Efectuar:

6a - 5b + 4a - 3b - 9a + 11b

a) a + 2b b) a + 3b c) 2a + 2bd) a + b e) 3a - b

5. Reducir:

a - 4b + 9a - 16b + 25b - 36a +3b

a) 12b - 30a b) -26a + 8bc) -13a + 12b d) -13a - 12be) -26a - 12b


6. Calcular:

sumandos20

sumandos60

2...22232...

32

32

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Reducir:

sumandos40

sumandos30

3...3336...

36

36

a) 1 b) 2 c) 1,5d) 2,5 e) 0,5

8. Calcular:

023 2222E

a) 1 b) 0 c) 2d) 4 e) 3

9. Calcular:

41

31

43

34

a) 21

b) 31

c) 41

d) 51

e) 5

10.Calcular:

51

41

54

45

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Bloque II


a) 14a2b 2abb) 63m2n3 9mn2

c) 144x9 y5 9x5 y3

2. Reducir: 10a5 2a3 + 80a3 16a - 12a4 3a2 ;a=0

a) 6a2 b) 5a2 c) 4a2

d) 3a2 e) 2a2

3. Efectuar:

10 - 9 + 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 + 2 - 1

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

4. Efectuar:

].aa.a.[a]a.....a.a[ 4321

veces30

a) a10 b) a15 c) a20

d) a25 e) a30

5. Calcular:

sumandos200

2...222

a) 10 b) 15 c) 20d) 25 e) 30

6. Efectuar:

5 54 43 32 6543

a) 18 b) 16 c) 14d) 12 e) 10

7. Calcular:33 6464836

a) 3 b) 6 c) 9d) 5 e) 11

8. Calcular:33 1251002781

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Reducir: 4222

3a.a

a.a.aa.a.a ;a=0

a) a b) 2a c) 3ad) 4a e) 4a

10.Calcular el valor de “A + B”, si:

A = 3 222 a.a.a ; B = 5222

101010

a...a.a

a.a.a

10 veces

;a=0

a) a2 b) 2a2 c) 3a2

d) 4a2 e) 5a2

Bloque III

1. Calcular:


)8...88()11...1111(

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Reducir:

sumandos112 veces121

222222 )m...mm()m...mm(

a) 2m b) 3m c) 4md) 5m e) 6m

3. Reducir:

(a + a + a + a)3 (13a - 5a)2

a) a2 b) a c) 4a2

d) 2a2 e) a3

4. Calcular:

222 a7)a18a81( ;a=0

a) 3a b) 4a c) 3d) 4 e) 5

5. Efectuar: n35n3

2n7n25n3

x.x

x.x.x

; x = 0

a) x2 b) x3 c) x4

d) x5 e) x6

6. Reducir: 3388242

10915

a.b.c.a.c.b.a

cba; a=0, b=0, c=0

a) abc b) a2b2 c) ad) ab e) 1

7. Hallar el valor de:169

12516.64 343

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. Efectuar:6365544332

5432

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

9. Efectuar:2

7023

52

73

25

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10.Hallar el exponente final de “x” al reducir:

veces2n

10n10n10n10n

veces9n

3n3n3n3n

x...x.x.x

x...x.x.x

; x = 0

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

... Y aquí un reto ...

Usando una hoja de papel y una tijera, cortarun agujero dentro de la hoja, pero que sea másgrande que la hoja ...

... ¿ imposible ? ...

... inténtalo, y verás que sí es posible.

1. Efectuar:2(5x - 3) - 3(3x - 2)

a) x b) 6 c) 12d) x - 6 e) x + 12

2. Reducir:

a5a

1a3a7a

x.x x. x.x

; x = 0

a) xa+1 b) xa c) ad) 1 e) x3a+5

3. Determinar el exponente final de "x" al efectuar:

8642

97531

x..x x.xx. x. x. x.x

; x = 0

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Calcular:

201

54

45

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Calcular:

33

433

648164927125

a) 4 b) 3 c) 1d) 2 e) 5


Federico Villarreal

Federico Villarreal nació el 3 de agosto de 1850 enTúcume, departamento de Lambayeque (Perú) (Eldepartamento de Lambayeque tiene como capitaldepartamental a la ciudad de Lambayeque)

