Algebra B ´ asica´ - Apache2 Ubuntu Default Page: It...

Algebra Basica. Departamento de Algebra. http://www.departamento.us.es/da

Algebra Basica

Notas de teorıa

Departamento de Algebra, Universidad de Sevilla


El contenido de estas notas ha sido disenado y redactado por el profesorado de laasignatura. Se permite su reproduccion, unica y exclusivamente para estudio personal.No se permite la copia indiscriminada, ni con fines lucrativos o diferentes del citado, dela totalidad o de parte de las presentes notas. c© 2009.

1


Indice

Tema 1.- Lenguaje y Matematicas 41.1.- Introduccion a la logica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.- Cuantificadores universales y existenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.- Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Tema 2.- Numeros 102.1.- Los Numeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.- Los Numeros Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.- Los Numeros Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.- Los Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5.- Los Numeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Tema 3.- Conjuntos 143.1. Definiciones y notaciones. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia. . . . . . . . . . . . . . . 173.3. Aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4. Permutaciones (I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5. Permutaciones (II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Tema 4.- Numeros Enteros 284.1.- Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.- Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.- Clases de congruencias modulo m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Tema 5.- Polinomios 405.1.- Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.- Maximo comun divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3.- Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Tema 6.- Irreducibilidad. Factorizacion. 456.1.- Polinomios irreducibles sobre C y sobre R . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2.- Derivada de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.3.- Factorizacion en Q[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.4.- Congruencias. Teorema Chino del resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Tema 7.- Grupos 527.1.- Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52


7.2.- Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.3.- Grupos cıclicos. Orden de un elemento de un grupo . . . . . . . . . . . . 577.4.- Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.5.- Producto cartesiano de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.6.- Subgrupos normales. Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.7.- Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.8.- Teoremas de isomorfıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3


Tema 1.- Lenguaje y Matematicas

1.1.- Introduccion a la logica proposicional

En este tema trataremos de desarrollar el uso del lenguaje en el contexto de lasmatematicas. A lo largo del mismo, por una proposicion o sentencia logica entendere-mos una declaracion que puede ser verdadera o falsa. Por ejemplo:1) Hoy es lunes.2) 3 es mayor que 7.3) He nacido en Sevilla.

En los tres ejemplos es claro (aunque el 3 sea mas complicado comprobarlo) que ladeclaracion correspondiente es verdadera o falsa. Esta es la caracterıstica fundamental delas proposiciones. La siguiente declaracion (paradoja) “esta frase es falsa” no puede serni verdadera ni falsa, por tanto no la consideraremos como proposicion.

Otros ejemplos de declaraciones que no son proposiciones son:1) El color azul es bonito.2) n es un numero par.3) ¿Quien ha llegado?

Consideremos el conjunto P de todas la proposiciones posibles. Este conjunto estadividido en dos partes: las proposiciones que son verdaderas y las proposiciones que sonfalsas. Lo que pretendemos ver ahora es como podemos combinar proposiciones paraobtener otras nuevas y, ademas, estudiar como se traduce la veracidad o falsedad de lasproposiciones combinadas en la proposicion resultante. Generalmente usaremos las letrasp, q, r, ... para representar las proposiciones. Por ejemplo

p : hoy es lunes.

Definicion.- (Negacion) Dada una proposicion p, definimos la proposicion ¬p (no p)como la proposicion que es falsa cuando p es verdadera, y verdadera si p es falsa.

Esta definicion se puede ilustrar en su tabla de verdad

p ¬pV FF V

Definicion.- (Conjuncion) Dadas dos proposiciones p y q, definimos p ∧ q (p y q) comola proposicion que es verdadera solo cuando ambas, p y q, son verdaderas. Su tabla de


verdad es:p q p ∧ qV V VV F FF V FF F F

Definicion.- (Disyuncion) Dadas dos proposiciones p y q, definimos la proposicion p∨ q(p o q) como aquella que es verdadera cuando una o ambas proposiciones son verdaderas.Su tabla de verdad es:

p q p ∨ qV V VV F VF V VF F F

Definicion.- (Implicacion) Dadas dos proposiciones p y q, definimos la proposicionp → q (p implica q) como la proposicion que es falsa cuando p es verdadera y q falsa, yverdadera en los demas casos. Llamaremos a p la hipotesis y a q la conclusion. Su tablade verdad es:

p q p → qV V VV F FF V VF F V

Ya podemos construir todo tipo de proposiciones, y sus tablas de verdad. Por ejemplo,la tabla de verdad de la proposicion ¬p ∨ q es

p q ¬p ∨ qV V VV F FF V VF F V

Otro ejemplo algo mas complicado: la tabla de verdad de (p ∧ q) → r

p q r p ∧ q (p ∧ q) → rV V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V F VF V F F VF F V F VF F F F V

Se observa que las tablas de verdad de la implicacion y del primer ejemplo coinciden.

Definicion.- Diremos que dos proposiciones son logicamente equivalentes si tienen lamisma tabla de verdad.

5


Ejemplos: los siguientes pares de proposiciones son logicamente equivalentes:a) p ∨ (q ∧ r), (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (propiedad distributiva)b) p ∨ (q ∨ r), (p ∨ q) ∨ r (propiedad asociativa)

Definicion.- Diremos que una proposicion es una tautologıa si los valores de su tabla deverdad son todos verdaderos.

Por ejemplo p ∨ ¬p. La negacion de una tautologıa se denomina contradiccion. Esdecir, una contradiccion es una proposicion en cuya tabla de verdad solo aparece el valorfalso. Por ejemplo p ∧ ¬p.

Definicion.- Dadas dos proposiciones p y q definimos la proposicion p ↔ q (p sı y solosi q) como la proposicion que es verdadera cuando p y q son ambas verdaderas o ambasfalsas.

Su tabla de verdad es:

p q p ↔ qV V VV F FF V FF F V

Con esta definicion se puede comprobar que dos proposiciones p y q son logicamenteequivalentes (⇔) si la proposicion p ↔ q es una tautologıa.

Para terminar esta seccion veamos como actua la negacion sobre ∨, ∧ y → . Es unfacil ejercicio comprobar que:1) ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q.

2) ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q.

Estas propiedades se conocen con el nombre de las leyes de DeMorgan. Para ver comoactua la negacion sobre → basta tener en cuenta que p → q ⇔ ¬p ∨ q, y aplicando lasleyes de DeMorgan, tenemos que:

¬(p → q) ⇔ ¬(¬p ∨ q) ⇔ (¬¬p) ∧ ¬q ⇔ p ∧ ¬q

1.2.- Cuantificadores universales y existenciales

Comenzaremos escribiendo una proposicion de distintas formas. Por ejemplo, sabemos(lo probaremos mas adelante) que:

la desigualdad n2 < 2n es cierta para todos los numeros naturales mayores o iguales que5.

Podemos expresar (escribir) esta proposicion de distintas formas:

• Para todo numero natural n, si n ≥ 5, entonces n2 < 2n.

6


• Para todo n, si n ∈ N y n ≥ 5, entonces n2 < 2n.

• (∀n)[(n ∈ N ∧ n ≥ 5) → (n2 < 2n)].

Cada vez que hemos escrito la proposicion, hemos aumentado el grado de formali-dad. En la ultima aparece el sımbolo ∀ (para todo), que denominaremos “cuantificadoruniversal”. Veamos otro ejemplo:

• Todos los elementos del conjunto B son negativos.

• Para todo x ∈ B, x < 0.

• (∀x ∈ B)(x < 0).

• Para todo x, si x ∈ B, entonces x < 0.

• (∀x)(x ∈ B → x < 0).

La forma mas general para una proposicion conteniendo en cuantificador universalserıa como sigue. Si P (x) es una propiedad expresada en terminos de x, entonces unaproposicion general con el cuantificador universal serıa:

(∀x)(P (x)),

que leerıamos: para todo x, P (x).

Volvamos al primer ejemplo. Sabemos que la desigualdad n2 < 2n es cierta si n ≥ 5,pero no lo es si 2 ≤ n ≤ 4. Es decir, sabemos que

• Existe un numero natural n tal que n2 ≥ 2n.

• Existe n tal que n ∈ N y n2 ≥ 2n.

• (∃n)(n ∈ N ∧ n2 ≥ 2n).

El sımbolo ∃ se lee como “existe” y se denomina cuantificador existencial.Otro ejemplo:

• Algun elemento del conjunto B es positivo.

• Existe x ∈ B, x > 0.

• (∃x ∈ B)(x > 0).

• Existe x tal que x ∈ B y x > 0.

• (∃x)(x ∈ B ∧ x > 0).

Si P (x) es una propiedad expresada en terminos de x, entonces una proposicion gen-eral con el cuantificador existencial serıa:

(∃x)(P (x)),

que leerıamos: existe un x tal que P (x).

Veamos un ejemplo con los dos cuantificadores:

7


• Existe un elemento del conjunto A que es menor que todos los elementos del con-junto B.

• Existe x ∈ A tal que x < y para todo y ∈ B.

• Existe x ∈ A tal que, para todo y ∈ B, x < y.

• (∃x ∈ A)(∀y ∈ B)(x < y).

En matematicas tambien usamos el sımbolo ∃!, que significa “existe un unico”. Laexpresion (∃!x)(P (x)) se lee: “existe un unico x tal que P (x)”. Por ejemplo: ∃!n ∈ Ntal que n3 = 8.

Las proposiciones con cuantificadores se niegan siguiendo las dos reglas siguientes:

¬[(∀x)(P (x))] ⇔ (∃x)(¬P (x))

¬[(∃x)(P (x))] ⇔ (∀x)(¬P (x)).

Un ejemplo con los dos cuantificadores: la negacion de (∀ε > 0)(∃n ∈ N)(1/n < ε)es (∃ε > 0)(∀n ∈ N)(1/n ≥ ε).

1.3.- Demostraciones

En esta seccion veremos los cuatro tipos de demostraciones que usaremos a lo largo detodo el curso.

Prueba directa.

Esquema:

Teorema Si p entonces q.

Demostracion: Supongamos p. Entonces [...], se tiene q.

Prueba de una proposicion logicamente equivalente.

Consiste en sustituir la proposicion a demostrar por otra que sea logicamente equiv-alente y tratar de probar esta ultima. Por ejemplo, si queremos probar que p → (q ∨ r)podemos usar que es logicamente equivalente a (p ∧ ¬q) → r.

Esquema:

Teorema p → (q ∨ r).

Demostracion: Supongamos p ∧ ¬q. Entonces [...], se tiene r.

8


Prueba del contrarrecıproco.

Es un caso particular de la anterior. Si se quiere probar p → q, usamos que eslogicamente equivalente a ¬q → ¬p, y

Esquema:

Teorema p → q.

Demostracion: Supongamos ¬q. Entonces [...], se tiene ¬p.

Prueba por reduccion al absurdo.

Si queremos probar que p es un teorema (es verdadero), lo que queremos ver es que pes una tautologıa. Por tanto ¬p es una contradiccion.

Esquema:

Teorema p.

Demostracion: Supongamos ¬p. Entonces [...] FALSO. Luego es una con-tradiccion. Se tiene p.

Contraejemplos.-

Supongamos que tenemos una proposicion y queremos saber si es verdadera o falsa.Por ejemplo, sea P (n) una propiedad que tratamos probar que se verifica para todos losnumeros naturales n. Entonces:

• Si P (n) es verdadera, tenemos que dar una prueba general.

• Si P (n) es falsa, basta dar un valor de n en el que no se verifique la propiedad.

Por ejemplo, si nuestra propiedad P (n) es: “todo numero impar es primo”, bastacomprobar que para n = 9 no se verifica la propiedad, luego es falsa.

Prueba por induccion.-

Supongamos que tratamos de probar una propiedad (un enunciado) sobre los numerosnaturales n ≥ n0, para un n0 dado. Si denotamos por P (n) dicha propiedad, la pruebapor induccion funciona de la siguiente manera:

• 1) Probar que P (n0) es cierta

• 2) Suponer que P (n) es cierta (hipotesis de induccion)

• 3) Probar que P (n + 1) es cierta.

El segundo paso se puede sustituir por

2) Suponer que P (k) es cierta ∀k, n0 ≤ k ≤ n.

Ejemplo.- ∀n ∈ N se verifica que

1 + 2 + . . . + n =n(n + 1)

2.

9


Tema 2.- Numeros

En este tema consideraremos los numeros y sus propiedades mas elementales. Supon-dremos que todos sabemos que son los numeros y recordaremos algunas de suspropiedades. Comenzaremos con la notacion:

• Los numeros naturales, N.

• Los numeros enteros, Z.

• Los numeros racionales, Q.

• Los numeros reales, R.

• Los numeros complejos, C.

2.1.- Los Numeros Naturales.

Sabemos que los numeros naturales son N = {0, 1, 2, 3, ....}, y que podemos sumar ymultiplicar numeros naturales. Estas operaciones verifican una serie de propiedades:

∀a, b, c ∈ N

(1+) a + b = b + a (conmutativa)(2+) (a + b) + c = a + (b + c) (asociativa)(3+) 0 + a = a (neutro)

(1·) a · b = b · a (conmutativa)(2·) (a · b) · c = a · (b · c) (asociativa)(3·) 1 · a = a (unidad)

Otra propiedad de la suma y el producto de numeros naturales es:

(D) a · (b + c) = a · b + a · c (distributiva)

Sin embargo hay operaciones que no se pueden hacer con los numeros naturales: lasustraccion o la division. Por ejemplo, no existen numeros naturales x, y que verifiquen:4 + x = 2, 3 · y = 5.


2.2.- Los Numeros Enteros

Z = {... − 2,−1, 0, 1, 2, ...}. Con la introduccion de los numeros negativos damos re-spuesta al problema de las sustraccion, es decir, ∀a, b ∈ Z la ecuacion a + x = b tienesolucion entera. Al igual que los numeros naturales, los enteros se pueden sumar y mul-tiplicar. Las propiedades anteriores se siguen verificando en los enteros. Una propiedadnueva es:

(4+) ∀a ∈ Z ∃ − a ∈ Z tal que a + (−a) = 0 (opuesto).

Por verificar los numeros enteros las propiedades (1+), (2+), (3+), (4+) diremos queZ, con la suma, es un grupo (aditivo) abeliano (en el tema 8 se estudiaran los grupos engeneral).

2.3.- Los Numeros Racionales

Los numeros racionales se introducen porque no siempre se pueden dividir los enteros.Un numero racional es un numero que se puede escribir como una fraccion a

bdonde a y b

son enteros y b 6= 0.

Las reglas para sumar (restar) y multiplicar (dividir) numeros racionales son:

a

b+

c

d=

ad + bc

bd;

a

b· c

d=

ac

bd

a

b− c

d=

ad− bc

bd;

a

b÷ c

d=

ad

bcc 6= 0

Las propiedades anteriores de los numeros enteros se siguen cumpliendo en losracionales. Ası, por la misma razon, diremos que Q, con la suma, es un grupo (aditivo)abeliano.

Denotemos por Q∗ los numeros racionales no nulos. En Q∗ se verifica una nuevapropiedad:

(4·) ∀a ∈ Q∗, ∃a−1 ∈ Q∗ tal que a · a−1 = 1 (inverso).

Por verificar los numeros racionales no nulos las propiedades (1·), (2·), (3·), (4·) dire-mos que Q∗, con el producto, es un grupo (multiplicativo) abeliano.

11


2.4.- Los Numeros Reales

Proposicion (Pitagoras).-√

2 no es racional.

Demostracion.- Haremos la demostracion por reduccion al absurdo. Supongamos que√2 es racional, es decir,

√2 = m

n, y suponemos que m y n no tienen ningun factor comun.

Elevando al cuadrado tenemos 2 = m2/n2, luego m2 = 2n2. Como m2 es un numero par,se deduce (probarlo) que m es par, m = 2r. Sustituyendo tenemos 4r2 = 2n2, luego2r2 = n2, de donde deducimos que n2, y por tanto n, es un numero par. Esto contradiceel hecho de que m y n no tenıan factores comunes. Q.E .D.

A estos numeros que no estan en Q lo denominaremos irracionales y a la union deracionales e irracionales lo denominaremos numeros reales.

Un numero real es un numero que, eventualmente, se puede representar como undecimal infinito.

Los numeros reales se pueden sumar y multiplicar, manteniendo las mismaspropiedades que los racionales. Por tanto, (R, +) es un grupo abeliano (aditivo) y (R∗, ·)es un grupo abeliano (multiplicativo).

2.5.- Los Numeros Complejos

La ultima extension se produce porque aun quedan ecuaciones que no se pueden resolveren R, por ejemplo X2 + 1 = 0.

Un numero complejo es un numero de la forma a + b · i, donde a y b son numerosreales e i es un sımbolo que verifica la propiedad i2 = −1.

Las reglas para suma (restar) y multiplicar numeros complejos son:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi)(c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i.

Para la division basta tener en cuenta que, si c + di 6= 0, entonces

1

c + di=

1

c + di

c− di

c− di=

c− di

c2 + d2=

c

c2 + d2− d

c2 + d2i,

luego

a + bi

c + di= (a + bi)

1

c + di= (a + bi)

(c

c2 + d2− d

c2 + d2i

)=

ac + bd

c2 + d2+

bc− ad

c2 + d2i.

Se puede probar que la suma y la multiplicacion en C verifican las mismaspropiedades que en R.

12


Sea z = a + bi un numero complejo. Diremos que a es la parte real de z, y b la parteimaginaria de z. A a − bi lo denominaremos el numero complejo conjugado de z, y sedenotara por z.

Veamos otra forma de representar los numeros complejos. Sea z = a + bi.

Definicion.- Llamaremos modulo de z, y lo representaremos por |z|, al numero real |z| =√a2 + b2.

