Algebra [Aurelio Baldor]

ALGEBRA A. BALDOR

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Nmero y forma han sido los pilares sobre los cuales se ha construido el enorme edificio de las matemticas. Sobre aqul se erigieron la Aritmtica y el Algebra; sobre ste, la Geometra y la Trigonometra. En plena Edad Moderna, ambos pilares se unifican en maravillosa sim biosis para sentar la base del Anlisis. Del nmero - en su forma concreta y particular- surgi la Aritmtica, pri. mera etapa en la historia de las matemticas. Ms tarde, cuando el hombre super ese concepto restringido del nmero, hacindolo abstracto y general, para ajustarlo a una ms compleja mentalidad, dio un paso en firme en el desarrollo del pensamiento matemtico: naci el Algebra.

No hay manifestacin de la cultura en la que los grie gos no hayan dejado la estela maravillosa de su sin guIar genio. Si en las formas concretas lograron elabo rar una insuperable plstica, en las formas puras nos legaron las corrientes perennes de su filosofa y las bases tericas de toda la matemtica ulterior. Nuestra cultura y nuestra civilizacin son una constante recu rrencia a 10 griego. Por este motivo, no podemos ignorar la contribucin de los pueblos helnicos al desarrollo de las matemticas. El cuerpo de doctrinas mate mticas que establecieron los griegos tiene sus aristas ms sobresalientes en Euclides, Arqumedes y Diofanto.

El nombre de Arqumedes -un griego- puede iniciar la lista de matemticos modernos. Hiern, rey de Siracusa, ante la amenaza de las tropas romanas a las rdenes de Marcelo, solicita de Arqu medes el concurso de su ciencia. Este disea y prepara los artefactos de guerra que resisten por tres afios al impetuoso general romano. En la guarda se puede observar cmo las enormes piedras de ms de un cuarto de tonelada de peso, lanzadas por ca tapultas, recha-zan a los ejrcitos romanos y cmo los espejos ustorios convenientemente dispuestos incendian la poderosa flota. Al caer Megara y verse totalmente bloqueada, Siracusa tuvo que rendirse el 212 (A. C.). Mareelo, asombrado ante el saber de quien casi lo haba puesto en fuga con sus ingeniosidades, requiere su presencia. El soldado roma no encargado de cumplir la orden, indignado ante . la indiferencia de Arqumedes, que sumido en sus medio taciones se neg a prestar sus servicios al soberbio ge neral vencedor de su Patria, le dio muerte con su espada.

NUESTRA PORTADA

A los rabes se debe el desarrollo de una de las ms importantes ramas de las matemticas: el Algebra. AI-Juarismi, el ms grande matemtico musulmn, dio a esta disciplina la forma que despus iba a ser clsica. Naci en la ciudad persa de Huwarizmi, hoy Khiwa, a fines del siglo VIII. Muri hacia el 844 (230 de la Hgira). En la Biblioteca del califa AlMamn compuso el 825 (210 de la Hgira) su obra "Kitab almuhtasar fi hisab algabr waal muqabala", de donde deriva el nombre de esta ciencia. Al gabr significa ecuacin o restau racin; al muqabala son los trminos que hay que agregar o quitar para que la igualdad no se altere. Por esto, en rigor, el Algebra no es ms que una teora de las ecuaciones.


ALGfBRA DR. AURELlO BALDOR CON GRAFICOS Y 6523 EJERCICIOS

Y PROBLEMAS CON RESPUESTAS FUNDADOR, DIRECTOR Y JEFE DE LA CATEDRA DE MATEMATICAS DEL COLEGIO BALDOR, HABANA, CUBA.

JEFE DE LA CATEDRA DE MATEMATICAS, STEVENS ACADEMY, HOBOKEN, NEW-JERSEY, U.SA

PROFESOR DE MATEMATlCAS, SAINT PETER'S COLLEGE, JERSEY CITY, NEW-JERSEY.

PUBLICACIONES CULTURAL

PRIMERA EDICIN MXICO, 2005


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lgebra

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Derechos reservados: Dr. Aurelio Baldor 1983, Compaa Editora y Distribuidora de Textos Americanos, S.A. (CCEDTA)

Cdice Ediciones y Distribuciones, S.A. (Cdice Amrica, S.A.) 1983, Publicaciones Cultural, S.A. de c.v. 2000, Grupo Patria Cultural, S.A. de c.v.

De esta edicin: Derechos reservados: 2004, GRUPO PATRIA CULTURAL, S.A. de c.v. bajo el sello de Publicaciones Cultural Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca, Delegacin Azcapotzalco, Cdigo Postal 02400, Mxico, D.F.

Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Registro nm. 43

ISBN 970-24-0779-6

Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean elec-trnicas o mecnicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en Mxico Printed in Mexico

Primera edicin: Publicaciones Cultural, S.A. de c.v., 1983 Primera edicin: Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V., 2005

Esta obra se termin de imprimir en marzo del 2005 en Ca. Editorial Ultra, S.A. de C.V. Centeno 162

Col. Granjas Esmeralda, Mxico 09810, D.F.


Para responder a la gentil deferencia que han tenido con esta obra los Profesores y Alumnos de la Amrica Latina, hemos introducido, en la presente edicin, una serie de mejoras que tienden a que este libro sea ms eficaz e interesante.

Hemos procurado que la presentacin constituya por s sola una poderosa fuente de motivacin para el trabajo esco-lar. El contenido ha sido cuidadosamente revisado y se han introducido diversos cuadros y tablas para un aprendizaje ms vital y efectivo. El uso del color, en su doble aspecto esttico y funcional, hacen de esta obra, sin lugar a dudas, el Algebra ms pedaggica y novedosa de las publicadas hasta hoy en i.dioma espaol.

Los Editores han estimado oportuno introducir algunos aa -didos que contribuyan a completar el contenido de los programas vigentes. Tales aadidos son, para enumerar slo algunos, las Notas sobre el Concepto de Nmero; Nota sobre las cantidades cOMPlejas e imaginarias y el Cuadro de los Tipos Bsicos de Descomposicin Factorial.

Esperamos que el Profesorado de Hispanoamrica sePa aqui-latar el ingente esfuerzo rendido por todos los t.cnicos que han intervenido en la confeccin de esta obra. Slo nos queda reiterar nuestro ms profundo agradecimiento por la acogida que le han dispensado siempre.

Los EDITORES


Con acendrada devocin y iusto orgullo, dedico este esfuerzo editorial, a la inolvidable memoria de mi madre, Profesora Doa Ana Luisa Serrano y Poncet, que fUera Presidenta de esta Empresa durante los aos 1921 a 1926.

Dr. Jos A. Lpez Serrano


CONCEPTO DE NUMERO EN LOS PUEBLOS PRIMI-TIVOS (25,000-5,000 A. C.) Medir -y contar fueron las primeras actividades matemticas del hombre pri-mitiyo. Haciendo marcas en los troncos de los rboles lotIraban, estos primeros pueblos, la medicin del tiem-

po y el conteo del nmero de animales que posean; as surgi la Aritmtica. El origen del Algebra es posterior. Pasaron cientos de siglos para que el hom-bre alcan.ara un concepto abstracto del nmero, base indispensable para la formacin de la ciencia algebraica.

PRELIMINARES (0 ALGEBRA es la rama de la Matemtica que estudia la cantidad consi-

derada del modo ms general posible.

o CARACTER DEL ALGEBRA Y SU DIFERENCIA CON LA ARITMETICA El concepto de la cantidad en Algebra es mucho ms amplio que en

Aritmtica. En Aritmtica las cantidades se representan por nmeros y stos ex-

presan valores determinados. As, 20 expresa un solo valor: veinte; para expresar un valor mayor o menor que ste habr que escribir un nmero distinto de 20.

En Algebra, para lograr la generalizacin, las cantidades se represen-tan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. As, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por tanto puede re-presentar 20 o ms de 20 o menos de 20, a nuestra ele(:cin, aunque con-viene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado.

o NOT ACION ALGEBRAICA Los smbolos usados en Algebra para representar las cantidades son los

nmeros y las letras.

5


6 ALGEBRA

Los nmeros se eJIlplean para representar cantidades conocidas y de-trminadas.

Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfa-beto: a, b, e, d . ..

Las cantidades desconocidas se representan por las ltimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Una misma letra puede representar distintos valores diferencindolos por medio de comillas; por ejemplo: a', a", a"', que se leen a prima, a se-gunda, a tercera, o tambin por medio de subndices; por ejemplo: ah Q.:, as, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.

o FORMULAS Consecuencia de la generalizacin que implica la representacin de

las cantidades por medio d letras son las frmulas algebraicas. Frmula algebraica es la representacin, por medio de letras, de una

regla o de un principio general. As, la Geometra ensea que el rea de un rectngulo es A = b x h

igual al producto de su base por su altura; luego, llamando A / al rea del rectngulo, b a la base y h a la altura, la frmula

representar de un modo general el rea de cualquier rectngulo, pues el rea de un rec-tngulo dado se obtendr con slo sustituir J A=bxh=3 m.X2 m.-6 m .. b Y h en la frmula anterior por sus valores en el caso dado. As, si la base de un ret-tngulo es 3 m. y su altura 2 m., su rea ser: /

El rea de otro rectngulo cuya A = b x h' = 8 m. x 31 m. = 28 . m. 2 ( ) base fuera 8 m. y su altura 3i m. sera: /

o SIGNOS DEL ALGEBRA Los signos empleados en Algebra son de tres clases: Signos de Ope-

racin, Signos de Relacin y Signos de Agrupacin.

o SIGNOS DE OPERACION En Algebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que

en Aritmtica: Suma, Resta, Multiplicacin, Divisin, Elevacin a Poten-cias y Extraccin de Races, que se indican con los signos siguientes:

El Signo de la Suma es +, que se lee ms. As a+ b se lee "a ms b".

() En el Cap. XVIII, pgina 270, se estudia ampliamente todo lo relaCIOnado con las frmulas algebraicas.


PRELIMINARES 7

El Signo de la Resta es -, que se lee menos. As, a - b se lee "a me-nos b".

El Signo de la Multiplicacin es x. que se lee multiplicado por. As, a x b se lee "a .multiplicado por b".

En lugar del signo x suele emplearse un punto entre los factores y tambin se indica la multiplicacin colocando los factores entre parntesis. As, a. b y (a)(b) equivalen a a X b.

Entre factores literales o entre. un factor numrico y uno litera! el signo de multiplicacion suele omitirse. As abe equivale a a X b x e; 5xy equivale a 5 X x X y.

El Signo de la Divisin es +, que se lee dividido entre. As, + b se lee "a dividido entre b". Tambin se indica la divisin separando el di-videndo y el divisor por una raya horizontal. As, : equivale a m + n~

El Signo de la Elevacin a Potencia es el exponente, que es un nmero pequeo colocado arriba y a la de- aS = aaa; b6 = bbbbb. recha de una cantidad, el cual indica las veces que dicha cantidad, llamada base, se toma como factor. As, --.../

Cuando una letra no tiene exponente, su exponente es la unidad. As, a equivale a al; mnx equivale a mlnlxl.

El Signo de Raz es V, llamado signo radical, y bajo este signo se co-loca la cantidad a la cual se le extrae la raz. As, va equivale a raz cua-drada de a, o sea, la cantidad que elevada al cuadrado reproduce la can-tidad a; ~ equivale a raz cbica de b, o sea la cantidad que elevada al cubo reproduce la cantidad b.

(2) COEFICIENTE En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado

coeficiente del otro factor. As, en el producto 3a el factor 3 es coeficiente del factor a e indica

que el factor a se toma como sumando tres veces, o sea 3a = a + a + a; en el producto 5b, el factor 5 es coeficiente de b e indica que 5b=b+b4.-b+b+b. Estos son coeficientes numricos.

En el producto ab, el factor a es coeficiente del factor b, e indica que el factor b se toma como sumando a veces, o sea ab = b + b + b + b ... a veces. Este es un coeficiente literal.

En el producto de ms de dos factores, uno o varios de ellos son el coeficiente de los restantes. As, en el producto abed, a es el coeficiente de bed; ab es el coeficiente de ed; abe es el coeficiente de d.

Cuando una cantidad no tiene coeficiente numrico, su coeficiente es la unidad. As, b equivale a lb; abe equivale alabe.


8 . ALGEBRA

o SIGNOS DE RELACION Se emplean estos signos para indicar la relacin que existe entre dos

cantidades. Los principales son: -, que se lee igual a. As, a = b se lee "a igual a b". >, que se lee mayor que. As, x + y> m se lee "x + y mayor que m

CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS 9

Si 6 veces x equivale a 48 aos, x valdr la sexta parte de 48 aos, o sea x = 8 aos, edad de A. R. Entonces R.

o CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS En Algebta, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en

dos sentidos opuestos o que son de condicin o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condicin o modo de ser (valor relativo) de la canti-dad por medio de los signos + y -, anteponiendo el signo + a las cantida-des tomadas en un sentido determinado (cantidades positivas) y anteponien-do el signo - a las cantidades tomadas en sentido opuesto al anterior (can-tidades negativas).

As, el haber se designa con el signo + y las deudas con el signo -. Para expresar que una persona tiene $100 de haber, diremos que tiene + $100, Y para expresar que debe $100, diremos que tiene - $100.

Los grados sobre cero del termmetro se designan con el signo + y los grados bajo cero con el signo -. As, para indicar que el termmetro marca 10 sobre cero escribiremos + 10 Y para indicar que marca 8 bajo cero escribiremos - 8

El camino recorrido a la derecha o hacia arriba de un punto se desig-na con el signo + y el camino recorrido a la izquierda o ~da abajo de un punto se representa con el signo -. As, si hemos recorrido 200 m. a la derecha de un punto dado, diremos que hemos recorrido + 200 m., y si recorremos 300 m. a la izquierda de un punto escribiremos - 300 m.

El tiempo transcurrido despus de Cristo se considera positivo y el tiempo transcurrido antes de Cristo, negativo. As, + 150 aos significa 150 aos D. C. y - 78 aos significa 78 aos A. C.

