Algebra 4º

7/25/2019 Algebra 4

1/174

Cap t u l o Pg .

1. Exponentes I ................................................................................................................... 43

2. Exponentes II .................................................................................................................. 49

3. Productos notables ........................................................................................................... 53

4. Ecuaciones de primer grado .............................................................................................. 59

5. Factorizacin I ................................................................................................................. 67

6. Factorizacin II ................................................................................................................ 73

7. Ecuaciones de segundo grado ........................................................................................... 79

8. Repaso ........................................................................................................................... 85

NDICE

7/25/2019 Algebra 4

2/174

43Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOEx ponentes I

Capt ulo I

Los armariosEn las escuelas superiores de EEUU, los estudiantes guardan sus pertenencias en armarios particulares durante eltiempo de clase. En una determinada escuela haba 1000 estudiantes y 1000 armarios. Cada ao el primer da declase, los estudiantes se alinean por orden alfabtico y realizan el extrao ritual que sigue:El primer estudiante abre todos los armarios. El segundo cierra los armarios pares comenzando por el dos. Eltercero cambia la situacin de cada tercer armario (abre los cerrados y cierra los abiertos). El cuarto cambia lasituacin de cada cuatro armarios; el quinto cambia cada quinto,etc.Qu armarios se quedan abiertos cuando todos los estudiantes han terminado?

La notacin exponencial se emplea en varias situaciones.El ejemplo muestra el uso de exponentes para analizar

una situacin en la que cierta sustancia esta decreciendode modo exponencial.

Ejemplo:

Supongamos que una sustancia radiactiva se desintegrade tal manera que solo queda 1/2 de la cantidad previadespus de cada hora. Si en un momento dado hay 320gramos de dicha sustancia, qu cantidad quedar despusde 8 horas?, cunto quedar despus de n horas?

Solucin:Como la cantidad restante, despus de cada hora, es 1/2de los gramos que haba al final de la hora anterior, podemosencontrarla multiplicando el nmero precedente de gramospor (1/2).

Gramos restantes

Inicio: 0 horas 32021

3200

=

Despus de 1 hora 16021

320

1

=

Despus de 2 horas 8021

3202

=

Despus de 3 horas 4021

3203

=

: :

Despus de 8 horas 4

5

2

1

320

8

=

Fjese usted en que cada potencia de 1/2 es la misma queel nmero de horas que ha estado desintegrndose la

sustancia. Si suponemos que seguir aplicndose la mismanorma sacamos la conclusin de que despus de n horasquedarn:

n

n

2

32021

320 =

gramos de la sustancia original.

Problemas resueltos

1. Reducir :

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )33753

254223222)x(

xxxxx

xxxxxS = ; x 0

Solucin:

Aplicando : (am)n= amn

tenemos :9753

108642

)x(x.x.x.x.x

x.x.x.x.xS = ; luego aplicando:

am. an= am+n

tenemos :5

25

30

97531

108642

)x( xx

x

x

xS ===

++++

++++

5)x( xS =

2. Reducir:

8

4 22

222S

=

7/25/2019 Algebra 4

3/174

Exponentes I

44Cuarto ao de secundaria

Solucin:

Aplicando: mprsr)qnp(

m p r sqn aaaa++

= tenemos:

42222S

8

8

28

8

5

8

78

85

87

=

=

=

=

S = 4

3. Si: xmyn= 3m ......... ( )xnym= 3n ......... ()

Hallar :xy

yx

S

=

Solucin :

Multiplicando: ( )()tenemos :

xmyn. xnym= 3m. 3n

de donde: xm+nyn+m= 3m+n

acomodando: (xy)m+n= 3m+n

xy = 3

Dividiendo:

n

m

mn

nm

3

3

yx

yx=

nmnm

nm

3y

x

=

nm

nm

3yx

= 3yx

=

Luego reemplazamos:S = 33= 27S = 27

4. Simplificar:294

336

30.14.15

80.35.21S=

Solucin:

Descomponiendo en base 5, 3 y 7

2229944

3123366

294

3436

5.2.3.2.7.3.5

5.2.5.7.3.7

)5.2.3()2.7()3.5(

)5.2()5.7()3.7(S ==

22.5.3.7

2.5.3.7S

11669

12669

==

S = 2

PRECAUCIN: Aprenda a evitar errores como estos

Mal Bien

52. 54= 58 (No multiplique los exponentes) 52. 54= 56

52. 54= 256 (No multiplique las bases de las potencias)

32

6

555

= (No divida los exponentes) 426

555

=

42

6

155

= (No divida las bases de la potencia)

(52)6= 58 (No sume los exponentes) (52)6= 512

(-2)4= -24 (Mala interpretacin del parntesis) (-2)4= (-1)424= 24

(-5)0= -1 (Mala interpretacin de la definicin de b0) (-5)0= 1 (Definicin de b0)

33

21

2 = (Mala interpretacin de la definicin de b-n) 33

21

2 = (Definicin de b-n)

1434

3

2222

== (Descuido al restar exponentes) 7)4(343

2222

==

53+ 53= 56 53+ 53= (1 + 1)53= 2 . 53

(La adicin de exponentes no se aplica con el signo de suma) (Propiedad distributiva)

7/25/2019 Algebra 4

4/174

Exponentes I


(a + b)-1= a-1+ b-1 ba1

)ba( 1+

=+

(Mala aplicacin de la definicin del exponente negativo) (Definicin del exponente negativo)

525 = (Mal uso de la definicin de a ) 525 =

434/3 )16(16 = (Mal uso de la definicin de bm/n) ( ) 4 3344/3 161616 =

(-2)-1/3= 21/3 33/13/1

2

1)2(1

)2(

=

=

ba

1ba 2/12/1

+=+

b

1

a

1ba 2/12/1 +=+

EXPONENTES Y RADICALES

definimos:

tenemos:

b.b.b.b. .......b = bn ; n lN

exponente natural"n" veces

Exponente nulo

a = 1 ;-n

an

Exponente negativo

n > 0a

a = 1 ; a 00

Exponente fraccionario

a =mn am

n

Multiplicacin debases iguales

a . a = am+nm n

Potencia de un productoRaz de raz

(ab) = a bn n n

= an

bn; b 0a

b

n

= amnp

am n p

Divisin de basesiguales

=am

ana ; a 0m-n Raz de un producto

=abn

an

bn

a > 0 b > 0

a > 0 b > 0

=n

an

b

abn

Consecuencia

= aam n pa qa

r s(np+q)r+s

mpr

Potencia de potencia

(a ) = am n mnpp

Potencia de exponente

adems:

= |a|a2

en general:

= |a|a2n2n

Nota:

= a ; a > 0ann

.

a = am m

n np p

Potencia de un cociente

7/25/2019 Algebra 4

5/174

Exponentes I


Bloque I

1. Reducir:

22625324

24332342

)y,x()y()x()y()x(

)y()x()y()x(S = ; x, y 0

a) x3y5 b) x5y3 c)35yx

1

d) x-3y-5 e) 1

2. Simplificar:

129

1251

K

=

a) 1 b) 5 c)51

d) -51

e) - 5

3. Reducir:

24 2 33

812793P

=

a) 1 b) 2 c) 3d) 9 e) 27

4. Si: n = 24. 48

Hallar el valor de: S = 5 n

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 16

5. Simplificar:

abbc

1c ba

cb

a

1

x.xx.xR

= ; a b ; c 0; a 0

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

6. Simplificar:

0n-31

2-n-31

2- }).(-8)((-2)).8{(2 +n es par.

a) 0 b) 1 c) 21

d) 2 e) -1

Problemas para la c lase7. Simplificar:

1n21n

1n1n2

3-993

++

++ +

a) 4 b) 2 c) 1

d) 21

e) 31

8. Calcular:

3n233n223n2

3n2

5.54.5.5

225.)225(+++

+

+

a) 45 b) 25 c) 15d) 5 e) 1

9. Hallar: a2+ b2; si: a, b IN en:

34

ba-a b

b a3

b.a

b.a =

a) 2 b) 8 c) 10d) 15 e) 20

10.Reducir:

34

182 41682644 )x.])x([

Si: x > 0

a) 2x b)2x

c) x

d) x2 e) x3

Bloque II

1. Reducir:

1xx

x11 1

2x2xxE

+

= ; x 0

a) x2 b) xx c) x xd) 1 e) x

2. Si: a + b = 7

Reducir:baa2a

7aaa aaS

=

a) 1 b) 2 c) a

d) b e)21

7/25/2019 Algebra 4

6/174

Exponentes I


3. Reducir:

3 3 33 3 3 913 3327L

=

a) 1 b) 3 c) 9

d) 27 e)

3

1

4. Calcule: UNI

Si :1241616U

= ; ( )[ ]444N = ; I = NU

a) 16 b) 8 c) 32d) 1 e) 2

5. Simplifique:

mmm3

m2m1m21m

55.2

5.25.2E

+

=

++

; m 0

a) 5m b) 5 c) 10d) 10m e) 2

6. Operar:

61

1-1-1-2-2

53-2

25

51

+

+

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e)21

7. Simplificar:

3 43103 259 3 5

3 203 5031259

)25(

5

++

++

a) 1 b) 2 c) 5

d) 21 e) 51

8. Simplificar:

nnn

nnnnnnn nnnn

n1.n

++

a) 1 b) 2 c) nd) n2 e) nn

9. Calcular aproximadamente:

A = ...4242

a) 2 b) 2 3 2 c) 2

d) 16 e) 4 52

10.Hallar una relacin entre x e y en:

3xy

y x-2yxxy

3

1x.y

y.x=

+

a) x = y b) y = 3x c) y = 2xd) y = 5x e) 2x = 3y

Bloque III

1. Si: nn= n+1

Reducir: nnn n

n1n

.nnM +

=

a) 1 b) n c) n-1d) n-2 e) n2

2. Simplificar:

0x;

x.x.x

x.x.xP

1a 2a 3a 2a1aa

3a 2a 1a a1a2a

=+ + + ++

+ + +++

si: a = 2003

a) x2003 b) x2002 c) xd) x-1 e) 1

3. Reducir :12

2

2 2 2 22S

=

a) 1 b) 2 c) 2

d) 4 e) 22

4. Reducir:aax

x ax x axx 1aax2R

+

= ; x 0

a) 2 b) 2x c) 2-1

d) 22 e) 1

5. Simplificar:

1

3

3

3 39

13 333 33

3 23 33

3

3P+

+

=

7/25/2019 Algebra 4

7/174

Exponentes I


a) 3 b) 9 c) 81d) 27 e) 1

6. Simplificar:

1255

.5

5

1-

453

5545

a) 1 b) 5 c) 25

d) 125 e) 5

7. Si: ab=a

b1

= 2; calcular:

ab.ba1

b1a

a1b

b-1aa-1b

ba

ba +

++

+

+

a) 2 b)21

c) 4

d)41

e) 8

8. Reducir:

)1x(x

x)x(4x

xxxx-x5

+

++

+

Si: xx= 5

a) 1 b) x c) x + 1d) x2 e) x5

9. Si: xx = 4; calcular:

x

x21

xx

102

1

x

+

a) 3 b) 4 c) 2

d) 4 2 e) 41/4

10.Calcular:

+

1-aa

1aa

a ; si: a-a= 31

a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3d) 5 3 e) 3

1. Simplifique: ( )

( ) ( )0y;0x;

yx

yyxS

2322

323

=

a) yx

b)xy

c) 2y

x

d)yx2

e) x.y

2. Reducir: ( ) ( ) 0x;x6

x3x2P

4

223

=

a) 1 b) 4x8 c) 6x7

d) 6x8 e) 6x4

3. Simplifique: 0a;0b;ba

baQ 25

5

23

32

>>

=

a)ba

b)ab

c) ab

d) 2

2

b

ae)

5

ba

4. Reducir:3

2

6

3

b

a8R

=

a) - 4a2b4 b) 4a2b4 c) 2a2b3

d) 4b2a4 e) 1

5. Simplifica: 3 n44n3

n1n3

yx

yxL

+

+

=

a) x-1y-n b) nxy

4c) xy

2

d) xyn e) ny

x

Aut oevaluac in

Claves1. d 2. d 3. b4. b 5. a

7/25/2019 Algebra 4

8/174

49Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOEx ponentes I I

Capt ulo I I

Hermanas con hermanosTres amigas, Irene, Sandra y Erika, tienen un hermano cada una, con el tiempo, cada chica acaba saliendo con elhermano de una de sus amigas. Un da Irene se encuentra con el hermano de Sandra y le dice: Mira!, ah veo entraral cine a alguien con tu pareja.Puedes decir cmo estn formadas las parejas?.