Llamaremos argumento de z, arg(z), al angulo α tal que cos(α) = a/|z| y sen(α) =b/|z|.

Luego, si |z| = r y arg(z) = α, entonces

z = r(cos(α) + isen(α)).

Con esta notacion es facil ver que para multiplicar dos numeros complejos hay quemultiplicar sus modulos y sumar sus argumentos. Para dividir, se dividen sus modulos yse restan sus argumentos. En efecto: sean

z1 = r1(cos(α1) + isen(α1)), z2 = r2(cos(α2) + isen(α2)).

Entoncesz1z2 = r1r2((cos(α1) + isen(α1))(cos(α2) + isen(α2))

= r1r2(cos(α1)cos(α2)− sen(α1)sen(α2)) + (cos(α1)sen(α2) + cos(α2)sen(α1))i)= r1r2(cos(α1 + α2) + isen(α1 + α2)).

De aquı se obtiene la formula de De Moivre:

Teorema.- Para todo numero natural n, se tiene

(cos(α) + isen(α))n = cos(nα) + isen(nα).

Demostracion: Lo probaremos por induccion. Para n = 0 se verifica pues, (cos(α) +isen(α))0 = 1 = cos(0) + isen(0).

Supongamos que se verifica para n, es decir, (cos(α) + isen(α))n = cos(nα) +isen(nα).

Entonces,

(cos(α) + isen(α))n+1 = (cos(α) + isen(α))n(cos(α) + isen(α)) =

= (cos(nα) + isen(nα)(cos(α) + isen(α)) = cos(n + 1)α + isen(n + 1)α.

Q.E .D.

13


Tema 3.- Conjuntos

3.1. Definiciones y notaciones. Operaciones.

Definicion.– Llamaremos conjunto a una coleccion de objetos que comparten unapropiedad. Para que un conjunto este bien definido debe ser posible discernir si un objetoarbitrario esta o no en el.

Los conjuntos pueden definirse de manera explıcita, citando todos sus elementos entrellaves, por ejemplo

A = {1, 2, 3, 4, 5},o de manera implıcita, dando una (o varias) caracterıstica(s) que determine(n) si un objetodado esta o no en el conjunto, por ejemplo

A = {x | x es un numero natural par},

que se leera: A es el conjunto formado por los x tales que x es un numero natural par.Esta ultima opcion es obviamente imprescindible cuando el conjunto en cuestion tieneuna cantidad infinita de elementos.

Notacion.– Los conjuntos se notaran con letras mayusculas: A, B,... y los elementos conminusculas, en general. Si el elemento a pertenece al conjunto A escribiremos a ∈ A. Encaso contrario escribiremos a /∈ A.

Observacion.– En ocasiones hay que considerar varios conjuntos en pie de igualdad. Enestos casos es frecuente denotar los distintos conjuntos con la misma letra y un subındiceque los diferencia. Los subındices pueden ser finitos y concretos, por ejemplo,

X1, X2, X3, X4, X5;

finitos pero en cantidad desconocida,

X1, X2, ..., Xn, n ∈ N,

o arbitrarios; un ejemplo de esto serıa considerar

{Ai}i∈I ,

que se leerıa: la familia de conjuntos Ai donde i pertence a I . Aquı I es el conjunto desubındices que puede o no ser finito (por ejemplo I podrıa ser todo N).

Definicion.– Un conjunto que carece de elementos se denomina el conjunto vacıo y sedenota por ∅. Un conjunto con un unico elemento se denomina unitario.


Notemos que, si X = {x} es un conjunto unitario, debemos distinguir entre el con-junto X y el elemento x.

Definicion.– Dados dos conjuntos A y B, si todo elemento de A es a su vez elemento deB diremos que A es un subconjunto de B y lo notaremos A ⊂ B. En caso contrario senotara A 6⊂ B.

Proposicion.– Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera. Se tienen las siguientespropiedades:

(a) A ⊂ A, ∅ ⊂ A.

(b) Si A ⊂ B y B ⊂ A, entonces A = B.

(c) Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.

Demostracion.– La primera propiedad se sigue directamente de la definicion.

Para probar (b), fijemonos en que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente losmismos elementos. Pero esto es tanto como decir que todos los elementos de A estan enB, y viceversa; eso es que A ⊂ B y B ⊂ A.

Esta propiedad se utiliza muy frecuentemente para demostrar igualdades de conjuntospor el procedimiento denominado doble inclusion. Este consiste en, dados los dos con-juntos, probar primero que todo elemento del primero esta en el segundo, y luego quetodo elemento del segundo esta en el primero. Aplicando entonces el apartado (b), quedademostrado que ambos conjuntos son iguales.

La demostracion de (c) se sigue de la definicion de subconjunto: todo elemento de Aesta en B, por ser A ⊂ B y, dado que es elemento de B, esta en C por ser B ⊂ C. Asıtodo elemento de A esta en C y hemos finalizado. Q.E .D.

Definicion.– Dado dos conjuntos A ⊂ X se define el complementario de A en X (osimplemente el complementario de A, si el conjunto X no se presta a confusion) como

X \ A = {x | x ∈ X, x /∈ A},

esto es, el conjunto de elementos de X que no estan en A. Otras notaciones que se puedeencontrar para X \ A (donde X se obvia) son A o cA.

Observacion.– Dados A ⊂ X , se dan las siguientes igualdades obvias:

∅ = X, X = ∅, A = A.

Nos detendremos solamente en la tercera de las anteriores propiedades. En efecto, pordefinicion

A = {x | x ∈ X, x /∈ A},pero para un x ∈ X , x /∈ A si y solo si x ∈ A, por tanto los elementos de A sonprecisamente los de A.

Notacion.– Cuando A es un conjunto finito, el numero de elementos de A se denominacardinal de A y se notara ](A).

15


Definicion.– Dados dos conjuntos A y B se define la union de A y B, notado A ∪ Bcomo el conjunto formado por aquellos elementos que pertencen al menos a uno de losdos conjuntos, A o B.

Se definen de forma equivalente la union de una cantidad finita de conjuntosA1, ..., An, que denotaremos

A1 ∪ ... ∪ An =n⋃

i=1

Ai,

y la union de una familia arbitrariamente grande de conjuntos {Ai}i∈I , que denotaremos⋃

i∈I

Ai.

Proposicion.– La union de conjuntos verifica las siguientes propiedades, para cua-lesquiera conjuntos A, B y C:

(a) Conmutativa: A ∪B = B ∪ A.

(b) Asociativa: (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

(c) ∅ ∪ A = A.

(d) A ⊂ B ⇐⇒ A ∪B = B.

(e) Si A ⊂ B, entonces A ∪ (B \ A) = B.

Demostracion.– Todas las pruebas son sencillas, y son un buen ejercicio para queel alumno comience a tratar de plasmar demostraciones rigurosas. Como ilustracion decomo se ataca una doble implicacion, probaremos (d).

Comenzaremos suponiendo que A ⊂ B. Entonces todos los elementos de A estanen B, por tanto A ∪ B = B de manera inmediata. Recıprocamente, supongamos queA ∪ B = B. Entonces todo elemento que este en A o en B esta forzosamente en B, conlo que se tiene A ⊂ B. Q.E .D.

Definicion.– Dados dos conjuntos A y B se define la interseccion de A y B, notadoA∩B, como el conjunto formado por aquellos elementos que pertencen al mismo tiempoa ambos conjuntos, A y B.

Se definen de forma equivalente la interseccion de una cantidad finita de conjuntosA1, ..., An, y la interseccion de una familia arbitrariamente grande de conjuntos {Ai}i∈I ,que denotaremos, respectivamente,

A1 ∩ ... ∩ An =n⋂

i=1

Ai, y⋂

i∈I

Ai.

Si A y B son dos conjuntos tales que A ∩B = ∅ se dice que A y B son disjuntos.

Proposicion.– La interseccion de conjuntos verifica las siguientes propiedades, para cua-lesquiera conjuntos A, B y C:

(a) Conmutativa: A ∩B = B ∩ A.

16


(b) Asociativa: (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

(c) ∅ ∩ A = ∅.

(d) A ⊂ B ⇐⇒ A ∩B = A.

(e) Si A ⊂ B, entonces A ∩ (B \ A) = ∅.

Demostracion.– Las demostraciones se dejan como ejercicios. Q.E .D.

Proposicion.– Dados tres conjuntos A, B y C se verifican las siguientes igualdades:

(a) Leyes distributivas:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

(b) Leyes de De Morgan (supongamos A,B ⊂ C):

C \ (A ∪B) = (C \ A) ∩ (C \B), C \ (A ∩B) = (C \ A) ∪ (C \B)

Demostracion.– Probaremos una de las leyes distributivas y una de las leyes de DeMorgan; las restantes quedan como ejercicio por ser simetricas a las probadas. Ambosresultados se probaran por doble inclusion.

Veamos que A∩(B∪C) ⊂ (A∩B)∪(A∩C). Para ello tomemos un elemento arbitrariox ∈ A ∩ (B ∪C). Esto quiere decir que x esta en A y ademas en B o en C. Esto implicaque, bien esta en A ∩B, bien esta en A ∩ C. En cualquier caso x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

Demostremos ahora que (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C). Si consideramos unelemento cualquiera y ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y ha de pertencer a A ∩ B o a A ∩ C. Portanto, bien esta en A y en B o en A y en C. En cualquier circunstancia ha de estar en A yal menos en uno de los otros dos conjuntos B o C. De aquı y ∈ A y ademas y ∈ B ∪ C.

Pasemos a probar la segunda ley de De Morgan. Veamos primero C \ (A ∩ B) ⊂(C \ A) ∪ (C \ B). Un elemento x de C \ (A ∩ B) ha de estar en C, pero no en A ∩ B,por lo que no puede estar en al menos uno de los dos conjuntos A o B. Ası, x ha depertenecer, bien a C \ A, bien a C \B. En cualquier caso x ∈ (C \ A) ∪ (C \B).

Si tomamos ahora un elemento z ∈ (C \A)∪ (C \B), observemos que z ha de estar,bien en C \ A, bien en C \ B, por lo que debe estar en C y no estar en A o en B. Ası,z ∈ C, pero nunca puede estar en A ∩B, por lo que z ∈ C \ (A ∩B). Q.E .D.

3.2. Producto cartesiano. Relaciones de equivalencia.

Definicion.– Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de A y B comoel conjunto de pares ordenados formados (por este orden) por un elemento de A y uno deB y se denota

A×B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

17


Dado (a, b) ∈ A×B, el elemento a ∈ A (respectivamente b ∈ B) se suele denominarprimera (segunda) componente del par.

Tambien se puede definir el producto cartesiano de una cantidad finita de conjuntos(para cantidades infinitas hay dos posibles generalizaciones y no las veremos aquı) de laforma natural

A1 × ...× An =n∏

i=1

Ai = {(a1, ..., an) | ai ∈ Ai, para i = 1, ..., n} .

Definicion.– Una correspondencia G de A en B es un subconjunto del producto A × B.Equivalentemente se puede definir como una regla que asocia algunos elementos de Acon algunos elementos de B. Concretamente, G asocia a ∈ A con b ∈ B si (a, b) ∈ G.

Definicion.– Sea A un conjunto. Una relacion R definida en A es una correspondencia deA en sı mismo.

Si el par (x, y) ∈ A × A esta en R, diremos que x esta R–relacionado con y, orelacionado con y por R. Esto se notara frecuentemente xRy (notese que el orden esimportante).

Definicion.– Sea R una relacion en A. Entonces diremos que R es:

(a) Reflexiva cuando para todo x ∈ A se tiene que xRx.

(b) Simetrica cuando xRy implica yRx.

(c) Antisimetrica cuando xRy e yRx implican x = y necesariamente.

(d) Transitiva cuando xRy e yRz implican xRz.

Las relaciones reflexivas, simetricas y transitivas se denominan relaciones de equiva-lencia. Las relaciones reflexivas, antisimetricas y transitivas se denominan relaciones deorden, pero no las tratermos aquı.

Ejemplos.– En el conjunto Z definimos la relacion siguiente, notada S:

xSy ⇐⇒ x− y es par,

Entonces R es una relacion de orden (de hecho, las relaciones de orden se denominanası por ser este el ejemplo fundamental), T tambien lo es y S es una relacion de equiva-lencia. De hecho, notemos que S es de equivalencia si sustituimos la condicion “x− y espar” por la condicion “x− y es multiplo de p”, para cualquier numero p que fijemos conantelacion.

Definicion.– Si R es una relacion de equivalencia en A, denominamos clase de equiva-lencia de un elemento x ∈ A al conjunto de todos los elementos de A relacionados con x,esto es,

x = R(x) = {y ∈ A | xRy},donde la primera notacion se usa si R se sobreentiende, y la segunda si no es ası.

Proposicion.– Sea A un conjunto, R una relacion de equivalencia en A. Entonces severifican las siguientes propiedades:

18


(a) Todo elemento pertenece a una clase de equivalencia.

(b) Dos clases de equivalencia son disjuntas o iguales.

Esto es, la relacion R divide completamente al conjunto A en subconjuntos disjuntos(las clases de equivalencia).

Demostracion.– La afirmacion (a) es trivial, ya que R es reflexiva. Para probar (b)supongamos que tenemos dos clases de equivalencia R(x) y R(y) de tal forma que existez ∈ R(x) ∩ R(y). Tenemos que demostrar entonces que R(x) = R(y), y lo haremos pordoble inclusion. De hecho, solo probaremos que R(x) ⊂ R(y), porque la otra inclusiones absolutamente simetrica.

Tomamos entonces a ∈ R(x). Como z ∈ R(x), tenemos que aRx y xRz, por lo queaRz. De la misma forma, como z ∈ R(y), se verifica que zRy. Ası tenemos aRy, luegoa ∈ R(y). Observemos que hemos usado tanto la propiedad simetrica como la transitivapara demostrar (b). Q.E .D.

Definicion.– Dada una relacion de equivalencia R definida sobre un conjunto A, el con-junto cuyos elementos son las clases de equivalencia de A por R se denomina conjuntocociente de A por R. La notacion ususal es

A/R = {R(x) | x ∈ A}.

Ejemplo.– Volviendo al ejemplo anterior, tomamos un entero p, fijado para lo que sigue,y consideramos

xSy ⇐⇒ x− y es multiplo de p.

Entonces se tiene que, para todo x ∈ Z

S(x) = {y ∈ Z | x e y dan el mismo resto al dividirlos entre p},

por lo queZ/S = {S(0), S(1), ..., S(p− 1)}.

3.3. Aplicaciones.

Una aplicacion f de A en B es una correspondencia donde todo elemento de A tieneasociado un unico elemento de B. Esto es, en notacion matematica, una correspondenciaG es una aplicacion si y solo si se verifica que

∀a ∈ A ∃!b ∈ B tal que (a, b) ∈ G.

Notacion.– Es habitual denotar una aplicacion entre conjuntos A y B de la forma f :A −→ B. En estas condiciones, dado a ∈ A el unico b verificando (a, b) ∈ f se denotaf(a) y se denomina imagen de a (por f ).

De esta notacion surge la terminologıa, comunmente usada, de llamar a A conjuntooriginal (o dominio) y a B conjunto imagen.

19


En segun que contextos (por ejemplo, en Analisis Matematico, o cuando el conjuntode llegada es Rn) es habitual llamar a las aplicaciones funciones, pero durante este cursoutilizaremos la denominacion aplicaciones.

Definicion.– Dada una aplicacion f : X −→ Y y subconjuntos A ⊂ X y B ⊂ Y ,definimos:

(a) La imagen de A, notada f(A), como

f(A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A con f(x) = y} ⊂ Y,

esto es, el conjunto de elementos del conjunto imagen que son imagen de un ele-mento de A.

(b) La anti–imagen (o contraimagen, o imagen recıproca) de B, notada f−1(B), como

f−1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} ⊂ X,

esto es, el conjunto de elementos del conjunto original cuya imagen esta en B.

Proposicion.– Sea f : X −→ Y una aplicacion, A1, A2 ⊂ X y B1, B2 ⊂ Y . Se verifica:

(a) f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2), f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2).

(b) f−1(B1 ∪B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2), f−1(B1 ∩B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2).

(c) f(f−1(B1)) ⊂ B1, A1 ⊂ f−1(f(A1)).

Demostracion.– Vamos a probar, por ejemplo, la segunda afirmacion de (a) y laprimera de (c). Las demas son similares. Consideremos y ∈ f(A1 ∩ A2). Entoncesexiste x ∈ A1 ∩ A2 tal que y = f(x). Por tanto, y ∈ f(A1) e y ∈ f(A2), por lo que setiene el resultado.

Es importante entender que, para afirmar que la otra inclusion no es cierta, basta condar un contraejemplo; esto es, un caso particular donde no sea cierto el enunciado. Paraello consideremos f : N −→ N definida por

f(x) =

{x/2 + 1 si x es parx + 2 si x es impar

Tomamos A1 = {1, 3, 5}, A2 = {2, 4, 6}. Claramente f(A1 ∩ A2) = f(∅) = ∅, perof(A1) ∩ f(A2) = {3}.

Probemos ahora que f(f−1(B1)) ⊂ B1. Si y ∈ f(f−1(B1)), es porque existe x ∈f−1(B1) tal que y = f(x). Pero, al ser x ∈ f−1(B1), por definicion tenemos que y =f(x) ∈ B1.

Para demostrar que la inclusion contraria no es cierta en general podemos tomar lamisma aplicacion que en el caso anterior y considerar B1 = {1, 3, 5} nuevamente. En-tonces f−1(B1) = {1, 3, 4, 8} (por convenio, no incluimos el 0 en N). Pero f(f−1(B1)) ={3, 5}, por lo que hemos acabado. Q.E .D.

Definicion.– Sea una aplicacion f : X −→ Y .