En un poste introducido en el suelo, representamos con el signo + la porcin que se halla del suelo hacia arriba y con el signo - la porcin que se halla del suelo hada abajo. As, para expresar que la longitud del pos-te que se halla del suelo hacia arriba mide 15 m., escribiremos + 15 m., y si la porcin introducida en el suelo es de 8 m., escribiremos - 8 m.

La latitud norte se designa con el signo + y la latitud sur con el sig-no -; la longitud este se considera positiva y la longitud oeste, negativa. Por 19 tanto, un punto de la Tierra cuya situacin geogrfica sea: + 45 de longitud y -15 de latitud se hallar a 45 al este del primer meridia-no y a 15 bajo el Ecuador.

@ ELECCION DEL SENTIDO POSITIVO La fijacin del sentido positivo en cantidades que pueden tomarse en

dos sentidos opuestos es arbitraria, depende de nuestra voluntad; es decir,


10 ALGEBRA

que podemos tomar como sentido positivo el que queramos; pero una vez fijado el sentido positivo, el sentido opuesto a ste ser el negativo.

As, si tomamos como sentido positivo el camino recorrido a la dere-cha de un punto, el camino recorrido a la izquierda de ese punto ser negativo, pero nada nos impide tomar como positivo el camino recorrido a la izquierda del punto y entonces el camino recorrido a la derecha del punto sera negativo.

As, si sobre el segmento AB tomamos como positivo el sentido de A hacia B, el sentido de B hacia A sera nega- + + tivo, pero si fijamos como sentido positivo A B A.---------de B hacia A, el senti-do de A hacia B sera negativo.

No obstante, en la prctica se aceptan generalmente los sentidos posi-tivos de que se trat en el nmero anterior.

@ CERO es la ausencia de cantidad. As, representar el estado econmi-co de una persona por O equivale a decir que no tiene haber ni deudas. Las cantidades positivas ' son mayores que O y las negativas menores

que O. As, + 3 es una cantidad que es tres unidades mayor que O; + 5 es una cantidad que es cinco unidades mayor que O, mientras que - 3 es una cantidad que es tres unidades menor que O y - 5 es una cantidad que es cinco unidades menor que O.

De dos cantidades positivas, es mayor la de mayor valor absoluto; as, + 5 es mayor que + 3, mientras que de dos cantidades negativas es mayor la de menor valor absoluto: - 3 es mayor que - 5; - 9 es menor que - 4.

EJERCICIOS SOBRE CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS

1) Un hombre cobra $130. Paga una deuda de $80 y luego hat:e com-pras por valor de $95. Cunto tiene?

Teniendo $130, pag $80; luego, se qued con $50. Despus hace un gasto de $95 y como slo tiene $50 incurre en una deuda de $45. Por lo tanto, tiene actualmente - $45. R.

.. EJERCICIO 1 1. Pedro deba 60 bolvares y recibi 320. Expresar su estado econmico. 2. Un hombre que tena 1170 sucres hizo una compra por valor de 1515.

Expresar su estado econmico. 3. Tena $200. Cobr $56 y pagu deudas por $189. Cunto tengo?


CA~TIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS 11

a vez .4.

dere- 5.ser

6.rridodel 7.

de A 8.

Compro ropas por valor de 665 soles y alimentos por 1178. Si despusrecibo 2280. cul es mi estado econmico?Tena $20. Pagu $15 que deba, despus cobr $40 y luego hice gastospor $75. Cunto tengo?Enrique hace una

12 .

10.

11.

ALGEBRA

El da 5 de mayo la situacin de un viajero es 18 de longitud este y 65 de latitud norte. Del da 5 al 31 ha recorrido 3 hacia el este y se ha acercado 4 al Ecuador. Expresar su situacin el da 31-Una ciudad fundada el ao 75 A. C. fue destruida 135 aos despus. Expresar la fecha de su destruccin.

3) Un mvil recorre 40 m. en lnea rectaa la derecha de un pun-to A Y luego retrocede en la misma direccin a razn de 15 m. por segun-do. Expresar a qu distancia se halla del punto A al cabo del 19, 29, 39 Y 49 segundo.

El mvil ha recorrido 40 m. a la derecha del punto A; luego, su po-sicin es + 40 m., tomando como positivo el sentido de izquierda a derecha.

Entonces empieza a moverse de la derecha hacia la izquierda (sentido negativo) a razn de 15 m. por segundo; luego, en el primer segundo se acerca 15 m. al punto A y como estaba a 40 m. de ese punto, se halla a 40 - 15 = 25 m. a la derecha de A; luego, su posicin es + 25 m. R.

En el 29 segundo se acerca otros 15 m. al punto A; luego, se hallar a 25 - 15 = 10 m. a la derecha de A; su posicin ahora es + 10 m. R.

En el 3er. segundo recorre otros 15 m. hacia A, y como estaba a 10 m. a la derecha de A, habr llegado al punto A (con 10 m.) y recorri-do 5 m. a la izquierda de A, es decir, 10 - 15 = - 5 in. Su posicin ahora es - 5 m. R.

En el 49 segundo recorre otros 15 m. ms hacia la izquierda y como ya estaba a 5 m. a la izquierda de A, se hallar al cabo del 49 segundo a 20 m. a la izquierda de A, o sea - 5 -15 = - 20 m.; luego, su posicin ahora es - 20 m. R.

.. EJERCICIO 3 (SENTIDO POSITIVO: DE IZQUIERDA A DERECHA Y DE ABAJO A ARRIBA).

1. Expresar que un mvil se halla a 32 m. a la derecha del punto A; a 16 m. a la izquierda de A.

2. Expresar que la parte de un poste que sobresale del suelo es 10 m. y tiene enterrados 4 m.

3. Despus de caminar 50 m. a la derecha del punto A recorro 85 m. en sentido contrario. A qu distancia me hallo ahora de A?

4. Si corro a la izquierda del punto B a razn de 6 m. por segundo, a qu distancia de B me hallar al cabo de 11 segs.?

5. Dos corredores parten del punto A en sentidos opuestos. El que corre hacia la izquierda de A va a 8 m. por seg. y el que corre hacia la derecha va a 9 m. por seg. Expresar sus distancias del punto A al cabo de 6 seg.

6. Partiendo de la lnea de salida hacia la derecha un corredor da dos vueltas a una pista de 400 m. de longitud. Si yo parto del mismo punto y doy 3 vueltas a la pista en sentido contrario, qu distancia hemos recorrido?

7. Un poste de 40 pies de longitud tena 15 pies sobre el suelo. Das despus se introdujeron 3 pies ms. Expresar la parte que sobresale y la enterrada.


CANTIDADES POSITIVAS Y NEGATIVAS . 13 8. Un mvil recorre 55 m. a la derecha del plinto A y luego en la misma

direccin retrocede 52 m. A qu distancia se halla de A? 9. Un mvil recorre 32 m. a la izquierda del punto A y luego retrocede

en la misma direccin 15 m. A qu distancia se halla de A? 10. Un mvil recorre 35 m. a la derecha de B y luego retrocede en la misma

direccin 47 m. A qu distancia se halla de B? 11. Un mvil recorre 39 m. a la izquierda de M y luego retrocede en la

misma direccin 56 m. A qu distancia se halla de M? 12. A partir del punto B una persona recorre 90 m. a la derecha y retro-

cede, en la misma direccin, primero 58 m. y luego 36 m. A qu distancia se halla de B?

13. Un mvil recorre 72 m. a la derecha de A y entonces empieza a retro-ceder en la misma direccin, a razn de 30 m. por seg. Expresar su distancia del punto A al cabo del 19, 29, 39 Y 49 seg.

14. Un auto recorre 120 Km. a la izquerda del punto M y luego retrocede a razn de 60 Km. por hora. A qu distancia se halla del punto M al cabo de la 1~, 2~, 3~ Y 4

14 ALGEaRA

Cantidades algebraicas son las que expresan el valor absoluto de las cantidades y adems su sentido o valor relativo por medio del signo.

As, escribiendo que una persona tiene + $5 expresamos el valor ab-soluto $5 y el sentido o valor relativo (haber) expresado por el signo + ; escribiendo - $S expresamos el valor absoluto $S y el sentido o valor rela-tivo (deuda) expresado por el signo -; escribiendo que el termmetro mar-ca + SO tenemos el valor absoluto SO y el valor relativo (sobre cero) expre-sado por el signo + , y escribiendo -9 tenemos el valor ,absoluto 9 y el valor relativo (bajo cero) expresado por el signo -.

Los signos + y - tienen en Algebra dos aplicaciones: una, indicar las operaciones de suma y resta, y otra, indicar el sentido o condicin de las cantidades,

Esta doble aplicacin se distingue porque cuando 105 signos + o -tienen la significacin de suma o resta, van entre trminos o expresiones in-cludas en parntesis, como por ejemplo en (+ 8) + (- 4) Y en (-7) - (+ 6). Cuando van precediendo a un t~rmino, ya sea literal o numrico, expresan el sentido positivo o negativo, como por ejemplo en - a, + b, + 7, - 8 ~REPRESENTACION GRAFICA DE LA SERIE ~ ALGEBRAICA DE LOS NUMEROS

Teniendo en cuenta que .el O en Algebra es la ausencia de la canti-dad, que las cantidades positivas son mayores que O y las negativas meno-res que 0, y que las distancias medidas hacia la derecha o hacia arriba de un punto se consideran positivas y hacia la izquierda o hacia abajo de un punto negativas, la serie algebraica de los nmeros se puede representar de este modo:

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 , , , , I I I I I I I

NOMENCLATURA ALGEBRAICA

@ EXPRESION ALGEBRAICA es la representacin de un smbolo alge-braico o de una o ms operaciones algebraicas.

I Ejemplos I 15x-3yla a, 5x, Y40, la + b le, 2 x.

@ TERMINO es una expresin algebraica que consta de un solo smbolo o de varios smbolos no separados entre s por el signo + o -. As,

b 4a ,.

a, 3 , 2xy, - son termmos. 3x


NOMENCLATURA ALGEBRAICA 15

Los elementos de un trmino son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

Por el signo, son trminos positivos los que van wecedidos del sig-no + y negativos los que van precedidos del signo~. As, + a, + Sx, + 9ab

. . 5b 3a ' . son t rmmos pOSitiVOS y -x, - e y - 2b son t rmmos negativos. El signo + suele omitirse delante de los trminos posiuvos. As,

a equivale a + a; 3ab equivale a + 3ab. . Por tanto, cuando un trmino no va precedido de ningn signo es

positivo. El coeficiente, como se dijo antes, es uno cualquiera, generalmente el

primero, de los factores del trmino. As, en el trmino 5a el coeficiente es 5; en ~ 3a2x3 el coeficiente es - 3.

La parte literal la constituyen las letras que haya en el trmino. As, . 3x3y4 . x3y4

en 5xy la partehteral es xy; en - -b- la parte hteral es --b-. 2a . a @ EL GRADO DE UN TERMINO puede ser de dos clases: absoluto y con

relacin a una letra. Grado absoluto de un trmino es la suma de los exponentes de sus

factores literales. As, el trmino 4a es de primer grado porque el expo-nente del factor literal a es 1; el trmino ab es de segundo grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 1 + 1 = 2; el trmino a2b es de t:rcer grado porque la suma de los exponentes de sus factores literales es 2 + 1 = 3; 5a4 b3c2 es de noveno grado porque la suma de los ex-ponentes de sus factores literales es 4 + 3 + 2 = 9.

El grado de un trmino con relacin a una letra es el exponente de dicha letra. As el trmino bx3 es de primer grado con relacin a b y de tercer grado con relacin a x; 4x 2y4 es de segundo grado con relacin a x y de cuarto grado con relacin a y.

@ CLASES DE TERMINOS Trmino entero es el que no tiene denominador literal como 5a,

2a . 6a4b3, -.

T5

. f . 1 . d . d l' 1 3a rmmo raCClonano es e que tIene enomma or Itera como-;-. Trmino racional es el que no tiene radical, como los ejemplos ante-

. 1 1 . d' 1 --;-Ob 3b nores, e lrraClOna e que tiene ra lca , como v ao, --o ~

Trminos homogneos son los que tienen el mismo grado absoluto. As, 4x4y y 6x2y3 son homogneos porque ambos son de quinto grado

absoluto. Trminos heterogneos son los de distinto grado absoluto, como 5a,

que es de primer grado, y 3a2 , que es de segundo grado.


16 ALGEBRA

.. EJERCICIO 4 1. Digase qu clase de trminos son los siguientes atendiendo al signo, a

si tienen o no denominador y a si tienen o no radical: 2a 5b2 Va 4a2b8 5a2 -4a3b - --o Va.. -f!5b2 - ---

, , 3' 6 ' , 6' V6a 2. Dgase el grado absoluto de los trminos siguientes:

5a, -6a2 b, a2b2, -5a3b4c, 8X5y6, 4m2n3, - xyz5 3. Dgase el grado de los trminos siguientes respecto a cada uno de sus

factores literfles: -a3b2 , _5X4y3, 6a2bx3, -4abcy2, lOm2n3b4c5

4. De los trminos siguientes escoger cuatro que sean homogneos y tres heterogneos:

-4a3b2, 6ab 3, -x5, 6x4y, -2a3x4, -ab5, 4abcx2, -2ac 5. Escribir tres trminos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y

racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales. 6. Escribir un trmino de cada uno de los g-rados absolutos siguientes: de

tercer grado, de quinto grado, de undCimo grado, de dcimo quinto grado, de vigsimo grado.

7. Escribir un trmino de dos factores literales que sea de cuarto grado con relacin a la x; otro de cuatro factores literales que s~a de sptimo grado con relacin a la y; otro de cinco factores literales que sea de dcimo grado con relacin a la b.