EXPONENTES Y RADICALES

definimos:

tenemos:

b.b.b.b. .......b = bn ; n lN

exponente natural"n" veces

Exponente nulo

a = 1 ;-n

an

Exponente negativo

n > 0a

a = 1 ; a 00

Exponente fraccionario

a =mn am

n

Multiplicacin debases iguales

a . a = am+nm n

Potencia de un productoRaz de raz

(ab) = a bn n n

= an

bn; b 0ab

n

= amnp

am n p

Divisin de basesiguales

=a

m

an a ; a 0m-n

Potencia de un producto

=abn

an

bn

a > 0 b > 0

a > 0 b > 0

=n

an

b

abn

Consecuencia

= aa

m n p

aq

a

r s(np+q)r+s

mpr

Potencia de potencia

(a ) = am n mnpp

Potencia de exponente

adems:

= |a|a2

en general:

= |a|a2n2n

Nota:

= a ; a > 0a

nn

.

a = am m

n np p

Potencia de un cociente

7/25/2019 Algebra 4

9/174

Exponentes I I


Problemas para la c lase

Bloque I

1. Efectuar:

31

121

3431

31

41

412

41M

=

a)21

b) 2 c) 8

d) 16 e) 32

2. Reducir:

)3(3

33S

1n

1n3n

++ =

a) 3n- 1 b) 3n+1- 1 c) 24d) 1 - 3n e) 18

3. Reducir:

( ) }1{lNn;999E n n21nn

1n1n

1

n +

= +

+

a) 9 b) 18 c) 81d) 162 e) 243

4. Efectuar:5,049278M

=

a) 0,5 b) 2 c) 0,75d) 0,25 e) 2,5

5. Reducir:

25

273 3 3 222

)x( x.x.x.xM

=

a) x b) x2 c) x3

d) x4 e) x7

6. Reducir:

x3 y3x

x2 y4xx yx

b

b.bM

+

+3=

a) x6 y12xbb19 b)x6 y12x19b +

c) x3 y12x9b + d)63 b.b

e) 6 b.b

7. Reducir:

0n;nS

1n1n

0n

nn

22n

=

a) n -2n b) n-n c) n2n

d) nn e) nn/4

8. Reducir:

3 3 3 222 radicales.............x.x.xS =

a) 1 b) 2x c) xd) 3x e) 4x

9. Reducir:

x1x2x3x4x

x1x2x3x4x

77777

77777S

++++

++++=

++++

a) 49 b) 343 c) 2401d) 16807 e) 4096

10.Si:xnym= 10n xmyn= 10m

Hallar: xy

)xy(A=

a) 1010 b) 101

101

c)10

101

d) 101

10 e) 10

Bloque II

1. Reducir:

x xx

xx

ba baS ++=

a) ab b) a + b c)ab1

d)ba

e) a2 + b2

2. Calcular el valor de:

9n29n229n

19n

39

90S

++

+

+

=

a) 1 b) 2 c) 10d) 9 e) 40

7/25/2019 Algebra 4

10/174

Exponentes I I


3. Reducir:133

393

3 22L

+

=

a)2

1 b) 2 c) 4

d) 8 e) 216

4. Simplifique:

a

2a1 aa 2a1

2a1 1aa2

a.a

)aa(J

+

=++

+ +

a) a + 2 b) a2+ a c) a - 2d) a + 1 e) a

5. Simplifique:

abba:para;xx

xxM

ba

b aa b=+

+

+=

a) x b) 1 c) x -1

d) xa e) xb

6. A partir de:

9

a

bab 1

a 1

3

1

ba

ab

2

=

+

La relacin que existe entre a y b es:

a) b = 3a b) b = 9a c) b = 6ad) b = 27a e) a = b

7. Calcular:

53

812793E=

a) 3 b)31

c) -3

d) 9 e) 27

8. Reducir:

33

3 273

163

3 3 3 44

31

E

=

a) 1 b) 3 c)31

d) -3 e) 3-2

9. Simplificar:

0x;xxxS

0x

2x x

5x5 x 2

>

=

a) x b) x-1 c) x2

d) x-2 e) 2x

10.Efectuar:

0x;xxAx

xx

x 1x1

1x>

=

+

a) 1 b) x c)x1

d) -x e) x2

Bloque III

1. Reducir:

=

n n n n

n n n nn 2

xxxx

xxxxxS

2

a) n x b)2

n 2x c)3

n x

d) n e)4n 2x

2. Reducir:

[ ]

[ ]{ }0n;

)n(n

)n(nnR

nnnn11

nnnnnn

=

a) n b) n2 c) n-1

d) n-2

e) 13. Simplificar:

12

x

x

x

x

x

x

x

x9

1a

a

a

2a

a

1a

3 a

2a

12

2

2

2.8

12

2.6

8

2

P

+

+

=

+

a) 2 b)

xa

2 c) 1d) 22 e) 2

7/25/2019 Algebra 4

11/174

Exponentes I I


4. Reducir:1

21

10

2

163231

4,0 )161

()1251

()21

()64()32(A

+++=

a) 1 b) 3

1

c) -1

d) -31

e) 3

5. Simplificar:

1)n2m(

mn21

1

n2m

yx

yxE

+

=

a) x b) y c) xy

d) yx

e)n

yx

6. Transformar:

12242

8 2 16

22

2 2 4 24S

=

a) 2 b) 2 c) 21

d) 12 e) 4

7. Transformar: 2a1a 2aa a =

+

Hallar:2 2 aa

a) 2 b) 4 c) 2

d) a e) a2

8. Calcular aproximadamente:

3 3 3 radicales.....42424L +++=

a) 1 b) 2 c) 4

d) 22 e) 2

9. Efectuar:

4ab baba )ab( )ab()ba(P

+=

(a - b) es impar.

a) 0 b) 1 c) a - b

d) b - a e)ba

1

10.Simplificar:44

4 544

4 3

64S

+

=

a) 22 b) 24 c) 4 2

d) 4 4 e) 8

1. Reducir:

80

81

3 3 3 3 2222

x.x.x.xS

=

a) x b) x2 c) xx

d) xx - 1 e) x-1

2. Simplificar: 40 30 50 300 600985838 x.x.x.x

a) x b) x2 c) xx

d) x-1 e) x20

3. Reducir:

radicales....222

radicales....666S

=

a) 2 b) 3 c) 6d) - 6 e) - 2

4. Reducir:x4x3x2x1x

x4x3x2x1x

33333

33333K

++++

++++=

++++

a) 4 b) 27 c) 9d) 81 e) 243

5. Reducir:23223242

33422324

)y()x()y()x(

)y()x()y()x(S=

a) x4 b) y3 c) x4y3

d) x3y4 e) x2y2

Aut oevaluac in

Claves1. a 2. a 3. b4. d 5. c

7/25/2019 Algebra 4

12/174

53Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

BombonesEn una fiesta hay 15 mujeres y algunos hombres. Primero cada mujer le regala un bombn a cada hombre conocido,que se lo come inmediatamente. Despus cada hombre le regala un bombn a cada mujer desconocida. En total seregalan 240 bombones.Con esta informacin, se puede determinar el nmero de hombres que hay en la fiesta?

Son productos indicados que tienen una forma determinada,de los cuales se puede recordar fcilmente su desarrollo,sin necesidad de efectuar la operacin.

1. Trinomio cuadrado perfecto

(a + b)2= a2+ 2ab + b2

(a - b)2= a2- 2ab + b2

Identidad de Legendre

I1: (a + b)2+ (a - b)2= 2(a2+ b2)I2: (a + b)2- (a - b)2= 4ab

2. Diferencia de cuadrados

(a + b) (a - b) = a2- b2

3. Desarrollo de un trinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca(ab + bc + ca)2= a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc (a + b + c)

4. Desarrollo de un binomio al cubo

(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3

(a - b)3= a3- 3a2b + 3ab2- b3

Identidades de Cauchy

I3: (a + b)3= a3+ b3+ 3ab(a + b)I4: (a - b)3= a3- b3- 3ab (a - b)

Relaciones particulares:

(a + b)3+ (a - b)3= 2a(a2+ 3b2)(a + b)3- (a - b)3= 2b(3a2+ b2)

5. Suma y diferencia de cubos

(a + b) (a2- ab + b2) = a3+ b3

(a - b) (a2+ ab + b2) = a3- b3

6. Desarrollo de un trinomio al cubo

Segn Cauchy se puede escribir as:(a+b+c)3 = a3+ b3 + c3 + 3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a) + 6abc

Otras formas ms usuales del desarrollo:

(a + b + c)3= a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a)(a + b + c)3= a3+ b3+ c3+ 3(a + b + c)(ab + ac + bc) - 3abc(a + b + c)3= 3(a + b + c)(a2+ b2+ c2) - 2(a3+ b3+ c3) + 6abc

7. Identidades de Stevin

(x + a)(x + b) = x2+ (a + b)x + ab(x+a)(x + b)(x + c) = x3+ (a + b + c)x2+ (ab + bc + ca)x + abc(x - a)(x - b)(x - c) = x3- (a + b + c)x2+ (ab + bc + ca)x - abc

8. Identidad trinmica de Argand

(x2m+ xmyn + y2n) (x2m - xmyn + y2n) = x4m + x2my2n+ y4n

Formas particulares ms usuales:

Si: m=1 , n=1(x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

Si: m=1, n=0(x2+ x + 1) (x2- x + 1) = x4+ x2+ 1

9. Identidad de Lagrange

(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2+ (ay - bx)2

(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) =(ax + by + cz)2 + (ay - bx)2+(bz - cy)2+(az - cx)2

10.Igualdades condicionales

Si: a + b + c = 0, se verifican las siguientes relacionesnotables:

* a2 + b2 + c2= -2(ab + bc + ca)* a3 + b3 + c3= 3abc

* a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 = 21 (a2 + b2 + c2)2

Product os no t ab les

Capt ulo I I I

7/25/2019 Algebra 4

13/174

Productos no tab les


Problemas resueltos

1. Reducir:L = (x + 4) (x + 2) + (x + 3) (x + 5) - 2x (x + 7) + 7

Solucin:

Aplicando: (x + a) (x + b) = x2+ (a + b)x + abtenemos:

L = x2+ 6x + 8 + x2+ 8x + 15 - 2x2- 14x + 7 L = 30

2. Si: 3x1

x2

=

+ ; hallar:

33

x

1xS +=

Solucin:

Desarrollando: x2+ 2x

x1 + 2x1 = 3

1x1

x2

2 =+ ; luego de S :

+

+=+=

22

33

x

11x

x1

xx

1xS

Reemplazando: ( ) 0S00x1

xS ==

+=

3. Reducir:S = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x - 1) (x - 2) (x - 3)- 2x(x2+ 11) - 1

Solucin:

Operando :S = x3+ 6x2+ 11x + 6 + x3- 6x2+ 11x - 6 - 2x3- 22x - 1De donde :

S = - 1

4. Reducir:

abc)ca()cb()ba(P333 +++++=

Si : a + b + c = 0

Solucin:

Tenemos que: a + b = - cb + c = -aa + c = -b

Luego reemplazando:

abc

abc3

abc

)cba(-

abc

)b-()a-()c-(P

333333

=++

=++

=

P = -3

5. Reducir:

57

57

57

57S

+

+

+=

Solucin:

Operando:

22

2222

57

)57(2

)57)(57(

)57()57(S

+=

+

++=

122

)57(2S =

+=

S = 12

Bloque I

1. Multiplicar:

( )( )212121212S 488 +

+

+=

a) 1 b) 2 c) 22

d) 2 e) 84

2. Multiplicar:

154.154P +=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 16

3. Operar:

++

= 33333 4144927S

a) 9 b) 5 c) 3d) 1 e) 16

4. Reducir:

( ) ( ) 22 3737P ++=

a) 2 b) 10 c) 20d) 40 e) 16

5. Simplificar:

0y,x;xy

yx

xy

yx

S22

+=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


7/25/2019 Algebra 4

14/174



6. Si:a + b = 4ab = 1

Hallar:P = (a2+ b2)2

a) 190 b) 196 c) 197

d) 198 e) 194

7. Si:a + b = 4ab = 1

Hallar:S = a3+ b3

a) 52 b) 51 c) 50d) 49 e) 60

8. Calcular el valor de:

32 643216842 )12)(12)(12)(12)(12)(12(31S +++++++=

a) 4 b) 8 c) 16d) 160 e) 64

9. Multiplicar:

62532532P +++=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 62 e) 10

10.Multiplicar:R = (x2+ xy + y2) (x2- xy + y2) - (x4+ y4)

a) -x2y2 b) x2y2 c) x4y4

d) x6y6 e) x8y8

Bloque II

1. Encontrar el equivalente de:R = 2(a2+ b2+ c2+ ab + bc + ac)

Si: x = a + b ; y = b + c ; z = c + a

a) x + y + z b) xyz c) x2

y2

z2

d) x2+ y2+ z2 e) xy + yz + zx

2. Hallar el valor numrico de:E = (a2 - b2) [(a2 + b2)2- a2b2]

Para:

12b

12a3

3

=

+=

a) 9 b) 24 c) 26d) 6 e) 1

3. Siendo:a = x(x2+ 3) b = 3x2 + 1

Hallar:( ) 31

22 ba

a) x2- 1 b) x3+ 1 c) x2+ x - 1d) x3- 1 e) x2+ 1

4. Si:33

24P +=

Calcular el valor de: )6P()6P(PM +=

a) 6 b) 9 c) 3d) 2 e) 0

5. El valor numrico de:

33 10361036S +=

a) 1 b) 2 c) 2

d) 2 2 e) 4

6. Siendo:A = (a + b)2- (a - b)2

B = (a2+ b2)2- (a2- b2)2

C = (a3+ b3)2- (a3- b3)2

Obtener:C

ABS=

a) 1 b) 2 c) -2d) 4 e) 4ab

7. Si:

32ab;b2

b3ay;

a2ba3

x2222

=+

=+

=

Determinar el valor de:

( ) ( )32

32

yxyxw +=

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16

8. Evaluar: 3xxE1010

++=

Siendo: 3xx 1 =+

a) 1 b) 2 c) 5

d) 7 e) 3

9. Si:

110ba

110100ab322

33

+=+

+=

Obtener: N = (a + b)4

- (a - b)4

a) 100 b) 88 c) 64d) 168 e) 60

7/25/2019 Algebra 4

15/174



10.Obtener el valor de:S = (a + b) (a2+ b2) (a4+ b4) (a - b) + 2b8

Para: 12a += 12b =

a) 28 b) 30 c) 34d) 47 e) 62

Bloque III

1. Reducir:S = (a + 1) (a - 1) (a4+ a2+ 1)

Si: 154154a ++=

a) 9 b) 99 c) 999d) 9999 e) 1

2. Si: a + b + c = 0Calcular:

)ac()cb()ba()ac()cb()ba(

M333

++++++++

=

a) 3 b) -3 c) 4d) -2 e) 16

3. Si: 0zyx 666 =++

Calcular:xzyzxy

)zyx(xyz9L

3

++

++=

a) 1 b) 2 c) -2d) 4 e) 8

4. Si:a3+ b3+ c3= 4abca2+ b2+ c2= ab + bc + ac + 1Calcular:

bcacaba

cbb

cac

ba

++

++

+

a) 0 b) 1 c) -1

d) -3 e) 3

5. Sabiendo que:

33

514

53

1514

53

1x ++=

Calcular: E = 5x3+ 3x + 1

a) 1 b) 11 c) 3d) 4 e) 8

6. Simplificar:

222222

444

)xz()zy()xz()yx()zy()yx()xz()zy()yx(S

++

++=

a) 5 b) 3 c) 4d) 2 e) 1

7. Si:x + y + z = 1x3+ y3+ z3= 4

Calcular:

xyz1

zxy1

yzx1

P+

++

++

=

a) -2 b) 2 c) -1d) 1 e) 3

8. Si: a + b + c = 0 ; reducir:

++

++

++=

22

22222

cbcb

babaabc

acb

bca

S

a) 3abc b) 3 c) -3d) -3abc e) 1

9. Si se cumple que:(x + y + 2z)2+ (x + y - 2z)2= 8(x + y)z

Hallar:

879

yzxz

yzzx

z2yx

E

+

+

+=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10.Si: a2+ b2+ c2= 12ab + bc + ac = 12abc = 8

Calcular:E = a3(ab+ac) + b3(ab+bc) + c3(ac+bc)

Considerar: a + b + c > 0

a) 216 b) 192 c) -216d) -192 e) 190

1. Reducir:22

x3y2

y2x3

x3y2

y2x3

S

+=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Simplificar:25

25

25

25P

+

+

+=

Aut oevaluac in

7/25/2019 Algebra 4

16/174



a)37

b)27

c)67

d)3

14e)

514

3. Si : a + b + c = 0

Calcular :acbcabcba

R222

++++

=

a) 1 b) 2 c) - 1d) - 2 e) 0

4. Reducir: 22 )38()38(K ++=

a) 20 b) 19 c) 22d) 23 e) 40

5. Simplificar:R = (a + b + c + d)2- (a + b + c) (a + b + d) -

(b + c + d) (a + c + d)

a) ab b) ac + cd c) cd + abd) -cd - ab e) 0

Claves1. d 2. d 3. d4. c 5. d

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17/174

59Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

Los ObstculosTodos los seres humanos, cuando intentamos lograr cualquier cosa en la vida, nos encontramos obstculos que noslo impiden, y entre mayor dificultad encontramos, mayor facilidad adquirimos. Los obstculos nos significan los retosque debemos afrontar para hacer realidad nuestros sueos. Anotaba Albert Einstein: Qu sera del mundo sin lossoadores; con los que soaron en su tiempo que el hombre poda volar, encender un foco, comunicarse a travs deun cable, crear la radio, el telgrafo, etc. No solamente eran soadores, sino que adems eran pacientes, no en elsentido de esperar pacientemente a que las cosas sucedieran, sino que insistan incansablemente hasta lograr suobjetivo. Muchos de ellos tuvieron que luchar ante la falta de recursos o la desaprobacin generalizada, que lostachaba de locos, pues lo que intentaban en opinin de los dems resultaba imposible.Toms Alva Edison lleg a la bombilla incandescente despus de 5 mil intentos. Imaginmoslo a la mitad de susexperimentos; de no haber sido un optimista consumado, lo hubiera dejado a la mitad del camino.

TEORA DE ECUACIONES

una

igualdad

es

una relacin de comparacin que

se establece entre dos expresionesel cual nos indica que tienen elmismo valor.

A B

1 miembroer 2 miembrodo=

CLASES DE IGUALDAD

Absolutas Incondicionales Relativas Condicionales

es es

Aquella que se verifica para todos losvalores asignados a sus incgnitas

Ejm: (x+1) = x + 2x + 1

la igualdad se verifica para cualquiervalor real de "x".

2 2

Aquella que se verifica para ciertosvalores particulares que se les atribuye asus incgnitas

Ejm: 2x+1 = x + 7se verifica solo si: x = 6

2(6) + 1 = 6 + 7

Ec uac iones de pr im er grado

Captu lo IV

7/25/2019 Algebra 4

18/174

Ecuaciones de pr imer grado


ECUACIN

es

Solucin o raz Conjunto solucin Ecuaciones equivalentes

son es el es dos

Aquellos valores que asumenlas incgnitas las cuales veri-fican o satisfacen una deter-

minada ecuacin.

Conjunto formado portodas las soluciones.

Efectuar en ellas todas lasoperaciones necesarias paraobtener sus soluciones.

Ecuaciones son equivalentessi todas las soluciones de laprimera ecuacin son tam-

bin soluciones de la segun-da ecuacin e inversamente.As para

Dada la ecuacin:

x - 5x = x - 11x + 6

Para: x = 1 -4 = -4

3 2 2

Para: x = 2 -12 = -12Para: x = 3 -18 = -18

luego las races o solucionesson:

x = 1; x = 2; x = 3

Como las soluciones de laecuacin:

x - 5x = x - 11x + 6

Son : x = 1; x = 2; x = 3

entonces el conjunto solu-cin (C.S.) es:

C.S. = {1; 2; 3}

3 2 2

Conseguirlo se le transformasucesivamente en otrasequivalentes.

hasta

Conseguir que ello seasencillo y permita hallar elvalor de la incgnita.

las ecuaciones:x + 2x = 14 ; 5x - 36 = 2x2 3

son equivalentes puesto queambas ecuac iones severifican solamente para:

x = 12

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Una igualdad condicional que queda satisfecha solopara algunos valores asignados a sus variables.

As : 5x - 3 = + 25

3

x

queda satisfecha solo cuando: x = 6

AsAs

As:

Ej:

x(3x-1)+5=3(x-3)-10x+6al reducir se obtiene:5 = 6

la ecuacin es absurda

irracional

si

cuando

CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES

segn

Estructura

fraccionaria

Nmero de soluciones

ser

Cuando presenta variablesen su denominador:

Ej.:

su el

x+1x+2

x - 1x - 3+

= 1

Compatibles incompatibles oabsurdas

cuando

Admite por lomenos una solucin

no existe ningunasolucinC.S. =

y es

determinada indeterminada

si

existe un nmerofinito de soluciones

el nmero de solu-ciones es ilimitada

Cuando la incgnita se en-cuentra dentro de un radical.Ej.:

x+1 + x - 4 = 7

7/25/2019 Algebra 4

19/174



si

si

ECUACIN DE PRIMER GRADO

forma general

Anlisis de sus races

si

Teoremas

de

a 0 b lR x = -

solucin nica(Compatible determinada)

ba

Transposicin

* a+b = c a = c-b* ab = c a = c ; si: b 0

b* a = c a = bc ; b

si: b 0

ax + b = 0

si

a = 0 b = 0 0 x = 0"x" admite cualquier solucin(Compatible indeterminada)

a = 0 b 0 0x = -bno existe ningn valor "x"que multiplicado por cerode como resultado "-b"

(Incompatible absurda)

Cancelacin

si

* a+c = b+c a = b; si: c lR* ac = bc a = b; si: c 0

* a = b c c

a = b; si: c 0

Problemas resueltos

1. Resolver: 4015

x95x3

3x2

+=+

Solucin:

Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de losdenominadores : 15

( )401515x9155x3153x215 +

=

+

5(2x) + 3(3x) = 9x + 60010x + 9x = 9x + 600

eliminando 9x: 10x = 600 x = 60

2. Resolver :3x

11

3x1

=+

Solucin:

Tener presente que el denominador es diferente de cero.Es decir : x - 30 x3 ...... (1)

Reduciendo la ecuacin:3x

13x

3x1

=

+

Cancelando (x - 3):1 + x - 3 = 1

x = 3 .......... (2)

De (1) y (2) se observa una contradiccin.Concluimos: la ecuacin no tiene solucin o esincompatible.

3. Resolver:4x

x2x

3

4x

x52x

322

+

=

+

Solucin:

Reduciendo las fracciones a comn denominador resulta:

4x

x)2x)(2x(

)2x(3

4x

x5)2x)(2x(

)2x(322

++

+=

+

4x

x

4x

)2x(3

4x

x5

4x

)2x(32222

+

+=

4x

x)2x(3

4x

x5)2x(322

++=

Para: x = 2x = -2, los denominadores se anulan portanto: x 2 ........ (1)3(x - 2) - 5x = 3 (x + 2) + x 6x = - 12

7/25/2019 Algebra 4

20/174



De donde: x = -2 ............... (2); de (1) y (2) se observauna contradiccin

Se concluye : la ecuacin no tiene ninguna solucin oes incompatible.

