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  • lgebra Bsica

    Eugenio Miranda Palacios

    2. Aritmtica entera

    2.1. El anillo ordenado de los nmeros enterosLos nmeros enteros son familiares en la aritmtica elemental. Aqu queremos

    expresar esta familiaridad en trminos precisos. Enunciaremos una lista de propie-dades que poseen los enteros y a partir de ellas sacaremos nuestras deducciones.Todas estas propiedades pueden deducirse de una lista muy corta de axiomas, perode momento esto es inmaterial.

    Denotamos N al conjunto de los enteros positivos (tambin llamados nmerosnaturales) {1, 2, 3, . . . }. y denotamos por Z al conjunto de todos los enteros positi-vos, negativos y nulo. La letra N es la inicial de la palabra nmero y Z es la inicialde Zahl (nmero en alemn). En matemticas est muy extendido el uso de ambasabreviaturas.

    En el conjunto Z hay definidas tres operaciones: Suma, x+y, resta o sustraccin, x y y multiplicacin x y o xy. Con frecuencia es conveniente expresar la restasumando el opuesto, x y = x + (y). Estas operaciones verifican las siguientespropiedades:

    Ley asociativa (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz)

    Ley conmutativa x + y = y + x xy = yx

    Existencia de neutro x + 0 = x x1 = x

    Existencia de opuesto x + (x) = 0.

    El nmero 0 se llama neutro para la suma porque al sumarlo a cualquier n-mero x el resultado es igual a x. De la misma forma el nmero 1 es neutro para lamultiplicacin. Todo entero x tiene el opuesto x, pero salvo 1 y 1 ningn enterotiene un inverso multiplicativo. Mas adelante hallaremos inversos para todo enterono nulo cuando veamos los nmeros racionales.

    Adems de las propiedades anteriores, existe otra propiedad que relaciona lasuma y el producto:

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  • Ley distributiva x(y + z) = xy + xz.

    Un conjunto R con dos operaciones x + y, xy verificando las anteriores propie-dades se llama anillo conmutativo, as que el conjunto Z de todos los enteros esun anillo conmutativo. Sin embargo estas leyes no son suficientes para determinarunvocamente a Z.

    Veamos ahora algunas consecuencias de las leyes anteriores: De la ley distri-butiva se sigue que para todo x Z se verifica x 0 = 0 = 0x. Por la ley asociativa,la suma de cualquier nmero de trminos es independiente de la manera en queintroduzcamos parntesis, y por la ley conmutativa el orden de los trminos noaltera la suma. Igual ocurre con la multiplicacin. De momento aceptamos todoesto sin demostraciones.

    La suma de los nmeros a1, . . . , an se puede escribir a1 + +an. Normalmentese abrevia esta expresin escribiendo el trmino general ai precedido de una sigmamayscula con alguna indicacin del rango en que se suman los enteros (exceptosi esto ltimo est claro del contexto). As que en lugar de a1 + + an podemosescribir

    ni=1ai, n1ai, iai, ai

    donde en cada caso i es una variable muda. Cuando n = 0 la suma escrita es vacay, por convencin, se toma igual a cero.

    Existe una abreviatura similar para productos repetidos usando la pi mayscu-la en lugar de . As que en lugar de a1a2 . . . an podemos escribir

    ni=1ai, n1ai, iai, ai

    Por ejemplo, podemos definir la funcin factorial como n! = n1i. Un productovaco se toma igual a uno; as que las sumas vacas y los productos vacos sonrespectivamente neutros para la suma y el producto.

    Una propiedad importante de los enteros es que el producto de dos enteros nonulos no es nunca cero:

    Ley de integridad Para cualesquiera enteros a, b, si a , 0 y b , 0 entoncesab , 0. Adems 1 , 0

    Esto tiene una consecuencia muy til:

    Ley cancelativa Para cualesquiera a, b, c Z si ca = cb y c , 0 entonces a = b.

    Esto asegura que multiplicacin por un entero no nulo es una aplicacininyectiva de Z en s mismo. Para demostrarlo, supongamos que a , b, entoncesa b , 0 y por la ley de integridad c(a b) , 0, por tanto ca cb = c(a b) , 0.

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  • En Z adems de las operaciones existe una relacin de orden que escribimosx y o y x. Si x y pero x , y escribimos x < y y tambin y > x. Esta relacines una relacin de orden total y est relacionada con las operaciones de Z por lassiguientes reglas:

    Si x1 x2, y1 y2 entonces x1 + y1 x2 + y2.

    Si x y y z > 0 entonces zx zy.

    Estas reglas indican que Z es un anillo totalmente ordenado. Usando la orde-nacin podemos describir el conjunto N de los enteros positivos como:

    N = {x Z | x > 0} (2.1)

    Es costumbre tomar N como conjunto de partida dado por algunos axiomas (nor-malmente los axiomas de Peano) y a partir de l se construye Z.

    Ntese que para todo x Z se verifica que x = 0 o x N o x N y queestas tres posibilidades son mutuamente excluyentes. De hecho esto es cierto encualquier anillo ordenado, definiendo N por la regla 2.1, debido a que el orden estotal.