CLASIFICACION DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS MONOMIO es una expres~n .algebraica que consta de un solo termino, como ________ /

x'y 3a, - 5b. 448'

@ POLINOMIO es una expresin algebraica que consta trmino, como a + b, a + x - y, x3 + 2X2 + X + 7.

de ms de un

Binomio es un polinomio que consta de dos trminos, como: ______ ===-=-/

Trinomio es un polinomio que consta de tres trminos, como ____ ....,/

a2 5mx' a+ b, x-y, "3- 6b2

@ EL GRADO de un polinomio puede ser absoluto y con relacin a una letra. Grado absoluto de un polinomio es el grado de su trmino de mayor

grado. As, en el polinomio x 4 - 5x 3 + X2 - 3x el primer trmino es de cuarto grado; el segundo, de tercer grado; el tercero, de segundo grado, y el ltimo, de primer grado; luego, el grado absoluto del polinomio es el cuarto.


NOMENCLATURA ALGEBRAICA 17

Grado de un polinomio con relacin a una letra es el mayor expo-nente de dicha letra en el polinomio. As, el polinomio a6 + a4x2 - a2x4 es de sexto grado con relacin a la a y de cuarto grado con relacin a la x.

.. EJERCICIO 5 1. Dgase el grado absoluto de los siguientes polinomios:

a) X3+ X2+X. c) a~b-a2b2+abs-b4. b) 5a-3a2+4a4-6. d) x5-6x4y3_4a2b+x2y4-3y6.

2. Dgase el grado de los siguientes polinomios con relacin a cada una de sus letras:

a) all+a2-ab8. c) 6a'b7-4a2x+abil-5a3b8x6. b) x4+4x8-6x2y4_4xyll. d) m4n2-mn6+mx4yS-x8+y15-mll.

li4\ CLASES DE POLINOMIOS V Un polinomio es entero cuando ninguno de sus trminos tiene deno-

. d l 1 . 2 X2 X 1 fra al mma or Itera como x + 5x - 6; - - - + -; CClonano cuando guno 2 3 5

de sus trminos tiene letras en el denominador como ~2 + : - 8; racional cuando no contiene radicales, como en los ejemplos anteriores; irracional cUlndo contiene radical, como Va+Yb-vc-vabc; homogneo cuando to-dos sus trminos son del mismo grado absoluto, como 4,as+5a2b+6ab2 +bs, y heterogneo cuando sus trminos no son del mismo grado, como X8+ X2+X -6.

Polinomio completo con relacin a una letra es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra, desde el ms alto al ms bajo que tenga dicha letra en el polinomio. As, el polinomio x5 + x4 - x8 + x2 .- 3x es completo respecto de la x, porque contiene todos los exponentes sucesi-vos de la x desde el ms alto 5, hasta el ms bajo 1, o sea 5, 4, 3, 2, 1; el polinomio a4 - a8b + a2b2 - ab8 + b4 es completo respecto de a y b.

Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo.

As, el polinomio x4 - 4x8 + 2X2 ~ 5x + 8 est ordenado en orden des-cendente con relacin a la letra ordedatriz x; el polinomio alS - 2a4 b + 6a3b2 - 5a2b8 + 3ab4 - bl est ordenado en orden descendente respecto de la letra ordenatriz a y en orden ascendente respecto de la letra ordenatriz b.

Ordenar un polinomio es escribir sus trminos de modo que los expo-nentes de una letra escogida como letra ordenatriz queden en orden des-

cendente o ascendente. As, ordenar el polinomio -5XS+XIS_3x+X4_X2+6 en orden descendente con relacin a x ser escribirx5 +x4 -5x3 -x2 -3x+6.

Ordenar el polinomio xy - 7 X2y3 - 5xlS + 6xy4 + yli - x 3y2 en orden as-cendente con relacin a x ser escribirlo: ~

yl + 6xyi-7-x2y3 - x 3y2 + x.y - 5x".


18. ALGEBRA

Trmino independiente de un polinomio con relacin a una letra esel trmino que no tiene dicha letra.As, en el polinomio a3 - a2 + 3a - 5 el trmino independiente con

relacin a la a es 5 porque no tiene a; en x4 - 6x3 + 8x2 - 9x + 20 el trmi-no independiente es 20; en a3 - a2b + 3ab2 + bS el trmino independientecon relacin a la a es bS, y elt~rmino independiente con relacin a la bes a~El trmino independiente con relacin a una letra puede considerarseque tiene esa letra con exponente cero, porque como se ver ms adelante,toda cantidad elevada a cero equivale a lo

As, en el primer ejemplo anterior, - 5 equivale l - 5ao, y en el lti-mo ejemplo, bS equivale a aObs.

TERMINOS SEJDos o ms trm

ral, o sea, cuando tie

I Ejem.plos I

1.

~ERCICIO 6Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radi-cal, dgase de qu clase son los polinomios siguientes:

a) a3+2aL3a. e) va+ Vb- 2c+ Vd.a4 aS a2 Va

b) "2 - 3" + 2" - a. d) 4'1+2"" - 6b + 4.2. Escribir un polinomio de tercer g-rado.absoluto; de quinto grado abso-

luto; de octavo grado absoluto; de dcimoquinto grado absoluto.3. Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la x; un polinomio

de quinto grado respecto de la a; un polinomio de noveno grado res-pecto de la m.

4. De los siguientes polir.omios:a) 3a2b+4as..':'5bs.b) a4-asb+a2b2+abs.e) x5-bx4+abx3+absx2.

escoger dos que sean homogneos y5. De los siguientes polinomios:

a) a4-a2+a-aSb) 5x4_8x2+x-6.e) x4y-x3y2+X2y3-y4.

dgase cules son completos y respecto de cules letras.6. Escribir tres polinomios homogneos de tercer grado absoluto; cuatro .

de quinto grado absoluto; dos polinomios completos.7. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden

descendente:a) m2+6m-m3+m4b) 6.ax2-5a3+2a2x+x3.e) -a2b3+a4b+asb2-ab4.d) a4-5a+6a3-9a2+6.e) -xBy2+Xl0+3x4y6-x6y4+X2yB.f) -3mn2+4m12n3-8m6n5-10m3n6+n7-7m9n4+mlBn.

8. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en ordenascendente:

a) a2-5as+6a.b) x-5x3+6x2+9x4.e) 2y4+4y5_0y+2y2+5YS.

d) 4a-5b+6cL8d3-6.e) y5_ay4+a2y3_a3y2_a4y+y5.f) -6a3b4-5a6b+8a2b5-b7.

dos heterogneos,

Los trminos 4/iguales letras, stas 1mero tiene de expolJ

Los trminos -mismos exponentes,

REDUCCION Dne por objeto 1

mejantes.En la reduccir

siguientes:

1) ReduccinREGLA

Se suman los osigno que tienen tod

Ejemplos I(1) 30 + 20= 50d) m5-m4+m3-m+5.

e) y5_by4+b2yLb3y2+b4y.(2) -5b-7b=

( 3) -02-902=(4) 30x-2 + 50X-(5) - 40m.+1-7c

d) a2b4+a4b3-a6b2+aBb+b5.e) y12_X(}y6+X12y4~x3yl0.

EJERCICIO 7Reducir:

1. x+2x.2. 8a+9a.3. llb+9b.4. -b-5b.5. -8m-m.

-


es

conmi-ntea b

adi-

bso-

mores-

REDUCCION DE TElMlNOS SEMEJANTES 19

@ TERMINOS SEMEJANTESDos o ms trminos son semejantes cuando tienen la misma parte lite-

ral, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes.

I Ejemplos ILos trminos 4ab y - 6a2b no son semejantes, porque aunque tienen

iguales letras, stas no tienen los mismos exponentes, ya que la a del pri-mero tiene de exponente 1 y la a del segundo tiene de exponente 2~

Los trminos - bx" y ab" no son semejantes.porque aunque tienen losmismos exponentes, las letras no son iguales.

@ REDUCCI~N DE TER~INOS SEMEJANTE~ es una operaci~n 9-ue tie-ne por objeto convertir en un solo trmino dos o ms terrnmos se-

mejantes.En la reduccin de trminos semejantes pueden ocurrir los tres casos

siguientes:,1) Reduccin de dos o ms trminos semejantes del mismo signo.REGLASe suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo

signo que tienen todos y a continuacin se escribe la parte literal.

Ejemplos]

(1) 30+20=50. R. (6) ~ob+~ab= ~ab R2 8 6"

(2) - 5b - 7b = - 12b. R. 1 2-3XY-'-3XY=-XY. R.

5x + x + 2x = 8x. R.- m - 3m - 6m - 5m = - 15m. R.

(3) -a2-902=-1002. R.

(4) 30x-2 + 50x-2 = 80x-~. R.1 1 1 7

(10) -x~y + -x2y + -ry = -x2y. R.2 4 8 8

EJERCICIO 7Reducir:

-9m-7m. ~a+~a. 1 41- x+2x. 6. 11. 14. -S-xY-S-xy.2. Sa+9a. 7. 4ax+5ax. 2 23. llb+9b. 8. 6ax+1+Sax+1. 12. ~ab+~ab. 15. -~a2b-~a2b.

-mx+1-5mx+1. 5 10 6 84. -b-5b. 9. 1 1 76. -Sm-m. 10. _3ax-2_ax-2 13. aXY+--xy. 16. -a-ga.


20. ALGEBRA

17. 8a+9a+6a. 29. -x2y-8x2y-9x2y-20x2y.18. 15x+20x+x. 30. -3am-5am"-6am-9am

19. -7m-8m-9m. 11131. -;a+--a+-a+a.20. -a2b-a2b....;.3a2b. 2 1 1 121- a"+3a"+8a". 32. -;-ax+-;ux+wax+ 20ax.

22. -5a"+ 1-3a" +1-5a" +1. 33.O.5m+O.6m+O.7m+O.8m.

23. 1 2 34.-~b-~b-~b-ab.

a+-;-a+a. 7 14 282 1 1 1

24.:1 1 35. - -Xlly--Xlly--Xly--Xlly.-X--X--X. 3 6 9 128 6 36. ab2+ab2+7ab2+9ab2+21ab2

25. 1 a 37. -m-m-8m-7m-3m.-;-aX+10ax+ax.8 G

38. -x&+1-8xa+I-4x&+1-5xa+1-x&+I.26. '--a2x---a2x-a2x. 1 1 1 1 139. ~+sa+--a+~+--a27. lla+8a+9a+ lla.28. m"+1+3m"+1+4m"+1+6m"+1. 40. -!...ab~~b--~b-~b-!...ab.3 6 2 12 9

13. -x2y+X2y.14. -9ab2+9ab215. "7x2y-7x'ky.16. -101mn+ 118m:17. 502ab-405ab.18. -1024x+ 1018x.19. -15ab+ 15ab.20. 1 82a-~.

21. 3 1-a--a.4 2

22. ~a2b-~a2b.6 12

2> Reducci6n de dos' trminos semejantes de distinto signo.REGLASe restan los coeficientes. poniendo delante de esta diferencia el signo

del mayor y a continuaci6n se escribe la parte literal.

Ejemplos I(1) 20 - 3a= - o. R.

3) Reduccin (

REGLASe reducen a u

trmino todos los DIgla del caso anterio

(7)

(8)

- ~a2b+ a2b= ~02b. R.581__ 0"+1+_0"+1=_ ........"+1 R6 '" 12"'

I Ejemplos I(1) Reducir 50-

ReduciendoReduciendoAplicando arior, se tieruEsta reducck50-80=-

(5) 2So"+1- 540,,+1= - 290"+1. R.

(2) 18x-11x=7x. R.

(3) - 20ab + 11ab = - 90b. R.(4) - Sa" + 130" = So". R.

(6) ~o - ~a = - ~o R2 8 6"

(2) Reducir -:

De la regla anterior se de~uce que dos trminos semejantes de iguales coefi-cientes y de signo contrari se anulan. Reduciendo

As: - Sab + Sab =O. R.2 2jix2y - 5"x2y = O. R.

Reduciendo

. EJERCICIO 8Tendremos:

Reducir:1. 8a-6a.2. 6a-8a.3. 9ab-15ab.4. 15ab-9ab.

5. 2a-2a.6. -7b+7b.7. -14xy+32xy.

"8. -25x2y+32x2y.

9. 40x3y-51x3y.10. -m2n+6m2n.U. -15xy+40xy.12. 55a3b2-81a3b2

. EJERCICIO 9Reducir:

1. 9a-3a+5a.2. -8x+9x-x.3. 12mn-23mn-54. -x+ 19x-18x.


RIDUCCION DI TERMINOS SEMEJANTES 2113. -x2y+X2y. 23. 4 ~ 9 2 33. _xa+1+xa+1--x~y+-x y.14. -9ab2+9ab2.

7 14

24. 8 1) 34._~am-2+2.am-:.

15. 7x2y-7x2y. -am--am. 4 28 416. -101mn+ 118mn. 25. -am+~am. 35.

~am+1_..!.am+l.

17.6 12

502aO-405ab. 518. -1024x+ 1018x. 26. 5 7 36.

4a2-.!..a2.-mn--mn. 3

19. -15ab+15ab.6 S

S

1 S 27. -a2b+~a2b. 37. -5mn+-mn.20. --a---a. 112 4 28. 3.4a~b~-5.Ga4ba. 38. 8aX+ 2bx+3-25.ax+ 2bx+s.3 1 29. -1.2yz+3.4)Jz. _'!"'ambn+ambn.21. -a--a. 30. 4ax-2ax. 39.4 2 8

xti. 31.-8ax+l+~ax+l.

22. ~a2b-!...a2b. 32. 25ma-1-32ma-1140. 0.85mxy--;mxy.

6 12

b.

signo

R.

1 x+l R12 .

s caefi-

3) Reducci6n de ms de dos trminos semejantes de signos distintos.

REGLASe reducen a un solo trmino todos los positivos, se reducen a un solo

trmino todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la re-gla del caso anterior.

Ejemplos I(1) Reducir 50 - 80+ o - 60+ 210.

Reduciendo los positivos: 50+ o + 210= 270.Reduciendo los negativos: - 80 - 60= - 140.Aplicondo a estos resultados obtenidos, 270 y -140, la regla del caso ante-rior, se tiene: 270-140 = 130. R.Esta reduccin tambin suele hacerse trmino a trmino, de esta manera:'50-80=-30; -30+0=-20; -20-60=-80; -80+210=130. R.

