ÁLGEBRA ECUACIONES

Definición: Una ecuación (igualdad) es la equivalencia entre dos expresiones algebraicas.

Clasificación: Se pueden clasificar de acuerdo a:1) Al grado: Pueden ser primer grado segundo

grado, tercer grado, …… , etc.Ejem:

0bax =+ (primer grado)0cbxax2 =++ (segundo grado)

0dcxbxax 23 =+++ (tercer grado)2) A los coeficientes: pueden ser numéricos o

literales.Ejm:3x + 5 = 0 (numérico)ax + b = 0 (literal)

3) A las incógnitas: pueden ser: una, dos, tres, etc.Ejm:2x + 1 = 0 (1 incógnita)2x + 8y – 8 = 0 (2 incógnitas)

4) A las soluciones: pueden ser compatibles o incompatibles.

• COMPATIBLES: Son aquellas que tienen o admiten solución, y pueden ser:

a) Determinadas: Si admiten un numero limitado de soluciones.Ejm:2x + 1 = 0 x = -1/2 (1 solución)

04x5x2 =++(x + 4)(x + 1) = 0⇒ x + 4 = 0 x+1= 0 x= -4 x=-1(2 soluciones)

b) Indeterminadas: si admiten un numero ilimitado de soluciones.Ejm:x = x

⇒ x = - ∞ …, -2,-1, 0, 1, 2, … +∞x + y = 0

⇒ x = 1, 2, 3, 4, … + ∞y = -1,-2,-3,-4,…-∞

• Incompatibles o absurdas.Son aquellas que no tienen solución, o cuya solución no satisface a la ecuación.

Ejem:x + 1 = x (absurdo)

48xx 2 =−−donde resolviendo se tiene x = 3

pero al reemplazar en la ecuación.

)absurdo(42

4833 2

==−−

Nota: Si a ambos miembros de una ecuación se suma, resta, multiplica o divide por una misma expresión se forma una ecuación equivalente a la primera, pero la ecuación “no se altera”

x = x⇒ x ± a = x ± a a ≠ 0, a ≠ ∞

a

x

a

x= a ≠ 0, a ≠ ∞

x.a = x.a a ≠ 0, a ≠ ∞

ECUACIONES DE PRIMER GRADODefinición: son aquellas ecuaciones donde el maximo exponente de la variable es uno o puede reducirse a uno, se les denomina también ecuaciones lineales. Son de la forma:

0=+bax

EJERCICIOS1. Hallar “x”

6x37132131 =+++++

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. Hallar “a”2

2

2

4a

3a

17a8a

10a6a

+−

=+++−

a) 1/2 b) -1/4 c) -1/2d) 1/4 e) 1/5

3. Hallar “x”

3x27 3 =++a) 3 b) 2 c) 45d) 12 e) 8

4. Hallar “a”

a5

15aa5

+=++

a) 12 b) 4 c) 6d) 8 e) 11

5. Hallar “x”

22 ba

ba

bxab2

ba

ax−+

−=+

+a) ( )2ba + b) 1b2 − c) 22 ba −d) 21 e) 2a +1

6. Hallar “x”( ) ( )

b.a

ab

b

abx

a

bax 22 −=

−+−

−+

a) a + b b) 2(a + 1) c) 3( b - 1)d) 2(a + b) e) b(a +1)

7. Hallar “x”( )( )

( )x

ba

baab

baba

xaba33

223

22

2

=−

−−

+++

a) a b) b c) a -1 d) b -1 e) ab

8. Hallar el conjunto solución de la ecuación:

1x41x1x

1x1x

1x1x

1x1x 2

22

22

22

22

−=−++

−−++

−−+

−++

a) { }1,2:S.C − b) { }1,1:S.C −c) { }2,1:S.C − d) { }2,2:S.C −e) { }3,2:S.C −

9. Resolver: c

z

b

y

a

x== ;

mx + ny + pz = SIndicar: x + y + z

a) ( )

pcnbma

cbaS

++++

b) ( )

pnm

cbaS

++++

c) ( )

pcnbma

baS

+++

d) ( )

nbma

pccbaS

++++

e) ( )

mcnbma

pccbaS

+++++

10. Hallar el conjunto solución:x2ba3x5ab4x5ba4 −+=−++−+

a) { }b,a:S b) { }1,b:S c) { }b,2:S

d) { }5,a:S e) N.A.