4. Resolver : 11x4x =+

Solucin:

Transponiendo: 1x

1x14x +=+Elevando al cuadrado miembro a miembro:

222 1x1x214x ++=+

1x1x214x ++=+Reduciendo se tiene:

1x24 = 21x =Al cuadrado : x - 1 = 4 x = 5Llevando: x = 5 a la ecuacin propuesta:

11x4x =+ 11545 =+3 - 2 = 1 (Se verifica la igualdad)

la solucin es: x = 5

5. Resolver : 75xx =++

Solucin:

x75x =+

Elevando al cuadrado miembro a miembro:

22 )x7(5x =+ x + 5 = 49 - 14x + x2

x2 - 15x + 44 = 0x - 11x - 4

Verificando en la ecuacin original:

75xx =++

Si: x = 11 751111 =++ 11 + 4 = 7 (Falso)

Si: x = 4 7544 =++

4 + 3 = 7 (Verdadero)o)

la nica solucin es: x = 4

6. Resolver : (x - 2) (x - 4) = 5x(x - 4)

Solucin:

Llevando 5x(x - 4) al primer miembro:(x - 2) (x - 4) - 5x (x - 4) = 0

Extraemos el factor comn (x - 4):(x - 4) [(x - 2) - 5x] = 0

x - 4 = 0 (x - 2) - 5x = 0Despejando para c/u se tiene:

x = 4 x = -21

Bloque I

1. Resolver:5 - {-x + -(4 - 2x) - 5} = x + (-5 + 2x)

a)174

b)417

c)132

d)213

e) 419

2. Resolver :2

6x5x3

2x

=

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Resolver:3x4

7x32

23x

=

+

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 18

4. Resolver:6xx

33x

12x

12

=

++

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 7

5. Resolver:

1xx12x9xx4x 222 +=++++

a)31

b)21

c)61

d) -61

e)41

6. Resolver:(x - 3)2+ 5x = (x + 2)2

a) 1 b) -1 c) 2

d) 3 e) 2

7. Resolver:

x37 ++ = 3

a) 2 b) 1 c) 3

d) 4 e) 5


7/25/2019 Algebra 4

21/174



8. Resolver:

61

2x

3x

21x +=++

a) -1 b) 1 c) 2d) -3 e) 5

9. Resolver:

1n

nxm

mx =+++

a) -nm

mn+

b) m + n c)n-m

mn

d) m - n e) mn

10.Resolver:2(x - 5)2+ x2= (x - 6)2+ 2(x2- 1)

a) 6 b) 5 c) 2

d) -2 e)21

Bloque II

1. Resolver: (x + 5)3- x3- 15x2= 50

a) 0 b) -1 c) -2d) 1 e) 2

2. Resolver: 11x1x =+

a)45

b)54

c)41

d) 1 e) -1

3. Resolver: 32x13x =+Hallar la inversa de su solucin

a) 3 b)31

c) 2

d) 4 e)41

4. Sea la ecuacin de 1er grado:(m - 7) x2+ (m2+ 2m + 6)x + 3m + 2 = 0

Hallar x.

a) 0 b) 7 c)31

d) -31

e) -7

5. Resuelva c/u de las ecuaciones, luego indique:zy.x

A.

4x2x

2

21

+

+=

B.

151

52

53

1

31

y

53

1

++

=

+

C. 23z5z2

5z23z

=+

++

a)51

b) -71

c)41

d) 1 e) -51

6. Resolver:

x5

)3-x2(x3-

3-2x1 =

a)35

b)34

c)31

d) 3 e) - 3

1

7. Resolver:

ab)b-a(ax3

ab-x

bax2 2+=++

a) 2b b) 2a c) a + bd) a - b e) 1

8. Resolver:

33x3)-2(x

-2x)2-x(5

=++

a)27

b)211

c) -29

d)21

e) -21

9. Resolver:

1b-a

x)b-a(21-ba

bax2

b-ax

22 +=++

++

7/25/2019 Algebra 4

22/174



a)2

b-ab)

2ba+

c) a + b

d) a - b e)3

ba+

10.Resolver:

+=

+1-

1x9

41

1x1-x-

213

a) b) 5 c) 4d) 3 e) 2

Bloque III

1. Resolver :

)cba(xabc1ac

x

bc

x

ab

x

++=++

a)cba

abc++

b)abc

cba ++

c) abc d) a + b + ce) 1

2. Resolver:

2

1

1x 1x1

1x1x

1x1x

=

++

+

+

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Resolver:

333 a5xaxa =++

a)45

a2 b)54

a2 c)4a2

d)5a2

e) a2

4. Marcar V o F

I. La ecuacin: x - (5 - x) = 3 - (-2x + 8)es indeterminado.

II. La ecuacin : 3x + (x-5) = 2x - (-2x+3)es incompatible.

III. La ecuacin: x19x8 =

es indeterminado.

a) VFV b) FFF c) VFF

d) VVV e) VVF

5. Calcular n, si la ecuacin:(n + 1)2 x + 7 = (n - 3)2x + 15

es incompatible

a) 2 b) 3 c) 1

d) 4 e) 5

6. Resolver:

++=++

c1

b1

a12

abc-x

acb-x

bca-x

abc0

a) 1 b) a + b + c c) a + b - c

d)2

cba ++e) a - b - c

7. Resolver:

1b-ax1b-a

bax1x =

+++

+++

a)ba

b) 1ba+ c) 1-b

a

d)b

1a +e)

b1-a

8. Resolver:

1cba

x4a

x-cbb

x-cac

x-ba =++

++++++

a) a + b + c b) a - b - cc) a - b d) a + b

e)c

ba+

9. Resolver:

cbaca

ac-xcb

bc-xba

ab-x ++=+

++

++

a) a + b + c b) ab + bc + ac

c)2

cba ++d)

cb-a

e) abc

10.Si: ab-c; resolver:

cac

1xab-c

a

1xc

ba

+=+

++

+

a) a b) c c) acd) ac + 1 e) ac - 1

7/25/2019 Algebra 4

23/174



1. Resolver: 8 - 3x + 25x2= (1 - 5x)2

a) - 2 b) - 1 c) 0d) 1 e) 2

2. Resolver:5

4x4

3x3

2x2

1x =

+

+

a)5367

b)6753

c)5337

d)3753

e) 1

3. Resolver: 42x6x =++ , indicar: x2+ x + 1

a) 13 b) 12 c) 11d) 10 e) 9

Aut oevaluac in

4. Sea la ecuacin de 1er grado:(a + 5) x2+ (a + 3) x + 7 - 3a = 0Hallar x.

a) 9 b) -5 c) -3d) 11 e) 12

5. Hallar x en:

33x1234 =+++

a) 1 b) 20 c) 30d) 40 e) 12

Claves1. b 2. a 3. a4. d 5. e

7/25/2019 Algebra 4

24/174

67Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOFac t or izac in I

Capt ulo V

Aprendizaje y superacinCarlos A. Madrazo deca: Conozco dos tipos de hombres: los que nunca fracasan y los que tienen xito. Porsupuesto, los primeros nunca fracasan porque nunca intentan nada; en cambio, los segundos acumulan tal cantidadde fracasos que a travs de ellos aseguran el xito.

Si usted solamente intenta lo que est seguro que le va a salir bien, le puedo predecir que lograr pocas cosas en lavida. Si intenta muchas cosas y algunas le salen bien, tambin le puedo predecir que usted ser un triunfador.

La madurez es la gran capacidad del ser humano de cambiar para ser mejor; el ser siempre joven es aquel que noha detenido su crecimiento y da a da busca su superacin; es el que sabe decir genuinamente cuando desconoce untema: No s, y esto le llega una gran cantidad de informacin que lo enriquece y que le asegura su permanentedesarrollo.

No se detenga, siga adelante. El crecimiento es permanente y en la vida el poder destacar solamente est permitidopara aquellos que tienen la osadia de buscar su superacin da a da.

CONCEPTOS PREVIOS

Factor o Divisor

es

Factor Algebraico

es

Factor Primo

si

Todo polinomio quedivide en forma exacta

a otro polinomio.

as

Todo polinomio degrado no nulo que

divide en forma exactaa otro polinomio.

Admite por divisoresa 1 y a si mismo.

asas

P = xy(x;y)P = x(y - 1)(x;y)

P = xy(x;y)2

sus sus

susDivisores son:P = 11(x;y)P = xP = yP = xy

2(x;y)

3(x;y)

4(x;y)

Divisores son:P =11(x;y)

P =xP =y - 1P =x(y - 1)

2(x;y)

3(x;y)

4(x;y)

No es factoralgebraico

Divisores son:P = 11(x;y)P = xP = y

P = yP = xy

P = xy

2(x;y)

3(x;y)

4(x;y)

5(x;y)

2

26(x;y)

nicosfactoresprimos

7/25/2019 Algebra 4

25/174

Factor izacin I


FACTORIZACIN

Definicin

Consiste en transformar un polinomio en otraequivalente expresada en una multiplicacin de factoresprimos sobre un determinado campo numrico.

P = 2x - 5x + 3en (enteros)(x)

2

OBSERVACIONES

Un polinomio est sobre undeterminado campo numricosi sus coeficientes pertenecena dicho campo numrico.

Factor primo o polinomio irre-ductible es todo polinomio degrado no nulo (no constante)que no se puede expresar co-mo la multiplicacin de dos oms factores.

La factorizacin de un polino-mio lo realizamos en el campode los nmeros enteros ( ) esdecir los factores primos de-ben presentar nicamentecoeficientes enteros.

Todo polinomio de primergrado : = ax + b;es irreductible en cualquiercampo numrico.

P(x)

As

P(x)= 4x - 3

As

Factorizar en :

9x -4y = (3x+2y)(3x-2y)2 2

As

P = x - 4 no es primopues: = (x+2)(x-2)(x)

2

P(x)

As

Coeficientes enteros

R = 3x + 2ix + i

en C (complejos)(x)

2 3

Q(x)= x - 6 es primo

R(x)= x + 1 es primo2

Factorizar en lR:2x -3y = ( 2x + 3y)( 2x- 3y)2 2

Coeficientes reales

Factorizar en C:4x +1 = (2x + i) (2x - i)2

Coeficientes complejos

Q(x;y)= x + y - 1

R(x;y;z)= 2x - 3y + 4z

ZZ

Q = 5x + 3 x -1x+1 2en lR (reales)

(x)3 2

ZZ

ZZ

CRITERIOS DE FACTORIZACIN

P = ax y +bx yfactor comn : x y

(x;y)5 5 4 6

4 5

Eligen las basescomunes afectadas al

menor exponente.

As

FACTOR COMN AGRUPACIN IDENTIDADES ASPA SIMPLE

se

Seleccionan conveniente-mente los trminos detal manera que genere

un factor comn.

se

la aplicacin inmediatade algunos productos

notables.

es

Aplicable generalmente atrinomios. El proceso consta

de 3 pasos:* Descomponer los extremos* Prueba de aspa

* Escritura de los factores

es

P(x;y)= x y (ax+by)4 5

luego

Nota:Los factores primos de

son:P(x;y)

PPP

1(x;y)

2(x;y)

3(x;y)

= x= y= ax + by

P(x;y)= x +xy+xz+y +yx+yzagrupando de 3 en 3

2 2

As

P

P

(x;y)

(x;y)

= x(x+y+z)+y(y+x+z)

factor comn: x + y + z= (x+y+z)(x+y)

luego

A - B = (A+B) (A-B)2 2Diferencia de cuadrados

A +B = (A+B) (A -AB+B )3 3 2 2

A + )3 3 2 2-B = (A-B) (A AB+B

Suma y Diferencia de cubos

Trinomio cuadrado perfecto

A +A B +B = (A +AB+B )(A -AB+B )4 2 42 2 2 2 2

Identidad de Argand

As

P(x;y)= 2x +5xy+2y2 2

2x y = xyx 2y = 4xy

5xy

luego

P(x;y)= (2x+y)(x+2y)A +2AB+B = (A+B)2 2 2

A2 2-2AB+B = (A - B)2

7/25/2019 Algebra 4

26/174

Factor izacin I


Problemas resueltos

1. Factorizar: a3b4c5+ a3b3c5y + a2b4c5x + a2b3c5xyDar como respuesta el nmero de factores primos

Solucin:

Extraemos el factor comn: a2b3c5E = a2b3c5[ab + ay + bx + xy]

Agrupando de 2 en 2:E = a2b3c5[(ab + ay) + (bx + xy)]E = a2b3c5[a(b + y) + x(b + y)]

E = a2b3c5(b + y) (a + x)Los factores primos son:

a; b; c; (b + y); (a + x) Total 5

2. Factorizar : P(x;y)= x2+ y2+ x(y+z) + y(x+z)Dar como respuesta la suma de factores primos

Solucin:

Efectuando: P(x;y)= x2+ y2+ xy + xz + yx + yzAgrupando convenientemente:

P(x;y)= (x2 + y2 + xy + yx)+(xz + yz)

P(x;y)= (

perfectocuadradoTrinomio

22 xy2yx ++ ) + (xz + yz)

P(x;y)= (x + y)2+ z(x + y)Factor comn : (x+y)

P(x;y)= (x + y) (x + y + z)

Los factores primos son: (x + y); (x + y + z)La suma de factores primos es:

x + y + x + y + z2x + 2y + z

3. Factorizar: R = (x - 3)3+ 125

Indicar la suma de coeficientes del factor primo de 2dogrado.