(2) Reducir - =bx2 + ~bx2 + ~bx2 - 4bx2 + bx25 5 4 .

Reduciendo los positivos: ~bX2+ ~bX2+ bx2= ~bx2.5 4 20

Reduciendo los negativos:

Tendremos: ~bX2 - ==bx2= - ~bx2. R.20 5 20

. EJERCICIO 9Reducir:

1. 9a-3a+5a.2. -8x+9x-x.3. 12mn-23mn-5mn.4. -x+ 19x-18x.

19m-lOm+6m.-llab-15ab+26ab.-5ax+9ax-35ax.-24ax+2-15ax+2+39ax+2.

5.6.7.8.

9. 2 13Y+3Y-y.-~m+~-.!..m.

5 4 210.


22. ALGEBRA

11. .!a2b+~2b-a2b. SIl23. -a2b--a2b+-a2b-a2b.8 4 1> 6 812. -a+8a+9a-15a. -~b2_.!...ab2+ab2_!..ab2.13. 7ab-llab+20ab..,...31ab. 24. 6 6 814. 25x.2-50X2+11x2+14x2. 25. -a+8a-11a+ 15a-75a.15. -xl'-8xy-19xy+40xy. 26. -7 c+21c+14c-30c+82c.16. 7ab+21ab-ab-80ab. 27. -mn+ 14mn-31mn~mn+20mn.17. -25xy2+ 11xy2+60xy2-82xy2. 28. a2y-7 a2y-93a2y+51a2y+48a2y.18. -72ax+87 ax-101ax+243ax. 29. -a+a-a+a-8a+6a.19. -82bx-71bx-53bx+206bx.20. 105a8-464a3+58a3+301as. 1 2 ., 130 . "2x'" SX-6X+ "2X-X.21. .!...x-.!..x+.!..x-~x. -2x+..!.x+.!...X+X-.!.X.2 S 4 1) 3l.

1 1 1 14 4 . 6"

22. sY.-sY.+6Y-i2'" 32. 7a"-30a"-41a"-9aJ+73a".33. -a"+1+7a"+1-11ax+1-20ax+1+26ax+1.34. a+6a-20a+ 150a-80a+31a.35. -9b-llb-17b-:-81b-b+ 110b.36. -a2b+ 15a2b+a2b-85a2b-131a2b+39a2b.37. 84m2x-501m2x-604m2x-715m2x+231m2x+ 165m2x.

38 '!'aSb2+~a8b2- 2a3b2- '!a3b2+4asb2. 6 3 4 8

39. 40a-81a+ 130a+41a-83a-91a+ 16a.40. -21ab+52ab--'-60ab+84ab-31ab-ab-23ab.

@ REDUCCION DE UN POLlNOMIO QUE CONTENGA TERMINOSSEME"JANTES DE DIVERSAS CLASES

[ Ejemplos I( 1) Reducir el polinomio 50 - 6b + 8e+ 9a - 20e - b + 6b - e.

Se reducen por separado los de cada clase:50+ 9a = 140.

- 6b - b + 6b = - b.8e- 20e - e = -lae.

Tendremos: 140 - b - 13c. R."

(2) Reducir el polinomio:8a8b2+ 404bs + 6aSb2 - a8b2 - 9a4b8 -15 - Sab5 + 8- 6ab5Se reducen por separado los de cada clase: 4a4b3 - 9a4b3 = -5a4b8.

8a8b2 + 6a3b2 - a3b2 = 13asb2- Sab5 - 6ab5 = -11ab5

-15+8 = - 7.

( 3) Reducir el polinomio:2 1 G 8 1-x4 - -xSy + 3x4 - y4 + _y4 - O.3x4 - -x8y - 6 + xlfy -14 + 2-y4.1) "2 6 5 3

Tendremos:

EJERCICIO 1(,Reducir los po1. 7a-9b+6a-2. a+b-c-b-3. 5x-l1y-9-\4. -6m+8n+~5. -a+b+2b-6. -81x+19y-7. 15a2-6ab-:8. -3a+4b-619. -71a3b-84.

10. -a+b~c+811. m2+71mn-12. x4y-x3y2+X13. 5ax+l-3bx+14. am+2_xm+3.15. 0.3a+0.4b+1.16. 2..a+2..b+2a2 3

17. ~L2mn-l5

18.s : 1

--a2+-ab4 2

19. O.4x2y+31+

20. ~am-l~:!....bl25 50

VALOR NUMERICC

Valor numricobtiene al sustituirlas operaciones indi


Tendremos:

.. EJERCICIO 10 ,

151 2- y4 + _y4 _ y4 = 2- y4. 366

-6-14 = -20.

Reducir los polinomios siguientes: 1. 7a-9b+6a-4b. 2. a+b-e-b-e+2e~a. 3. 5x-lly-9+20x-l-y. 4. -6m+8n+5-m-n-6m-ll. 5. -a+b+2b-2e+3a+2e-3b. 6. -81x+ 19y-30z+6y+SOx+x-25y. 7. 15aL 6ab-Sa2+20-5ab-31 +a2-ab. 8. -3a+4b-6a+Slb-1l4b+31a-a-b. 9.

10. -71a3b-84a4b2+50a3b+S4a4b2-45a3b+ lSa3b. -a+b-e+S+2a+2b-19-2e-3a-3-3b+3e.

VALOR HUMERICO

m2+ 71mn-14m2-65mn+m3-m2-1l5m2+6m3. x4y-x3y2+x2y-Sx4y-x2y-l0+x3y2-7 X3y2-9+21x4y-y3+50.

23

. 11. 12. 13. 14. 15.

5ax + 1-3bx + 2-8cX + 3-5ax + 1_ 50+4b x + 2.-65-b X '" 2+90+ex + 3+7 eX + 3 . . am + 2_Xm + 3-5+8-3am + 2+ 5xm + 3-6-i-am + 2-5xm + 3. O.3a+O.4b+O.5e-O.6a-O.7 b-O.ge+3a-3b-'3e.

1G.

17.

18.

19.

20.

~ .

2..a+~b+2a-3b-.!..a-2...b+~-':". 2 3' 4 6 ' 42

..!.m2-2mn+~2_~mn+2mn-2m2. 5 10 3 .

3 1 5 1 3 1 1 --a2+-ab--Z,2+2-'lZ2--ab+-b2--b2-2ab. 426346 S

. S 2 2 1 O.4x2y+31 + -oxy -O.6yL -'-x2y-O.2xy2+ -:;),L6. J . 54 ~am-1~~bm-2+~am-l_ !:...b m"':.2 -O.2am-1+~bm-2. 25 50 11 25 5

VALOR NUMERICO

Valor numrico de una expresin algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numricos dados y efe,::tu.ar despus las operaciones indicadas.


24 ALGE8RA

@VALOR NUMERICO DE EXPRESIONES SIMPLES

I Ejemplos I(1) Hallar el valor numrico de 5ab para 0= 1, b = 2.

Sustituimos la o por su valor 1, y la b por 2, y tendremos:Sab = S X 1 X 2 = 10. R.

(2 ) Valor numr

302_.4

EJERCICIO 12Hallar el valor

a=

1. a2-2ab +b22. c2+2cd+ d2

3. a b-+-.e d4. e m 1d- ti +2.6. a2 b2 m2 13-2+6'6. ..!.c - !.b +2d 1

Ii 2

(2) Valor numrico de 02b3c4 paro o = 2, b = 3, e = ~.. 2

(3) Valor numrico de 30c v' 20b para 0=2, b = 9, e = .3ac v' 20b = 3 X 2 X X v' 2 X 2 X 9 - 2 X v'36 = 2 X 6 = 12. R.

4a2b3 . 1(4) Valor numrico de -- para 0= -2

1,b = -3' e = 2, d = 3.

Sed1

4a2b3 4 X (i)2 X (!)3 4 X i X 27 , /27 1-S-cd- = S X 2 X 3 = 30 = 30 = 810' R.

. EJERCI

VALOR NUMERICO 25

(2 ) , 302 5ab b 1 1 Valor numerico de ---+- para a=2, b=-, x=-. 4 x ax 3 6

10 302 5ab b 3 X 22 5 X 2 X t t "3 t ---+-=--- +--=3--+-

4 x ax 4 ! 2 Xii t =3-20+ 1 =-16. R.

.. EJERCICIO 12 Hallar el valor numrico de las expresiones siguientes para

1. a2 - 2ab + b2

2. c2+2cd+d2

a b 3. -+-. c d c m 4. ---+2. d ti

1 1 1 a = 3, b = 4. c = -, d = -, m = 6, n = -.

3 2 4

7. ab +~_ bd n d m

8. v'b + Vn + V67.

10. m&

a+b b+m 13. -----c d

b-a m-b 14. --+--+ 5a. n d

15. 12c-a 16n-a 1 2b - m +d' ~ rrr:- v'3ti V61 16. v4b+-----.

3 6 a2 b2 m2

5. 3-"2+7' 3c2 4n2

11. -+-. 4 m Vb+V2d V3c+v'8cl 17.

2 4

6. .!.c - 2.b + 2d. Ii 2

4d2 16n2 12. -+---1. 18. 2 -Va2fj2 . 3 v'2+d2

+ . -avn. 2 2 3 4

(3 ) Valor numrico de 2(20 - b) (x2 + y) - (02 + b) (b - a) para 1

a = 2, b = 3, x = 4, Y = "2'

Las operaciones indicadas dentro de los parntesis de-ben efectuarse antes que /' ninguna otra, as: -----'.

Tendremos:

2(20 - b) = 2 X (2 X 2 - 3) = 2 X (4 - 3) = 2 xl = 2 x2 + y = 42 + ~ = 16 + 2: = 1 ~ 2 2 2 0 2 + b = 22 + 3 =4+ 3 =7 b-a=3-2=1

2(2a - b )(x2 + y) - (a2 + b) ('b - a) = 2 X 16~ - 7 X 1 = 2 X ~ - 7 = 33 - 7 = 26. R .. EJERCICIO 13

Hallar el valor numrico de las expresiones siguientes para

a=l, b=2, c=3, d=4, 1 2 1 x=o. m=:, n=s' p=--,

1. (a+b)c-d. 5. (4m+8p)( a2+ b2)( 6n-d). 9. (8m + 16p )a. 2. (a+b)(b-a). 6. (c-b)(d-c)(b-a)(m-p). 9n b 10. x+m(ab+dc-ca). 3. (b-m)(c-n)+4a2 7. b2(c+d)-a2(m+n)+2x. 4(m+p) a2+b2 4. (2m+3n)( 4p+b2). 8. 2mx+6( b2+c2)-4d2 11.

a c2


26 ALGEBRA2

12. (2m+3n+4p)(Sp+"'6n-4m )(9n+20p). 19. 3(c-b)v'32m-2(d-a)v'16p--. . n13. c2(m+n )-d2( m+p)+b2( n+pJ. v'6abc v'3mn cdnp

( v'c2+d2 +_2_) m. 20. + ---o14. 2Y8b 2(b-a) abc

. a vlf a2+b215. (4P+2b )(lSn-24p)+2(Sm+2)( 40p+a).

21- b2-a2 +3(a+b)(2a+3b)

d 2 ( 1 1) (1 1 ( 11 ).a+- 5+- 22. b2+ _+_ _+_)+ _+_ 2b m2 a b b e n m16. d-b X r (2m+3n)( 4P+2c)-4m2n223.17. (a+b)v' c2+Sb-m..J2. b2_~

( v'a+c v'6 ) 3 n18. -2- + -b- +(c+d)VP 24. ---2ab-m b-m

(5) Tena $9 y gast $x. Cunto me queda?Me quedan $(9 - xl. R.

3. Siendo a un ni

4.cutivos posterioSiendo x un 1anteriores a x.

5. Sien~o y un msecunvos poster

6. Pedro tena $ll,7. Escrbase la dif8. Deba x bolvar9. De una jornad,

por andar?10. Recibo $x y de11. Tengo que rece

el. mircoles e I+2bm+1

(6) Dividir - 3x2a+3y3a-2 entre - 5xa-4ya-1.- 3x2.+3y~a-2 3 3------ = ix2a+a-(a-4ly3a-2-Ca-ll =-X2a+3-a+4y3a-2-a+1 ;::: ;;-Xa+7ylOa-1. R._ 5xa-4 y a-1 5 e

Podemos, pue

@REGLA PARASe divide cad

separando los cocieEsta es la Ley

Ejemplos I EJERCICIO 50Dividir:1. am+3 entre am+22. 2XR+4 entre _xa+23. -3am-2 entre -5am-54. X2D + 3 entre. -4xn + 4.5. -4ax-2bD entre -5a3b2

6. _7xm+3ym-l entre -8x4y2.7. 5a2m-lbx-3 entre _6a2m-2bx-4.8. _4xn-lyn + 1 entre 5xn-lyn + l.9. am+ nbx + a entre ambo.10. -5ab2c3 entre 6ambncx.

( 1) Dividir 308

(2) Dividir 2crl

6aX++-20 EJERCICIO 51Dividir: . EJERCICIO 5,

Dividir:1. a2-ab entre a.2. 3x2ya-5a2x4 en3. 3a3-5abL6a2b4. xa-4x2+x entr5. 4x8-10x6-5x46. 6mll-8m2n+207. 6asbs-3a6b6-a8. x4-5x8-10x2+

1. ~X2 entre 2 7. - .!....a2b5c6entre -~ab5c6.-2 3 8 2

2. -!...-a3b entre -~a2b. 8. ":"axbm entre -~ab2.5 5 3 5

3. 2 3 - 2..z3. 9. - ~c3d5 entre ~dx.-xy~z entre3 . 6 S 44. - '!""ambn entre -~ab2. 10. !"'-ambD entre -!...-b3.s 4 4 2

5. 2 -2. -2ax+4bm-3 entre -~a4b3.- -X4y5 entre 11.9 2

3m4n5p6 entre 1 - ~x-8bm + 5C2 ~X-4bm-1.6. - ;m4np5. 12. entre15 5


11. DIVISION DE POLINOMIOS POR MONOMIOS

@ sea (a + b - e) -+- m. Tendremos: a+b-c a b e ~+b-0-+-m= =-+---

m m m m

DIVISION 83

a b c , En efecto: - + - - - es el cocIente de la divisin porque multipli-

m m m cado por' el divisor reproduce el dividendo:

( a b c) a b c -+--- m=-Xm+-Xm--xm=a+b-~ mmm m m m

Podemos, pues, enunciar la siguiente:

@ REGLA PARA DIVIDIR UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Se divide cada uno de los trminos del polinomio por el monomio

separando los cocientes parciales con sus propios signos. Esta es la Ley Distributiva de la divisin.