20


(a) f se dice inyectiva si dos elementos distintos de X siempre tienen imagenes distin-tas. Dicho de otro modo, f es inyectiva si, de f(x) = f(x′), para x, x′ ∈ X , sededuce que x = x′.

(b) f se dice sobreyectiva (o sobre) si todo elemento de Y es imagen de algun elementode X . O sea, f es sobre si f(X) = Y .

(c) f se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Observacion.– Ası, podemos decir que:

(a) f es inyectiva si y solo si para todo y ∈ Y f−1({y}) consta, a lo mas, de unelemento.

(b) f es sobre si y solo si para todo y ∈ Y f−1({y}) consta, a lo menos, de un elemento.

(c) f es biyectiva si y solo si para todo y ∈ Y f−1({y}) consta, exactamente, de unelemento.

De esta forma, si f es biyectiva, existe una aplicacion, denominada aplicacion inversay notada f−1 : Y −→ X , definida por f−1(y) = x si y solo si f(x) = y.

Las aplicaciones inyectivas, sobres o biyectivas verifican algunas propiedades masconcretas de las que enunciamos con anterioridad.

Definicion.– Dadas dos aplicaciones f : X −→ Y y g : Y −→ Z se define la com-posicion de f y g, notada g ◦ f , de X en Z como

(g ◦ f)(x) = g(f(x)), para todo x ∈ X.

Obviamente g ◦ f es una aplicacion.

Definicion.– Dada una aplicacion f : X −→ Y y un subconjunto A ⊂ X , se define larestriccion de f a A como la aplicacion

f|A : A −→ Y

x 7−→ f|A(x) = f(x)

Esto es, f|A actua exactamente como f , pero solo sobre los elementos de A. Estopone de manifiesto (o deberıa) lo importante que es, a la hora de definir una aplicacion,determinar los conjuntos de partida y llegada, no solo como se calcula la imagen de unelemento.

3.4. Permutaciones (I).

Definicion.– Consideremos el conjunto A = {1, 2, ..., n} y sea

Sn = {f : A −→ A | f biyectiva }.

21


El conjunto Sn se denomina conjunto de permutaciones de n elementos. Un calculoelemental nos dice que Sn tiene exactamente n! elementos.

Observacion.– De la caracterizacion estudiada para las aplicaciones biyectivas se sigueque la composicion de dos aplicaciones biyectivas es de nuevo biyectiva. Por tanto en Sn

podemos definir una operacion interna, que no es mas que la composicion de aplicaciones.

Esta operacion verifica varias propiedades curiosas. Para empezar la aplicacion, de-nominada identidad,

Id : A −→ A

i 7−→ i

verifica que, para todo σ ∈ Sn,

σ ◦ Id = Id ◦ σ = σ.

Por otra parte, dada σ ∈ Sn, se tiene que σ−1 ∈ Sn tambien, y verifica

σ ◦ σ−1 = σ−1 ◦ σ = Id.

Notacion.– Adoptaremos las siguientes notaciones indistintamente

σ ◦ τ = σ · τ = στ

σ ◦ ... ◦ σ (r veces) = σr

Observacion.– Es posible entender cada aplicacion de Sn como una reordenacion delconjunto {1, ..., n}. De aquı es usual denotar los elementos de Sn como una tabla condos filas: en la primera aparecen los numeros del 1 al n (para saber cual es el conjuntooriginal) y en la segunda aparece, bajo cada original, su imagen. Por ejemplo:

σ =

[1 2 3 4 54 3 2 1 5

]

es la aplicacion de {1, 2, 3, 4, 5} en sı mismo que envıa 1 en 4, 2 en 3, 3 en 2, 4 en 1 y 5en sı mismo.

Observacion.– Casi cualquier ejemplo no trivial de S3 sirve para ver que, en general, siσ, τ ∈ Sn, se tiene que σ ◦ τ 6= τ ◦ σ.

Vamos ahora a dar una cierta estructura al conjunto de las permutaciones. En primerlugar nos fijaremos en un tipo muy concreto (en interesante).

Definicion.– Un ciclo de longitud r en Sn es una permutacion σ tal que existen{a1, ..., ar} ⊂ {1, ..., n}, todos ellos distintos, verificando:

• σ(aj) = aj+1 para j = 1, ..., r − 1, y σ(ar) = a1.

• σ(i) = i para todo i /∈ {a1, ..., ar}.

22


Esto es, los r elementos no fijos de σ pueden recorrerse todos yendo de original aimagen, empezando por uno cualquiera.

Los ciclos de longitud 2 se denominan trasposiciones.

Notacion.– Un ciclo como el anterior se denotara, abreviadamente

σ = (a1 ... ar) ,

indicando con ello σ(aj) = aj+1 para j = 1, ..., r − 1, y σ(ar) = a1.

Ejemplo.– El ejemplo visto anteriormente

σ =

[1 2 3 4 54 3 2 1 5

]

no es un ciclo. Hay cuatro elementos no fijos en σ y no pueden recorrerse yendo deoriginal a imagen.

Observacion.– La permutacion inversa de un ciclo es un ciclo de la misma longitud. Dehecho

(a1 a2 ... ar)−1 = (ar ... a2 a1),

y, en particular, (i j)−1 = (i j).

Observacion.– Dos ciclos σ = (a1 ... ar) y τ = (b1 ... bs) tales que

{a1, ..., ar} ∩ {b1, ..., bs} = ∅verifican que σ ◦ τ = τ ◦ σ. Estos ciclos se dicen disjuntos.

Proposicion.– Toda permutacion distinta de la identidad se puede descomponer en pro-ducto de ciclos disjuntos, de manera unica (salvo reordenacion de los ciclos).

Demostracion.– Haremos la prueba por induccion en r, qe sera el numero de elemen-tos no fijos de σ. Si r = 0 no hay nada que probar, y σ = Id. Claramente r no puede ser1, por la biyectividad de σ. Y, si r = 2, entonces llamamos {i, j} a los elementos no fijosde σ y tenemos que tener, forzosamente

σ(i) = j, σ(j) = i =⇒ σ = (i j).

Sea σ ∈ Sn dada por

σ =

[1 2 ... na1 a2 ... an

]

y supongamos que tiene r elementos no fijos.

Comenzamos por el primer numero i tal que ai 6= i y vamos creando la siguiente lista:

i 7−→ σ(i) = ai 7−→ σ2(i) 7−→ σ3(i) 7−→ ...

Dado que σ ∈ Sn, existiran s, t ∈ N (pongamos s < t) tal que

σs(i) = σt(i)

y, componiendo con (σ−1)s obtenemos

i = σt−s(i).

23


Sea r el menor entero positivo tal que i = σr(i). Entonces el ciclo de longitud r

(i σ(i) ... σr−1(i))

actua, por construccion, de la misma forma que σ sobre el conjunto {i, σ(i), ..., σr−1(i)}.

Solo resta aplicar el mismo razonamiento (hipotesis de induccion) a la permutacion τ ,definida por

τ(j) =

{σ(j) si j /∈ {i, σ(i), ..., σr−1(i)}j si j ∈ {i, σ(i), ..., σr−1(i)}

Ejemplo.– En el ejemplo anterior

σ =

[1 2 3 4 54 3 2 1 5

]= (1 4) (2 3).

Observacion.– Si admitimos ciclos de longitud 1 (con la definicion obvia) podemosobtener una descripcion mas precisa de la permutacion. En efecto,

(1 4) (2 3)

puede ser la permutacion del ejemplo anterior. Pero tambien puede ser[

1 2 3 4 5 64 3 2 1 5 6

]∈ S6.

Si queremos evitar estas confusiones, escribiremos el ejemplo del principio como

(1 4) (2 3) (5).

Definicion.– Llamaremos orden de una permutacion σ, notado o(σ), al menor entero r talque σr = Id.

Observacion.– Notemos que el orden de una permutacion siempre esta bien definido.Dado que Sn tiene n! elementos, el conjunto {σi | i ∈ N} debe contener elementosrepetidos. Y entonces, si σs = σt (con s < t), es sencillo comprobar que σt−s = Id.

Podemos hallar facilmente el orden de una permutacion a partir de su descomposicionen ciclos disjuntos.

Proposicion.– Sea σ ∈ Sn, con descomposicion en ciclos disjuntos dada por

σ = C1 · C2 · ... · Cr,

donde la longitud de Ci es, pongamos li. Entonces

o(σ) = mcm(l1, ..., lr).

Demostracion.– Probemos primero que, si C es un ciclo de longitud l, o(C) = l. Estoes muy sencillo, dado que, si j es un elemento no fijo por C, es evidente por la definicionde ciclo que

C l(j) = j, Cs(j) 6= j para s < l.

24


Como los elementos fijos por C lo son tambien por C l, se tiene que C l = Id, y Cs 6= Idpara cualquier s < l.

Ahora pasamos al caso general. Dado que al componer ciclos disjuntos es irrelevanteel orden tenemos que, para todo s ∈ N

σs = Cs1 · Cs

2 · ... · Csr .

Como los Ci actuan de forma no trivial sobre elementos distintos de {1, ..., n}, paraque σs = Id tiene que ser Cs

i = Id para i = 1, ..., s. Ası pues el orden de σ sera el menormultiplo comun de los ordenes de los Ci.

3.5. Permutaciones (II).

Podemos dar otro tipo de descomposicion para las permutaciones de Sn.

Proposicion.– Toda permutacion se puede descomponer en producto de trasposiciones.

Demostracion.– Esta demostracion es mucho mas simple, dado que basta probarlopara un ciclo, y esto es muy sencillo. Solo hay que comprobar

(a1 a2 ... ar) = (a1 ar) ... (a1 a3) (a1 a2).

Observacion.– La descomposicion anterior, sin embargo, no es unica. Por ejemplo,

(1 2 3) = (1 3) (1 2) = (3 2) (1 3).

Sin embargo, no es casual el hecho de que ambas descomposiciones consten de dostrasposiciones.

Proposicion.– Sea σ ∈ Sn una permutacion. Entonces todas las posibles descomposi-ciones de σ como producto de trasposiciones consta de, bien un numero par, bien unnumero impar de factores.

Demostracion.– La demostracion es interesante porque sigue un camino indirecto: enlugar de trabajar con las permutaciones como objetos en sı, usaremos como las permuta-ciones actuan sobre otro objeto, en este caso un polinomio en n variables.

Consideremos el polinomio

F (x1, ..., xn) =∏

i<j

(xi − xj) = (x1 − x2) · ... · (x1 − xn) · (x2 − x3) · ... · (xn−1 − xn).

Entonces hacemos actuar σ sobre F de la siguiente manera

σ(F ) = F(xσ(1), ..., xσ(n)

),

es decir, renombramos las variables en F siguiendo a σ. Del mismo modo tenemos

σ(F ) =∏

i<j

(xσ(i) − xσ(j)

).

Ahora bien, notemos que una trasposicion (r s) (pongamos con r < s) verifica que

(r s)(F ) = −F.

Veamos esto en la descomposicion de F en factores (xi − xj):

25


• Si {r, s} ∩ {i, j} = ∅, entonces (xi − xj) no se ve afectado por (r s).

• Si i < r < s = j, entonces (xi − xj) va en (xi − xr) y (xi − xr) va en (xi − xs) =(xi − xj).

• Si r < i < s = j, entonces (xi − xj) va en (xi − xr) y (xr − xi) va en (xs − xi) =(xj − xi), con lo cual el producto de ambos factores permanece inalterado por laaccion de (r s).

• Si r < s = j < i, entonces (xj − xi) va en (xr − xi) y (xr − xi) va en (xs − xi) =(xj − xi).

• Por ultimo (r s)(xr − xs) = −(xr − xs).

Por tanto, cada trasposicion cambia de signo F al actuar sobre el. Ası σ, al ser pro-ducto de trasposiciones, puede dejar F invariante o cambiarlo de signo, dependiendo desi σ se escribe como producto de una cantidad par o impar de trasposiciones, respectiva-mente. Pero la accion de σ sobre F es independiente de como se escriba σ como productode trasposiciones, luego la cantidad de factores ha de ser siempre par o siempre impar.

Observacion.– Una cierta forma de medir cuanto altera una permutacion σ ∈ Sn elorden natural en {1, 2, ..., n} es ver el numero de inversiones que σ efectua: para cadai ∈ {1, 2, ..., n} se cuenta una inversion por cada j > i tal que σ(i) > σ(j). En nuestroejemplo anterior

σ =

[1 2 3 4 54 3 2 1 5

]= (1 4) (2 3).

tenemos que contar:

• Tres inversiones porque σ(1) > σ(2), σ(3), σ(4).

• Dos inversiones porque σ(2) > σ(3), σ(4).

• Una inversion porque σ(3) > σ(4).

Luego el numero de inversiones de σ es 6. Este concepto sera util para la definicionde determinante, pero ademas esta ıntimamente ligado a la descomposicion en productode trasposiciones.

El numero de inversiones tambien puede contarse al reves: esto es, contar una in-version por cada j > i tal que σ(i) > σ(j).

Proposicion.– Sea σ ∈ Sn una permutacion con k inversiones. Entonces existe unadescomposicion de σ en producto de k trasposiciones.

Demostracion.– Supongamos que tenemos

σ =

[1 2 ... na1 a2 ... an

],

y supongamos que a1 = r 6= 1. Esto quiere decir que 1 aporta r−1 inversiones, dado quelos elementos 1, ..., r − 1, menores que r verificaran que sus anti–imagenes, pongamosx1 < ... < xr−1 son mayores que la de r, que es 1.

26


Entonces podemos darnos cuenta de que

(r σ(xr−1)) ... (r σ(x1))σ

es una permutacion, cuya diferencia con r consiste en que hemos movido r hasta situarlocomo imagen de r, para lo cual hemos usado r−1 trasposiciones, exactamente el numerode inversiones que aporta 1 (o el que aporta r si las contamos al reves). Repitiendo elproceso con la imagen de 2 (y sucesivamente) llegamos a una expresion de la forma

τ1 · ...τk · σ = Id,

donde recordemos que k es el numero de inversiones de σ. De aquı se deduce facilmenteque

σ = τ−1 · ... · τ−1k = τ1 · ... · τk,

como querıamos.

27


Tema 4.- Numeros Enteros

4.1.- Divisibilidad

Antes de comenzar el tema enunciamos una propiedad de los numeros enteros que usare-mos mas adelante:

Principio de la buena ordenacion: Todo subconjunto no vacıo de Z acotado inferior-mente posee un mınimo.

Desarrollamos brevemente la teorıa clasica de la divisibilidad sobre los numeros en-teros.

Definicion.- Sean a, b dos enteros distintos de cero. Se dira que a divide a b si existec ∈ Z tal que ac = b. En este caso se escribe a|b. Tambien se dice que b es divisible pora. Un entero se llama una unidad si divide a 1.

Damos unas cuantas propiedades elementales de la divisibilidad.

1) Si a ∈ Z divide a una unidad, es una unidad. En efecto, sea u una unidad tal que a|u;entonces u = a′a y 1 = u′u, luego 1 = (u′a′)a y ası a es una unidad.

2) Las unicas unidades de Z son 1 y−1. En efecto, tanto 1 como−1 son unidades porque1 · 1 = 1 y (−1)(−1) = 1. Sean a, b distintos de cero tales que ab = 1. Entonces, o biena, b son positivos o son negativos. Si son negativos, se pone (−a)(−b) = 1, con lo quese puede suponer que ambos son positivos. En este caso, si fuese a o b mayor que 1 (porejemplo a), serıa a > 1 y b > 0 (luego b ≥ 1) serıa ab > 1 · b = b ≥ 1, luego ab > 1, loque no puede ser. Ası, a = b = 1, luego desde el principio a = ±1, b = ±1.

3) Las unidades son los unicos elementos que dividen a todos los enteros no nulos. Enefecto, para todo a ∈ Z, a 6= 0, es a = 1 · a y a = (−1)(−a). Recıprocamente, si unentero divide a todos los enteros no nulos, divide a 1 luego es una unidad.

Propiedades.- La relacion de divisibilidad verifica las propiedades siguientes:

1. Propiedad reflexiva: a|a. En efecto, a = 1 · a.

2. Propiedad antisimetrica: a|b y b|a implican que a = ±b. En efecto, existen c, c′

tales que b = ac y a = bc′. Ası a = acc′, luego a − acc′ = a(1 − cc′) = 0.


Como a 6= 0 por definicion de divisibilidad, es 1− cc′ = 0 luego cc′ = 1, de dondec′ = ±1 y ası a = ±b.

3. Propiedad transitiva: Si a|b y b|c entonces a|c. En efecto, existen d, d′ tales queb = ad y c = bd′, luego c = add′ lo que implica que a|c.

Por consiguiente, si nos restringimos a enteros positivos, la divisibilidad es unarelacion de orden parcial porque la propiedad antisimetrica se enuncia ası: a|b y b|a =⇒a = b.

La divisibilidad es compatible con las operaciones aritmeticas. En concreto:

1. Si a|b y a|c entonces a|(b ± c). En efecto, existen d, d′ ∈ Z tales que b = ad yc = ad′. Ası

b± c = ad± ad′ = a(d± d′) ,

luego a|(b± c).

2. Si a|b entonces a|bc, ∀c ∈ Z. En efecto, existe d ∈ Z tal que b = ad. Ası bc = adc,luego a|bc.

Veamos ahora uno de los resultados mas importantes de este tema:

Teorema de division.- Sean a, b ∈ Z+, b > 0; Existen unos enteros unicos q, r ∈ Z talesque:

1. a = bq + r

2. 0 ≤ r < b

Al entero q se le llama el cociente de la division y a r el resto.