Solucin:

A potencia 3:R = (x - 3)3+ 53 suma de cubosR = [(x - 3) + 5] [(x - 3)2- (x - 3)(5) + 52]

Desarrollando y reduciendo:R = (x + 2)(x2- 6x + 9 - 5x + 15 + 25)

R = (x + 2) (x2- 11x + 49)Factores primos:

gradoPrimer

2)(x+

gradoSegundo

2 )9411x-(x +

Finalmente la suma de coeficientes del factor primo de2do grado es: 1 - 11 + 49 = 39

4. Hallar la suma de los factores primos de:M = 2x5+ 5x4- 26x3- 65x2+ 72x + 180

Solucin:

Agrupando de 2 en 2:M = (2x5+ 5x4) - (26x3+ 65x2) + (72x + 180)

Descomponiendo cada parntesis:

M = x4(5x2 + ) - 13x2(

5x2 + ) + 36 (

5x2 + )

Factor comn : 2x + 5M = (2x + 5) [x4- 13x2+ 36]

x2 -4x2 -9

-4x2

-9x2

-13x2Suman:

Luego:M = (2x + 5) (x2- 4) (x2- 9)

M = (2x + 5) (x2- 22) (x2- 32)

Diferencia de cuadradosM = (2x + 5) (x + 2) (x - 2) (x + 3) (x - 3)

Donde la suma de sus factores primos ser:

(2x + 5) + (x + 2) + (x - 2) + (x + 3) + (x - 3) = 6x + 5

5. Factorizar: P(x)= 4x4- 101x2+ 25

Solucin:P(x)= 4x4- 101x2+ 25

4x2 -1x2 -25

-x2

-100x2

-101x2Suman:

Luego: P(x)= (4x2- 1) (x2-25)

Transformando cada factor a una diferencia decuadrados:

P(x)= [(2x)2 - 12] [x2- 52]Finalmente:

P(x)= (2x + 1) (2x - 1) (x + 5) (x - 5)


Bloque I

1. Factorizar:

F(x;y;z)= x2+ xy + xz + yzindicando la suma de factores primos.

a) 2x+y+z b) 2y+x+z c) 2z+x+yd) x - y - z e) x + y - z

2. Factorizar:P(x)= x3(x - 3) + 3x2(x - 3)

indicando el nmero de factores primos.

a) 3 b) 2 c) 4d) 1 e) 5

3. Factorizar:P(x)= x2(x + 7) + 4x(x + 7) + 4x + 28

Indicando un factor primo.

7/25/2019 Algebra 4

27/174

Factor izacin I


a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3d) x + 8 e) x + 9

4. Cuntos factores primos de segundo grado tiene elsiguiente polinomio?

P(x;y)= x5y + ax4y + x3y + ax2y

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Factorizar:F(x)= 8x6+ 7x3- 1

indicar el nmero de factores primos

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. Factorice:P(x)= x4- 16

indicando un factor primo.a) x + 4 b) x2+ 4 c) x2- 2d) x2+ 2 e) x2- 4

7. Factorizar:P(x; y)= 2x2y + 3xy2+ xy

Indicar el nmero de factores primos.

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

8. Factorizar:

P(x; y; z)= x2+ xy + zx + zy + x + yIndicar un factor primo.

a) x + y b) x + y + z c) x + 1d) z + 1 e) x + z - 1

9. Factorizar:P(x; y)= 3x2+ 20xy + 12y2

e indicar la suma de factores primos.

a) 4x - 8y b) 4x + 8y c) 2x - 4yd) 2x + 4y e) 3x2+ 12y2

10.Factorizar:P(x; y)= 15x2+ 11xy + 2y2+ 16x + 6y + 4

Indicar un factor primo.

a) 3x + y b) 3x + y + 2 c) 5x + 2yd) 5x - 2y + 2 e) 5x + 2

Bloque II

1. Dar la suma de los trminos independientes de losfactores primos de:

P(x,y)

= x2+ 2x + xy + y + 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

2. Indicar verdadero (V) o falso (F)

I. Un factor primo del polinomio:P(x;y)= xm+n+ ym+n+ (xy)m+ (xy)n

luego de factorizar es: xn+ ym

II. Si factorizamos el polinomio:P(x;y;z)= (x3+y3+z3)3- x9- y9- z9

se obtienen 7 factores primosIII. Factorizando:

P(x;y)= (x-y)3- (x-y)2- 2(x-y)la suma de sus factores primos es:

3x - 3y - 1

a) FFF b) VFF c) FVFd) VVV e) VFV

3. Factorizar:P(a;b;c)= (a-b)(a3-c3) - (a-c)(a3-b3)

la suma de sus factores primos es:

a) 3a-b-c b) 3a+b+c c) 3a-b+cd) 3a-b+1 e) 3a-3b+c

4. Factorizar:P(x;y;z)=x3+y3+z3+x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y

a) (x2+y2+z2) (x+y+z) b) (x3+y3+z3) (x+y+z)c) (x+y+z)3 d) (xy+xz+yz)2(x+y+z)e) (x+y+z)(x2+y2+z)

5. Al factorizar:

P(x)= x2

(x+2)2

+ x2

+2x - 12I. Existen 2 factores primos de 2do grado.II. Existe un factor primo de 1er grado.III. El polinomio P(x)tiene 3 factores primos.

a) FFF b) FVV c) FFVd) VVV e) FVF

6. Factorizar:P(x; y)= x9y - x3y7


a) x2+ xy + y2 b) x2- xy - y2 c) x2+ y2d) x2+ y e) x2- y

7. Factorizar:M(a; b)= a2- 4 + 2ab + b2


a) a - b - 2 b) a + b + 2 c) a + bd) a - b e) ab

8. Indicar el nmero de factores primos de:P(x)= (x2+ 7x + 5)2+ 3(x2+ 1) + 21x + 2

a) 3 b) 5 c) 7d) 4 e) 2

7/25/2019 Algebra 4

28/174

Factor izacin I


9. Factorizar:P(x)= x2n + 1+ 3xn + 1+ xn + 3- xn+ 3x3- 3


a) xn+ 3 b) xn + 1+ x3 c) xn + 1

d) xn - 1- 2 e) xn- 1

10.Indicar el nmero de factores primos de:P(x; y; z)= (x2- y2- z2)2- (2yz)2

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

Bloque III

1. Factorizar el polinomio:P(a;b;c)= ac (a+c) + bc(a-b) - bc(b+c)

indicando un factor primo

a) 2b + c + a b) 2b + c c) 2a - bd) a - 2b e) a + 2c

2. Factorizar:P(x)= x7+ 2x5+ x4+ 2x3+ x2+ x + 1

indicando el nmero de factores primos

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Factorizar:P(x)= (x4- x3+ x2- x + 1)2- x4

indicando el nmero de factores primos

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

4. Factorizar:P(a;b;c)= a(b-c)2+ b(a-c)2+ c(a-b)2+ 9abc

indicando el factor de 2do grado

a) a2+b2+c2 b) ab+bc+ac c) a+b+cd) abc e) a2+ab+b2

5. Factorizar:

F(x;y)= 4x4- y4+ 4xy2+ 1

a) (2x2+2x+1+y2) (2x2+2x+1+y2)b) (2x2+2x+1+y2) (2x2+2x+1-y2)c) (2x2+2x+1-y2) (2x2-2x+1-y2)d) (2x2+2x+1-y2) (2x2-2x+1+y2)e) (2x2-2x-1+y2) (2x2-2x-1-y2)

6. Indicar el nmero de factores primos de:M(a; b; c)= 144a11b2- 436a9b4+ 100a7b6

a) 2 b) 4 c) 5

d) 3 e) 6

7. Indicar un factor de:P(a)= a12- 6a8+ 5a4+ 2a6- 6a2+ 1

a) a6+ 1 b) a6+ 1 - 5a2 c) a6- 1 - a2

d) a6- a2 e) a6+ a2+ 2

8. Indicar un factor de:M(x; y; z)= (x + y + z)(x - y + z) - (x + y)(x - y)

a) 2x - z b) z c) z + x

d) z - x e) 2z - x

9. Factorizar:T(a; b; m)= 12abm2- (16a2- 9b2)m - 12ab

indicar un factor

a) 4am + 3b b) 3mb c) 3mb - 4d) 3b - 4 e) 4am - 3b

10.Indicar el nmero de factores de:P(m; n; p)= (2m + 3n - p)2- 14m - 21n + 7p - 18

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

1. Factorizar: P(x;y)= x3y2 - y5

indicar la suma de factores primos.

a) y2+ x - y + x2+ xy b) x + x2+ xy + y2

c) y2+ x3- y3 d) y + x3- y3

e) xy + y + 1

2. Dar uno de los factores primos del polinomio:P(a;b;c)= a(b2+c2) + b(c2+ba2)

a) 2a + b b) 2a - b c) a + bd) a - 3b e) a + 3b

3. Factorizar: F(a;b;c)= (a - b) (a2- c2) - (a - c) (a2- b2)indicando el nmero de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Factorizar :P(a;b;m;n)= 2003am + 2003bm - 2003an - 2003bnindicando un factor primo.

a) m - n b) m + n c) m + 2nd) a + 2b e) a - 2b

5. Factorizar: P(x)= (x + 3)2 - 49indicando un factor primo.

a) x + 2 b) x + 10 c) x + 20d) x + 18 e) x + 4

Aut oevaluac in

Claves1. b 2. c 3. c4. a 5. b

7/25/2019 Algebra 4

29/174

73Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

Potencialidades

Todos los seres humanos poseemos potencialidades y tambin limitaciones; un ser humano sin cualidades sera un monstruo yun ser sin defectos no sera humano, sera un querubn. Todos los seres humanos tenemos una vocacin, un llamado a ser; elproblema es descubrir esa potencialidad y posteriormente pagar la colegiatura para realizar plenamente ese ser.

Debemos preguntarnos con toda sinceridad: Quin deseo ser? Qu deseo lograr en la vida? Qu quiero realizar? Qu megustara hacer? Estoy seguro de que hay cierto tipo de actividades que usted goza plenamente al realizarlas, y es ah donde ustedexpresa plenamente su potencialidad. Cules son?, ya las identific? Desafortunadamente muchas de esas tareas las tenemosrelegadas como pasatiempo de fin de semana y esperamos ansiosamente un da de descanso para dedicarnos a aquello en lo quenos sentimos plenamente realizados.

Muchas veces como padres de familia cometemos el error de forzar a nuestros hijos a ser lo que no desean ser. Imagnese: elpadre de Miguel ngel Buonarroti quera que su hijo fuera comerciante, pero el hijo, desafindolo, luch por ser escultor, y quescultor, uno cuya obra ha trascendido a travs de los siglos. Pero cuntos, tal vez miles, no han tenido el valor de Miguel ngel yse han muerto con todo su potencial dormido. El ms usual de los epitafios reza as: Fulano de tal naci, vivi y muri, y nunca supo

para qu existi.

Fac t or izac in I I

Captu lo VI

ASPA DOBLE

forma general

Procedimiento

P = ax + bx y + cy + dx + ey + f (x;y)2n n m 2m n m

si le faltase un trmino, completar con el cerot1 t2 t3 t4 t5 t6

paso 1

Aspa simple a los trminos : t ; t y t1 2 3

Aspa simple a los trminos: t ; t y t3 5 6

los factores se adoptan horizontalmente

paso 2

paso 3

Aspa simple de comprobacin: t ; t y t1 4 6

paso 4

ASPA DOBLE ESPECIAL

forma general

Procedimiento

si le faltase un trmino, completar con el cero

P = ax + bx + cx + dx + f (x)4n 3n 2n n

t1 t2 t3 t4 t5

paso 1

Descomponer los trminos "t " y "t " de modoque el producto en aspa determine un

trmino cuadrtico.

1 5

los factores se adoptan horizontalmente

paso 2

paso 3

paso 4

Descomponer el trmino que resulta dehacer la diferencia del trmino central y eltrmino cuadrtico obtenido en el paso 1.

Si esta expresin fuese correcta, almultiplicar en aspa debe verificar lostrminos segundo (t ) y cuarto (t ).2 4

7/25/2019 Algebra 4

30/174

Factor izacin I I


DIVISORES BINMICOS

se

Procedimiento

Utiliza para factorizar polinomios degrado mayor o igual a tres.

paso 1

Determinar el rango de aquellos posiblesvalores que anulan al polinomio.

paso 2

paso 3

En base a estos valores realize evaluacioneshasta conseguir algn valor que logre anularlo

: Todo valor que anula al polinomio genera un factor de 1er grado.Nota

Para conseguir el otro factor o factoresaplicaremos Ruffini cuntas veces

sea necesario.

si

7/25/2019 Algebra 4

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Factor izacin I I


Problemas resueltos

1. Factorizar: P(x;y)= 5x2+ 8xy + 3y2+ 2x - 3

Solucin:

Completamos con 0 y; aplicamos luego aspa doble.

