Álgebra 2grado

8/18/2019 Álgebra 2grado

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Segundo Año ÁLGEBRA

71

• Identificar una potencia de un núm ero.

• D iferenciar las leyes de potenciación.

• R econoce los principales exponentes.

CULPABLE O INOCENTE

En la Edad Media un hombre muy vi ctorioso fue injustamente acusado de haber asesinado a una m ujer. En realidad el

verdadero autor era una persona muy influyente del reino y por eso desde el primer momento se procuró un chivo expiatorio

para encubr ir al culpable.

El hombre fue llevado a juicio ya conociendo que tendría escasa o nula opor tunidad de escapar al terr ible veredicto... ¡la

horca! El juez también complo tado cuidó no obstante de dar todo el aspecto de un juicio j usto por ell o dij o al acusado:

“Conociendo tu fama de hombre justo y devo to del Señor vamos a dejar en manos de él tu destino, vamos a escribir en dos

papeles separados las palabras culpable e inocente. Tú escogerás y serála mano del Dios la que decida tu destino”.

Por su supuesto el mal funcionario había preparado dos papeles con la m isma leyenda culpable y la pobre víctima aún sin

conocer los detalles se daba cuenta que el sistema propuesto era una trampa.

No había escapatoria. El juez conminó al hombre a tomar uno de los papeles doblados. Este respiró profundamente, quedó

en silencio unos cuantos segundos con los ojos cerrados y cuando la sala comenzaba ya a impacientarse abrió los ojos y con

una extraña sonrisa tomó uno de los papeles y l levándo lo a su boca lo engulló rápidamente.

Sorprendidos e ind ignados los presentes le reprocharon airadamente: ¿Pero quéhizo?, ¿y ahora? ¿Cómo vamos a saber el

veredicto”? “Es muy sencillo respondió el hombre. Es cuestión de leer el papel que queda y sabremos lo que decía el que me

tragué”.

Con rezongos y bronca mal d isimu lada debieron l iberar al acusado y j amás volvieron a molestarlo.

En los momentos de crisis sólo la imaginación es más importante que el conocim iento.

Autor desconocido

1

LEYES DE EXPONENTES I

Moraleja: Por m ás difícil o im posible que parezca

una situación nunca dejem os de buscar la salida

ni de luchar hasta el últim o m om ento.

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Primer Bimestre Segundo Año

72

Potenciación

E s aquella o peración m atem ática do nd e, da do s dos

elem entos llam ados base (b ) y exponente (n ) se calcula un

tercer elem ento llam ado potencia (P).

Notación:

:

: exponente,

P : potencia, P

b base, b

n n Pn b

Ejemplos:

• E n 52 32 , la base es 2, el exponente es 5 y la potencia32.

•3x ,x es la base, 3 es el exponente y 3x es una potencia

indicada.

•43 , la base es , el exponente es y

la potencia .

• E n37 , la base es , el exponente es

y la potencia .

• E n62 , la base es , el exponente es

y la potencia .

Leyes de exponentes

Son aquellas definiciones y teorem as que estudian a

los exponentes a través de las operaciones de

potenciación y radicación.

PRINCIPALES EXPONENTES

DEFINICIÓN: EXPONENTE NATURAL

Si n es cualquier entero positivo y x es un núm ero real,

definim os:

; si 1

... ;si 2

n

n veces

x n x

x x x x n

Ejemplos:

• 17 7

• 13 3

• 54 4 4 4 4 4 1024

• 5( 2) ( 2)( 2)( 2)( 2)( 2) 32

•4

( 3) ( 3)( 3)( 3)( 3) 81

•3

1 1 1 1 1

2 2 2 2 8

Ahora Tú

• 15

• 53 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

• 3( 4) ( ) ( ) ( ) =

• 2( 5) ( ) ( ) =

•3

2

3

=

Podem os establecer la siguiente regla de signos para potencia

de base negativa:

n se cum ple n se cum ple

(–) = +b b2 2n n (–) = –b b

2 1 2 1n + n +

4 4( 3) 3 81 3 3( 5) 5 125

D o nde: 2n par

2n + 1 im par

Es im po rtante que en la expresión n ax ; n es el

exponente de x y no de (ax ), al núm ero reala se le

llam a el coeficiente den x . D e la m ism a m anera:

n ax significa ( ) n ax no ( ) n ax .

(I) EXPONENTE CERO

Six es cualquier núm ero real no nulo, definim os:

0 1 ; co n 0x x




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73

Six, y son reales no nulos,n es un entero positivo,

tenem os:

n n y x

y x

Ejemplos:

•

2 23 4 16

4 3 9

•

3 37 5 125

5 7 343

•

331 8 512

8

•

4 42 3 81

3 2 16

N ótese que no hem os definido 0n , esta expresión

no tiene sentido.