Demostracion: Vamos a probar primero la existencia. Si a < b, entonces se puede ponerq = 0 y r = a. Supongamos que a ≥ b y sea q ∈ Z tal que qb ≤ a < (q + 1)b. Pongamosr = a − bq; hay que demostrar que 0 ≤ r < b. Desde luego, como a ≥ qb es a − qb =r ≥ 0. Por otro lado, como a < (q + 1)b, se tiene que r = a− qb < (q + 1)b− qb = b.

Probemos ahora la unicidad. Supongamos que existen q′, r′ ∈ Z tales que a = q′b +r′, 0 ≤ r < b. Si q ≥ q′, restando obtenemos que (q − q′)b = r′ − r < b, igualdad quesolo se puede dar si q = q′ y r = r′. Q.E .D.

Este teorema se puede demostrar usando el principio de buena ordenacion. En efecto:sea S = {a− bx | x ∈ Z y a− bx ≥ 0}. S es no vacıo y esta acotado inferiormente,luego posee un mınimo. Sea r = a− bq ≥ 0 dicho mınimo. Falta ver que r < b. En casocontrario, r = b + r′, 0 ≤ r′ < r. Sustituyendo se tiene que r′ = a − b(q + 1) ∈ S, encontra de ser r el mınimo.

Podemos dar una nueva definicion de divisibilidad: Sean a, b dos enteros distintos decero. Se dira que b divide a a si el resto de la division de a por b es cero.

Definicion Un entero p 6= 0,±1 se llama primo si y solo si es divisible unicamente por±p y ±1.

Definicion.- Maximo comun divisor. Dados dos enteros a, b, diremos que d > 0 es unmaximo comun divisor de a y b y denotaremos d = mcd(a, b), si se verifica:

29


1. d|a y d|b.

2. Si d′ > 0 es tal que d′|a y d′|b entonces d′|d.

Si d = 1 se dice que a y b son primos entre sı.

Definicion.- Mınimo comun multiplo. Dados dos enteros a, b, diremos que m > 0 es unmınimo comun multiplo de a y b y denotaremos m = mcm(a, b), si se verifica:

1. a|m y b|m.

2. Si m′ > 0 es tal que a|m′ y b|m′ entonces m|m′.

Por el momento no tenemos asegurada la existencia del mcd ni del mcm de dos en-teros, pero es facil comprobar que, de existir, son unicos.

Veamos el caso del mcd. Supongamos que d y f son dos mcd de a y b. Por ser d unmcd y verificarse que f |a, f |b, por la propiedad 2) se tiene que f |d. Cambiando el papelde d y f , tenemos d|f , y por tanto la igualdad.

Veamos un procedimiento, el algoritmo de Euclides, para el calculo del maximocomun divisor.

Proposicion.- Sean a, b ∈ Z+, a ≥ b, y efectuemos la division euclıdea a = qb + r.Entonces, si r = 0 es mcd(a, b) = b y si r 6= 0

mcd(a, b) = mcd(b, r).

Demostracion: Si r = 0 es a = qb, luego mcd(a, b) = b. Si r 6= 0, sea

d = mcd(a, b), d′ = mcd(b, r) ;

entonces d|r = a − qb, luego d|d′. Por otra parte, d′|a = qb + r, luego d′|d y ası d = d′.Q.E .D.

Este resultado nos permite describir el Algoritmo de Euclides:

Sean a, b ∈ Z+, a ≥ b, y efectuemos la division euclıdea a = qb + r. Como r < b,podemos dividir b entre r, y ası sucesivamente, obteniendo:

a = qb + r 0 ≤ r < bb = q0r + r1 0 ≤ r1 < rr = q1r1 + r2 0 ≤ r2 < r1

r1 = q2r2 + r3 0 ≤ r3 < r2......

rn−1 = qnrn + rn+1 0 ≤ rn+1 < rn

rn = qn+1rn+1 + 0 rn+2 = 0

Proposicion.- Se tiene que mcd(a, b) = rn+1, es decir, el maximo comun divisor de a y bes el ultimo resto no nulo al aplicar sucesivamente el algoritmo de division.

30


Demostracion: Por la proposicion anterior se tiene que:

mcd(a, b) = mcd(b, r) = mcd(r, r1) = . . . = mcd(rn−1, rn) = mcd(rn, rn+1) = rn+1.

Q.E .D.

Asociada al maximo comun divisor esta la identidad de Bezout, cuya existenciateorica viene afirmada por el siguiente teorema:

Teorema.- Identidad de Bezout Sean a, b > 0 enteros y sea d = mcd(a, b). Existenenteros α, β tales que

αa + βb = d

A cualquier igualdad de este tipo se le llama identidad de Bezout.

Demostracion: Demostramos la existencia de manera no constructiva. Sea

S = {n ∈ Z+ | n = xa + yb, x, y ∈ Z} ;

evidentemente S 6= ∅ porque a = 1 · a + 0 · b ∈ S. Como S esta acotado inferiormentepor cero, tiene un mınimo al que llamamos n0 = αa + βb. Como d|a y d|b entoncesd|n0. Vamos a probar que d = n0, para lo que hay que demostrar que n0|a y n0|b. Vamosa probar que n0|a, la otra relacion se prueba de forma analoga. Por la division euclıdeapodemos escribir a = qn0 + r con 0 ≤ r < n0. Entonces,

r = a− qn0 = a− q(αa + βb) = (1− qα)a + (−qβ)b ∈ S .

Por la minimalidad de n0 tiene que ser r = 0, luego n0|a. Q.E .D.

Observacion.- Los enteros α y β que aparecen en la identidad de Bezout no son unicos.En efecto: para cualesquiera α, β tales que αa + βb = d, es

(α− kβb)a + (β + kαa)b = d, ∀k ∈ Z .

La identidad de Bezout nos permite probar el siguiente teorema:

Teorema de Euclides. Sean a, b, c > 0 tales que c|ab y mcd(c, a) = 1; entonces c|b. Enparticular, si p es primo, p|ab y p no divide a a, entonces p|b.

Demostracion Evidentemente, la segunda afirmacion es consecuencia de la primera; de-mostremos esta. Por la identidad de Bezout, 1 = αa + βc. Multiplicando por b estaexpresion, se tiene que b = αab + βcb. Como c|ab y c|cb, c|b. Q.E .D.

Sead = mcd(a, b), , a′ =

a

d, b′ =

b

d.

Entonces a′, b′ son primos entre sı porque si no, y 1 6= d′|a′ y d′|b′, serıa d < dd′|a, dd′|b,lo que no es posible.

Ahora podemos definir el mınimo comun multiplo usando el maximo comun divisor.Sean a, b ∈ Z, d = mcd(a, b).

Proposicion.- Se verifica que mcm(a, b) = ab/d.

31


Demostracion: Sea m = ab/d, a′ = a/d, b′ = b/d. Se tiene que m = a′b = ab′, luegoes multiplo de a y b. Sea m′ ∈ Z multiplo de a y b, m′ = aa′′ = bb′′. Dividiendo estaultima igualdad por d obtenemos a′a′′ = b′b′′ y, por el teorema de Euclides, a′|b′′, es decir,b′′ = a′c. Sustituyendo m′ = ba′c = mc, luego m es el mınimo comun multiplo de a y b.Q.E .D.

A continuacion escribimos unas cuantas propiedades del maximo comun divisor y delmınimo comun multiplo.

mcd(a, b)c = mcd(ac, bc)mcm(a, b)c = mcm(ac, bc)

mcd(mcm(a, b), mcm(a, c)) = mcm(a, mcd(b, c))mcm(mcd(a, b), mcd(a, c)) = mcd(a, mcm(b, c))

Teorema fundamental de la divisibilidad: Toda no unidad distinta de cero se descom-pone en producto finito de numeros primos. Esta descomposicion es unica salvo orden yproducto por unidades.

Demostracion: Vamos primero a demostrar la existencia de la descomposicion. Sean 6= 0 n 6= ±1 un entero fijo, y vamos a demostrar que n se descompone en productode primos. Podemos suponer que n > 0 porque, si lo demostramos en este caso y n =p1 · · · pr, entonces −n = (−p1) · · · pr, lo que lo demuestra para los negativos.

La existencia de la descomposicion se prueba por induccion a partir de n = 2. Elnumero n = 2 es primo. Supongamos que n > 2 y que todos los numeros menoresque n se descomponen en producto finito de primos. Si n es primo hemos terminado: esproducto de un primo (el mismo). Si no lo es, se descompone en producto n = n1n2 dedos enteros positivos estrictamente menores que n. Al aplicar a n1 y n2 la hipotesis deinduccion, vemos que n se descompone en producto finito de primos.

Para demostrar la unicidad (salvo orden y producto por unidades), basta considerarenteros positivos n por la misma razon que antes. Ademas, basta ver que no puede haberdos descomposiciones distintas de un mismo numero positivo en producto de primos pos-itivos. Vamos a operar por reduccion al absurdo. Supongamos que hay numeros queadmiten dos descomposiciones distintas en producto de primos positivos:

n = p1 · · · pr = q1 · · · qs

Supongamos que r ≤ s. p1|n = q1 · · · qs, luego p1|qi, para algun i, 1 ≤ i ≤ s.Podemos suponer i = 1. Dividiendo por p1 se tiene que p2 · · · pr = q2 · · · qs. Repi-tiendo el razonamiento para p2, . . . , pr, llegamos a 1 = qr+1 · · · qs. Luego r = s ypi = qi, i = 1, . . . , r. Q.E .D.

Teorema.- (Euclides) El conjunto de los primos es infinito.

Demostracion: Supongamos que no, es decir que el conjunto de los primos fuese finito,y sean p1, . . . , pr todos los primos. Sea n = p1 · · · pr + 1. Por la factorizacion unica, ndebe ser divisible por algun pi, lo que implicarıa que pi|1 y eso es imposible. Q.E .D.

Observacion.-: Otra forma de definir el maximo comun divisor y el mınimo comunmultiplo:

32


La factorizacion unica de un entero positivo n la escribiremos usualmente en la forma

n =∏

p primo

pνn(p)

donde todos los νn(p) son cero salvo un numero finito. La factorizacion se puede extendera enteros n < 0 poniendo

n = (−1)∏

p primo

pν−n(p) .

Sin embargo, la nocion de numero primo la reservaremos para los positivos, como hemosdicho antes.

Teorema.- Existencia del maximo comun divisor. Dados dos enteros a, b > 0, existe ununico d > 0 que verifica:

1. d|a y d|b.

2. Si d′ > 0 es tal que d′|a y d′|b entonces d′|d.

A este entero se le llama el maximo comun divisor de a y b y se le denota d = mcd(a, b).

Demostracion: Seana =

∏

p primo

pνa(p), b =∏

p primo

pνb(p)

las descomposiciones de a y b en producto de primos. Segun el enunciado queda claroque el unico numero que satisface las condiciones es

d =∏

p primo

pmin(νa(p),νb(p)) .

Q.E .D.

Teorema.- Existencia del mınimo comun multiplo. Dados dos numeros a, b > 1, existeun unico m > 0 que verifica:

1. a|m y b|m.

2. Si m′ > 0 es tal que a|m′ y b|m′ entonces m|m′.

A este entero se le llama el mınimo comun multiplo de a y b y se le denota m =mcm(a, b).

Demostracion: Seana =

∏

p primo

pνa(p), b =∏

p primo

pνb(p)

las descomposiciones de a y b en producto de primos. Segun el enunciado queda claroque el unico numero que satisface las condiciones es

m =∏

p primo

pmax(νa(p),νb(p)) =ab

mcd(a, b)

Q.E .D.

33


4.2.-Congruencias

La division euclıdea nos conduce inmediatamente a la nocion de congruencia de modulodado.

Definicion.- Dados dos enteros a, b, se dira que a es congruente con b modulo m 6= 0si a y b dan el mismo resto en la division euclıdea por m. En este caso se escribiraa ≡ b (mod m).

De la division euclıdea se deduce que siempre se puede suponer positivo el modulo mde la congruencia porque a = qm+r implica a = (−q)(−m)+r. Esto es lo que haremosde ahora en adelante.

Se puede ver a las congruencias de modulo m > 0 fijo como una relacion en Z. Eneste sentido es una relacion de equivalencia porque verifica las siguientes propiedades(que son consecuencia inmediata de la definicion):

1. Propiedad reflexiva: Para todo a ∈ Z es a ≡ a (mod m).

2. Propiedad simetrica: Si a ≡ b (mod m) entonces b ≡ a (mod m).

3. Propiedad transitiva: Si a ≡ b (mod m) y b ≡ c (mod m), entonces a ≡c (mod m).

Una propiedad fundamental de las congruencias es la siguiente:

Proposicion.- a ≡ b (mod m) si y solo si m|(b− a).

Demostracion: En efecto, si a ≡ b (mod m), entonces a = qm + r, b = q′m + r, luegob − a = (q′ − q)m. Recıprocamente, si m|(b − a), a = qm + r b = q′m + r′, entoncesb − a = (q′ − q)m + (r′ − r), igualdad que solo es posible cuando r′ − r = 0 ya que|r′ − r| < m. Q.E .D.

Las congruencias son compatibles con la adicion, es decir

Proposicion.- Se verifica que a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m) =⇒ a + c ≡ b +d (mod m).

Demostracion: En efecto, considerando las divisiones euclıdeas

a = q1m + r1 b = q2m + r1

c = q3m + r2 d = q4m + r2

r1 + r2 = q5m + r3

a + c = (q1 + q3 + q5)m + r3 b + d = (q2 + q4 + q5)m + r3

Q.E .D.

Las congruencias son compatibles con la multiplicacion, es decirProposicion.- Se verifica que a ≡ b (mod m) y c ≡ d (mod m) =⇒ ac ≡ bd (mod m).

Demostracion: En efecto, considerando las divisiones euclıdeas

34


a = q1m + r1 b = q2m + r1

c = q3m + r2 d = q4m + r2

r1r2 = q5m + r3

ac = (q1q3m + q1r2 + q3r1 + q5)m + r3

bd = (q2q4m + q2r2 + q4r1 + q5)m + r3

Q.E .D.

Vamos a ver que, usando las congruencias, podemos probar los criterios de divisibil-idad mas comunes. Sea a = anan−1 . . . a2a1a0 un numero en base 10. Sabemos que estosignifica que:

a = an10n + an−110n−1 + . . . + a2102 + a110 + a0.

Criterio de divisibilidad por 2.- 2 divide a a si y solo si 2 divide a a0.

Demostracion: Como 10 ≡ 0 (mod 2), es 10n ≡ 0 (mod 2).Entonces a = an10n + an−110n−1 + . . . + a2102 + a110 + a0 ≡ a0 (mod 2).Ası, 2 divide a a sii a ≡ 0 (mod 2) sii a0 ≡ 0 (mod 2). Q.E .D.

Criterio de divisibilidad por 3.- 3 divide a a si y solo si 3 divide a la suma de los dıgitosde a.

Demostracion: Como 10 ≡ 1 (mod 3), es 10n ≡ 1 (mod 3).Entonces

a = an10n + an−110n−1 + . . . + a2102 + a110 + a0 ≡ an + an−1 + . . . + a1 + a0 (mod 3).

Ası, 3 divide a a sii a ≡ 0 (mod 3) sii la suma de los dıgitos de a es congruente con =modulo 3, sii 3 divide a la suma de los dıgitos de a. Q.E .D.

Criterio de divisibilidad por 5.- 5 divide a a si y solo si 5 divide a a0.

La prueba es como la del 2.

Criterio de divisibilidad por 9.- 9 divide a a si y solo si 9 divide a la suma de los dıgitosde a.

La prueba es como la del 3.

Criterio de divisibilidad por 11.- 11 divide a a si y solo si 11 divide a la suma alternadade los dıgitos de a.

Demostracion: Como 10 ≡ −1 (mod 11), es 10r ≡ (−1)r (mod 11).Entonces

a = an10n + an−110n−1 + . . . + a2102 + a110 + a0 ≡(−1)nan + (−1)n−1an−1 + . . . + (−1)a1 + a0 (mod 11).

Q.E .D.

Las congruencias tienen algunas propiedades interesantes que las diferencian de losenteros. ¿Que ocurre con la cancelacion multiplicativa de congruencias? Es decir, se tratade ver si se verifica que

ax ≡ bx (mod m) =⇒ a ≡ b (mod m)

35


La respuesta es claramente negativa porque, por ejemplo,

2 · 2 ≡ 0 · 2 (mod 4) y 2 6≡ 0 (mod 4)

En general, si 1 < d = mcd(x,m), x = x′d, m = m′d, entonces m′x ≡ 0 ·x (mod m)y m′ 6≡ 0(mod m) porque 0 < m′ < m.

Lo positivo de esta situacion es que se verifica la propiedad cancelativa con multipli-cador x si y solo si mcd(x,m) = 1. Acabamos de ver que, si este maximo comun divisores mayor que 1 nunca se verifica la propiedad cancelativa. Veamos que sı se verificacuando es 1. Sea ax ≡ bx (mod m) y mcd(x,m) = 1. Por la identidad de Bezout existenα, β ∈ Z tales que αx + βm = 1. Ası, a = αax + βam, b = αbx + βbm, luego

a− b = α(ax− bx) + β(a− b)m,

que es multiplo de m. Por tanto, a ≡ b (mod m).

Proposicion.- La ecuacion en congruencias

ax ≡ b (mod m)

tiene solucion si y solo si d = mcd(a,m) divide a b.

Demostracion: Supongamos que d|b, b = dc. La identidad de Bezout nos dice que d =αa + βm, luego b = dc = αac + βmc. Como mc ≡ 0 (mod m), se tiene que ac ≡b (mod m), es decir, c es solucion de la ecuacion.

Para la implicacion contraria veremos que la ecuacion 10x ≡ 14 (mod 15) no tienesolucion. Si tuviera, existirıa un entero c tal que 15|10c − 14, luego 5|10c − 14, que esuna contradiccion pues 5 no divide a 14. Q.E .D.