Ejemplos I ( 1 ) Dividir 30s - 6a2b + 9ab2 entre 30.

30s - 6a2b + 9ab2 30s 6a2b 90b2 (3os-6a2b+90b2 )-+-30= =---+-30 30 30 30

= a2 - 20b + 3b2 R.

.. EJERCICIO 52 Dividir:

1. a2-ab entre a. 2. 3x2ytl-5a2x4 entre -3X2. 3. 3as-5ab2-6a2 b3 entre -2a. 4. XS_4X2+X entre x. 5. 4x8-10x6-5x4 entre 2x3 6, 6mll-8m2n+20mn2 entre -2m. 7. 6a8bs-3a6b6-a2b8 entre 3aZbs. 8. x4-5xs-lOx2+ 15x entre -5x.

entre 2m2 10. aX+am- 1 entre a2 11, 2am-3am+2+6am+4 entre -3as. 12. a"'bn+am-lbn+2-am-2bn+4 entre a2bS 13. xm+2-5xm+6xm+l_xm-l entre xm- 2. 14. 4at:+4bm-1-6a:

84 . ALGEBRA

. 'd' 3 3 2.) 2 + 11 S 1 4 11 ( 3 ) DIVI Ir -x y - -xwy -xy - -y entre -y. 4 3 6 2 6

3 2 o 5 1 -x3y _xwy2 - xy3 _y4 4 3 6 :!

5 7-y=---+---6 s 5 5

EY (iY y y 9 3 4~ 233 =-x --xwy+xy --y. R.

10 5 5


1. 2-x2 - ~x entre ~x. 2 3 3

2. ~a3 - ~a2 + 2-a entre 354

3 --

5

3. ~m4 - .!.m.sn + ~2n2 entre ~m2. 4 3 8 4

2 1 1 4. ax4yS - SX3y4 + '4X2y5 - xy6 entre

5. 2 aS - 2-a3bs - ab5 entre 5a. 5 3

6. ~a:n + ~am-1 entre 2-a. 3 4 2

7. ~ax+ 1 - ~aX-1 - '!-ax entre 2-ax- 2. s 4 5 6

1 _-xy3.

5

8. _~aD-lxm+2+ ~anxm+l_~an+lxm entre -~a3x2. 483 5

111. DIVISION DE DOS POLINOMIOS

La divisin de dos polinomios se verifica de acuerdo con la sigiente:

@ REGLA PARA DIVIDIR DOS POLINOMIOS . Se ordenan el dividendo y el divisor con relacin a una misma letra. Se divide el primer trmino del dividendo entre el primero del divi

sor y tendremos el primer trmino del cociente. Este primer trmino del cociente se multiplica por todo el divisor y

el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escri biendo cada trmino debajo de su semejante. Si algn trmino de este producto no tiene trmino semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenacin del dividendo y el divisor.

Se divide el primer trmino del resto entre el primer trmino del divisor y tendremos el segundo trmino del cociente.

Este segundo trmino del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos.


DIVISION 85

Se divide el primer trmino del segundo resto entre el primero del divisor y se efectan las operaciones anteriores; y as sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Ejemplos I ( 1 ) Dividir 3X2 + 2x - 8 entre x + 2.

EXPLlCACION

-3X2-6x -4x-8

4x+8

3x -4. R.

El dividendo y el divisor estn ordenados en orden descendente con relacin a x.

Dividimos el primer trmino del dividendo 3X2 entre el primero del divisor x y tenemos 3X2 -;- x = 3x. Este es el ,primer trmino del cociente. Multiplicamos 3x por cada uno de los trminos del divisor y como estos pro-ductos hay que restarlos del dividendo, tendremos: 3x X x = 3x:!, para restar - 3x2; 3x X 2 = 6x, para restar - 6x. Estos productos con sus signos cambiados los escribimos debajo de los tr-minos semejantes con ellos del dividendo y hacemos la reduccin; nos da - 4x y bajamos el - 8. Dividimos - 4x entre x: - 4x -;-.x = - 4 y este es el segundo trmino del co-ciente. Este - 4 hay que multiplicarlo por cada uno de lo~ trminos del divi-sor y restar los productos del dividendo y tendremos:

(- 4) X x = - 4x, para restar + 4x; (- 4) X 2 = - 8, para restar 8. Escribimos estos trminos debajo de sus semejantes y haciendo la reduccin nos da cero de residuo.

RA%ON DE LA REGLA APLICADA Dividir 3x2 + 2x - 8 entre x + 2 es hallar una cantidad que multiplicada por x + 2 nos d 3x2 + 2x - 8, de acuerdo con la definicin de divisin. El trmino 3X2 que contiene la mayor potencia de x en el dividendo tiene que ser el producto del trmino que tiene la mayor potencia de x en el divisor que es x por el trmino que tenga la mayor potencia de x en el cociente, luego di-vidiendo 3X2 -;- x = 3x tendremos el trmino que contiene la mayor potencia de x en el cociente. Hemos multiplicado 3x por x + 2 que nos da 3x2 + 6x y este producto lo res-tamos del dividendo. El residuo es - 4x - 8. Este residuo - 4x - 8, se considera como un nuevo dividendo, porque tiene que ser el producto del divisor x + 2 por lo que an nos falta del cociente. Divido - 4x entre x y me da de cociente - 4. Este es el segundo trmino del cociente. Multiplicando - 4 por x + 2 ob tengo - 4x - 8. Restando este producto del dividendo - 4x - 8 me da cero de residuo. Luego 3x -4 es la -cantidad que multiplicada por el divisor x + 2 nos da el dividendo 3x2 + 2x - '8, luego 3x - 4 es el cos;iente de la divisin.


86 LGEBRA

(2) Dividir 28x2- 30y2 -, lxy entre 4x - 5y.Ordenando dividendo y divisor en or-den descendente con relacin a x ten-dremos: ?

(4) Dividir 3c

Ordenand303-

-303~

28x2 - 11xy - 30y2- 28x2+ 35xy

24xy- 30y2- 24xy+ 30y2

4x-5y7x +6y. R.

EXPLlCACIONDividimos 28x2+4x = 7x. Este primer trmino del cociente lo multiplicamospor cada uno de los trminos del divisor: 7x X 4x = 28x2, para restar- 28r 7x X ~- 5y)= - 35xy, para restar + 35xy. Escribimos estos trminosdebajo de sus semejantes en el dividendo y los reducimos. El residuo es24xy- 30y2. Divido el primer trmino del residuo entre el primero del divisor;24xy+ 4x = + 6y. Este es el segundo trmino del cociente.Multiplico 6y por cada uno de los trminos del divisor. 6y X 4x = 24xy pararestar - 24xYi 6y X (- 5y)= - 30y2, para restar + 30y2. Escribimos estostrminos debajo de sus semejantes y haciendo le reduccin nos da cero deresiduo. 7x + 6y es el cociente de la divisin.

(5) DividirXl

Al ordeneAqu podpues un Edo entre

xl2

-X12_

. EJERCICIO 54

Dividir:1. a2+2a-3 entre a+3. 12. 5n2-11mn+6m2 entre m-no2. a2-2a-3 entre a+1. 13. 32n2-54m2+ 12mn entre Sn-9m.3. x2-20+x entre x+5. 14. -14y2+33+71y entre -3-7y.4. m2-11m+30 entre m-6. 15. x3_y3 entre x-y.5. x2+15-Sx entre 3-x. 16. a3+3ab2-3a2b-bll entre a=b,6. 6+a2+5a entre a+2. 17. x4-9x2+3+x entre x+3.7. 6x2-xy-2y2 entre y+2x. 18. a4+a entre a+1.8. -15x2-Sy2+22xy entre 2y-3x. 19. m6-n6 entre m2-n2.9. 5a2+Sab-21b2 entre a+3b. 20. 2X4_X3_3+7x entre 2x+3 ..10. 14x2-12+22x entre 7x-3. 21. 3yG+5y2-12y+10 entre y2+2.11. -Sa2+12ab-4b2 entre b-a. 22. am4-am-2a entre am+a.

23. 12all+33ab2-35a2b-l0bs entre 4a-5b.24. 15m5-9m3n2-5m4n+3m2ns+3mn4-nli entre 3m-n.

G PRUEBA DE LA DIVISIONPuede verificarse, cuando la divisin es exacta, multiplicando el divi-

sor por el cociente, debiendo darnos el dividendo si la operacin est co-rrecta.

(6) Dividir 11

Ordenaretrmino dcomo envacos co

3-3

(3) Dividir 2X3- 2 - 4x entre 2 + 2x. EJERCICIO2X8 -4x-2 12x+2Al ordenar el dividendo y el di- -2xs _2x2 x2-x-1. R.

Dividir:1. a4-a2-2a-lvisor debemos tener presente _2X2 -4x 2. x5+12x2-5xque en el dividendo falta el tr- 2X2+ 2x 3. m5-5m4n+2mino en r, luego debemos de- /'

-2x-2 4. X4-x2-2x-Jjar un lugar para ese trmino: 5. x6+6xs-2x5.2x+2


DIVISION 87

( 4 ) Dividir 305 + 1 0a3b2 + 64a2b8 - 2104b+ 320b4 entre 08 - 4ob2 - 5a2b. Ordenando con relacin a la a en orden descendente:

305 - 21a4b + 10a8b2 + 64a2bs + 320b4 - 3011 + 15a4b + 1208b2

604b + 2203b2 + 64a2b3 604b - 30a3b2 - 2402b3

803b2 + 4Qa2ba + 320b4 8osb2 - 4Qa2bs - 320b4

I 0 3 - 5a2b - 4ob2 302 606 862 R.

( 5 ) Dividir X12 + x6y6 - x8y4 - x2yl0 entre x 8 + X6y2 - x4y4 - x2y6. Al ordenar el dividendo tenemos X12 - x8y4 + X6y6 - x2yl0. Aqu podemos observar que faltan los trminos en xl0y2 y en X4 y8 dejaremos pues un espacio entre X12 y - X8y4 para el trmino en xl0y2 y otro espa-cio entre x6y6 y - x2yl0 para trmino en X4y8 y tendremos:

X12 - x8y4 + X6y6 - x2ylO 1 x 8 + X6y2 - X.y4 - x2y6 - X12 _ x10y2 + X8y4 + x6y6 X4 - x2y2 + y4. R.

- x10y2 + 2x6y6 x10y2 + X8y4 _ X6y6 - x4y8

X8y4 + x6y6 _ X4y8 _ x2yl0 _ X8y4 _ X6y6 + X4y8 + x2yl0

( 6 ) Dividir 11 03 - 305 - 4602 + 32 entre 8 - 302 - 60. Ordenaremos en orden oscendente porque con ello logramos que el primer trmino del divisor sea positivo, lo cual siempre es ms cmodo. Adems, como en el dividendo faltan los trminos en a4 y en o dejaremos los lugares vacos correspondientes y tendremos:

32 - 4602 + 1108 -3011 8-60-302 - 32 + 240 + 12a2

240 - 3402 + 11a3 - 240 + 1802 + 903

-1602 +2008 1002 -120s - 604

803 - 604 - 305 - 808 + 604+ 305


1. a4-a2-2a-1 entre a2+a+ 1. 2. Xll+ 12x2-5x entre x2-2x+5. 3. m5-5m4n+20m2n3-16mn4 entre m 2-2mn-8n2 4. x4-x2-2x-1 entre x2-x-1. 5. x6+6x3-2x5-7x2-4x+6 entre x4-3x2+2.

4 + 3a - 2a2 +a3 R.


88 ALGEBRA

6. mG+m5-4m4-4m+m2-1 entre m3+m2-4m-l.7. all-a4+10-27a+7a2ehtre a2+5-a.8. 3xay-5xy3+3y4-x4 entre x2-2xy+y2.9. 2n-2ns+n4~ 1 entre n2-2n+ 1.10. 22a2b4-5a4b2+allb-40ab5 entre a2b-2ab2-10b311. 16x4-27y4-24x2y2 entre 8x3-9ys+6xy2-:12x2y.12. 4yL 13y:!+4y3-3y-20 entre 2y+5.13. 5a3x2-3x5-:l1ax4+3a4x-2a5 entre 3x3-a3+2ax2.14. 2x5y-x6_3x2y4-xy5 entre x4-3x3y+2x2y2+xy3.15. a6-5all+31a2-8a+21 entre a3-2a-7.16. mR-m5+5m3-6m+9 entre m4+3-m2+m3.17. a6+b6-a5b-4a4b2+6a3b3-3ab5 entre a2-2ab+b2.18. x(L2x4y2+2xSyS-2x2y4+3xy5~2y6 entre x2-2y2+xy.19. 4yS-2y5+y6_y4_4y+2 entre y4+2-2y2.20. 3m7-l1m5+m4+ 18m3-8m-3m2+4 entre m4-3m2+4.21. afl+2all-3as-2a4+2a2-a-1 entre a3+a2-a+ 1.22. 24x6_52x4y+38x3y2-33x2y3_26xy4+4y5 entre 8x3.,...12x2y-6xy2+y3.23. 5a5+6a4+5a8-4a7-8a6-2as+4a2-6a, entre -2a2+2.24. x7-3x6+6x5+X2-3x+6 entre x3-2x2+3x+6.25. 3a6+5all-9a4-10a3+8a2+3a-4 entre 3a3+2a2-5a-4.26. 5y8_3y7 -l1y6+ l1y5-17y4-3y3-4yL2y entre 5y4-3ys+4y2+2y.27. -m 7+5m6n'::'14m5n2+20m4n3-13m3n4-9m2n5+20mn6-4n7 entre

n3+3m2n-5mn2-m328. xl1-5x9y2+8x7y4-6xlly6_5x3y8+3xyl0 entre x5-2x3y2+3xy4.29. 3a9-15a7+ 14a6-28a4+47a3-28a2+23a-lO entre 3a5-6a3+2a2-3a+2.30. a2-b2+2bc-c2 entre a+b-c.31. -2x2+5xy-xz-3y2_yZ+ 10z2 !!ntre 2x-3y+5z.32. X3+y3+Z3_3xyz entre X2+y2+Z2-xy-xz-yz.33. a5+bll entre a+b.34. 21x5-21y5 entre3x-3y.35. 16x8-16y8 entre 2x2+2y2.36. XlO_yl0 entre x2_y2.37. X15+y15entre x3+ys.38. x3+y3+3x2y+3xy2-1 entre x2+2xy+y2+X+y+ l.39. X5+y5 entre x4-x3y+x2y2-xy3+y4.