0n no existe

• 20

20 veces

a b a b a b a b

•

30

30 veces

– – – –2 2 2 2

x x x x

•

veces

n

n

n n n n n

•

veces

x x

x x

x x x x x

Ejemplos:

•

01

14

• 0( 3 ) 1

• 0

( 5) 1 •

04

13

• 0 05 (5) 1 • 05 1

N ótese que no hem os definido00 , esta expresión

no tiene un significado útil.

00 valor indeterm inado

0 0(5 2 7) 0 (valor indeterm inado)

(II) EXPONENTE NEGATIVO

Six es un núm ero real no nulo y si n es un entero

positivo, definim os:

1n n

x x

Ejemplos:

• 33

1 12

82

•4

4

1 13

813

•2

2

1 1( 5)

25( 5)

•3

31 1 1( 4)

64 64( 4)




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74

1 . Escribe verdadero (V) o falso (F) según correspond a:

• 4( 3) 81 ( )

•

21 2

5 10

( )

• 4( 4) 64 ( )

•0

5 1 ( )

2 .Relacione según corresponda m ediante una flecha:

01

3

1

16

2( 4) 1

22216

3 . C alcular:

2 2 010 2(8 3) 10 4

A ) 5 B ) 6 C ) 1

D ) 10 E) 8

4 . C alcular:

02 2 4 2( 5)( 1) 3 –2 2 4

A ) 23 B ) 25 C ) 12

D ) 22 E) 24

5 . Efectuar:

0 3 23 23 2 2

A ) 60 B ) 59 C ) 51

D ) 61 E) 64

6 . R educir:

–1 –1

–1 –11 10,25 0,2

2 3

A ) 3 B ) 9 C ) 12

D ) 14 E) 16

7 . Efectuar:1 13 22 22 3

A ) 175 B ) –175 C ) 165

D ) –165 E) 0

8 . Efectuar:

3 25 44 2 2 3 3

A ) –24 B ) 24 C ) 34

D ) –34 E) 0

9 . Efectuar:2 3 2

1 1

8 2 4

A ) 64/13 B ) 12/63 C ) 13/64

D ) 63/12 E) 63/64

10 . Sim plificar:

2 21 2 1

3 5 21 14 4

A ) 16 B ) –8 C ) –1/4

D ) –1/8 E) 4

11 . R educir:

490532

A ) 2 B ) 4 C ) 6

D ) 8 E) 9

12 . R educir:

22 2 5 3 1010 48

A ) 100 B ) 89 C ) 109

D ) 108 E) 99

13 . R educir:–1 –1

–1 –1

3 –5K

3 5

A ) 2 B ) 3 C ) 4D ) 5 E) 6




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75

14 . Efectuar:

10 3 25 3 35

A ) 19 B ) 29 C ) 18

D ) 25 E) 24

15 . Efectuar:

1 24 22 22 2

A ) 0 B ) 1 C ) –1

D ) 2 E) –2

16 . Efectuar:

2 5032 122 22 22 2

A ) 66 B ) 55 C ) 77D ) 22 E) 44

17 . Efectuar:

13 211 1

72 3

A ) 7 B ) 11 C ) 17

D ) 10 E) 9

18 . Efectuar:

–24 2

0,5 0,25 0,3

A ) 23 B ) 32 C ) 14

D ) 4 E) 0

19 . Efectuar:

3 3 231 2 13

2 3 5

A ) 1 B ) 0 C ) 25

D ) 16 E) 9

20 . Efectuar:

–1 –1 –1

1 1 12 3 4

A ) 1 B ) 3 C ) 5

D ) 7 E) 9

1 . Reducir a su m ínim a expresión:

720 0 0R 2 5 3 2

Resolución:

• D efinim os exponente cero:

72R 1 1 1 2

• Reducim os las operaciones de sum a y resta:

72R 2 1

• D efinim os exponente par para base negativa:

72 2 1R 2 1

• Entonces: R = –3

2 . R educir:

1 1

1 1

2 5E

2 5

Resolución:

• D efinim os exponente negativo:

1 1

2 5E1 1

2 5

• Reducim os las operaciones con fracciones:

5 2 3

2 5 10E1 1

10 10




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76

1 . Reducir si x, y, z son diferentes de cero:

0 0 0Z 2 3 5 x y z

A ) z B ) 2x C ) y x

D ) 10 E) 5

2 . R educir:

–1 –1

–11 10,5

4 5

A ) 10 B ) 11 C ) 12

D ) 13 E) 14

3 . Efectuar:

50732R 2

A ) 256 B ) 128 C ) 32

D ) 64 E) 2

4 . H allar el equivalente de:

5 41 22 13 2

A ) 9 B ) 10 C ) 11

D ) 12 E) 13

5 . R educir:

1 1 1

Y2 3 5

x x x

A ) 2 B ) 1 C ) 0D ) 3 E) 5

6 . Efectuar:

1

1 2 18H ( 2) 37

A ) 1 B ) 0 C ) –2

D ) –1 E) –3

7 . R educir:1 1

1 1

2 –3I

2 3

A ) 1 B ) 2 C ) 3

D ) 4 E) 5

8 . R educir:

1 12D 2

x y

y x

A ) –1/2 B ) –2 C ) 4

D ) 1/2 E) 2

• Efectuando por extrem os y m edios:

3

10E

1

10

• Entonces: E = 3

3 . Efectuar:

1 2 32 1 3

N54 2 15

Resolución:

• D efinim os exponente negativo:

1 2 354 2 15

N2 1 3

• Las divisiones afectadas por los exponentes son

exactas: 1 2 3N 27 2 5

• D efinim os la potenciación: N = 27 + 4 + 125

• Entonces: N = 156




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77

9 . R educir:

50 0 0– –3 3 3 –3

A ) 10 B ) 20 C ) 30

D ) 40 E) 50

10 . Efectuar:

0 06 51 1

L 4 216 5

A ) –16 B ) –64 C ) –74

D ) 74 E) 64

11 . R educir:

22 22 43 –3

A ) 0 B ) 1 C ) 2

D ) 3 E) 4

12 . Sim plificar:

–3–3 –3

0,5 0,25 0,3

A ) 8 B ) 88 C ) 9

D ) 99 E) 100

13 . R educir:

11 1 1 12R ( 2) ( 3) ( 4)

13

A ) 0 B ) 1 C ) –1

D ) –2 E) 1/2

14 . R educir:

31 50 5031C ( 2) 3 32

A ) 0 B ) –1 C ) 203

D ) 563 E) N.A.

15 . Efectuar:

–3 –3 –21 1 1

––4 2 6

A ) 3 B ) 6 C ) 9

D ) 12 E) 15

• número entero: Es aquel núm ero que pertenece al conjunto:

;...; 2; 1;0;1;2;3;...

• exponente: Es aquel núm ero que nos indica cuántas veces se va a m ultiplicar la base com o factor.

• Baldor, Álgebra

• Alfonso Rojas Puém ape

• Santillana, M atem ática 3




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79

1 . Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

• 05 1 ( )

•0132 8 ( )

• 0 07 ( 5) 0 ( )

2 . Relacionar am bas colum nas m ediante flechas:

01

–2

512

–42 1

3321

16

3 . R educir:

–1 –1

–11 10,5

2 4

A ) 2 B ) 6 C ) 8

D ) 10 E) 12

4 . R esolver:

10 59 150 17 2 02 3 5

A ) 10 B ) 2 C ) 5

D ) 1 E) 3

5 . Efectuar:

41 2

2 41 1

3 3

A ) 4 B ) 2 C ) 16

D ) –12 E) 10

6 . R educir:

–1 –1

–1 –1

5 –7K

5 7

A ) 2 B ) 4 C ) 6

D ) 8 E) 10

7 . C alcular:4 84 2

3 –3

A ) 0 B ) 1 C ) 2

D ) 3 E) 5

8 . C alcular:

2235 16 35 2P –2 –3 2 3

A ) 0 B ) 1 C ) 2

D ) 3 E) 4

9 . Efectuar:8 57 17 31 0

2 3 15 23

A ) –1 B ) 5 C ) 1

D ) 0 E) –6

10 . Efectuar:

321 3

16 8

1 1 37 7

A ) 9 B ) 27 C ) 3

D ) 1 E) 2

• Alumno(a) : ______________________________________________________________

• Curso : ____________________________________________ • Aula : __________

• Profesor : ______________________________________________________________




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81

PARADOJAS MODERNAS

Tenemos edi ficios más altos, pero templos más pequeños; au top istas más anchas, pero puntos de vista más estrechos;

gastamos más dinero y tenemos cada vez menos; compramos más y disfrutamos menos. Tenemos casas más grandes y famil ias

más pequeñas; cosas más conven ientes, pero menos tiempo; más educación y menos sentido; más conocimiento y menos

ju icio; más exper tos y más problemas; más medicinas y menos bienestar.

Tomamos mucho, fum amos mucho, gastamos sin medida, reímos muy poco, manejamos muy rápido, nos enfurecemos

demasiado, no s acostamos más tarde, nos levantamos muy cansados, casi no leemos, vemo s demasiada TV y casi nunca

meditamos. Hemos mu ltip licado nuestras posesiones, pero reducido nuestros valores; hablamos demasiado, amamos muy

poco y mentimos casi todo el tiempo; hemos aprendido a ganarnos la vida, pero no a vivir la plenamente. Hemos llegado a la luna y regresado, pero tenemos problemas a la hora de cruzar la calle y conocer a nuestro vecino .. . Hemos conqu istado el

espacio exterio r, pero no al interior; hacemos cosas más grandes, pero no mejo res; hemos limpiado el aire, pero no el alma;

hemos divid ido el átomo, pero no nuestros preju icios; escrib imos mucho, pero aprendemos poco; planeamos todo, pero no

conseguimos casi nada. Hemos aprend ido a hacer las cosas más rápido, pero no a tener más paciencia; tenemos ganancias más

altas, pero m oral más baja; cada vez tenemos más cantidad y menos calidad.