4.3.- Clases de congruencias modulo m

Fijemos un entero m ≥ 2, y sea Zm el conjunto de los enteros multiplos de m.

Sabemos que la relacion “ser congruente modulo m” es una relacion de equivalenciaen el conjunto de los numeros enteros Z. Por tanto, dicha relacion induce una particionen Z en clases de equivalencia, que llamaremos clases de congruencia modulo m.

Veamos como es la clase de equivalencia de un entero a ∈ Z. Sabemos que b ∈ Zesta en la clase de a si y solo si b es congruente con a modulo m, es decir, m|(b − a),luego b = a+ qm. Por tanto, la clase de congruencia modulo m de a es el conjunto de losenteros de la forma a + km, con k ∈ Z.

Ası, dado a ∈ Z, la clase de congruencia modulo m la denotaremos por a + Zm, y alconjunto de todas las clases de congruencia modulo m lo denotaremos por Z/Zm.

Vamos a describir el conjunto Z/Zm y a ver que podemos sumar y multiplicar loselementos de Z/Zm.

36


Proposicion.- Todo numero natural es congruente modulo m a uno (y solo uno) de losenteros del conjunto {0, 1, 2, . . . , m− 1}.Demostracion: Sea a ∈ N. El teorema de la division implica que a = qm+r, 0 ≤ r < m.La primera igualdad nos dice que a y r son congruentes modulo m. Q.E .D.

Corolario.- Todo numero entero es congruente modulo m a uno (y solo uno) de los en-teros del conjunto {0, 1, 2, . . . ,m− 1}.

Ası, el conjunto de las clases de congruencias modulo m es

Z/Zm = {0 + Zm, 1 + Zm, . . . , (m− 1) + Zm}.

Veamos como se definen la suma y el producto de clases de congruencias.

Definicion.- Sean a + Zm, b + Zm ∈ Z/Zm dos clases de congruencias.

(a + Zm) + (b + Zm) := (a + b) + Zm

(a + Zm) · (b + Zm) := (ab) + Zm.

Ejemplo.- Supongamos que m = 10, a = 7, b = 9. Entonces (7 + Z10) + (9 + Z10) =16 + Z10, (7 + Z10) · (9 + Z10) = 63 + Z10.

Teniendo en cuenta que 7 + Z10 = 17 + Z10, 9 + Z10 = 29 + Z10, ¿que ocurre sicambiamos el 7 por 17 y el 9 por 29? No pasa nada, ya que el resultado es el mismo:(17 + Z10) + (29 + Z10) = 46 + Z10,, pero 46 + Z10 = 16 + Z10. Lo mismo ocurrecon el producto.

En la seccion anterior probamos que las congruencias modulo m eran compatibles conla suma y el producto, es decir, la suma y el producto que hemos definido no dependendel representante que uno elija.

Hemos visto que toda clase de congruencia a + Zm es igual a una clase r + Zm, con0 ≤ r < m. A partir de este momento siempre que trabajemos con clases de congruenciasmodulo m la escribiremos usando un representante r, 0 ≤ r < m. Ası, pondremos (7 +Z10) · (9+Z10) = 3+Z10, ya que, por el teorema de division, 63 = 6.10+3, luego 3 escongruente con 63 modulo 10, es decir, 3+Z10 = 63+Z10. Analogamente−11+Z10 =9 + Z10.

Ejemplo.- Como ejemplo escribimos las tablas de sumar y de multiplicar de las congru-encias modulos 4 y 5.

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

× 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

37


+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

× 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

Teorema Chino del resto.- Sean m1,m2, . . . , mn enteros, mayores que 1, primos entresı dos a dos, a1, a2, . . . , an ∈ Z. El sistema de congruencias:

x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)

...x ≡ an (mod mn)

tiene solucion. Ademas, si x y x′ son dos soluciones, entonces x ≡ x′ (mod M), dondeM = m1m2 · · ·mn. Recıprocamente, si x es una solucion y x′ ≡ x (mod M), entoncesx′ es solucion.

Demostracion: Denotemos Mi = M/mi, ∀i = 1, . . . , n. Es claro que mcd(mi,Mi) = 1,∀i = 1, . . . , n, luego, por la identidad de Bezout, existen αi, βi ∈ Z verificando

1 = αimi + βiMi, i = 1, . . . , n.

Tomemos x = a1β1M1 +a2β2M2 + · · ·+anβnMn y comprobemos que x es solucion.Para ello tendremos que comprobar que x ≡ ai (mod mi), para todo i, o, equivalente-mente, que x− ai ≡ 0 (mod mi), para todo i. Usando la identidad de Bezout correspon-diente, tenemos ai = aiαimi + aiβiMi. Entonces,

x− ai = a1β1M1 + · · ·+ anβnMn − aiαimi − aiβiMi =

= a1β1M1 + · · ·+ ai−1βi−1Mi−1 + ai+1βi+1Mi+1 + · · ·+ anβnMn − aiαimi,

y, al ser todos los sumandos multiplos de mi, es x− ai ≡ 0 (mod mi). Q.E .D.

Terminamos el tema probando los teoremas de Fermat y Euler.

Sean m,n enteros positivos. Recordamos que el numero combinatorio(

mn

)esta

definido de la forma siguiente:(m

n

)=

m!

n!(m− n)!

Lema.- Si p es primo, entonces p divide a(

pr

), para todo 0 < r < p.

Demostracion: Sabemos que(

pr

)=

p!

r!(p− r)!es un entero. Como 1 ≤ r ≤ p− 1, p no

divide a r! ni a (p− r)!, los enteros p y r!(p− r)! son primos entre sı. Por tanto r!(p− r)!

divide a (p− 1)! y(

pr

)= p[(p− 1)!/r!(p− r)!] es un entero multiplo de p. Q.E .D.

Corolario.- Si p es primo, entonces, ∀a, b ∈ Z, (a + b)p ≡ ap + bp (mod p).

38


Teorema.- Si p es primo, entonces, ∀a ∈ Z, ap ≡ a (mod p).

Demostracion: Basta probarlo para enteros positivos. Lo haremos por induccion. Paraa = 1 ya esta. Supongamos el teorema cierto para a. Entonces

(a + 1)p ≡ ap + 1p ≡ a + 1(mod p)

por la hipotesis de induccion. Q.E .D.

Teorema de Fermat.- Si p es primo y no divide a a ∈ Z, entonces ap−1 ≡ 1 (mod p).

Demostracion: Por el teorema anterior, ap ≡ a (mod p). Por ser p y a primos entre sı, severifica la propiedad cancelativa, luego ap−1 ≡ 1 (mod p). Q.E .D.

Proposicion.- a + Z/Zm es una unidad en Z/Zm si y solo si mcd(a,m) = 1.

Demostracion.- Supongamos que a + Z/Zm es una unidad. Entonces existe b + Z/Zmtal que (a + Z/Zm)(b + Z/Zm) = 1 + Z/Zm, luego ab− 1 = qm, y ab− qm = 1, portanto a y m son primos entre sı.

Recıprocamente, supongamos que mcd(a,m) = 1. Por la identidad de Bezout existenenteros r, s con ra+sm = 1. Luego 1+Z/Zm = (ra+sm)+Z/Zm = (ra+Z/Zm)+(sm + Z/Zm) = (a + Z/Zm)(r + Z/Zm). Por tanto a + Z/Zm es una unidad. Q.E .D.

Corolario.- El numero de unidades de Z/Zm es igual al numero de enteros a, 1 ≤ a < m,que son primos con m.

Definicion.- Al numero de enteros a, 1 ≤ a < m, que son primos con m se le denota porφ(m), la funcion φ de Euler.

Teorema de Euler.- Sea a + Z/Zm una unidad en Z/Zm. Entonces

aφ(m) ≡ 1 (mod m).

Demostracion.- Sea P = {u1, u2, . . . , uφ(m)} las unidades de Z/Zm. Sea Q ={u1a, u2a, . . . , uφ(m)a} el conjunto obtenido al multiplicar los elementos de p por a. Esclaro que los elementos de Q son todos distintos y son unidades en Z/Zm. Por tanto loselementos de P y Q son congruentes entre sı (en diferente orden), de donde

∏φ(m)i=1 ui ≡ ∏φ(m)

i=1 uia (mod m)

Si ponemos u =∏φ(m)

i=1 ui se tiene u ≡ uaφ(m) (mod m). Como u y m son primosentre sı, se verifica la propiedad cancelativa y obtenemos

aφ(m) ≡ 1 (mod m).

Q.E .D.

39


Tema 5.- Polinomios

5.1.- Introduccion

Sea k (Q,R,C) un cuerpo. Denotaremos por k[x] al conjunto de todas las expresionesde la forma

a(x) =m∑

i=0

ai.xi

con ai ∈ k. Ası, k[x] denota el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en k.

Definiciones: El grado, grado(a(x)), de un polinomio no nulo a(x) es el mayor enteron tal que an 6= 0. El polinomio con a0 = a1 = . . . = am = 0 se denomina polinomionulo y se denota por 0. Se conviene que grado(0) = −∞. Sea a(x) =

∑ni=0 ai · xi ∈

k[x] un polinomio no nulo con an 6= 0. Llamaremos termino lıder de a(x) al terminoanx

n, coeficiente lıder a an y termino constante a a0. Un polinomio se dice monico si sucoeficiente lıder es 1. Un polinomio de grado cero se dice polinomio constante.

Los polinomios se pueden sumar y multiplicar, extendiendo las operaciones de k. Sia(x) =

∑ni=0 aix

i, b(x) =∑m

i=0 bixi, suponiendo m > n, es

a(x) + b(x) =n∑

i=0

(ai + bi)xi + bn+1x

n+1 + . . . + bmxm.

El producto de los polinomios a(x) y b(x) esta definido por:

d(x) = a(x)b(x) =m+n∑

l=0

dlxl, donde dl =

∑

i+j=l

aibj.

Es facil comprobar que la suma y el producto de polinomios verifican las propiedadesconmutativa, asociativa, distributiva, elemento neutro, elemento simetrico y elementounidad.

Teorema de division.- Sean f(x), g(x) ∈ k[x] dos polinomios con g(x) 6= 0. Existenq(x), r(x) ∈ k[x], unicos, tales que

f(x) = q(x)g(x) + r(x)

y r(x) = 0 o grado(r(x)) < grado(g(x)).


Demostracion: La demostracion se hace de manera efectiva, indicando como se calculancociente y resto de la division euclıdea. Si grado(f(x)) < grado(g(x)) se pone q(x) = 0,r(x) = f(x), y ya hemos terminado nuestra construccion.

Supongamos que grado(f(x)) ≥ grado(g(x)) y sean axm, bxn los terminos de mayorgrado de f(x), g(x), respectivamente. Escribamos

f1(x) = f(x)− (a/b)xm−ng(x);

entonces f1(x) es un polinomio de grado estrictamente inferior al de f(x). Aplicando elmismo razonamiento a f1(x), y ası sucesivamente, logramos crear un conjunto finito deigualdades del tipo

f(x) = q1(x)g(x) + f1(x)f1(x) = q2(x)g(x) + f2(x)

......

ft−1(x) = qt(x)g(x) + ft(x),

dondegrado(f1(x)) > grado(f2(x)) > . . . > grado(ft(x))

y ft(x) = 0 o es de grado inferior al de g(x). Poniendo

q(x) =t∑

i=1

qi(x) , r(x) = ft(x)

se tiene f(x) = q(x)g(x) + r(x). La unicidad se prueba ası: sean

f(x) = q(x)g(x) + r(x) = q′(x)g(x) + r′(x);

entoncesr(x)− r′(x) = (q′(x)− q(x))g(x),

con lo que debe ser r(x)− r′(x) = 0 porque todo multiplo no nulo de g(x) tiene que serde grado mayor o igual que el. Q.E .D.

Teorema del resto.- Si f(x) es un polinomio con coeficientes en un cuerpo k, y a ∈ k,entonces f(a) es el resto de dividir f(x) por x− a.

Demostracion: Por el teorema de division es f(x) = (x − a)q(x) + r(x) congrado(r(x)) < grado(x − a) = 1. Ası, r(x) es una constante, digamos r. Luegof(a) = (a− a)q(a) + r = r. Q.E .D.

Teorema de la raız.- Sea f(x) ∈ k[x] un polinomio de grado positivo. Entonces f(x)tiene una raız a ∈ k (i.e. existe a en k tal que f(a) = 0) si y solo si es divisible por x− a.

Demostracion: En efecto, se puede escribir f(x) = q(x)(x − a) + r con r ∈ k. Asıf(a) = 0 si y solo si r = 0, lo que equivale a que (x− a)|f(x). Q.E .D.

Corolario (D’Alembert).- Un polinomio no nulo f(x) ∈ k[x] de grado n tiene a lo masn raıces distintas en k.

Demostracion: Lo probaremos por induccion en n, el grado de f(x).

41


Si grado(f(x)) = 0, entonces f(x) en un polinomio constante no nulo, luego no tieneraıces en k.

Supongamos que f(x) es un polinomio de grado n > 0 y que tiene r raıces distintasa1, . . . , af en k. Veamos que r ≤ n. Tenemos que f(ar) = 0, luego por el teorema dela raız f(x) = (x − ar)g(x), con grad(g(x)) = n − 1. Para cada i, 1 ≤ i ≤ r − 1,f(ai) = 0 = (ai − ar)g(ai). Como ai 6= ar, es g(ai) = 0. Por tanto a1, . . . , ar−1 sonraıces de g(x) y grado(g(x)) = n− 1. Por induccion, r − 1 ≤ n− 1, y r ≤ n. Q.E .D.

5.2.- Maximo comun divisor

Con el teorema de division para polinomios podemos, al igual que se hizo con los enteros,dar un algoritmo de Euclides y la identidad de Bezout.

Definicion.- Sean f(x), g(x) ∈ k[x]. Un polinomio p(x) ∈ k[x] es un maximo comundivisor de f(x) y g(x) si:1) p(x)|f(x) y p(x)|g(x)

2) si q(x) es otro polinomio que divide a f(x) y a g(x) entonces q(x)|p(x).

Nota.- Observar que si p(x) = mcd(f(x), g(x)), entonces, ∀a ∈ k∗, se tiene que ap(x) =mcd(f(x), g(x)). Por eso hablamos de un maximo comun divisor.

Podemos calcular un maximo comun divisor de dos polinomios usando el teorema dedivision, como en los enteros.

Sean f(x), g(x) ∈ k[x]; sabemos que existen q(x), r(x) ∈ k[x] tales que

f(x) = q(x).g(x) + r(x), con grado(r(x)) < grado(g(x).

Proposicion.- Con las notaciones anteriores, se tiene que

mcd(f(x), g(x)) = mcd(g(x), r(x))

Demostracion: Supongamos que a(x) = mcd(g(x), r(x)), b(x) = mcd(f(x), g(x)).Como f(x) = q(x).g(x)+ r(x), se tiene que a(x)|f(x) y ası a(x) es un divisor comun def(x) y g(x), luego a(x)|b(x). Analogamente, como r(x) = f(x) − q(x).g(x), b(x)|r(x)y ası es un divisor comun de g(x) y r(x), luego b(x)|a(x). Q.E .D.

Algoritmo de Euclides:

42


Dados f(x), g(x) 6= 0 ∈ k[x], grado(f(x)) > grado(g(x)), haciendo divisiones suce-sivamente, obtenemos:

f(x) = q(x).g(x) + r(x)g(x) = q0(x).r(x) + r1(x)r(x) = q1(x).r1(x) + r2(x)...rn−2(x) = qn−1(x).rn−1(x) + rn(x)rn−1(x) = qn(x).rn(x)

Teorema.- Con las notaciones anteriores, existe un ındice finito n ≥ 1 tal que rn+1(x) = 0y mcd(f(x), g(x)) = rn(x).

Demostracion: Consideremos la sucesion {grado(ri(x))} que es una sucesion estricta-mente decreciente de enteros no negativos. Como el primer elemento es grad(f(x)), lasucesion puede tener a lo mas grad(f(x)) + 1 elementos. Por tanto, existe un n ≥ 1 talque rn+1(x) = 0. Por el lema anterior tenemos que:

mcd(f(x), g(x)) = mcd(g(x), r2(x)) = . . . = mcd(rn−1(x), rn(x)) = rn(x).

Q.E .D.

Teorema (Identidad de Bezout).- Sean a(x), b(x) ∈ k[x], b(x) 6= 0. Simcd(a(x), b(x)) = d(x) entonces existen elementos s(x), t(x) ∈ k[x] tales que

d(x) = s(x).a(x) + t(x).b(x).

La demostracion es consecuencia del algoritmo de Euclides.

5.3.- Factorizacion

Definicion.- Diremos que un polinomio p(x) ∈ k[x] es irreducible si no es una constante,y si p(x) = f(x)g(x), entonces f(x) o g(x) es una constante.

Los polinomios irreducibles juegan en k[x] el mismo papel que los numeros primosen Z.

Proposicion.- Sea p(x) ∈ k[x] irreducible. Si f(x) es un polinomio que no es divisiblepor p(x), entonces el maximo comun divisor de p(x) y f(x) es 1.

Demostracion: Sea d(x) = mcd(p(x), f(x)). Sabemos que p(x) no divide a f(x), en-tonces f(x) = q(x)p(x) + r(x), con 0 < grado(r(x)) < grado(p(x)), y grado(d(x)) <grado(p(x)), pues d(x)|r(x). Como d(x)|p(x) y p(x) es irreducible, o bien d(x) es unaconstante no nula o es d(x) = p(x). Esto ultimo es imposible por los grados ası, d(x) esuna constante no nulo. Q.E .D.