EXPLlCACION

LaLaLa

(2) Dividir xl'

Ordenem

Ordenando en orden descendente con relacin3a%+5- 10ax+4+ 19ax+3- 8ax+2+ Sa"'+1

- 3ax+5+ 9ax+4 - 1Sax+3

ax+4+ 4ax+3_ 8ox+2a"'+4- 3a"'+3+ So"'...:!

d",+8- 3ax+2+ Sax+la"'+8+ 3ax+2- Sax+l

a la a, tendremos:la2-3a+5

EXPLlCACION

La divisinLa divisinLa divisinLa divisin

EJERCICIO 5Dividir:

1- a'"+3+ax entre2. x'l +2+3xn +3+~3. m"+4_ma+3+64. a2n+B+4a2n+ 2-+5. x2a+5-3x2a + 8-+6. ax +2-2ax+8ax-7. a2x-4a2x-2+5a!8. m2a- 2_m2a-1_,9. x2a-2+x2a-3_4:

10. a2nbR_a2n-lb4-111. am +"'+ambx+ax12. ax-abn-l-ax-l13. 3a5m-3-23a5m-14. 2x3a +ly2x-3_4;

DIVI$ION DE POLINOMIOS CON EXPONENTES LITERALES[ Ejemplos I (1) Dividir 3a

EXPLlCACION La divisin La divisin La divisin

3a x+1I -;- a~ = 30:

90 . ALGEBRA

DIVISION DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES FRACCIONARIOS

Ejemplo I D0 0d o 1 a a5 2 + 2 .2 3 a 2 3 IVI Ir aX - ax y iXT - sY entre i X - iY' 1 85 2 3 -xa - _x2yo + - X'.2 __ ya 3 36 a T 8

2 8 I -x --y 0 :1 2 1 3

--x3 + -x2y a 4 1 1 1 -x2 - -xy + _y2 R. 2 8

COCIENTE MIXTO 91 DIVISION DE POLINOMIOS POR EL METODO DE COEFICIENTES SEPARADOS La divisin por coeficientes separados, que abrevia mucho la opera-

cin, puede usarse en los mismos casos que en la multiplicacin. 1) Divisin de dos polinomios que contengan una sola letra y estn

ordenados en el mismo orden con relacin a esa letra.

Ejemplo I Dividir 8x6 - 16x5 + 6x4 + 24x2 + 18x - 36 entre 4x3 + 3x - 6 por coeficientes separados.

Escribimos solamente los co~fjcientes con sus signos teniendo cuidado de poner' cero donde falte algn trmino y se efecta la divisin con ellos:

8 - 16 + 6 + O + 24 + 18 - 36 I 4 + O + 3 - 6 -8- 0-6+12 2-4+0+6

- 16 + O + 12 + 24 16+ 0+ 12-24

+ 24 + O + 18 - 36 - 24 - O - 18 + 36

El primer trmino del cociente tiene x3 porque proviene de dividir x6 entre x3, y como en el dividendo y divisor el exponente de x disminuye una unidad en cada tr-mino, en el cociente tambin disminuir una unidad en cada trmino, luego el co-ciente es:

2) Divisin de dos polinomios homogneos que contengan solamente dos letras.

Ejemplo I Dividir a5 - 7a4b + 21a3b2 - 37 a2b3 + 38ab4 - 24b5 entre a2 - 3ab + 4b2 por coeficientes separados.

Tendremos: 1 -7 + 21 - 37 + 38 - 24 1-3+4 -1 +3- 4

-4+ 17 -37 4-12+16

5-21 +38 5+15-20

6+ 18-24 6-18+ 24

1-4+5-6

El primer trmino del ociente tiene a3 porque proviene de dividir a5 entre a2 Como el cociente es homogneo y en el dividendo y divisor el exponente de a dis-minuye una unidad en cada trmino y el de b aumenta una unidad en cada trmino, el cociente ser:


92 ALGEBRA

.. EJERCICIO 58 Dividir por coeficientes separados:

1. X_ X4+X2_X entre X3_X2+X.

2. Xi +x ll-llx5+3x4-13x3+ 19x2-56 entre x8-2x2-7. 3. aO+a5b-7a4b2+12a3b3-13a2b4+7ab5-b6 entre a2-2ab+b2. 4. m6+2m4n2-5m5n+20m8n3-19m2n4-10mn5-n6 entre m3-4mn2-n8. 5. x8-2x6-50x4+5Sx2-15 entre x4+6x2-5. 6. a14+9a10-7a12+23aB-52a6+42a4-20a2 entre aB-4a6+3a4-2a2. 7. 3x15-20x12-70x6+51x9+46x3-20 entre 3x6-Sx3+10. 8. 53m2-12m24+m28-127m16+ lS7m12-192m8+S7m4-45 entre m 12-7m8+9m4-15. 9. 2X7 -6x6y-Sx5y2-20x4y3-24x3y4-1Sx2y5-4y7 entre 2X2+4y2.

10. 6a9-12a7 +2a6-36a5+6a4-16a3+3Sa2-44a+ 14 entre a4-2a2+a-7. 11. n1-6nB+5n7 + 13n6-23n5-Sn4+44n3-12n2-32n+ 16 entre nG-3n4+5n3-Sn+4. 12. 3x7 -4x\ly-15x5y2+29x4y3-13x3y4+5xy6-3y7 entre x 3-5xy2+3y3. 13. Xl f'-4x 14y2-10x12y4+ 21x10yG+2SxByS-23x6y10+ 9x4y12+33x2y14-6y16 entre

x6-4x4y:L5x2y4+y6. 14. atn + 2-3am + 1-5am+20am-1-25am-3 entre a2-5. 15. 7a2x + 5-35a2l\ + 4+6a2x + 3-7Sa2x + 2-5a2 + 1-42a'2x-7a2x-1 entre aX +6ax + 1+7 aX -lo 3. 16. 6x2a+ 3-4x2a + 2-2Sx2a + 1+21x2a-46x2a-l + 19x2a-2-12x2a-3-6x2a--4 entre

6x" + 1-4xa+2xa- 1+x"-2. 17. 6a5x + 3-23a5x + 2+12a5x + 1-34a5x+22a5x-1-15a5x-2 entre a2x+2_a2x_3a2x+ 1-5a2x- 1 .

COCIENTE MIXTO En todos los casos de divisin estudiados hasta ahora el dividendo era

divisible exactamente por el divisor. Cuando el dividendo no es divisible exactamente por el divisor, la divisin no es exacta, nos da un residuo y esto origina los cocientes mixtos, as llamados porque constan de entero y quebrado.

Cuando la divisn no es exacta debemos detenerla cuando el primer trmino del residuo es de grado inferior aJ primer trmino del divisor con relacin a una misma letra, o sea, cuando el exponente de una letra en el residuo es menor que el exponente de .la misma letra en el divisor y suma mos al cociente el quebrado que se forma, poniendo por numerador el re siduo y por denominador el divisor.


I Ejemplos I ( 1 ) Dividir X2 - x - 6 entre x + 3.

VALOR HUMERICO 93

X2- x-

-x2-3x 6 I x+3

-4x- 6 4x+ 12

6

6 x-4+---. R.

x+3

El residuo no tiene x, as que es de grado cero con relacin a la x y el divisor es de primer grado con relacin a la x, luego aqu detenemos la divisin porque el residuo es de grado inferior al divisor. Ahora aadimos al co-

6 dente X - 4 el quebrado x + 3' de modo semejQnte a como procedemos en Aritmtica cuando nos sobra un residuo.

6m4 - 4mSn2 - 3m2n4 + 4mn6 - n8 - 6m4 + 3m2n4

+4mn6 -2mn6

Hemos detenido la Oiperacin al ser el primer trmino del residuo 2mn6 en el cual la m tiene de exponente 1 mientras que en el prim~r trmino del divisor la m tiene de exponente 2 y hemos aadido al cociente el quebrado que se forma poniendo por numerador el residuo y por denominador el divisor.

NOTA En el nmero 190, una vez conocidos los cambios de signos en las fracciones, se tratar esta materia ms ampliamente.

.. EJERCICIO 59 Hallar el cociente mixto de:

1. a2+b2 entre a2 8. x2-6xy+y2 entre x+y. 2. a4+2 entre aS. 9. xa_x2+3x+2 entre x2-x+ 1. 3. 9xs+6x2+7 entre 3X2. 10. Xa+y3 entre x-y. 4. 16a4-20asb+Sa2b2+7abs entre 4a2. 11. X5+y5 entre x-y. 5. x2+7x+ 10 entre x+6. 12. x3+4x2-5x+S entre x2-2x+ 1. 6. x2-5x+7 entre x-4. 13. Sa3-6a2b+5ab2-9b3 entre 2a-3b .. 7. m4-11m2 +34 entre m2-3. 14. x 5-3x4+9x2+7x-4 entre x2-3x+2.

t84\ VALOR NUMERICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS V CON EXPONENTES ENTEROS PARA VALORES

POSITIVOS y NEGATIVOS Conociendo ya las operaciones fundamentales con cantidades negati-

vas, as como las reglas de los signos en la multiplicacin y divisin, pode-mos hallar el valor de expresiones algebraicas para cualesquiera valores de las letras, teniendo presente lo siguiente:


94. ALGEBRA

POTENCIAS DE CANTIDADES NEGATIVAS1) Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva, porque

equivale a un producto en que entra un nmero par de factores negativos.As, (- 2)2= + 4 porque (- 2)2= (- 2) x (- 2) = + 4.

(- 2)4= + 16 porque (- 2)4= (- 2)2X(- 2)2= (+ 4) x (+ 4) = + 16.(-2)6=+ 64 porque (_2)6=(-2)4 X (-2)2=(+16) X (+4)=+ 64.(- 2)8= + 256 porque (-2)8 = (- 2)6X (- 2)2= (+ 64)x (-f- 4) = + 256.

Yas sucesivamente.En general, siendo N un nmero entero se tiene: (- a)2N = a2N2) Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa porque

equivale a un producto en que entra un nmero impar de factores ne-gativos.

As, (- 2)1= - 2.(- 2)8= - 8 porque (- 2)3= (- 2)2X (- 2) = (+ 4) x (-2) = - 8.(- 2)5= - 32 porque (- 2)5= (- 2)4X (- 2) = (+ 16) x (- 2)= - 32.(- 2)7= -128 porque (- 2)7= (- 2)6X (- 2) = (+ 64) x (- 2) = -128.

Y as sucesivamente.En general,se tiene: (- a)2N+1 = - a2N+1I Ejemplos I (1) Valor numrico de x8 - 3x2 + 2x - 4 para x = - 2.

Sustituyendo x por - 2, tenemos:

(2)

(-2)3_3(-2)2+2(-2) -4= -8 - 3(4)+2( -2)-4=-8-12-4-4=-28. R.

a4 3a2b 5ab2Valor numrico de - - -- + -- - b3 para a = - 2, b = - 3.

4 6 3a4 3a2b 5ab2

Tendremos: - - -- + -- - ba4 6 3

(- 2)4 3(- 2)2(- 3) 5(- 2)(-3)2=--- + (-3)34 6 3

= 16_ 3(4)(-3) + 5(-2)(9) -(-27)4 6 3

=4- (-::) + (-;0) +27

=4 - (- 6)+ (-30) +27=4+6-30+27=7. R.

NOTAPara ejercicios de valor numrico de expresiones algebraicas con exponentescero, negativos o fraccionarios, vase Teora de los Exponentes, pg. 407.

. EJERCICIO 6,

Hallar el valo

1. a2-2ab+b2.2. 3a3-4a2b+3ab:3. ai-3a3+2ac-3,4- a5-8a4c+ l6a3d6. (a-b)2+(b-c)2

Hallar el valo

a = 2,x~

10.8

11. (a -)12. - (x-

13. (3x -

14. 4x3y

15. X2(X -

16.3a-+x

EJERC.ICIO 6MISCELANEA

SOBRE SUMA, ~1. A las 7 a. m.

a razn de 3,0y 10 a.m.

2. Tomando COlIpunto B est side B.

3. Sumar x2-3xy4. Qu expresi5. Restar -2a2+6. Simplificar -3,7. Simplificar (x

8. Valor numri,

9. Restar x2-3x'de restar 5xy~


MISCELANEA DE LAS OPERACIONES FUNDAMENTALES 95 .. EJERCICIO 60


a=-l. b=2. 1 C=--; 2

1. a2-2ab+b2 2. 3a3-4a2b+3ab2-b3. 3. a4-3a3+2ac-3bc.