A los 14 años fue cajero en una empresa despepitadorade algodón, pero no dejó de lado sus estudios que lollevarían hacer profesor y así fue: a los 20 años obtuvo elt í tulo de preceptor otorgado por la comisióndepartamental de Instrucción pública de Trujillo el cual lepermitió dirigir la escuela oficial de Túcume de 1870 a1874 y entre 1875 y 1876 dirigió un colegio de instrucciónmedia en la ciudad de Lambayeque, enseñó allíMatemáticas y ocupó en él el cargo de vicerrector. Entre1876 y 1877 tuvo bajo su cargo una escuela primaria enLambayeque.

La experiencia de Villarreal como maestro elementalseñaló sólo una primera etapa. Su vocación de matemáticobullía desbordando su enseñanza humilde.

Ya en 1873 cuando contaba con tan sólo 23 añosdescubrió un método para elevar un polinomio cualquieraa una potencia cualquiera.

Entre 1877 y 1880 estudió en la sección de cienciasmatemáticas de la facultad de Ciencias de la UniversidadNacional Mayor de San Marcos (UNMSM) graduándose comobachiller en 1879 con la tesis: "Fórmulas y métodos quedeben completarse en matemáticas puras" y comolicenciado con la tesis. "Efectos de la Refracción sobre elDisco de los Astros" (1880).

En 1881 se graduó de doctor en ciencias matemáticasmediante la tesis: "Clasificación de Curvas de Tercer Grado"destacando por su originalidad y conclusiones lo cual lemereció a Villarreal la medalla de oro, otorgada por laFacultad de Ciencias al primer doctor de su época, quien ala vez, se constituye en el primer matemático profesionaldel siglo XX en el Perú.

Su labor docente universitaria la inicia como profesoradjunto en la Facultad de Ciencias de la UNMSM en 1880,donde dictó su primer curso: Astronomía, luego en esamisma casa de estudio se encarga de los cursos: Revisiónde Matemáticas, Mecánica Racional, Geodesia y TeoríaGeneral de Motores y Máquinas.

Por su gran prestigio y sus dotes profesionales eintelectuales, llegaría a ser decano de la facultad de Cienciasen dos oportunidades: de 1903 a 1917 y luego de 1919 a1923. Siguió estudios en la Escuela nacional de Ingenierosdesde 1882 hasta graduarse de ingeniero civil y de minasen 1886. En este centro docente enseñó los cursos deFísica, Cálculo infinitesimal, Teoría de caminos, Puentes yferrocarriles, Topografía y luego los cursos de Resistenciade Materiales e Hidráulica. El Dr. Federico Villarreal falleceen Barranco (Lima) el 3 de enero de 1923.

En matemáticas sus principales trabajos fueron:

1. "Elevación de polinomios a una potencia cualquiera"(1879)

2. "Clasificación de las curvas de tercer grado" (tesisdoctoral de 1881). En este trabajo Villarreal logra obtenery clasificar matemáticamente 80 curvas de tercer grado.

3. "Aportes a la teoría de los números" (1897) La teoríade los números atrajo siempre la atención de Villarrealtal es así que le dedicó numerosos artículos. Entre ellosse destacan dos teoremas referentes a criterios dedivisibilidad que el descubrió:

* La diferencia de dos números que son representadospor las mismas cifras en dos sistemas de numeraciónde bases diferentes es divisible por la diferencia delas bases.

* Un número es divisible por un cierto divisor si lo es lasuma de sus cifras cuando se le escribe en el sistemade numeración cuya base es el divisor aumentadoen la unidad; o bien si lo es la suma de sus cifras delugar par menos la suma de las de lugar impar cuandose le escribe en el sistema de numeración cuya basees el divisor disminuido en la unidad.

4. Geometría no Euclídeana" (1898)Este trabajo fue presentado por Villarreal en el PrimerCongreso Científico Latinoamericano realizado en BuenosAires (Argentina) en 1898. Aquí describe losfundamentos de las geometrías de Lobatschewsky yRiemann.