Teorema.- Cualquier polinomio de grado ≥ 1 de k[x] es irreducible o factoriza en pro-ducto de polinomios irreducibles.

Teorema.- Sea p(x) ∈ k[x] irreducible. Si p(x)|f(x)g(x), entonces p(x) divide a f(x) oa g(x).

43


Teorema.- Sea f(x) = p1(x) . . . ps(x) = q1(x) . . . qt(x) dos factorizaciones de f(x) enproducto de polinomios irreducibles en k[x]. Entonces s = t y existe una corresponden-cia uno a uno entre los factores p1(x), . . . , ps(x) y q1(x), . . . , qt(x) donde, si pi(x) secorresponde con qj(x), se tiene que pi(x) y qj(x) son conjugados.

La demostracion de estos tres teoremas es igual que en Z.

44


Tema 6.- Irreducibilidad. Factorizacion.

6.1.- Polinomios irreducibles sobre C y sobre R

El resultado que enunciamos a continuacion, y cuya demostracion puede verse en LindsayChilds, A Concrete Introduction to Higher Algebra nos dice como son los polinomiosirreducibles sobre C.

Teorema fundamental del algebra. Todo polinomio f(x) ∈ C[x] de grado positivo tieneuna raız en C.

Corolario.- Todo polinomio f(x) ∈ C[x] de grado positivo, digamos n, tiene n raıces enC, i.e, se puede escribir

f(x) = αn∏

i=1

(x− αi),

donde α, αi ∈ C.

Demostracion: Por el teorema fundamental del algebra, f(x) tiene una raız α1 en C. Sepuede, pues, escribir, f(x) = (x− α1)f1(x). Aplicando el mismo razonamiento a f1(x),y ası sucesivamente, se llega, despues de n− 1 pasos a una expresion de la forma

f(x) = (x− α1) . . . (x− αn−1)fn−1(x),

donde fn−1(x) es un polinomio de primer grado. Como fn−1(x) se puede escribirfn−1(x) = αx− ααn, se tiene el resultado. Q.E .D.

Por tanto, los unicos polinomios irreducibles en C[x] son los de grado 1. Veamoscomo son los polinomios irreducibles en R[x].

Proposicion.- Todo polinomio de R[x] de grado impar tiene una raız en R. Todo poli-nomio de grado par se descompone en producto de polinomios de grados 1 o 2 (los cualesson irreducibles si y solo si sus raıces son complejas no reales).

Demostracion: Sea f(x) ∈ R[x] un polinomio de grado positivo, digamos n. Por elteorema fundamental del algebra, f(x) tiene n raıces en C. Sea

f(x) = a0xn + a1x

n−1 + . . . + an−1x + an , ai ∈ R,∀i = 0, 1, . . . , n,

y sea α = a + bi una raız. De

0 = f(α) = a0(a + bi)n + a1(a + bi)n−1 + . . . + an−1(a + bi) + an


se deduce, tomando conjugados, que

0 = f(α) = a0(a− bi)n + a1(a− bi)n−1 + . . . + an−1(a− bi) + an.

Ası pues, si α es una raız de f(x), tambien lo es α. Por tanto, las raıces no reales de f(x)aparecen por pares de conjugadas. Si n es impar, tiene que haber una raız que coincidacon su conjugada, luego es real. Esto prueba el primer aserto. En cuanto al segundo, seprueba ası. Si α = a + bi es una raız compleja no real de f(x), el polinomio

(x− α)(x− α) = x2 − 2ax + (a2 + b2)

divide a f(x) y tiene coeficientes reales. De aquı es obvia la conclusion. Esto prueba elcorolario. Q.E .D.

6.2.- Derivada de un polinomio

Sea k = Q,R,C un cuerpo y consideremos el anillo de polinomios k[x]. Vamos a definirla derivada de un polinomio.

Usaremos la notacion habitual: f ′(x) es el polinomio que se obtiene al derivar f(x);D : k[x] → k[x] es la funcion que a cada polinomio le asocia su derivada, D(f(x)) =f ′(x).

Definicion.- La derivada de un polinomio f(x) esta definida por las siguientes reglas:

1) Si f(x) = axn, a ∈ k, entonces D(axn) = naxn−1.

2) Si f(x) = g(x) + h(x), entonces D(f(x)) = D(g(x)) + D(h(x)).

Proposicion.- Se verifica que: 1) D(f(x)g(x)) = f(x)D(g(x)) + g(x)D(f(x)).

2) D(f(x)s = sf (x)s−1D(f(x)).

Teorema.- Sea f(x) ∈ k[x].

1) Si f(x) tiene factores multiples, entonces f(x) y f ′(x) no son primos entre sı.

2) (caracterıstica cero) Si f(x) y f ′(x) no son primos entre sı, entonces f(x) tiene factoresmultiples.

Demostracion: Supongamos que f(x) tiene algun factor multiple, f(x) = p(x)sq(x),con s > 1. Entonces f ′(x) = p(x)s−1[sp′(x)q(x) + p(x)q′(x)], luego p(x) es un factorcomun de f(x) y f ′(x).

Sean d(x) = mcd(f(x), f ′(x)), que sabemos es de grado mayor que cero, y p(x) unfactor irreducible de d(x). Veamos que p(x) es un factor multiple de f(x).

Como p(x)|f(x), es f(x) = p(x)g(x). Derivando tenemos f ′(x) = p′(x)g(x) +p(x)g′(x). Como p(x)|f ′(x), p(x) divide al producto p′(x)g(x), y, por ser p(x) irre-ducible, divide a uno de los factores. Ahora bien, p(x) no puede dividir a p′(x) pues tienegrado estrictamente mayor (caracterıstica cero), luego p(x)|g(x), y g(x) = p(x)h(x).Sustituyendo tenemos f(x) = p(x)2.h(x). Q.E .D.

46


6.3.- Factorizacion en Q[x]

Sea f(x) ∈ k[x] un polinomio de grado 2 o 3. Entonces f(x) es reducible si y solo sitiene una raız en k. En efecto, el hecho de que f(x) sea reducible es equivalente a decirque tiene un divisor que es de grado 1. Si este es ax− b, entonces b/a es una raız de f(x).

Naturalmente, lo anterior no funciona para grados mayores. Un polinomio de grado4 se puede descomponer, por ejemplo, en dos factores irreducibles de grado 2, luego notiene por que tener raıces en k. Con mayor razon ocurrira esto en grados mas altos. Noobstante es bueno ver si un polinomio dado tiene o no raıces en k. Si las tiene, y es degrado mayor que 1, es automaticamente reducible.

Consideremos el caso de k = Q. El problema de saber cuando un polinomio deQ[x] es irreducible es muy difıcil de resolver. Es materia de algoritmos matematicos muycomplicados, factibles solo con la ayuda de los ordenadores.

Proposicion.- Sea

f(x) = a0xn + a1x

n−1 + . . . + an−1x + an , ai ∈ Z,∀i = 0, 1, . . . , n

un polinomio de grado n > 0. Supongamos que f(x) tiene una raız racional α = a/b conmcd(a, b) = 1. Entonces a|an y b|a0.

Demostracion: En efecto, de

0 = f(a/b) = a0(a/b)n + a1(a/b)n−1 + . . . + an−1(a/b) + an

se deduce, previa multiplicacion por bn, que

0 = a0an + a1a

n−1b + . . . + an−1abn−1 + anbn.

Como a divide a todos los terminos, salvo al ultimo, y es primo con b, debe dividir a an.Como b divide a todos los terminos, salvo al primero, y es primo con a, debe dividir a a0.Esto prueba el aserto. Q.E .D.

Este resultado ayuda bastante en la busqueda de raıces racionales de un polinomio concoeficientes enteros. Se le suele llamar teorema de Ruffini.

Definicion.- Dado f(x) ∈ k[x] no nulo, se llama contenido de f(x) al maximo comundivisor de sus coeficientes. Se representara por c(f). Se dira que f(x) es primitivo si sucontenido es 1.

Lema de Gauss.- El producto de dos polinomios primitivos es primitivo.

Demostracion: Sean

f(x) = amxm + am−1xm−1 + . . . + a1x + a0 , ai ∈ A, ∀i = 0, 1, . . . , m,

g(x) = bnxn + bn−1xn−1 + . . . + b1x + b0 , bi ∈ A,∀i = 0, 1, . . . , n

dos polinomios primitivos. Para probar que f(x)g(x) es primitivo basta ver que, fijadop ∈ A, irreducible, existe un coeficiente de f(x)g(x) que no es divisible por el. Fijemos,

47


pues, p irreducible. Sea s (resp t) el entero 0 ≤ s ≤ m (resp. 0 ≤ t ≤ n) tal que p|ai

para todo i > s (resp. p|bj para todo j > t), si hay caso, y p no divide a as (resp. a bt). Elcoeficiente de xs+t en f(x)g(x) es

a0bs+t + . . . + as−1bt+1 + asbt + as+1bt−1 + . . . + as+tb0,

en el que se ve que p divide a todos los sumandos salvo a asbt. Ası, p no divide a la suma,lo que prueba el resultado. Q.E .D.

Corolario.- Si f(x), g(x) ∈ S son polinomios no nulos, entonces

c(fg) = c(f)c(g).

Demostracion: Se puede escribir

f(x) = c(f)f ′(x) , g(x) = c(g)g′(x)

donde f ′, g′ son primitivos. Ası

f(x)g(x) = c(f)c(g)f ′(x)g′(x)

y, como f ′(x)g′(x) es primitivo por el lema de Gauss, es c(f)c(g) = c(fg). Q.E .D.

El siguiente resultado es sencillo, pero de una importancia extrema cuando se trata defactorizar polinomios.

Corolario.- Sea f(x) ∈ Z[x] un polinomio de grado positivo, digamos n, que se descom-pone en Q[x] en producto de dos polinomios de grados estrictamente menores que n.Entonces se descompone en Z[x] en producto de dos polinomios de esos mismos grados.

Demostracion: Sea f(x) = f1(x)g1(x), donde f1(x), g1(x) ∈ Q[x] con grado(f1) < ny grado(g1) < n. Multiplicando la anterior igualdad por un cierto elemento a ∈ Z, sepueden quitar los denominadores de f1(x), g1(x), es decir, se tendra

af(x) = g(x)h(x) , g(x), h(x) ∈ Z[x].

De ahı se deduce que ac(f) = c(gh) = c(g)c(h). Si se pone, g = c(g)g′, h = c(h)h′,entonces

f(x) =c(g)c(h)

ag′(x)h′(x),

y esta es la descomposicion buscada. Q.E .D.

Corolario.- Sea f(x) ∈ Z[x] un polinomio de grado positivo, digamos n, y primitivo.Entonces f(x) es reducible en Z[x] si y solo si lo es en Q[x]. Lo mismo ocurre parairreducible.

Demostracion: El resultado es consecuencia inmediata del hecho de que un polinomioprimitivo es reducible en A[x] si y solo si se descompone en producto de dos polinomiosde grado inferior. Q.E .D.

Terminamos esta seccion con un criterio muy general de irreducibilidad de poli-nomios, aunque no es concluyente porque no se puede aplicar a todos: es el criteriode Eisenstein, que damos a continuacion.

48


Proposicion: Criterio de Eisenstein.- Sea

f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 , ai ∈ Z,∀i = 0, 1, . . . , n,

un polinomio de grado n > 0. Supongamos que existe un elemento irreducible p ∈ Z quedivide a todos los coeficientes, salvo a an, y tal que p2 no divide a a0. Entonces f(x) esirreducible en Q[x].

Demostracion: Se hara por reduccion al absurdo. Supongamos que f(x) fuese reducibleen Q[x]; entonces se descompondrıa, en Q[x], en producto de dos polinomios de gradoestrictamente inferior. Por el corolario anterior se puede escribir

f(x) = (bsxs + bs−1x

s−1 + . . . + b1x + b0)(b′tx

t + b′t−1xt−1 + . . . + b′1x + b′0)

donde bi, b′j ∈ Z,∀i, j y s, t < n. Por la segunda hipotesis, p debe dividir a uno de los

dos b0, b′0, pero no a ambos. Supongamos que p|b0 y no divide a b′0. Como p no divide a

an, no puede dividir a todos los bi. Sea m el mınimo ındice tal que p no divide a bm. Elcoeficiente del termino en xm es

bmb′0 + bm−1b′1 + . . . + b0b

′m = am,

que no es divisible por p pues todos los sumandos lo son, salvo el primero. Como m < n,se tiene una contradiccion, lo que prueba el teorema. Q.E .D.

Falta♣ Procedimiento descomposicion de un polinomio (de grado pequeno) con coefi-

cientes en Q.

♠ Idem en Z/Zp.

♣ Irreducibilidad Z/Zp↔ Irreducibilidad en Q.

6.4.- Congruencias. Teorema Chino del resto

Las congruencias para polinomios se definen igual a la de los enteros y tienen propiedadessimilares.

Definicion.- Sea p(x) ∈ k[x]. Dados f(x), g(x) ∈ k[x], diremos que f(x) y g(x) soncongruentes modulo p(x), y escribiremos f(x) ≡ g(x)(mod p(x)), si p(x) divide af(x)− g(x).

Congruencia mod p(x) tiene las mismas propiedades que la congruencia modulo mde enteros. Por ejemplo:

• Las congruencias son compatibles con la suma.

• Las congruencias son compatibles con la multiplicacion.

• La congruencia es una relacion de equivalencia en k[x].

49


De la misma forma que construimos los anillos Z/Zm de las clases de congruenciasmodulo m, podemos considerar el conjunto de las clases de congruencias de polinomiosde k[x] modulo m(x), que lo denotaremos por k[x]/m(x).

Proposicion.- Si m(x) tiene grado d, cualquier clase de congruencia modulo m(x) tieneun unico representante r(x) de grado estrictamente menor que d.

Demostracion: Sea f(x) ∈ k[x]. Por el algoritmo de division tenemos que

f(x) = q(x).m(x) + r(x), grado(r(x)) < grado(m(x))

y f(x) ≡ r(x) (mod m(x)). Q.E .D.

Esto prueba que el conjunto de polinomios de k[x] de grado estrictamente menor queel grado de m(x) es un conjunto completo de representantes para k[x]/m(x).

Ejemplo.- Sea m(x) = x2 + 1 ∈ Q[x]. Cada elemento de Q[x]/m(x) tiene unrepresentante de grado menor o igual que 1. Como x2 ≡ −1 (mod x2 + 1), esx3 ≡ −x (mod x2 + 1). En general, es facil ver que x2n ≡ (−1)n (mod x2 + 1) yx2n+1 ≡ (−1)nx (mod x2 + 1).

Como Q es un cuerpo infinito, existen infinitos polinomios de grado menor o igualque 1 en Q[x], y por tanto Q[x]/(x2 + 1) es un conjunto infinito.

Si cambiamos Q por Z/Z3 tenemos que

(Z/Z3)[x]/(x2 + 1) = {0, 1, 2, x, x + 1, x + 2, 2x, 2x + 1, 2x + 2}.

Al igual que hicimos con los enteros, podemos definir la suma y la multiplicacion declases de congruencias de polinomios como la clase definida por la suma y la multipli-cacion, respectivamente, de sus representantes. Es facil comprobar que estas operacionesestan bien definidas y verifican las propiedades usuales de la suma y la multiplicacion.

Teorema Chino del resto.- Sean m1(x), . . . , mn(x) ∈ k[x] polinomios primos entre sıdos a dos, a1(x), . . . , an(x) ∈ k[x] arbitrarios. Entonces existe f(x) ∈ k[x] tal que:

f(x) ≡ a1(x) (mod m1(x))f(x) ≡ a2(x) (mod m2(x))

......

f(x) ≡ an(x) (mod mn(x))

Si f1(x) y f2(x) son dos soluciones, se verifica que:

f1(x) ≡ f2(x) (mod m1(x)m2(x) · · ·mn(x)).

Demostracion: La demostracion es analoga al caso de los enteros.Como mi(x) y mj(x) son primos entre sı, para todo i 6= j, mi(x) es primo con

li(x) = m1(x) · · ·mi−1(x)mi+1(x) · · ·mn(x).

Por la identidad de Bezout, existen αi(x), βi(x) ∈ k[x] tales que

1 = αi(x)mi(x) + βi(x)li(x), ∀i = 1, . . . , n.

50


Se tiene queβi(x)li(x) ≡ 1 (modmi(x))βi(x)li(x) ≡ 0 (modmj(x)), ∀i 6= j

La solucion es

f(x) = a1(x)β1(x)l1(x) + a2(x)β2(x)l2(x) + . . . + an(x)βn(x)ln(x).

51


Tema 7.- Grupos

7.1.- Grupos

Definicion.- Una operacion binaria en un conjunto A es una aplicacion α: A× A → A.En un lenguaje mas coloquial, una operacion binaria en A es una regla que asocia a

cada par ordenado (a, b) de elementos de A otro elemento de A, α(a, b).Normalmente, si α: A × A → A es una operacion binaria, es costumbre elegir algun

sımbolo ? para notara ? b := α(a, b).

A veces, con animo de simplificar la escritura, no es necesario elegir ningun sımboloy escribiremos una simple yuxtaposicion:

ab := α(a, b).