P(x;y)= 5x + 8xy + 3y + 2x + 0y - 32 2

5x

x

3y

y

- 3

1I IIIII

I. 5xy3xy8xy

+II. 3y

-3y0y

+III. 5x

-3x2x

+

Luego:P(x;y)= (5x + 3y - 3) (x + y + 1)

2. Factorizar: Q(x;y;z)= 2(x2+ y4+ z6) - 5y2(x + z3) + 4xz3

Solucin:

Efectuando:Q(x;y;z)= 2x2+ 2y4+ 2z6- 5y2x - 5y2z3+ 4xz3

Ordenando convenientemente para aplicar el aspadoble:

Q(x;y;z)= 2x - 5xy + 2y + 4xz - 5y z + 2z2 2 4 3 2 3 6

2x

x

-y

-2y

2

2

2z

z

3

3I III II

luego:Q(x;y;z)= (2x - y2+ 2z3) (x - 2y2+ z3)

3. Factorizar: P(x)= x4+ 13x3+ 45x2+ 20x + 2

Solucin:

* Paso 1: Descomponemos los extremos y obtenemosel resultante de las aspas.

P = x + 13x + 45x + 20x + 2(x)4 3 2

x2

x21

2Aspas = 3x2

* Paso 2: Obtenemos:

= 45x - 3x = 42x2 2 2

trminocentral

Aspas

* Paso 3: Se debe verificar 13x3 y 20x mediante ladescomposicin apropiada de:

42x27x

6x

P = x + 13x + 45x + 20x + 2(x)4 3 2

x2

x212

7x6x

* Paso 4:P(x)= (x2+ 7x + 1) (x2+ 6x + 2)

4. Factorizar : P(x)= 16x4- 8x3- 16x2- 22x - 15

Solucin:

P = 16x - 8x - 16x - 22x - 15(x)4 3 2

4x2

4x23

-5Aspas = -8x2

= -16x - (-8x ) = -8x2 2 22x

-4x

P = 16x - 8x - 16x - 22x - 15(x)4 3 2

4x2

4x23

-5

2x

-4xFinalmente :

P(x)= (4x2+ 2x + 3) (4x2- 4x - 5)

5. Factorizar: P(x)= x3- x2- 2x - 12

Solucin:

* Paso 1:

Clculo de los posibles valores que anulan alpolinomio: cmo el polinomio es mnico usaremoslos divisores de 12: (1; 2; 3; 6).

* Paso 2:

Evaluando:Para: x = 1 P(1)= 13- 12- 2(1) - 12 = -14 (No)Para: x = -1 P(-1)= (-1)3- (-1)2- 2(-1) - 12

= -12 (No)Para: x = 2 P(2)= 23- 22- 2(2) - 12 = - 12 (No)Para: x = 3 P(3)= 33- 32- 2(3) - 12 = 0

P(3)= 0(x - 3)es un factor del polinomio P(x)

* Paso 3:

Aplicando Ruffini : 3xP)x(

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Factor izacin I I


x = 3

1 -1 -2

3 6

1 2 4

-12

12

0

q(x)= x2+ 2x + 4Finalmente:

P(x)= (x - 3) (x2+ 2x + 4)

6. Factorizar: P(x)= 2x3+ x2+ x - 1

Solucin:

* Paso 1:El polinomio no es mnico, usaremos opcionalmente:

divisores del trmino independientedivisores del coeficiente principal

2;1

1

* Paso 2:Evaluamos:

Para: x = 1 P(1)= 2(1)3+ 12+ 1 - 1 = 3 (No)Para: x = -1 P(-1)= 2(-1)3+ (-1)2+ (-1) - 1 = -3 (No)

Para: x =21

0121

21

21

2P23

2

1 =

+

+

=

entonces

21x es un factor

* Paso 3:

Utilizando Ruffini :

21

x

P )x(

x = 1 2

2 1 1

1 1

2 2 2

-1

1

0

Finalmente:

P(x)=

21-x (2x2+2x+2) =

21-2x

(2)(x2+x+1)

P(x)= (2x - 1) (x2+ x + 1)


a) 5x+2y+3 b) 5x+y-3 c) 5x+2y-3d) x+y+1 e) x+2y+3

2. Factorizar:P(x;y)= 3x2+ 4xy + y2 + 4x + 2y + 1

indicando uno de los factores primos

a) x-y-1 b) 3x-y+1 c) 3x+y-1d) x+y-1 e) 3x+y+1

3. Factorizar:P(x)= x4+ 5x3+ 9x2+ 11x + 6

Indique el nmero de factores primos

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

4. Factorizar:P(x)= x4- 2x3-10x2+ 5x + 12

a) (x2+ x - 3) (x - 4) (x + 1)b) (x2+ x - 3) (x + 4) (x - 1)c) (x2+ x + 3) (x - 4) (x + 1)d) (x2+ x + 3) (x - 4) (x - 1)e) (x2+ x - 3) (x - 4) (x - 1)

5. Factorizar:P(x)= x3- 11x2+ 31x - 21

a) (x - 1) (x - 7) (x + 4)b) (x + 1) (x + 7) (x + 3)

c) (x - 1)(x + 7)(x - 3)d) (x - 1)(x - 7)(x + 3)e) (x - 1)(x - 7)(x - 3)

6. Factorizar:P(x; y)= 15x2+ 11xy + 2y2+ 16x + 6y + 4


a) 3x + y b) 3x + y + 2 c) 5x + 2yd) 5x - 2y + 2 e) 5x + 2

7. Factorizar:P

(x; y)= 10x2+ 11xy - 6y2- x - 11y - 3

Indicar un factor.

a) 5x - 2y - 3 b) 5x - 2y c) 2x + 3yd) 2x - 3y + 1 e) 2x - 3y

8. Indicar un factor de:P(x)= x4+ 7x3+ 14x2+ 7x + 1

a) x2+ 3x - 1 b) x2+ 3x + 1c) x2- 4x d) x2+ 4x - 1e) x2+ 1

9. Indicar un factor de:C(x)= x3(x + 1) + 2x2+ 5(x - 3)

Bloque I

1. Factorizar:P(x;y)= 6x2+7xy-3y2+11x-11y-10

indicando la suma de sus factores primos

7/25/2019 Algebra 4

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Factor izacin I I


a) x2- 5 b) x2+ 5 c) x2- x - 3d) x2- 3 e) x2+ 3

10.Indicar un factor de:P(x)= x3+ 5x + 6

a) x - 1 b) x + 1 c) x + 3

d) x - 3 e) x + 2

Bloque II

1. Factorizar:P(x;y;z)= 2x2- 2y2- 3z2- 3xy + 7yz - xz

indicando la suma de sus factores primos

a) 3x-y-2z b) 3x+y+2z c) x-y-2zd) x-y+z e) 3x-3y-2z

2. Factorizar:

P(x)= x4

+ 5x3

- 7x2

- 29x + 30indicar la suma de todos los factores primos.

a) 4x + 3 b) 4x + 4 c) 4x + 5d) 4x + 6 e) 4x + 7

3. Factorizar:P(x)= x3+ 2x2- 5x - 6

indicar la suma de coeficientes de un factor primo

a) -3 b) 0 c) 2d) -4 e) 1

4. Factorizar:P(x)= x3- 5x2- 2x + 24

indicar la suma de los trminos independientes de losfactores primos

a) -7 b) -5 c) -3d) 4 e) 6

5. Factorizar:P(x)= x4+ 2x2+ 9

indicar un trmino de un factor primo

a) x b) 6x c) 7xd) x2 e) 9

6. Factorizar:H(x)= x3- 7x + 6

Indicar un factor.

a) x - 3 b) x + 2 c) x - 1d) x + 1 e) x

7. Indicar un factor de:M(x)= 2x3- 5x2- 23x - 10

a) x - 2 b) x + 5 c) 2xd) x - 5 e) x + 3

8. Indicar un factor de:B(x)= x4+ 4x2+ 16

a) x2+ 2x + 4 b) x2+ 2x c) x2- 2xd) x2- 2x + 3 e) x2+ 6x - 1

9. Indicar la suma de coeficientes de los factores primosde:I(x)= x4- 4x3+ 11x2- 14x + 10

a) 4 b) 5 c) 6d) 8 e) 10

10.Indicar un factor de:M(x)= 6x6- 5x5- 6x4- 13x2- 6

a) 2x3- 2 b) 2x3- 3x2+ 2c) 2x3- 3x2- 2 d) x3

e) x3- 1

Bloque III

1. Factorizar:P(x)= x5+ 5x4+ 7x3+ x2- 8x - 4

indique V o F

I. El polinomio tiene 5 factores primos.II. El polinomio tiene 3 factores primosIII. La suma de sus factores primos es 3x + 2IV. Uno de los factores primos es (x + 2)2

a) FVFF b) VVVV c) FVVVd) FVVF e) VVVF

2. Factorizar:P(x;y)= 24x3y2+60x2y2-6xy4+ 6xy3+ 36xy2

a) 6xy2(x + y + 1)(2x - y + 3)b) 6xy2(x + y + 2)(2x - y + 3)c) 6xy2(2x + y + 2)(x - y + 3)d) 6xy2(2x + y - 2)(2x - y - 3)e) 6xy2(2x + y + 2)(2x - y + 3)

3. Factorizar:P(x)= x5+ x + 1

a) (x2+ x + 1) (x3- x2+ 1)b) (x2+ x + 1) (x3+ x2+ 1)c) (x2- x - 1) (x3- x2+ 1)d) (x2- x - 1) (x3+ x2+ 1)e) (x2+ x + 1) (x3+ x2- 1)

4. Factorizar:P(x)= 12x3+ 8x2- 3x - 2

a) (3x + 2)(2x - 1)(x - 2)b) (3x - 2)(2x - 1)(x - 1)

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79Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIOEc uac iones de segundo grado

Capt ulo VII

Fracaso y xito

El fracaso tiene mil excusas, el xito no requiere explicacin. Cada vez que no logramos algo siempre tenemos unamagnfica disculpa; el mediocre busca instintivamente una justificacin para su fracaso y, por supuesto, siempre juega elpapel de vctima.El triunfador es siempre una parte de la respuesta; el perdedor es siempre una parte del problema.El triunfador dice: Podemos hacerlo; el perdedor dice: se no es mi problema.El triunfador siempre tiene un programa; el perdedor siempre tiene una excusa.El triunfador ve siempre una respuesta para cualquier problema; el perdedor ve siempre un problema en toda respuesta.El triunfador ve una oportunidad cerca de cada obstculo; el perdedor ve de dos a tres obstculos cerca de cada oportunidad.El triunfador dice: Quiz es difcil, pero es posible; el perdedor dice: Puede ser posible, pero es demasiado difcil.

ECUACIN DE 2do GRADO

Forma Formacin de la ecuacin

ax + bx + c = 0 ; a 02 depende

suma

se resuelve por

Factorizacin Frmula

AB = 0

A=0 B=0 x =1,2 2a

-b b -4ac 2

A = b - 4ac2

Discriminante

si

A > 0

Races reales

diferentes

A = 0

Races

iguales

A < 0

Races

complejasy conjugadas

A 0

Races

reales

>

x x1 2 x = x1 2 x = m + nix = m - nim; n lR,

adems: i = -1

1

2

producto

Diferencia

se debe tener

Suma :S = - b

a

Producto :P = c

a

donde

x - Sx + P = 02

7/25/2019 Algebra 4

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Ecuaciones de segundo grado


OBSERVACIONES

Operaciones con racesEcuaciones cuadrticas

equivalentes

suma de inversas si si si las ecuaciones

ax +bx+c = 0 ; a 0mx +nx+p=0 ; m 0

2

2

1x1

+1x2

=x + x

x x1 2

1 2

suma de cuadrados se cumplese cumple

tienen

las mismas raceso soluciones

x + x = (x +x ) -2x x1 2 1 2 1 22 2 2 x + x = 01 2

x x = 11 2suma de cubos

x + x = (x +x ) -3x x1 2 1 2 1 23 3 3 (x +x1 2)

suma, producto y diferencia

(x +x ) - (x -x ) = 4x x1 2 1 2 1 22 2

se cumple

b

n

a

m

c

p= =

Teorema:(Races irracionales conjugadas)

Sea la ecuacin: ax2+ bx + c = 0; a0 de races x1x2; donde (a; b; c)Q (coeficientes racionales).