Esta es la época de la com ida rápida y la digestión lenta; hombres altos de bajo carácter; profundas ganancias y relaciones

superficiales. Esta es la época de la paz mundial y la guerra doméstica; más tiempo libre y m enos diversión; más tipo de com ida

y menos nutritiva.

Ahora tenemos ingresos conjuntos y más divorci os; casas más bellas y hogares más rotos.

Esta es la época de viajes rápidos, pañales desechables, moralidad en decadencia, pasiones de una noche, cuerpos con

sobrepreso, pastillas que hacen todo, desde alegrarte, hasta calmar te y matarte.

Construimos más computador as para guardar más información, para producir copias más rápidas que nunca, pero nos

comunicamos m enos.

Esta es la época donde tenemos todo en exhibición y nada en el i nventario.

¿QUÉ HACER?

Cada día que vives es una ocasión especial, por eso...

Lee más y lim pia menos.

Pasa más tiempo con tu famil ia y amigos y menos tiempo tr abajando.

La vida es una sucesión de exper iencias para disfrutar, no para sobrevivir.

No guardes tu mejor perfume para esa fiesta especial.

Las frases “algún día”, “uno de estos días”... quítalas de tu vocabular io.

Si vale la pena hacerlo, oírlo, verlo, puedes disfrutarlo ahora.

“EN ESTE MUNDO TODO TIENE SU HORA; HAY UN MOMENTO PARA TODO CUANTO OCURRE”

• Buscar una relación entre las definiciones y los teorem as correspondientes a los exponentes.

• D iferenciar las leyes de potenciación.

• Identificar un radical y diferenciar las leyes de radicación.

2

LEYES DE EXPONENTES II




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82

TEOREMAS RELATIVOS A LA POTENCIACIÓN

MULTIPLICACIÓN IND ICADA DE BASES IGUALES

m n m n x x x

Ejemplos:

1 . 2 3 2 1 3 63 3 3 3 3 729

2 . 3 4 2 3 4 2 14 4 4 4 4 4

3 . 3 4x x x

4 .3 72 2

3 3

DI VISIÓN INDI CADA DE BASES IGUALES

m m n

n

x x x

x para 0

Ejemplos:

1)

55 3 2

3

22 2 4

2

2)

22 ( 1) 3

1

x x x x

3)

8

3

5

5

4)

7 3

2 1

( 7)

( 7)

a

a

5)

4

3

m

m

x

x

POTENCIA DE POTENCIA

n m m n x x

Ejemplos:

1) x x x 3 4 3 4 12( )

2) a 3 4( )

3) 2

422

4) 2135

POTENCIA DE UNA MULTIPLICACIÓ N

( ) n n n x y x y

Ejemplos:

1) 2 3 5 2 3 5 m m m m

2) 3 3 3 3(4 ) 4 64 m m m

3)2(5 2)

4)3 4 2

( ) x yz

POTENCIA DE UNA DIVISIÓ N

para 0

n n

n

x x y

y y

Ejemplos:

1)

2 2

2

4 4 16

3 93

2)

3 3

3

7 7 343

5 1255

3)

32 4

3

x y

z

4)

53 4 5

4 2

m n p

q r

Six es real y m, n, p son enteros, entonces:

p p n n m m

x x

Ejemplo:

70 05 5 12 2 2 22 2 2 2 42 2 2 2 2 16




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83

1 . H allar el valor de:

0 02 25 5R 2 1

A ) 0 B ) 1 C ) 2

D ) N o definido E) –1

2 . Efectue:

–13E 125

A ) 5 B ) –5 C ) 1/5

D ) 1 E) 0

3 . Si1 –1

2 –2U 4 , N 16 .

H allar U N .

A ) –9 B ) 9/2 C ) 3/4

D ) –3 E) 1/2

4 . R educir:–1–2

–4R 16

A ) 2 B ) –1/4 C ) 1/2

D ) 1/4 E) –2

5 . Efectuar:

56 factores

52

3 3 3 ... 3M

3 3 9

A ) 0 B ) 1 C ) –1

D ) 3 E) –3

6 . R educir:

–1

–2 –3

2 5Z

2 5

A ) 625 B ) 626 C ) 627

D ) 628 E) 629

7 . Sim plificar:

12 veces25 veces

2 2 2 2

24 veces

... ...