6. (bb+a)3_(b-c)3_(a-c)3. ~+~-~. 7. e b a

4. a5-8a4c+ l6a3c2-20a2c3+40ac4-c5. 8. (a+b+c)2-(a-b-c)2+c. 5. (a-b)2+(b-c)L(a-c)2. 9. 3(2a+b)-4a(b+c)-2c(a-b).


a = 2. b = 2-. x = - 2. Y = - 1. m = 3. n - 2-. - 8 - 2'

x' x2y 3xy2 10. __ _ + ___ y3. 822

11. (a - X)2 + (x - y)2 + (X2 - y2)(m + x - n). 12. - (x - y) + (X2 + y2) (x - y - m) + 3b (x + y + n).

x-y 13. (3x - 2y) (2n - 4m) + 4x2y2 - --o

2 14. 4x -~+(~_~)x+x4-m.

3y 2+y3 n b -15. X2(X - y + m) - (x - y) (X2 + y2 - n) + (X+y)2 (m2 - 2n).

3a 2y 3n m 16. - +- + - __ +2(X3_y2+4). x m y n

MISCELANEA SOBRE SUMA, RESTA, MULTIPLlCACION y DIVISION

1. A las 7 a. m. el termmetro marca +5 y de las 7 a las 10 a. m. baja a razn de ~o por hora. Expresar la temperatura a las 8 a.m.. 9 a. m. y 10 a.m.

2. Tomando como escala 1 cm = 10 m, representar grficamente que un punto B est situado a +40 m de A y otro punto e est-situado a -35 m de B.

3. Sumar x2-3xy con 3xy_y2 y el resultado restarlo de X2. 4. Qu expresin hay que aadir a 3x2-5x+6 para que la suma sea3x? 5. Restar -2a2+3a-5 de 3 y sumar el resultado con 8a+5. 6. Simplificar -3xL~ -[4x2+5x-(xL x+6)] r. 7. Simplificar (x+y) (x-y)_(X+y)2. 8. Valor numrico de 3(a+b)-4(C-b)+.jc-b para a=2. b=3, c=1.

-a 9. Restar x2-3xy+y2 de 3x2-5y2 y sumar la diferencia con el resultado

de restar 5xy+x2 de 2x2+5xy+6y2.


96 . ALGEBRA

10. Multiplicar ~a2 -!....ab + !"'b2 por !"'a2 + ~ab - 2b2. 3 2 11 2 4

11. Dividir la suma de x5-x3+5x2, -2x4+2x2-10x, 6x3-6x+30 entrt! x2-2x+6.

12. Restar el cociente de ~3 - ~ab2 + ~bs entre 2...a +!...b de 2...a2 + ab + 2...b2. 4 90 15 2 3 2 5

13. Restar la suma de -3ab2-b3 y 2a2b+3ab2-b3 de a3-a2 b+b3 y la dife-rencia multiplicarla por a2-ab+b2.

14. Restar la suma de x3-5x2+4x, -6x2-6x+3, -8x2+8x-3 de 2x3-16x2 +5x+ 12 y dividir esta diferencia entre x2-x+3.

15. Probar que (2+x)2(1 +X2)_(,xL2) (x2+x-3)= x2(3x+ 10) +2(3x-1). 16. Hallar el valor numrico de (x+y)2(x-y)2+2(x+y)(x-y) para x=-2, y=l. 17. Qu expresin hay que sumar a la suma de x+4, x-6 y x2+2x+8 para

obtener 5x:L 4x+3? 18. Restar -13a+( -b+a)-2(a+bH de -2[(a+b)-(a-b)j. 19. Multiplicar 5x+[-(3x-x-y)] por 8x+[-2x+(-x+y)] .

11 11 1 11 20. Restar el COCIente de -x3 + -x2y + -xy2 + -:;)'3 entre -x2 - -xy+y2 de 4 24 12 3 2 4

2x+[-5x-(x-y)]. 21. Probar que [xL (3x+2)] [x2+(-x+3)]=X2(x2-4x+4)-(7x+6). 22. Qu expresin hay que sumar al producto de

[x(x+y)-x(x-y)l[2(X2+y2)-3(X2_y2)] para obtener 2x3y+3xy3? . 23. Restar -x2-3xy+y! de cero y multiplicar la diferencia por el cociente

de dividir x3_y3 entre x-y. 24. Simplificar (x-y) (X 2+xy+y2)_(X+Y) (XLxy+y2). 25. Hallar el valor numrico de ~ ab + 2(b - a) .j9b - 3(c - b) .jJ

para a=4, b=9, c=25. e a2 b 26. Por cul expresin hay que dividir el cociente de x3+3x2-4x-12 entre

x+3 para obtener x-2? 27. Simplificar 4X2_13x-(X2_4+xH+[xL1x+(-3H] y hallar su valor

para x=-2. 28. De cul expresin hay que restar -18x3+14x2+84x-45 para que la

diferencia -dividida entre x2+1x-5 d como cociente x2-9? 29. Probar que (a2+b2)(a+b)(a~b)=aL[3a+2(a+2)-4(a+ 1)-a+b4]. 30. Restar -x3-5x;l+6 de 3 y sumar la diferencia con la suma de x2-x+2

y -[x2+(-3x+4)-(-x+3)].


EUCLIDES (365-275 A. C.l Uno de los ms grandes matemticos griegos. Fue el primero que estableci un mtodo riguroso de demostracin geomtrica. La Geometra construida por Euclides se mantuvo inc-lume hasta el siglo XIX. La piedra angular de su geo-

metra es el Postulado: "Por un pLinto exterior a una recta slo puede trazarse una perpendicular a la mis-ma y solo una". El libro en que recoge sus investiga-ciones lo titul "Elementos", es conocido en todos los mbitos y ha sido traducido a los idiomas cultos . .

CAPITULO

PRODUCTOS Y COCIENTES NOT ASLES 1. PRODUCTOS NOTABLES

Se llama productos notables a cie~tos pro~uctos ~Ile cu~-r:plen reg~as fijas y cuyo resultado puede ser escnto por simple mspecclOn, es deCIr,

sin verificar la multiplicacin.

VI

@ CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES Elevar al cuadrado a + b equivale a multi- (a.::.. b)2 = (a + b) (a + b).

plicar este binomio por s mismo y tendremos: /

Efectuando este pro-ducto, tenemos: ______ ~/

a + b a +b

a~+ab ab + b2 o sea (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a~ + 2ab + b2

luego, el cuadrado de la

98 . ALGEBRA

( 1 ) Desarrollar (x+ 4)2. Ejemplos ' Cuadrado del .. primero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. x2

Duplo del primero por el segundo...... 2x X 4 = 8x Cuadrado del segundo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16

luego (x + 4)2 = X2 + 8x + 16. R. Estas operaciones deben hacerse ment.a/mente y el producto escribirse direc-tamente.

Cuadrado de un monomio. Para elevar un .monomio al cuadrado se eleva su coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2. Sea el monomio 4ob2 Decimos que . ../'

En efecto:

Del propio modo:

(4ab2)2 = 4ob2 X 4ab2 = 16a2b4 (Sx3y4Z 5)2 = 2Sxlly8z10.

Cuadrado del 1 ................ (40)2 = 1602 (2 ) Desarrollar (40 + Sb2 )2. -+ Duplo del 1 por el 2 .... 2 X 4a X Sb2 = 40ab2

Cuadrado del 2 ....... . ....... (Sb2)2 = 2Sb4 luego

las operaciones; que se han detallado para mayor facilidad, no deben escribirse sino verificarse mentalmente.

( 3 ) Desarrollar (302 + SX3)2. (302 + SX3)2 = 904 + 30a2x3 + 2Sx6 R.

(4 ) Efectuar (7ax4 +9y5)(7ax4 +9y5). (7ax4 + 9y5)(7ax4 + 9y5) = (7ax4 + 9y 5)2 = 4902x8 + 126ax4yf' + 81 yl0. R.

.. EJERCICIO 62 Escribir, por simple inspeccin, el resultado de:

1. (m+3)2. 2. (5+X)2. 3. (6a+b)2. 4. (9+4m)2. 5. (7x+ 11)2.

6. (X+y)2. 11. (4m 5+5n6)2. 7. (1+3x2)2. 12. (7a2b3+5x4)2. 8. (2x+3y)2. 13. (4ab2+5xy3)2. 9. (a 2x+by2)2. 14. (8x2y+9m3 )2.

10. (Ra3+8b4)2. 15. (x 10+ lOy12)2.

REPRESENT ACION GRAFICA DEL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

16. (a ID+an )2. 17. (ax+bx +l)2. 18. (xa+ 1+yx-2)2.

El cuadrado de la suma de dos cantidades puede representarse geo-mtricamente cuando los valores son positivos. Vanse los siguientes pasos:

Sea (a + b)2 = a2 + 2ab + b2


PRODUCTOS NOTABLES 99

Construimos un cuadrado de a unidades de lado, es decir, de lado a:

FIGURA 10 b[] Construimos un cuadrado de h unidades de lado, es decir, de lado b: b

Construimos dos rec-tngulos de largo a y ancho b:

FIGURA 12

h

FIGURA 11

ah

a

a

a

h ah

a

Uniendo"'t!stas cuatro figuras como se 'indica en la figura 13, formaremos un cuadrado de (a + b) unidades de lado. El rea de este cuadrado es (a + b) (a + b) = (a + b)2, Y como puede verse en la figura 13, esta rea est formada por un cuadrado de rea a2, un cuadrado de rea b2 y dos rectn-gulos de rea ab cada uno o sea 2ab). Luego:

b ah 62 --- - -- -t---- -

I

a a2 ah

6 I FIGURA 13


ALGEBRA

@ CUADRADO DE LA DIFERENC.IA DE DOS CANTIDADESElevar (a - b) al cuadrado equivale a (a - b)2 = (a - b)(a - b).

multiplicar esta diferencia por s misma; luego: --.Ja +ba -b

Efectuando este producto,/' a2- ab o sea (a-b)2=a2-2ab+b2

tendremos: -------~. _ ab + b2

a2 - 2ab + b2

luego, el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadradode la primera cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la se-gunda ms el cuadrado de la segunda cantidad.

( 3) Efectua r.15aD'

Como el oreque 3am+!que 5aD+1-el cuadradTendremos: l

EJERCICIO 6lfEscribir,por sir

1. (x+y)(x-y).2. (m-n)(m+n).3. (a-x)(x+a).4. (x2+a2)(xLa2).5. (2a-l)(1+2a).

[ Ejemplos I ( 1) Desarrollar (x - 5)2.(x - 5)2 = x2 -lOx + 25. R.(,2) Efectuar (4a2 - 3b3)2.

1402 - 3bS)2 == 164 - 24a2b3 + 9bG R.

Escribir, por simple inspeccin,el resultado de:1. (a-3)2. 5. (4ax-l)2. 9. (xL3ay2)2.2. (X-7)2. 6. (aLb3)2. 10. (aLb7)2.3. (9-a)2. 7. (3aL5b2)2. 11. (2rn-3n)2.4. (2a-3b)2. 8. (x2-1)2. 12. (lOxL9xy5}2.

fs9\ PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIAV DE DOS CANTI DADES

Sea el producto (a + b) (a - b).a +ba -ba2+ab

-ab - b2a2 - b2

(4 ) Efectuar la

Este produc'tirse en la stidades muldiferencia, (

donde heme

(5) Efectuar la

Introducieneprecedido (trminos delo cual ha)

. EJERCICIO 63

Efectuando esta mul-tiplicacin, tenemos: /'

o sea (a+b)(a-b)=a2-b2

(6 J Efectuar (2:

12x+3

luego, la suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia es igual alcuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sust raendo.

Ejemplos I(2)

(1) Efectuar la + ()(a - x).la + x){a - xi = 02 - x2. R.

. EJERCICIO 6~Escribir, por s

1. (x+y+z)(x+y-2. (x-y+z)(x+y-3. (x+y+z)(~-y-4. (m+n+l)(m+7:5. (m:-n-l)(m-r.Efectuar (20 + 3bll2a - 3b)

(20 + 3b)!2a - 3b) = (20)2 -13b)2 = 402 - 9b2 R.



( 3 ) Efectuar,(5an+1 + 30m ) (30m - 500 +1 ). Como el orden de los sumandos no altera la suma, 500 +1 + 30m es lo mismo que 30m + 500+1, pero tngase presente que 30m - 5an+1 no es lo mismo que 5an+1 - 30m Por eso hay que fijarse en la diferencia y escribir el cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo. Tendremos: (. 5an+1+3am }(3am - 5an+1.) = (3am)2 - (5an+1)2 = 9a2m - 25a2n+2 . R.


1. (x+y)(x-y). 6. (n-1)(n+1). 11. (1-8xy)(8xy+ 1). 2. (m-n)(m+n). 7. (1-3ax)(3ax+1). 12. (6 xL m 2x)(6x2+m2x) . 3. (a-x)(x+a). 8. (2m+9)(2m-9). 13. (aTII+bn)(am-b n). 4. (x2+a2)(xL a2). 9. (a L b2)(a3+b2). 14. (3xa-5ym)(5ym+3xa). 5. (2a-l)(1 +2a). 10. (yL 3y)(y2+3y). 15. (aX +1-2bx- 1)(2bx- 1+ax+ 1).

(4 ) Efectuar (a + b + cHa + b - c). Este producto puede conver-tirse en la suma de dos can-tidades multiplicada por su diferencia, de este modo: ---../

(a+b+c)(a+b-c)= [(a+bJ+c] [(a+bJ-c] = (a + b)2 - c2 = 0 2 + 2ab + b2 - c2. R.

~onde hemos desarrollado (a + b)2 por la reglo del 1 ero caso. (5 ) Efectuar (a + b + c)(a - b - c).

Introduciendo los dos ltimos trminos del primet trinomio en un parntesis precedido del signo +, lo cual no hace variar los signos, y los dos ltimos trminos del segundo trinomio en un parntesis precedido del signo -, para lo cual hay que cambiar los signos, tendremos:

(a+b+c)(a-b-c)= [a+(b+c)] [a-(b+c)] = 0 2 - (b + C)2 = 0 2 - (b2 + 2bc + c2 ) = 02 - b2 - 2bc - c2 R.

