ÁLGEBRA-ANILLOS
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Definicin 3.1.1 Un conjunto G con una operacion binaria en l definida, se dice que
es un grupo si se cumple las siguientes propiedades:
G1. La operacin binaria es cerrada en G.
G2. La operacin binaria es asociativa, esto es,
g1(g2g3) = (g1g2)g3
G3. Existe un elemento neutro e G tal que:
eg = ge = g para todo g G
G4. Para todo elemento g G existe un elemento g G, denominado inverso de g tal
que:
gg = gg = e
Definicin 6.1.1 Un conjunto A dotado de dos operaciones cerradas que escribiremos
(suma) y (producto) se llama anillo asociativo si se cumple las siguientes propiedades:
A1. 11(A,) es un grupo abeliano.
A2. 11El producto es asociativo.
A3. 1Se cumplen las propiedades distributivas, es decir:
a(bc) = abac888888(bc)a = baca
para cualquier a, b, c A
Definicin Si el producto es conmutativo, esto es:
ab = ba para todo a, b A.
A se dice que es un anillo conmutativo.
Definicin Si existe un elemento, que simbolizaremos mediante 1, tal que para todo
a A.
a1 = 1a = a
A se dice que es un anillo con unidad; en este caso, el elemento 1, que recibe el nombre de
elemento unidad, es nico.
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Definicin Un anillo conmutativo con unidad (A,,), donde se tiene que:
A = A {0}
Si (A,) es un grupo, se dice que (A,,) es un cuerpo.
Definicin Si (A,,) es un anillo, un elemento a A, con a 6= 0, se dice que es un
divisor de cero si:
b A, b 6= 0 tal que ab = 0 ba = 0
ProposicinEn un anillo (A,,), sea a un elemento de A que no es un divisor de 0,
entonces:
1. 11 Si ab = ac, donde b, c A, se tiene b = c
2. 11 Si ab = ac, donde b, c A, se tiene b = c
Definicin Si A es un anillo sin divisores de cero se llama un dominio de integridad (DI)
Definicin Sea A un anillo con unidad 1 y 1 6= 0. Un elemento u de A se dice que es
invertible si existe un elemento v, tambien de A tal que:
uv = vu = 1
Definicin Sea A un anillo con unidad. Si U(A) es el conjunto de elementos invertibles
de A, (U(A),) es un grupo.
Definicin Un subconjunto S de un anillo (A,,) se dice que es un subanillo de A, si
(S,) es un subgrupo de (A,) y el producto restringido en S es cerrado; de forma
equivalente, la suma y el producto son operaciones cerradas sobre S y (S,,) es un
anillo.
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Definicin Un subconjunto S de un cuerpo (C,,) se dice que es un subcuerpo de
C, si (S,) es un subgrupo de (C,) y (S,) es un subgrupo de (C,); de forma
equivalente, la suma y el producto son operaciones cerradas sobre S y (S,,) es un
cuerpo.
Definicin Un subconjunto no vaco I de A se dice que es un ideal (bilateral) de A si:
1. 11 (I,) es un subgrupo de (A,)
2. 11 Para todo a I y b A, tanto ab I y ba I.
Definicin Sea I un ideal de un anillo A; la suma y producto de clases en el cocienteA
I
estn bien definidas, y con estas,A
Iposee una estructura de anillo.
Definicin Dado un anillo A y subconjunto S A, el ideal generado por S se define
como el mnimo ideal que contiene a S, esto es, el ideal I tal que S I, y si J es otro ideal
tal que S J, entonces I J.
Dicho ideal se simboliza mediante S; una definicin equivalente ( y una confirmacin
de la existencia de tal ideal ) se obtiene considerando la familia:
F = {J | J es un ideal de A y S J}
La familia F es no vcia, pues A F , y entonces se comprueba fcilmente que
S =
JF
J
ProposicinSea A un anillo conmutativo con unidad y S un subconjunto de A. El ideal
generado por S es:
S = {r1s1 rnsn | ri A, si S, n N}
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ProposicinUn ideal I de un anillo conmutativo I es un ideal primo si dados dos ele-
mentos cualesquiera a y b de A tales que ab I o ba I. generado por S es:
ProposicinSea A un anillo conmutativo e I un ideal de A con I 6= A. El anillo cociente
A
Ies un dominio de integridad, si slo si I es un ideal primo de A.
Dados dos anillos A, A, una funcin f : A A se dice un homomorfismo de anillos si
para todo par de elementos a, b en A se tiene que:
f (ab) = f (a) f (b) f (ab) = f (a) f (b)
Homomorfismos de anillos
ProposicinSea f : A A un homosfismo de anillos; se tiene las siguientes propie-
dades:
1. f (0A) = 0A y f (a) = f (a), donde 0A y 0A son el neutro de A y A.
2. Si S es un subanillo de A, f (S) = { f (s) | s S} es un subanillo de A.
3. Si S es un subanillo de A, f1(S) = {s A | f (s) S} es un subanillo de A.
4. N( f ) = {a A | f (a) = 0A}, el ncleo de f , es un ideal de A y f es inyectiva si y slo
si N( f ) = {0A}.
5. Si I es un ideal de A, f1(I1) es un ideal I.
6. Si f es suprayectiva e I es un ideal de A, f (I) es un ideal de A1.
7. Si A es un anillo con unidad 1A y f es suprayectiva, A es un anillo con unidad
1A = f (1A).
Si F : A A es un homomorfismo de anillos y escribimos N( f ) = I0, la aplicacin
f (a+ I0) = F(A) define un isomorfismo entreA
Iy F(A). Si adems F es suprayectiva, la
aplicacin I F(I) es una biyeccin del conjunto de ideales de A que contienen I0 en el
conjunto de ideales A.
Teorema Fundamental de Homomorfismo de Anillos
Definicin Sea A un anillo conmutativo con unidad, e I un ideal de A con I 6= A. El
ideal se llama maximal si no existe otro ideal J de A tal que I J A con I 6= J y J 6= A.
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Teorema 6.3.4 Sea A un anillo conmutativo con unidad, e I un ideal de A. El anillo
cocienteA
Ies un cuerpo si slo si I es un ideal maximal.
corolario 6.3.4 Todo ideal maximal en un anillo conmutativo con unidad es un ideal
primo.
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