( )( )...( )

x x x x y y y y

xy xy xy

A ) 1 B ) 0 C ) x

D ) xy E) y

8 . R educir:1 2

2

2 2E

2

x x

x

A ) 7/10 B ) 1/2 C ) 3/2

D ) 3/10 E) 3/4

9 . Sim plificar:

a a a

0232 2 23 3 ( 3)P

A ) 1 B ) a C ) a 2

D ) a 1 E) a –2

10 . C alcular:

1 23 3 3

3

x x x

x

A ) 12 B ) 13 C ) 0

D ) 33 E) 23

11 . C alcular:

1 25 5 5P

5 31

x x x

x

A ) 1 B ) 2 C ) 3

D ) 4 E) 5

12 . R educir:2 3

4

15 81M

9 27

A ) 3 B ) 16 C ) 15

D ) 25 E) 9




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84

1 . R educir:

5

1

2 2R

2

x x

x

Resoluc ión:

• D efinim os la ley de m ultiplicación de bases

iguales:

5

1

2 2 2R

2 2

x x

x

13 . Sim plificar:

2

45 16O

12

A ) 12 B ) 7 C ) 5D ) 6 E) 49

14 . R educir:

10 veces 8 veces

2 16

7 7 7 ... 7 21 21 21 ... 2 1

81 7

A ) 7 B ) 49 C ) 21

D ) 81 E) 9

15 . O perar:

1 12 2 11 5 3

25 2 5

A ) 3 B ) 8 C ) 5

D ) 2 E) 4

16 . Efectuar:

2 3 3 2 6 1

2 5

( ) ( ) ( )

( )

x x x x

A ) 2x B )4x C ) 4x

D )2x E) 1

17 . Sim plificar:

23

4 9 8 66 18

62 5 5 3

3

3

x y z x z

x y z

A ) 6x B )6y C ) 6z

D )2y E) x 2

18 . Efectúe:3 2

2 2

2 4

8 16

m m n

m n

A ) 0 B ) 1 C ) 2

D ) 4 E) 1/2

19 . Efectúe:

21

1 1011 41

1 311 2112

A ) 1 B ) 0 C ) 4

D ) 2 E) 8

20 . C alcular:

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 2 2E

2 2 2 2

x x x x

x x x x

A ) 16 B ) 32 C ) 2

D ) 2x E) 4

• Agrupo en el num erador 2x :

2R

x 5(1 2 )

2

x 12

• O peram o s:

1 32 33R

2 2




15/28


85

3 . Sim plificar:

45 42E 3 2

3

Resoluc ión :

• D efinim os potencia de un cociente:

45 4

4

2N 3 2

3

• Al m ultiplicar 4 4 02 2 2 1 , entonces:

5 5

4 4

1 3 3N

3 3

• D efinim os división de bases iguales:

1N 3 3

2 . Sim plificar:

3 2

4

25 36E

30

Resoluc ión:

• D efinim os en el num erador potencia de po tencia

y potencia de un producto en el denom inado r:

2 3 2 2 6 4

4

(5 ) (6 ) 5 6E

(5 6)

4 45 6

• D efinim os luego división de bases iguales:

66 4 2

4

5E 5 5 25

5

1 . R educir:

1 3 22 2 1Z 3 1 0

A ) 5 B ) 10 C ) 11

D ) 1 E) 9

2 . Reducir a su m ínim a expresión:

1–12 2O 25 36

A ) 1 B ) 11 C ) 19

D ) 9 E) 61

3 . Efectuar:

–1–216

C 81A ) 10 B ) 3 C ) 9

D ) 12 E) 1

4 . Efectuar:

8 10

5 3

3 2U

3 4

A ) 15 B ) 43 C ) –25

D ) 25 E) 27

5 . Sim plificar:

2 3

1 2

3 3 (3 )R

3 3

a a

a a

A ) 3 B ) 6 C ) 1

D ) 9 E) 12

6 . Efectuar:12 factores

2 6

5 5 5 5 5P

25 5

A ) 5 B ) 125 C ) 25

D ) 395 E) 515

7 . Sim plificar:

2 15 5E

5

x x

x

A ) 15 B ) 25 C ) –1/2

D ) 45 E) 30

8 . Efectuar:

6 4 9 3

11 13 4

15 12 5 6H

10 3 5

A ) 2 B ) 3 C ) 1

D ) 5 E) 4




16/28


86

• notación: Es la m anera com o se expresa algo.• ecuación: Igualdad relativa, que solam ente cum ple para algunos valores de la variable.

