Algebra

lgebra Booleana y Diseo LgicoCircuitos Digitales, 2 de Ingeniero de Telecomunicacin. EITE ULPGC.

ndice1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.Propiedades algebraicas Definicin axiomtica de lgebra booleana Teoremas bsicos del lgebra booleana Funciones booleanas Formas cannicas Formas normalizadas Otras operaciones lgicas Puertas lgicas digitales Ampliacin a varias entradas y operadores Implementaciones de puertas Tecnologa VLSIlgebra Booleana y Diseo Lgico. 2

EITE, ULPGC.

Propiedades AlgebraicasUn conjunto es una coleccin de objetos con una propiedad comn o varias x es miembro de S :

Axioma: propiedad que se asume como cierta sin necesidad de probarse

EITE, ULPGC.

lgebra Booleana y Diseo Lgico.

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Propiedades AlgebraicasCierre: Un conjunto S se dice cerrado respecto a la operacin si, y slo si,

Elemento identidad: e es el elemento identidad respecto a la operacin definida en S si

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Propiedades AlgebraicasConmutativa: Una operacin es conmutativa si, y slo si,

Elemento inverso: en un conjunto S existe el elemento inverso si

En este caso, y es el elemento inverso de xEITE, ULPGC. lgebra Booleana y Diseo Lgico. 5

Propiedades AlgebraicasDistributiva: Siendo y operadores en S, es distributiva respecto a si, y slo si,

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Definicin axiomtica de lgebra booleana Un conjunto B con las operaciones + y

es lgebra booleana si cumple las siguientes propiedades:

Cierre B es cerrado respecto a + B es cerrado respecto a

Elemento identidad Existe elemento identidad para + (0) Existe elemento identidad para (1)

EITE, ULPGC.


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Definicin axiomtica de lgebra booleana

Propiedad conmutativa + es conmutativa es conmutativa

Propiedad distributiva es distributiva respecto a + + es distributiva respecto a

Elemento complemento

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Definicin axiomtica de lgebra booleana

Cardinalidad acotada Al menos existen dos elementos, x e y, tales que

xy

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Definicin axiomtica de lgebra booleana Se define de forma implcita la operacin

de complemento ( x ' x ) Tambin se llama negacin o inversin

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Definicin axiomtica de lgebra booleana Diferencias con el lgebra ordinaria En el lgebra ordinaria la + no es distributiva con respecto a la El lgebra booleana no tiene inversos para las operaciones + y No existen operaciones equivalentes a la resta y

la divisin

Existe el complemento en el lgebra booleana pero no en el ordinarialgebra Booleana y Diseo Lgico. 11

EITE, ULPGC.

Definicin axiomtica de lgebra booleana Diferencias con el lgebra ordinaria El lgebra booleana se aplica a un conjunto finito de elementos: el ordinario a un conjunto infinito No se incluye la asociatividad como axioma en el lgebra de Boole: se puede derivar de los establecidos.

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lgebra booleana bivaluada (con dos valores)B posee dos elementos: 0 y 1 Tiene dos operadores bsicos: la y lgica (AND o producto lgico) y la o lgica (OR o suma lgica)

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lgebra booleana bivaluada (con dos valores) Cumple los axiomas para ser un lgebra

de Boole (axiomas de Hungtington)Cierre: tanto la o lgica como la y lgica dan como resultado un elemento de B Elemento identidad:

0 para + y 1 para

0+0=0 1+0=0+1=1 11=1 10=01=0

y y14

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lgebra booleana bivaluada (con dos valores)

Propiedad distributiva La operacin + es distributiva respecto a la La operacin es distributiva respecto a la +

Elemento complemento

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Propiedad conmutativa La operacin + es conmutativa en B La operacin es conmutativa en B Se puede deducir a partir de la simetra de las

tablas que definen + y

En +, si cualquiera de los operandos es 1, el resultado es 1 En , si cualquiera de los operandos es 0, el resultado es 0

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lgebra booleana bivaluada (con dos valores) Propiedad distributiva

Prueba de que x (y + z) = (x y ) + (x z )EITE, ULPGC. lgebra Booleana y Diseo Lgico. 17

lgebra booleana bivaluada (con dos valores) Propiedad distributiva

Prueba de que x + (y z ) = (x + y ) (x + z )EITE, ULPGC. lgebra Booleana y Diseo Lgico. 18


Complemento El 0 y el 1 son complementos el uno del otro:

0 + 0' = 0 + 1 = 1 y 1 + 1' = 1 + 0 =1 0 0' = 0 1 = 0 y 1 1' = 1 0 = 0

Cardinalidad acotada Existen al menos dos elementos, representados

por 0 y 1, tales que 0 1

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Procedimiento para evaluacin de operadores El orden de prioridades para evaluar los

operadores es:( ) NOT AND OR

Ejemplo: (x + x y )' para x = 0 e y = 1: ( 0 + 0 1 )' = ( 0 + 0 )' = ( 0 )' = 0' = 1EITE, ULPGC. lgebra Booleana y Diseo Lgico. 20

Principio de Dualidad Si una expresin es vlida en el lgebra

booleana, su dual tambin lo es

La expresin dual de una se obtiene cambiando en una expresin... AND por OR OR por AND 0 por 1 1 por 0

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Principio de DualidadSi

x+1=1 x 0=0

Si x + x '= 1

xx'=0

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Demostraciones de teoremas del lgebra booleana Propiedad de la Idempotencia

x+x =x

Por dualidad, x x = xlgebra Booleana y Diseo Lgico. 23

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Demostraciones de teoremas del lgebra booleana Ley de D'Morgan:

( x +y )' = x ' y '

Su dual, (x y )' = x '+y 'lgebra Booleana y Diseo Lgico. 24

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Funciones booleanas Se puede definir como: Una expresin algebraica formada con variables binarias y las funciones AND, OR y NOT

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Funciones booleanas Significado de una expresin booleana: Slo hay que leerla

F1 vale 1 cuando x vale 1 e y vale 1 o cuando x vale 1, y vale 0 y z vale 1 o cuando x vale 0, y vale 1 y z vale 1

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Funciones booleanas Se puede definir

como:

EITE, ULPGC.

Una tabla de verdad que indica el valor de la funcin para todas y cada una de las combinaciones de los valores de las variables binarias que forman parte de la funcin


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Funciones booleanas Complemento de

una funcin

Si est definida con una tabla de verdad, se obtiene cambiando los unos (1) por ceros (0) y los ceros por unoslgebra Booleana y Diseo Lgico. 28

EITE, ULPGC.

Funciones booleanas Complemento de una funcin Si est definida de forma algebraica, se aplican los Teoremas de D'Morgan

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Funciones booleanas Teorema de D'Morgan generalizado:

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Equivalencia de expresiones Por manipulaciones algebraicas

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Minterms Son funciones que valen 1 para una

nica combinacin de valores de sus variables Su expresin algebraica es un producto donde aparecen todas las variables

EITE, ULPGC.


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Minterms

EITE, ULPGC.


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Minterms

EITE, ULPGC.


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Minterms

EITE, ULPGC.


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Maxterms Son funciones que valen 0 para una

nica combinacin de valores de sus variables Su expresin algebraica es una suma donde aparecen todas las variables

EITE, ULPGC.


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Maxterms

EITE, ULPGC.


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Maxterms

EITE, ULPGC.


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Formas cannicas Son expresiones del tipo suma de

productos o producto de sumas

En la forma cannica de suma de productos... en cada uno de los trminos producto que se

suman aparecen todas las variables de la funcin: es la expresin de un minterm

En la forma cannica de producto de sumas... en cada uno de los trminos suma que se

multiplican aparecen todas las variables de la funcin: es la expresin de un maxterm

En ningn caso aparecen trminos repetidoslgebra Booleana y Diseo Lgico. 39

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Formas cannicas Los minterms que aparecen en la forma

cannica de una funcin se llaman minterms 1 de la funcin Los maxterms que aparecen en la forma

cannica de una funcin se llaman maxterms 0 de la funcin Las formas cannicas son expresiones

nicas de la funcinEITE, ULPGC. lgebra Booleana y Diseo Lgico. 40

Formas cannicas Los minterms 1 de una funcin son los que

habra que sumar para construir la funcin

EITE, ULPGC.


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Formas cannicas La expresin de un minterm

EITE, ULPGC.


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Formas cannicas Por tanto...

EITE, ULPGC.


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Formas cannicas Los maxterms 0 de una funcin son los

que habra que multiplicar para construir la funcin Se puede ver que sus ndices

corresponden a los minterms que no estn entre los minterms 1 de la funcin

EITE, ULPGC.


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Formas cannicas

EITE, ULPGC.


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Formas cannicas Cmo obtener una forma cannica de

una funcin?

A partir de la tabla de verdad, o Mediante manipulaciones algebraicas

EITE, ULPGC.


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Formas cannicas Cmo pasar de una forma cannica a

otra de una funcin?