Observacion.- Para estudiar un conjunto A con “pocos” elementos dotado de una op-eracion binaria ?, podemos trabajar con la tabla de la operacion. Esta tabla es un cuadrode doble entrada en el que se colocan los elementos de A en la lınea horizontal de ar-riba y vertical de la izquierda. En cada casilla libre correspondiente al par ordenado(a, b) ∈ A × A se coloca el elemento A ? b. Por ejemplo, si A = {a, b} y la operacionviene determinada por a ? a = a, a ? b = b, b ? a = b y b ? b = a, la tabla sera:

? a b

a a bb b a

Ejemplos.-

1. Si a0 es un elemento fijo de un conjunto A, la aplicacion (a, b) ∈ A × A 7→ a0 esuna operacion binaria constante.

2. La suma y el producto usuales son operaciones binarias en los conjuntos de numerosN, Z, Q, R y C.

3. La suma es una operacion binaria en el conjunto de los vectores Rn o de las matricesm× n de numeros.

4. Cualquier funcion de dos variables reales f :R × R → R define una operacionbinaria en R.

5. Dado un numero natural n ≥ 1, consideremos el conjunto Zn = {0, 1, . . . , n − 1}y en el la operacion binaria cuya tabla es:


? 0 1 2 · · · n− 2 n− 1

0 0 1 2 · · · n− 2 n− 11 1 2 3 · · · n− 1 02 2 3 4 · · · 0 1...

......

......

......

n− 2 n− 2 n− 1 0 · · · n− 4 n− 3n− 1 n− 1 0 1 · · · n− 3 n− 2

6. Dado un conjunto B, consideremos el conjunto A de las aplicaciones de B en sımismo. La composicion de aplicaciones es una operacion binaria en A.

Definicion.- Dado un conjunto A dotado de una operacion binaria ?, diremos que unsubconjunto H ⊂ A es estable por la operacion si x ? y ∈ H para cualesquiera x, y ∈ H .

Definicion.- Dada una operacion binaria ? sobre un conjunto A, diremos que:

1. Es conmutativa si a ? b = b ? a para todo a, b ∈ A.

2. Es asociativa si a ? (b ? c) = (a ? b) ? c para todo a, b, c ∈ A.

3. El elemento e ∈ A es elemento neutro a la izquierda si e ? a = a para todo a ∈ A.

4. El elemento e ∈ A es elemento neutro a la derecha si a ? e = a para todo a ∈ A.

5. El elemento e ∈ A es elemento neutro si e ? a = a ? e = a para todo a ∈ A.

Proposicion.- Si una operacion binaria en un conjunto tiene un elemento neutro a laizquierda y un elemento neutro a la derecha, ambos han de ser iguales. En particular, siuna operacion binaria tiene elemento neutro, este es unico.

Demostracion: Sea un conjunto A con una operacion binaria ?. Sean e ∈ A un elementoneutro a la izquierda y e′ ∈ A un elemento neutro a la derecha. Por ser e elemento neutroa la izquierda se tiene

e ? e′ = e′,

por ser e′ elemento neutro a la derecha se tiene

e ? e′ = e.

De donde e = e′. Q.E .D.

Definicion.- Dado un conjunto A dotado de una operacion binaria ? con un elementoneutro e, y dado un elemento x ∈ A, diremos que x′ es simetrico a la izquierda de x(resp. simetrico a la derecha) si x′ ? x = e (resp. x ? x′ = e). Asımismo diremos que x′

es simetrico de x si lo es a la izquierda y a la derecha.

Proposicion.- En las condiciones de la definicion anterior, se tiene lo siguiente:

1. x′ es simetrico a la izquierda de x si y solo si x es simetrico a la derecha de x′.

2. Si la operacion ? es asociativa, x′ es simetrico de x e y′ es simetrico de y, entoncesy′ ? x′ es simetrico de x ? y.

53


3. Si la operacion ? es asociativa, entonces el simetrico de un elemento, si existe, esunico.

Demostracion: Los apartados 1 y 2 son evidentes. Para probar 3, supongamos que x′ yx′′ son simetricos de x, entonces, usando la asociatividad,

x′′ = (x′ ? x) ? x′′ = x′ ? (x ? x′′) = x′.

Q.E .D.

Definicion.- Un grupo es un par (G, ?), donde G es un conjunto y ? es una operacionbinaria sobre G verificando las siguentes propiedades:

1. La operacion es asociativa.

2. La operacion tiene elemento neutro.

3. Cada elemento de G posee un simetrico.

Si ademas la operacion es conmutativa entonces se dice que el grupo es abeliano o con-mutativo.

Ejemplos.-

1. Z, Q, R y C son grupos abelianos con la adicion.

2. Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0} son grupos abelianos con lamultiplicacion.

3. El conjunto SA de las biyecciones de A en A es un grupo con la composicion. Si A

tiene mas de 2 elementos, SA no es abeliano. Si A = {1, . . . , n}, se nota Snnot.= SA.

4. El conjunto de las funciones (continuas, diferenciables,...) definidas en un abiertode R con valores reales, con la suma “punto a punto”, es un grupo abeliano.

5. El conjunto de las matrices n × n, con elementos en un cuerpo k y dterminanteno nulo, GL(n, k), es un grupo (no abeliano si n ≥ 2) con la multiplicacion dematrices.

Nota.- Normalmente usaremos la “notacion aditiva” para los grupos abelianos y la “mul-tiplicativa” o yuxtaposicion para los grupos en general. Para cada una de estas notaciones,el elemento neutro y el simetrico de x seran notados de la siguiente forma:

elemento neutro elemento simetrico de x+ 0 −x (opuesto de x)· 1 x−1 (inverso de x)

7.2.- Subgrupos

Definicion.- Sea (G, ·) un grupo. Un subconjunto H de G se dice que es un subgrupo de(G, ·) si se verifican las siguientes condiciones:

1. H es no vacıo.

54


2. H es estable para la operacion binaria ·, es decir, x · y ∈ H para todo x, y ∈ H .

3. x−1 ∈ H para cada x ∈ H .

Observese que si H es subgrupo de (G, ·), entonces (H, ·) es un grupo. Es decir, queefectivamente un subgrupo es un grupo dentro de otro grupo con la misma operacion.Observese tambien que, en la definicion de subgrupo, podemos sustituir la propiedad “Hes no vacıo” por “1 ∈ H”.

Proposicion.- Sean (G, ·) un grupo y H ⊂ G un subconjunto no vacıo. Las condicionessiguientes son equivalentes:

1. H es un subgrupo de (G, ·).2. ∀x, y ∈ H, x · y−1 ∈ H .

Demostracion: Veamos primero 1 ⇒ 2: Supongamos que H es un subgrupo y seanx, y ∈ H . Como H es subgrupo contiene los simetricos de todos sus elementos, enparticular y−1 ∈ H . De nuevo como H es subgrupo, es estable para ·, de donde x · y−1 ∈H , como querıamos.

Probemos ahora 2 ⇒ 1: Como H es no vacıo, sea x ∈ H . Aplicando 2) obtenemos

x · x−1 = 1 ∈ H.

Si x ∈ H , aplicando de nuevo 2) para 1 y x, tenemos

1 · x−1 = x−1 ∈ H,

luego H contiene los simetricos de todos sus elementos. Sean x, y ∈ H , aplicando 2)esta vez para x, y−1 se tiene

x · (y−1)−1 = x · y ∈ H. (1)

Luego H es subgrupo de (G, ·). Q.E .D.

De ahora en adelante si escribimos el “grupo G” en lugar de el “grupo (G, ·)”, so-breentendemos que la operacion binaria la notamos con el sımbolo · o simplemente conla yuxtaposicion de elementos de G.

Ejemplos.-

1. Para todo grupo G, {1} y G son subgrupos de G y se denominan subgrupos trivialesde G.

2. Subgrupos de (Z, +): Dado n ∈ Z, n ≥ 0, sea Zn = {k · n | k ∈ Z}. Se tiene:

(a) Zn es un subgrupo de Z.

(b) Todo subgrupo de Z es de la forma Zn para algun n ≥ 0.

3. Raıces n–esimas de la unidad dentro de C∗.

4. Si C ⊂ A, el conjunto {f ∈ S(A) | f(a) = a, ∀a ∈ C} es un subgrupo de S(A).

55


Proposicion.- Sean G un grupo, {Hi | i ∈ I} una familia de subgrupos de G. Entonces∩i∈IHi es un subgrupo de G.Demostracion: La interseccion de subgrupos es no vacıa porque el elemento neutro estaen todos los subgrupos. Ademas,

x, y ∈ ⋂

i∈I

Hi ⇒ x, y ∈ Hi ∀i ∈ I ⇒ x · y−1 ∈ Hi ∀i ∈ I ⇒ x · y−1 ∈ ⋂

i∈I

Hi.

Q.E .D.

Definicion.- Dado un subconjunto A de un grupo G, llamamos subgrupo generado por Aal subgrupo de G:

〈A〉 =⋂{H | H subgrupo de G y A ⊂ H}.

Proposicion.- Sean G un grupo y A ⊂ G un subconjunto, entonces 〈A〉 es el menorsubgrupo de G que contiene a A.

Demostracion: Es inmediato de la definicion de 〈A〉: Si H es un subgrupo que contienea A, es evidente que 〈A〉 ⊂ H . Q.E .D.

Definicion.- Se dice que A ⊂ G es un sistema de generadores de un grupo G si G = 〈A〉.Proposicion.- Sean G un grupo y A ⊂ G un subconjunto. Sea A−1 = {x−1 | x ∈ A}.Entonces

〈A〉 = {x1 · x2 · · · xn | xi ∈ A ∪ A−1, n ≥ 1}.Demostracion: Es evidente que

〈A〉 ⊃ {x1 · x2 · · ·xn | xi ∈ A ∪ A−1, n ≥ 1}.Para la otra inclusion usaremos que 〈A〉 es el menor subgrupo que contiene a A.

Se comprueba facilmente que A ⊂ {x1 · x2 · · · xn | xi ∈ A ∪ A−1, n ≥ 1} y que{x1 · x2 · · ·xn | xi ∈ A ∪ A−1, n ≥ 1} es un subgrupo. De donde

〈A〉 ⊂ {x1 · x2 · · ·xn | xi ∈ A ∪ A−1, n ≥ 1}.

Q.E .D.

Definicion.- Sean G un grupo y H y K subgrupos de G. Definimos

H ·K = 〈H ∪K〉.

Proposicion.- Sean H, K ⊂ G subgrupos de un grupo G. Se tiene:

1. H ·K = {h1 · k1 · · ·hn · kn | n ≥ 1, hi ∈ H, ki ∈ K}.

2. Si G es abeliano, H ·K = {h · k | h ∈ H, k ∈ K}.

56


7.3.- Grupos cıclicos. Orden de un elemento de un grupo

Si G es un grupo cuya operacion se nota multiplicativamente, entonces

an = a· n veces· · · ·a.

Evidentemente, a0 = 1 y a−n = (a−1)n.Si la notacion es aditiva, entonces

n · a = a+n veces· · · +a.

Evidentemente, 0 · a = 0 y (−n) · a = n · (−a).

Definicion.- Se dice que un grupo G es cıclico si existe a ∈ G tal que

G = 〈a〉 = 〈{a}〉 = {am | n ∈ Z}.

Proposicion.- Si G es un grupo cıclico entonces G es abeliano.

Definicion.- Sean G un grupo y a ∈ G. Diremos que

1. a tiene orden infinito si todas las potencias de A son distintas entre sı.

2. a tiene orden finito si existen 0 ≤ m < n tales que an = am.

Ejemplos.-

1. Sea a ∈ Z, a 6= 0. Entonces a tiene orden infinito.

2. El elemento

A =

(i 00 i

)∈ GL(2,C)

tiene orden finito.

Proposicion.- Sean G un grupo y a ∈ G. Consideremos el subgrupo 〈a〉.1. Si a es de orden infinito, entonces

(a) an = 1 ⇔ n = 0.

(b) La aplicacion ϕ:Z → 〈a〉 dada por ϕ(n) = an es biyectiva.

(c) 〈a〉 es un grupo infinito.

2. Si a es de orden finito, entones

(a) Existe n > 0 tal que an = 1.

(b) Sea m el menor entero estrictamente positivo tal que am = 1. Entonces los ai,0 ≥ i ≥ m− 1 son distintos entre sı y

〈a〉 = {1, a, a2, . . . , am−1}.

Demostracion:

57


1. Si a es de orden infinito, las propiedades a), b) y c) se prueban facilmente.

2. Supongamos que a tiene orden finito.

(a) Si a tiene orden finito existen dos enteros 0 ≤ k < l tales que ak = al. Sean = l − k, entonces

an = al−k = ala−k al=ak

= aka−k = 1. (2)

(b) Sea m > 0 el menor tal que am = 1. Sean 0 ≤ i ≤ j ≤ m − 1 dos enterostales que ai = aj , es decir, tales que aj−i = 1. Como j − i < m, debe serj − i = 0, es decir, i = j. Luego todos los ai, 0 ≤ i ≤ m− 1 son distintos.Es evidente que 〈a〉 ⊃ {1, a, a2, . . . , am−1}. Sea an un elemento cualquierade 〈a〉, escribamos n = q ·m + r, 0 ≤ r ≤ m − 1, la division euclıdea de nentre m, entonces

an = aq·m+r = aq·mar = (am)qar = ar. (3)

Luego 〈a〉 ⊂ {1, a, a2, . . . , am−1}.

Q.E .D.

Definicion.- Sean G un grupo y a ∈ G de orden finito. El orden de a, notado por o(a), esel menor entero estrictamente positivo, m, tal que am = 1.

Proposicion.- Sean G un grupo y a ∈ G. Se tienen las siguientes propiedades:

1. o(a) = 1 ⇔ a = 1.

2. Si a ∈ G tiene orden finito, entonces o(a) = o(a−1).

3. Si a ∈ G tiene orden infinito, a−1 tiene orden infinito.

4. Si G es finito, todo elemento de G tiene orden finito.

5. Si o(a) = m y an = 1, entonces m | n.

Demostracion: Los primeros cuatro apartados se obtienen inmediatamente de las defini-ciones. Para el apartado 5) basta realizar la division euclıdea de n entre m, obteniendon = q ·m + r, con 0 ≤ r ≤ m− 1, de donde

1 = an = aq·m+r = aq·mar = (am)qar = ar. (4)

Como m es el menor estrictamente positivo tal que am = 1, debe ser r = 0 y, por tanto,m | n. Q.E .D.

7.4.- Teorema de Lagrange

Definicion.- Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Sobre G definimos las relaciones∼H y H∼ de la manera siguiente: Dados x, y ∈ G,

x ∼H y ⇔ x−1 · y ∈ H xH∼ y ⇔ x · y−1 ∈ H.

Proposicion.- En las condiciones de la definicion anterior, las relaciones ∼H y H ∼ sonrelaciones de equivalencia.

Demostracion: Se comprueba facilmente que ambas relaciones verifican las propiedades:

58


1. Reflexiva: ∀x ∈ G, x ∼ x.

2. Simetrica: ∀x, y ∈ G, x ∼ y ⇒ y ∼ x.

3. Transitiva: ∀x, y, z ∈ G, x ∼ y, y ∼ z ⇒ x ∼ z.

Q.E .D.

Proposicion.- Sean G un grupo y a ∈ G. Consideremos los conjuntos

a ·H = {a · h | h ∈ H}, H · a = {h · a | h ∈ H}.

Se tiene:

1. a ·H es la clase de equivalencia de a para la relacion ∼H .

2. H · a es la clase de equivalencia de a para la relacion H∼.

Demostracion: Basta probar el primer apartado, pues el segundo es analogo. Sea a ∈ Gy llamemos a a su clase de equivalencia por ∼H , es decir,

a = {b ∈ G | a ∼H b} = {b ∈ G | a−1 · b ∈ H}.

Probaremos por doble inclusion que a = a ·H .Si b ∈ a, entonces a−1 · b ∈ H , es decir, existe h ∈ H tal que a−1 · b = h, de donde

b = a · h ∈ a ·H.

Si b ∈ a ·H , existe h ∈ H tal que b = a · h, de donde

a−1 · b = h ∈ H ⇒ a ∼H b.

Q.E .D.

Si G es un grupo abeliano, entonces ∼H y H∼ coinciden.Sean G un grupo y H un subgrupo, notaremos

G: H =G

∼H

,

H: G =G

H∼ .

1. Las clases de equivalencia de una relacion de equivalencia son una particion delconjunto total, es decir, dadas dos clases de equivalencia, o son disjuntas, o coinci-den.

2. En consecuencia, si tomamos x, y ∈ G, tenemos que, o bien x ·H = y ·H , o bienx ·H ∩ y ·H = ∅.

3. Analogamente se tiene que, dados x, y ∈ G, o bien H ·x = H ·y, o bien H ·x∩H ·y =∅.

Ejemplos.-

59


1. Sea n ∈ Z, n > 0. Se tiene

Z:Zn = Zn:Z = {0 + Zn, . . . , (n− 1) + Zn},donde las clases anteriores son distintas entre sı.

2. Consideremos el subgrupo H ⊂ GL(2,C) dado por

H =

{(λ 00 λ

): λ = 1,−1, i,−i

}.

Para todo A ∈ GL(2,C), A ·H = H ·A. Por tanto ∼H=H∼, aun sin ser GL(2,C)un grupo abeliano.

3. Sea H ⊂ GL(2,C) el subgrupo

H =

{(1 00 1

),

(0 ii 0

),

(−1 00 −1

),

(0 −i−i 0

)}.

Sea la matriz

A =

(3 25 4

),

se tiene que:

A ·H =

{(3 25 4

),

(2i 3i4i 5i

),

(−3 −2−5 −4

),

(−2i −3i−4i −5i

)}

H · A =

{(3 25 4

),

(5i 4i3i 2i

),

(−3 −2−5 −4

),

(−5i −4i−2i −2i

)}.

Como A ·H 6= H · A, es ∼H 6=H∼.

Definicion.- Dado un grupo finito G, definimos su orden, que notaremos |G|, como elcardinal del conjunto G.