• Santillana, M atem ática 3

• Alfonso R ojas Puém ape, Skaner’s

9 . Efectuar:7072I 256

A ) 16 B ) 18 C ) 10

D ) 13 E) 12

10 . R educir:

2

1

7 7(7 )D

7(7 )

x x

x

A ) 10 B ) 25 C ) 5

D ) 42 E) 21

11 . R educir:

3 5

4 10

12 6A

9 2

A ) 4 B ) 2 C ) 32

D )14 E) 12

12 . Sim plificar:

1 2

2

3 3L

9 3

x x

x

A ) 12 B ) 15 C ) 18

D ) 3 E) 9

13 . Efectuar:

4 3

2

(0,01) (0,0001)G

(0,0000001)

A ) 0,01 B ) 1/5 C ) 0,1

D ) 610 E) 1/2

14 . C alcular x si:

5 325

2

(0,0001) (0,001)

(0,01)

x

A ) 1 B ) 25 10 C ) 0,01

D ) 10 E) 0,1

15 . R educir:1

2 2 2

5(4 )0

4 2

x

x x

A ) –4 B ) 16 C ) 2

D ) 4 E) –4




17/28


87

1 . Escribe (V) o (F) según corresponda:

2 3 3 2( ) ( )x x ( )

( ) n n n x y xy ( )

m

m n n

x x

x ( )


3 2 x x x 18x

2 3 3 4( ) ( )x x x

2 21 1

5 3

34

3 . Sim plificar:

1 32 2 2

2

x x x

x

A ) 1 B ) 3 C ) 7

D ) 11 E) 13

4 . R educir:

10 veces 8 veces

16 2

5 5 5 ... 5 15 1 5 ... 15

5 81

A ) 3 B ) 9 C ) 27

D ) 5 E) 10

5 . Escribe (V) verdadero o falso (F) según correspond a:

• 23 2 6 x x x ( )

• 2

2 2x x ( )

•

3

85

22

2

( )


15

3

x

x 1

10

2

2

112

5 6

30

x x

x 5x

7 . R educir:2 4

3 8

3 2R

3 2

A ) 259 B ) 250 C ) 256

D ) 258 E) 255

8 . Sim plificar:1 2

3

2 2R

3 2

x x

x

A ) 2 B ) –2 C ) 0

D ) 1 E) 1/2

9 . Sim plificar:

3

2

15 81C

27 25

A ) 135 B ) 185 C ) 105

D ) 100 E) 125

10 . R educir:

1 14 2H 81 9

A ) 11 B ) 12 C ) 13

D ) 14 E) 15

• Alumno(a) : ______________________________________________________________

• Curso : ____________________________________________ • Aula : __________

• Profesor : ______________________________________________________________




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88




19/28


89

• U sar adecuadam ente las leyes de potenciación.

• U sar adecuadam ente las leyes de radicación.

• U tilizar técnicas en el desarrollo de potenciación y radicación.

¿ERES UN ELEFANTE?

3

RADICACIÓN

Cuando era niño me encantaban los circos, y lo que más

me gustaba de los circos eran los animales. También como a

otros, me llamaba la atención el elefante.

Durante la función, el elefante, hacía despliegue de peso,

tamaño y fuerza descomunal... pero después de su actuación

y hasta un rato antes de volver al escenario, el elefante

quedaba sujeto solamente por una cadena que aprisionaba

una de sus patas a una pequeña estaca clavada en el suelo.

Sin embargo, la estaca era solo un minúsculo pedazo de

capaz de arrancar un árbol con su propia fuerza, podría, con

facilidad, ar rancar la estaca y huir.

El m isterio es evidente: ¿Quélo mantiene entonces? ¿Por

quéno huye?

Cuando tenía cinco o seis años, todavía confi aba en la

sabiduría de los grandes. Preguntéentonces a algún maestro,

a mi padre, o a algún tío por el misterio del elefante. Alguno

de ellos me exp licó que el elefante no se escapaba porque

estaba amaestrado. Hi ce entonces la pregun ta

obvi a: Si está amaestrado. .. ¿Por quélo

encadenan? No recuerdo haber recibid o nin guna respuesta coherente. Con el

tiempo me olvidédel misterio del elefante

y la estaca... y solo lo recordaba cuando me

encont raba con o tros que también se habían

hecho la misma pregunta.

Hace algunos años descub ríque por

suerte para míalguien había sido

lo b astante sabio como para

encontrar la respuesta:

“ El el ef an te del ci rco n o e s c a p a

porque ha estado atado a una estaca parecida

desde que era muy p equeño”.

Cer rélos ojos y me imaginéal pequeño recién naci do

sujeto a la estaca.

Estoy seguro q ue en aquel momento el elefantito

empu jó, tiró y sudó tratando de soltarse. Y a pesar de todo

su esfuerzo no pudo. La estaca era ciertamente muy fuerte

para él. Jur aría que se durm ió agotado y que al día siguien te

volv ió a probar, y también al otro y al que seguía...

Hasta que un día, un terr ibl e día para su historia, el animal

aceptó su condición y se resignó a su destino.

Este elefante enorme y poderoso no escapa porque

CREE QUE NO PUEDE.

El tiene registro y recuerdo de su impotencia, de aquella

impor tencia que se tiene poco después de nacer.

Y l o peor es que jamás se ha vuelto a cuesti onar

seriamente ese registro. Jamás, jamás in tentó poner a prueba

su fuerza otra vez ...