Para realizarse de forma ms cmoda se utiliza otra notacin para definir las funciones:

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Formas cannicas

Los ndices que aparecen en una forma son los que faltan en la otra

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Formas cannicas Obtencin de formas cannicas mediante

manipulaciones algebraicas

La idea es ingenirselas para que en los distintos trminos que se sumen (o multipliquen) aparezcan todas las variables

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Formas cannicas

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Formas cannicas

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51

Formas cannicas Se propone:

Obtener la tabla de verdad de la funcin anterior y obtener las formas cannicas a partir de dicha tabla Qu debera dar?

EITE, ULPGC.


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Formas normalizadas Son formas que responden al esquema

de suma de productos o producto de sumas

Suelen tener menor nmero de operaciones que las formas cannicas Para una funcin algebraica concreta, es de

menos operaciones siguiendo esos mismos esquemas

Pueden existir varias formas normalizadas para una misma funcinlgebra Booleana y Diseo Lgico. 53

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Formas normalizadas Literal: unidad que se refiere a una

variable o su invertida Suma de productos:

Es una suma de distintos trminos, donde en todos ellos se realiza exclusivamente el producto de distintos literales

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Formas normalizadas Producto de sumas:

Es un producto de distintos trminos, donde en cada uno de ellos se realiza exclusivamente la suma de distintos literales

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Formas normalizadas Se pueden obtener...

Tomando como referencia una forma cannica y combinando trminos que se distingan en un nico literal

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Formas no normalizadas Las que se suelen

emplear son las derivadas de las normalizadas realizando factorizacin

Generalmente necesitan menos operaciones que las normalizadaslgebra Booleana y Diseo Lgico. 57

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Operaciones lgicas binarias Para n variables binarias existen 22n

funciones booleanas posibles Para 2 variables binarias existen, por

tanto, 16 funciones booleanas posibles

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Operaciones lgicas binarias

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Puertas lgicas digitales

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Tecnologa VLSI Small Scale of Integration (SSI)

Hasta 10 puertas/circuito integrado 10100 puertas/circuito integrado 1001000 puertas/circuito integrado > 1000 puertas/circuito integradolgebra Booleana y Diseo Lgico. 63

Medium Scale of Integration (MSI)

Large Scale of Integration (LSI)

Very Large Scale of Integration (VLSI)

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Implementaciones de puertas Una familia lgica es un conjunto de

circuitos elaborados con dispositivos analgicos que realizan distintas funciones en los circuitos digitales

Comparten ciertas caractersticas comunes en cuanto a estructura y propiedades elctricas

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Familia TTL

TTL = TransistorTransistor Logic

Inversor

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Familia TTLSi VINA = 0V...

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Familia TTLSi VINA = 5V...

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Familia TTL

NAND

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Familia CMOSEmplea transistores MOSFET de empobrecimiento complementarios (de canal n y p )

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Familia CMOS En el transistor MOS de empobrecimiento de canal n, con

VGS>Vth ...

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Familia CMOSEn el transistor MOS de empobrecimiento de canal n, con VGS>Vth

EITE, ULPGC.


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Familia CMOS

Inversor

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Familia CMOS

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Familia CMOS

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Familia CMOSSi VA = VSS (0)

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Familia CMOSSi VA = Vdd (1)

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Familia CMOS

NAND

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Propiedades de las puertas Margen de ruido, niveles lgicos Tiempo de retardo: tpHL y tpLH Conectividad de salida (fan-out ) Conectividad de entrada (fan-in ) Curva de transferencia / Caracterstica

de entradasalida

Estrictamente, es ms apropiado hablar de familia de curvas de transferencialgebra Booleana y Diseo Lgico. 78

EITE, ULPGC.

(...)

Propiedades de las puertas

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Propiedades de las puertasvO (V)Valores de tensin que representan un 15

vI (V)

vOH

mn

Niveles de tensin no vlidos Niveles de tensin que representan un 0

vIH vIL

mn mx

vOL

mx

0

Margen de Ruido a nivel bajo: NML = VILEITE, ULPGC. mx

Margen de Ruido a nivel alto: NMH = VOHmn

- VOL

mx

- VIH

mn 80


Caracterstica de entradasalida

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Tiempo de propagacin (retardo)

EITE, ULPGC.


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Tiempo de propagacin (retardo)3 2.5

Vin tf Vout (V) tr tpHL tpLH

Vout (V)

2 1.5 1 0.5 0

-0.5 0 0.5 1 1.5

x 10-10

2

2.5

t (sec)EITE, ULPGC. lgebra Booleana y Diseo Lgico. 83

x 10-8

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