Si: x1= m + n es una raz irracional, entonces:

x2= m - n es la otra raz irracional conjugada.

C.S. = {m + n ; m - n }

Teorema:(Races complejas conjugadas)

Sea la ecuacin : ax2+ bx + c = 0; a 0 de races x1

x2 ; donde (a; b; c) lR.

Si: x1 = m + ni es una raz compleja, entonces:x2= m - ni; es la otra raz compleja conjugada.

C.S. = {m + ni ; m - ni} m; n lR.

Problemas resueltos

1. Resolver:2abx2- (b2+ 6a2)x + 3ab = 0; ab0

Solucin:

Aplicando aspa simple:

2abx - (b + 6a )x + 3ab = 02 2 2

2axbx

-b-3a

-b x2

-6a x2

-(b +6a )x2 2

Luego :(2ax - b) (bx - 3a) = 0

2ax - b = 0 bx - 3a = 0

x =a2b

x = ba3

C.S. =

ba3

;a2b

2. Calcular los valores de m que hacen que la ecuacin:2x2- mx + (m + 6) = 0 ; tenga races iguales.

Solucin:

Las races de la ecuacin sern iguales, si eldiscriminante:

= b

2

4ac = 0 ......

De la ecuacin :

+=

==

6mc

mb2a

7/25/2019 Algebra 4

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Reemplazando en ():(-m)2- 4(2)(m+6) = 0 m2- 8m - 48 = 0

m -12m +4

(m - 12)(m + 4) = 0

m - 12 = 0 m + 4 = 0

Finalmente : m = 12 m = -43. Determinar la suma de los valores de k que hacen

que la suma de las races de la ecuacin:x2+ kx + 2x - k2+ 4 = 0

sea igual al producto de las mismas.

Solucin:

Dando forma a la ecuacin:1x2+ (k+2)x + (4 - k2) = 0

Segn el problema:

x1+ x2= x1x2

1k4

1)2k( 2=

+

- k - 2 = 4 - k2

k2- k - 6 = 0k - 3k +2

(k - 3) (k + 2) = 0

De donde: k - 3 = 0 k + 2 = 0k = 3 k = - 2

4. Determinar el valor de p en la ecuacin:x2- 6x + 4 + p = 0

sabiendo que la diferencia de sus races es 2.

Solucin:

Por propiedad:a

xx 21

=

Dato del problema : x1- x2= 2

Reemplazando datos :

1

)p4)(1(4)6(2

2 += 2p41636 =

Elevando al cuadrado : 20 - 4p = 4 4p = 16 p = 4

5. Hallar el valor de n para que las races de la ecuacin:

1n

1n

2x5

x3x2

+

=+

+

sean simtricas.

Solucin:

Multiplicando en aspa se tiene:(n + 1) (x2+ 3x) = (n - 1) (5x + 2)

Efectuando :(n+1)x2+ 3(n+1)x = 5(n - 1)x + 2(n - 1)

Transponiendo y agrupando:

(n + 1)x2+ [3(n + 1) - 5(n - 1)]x - 2(n - 1) = 0(n + 1)x2+ (-2n + 8) x - 2 (n - 1) = 0

Las races de la ecuacin sern simtricas, si:x1+ x2= 0

01n

)8n2(=

++

-2n + 8 = 0 2n = 8Finalmente: n = 4

6. Forma la ecuacin de 2do grado de coeficientes reales, siuna de sus races es: x1=2-5 i

Solucin:

Por teorema de races complejas conjugadas, si:x1= 2 - 5i entonces la otra raz esx2 = 2 + 5iPara formar la ecuacin se necesita:

+===++=+=

)i52)(i52(xxP

4i52i52xxS

21

21

= 22- (5i)2 = 4 - 25i2

pero: 1i1i 2 ==

Reemplazando:P = x1x2= 4 - 25 (-1) = 29Luego la ecuacin es: x2- Sx + P = 0Es decir: x2- 4x + 29 = 0


Bloque I

1. Hallar las races de la ecuacin:3x2- x - 10

a)

2;35

b)

5;23

c)

2;35

d)

5;23

e) {5; -2}

2. Hallar una raz de la ecuacin:2x2- 3x - 3 = 0

a) 3

322

b) 4

3313+

c) 2

323

d)4

333+e) 3

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3. Siendo: x1 x2 las races de la ecuacin:2x2- 5x + 1 = 0

Hallar :21 x

1x1

E +=

a) 2 b) 3 c) 6

d) 4 e) 5

4. S i e n d o y races de la ecuacin:2x2- 6x + 1 = 0

Hallar :

+

=M

a) 16 b) 15 c) 14d) 13 e) 12

5. Calcular m, si una raz de la ecuacin:

x2

- mx + 8 = 0, es: x = 2

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

6. Hallar una raz de:6x2+ x - 12 = 0

a)23

b)34

c) -34

d) -4 e) 3

7. Resolver:

x3x184-

x5

3xx2

2 +=+

+

a)21

b)23

c) -21

d) 2 e) 1

8. Resolver:x2+ 4x + 2 = 0

Indicar una raz.

a) - 2 + 2 b) 2 - 2 c) 2 + 2

d) 2 - 2 e) 2

9. Hallar una raz de:x2+ 6x + 7 = 0

a) -3 + 2 b) 3 + 2 c) 3 - 2

d) 3 e) 3 + 1

10.Resolver: 12x2+ 60x + 75 = 0

a)25

b)52

c) -25

d)21

e) 5

Bloque II

1. Hallar a (a>0), si la ecuacin:9x2- (a + 2)x + 1 = 0

presenta races iguales.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 10

2. Hallar m, si la ecuacin:x2- (m+7)x + 25 = 0

presenta raz doble (m>0)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

3. Hallar m, si la ecuacin:3x2- (3m - 600)x - 1 = 0

posee races simtricas.

a) 0 b) 50 c) 100d) 150 e) 200

4. Hallar k, si la ecuacin:

(2k - 1)x2

- 7x + (k+9) = 0posee races recprocas

a) 7 b) 8 c) 9d) 10 e) 11

5. Dada las ecuaciones:(n-1)x2 - 3(n+5)x + 10 = 0 ...... (I)(m-2)x2 - (m+7)x + 2(9m+1) = 0 ...... (II)

La suma de races de la ecuacin (I) es 12 y el productode races de la ecuacin (II) es 20. Calcular mn

a) 63 b) 64 c) 65d) 66 e) 67

6. Si x1; x2son races de:x(x - 6) = -3

obtener:T = (1 + x1)(1 + x2)

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

7. La suma de las inversas de las races de la ecuacin:(a - 2)x2- 2ax - (3 - 2a) = 0

es 10/7. Calcular a.

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1. Hallar m, si la suma de races de la ecuacin es 10.(m - 2)x2- (5m + 5) x + 8 = 0

a) 0 b) 1 c) 5

d) 15 e) 25

2. Hallar k (k

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85Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIO

Una demostracin imposible

2 = 1

Paso 1:Partimos de la igualdad : x = y

Paso 2:Multiplicando por x : x2= xy

Paso 3:Restando y2: x2- y2= xy - y2

Paso 4:

Descomponiendo en factores:(x + y)(x - y) = y (x - y)

Paso 5:Dividimos por x - y : x + y = y

Paso 6:Como: x = y, resulta : y + y = y

2y = y

Paso 7:Dividimos por y : 2 = 1

Nota:Alguno de los pasos dados es incorrecto. La regla, que seha utilizado mal en la demostracin esta relacionada con ladivisin. Cul es?.

Repaso

Capt ulo VII I


1. Hallar el nmero de factores primos del polinomio:P(x;y)= 13x10y5- 26x7y8+ 39x11y9

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Dar un factor primo de:P(x)= (x-3)(x-2)(x-1)+(x-1)(x-2)-(x-1)

a) x - 3 b) x + 3 c) x + 2d) x - 2 e) x + 5

3. Dar la suma de factores primos de:P(a;b;c;d)= a2+ 2ab + b2- c2- 2cd - d2

a) a + b b) 2a + 2b c) 2c + 2dd) c + d e) 3a + 3b

4. Factorizar:F(x;y)= x2(x - y)2 - 14xy2(x - y) + 24y4

dar un factor primo

a) x + 2y b) x - 3y c) x - 4yd) x - y e) x + 8y

5. Factorizar:F(x)= x3- 2x2- 5x + 6

a) (x - 1)(x + 2)(x - 3) b) (x + 1)(x - 2)(x + 3)c) (x - 1)(x - 2)(x - 3) d) (x + 1)(x + 2)(x + 3)

e) (x + 1)(x + 2)(x + 4)

6. Resolver:16x-[3x - (6-9x)] = 30x+[-(3x+2) - (x+3)]

a) 6 b)43

c)21

d)31

e)32

7. Resolver:

82x 1x2x 7x3 ++=+++

a) -3 b) 1 c) 2d) 5 e) -4

8. Si las races de la ecuacin:x2+ px + q = 0

son p y q, indicar una de dichas races.

a) 4 b) -2 c) 3d) -3 e) 2

9. Formar la ecuacin de 2do grado, si sus races son:

1mmx

1mmx

22

21

=

+=

a) 2x2- mx + 2 = 0 b) 2x2- 4mx + 2 = 0c) 2x2- 2mx + 1 = 0 d) 2x2- 2mx + 2 = 0e) 2x2- mx + 1 = 0

10.Dada la ecuacin:(2m + 2)x2+ 4x - 4mx + m - 2 = 0

Hallar la suma de races, sabiendo que estas soninversas.

7/25/2019 Algebra 4

42/174

Repaso


a)103

b)31

c) 3

d)3

10e) 1

11.Calcular m en la ecuacin:3x2- 7x + m = 0

Si una raz es seis veces la otra

a) 3 b) -1 c) -2d) 4 e) 2

12.Calcular (x1 - x2)2, si x1 x2 son races de laecuacin:

x2+ 7x + 5 = 0

a) 19 b) 29 c) 39d) 18 e) 24

13.Hallar m, si las races de la ecuacin son iguales.x2 - 2 (1 + 3m)x + 7 (3 + 2m) = 0; (m>0)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

14.Relacione correctamente, sea la ecuacin:cx2+ ax + b = 0; c 0

donde x1 y x2 son sus races.

1. Races reales iguales. ( )

2. x1+ x2 ( )3. Discriminante ( )4. x2= 16 ( )5. x1- x2 ( )6. Races complejas conjugadas ( )7. x2= 10x ( )8. x1x2 ( )9. 2x2- 5x + 2 = 0 ( )10.Races reales diferentes ( )11.El polinomio:

P(x)= x3- x ; tiene: ( )12.La ecuacin :

51

1-x4

51x2

1-x4 +=+ es: ( )

13.La ecuacin: ( )x - (2x + 1) = {8 - (3x + 3)} + 2x-6 es:

14.El polinomio:H(x)= 2(x - 1)4(x + 2)7tiene: ( )

15.Unidad imaginaria. ( )

Relacionar:

a)cb

b) = a2- 4cbc) x = 0 x = 10

d) Races recprocase) = 0

f) -ca

g) > 0h) x = 4 x = -4i) < 0

j)|c|cb4-a2

k) Dos factores primosl) Compatible indeterminadoll) incompatible

m) i = (0; 1) = 1n) tres factores primos

15.Resolver:

)ba()ba(a2

x)ba()ba(

x)b-a(22222

++

=++

+

a) 22

22

ba

ba

+ b) ab2 ba

22

+ c) abba

22

+

d)baba 22

++

e) 2

22

)ba(

ba

+

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Repaso


1. Resolver:9x - (5x + 1) - {2 + 8x - (7x - 5) + 9x} = 0

a) 3 b) - 41

c) - 34

d) -3 e)32

2. Hallar m, si las races de la ecuacin:(m - 3)x2- (m + 2)x + 3m - 15 = 0

son recprocas.

a) 1 b) 2 c) 6d) 7 e) 8

Aut oevaluac in3. Formar la ecuacin de 2do grado, sabiendo que sus

races son:

i32

31

x

i32

31

x

2

1

=

+=

; donde: i2= -1

a) 9x2- 6x + 5 = 0 b) 9x2+ 6x - 5 = 0c) 9x2+ 2x + 5 = 0 d) 9x2+ 6x + 5 = 0e) 9x2- 6x - 5 = 0

4. Encontrar el valor de p, si una raz es el doble de laotra en la ecuacin:

x2+ 6x + p = 0

a) 1 b) 6 c) -6d) -8 e) 8

5. Hallar k, si las races de la ecuacin son iguales:x2- 6x + k = 0

a) 1 b) -9 c) 9d) 4 e) -4

Claves1. c 2. c 3. e4. e 5. c

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Cap t u l o Pg .