Cada uno de nosotros somos un poco como ese elefante:

Vamos por el mundo atados a cientos de estacas

que nos restan libertad.

Vivimos creyendo que un montón de cosas “no podemos” simp lemente

porque alguna vez probamos y no

pudimos.

Crecimos portando ese

mensaje que nos im pusimo s a

nosotros mismos y nunca más lo

volvim os a intentar.

La única m anera de saber, es

intentar de nuevo poniendo en el

intento TODO SU CORAZÓN.

Si crees que puedes,

entonces... ¡PUEDES!




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90

Ejemplos:6 42 42 /6 7 x x x

1/24

5 5 x

2 /38

PROPIEDADES

1 . Raíz de una multiplicación

n n n xy x y

Ejemplos:

4 4 416 256 16 256 2 4 8

6 64 5a b

3 27 125

5 53 7x x

2 . Raíz de una división

0 n

n n

x x y

y y

Ejemplos:

36 6 6 /3 23

5 3 3 35 5 5

a a a a

b b b b

4

6 x

x

4 7

4

25

25

Po r definición:

n n a r r a

En esta definición:

n es el índice ; 2n

n

r es la raíz

a es la cantidad subradical

es el operador radical

En el conjunto de los núm eros reales no existe la raíz

de índice par de cantidades negativas.

Por ejem plo, 16 no existe.

P A R A = núm ero im aginario

IM P A R A = núm ero real negativo

Ejemplos:

225 5 5 25

33 27 3 3 27

33 64 4 4 64

4

416 2 2 16

625 5 5 625

EXPONENTE FRACCIONARIO

1/ 0 n n a a a

En general:

/ 1/

( ) ( ) ; , m n n m m n a a a m n




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91

3. Raíz de raíz

p m n p m n x x

Ejemplos:

4 3 5 604 3 585 85 85

3 4 ab

3 6 x

3 5 30 x

( )

p mn p m n a b c an b p c x x x x

+ +

( ) p mnp m n a b c an b p c

x x x x

– +

Ejemplos:

5 3 5 153 2 7 (2 5) 7 17 x x x x

4 3 2 43 5 3 (1 2 5)4 3x x x x

24 89 3 x x

1 . Efectuar:

3 24 32 19 1181 162 81 2

A ) 0 B ) 1 C ) 2

D ) 3 E) 4

2 . Efectuar:

12 2

31 1 1

68 36 2

A ) 2 B ) 3 C ) 0

D ) 1 E) 4

3 . Efectúe:

15

5 3 15x x

A ) 2x B ) x C ) 3x

D )

4

x E) x 5

4 . C alcular el equivalente de:

2 2 2 2

A ) 16 152 B )16 72 C )

16 92

D ) 8 52 E)8 72

5 . Efectuar:

–1

3 3 3 3

3

A ) 3 B ) 9 C ) 1/3

D ) 1/9 E) 1

6 . Efectuar:

3 45 34 4 4

A )1

2B )

1

8C ) 4

1

2

D ) 41

8E) 4

1

5




22/28


92

7 . Efectuar:–1 –14 2

16 4

A ) 0 B ) 1 C ) 2

D ) 3 E) 4

8 . Efectuar:

43 2 54

6 4 5 6

x x x

x

A ) 2x B ) 5x C ) 7x

D ) x E) x 3

9 . Efectuar:

1/23 2 1 1

1 2 4 1E

3 5 23 10

A ) 5 B ) 3 C ) 5

D ) 1 E) 9

10 . Efectuar:

3 9 5 17 32 2 2 210 x x x x

A ) 10 B ) 100 C ) 1

D ) –10 E) –1

11 . Efectuar:

– – –a b c

a b b c c a b c a

x x x

x x x

A ) 0 B ) 1 C ) 3x

D )ab

E)x

2

12 . Efectúe:

( )

n n n

m n m n

x y

x y

A ) 2x y B )2xy C ) 2 2x y

D ) xy E) 1

13 . Efectúe:

1382(27 8)

A ) 3 B ) 9 C ) 1

D ) 0 E) 27

14 . Sim plificar:

1

n n n n n n n n n n n

n

A ) n B ) n n C ) 1

D ) 2n E) n 3

15 . R educir:

20

17

564

3

2

1

x x

x

A ) x B ) 2x C ) 1x

D ) 2

x E)

x

3

16 . Si:–1 –12 –2A 3 16 5 25

–1 –13 –2B 8 4 16

H allar A –B.