Teorema de Lagrange.-. Sea G un grupo finito, H ⊂ G un subgrupo. Entonces |H|divide a |G|.Demostracion: Consideremos la relacion ∼H sobre G. Como G es finito, habra solo unnumero finito de clases de equivalencia distintas. Sean estas a1 · H, . . . ar · H . Como Ges union disjuntas de estas clases, sera

|G| = #(a1 ·H) + · · ·+ #(ar ·H).

Sea H = {h1, . . . , hn}; fijado un entero i, 1 ≤ i ≤ r, de ai · hj = ai · hl se deduce quehj = hl. Por tanto los elementos de la clase ai ·H son todos distintos, ya que

ai ·H = {ai · h1, . . . , ai · hn},Ası, #(ai ·H) = |H|, luego |G| = r · |H|. Q.E .D.

Corolario.- Sean G un grupo de orden finito y H ⊂ G un subgrupo. El numero de clasesde equivalencia para ∼H coincide con el numero de clases de equivalencia para H∼ y esigual a |G|/|H|.

60


Demostracion: La demostracion del teorema de Lagrange podıa haberse hecho con larelacion H∼. Q.E .D.

Definicion.- Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Se llama ındice de H en G alnumero de clases de equivalencia para la relacion ∼H (o H∼), es decir, al numero

i(G : H) =|G||H| .

Corolario.- Sean G un grupo finito y , K ⊂ G subgrupos. Se tienen las siguientespropiedades:

1. Para cada a ∈ G se tiene que o(a) divide a |G|.2. Si el orden de G es primo, entonces G es cıclico y no tiene mas subgrupos que los

triviales.

3. Si |H| y |K| son primos entre sı, entonces H ∩K = {1}.

4. |H ·K| ≥ |H||K||H∩K| , y se tiene la igualdad cuando H ·K = {hk | h ∈ H, k ∈ K} (por

ejemplo, cuando G es abeliano).

Demostracion:

1. Sea a ∈ G y consideremos el subgrupo 〈a〉 ⊂ G. Sabemos que o(a) = |〈a〉|. Porotro lado, el teorema de Lagrange dice que |〈a〉| divide a |G|.

2. Sea a ∈ G, a 6= 1. El subgrupo 〈a〉 ⊂ G no es trivial y su orden divide al numeroprimo |G|, luego debe ser o(a) = |G|. De donde G = 〈a〉.Si no existe a ∈ G, a 6= 1, entonces G = {1} es cıclico.

3. H ∩K es un subgrupo de H y de K, luego |H ∩K| debe dividir a |H| y a |K|, queson primos entre sı. De donde |H ∩K| = 1 y H ∩K = {1}.

4. Sea el conjunto L = {h · k | h ∈ H, k ∈ K}. Es evidente que |H · K| ≥ #(L).Observemos que

L =⋃

h∈H

h ·K.

Hemos visto en la demostracion del teorema de Lagrange que #(h · K) = |K|.Luego debemos contar cuantas clases distintas hay de la forma h ·K cuando h ∈ H .Sean h1, h2 ∈ H ,

h1 ·K = h2 ·K ⇔ h−12 · h1 ∈ K ∩H ⇔ h1 · (H ∩K) = h2 · (H ∩K).

El numero de clases h ·K distintas es igual al numero de clases h ·(H∩K) distintaspara h ∈ H , es decir, al ındice de H ∩K sobre H , que sabemos que es |H|

|H∩K| .

Entonces L contiene |H||H∩K| clases distintas de K, cada una de las cuales con |K|

elementos. Por tanto,

|H ·K| ≥ #(L) =|H|

|H ∩K| |K|.

Q.E .D.

61


7.5.- Producto cartesiano de grupos

Dejaremos de lado en esta seccion la “notacion multiplicativa”, pues nos interesa hablaralgo mas en general.

Definicion.- Sean (G1, ?1), . . . , (Gn, ?n) grupos. En el conjunto G1×· · ·×Gn definimosla siguiente operacion binaria:

(a1, . . . , an) ? (b1, . . . , bn) = (a1 ?1 b1, . . . , an ?n bn).

Proposicion.- (G1 × · · · ×Gn, ?) es un grupo.

Demostracion:

1. La operacion ? es asociativa por serlo cada una de las operaciones ?i, i = 1, . . . , n.

2. Si ei es el elemento neutro del grupo (Gi, ?i), con i = 1, . . . , n, entonces(e1, . . . , en) es el elemento neutro de (G1 × · · · ×Gn, ?).

3. El simetrico de un elemento (a1, . . . , an) ∈ G1 × · · · × Gn es (a′1, . . . , a′n), donde

cada a′i es el simetrico de ai en el grupo (Gi, ?i), con i = 1, . . . , n.

Q.E .D.

Proposicion.- En las condiciones anteriores, (G1 × · · · × Gn, ?) es abeliano si y solo sicada (Gi, ?i), con i = 1, . . . , n, lo es.

Demostracion: Es inmediato.

7.6.- Subgrupos normales. Cocientes

Si G es un grupo y H es un subgrupo, hemos visto en el tema anterior que los conjuntoscocientes G: H y H: G son generalmente distintos y no siempre heredan la estructura degrupo de G. Nos interesa estudiar los subgrupos para los cuales esto no ocurre.

Proposicion.- Sea H un subgrupo de un grupo G. Las condiciones siguientes son equiv-alentes:

1. Las relaciones ∼H y H∼ coinciden, es decir, xH = Hx para todo x ∈ G.

2. (xH)(x′H) = (xx′)H , para cualesquiera x, x′ ∈ G.

3. Para todo x ∈ G, se tiene xHx−1 ⊂ H .

4. Para todo x ∈ G, se tiene xHx−1 = H .

Demostracion:

1 ⇒ 2 Supongamos que xH = Hx para todo x ∈ G y probemos por doble inclusion que(xH)(x′H) = (xx′)H , para cualesquiera x, x′ ∈ G.

⊂ Sea xhx′h′ ∈ xHx′H , con h, h′ ∈ H . Como xH = Hx, debe existir h′′ ∈ Htal que hx′ = x′h′′, de donde xhx′h′ = xx′h′′h′ ∈ (xx′)H . Pues por ser H ungrupo, h′′h′ ∈ H .

⊃ Sea xx′h ∈ (xx′)H , con h ∈ H . Como 1 ∈ H , podemos poner xx′h =x1x′h ∈ (xH)(x′H).

62


2 ⇒ 3 Supongamos ahora que (xH)(x′H) = (xx′)H , para cualesquiera x, x′ ∈ G, yprobemos que xHx−1 ⊂ H para todo x ∈ G. Sea xhx−1 ∈ xHx−1, con h ∈ H .De nuevo como 1 ∈ H , ponemos xhx−1 = xhx−11 ∈ (xH)(x−1H). Por 2) es(xH)(x−1H) = (xx−1H) = H , luego xhx−1 ∈ H .

3 ⇒ 4 Supogamos que, para todo x ∈ G, xHx−1 ⊂ H y probemos la otra inclusion. Seah ∈ H . Podemos escribir h = x(x−1hx)x−1, como x−1hx ∈ x−1Hx ⊂ H , existeh′ ∈ H tal que x−1hx = h′, de donde h = x(x−1hx)x−1 = xh′x−1 ∈ xHx−1

como querıamos.

4 ⇒ 1 Supogamos por ultimo que para todo x ∈ G. se tiene xHx−1 = H . Probemos quexH = Hx para todo x ∈ G por doble inclusion.

⊂ Sea xh ∈ xH . Como xhx−1 ∈ xHx−1 = H , existe h′ ∈ H tal que xhx−1 = h′,de donde xh = h′x ∈ Hx.

⊃ Sea ahora hx ∈ Hx. Como x−1hx ∈ x−1Hx = H , debe ser x−1hx = h′ ∈ H ,de donde hx = xh′ ∈ xH .

Q.E .D.

Definicion.- Un subgrupo H de G se dice normal en G si satisface alguna de las condi-ciones anteriores, y lo notaremos H / G.

Corolario.- Si H es un subgrupo normal de G, el conjunto cociente G: H = H: G, quenotaremos G/H , es un grupo con la operacion inducida por la de G, verificandose que1H = H y (xH)−1 = x−1H . Ademas, por el Teorema de Lagrange, |G/H| = |G|/|H|.Ejemplos.-

1. {1} / G.

2. Todos los subgrupos de un grupo abeliano.

3. El conjunto de todas las matrices diagonales regulares es un subgrupo no normaldel grupo lineal GL(n,Q).

4. El conjunto de las matrices escalares λI , con λ ∈ Q, es un subgrupo normal delgrupo lineal GL(n,Q).

7.7.- Homomorfismos de grupos

Definicion.- Sean G y G′ dos grupos. Un homomorfismo de grupos de G en G′ es unaaplicacion f : G → G′ tal que

f(x · y) = f(x) · f(y)

para cualesquiera x′y ∈ G.

1. Hay que notar que, en la igualdad anterior, la operacion x · y es en G y la otraf(x) · f(y) es en G′.

2. Si e y e′ son los elementos neutros de G y G′ respectivamente, y f : G → G′ es unhomomorfismo, se tiene que f(e) = e′ y que f(x−1) = f(x)−1, ∀x ∈ G.

63


Ejemplos.-

1. La aplicacion constante f : G → G′, f(x) = e′ ∀x ∈ G, es un homomorfismo.

2. Sea G un grupo y x ∈ G. La aplicacion ix: G → G, ix(y) = xyx−1 es un homo-morfismo. Ademas ix es biyectiva y (ix)

−1 = ix−1 . Llamaremos automorfismos alos homomorfismos biyectivos de G en G.

3. Si H ⊂ G es un subgrupo, la inclusion de H en G es un homomorfismo inyectivo.Llamamos monomorfismos a los homomorfismos inyectivos.

4. Si H / G, la proyeccion canonica π: G → G/H , π(x) = xH , es un homomorfismosobreyectivo de grupos. Llamamos epimorfismos a los homomorfismos sobreyec-tivos de grupos

El conjunto de los automorfismos de un grupo G, Aut(G), es un grupo con la com-posicion de aplicaciones. La aplicacion i: G → Aut(G) definida por i(x) = ix, para cadax ∈ G, es tambien un homomorfismo de grupos.

Proposicion.- Sea f : G → G′ un homomorfismo de grupos:

1. Si H ⊂ G es un subgrupo, f(H) es un subgrupo de G′. En particular, la imagenIm(f) es un subgrupo de G′.

2. Si H ′ ⊂ G′ es un subgrupo (normal), f−1(H ′) es un subgrupo (normal) de G. Enparticular, el nucleo de f , ker(f) = f−1(e′), es un subgrupo normal de G.

3. f es un monomorfismo si y solo si ker(f) = {e}.

Demostracion:

1. f(H) = {x′ ∈ G′ | ∃x ∈ G tal que f(x) = x′}. Es claro que e′ = f(e) ∈ f(H),luego f(H) es no vacıo. Sean x′, y′ ∈ f(H), sean x, y ∈ H tales que f(x) = x′ yf(y) = y′. Entonces

x′y′−1 = f(x)(f(y))−1 = f(x)f(y−1) = f(xy−1) ∈ f(H)

pues, por ser H subgrupo, xy−1 ∈ H .

2. La prueba de que f−1(H ′) = {x ∈ G | f(x) ∈ H ′} es un subgrupo de G esanaloga a la del apartado anterior. Veamos que si H ′ / G′ entonces f−1(H ′) / G.Basta demostrar que

xf−1(H ′)x−1 ⊂ f−1(H ′) ∀x ∈ G.

Sea xyx−1 ∈ xf−1(H ′)x−1, con f(y) ∈ H ′. Entonces

f(xyx−1) = f(x)f(y)f(x)−1 ∈ f(x)H ′f(x)−1 ⊂ H ′

por ser H ′ / G′. De donde xyx−1 ∈ f−1(H ′) y f−1(H ′) / G.

64


3. ⇒ Supongamos que f es inyectiva, es decir, si f(x) = f(y) entonces x = y. Seax ∈ ker(f), entonces

f(x) = e′ = f(e),

de donde x = e y ker(f) = {e}.

⇐ Supongamos ahora que ker(f) = {e} y sean x, y ∈ G tales que f(x) = f(y),entonces:

f(x) = f(y) ⇒ e′ = f(x)f(y)−1 = f(xy−1) ⇒⇒ xy−1 ∈ ker(f) = {e} ⇒ xy−1 = e ⇒ x = y.

Luego f es inyectiva.

Q.E .D.

El nucleo del homomorfismo i: G → Aut(G) es el conjunto C(G) de los elementosde G que conmutan con todos los demas elementos de G, llamado centro de G.

7.8.- Teoremas de isomorfıa

Lema.- Sean f : G → G′ un homomorfismo de grupos y H/G tal que H ⊂ ker(f). Existeun unico homomorfismo f ′: G/H → G′ tal que f = f ′ ◦ π, donde π es la proyeccioncanonica.Demostracion: Sea la aplicacion

f ′: G/H → G′

xH 7→ f ′(xH) = f(x)

Veamos que esta bien definida, es decir, si tomamos y ∈ G tal que yH = xH , entoncesf ′(yH) = f ′(xH), Por definicion, f ′(yH) = f(y) y f ′(xH) = f(x), luego nos pregun-tamos si, en estas condiciones, f(y) = f(x). Sabemos, por ser H / G, que

yH = xH ⇔ x−1y ∈ H ⊂ ker(f).

De donde e′ = f(x−1y) = f(x)−1f(y) y, por tanto, f(y) = f(x).Comprobemos ahora que f ′ es homomorfismo:

f ′((xH)(yH)) = f ′((xy)H) = f(xy) = f(x)f(y) = f ′(xH)f ′(yH).

Falta ver que es unico. Sea g: G/H → G′ tal que f = g ◦ π. Entonces, para todox ∈ G,

f ′(xH) = f(x) = g ◦ π(x) = g(π(x)) = g(xH).

Luego f ′ = g. Q.E .D.

Teorema.- (Primer teorema de isomorfıa). Sea f : G → G′ un homomorfismo de grupos.Se induce de modo natural un ismorfismo f : G/ker(f) → Im(f) que factoriza f = i◦f ◦π, siendo π el epimorfismo de G sobre G/ker(f) e i la inclusion de Im(f) en G′.

Demostracion: Basta definir f como se definio f ′ en el lema anterior.

f : G/ker(f) → Im(f)x · ker(f) 7→ f(x · ker(f)) = f(x)

65


De igual manera que en el lema anterior, se comprueba que f esta bien definida y que esun homomorfismo.

Sea x ∈ G tal que f(x · ker(f)) = e′, es decir, sea x · ker(f) ∈ ker(f). Entonces

e′ = f(x · ker(f)) = f(x) ⇒ x ∈ ker(f) ⇒ x · ker(f) = e · ker(f).

Luego ker(f) = e · ker(f) y f es inyectiva.Si x′ ∈ Im(f), existe x ∈ G tal que f(x) = x′, luego f(x · ker(f)) = x′ y f es

sobreyectiva. Q.E .D.

Teorema.- (Segundo teorema de isomorfıa). Sea f : G → G′ un homomorfismo sobreyec-tivo de grupos. Sea H ′/G′ y pongamos H = f−1(H ′). Entonces f induce un isomorfismode G/H en G′/H ′.

Demostracion: Sea π la proyeccion de G′ en G′/H ′, que es un homorfismo sobreyectivo.Luego la composicion π ◦ f es un homomorfismo sobreyectivo de G en G′/H ′.

Sea x ∈ G tal que π ◦ f(x) = e′H ′, es decir, x ∈ ker(π ◦ f). Entonces

e′H ′ = π ◦ f(x) = π(f(x)) = f(x)H ′ ⇔ f(x) ∈ H ′ ⇔ x ∈ H.

Luego ker(π ◦ f) = H y, aplicando el primer teorema de isomorfıa, se tiene un isomor-fismo de G/H en G′/H ′. Q.E .D.

Corolario.- Si H1 y H2 son subgrupos normales de G tales que H1 ⊂ H2, se tiene:

1. H2/H1 es un subgrupo normal de G/H1.

2. (G/H1)/(H2/H1) es isomorfo a G/H2.

Demostracion:

1. Primero hemos de ver que H1 / H2. Sea x ∈ H2 ⊂ G, como H1 / G, se tienexH1 = H1x. de donde H1 / H2.

Luego podemos considerar el cociente H2/H1, que es un subgrupo de G/H1. Con-sideremos entonces (xH1)(yH1)(x

−1H1), con x ∈ G e y ∈ H2, un elemento de(xH1)(H2/H1)(x

−1H1). Por ser H1 / G, se tiene

(xH1)(yH1)(x−1H1) = (xyx−1)H1.

Como H2 / G, se tiene xH2x−1 ⊂ H2. Luego

(xH1)(yH1)(x−1H1) = (xyx−1)H1 ∈ H2/H1.

De donde (xH1)(H2/H1)(x−1H1) ⊂ H2/H1 y H2/H1 / G/H1.

2. Basta considerar el epimorfismo proyeccion π: G → G/H1 para concluir que(G/H1)(H2/H1) y G/H2 son isomorfos.

Q.E .D.

Teorema.- (Tercer teorema de isomorfıa). Sean G un grupo y N y H subgrupos de G.Supongamos que N / G. Entonces:

1. (N ∩H) / H y N / (NH).

66


2. La inclusion de H en NH induce un isomorfismo de H/(N ∩H) en (NH)/N .

Demostracion:

1. Se deja como ejercicio probar (N ∩H) / H y N / (NH).

2. La composicion de la inclusion de H en NH con la proyeccion de NH sobre(NH)/N es un epimorfismo cuyo nucleo coincide con N∩H , de donde el resultadoes una consecuencia directa del primer teorema de isomorfıa.

67

Algebra B ´ asica´ - Apache2 Ubuntu Default Page: It...

Documents

Transcript of Algebra B ´ asica´ - Apache2 Ubuntu Default Page: It...