    2.2. Induccin. Principios del mnimo y del mximoPara fijar Z completamente utilizamos la siguiente condicin sobre el conjunto

    N de los enteros positivos:

    I. Principio de induccin sea S un subconjunto de N tal que 1 S y que n S n + 1 S . Entonces S = N.

    Este principio forma la base del mtodo familiar de demostracin por induc-cin: Sea P(n) una afirmacin acerca de un entero positivo n (p. e., P(n) = lasuma de los n primeros enteros positivos es n(n + 1)/2) Supongamos que que-remos demostrar P(n) para todo n. Para ello por el principio de induccin bastademostrar P(1) y demostrar n(P(n) P(n + 1)), porque esto significa que elconjunto S = {n N | P(n)} contiene a 1 y que si contiene a n tambin contiene an + 1. Del principio de induccin se deduce que S = N, es decir que todo n Nverifica P(n).

    Existen formas alternativas del principio de induccin que se usan con fre-cuencia:

    II. Principio de induccin alternativo Sea S un subconjunto de N tal que 1 Sy que n S siempre que para todo m < n m S . Entonces S = N.

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  • III. Principio del mnimo o principio de buena ordenacin. Todo conjunto novaco de enteros positivos tiene un elemento mnimo.

    IV. Principio del mximo Todo conjunto no vaco de enteros negativos tiene unelemento mximo.

    El principio del mnimo se suele enunciar diciendo que N est bien ordenadoVeamos la equivalencia de los principios enunciados:

    I II : Sea S un conjunto verificando las hiptesis de II. Definimos T = {x N | y(y x y S )}, es decir que x T precisamente cuando todos losnmeros desde 1 hasta x pertenecen a S . Es evidente que T S , as quebasta demostrar que T = N. Como 1 S , tenemos que 1 T . Si n Tentonces y S para todo y n, luego n + 1 S y por tanto y S para todoy n + 1. Pero esto implica que n + 1 T . Por I tenemos que T = N.

    II III : Sea S un conjunto de enteros positivos que no tiene elemento mnimo.Vamos a demostrar que S es el conjunto vaco: Llamamos S = {x N | x 0 y b > 0 implican b a

    5. b | a1 y b | a2 implican que b | (xa1 + ya2) para cualesquiera x, y Z. Enparticular b | (a1 a2).

    6. b | a implica que para todo c Z se verifica b | ac.

    7. Si c , 0, b | a si y slo si cb | ca

    Definicin 2.2. Dos enteros a, b tales que b | a y a | b se llaman asociados.

    De la propiedad 3 anterior vemos que todo entero a est asociado a un nicoentero no negativo, que se llama su valor absoluto y se representa por |a|.

    2.4. Algoritmo de la divisin eucldeaLa primera aplicacin del principio de buena ordenacin es demostrar el algo-

    ritmo de la divisin:

    Teorema 2.3. Para cualesquiera enteros a y b, con b > 0, existen enteros nicosq (el cociente) y r (el resto) tales que a = bq + r con 0 r < b.

    Demostracin. Consideramos el conjunto R = {s = a bq | q Z, s 0}. Comob > 0, el elemento a b(|a|) = a + b |a| es mayor o igual a cero y est en R.Luego R no es vaco.

    Por el principio de buena ordenacin R tiene un primer elemento, al que lla-mamos r. Por definicin r = a bq 0, y a = bq + r. Si fuera r b, entoncess = r b = a b(q + 1) 0, luego s R y s < r. Esto contradice la minimalidadde r, luego r < b.

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  • Para demostrar que q y r son nicos, supongamos que a = bq + r = bp + s con0 r, s < b. Esto implica que |r s| < b. Pero r s = b(q p) lo que muestra queb | (r s). El nico mltiplo de b con menor valor absoluto que b es el cero, luegor s = 0 y por tanto r = s. Adems bp = bq, lo que implica p = q.

    Corolario 2.4. Dados dos enteros a y b con b > 0, b | a si y slo si el resto de ladivisin de a por b es 0.

    Definicin 2.5. Para a Z definimos el conjunto de todos los mltiplos de a comoaZ = {aq | q Z}.

    Proposicin 2.6. El conjunto aZ es cerrado para la suma y la resta.

    Teorema 2.7. Sea I un conjunto no vaco de enteros que es cerrado para la sumay la resta. Entonces o I slo contiene al cero o contiene un mnimo elementopositivo a, en cuyo caso I = aZ.

    Demostracin. Ya que I no es vaco, o slo contiene al cero o contiene algn en-tero no nulo b. En el primer caso hemos terminado. En el segundo caso, I contienea b b = 0 y a 0 b = b. As que I contiene al entero positivo |b|. Luego el con-junto I+ de enteros positivos de I no es vaco. Por el principio de buena ordenacintiene un elemento mnimo, al que llamamos a.

    Cualquier mltiplo de a se obtiene sumando a o a consigo mismo un nmerofinito de veces, luego aZ I.

    Por otra parte, sea c I arbitrario. Dividimos entre a, as que c = aq + r con0 r < a. Pero r = caq I. Por el carcter minimal de a, debe ser r = 0. O sea,que c = aq aZ. Como c era un elemento arbitrario de I, obtenemos que I aZ.Combinando con el prrafo anterior nos queda que I = aZ.

    2.5. Mximo comn divisor y mnimo comn mltiploDefinicin 2.8. Un entero positivo d se llama mximo comn divisor de dos ente-ros dados a y b si

    1. d es un divisor de a y b

    2. Todo divisor comn de a y b es un divisor de d.

    El mximo comn divisor de a y b se representa como d = m. c. d.(a, b) y tambincomo d = (a, b).

    El hecho de