A ) 9 B ) 5 C ) 10

D ) 4 E) 8

17 . Sim plificar:

3 2

3 23 2 2 3 2 3

(225) 225

5 5 4 5 5

n n

n n

A ) 20 B ) 225 C ) 45

D ) 25 E) 125




23/28


93

1 . Efectuar:

05416R 5

Resoluc ión:

• El exponente cero afecta, solo al 5; entonces:

1416R 5

• El exponente “–1”afecta a 4; entonces:

1

416R 5

• El exponente “1/4”afecta a 16; entonces:

4 16 2R 5 5

R 25

2 . Sim plificar:

3

1

5 5E

(5 )5

n n

n

Resoluc ión:

• D escom poniendo la potencia cuyo exponente es

una sum a:

3 35 5 5 n n

• D escom poniendo la potencia cuyo exponente es

una diferencia:

1

1

55

5

n

n

• Reem plazando en la expresión E:

35 5 5E

5

5

n n

n

5

• Agrupando 5n en el num erado r:

5E

n 3(5 1)

5

n

• O perando:

E = 126

3 . R educir:

12 1 14N 9 81 27

n

n n

Resoluc ión :

• Transform ar a m ism a base 3:

2 1 1 1

2 4 34N 3 3 3

n

n n

• D efinim os potencia de potencia:

4 12(2 1) 3(1 )4N 3 3 3

n

n n

4 2 4 3 3N 3 3 3 n n n

• D efinim os m ultiplicación de bases iguales:

4 2 4 3 3 3N 3 3 n n n n 5 3 n

5N 3 243




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94

1 . R educir:3 2 6

2x x x

A ) 222 B ) 22 x C ) 2x

D )22

2 E) 2

2 . Efectuar:

0,8 0,6O 32 32

A ) 16 B ) –24 C ) 22

D ) 24 E) 17

3 . C alcular el equivalente de:

3 42 33 3 3

A ) 24 3 B )24 53 C )

24 303

D ) 24 253 E)24 313

4 . D ar el resultado de efectuar:

024U 16

A ) 1/2 B ) 2 C ) 16

D ) 4 E) 2/5

5 . Efectuar:

1 1 12 3 4R 4 8 81

A ) 5 B ) –2 C ) 2

D ) 7 E) 14

6 . Sim plificar:

22

33A 8 8

A ) 1/4 B ) 1/2 C ) –1

D ) 2 E) 1

7 . H allar la raíz cuadrada positiva de:1/2 0,5 1/4 0,25Y 25 36 16 81

A ) 1 B ) 16 C ) 256

D ) 2 E) 4

8 . Efectuar:

7072H 256

A ) 16 B ) 18 C ) 12

D ) 11 E) 13

9 . Efectuar:

07249I 125

A ) 25 B ) 5 C ) 15

D ) 125 E) 1

10 . H allar el valor de:

33 33 33 3D 2

A ) 8 B ) 2 C ) 16

D ) 1 E) 3 3

11 . Sim plificar:

11/3

11/2 1

1/3A

1/2 (0,2)

A ) 2 B ) 1 C ) 3

D ) 1/3 E) 9




25/28


95

12 . R educir:

32

L 2 2 2 2 2

A ) 2 B ) 8 C ) 312

D ) 302 E) N.A.

13. Reducir:

2 22

G 2 2 2

A ) 2 B ) 2 C ) 4

D ) 16 E) 8

14 . R educir:

12

1 13 4 0O 25 125 64 16 1

A ) 37 B ) 36 C ) 6D ) 8 E) 4

15 . Sim plificar:

1 212

22R 7 7

A ) 7 B ) 7 C ) 3 7

D ) 14 E) 2

• exponente: Parte de la potenciación que nos indica a qué núm ero está elevado la base.• científico: Relativo a ciencia; persona que se dedica a investigaciones científicas.

• operador: Es la representación de una o peración.

• Skaner’s (M atem ática 3), A lfonso R ojas Puém ape

• Baldor, Álgebra




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96




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97

1 . Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

•3

3 5 5x x ( )

•1327 3

( )

•1/5 3232

5 ( )


1 12 44 16

144

28

72

2 6 3 2 4 3 4

3 . R educir:1 13 4E 125 256

A ) 9 B ) 16 C ) –9

D ) 12 E) 2

4 . Efectuar:

3 32 7

3N

x x

x

A ) 1 B ) 2 C ) x

D ) 3x E) –x

5 . Escribe (V) verdadero o falso (F) según correspond a:

• 3 3 32 4 6 ( )

• 3 316 2 ( )

•

1

214

16

( )


0,38

2

13( 27)

7

2 14

2 3

7 . Sim plificar:

2 5 153Z 2 2 2 4

A ) 2 B ) 5 C ) 2

D ) 1 E) –2

8 . Efectuar:

3 3 3 3

A ) 16 3 B )16 9

3 C )16 15

3

D ) 16 173 E)16 5

3

9 . R educir:

2 2 2

A ) 32 B )8 32 C )

8 52

D ) 8 2 E)8 1

2

10 . Efectuar:0,5

112 1H 254

A ) 1 B ) 2 C ) 3

D ) 4 E) 5

• Alumno(a) : ______________________________________________________________

• Curso : ____________________________________________ • Aula : __________

• Profesor : ______________________________________________________________




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Álgebra 2grado

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