5. "Poliedros Regulares y semirregulares" (1906-1907)Esta obra contiene una exposición histórica y el cálculode volúmenes de los poliedros regulares y semiregularesempleando los principios de la trigonometría esférica.

6. "Integración por Traspasos" (1920)Trabajo que apareciópor primera vez como parte de sus tesis de bachiller en1879 en que valiéndose del método de integración porpartes obtiene una fórmula que generaliza la llamadafórmula de integración de Bernouilli.

7. "Resolución general de lasecuaciones de quinto grado"Estudio critico de un métodopropuesto por Wronski hace eneste trabajo el empleo de unafunción que llama "función Shin"que corresponde a los actualesdeterminantes, explica loserrores de Wronski y concluyecon la imposibilidad de la soluciónalgebraica de las citadasecuaciones.

CIENCIAS - PAMER1

AÑO

Repaso

Capítulo VIII

Bloque I

1. Reducir:

7x + 9x + 11x - 13x + 15x - 17x

a) 10x b) 11x c) 12xd) 13x e) 14x

2. Efectuar:

3(5x + 2x) - 4(6x + 3x) + 5(7x + 4x)

a) 10x b) 20x c) 30xd) 40x e) 50x

3. Efectuar:

sumandos200

a45...a

45a

45

a) 50a b) 100a c) 150ad) 200a e) 250a

4. Calcular:

sumandos124

2...222

a) 124 b) 248 c) 369d) 482 e) 242

5. Reducir:


)6...66()3...33(

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Calcular:

2323 551010

a) 20 b) 30 c) 40d) 50 e) 60

7. Efectuar:

factores20

333

veces80

) x..... x.(x x)..... x.(x ; x = 0

a) x10 b) x20 c) x30

d) x40 e) x50

8. Efectuar:

veces9sumandos9

999 x)..... x. x.(x) x... x(x ; x = 0

a) 9x b) 9x9 c) 9d) 3x3 e) 3

¿Cuándo saldrá de la cárcel?

Un hombre entró en la cárcel para cumplir una condena. Para que su castigo fuera más duro no ledijeron cuanto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente, y elpreso le había caído bien.

Preso: Vamos, ¿no puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en estelugar?Carcelero: ¿Cuántos años tienes?Preso: VeinticincoCarcelero: Yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste?Preso: Hoy es mi cumpleaños.Carcelero: Increíble. ¡También es el mío!. Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba,pero lo haré) que el día que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás.

¿Cuánto tiempo dura la condena del preso?


9. Efectuar:

veces44sumandos49

444444 ) x..... x.x()x...xx( ; x = 0

a) 7x7 b) 4x c) 49x11

d) 7 e) 7x22

10.Calcular:


222222 ) x... xx()x...xx(

a) 3 b) 3x c) 9xd) 9x2 e) 9

11.Calcular:

)55()1010( 2323

a) 2 b) 3 c) 90d) 9 e) 12

12.Calcular:

2

23

255

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 6

Bloque II

1. Reducir:

x + 2x + 3x + 5x + 8x + 13x - 31x

a) x b) 2x c) -xd) -2x e) 3x

2. Indicar el exponente final al efectuar:

12n5n

72n3n2n

x.x x. x.x

; x = 0

a) n b) n-1 c) n+1d) 2n e) 2n-1

3. Efectuar:

3x9 x5 - 2x2 . x2 + 6x6 x2

a) 7x2 b) 7 c) 7x4

d) 7x6 e) 7x8

4. Efectuar:

a) 4 8x =

b) 3 60x =

c) 64x =

d) 3 18x =

5. Calcular en cada caso:

a) 366 =

b) 642 =

c) 3 82 =

d) 3 2727 =


a) 4a9 =

b) 22ba49 =

c) 42yx81 =

d) 3 96nx8 =

7. Calcular:


3 333333 )x...xx()x...xx(

a) 3x b) 3 c) 27x3

d) 27x e) 9x

8. Efectuar:

ecesv7ecesv36

333 )x...xx()x...xx( ; x = 0

a) 3x b) 3 c) 9xd) 9 e) 9x2

9. Efectuar:

5 4510

4 3612

ba32

ba81; a = 0, b = 0

a) 3a2 b) 2a2 c) 32

a

d) 23

b e) 23

a

10.Reducir:

10 2040

3 915

nm

nm125; m n lR +

a) mn b) 5m c) 5mn

d) 5n e) nm

Godofredo García

Godofredo García(1888 - 1970) fue alumnopredilecto del sabiomatemático FedericoVillarreal y, durante sudecanato en la Facultad deCiencias de esta uni-versidad, gestionó e hizoposible la incorporacióncomo catedrático del granmatemático polaco AlfredRossemblatt.

La calle Pobres del jirón Lampa, en Lima, fue testigodel nacimiento de Godofredo García Díaz, el ocho denoviembre de 1888. En los primeros años de este sigloingresó a San Marcos, donde alcanzó los grados deBachiller y Doctor en Ciencias Matemáticas

Su vínculo con San Marcos se inicia con la docencia,para dedicarse posteriormente a la investigacióncientífica, actividad que profundizó hasta su fallecimientoocurrido en julio de 1970.

"Fue un magnífico profesor, tuve la suerte de ser sualumno en la Escuela de Ingeniería y en la Facultad deCiencias de San Marcos; ahí pude apreciar suscondiciones de profesor y maestro. Contribuyó en laformación académica de un grupo de jóvenes que handestacado en la vida científica del país, como José Tola,Enrique Heredia, Rafael Dávila, entre otros", escribiósobre García en un diario local Mario Samamé Boggio,uno de sus discípulos.

Su preocupación permanente por la educación lo llevóa trabajar al lado del presidente Augusto B. Leguía;producto de este acercamiento fue la redacción y puestaen ejecución del Estatuto Universitario de 1928, el cualdio ingreso a brillantes jóvenes profesores, a lasfacultades de Letras y Ciencias, como Jorge Basadre,Luis Alberto Sánchez, Raúl Porras Barrenechea y Jorge

Guillermo Leguía. En 1947 obtuvo el Premio Nacionalpor las investigaciones científicas que realizó en elmundo de las ciencias matemáticas y por sus ecuacionesy soluciones exactas del movimiento y de las tensionesde los fluidos viscosos. Su amplia labor de investigaciónfue resaltada y publicada fundamentalmente en laRevista de Ciencias, órgano de la Facultad de Cienciasde San Marcos, la cual fundó Federico Villarreal. Si bienGarcía dejó como herencia numerosos libros, "Leccionesde Mecánica Racional" es considerada como su obraprincipal. Su trabajo científico traspasó las fronterasdel país. Varias academias y sociedades científicas deSudamérica y del mundo lo incorporaron en su seno ypublicaron sus trabajos, entre ellas la Real Academiade Ciencias de Madrid y The American PhilosophicalSociety de Filadelphia.

Vida y trayectoria

En San Marcos experimentó los años más fecundosde su actividad científica y académica; primero comoJefe de Práctica, luego Catedrático Adjunto, CatedráticoPrincipal, Decano, Vicerrector y Rector Honorario de laDecana de América. Al final de su rectorado en SanMarcos, el Gobierno lo designó Embajador Científicoante los gobiernos de Estados Unidos y varios paísesde Europa, y en esa condición realizó una extensa peroprolífica gira dictando conferencias sobre diversostópicos o materias de incuestionable trascendenciacientífica. La labor académica y científica de GodofredoGarcía ha sido reconocida reiteradamente. Lasfacultades de Ciencias y Química de San Marcos y lasuniversidades de Arequipa y de La Libertad le otorgarontítulos honorificos. En la década del 30 fundó la AcademiaNacional de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, quepresidió hasta 1960, fecha en que se convirtió en suPresidente Honorario. El gobierno peruano siempremantuvo interés por la vida de este sanmarquino ilustrey lo condecoró así como también lo hicieron Francia yPolonia.

ALGEBRA 1°

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