11. Hallar “x” en:

( ) 0x;1xba

ba

1bx

b

1ax

a≠

−++

=−

+−

a) 2 b) ba

2

+ c) 2(a +b)

d) a + b e) ba

4

+

12. Obtener el conjunto solución de la ecuación:

aa4xx

a4xx=

−−

−+

a) a b) 2a c) a -1

d) ( )21a − e) ( )21a +

13. Obtener el conjunto solución de la ecuación:4 244 a12

x1

x1a1

x1

x1.a1 −=

+−

−+−+

−

a) 1 b) a c) 2ad) 3 e) 2

ECUACIONES DE 2DO GRADODefinición: Son ecuaciones que tienen la forma:

0a0cbxax 2 ≠=++

Donde::ax2 Termino cuadrático

bx : Termino linealc : Termino independiente o constante

RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.

1) Por formula: reemplazando los coeficientes de la ecuación en la formula (Baskara)

a2

ac4bbx

2 −±−=

2) Por factorización: La ecuación se factoriza, y cada uno de los factores obtenidos se iguala a cero.Ejem:

010x3x 2 =−−factorizando ( )( ) 05x2x =−+

x + 2 = 0 x – 5 = 0 x = –2 x = 5

Nota: A las soluciones de una ecuación se les conoce con el nombre de raíces de la ecuación.

NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

La naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado depende de la discriminante de la raíz, que esta dada por:

ac4b2 −=∆

∆ > 0 Las raíces son reales y diferentes

∆ < 0 Las raíces son complejas y conjugadas

∆ = 0 Las raíces son iguales y reales

Discriminante

∆ = 2k La ecuación se resuelve factorizando

b = 0 Las raíces son simétricasbaxbax 21 −=+=

c = 1 Las raíces son reciprocasa/1xax 21 ==

PROPIEDADES DE LAS RAÍCESSea la ecuación:

0cbxax2 =++Y sus raíces o soluciones sean: 21 xyx entonces:

a

bxx 21

−=+

a

cx.x 21 =

FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

1. Si las raíces son 21 xyx la ecuación se formará haciendo: ( )( ) 0xxxx 21 =−−Ejm:Si las raíces de una ecuación son 2x1 = y

3x 2 = , formar la ecuación.Entonces la ecuación será:( )( ) 03x2x =−−

06x5x 2 =+−2. Si las raíces son 21 xyx , entonces la

ecuación se formará de la siguiente manera:( ) 0xxxxxx 21212 =++−

Ejemplo: Si las raíces de una ecuación son 13x1 += y 31x 2 −= formar la

ecuación.Entonces la ecuación será:( ) ( )( ) 03113x3113x 2 =−++−++−

PROBLEMAS1. Calcular el valor de “m” para que la ecuación

tenga 2 raíces iguales.002mmxx2 2 =∆→=−+−

a) 9 b) 6 c) 5 d) 4 e) 12

2. Calcular “P” en la ecuación; sabiendo que 2xx 21 =− ; 0p4x6x 2 =++−

a) 12 b) 7 c) 4 d) 5 e) 9

3. Determinar la suma de los valores de “K”, que hacen que la suma de las raíces de la ecuación sea igual al producto de las mismas.

04kx2kxx 22 =+−++

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Calcular la suma de los valores de “a” ( ) 01x5aax 2 =+−−

si: 2121 xxxx −=a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

5. Si α, β son las raíces de: 0qpxx 2 =++

Hallar el valor de: 22 2E β+αβ+α=a) p b) 2p c) p – 1 d) 1 e) 4

6. Hallar el valor de “m” de manera. que la suma de las raíces de la ecuación.( )( )1mxx 2 +− = ( )5x4 − ( )1m − , sea igual al duplo del producto de las raíces de dicha ecuación menos 1.a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) 7

7. Hallar la suma de las raíces de la ecuación ( ) ( ) 02kxk14x2k2 2 =−+−++ ; Sabiendo que estas son inversas.a) 10/7 b) 11/3 c) 10/3 d) 11 e) 1/2

8. Si a y b, son las raíces de la ecuación:( ) 0mx1m2mx2 =+−− , con “m”

constante y cumplen 4a

b

b

a=+ , ¿Hallar la

suma de todos los valores de “m”?a) –5 b) 5 c) 4 d) –4 e) 1

9. Si α, β son las soluciones de la ecuación13Si,03bxx 222 =β+αβ+α=++ Ha

llar β−αa) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10. Hallar la suma de los valores positivos de “P” para las cuales las raíces de la ecuación: ( ) 0p6px2x3P 2 =+−−Son reales positivos.

3,2,1:P A ≥0a) 6 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12

11. Si P y Q son las raíces reales de la ecuación( ) ( ) ( ) 0baxba2xba 222 =−+−−− , con a, b constantes reales y “K” es una constante, tal que.P- K = – (q - k). Hallar el valor de: Pq+k

a) a + b b) 2 c) ba

2

+ d)ba

1

+ e) a

1