I Divisin de polinomios: Horner .......................................................................................... 37

II Divisin de polinomios: Ruffini - Teorema del Resto ............................................................. 43

III M.C.D. - M.C.M. de polinomios .......................................................................................... 49

IV Fracciones algebraicas ..................................................................................................... 55

V Factorial - Combinatorio ................................................................................................... 61

VI Binomio de Newton I ........................................................................................................ 67

VII Binomio de Newton II ....................................................................................................... 73

VIII Repaso ........................................................................................................................... 79

NDICE

7/25/2019 Algebra 4

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37Colegio TRILCE

TRILCE

COLEGIODiv is in de po l inom ios:

Horner

Capt ulo I

para: x = 1 2 inexacta

Divisin de polinomios

Identidad fundamentalla

Propiedades Clases de divisin

Es aquella operacin algebraica que tiene como objetivoencontrar dos nicos polinomios llamados cociente entero q(x)y residuo R(x) a partir de otros dos polinomios llamadosdividendo D(x) y divisor d(x).

D(x)

R(x)

d(x)

q(x)

es 1 exacta

El grado del dividendo es mayor

o por lo menos igual al gradodel divisor: D d

D(x) d(x).q(x) + R(x)d(x) 0

R(x) 0

para: x = 0 3

El grado del cociente es igualal grado del dividendo menos

el grado del divisor: q = D - d

D(1) d(1).q(1) + R(1)R(x) 0Suma de coeficientes

del dividendo

El grado mximo del resto esigual al grado del divisor

disminuido en 1: R = d - 1max.

D(0) d(0).q(0) + R(0)Trmino independientedel dividendo

Para todos los mtodos es necesario que el dividendo ydivisor estn ordenados y completos en forma descendente,si falta algn trmino completar con el cero.

Por ejemplo, as en la divisin:

6x-x2

1-x3x223

25

+

+

completando con ceros se tiene:

6x0x-x2

1-0xx3x0x0x2

23

2345

++

++++

Mtodo de Horner

Para este mtodo slo se utilizarn coeficientes empleandoel siguiente esquema:

D I V I D E N D O

C O C I E N T E R E S I D U O

DI

VI

SOR

Consigno

cambiado

Con sumismo signo

1. Se distribuyen los coeficientes del dividendo en formahorizontal.

2. Se distribuyen los coeficientes del divisor en formavertical donde el primero de ellos lleva signo propio ylos restantes se colocan con signo cambiado.

3. La lnea que separa el cociente del resto se traza deacuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta dederecha a izquierda tantos lugares cmo lo indica elnmero que representa el grado del divisor.

4. Se dividen los primeros coeficientes del dividendo ydivisor, siendo este el primer coeficiente del cociente.

5. Se multiplica el primer coeficiente del cociente por lostrminos que cambiaron de signo y los resultados seescriben en fila a partir de la segunda columna; se reducelos coeficientes de la segunda columna dividiendo esteresultado entre el primer coeficiente del divisor, elresultado es el segundo coeficiente del cociente.

6. Se continuar hasta completar los coeficientes delcociente y residuo.

7/25/2019 Algebra 4

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Div isin de pol inomios: Horner


roblemas resueltos

1. Dividir:

13x-x2

1x-12x13x12x-4x2

2345

+

+++

Solucin:Utilizando el esquema de Horner:

23

-1

4

2

-126

-3

13-2-9

1

12

33

9

-1

-12725

1

-9-8

- El divisor:2x2- 3x + 1

es de grado: d = 2, entonces separamos dos

columnas para el residuo.

-

==

2d5D

q = 5 - 2 = 3; R1

- Finalmente:q(x) = 2x3- 3x2+ x + 9

R(x) = 25x - 8

2. La siguiente divisin:

2

45

1)-x(

1bxax ++; x IR - {1}

es exacta. Hallar a y b.

Solucin:En toda divisin exacta se establece que es posibleinvertir los coeficientes del dividendo y divisor y staseguir siendo exacta.Ordenando y completando se tiene:

12x-x

1x0x0x0bxax2

2345

+

+++++

Utilizando el esquema de Horner:

1

2-1

1

1

0

2

2

0

-14

3

0

-26

4

b

-38

(b + 5)

a

-4(a - 4)

En la columna del residuo:b + 5 = 0 b = - 5a - 4 = 0 a = 4

3. La siguiente divisin:ax4+ bx3+ cx2+ dx + e (x2-2)

es exacta. Calcular el valor de: ad2+ b2e

Solucin:Utilizando el esquema de Horner:

102

a

a

b0

b

ca0

c+a

2

2

d

b0

0

2

e

c +a

0

2 4

En el residuo:

- d + b2= 0 2= - bd

... (1)

- e + c2+ a4= 0 ... (2)Reemplazando (1) en (2):

e + c

bd- + a

2

bd-

= 0

e -bcd +

2

2

b

ad= 0

Transformando:eb2- cbd + ad2= 0ad2+ b2e = cdb

4. Determinar para que el polinomio:x4+ y4+ z4-(x2y2+ y2z2+ x2z2)

sea divisible por (x + y + z).

Solucin:Calculando el residuo de la divisin:- Se iguala el divisor a cero:

x + y + z = 0

- Con la anterior, se cumple:x4+ y4+ z4= 2(x2y2+ y2z2+ x2z2)

- Reemplazando en el dividendo:R = 2(x2y2+ y2z2+ x2z2)-(x2y2+ y2z2+ x2z2)

- Como es divisible entonces: R02(x2y2+ y2z2+ x2z2) (x2y2+ y2z2+ x2z2)Finalmente:= 2

1. Dividir:

3x7-x5

12-36x37x-x6x102

234

+

++

e indicar el resto.

a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) 3x + 1d) 3x - 1 e) 3x - 3

2. Dividir:

12x-x4

46x-15x14x-12x2

234

+

++

e indicar la suma de coeficientes del cociente.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


7/25/2019 Algebra 4

47/174



3. Calcular m.n, en la siguiente divisin exacta.

1x3-x4

n-mx23x-6x8x2

234

+

++

a) 15 b) 19 c) 11d) 48 e) 60

4. Calcular m + n + p, si la divisin:

3xx2

pnxmx4x8x23

235

++

++++

deja como resto:R(x) = 5x2- 3x + 7

a) 32 b) 23 c) 21d) 15 e) 12

5. En la divisin:

3x3

a3ax12x-6x2

23

+

++

el residuo toma la forma mx + m. Calcular m + a.

a) 21 b) - 21 c) 30d) - 30 e) 9

6. Calcular a - b en la siguiente divisin exacta.

7x-x3

1419x4x-bxax2

234

+

+++

a) 13 b) - 13 c) 7d) - 7 e) 3

7. En la siguiente divisin exacta:

5x4x3

3B-7x-Bx11x6x2

234

++

++

Hallar el valor de B.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

8. Calcular A - B si la divisin es exacta:

1xx

BAxx2

7

++

++

a) 3 b) - 2 c) 2d) 1 e) - 1

9. Si la divisin:

2-x2x BAx4x-3x-3xx 2

2345

++++

deja por resto: 2x - 1, calcular A + B.

a) 7 b) 8 c) 9d) 23 e) 24

10.En la divisin:

1x-x

AAxx5x22

34

+

+++

el residuo es un trmino constante, indique dicho resto.

a) -1 b) -4 c) -2d) -8 e) -3

Comparacin cuantitativa

A continuacin se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemticos y se pide determinar la relacinentre ambos, considerando las siguientes alternativas :

A. La cantidad en A es mayor que en B.

B. La cantidad en B es mayor que en A.C. La cantidad en A es igual a B.D. No se puede determinar.E. NO DEBE USAR ESTA OPCIN!

Preg. Informacin Columna A Columna B

11

Al dividir:

2x3x2

53x-6x13x6x2

234

++

+++

se obtiene:

q(x) = cocienteR(x) = residuo

q(2) R(-1)

7/25/2019 Algebra 4

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Preg. Informacin Columna A Columna B

Dividir:

1-xx2

5-8x3x4x2

24

+

++

La divisin:

2-x2x

BAx4x-3x-3xx2

2345

+

+++

deja como resto 2x - 1.

Dada la divisin exacta:

2xx4

nmx7x2x-8x2

234

++

+++

Al dividir:

1-2x3x

DCxBxAx6x2

234

+

++++

se obtiene un cociente cuyos coeficientes sonnmeros enteros consecutivos y un resto igual a

2x + 7.

12Suma de

coeficientesdel cociente

Trminoindependiente

del residuo

1325-B-A

BA+ B2

14m

n-mnm-n

15 A - C B - D

Suficiencia de Datos

En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dosdatos o dos series de datos para resolverlo. Debedeterminar qu datos se necesitan y marcar de acuerdo aestas alternativas:

A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es.B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es.C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente.D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente.E. Se necesitan ms datos.

16.En la divisin:

3x-x3cx5bx2ax-6x 2

245

+++

Hallar:3

cba 333 ++

I. Los coeficientes del cociente disminuyen de 2 en 2.II. El residuo es un polinomio de grado 0.

17. El residuo en la siguiente divisin:

2-x-x2x

3-5x-2xcxbxax23

2345

+

+++

es: 7x2+ 8x - 3. Calcular a + b + c.

I. D(x) = d(x) q(x) + R(x)II. q(x) = x2- 5x + 2

18.Si:P(x) = ax4+ bx3+ cx2+ 3x + 1

se divide por: x2- x + 1.Calcule a + b + c.

I. Suma de coeficientes del cociente es 22.II. Suma de coeficientes del residuo es 9.

19.Si la siguiente divisin:

3x2x2

3)-(B1)x(A3x2x

2

24

++

++++

deja como residuo: R(x) = x + 3.Hallar A.B

a) 9 b) - 9 c) 0d) 11 e) 21

20.En la divisin indicada:

5x-x

4-x25x-x3

26 +

Hallar el residuo.

a) 4 - x b) 4x c) xd) x + 4 e) x - 4

7/25/2019 Algebra 4

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21.Si: {m; n} ZZ y al efectuarse la divisin:

nmxx

x-x2

3

++se obtiene como resto 6.Calcular m + n.

a) 0 b) 1 c) 2d) 5 e) 4

22.Calcular: (m + p)n, si la siguiente divisin:

2x-x2

5-17xpxnxmx2

234

+

+++

tiene residuo:R(x) = 6x - 3

y un cociente cuya suma de coeficientes es 4.

a) 10 b) 70 c) - 70

d) 100 e) - 7

23.Calcular b - a si al dividir:

7x-x3

1813xbxax2

34

+

+++

se obtiene como resto 2x - 3.

a) 10 b) 4 c) 6d) 3 e) N.A.

24.Al efectuar:

K4x-3xx

15x3x-x7x223

345

++

+++

se obtiene un residuo de primer grado. Calcular dichoresto.

a) 13x + 4 b) 14x + 3 c) 12x + 4d) 13x + 3 e) 12x + 3

25.En la divisin:

2-x-2x-3x

43x-axx-6x23

2345 ++

se obtiene como resto: bx + c.Indique a + b + c.

a) 3 b) - 4 c) - 2d) - 1 e) 2

26.En la divisin:

b-ax3x

9aabx3b)x(a6ax9x2

22234

+

+++++

el resto obtenido es: 6ab + b2.Calcular:

2

22

a

ba3 +

a) 6 b) 8 c) 10

d) 12 e) 14

27.Si la divisin:

23x-4x

9-15xBx7x-Ax2

234

+

++

deja como residuo: 2x - 3Hallar A - B.

a) 12 b) - 14 c) 28d) - 12 e) 14

28.En el esquema de Horner mostrado:

1

m2

3

n

a

9

-2

1

de

p

b

fg4

c

h-3

Determinar:(m +n + p) - (a + b + c)

a) 12 b) 18 c) 14d) 17 e) N.A.

29.Si el polinomio:ax7+ bx5- 1

es divisible por:mx5+ nx4+ px3- x - 1

calcular el valor de ab + mn + p.

a) 1 b

Algebra 4º

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