(6 ' Efectuar (2x + 3y - 4z)(2x - 3y + 4z). (2x + 3y - 4z)(2x - 3y + 4z) = [2x + (3y - 4z)] [2x - (3y - 4z)]

= (2x)2 - (3y - 4z)2 = 4X2 - (9y2 - 24yz + 16z2 ) = 4X2 - 9y2 + 24yz - 16z2 R.


1. (x+y+z)(x+y-z) . 6. (x+y-2)(x-y+2). 2. (x-y+z)(x+y-z). 7. (n'2+2n+1)(nL2n-1). 3. (x+y+z)(~-y-z). 8. (aL 2a+3)(a2+2a+3) . . 4. (m+n+1)(m+n-l). 9. (m 2-m-1)(m2+m-l). 5. (m-n-1)(m-n+1). 10. (2a-b-c)(2a-b+c).

11. (2x+y-z)(2x-y+z). 12. (x L 5x+6)(x2+5x-6). 13. (a 2-ab+b2)(a2+b2+ab). 14. (x L XL x)(X3+X2+X).


102 ALGEBRA

REPRESENTACION GRAFICA DEL PRODUCTO DE LA SUMAPOR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades puederepresentarse geomtricamente cuando los valores de dichas cantidades sonpositivos. Vanse los siguientes pasos:

Sea (a + b) (a - b) = a2 - b2

a

a

62a

"I ta2 I"C) e1 II~ a,

I FIGURA 16Dr~=-b, eI I

bl e II I

R

Construimos un cuadrado de --unidades de lado, es decir, -de lado a:

FIGURA 14

Construimos un cuadrado de 11.. b b2unidades de lado, es decir, de lado b:

FIGURA 15

bAl cuadrado de lado a le quitamos el cuadrado de Ia-

do b (figura 16), y trazando la lnea de puntos obtenemosel rectngulo e, cuyos lados son b y (a - b). Si ahora trasla-damos el rectngulo e en la forma indicada por la flecha enla figura 17, obtenemos el rectngulo AB C D, cuyos ladosson (a + b) Y (a-b), y cuya rea (figura 18) ser:

(a -1- b) (a - b) = a2 _ b2(a + b) (a - b) = a2 - b2

(10 + 6) (10 - 6) = (10)2 _(6)216 X 4 = 100 - 36

=64 R. a-bD e

- - - -,N-.o -es I 1+ ~ I~

I

- -- -..1II

L..--_---'. - _ _ _ JR B

BFIGURA 17 FIGURA 18

CUBO DE UN1) Elevemos t

Tendremos: (a + b

Efectuando estmultiplicacin,tenemos: _

lo que nos dice qude la primera cansegunda, ms el trel cubo de la segu

2) Elevemoscubo. Tendremos

Efectuando es

a2 -2aba -ha~- 2a2b

- a2ba~ - 3a2b

lo que nos dice qucuho de la primerpor la segunda, mmenos el cubo de 1

[ Ejemplos I(2) Desarrolla

(x - 2)3 =(3) Desarrolla

(4x + sa:(4) Desarrolla

(x2 - 3y)3 = (x2


CUBO DE UN BINOMIO 1) Elevemos a + b al cubo.


Tendremos: (a + b)S = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b). a2 + 2ab + b2

Efectuando esta a +b multiplicacin, a3 + 2a~b" + ab2 o sea (a + b)8 = a8 + 3a2b + 3ab2 + ba tenemos: _ ___ --'/' a2b + 2ab2 + b8

a3 + 0a2b + 3ab~ + b3

lo que nos dice que el cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad ms el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, ms el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, ms el cubo de la segunda.

2 ) Elevemos a - b al cubo. Tendremos: ----~ (a - b)3 = (a - b)2(a - b) = (a2 - 2ab + b2 ) (a - b).

Efectuando esta multiplicacin, tenemos:

a2 -2ab + b2 a -h a3 -2a2b+ ab 2 o sea (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

- a2b + 2ab 2 - bS a3 - 3a2b + 0ab 2 - b3

lo que nos dice que el cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, ms el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda cantidad.

! Ejemplos I ( 1 ) Desarrollar (a + 1 )s. (a + 1)S = aS + 302(1) + 3a(P) +]3 = 03 + 302 + 30 + 1. R. ( 2 ) Desarrollar (x - 2)3.

(x - 2)S = xS - 3x2(2) + 3x(22) -.23 = xS - 6X2 + 12x - 8. R. ( 3 ) Desarrollar (4x + 5)3.

(4x + 5)S = (4x)3 + 3(4x)2(5) + 3(4x)(S21+S3 = 64x3 + 240x2 + 300x + 125. R. ( 4 ) Desarrollar (x2 - 3y)s.

(x2 - 3y)S = (x2)S - 3(X2)2(3y) + 3X2 (3y)2 - (3y)S =)(6_ 9x4y + 27x2y2 - 27y3. R.


104 . ALGEBRA

.. EJERCICIO 66 Desarrollar:

1. (a+2)3. 2. (x-1)3. 3. (m+3)3.

4. (n-4)3. 5. (2x+1)3. 6. (1-3y)3.

7. (2+y2)3. 8. (1-2n)3. 9. (4n+3)3.

10. (aL 2b)3. 11. (2x+3y)3. 12. (1-a2)3.

G PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA ( x + a ) ( x + b ) La multiplicacin nos da:

x +2 x -3 x -2 x +6 x +3 x -4 x +5 x -4 X2 + 2x x2-3x x 2 -2x X2+ 6x

3x+ 6 -4x + 12 +5x-10 -4x -24 X2+ 5x.+ 6 X2 -7x + 12 X2 + 3x -10 X2 + 2x - 24

En los cuatro ejemplos expuestos se cumplen las siguientes reglas: 1) El primer trmino del producto es el producto de los primeros tr-

minos de los binomios. 2) El coeficiente del segundo trmino del producto es la suma alge-

braica de los segundos trminos' de los binomios y en este trmino la x est elevada a un exponente que es la mitad del que tiene esta letra en el pri-mer trmino del producto.

3 ) El tercer trmino del producto es el producto de los segundos tr-minos de los binomios.

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (mx + a) (nx + b). El producto de dos binomios de esta forma, en los cuales los tnninos

en x tienen distintos coeficientes, puede hallarse fcilmente siguiendo los pasos que se indican en el siguiente esquema.

Sea. hallar el producto de (3x + 5) (4..: + 6):

1 12x2 f 1 30

1 (3x + ~x + 6) 12x2 + 20x + 18x + 30. 1 J 20x

18x FIGURA 19 I

Reduciendo los trminos semejantes tenemos: 12x2 + 38x + 30 R.


PRODUCTOS NOTABLES . 105 (J ) Multiplicar (x + 7)(x - 2).

Ejemplos ] Coeficiente del segundo trmino .. . ....... 7 - 2 = 5 Tercer trmino ....................... 7 X 1- 2) = -14 luego Ix + 7)(x - 2) = X2 + 5x - 14. R.

(2 ) Efectuar Ix -7)(x - 6). Coeficiente del 2" trmino . .... ... 1- 7) + 1- 6) = - 13 Tercer trmino .............. .... . (-7) X 1- 6) = + 42.

luego (x -7)(x - 6) = X2 -13x + 42. R. Los pasos intermedios deben suprimirse y el producto escribirse directamente . sin escribir las operaciones intermedias.

( 3 ) Efectuar (o - 11 Ha + 9). (o - 11 )(0 + 9) = a 2 - 20 - 99. R. '

(4 ) Efectuar (x2 + 7)(X2 + 3). (x2 +7)(x~ +3) = x4 + 10x2 + 21. R.

Obsrvese que como el exponente de x en el primer trmino del producto es 4, el exponente de x en el segundo trmino es la mitad de 4, o sea x~.

(5 ) Efectuar (x3 - 12) (x3 - 3). (x3 -12)(x8 - 3) = x6 -15x3 +36. R.


1. (a+l)(a+2). 7. (x-3)(x-l). 13. (n2-l)(n2+20). 2. (x+2)(x+4). 8. (x-5)(x+4). 14. (n3+3)(n3-6). 3. (x+5)(x-2). 9. (a-ll)(a+ 10). 15. (x 3+7)(x3-6). 4. (m-6)(m-5). 10. (n-19)(n+ 10). 16. (a 4+8)(a4-l). 5. (x+7)(x-3). 11. (a2+5)(aL 9). 17. (a5-2)(a5+7). 6. (x+2)(x-l). 12. (XL 1)(xL 7). 18. (a6+7)(a6-9).

.. EJERCICIO 68 MISCELAHEA Escribir, por simple inspeccin, el resultado de: 1. (X+2)2. 14. (x+y+l)(x-y-l). 2. (x+2)(x+3). 15. (l-a)(a+ 1). 3. (x+l)(x-l). 16. (m-8)(m+12). 4. (x-l)2. 17. (xL 1)(x2+3). 5. (n+3)(n+5). 18. (x 3+6)(x3-8). 6. (m-3)(m+3). 19. (5x8+6m4 )2. 7. (a+b-l)(a+b+l). 20. (x4-2)(x~+5) 8. (l+b)s. 21. (l-a+b)(b-a-l). 9. (a2+4)(aL 4). 22. (ax+bn)(ax-b n).

10. (3ab-5x2)2. 23. (xa + 1-8)(xa +1+9). 11. (ab+3)(3-ab). 24. (a2b2+c2) (a 2bL c2). 12. (1-4ax)2. 25. (2a+x)3. 13. (a2+8)(a2 -7). 26. (x2-11)(xL 2).

19. (ab+5)(ab-6). 20. (xy L 9)(xy:!+ 12). 21. (a2b2-1)(a2b2+7). 22. (X 3y3_6)(X 3y'1+8). 23. (a x-3)(ax+8). 24. (ax +1-6)(ax +L 5).

27. (2a L 5b4)2. 28. (a3+ l2)(aL 15). 29. (m2-m+n)(n+m+m2) . 30. (x 4+7)(x4-11). 31. (1l-ab)2. 32. (X2y L 8)(X2y3+6). 33. (a+h)(a-b)(a L b2). 34. (x+ 1)(x-l)(x2-2). 35. (a+3)(a 2+9)(a-3). 36. (x+5)(x-5)(x2+1). 37. (a+ 1)(a-1)(a+2)(a-2). 38. (a+2)(a-3)(a-2)(a+3).


106 ALGIBRA

11. COCIENTES NOTABLES Se llama cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglasfijas y que pueden ser escritos por simple inspeccin.

@ COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOSDE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA O LADIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

EJERCICIO IHallar, por s:

1. x2-1 x2--- 6.x+l x-!l-x2 9-2. ._- 6. -l-x 3-

3. x2_y2 a2.7.x+y a

4. y2_x2 8. 25-y-x 5

@COCIENTE EDE DOS CAO DIFERENC

1) Sea el eoa3

-aB-a2l-a2ta2l

a2- b21) Sea el cociente Efectuando la divisin, tenemos:

a+b

a2 - b2

-a2-ab-ab - b2ab+ b2

a+b-+b a2-b2

o sea =a- b.a+b

a2- b22) Sea el cociente Efectuando la divisin, tenemos:a-b'

a2 - b2-a2+ab

ab -b2-ab + b2

la-ba+b a2- b2

o sea ---=a+ b.a-b

Lo anterior nos dice que:

1) La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por lasuma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

2) La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por ladiferencia de las cantidades es igual a la suma: de las cantidades.

2) Sea el co

aS-as+a2l

a2b-a2bI Ejemplos) ( 1 1 Dividir 9x2 - y2 entre 3x + y.

9x2 _y2---=3x-y. R.3x+y

(2) Dividir 1 -x 4 entre 1 - x21 -x4--=1 +X2 .. R.1 - x2

(3) Dividir (0+b)2-C2 entre (o+b)+c.(o + b)2 - c2-----=o+b-c. R.(o+b) +c

(4) Dividir 1 - (o + n)2 entre 1 - (o + n],1 - (o + n)2----=l+o+n. R.1-(0+n)

Lo anterior1) La suma

las cantidades esdueto de la primtidad,

2) La difenrencia de las canel producto de lacantidad.


COCIENTES NOTABLES 107. EJERCICIO 69

Hallar, por simple inspeccin, el cociente de:reglas x2-l x2-4 4x2-9m2n4 x2n_y2n 1-(a+b)21. -- 5. -- 9. 13. 17.

x+l x+2 2x+3mn2 xn+yn 1+(a+b)l-x2 9-x4 36m2-49n2x4 a2x+2-lOO 4-(m+n)2

2. ._- 6. -- io.6m~7nx2

14. 18.l-x 3-x2 ax+1-l0 2+(m+n)x2_y2 a2-4b2 8la6-lOOb8 1--':9x2m+4 X2_(X_y)2

3. 7. 11. 15. 19.x+(x-y)x+y a+2b 9a3+lOb4 1+3xm+2

y2_x2 25-36x4 a4b6-4x8yl0 (x+y)LZ2 (a+x)L94. 8. 12. 16.

(x+y)-z20.

(a+x)+3y-x 5-6x2 a2b3+2x4y5

@COCIENTE DE LA SUMA O DIFERENCIA DE LOS CUBOSDE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMAO DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

1 . aS + bS

f d 1 divisi) Sea el COCIente . E ectuan o a IVISI n, tenemos:a+b

+ b3 I a+ ba2 -ab + b2

aS-a8 -a2b

-a2ba2b +ab

ab? + b3=ab> b3

a3+b8o sea b:::: a2 - ab + b2.a+

,r la2) S 1 . a

3- b

Sf d 1 divisiea e COCIente . E ectuan o a IVIsIn,tenemos:

a-b

- b3 I a- ba2+ab + b2

por la aS-a8+ a2b

a2b-a2b + ab2

ab" - b3-ab2+ b3

o seaa3-b8a- b =a;!+ab+ b2.

Lo anterior nos dice que:1) La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de

las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el pro-ducto de la primera por la se

Algebra [Aurelio Baldor]

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